Grothendieck

生平

1945 年，Schurik（此后我们将称他为 Grothendieck）和他母亲搬到了蒙彼利埃附近的梅萨尔格村（Maisargues）。在那里，Grothendieck 一边在葡萄园工作，一边利用一笔小额奖学金进入蒙彼利埃大学（Université de Montpellier）学习数学。在学校时，他对所学数学内容感到不满。

他曾这样描述自己的感受：“让我最不满意的是高中数学教材中缺乏对某些概念的严谨定义，比如曲线长度、曲面面积和立体体积。我当时对自己承诺，如果有机会，我一定要弥补这个空白。”

这段早期的反思与探索为 Grothendieck 的数学研究奠定了坚实的基础，并展现出他对概念本质的强烈渴望，这种特质贯穿了他的一生。

在蒙彼利埃大学就读期间，Grothendieck 的教授们并未能帮助他弥补这些对于概念本质理解上的空白，他不得不独立开展研究。他的第一段真正的数学经历就发生在蒙彼利埃的本科阶段。

他对当时所接受的教学深感不满。他学会了如何计算球体的体积，但没有人向他解释过体积的定义。他认为，将 “如何做” 转变为 “为什么这样” 是数学精神的显著标志。

一位教授告诉他，有位名为 Lebesgue 的数学家解决了数学中所有剩余的难题，但其工作过于复杂，无法讲授。

这种回应并未让 Grothendieck 却步，他在几乎没有任何提示的情况下，独自重新发现了一种非常广义的勒贝格积分的版本。他的第一篇数学工作就这样在完全孤立的环境下诞生了。（我们稍后会看到关于这段故事的另一视角的叙述）

蒙彼利埃的 Soula 教授相信勒贝格（Henri Lebesgue, 1875-1941）已经解决了所有尚未解决的数学问题。这位教授曾师从埃利・嘉当（Élie Joseph Cartan, 1869-1951），并建议 Grothendieck 前往巴黎，与亨利・嘉当（Henri Paul Cartan, 1904-2008）学习。Grothendieck 接受了这一建议，他于 1948 至 1949 学年在巴黎高等师范学院（École Normale Supérieure）学习。

在巴黎期间，他参加了 Henri Cartan 的研讨班，主题涉及代数拓扑和层理论。在这里，Grothendieck 认识了当时一批顶尖的数学家，他们也参与了 Cartan 的研讨班，其中包括克洛德・谢瓦莱（Claude Chevalley, 1909-1984）、让・德尔萨特（Jean Frédéric Auguste Delsarte, 1903-1968）、迪厄多内（Jean Alexandre Eugène Dieudonné, 1906-1992）、戈德曼（Roger Godement, 1921-2016）、施瓦茨（Laurent-Moïse Schwartz, 1915-2002）以及韦伊（André Weil, 1906-2008）。

与此同时，他的一位同学正是后来的菲尔兹奖得主让 - 皮埃尔・塞尔（Jean-Pierre Albert Achille Serre, 1926- ）。尽管 Cartan 的研讨班主要关注代数拓扑，但当时 Grothendieck 对拓扑向量空间的兴趣更浓厚。Weil 和 Henri Cartan 建议他前往南锡（Nancy），因为那里有一支强大的研究团队，包括上述提到的 Dieudonné、Delsarte、Godement 和 Schwartz。

关于这段经历，Cartan 在一段采访中有所提及：“… 严格来说，Grothendieck 并不是我的学生。他十二岁时以难民身份来到法国，那是纳粹时期；他的母亲是德国人，父亲是俄罗斯人。他的学业得到了一个私人机构的资助，这个机构由一位法国数学家负责，这位数学家后来成为了总督察（教育系统中的高级官员）。这位有远见且富有奉献精神的科学家发现了这个年轻人的才华，并为他提供了奖学金，这使他不仅完成了中学学业，还得以在蒙彼利埃大学学习了一年（不过他认为在那里没有学到太多东西…）。第二年，他来到巴黎并参加了我的研讨班。在积分学方面，他有一些非常笼统且抽象的想法，而我和 Dieudonné 都对此提出了一定的质疑。随后我们决定把他送到南锡，那里的学术氛围很活跃，有一所充满活力的学校，得益于 Jean Delsarte、Jean Dieudonné、Laurent Schwartz、Roger Godement 以及其他一些人的存在。

Dieudonné 起初认为他有些自负，但还是给他提出了一些泛函分析方面的问题，这些问题是他和 Schwartz 在最近的研究中未能解决的问题。Grothendieck 起初沉默不语，但两个月后，他完全解决了这些问题，这让南锡的数学家们信服了他的能力。”

我们继续讲下他在南锡的故事。1949 年，Grothendieck 搬到了南锡大学（University of Nancy），与他的母亲同住。他的母亲因在拘留营期间感染了肺结核，偶尔需要卧床休养。此时，Grothendieck 与房东的一位女士育有一子，名为 Serge。Serge 主要由他的母亲抚养长大。

在南锡，Grothendieck 与 Jean Dieudonné 合作研究泛函分析。他当时拥有的书籍寥寥无几，但他并不通过阅读来学习，而是倾向于自己重新构建知识。他工作极为勤奋。南锡的学术氛围非常活跃，每周六都有一个研讨班，教授们和部分学生共同参与，研讨各类数学主题。这为年轻的 Grothendieck 提供了绝佳的研究环境。

Dieudonné 回忆道：“对于局部凸空间的对偶性理论需要进行全面的研究。施瓦茨和我已经开始研究 Fréchet spaces 及其 direct limit，但我们遇到了一系列无法解决的问题。于是我们将这些问题交给了 Grothendieck，而他的成果远远超出了我们的期望。在不到一年的时间里，他用极富创造性的构造方法解决了我们所有的问题；然后，他利用自己开发的技术，开始研究泛函分析中的许多其他问题。”

1953 年，Grothendieck 提交了博士论文《拓扑张量积与核空间》（Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires）。他于 1953 年 2 月 28 日在巴黎进行博士论文答辩。

当时出席答辩的一位数学家马尔格朗日（Bernard Malgrange, 1928-2024）回忆道：“在完成博士论文后，Grothendieck 表示他对拓扑向量空间不再感兴趣。他告诉 Malgrange：‘这个领域已经没有什么可做的了，这个主题已经死了。’” 当时，学生需要准备一篇 “第二论文”，这篇论文不需要原创研究，

但旨在展示学生对与博士研究主题完全不同的数学领域的深入理解。他的第二论文主题是层理论，而这项工作可能为他在代数几何领域的伟大成就播下了种子。Grothendieck 的博士论文答辩在巴黎举行。答辩结束后，Malgrange 回忆说，他与 Grothendieck 以及 Henri Cartan 一起乘出租车前往 Laurent Schwartz 家中共进午餐。当时选择乘出租车是因为 Malgrange 因滑雪摔断腿。在车上，Cartan 向 Grothendieck 解释了他在层理论中所提出的一些不正确的观点。”

1953 年至 1955 年间，Grothendieck 在巴西圣保罗大学（University of São Paulo）任教，随后一年在美国堪萨斯大学（University of Kansas）工作。然而，在此期间，他的研究兴趣发生了转变，逐渐转向拓扑学和几何学。实际上，从 1950 年起，Grothendieck 便一直受到法国国家科学研究中心（Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS）的资助。1956 年离开堪萨斯后，他回到 CNRS。

与此同时，他成为了布尔巴基学派的一员，该学派包括 André Weil、Henri Cartan、Jean Dieudonné。然而，1959 年，Grothendieck 接受了当时新成立的法国高等科学研究所（Institut des Hautes Études Scientifiques, IHÉS）提供的研究职位。这在当时是一所完全由私人资助研究机构，Jean Dieudonné 和 Grothendieck 是最早受邀的数学家。

Grothendieck 也得以在那里举办的密集且高产的研讨活动，并引起了广泛关注。在此期间，他几乎停止了通过传统的学术期刊发表论文。然而，Grothendieck 通过举办讨论班并出版 SGA（布瓦玛丽代数几何研讨班 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie，简称 SGA）在数学界占据了主导地位约十年，并形成了一个强大的学派。

在这段时间内，他的正式学生包括：

• 米歇尔・德马祖尔（Michel Demazure, 1937-）：参与 SGA3 的工作，研究群概型 group scheme；
• 吕克・伊吕西（Luc Illusie, 1940-）：研究 cotangent complex；
• 米歇尔・雷诺（Michel Raynaud, 1938-2018）；
• 让 - 路易・维尔迪耶（Jean-Louis Verdier, 1935-1989）：导出范畴 derived category 理论的共同创立者；
• 皮埃尔・德利涅（Pierre Deligne, 1944-）。

SGA 项目的合作者还包括：

• 迈克尔・阿廷（Michael Artin, 1934- ）：研究 étale 上同调；
• 尼克・卡茨（Nick Michael Katz, 1943- ）：研究单值理论 monodromy 和 Lefschetz pencil；
• 让・吉罗（Jean Henri Gaston Giraud, 1938-2012）：扩展了非交换上同调理论。

其他许多人也参与其中，如：

• 大卫・芒福德（David Bryant Mumford, 1937- ）；
• 罗宾・哈茨霍恩（Robin Cope Hartshorne, 1938- ）；
• 巴里・马祖尔（Barry Charles Mazur, 1937- ）；
• 拉马努詹（Chakravarthi Padmanabhan Ramanujam, 1938-1974）。

正如文献《Grothendieck 的遗产》中描述的那样：“不夸张地说，Grothendieck 在 IHÉS 的 1959 年至 1970 年是他的‘黄金时代’。在他的个人魅力和领导下，一个全新的数学流派蓬勃发展。Grothendieck 的《代数几何研讨班》（Séminaire de Géométrie Algébrique）将 IHÉS 建立为代数几何的世界中心，而他是这一领域的核心推动力量。”

在这一时期，Grothendieck 的工作为几何学、数论、拓扑学和复分析提供了统一的主题。他在 20 世纪 60 年代引入了概型理论（theory of schemes），这一理论为解决 Weil 猜想提供了工具。他还研究了拓扑斯理论（topos），这一理论与数学逻辑密切相关。他为 Riemann-Roch theorem 给出了代数证明，并提出了曲线基本群的代数定义。Grothendieck 的这一系列成果不仅彻底改变了代数几何领域，也为现代数学奠定了重要基础。

20 世纪 50 年代后期，Grothendieck 与米雷耶（Mireille）生活在一起，两人育有三个孩子：约翰娜（Johanna）、马修（Mathieu）和亚历山大（Alexandre）。几年后，他与米雷耶结婚。

1964 年，Luc Illusie 开始参加 Grothendieck 在法国高等科学研究所（IHÉS）主持的研讨班。他在回忆录中写道：“他在黑板前讲解时充满激情，同时也非常注意回顾所有必要的背景知识。他的讲解极为精准，条理清晰，即便像我这样对该主题一无所知的人，也能够理解其形式结构。虽然讲解速度很快，但清晰程度足以让我记笔记。”

他于 1966 年获得菲尔兹奖。回顾这一时期，人们无不惊叹于 Grothendieck 与同事及学生分享自己思想的慷慨精神，他与合作者对精确编撰工作的投入，以及他们探索数学新领域时所展现的激情与兴奋。

菲尔兹奖授予 Grothendieck 的颁奖词：“Grothendieck 在 Weil 和 Zariski 工作的基础上，推动了代数拓扑和代数几何的根本性进步。他引入了- 理论的概念（即 Grothendieck 群和环），并在他著名的 Tôhoku paper 中彻底革新了同调代数。”

颁奖词中提到的 Tôhoku paper 是指 Grothendieck 发表在日本东北大学期刊上的文章《关于同调代数的若干问题》（Sur quelques points d'algèbre homologique），涉及阿贝尔范畴、模层、消解、导出函子和 Grothendieck 谱序列。然而，1966 年国际数学家大会于当年 8 月在莫斯科召开，而菲尔兹奖的颁发却遇到了一些困难。Grothendieck 拒绝前往莫斯科领取菲尔兹奖。

在大会上，由 IHÉS 的负责人莱昂・莫特尚（Léon Motchane, 1900-1990）代为接受奖项。Grothendieck 并未公开声明他拒绝赴莫斯科的具体原因，但他宣称自己是 “世界公民”，并申请了联合国公民身份。

1967 年 11 月至 12 月，Grothendieck 访问了当时正遭受美军轰炸的北越。他的第一批讲座 —— 他称之为 “总览性讲座”—— 在河内举行。然而，由于首都轰炸加剧，高层决定将所有人撤离到河内大学数学系的秘密地点。Grothendieck 写道：“随后我在河内大学的撤离地（距首都约 100 公里）度过了一周半的时间；这段时间主要用于一个更专业的专题讲座，内容涵盖范畴和同调代数，听众约有 30 到 40 人，大多数是在听了我在河内的总览性讲座后追随而来的。”

Grothendieck 回忆这一事件成为数学史上的一个重要时刻：20 世纪最伟大的数学家之一，在一个被美军轰炸得 “回到石器时代”（美国空军将领柯蒂斯・勒梅（Curtis Emerson LeMay, 1906-1990）的说法），必须在极端贫困的丛林隐蔽所中，开设一个关于同调代数的短期课程。

1970 年，Grothendieck 离开了法国高等科学研究所（IHÉS）。这是由于他在 1969 年发现该研究所的一部分资金来自军事机构。他与其他教授共同劝说所长 Léon Motchane 不再接受来自法国军方的资助。然而，几个月后，由于研究所预算紧张，所长违背了承诺。

Grothendieck 试图说服所有教授以辞职抗议，但其他人并未支持他的行动。他辞职信日期为 1970 年 5 月 25 日。

1970 年至 1972 年，他在法兰西学院担任访问教授，随后于 1972 年至 1973 年在奥赛（Orsay）大学任类似职务。然而，Grothendieck 在这段时间还面临着其他问题。他写道，自己正经历一种 “精神停滞”（spiritual stagnation）。他将主要精力从数学转向了政治抗议，尤其是反对核扩散。然而，与他在数学领域的卓越贡献相比，他的政治活动并未取得显著成效。

1970 年，Grothendieck 与另外两位数学家 Claude Chevalley 和皮埃尔・萨缪尔（Pierre Samuel, 1921-2009）共同创建一个政治团体，名为 “生存（Survivre）”，后来改名为 “生存与生活（Survivre et vivre）”。该团体出版了一份简报，致力于反军事和生态问题，同时对科学技术的滥用提出了尖锐批评。在接下来三年里，Grothendieck 全身心投入到这一团体的工作中，并担任该简报的主要编辑。这一时期，他的活动主要集中在社会和环境问题上，而非数学研究。

1973 年，他接受了蒙彼利埃大学的教授职位，教授研究生课程，并指导学生。他于 1973 年至 1980 年间住在靠近洛德夫（Lodeve）的维勒昆（Villecun），然后搬到靠近卡庞特拉（Carpentras）的莫尔穆瓦隆（Mormoiron）。1984 年至 1988 年间，他休假并在法国国家科学研究中心（CNRS）主持研究。他于 1988 年满 60 岁时退休。与他接受 1966 年菲尔兹奖不同，Grothendieck 在 1988 年拒绝接受克拉福德奖（Crafoord Prize）。

在 1980 年至 1990 年间，Grothendieck 写下了数千页手稿，其中部分包含他的数学思想，部分则是非数学的沉思。他的数学手稿包括《穿越伽罗瓦理论的漫长行程》（La longue marche à travers la théorie de Galois, 1981）、《stack 理论的追寻》（A la poursuite des champs, 1983）《一个计划的草图》（Esquisse d'un programme, 1983，他提出了 Anabelian geometry 的基础性想法，也是他写给 CNRS 的一个职位申请，并遭到拒绝，有人称之为 The best rejected proposal ever，proposal 里面提到了 Dessins d'enfants (Children's drawings) 的概念）以及《导子》（Les dérivateurs, 1987，致力于同伦论的基础研究，dérivateur 的概念最初在 poursuite des champs 中提出）。

他的非数学著作则包括《颂歌》（Eloge, 1981，但后来似乎遗失）、《收获与播种》（Récoltes et Semailles, 1983-1985）和《梦的钥匙》（La clef des songes, 1986）。

1991 年 8 月，Grothendieck 突然离家，未通知任何人，隐居至未知地点。在那里，他专注于撰写一部关于物理学的大型作品，以及关于自由意志、决定论和邪恶存在等主题的哲学沉思。他几乎断绝了所有人际交往。

此后，极少有人拜访他。据报道，当地村民在得知他试图以蒲公英汤为主食维生后，帮助他改善了饮食。有一段时间，莱拉・施内普斯（Leila Schneps，1961- ）和皮埃尔・洛沙克（Pierre Lochak，1957- ）找到了他的住处，并与他进行了短暂的通信，成为 “最后几位与他联系的数学界人士之一”。他去世后，人们得知他独居在阿列日省（Ariège）的小村庄拉塞尔（Lasserre）的一栋房子里。

2010 年 1 月，Grothendieck 致信 Luc Illusie，发表了一封题为《不再出版声明》（Déclaration d’intention de non-publication）的公开信。他声称所有未经他许可发表的作品均属擅自出版，并要求这些作品的复印件从图书馆中移除。他还将一个致力于研究他作品的网站称为 “一种可憎之物”。

2014 年 9 月，Grothendieck 几乎完全失聪且失明。他曾请求邻居为他购买一把左轮手枪，以便自我了断。同年 11 月 13 日，86 岁的 Grothendieck 在阿列日（Ariège）的医院中去世。

他以其超凡的创造力和深入的概念理解，彻底改变了 20 世纪数学的面貌。他不仅通过极高的抽象层次重塑了数学的研究方法，还提供了统一的框架，将代数几何、逻辑学和范畴论等不同领域联系起来，成为现代数学许多分支的基础。

他的贡献，不仅解决了许多长期未解的问题，还开辟了新的研究领域，塑造了当代数学的语言与结构。

他曾写道：“数学不仅是关于做困难的事情，更是关于提供框架，使困难的事情变得简单（从而为解决新的困难任务创造机会）。” 在他看来，数学不仅是一门科学，更是一种精神追求。他的名言 “（解决问题的途径在于）从黑暗中带出新的概念”，不仅激励着数学家，也为所有探索未知的人们指明了方向。

《Grothendieck 纪念文集》（The Grothendieck Festschrif）是为了庆祝 Gorthendieck 六十岁生日而出版的，首次出版于 1990 年。该文集中总结到：他改变了我们对许多数学分支的思考方式。他的许多创新思想在当时看似革命性，而今天看来却显得如此自然，仿佛是不可避免的。实际上，他对现代数学的巨大贡献对后来的数学家们产生深远的影响，难以完全衡量。Gorthendieck 的研究包括泛函分析、代数几何、代数拓扑、数论、表示论、K- 理论、范畴论和同调代数等。

贡献

1、泛函分析

1953 年，Grothendieck 发表了他在泛函分析方面的杰出成果：“Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires.” 即拓扑空间张量积和核（nuclear）空间。

Schwartz 建议 Grothendieck 在其博士论文中研究如下的问题：在两个局部凸空间 和 的张量积 上找到一个 “良好” 的拓扑。这个研究的背景是 Schwartz 当时正在开创矢量值分布（vector-valued distributions）理论的研究，其中最重要的研究对象是空间 ，其中 是测试函数空间，即 （即 上具有紧支撑的光滑实值函数空间， 上有诱导极限拓扑（inductive limit topology），这是一个 （Limit of Fréchet）空间的最基本的例子）， 是任意一个局部凸空间。对于这个空间 ，Schwartz 知道其上有一个 “良好” 的拓扑，特别的 可以看做这其中的稠密子空间，因此也诱导了一个相应的良好拓扑。但对于一般情况，Schwartz 并不知道是否有类似结论。

1953 年夏天，Grothendieck 在巴西度过，在 7 月底，他给 Schwartz 写了一封某种意义上令人失望的信：在 上存在两种自然的拓扑，它们一样自然，却又不同！对此，Schwartz 不知道该如何回应，因为这和他心中所想的例子不同。幸运的是，两周后，Grothendieck 寄来了一封令人振奋的信：对于 Schwartz 关心的情形，即在 上，这两种自然的拓扑竟然是一致的（并且与 Schwartz 所想的拓扑一致）！

Grothendieck 所发现的这两种自然拓扑，现如今被称为 projective topology 或者 - 拓扑和 injective topology 或 - 拓扑。 - 拓扑 是 上所有 “合理” 拓扑中最强的一种（在某种精确意义上），并且在自然的等同下使得

对所有局部凸空间 成立，其中 表示从 到 的所有连续双线性映射。

而 - 拓扑是 “合理” 拓扑中最弱的一种，在一些重要的算子类（classes of operators）的研究中具有重要意义。

Grothendieck 在他 300 多页的博士论文中进一步研究了这两种拓扑的性质，并且由此引出了 “Nuclear、integral and related operators” 的定义，解决了 Schwartz 和 Dieudonné 给他的问题。

2、代数几何

Grothendieck 在被称为法国高等科学研究所（IHÉS）“黄金时代” 期间的工作，奠定了代数几何、数论、拓扑学、范畴论和复分析等多个领域的统一主题。

在加入 IHÉS 之前，他在代数几何中的第一个重要成果是 Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem，它是 Riemann-Roch theorem 的一个代数化推广；在此背景下，他还引入了 - 理论。

随后，根据他在 1958 年国际数学家大会上提出的研究计划，他引入概形（schemes）理论，并在他著作《代数几何基础》（Éléments de géométrie algébrique, 简称 EGA）中详细发展这一理论，为代数几何提供更加灵活且普遍的基础，自那时起，这一体系便被该领域广泛采用。

Grothendieck 继续推进，他引入了概形的 étale 上同调理论，这是证明 Weil 猜想的重要工具。此外，他还提出了晶体上同调理论和代数化的 de Rham 上同调理论，与之形成互补关系。与这些上同调理论紧密相关，他创造了拓扑斯理论（topos theory），作为拓扑学的推广，并与范畴逻辑密切相关。他还通过范畴化的伽罗瓦理论给出了概形基本群的代数定义，开创了现在著名的 étale 基本群理论。

为了发展他的对偶理论，他引入了导出范畴（derived categories），这一理论后由他的学生维迪耶（Jean-Louis Verdier，1935-1989）进一步发展。

这些以及其他主题的研究成果发表在《代数几何基础》（EGA）中，以及他在 IHÉS 主持的代数几何研讨班笔记（Séminaire de géométrie algébrique，简称 SGA）中。这些工作不仅彻底革新了代数几何的理论体系，也为现代数学奠定了深远的基础。

3、K- 理论与 Grothendieck–Riemann–Roch 定理

交错和（alternative sum）在 Riemann-Roch theorem 中自然的出现，为了进一步推广这一理论，Grothendieck 对一个代数簇 定义了以下群（现在也叫 Grothendieck 群）：它是一个 “非常大” 的自由阿贝尔群，由凝聚层的同构类 生成，模掉以下关系：对于每一个正合列 ，我们有 。可以很容易的看出群满足以下泛性质（universal property）：

任意从（由凝聚层的同构类生成的自由阿贝尔群）到任意一个阿贝尔群的映射 ，如果对于上述出现在正合列中的元素都满足

那么 都会从 穿过（factor through）。

利用 Grothendieck 群，Grothendieck 得以叙述 Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem，也叫 relative Hirzebruch-Riemann-Roch theorem 或 Grothendieck-Riemann-Roch（GRR）

叙述为以下交换图成立：

其中 、 是经典 Riemann-Roch 中出现的函数，我们不写具体的定义， 是上同调群。该定理已被广泛应用于特征类的具体计算中。

Grothendieck 的 - 群推动了 - 理论的发展，这一理论由奎伦（Daniel Gray Quillen, 1940-2011）和许多其他数学家的工作进一步深化。值得注意的是， - 理论在数学的多个领域中扮演了重要角色，从微分算子的理论（如 Atiyah-Singer 定理）到模表示理论（如 Brauer 定理）。

4、Weil 猜想与 étale 上同调

在 GRR 的成果之后，Grothendieck 被誉为 “代数几何的超级明星”，并受邀参加 1958 年爱丁堡的国际数学家大会。会上，他提出了研究计划，旨在定义正特征下的上同调理论以证明 Weil conjecture。这成为他在他的代数几何领域工作的主要动机，尤其是 1959 年加入 IHÉS 后。他在 IHÉS 发起了 “代数几何研讨班”（Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie），使其成为代数几何的世界中心。

证明 Weil 猜想的关键是为正特征代数簇构造类似复数域上同调理论的工具。为此，Grothendieck 开发了 étale 上同调理论，并在此基础上定义了 -adic 上同调。该理论成为证明 Weil 猜想的核心工具。

Grothendieck 的 étale 上同调革命性地推广了拓扑概念。他通过非分歧覆盖构造 étale 拓扑，以范畴化的方式定义了拓扑斯（topos）。这一方法克服了经典拓扑在代数几何中的局限性，为证明 Weil 猜想奠定了基础。

在 Grothendieck 的框架下，他的学生（如 Deligne、Verdier 等）完善了理论细节。最终，Deligne 在 -adic 上同调的框架下完成了 Weil 猜想中函数域的黎曼猜想部分的证明，达成了 Grothendieck 的目标。

5、概型理论与可表函子

概型是几何、交换代数和数论统一的对象。设 是一个集合， 是一个域，考虑

构成一个环，其加法和乘法通过逐点方式定义。对于 ，定义 为 。

由于 是一个域，我们有 的 kernel 是 的一个极大理想，因此可以将 与 中所有极大理想的集合对应起来。特别的，我们将一个更简单的集合 替换为一个更复杂的对象，即 中所有极大理想的集合。

这一简单思想的变体最早出现在斯通（Marshall Harvey Stone, 1903-1989）关于布尔格（Boolean lattice）理论的研究中，也出现在盖尔范德（Israel Moiseevich Gelfand, 1913-2009）关于交换巴拿赫代数的论文中。在交换代数中，类似的思想首次被永田雅宜（Masayoshi Nagata, 1927-2008）和凯勒（Erich Kähler, 1906-2000）分别利用。在 20 世纪 50 年代晚期，许多巴黎的数学家（如 Henri Cartan、Chevalley、Weil 等）深入研究了代数闭域上代数簇概念的一般化。

Serre 展示了交换环的局部化操作在环的极大谱 上诱导了一个层，但映射 并非函子（极大理想的逆像不一定是极大理想）。另一方面，

是一个函子。1957 年，卡地亚（Pierre Émile Cartier, 1932-2024）首次提出了以下观点：经典代数簇的适当推广是一个环层空间 ，它在局部上同构于 。这一对象被称为概型（scheme）。

Grothendieck 最初计划撰写一套 13 卷的代数几何课程《代数几何基础》（EGA），以概形理论为核心，并最终证明韦伊猜想。他和 Dieudonné 合作出版了其中 4 卷。然而，后来大部分材料出现在《代数几何研讨班》（SGA）的出版物中，SGA 是 IHÉS 举办的代数几何研讨班的成果记录。

Grothendieck 将范畴论的视角引入了几何世界：将几何对象视作函子。设 是范畴 中的一个对象。我们与其关联一个从 到集合范畴的逆变函子：

如果某个函子如（由某个对象 给出），则称其为可表的。由 Yoneda 引理，该函子唯一决定了 的同构类。

Grothendieck 巧妙地利用了可表示函子的性质来构造各种代数几何中的参数空间。一个关键的例子是 Grassmannian，它参数化了给定射影空间中给定维度的线性子空间。一个很好的例子是 Grothendieck 证明希尔伯特函子 （参数化特定闭子簇，由 给出）可由一个概型（称为希尔伯特概型）表示，并且它是射影的。希尔伯特概型在构造很多问题的模空间时十分重要。