History of mathematics: Singer辛格：指标定理与数学物理融合的巨人

Singer

生平

艾萨多・曼纽尔・辛格（Isadore Manuel Singer，1924-2021）出生于美国 Michigan 州的底特律（Detroit）。他的父母西蒙・辛格（Simon Singer）与弗雷达・罗斯（Freda Rose）均为波兰人，于 1917 年移民加拿大多伦多，在那里结婚后迁居 Detroit。在学生时代，Singer 的兴趣广泛，既喜欢科学，也热爱阅读。1941 年 9 月，他进入 Michigan 大学就读，最终选择了物理学作为自己的专业方向。

由于第二次世界大战的爆发，大学课程被压缩，Singer 以惊人的速度在两年半内完成了学业，于 1944 年 1 月获得理学学士学位。

他早期对物理学的热情，特别是对相对论和量子力学的浓厚兴趣，成为了他未来学术道路的最初驱动力，并将他引向了纯粹数学的领域。

毕业后，Singer 立即加入了美国陆军通信兵团（U.S. Army Signal Corps）。他被派往菲律宾，在那里担任雷达军官，并为菲律宾军队开办了一所通信学校。Singer 负责通信兵学校的教学工作。

这三年的军旅生涯的业余时间他为日后在 Chicago 大学攻读物理作准备，自学研习了群论与微分几何，他意识到扎实的数学背景对于物理研究的重要性。

战争结束后，Singer 于 1947 年 1 月进入 Chicago 大学攻读研究生，最初的目标依然是物理学。他认为要想在相对论和量子力学领域取得突破，必须掌握更坚实的数学基础，于是改攻数学硕士。然而，当他沉浸在 Chicago 大学浓厚的数学氛围中时，他被现代数学的优雅与严谨深深吸引。

他后来回忆道：“我发现数学比量子力学更优雅、更现代。” 这种吸引力，使他最初 “将数学作为工具” 的想法，逐渐转变为 “将数学作为事业” 的决心。

Singer 在 1950 年获博士学位。其博士导师为欧文・埃兹拉・西格尔（Irving Ezra Segal，1918-1998），论文题为《无界算子的李代数》（Lie algebras of unbounded operators）。

多兰（Doran）写道：当时 Chicago 大学数学系由富有远见的斯通（Marshall Harvey Stone，1903-1989）领导，汇聚了世界上最杰出的数学家。

资深教授包括陈省身先生（Shiing-shen Chern，1911-2004）、麦克莱恩（Leslie Saunders MacLane，1909-2005）、韦伊（André Abraham Weil，1906-1998）和齐格蒙德（Antoni Szczepan Zygmund，1900-1992），卡普兰斯基（Irving Kaplansky，1917-2006）、Irving Segal 和哈尔莫斯（Paul Richard Halmos，1916-2006）等年轻学者活跃于算子理论与算子代数的研究。此外，大批知名访问学者与优秀研究生慕名前来，这正是辛格早期研究所处的充满活力的环境。

这一课题的选择极具深意，因为算子代数正是 John von Neumann 为量子力学建立的严谨数学框架。因此，Singer 的 “转向” 并非远离物理，而是直击其数学核心。

获得博士学位后，Singer 于 1950 年获 MIT C. L. E. Moore 讲师职位。两年后转任 UCLA（1952-1954）数学助理教授。1954 年，他赴 Columbia 大学任访问助理教授一年，次年又以访问身份在 Princeton 的 IAS 工作。

在那里，他结识了三位将对他学术生涯产生巨大影响的数学家：Michael Atiyah、Friedrich Hirzebruch 和 Raoul Bott。这次相遇为他日后的合作奠定了基础。

1956 年，Singer 回到 MIT，并在此度过了他职业生涯的大部分时光。他于 1959 年晋升为正教授。1961 年 Singer 与希拉・拉夫（Sheila Ruff）结婚，育有一女娜塔莎・辛格（Natascha Singer，现为《纽约时报》记者）。婚姻于 70 年代中期结束。后来他与罗丝玛丽（Rosemarie）结婚，并在 Berkeley 育有两女艾米莉（Emily）和安娜贝尔（Annabelle）。1970 年，他被任命为 MIT Norbert Wiener 讲座教授。

1977 年赴加州大学伯克利分校（University of California, Berkeley）任访问教授两年，1979 年受聘为 Berkeley 正教授。1982 年获 Berkeley Miller 教授头衔，但次年返回 MIT，任 John D MacArthur 讲座教授，1987 年获聘为 MIT 学院教授（Institute Professor）。

1977 年至 1984 年，Singer 在 Berkeley 任教的这段时期，对于数学与物理学的关系而言，是一个变革的时代。当时，物理学家在规范场论（gauge theory）方面取得了巨大进展，而 Singer 敏锐地意识到其背后深刻的几何结构。

为了深入理解这些新发展，他在 Berkeley 创办了一个数学 - 物理研讨会。这个研讨会打破了学科壁垒，成为数学家和物理学家交流思想、激发合作的重要平台。

Singer 的远见卓识并不仅限于促进学术交流，他更致力于为科学研究构建稳固的制度基础。他深知，他个人通过合作取得的成功经验，可以惠及整个学术界。基于这一理念，他与几何学大师陈省身以及卡尔文・C・摩尔（Calvin C. Moore，1936-2023）一道，积极倡导并推动了数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute, MSRI）的建立。

在他们的努力下，该提案获得了美国自然科学基金（National Science Foundation）的批准，MSRI 于 1982 年正式成立。它迅速发展成为世界顶级的数学研究中心，并为全球其他类似机构的建立提供了典范。

Singer 的影响力超出了学术研究的范畴。他积极投身于科学政策的制定与公共服务。1982 年至 1988 年，他在罗纳德・威尔逊・里根（Ronald Wilson Reagan，1911-2004）总统任内担任白宫科学委员会（White House Science Council）的成员。这段经历让他对政府部门中科学家的才智深感敬佩，并认为在许多情况下，科学政策专家的选择比学术界的终身教职评定更能体现出卓越的判断力。

此外，他还是美国国家科学院、美国艺术与科学院的院士，并曾服务于美国国家科学院理事会和国家研究委员会理事会。

1970 年至 1972 年，他还担任了美国数学会的副主席。这些职务体现了他对整个科学事业健康发展的深切责任感。

1984 年，Singer 回到 MIT，并于 2010 年正式退休。然而，他对数学和教育的热情从未消减。在他七十多岁时，他做了一件令许多人惊讶的事：自愿担任大一新生物理微积分课程的助教，而非教授。他对此的解释很简单：“我想更好地了解 MIT”。这体现了他谦逊的品格和对教育最本真的热爱。他曾说道：对我而言，课堂是科研的重要补充。我喜欢教授各个层次的本科生，也拥有众多研究生，其中不少学生教会了我比我教他们更多的东西。

在 Killian 奖颁奖词中也强调：他可能是唯一一位经常教授普通微积分入门课程的美国大学特聘数学教授。

在个人生活中，Singer 是一位爵士乐迷，年轻时曾去听过埃拉・简・菲茨杰拉德（Ella Jane Fitzgerald，1917-1996）的演唱会。他还是一位狂热的网球爱好者，球技高超，直到八十多岁高龄依然坚持运动。

2001 年美国数学会授予他 Steele 终身成就奖，其颁奖词称：Singer 与 Michael Atiyah 合作的五篇关于椭圆算子指标定理的论文（1968-1971）以及与 M. Atiyah、维杰・库马尔・帕托迪（Vijay Kumar Patodi，1945-1976）合作的三篇关于带边流形指标定理的论文（1975-1976）是全球分析学的经典之作，激发了微分几何、微分拓扑及分析中的众多发展。

在获奖致辞中，Singer 回忆道：我与 Atiyah 爵士的合作持续二十余年，令人兴奋，我们的工作至今仍在产生深远影响。Atiyah 爵士是一位杰出的人，不仅在数学上卓有成就，还为全球科学事业投入了大量心力。我很幸运拥有众多数学与物理领域的合作伙伴，他们中许多人已成为我亲密的朋友，人数超过三十，难以一一列举。

颁奖词还指出：指标定理只是 Singer 贡献的一小部分。他与丹尼尔・伯里尔・雷（Daniel Burrill Ray, 1928-1979）合作研究的解析挠量（analytic torsion），开创了几何中 “行列式不变量” 的研究。此外，Singer 二十年来致力于联结数学家与理论物理学家，不仅通过讲座交流，更通过深入理解、改写并使数学家能够接触现代理论物理的核心成果。他在促成 20 世纪 70 年代中期以来数学与物理重新密切互动的 “复兴” 中发挥了关键作用。

2004 年，他与 Michael Atiyah 共同获得了 Abel 奖，以表彰他们 “发现并证明了指标定理，将拓扑、几何与分析融为一体，并在建立数学与理论物理之间的新桥梁中发挥了卓越作用”。

2021 年 2 月 11 日，Isadore Singer 在 Massachusetts 州的 Boxborough 去世，享年 96 岁。

贡献

一、Atiyah-Singer 指标定理

Atiyah-Singer 指数定理是二十世纪最伟大的数学成就之一，它完美地体现了 Singer 的数学哲学。这部分内容在 Atiyah 的工作介绍中已经提及，这里仅仅简单介绍一些历史。该定理的思想渊源可以追溯到 19 世纪的经典结果，例如 Gauss-Bonnet 定理。到了 20 世纪中叶，Hirzebruch-Riemann-Roch 定理和 Hirzebruch 符号差定理在代数几何与拓扑学中进一步发展了这一思想。

Israel Gelfand 在 20 世纪 60 年代初提出的一个问题。他注意到椭圆算子的指标在算子连续形变下保持不变，因此他想要用空间的拓扑不变量来计算这个指标。一个关键的突破口源于 Atiyah 的一个洞察：一个被称为 - 亏格（-genus）的拓扑不变量总是整数，这或许可以用某个微分算子的指标来解释。然而，这个算子是什么并不清楚。此时，Singer 深厚的分析学功底发挥了决定性作用。

他与 Atiyah 一道，在黎曼流形的框架下重新发现并推广了源自相对论量子力学的 Dirac 算子。

事实证明，Dirac 算子正是解开这个谜题的钥匙，它成为了指数定理最核心、最典型的例子。

Atiyah 和 Singer 为该定理提供了多种证明，每一种都揭示了其不同层面的内涵。1963 年最初的证明思路使用了配边理论（cobordism theory）。而他们首次发表的完整证明则采用了 K- 理论（K-theory），这是一个更强大、更灵活的代数拓扑工具。

后来，由 Atiyah、Bott 和 Patodi 发展的热方程证明（heat equation proof），则与物理学中的路径积分思想产生了深刻的共鸣。

原始的指标定理只适用无边的紧流形。然而，许多物理和几何问题都涉及带边空间。在与 Patodi 的合作中，Atiyah 和 Singer 将该定理推广到这种更复杂的情形 (1975-1976)。他们发现，对于许多重要的算子（如符号差算子），简单的局部边界条件是不够的。为此，他们引入了一种全局边界条件，并在指标公式中加入了一个边界修正项，即著名的 - 不变量（ -invariant）。这是由边界上算子的谱定义的不变量，它后来在拓扑学和量子场论中也发现了深刻的应用。

二、规范场论

Singer 是最早认识到现代物理学与微分几何之间深刻联系的数学家之一。1975 年，物理学家杨振宁（Chen-Ning Yang，1922-2025）与 Singer 的学生西蒙斯（James Harris Simons，1938-2024）发表论文，揭示物理学中的规范场（gauge field）与数学中的纤维丛上的联络（connection on a fiber bundle）在数学上是同一个概念。

Singer 立刻意识到这一发现的意义，并迅速投身于促进两个学科的交流，他在 Berkeley 的研讨会正是在这一背景下应运而生。

这一交流并非单向的 “数学应用”，而是一场真正的对话。

物理学为数学家们提出了全新的、深刻的研究对象和问题，而数学则为物理学家提供了严谨的框架和强大的计算工具。指标定理在这一过程中扮演了核心角色。

例如，物理学家发现的瞬子（instantons）—— 规范场方程的特殊解 —— 其解空间的维数，可以通过 Atiyah-Singer 指标定理精确计算出来。

此外，物理学中的手征反常现象，也通过算子族指标定理得到了完美的数学解释，这对于验证粒子物理标准模型的一致性至关重要。

三、Ray-Singer 解析挠率

在 Singer 与雷（Daniel Burrill Ray , 1928-1979）的合作中，Singer 引入了解析挠率（analytic torsion）的概念。这是组合拓扑学中雷德迈斯特（Kurt Werner Friedrich Reidemeister , 1893-1971）挠率的一个解析的版本。Reidemeister 挠率是代数拓扑中第一个能够区分同伦等价但不同胚（not homeomorphic）的不变量。

而 Ray-Singer 的解析挠率是通过 Hodge Laplace 算子作用在 - 形式上的谱来定义的。如果其特征值为，考虑函数（zeta function）

当的实部足够大时，上式收敛。然后通过解析延拓（analytic continuation），可将其扩展到整个复平面。

函数的正则化行列式（zeta-regularized determinant）定义为

它在形式上等价于 Laplace 算子在- 形式上的正特征值的乘积。由此，解析挠量（analytic torsion）定义为

函数的正则化行列式是一个关键，该方法被用来定义一个无穷维算子的行列式。这一技术后来成为量子场论中的标准工具。此外，1973 年 Ray–Singer 发表《复流形的解析挠率》（Analytic torsion for complex manifolds），把挠率（torsion）的定义转到复流形上，建立了后被称为全纯挠率（holomorphic torsion）的理论。这些工具后面被 Bershadsky–Cecotti–Ooguri–Vafa（1993 / 94）用在三维 Calabi–Yau 上计算拓扑弦振幅，并给出了对椭圆曲线计数的具体预测。

如今，Ray-Singer 解析挠率在拓扑学、弦论和量子引力等前沿领域中扮演着重要角色。1977 至 1979 年，齐格（Jeff Cheeger，1943-）和穆勒（Werner Müller，1949-）证明了 Ray-Singer 的猜想：对于紧黎曼流形，解析挠率与 Reidemeister 挠率相同。

四、Kadison-Singer 问题

1959 年，Singer 与卡迪森（Richard Vincent Kadison , 1925-2018）提出了一个源于量子力学数学基础的深刻问题，即 Kadison-Singer 问题。考虑可分 Hilbert 空间，以及与之相关的两个 - 代数：

代数：由所有从到的连续线性算子组成；以及
代数：由所有从到的对角连续线性算子组成。

在一个 - 代数上，态（state）是一个连续线性泛函满足（其中表示代数的乘法单位元），并且对所有都成立。若一个态不能写成其他态的凸组合，则称该态为纯态（pure state）。

根据 Hahn–Banach 定理，在上的任意线性泛函都可以扩张到。Kadison 与 Singer 猜想，在纯态的情形下，这种扩张是唯一的。也就是说：对于上的每一个纯态，存在唯一的态在上对它进行扩张。

Kadison 和 Singer 本人倾向于认为答案是否定的，但这个问题异常困难，在长达 50 多年的时间里悬而未决，并被发现与信号处理、图论、调和分析等众多领域的未解难题等价。

2013 年，该问题最终被马库斯（Adam Wade Marcus，1979-）、斯皮尔曼（Daniel Alan Spielman，1970-）和斯里瓦斯塔瓦（Nikhil Srivastava）以肯定的方式解决，成为数学界的一大突破。

五、其他工作

Singer 的其他重要工作还包括：

1、与沃伦・亚瑟・安布罗斯（Warren Arthur Ambrose，1914-1995）合作的 Ambrose-Singer 定理，这是微分几何中一个联系联络的曲率与和乐群（holonomy group）的基本定理。考虑黎曼流形中的由参数、给出的光滑曲面。设向量定义在起点，让沿着的边界平行移动一圈，这条闭曲线构成了一个回路。

沿该回路的平行移动对应于 holonomy 群的一个元素，它作用在向量上。当将这个平行四边形收缩到零时，这一过程对应于对平行移动算子的微分：

其中是曲率张量。因此，曲率刻画了无穷小闭合回路的 holonomy 效应。更确切地说曲率是 holonomy 作用在群单位元处的微分：。

考虑一个结构群为的主丛（principal-bundle），联络形式为，其曲率形式（curvature form）为，即取值于 Lie 代数的 2 - 形式。

Ambrose–Singer 定理指出：对于任意点，其 holonomy 群的李代数由所有形如的元素生成，其中为与可由水平曲线（horizontal curve）连接的点（记作），而、为处的水平切向量。
简而言之，Ambrose–Singer 定理说明：一个联络的 holonomy 群的 “无穷小结构（即其李代数）” 完全由曲率张量的取值所决定。

因此要分类可能出现的 holonomy，就等价于分析哪些可以由满足 Bianchi 恒等式的 “代数曲率张量” 所生成。马塞尔・伯杰（Marcel Berger，1927-2016）在 1955 年，给出了单连通、不可约且非局部对称的黎曼流形的 holonomy 群的完整分类。

西蒙斯（James Harris Simons，1938-2024）在 1962 年的论文《关于和乐系统的传递性》（On the transitivity of holonomy systems）里证明了若不可约的黎曼和乐系统（holonomy system）在单位球面上不是传递（transitive）作用，则流形必为局部对称。

换句话说只要不是局部对称空间，holonomy 在切空间单位球上就必须传递作用。于是结合已知 “紧连通李群在球面上传递作用” 的分类，可以得到 Berger 的分类定理。

2、与小亨利・P・麦基恩（Henry P. McKean, Jr.，1930-2024）合作的 McKean-Singer 公式，该公式将算子的指标与热核（heat kernel）联系起来，为指标定理提供了另一条证明路径，并与量子场论的路径积分方法紧密相连。

设是一个紧致的黎曼流形，考虑 Hodge–de Rham 算子以及 Hodge-Laplace 算子。