Sarnak

生平

彼得・克莱夫・萨纳克（Peter Clive Sarnak，1953- ）是南非 - 美国籍数学家，出生于南非约翰内斯堡（Johannesburg）的一个犹太裔家庭。大约八岁时，Sarnak 随家人一同到以色列生活了两年，之后又回到南非。回到南非后，他进入了位于 Johannesburg 维多利亚公园的国王大卫卫学校就读。

中学时，学校的数学课对他来说很简单、没什么挑战性，因此他那时的主要精力都在国际象棋上。

作为国际象棋选手，Sarnak 参加过国家级和国际级比赛，并在南非的青少年和成年组比赛中都取得了不错的成绩，先成为南非青少年国际象棋冠军，然后获得罗得西亚冠军。

Sarnak 高中最后一年时告诉父亲，他要出国成为一名职业棋手。然而，他的父亲坚持让他先完成大学学业。

1971 年，萨纳克从大卫国王学校毕业，进入 Witwatersrand 大学（金山大学，又称威特沃特斯兰德大学），遵从父亲的建议学习物理学。大学第一年，Sarnak 便向老师抱怨说自己不喜欢物理实验，在老师的建议下，Sarnak 转向学习数学，这成了他数学生涯的开端。

与中学数学不同，大学数学不同的思考方式燃起了 Sarnak 对数学的兴趣：“最打动我的，是我在大学一年级学习数学时接触到的抽象思想；更具体地说，是那种通过概念性的思考，可以让一个问题的求解和一套理论的理解都变得完全清晰透明的力量。我记得，第一门抽象线性代数课程点燃了我的兴趣；还有一门拓扑课，也让我产生了强烈的愿望，想要去学习并理解更多的数学。”

本科时期令他印象很深的是一门由时任数学院院长 Sears 讲授的 Banach 代数课程：“我的一位老师 D. B. Sears（他是英国分析学家 E. C. Titchmarsh 为数不多的学生之一，研究方向是微分算子的谱理论）曾开设过一门关于 Gelfand 的 Banach 代数理论的课程。这门课的目的，在于展示这一优美理论的强大力量及其广泛应用，它给我留下了极其深刻的印象 —— 这是我第一次接触到现代数学的真正面貌。”

最终，Sarnak 被现代数学理论深深吸引，决定放弃最初成为职业棋手的目标，转为成为一名数学家。

本科期间，Sarnak 结识了日后的海伦・尼森鲍姆（Helen Nissenbaum，1954-）。她主攻哲学，之后同 Sarnak 一同赴美留学并在 1977 年结婚。两人育有三个女儿。

Helen 目前是 Cornell 大学的信息科学教授，因提出 “语境完整性（contextual integrity）” 而闻名。

1976 年，本科毕业的 Sarnak 离开南非，并到 Stanford 大学攻读博士学位。最初 Sarnak 想学习数理逻辑，于是他找了当时该方向的领军人物科恩（Paul Joseph Cohen，1934-2007）（1966 年 Fields 奖得主，证明了连续统假设、选择公理与 ZF 公理体系独立）做他的博士导师。

此时，Cohen 的兴趣已经脱离数理逻辑，他带着 Sarnak 一起研读 Selberg 数论方向的工作：“Paul Cohen 是我的博士导师，他对我的数学品味、知识、洞见与直觉都产生了极其重要的影响。他关于数学统一性的看法 —— 也就是一个人其实并不需要把自己局限在某一个狭小的子领域中 —— 给我留下了极深的印象。我和 Paul 一起研读了相当大一部分 Selberg 的著作，而我自己工作的核心，也在很大程度上是
由 Selberg 的思想所塑造并深受其影响的。”

学习 Selberg 工作的经历使得 zeta 函数、自守形式成为日后 Sarnak 研究的重点；同时得益于 Cohen 广泛的兴趣和研究风格，Sarnak 日后的研究也具有独特的直觉和视野，将谱分析、随机矩阵理论、自守形式和图论等看似迥异的领域编织在一起。

Atle Selberg(1917-2007)

1980 年，Sarnak 提交了题为《素测地线定理》（Prime geodesic theorem）的博士论文，并被授予博士学位。毕业后，Sarnak 曾在包括 New York 大学、Stanford 大学、Caltech 在内的多所大学担任研究员和教职。

1991 年，他入职 Princeton 大学。他于 1999 年成为普林斯顿高等研究院（IAS）的成员，并于 2007 年加入该研究院任教；目前他仍在 Princeton 大学和高等研究院担任教授。

Sarnak 的学术贡献不仅限于自身的研究。他在学校开设的解析数论课程备受好评，并于 2014 年获得 Princeton 大学的 Phi Beta Kappa 教学奖。
作为研究生导师，Sarnak 已指导过超 60 名博士生，他们中很多都成长为世界一流的数论、分析学家，其中还包括 2018 年的 Fields 奖得主文卡特什（Akshay Venkatesh，
1981- ）。

Sarnak 长期担任各类重要刊物、丛书的编委，其中包括 Ann of Math.、Compositio、Duke、GAFA 等等。

Sarnak 曾荣获 1998 年 Pólya 奖、2001 年 Ostrowski 奖、2003 年 Levi L Conant 奖、 2005 年 Cole 数论奖、2012 年 Lester R Ford 奖、2014 年 Wolf 奖、2019 年 Sylvester 奖章、以及 2024 年邵逸夫奖。他是 1990、1998 年 ICM 的受邀报告人。此外，他还拥有多所大学的荣誉学位，并于 2002 年当选为美国国家科学院院士和英国皇家学会会士。

贡献

一、素测地线定理（Prime geodesic theorem）与相关结果

Riemannian 流形上的测地线是几何中重要的研究对象。

对于一个双曲曲面 上的闭测地线 ，若其对应的同伦类

是基本群 的素元，则称 是一条素测地线（prime geodesic）。

素测地线可以看作素数在几何情形的类比。受经典素数定理启发，Sarnak 在他的博士论文中探究了素测地线的渐近分布。利用 Selberg 迹公式，Sarnak 得到了如下渐近公式：

其中 表示长度小于 的素测地线的个数， 为对数积分函数。

正如素数定理中的误差项与 Riemann-Zeta 函数有密切的联系，素测地线定理中误差项与曲面的 Selberg-Zeta 函数的零点分布、Laplace–Beltrami 算子特征值的分布等重要问题有着深刻联系，对误差项更精确的估计是当代数论、谱几何等方向的重要问题。

Sarnak 还证明了经典的 Chebotarev 密度定理在素测地线情形的类比。

在取 为模曲面时，素测地线的长度与实二次域的 regulator 密切相关，通过这一联系 Sarnak 还计算了并得到了实二次域类数的平均值公式。

二、- 函数的零点分布中的 Katz-Sarnak 哲学

- 函数的零点是数论中重要的研究对象。例如经典的 Riemann 猜想便断言 Riemann-Zeta 函数的所有非平凡零点均位于实部等于 给出的直线上。

除了研究单个 - 函数的零点，人们还关心一族 - 函数零点分布的统计行为。

受蒙哥马利（Peter Lawrence Montgomery，1947-2020）关于 Zeta 函数零点 “配对关联猜想”，以及 Odlyzko 的数值实验证实其符合随机矩阵理论（RMT）中的 Gaussian 酉系综（GUE）统计规律，基于前人结果和数值观察，Katz 与 Sarnak 提出： - 函数在 Conducter 趋于无穷时，它们在实轴附近零点的分布行为可以被某些特殊的随机矩阵的特征值分布描述。这一哲学被称为 - 函数的随机矩阵模型，亦或 Katz-Sarnak 哲学。

在他们的经典著作《随机矩阵、Frobenius 特征值和单值化》（Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy）中，Sarnak 与 Katz 系统地研究了函数域上的 - 函数与随机矩阵的关系。在书中，Katz-Sarnak 处理了两部分迥然不同的内容：

前一部分主要研究函数域上的 - 函数，主要运用来自代数几何的工具（例如应用 Deligne 关于 Weil 猜想的结果和 -adic 层单值群计算）；

第二部分则关于随机矩阵理论，他们研究了取值在经典群中极大紧子群的随机矩阵的特征值分布，以分析工具为主。

这两部分结合在一起，为他们的一般哲学提供了强力佐证。

函数域情形的 - 函数与数域情形一般来说差别很大。
Sarnak 还在后续与 Rudenick、Iwaniec、Iwaniec-Luo 等数学家合作，进一步推动这一哲学在更加困难的数域情形的研究。

例如，他们在假设 Riemann 猜想的前提下，证明了根数（root number）是 和 的模形式的 - 函数的零点分布分别对应于取值于偶正交群、奇正交群的随机矩阵模型。

三、量子唯一遍历性猜想（Quantum unique ergodicity conjecture）

这一猜想源于混沌系统的量子 / 经典对应关系。1991 年，彼时同在斯坦福大学的 Sarnak 与 Rudenick 接触到了一些关于混沌台球的奇怪数值模拟报告。他们从数值结果观察到，处于激发态的量子粒子可能会集中在对应经典粒子的周期性轨迹上。这种现象在物理文献中被称为 “疤痕（Scar）”。

Sarnak 和 Rudenick 在数学上严格的定义了 “疤痕”。随后，他们尝试在曲面情形计算出一些例子，却发现在负曲率时找不到这样的现象。

基于这一观察，他们提出了一个猜想：在某些足够混沌的系统中，例如考虑在负曲率曲面上的粒子，这些 “疤痕” 不会出现。

严格来说, 设 是一个有限体积的双曲流形, 取 Laplace-Beltrami 算子的特征函数 满足它们对应的特征值递增, 且 范数均为 1 。那么 Sarnak-Rudenick 的量子唯一遍历性猜想预测: 极限对 "足够好" 的测试函数 成立

林登斯特劳斯 (Elon Lindenstrauss, 1970-) 在 是算术曲面时证明了猜想, 这是他获得 2010 年 Fields 奖的重要原因。

四、Ramanujan 图（Ramanujan graph）的具体构造

扩展图（Expander graph）是一种具有强连通性质的稀疏图，可用边扩展性、顶点扩展性或谱扩展性三种方式来量化，在复杂性理论、构造伪随机性、纠错码、网络通讯等方面有许多应用。粗略的说，对于一个 - 正则图 ，若其邻接矩阵的绝对值第二大的特征值有一定的上界，则可以称该图具有良好的谱扩展性。出于应用，对于给定的 ，人们希望找到一族顶点数趋于无穷且具有良好谱扩展性的图。

利用源于数论的想法，Lubotzky-Phillips-Sarnak 于 1988 年构造了无穷多的 正则图，其中 是模 4 余 1 的素数，它们的邻接矩阵的绝对值第二大的特征值满足不等式

根据 Alon-Boppana 的结果，这一上界在渐近意义下是最优。

为了证明他们构造的图满足这一上界，Sarnak 与合作者使用了数论中的 Ramanujan 猜想已被证明的特殊情形。因此这类图被他们称为 Ramanujan 图 。这在当时是革命性的，此前人们对这类图的了解多来自于概率方法，人们只知道它们的存在性，但缺乏具体构造方法。

这一出人意料的论文是第一次具体地构造出一族存在具有最优扩张性质的扩张图。这一成果立即对理论计算机科学产生了影响，揭示了数论与其他方向的深刻联系。

五、关于 Möbius 函数（Möbius function）的 Sarnak 猜想

Möbius 函数 是数论中的重要函数。如果 是无平方因子数，即

则 Möbius 函数

而对于有平方因子的 ，定义 。

数 质因数个数的奇偶性是一个难以捉摸的量，它蕴含着大量信息，计算这个奇偶性的复杂度与将 进行质因数分解是同样困难的，从而可以认为 Möbius 函数作为 的函数会表现出很强的随机性。例如，Riemann 猜想的成立等价于阶数估计

对任意的 成立。

更一般地，人们期待对于 “低复杂度” 的有界函数 ，部分和

的不同项之间会产生抵消，导致部分和与期望不同。这种直观被称为 Möbius 随机性原理 。

2010 年左右 Sarnak 推广了这一观察。他猜测：对于紧度量空间 以及熵为 0 的连续映射 ，等式

对于 上任意连续函数 以及 成立。

当 是常值函数时，上述等式等价于素数定理。这一猜想（及其推广形式）与数论中其它重要猜想有很深的联系，是当代数论、动力系统的重要研究课题之一。

六、薄群与仿射筛法（Thin group and affine sieve method）

寻找素数一直是数论的核心主题，人们希望找到多项式函数 ，使得对于无穷多个整数 ， 都是素数。

例如， 就是这样一个函数。我们可以扩展这个问题，要求 几乎取素值，也就是说，对于无穷多个整数 ， 是有限个素数的乘积。

例如，孪生素数猜想等价于 对于无穷多个整数 的两个素数的乘积。

陈景润（1933-1996）曾用组合筛法证明对于无穷多个整数 ，该函数至多有 3 个素因子。

我们还可以限制 的取值范围，例如要求它们位于某个整数的稀疏子集中，然后考虑类似的问题。

Sarnak 率先在稀疏子集中寻找多项式的近似素值，这些稀疏子集是薄群（Thin group）的轨道。薄群是算术群（arithmetic group）的一类特殊子群：它既不太大（指它的余体积（covolume）无限），也不太小（指与算术群本身具有相同的 Zariski 闭包）。薄群在许多问题中自然出现。

例如，Apollonian 圆锥积（Apollonian circle packing）的对称群就是一个薄群。此外，在 Klein 群以及微分方程的单值群（monodromy group）中都能找到很多薄群的例子。

Sarnak 预见到可以利用薄群的有限商群的扩展性来生成殆素数（almost prime），因此发展了仿射筛法。

Sarnak 与 Bourgain 和 Gamburd 合作，利用一些薄群构造了扩展图。

这一构造基于 Sarnak 和 Xue 之前建立的有限线性群表示的最小维数与扩展图之间的关系。

对于给定整系数多元多项式函数，Sarnak 与 Bourgain 和 Gamburd 考虑了它在一个薄群轨道上的值何时为殆素数，他们得到了关于这些点的精确计数和等分布结果

Sarnak 与 Golsefidy 一起证明，在一些自然的假设下，一个整数多项式函数在薄群轨道的 Zariski 稠密子集中的值都是殆素数。

这一系列工作将组合数学和遍历数学的理论方法引入丢番图问题，产生了深远的影响。