Irving Segal

生平

欧文・埃兹拉・西格尔（Irving Ezra Segal，1918-1998）出生在纽约 Bronx 区，他父母 Aaron Segal 和 Fannie Weinstein 是犹太人。在 1934 年，他以 15 岁之龄从特伦顿高中毕业，并在同年晚些时候进入普林斯顿大学。

1937 年，他从普林斯顿大学获得数学学士学位，并荣获 George B Covington 数学奖，随后在希勒（Einar Carl Hille，1894-1980）的指导下进入耶鲁大学攻读博士学位。

Segal 于 1940 年向耶鲁大学提交了他的论文《某些函数类的环性质》（Ring properties of certain classes of functions），并在同年 6 月获得博士学位。也是在 1940 年，他发表了第一篇论文。这是一篇仅有一页的短文，题《对称群的自同构》（The automorphisms of the symmetric group），其中他给出了一个简易证明：当 时， 个元素的对称群 的自同构群同构于。

注意到， 时有

而当 时

1941 年，Segal 被任命为哈佛大学的数学讲师，但当美国加入第二次世界大战后，他开始从事与战争相关的工作：首先于 1941 年到 1943 年在普林斯顿工作，随后于 1943 年到 1945 年在马里兰州的阿伯丁试验场（Aberdeen Proving Ground）从事弹道学研究。在此期间，Segal 以美国陆军研究人员的身份工作。

由于战争工作的缘故，他直到 1947 年才发表了博士论文的详细成果，刊登在论文《局部紧群的群代数》（The group algebra of a locally compact group）中。

然而，早在 1941 年 6 月，他就已向《Proceedings of the National Academy of Sciences》提交了论文《局部紧群的群环 I》（The group ring of a locally compact group I）：

…… 其中给出了对 “一般局部紧群的群环” 的定义及其基本性质。……Segal 研究这一群环的主要目标之一，是为 Wiener-Tauberian 理论、几乎周期函数理论（theory of almost periodic function）以及局部紧群上的调和分析提供一个足够普遍的研究环境。

1945 年二战结束后，Segal 被任命为 Oswald Veblen 在位于普林斯顿的高等研究院（IAS）的助手。他在普林斯顿工作到 1948 年，最后一年得到了 Guggenheim Fellowship 的资助。

1948 年，他前往芝加哥大学担任数学助理教授。1953 年，他晋升为芝加哥大学的数学副教授，并在 1954-55 学年作为访问副教授在纽约的哥伦比亚大学度过。

1957 年，Segal 成为芝加哥大学的正教授；三年后，他前往麻省理工学院担任数学教授。

Segal 后来对数学的多个不同领域作出了贡献，但所有这些都源于量子理论的数学需求。例如，他在无穷维积分理论方面的卓越工作。此外，基于他早期对任意局部紧群表示的研究，他继续考察了与量子力学有关的群表示，即关于对易或反对易关系的对称性群。

格罗斯（Leonard Gross）是 Segal 的一位博士生，1958 年获得博士学位。他提到了 Segal 的研究动力：…… 当我回到耶鲁大学后，他给我写信，提出了一些与我研究领域紧密相关的有趣问题。回想起来，我意识到，他这样做不仅是出于为 “学术后代” 提供充分思想养料的责任感，更是因为他那种专注于解决数学物理重大问题（即相互作用量子场存在性）的坚定决心。

尽管在许多数学家看来，他的大部分工作似乎只是由通常的审美考量驱动（当然，他思想本身的内在美也足以证明这些工作的价值），但 Segal 几年前曾告诉我，他的所有研究，不论哪方面，都意在以某种方式理解量子物理。

在学术生涯的后期，Segal 的主要研究目标转向了对宇宙学的研究。

他在 1976 年出版的著作《数学宇宙学与河外天文学》（Mathematical cosmology and extragalactic astronomy）中对其计时宇宙学（chronometric cosmology）进行了详细阐述。

他在 1974 年的论文以及该书的前言中写道：“人们普遍接受宇宙膨胀是真实的物理现象，部分原因是看似没有其他可行的红移解释。自从大约半个世纪前发现红移以来，人们又发现了许多新的观测现象，其中微波背景辐射（microwave background radiation）和类星体（quasar）尤其重要而引人注目。尽管如此，似乎很少有人尝试重新构建宇宙学的基础，以一种在科学上更加经济的方式将这些现象统一起来。这或许更多是由于基于膨胀理论（expansion theory）的大量理论研究所带来的惯性，而非由于膨胀理论与观测结果吻合度有多高 —— 事实上，其与观测的契合度相当有限，而且愈发显得模棱两可。”

Segal 的理论与大爆炸理论相对立，在他的理论中，哈勃定律（Hubble's law）所描述的宇宙膨胀并不成立。他在 1991 年和 1993 年的论文中讨论了红移（red-shift）数据，并声称这些数据支持他的理论。

1989 年，Segal 从麻省理工学院数学系教授职位退休后，仍继续为他提出的宇宙模型辩护。

正如奥贝尔・戴尼奥（Aubert Daigneault, 1932-）和阿图罗・桑加利（Arturo Sangalli, 1940-）在文献中所写：

Segal 从未停止他对膨胀理论的 “讨伐”，有时提出合理的科学论据，有时则是情绪化的猛烈抨击。

在一篇回忆中，约翰・卡洛斯・贝兹（John Carlos Baez，1961-，20 世纪 80 年代曾是 Segal 的博士生）描述了那时的 Segal：他总是穿着得体，一身西装，留着简单干练的山羊胡。他个子不高，但站姿挺拔，言行颇有威严。……

Segal 的办公室既舒适又充满生活气息，堆满了他数十年间积累的各种论文。他有一张沙发，有时会在那里小憩。他还会在办公室里煮咖啡，拒绝去数学系休息室喝那里的咖啡。

他对咖啡极为认真，会在办公室里现磨咖啡豆，只用蒸馏水，并把水烧到一个他经过研究得出的 “最佳温度”（他声称自己做过研究来确定这一最佳温度）。他经常让我用他的电脑，而他则在桌子或打字机旁工作。有时，当他想要证明某个定理时，他会正式地设定一个厨房计时器，并给自己不超过 30 分钟的时间来完成证明。这只是他强调 “务实态度” 重要性的诸多方式之一。

…… 他从不懈怠；周末也常来办公室，他退休后看起来一点也没有放慢脚步。所有认识 Segal 的人都会记得他只会用自己的方式做事。他从不因为别人接受某种做法就盲从。在他所涉猎的各个科学领域里，我多次听到他对相关内容提出严厉的批评。

Segal 的 1963 年著作《相对论物理学中的数学问题》（Mathematical problems of relativistic physics）是他在 1960 年于科罗拉多州博尔德（Boulder, Colorado）举办的应用数学暑期研讨班上所授课程的讲稿结集。他在序言中写道 (dào)，他坚信：…… 量子场论正处于即将被坚实地数学化的边缘，而且实际上，在不久的将来，人们就会认识到，它与在具备群不变微分几何结构的无限维非线性流形上所做的泛函分析理论有着密切的平行关系。

Segal 一直活跃到生命的最后一刻。实际上，他在家附近散步时突然倒下，死于心血管疾病。在其职业生涯中，他共指导了 40 名博士生 —— 其中 15 名就读于芝加哥大学，25 名就读于麻省理工学院。

他曾三次获得古根海姆基金奖（Guggenheim fellowship，分别在 1947 年、1951 年和 1967 年），并于 1981 年获得洪堡奖（Humboldt Award）。

1966 年，他在莫斯科举办的国际数学家大会上作受邀报告；1970 年，他又在尼斯（Nice）举办的国际数学家大会上作报告。1973 年，他当选为美国国家科学院院士。

贡献

一、算子代数与局部紧群表示理论

在 1941 年的论文《局部紧群的群环，I》（The group ring of a locally compact group, I）中，Segal 给出了一般局部紧群（locally compact group）的 “群环（group ring）” 定义及其基本性质。该定义基于对群上相对于右不变 Haar 测度（right invariant Haar measure）的 - 函数做左卷积（left convolution）而得到。

对于紧群（compact group）或局部紧阿贝尔群（locally compact abelian group），Segal 指出了这个群环的半单性（semisimplicity），并研究了其极大理想结构。

二、“群代数” 的结构（group algebra）

Segal 研究群环（group ring）的一大目标，是为 Wiener 的 Tauberian 理论、几乎周期函数理论（theory of almost periodic functions）以及局部紧群上的调和分析（harmonic analysis）提供一个足够普适的环境。

Tauberian 定理是研究在何种条件下，某种求和方法（如 Abel 求和法）的可和性能够推出级数的收敛性。

Tauberian 定理的核心思想是通过附加条件（称为 Tauberian 条件），从弱收敛性推导出强收敛性。

经典的 Tauberian 定理包括：

① 如果级数 通过 Abel 求和法到和 ，且满足 ，则该级数收敛到 。

② 如果级数 通过 Abel 求和法到和 ，且满足 ，则该级数收敛到 。

Tauberian 条件通常限制级数项的增长速度或振荡行为，常见的条件包括： 或 ，及部分和 的某种限制，如 。

这类定理因数学家阿尔弗雷德・陶伯（Alfred Tauber, 1866-1942）的开创性工作而得名。

在一篇发表于 1944 年的论文中，Segal 发展了部分 Tauberian 理论，考察了一般 Lebesgue 空间中某个 - 函数的平移所生成的线性包（span）与其 -Fourier 变换零点集之间的关系。

在 1947 年初发表的一篇论文《局部紧群的群代数》（The group algebra of a locally compact group）中全面阐述了群环（当时被称为复群代数（complex group algebra））及其在 Tauberian 理论与群上几乎周期函数理论中的应用，主要体现在局部紧阿贝尔群和紧群这两种情形。

在算子理论方面，Segal 也意识到他的工作与 Murray 和 von Neumann 的工作之间的联系。他证明了，任何在希尔伯特空间上有界自伴算子的自伴代数（self-adjoint algebra）都是弱半单（weakly semisimple）的。

三、- 代数

正如前文提及，在 1947 年的文章《算子代数的不可约表示》（Irreducible representations of operator algebras）中，Segal 正式给出了 - 代数（ -algebra）的定义。

一个 - 代数是复数域上的 Banach 代数，同时带有一个映射 ，满足以下性质：

① 它是一个对合运算，对于每个 有 ；

② 对于所有 有 ，以及 ；

③ 对于每个复数 和每个 有 ；

④ 对于所有 有 。

他指出：“我们对算子代数的兴趣源于对局部紧群（locally compact group）的群代数（group algebra）的研究，一个群代数与某个自伴算子代数同构。”

与此同时，他对于量子力学及其数学基础的浓厚兴趣也开始显现。

他写道：“我们的结果使得对量子力学某些部分的研究可以更加广泛而严谨……”

在这篇文章里，Segal 定义了 - 代数上的 “态（state）” 与 “纯态（pure state）” 的概念，并给出了如何从一个代数的态来构造该 - 代数的表示（representation）的基本方法。

一个态（state）是范数为 1 的正线性泛函。具体而言它是线性泛函 ，满足以下条件：

① 是正定的，即对于任意 有 。

② 是归一化的，即 （如果 有单位元）。

它扩展了量子力学中密度矩阵的概念。

纯态（pure state）是指不能表示为其他态的凸组合的态。具体来说，如果 是一个态，且对于任意两个态 和 以及 ，有 ，则必有 。换句话说，纯态是态空间中的极值点。

Segal 指出：“代数 的一个态 是 的某种正规（normal）表示的归一化函数（normalizing function），此方法部分借鉴了 Gelfand 和 Neumark 的工作。”

Segal 当时所使用的 “归一化（normalizing）” 和 “正规（normal）” 等术语，后来出现了变化或不再使用。这一过程正是非常重要的 “GNS 构造（Gelfand（Israel Moiseevich Gelfand, 1913-2009）-Naimark（Mark Aronovich Naimark, 1909-1978）-Segal construction）”，在算子代数这一领域中具有基础性地位。

同在这篇文章里，Segal 还定义并证明了无单位元（without a unit）的 - 代数（或 - 代数中的理想）中存在逼近恒等元（approximate identities）；同时，他也定义并证明了 - 代数上的纯态（pure state）的存在，并证明了 - 代数的不可约表示来自这些纯态。

借助 Krein-Millman 定理以及态集在（弱 *）拓扑下的紧性，Segal 证明了一个 - 代数有一个分离元素的纯态族（separating family）。

是 上的一族纯态。如果对于任意两个不同的元素 ，存在一个纯态 ，使得 ，则称 是一个分离元素的纯态族（separating family）。

通过将一个局部紧群与一个 - 代数相关联，从而获得 “群的 - 群代数（ -group algebra）”，Segal 得以从该群代数的每个态构造出一个在某个希尔伯特空间上的酉表示（unitary representation）—— 而从纯态出发则得到不可约酉表示（irreducible unitary representation）。

利用这一构造，Segal 随后给出了 Gelfand-Raikov 定理的最自然证明：该定理说明存在一族能分离元素的不可约酉表示，使其成为局部紧群的一个完备表示族（the existence of a separating family of irreducible unitary representations of locally compact groups）。

四、实 Jordan Banach 代数与量子测量理论

在 Postulates for general quantum mechanics 中，Segal 提出了 “一套关于物理系统的公设，并从中推导出量子力学主要一般特征 stationary states（稳态）。”

设 是一个单参数自同构群，表示系统的动力学演化。一个态 是被称为稳态（stationary state），如果对于所有 和所有 有 。换句话说，稳态在动力学演化下保持不变。

他指出：“我们理论中对普通物理学具有重要意义的一个方面在于，一条一般的不确定性原理可以从这些公设推出。” 从本质上讲，Segal 提出并研究了实 Jordan Banach 代数，并为代数中的元素建立了一套谱理论（spectral theory）。

Jordan-Banach 代数是一个复向量空间 ，同时满足以下条件：

1、 是一个 Jordan 代数，即其上定义了一个双线性运算 Jordan 积 ，满足以下性质：

• 交换性：对于任意 有 。
• Jordan 恒等式：对于任意 有 ，其中 。

2、 是一个 Banach 空间，即其上定义了一个范数 ，使得 在该范数下是完备的。

3、范数与 Jordan 积满足相容性条件：对于任意 有

Jordan-Banach 代数在泛函分析中具有重要作用，特别是在研究算子代数和量子力学中的代数结构时。它们提供了一种非结合代数的框架，能够描述某些物理系统的对称性和动力学性质。

与此同时，他也为这类代数引入了态（state）理论。如今，这一研究方向已成为（数学）量子测量理论（(mathematical) quantum measurement theory）中的一个活跃而有趣的领域。当然，von Neumann 工作是 Segal 这篇论文的重要先驱（Segal 也在文中提到这一点）。

文中所探讨的结构在度量（范数，norm）和 - 代数层面上的特征，以及在希尔伯特空间上的表示，都对这方面的研究至关重要。

五、- 代数的理想结构与非交换分析

Segal 在《算子代数里的双侧理想》（Two‑sided ideals in operator algebras）中解决了 - 代数理论中的一个基本问题。他证明了：在 - 代数中，任何范数闭（norm‑closed）、双侧（two‑sided）理想都在 - 运算下封闭（也就是说，若其包含 ，便必包含 ）。由此可推知，用该理想作商所得到的商代数仍是一个 - 代数。

尽管论文中并未明确指出，然而 Segal 的论证也同时意味着：一个左（或右）范数闭理想可以由其包含的正元（positive elements）所构成的锥（cone）来生成（作为一个范数闭理想）。

这些论证涉及了非交换分析（noncommutative analysis）中最早也最基本的一些技巧，并为确立逼近恒等元（approximate identities）以及逼近极分解（approximate polar decompositions）的存在性提供了关键技术。

在《抽象积分的非交换扩张》（A non‑commutative extension of abstract integration）中，Segal 将 von Neumann 在有关非交换测度论（non‑commutative measure theory）的研究从因子（factors）推广到了具有任意中心（arbitrary center）的 von Neumann 代数（von Neumann algebras）。

六、“计时宇宙学（chronometric cosmology）”

正如前文提及，Segal 在学术生涯后期将主要研究目标转向了宇宙学。Segal 认为宇宙并非在膨胀，红移源于宇宙本身的曲率，而非大爆炸后的时空膨胀。

在 Segal 的时空模型中，洛伦兹群（Lorentz group）及其扩展的庞加莱群（Poincaré group）被视为时空对称性。但若再将爱因斯坦式的时间演化纳入 “共形群（conformal group）”，共形紧化（conformal compactification）会引入封闭类时曲线（closed timelike curves）。为避免时空曲率闭合导致的 “时间倒流” 问题，Segal 设想宇宙的空间部分是一个巨大的三维球面，时间则由一个辅助实直线表示，确保时空不会在自身处闭合，每一点都存在凸性的未来方向。

Segal 回顾并分析了天体红移数据，宣称其与自己提出的理论相符。然而，主流天体物理界对 Segal 的理论并不认可。

其早期形态可追溯至 Einstein 在 1917 年提出的宇宙模型，此模型被认为已遭到反驳或被弃用。