Euclid 素数无限定理

希腊语

Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν. Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ: λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί. Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος: εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος: ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η: λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν: καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ: καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν: ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

英语

Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. Let A, B, C be the assigned prime numbers; I say that there are more prime numbers than A, B, C. For let the least number measured by A, B, C be taken, and let it be DE; let the unit DF be added to DE. Then EF is either prime or not. First, let it be prime; then the prime numbers A, B, C, EF have been found which are more than A, B, C. Next, let EF not be prime; therefore it is measured by some prime number. Let it be measured by the prime number G. I say that G is not the same with any of the numbers A, B, C. For, if possible, let it be so. Now A, B, C measure DE; therefore G also will measure DE. But it also measures EF. Therefore G, being a number, will measure the remainder, the unit DF: which is absurd. Therefore G is not the same with any one of the numbers A, B, C. And by hypothesis it is prime.

中文

质数的数量多于任何指定的质数的个数。设 A、B、C 为指定的质数；我断言质数的数量比 A、B、C 多。因为取 A、B、C 能量尽的最小数，设为 DE；在 DE 上加上单位 DF。那么 EF 要么是质数，要么不是。首先，设 EF 是质数；那么质数 A、B、C、EF 已被找到，且多于 A、B、C。其次，设 EF 不是质数；那么它能被某个质数量尽。设它能被质数 G 量尽。我断言 G 与 A、B、C 中的任何一个都不相同。因为，若有可能，设 G 与它们中的某一个相同。现在 A、B、C 能量尽 DE；所以 G 也能量尽 DE。但它也能量尽 EF。所以 G，作为一个数，将能量尽余数，即单位 DF：这是荒谬的。所以 G 与 A、B、C 中的任何一个都不相同。并且根据假设它是质数。

现代数学语言

首先假设存在有限的素数集合，用 表示，

其中 是集合里最大的素数。

然后我们可以定义

是素数并且大于 ，

很明显 不能被 整除。

因此， 不能被任何素数整除，

所以它是一个素数并且大于 。

所以 不是一组完整的素数，

故而出现矛盾。

因此，“素数有有限个” 这一假设应被否定。

注意此证明并不说明 个素数的乘积与 的和是素数。

例如,