不知名的碎片 8

不知名的碎片 8

可以是数也可以是式子。

这个性质可以用来搞积。

我们从之前文章的例题中拿出两个式子来研究：

左边是求和，右边是等比数列求和。

设左边求和为

右边等比数列求和为

其中 的通项为

的通项为

我们知道如果通项相等，则前 n 项和相等。

那么反过来，前 项和相等 ,那么通项 相等吗？

必然相等。即：

这恰好就是伽马函数换元变形后的结果。

我们也可以尝试数学归纳的方法推导。

考虑积分：

先对原式进行一次分部积分，得：

其中：

所以

因此我们又将积分问题转换成了递推关系问题：

最终，我们得到了