莱布尼茨的手稿

On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude

黎曼1859年论文以欧拉乘积公式为起点，将ζ函数从实部大于1的区域解析延拓至全复平面，建立ζ(s)与ζ(1-s)的函数方程，提出ζ函数非平凡零点实部均为1/2的猜想。通过围道积分和ξ函数变换，他推导出素数计数函数的积分表达式，将素数分布与ζ函数零点紧密关联，为解析数论奠定基础。