Birkhoff

生平

乔治・大卫・伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）出生于 Michigan 州的奥弗塞尔镇（Overisel），是两位荷兰移民的儿子。

父亲大卫・伯克霍夫（David Birkhoff）于 1870 年抵达美国，母亲是简・格特鲁德・德罗珀斯（Jane Gertrude Droppers）。

Birkhoff 在 Chicago 受教育，因为当时他父亲在 Chicago 当医生。

1896 至 1902 年间，他就读于路易斯学院（Lewis Institute，即如今的伊利诺伊理工学院）。1901 年，他开始就一个数论问题与范迪弗（Harry Schultz Vandiver，1882-1973；1931 年获得 Cole 数论奖，他的儿子 Frank Vandiver 后来成为 Texas A & M 的校长）通信。

两人一起研究 的素因子，后来又将这项工作整理发表。1902 年从 Lewis 学院毕业后，Birkhoff 开始了大学学习。

他于 1902 年进入 Chicago 大学，读一年后转到 Harvard 大学，在那里学习到 1905 年。就读 Harvard 期间，他于 1904 年把与 Vandiver 合作得到的结果以《关于 的整数因子》（On the integral divisors of）为题投稿到《Annals of Mathematics》，这是他的第一篇发表的论文。

论文的主要定理在当时是新的，它的一个推论：对任意给定的正整数 ，存在无穷多个素数 满足 （其实 Kronecker、Hilbert、Sylvester 早已证明）。

同样在 1904 年，他还向美国数学学会提交了一篇分析方面的论文。在 Harvard 的这两年里，对他影响最大的老师是博歌（Maxime Bôcher，1867-1918）；Bôcher 教他代数和经典分析。Bôcher 出生于 Boston，1888 年 Harvard 本科毕业后到德国 Göttingen 大学跟随克莱因（Felix Klein，1849-1925）念博士。中国第一位在美国获得数学博士的胡明复（Minfu Tah Hu，1891-1927）是他的学生。

Birkhoff 于 1905 年获得哈佛大学文学学士学位（A.B.），并于 1906 年获得文学硕士学位（A.M.）。

1905 年，Birkhoff 回到 Chicago 大学攻读博士学位。他的研究集中于渐近展开、边值问题以及 Sturm-Liouville 型问题；不过，他的导师摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）对他的影响，似乎不如庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）来得深。

Birkhoff 阅读了 Poincaré 关于微分方程和天体力学的著作，比如《Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste》（天体力学中的新方法）；在研究方向的形成上，他从 Poincaré 那里学到的东西更多，受的影响也比从导师那里更强。

阿奇博尔德（R. Archibald）写道：“在 Harvard 的两年中，一年是本科，一年是研究生阶段，那时 Bôcher 和奥斯古德（William Fogg Osgood，1864-1943）正处于学术鼎盛时期；但接下来的两年（在 Chicago），他是在摩尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）、博尔扎（Oskar Bolza，1857-1942）和马施克（Heinrich Maschke，1853-1908）门下学习的 —— 当时那里是美国最富启发性的数学中心。不过，他的博士论文基本上是独立完成的。”

Birkhoff 提交的博士论文题为《某些常微分方程的渐近性质及其在边值问题和展开问题中的应用》（Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary value and expansion problems），并因此于 1907 年获得博士学位。这是一篇很重要的论文，不仅因为其中包含的结果，也因为这项工作自然地引出了许多重要的后续发展。

Birkhoff 自己在随后的几年里进一步发展了这些思想，他的两位学生兰格（Rudolph Ernest Langer，1894-1968）和斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）也继续推进了这
一方向。

例如，Birkhoff 和 Langer 在 1923 年发表了
一篇重要的扩展性论文。Birkhoff 关于线性微分
方程、差分方程以及广义 Riemann 问题的大部
分工作，基本上都源于他在这篇论文中打下的基础。

1907 至 1909 年，Birkhoff 在 Wisconsin 大学 Madison 分校任讲师。就在这一时期，也就是 1908 年，他与玛格丽特（Margaret Elizabeth Grafius，1884-1973）结婚；两人共有三个孩子。离开 Wisconsin-Madison 后，他到 Princeton 任数学导师（preceptor），并于 1911 年升任教授。

次年，他转到 Harvard 大学任副教授；1919 年升任正教授，此后终生留在 Harvard。1932 年，他被任命为 Harvard 大学 Perkins Professor；1936 年又出任文理学院院长。

Birkhoff 研究过许多不同的数学主题，他最主要的工作是在动力系统和遍历理论方面。

他的遍历定理借助 Lebesgue 测度，把 Maxwell-Boltzmann 气体运动论转化为一个严格的原理。Butler 写道：“Birkhoff 于 1931-32 年发现的、后来称为‘遍历定理’的结果，是他在动力学中最著名的贡献。这个理论原则上解决了气体理论和统计力学中的一个基本问题；它不仅对动力学本身有影响，而且也影响了概率论、群论和泛函分析。”

当然，使 Birkhoff 成为他那个时代美国最著名数学家的，并不只是遍历定理。

实际上，早在许多年前，在多数数学家看来，他已因 1913 年证明了 Poincaré 的最后几何定理（Poincaré's last geometric theorem）而获得了这一地位；这个定理是三体问题（three-body problem）的一个特例。

Poincaré 在 1912 年的《关于几何学的一个定理》（Sur un théorème de géométrie）中陈述了这一结果，但只能在若干特殊情形下给出证明。

在 Poincaré 去世后的三个月内，Birkhoff 于 1913 年解决了这个问题，被评价为：…… 那个时代最令人振奋的数学事件之一。不过，Birkhoff 告诉他的学生 Marshall Stone，做这个问题，让他的体重减轻了 30 磅。这个证明成为将分析学的存在性证明连接到拓扑不动点定理的首例。

相对论和量子力学的基础问题，也是 Birkhoff 研究过的主题。他与 R. E. Langer 合作，于 1923 年出版了专题著作《相对论和现代物理》（Relativity and modern physics）。

在生命后期，他又于 1938 年发表了一部更具思辨色彩的作品《作为流体的电子》（Electricity as a fluid），其中结合了他关于哲学和科学的一些想法。他还在四色定理方面做过重要工作。

此外，他建立了一种数学的美学理论，并把它应用到艺术、音乐和诗歌上。在写作《美学度量》（Aesthetic measure）之前，他曾花一年时间环球旅行，研究各国的艺术、音乐和诗歌。

他曾说过，西方音乐的形式结构、旋律之谜，早在本科时代便开始吸引他；对其中数学成分的某种相当深入的思考，进而使他把自己的理论应用到多边形、铺砌、花瓶，甚至诗歌这样的审美对象之上。

在他的著作中，除前面已提到的之外，还包括《相对论和现代物理》（Relativity and modern physics，1923）、《动力系统》（Dynamical systems，1928）、《美学度量》（Aesthetic measure，1933）以及《基础几何》（Basic geometry，1941）。

1923 年，美国数学学会首次颁发 Bôcher Memorial Prize，授予 Birkhoff，以表彰他发表在 1917 年《Transactions of the American Mathematical Society》上的论文《两自由度的动力系统》（Dynamical systems with two degrees of freedom）。

他与美国数学学会有长期而密切的关系：1919 年任副会长，1920 年任讲座教授（Colloquium Lecturer），讲授主题为动力系统；1921 至 1924 年间任《Transactions of the American Mathematical Society》编辑；1925 至 1926 年任美国数学学会主席。

美国数学学会主席（部分）：

也许，像这样深度参与美国数学学会，本身就已经说明 Birkhoff 为推动美国数学的发展付出了不懈努力。事实上，维布伦（Oswald Veblen，1880-1960）甚至把他在这方面的投入称作 “a sort of religious devotion（一种近乎宗教式的奉献）”。

当然，他也明白，推动美国数学的发展，意味着必须与世界其他地方的数学进展保持紧密联系。

MIT 数学家诺伯特・维纳（Norbert Wiener，1894-1964），把 Birkhoff 比喻为 “出现在 Harvard 数学苍穹上的璀璨明星。…… 更独特的是，Birkhoff 的研究全是在美国完成，并未受益于任何国外的训练”。

Wiener 本人在 1913 年从 Harvard 大学得到博士学位，正是 Birkhoff 回到 Harvard 的第二年。

Birkhoff 标志了美国数学成熟期的起点。他直到 1926 年才造访欧洲，当时距他开始在哈佛教书已有 14 年。

他与欧洲数学家的密切往来，使他成为替《International Education Board》撰写欧洲数学现状报告的理想人选。在欧洲数学家中，他最亲近的朋友包括法国的阿达玛（Jacques Salomon Hadamard，1865-1963）、丹麦的内隆德（Niels Erik Nørlund，1885-1981）、意大利的列维 - 奇维塔（Tullio Levi-Civita，1873-1941）和英国的惠特克（Edmund Taylor Whittaker，1873-1956）。

就圣安德鲁斯（St Andrews）地方而言，一个值得一提的细节是：Birkhoff 是 1926 年 St Andrews Colloquium 的主要报告人之一，并于 1927 年当选爱丁堡数学学会荣誉会员。

1938 年 7 月，在爱丁堡数学学会举办的 Gregory 三百周年纪念活动上，他作了四场讲演；同次访问期间，St Andrews 大学授予他荣誉法学博士（LL.D.）。实际上，这只是他所获十三个荣誉学位中的一个。

Birkhoff 获得的其他荣誉还包括：1917 年因论文《限制三体问题》（The restricted problem of three bodies，1915）获威尼斯皇家科学院 Querini-Stampalia 奖；1926 年获美国科学促进会年度奖；1935 年获罗马 Accademia dei Lincei 两年一次的奖项。

他还先后当选为美国国家科学院、美国哲学学会、美国艺术与科学院、巴黎科学院、宗座科学院、巴勒莫数学学会、丹麦皇家科学与文学院、哥廷根科学院、博洛尼亚皇家研究院、爱丁堡数学学会、伦敦数学学会以及秘鲁利马国家科学院的成员。

这种遍及世界的承认，足以说明 Birkhoff 的贡献卓越。

Archibald 把他描述为：“…… 天性极其善于交际；通过多次赴欧旅行以及环绕世界的考察，他与世界各地学者都有广泛接触；他经常参加各类会议和大会，也是颇受欢迎的通俗写作者和演讲者。在近年的行政会议中，他观点的独创性和广度尤为引人注意。”

除了数学成就之外，Birkhoff 还指导了 46 名博士生，迄今为止，出自他门下的数学家已超过 7300 名。他有四名学生日后成为美国数学会的主席：Stone、Joseph Walsh、Charles Morrey 和 Marston Morse。

他的学生又再栽培出许多优秀数学家。例如，Walsh 在取得博士学位后留在 Harvard，带出了 31 名学生，其中包括 Lynn Loomis 和 Joseph Doob。Birkhoff 有三位门生 ——Morse、Hassler Whitney 和 Stone—— 获得国家科学奖章。

贡献

一、早期工作

Birkhoff 最早的重要工作来自博士论文《某些常微分方程的渐近性质及其在边值问题和展开问题中的应用》（Asymptotic properties of certain ordinary differential equations with applications to boundary value and expansion problems）。这篇论文讨论的是常微分方程解的渐近性质，以及它们在边值问题和展开问题中的应用。

用今天的话说，他关心的是：当自变量趋于某个奇异点或无穷远时，解的行为如何；以及这种渐近信息怎样反过来控制特征值、边值解和展开公式。

Veblen 后来回顾说，他早年的主要训练虽然属于经典分析，但已经明显带有后来 20 世纪分析学那种强调结构与渐近的风格。

二、地图着色

1912 年，Birkhoff 发表关于地图着色的论文，引入了后来称为 色多项式（chromatic polynomial）的对象。若 是一个图，记 为用 种颜色对 做合法顶点染色的方案数，那么 实际上是一个关于 的多项式。

他同时证明了若 有 个区域和 条边，则 的首项为 ，并给出了其他所有系数的计算公式。

Birkhoff 最初考虑它，并不是为了建立一门新的组合学分支，而是想借助代数和分析的方法处理四色问题（four color problem）：如果对每个平面图 都能证明，那么四色定理就成立了。

后来图论的发展表明，这个多项式逐渐成为代数组合学中的标准对象之一。

四色问题当时并未被他解决，但后来的惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989）和图特（William Thomas Tutte，1917-2002）正是在这条线上，把图的染色理论进一步推进成一个更完整的理论。

三、Poincaré 最后几何定理

Birkhoff 在 1913 年发表了《Poincaré 几何定理的证明》（Proof of Poincaré's geometric theorem）。这个结果今天通常称为 Poincaré–Birkhoff 定理。

设 是平面中的一个环状区域， 是一个保持面积的环域自同胚；如果 在内边界 上使点 “前进”，而在外边界 上使点 “后退”，那么 至少有两个不动点 。

这个结论起源于受限三体问题中的周期轨道问题。Poincaré 生前只证明了若干特例，Birkhoff 则给出了完整证明。

这个定理说明当一个面积保持系统在边界上施加相反扭转时，周期行为不是偶然出现，而是被几何结构强迫出来。后来大量关于辛映射、Hamiltonian 系统和周期轨道的工作，都把它当作出发点之一。

四、两自由度动力系统

1917 年，Birkhoff 发表长文《两自由度的动力系统》（Dynamical systems with two degrees of freedom）。这篇论文后来获得首届 Bôcher Memorial Prize，也通常被看作他成熟期动力系统研究的代表作。它处理了一个系统性的框架：如何对二维截面上的返回映射、轨道结构、不变集以及周期行为进行统一分析。

Birkhoff 在这里把 Poincaré 的想法系统化了：一个具有两自由度的连续动力系统，固定能量后通常落在一个三维能量流形上；选取一张二维横截面 ，就可以研究轨道每次回到 时诱导出的返回映射 。

这样，连续时间的微分方程问题就被转化为离散时间的平面映射问题。也正因为如此，后来许多人把 1910 年代到 1920 年代的 Birkhoff 视为美国动力系统学派的奠基者之一。

与这一方向直接相关的，是后来所谓的 Birkhoff 正规形（Birkhoff normal form）。设 Hamiltonian 函数在原点附近有

其中 是二次主部。Birkhoff 正规形的目标，是通过局部辛变换把高阶项尽量化简，使其与 的关系最简单。若系统已化到 阶正规形，那么对 有

其中 是 Poisson 括号。

这种思想最早虽是以隐含形式出现在 Birkhoff 那里，后来才由 Gustavson、Moser 等人继续发展成更完整的正规形理论。今天在 Hamiltonian 系统、摄动理论和分岔理论中，Birkhoff 正规形仍是基础工具。

五、遍历定理

Birkhoff 在 1931 年发表了《遍历定理的证明》（Proof of the ergodic theorem）：设 是 - 有限测度空间 上的保测变换， 。极限

对几乎处处的 都存在；而且。如果总测度有限，即 ，则 在 上的积分和 在 上的积分相同。

这个定理是遍历理论中最重要的定理之一。它把时间平均和空间平均联系起来。沿着一条轨道长时间观察某个物理量，与在整个状态空间上做积分平均，在适当条件下是相容的。对统计力学来说，这正是 “遍历” 思想的严格版本。

Birkhoff 的定理并没有解决统计力学中的所有困难，但它第一次把相关问题明确地放进了测度论框架，因此后来整个遍历理论几乎都从这里展开。

Wiener 称赞 Birkhoff 的遍历性定理是一项精心力作：

“遍历性假设的正确表述及其定理的证明，是美国数学界、乃至全球数学界，近来的最重要成就之一，这两者都是由 Birkhoff 完成的”。

这个卓越的定理可以上溯到麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）和玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann，1844-1906）试图建构气体动力论的努力。

六、测地线和广义相对论

他在研究二维球面上的测地线时，引入了著名的 Birkhoff 曲线缩短过程（curve-shortening process），并据此证明：任意赋予 Riemannian 度量的二维球面上，至少存在一条非平凡的闭测地线。这一结果可以看作是后来极小曲面理论中 “min-max 方法” 的早期原型。

Birkhoff 的基本思想是，将一族闭曲线（通常称为 sweepout）视为一个一维的同伦类，通过逐步 “缩短长度” 的变形过程，使曲线族在保持拓扑类型的同时趋向于能量（或长度）极小的临界点。

由于简单收缩会退化为常值曲线，他引入了一种变分意义下的 min-max 机制：在所有同伦等价的曲线族中，考虑其最大长度的下确界，从而得到一个非平凡的极值，这个极值对应的正是闭测地线。

这一方法不仅解决了 上闭测地线的存在性问题，还揭示了一个深刻的结构：闭测地线可以被理解为能量泛函在某种拓扑约束下的鞍点。

Birkhoff 的思想后来被他的学生莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）发展为 Morse 理论，并在更高维情形中由 Almgren–Pitts 的 min-max 理论加以推广。

Birkhoff 对广义相对论也有重要贡献，他证明了一个（和黑洞有关的）定理：真空的 Einstein 场方程的球对称解（spherically symmetric solution），必然是静态的（static），并由 Schwarzschild 度量（Schwarzschild metric）给出。

七、美学的数学化

Birkhoff 在 1933 年《美学度量》（Aesthetic measure）中提出的公式

其中 是审美量， 表示秩序， 表示复杂性。DOAJ 所收录的一篇研究性回顾指出，Birkhoff 在书中把审美量定义为 “order 与 complexity 的比值”，并把这套公式应用到多边形、装饰图样、花瓶、音乐和英语诗歌等对象上。

今天很少有人会把这套理论当作成熟的美学基础，但它确实是后来计算美学（computational aesthetics）的一个早期源头，也很能说明 Birkhoff 的普遍抱负：他一直相信，数学不只是一门专业技术，而是一种可用于更广形式世界的分析语言。