Ramanujan
Ramanujan
生平
斯里尼瓦瑟・拉马努金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）于 1887 年出生在他祖母位于埃罗德的家中，埃罗德是距离马德拉斯（现称为钦奈）约 400 公里的小村庄。在 Ramanujan 一岁时，他的母亲带他到距离马德拉斯约 160 公里的库姆巴科南镇居住。他的父亲在库姆巴科南一家布商店担任文员。
Ramanujan 一岁半时，他的母亲生下了一个儿子萨达戈潘，但不幸的是，这个孩子在不到三个月后去世了。
1889 年，2 岁的 Ramanujan 感染了天花，但他幸运地康复了，而当时坦贾武尔地区的 4000 多人在那一年因天花去世。1891 年和 1894 年，他母亲又生了两个孩子，但这两个孩子都在一岁前去世了。
Ramanujan 快五岁时，进入库姆巴科南的一所小学，不过他上过几所不同的小学。
由于 Ramanujan 的父亲大部分时间都在工作，他的母亲负责照顾他，母子关系非常亲密。他从母亲那里学到了许多传统知识，学会了唱宗教歌曲，参加寺庙的祭祀仪式，并遵循婆罗门文化中特定的饮食习惯。
在小学时期，Ramanujan 表现出色。1897 年 11 月，10 岁的他通过了英语、泰米尔语、地理和算术的初等考试，并在该地区取得了最高分。
1898 年，11 岁的 Ramanujan 进入了镇高等中学，在那里他正式接触到数学。在镇高等学校，Ramanujan 在各科表现优异，展现出全方面的学习能力。
他借阅了一本由洛尼（Sydney Luxton Loney, 1860-1939）撰写的高级三角学书籍，并在 13 岁时掌握了其内容。他在数学考试中只用了一半时间完成，并显示出对几何学和无穷级数的熟悉。
1902 年，他学习了解三次方程的解法，并随后开发了自己解决四次方程的方法。
次年，由于不知道五次方程无法用代数方法求解，他尝试（当然失败了）解决五次方程。
这本书风格简洁，帮助 Ramanujan 自学数学，但也影响了他日后书写数学的方式，因为这是他唯一接触到的数学论证书写风格。书中包含定理、公式和简短的证明，还附有 19 世纪上半叶在欧洲学会期刊上发表的纯数学论文的索引。
该书出版于 1886 年，当 Ramanujan 使用时已经显得过时了。
到 1904 年，Ramanujan 已经开始进行深入的数学研究。他研究了级数
并将欧拉常数计算到了小数点后 15 位。他还开始研究伯努利数
凭借优异的学业表现，Ramanujan 获得了库姆巴科南政府学院的奖学金，并于 1904 年进入该校。然而，由于他越来越多的时间花在数学上，忽视了其他科目，次年他的奖学金未能续期。没了经济来源，他很快陷入困境，并在没有告知父母的情况下逃往距离马德拉斯约 650 公里的维沙卡帕特南。
他继续从事数学研究，这段时间他研究了超几何级数，并探讨了积分与级数之间的关系。后来他发现自己实际上是在研究椭圆函数。
1906 年，Ramanujan 前往马德拉斯，进入了帕查雅帕学院。他的目标是通过第一艺术考试，以便进入马德拉斯大学。他在帕查雅帕学院听课，但三个月后生病了。他在退学后参加了第一艺术考试，虽然数学科目及格，但其他科目不及格，因此未能通过考试，也无法进入马德拉斯大学。
在接下来的几年里，他继续独立发展自己的数学思想，除了 Carr 的书外，他对当时的研究课题几乎一无所知。
1908 年，Ramanujan 继续他的数学研究，特别是连分数和发散级数。此时他再次严重生病，并于 1909 年 4 月接受了手术，康复过程耗费了不少时间。
同年 7 月 14 日，在母亲的安排下，他与年幼的贾纳基（Janaki，1899-1994）结婚，按照当时的习俗，婚后 Janaki 继续留在娘家直到进入青春期才与 Ramanujan 共同生活。
Ramanujan 提出了大量等式，许多在之后得到了更深入的研究。
在手术后拉马努金开始寻找工作。1910 年，Ramanujan 遇到了印度数学学会的创始人、副征税官艾耶（V. Ramaswamy Aiyer，1871-1936）。希望在 Aiyer 所在的税务部门谋得一份工作，Ramanujan 向他展示了自己的数学笔记。Aiyer 后来回忆道：“我被笔记中的非凡数学成果深深打动。我不想通过安排他在税务部门最低级别的职位来埋没他的天才。”
Aiyer 给了 Ramanujan 推荐信，并将他介绍给在马德拉斯的数学家朋友们。他们中的一些人查看了 Ramanujan 的工作，并给了他介绍信，推荐他去见印度数学学会秘书拉奥（Raghunatha Rao Ramachandra Rao，1871-1936）。Rao 对 Ramanujan 的研究印象深刻，但怀疑这些成果是否是他自己独立完成的。Rao 同意给 Ramanujan 一次机会，并听取了他关于椭圆积分、超几何级数及其发散级数理论的讨论，最终 Rao 被他的才华所折服。
他在回忆中写道：“一个矮小、粗陋、发胖、没有刮胡子、衣着不太干净的人走了进来，手臂下夹着一本破旧的笔记本，唯一显眼的特征是他那闪亮的眼睛。他非常贫困…… 他打开了笔记本，开始解释他的一些发现。我立刻意识到他与众不同，但我的知识不够判断他所讲的是有道理还是无稽之谈…… 我问他需要什么。他说他需要一点生活费，好让他能够继续进行研究。”
在 Aiyer 的帮助下，Ramanujan 在印度数学协会发表了文章，提出一些问题和解决问题。他最早提的问题中包括求解以下式子的值：
他等了三刊（六个月）之后，自己给出了一个不完全的解答。在他的笔记里写下了这样一个式子，
Ramanujan 在印度数学协会发表的第一篇正式文章是《一些关于伯努利数的性质》（Some Properties of Bernoulli’s Numbers, 1911）。其中的一个性质，是伯努利数
此外，他还设计了一种基于前几个伯努利数来计算
Rao 建议他回到马德拉斯，并尝试为他安排奖学金，但未能成功。1912 年，Ramanujan 申请了马德拉斯港务局会计部门的职员职位。
在他的申请信中，他写道：“我通过了中学毕业考试，并学到了艺术学士学位课程，但由于一些不幸的情况，未能继续学业。然而，我将所有时间都投入到数学上，并在这个领域取得了进展。”
尽管他没有大学教育背景，Ramanujan 显然已经在马德拉斯的大学数学家中小有名气，因为他在申请信中附上了一封来自马德拉斯总统学院数学教授米德尔马斯（Edgar William Middlemast，1864-1915）的推荐信。Middlemast 毕业于剑桥大学圣约翰学院，他写道：“我强烈推荐这位申请人。他在数学方面有着非凡的才能，尤其擅长数论。他在计算方面有着天然的天赋，并且计算速度非常快。”
三周后，Ramanujan 得知自己被录用为会计文员，月薪 30 卢比。在工作中，Ramanujan 轻松快速地完成了分配的任务，利用空闲时间进行数学研究。Ramanujan 很幸运地遇到了一些在数学方面有培训背景的人。
事实上，马德拉斯港务局的首席会计师艾亚尔（S. Narayana Iyer）接受过数学培训，并于 1913 年发表了一篇关于 Ramanujan 工作的论文，题为《素数的分布》。
马德拉斯工程学院的土木工程教授格里菲斯（Griffith）也对 Ramanujan 的才能很感兴趣，他曾在伦敦大学学院接受教育，并认识那里的数学教授希尔（Micaiah John Muller Hill，1856-1929）。1912 年 11 月 12 日，他写信给希尔，寄去了 Ramanujan 的一些工作成果和他 1911 年关于伯努利数的论文副本。
Hill 评论说，Ramanujan 的论文充满了漏洞。他表示，尽管 Ramanujan“对数学有兴趣，并具备一定能力”，但缺乏必要的教育背景和数学基础，因此很难被数学界接受。虽然 Hill 并未提议接纳 Ramanujan 为学生，但他对 Ramanujan 的工作提供了详细而严肃的专业建议。
1913 年 1 月，Ramanujan 在看过哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）1910 年出版的《无穷的阶》（Orders of infinity）后，给 Hardy 写了一封信，自我介绍并介绍了他的工作：“我没有接受过大学教育，但我完成了普通的学校课程。离校后，我将闲暇时间用于数学研究。我没有走大学常规的正规课程，而是为自己开辟了一条新路。我对发散级数进行了特殊的研究，当地的数学家称我的成果为‘令人震惊’。”
由于 Ramanujan 是个不为人知的数学家，Hardy 最初将 Ramanujan 的九页数学手稿视为可能的骗局。
Hardy 认出了一些公式，但其他公式 “几乎让人难以置信”。
Hardy 发现的一些定理令他感到惊讶，特别是第 3 页底部的一个定理。Hardy 还对 Ramanujan 的一些关于无穷级数的工作印象深刻：
Hardy 与李特尔伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977）仔细研究了 Ramanujan 随信附上的一长串未证明的定理。与 Littlewood 讨论后，Hardy 得出结论，这些信件 “无疑是我收到的最令人惊叹的”，并且 Ramanujan 是一位 “最高水平的数学家，具备非凡的原创性和力量”。
1913 年 2 月 8 日，Hardy 回信给 Ramanujan，信中开头写道：“我对您的信件和您所陈述的定理非常感兴趣。不过，您应该理解，在我能够正确评估您所取得的成果之前，我必须看到您对其中一些断言的证明。您的成果大致可以分为三类：(1) 有一些结果已经为人所知，或很容易从已知定理中推导出来；(2) 有一些结果据我所知是新的且有趣，但更有趣的是其新奇性和表面上的难度，而不是其重要性；(3) 有一些结果似乎既新颖又重要……”
Ramanujan 对 Hardy 的回信非常高兴，并在再次写信时表示：“我在您身上找到了一个能同情我劳动的朋友…… 我已经在饥饿边缘了。为了保持我的头脑正常，我需要食物，这是我最关心的事情。您任何富有同情心的信件都会帮助我在这里获得一份奖学金，无论是来自大学还是政府。”
Ramanujan: "I have found a friend in you who views my labours sympathetically. ... I am already a half starving man. To preserve my brains I want food and this is my first consideration. Any sympathetic letter from you will be helpful to me here to get a scholarship either from the university of from the government."
为了补充 Hardy 的推荐，剑桥三一学院前数学讲师沃克（Gilbert Thomas Walker，1868-1958）审阅了 Ramanujan 的工作，表达了对他的赞叹，敦促 Ramanujan 在剑桥待一段时间。由于 Walker 的支持，Rao 邀请 Ramanujan 的同事 Iyer 参加数学研究委员会会议，讨论 “我们能为 Ramanujan 做些什么”。委员会同意为 Ramanujan 提供每月 75 卢比的研究奖学金，为期两年。在研究生期间，Ramanujan 继续向《印度数学学会杂志》提交论文。
1914 年，Hardy 将 Ramanujan 带到剑桥大学三一学院，开始了一段非凡的合作。促成这件事并不容易。Ramanujan 是一个正统的婆罗门教徒，严格素食主义者。
他的宗教信仰本应阻止他旅行，但在内维尔（Eric Harold Neville，1889-1961）的帮助下，这一问题得以解决。Neville 是 Hardy 在三一学院的同事，在印度讲学时曾与 Ramanujan 会面。
Ramanujan 于 1914 年 3 月 17 日从印度出发，除了三天晕船外，整个航程十分平稳。他于 1914 年 4 月 14 日抵达伦敦，Neville 在伦敦迎接他。四天后，他们前往剑桥，Ramanujan 在 Neville 的家中住了几周，直到 4 月 30 日搬进了三一学院的宿舍。尽管如此，从一开始，他的饮食问题就成为了困扰。第一次世界大战的爆发让获取特殊食品变得更加困难，Ramanujan 很快就出现了健康问题。
从一开始，Ramanujan 与 Hardy 的合作就带来了重要成果。然而，Hardy 对如何解决 Ramanujan 缺乏正规教育的问题感到不确定。他写道：“该如何教他现代数学呢？他的知识的局限性与其深度一样令人震惊。”
Littlewood 被邀请帮助 Ramanujan 学习严格的数学方法。然而这件事极其困难，因为每当提到某个被认为 Ramanujan 需要了解的事项时，Ramanujan 的反应总是一连串的原创想法，使得 Littlewood 几乎无法坚持最初的想法。
战争很快把 Littlewood 带到了战场，但 Hardy 留在剑桥继续与 Ramanujan 合作。即使在他在英国的第一个冬天，Ramanujan 就病倒了。1915 年 3 月，他写道由于冬季的气候原因他一直生病，五个月没有发表任何东西。
他在英国所发表的工作都是在英国完成的成果。他决定推迟发表他在印度期间的工作，许多成果他已经通过信件与 Hardy 交流，直到战争结束后才被发表。
1916 年 3 月 16 日，Ramanujan 获得了剑桥大学的研究型文学士学位（该学位从 1920 年起被称为博士学位）。Ramanujan 的论文题为《高度合成数》（Highly composite numbers），其中包括他在英国发表的七篇论文。
1917 年，Ramanujan 病情严重，医生们担心他可能不久于人世。到 9 月时，他的情况稍有好转，但大部分时间还是在各种疗养院中度过。
1918 年 2 月，Hardy 说：“大家一直不能确定他的病情。Shaw 发现了其他医生所不知道的情况，即 Ramanujan 大约四年前接受过一次手术。他最糟糕的推测是，这次手术实际上是为了切除被误诊的恶性肿瘤。然而，考虑到他的状况并没有比六个月前更糟，他现在已放弃这个推测 —— 其他医生从未支持过这个观点。自从放弃了最初的胃溃疡想法以来，结核病是被临时接受的诊断。像所有印度人一样，他对命运持有宿命论的态度，要让他好好照顾自己是非常困难的。”
1918 年 2 月 18 日，Ramanujan 当选为剑桥哲学学会会员，三天后，他获得了最为重要的荣誉 —— 他被提名为伦敦皇家学会的会员。提名他的是一长串杰出的数学家，包括 Hardy、麦克马洪（Percy MacMahon, 1854-1929）、Grace、拉摩尔（Joseph Larmor, 1857-1942）。布罗姆维奇（Thomas John I'Anson Bromwich, 1875-1929）、霍布森（Ernest William Hobson, 1856-1933）、贝克（Henry Frederick Baker, 1866-1956）、Littlewood、Nicholson、杨（William Henry Young, 1863-1942）。惠特克（Edmund Taylor Whittaker, 1873-1956）、福塞思（Andrew Russell Forsyth, 1858-1942）和怀特海德（Alfred North Whitehead, 1861-1947）。
1918 年 5 月 2 日，Ramanujan 正式当选为伦敦皇家学会会员，接着在 1918 年 10 月 10 日，他被选为剑桥大学三一学院的研究员，任期六年。
这些荣誉似乎帮助 Ramanujan 的健康略有改善，他重新投入到数学研究中。到 1918 年 11 月底，Ramanujan 的健康状况大为好转。
Hardy 在一封信中写道：“我想我们现在可以希望他已经度过了难关，走上了真正康复的道路。他的体温已经不再异常，而且体重增加了很多…… 他的非凡数学天赋从未有任何减退的迹象。虽然他在病中产出的成果较少，但质量仍然保持不变…… 他将以一种前所未有的科学声望回到印度，我相信印度将会视他为珍宝。他的自然简朴和谦逊从未被成功所影响 —— 实际上，我们唯一需要做的就是让他意识到他确实已经取得了成功。”
这些荣誉似乎帮助 Ramanujan 的健康略有改善。1918 年，他重新投入到研究中，Hardy 和 Ramanujan 深入研究了划分函数（Partition function）
并提出了一个发散渐近级数，该级数允许精确计算整数的划分数。
1937 年，拉德马赫（Hans Adolph Rademacher，1892-1969）改进了他们的公式，找到了一个精确的收敛级数解。
Ramanujan 和 Hardy 在这一领域的工作催生了一种强大的新方法，用于寻找渐近公式，这就是著名的圆法（circle method）。
1919 年 2 月 27 日，Ramanujan 乘船回到印度，并于 3 月 13 日抵达。然而，他的健康状况变得非常糟糕，尽管接受了治疗，Ramanujan 还是在次年去世。
在生命的最后一年，Ramanujan 发现了 拟
Ramanujan 留下了一些未发表的笔记本，里面充满了公式，数学家们至今仍在研究这些内容。沃森（George Neville Watson，1886-1965）在 1918 年至 1951 年间担任伯明翰大学纯数学梅森教授，他以《Ramanujan 陈述的定理》为题发表 14 篇论文，总共发表近 30 篇受 Ramanujan 工作启发的论文。
Hardy 将他所拥有的 Ramanujan 的大量手稿传给 Watson，其中一些是 1914 年之前写的，另一些则是 Ramanujan 在印度的最后一年写的。
贡献
Ramanujan 提出了大量公式，许多在之后得到了更深入的研究。Hardy 曾说，Ramanujan 的发现极为丰富，通常比最初看起来更加复杂。通过他的工作，许多新的研究方向被开启。例如，Ramanujan 的一些最引人注目的公式之一是用于计算
Ramanujan 的
取前两项则能得到准确到 14 位的小数值。
虽然有许多可能以 Ramanujan 命名的猜想，但其中一个在后来的工作中产生了巨大影响。特别是，这个猜想与 Weil 在代数几何中的猜想之间的联系。他提出了三个关于
这里
Ramanujan 猜想的三个性质如下：
是素数， 成立（即 Ramanujan 猜想）。
其中前两个被莫德尔（Louis Joel Mordell，1888-1972）在 1917 年证明。
而第三个性质涉及
1973 年，Ramanujan 猜想的第三部分作为德利涅（Pierre René Deligne, 1944-）证明 Weil 猜想的推论最终得以证明。
在他的论文《论某些算术函数》中，Ramanujan 定义了所谓的
模形式也是在 Serre、Deligne 等人的推进下得到重视，最终我们熟知的费马大定理的证明正是通过首先将椭圆曲线和模形式用这些伽罗瓦表示重新解释得以进行。
