On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse
On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
论小于给定大小的素数个数
by BERNHARD RIEMANN
作者：波恩哈德・黎曼
Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch die Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.
I believe I can best express my gratitude for the honor which the Academy has bestowed on me in naming me as one of its correspondents by immediately availing myself of the privilege this entails to communicate an investigation of the frequency of prime numbers, a subject which because of the interest shown in it by Gauss and Dirichlet over many years seems not wholly unworthy of such a communication.
Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von Euler gemachte Bemerkung, dass das Product
In this investigation I take as my starting point the observation of Euler that the product
在这项研究中，我以欧拉的观察作为起点，即乘积
wenn für alle Primzahlen, für alle ganzen Zahlen gesetzt werden.
where ranges over all prime numbers and over all whole numbers.
其中， 取遍所有的质数，而 取遍所有的整数。
Die Function der complexen Veränderlichen , welche durch diese beiden Aus-drücke,so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch.
The function of a complex variable which these two expressions define when they converge I denote by.
这两个表达式收敛时，所表示的复变量 的函数，我将其记为 。
Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von grösser als ist; es lässt sich indess leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden.
They converge only when the real part of is greater than ; however, it is easy to find an expression of the function which always is valid.
只有当复数 的实部大于 时，两个表达式才会收敛；不过，很容易就能得出一个始终有效的函数表达式。
Durch Anwendung der Gleichung
By applying the equation
由等式
erhält man zunächst
one finds first
立即得出
Betrachtet man nun das Integral
If one considers the integral
如果我们考虑围道积分
von bis positiv um ein Grössengebiet erstreckt, welches den Werth, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht gleich
from to in the positive sense around the boundary of a domain which contains the value but no other singularity of the integrand in its interior, then it is easily seen to be equal to
vorausgesetzt, dass in der vieldeutigen Function der Logarithmus von so bestimmt worden ist, dass er für ein negatives reell wird.
provided that in the many-valued function the logarithm of is determined in such a way that it is real for negative values of.
假设在多值函数 中这样来取对数， 的对数的确定方式应使得当 为负值时该对数为实数。
Man hat daher
Thus
由此得出
das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden.
when the integral is defined as above.
此时的积分按照上述的意义来理解。
Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function für jedes beliebige complexe und zeigt, dass sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von ausser , endlich ist, so wie auch, dass sie verschwindet, wenn gleich einer negativen geraden Zahl ist.
This equation gives the value of the function for all complex and shows that it is single-valued and finite for all values of other than , and also that it vanishes when is a negative even integer.
Wenn der reelle Theil von negativ ist, kann das Integral, statt positiv um das angegebene Grössengebiet auch negativ um das Grössengebiet, welches sämmtliche übrigen complexen Grössen enthält, erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grossem Modul dann unendlich klein ist.
When the real part of is negative, the integral can be taken, instead of in the positive sense around the boundary of the given domain, in the negative sense around the complement of this domain because in that case (when ) the integral over values with infinitely large modulus is infinitely small.
Im Innern dieses Grössengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn gleich einem ganzen Vielfachen von wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen.
But inside this complementary domain the only singularities of the integrand are at the integer multiples of , and the integral is therefore equal to the sum of the integrals taken around these singularities in the negative sense.
Das Integral um den Werth aber ist , man erhält daher
Since the integral around the value is , this gives
由于围绕点 的积分结果为 ，所以得出
also eine Relation zwischen und , welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function auch so ausdrücken lässt:
and therefore a relation between and which, by making use of known properties of the function , can also be formulated as the statement that:
因此，这也给出了 与 之间的一个关系，这个关系通过利用函数 的已知性质，也可以表示为：
bleibt ungeändert, wenn in verwandelt wird.
remains unchanged when is replaced by .
当把 替换为 时，其结果保持不变。
Diese Eigenschaft der Function veranlasste mich statt das Integral in dem allgemeinen Gliede der Reihe einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function erhält. In der That hat man
This property of the function motivated me to consider the integral instead of the integral in the general term of , which leads to a very convenient expression of the function . In fact
Diese Function ist für alle endlichen Werthe von endlich, und lässt sich nach Potenzen von in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln.
This function is finite for all finite values of and can be developed as a power series in which converges very rapidly.
这个函数对于所有有限的 值，都是有限的，并且可以按 的幂展开成收敛速度极快的级数。
Da für einen Werth von , dessen reeller Bestandtheil grösser als ist, endlich bleibt, und von den Logarithmen der übrigen Factoren von dasselbe gilt, so kann die Function nur verschwinden, wenn der imaginäre Theil von zwischen und liegt.
Now since for values of with real part greater than , is finite and since the same is true of the other factors of , the function can vanish only when the imaginary part of lies between and .
Die Anzahl der Wurzeln von , deren reeller Theil zwischen und liegt, ist etwa
The number of roots of whose real parts lie between and is about
方程 的实部位于 到 之间的根的数量大约是
denn das Integral positiv um den Inbegriff der Werthe von erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen und und deren reeller Theil zwischen und liegt, ist ( bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Grösse ) gleich ; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von , multiplicirt mit .
because the integral taken in the positive sense around the domain consisting of all values whose imaginary parts lie between and and whose real parts lie between and is (up to a fraction of the order of magnitude of ) equal to and is, on the other hand, equal to the number of roots of in the domain multiplied by .
Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind.
One finds in fact about this many real roots within these bounds and it is very likely that all of the roots are real.
实际上，我们在这个范围内找到了大约这个数目的实根，而且很有可能所有的根都是实数。
Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
One would of course like to have a rigorous proof of this, but I have put aside the search for such a proof after some fleeting vain attempts because it is not necessary for the immediate objective of my investigation.
Bezeichnet man durch jede Wurzel der Gleichung , so kann man durch
If one denotes by the roots of the equation , then one can express as
若将方程 的根记为 ，那么就可以将 表示为
ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Grösse mit nur wie wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches nur unendlich wie ; er unterscheidet sich also von um eine Function von , die für ein endliches stetig und endlich bleibt und mit dividirt für ein unendliches unendlich klein wird.
because, since the density of roots of size grows only like as grows, this expression converges and for infinite is only infinite like ; thus it differs from by a function of which is continuous and finite for finite and which, when divided by , is infinitely small for infinite .
Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von bestimmt werden kann.
This difference is therefore a constant, the value of which can be determined by setting .
因此，这个差是一个常数，其具体数值可通过取 来确定。
Mit diesen Hülfsmitteln lässt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als , sind, bestimmen.
With these preparatory facts, the number of primes less than can now be determined.
有了这些准备工作所得到的结论，那么小于 的质数的个数就可以确定了。
Es sei, wenn nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber eine Primzahl ist, um grösser, so dass für ein , bei welchem sich sprungweise ändert,
Let , when is not exactly equal to a prime, be equal to this number, but when is a prime let it be greater by so that for an where jumps
Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth von , wenn .
This equation is valid for every complex value of provided .
当 时，此等式对于 的每一个复数值 都成立。
Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung
But when in such circumstances
然而，如果等式
gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier'schen Satzes die Function durch die Function ausdrücken.
is valid, the function can be expressed in terms of by means of Fourier's theorem.
在这个区域里成立，则用傅里叶的理论，函数 可以用 来表示。
Die Gleichung zerfällt, wenn reell ist und , in den beiden folgenden:
The equation splits when is real and when into the two equations
如果 是实的并且有 时，该方程会分裂为以下两个方程：
Wenn man beide Gleichungen mit multiplicirt und von bis integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier'schen Satze , also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit multiplicirt,
When both equations are multiplied by and integrated from to , one finds in both cases that the right side is that when they are added and multiplied by
worin die Integration so auszuführen ist, dass der reelle Theil von constant bleibt.
where the integration is to be carried out in such a way that the real part of remains constant.
这里的积分路线这样来选取，使得 的实部保持为常数。
Das Integral stellt für einen Werth von , bei welchem eine sprungweise Aenderung der Function stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function zu beiden Seiten des Sprunges dar.
The integral represents, for a value of where the function has a jump, the middle value between the two values of on either side of the jump.
对于函数 有跳跃的每个 值，积分表示的是跳跃点两侧的 函数值之间的平均值。
Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein
The function was defined in such a way that it too has this property, so one has in full generality
上边函数 的定义方式使得它也具备这一特性，因此在一般情况下，我们有
Für kann man nun den früher gefundenen Ausdruck
For one can now substitute the expression
对于先前得到的 来说，现在可以代入这个表达式
substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann ins Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmässig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in
found above; the integrals of the individual terms of this expression will not converge, however, when they are taken to infinity, so it is advantageous to reformulate the equation as
然而，当积分限为无穷时，这个表达式的单独项的积分不会收敛，因此最好是通过分部积分法，先将等式转换成
umzuformen.
by integration by parts.
通过分部积分法。
Da
Since
因为
für , also
for and therefore,
对于 ，因此，
so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdruckes für mit Ausnahme von
all of the terms in the expression for except for the term
于是， 的表达式的所有项，除去例外项
die Form
take the form
均型如
Nun ist aber
But
此时
und, wenn der reelle Theil von rösser als der reelle Theil von ist,
and, when the real part of is greater than the real part of,
且当数 的实部大于 的实部时，
oder
or
或者
je nachdem der reelle Theil von negativ oder positiv ist. Man hat daher
depending on whethert the real part of is negative or positive. Thus
这取决于 的实部是负数还是正数。因此
im ersten und
in the first case and
在第一种情况下以及
im zweiten Falle
in the second case.
在第二种情况下。
Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von negativ unendlich werden lässt;
In the first case the constant of integration can be determined by taking to be negative and infinite.
在第一种情况下，令 的实部取负无穷大，就可以确定积分常数。
im zweiten Falle erhält das Integral von bis um verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positivem oder negativem Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von in dem Werthe von positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird.
In the second case the integral from to takes on two values which differ by depending on whether the path of integration is in the upper halfplane or in the lower halfplane; if the path of integration is in the upper halfplane, the integral will be infinitely small when the coefficient of in is infinite and positive, and if the path is in the lower halfplane, the integral will be infinitely small when the coefficient of in is infinite and negative.
Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.
This shows how to determine the values of on the left side in such a way that the constants of integration drop out.
这展示了如何在左侧确定 的值，使得积分常数能够消失。
Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck von $f(x) erhält man
By setting these values in the expression for one finds
通过将这些值代入 的表达式中，便可以得出结论
wenn in für sämmtliche positiven ( oder einen positiven reellen Theil enthaltenden ) Wurzeln der Gleichung , ihrer Grösse nach geordnet, gesetzt werden.
where the sum is over all positive roots (or all roots with positive real parts) of the equation , ordered according to their size.
其中， 表示方程 的所有正根（更确切地是所有正实部的复根）求和，这些根按照模的增序排列。
Es lässt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function , leicht zeigen, dass bei dieser Anordnung der Werth der Reihe
It is possible, by means of a more exact discussion of the function , easily to show that with this ordering of the roots the sum of the series
通过更精确地探讨函数 的性质，很容易就能证明，在这种根的排列方式下，级数
mit dem Grenzwerth, gegen welchen
is the same as the limiting value of
收敛到一个极限，这个极限与积分
bei unaufhörlichem Wachsen der Grösse convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können.
as grows without bound; by a different ordering, however, it can approach any arbitrary real value.
当 趋向无穷时所得的极限是一样的；然而，如果改变这种排序的话，级数能够收敛到任意的实数值。
Aus findet sich mittelst der durch Umkehrung der Relation
From one can find by inverting
函数 可以由 来得到，这要通过反转关系式
sich ergebenden Gleichung
to find
产生出
worin für der Reihe nach die durch kein Quadrat ausser theilbaren Zahlen zu setzen sind und die Anzahl der Primfactoren von bezeichnet.
where ranges over all positive integers which are not divisible by any square other than and where denotes the number of prime factors of .
其中， 取遍所有这样的自然数，他们不能被除了 以外的任何平方数整除，而 表示 的质因子个数。
Beschränkt man auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für oder, bis auf einen mit wachsendem sehr schnell abnehmenden Theil,
If is restricted to a finite number of terms, then the derivative of the expression for or, except for a part which decreases very rapidly as increases,
einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Grösse .
gives an approximate expression for the density of primes half the density of prime squares the density of prime cubes, etc., of magnitude.
Die bekannte Näherungsformel ist also nur bis auf Grössen von der Ordnung richtig und giebt einen etwas zu grossen Werth; denn die nicht periodischen Glieder in dem Ausdrucke von sind, von Grössen, die mit nicht in's Unendliche wachsen, abgesehen:
Thus the known approximation is correct only to an order of magnitude of and gives a value which is somewhat too large, because the nonperiodic terms in the expression of are, except for quantities which remain bounded as increases,
In der That hat sich bei der von Gauss und Goldschmidt vorgenommenen und bis zu rei Millionen fortgesetzten Vergleichung von mit der Anzahl der Primzahlen unter diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets kleiner als ergeben, und zwar wächst die Differenz unter manchen Schwankungen allmählich mit .
In fact the comparison of with the number of primes less than which was undertaken by Gauss and Goldschmidt and which was pursued up to three million shows that the number of primes is already less than in the first hundred thousand and that the difference, with minor fluctuations, increases gradually as increases.
Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zählungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch hierin eine Gesetzmässigkeit bemerkt worden wäre.
The thickening and thinning of primes which is represented by the periodic terms in the formula has also been observed in the counts of primes, without, however, any possibility of establishing a law for it having been noticed.
素数个数的密度因周期项而增减的事实已经在计算中被观察到，但还未注意到它是否遵循某种规律。
Bei einer etwaigen neuen Zählung würde es interessant sein, den Einfluss der einzelnen in dem Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen Glieder zu verfolgen.
It would be interesting in a future count to examine the influence of individual periodic terms in the formula for the density of primes.
如果将来再做计算的话，继续探究表达式中个别周期项对于素数密度的影响将会是一件有趣的事情。
Einen regelmässigeren Gang als würde die Function zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich als mit im Mittel übereinstimmend erkennen lässt.
More regular than the behavior of is the behavior of which already in the first hundred is on average very nearly equal to .
