History of mathematics: von Neumann约翰·冯·诺依曼在数学与博弈论的多领域奠基性贡献

von Neumann

生平

约翰・冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）出生时名为 “Neumann János Lajos”，后来在美国，他被称为 Johnny。

von Neumann 的父亲马克思・诺伊曼（Max von Neumann）是一位顶尖的银行家，他在一个大家庭中长大，居住在匈牙利布达佩斯。小时候，他跟随家中聘请的德国和法国女家庭教师学习语言。

尽管这个家庭是犹太人，但 Max Neumann 并不遵守严格的宗教习俗，家中似乎融合了犹太和基督教的传统。

由于对当时繁荣的匈牙利经济作出了贡献，Max Neumann 有资格申请世袭头衔，并于 1913 年获得了 “Margittai” 的世袭称号，但他并未更改自己的姓氏。后来，他的儿子在名字中使用了德语形式 von Neumann，其中 “von” 表示这个头衔。

孩童时期的 von Neumann 展现出了惊人的记忆力。

Poundstone 在回忆中写道：“在六岁时，他就能够用古典希腊语和父亲开玩笑。Neumann 家有时会让 Johnny 展示他记忆电话簿的能力来招待客人。一位客人会随意选择电话簿中的某一页和某一栏，年幼的 Johnny 会看上几遍，然后把电话簿还给客人。他能够回答任何与此相关的问题（‘某某号码是谁的？’），或者按照顺序背出姓名、地址和电话号码。”

1914 年，von Neumann 进入路德的中学 Fasori Evangélikus Gimnázium 就读。Eugene Wigner 比 von Neumann 高一年级，很快就与他成为朋友。

虽然 von Neumann 的父亲坚持让他按照同龄人的年级正常上学，但也同意聘请私人教师对他进行高阶辅导。

十五岁时，von Neumann 开始在分析学家 Gábor Szegő 的指导下学习高等微积分。据 Szegő 的妻子回忆，俩人第一次见面时，von Neumann 展现出的数学天赋与思维速度令 Szegő 震惊不已，他回到家后甚至感动得热泪盈眶。

到了十九岁，von Neumann 已发表了两篇重要的数学论文。他的第一篇数学论文《关于某些最小多项式的零点位置》（On the position of zeroes of certain minimum polynomials）是与布达佩斯大学的助教费克特（Michael Fekete，1886-1957）共同撰写的，该论文于 1922 年发表。
第二篇给出了序数（ordinal numbers）的现代定义，取代了 Georg Cantor 的旧定义。完成中学学业后，他申请并获得了匈牙利全国性的数学奖 ——Eötvös Prize。

然而，Max Neumann 不希望儿子投身一个无法带来财富的学科，于是请冯・卡门（Theodore von Kármán，1881-1963）出面，与 von Neumann 交谈，劝他从商。
或许 von Kármán 并不是最合适的人选，不过最终他们达成妥协，让 von Neumann 在大学主修化学。

由于种种原因，对于犹太裔而言，匈牙利并不是一个友善的国家，而且布达佩斯大学对犹太学生人数有严格限制。即使有配额，von Neumann 的成绩依然足以在 1921 年赢得一个数学专业的名额，但他并没有去听课。相反，他在同一年还进入了柏林大学（University of Berlin）学习化学。von Neumann 在柏林大学学习化学至 1923 年，随后前往苏黎世（Zürich）。尽管他没有参加任何课程，仍在布达佩斯大学的数学考试中取得了优异成绩。

1926 年，von Neumann 在苏黎世高等工业学院（Technische Hochschule in Zürich）获得化学工程文凭。在苏黎世期间，他尽管主修化学，但依旧对数学抱有极大兴趣，并与当时在苏黎世的外尔（Hermann Weyl, 1885-1955）和波利亚（George Pólya, 1887-1985）保持学术交流。

某段时间，当 Weyl 离开苏黎世时，von Neumann 甚至代为讲授了他的课程。

Pólya 在采访中曾说道：“Johnny 是我唯一惧怕过的学生。如果我在课堂上提出了一个尚未解决的问题，通常一等下课，他就能拿着在纸片上匆匆写下的完整解答来找我。”

1926 年，von Neumann 在布达佩斯大学也获得了数学博士学位，他的博士论文是对康托尔集合论（Cantor's set theory）进行公理化研究。

20 岁时，他发表了一个对序数（ordinal numbers）的定义，至今仍在使用。

von Neumann 于 1926 年至 1929 年在柏林（Berlin）授课，1929 年至 1930 年在汉堡（Hamburg）授课。

他还获得了洛克菲勒基金会（Rockefeller Fellowship）的资助，得以在哥廷根大学（University of Göttingen）从事博士后研究，在希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）门下研究数学。

到了这个时候，von Neumann 已经在数学界声名鹊起：“二十多岁时，von Neumann 在数学界已是名声远播。学术会议上，人们会指着他称其为年轻天才。”

Hermann Weyl 回忆说，在 1926 至 1927 年的冬季学期，von Neumann、艾米・诺特（Emmy Noether, 1882-1935）和他常常在 “哥廷根寒冷潮湿的街道上” 边走边讨论超复数（hypercomplex numbers）体系及其表示。

维布伦（Oswald Veblen, 1880-1960）于 1929 年邀请 John von Neumann 前往普林斯顿（Princeton）讲授量子理论。von Neumann 回复说他会先处理一些个人事务，然后再动身前往普林斯顿；于是他先回到布达佩斯，与未婚妻玛丽埃塔・科韦西（Marietta Kovesi）成婚后，才前往美国。

1930 年，von Neumann 成为普林斯顿大学的客座讲师，并于 1931 年被任命为教授。

在 1930 至 1933 年间，von Neumann 在普林斯顿任教，但教学并不是他的强项之一：“他奔放的思维对天赋没那么高的学生而言实在难以跟上。他在仅占黑板一小部分的地方飞快地写下推导，然后在学生还没来得及抄写前就把它们擦掉了，这在当时很出名。”

然而，与之形成对比的是，他在解释物理中的复杂概念时却拥有出众的能力：“对于一个能够轻松应对复杂数学的人，他向外行解释结论时却能展现出惊人的清晰度。和他交谈后，人们常会觉得原来的问题其实简单而透明。”

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.
— John von Neumann

1933 年，他成为新成立的普林斯顿高等研究院（IAS）最初六位数学教授（亚历山大（James Waddell Alexander, 1888-1971）、爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）、莫尔斯（Marston Morse, 1892-1977）、Veblen、von Neumann 和 Weyl）之一，并一直在该研究院任职直到去世。

在刚到美国的头几年里，von Neumann 夏天仍会回到欧洲。1933 年之前，他依然在德国有学术职位，但纳粹上台后他就辞去了这些职位。

与许多政治难民不同，von Neumann 来到美国主要是因为他认为美国的学术职位前景比德国更好。

1935 年，von Neumann 和 Marietta 育有一个女儿 Marina，但他们的婚姻于 1937 年以离婚告终。第二年，他与同样来自布达佩斯的 Klára Dán 结婚。von Neumann 是在一次回欧洲时与她相识的。婚后，两人乘船前往美国，并在普林斯顿定居。在那里，von Neumann 过着与其他顶尖数学家不太一样的生活方式。他一直热衷于社交聚会：“von Neumann 对聚会和夜生活有种特别的喜好。早在德国任教时，他便是柏林歌舞表演（Cabaret）时代夜生活圈子中的常客。”

乌拉姆（Stanisław Marcin Ulam, 1909-1984）对 von Neumann 的研究工作作了总结。他写道：“在他早期的研究中，他不仅关注数学逻辑和集合论的公理化，同时也研究集合论本身，在测度论和实变函数论中取得了有趣的成果。正是在这段时期，他开始了关于量子理论的经典研究，尤其是量子理论的测量理论以及新的统计力学的数学基础。”

他的著作《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, 1932 年）为新的量子力学奠定了坚实的框架。

1929 年，von Neumann 在发表于《Mathematische Annalen》的一篇论文中引入了在弱算子拓扑下闭的、作用于 Hilbert 空间的有界线性算子自伴代数（self-adjoint algebras）。

卡迪森（Richard Vincent Kadison, 1925-2018）解释道：
“他对遍历理论（ergodic theory）、群表示以及量子力学的兴趣，为他认识到算子代数理论（operator algebras）是这一数学领域下一重要发展阶段起到了显著作用。”

当时他使用的术语是 “rings of operators”，而之后有些数学家称它们为 - 代数。1957 年，J Dixmier 在他著作《Algebras of operators in Hilbert space》中将它们称为 “von Neumann algebras”。

在 20 世纪 30 年代后期至 40 年代初，John von Neumann 与合作者 F J Murray 合作，奠定了研究 von Neumann 代数的基础，并在一系列具有重大影响的论文中系统展开了这一领域。

然而，人们更熟知的是 von Neumann 在各个不同科学领域都作出了多样化的研究成果。

正如 Ulam 在回忆中写的，他是这样走向博弈论的：

“von Neumann 对其他数学家已有成果的了解，以及他能从中看出的潜在可能性，着实令人惊叹。他的早期工作中，波莱尔（Félix Édouard Justin Émile Borel, 1871-1956）关于极小极大性质的一篇论文启发他发展…… 一些想法，最终在他的最具原创性的工作之一 —— 博弈论 —— 中结出了硕果。”

在博弈论中，von Neumann 证明了
极小极大定理（minimax theorem）。

他逐渐扩展在博弈论方面的研究，并与合作者摩根斯特恩（Oskar Morgenstern, 1902-1977）合著了经典著作《博弈论与经济行为》（Theory of games and Economic Behaviour）（1944）。

Ulam 继续写道：“库普曼（Bernard Osgood Koopman, 1900-1981）针对如何利用作用于函数空间的算子来处理经典力学问题的一些想法，激发了 von Neumann 给出第一个严格数学意义上的遍历定理证明。哈尔（Alfréd Haar, 1885-1933）在群上构造测度的方法，又激发了他对希尔伯特第五问题的出色部分解：在这一工作中，他证明了在紧群上引入解析参数的可能性。”

1930 年代中期，von Neumann 转向了应用数学的研究：

“30 年代中期，他对流体力学湍流问题产生了浓厚兴趣。当时他已经意识到，非线性偏微分方程背后隐藏着无数神秘之处。从二战开始，他致力流体力学方程与激波理论的研究。这些非线性方程所描述的现象在解析上极其困难，用现有方法连定性理解都很难实现。进行数值计算在他看来是获得对此类系统行为认识的最有前景的途径。这也促使他进一步研究如何借助电子设备进行全新的计算……”

John von Neumann 是计算机科学的先驱之一，为逻辑设计的发展作出了重大贡献。香农（Claude Shannon, 1916-2001）写道：“在他生命的最后几年里，von Neumann 相当大一部分时间都致力于研究自动机理论（automata theory）。对他而言，这个领域可以视为他早年对逻辑和证明论兴趣，与他在二战期间及战后对大型电子计算机的研究之间的一种综合。自动机理论本身融合了纯数学、应用数学以及其他科学门类，正好契合 von Neumann 博大精深的智慧。他带来了许多全新的洞见，并开辟了至少两个新的研究方向。”

他推动了元胞自动机（cellular automata）的理论研究，倡导使用 “比特” 作为计算机内存的度量单位，并在如何让不可靠的计算机元件输出可靠结果方面取得了突破。

二战期间以及战后，von Neumann 担任了多项与军方相关的顾问工作。他的贡献包括提出使用内爆法（implosion method）来使核燃料产生爆炸，并参与了氢弹的研制。

自 1940 年起，他一直是位于马里兰州阿伯丁试验场的弹道研究实验室（Ballistic Research Laboratories）科学顾问委员会的成员；1941 年至 1955 年，他是美国海军军械局（Navy Bureau of Ordnance）的成员；1943 年至 1955 年，他是洛斯阿拉莫斯科学实验室（Los Alamos Scientific Laboratory）的顾问；1950 年至 1955 年，他担任华盛顿特区武装部队特种武器项目（Armed Forces Special Weapons Project）的成员。

1955 年，艾森豪威尔（Dwight David Eisenhower, 1890-1969）总统任命他进入美国原子能委员会（Atomic Energy Commission），1956 年，当他已确诊患上无法治愈的癌症时，他依旧获得了该委员会的恩里科・费米奖（Enrico Fermi Award）。

Eugene Wigner 在回忆中写道 von Neumann 的去世：

“当 von Neumann 意识到自己不治之症时，他的逻辑让他不得不面对自己将不复存在、因而再也无法思考的事实…… 看着他在没有任何希望的情况下与自己认为不可避免但又无法接受的命运抗争，令人心碎。”

诺伊曼 1957 年因患癌症去世，年仅 53 岁。死后葬于新泽西州普林斯顿公墓

von Neumann 获得过两枚总统颁发的奖章：1947 年的功绩勋章（Medal for Merit）以及 1956 年的自由勋章（Medal for Freedom）。同样在 1956 年，他还获得了阿尔伯特・爱因斯坦纪念奖（Albert Einstein Commemorative Award）以及前文提到的恩里科・费米奖。

在数学、信息学有多个领域的国际奖项以 von Neumann 命名。月球背面的一个陨石坑和一颗小行星 22824 以纪念 von Neumann 而命名。

贡献

一、集合论

在 1925 年的博士论文中，John von Neumann 针对朴素集合论（Naive set theory）中 “自包含” 集合问题（Russell's paradox）提出了两项关键方案：
其一是，基础公理（axiom of foundation），
其二是，“类”（class）的概念。

von Neumann 通过基础公理提出了任何集合可以用一类方法构造（The axiom of foundation proposed that every set can be constructed from the bottom up in an ordered succession of steps by way of the Zermelo–Fraenkel principles），进而排除了 “集合属于自身” 的可能性，同时为了证明新引入的公理不会和已有公理产生矛盾， von Neumann 引入了 inner models 的概念作为证明工具。

在严格集合的公理化体系的同时，von Neumann 确立了序数（ordinal）与基数（cardinal）理论的优雅架构，并首次严格地阐述了运用超限归纳（transfinite induction）进行定义的原则，对现代集合论的发展影响深远。

二、冯・诺伊曼悖论（von Neumann paradox）

在 Hausdorff 悖论的基础上，巴拿赫（Stefan Banach, 1892-1945）与塔斯基（Alfred Tarski, 1901-1983）于 1924 年基于选择公理证明了著名的巴拿赫 - 塔斯基悖论（Banach-Tarski paradox）。

这个悖论是说，对于三维空间中的单位球，我们将它分割成有限的若干部分、…、，然后对每个运用刚体变换（旋转和平移）进行重新排列，最终可以组合成两个单位球。特别地，这里构造的每一个都是根据选择公理构造的不可测集。

巴拿赫 - 塔斯基 “悖论”：一个球可以分解和重新组合成两个大小和原来一样的球。

具体来说，我们选取一个由 2 个生成元生成的 “自由群”（free groups），并取一个十分特殊的分割（decomposition）。

我们将这个自由群对应于三维空间中有 2 个生成元的旋转群，然后通过选择公理，利用群的特殊分割对单位球进行分割。最终通过这一技巧得到这些不可测集经过重新组合后得到两个单位球。

上述技巧和悖论对于三维以上的情形都成立。但对于欧几里得平面（或者说圆盘）不成立。

von Neumann 在研究这个悖论时，提出了可均群（Amenable group）的概念，他发现三维以上情形之所以产生悖论，和这些空间的旋转群的非可均性（non-amenable）有关。

而对于圆盘的情形，在 1929 年，von Neumann 以有限块方式将圆盘分割后（成有限个不可测集），再用保面积的仿射变换（affine transformation）（不仅仅是平移或旋转）将这些不可测碎块重新组合成两个圆盘。

这主要基于在仿射变换群中寻找自由群的技巧。这一结果被称为冯・诺伊曼悖论（von Neumann paradox）。

三、证明论（Proof theory）

1927 年，von Neumann 在哥廷根已开始参与有关 “皮亚诺公理（Peano axioms）是否可推出初等算术” 的讨论（whether elementary arithmetic followed from Peano axioms）。

他在 Ackermann 的工作基础上，试图运用希尔伯特学派的 “有限主义（finistic）” 方法证明所谓的一阶算术的一致性（consistency of first-order arithmetic）。利用这一思想，他可以得到一部分的关于自然数算术的一致性。

1927 年后，von Neumann 仍然在试图利用证明论（proof theory）的方法来证明经典数学体系的一致性。

然而 1930 年 9 月，在第二届精确科学认识论会议（Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences）上，哥德尔（Kurt Friedrich Gödel, 1906-1978）公布了他的第一不完全性定理（First theorem of incompleteness）。

在此次会议上，von Neumann 建议 Gödel 将这一结果应用于 “不可判定的整数命题”（undecidable propositions about integers）。

不到一个月后，von Neumann 便致函 Gödel，指出了他定理的一个重要推论：一般的公理系统无法证明自身的一致性（the usual axiomatic systems are unable to demonstrate their own consistency）。

Gödel 回信称，他早已意识到这一结果（即后来称为 “第二不完全性定理”），并表示会寄去包含这两个定理的文章预印本，但最终并未发生。

von Neumann 在后续信件中明确承认了 Gödel 的优先发现权。

The first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure (i.e. an algorithm) is capable of proving all truths about the arithmetic of natural numbers. For any such consistent formal system, there will always be statements about natural numbers that are true, but that are unprovable within the system.

First theorem of incompleteness

不过 von Neumann 的证明方法与 Gödel 的并不相同，而且他认为第二不完全性定理对希尔伯特纲领造成了比 Gödel 设想的更严重的打击。

这项发现对 von Neumann 的数学严谨观造成了巨大冲击，他也因此停止了在数学基础与元数学（metamathematics）方向上的继续研究。

The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that the system cannot demonstrate its own consistency.

Second theorem of incompleteness

四、遍历理论（Ergodic theory）

1932 年，von Neumann 发表的一系列论文在遍历理论这一数学分支奠定了重要基础。遍历理论是数学的一个分支，研究确定性动力系统（deterministic dynamical systems）的统计性质；它是对遍历性的研究。

这里，“统计性质” 指的是通过沿着动力系统轨迹的各种函数的时间平均行为来表达的性质。

von Neumann 的遍历定理（Von Neumann’s ergodic theorem）指出，对于一个单参数酉群（one-parameter unitary group）作用在一个希尔伯特空间上，对于希尔伯特空间中的任意向量，极限

在希尔伯特范数（Hilbert Norm）定义的度量意义下存在，且极限是一个向量，且对所有都满足。

1932 年晚些时候，von Neumann 发表了另一篇具有影响力的论文，系统性地研究了遍历性。

他提出并证明了一个分解定理，表明对实数遍历的保持测度的作用（ergodic measure preserving actions of the real line）构成了构造任何测度保持作用（measure preserving actions）的基本元素（fundamental building blocks）。

他在这篇论文以及随后与哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）合作的另一篇论文中得到的一系列关键定理，对数学其他领域也有重要应用。

五、测度论（Measure theory）

在测度论中，有所谓的维欧几里得空间的 “测度问题（problem of measure）”，可以表述为：在的所有子集所构成的类上，是否存在一个正的（positive）、归一化（normalized）、不变（invariant）且可加（additive）的集合函数（set function）？

在之前 Hausdorff 和 Banach 的工作表明、时，上述问题的答案是存在。

而我们提到的 Banach-Tarski paradox 则表示上述问题在时答案是不存在。

von Neumann 的工作指出，“该问题本质上是一个与群论相关的问题”：能否存在这样一个测度，可以通过考察给定空间的变换群的性质来决定。

对于维度不超过 2 的情形，欧几里得群（Euclidean group）是可解群（solvable group），故答案为肯定；而对于更高维的情形，该群不可解，因此答案是否定。

在 von Neumann 的多篇论文中，他所使用的论证方法往往比结论本身更为重要。

为了给后来在算子代数中研究维数理论打下基础，von Neumann 利用 “有限分解等价”（equivalence by finite decomposition）的研究成果，将测度问题用函数的观点加以重新表述。

此外，von Neumann 还回应了 Haar 提出的关于实数轴上有界函数代数的疑问：whether there existed an algebra of all bounded functions on the real number line such that they form “a complete system of representatives of the classes of almost everywhere-equal measurable bounded functions”.

证明了 “完备表示几乎处处相等可测有界函数类”（"a complete system of representatives of the classes of almost everywhere-equal measurable bounded functions"）的存在性，并与斯通（Marshall Harvey Stone, 1903-1989）合作深入讨论了其推广及代数意义。

他不仅在分析测度分解方面提出了新方法，也通过函数平均值给出了适用于紧群的 Haar 测度唯一性新论证。

他在普林斯顿高等研究院讲授的测度论课程，更成为当时美国学术界研究该领域的核心材料。

六、拓扑群（Topological groups）

利用此前在测度论方面的研究成果，von Neumann 在拓扑群理论上也作出了若干贡献。

其开端是一篇关于群上近周期函数（almost periodic functions）的论文，von Neumann 在其中将 Bohr 对近似周期函数的研究推广到任意群。

他随后与博赫纳（Salomon Bochner, 1899-1982）合作的另一篇论文，则将近似周期性的理论进一步扩展到可取线性空间元素为值的函数。

1938 年, 因此项工作, von Neumann 获得了美国数学会颁发的博歇尔（Maxime Bôcher, 1867-1918）奖。

在 1933 年的一篇论文中，他利用新发现的 Haar 测度解决了 Hilbert 第五问题中针对紧群（compact groups）的部分。这一核心思想在数年前即已浮现：当时 von Neumann 发表了一篇关于线性变换群解析性质的论文，指出一般线性群（general linear group）的闭子群实际上是李群（Lie groups）。

Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen

这一结果后来被埃利・嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951）推广到任意李群，现称作闭子群定理（closed-subgroup theorem）——
If is a closed subgroup of a Lie group, then is an embedded Lie group with the smooth structure agreeing with the embedding。

七、泛函分析（Functional analysis）

von Neumann 首次从公理化角度给出了抽象 Hilbert 空间的定义：这是一个带有埃尔米特（Hermitian）内积的复向量空间，其对应范数既可分又完备（separable and complete）。

在同样的论文中，他也证明了先前只在特定情形下已知的 Cauchy–Schwarz 不等式的一般形式。

1929 年至 1932 年间，他又在三篇奠基性的论文中继续发展了 Hilbert 空间中算子的谱理论（spectral theory）。

这些工作最终汇编进他的著作《量子力学的数学基础》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）。与 Stone 和 Banach 在同一年出版的两本著作一起，它们是最早的 Hilbert 空间理论专著。

在此前他人的研究中，人们已发现仅靠序列（sequence）无法获得弱拓扑（weak topology）理论。von Neumann 是首位提出如何克服这一困难的方案的人，由此他首次定义了局部凸空间（locally convex spaces）和拓扑向量空间（topological vector spaces）。

此外，他当时还定义了诸如有界性（boundness）及全局有界性（total boundness）等几个拓扑性质，这些概念至今仍然十分重要。

von Neumann 发展上述理论的主要动机来源于量子力学：von Neumann 认识到必须将 Hermitian 算子的谱理论从有界情形推广到无界情形。

von Neumann 还在一篇论文中详细论述了：当时在谱理论中常用的 “无限矩阵” 方法不足以对 Hermitian 算子进行恰当表示。他在算子理论上的研究最终引领他创造了纯数学中最深远的发明之一 ——von Neumann 代数以及更一般的算子代数理论。

在此阶段，von Neumann 重新审视了自己在谱理论方面的研究，并在 “算子环”（rings of operators）领域进一步发展了相关思想。

他通过在 Hilbert 空间中使用 direct integrals 的手段，赋予了谱理论全新的几何解释，同时也在不变子空间问题上取得突破，却因为各种原因未能及时发表部分成果。

例如，他曾在 20 世纪 30 年代早期向阿隆沙因（Nachman Aronszajn, 1907-1980）和 K. T. Smith 透露，自己已证明了完全连续算子在 Hilbert 空间中必然存在适当的不变子空间（the existence of proper invariant subspaces for completely continuous operators in a Hilbert space）。

在与伊萨克・雅各布・勋伯格（Issac Jacob Schoenberg, 1903-1990）合作的过程中，von Neumann 对实数上的平移不变的 Hilbert 度量进行了完整分类。

在与恩斯特・帕斯夸尔・约当（Ernst Pascual Jordan, 1902-1980）的合作中，提出了酉不变范数（unitarily invariant norms）与对称规函数（symmetric gauge functions）的系统讨论，开启了对称算子理想（symmetric operator ideals）和对称算子空间（symmetric operator space）的研究。

在与罗伯特・沙顿（Robert Schatten, 1911-1977）合作时，开创了对核算子（nuclear operators）与 Banach 空间张量积的研究，引入并探讨了迹类算子（trace class operators）及其与紧算子和有界算子的对偶（duality）及预对偶（preduality）关系。

随后，亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck, 1928-2014）等人又将这一方向推广到 Banach 空间的核算子理论。

实际上，von Neumann 早在 1937 年就发表了若干相关结果，包括对上不同交叉范数的刻度，以及后来被称为 Schatten-von Neumann ideals 的其他相关结果。

八、算子代数（Operator algebras）

通过对 “算子环” 的研究，John von Neumann 开创了对 von Neumann 代数（最初称为 - 代数）的系统研究。他早在 1930 年前便有了初步设想，但直到与弗朗西斯・约瑟夫・默里（Francis Joseph Murray, 1911-1996）相识后，才在数年内将其发展为一套完整的理论。von Neumann 代数是指希尔伯特空间上在关于弱算子拓扑下是闭的、包含恒等算子的一类有界算子构成的 - 代数（-algebra）。

von Neumann 的 “von Neumann bicommutant theorem” 证明了要验证上述解析的定义可以通过纯代数方式验证。
von Neumann bicommutant theorem 是说，Let be an algebra consisting of bounded operators on a Hilbert space, containing the identity operator, and closed under taking adjoints. Then the closures of in the weak operator topology and the strong operator topology are equal, and are in turn equal to the bicommutant of 。

在成功处理了交换代数的情况后，von Neumann 与 Murray 自 1936 年起进一步研究非交换情形，主要聚焦于对 “factors” 的分类，以及 von Neumann 代数的整体框架。

他们于 1936 至 1940 年间发表的六篇重要论文被誉为 20 世纪分析领域的杰作，奠定了算子代数的一系列基础结果，并引领了多个后续方向。其中包括 factors 的分类方法，以及对可分希尔伯特空间（separable Hilbert space）上的 von Neumann 代数 is a direct integral of factors 的证明（1938 年提出，直至 1949 年才发表）。

孔涅（Alain Connes, 1947-）后来对于因子的结构和分类的工作获得了 1982 年的菲尔兹奖。此外，von Neumann 代数还与非交换积分理论密切相关，他虽在著作中暗示了这一点却未明确写出；另一个里程碑式成果是 1932 年提出的极分解（polar decomposition）定理。

九、格论（Lattice theory）

von Neumann 将传统的射影几何与线性代数、环论、格论等现代代数工具相融合，使得射影几何中的许多结果都能在一般的环上模（modules over rings）里得到推广和解释。
他提出了连续几何（continuous geometry）的概念，它是对复射影几何的一种替代。

传统射影几何的维度只能取离散值（0、1、2、……），而在连续几何中，子空间的维度可以在区间里连续变化。

这一想法源自 von Neumann 对于一类 II 型 factor 等算子代数的研究，那里出现了可取连续值的 “维度函数”。

von Neumann 以格论的抽象语言刻画了带连续维度的射影几何，并将传统射影几何的 Veblen（Oswald Veblen, 1880-1960）- Young（John Wesley Young, 1879-1932）定理（a projective space of dimension at least 3 can be constructed as the projective space associated to a vector space over a division ring）推广到他提出的连续几何的框架中。

为了证明相关定理，他提出了 von Neumann 正则环（von Neumann regular ring）的概念，即对任意环元素，存在使得。

该概念与后来的 von Neumann 代数等研究紧密关联。在此过程中还创造并证明了许多技术性定理，例如在无限分配律（infinite distributivity）、格的赋值（valuations）、度量格（metric lattices）等方面的结果。

这些成果进一步推动了抽象射影几何与格论的研究，对后续数学发展产生影响。

十、数学统计学（Mathematical statistics）

von Neumann 在 1941 年给出了 “对于相互独立、同分布的正态随机变量，其连续差分（successive differences）的平方均值与样本方差之比” 的确切分布。

该比率后来被应用于回归模型的残差（residuals），并以 Durbin（James Durbin, 1923-2012）-Watson（Geoffrey Stuart Watson, 1921-1998）统计量（Durbin-Watson statistic）之名而广为人知，用于检验回归误差项在原假设下是否相互独立，对比备择假设 “误差项服从平稳的一阶自回归过程”。

十一、数学其他

von Neumann 在数学上还证明了很多没有被上述的归类提到的工作，比如他证明了对于，

是代数无关的（algebraically independent）。

十二、物理学

John von Neumann 在 1932 年出版的《量子力学的数学基础》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）中，以 “von Neumann 公理体系” 的形式，尝试为量子力学建立数学基础，系统地将量子态视为希尔伯特空间中的点，并用线性算子来表示可观测量（observable），从而把量子物理问题化约为对无穷维希尔伯特空间及其算子的研究。

这种数学形式同时包含了海森堡（Werner Karl Heisenberg, 1901-1976）与薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887-1961）的各自表述，并清晰刻画了算子不对易所对应的不确定性原理（uncertainty principle）。

在研究量子测量（quantum measurement）时，John von Neumann 认为必须有 “观察者（observer）” 来引发波函数坍缩（wave function collapse），甚至把意识视为潜在的坍缩根源，该观点后来形成了 “John von Neumann-Eugene Wigner 诠释（von Neumann-Wigner interpretation）”，虽曾得到 Eugene Wigner 的支持，但并未成为主流。

在对量子理论基础的探讨中，John von Neumann 试图证明量子力学的统计结果无法被某种潜在的 “隐变量（hidden variable）” 理论所解释，引发了后来的格蕾特・赫尔曼（Grete Hermann, 1901-1984）、约翰・斯图尔特・贝尔（John Stewart Bell, 1928-1990）等人的批评与修正。

尽管他的证明并不适用于排除所有类型的隐变量理论，但推动了后续格里森（Andrew Mattei Gleason, 1921-2008）定理（Gleason's theorem）、贝尔定理（Bell's theorem）以及阿斯派克（Alain Aspect, 1947-，2022 年诺贝尔物理学奖得主）的实验等研究，最终在非定域性（nonlocality）、量子现实观以及与狭义相对论（special relativity）的兼容问题上产生深远影响。

John von Neumann 在量子信息论（quantum information theory）领域也具有奠基性地位，他提出的 “冯・诺依曼熵（von Neumann entropy）”

为描述量子状态的信息量提供了关键指标，并帮助定义如霍勒沃（Alexander Semenovich Holevo, 1943- ）熵（Holevo entropy）、条件量子熵（conditional quantum entropy）等广义熵度量，在量子纠缠、量子通等研究中具有核心地位。

此外，他在 1927 年首次引入 “密度矩阵（density matrix）” 形式，能同时刻画纯态（pure state）与混合态（mixed state），为后来的量子退相干（quantum decoherence）、量子测量方案（quantum measurement scheme）奠定理论基础。

在量子逻辑（quantum logic）方面，von Neumann 与加勒特・伯克霍夫（Garrett Birkhoff, 1911-1996）共同发展出了一种区别于经典逻辑的 “量子逻辑” 体系，揭示了量子力学中非分配性（non-distributivity）与非对易性（non-commutativity）的深层结构；而在 “von Neumann 测量方案” 中，他提出将测量装置本身也视作量子系统，并引入投影测量的形式化表达，为日后量子退相干理论（quantum decoherence theory）铺平道路。

除量子领域外，John von Neumann 在流体力学（fluid dynamics）中同样成果卓著，包括对爆轰波（detonation wave）模型（ZND 模型）的阐明、对成形装药（shaped charge）的数值研究，以及与里希特迈尔（Robert Davis Richtmyer, 1910-2003）共同提出 “人工黏性” 算法来模拟激波（shock wave），从而在计算流体力学和弹道学方面大显身手。

他的研究不仅在理论上持续影响着对量子力学本质及测量问题的讨论，也实质推动了现代计算物理（computational physics）、信息论（information theory）和数理逻辑（mathematical logic）的发展，被公认为近代最具影响力的数学物理学家之一。

十三、计算机

von Neumann 是计算机领域的奠基性人物之一，他不仅在硬件设计上留下重要贡献（如对 ENIAC 的咨询、撰写未完成的 EDVAC 报告，并设计了 IAS 机器），也因在同一存储器中存放指令与数据的 “von Neumann 结构”（von Neumann architecture）而闻名。

他提出了 “归并排序（merge sort）” 算法，与斯坦尼斯拉夫・乌拉姆（Stanisław Ulam）等人共同发展了蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），并设计了利用有偏硬币来模拟公平硬币的算法以及 “中平方法（middle-square method）” 这种早期的伪随机数生成方式。

此外，von Neumann 在随机计算（stochastic computing）和计算复杂性（computational complexity）的早期研究中也有先驱性贡献；他设计的 “自复制通用构造器（universal constructor）” 及对元胞自动机（cellular automata）的研究，为后来生物系统与人工生命的模拟奠定了理论基础。

在科学计算与数值分析方面，他提出了著名的 “von Neumann 稳定性分析（von Neumann stability analysis）”，并率先将计算机用于求解非线性偏微分方程，开创了以数值方法研究爆炸、流体力学等复杂问题的新途径。他还领导了早期的数值天气预报（numerical weather prediction）研究，组建团队利用 ENIAC 首次实现了大气环流模拟，并预见了燃烧化石燃料所导致的温室效应和全球变暖趋势。

von Neumann 在气象学、气候学等领域同样发挥了领军作用，对如何通过操作地球环境（例如在极地冰盖上施加吸热物质）进行气候干预也提出了开创性的设想。他在 20 世纪 50 年代还讨论过技术发展加速所导致的人类社会 “奇点（singularity）” 问题，认为技术突飞猛进可能会带来超越以往认知的重大变革。

可以说，von Neumann 在计算、数值模拟以及前瞻性技术思考等多方面都深刻地影响了现代科学与工程的发展。

十四、经济学

von Neumann 奠定了博弈论（Game Theory）的数学基础，最初在 1928 年证明了 “极小极大定理（minimax theorem）”，说明在零和博弈（zero-sum game）且信息完备（perfect information）的条件下，两位参与者都存在可以最小化其最大损失的最优策略。

这一成果在他与奥斯卡・摩根斯坦（Oskar Morgenstern, 1902-1977）于 1944 年合著的《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior）中得到进一步推广，包括对不完美信息（imperfect information）以及多方参与的博弈情况的讨论。von Neumann 在书中指出，经济学研究应当更多借助泛函分析，尤其是凸集和拓扑不动点定理，而非传统的微分方法。

在数学经济学中，von Neumann 通过构造经济增长模型（expanding economy）并运用布劳尔不动点定理（Brouwer fixed-point theorem）等工具，证明了该模型的平衡解既存在又唯一。他的模型将非负矩阵与概率向量相结合，给出了经济增长率以及利率的数学表达方式，后来被视作线性规划（Linear Programming）的特例。

该研究也对日后经济学中的凸分析、线性不等式与鞍点对偶性等方法具有奠基意义。