狄利克雷 Eta 函数

定义

狄利克雷 函数常用两种等价定义：

级数定义

（适用于 ）

与黎曼 ζ 函数的关系

这个关系式可以将 函数的定义域解析延拓到整个复平面（除了 这个 函数的单极点）。

关键性质

与黎曼 ζ 函数的关系

狄利克雷 函数又被称为 交错 函数（alternating zeta function）。它和黎曼 函数 的紧密联系是其核心价值之一：

这个关系不仅用于解析延拓 ，反过来也提供了研究 的一个重要途径。黎曼 函数在临界带 内的性质，时常会涉及到 函数。

First, let's add the sum over all odd and even numbers:

Now, we know that and, so we can write:

Now, Let's add and subtract the same thing on the RHS:

Now, by definition, the Riemann zeta function is given by:

And we can use the fact that:

So: