History of mathematics: Pólya波利亚：横跨数学与教育的通才大师

Pólya

生平

乔治・波利亚（George Pólya，1887-1985）出生于匈牙利布达佩斯一个犹太家庭。他是 Jakab Pólya 和 Anna Deutsch 五个孩子中的第四个。Pólya 的父亲 Jakab 早年是一名律师，但一直想成为一名大学教师。为此，他不惜在 Pólya 出生的五年前将犹太化的姓氏 Pollák 改成了更加匈牙利化的 Pólya，并全家改信主流的罗马天主教，以迎合当时学界的排犹风气。

Jakab 最终如愿以偿，成为布达佩斯（Budapest）大学的一名讲师（Privatdozent）。Pólya 的长兄耶诺・山多尔・波利亚（Jenő Sándor Pólya, 1876-1944）后来成为了有名的外科医生。尽管 Jenő 一直后悔没有投身数学，但是他开发出的胃切除术（后来被医学界称为 “Pólya 术（Pólya operation）”）一直流传至今。

Pólya 中学时期最喜欢的学科是生物和文学，而数学成绩则不是特别突出。他的几何作业成绩平平，不过他在算术方面的成绩要好得多。

他在数学上没有成功的原因很可能是由于教学不佳：他后来将中学时期三位数学老师中的两位都描述为 “可鄙的”（despicable）。

1905 年，Pólya 入读 Budapest 大学，期间由他已经参加工作的长兄 Jenő 提供经济支持。他开始学习法律，但因为觉得太无聊，所以一个学期后便放弃了。此后，Pólya 花了两年时间学习了他中学时期最喜欢的文学，并且取得了在中学教授拉丁语和匈牙利语的教学资格。这使 Pólya 引以为豪，尽管他从未实际参加过中学教学。

再后来，Pólya 对哲学产生了浓厚的兴趣。他的哲学教授建议他参加物理和数学课程以帮助他更深入地了解哲学。因为这一契机，Pólya 开始正式学习数学。

对这段经历，Pólya 后来调侃道：“我认为我在物理学方面不够好，在哲学方面则非常好。数学介于两者之间。”

在 Budapest 大学，Pólya 由调和分析学家费耶尔（Lipót Fejér, 1880-1959）教授数学。Pólya 后来说：“我深受 Fejér 的影响，正如我这一代的所有匈牙利数学家一样。事实上，我曾与 Fejér 在一些小事上合作过一两次。…… 但这并没有真正产生深远影响。”

1910-1911 年，Pólya 在维也纳（Vienna）大学学习，期间通过教当地一位政要的儿子赚取学费。在 Vienna，他参加了维廷格（Wilhelm Wirtinger, 1865-1945）和梅尔滕斯（Franz Carl Joseph Mertens, 1840-1927）的数学讲座，同时继续对物理学保持浓厚兴趣，参加了相对论、光学等物理讲座。

1912 年，Pólya 回到 Budapest 攻读数学博士学位，期间在基本没有指导的情况下研究了几何概率论（geometric probability）中的一个问题。他在 Göttingen 度过了 1912-1913 年的大部分时间。在那里，他与一大批数学大家来往，包括克莱因（Felix Christian Klein, 1849-1925）、卡拉西奥多里（Constantin Carathéodory, 1873-1950）、希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）、龙格（Carl David Tolmé Runge, 1856-1927）、兰道（Edmund Georg Hermann Landau, 1877-1938）、外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885-1955）、赫克（Erich Hecke, 1887-1947）、库朗（Richard Courant, 1888-1972）和托普利茨（Otto Toeplitz, 1881-1940）等。

不幸地是，Pólya 因为一件偶然的事故被迫离开了 Göttingen。他在 1921 年的一封信中解释说：“1913 年圣诞节，我乘火车从 Zürich 到 Frankfurt，当时我与火车车厢里坐在我对面的一位年轻人因为我掉下来的篮子发生了口角。我一时情绪激动，向他挑衅。看到他没有回应我的挑衅时，我又打了他的耳朵。后来发现，这个年轻人是某位头面人物的儿子，同时也是 Göttingen 大学的一名学生。在一些误会之后，大学教务会让我离开了。”

1914 年初，Pólya 前往 Paris 进行短期访问，会见了皮卡（Charles Émile Picard，1856-1941）和阿达玛（Jacques Salomon Hadamard，1865-1963）等人。但主要是由于糟糕的住宿条件，他并不太享受这段访问。在 Pólya 遇到的众多数学大家中，对他影响最大的数学家是赫尔维茨（Adolf Hurwitz，1859-1919）。当时，Hurwitz 在苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）担任数学教授。

于是，在 Pólya 得知 Hurwitz 为他安排了在 ETH Zurich 的讲师工作时（Hurwitz 本人在 ETH 担任数学教授），便欣然接受。后来他说：“我深受 Hurwitz 的影响。事实上，我去 Zurich 就是为了接近 Hurwitz。从我 1914 年到达 Zurich 到他 1919 年去世，我们保持了大约六年的密切联系。我们有合著了一篇论文，但这并不是全部。我对他印象深刻，并编辑了他的作品集。他的手稿也给我留下了深刻的印象。”

在 Zurich 期间，除了 Hurwitz 之外，Pólya 的同事还包括盖瑟（Karl Friedrich Geiser，1843-1934）、伯内斯（Paul Isaac Bernays，1888-1977）、策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，1871-1953）和 Weyl 等。

他到达 Zurich 当年，第一次世界大战开始。起初，战事并没有给 Pólya 带来实际影响，因为他在学生时代因足球受到的伤病导致他的身体状况不适合在匈牙利军队服役。

这对 Pólya 来说是幸运的，因为此时他已经是一位坚定的和平主义者，不愿参加战争。

然而，随着战争的进行，匈牙利军队对士兵越来越迫切，最终要求 Pólya 返回匈牙利参军，但他拒绝了。这使得战争结束后多年 Pólya 才能返回匈牙利而不必担心因未能服兵役而被捕。

实际上，Pólya 直到 1967 年才回到匈牙利，当时距离他上一次访问祖国已经过去了 54 年。

1918 年，Pólya 与瑞士女孩斯特拉・维拉・韦伯（Stella Vera Weber，1894-1989）结婚，她是纳沙泰尔大学（University of Neuchâtel）一位物理学教授的女儿。这段时间 Pólya 获得了瑞士公民身份。

1923 年，Pólya 和塞格（Gábor Szegő，1895-1985）向出版商 Springer 提出了他们出版两卷本作品的想法，并于 1925 年出版了后来使他们名声鹊起的数学杰作《分析中的问题与定理》（Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis，1925）。

Pólya 于 1913 年前后在 Budapest 第一次见到 Szegő，当时 Szegő 是 Budapest 大学的一名学生，Pólya 与 Szegő 讨论了对 Fourier 系数所做的一个猜想。后来这个猜想由 Szegő 证明了，成为他发表的第一项工作。

Pólya 和 Szegő 的问题集的特别之处在于内容并非按问题的主题进行分类，而是按解决问题的方法对问题进行分类。后来 Pólya 解释了为什么采取了这种与众不同的方式：

“我接触数学的时间很晚。…… 当我开始学习数学并学到一些东西时，我想：我懂了，这证明看上去准确无误；但人们是怎么找到这种结果的呢？我理解数学的困难在于：它是如何被发现的？”

1920 年，Pólya 被提升为 ETH Zurich 的特聘教授。1924 年，他获得了洛克菲勒奖（Rockefeller Fellowship），使他能够在英国跟随哈代（Godfrey Harold Hardy, 1877-1947）学习。

1924 年，他一部分时间在 Oxford，一部分时间在 Cambridge，期间与 Hardy 和利特伍德（John Edensor Littlewood, 1885-1977）合作，开始撰写《不等式》（Inequalities, 1934）一书。在编写这本书的同时，Pólya 继续发表了一系列非凡的工作。

1926-1928 年，他一共发表了 31 篇论文。鉴于这些工作的深度和数量，他于 1928 年顺理成章地被提升为 ETH Zurich 的正式教授。

在 Zurich 期间，Pólya 的数学成果数量众多且范围广泛。例如，1918 年，他发表了关于级数、数论、组合学和投票系统的论文。次年，除了关于这些主题的论文外，他还发表了关于天文学和概率论的文章。

在从事如此广泛的工作的同时，他还证明了在积分函数（integral functions）研究方面的一些非常深刻的结果。

1933 年，Pólya 第二次获得 Rockefeller 奖，使他能够访问 Princeton。访美期间，布利希费尔特（Hans Frederick Blichfeldt, 1873-1945）邀请 Pólya 访问 Stanford 大学，他去了并且非常喜欢那里。此后，Pólya 回到 Zurich，但在 1940 年，欧洲紧张的政治局势迫使 Pólya 移居美国。在 Brown 大学和史密斯学院（Smith College）工作了一段时间后，他前往 Stanford 大学任职。

在去美国之前，Pólya 已经有一本用德语写成的《怎样解题》（How to solve it）的草稿。他不得不尝试了四家出版商，才终于找到一家愿意在美国出版该书的英文版。此后该书售出超过 100 万册，并被翻译成 17 种语言。

Pólya 在《怎样解题》中解释说，解决问题需要研究启发法（heuristics）：“启发法的目的是理解发现和发明的方法和规则……‘Heuristic’作为形容词，原意是‘用于发现’。…… 其目的是发现当前问题的解决方案。…… 什么是好的教育？系统地给学生机会，让自己去发现事物。”

他还给出了许多明智的建议，包括：“如果你不能解决一个问题，那么你可以解决一个更简单的问题：找到它。”

Pólya 在职业生涯的后期花费了大量精力去寻找解决问题的系统方法，让学生、教师和研究人员能够更好地发现和创造新的数学。他写了五本关于这个主题的书。

1953 年，Pólya 从 Stanford 大学退休，但仍积极参与数学工作，特别是数学教育。

他以名誉教授的身份继续在 Stanford 大学工作，他的教学生涯也还没有结束。一直到 1978 年，他还在 Stanford 大学计算机科学系教授了一门组合学课程。

1985 年 9 月 7 日，Pólya 在美国加利福尼亚州帕洛阿尔托（Palo Alto）因中风去世。

许多人认为教学是 Pólya 对数学的最大贡献。对此，Pólya 后来评论道：“教学不是一门科学；它是一门艺术。如果教学是一门科学，就会有一种最好的教学方式，每个人都必须这样教学。由于教学不是一门科学，因此有很大的自由度，个人差异的可能性也很大。…… 让我告诉你我对教学的看法是什么。被广泛接受的第一要义是：教学必须是主动的，或者更确切地说是主动学习（active learning）。…… 数学教学的重点是发展解决问题的策略。”

Pólya 是 20 世纪最有影响力的数学家之一。他的数学贡献涵盖数论、数学物理、概率论、几何和组合学等，同时还是一位卓越的教师，在他漫长的职业生涯中一直对教学工作保持着浓厚的兴趣。

Pólya 因其杰出贡献获得了许多荣誉。他三次受邀在 ICM 发表演讲，包括 1928 年在博洛尼亚，1936 年在奥斯陆和 1950 年在马萨诸塞州剑桥。

他被选为美国国家科学院、美国艺术与科学院、匈牙利科学院院士，伦敦数学学会、英国数学协会、瑞士数学学会和布鲁塞尔国际哲学学院的荣誉会员。

有三个奖项以 Pólya 命名，分别由工业与应用数学学会（SIAM）、美国数学协会（MAA）和伦敦数学学会（LMS）设立。Stanford 大学有一处以他的名字命名的建筑（Pólya Hall）。

贡献

Pólya 的主要数学贡献包括下面几个方面：

一、概率论

1921 年，Pólya 证明了整数格点（integer lattice）上著名的随机游走定理（Math. Ann., 1921），后来被称为 Pólya 常返定理（Pólya's recurrence theorem）。考虑维整数格点上的简单随机游走，其从任意点都有相等的概率移动到任何相邻点。从格点上的任意一点开始进行随机游走，最终回到的概率是否为 1？

Pólya 给出了一个令人惊讶的回答：对于、上述问题的答案是肯定的，但对于则是否定的。

在证明过程中，Pólya 运用生成函数（generating function）方法，通过构造适当的生成函数来描述随机游走从原点出发经过步后返回原点的概率。生成函数后来成为了概率论中的一种重要工具。

Pólya 常返定理直观地说明了低维空间中，随机游走的轨迹会因为受到维数制约而不断回到起点，而在三维及更高维空间中，则存在正概率使得随机游走永远离开原点。

这一结果揭示了空间维数对随机过程行为具有根本影响，说明随着维数增加，随机游走轨迹扩散的趋势更明显。该成果不仅在理论概率论中占据重要位置，而且对后续研究随机过程、扩散现象等问题都产生了深远影响。

此外，Pólya 还做了许多关于正态分布的工作。特别地，他在 1920 年一篇论文《关于概率计算的中心极限定理与矩问题》（Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem, 1920）的题目中首次使用了 “中心极限定理（central limit theorem）” 一词，现在已成为标准术语。

二、组合数学

1937 年，Pólya 证明了组合数学中的一个重要结论，后来被称为 Pólya 计数定理（Pólya enumeration theorem）（Acta Math., 1937）。这项工作旨在解决具有对称性的离散结构的计数问题，例如图形着色、化学异构体分类、排列组合等。

考虑作用在有限集合上的置换群。对于任意，记作用下的不动元素为。

伯恩赛德（William Burnside, 1852-1927）引理（Burnside's lemma）断言：轨道（orbits）数可由下列公式计算：

Pólya 推广了 Burnside 引理，为处理具有对称结构的计数问题提供了一种系统而强大的工具，其核心思想是将由群作用表示的对称性引入计数过程，通过生成函数和群不变量简化计算。

具体来说，令为拥有个元素的有限集，代表种不同的颜色，代表用对集合的不同着色方案。

Pólya 计数定理（Pólya enumeration theorem）断言：

其中为的循环指标（cycle index）。

Pólya 的这一结论在实际应用中产生了深远影响。例如，在给正多边形或化合物分子着色时，传统计数方法容易陷入重复计算，而 Pólya 计数定理考虑到对象集合上群作用所产生的对称性，避免了枚举所有可能图像后再剔除同构方案的繁琐步骤。这一工作启发了很多数学家在相关领域寻找类似的对称性和不变量，其结论既简化了实际计算，也为后续在组合数学、统计物理和计算机科学等领域的相关研究提供了坚实基础。

三、数论中的 Pólya 猜想

1919 年，Pólya 在论文《数论的各种评论》（Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie, 1919）提出了下列命题：小于任意足够大的正整数的自然数 “大多”（即 50% 或更多）具有奇数个质因数（“most” (i.e., 50% or more) of the natural numbers less than any given number have an odd number of prime factors）。

具体来说，设为正整数，考虑 Liouville 函数

其中，为的质因数总数。如果整数的质因数为偶数，则为正；如果整数的质因数为奇数，则为负。

Pólya 猜想可以等价为：对于任意足够大的，。

Pólya 用数值方法验证了时上述命题成立。此后，英厄姆（Albert Edward Ingham, 1900-1967）在 1942 年证明了若 Pólya 猜想成立，则可推导出黎曼函数非平凡零点的正虚部之间存在线性依赖关系。因为学界普遍认为后者不成立，所以 Ingham 的工作使得人们对 Pólya 猜想是否成立产生了严重的怀疑。

最终，1958 年，Ingham 的学生哈泽尔格罗夫（Colin Brian Haselgrove, 1926-1964）在电子计算机的辅助下，证明了该命题是错误的。

雷曼（Russell Sherman Lehman, 1930-2023）在 1960 年的论文《关于 Liouville 函数》（On Liouville's function）发现了第一个显式反例，

最小的反例由稔田中（Minoru Tanaka）在 1980 年发现的。此后，这些反例常被用于说明即使某个猜想在许多情况下可能是正确的，但在一般情况下仍然不成立。

四、Hilbert-Pólya 猜想

1912 至 1914 年间，Pólya 在 Göttingen 与 Edmund Landau 讨论黎曼猜想可能的证明方法时提出，如果能够找到一个自伴算子（self-adjoint operator），使其特征值恰为黎曼函数非平凡零点的虚部，则可以推导出黎曼猜想成立。

这一思路给数学界试图证明黎曼猜想提供了一种新思路，即通过谱理论的方法揭示黎曼函数非平凡零点的深层结构。

设黎曼函数的所有非平凡零点为。Pólya 指出，可以试图构造一类形如的算子，其中为适当的无界算子，其特征值恰巧对应虚部。此时，若是自伴的，由于自伴算子的特征值必为实数，且其特征值与黎曼函数非平凡零点的虚部相对应，则说明这些零点必位于复平面上实部为的临界线上。

后来，上述问题被学界称为 Hilbert-Pólya 猜想。

这一猜想首次将数论中的黎曼猜想与量子力学中的谱理论关联，暗示黎曼猜想可能存在某种物理解释。

虽然 Pólya 在 20 世纪初就提出了这一设想，但当时缺乏实质性的技术支撑，导致很长一段时间没有实质性突破。

1950 年代，塞尔伯格（Atle Selberg, 1917-2007）证明了黎曼曲面上测地线长度与拉普拉斯算子特征值存在特定关系，即 Selberg 迹公式（Selberg's trace formula）。该结论表明函数零点确可通过某种迹公式与算子谱关联，为 Hilbert-Pólya 猜想提供了初步数学支持。

1970 年代，蒙哥马利（Hugh Lowell Montgomery, 1944 - ）发现黎曼函数零点的统计学规律与随机厄米矩阵（random Hermitian matrix）特征值分布一致。这一发现将数论问题与统计物理中的随机矩阵理论结合，进一步支持了 Pólya 的猜想。

1990 年代，贝里（Michael Victor Berry, 1941-）与基廷（Jonathan Peter Keating, 1963-）提出，黎曼函数的零点可能对应经典哈密顿量（位置与动量的乘积）的某种特定量子化算子的特征值，并且可以通过引入适当的边值条件控制零点分布的渐进行为。这为研究 Hilbert-Pólya 猜想提供了更具体的物理模型。