Zeta Archive: 牛顿广义二项式定理

牛顿广义二项式定理

我们先来看一个无穷和：

利用暴力计算的手段可以计算出一些值

……

发散

………

我们通过代值观察发现只有当的定义在时，是收敛的。

我们把这个无穷和改写成这样

现在括号中的那个级数恰好是 . 换句话说：

立即得出

隐藏在这个无穷和背后的是这个简单的吗？

通过简单的代值观察发现确实是这样。这个式子是成立的。

但他们并非一回事，因为他们有不同的定义域。

原本的只有在上才有值，而只要不为就有函数值。

这件事的意义是：一个无穷级数可能仅在一个函数的部分定义域上定义了这个函数。这个函数的其余部分隐藏在某个地方，等待被某种技巧发现。

这引起了一个问题： Zeta 函数也是这样吗？

我们将上式两边同时积分，得到

当时

只有当你把式中各项按照这个顺序相加的时候它才收敛到，如果改变相加的顺序它会收敛到其他值或者不收敛。这被称为条件收敛。

如果改变相加的顺序收敛值不变。这被称为绝对收敛。

杨辉三角

对于二项式展开，我们有经典的二项式定理。对于正整数

其中，就是杨辉三角里的数字。

牛顿的推广：从整数幂到任意指数

杨辉三角和二项式定理解决的是：，其中是整数。

但是，牛顿提出了一个大胆的问题：如果指数不是整数呢？

比如或，还能不能展开？

大约在 1664-1665 年 (1666 是牛顿奇迹年），牛顿发现，只要把组合数的公式

稍微改写，用实数代替整数，公式（后来被证明可进一步推广到复数）也成立：

于是，广义二项式定理就来了：

（当时收敛）。例如：

平方根展开：

倒数展开：

这些无穷级数可以用来近似计算数值，非常实用.

牛顿的广义二项式展开就是最早的幂级数展开之一。它启发了后来泰勒公式：任何解析函数在某点附近都可以展开成无穷级数。从出发，人们意识到：不仅幂函数，其他函数（指数、三角、对数）也能展开。
这是微积分与数学分析的基石。

欧拉把二项式展开自然推广到复数域：

这成为了复分析中最早的幂级数表示之一，后来发展出解析函数理论和解析延拓。

Zeta 函数的解析延拓

From ZhiHu-TravorLZH

Zeta 函数的原先定义域仅仅在，然而利用 Dirichlet eta 函数，我们可以通过将其定义域拓展至

剩下的工作就是将它的定义域拓展到除之外的全平面了。

方法一：Poisson 求和公式 + 搞积 + Gamma
定义

则可以通过各种性质，得：

利用高斯函数的 Fourier 变换以及 Poisson 求和公式可得：

通过对式左侧运用和搞积技巧，可得：

可以发现式右侧把变成时结果依然相同，意味着

通过对进行移项、运用余元公式和勒让德倍元公式，可得 Zeta 函数的函数方程：

至此我们就将 Zeta 函数延拓到了。现在介绍第二种方法

方法二：围道积分 + 放缩 + 乱炖

考虑积分，其中围道如下：

计算每一段路径，可得：

现在考虑另一个围道积分，其中如下图：

通过对运用留数定理，得到：

可以通过放缩等乱炖技巧证明。因此结合，有：

于是我们又一次发现了 Zeta 函数的函数方程。

综上所述，黎曼 zeta 函数的完整定义为：