Zeta Archive: e的无理性证明

e 的无理性证明

A proof that e is irrational

proof by contradiction.

Assuming is a rational number, it can be written as the ratio of two positive integers:

Both sides of the above formula are multiplied by ( is some positive integer large enough)

The right-hand side must be an integer.

must be an integer.

When is large enough, Must have:

must not be an integer

反证法.

假设是有理数, 那么它能够写成两个正整数之比:

上式两边同时乘以 ( 是一个足够大的正整数)

右边一定是整数

一定是一个整数.

当足够大时, 可以得到:

一定不是一个整数

$是无理数$

根号2的无理性证明

文档采用反证法证明根号2为无理数。假设根号2是有理数，可表为互质正整数a和b的比值。平方后得a²=2b²，推出a为偶数，令a=2c代入得b²=2c²，推出b也为偶数，与a和b互质的假设矛盾，从而证明根号2是无理数。

π的无理性证明

加拿大数学家伊万·尼文1947年提出π无理性的简洁证明，以反证法为核心。假设π为有理数a/b，构造多项式f(x)=xⁿ(a-bx)ⁿ/n!及交替导数和F(x)，通过积分估计与导数性质，证明积分结果是0到1间的非整数，与整数假设矛盾，从而证实π为无理数，仅用初等微积分工具实现严格论证。