Hardy

生平

戈弗雷・哈罗德・哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947），出生于英国克兰利。他的父亲艾萨克・哈代（Isaac Hardy）是克兰利学校（Cranleigh School）的财务主管和美术教师。他母亲索菲亚（Sophia）曾在林肯教师培训学校（Lincoln Teacher's Training School）任教。两位父母都非常聪明，具备一定的数学才能，但由于出身贫寒，没能接受大学教育。

Hardy 在克兰利学校就读至十二岁，并取得了优异的成绩。

Hardy 似乎没有像许多年轻数学家那样，对数学怀有浓厚的兴趣。他在自传中写道：“我不记得自己在少年时期对数学有任何激情，而我对数学家的职业的理解也相当平淡。我认为数学就是考试和奖学金的工具：我想要击败其他男孩，而数学似乎是让我最有把握做到这一点的途径。”

他在 1889 年赢得了温彻斯特公学（Winchester College）的奖学金，并于次年入学。温彻斯特公学是英国最优秀的数学训练学校。

虽然 Hardy 在那里的教育受益匪浅，但他并不喜欢学校里除学术以外的任何训练。值得注意的是，尽管他对球类运动尤其是板球有着浓厚的兴趣，但在温彻斯特公学他从未接受过任何体育训练。

在温彻斯特公学学习期间，Hardy 获得了剑桥大学三一学院（Trinity College, Cambridge）的公开奖学金，并于 1896 年入学。

在剑桥，Hardy 被分配给了最著名的导师罗伯特・拉姆齐・韦伯（Robert Rumsey Webb, 1850-1936）。他很快意识到，Webb 并不关心数学的本质，只关心应试技巧来取得考试中的最高分数（从 1865 年到 1909 年，他训练了 100 名学生登上了 Wrangler 前 10 名）。

Hardy 一度考虑转而学习历史。然而，他最终换了导师，改为洛夫（Augustus Edward Hough Love, 1863-1940）。

Hardy 在他自传中表达了对 Love 的感激之情：是 Love 教授第一次打开了我的眼界，他教会了我一些术语，并让我第一次认真理解了分析学的概念。但是我最感激的是他建议我阅读 Jordan 的《分析教程》（Cours d'analyse）；我永远不会忘记读到这本著作时的震撼，它是我们这一代许多数学家的启蒙之作，我第一次在阅读过程中明白了数学的真正意义。

约当（Marie Ennemond Camille Jordan，1838-1922），法国数学家。以他名字命名的有 Jordan 曲线定理（Jordan curve theorem）、Jordan 矩阵（Jordan matrix）、Jordan 测度（Jordan measure）等。著有《Cours d'analyses》。
线性代数中 Gauss-Jordan 消去法（Gauss-Jordan elimination）里的 Jordan 是 Wilhelm Jordan，Jordan 代数（Jordan algebra）里的 Jordan 是 Pascual Jordan。

1898 年，Hardy 在剑桥数学 Tripos 考试中取得了 “第四名优等生”（Fourth Wrangler）的成绩。尽管他认为这个评判系统非常愚蠢，但他仍然为未能夺冠而感到懊恼。

1900 年，Hardy 被选为三一学院的研究员，随后在 1901 年，他与詹姆斯・吉恩斯（James Hopwood Jeans, 1877-1946）共同获得了 “史密斯奖”。

部分史密斯奖获得者

Hardy 职业生涯的下一个阶段延续到 1911 年。正如伯克尔（Burkill）在人物传记中写道：“他撰写了许多关于级数和积分收敛性及相关主题的论文。虽然这些工作确立了他作为分析学家的声誉，但他在这一早期阶段对数学最重要的贡献是《纯数学教程》（A Course of Pure Mathematics, 1908）。这本书是第一本严谨的英文版关于数、函数、极限等内容的讲解，专为本科生编写，由此彻底改变了大学数学教学。”

Hardy 描述了这一时期的自己：“我写了很多东西…… 但几乎没有什么是重要的；能让我至今还能感到满意的论文不超过四五篇。”

值得注意的是，Hardy 是一个非常诚实的人，特别是在评价自己能力、优缺点时更是如此。

Hardy 的工作在 1911 年发生了重大转变，他开始了与
约翰・伊登斯尔・李特尔伍德（John Edensor Littlewood,
1885-1977）的合作，这段合作关系持续了 35 年。

接着，在 1913 年初，他收到了来自印度的拉马努金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）的第一封信，开启了他第二段重要的合作关系。到 1914 年第一次世界大战爆发时，Ramanujan 已经来到了剑桥，这在艰难的战争时期对 Hardy 来说是一种安慰。

Littlewood 离开剑桥，加入皇家炮兵团服役。Hardy 也志愿参战，但因健康原因被拒绝。然而，Hardy 对战争的看法使他与剑桥的大多数同事格格不入。

他对德国怀有深厚的尊敬：他对德国有着强烈的好感。毕竟，德国一直是 19 世纪重要的教育力量。对于东欧、俄罗斯和美国，德国的大学教授了他们何为科研。在大多数方面，德国文化，包括它的社会福利体系，都比他自己的文化更为高尚。Hardy 和罗素（Bertrand Arthur William Russell,1872-1970）一样，都认为这场战争不应该爆发。此外，出于对英国政治家的根深蒂固的不信任，他认为这场战争的错误更多在英国一方。

在剑桥深感不快的 Hardy，于 1919 年接受了牛津大学萨维尔几何学教授（Savilian Professor of Geometry）的职位。这段时期是他最快乐的时光，也是他与 Littlewood 作出最优秀数学成果的阶段。尽管这段合作期间，Littlewood 在剑桥，而 Hardy 在牛津，导致合作在实际操作上相当困难。正如 Hardy 在自传中所写：我在四十出头时状态最佳，那时我在牛津担任教授。

在剑桥期间，他选择不住在最好的房间里，Hilbert 甚至担心 Hardy 没有得到应有的待遇，写信给学院院长，指出 “英国最好的数学家” 应该住在最好的房间里。然而，Hardy 并不在意这些。他在 1924 至 1926 年期间担任科学工作者协会主席。那时，在政治立场分化严重的情况下，Hardy 对美国和苏联抱有同样的好感。他在 1928-29 学年赴普林斯顿交流。

尽管他在剑桥期间并不快乐，但 1931 年在霍布森（Hobson）退休后，Hardy 回到剑桥担任萨德莱尔（Sadleirian）数学教授。Hardy 回到剑桥有两个原因：一是他始终认为剑桥是英国数学的中心，Sadleirian 数学教授是英国数学界最重要的职位；二是他可以在剑桥学院保留自己的房间，而在牛津却无法做到。对于未婚的 Hardy 来说，这在他步入老年时具有特别的吸引力。

Hardy 的研究兴趣涵盖纯数学的多个领域 —— 丢番图分析（Diophantine analysis）、发散级数的求和、傅里叶级数（Fourier series）、黎曼 函数（Riemann zeta function）以及素数分布。他与 Littlewood 长久的合作产生了最高质量的数学成果。在这段合作中，Hardy 承认 Littlewood 在数学技术上的能力更强，但同时，Hardy 也展现了自己卓越的数学洞察力，并且能够将他们的研究成果以极其清晰的方式写成论文。

更为非凡的是 Hardy 与 Ramanujan 的合作。1913 年，Ramanujan 从印度寄给 Hardy 一份手稿，Hardy 立即识别出了其中的天才之处。在此之前，另外两位顶级数学家未能识别出 Ramanujan 的才华。Hardy 将 Ramanujan 带到了剑桥，并共同撰写了五篇极为重要的论文。

Hardy 是个天生的合作者，他不仅与 Littlewood 和 Ramanujan 合作过，还与蒂奇马什（Edward Charles Titchmarsh, 1899-1963）、英厄姆（Albert Edward Ingham, 1900-1967）、朗道（Edmund Georg Hermann Landau, 1877-1938）、波利亚（George Pólya，1887-1985）、赖特（Edward Maitland Wrigh，1906-2005）、罗格辛斯基（Werner Wolfgang Rogosinski，1894-1964）和里斯（Marcel Riesz，1886-1969）共同发表了许多论文。

除了数学之外，Hardy 唯一的热情便是板球。实际上，他的大部分生活都围绕板球展开，至少在板球赛季期间，他的一天通常是：早餐时阅读《泰晤士报》并研究板球比分，然后从上午 9 点到下午 1 点专注于数学研究。午饭后，他会步行到大学的板球场看比赛。傍晚时分，他缓步返回学院，享用晚餐，并在饭后喝一杯葡萄酒。当没有板球比赛时，他会通过《泰晤士报》阅读澳大利亚的板球比赛比分，下午则去打皇家网球（real tennis）。

Hardy 因其怪癖而闻名。他无法忍受拍照，已知的照片只有五张。他也讨厌镜子，进入旅馆房间的第一件事就是用毛巾把镜子盖住。他常玩一个有趣的游戏来 “愚弄上帝”（虽然他一生声称自己不信神）。

比如，他曾在前往丹麦的旅途中寄回一张明信片，声称自己已证明了黎曼猜想。他推测上帝不会允许船在回程时沉没而让他获得类似费马因 “最后定理” 而得到的名声。

1945 年二战结束时，Hardy 的健康迅速恶化。他渴望重新拥有创造力，因为那是他生活中唯一重要的东西，但他知道自己已无法恢复曾经的状态，这使他陷入深深的抑郁。

1946 年，他的身体状况变得极为虚弱，只能靠乘坐出租车出行，走几步就会气喘吁吁。1947 年初夏，Hardy 试图通过服用过量巴比妥类药物自杀，但未成功。之后，他决定静静等待死亡。他在某天早晨突然离世。

Hardy 一生获得了许多荣誉。1910 年，他被选为英国皇家学会（Royal Society）院士，并在 1920 年获得皇家奖章（Royal Medal），1940 年获得西尔维斯特奖章（Sylvester Medal），1947 年获得柯普利奖章（Copley Medal），这些奖项都是为了表彰他在纯数学多个领域的重要贡献。

他还曾两度担任伦敦数学学会主席，并在 1929 年获得该学会的德摩根奖章（De Morgan Medal）。

贡献

哈代 - 拉马努金渐近公式（Hardy-Ramanujan asymptotic formula）

哈代 - 拉马努金推导出了关于整数分拆数（即将一个数分解为若干整数之和的不同方法数）的渐近公式。这在数论中具有深远的意义。

素数分布

Hardy 和 Littlewood 在素数定理方面也做出了贡献，尤其是在证明与素数的渐近分布相关的命题上。并就素数提出了两个著名的 Hardy-Littlewood 猜想：

Hardy-Littlewood 第一猜想，也称为素数孪生猜想的推广形式。该猜想涉及了与素数配对的渐近公式。

Hardy-Littlewood 第二猜想是指：

对所有大于等于 2 的整数成立。这里 是素数计数函数。

积分形式的哈代不等式

如果 是非负可测函数，以及 ，则

哈代–李特尔伍德极大算子（Hardy–Littlewood maximal operator）

是一个在实分析和调和分析中具有重要意义的非线性算子。给定局部可积函数 ，极大函数定义为：

则有如下不等式（Hardy–Littlewood maximal inequality）：

哈代空间（Hardy space）

Hardy 在复分析中研究了与复平面单位圆上的函数有关的一类函数空间，这些空间现在被称为 “哈代空间”，在傅里叶分析和算子理论中具有重要作用。

在单位圆盘上的哈代空间 （ ）定义为所有满足如下不等式的全纯函数 ：

哈代 - 温伯格原理

Hardy 对遗传学也有贡献，著名的哈代 - 温伯格原理（Hardy-Weinberg principle），就是 Hardy 的板球友向他请教孟德尔遗传理论的结果。哈代 - 温伯格原理指出，在没有其他进化影响的情况下，一个群体中的等位基因频率和基因型频率将从一代到下一代保持不变。这些影响包括遗传漂变、配偶选择、正向交配、自然选择、性选择、突变、基因流动、减数驱动、遗传搭车效应、群体瓶颈效应、奠基者效应、近亲繁殖和远亲繁殖衰退。