Littlewood

Littlewood

约翰・埃德森・李特尔伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977），出生于英国罗切斯特。他的父母是 Edward Thornton Littlewood 和 Sylvia Maud Ackland，他的父亲也是一位数学家。Edward 和 Sylvia 共有三个儿子，第二个儿子 Martin Wentworth Littlewood 后来学习医学，而第三个儿子不幸在八岁时从桥上掉入湖中溺亡。

当 Littlewood 七岁时，他的父亲面临两个职业选择：一个是剑桥 Magdalene 学院的奖学金，另一个是南非温伯格一所新学校的校长职位。他选择了后者，于 1892 年全家前往南非。

Littlewood 后来在回忆里写道：“我们在剑桥的生活会截然不同…… 大学教授的孩子会自信心十足…… 不过我的童年在群山、大海和美丽的气候中度过，非常快乐。”

尽管南非的气候和风景宜人，Littlewood 在那里得到的教育质量却不佳。他的学校老师水平有限，数学教学更是让他困惑，以至于他在一次算术考试中不及格。尽管如此，他还是顺利进入了开普敦大学，但同样没有得到优质的教育。

他的父亲很快意识到开普敦大学并不能帮助儿子的数学才能得到发展，于是 Littlewood 的父母决定让他回到英国。他一生中大部分时间都饱受抑郁症困扰，这始于他在学校时期，或许也加剧了他在南非教育系统中的不顺利经历。

1900 年，15 岁的 Littlewood 返回英国，进入伦敦的圣保罗学校。他非常幸运，在那里遇到了一位优秀的数学教师弗朗西斯・索尔比・麦考利（Francis Sowerby Macaulay，1862-1937），并且在 1902 年 12 月获得了剑桥奖学金。

1903 年 10 月，Littlewood 顺利进入剑桥大学三一学院。数学对他当时而言仿佛是游戏，他在回忆中写道：“要争取 Senior Wrangler（首席 Wrangler）称号，必须花三分之二的时间练习如何在有限的时间内解决难题…… 我并不认为自己受到什么高尚的挫折。我随遇而安；我们玩的游戏对我来说得心应手，甚至在精巧的技巧中感受到一种满足感。”

他的导师是沃尔特・威廉・劳斯・鲍尔（Walter William Rouse Ball，1850-1925），一本著名的数学科普书籍《数学娱乐和随笔》（Mathematical recreations and essays，1892）的作者。Littlewood 在剑桥一阶段的学习中获得了并列第一，1906 年完成了二阶段的学习，并在导师欧内斯特・威廉・巴恩斯（Ernest William Barnes，1874-1953）的指导下开始研究。

Littlewood 很快解决了 Barnes 给他的第一个问题，接下来 Barnes 把黎曼猜想作为他的研究课题。Littlewood 证明了如果黎曼假设为真，那么素数定理成立，并得出了误差项。凭借这项工作，他获得了三一学院的研究员资格。然而，黎曼假设与素数定理之间的联系在欧洲大陆已为人所知。

他后来在其书《数学家的杂记》（A Mathematician's miscellany）中写道，自己重新发现这一结果的过程表明当时英国数学界的孤立性，并没有带来正面的影响。

亨利・彼得・弗朗西斯・斯温纳顿 - 戴尔（Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer，1927-2018）在他导师 Littlewood 去世后于三一学院的悼词中说道：“这是一个好的例子，展示了当时英国数学的孤立和封闭，Barnes 居然认为将黎曼假设交给一位天才的研究生是合适的，而 Littlewood 也毫不犹豫地接受了这个挑战。” 当然 Littlewood 从不后悔挑战黎曼假设，他认为如果尝试一个难的问题，总会得出一些有趣的相关结果。

从 1907 年到 1910 年，Littlewood 在曼彻斯特大学担任 Richardson 讲师。1908 年他成为三一学院的研究员，并在这一年获得了史密斯奖。1910 年，他返回三一学院，接替了因种种原因而离职的阿尔弗雷德・诺斯・怀特海德（Alfred North Whitehead，1861-1947）的职位。

不久之后，至少从 1911 年，也有人认为在 1910 年，Littlewood 开始了他与 Hardy 的著名合作。

Littlewood 几乎所有的数学研究都集中在经典分析领域，但在这一领域，他涉足了惊人的多样主题，并在证明结果时采用了更为广泛的技术。

他与 Hardy 合作了 35 年，共同研究级数理论、黎曼 函数、不等式以及函数理论。他们的合作产生了一系列名为 Partitio numerorum 的论文，使用了 Hardy-Littlewood-Ramanujan 的分析方法。

在他们合作的这些年里，Littlewood 很少出现在剑桥以外的地方，甚至有人开玩笑说他是 Hardy 的 “虚构人物”。

真实的原因却令人感到遗憾，那就是前文提及的 Littlewood 长期受抑郁症的折磨。

在 1914 年，Littlewood 在解析数论领域发表了他的第一个成果《关于素数的分布》（Sur la distribution des nombres premiers），研究素数计数函数的误差项。如果 表示不超过 的素数的个数，那么素数定理表明 的增长速度与 一致，其中 是欧拉对数积分：

数值证据似乎暗示 对所有 成立。然而，Littlewood 证明了 会无限次地变号。

在 1923 年，他与 Hardy 提出了第一 Hardy-Littlewood 猜想（first Hardy-Littlewood conjecture），通过推广素数定理，给出了素 -tuple 的大小渐进公式。具体来说，设 是正的偶整数，使得序列

对任何素数都不形成完整的剩余类，并令 表示小于 且使得 都是素数的 的个数，那么

这里 表示 模 后不同剩余类的个数。当 和 时， 表示小于 的孪生素数的个数，此时 被称为孪生素数常数。

第二 Hardy-Littlewood 猜想（second Hardy-Littlewood conjecture）是说，

其中 指不超过 的素数的个数。

第二 Hardy-Littlewood 猜想的等价描述是从 到 的素数个数总是小于或等于从 到 的素数个数。

在猜想提出 50 年后，伊恩・理查兹（Ian Richards）在 1974 年的论文《关于素数的两个猜想的不相容性；关于使用计算机解决理论问题的讨论》（On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem）中证明了 Hardy-Littlewood 的两个猜想实际上是相互矛盾的。

目前，大多数人倾向于认为 Hardy - Littlewood 第一猜想是正确的。因此人们希望通过假定第一猜想的预测来找出第二猜想的反例。

然而直接的证明也十分困难：若第一猜想成立，那么违反第二猜想的 通常会非常大，例如当 时，反例的 可能在 到 之间。以目前的计算能力来看，验证这些范围的 似乎相当困难。

Littlewood 在分析领域还有很多其他的成果。他与 Hardy 提出了 Hardy - Littlewood 极大函数（Hardy-Littlewood maximal function），对于一个局部可积的函数 ，考虑它的对于所有半径的球内平均值的上界，

他与 Hardy 证明了 作为 到自身的次线性算子是有界的。即对 ， 和 ，存在常数 满足

从而对 ， 和 ，存在常数 满足

这些不等式在证明 Lebesgue 微分定理，以及 Fatou 关于全纯函数延拓定理的证明中被用到。

1915 年，Littlewood 当选为皇家学会院士，并于 1929 年获得皇家奖章。在第一次世界大战期间，Littlewood 服役于皇家驻军炮兵部队。由于他的贡献非常重要，为了让他满意，军队给予了他特别的优待，例如允许他在伦敦与朋友同住，并在穿军服时允许他携带一把雨伞。Littlewood 曾描述了他的战时工作。他提高了防空射程表的精确性，并改进了用于确定射程、飞行时间和在低仰角情况下的弹道末端下降角度的公式。

米尔恩（Edward Arthur Milne，1896-1950）描述了 Littlewood 如何发现了能够大大减少弹道轨迹计算工作量的技术。试验也随之进行，以验证 Littlewood 的预测是否在实际中成立。Milne 写道：“…… 所有相关人员既惊讶又欣喜地发现，炮弹爆炸的位置完全落在 Littlewood 预测的弹道上，在正确的时间标记处，且观测误差极小。”

在 1928 年，Littlewood 成为剑桥大学的 Rouse Ball 数学教授。这个职位是鲍尔（Walter William Rouse Ball，1850-1925）在 1925 年去世后，由他生前设立的捐赠基金会创立，而 Littlewood 是该职位的首任教授。

作为 Rouse Ball 教授，Littlewood 可以自由选择讲授的主题，而不再需要参与例行的教学任务。他很享受这一点，在分析领域内开设了大量自己感兴趣的课程。

Littlewood 在他 1944 年的函数理论讲座中提出了以下三个原则，大致可以表述为：

① 每一个（可测）集合几乎可以表示为有限个区间的和；

② 每一个（属于 类的）函数几乎是连续的；

③ 每一个收敛的函数序列几乎都是一致收敛的。

这些原则以 “几乎” 的概念描述了测度论和函数分析中的近似性质，揭示了可测集、函数和收敛性之间的深层联系。

在 1930 年代末，科学与工业研究部试图吸引纯数学家对非线性微分方程产生兴趣，这类方程对于无线电工程师和科学家很重要，因为它们描述了电路的行为。

即将到来的战争推动了这种需求，因此在 1938 年，无线电研究委员会请求英国纯数学家协助解决一些在无线电工程中出现的非线性微分方程问题。

Littlewood 与 Hardy 的学生玛丽・露西・卡特赖特（Mary Lucy Cartwright，1900-1998）合作，花了 20 年时间研究这类方程，如以荷兰物理学家巴尔塔萨・范德波尔（Balthasar van der Pol，1889-1959）命名的范德波尔方程（van der Pol's equation）。

这里 是标量。

McMurran 和 Tattersall 在后来讨论了这一合作，他们写道：“van der Pol 在 1920 和 1930 年代对非线性振荡器的实验激发了人们对非线性微分方程在无线电研究中应用的数学兴趣。这些问题吸引英国数学家 Cartwright 和 Littlewood 的关注，开启了一段持续超过十年的合作。Cartwright 和 Littlewood 对范德波尔方程及其广义形式的分析使他们探索了一些有趣的拓扑方法，包括开发一个用于保持平面同胚下连续体不变的固定点定理。他们是最早将庞加莱的变换理论应用于耗散系统分析的数学家之一。他们的研究是大参数理论中最早的工作之一，并对现代动力系统理论和混沌理论的发展产生了影响。

在 1950 年代，Littlewood 研究了 Littlewood 多项式 —— 所有系数均为 +1 或 -1 的多项式。他在 1966 年提出了一个问题：寻找 和 ，使得存在无限多 Littlewood 多项式满足

其中 属于单位圆。

2019 年，保罗・巴利斯特（Paul Balister）、贝拉・博洛巴斯（Béla Bollobás，1943-）、罗伯特・莫里斯（Robert Morris）、朱利安・萨哈斯拉布德（Julian Sahasrabudhe，1988-）、马里乌斯・蒂巴（Marius Tiba）构造出了一组无限的 Littlewood 多项式。

他在 1958 年获得皇家学会的科普利奖章（Copley Medal），以表彰他 “在分析的多个分支，包括 Tauberian 理论、黎曼 函数和非线性微分方程方面的杰出贡献”。

根据 Hardy 自己的评价，“Littlewood 是他所认识的最优秀的数学家。他是最有可能攻克真正深刻而艰难问题的人，没有其他人能在洞察力、技术和能力上达到他的水平。”

正如之前多次提到的，Littlewood 一生中必须应对的一个问题是抑郁症。自学校时期起，它就一直影响着他，并贯穿了他的职业生涯。

尽管没有证据表明这在任何方面损害了他的数学能力，鉴于他的成就，很难说它产生了负面影响，但它确实破坏了他的社交生活，使他更倾向于自我封闭。

尽管他的数学研究似乎并未受损，但抑郁症确实阻止了他参与需要见人的其他数学活动。例如，他在晚年能够自豪地说，他从未担任过任何委员会的秘书或主席。

实际上，尽管他在 1941-1943 年间担任伦敦数学学会主席，但他从未主持过会议，都是由副主席主持。

退休后，他接受了有效的抑郁症治疗，自 1957 年后，他更愿意接受访问同事的邀请。确实，在 1957 年后的十年里，他多次访问美国。

值得注意的是，他在与人会面方面的问题并不包括那些他熟悉的人，例如他在三一学院的晚宴上完全投入谈话，并非常享受在熟悉的环境中与人相处的时光。

退休多年后，他依旧不断产出优秀的数学成果，甚至在 90 岁时依然敏锐，能够提出新的深刻想法。

1970 年，他发表了一篇论文，其中写道，他解决了一个 “…… 曾一度令我陷入困境的问题，但我现在已克服克服了它。”

1977 年，Littlewood 在英国剑桥去世。