Hedlund
Hedlund
生平
古斯塔夫・阿诺德・赫德伦德（Gustav Arnold Hedlund, 1904-1993）是符号动力学（symbolic dynamics）和拓扑动力学（topological dynamics）的创始人之一。
他于 1904 年 5 月 7 日出生于美国 Massachusetts 州 Middlesex 县的 Somerville。
他的父母均是来自瑞典的移民。
父亲莫里茨・特奥多尔・赫德伦德（Mauritz Teodor Hedlund，1867-1929）曾担任 Hanover 的 Dartmouth College 建筑与场地助理主管；母亲特克拉・玛丽亚・斯塔克（Tekla Maria Starck，1872-1946）是一位家庭主妇。在 20 世纪初工业蓬勃发展的新英格兰，Hedlund 与兄弟威廉・西奥多・赫德伦德（Wilhelm Theodore Hedlund，1899-1944）一起在 Somerville 这个人口密集的且具有浓厚学术氛围的 Boston 郊区长大。
1925 年，他在 Harvard 大学获得了本科学位，在校期间强大的师资力量为他打下了极其扎实的纯数学分析与拓扑学基础。
随后他前往 Columbia 大学攻读硕士学位（约于 1927 年完成），并同时在亨特学院（Hunter College，现在是 New York 市立大学下的一所四年制学院）担任讲师。
此后，他返回 Harvard 大学攻读博士学位，师从 20 世纪大范围变分法（calculus of variations in the large）与大范围拓扑学（topology in the large）的绝对先驱莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）。
Morse 是伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）的学生。
在当时，“大范围（in the large）” 是一个极其前沿的数学理念，意味着跳出微积分的局部视角，将几何空间作为一个整体来研究其全局拓扑性质，这演变成了后来的 Morse 理论（Morse theory）。
Morse 理论的一些想法可追溯到凯莱（Arthur Cayley，1821-1895）和麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）所研究的地形学（topography）。
1930 年，Hedlund 凭借题为《I. 具有周期系数的二维 Riemannian 流形上的测地线；II. Poincaré 旋转数与 Morse 类型数》（I. Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold with periodic coefficients; II. Poincaré's rotation number and Morse's type number）顺利获得博士学位，这项工作确立了他一生将几何学与动力系统紧密结合的研究基调。
Hedlund 的正式学术生涯始于 1930 年，他在布林莫尔学院（Bryn Mawr College，距离费城不远）担任教职直至 1939 年。在此期间，他不仅教授解析几何、微积分等基础课，还讲授了变分法、位置分析（analysis situs，即拓扑学的早期名称）、微分方程、力学以及复变函数论等高级课程。
他在这里指导了他的首批博士生，包括 1937 年毕业的两位女学生安娜・格兰特（Anna Grant）和安妮塔・图勒（Annita Tuller，1910-1994）。
1939 年至 1948 年，他转任 Virginia 大学。
在这段时期，他指导了沃尔特・赫尔比格・戈特沙尔克（Walter Helbig Gottschalk，1918-2004）（1944 年毕业）和 W・罗伊（温菲尔德）乌茨（W. Roy (Winfield) Utz, Jr.，1919-2003）（1948 年毕业）等学生，这些学者后来推动了拓扑动力学（topological dynamic）的发展。
1948 年，Hedlund 转入 Yale 大学任教。他被授予 Philip Schuyler Beebe 数学讲席教授头衔直至 1972 年退休。在 1949 年至 1959 年长达十年的时间里，他担任数学系主任，并在 Yale 大学培养了一大批日后卓有建树的学者，包括
莱昂・威廉・格林（Leon William Green，1926-2009）：1948 年 Harvard 本科毕业，1952 年 Yale 博士毕业，1953 年起，任教于 Minnesota。
罗伯特・尤金・布莱恩（Robert Eugene Bryan）：1960 年毕业
约翰・杜安・弗格森（John Duane Ferguson）：1962 年毕业
纳尔逊・格罗・马克利（Nelson Groh Markley）：1966 年毕业，以及
伊桑・M・科文（Ethan M. Coven）：1967 年毕业等。
Hedlund 曾三次（1933–1934, 1938–1939, 1953–1954）前往 Princeton 的 Institute for Advanced Study（IAS）担任访问学者。
在 1962 年至 1963 年冷战期间，他更是跨界出任了 Institute for Defense Analyses（IDA）通信研究部的主任，参与了通信与国防相关的应用数学研究。
1943 年，他当选为科学界荣誉学会 Sigma Xi（Sigma Xi, The Scientific Research Honor Society）的成员。
退休后，Hedlund 仍前往 Wesleyan 大学担任客座教授，直至 1993 年 3 月 15 日辞世。
贡献
一、建立 Poincaré 旋转数（Poincaré rotation number）与 Morse 类型数（Morse type number）的联系
在 1932 年发表的一篇基于其博士论文的重要文章中，Hedlund 探索了流形上的周期行为。
对
Poincaré 旋转数是 Henri Poincaré 在 1885 年的论文《关于由微分方程定义的曲线（III）》（Sur les courbes définies par les équations différentielles (III)）里引入的。
假设
Henri Poincaré 证明了上面极限存在，且与所选取的起点
如果
同时，在其导师 Marston Morse 创立的变分法理论中有一个核心概念 ——Morse 类型数（Morse type number），用于量化动力系统中极小集（minimal sets）的拓扑复杂性（topological complexity）。
Hedlund 严格证明了：如果上述圆周变换的旋转数是无理数（irrational number），那么其对应的 Morse 类型数必定是奇数（odd number）。
这一优美的定理首次提供了一个极其强悍的拓扑不变量。它直接将几何上的旋转行为与变分学性质严密地绑定在一起，为基于极小不变集（minimal invariant sets）对拓扑变换进行分类提供了最早期的系统工具。
二、证明测地流的遍历性（ergodicity of geodesic flows）与几何动力学
20 世纪 30 年代，受 John von Neumann 提出的均值遍历定理（mean ergodic theorem）启发，数学界当时希望在具体的连续几何流形上验证这种宏观的统计力学性质。Hedlund 对常负曲率曲面上的测地流、Fuchsian 群作用以及相关轨道结构作出了重要研究，为几何动力系统和遍历理论的发展奠定了基础。
在这样的几何空间的单位切丛（unit tangent bundle）上，他严格证明了测地流（geodesic flow）关于 Liouville 测度（Liouville measure，即相空间的自然体积测度）是遍历的（ergodic）。
这意味着几乎所有轨道的时间平均（time averages）都将严格收敛于整个系统的空间平均（space average）。在宏观上表现出极其稠密的轨道（dense orbits）和强混合性质（strong mixing properties）。
Hedlund 通过严密分析几何流的非游荡集（non-wandering set）和传递性（transitivity），成功将几何约束转化为了严谨的测度论结果。
此外，他对具有周期测地曲率的 Riemannian 流形（Riemannian manifolds with periodic geodesic curvature）以及 Fuchsian 群的动力学（dynamics of Fuchsian groups）的研究，也为遍历理论（ergodic theory）打下了基础。
三、符号动力学（symbolic dynamics）的创立
符号动力学研究的对象是定义在离散空间上的动力系统，该离散空间由抽象符号构成的无限序列。
相关想法可追溯到 Hadamard 在 1898 年的关于负曲率曲面上测地线的论文《曲率相反的曲面及其测地线》（Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques）。
1921 年，Marston Morse 将其应用于构造非周期性递归测地线（nonperiodic recurrent geodesic）。
1938 年，Hedlund 与导师 Morse 发表《符号动力学》（Symbolic dynamics）及其后续《无尽国际象棋、符号动力学与半群中的一个问题》（Unending chess, symbolic dynamics, and a problem in semi-groups），通常被视为符号动力学作为系统理论的起点。
1948 年，Shannon 在《通信的数学理论》（A mathematical theory of communication）中系统使用符号序列、信源编码和熵的思想，开创了信息论。
这种离散组合框架（discrete combinatorial framework），使得研究人员能够通过纯符号编码（symbolic encoding）来分析复杂的动力学行为，为后来的混沌理论（chaos theory）提供了重要的理论基础。
四、拓扑动力学（topological dynamics）的公理化
早期的遍历理论（ergodic theory）高度依赖概率论和特定的测度工具（measure-theoretic tools）。
然而，Hedlund 指出，许多动力系统的长程演化属性（long-term evolutionary properties）可以剥离微积分，仅仅取决于底层的宏观拓扑结构（topological structure）。
1955 年，他与得意门生 Walter Gottschalk 共同出版了具有里程碑意义的专著《拓扑动力学》（Topological Dynamics）。
在这部著作中，他们采用抽象的拓扑半群（topological semigroups），将动力系统重新公理化（axiomatization）为拓扑变换群（topological transformation groups）在紧致空间上的连续作用。
利用点集拓扑语言，他们系统构建并分析了紧致空间上的同胚、迫近流（proximal flows）、极小集（minimal sets）和殆周期点（almost periodic points）等概念。这一公理体系宣告拓扑动力学正式脱离测度论，确立为一门纯数学分支。
在他的影响下，其学术后代将这些拓扑思想扩展到了常返变换（recurrent transformations）、区间映射和一般拓扑空间的演化性质，并启发了后来对拓扑熵（topological entropy）的研究。
五、Curtis-Hedlund-Lyndon 定理（The Curtis-Hedlund-Lyndon theorem）
这是 Hedlund 于 1969 年发表的论文《移位动力系统的自同态与自同构》(Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system) 中提出的著名纯数学定理（学界通常简称为 CHL 定理）。
该定理最初是作为符号动力学的核心结果提出的，极其优美地给出了离散动力系统演化规则的纯拓扑特征刻画。
在论文里，Hedlund 将柯蒂斯（Morton Landers Curtis，1921-1989）和林登（Roger Conant Lyndon，1917-1988）列为共同发现者。
Lyndon 在 1946 年获得博士学位（指导老师是 Saunders MacLane）；他的博士论文产生了 Lyndon-Hochschild-Serre 谱序列（Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence）。
在原始论文中，Hedlund 研究的是有限字母表上的全移位空间（full shift space over a finite alphabet）。
CHL 定理指出：一个定义在该空间上的全局映射（global mapping）能够由微观的 “有限局部块编码（sliding block codes）” 生成，当且仅当它同时满足两个宏观拓扑条件（macroscopic topological conditions）：
- 它是连续映射；
- 它与移位映射可交换（commutes with the shift map）。
尽管 Hedlund 证明该定理的初衷是为了研究纯数学中的有限型子移位（subshifts of finite type）等代数拓扑结构，并未直接涉足计算机领域。但后来理论计算机科学界发现，CHL 定理所刻画的拓扑映射，在数学本质上完全等价于一维元胞自动机（cellular automata）。
该定理极具远见地将计算机科学中微观的局部可计算性（local computability）与纯数学中宏观的点集拓扑连续性（point-set topological continuity）等价了起来。
