Zeta Archive: 不知名的碎片10

不知名的碎片 10

笔者将这两个式子放在这里，是因为这两个式子形式上令人惊讶的相似性。仿佛他们就是一家人，来自同一个快乐大家族。也许他们之间存在的关联就像魔群月光一样可望而不可即，~~也许他们之间没什么关系，只是笔者的一厢情愿。~~

朗兰兹纲领指出：数论、代数几何和群表示论是密切相关的。

如果第一个式子与 Zeta 函数相关代表数论，第二个式子与圆周率相关代表几何，那么推测出在群论中也能找到这样的形式属于同一个快乐大家族。

遗憾的是笔者暂未找到这一缺失的拼图。

Tips

变量替换与积分化简

令（即，），积分区间变为，且。代入后化简得：

即：

这一形式与埃尔米特（Hermite）1873 年研究的贝塞尔函数积分表示高度相似。贝塞尔函数的泊松积分公式为：

对比可知，当时

可表示为贝塞尔函数的显式形式：

如果令则

这揭示了该积分与特殊函数的深层联系，也印证了尼文证明中积分构造的数学根源。

经过一通乱炖变形发现：第一个式子与伽马函数有关联，而第二个式子与贝塞尔函数有关联。他们都是特殊函数，这中间一定有问题。那么群论或者群表示论又能和哪个特殊函数有关？ ~~难道每个特殊函数都会对应一个数学分支？~~