希尔伯特 23 问题

序

现在先将他原文的序摘录如下（除个别段落外，中文翻译参考了《数学问题》，希尔伯特著，李文林、袁向东译），稍作讨论。

我们当中有谁不想揭开未来的面纱，看一看在未来的几个世纪里这门科学发展的前景和奥秘呢？下一代的主要数学思潮将朝着什么样的目标奋斗？在广阔而丰富的数学思想领域里，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？

历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有自己的问题，这些问题后来要么得以解决，要么因无所裨益而被抛弃之并代之以新的问题。如果我们想对数学知识在不久的将来可能的发展有一个概念，我们就必须回顾下当今科学提出的期望在将来能够解决的问题。现在，在世纪更迭之际，我认为非常适合于此次会议上就这些问题进行一番回顾。因为，一个伟大时代的结束，不仅让我们追溯过去，而且也将我们的思想引向未知的将来。

不可否认，这些问题在前沿的基础科学领域里起到了重要的作用，以及在一些研究者的个人工作中也扮演了重要角色。只要一门学科能提出大量的问题，它就能充满着生命力；而问题的缺乏则预示着这门学科独立发展的中止或衰亡。

正如人类的每一项事业都在追求某些确定目标一样，数学研究也需要它自身的问题。正是通过解决这些问题，研究者发现了新方法和新观点，获得了更广阔和更自由的境界。

想要预先正确判断一个问题的价值是困难的，且常常是不可能的，因为最终的判断取决于科学从这个问题中所得到的获益。虽然如此，我们仍然想问，是否存在一般的准则，可用于鉴别出一个数学问题是否是个好问题？

一位法国老数学家曾说过：“一个数学理论，只有当你能把它向你在大街上遇到的第一个人解释得很清楚时，它才算完美。” 我认为一个数学理论，尤其是一个数学问题，如果它是完美的话，应该清晰易懂。因为清晰易懂的东西能吸引人，复杂的东西却使人反感。

此外，一个数学问题应该是困难的，这样才能吸引我们。但又不能是难到无法解决的，以免我们的努力付之东流。对我们来说，它应该是通向隐藏真相的迷途指南，并最终在成功解决时为我们带来喜悦。

过去几个世纪的数学家致力于解决困难的特殊问题。他们知道这些问题的价值。比如约翰・伯努利提出的 “最速下降线问题”。伯努利在关于这个问题的公开声明中解释说：经验告诉我们，崇高的思想只不过是通过把困难且有用的问题摆在他们面前，来争取科学的进步。因此，他希望效仿梅森（M. Mersenne）、帕斯卡（B. Pascal）、费马（Fermat）、维维亚尼（V. Viviani）和其他人的做法，向他那个时代的分析领域中的杰出人士提出一个问题，作为检验他们方法价值的试金石，来赢得数学界的感谢。变分法起源于伯努利问题和与之类似的问题。

众所周知，费马曾断言，丢番图方程：

( 为整数) 当 时是无整数解的，除了几个特殊的情形外。这是个非常重要的例子，即试图证明这么一个非常特殊且显然不重要的问题，却给数学带来了很大的发展。

在费马问题的激励下，库默尔（E.E.Kummer）引入了理想数，并发现了循环域里的数可分解为理想素因子的唯一分解定理。今天，戴德金（J.W.R.Dedekind）和克罗内克（L.Kronecker）将这个定理推广到任何代数域上。这一定理是现代数论的核心，其意义远远超出了数论的范围，而深入了代数和函数论的领域。

在其它的研究领域，我想提下三体问题。庞加莱着手这个难题并近乎解决了它，使得他得以把他卓有成效的方法和影响深远的原理引入到天体力学中，并在今天的天文学实践中得到应用。

最后提到的这两个问题，费马问题和三体问题，在我们看来，几乎像相反的两个极端，前者是纯粹理性的自由发现，属于抽象数论的范畴，后者是天文学提供给我们的，是理解自然界最简单的基本现象所必需的。

同样的特殊问题也经常出现在最不同的数学分支中。例如，最短路径问题在几何基础中、在曲面论中、在力学中、在变分学中都起着重要的作用。克莱因（F. Klein）在他关于二十面体的著作中，对正多面体问题在初等几何、群论、方程论和线性微分方程中的意义，描述得多么令人信服！

我还想提下魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass）来阐明数学问题的重要性。在他科学生涯的开始，魏尔斯特拉斯就发现了一个与雅克比的反演问题同样重要的问题。他说这是他的幸运。

现在我们已经认识到数学问题的普遍重要性，让我们来讨论一下这个问题： 数学问题的来源是什么？ 毫无疑问，数学各个分支中最古老的问题都源于经验和自然界的现象。即便是整数的运算规则，在人类文明的早期阶段也必须以这种方式被发现，就像今天的孩子也得通过经验方法学习它们。几何的最初问题也是如此，这些问题是古代遗留给我们的，如倍立方问题、化圆为方问题。同样的还有在求解方程、曲线论和微积分、变分法、傅里叶级数、位势理论中那些古老的问题，还有涉及力学、天文学和物理学的大量问题。

但是，随着这部分数学的进一步发展，受这些问题的成功解答的鼓舞，人类开始意识到数学的独立性。它开始不断演化，幸运地得以通过逻辑组合、概括化、专门化的方式分析和综合新的思想、价值丰富的问题，然后作为真正的提问者出现。由此产生了素数问题和数论里的其他问题，如伽罗瓦的方程理论、代数不变量理论、阿贝尔函数理论和自守函数理论。事实上，现代算术和函数论中几乎所有的好问题都是这样产生的。

与此同时，当纯粹理性的创造力发挥作用时，外部世界又开始发挥作用，从实际经验中向我们提出新问题，开辟了数学的新分支。当我们试图征服这些新的知识领域，进入纯思维的领域时，我们往往能找到旧的未解决问题的答案，从而同时最成功地推进旧的理论。

我们还得简单地讨论一下，对于一个数学问题的解答，应该提出什么样的一般要求。首先，我要说的是：它需要通过有限的步骤，在有限多个的假设基础上，建立正确的解决方案。这些假设在问题的表述中是隐含的，而且必须总是精确地表述出来。这种通过有限步骤来进行逻辑推理的要求，就是推理的严谨性的要求。事实上，这在数学中已成为众所周知的严谨性的要求，是与我们的哲学必然性相一致的；另一方面，只有满足了这一要求，问题蕴含的思想和提示才能充分发挥作用。一个新问题，尤其是来自外部经验世界的问题，就像一根幼嫩的新枝，只有按照严格的园艺学规则，仔细地嫁接到我们数学科学的已有成果的老茎上，才能茁壮成长并结出果实。

此外，把证明的严谨性与简单性对立起来是错误的。大量的例子证明，严谨的方法同时也更简单、更容易理解。对严谨性的努力迫使我们找到更简单的证明方法。这导致严谨性的方法比不那么严谨的旧方法更有能力发展。因此，代数曲线论经历了相当程度的简化，并通过更加严格的函数论方法和先进手段的引入而达到更大的统一。进一步地，对幂级数可以应用四则算术运算，以及进行逐项微分和逐项积分，这个事实的证明和通过这个证明对幂级数用处的认识，极大促进了分析的简化，特别是消去法和微分方程理论，以及这些理论所要求的存在性证明的简化。但是，我的演讲中最引人注目的例子是变分法。在某些极为复杂的计算中，需要处理定积分的一阶和二阶变分，而之前数学家所采用的方法缺乏严格性。魏尔斯特拉斯给我们指明了一条通向明确建立变分基础的道路。我将在我的演讲结束时简要地展示一下，如何通过简单的二重积分立即使变分法得到惊人的简化。即在证明出现最大和最小值的充要条件时，二阶变分的计算（实际上包括某些与一阶变分有关的乏味的推理）在某种程度上可完全摒弃，也就是可以去掉对变分要求其中的函数微商变化很小的限制。

一方面，我坚持证明的严格性是完美解决问题的必要条件，另一方面，我要反对这样一种观点，即只有分析的概念，甚至仅仅是算术的概念，才能得到完全严格的处理。我认为这种观点是完全错误的，这种观点有时也被一些知名人士所推崇。这种对严格性要求的片面解释，将很快导致对一切源于几何、力学和物理中的概念的忽略，从而堵塞来自外界新材料的流动，最后的结果必然是拒绝接受连续统和无理数的思想。但是对数学科学至关重要的一根神经，将被几何和数学物理的灭绝所切断！相反我认为无论从认识论或几何角度，或从自然和物理科学理论角度，都会对数学提出这样的任务：研究构成这些概念的原则，从而把它们建立在一个简单而完备的公理系统之上，新概念的准确性及其适用性应当不如那些旧的算术概念。

新概念必对应新符号。我们选择这些概念的方式，是为了提醒我们那些促成新概念形成的现象。因此几何图形是空间直觉的符号或助记符号，被所有数学家如此使用。谁不总是把三点在一条直线上的图像作为 “中间” 这个概念的几何图像与不等式 一起使用呢？当需要严格地证明一个关于函数连续性或聚点存在的困难定理时，谁会不使用闭区间套和闭矩形套呢？谁能完全不用三角形、带圆心的圆、由三根互相垂直的轴构成的座标架？或者谁会放弃在微分几何、在微分方程理论、在变分法基础和其他纯数学科学分支中扮演如此重要角色的向量场图示法或曲线、曲面族极其包络的图形呢？

算术符号是文字化的图形，几何图形是图像化的公式；任何数学家都不可能不使用这些图像化的公式，就像在数学演算中不可能不使用括号或其他分析符号一样。

使用几何符号作为一种严格的证明手段，其前提是对这些图形所依据的公理具有确切的了解和完全的掌握；为了把这些几何图形纳入数学符号的总宝库，必须对它们的概念内容进行严格的公理化研究。就像两个数相加一样，一个数必须以正确的顺序放在另一个数的下面，这样就只需要演算规则，即因此，几何符号的使用是由几何概念及其组合的公理决定的。

几何思想和算术思想之间的一致之处还表现在，我们在算术思想中，并不像在几何讨论中那样，习惯性地将推理链条追溯到最初的公理。相反，我们运用一种快速的、无意识的、不确定的组合，尤其是在第一次解决问题时，相信算术符号的行为具有某种算术上的感觉，这种感觉在算术上和在几何上的想象一样，我们可以省掉。作为严格运用几何思想和符号的算术理论的一个例子，我可以提到闵可夫斯基的名著《数的几何学》（Geometrie Zahlen, 1896）。

关于数学问题可能带来的困难，以及克服这些困难的方法，可以在这里加以说明。

如果我们不能成功地解决一道数学问题，其原因往往在于我们没有认识到一个更普遍的观点，即我们面前的问题只是一系列相关问题中的一个环节。在找到这个环节后，不仅这个问题更容易处理，而且我们还掌握了一种适用于其它相关问题的方法。柯西的复路径积分和库默尔在数论中的理想可以作为例子。这种寻找一般方法的手段当然是最切实可行和最确定的；因为那些在心里没有明确问题的情形下寻求方法的人，多半会是徒劳的。

在处理数学问题时，我认为特殊化比一般化更重要。也许在大多数我们寻求问题的答案是徒劳无功的，失败的原因在于，比现在的问题更简单、更容易的问题根本没有解决，或者还没有完全解决。那么，一切都取决于找出这些更容易的问题，并通过尽可能完美的手段和能够概括的概念来解决这些问题。这个规则是克服数学困难的最重要的规则之一，在我看来它几乎总是被使用，尽管可能是无意识的。

有时，我们在不充分的假设下或在不正确的意义上寻求解决办法，但由于这个原因，我们没有成功。于是就出现了一个新问题：在给定的假设下，或在设想的意义上，证明解决问题是不可能的。这种不可能的证明是由古人提出的，例如，他们指出等腰直角三角形的斜边与边长之比是无理数。在以后的数学中，证明某些解不存在的问题起着重要的作用。以这种方式，那些老的和困难的问题（如平行公理的证明、化圆为方、以及五次方程根式解的问题）终于找到了完全令人满意和严格的解决办法，尽管这和原先设想的结果并不相同。可能正是这个重要的事实以及其他哲学上的原因导致了这种信念（这是每个数学家都认同的，但至今还没有人能证明的），即每个明确的数学问题都必须能够得到精确的解答，或者是得到问题的实际答案，或者是证明它的解是不可能的，从而导致所有尝试的必然失败。以任何尚未解决的问题为例，如欧拉 — 马歇罗尼常数 是否是有理数的问题，及 形式的素数是否有有限多个的问题。无论这些问题在我们看来多么不可接近，无论我们在它们面前多么无能为力，我们仍然坚信，它们的解决是一个有限步骤的纯逻辑推理。

每一个问题都是可以解决的，这是数学思维独有的特性吗？还是说，这可能是思维本质所固有的普遍规律，即所有问题都必须是可以回答的？因为在其他科学领域，人们也会遇到一些古老的问题，这些问题通过证明它们不可能解决，从而以一种对科学最令人满意和最有用的方式得到了解决。

我以永动机的问题为例。在发现建造永动机的工作徒劳无功以后，人们开始研究，如果永动机是不可能建造的，则自然力之间必须存在的关系。这个反问题导致了能量守恒定律的发现，它再次解释了永动机的不可能性。

每个数学问题都是可以解决的，这种信念对工作者是一种强大的激励。我们听到了内心永恒的召唤：问题就在这里，去找到它的答案！你可以用纯粹的理性找到它，因为在数学中没有无知之人（ignorabimus）。

数学中的问题是无穷无尽的，一旦一个问题解决了，无数其他问题就会取而代之。请允许我在下面试探性地提一些具体而明确的问题，这些问题来自于数学的各个分支，讨论这些问题可以促进科学的发展。

让我们看看分析和几何学的原理。在我看来，上个世纪在这一领域最具启发性和引人注目的成就是柯西、波尔查诺和康托著作中连续统概念的算术表述，以及高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基对非欧几何的发现。因此，我首先把诸位的注意力引向这些领域里的一些问题。

1、康托的连续统基数问题

两个系统，即两个通常的实数集或点集，被认为是（在康托的意义下）等价的或是有相同的基数，如果它们之间可以建立一种关系，使得一个集合中每个数都对应且只对应另一个集合中一个确定的数。康托对这种集合的研究促使他提出了一个似乎合理的定理，虽然经过不懈的努力，还没有人能成功证明这个定理。该定理是说：

每个由无穷多实数组成的系统，即每个（无穷）数集（或点集），或者等价于自然数集，或者等价于全体实数集，从而等价于连续统即一条直线上点的全体；因此，就等价关系而言，只有两种（无穷）数集，可数集和连续统。由这条定理立即得到结论：连续统所具有的基数，紧接在可数集基数之后。所以，这个定理的证明将在可数集与连续统之间建立一个新的桥梁。

康托另一个值得重视的命题，和上述定理的关系极为密切，而且或许会给出这个定理的新证明。任意实数系统被认为是有序的，如果对系统中任意两个数，可以断言哪个在前哪个在后，同时这个判别法具有如下性质：

若 在 之前， 在 之前，则必有 在 之前。

一个系统中数的自然排列被定义为：按照这种排列，较小的数恒在较大的数之前。但易知，一系统的数可以有无限多种不同的方式进行排列。

假设数已按照某一确定的方式排列，同时从这些数中挑选出一个特殊的数系，即选出一个部分系统或部分集合。可以证明，这个部分系统也是有序的。康托考虑了一种特殊的有序集（他称之为良序集）：不仅是集合本身，而且每个部分集合都有一个首数。自然数集（按其自然顺序）是一个良序集，但是实数的系统即连续统（按其自然顺序）显然不是良序集 —— 如果把直线上除去起点的线段看作是部分集合的话，那么它没有首元素。

现在我提出的问题是：实数全体是否可以按照其他方式排列，使得每个部分集合都有一个首元素，也就是说，连续统是否能够被看作为良序集 —— 康托认为这个问题的答案是肯定的。

我感到急需对康托这一值得注意的命题给出直接的证明，这种证明多半是具体给出一种排列，使得在每个部分系统中都有一个首元素。

评论：

本问题是问：在实数这个集合中，任何一个无穷子集必须要和自然数集或是实数集本身有一对一的对应。

本问题又被称为连续统假设（continuum hypothesis）。这些问题由康托（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845-1918）在十九世纪七十年代开始研究，很多数学家企图解决，直到哥德尔（Kurt Friedrich Gödel, 1906-1978）在 1940 年代发现，并由科恩（Paul Joseph Cohen, 1934-2007）在 1960 年代完成：连续统假设不能从标准公理被证明为真或假。

连续统假设（continuum hypothesis）断言实数集的基数 是最小的不可数基数。等价地，

其中 是自然数集的基数。广义连续统假设（generalized continuum hypothesis）则断言对于每个无穷基数 ，有

即对于每个无穷基数 ，第二个基数应该是具有相同基数 的集合的所有集合的集合。

1938 年，哥德尔证明了如果集合论中的标准策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-1953）- 弗兰克尔（Abraham Fraenkel, 1891-1965）公理是一致的，那么这些公理推导不出广义连续统假设。

哥德尔猜测形式选择公理（axiom of choice）不足以证明连续统假设，因此连续统假设在策梅洛 - 弗兰克尔理论中是形式上不可判定的。

1963 年，科恩证明了这一点。他的证明开创了集合论的一个活跃时期。科恩的力迫法（method of forcing）被应用于每一个可以想象的集合论问题中，并且在策梅洛 - 弗兰克尔理论中证明了它们中的许多是不可判定的。

自科恩的工作以来，人们对一个新的公理进行了大量的研究：大基数公理（large cardinal axiom）—— 它断言存在具有某些性质 的基数，使得我们可以证明只有非常大的基数才能具有性质 。

2、算术公理的相容性

在研究一门科学的基础时，我们必须建立一套公理系统，它包含了对这门科学基本概念间所存在的关系的确定且完备的描述。这样建立起来的公理同时也是这些基本概念的定义。我们正在检验其基础的科学领域里的任意一个命题，除非它能够从这些公理通过有限步骤的逻辑推理而得到，否则就不能认为它是正确的。

更进一步的研究促使我们提出这样的问题：这组公理中个别公理的确切陈述是否以某种方式相互依赖？如果我们希望达到一种全体互相独立的公理系统，这组公理是否因此就不能包含共有的部分而必须将那些共有的部分分离出去？

但是在关于公理的众多问题中，我想如下的问题是最为重要的：证明这些公理不互相矛盾，即以它们为基础而进行的有限步骤的逻辑推理绝不会导致矛盾的产生。

在几何学中，公理相容性的证明可以这样来实现，即构造一个适当的数域，使得域中数之间的类似关系与几何公理相对应。几何公理演绎中的任何矛盾，必能在该数域的算术中得到体现。这样，所要求的几何公理相容性的证明，便归结为算术公理相容性。

另一方面，我们需要一种直接方法来证明算术公理相容性。算术公理实质上无非是运算规则，再加上连续公理。最近，我把所有这些公理放在一起，同时用两个较简单的公理来代替连续公理 —— 阿基米德公理和一条新公理。这个新公理可陈述如下：数所形成的系统，当它满足所有其他公理时，不可能再做进一步的扩充（完备性公理）。我坚信，通过对无理数理论中熟知的推理法的详细研究和适当调整，一定能够找到算术公理相容性的直接证明。

为了从另一角度来说明问题的意义，我补充如下观点：如果一个概念具有矛盾的属性，那么我就认为这个概念在数学上不存在，比如平方为 的实数在数学上是不存在的。

如果能证明这个概念所赋予的属性在经过有限的逻辑过程后不会导致矛盾（比方满足一定条件的数或函数），我就认为这个概念在数学上的存在性得到了证明。目前，我们所关心的是算术里的实数公理，此时算术公理相容性的证明就是完备实数系或连续统存在性的证明。一旦算术公理相容性的证明得到充分解决，那对完备实数系是否存在的怀疑就变得毫无根据了。实数的全体，即在上述指明意义下的连续统，并不是一切可能的十进分数展开的全体，也不是其元素按一切可能排列的基本列的全体。准确地说，它是一种事物系统，这些事物间的相互关系受到所假设公理的支配，同时对它们来说，凡是能从公理通过有限步骤的逻辑推理而得到的命题（也只能是这样的命题）都是正确的。我认为，连续统的概念仅仅在这样的意义下才能在逻辑上站稳脚步。依我看来，实际上这也符合我们的经验与直觉。因此，连续统的概念，以及一切函数所构成的系统的概念，它们存在的意义和整数集、有理数集或康托的高阶数类及基数，完全一样。因为我相信后者的存在性同连续统一样，可在我上述描述的意义下得到证明，但所有基数构成的系统或所有康托的阿列夫构成的系统则不一样。对于它们，可以证明不能在我意义下的相容公理系统上建立。因此，在我的术语下，无论哪一个系统在数学上都是不存在的。

评论：

直到格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann, 1809-1877）在 1860 年代证明了算术中的许多事实可以从关于后续运算和归纳的更基本事实中推导出来后，人们才意识到形式化算术的重要性。

1881 年，皮尔斯（Charles Sanders Peirce, 1839-1914）提出了自然数算术的公理化。

1888 年，戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916）提出了自然数算术的另一种公理化。1889 年，皮亚诺（Giuseppe Peano, 1858-1932）在他的书《一种新方法提出的算术原理》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，发表了它们的简化版本来作为公理的内容。

九条皮亚诺公理包含如下三种类型的内容：

第一条公理断言自然数集中至少存在一个元素 0。

接下来的四条公理是关于相等关系的一般性陈述：

（自反性）对每个自然数 ，有 ；

（对称性）对自然数 和 ，若 则 ；

（传递性）对自然数 、 和 ，若 和 ，则 ；

（封闭性）若 是自然数且 ，则 是自然数。

接下来的三条公理是关于自然数的一阶陈述，表明后续运算 的基本性质：

对每个自然数 ， 是自然数（即自然数关于后续运算 是封闭的）；

对所有自然数 和 ，若 ，则 （即后续运算 是单射的）；

对每个自然数 ， 不成立（即 不是任何自然数的后续自然数）。

第九条公理是数学归纳原理对自然数的二阶陈述：如果 是一个集合且满足如下条件

a) 属于 ，

b) 对每个自然数 ，如果 属于 则 也属于 ，

那么 包含每个自然数。通过显式添加加法和乘法运算符号并将二阶归纳公理替换为一阶模式，可以得到一个称为皮亚诺算术的较弱的一阶系统。

当皮亚诺公理首次被提出时，罗素（Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970）和其他人一致认为，这些公理隐含地定义了我们所说的 “自然数” 的含义。庞加莱（Jules Henri Poincaré, 1854-1912）说，它们只有在自然数一致的（consistent）情形下才能定义自然数。

1900 年，希尔伯特提出了仅使用有限方法证明其一致性的问题。1931 年，哥德尔（Kurt Friedrich Gödel, 1906-1978）在《关于数学原理和相关系统的形式上不可判定定理 I》（Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I）证明了他的第二不完备性定理，该定理表明，如果皮亚诺算术是一致的，那么这种一致性证明就不能用皮亚诺算术本身形式化。

尽管人们普遍认为哥德尔定理排除了皮亚诺算术的有限一致性证明的可能性，但这取决于有限证明的确切含义。哥德尔本人指出，通过使用在皮亚诺算术中无法形式化的有限方法，可以给出皮亚诺算术或更强系统的有限一致性证明的可能性。

1958 年，哥德尔发表了一种使用类型论（type theory）证明算术一致性的方法。

1936 年，利用直到一个叫做 序数的超限归纳法（transfinite induction），根岑（Gerhard Karl Erich Gentzen, 1909-1945）在《纯数论的矛盾》（Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie）一文中证明了皮亚诺公理的一致性。他解释说：“本文的目的是证明初等数论的一致性，或者更确切地说，将一致性问题简化为某些基本原理。”

根岑的证明可以说是有限论的，因为超限序数 可以用有限对象的术语进行编码（例如，作为图灵机描述整数上的合适次序，或者更抽象地说，由有限树组成，适当进行线性排序）。对于有限论证明的确切含义，没有普遍接受的定义，希尔伯特本人也从未给出过精确的定义。

大多数数学家认为皮亚诺公理是一致的，要么依赖于直觉，要么依赖于对一致性证明（如根岑的证明）的接受。

在几何基础方面，我想提出如下几个问题。

3、等底等高的两个四面体体积相等

高斯在给葛林（Gerling）的两封信中，对一些立体几何的定理依赖于穷竭法（即依赖于现代术语中的连续公理或阿基米德公理）表示不满。高斯特别提到欧几里得定理：等高的两个三棱锥，其体积之比等于底面积之比。目前，平面上类似的问题已得到解决。葛林还通过把图形剖分为全等的部分证明了两个对称多面体体积相等。

但我认为，上述欧几里得定理似乎不可能推广到一般情形。

我们的任务就是给出严格的证明，这是可以的，只要能够找到等底等高的两个四面体，我们不能够将它们剖分为全等的四面体，同时也不能够补上全等的四面体使得新的两个四面体可以剖分为全等部分。

原文注：本文发布不久，邓恩（Max Wilhelm Dehn, 1878-1952）已给出了这种反例。

评论：

鲍耶（Farkas Bolyai, 1775-1856）（1833 年）、格维恩（Paul Gerwien）（1835 年）和华莱士（William Wallace, 1768-1843）（1807 年）在十九世纪就证明了两个面积相同的平面多边形可以等可分（equidecomposable）成彼此全等的多边形的。

根据鲍耶 - 格维恩 - 华莱士定理，正方形可以分割和重组成面积相等的三角形

众所周知，在三维空间里金字塔的体积公式为 ，其中 是高度而 是底面积。但是，所有已知的推导都是基于微积分的。1844 年，高斯认为这种简单的体积公式依赖于极限是非常不幸的。因此，希尔伯特问两个体积相同的多面体是否可以分解成全等的多面体。

1901 年，在希尔伯特的演讲发表之前，他的学生邓恩给出了反例。邓恩发现了一个数值不变量（现在称为邓恩不变量（Dehn invariant）），它在任意两个等分多面体上具有相同的值，但在正四面体和立方体上具有不同的值。

事实上，这个问题已出现在 1882 年的波兰。1882 年 6 月 12 日，瓦迪斯瓦夫・克雷特科夫斯基（Władysław Kretkowski）在克拉科夫艺术与科学学院（Academy of Arts and Sciences of Kraków）的数学竞赛中独立提出了希尔伯特第三问题。

1883 年，这个问题由路德维克・安东尼・伯肯马耶（Ludwik Antoni Birkenmajer，1855-1929）解决了（他用的方法和邓恩不同）。

伯肯马耶没有发表他的结果，多年后他的原始手稿重新被发现。

4、直线作为两点间最短距离的问题

另一个与几何基础有关的问题是：如果从建立欧几里得几何所需的公理中去掉平行公理，或假设这条公理不满足，但保留所有其它公理，我们就得到了与欧几里得几何并列的罗巴切夫斯基几何（双曲几何）。如果进一步要求 “直线上三点有且只有一点位于其它两点之间” 这条公理不成立，我们得到了黎曼几何（椭圆几何），这种几何似乎和罗巴切夫斯基几何并列。如果希望对阿基米德公理进行类似研究，我们应该认为这条公理不满足，从而得到非阿基米德几何 —— 这种几何曾被韦罗内塞（Veronese）和我本人研究过。

现在要提出更一般的问题：从其他具有启发性的观点出发，是否可以建立起和欧几里得几何并列的几何？

在这里，请大家注意这么一条事实上已被许多人作为直线定义的定理：直线是两点间的最短距离。这个定理的本质可归结为欧几里得定理，即三角形中两边之和大于第三边 —— 这个定理只涉及到基本的概念，即只涉及到由公理直接推导出的概念，因此更加易于进行逻辑演绎。欧几里得借助于以合同公理为基础的外角定理证明了这个定理。欧几里得定理，不能仅在只和角度、线段有关的合同公理的基础上得到证明，而且要有三角形的合同公理。因此，我们寻找一种几何，使得除了三角形的合同公理外，所有通常的欧几里得几何公理（特别是所有其它的合同公理）都成立（或者除了 “等腰三角形底角相等” 定理外），同时要求 “三角形中两边之和大于第三边” 这个命题被看作是特殊的公理。

我们发现这样的几何确实存在，它正是闵可夫斯基在他名著《数的几何》（Geometrie der Zahlen，1896）中所构造的且作为他算术研究基础的几何。闵可夫斯基几何也是和欧几里得几何并列的，其本质被如下两条性质所刻画：

① 与定点 距离相等的点，位于欧几里得空间中以 为中心的闭凸曲面上；

② 两个线段被认为是相等的，如果可以通过欧几里得空间中的一个平移把一个线段放到另一个线段上。

在闵可夫斯基几何中平行公理亦成立。通过对 “直线是两点间的最短距离” 定理的研究，我建立了一种几何（1895），除了平行公理不成立外，闵可夫斯基几何中其它所有公理都成立。

直线是两点间的最短距离这个定理以及（本质上等价的）与三角形的边相关的欧几里得定理，无论在数论还是在曲面论和变分学中起着至关重要的作用。

上面这个原因，以及我相信对于该定理成立条件的深入研究将会给距离这个概念及其它基本概念（比如平面的概念，和通过直线概念来定义平面的可能性）带来全新的诠释，我认为这种可能的几何的具体构造与系统研究是非常必要的。

评论：

希尔伯特想找到所有具有经典几何的公理化系统的几何，该系统具有全等公理，放弃了角度的概念，但增加了三角不等式。

1894 年，达布（Jean Gaston Darboux, 1842-1917）提出了如下问题：确定平面中所有的变分问题，其解都是直线。

首先，我们已经知道笛沙格定理（Desargues's theorem）：如果两个三角形位于一个平面上，使得连接三角形相应顶点的线在一点相交，则三角形的三对相应边的延长相交的三个点位于一条线上。即，
如果 和 、 和 、 和 共点，
那么 、 和 共线。

求解第四问题的必要条件是满足该问题公理的度量空间应为笛沙格的（Desarguesian），即，如果空间是二维的，则笛沙格定理及其逆定理应成立；如果空间维数大于 2，则任何三点都应位于同一个平面上。

对笛沙格空间，哈梅尔（Georg Karl Wilhelm Hamel, 1877-1954）证明了第四问题的每个解都可以在实射影空间 或 的凸域中表示，若通过长度（相对于使得射影空间的直线是测地线的度量）相等可以确定线段的全等性。

这种类型的度量称为平坦度量（flat metrics）。希尔伯特第四问题从而约化为构造性地确定所有完备平坦度量问题的解。

在度量正则性的假设条件下，哈梅尔解决了这个问题。但是，我们需要处理不光滑的度量。

在希尔伯特以前，已经有不同的发展方向：

在单位圆盘中罗巴切夫斯基几何的凯莱 - 克莱因模型（Cayley-Klein model）；根据该模型，测地线是圆盘的弦，点之间的距离定义为四边形交叉比的对数。

对实射影平面里凸区域的黎曼度量，如果测地线都是直线，那么该度量必有常曲率。这个结果是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami, 1835-1900）于 1865 年《Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette》中证明的。
嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951）在 1930 年代推广到高维情形。

1890 年，闵可夫斯基引入了如今我们称之为的有限维巴拿赫空间（Banach space）。

芬斯勒（Paul Finsler, 1894-1970）用范数代替内积来推广黎曼几何。这个范数由二元函数

这里 是凸的且对每个 函数 是关于 一次齐性的。 称为芬斯勒度量（Finsler metric）。

1903 年，哈梅尔在《关于直线最短的几何图形》（Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kürzesten sind）里证明了如果 是光滑的，那么芬斯勒度量 是平坦的当且仅当

关于 是对称的。

1966 年，布斯曼（Herbert Busemann, 1905-1994）在莫斯科举办的国际数学家大会上的演讲中引入了一类新的平坦度量。在射影平面 上的一组直线上，他引入了完全可加的非负测度 ，它满足以下条件：

1. 对经过一点的直线集，它的测度为零；
2. 对经过某个集合 （包含一条直线段）的直线集，它的测度严格正的；
3. 实射影平面的全测度是有限的。

给定这样一个 测度，对 和 我们定义他们间的距离：

利用帕施（Moritz Pasch, 1843-1930）定理（给定直线上的四个点 ，如果 在 之间且 在 之间，那么 必在 之间），我们立即得到该度量的三角不等式。

布斯曼证明了实射影平面上的所有 度量 都是平坦的。

但是，布斯曼远没有认为所有平面度量都是 度量。他说：“对非黎曼度量来说，在给定测地线下选择度量的自由度非常大，以至于人们可能会怀疑是否真的存在关于所有笛沙格空间的令人信服的刻画。”

1973 年，波戈列夫（Aleksei Vasilyevich Pogorelov, 1919-2002）证明了任意二维连续完备平坦度量必是 度量。

1976 年，安巴祖米安（Rouben V. Ambartzumian, 1941-）给出了二维情形的另一证明。但是他的证明方法不能够推广到高维情形，原因是他使用了一个仅在二维成立的结论 —— 具有相同面积的多边形是剪刀全等的（scissors-congruent）。

波戈列夫也证明了所有三维正则完备平坦度量必是 度量。

但是在三维时， 测度可以取正值也可以取负值。

由 定义的正则度量是平坦的充要条件是
① 在平面上取值， ；
② 在锥上取值， ；
③ 在包含内点的锥上取值， 。

波戈列夫证明了，三维时的任意完备连续平坦度量是正则 度量的极限，且在任何紧集上是一致收敛的。他把这样的度量称为广义 度量（generalized sigma metrics）。

因此，波戈列夫证明了，在三维时任意完备连续平坦度量都是广义下的 度量。

5、李的连续变换群概念 —— 基于无需假设定义群的函数的可微性

李利用连续变换群的概念，建立了一组几何公理，同时从他的群论观点出发，证明了这组公理对构造几何来说足矣。但在其理论的基础部分，李假设定义群的函数是可微的，因此在李的研究中还遗留了一个没有解决的问题：与作为几何公理的问题有关，可微性假设是否是必要的？它有没有可能就是群概念本身和其它公理的推论？

这个问题以及和算术公理有关的其它问题，给我们带来了如下更一般的问题：如果在我们的研究中不要假设函数的可微性，那么李的连续变换群概念能走多远？

李定义有限连续变换群为变换系统：

该系统具有如下性质，即从系统中任取两个变换

它们相继作用产生的变换也属于这个系统，从而也可表示为

这里 是关于 和 的函数。这样，群的性质就由一组函数方程加以充分表达，同时它本身没有对函数 和 加以额外的限制。李在进一步处理这些函数方程时，即导出著名的基本微分方程时，他必须假设定义群的函数的连续性和可微性。

关于连续性，这个假设目前还是会保留 —— 仅在几何和算术的应用中，在这里问题中函数的连续性是连续公理的推论。另一方面，定义群的函数的可微性包含另一个假设 —— 在几何公理里以相当生硬和复杂的形式来表达。因此就产生了问题：是否可以通过引入合适的新变量和新参数，变换群总可以变换成其上的定义函数是可微的某个变换群；或者，至少借助某种简单的假设，变换群可能变换成容许进行李方法的群。根据李所指出（1893）但首先是舒尔（Schur）证明的定理（1893），当群是可迁的（transitive）且假设定义群的函数有一阶导数和某些二阶导数时，总可以归结为解析群。

对无限群，我相信相应问题的研究也是很有意义的。此外，我们进入了广泛而有趣的函数方程领域，迄今为止，这些方程组通常仅在所涉及函数的可微性的假设下加以研究。特别是阿贝尔以如此多的独创性处理的函数方程、差分方程、和数学文献中出现的其他方程，它们并不直接涉及任何有关函数必须是可微的要求。在变分学中寻找某些存在性证明时，我直接遇到了这样的问题：从差分方程的存在性来证明所考虑的函数的可微性。那么，在这些情形下，问题就出现了：在可微函数情形下的结论，在不要可微性这个假设后，经过适当修改，我们可以在多大程度上仍旧保持正确？
可以进一步指出，闵可夫斯基在他的上述著作《数的几何》中，从函数方程

出发，由此实际上成功地证明了问题中所出现的函数存在某些微分商。

另一方面，我想强调这样一个事实，即确实存在解析的函数方程，其唯一解是不可微函数。比如，可以构造一个单值、连续的但不可微的函数 ，它表示两个函数方程

的唯一解，这里 和 是实数，对所有的实值 函数 是正则解析单值函数。这些函数是通过最简单的方法而获得的 —— 借助于三角级数的方法，类似于博雷尔用于构造某个解析偏微分方程的双周期非解析解所使用的方式（根据皮卡（Picard）最近的公告，1900）。

评论：

此问题可陈述如下：设 是欧几里得空间中开集 的开子集。假设连续映射 满足群的结合律公理。这是否意味着 必须是光滑的（差一个连续参数化）？

1933 年，冯・诺依曼（John von Neumann, 1903-1957）解决了紧群情形。1934 年，庞特里亚金（Lev Semyonovich Pontryagin, 1908-1988）解决了局部紧阿贝尔群情形。

最终，这个问题由蒙哥马利（Deane Montgomery, 1909-1992）- 齐平（Leo Zippin, 1905-1995）和格里森（Andrew Mattei Gleason, 1921-2008）在 1950 中解决。

更强的版本称为希尔伯特・史密斯猜想（Hilbert-Smith conjecture）—— 我们考虑变换群而不是抽象群 —— 仍旧没有得到解决。2011 年，帕登（John Vincent Pardon, 1989-）解决了三维情形。

1953 年，山边英彦（Hidehiko Yamabe, 1923-1960）证明了每个局部紧连通群 都是李群序列的射影极限（projective limit）；进一步，如果 没有小子群（no small subgroup）—— 即存在单位元的邻域使得除了单位元本身外它不包含其它子群（比如循环群满足 “没有小子群” 的条件，但是作为加法群的 - 进整数群 不满足 “没有小子群” 的条件），那么 必是李群。

1931 年，纽曼（Maxwell Herman Alexander Newman, 1897-1984）在文章《空间周期变换的一个定理》（A theorem of periodic transformations of spaces）中证明了，有限群在流形上的任何有效作用不可能有一致小的轨道，除非这个群是平凡的。

这个结果加上前一页里山边英彦的定理，我们可以证明，如果紧李群 有效作用在流形上，且 的每个元素都是有限阶的，那么 必是有限群。

从这里可推出希尔伯特 - 史密斯猜想和下面问题等价：
不存在 - 进群（ -adic group）在流形上的有效作用。

1952 年，宾（R. H. Bing, 1914-1986）在美国《数学年刊》发表的论文《三维球面与两个实心角球面的和之间的同胚》（A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres）中找到一个二阶群 在 上的拓扑作用，使得不动点集为一个角球面（horned sphere）。

所以即便知道 是李群而 是流形，我们还是需要找到 “合理的条件” 来确保群作用是光滑变换群作用。

对紧光滑变换群，存在 上的完备黎曼度量使得 的作用由等距映射给出。最好可以找到使局部紧群成为完备黎曼流形的等距群的条件。

希尔伯特考虑了抽象群，但群通常以变换群的形式出现。因此，除了群 本身之外，我们还需要考虑映射

其满足群公理。就像帕登证明的那样，当 的维数不超过三时，只要 满足较少的条件，我们可以求解希尔伯特第 5 问题。

人们感兴趣的是想知道高维的情形。

如果 的光滑结构变成其它结构，比如简单结构（simple structure），此时有很多有趣的问题。

取一个简单结构，例如图 ，点和边把他们连起来。考虑由保持 图结构的双射 所构成的集合，即双射 满足： 把点映射点， 。

这样的映射构成了群 ，因此我们考虑商图 ： 中的每点 是 作用在 的轨道（orbit） 。

但是，一个自然图结构（natural graph structure）是要求映射

是好的图映射（good graph map）（特别地，在有限群上定义了哪些可能的图结构，使得乘法与图结构相容；我们需要处理有向图（directed graph）情况；这些图结构的上同调群是什么？），以及存在好的纤维映射（good fibering map）

这里 表示 在 上的轨道，而 是保持轨道 的子群。

如果固定点 ，那么由以 为基点的 中的圈所构成的群在 （ 的自守群）上有表示。

6、物理公理的数学处理

对几何基础的研究表明了以下问题：通过公理，以同样的方式来研究那些数学起着重要作用的物理科学；排在首位的是概率论和力学。

至于概率论的公理，依我看来，他们的逻辑研究应该和数学物理中，特别是在气体动力学理论中，均值方法的严格和令人满意的发展相结合。

物理学家对力学基础的重要研究就在眼前：我指的是马赫（Mach, 1889）、赫兹（Hertz, 1894）、玻尔兹曼（Boltzmann, 1897）和沃尔克曼（Volkmann, 1900）的著作。因此，数学家们也开始讨论力学的基础是非常可取的。因此，玻尔兹曼关于力学原理的工作提出了在数学上发展极限过程的问题，那里只是指出了从原子论观点到连续体运动定律的问题。相反，人们可能会尝试通过一个极限过程从公理系统中推导出刚体运动定律，这取决于连续填充整个空间的的介质的连续变化条件，这些条件由参数确定。因此，关于不同公理系统的等价性问题总是具有极大的理论意义。

如果几何要作为处理物理公理的模型，我们将首先尝试用少量的公理来包括尽可能多的物理现象，然后通过相邻的新公理来逐渐得出更特殊的理论。同时，李的细分原理或许可以从无限变换群的深刻理论中推导出来。数学家不仅要考虑那些接近现实的理论，而且要像几何一样，考虑所有逻辑上可能的理论。他必须时刻保持警惕，以便对从假定的公理系统中得出的所有结论进行全面调查。

此外，数学家有责任在每个情形下精确地检验新公理是否与之前的公理兼容。物理学家，随着他的理论的发展，常常发现自己被他的实验结果所迫，而他却完全依靠这些实验或某种物理直觉来判断新假设与旧公理的相容性，这种做法在理论的严格逻辑构建中是不可接受的。在我看来，所有假设相容性的证明也很重要，因为获得每个证明的努力总是迫使我们最有效地、精确地表述公理。

评论：

在希尔伯特时代，概率论并不严格，大概介于物理和哲学间。但是到了上世纪三十年代，概率论成为严格的数学。

当时的力学主要是古典力学和统计力学。分子学已经开始出现，希尔伯特期望用原子物理来推导流体力学等方程。由离散到连续的相容性（其实黎曼已经注意到这个问题了），希尔伯特说：“在我看来，所有假设的相容性所期望的证明也很重要。”

广义相对论和量子力学两门伟大而 “正确” 的科学，却不相容，二十世纪后期吸引了很多学者去克服这些困难，到目前为止还没有成功。它们之间相容性的这个问题是二十一世纪数学物理最重要的问题。

量子场论的应用成为一门极为有效的科学，但是基础不严格，亟待澄清。

二十世纪初期，希尔伯特、外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955）、冯・诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）都做了极其重要的工作。

希尔伯特对第 6 问题的贡献总结在外尔 1944 年的文章《大卫・希尔伯特和他的数学工作》（David Hilbert and his mathematical work）里。

外尔说：“早在 1909 年闵可夫斯基去世之前，希尔伯特就开始与他的朋友密切合作对理论物理进行系统的研究，而他的朋友一直与邻近的科学保持着联系。闵可夫斯基关于广义相对论的工作是这些联合研究的第一个成果。希尔伯特多年来继续这些研究，并在 1910 年至 1930 年间经常就物理学主题进行演讲和举办研讨会。他非常享受开阔的视野以及与物理学家的接触，他可以在自己的领域里遇到他们。然而收获却很难与他在纯数学方面的成就相比。物理学家必须考虑的实验事实的迷宫太多，它们的扩展太快，它们的方面和相对重量变化太大，以至于公理化方法无法找到足够牢固的立足点，除了我们物理知识中彻底巩固的部分。像爱因斯坦和尼尔斯・玻尔这样的人，通过不同于数学家的经验和想象力，在黑暗中摸索着广义相对论或原子结构的概念，尽管毫无问，数学是一个重要的组成部分。因此，希尔伯特在物理学方面的宏伟计划从未成熟过。”

希尔伯特指出了概率论及其在气体动力学理论中的应用，这些已成为数学物理的深刻主题。到现在，它在上世纪的动力系统、遍历理论和统计力学的发展中发挥了强大的作用。希尔伯特关于李理论应用的评论在某种程度上可被视为在现代连续介质力学理论中的应用，其中李群在描述模型材料特性的本构方程的分类中发挥着重要作用。

希尔伯特一生的最后三十年都致力于物理学和数学的公理化（继不变量理论、代数数论、几何基础和积分方程理论之后）。

希尔伯特的工作包括：

1、玻尔兹曼方程和气体动力学理论（1912）
这个方程是关于概率密度 ，这里 是位置、 是速度、 是时间。从 出发，对速度微元积分我们分别得到概率密度的期望、速度以及热能密度。

显式地，玻尔兹曼方程可以写成

上面右端是关于 的二次泛函 —— 涉及速度的积分以及指定一对粒子之间的力的函数。

该方程可以被视为给出了气体的统计模型，因为提供了气体描述的近似版本，其精确行为将由与两个体积力相互作用的大量粒子的统计力学给出。

希尔伯特对有正规解的问题很感兴趣。玻尔兹曼方程应该具有一类独特解，其中每个时刻的概率分布可以由一些宏观参数（例如密度、速度和热能密度）来完全刻画，这些参数的演化受到宏观连续介质力学某些部分的方程所控制。

动力学理论的一个重要问题是证明玻尔兹曼方程的通解对于大时间 来说是渐近到正规解的。

希尔伯特展示了如何通过假设辅助参数中的 的形式洛朗级数来导出一类正规解，该辅助参数以一次幂的倒数开始。逐项的确立等价于求解具有对称核的积分方程，这可以应用最近创建的积分方程理论。

他的想法影响了恩斯科格（David Enskog，1884-1947）和查普曼（Sydney Chapman，1888-1970）他们发展了传输系数（transport coefficients）的展开。这些结果对于气体动力学理论非常重要。

在二十世纪六十年代，对于小初值来说，希尔伯特的形式展开渐近到实际解。

2、辐射统计理论

希尔伯特感兴趣的是用公理化方法来处理基本辐射理论。他将基本辐射理论（elementary radiation theory）定义为：“… 辐射理论的现象学部分直接依赖于发射和吸收的概念，并最终形成与发射和吸收相关的基尔霍夫定律”。

该理论是恒星大气理论的基础；他没有涉及量子力学理论：著名的紫外线灾难是由黑体辐射的统计物理学引起的；该理论对后面的研究者并没有产生太大的影响。

3、广义相对论

希尔伯特试图统一引力、电磁和电子的理论。他的理论建立在米（Gustav Adolf Feodor Wilhelm Ludwig Mie，1868-1957）的想法之上。米对电子的存在很感兴趣；也从变分法中得出了他的理论，其中拉格朗日量取决于矢量势及其旋度；他根据狭义相对论构建了他的理论。

希尔伯特跟随爱因斯坦想法的发展，但他发现，使用数量曲率让拉格朗日函数依赖于时空度规，就可以推出引力方程。

4、量子力学的建立

1926 年至 1927 年的冬学期，希尔伯特与他的助手诺德海姆（Lothar Wolfgang Nordheim，1899-1985）和冯・诺依曼（John von Neumann，1903-1957）合作讲授新量子力学。希尔伯特试图提取一个数学方案，来涵盖海森堡（Werner Karl Heisenberg, 1901-1970）、玻恩（Max Born, 1882-1970）和约当（Ernst Pascual Jordan, 1902-1980）的矩阵力学，以及薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887-1961）的波动力学。

将算子与可观察量联系起来，希尔伯特还使用了他的跃迁幅度（transition amplitude）的概念。

用希尔伯特空间中的向量表示的状态替换跃迁幅度的轻微转变是由冯・诺依曼提出的，这导致了无界自伴算子的发展以及冯・诺依曼《量子力学之数学基础》（Mathematical foundations of quantum mechanics）一书的出版。

到目前为止，我们只考虑了有关数学科学基础的问题。事实上，对一门科学基础的研究总是特别有吸引力，而对这些基础的检验将永远是研究者的首要问题之一。魏尔斯特拉斯曾经说过：“永远要牢记的最终目标是对科学的基础有一个正确的理解。但是，要想在科学上取得任何进展，对特定问题的研究当然是必不可少的。” 事实上，透彻理解其特殊理论对于成功处理科学基础是必要的。只有对建筑物彻底和详细了解其用途的建筑师，才能为之奠定坚实的基础。因此，我们现在转向数学各个分支的特殊问题，第一考虑的算术和代数。

7、某些数的无理性和超越性

埃尔米特（Hermite）关于指数函数的算术定理及其由林德曼（Lindemann）推广的定理无疑得到了历代数学家的钦佩。因此，新的任务立即呈现出来，沿着这样的路径进一步向前探索，正如赫尔维茨（Hurwitz）在两篇有趣的论文《论某些超越函数的算术性质》（Ueber arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen）中所做的那样。因此，我想勾勒出一类问题，在我看来，这些问题应该按顺序加以讨论。某些在分析中很重要的特殊的超越函数，对某些代数变数取代数值，这在我看来特别了不起，值得深入研究。事实上，我们期望超越函数对代数变数也取超越值；而且众所周知，存在一类整超越函数，它们甚至对所有代数变数都具有代数值。但是，我们仍然认为，指数函数 很有可能，它显然对所有有理参数 都取代数值，另一方面，它总是对参数 的无理代数值取超越值。我们也可以给这个命题如下的几何形式：如果在等腰三角形中，底角与顶角的比值为代数数但不是有理数，那么底和腰之比总是超越数。尽管这个命题很简单，而且它与埃尔米特和林德曼所解决的问题相似，但我认为这个定理的证明非常难；下面命题的证明亦是如此：

对代数底数 和无理代数指数 ，（例如 或 ）是超越数或至少是无理数。

可以肯定的是，解决这些问题和类似问题必须使我们采用全新的方法，并对特殊的无理数和超越数的本质有新的见解。

评论：

1737 年，欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）证明了 的无理性。1760 年，兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728-1777）证明了 的无理性。

1934 年苏联数学家盖尔范德运用解析函数构造法，证明当 为虚二次无理数时 的超越性。次年德国数学家施耐德通过引入模函数方法，独立完成实数情形的证明。两人工作合并构成完整的盖尔范德–施耐德定理。

1934 年至 1935 年间，盖尔范德和施耐德解决了希尔伯特第七问题，推广了林德曼–魏尔斯特拉斯定理。

1966 年，贝克进一步给出盖尔范德–施耐德定理的有效估计。

精确命题为：若 是非 0、1 的代数数， 是虚二次无理代数数，则 是否是超越数。该命题可等价转换为代数数对数线性形式的超越性判定。

8、素数问题

最近，阿达玛（Hadamard）、德・拉・瓦利 - 普桑（de la Vallée Poussin）、冯・蒙戈尔特（von Mangoldt）等人在素数分布理论方面取得了重要进展。然而，为了完全解决黎曼的论文《论小于给定数值的素数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse）为我们提出的问题，仍然需要证明黎曼的一个极其重要的陈述的正确性，即由级数

定义的函数 的零点，除了众所周知的负整数外，全部具有实部 。一旦这个命题被成功证明，下一个问题就是更精确地检验黎曼的无穷级数，以此来估计小于给定数的素数个数，特别是确定小于数 的素数个数和 的对数积分之间的差是否实际上相当于 的阶不大于 的无穷大。此外，我们应该确定在计算素数个数时注意到的素数偶然凝聚的现象，是否真的是由黎曼公式中那些依赖于函数 的第一个复零点的项所导致的。

在对黎曼的素数公式进行了详尽的讨论之后，也许我们有一天可以尝试对哥德巴赫问题进行严格的求解，即是否每个（充分大的）整数都可以表示为两个正素数的和；为了进一步解决众所周知的问题 —— 是否存在无限多对差为 2 的素数对，甚至是更普遍的问题 —— 线性丢番图方程 （给定的整系数两两互素）是否总是可以有在素数解 和 。

但是，在我看来，以下问题似乎同样令人感兴趣，而且意义可能更广：将有理素数分布所得到的结果应用于给定数域 中理想素数的分布理论 —— 这个问题着眼于研究属于该域并由级数

所定义的函数 ，其中求和遍及给定域 里的所有理想 ， 表示理想 的模。

我可以再提一下数论中的三个特殊问题：第一个是关于互反律的，第二个是关于丢番图方程的，而第三个是关于二次型的。

评论：

希尔伯特在这个问题中问了几个与素数分布有关的问题，这些问题的解决主要是基于分析的手段。

最出名的问题是黎曼假设（Riemann hypothesis）。我们可以证明，如下定义的黎曼 - 函数

可解析延拓到整个复平面，并有平凡零点 等。

黎曼假设是说 的其它零点形如 ， 。

一般地，给定一个以适当的收敛速度趋向无穷大的实数列 ，我们可以构造一种 - 函数

当该数列为正整数集时，这个 - 函数被称为黎曼 - 函数。当 较大时，该级数收敛并定义了一个全纯函数。

1859 年，黎曼断言很有可能所有的根都是实的（他修正了黎曼 - 函数）。当然，人们希望对此有一个严格的证明。在黎曼去世时，在其论文中发现了一条注释，上面写着 “ 函数的这些性质是从它的表达式中推导出来的，但是，我没有能够成功地简化到足以让它发表。” 黎曼研究 - 函数及其零点的最初动机是它们出现在他关于 的显式公式中，这里 表示小于或等于给定数 的素数个数。素数围绕其预期位置的振荡幅度由 - 函数零点的实部控制。

冯・科赫（Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924）在 1901 年证明了黎曼假设蕴含了素数定理中误差的最佳可能上界：

他最著名的工作是分形几何里的科赫雪花（Koch snowflake）。

黎曼 - 函数可以推广到狄利克雷 - 级数，此时的黎曼假设变得非常重要 —— 它被称为广义黎曼假设（generalized Riemann hypothesis）。广义黎曼假设将假设推广到代数数域上的所有戴德金 - 函数（如果它是有理数的阿贝尔扩张，则成为一般化的黎曼假设）。

大黎曼假设（Grand Riemann hypothesis）—— 黎曼假设和广义黎曼假设的推广 —— 将黎曼假设推广到所有自守 - 函数，例如赫克（Hecke）特征型的梅林（Mellin）变换。

1924，阿廷（Emil Artin）引入了（二次）函数域上的全局 - 函数并猜测类似的黎曼假设 —— 亏格为 1 时由海塞证明而一般亏格则由外尔在 1948 年证明。大小为 （ 为奇数）的有限域上的二次特征的高斯和的绝对值为 ，这一事实实际上是函数域上的黎曼假设的一个特例。

1949 年，外尔对所有代数簇都做了类似的猜想，最后由德利涅（Pierre René, Viscount Deligne, 1944- ）在 1974 年给出证明。

对黎曼度量的拉普拉斯算子的特征值序列，我们可以类似地定义 - 函数。基于梅林变换的想法，这个函数与热核的迹的性态有关。可以证明 - 函数是定义在复平面之上的。外尔是首位使用热核性态来推导拉普拉斯算子特征值的渐近行为。

拉普拉斯算子可以作用在 - 次微分形式上，因此对每个 得到不同的 - 函数。这些 - 函数在 处的导数给出了关于 - 次微分形式的拉普拉斯算子行列式的对数的定

这些 - 函数在特定点的值的适当组合会给出流形的拓扑不变量，一个很好的例子是雷 - 辛格不变量（Ray-Singer invariant）。这些不变量来自阿蒂亚 - 辛格指标公式（Atiyah-Singer index formula）。

如果能找到所有可以通过此类 - 函数定义的拓扑不变量，那就再好不过了。

圆的 - 函数是标准的黎曼 - 函数。紧对称空间的 - 函数的性态与经典的 - 函数性态非常相似。

对局部对称空间，有塞尔伯格 - 函数（Selberg -function）。它们具有函数方程，以及用闭测地线长度表示的欧拉乘积。对带庞加莱度量的黎曼面，塞尔伯格（Atle Selberg, 1917-2007）证明了类似的黎曼假设。

这里有一个非常重要的猜想 —— 塞尔伯格猜想，即如果黎曼面由算术群定义，那么其第一个特征值不小于 。他本人在 1965 年证明了不小于 。

一个重要的问题是，对凯勒 - 爱因斯坦度量定义的 - 函数，是否也有相应的函数方程和黎曼假设？进一步，对一般的爱因斯坦流形，甚至对称空间或球面里的极小子流形，是否也有类似的性质？

这些 - 函数可能具有某些算术意义，如果是这样的话，代数结构的形变（deformation）或许会给出有趣的算术结构的形变。

希尔伯特对素数分布很感兴趣，他考虑了哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）和孪生素数猜想（twin prime conjecture）。

1742 年 6 月 7 日，普鲁士数学家哥德巴赫（Christian Goldbach, 1690-1764）在给欧拉的一封信中提出了哥德巴赫猜想：每个大于 2 的整数都是三个素数之和（当时哥德巴赫遵循了现已放弃的惯例，即将 1 视为质数）。哥德巴赫原始猜想的现代陈述：每个大于 5 的整数都是三个素数之和。

欧拉在 1742 年 6 月 30 日的回信中，提醒哥德巴赫他们之前的一次谈话。哥德巴赫在那次谈话中猜测：每个正偶数都可以写成两个素数之和。哥德巴赫这个猜想的现代陈述：每个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和。

欧拉在回信中说到：“我认为这是一个完全正确的定理，尽管我无法证明它。”

1924 年，哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）和利特伍德（John Edensor Littlewood, 1885-1977）在广义黎曼假设成立的前提下，证明了不满足哥德巴赫猜想的 以内的偶数的个数远小于 ，这里 是一个很小的数。

换句话说，在广义黎曼假设成立的前提下，哈代和利特伍德证明了几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。

维诺格拉多夫（Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983）在 1934 年引入了线性素变数三角和的概念，证明了三素数定理，即每个充分大的奇数都可以写成三个素数之和。

使用维诺格拉多夫的方法，丘达科夫（Nikolai Grigor'evich Chudakov，1904-1986）在 1937 年、范德科普特（Johannes Gaultherus van der Corput，1890-1975）在 1938 年和埃斯特曼（Theodor Estermann，1902-1991）在 1938 年，分别独立证明了几乎所有的偶数都可以写成两个素数之和。

1930 年，施尼尔曼（Lev Genrikhovich Schnirelmann, 1905-1938）证明了任何大于 1 的自然数都可以写成不超过 个素数之和，其中 是一个有效的可计算常数。他本人得到了 。

1966 年，陈景润（1933-1996）证明了每个充分大的偶数都可表示为 或 ，这里 、 和 都是素数。

结果以题为《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》（On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes）发表在 1966 年的《科学通报》（英文版）上。

详细证明以相同标题发表在 1973 年的《中国科学》上。

哥德巴赫分拆函数（Goldbach partition function） 是将每个偶数 与它可以表示为两个素数之和的方式个数相关联的函数，即

这里 是全体素数集。比如 ， 。 的图形看起来像一颗彗星，因此被称为哥德巴赫彗星（Goldbach's comet）。

希尔伯特也很关注孪生素数猜想（twin prime conjecture）。1849 年，德・波利尼亚克（Alphonse de Polignac，1826-1863）试问是否对每个正偶数 ，都存在无穷多个素数对 使得 。 的情形称为孪生素数猜想。

哈代 - 利特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture，1923）是孪生素数猜想的加强版，它提出了类似于素数定理的孪生素数分布定律。

令 表示满足如下条件的素数 的个数：

同时引入孪生素数常数

哈代和利特伍德猜测

1940 年，埃尔德什（Paul Erdős，1913-1996）证明了存在常数 和无穷多个素数 使得

这里 是 之后的下一个素数。1986 年，迈尔（Helmut Maier，1953-）证明了上述常数 可取 。2004 年，戈德斯顿（Daniel Alan Goldston，1954-）和耶尔迪里姆（Cem Yalçın Yıldırım，1961-）进一步把常数改进为 。

2005 年，戈德斯顿、平茨（János Pintz, 1950-）和耶尔迪里姆证明了 可取任意小。

如果假设埃利奥特（Peter D. T. A. Elliott, 1941-）- 哈伯斯塔姆（Heini Halberstam, 1926-2014）猜想（Elliott–Halberstam conjecture）成立，

他们证明了存在无穷多个 使得 中至少有两个是素数。

这样在 2013 年 4 月，张益唐（1955-）能够证明存在无穷多个素数对 使得

由陶哲轩（Terence Chi-Shen Tao, 1975-）发起的 Polymath Project，经过众人的努力，把上述上界改进到 246。不久之后，梅纳德（James Alexander Maynard, 1987-）给出了不同的方法来改进张益唐的结果。

9、任意数域中最一般互反律的证明

在任意数域上，当 表示奇素数时，以及当 是 2 的幂或奇素数的幂时，证明 次幂剩余的互反律。

我相信，这个定律以及证明它所必需的方法，将通过适当地推广我所发展的第 次单位根域理论（1897）和相对二次域理论（1898）而得到。

评论：

希尔伯特要求在一般代数数域中找到 阶范数剩余（norm residues）的最一般互反律，其中 是素数的幂。

互反律的想法可追溯到高斯（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），他给出了许多不同的证明。紧随其后的是爱森斯坦（Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823-1852）和库默尔（Ernst Eduard Kummer, 1810-1893）。

令 是代数域里的整环。如果 是 里的奇素理想（即它的剩余域的特征是奇的），那么勒让德符号（Legendre symbol） 定义为：

• 若 可解且 ，定义 ；
• 若 ，定义 ；
• 若 不可解，定义 ；

这些 共轭是剩余域 里的方程。因为剩余域的乘法群 是偶数阶的循环群， 可以写成函数 ，这里 是 上的函数，在零处消失，且是唯一的 2 阶特征。从中我们可以得到

因此作为 的函数，对固定的 ， 容易描述。

对偶问题：固定 ，但改变 ，寻找此时的二次互反律。

当 是标准的整数环时，高斯证明了欧拉的猜想 —— 即经典的二次互反律（quadratic reciprocity law）：

这就证明了 仅依赖于 的剩余类。

希尔伯特重新解释了这个互反律，同时将它推广到一般的代数域 上。为了重新解释，希尔伯特引入了范数剩余符号，称为希尔伯特符号（Hilbert symbol）：

这里 是域 在 处的完备化；其余情况则定义为 。

希尔伯特符号对所有 里的素数 都有定义，同时对使得 为实数域或复数域的无穷多个素数 亦可以定义。

希尔伯特证明了

1、对固定的 ，符号 关于 是对称的和双乘积的：

2、若 是奇数且 是 里不被 整除的整数，则

这里 是 出现在 的素分解中的指数。

3、对固定的 和 ，

根据性质 2 和 3，得到

这里 都是素数。

在十九世纪期间，某些特殊的 阶幂互反律（ -th power reciprocity law）被发现，这里 。

假设 包含 阶单位根的主根（primitive root）。对不被 整除的素理想 ，由 阶单位根构成的群 单射地映入 阶循环群 。此时我们定义在 处的 - 阶幂剩余符号（ -th power residue symbol）

当 是三次或四次单位根的域时，此时的经典三次或四次互反律可以用 来表示，这里 分别对应 或 。

对任意数域 和 ，希尔伯特想证明此时 - 阶幂剩余的互反律。

基于希尔伯特和韦伯（Weber）的工作，高木贞治（Teiji Takagi, 1875-1960）建立了数域的阿贝尔扩张的一般理论 —— 类域论（class field theory）。

对每个数域 ，都存在与之对应的伊代尔类群（idèle class group） ：定义为 的完备化 的乘法群的限制乘积与 的乘法群的商。

的每个有限素理想 确定了 的子集 ，称为 的类。 是 里均匀子（uniformizer）在 里的像集。

如果 是 的有限扩张，那么存在范数同态映射

使得映射

是 到 间的双射。

对每个 里的有限素理想 ， 在 中的分解方式完全取决于 里的像类 。高木贞治证明了阿贝尔群 和 是同构的。

希尔伯特问题被阿廷（Emil Artin, 1898-1962）部分地解决了，通过证明由他所引入的新的 级数是通常 级数的推广，他建立了阿廷互反律，该互反律处理了代数数域的阿贝尔扩展。

通常的 级数定义为

这里 。

阿廷引入了他的 级数：

这里 是 上伽罗瓦群的表示。

为确立他的 级数是通常的推广，阿廷需要互反律。他需要典则同构映射（这使得高木贞治的工作更加泛函化）：

对每个 的有限素理想 ，映射把 映到 “弗罗贝尼乌斯替换” 集合 。

当 阶单位根位于 中且 时， 本质上是 阶幂剩余符号 。阿廷的定理蕴含了对固定 ，值 仅依赖于 的类 。把这个依赖性显式地表达出来就得到了所有已知的互反律。

因此，这个可以视为任意域上的一般互反律。所以，高木贞治和阿廷完成了类域论的分类。

不久，海塞（Helmut Hasse, 1898-1979）推广了希尔伯特的范数剩余符号 到 ，这里 阶单位根在 里。

在 1930 年初期，海塞 - 布劳尔和诺特确定了数域上的布劳尔群和中心单代数的结构。

二战前，谢瓦利（Claude Chevalley, 1909-1984）引入伊代尔（idèle）和伊代尔类（idèle class），使公式更紧凑同时厘清了类域论的局部 - 全局方面。

二战后，霍克希尔德（Gerhard Paul Hochschild, 1915-2010）、中山正（Tadashi Nakayama, 1912-1964）和外尔把群上同调理论引入到类域论里。

泰特（John Torrence Tate, 1925-2019）证明了由基本类（fundamental class）定义的上积（cup product）给出了同构

这里 是任意有限伽罗瓦扩张 的伽罗瓦群。

对有限群来说，上同调群就是这些。同调群可解释为负维数的上同调群：

当 ，这就是互反律。这里 指的是上一页里的同构：

其中 解释为 的阿贝尔化（abelianization），而（在泰特意义下）等于 。

原因是 包含不动元素（mod 范数），而当 是交换群时， 。