洛朗展开
19 世纪法国数学家皮埃尔・阿方斯・洛朗发现，即使函数 在某点不解析，只要在以该点 为中心的环域 内解析，就能展开为同时包含正幂项和负幂项的双边幂级数:
其中：
是环域内绕内周一周的任意一条闭合曲线
这种级数结构 —— 正幂项构成描述常规解析行为的正则部分，负幂项形成刻画奇点特性的主要部分 —— 完美解决了泰勒级数无法处理奇点的困境。
奇点
1. 可去奇点
如果在奇点 处级数也是收敛的，此时收敛区域是一个圆，如果将 定义为
这样 在 点也是解析的，这正是可去奇点这一称谓的由来
2. 极点
函数 在极点的空心邻域内的洛朗展开只有有限个负幂项，则
在 的邻域内解析， ，则 称为 的 阶极点，显然
反之，若 是 的孤立奇点，且 ，则 是 的极点
此外当 是 的 阶极点时，
又知道 在 点解析，所以 是 的 阶零点
特别的，一阶极点又称作单极点
3. 本性奇点
函数在本性奇点领域的洛朗展开具有无穷多个负幂项
如果 是函数的本性奇点，则当 时 的极限不存在，即当 以不同方式趋向于 时， 趋向于不同的值
可以证明，对于本性奇点而言，任意给定一个复数（包括 ），总存在一个序列 ，使得
留数定理
若 在 所围区域内除 外都解析，则 在 内以 为中心处可展开为洛朗级数
环域 内任取闭合回路 ，由柯西定理
考虑以原点为中心的单位圆（ 从 到 ），计算积分 ：
这个结果不依赖于圆的半径，仅由环绕原点的 “圈数” 决定。对于更一般的奇点 ，积分 ，而其他幂次项（ ）的积分结果均为 。这一特性被称为柯西积分公式的特殊情形，是留数定理的 “种子”。
因此
称为 在 的留数，记作：
若 所围区域内包围 个奇点 ,可分别作回路 ,由柯西定理
总结得留数定理：
留数的计算
规则 1 计算一阶极点的留数
如果 为 的单极点，那么
若该极限为 型未定式，洛必达法则可直接用于求解。例如，对 ，若 且 ，则：
（注：此处需满足洛必达法则的使用条件：分子分母在 的邻域内可导，且分母导数非零。）
规则 2 洛必达法则计算一阶极点的留数
若 , , 在定义域内都解析， , , ,则 为 的单极点。
规则 3 计算高阶极点的留数
如果前 个导数在 处为零，而第 个导数不为零，那么 是 的 阶极点。
如果 是 的 阶极点，那么
可以看成函数 的泰勒展开，则 项泰勒级数的系数 即为 在 点的留数 ,有
若该极限为 型未定式，可直接使用 次洛必达法则计算 阶极点的留数求解。例如:
对 ，若 在 处有 阶零点 , 在 处解析（允许 )，则 在 处有 阶极点（若 ）或更低阶极点（若 在 有零点）。
此时 ，代入留数公式需计算：
关键步骤：一层一层剥离计算：考察发现存在高阶极点，求导考察下一阶导数，计算留数，应用洛必达法则；考察发现存在高阶极点，求导考察下一阶导数，计算留数，应用洛必达法则；……… 重复操作求导后应用洛必达法则 次。
（注：此处需满足洛必达法则的使用条件：分子分母在 的邻域内可导，且分母导数非零。）
经过 次求导操作后，考察发现不再存在高阶极点, 因此：
巴塞尔问题的留数解法
巴塞尔问题：求自然数平方倒数之和
1. 构造围道积分
关键是将级数求和与复积分联系起来。考虑函数
其极点包括：
整数点 ：由 的零点引起，为一阶极点；
原点 ： 分母导致的二阶极点。
取正方形围道 ：顶点为 ，包围所有 的整数点。当 时，围道积分 的模因 在围道上有界（ ）且 衰减足够快（ ）而趋于 。
2. 计算留数总和
由留数定理，围道积分等于 乘以围道内所有留数之和：
整数点留数：对 ， （利用 ）。
原点留数： 是二阶极点，展开 ，则
洛朗展开中 项系数为 ，即 。
3. 求解级数和
将留数代入留数定理：
注意 （ 项发散需剔除），整理得：
