Loo-Keng Hua

生平

华罗庚（Loo-Keng Hua，1910-1985）出生于江苏省金坛县。他的父亲华瑞栋经营着一家杂货铺，以此勉强维持生计。童年时期的华罗庚性格内向，常常独自沉思，但他内心逻辑思维活跃。1922 年进入金坛县立初级中学（现江苏省华罗庚中学），1925 年毕业。求学期间，他遇到了王维克（1900-1952）老师。王维克敏锐地察觉到了华罗庚在数学方面潜藏的天赋，并给予了他指导与鼓励。

王维克本人 1917 年入南京河海工程学校（今河海大学），1925 年到法国留学，成为女科学家玛丽・居里（Marie Curie，1867-1934）的一名中国学生。

1961 年 10 月，华罗庚在参加南京的数学工作者座谈会上曾这样说过：“王维克先生还是我数学成绩的第一个赏识者呢！我这位中学老师，不仅数学好，而且在物理学、天文学方面造诣也很深，并且是一个有成就的翻译家。”

1925 年初中毕业后，父亲华瑞栋希望华罗庚将来能有个谋生之道，所以让他考入了上海中华职业学校（由黄炎培于 1918 年创立）。

在中华职业学校时，华罗庚已对数学产生了爱好。他获得上海市珠算比赛第一名，初步展示了他在计算方面的过人才能。

然而在中华职业学校虽然免了学费，但杂费、食宿费仍然是不小的负担，华罗庚因此放弃还差一学期就毕业的机会，辍学回到金坛，帮助其父经营杂货铺。故华罗庚一生只有初中毕业文凭。

他边站柜台边自学，有时算得入迷，竟将自己演算的结果当成货款告诉客人。

那个年代人们普遍结婚早，于是在 1927 年，17 岁的华罗庚听从了父母的安排，娶了同乡的同龄人吴筱元（1910-2003）为妻。

1928 年秋，赴法国巴黎大学深造的王维克学成归来，被任命为金坛中学校长。他把原来的会计、庶务员及事务主任解雇，将他们三人的工作交给华罗庚一人承担，每月薪水是十八块大洋。每到学期末，几百名学生的成绩单堆在办公桌上，华罗庚算得总是又快又准。

1929 年，年仅 19 岁的华罗庚不幸染上了严重的伤寒症（typhoid fever），为了给丈夫请医买药，吴筱元将结婚时候的衣物、手饰送进了当铺。

华罗庚重病期间，王维克几次登门探望，并安慰吴筱元。在吴筱元的精心照顾下，华罗庚终于转危为安。

这场大病让他在床上整整躺了半年，虽然最终奇迹般地死里逃生，但疾病导致他的左腿关节粘连变形，弯曲了，留下了残疾。

从此，他行走时必须先将左腿画一个大圆圈才能迈步，这种独特的步态被他幽默地自嘲为 “圆与切线的运动”。这段经历虽然痛苦，却极大地磨砺了他的意志。

1929 年 12 月，华罗庚在《科学》杂志第 14 卷第 14 期上发表了他的第一篇论文《施图姆定理之研究》。后来在 1930 年 12 月在上海的《科学》（Science）杂志上发表了一篇题为《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》的短文，指出了当时的一位中学教师苏家驹（1899-1980）的错误。

这篇短文引起当时清华大学数学系主任熊庆来（Ch'ing-lai Hsiung，1893-1969）的关注。据熊庆来本人回忆，他很纳闷，他根本不知道中国数学界中有一个华罗庚。

当熊庆来、杨武之（Ko Chuen Yang，1896-1973）等得知华罗庚只是一个初中毕业生，更为惊奇，愈加珍爱。系里的 7 位教员都赞成把华罗庚调来清华工作与培养。

于是，熊庆来在当时的理学院院长叶企孙（1898-1977）的同意下，聘华罗庚来清华工作。

1931 年，华罗庚正式进入清华大学。最初，他担任数学系的一名助理员，负责整理图书和收发信件。工作很轻，在工作之余，可以去听课与自修。

华罗庚除听课外，他的主要时间是用来自己学习，除对高等数学的基础知识认真学习外，他还博览群书，特别致力于数论的学习。

1933 年，清华大学理学院正式提升华罗庚为助教，并让他教授微积分课。1934 年起，华罗庚又开始在数学杂志上发表论文了。1935 年，清华大学再次破格提拔华罗庚为讲师。

陈省身先生曾回忆道：“想起我们最初在一起，1931 年他来的时候，那时他只是初中毕业的学生，他的数学论文引起大家的注意。清华是很例外的，不但找他到清华来，并且给他一个职位，这在当时大学里是很少有的一件事。 因为他的学历的关系，刚来时名义是助理员。

那时数学系叫算学系，后来改为数学系。一年以前，我是算学系的助教。算学系的办公室就在工字厅走道的地方，两边各有两间房间，一共 4 间房间，是算学系的办公室。有一边是熊庆来先生，他是主任，我在另外一个地方也有个桌子，是他的助教。外头一间有两个桌子，是周鸿经先生和唐培经先生的办公桌。罗庚到清华的时候就呆在我的办公桌，因为 1931 年我改为研究生，是学生了，他就做助理员，用这个桌子，所以我们的关系是一个先后的关系。

罗庚是一个很好的数学家，所以他不需要一般的数学训练。他很快就跟所有的人，所有的研究生，甚至于教员，可以在同一个阶段讨论数学的问题。他虽然名义是助理员，等于是个研究生，我也是研究生，我们时常来往，上同样的课，那是很愉快的一段学生生活。

1935 年至 1936 年间，国际数学界的两位学者阿达玛（Jacques Hadamard，1865-1963）和维纳（Norbert Wiener，1894-1964）先后在清华大学讲学。

华罗庚也跟随他们学习，其表现出的研究才能很受他二人的推崇。他们给华罗庚以重要的指导与帮助，对其产生了很大的影响。

Hadamard 介绍华罗庚与苏联数学家维诺格拉朵夫（Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983）直接通信，这对华罗庚在 Waring 问题的研究工作无疑有决定性的影响。华罗庚从 Wiener 那里学到了大量 Fourier 分析的技能和知识，对其以后的工作有着密切的关联。

1936 年，经熊庆来推荐和叶企孙、杨武之等人的帮助，华罗庚获得中华文化教育基金会的资助，以 “访问学者” 身份去英国进修。

华罗庚出国时，Wiener 特为介绍，使其得以跟随英国 Cambridge 大学著名数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）研究。

在 Cambridge 的两年，是华罗庚学术生涯的第一个黄金时期，他置身于以 Hardy 和利特伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977）为核心的分析数论学派的中心。华罗庚在著名的 Waring 问题上取得了进展。

他发表了许多论文，其中包括《论 Gauss 的完整三角和估计问题》和关于 “Tarry 问题” 的研究成果。当时他主要的研究工具是 Hardy-Littlewood 圆法（circle method），他利用后被国际数学界称为 “华氏引理（Hua’s Lemma）” 的技术性引理改进了圆法的精度，也因此帮助他对 Waring 问题中 的上界估计取得了当时最好的估计。

1938 年，抗日战争的战火蔓延至全中国。心系祖国的华罗庚毅然放弃了在英国优越的研究环境，选择回到饱受战火蹂躏的故土。

此时，清华大学已南迁到云南昆明，与北京大学、南开大学联合组成 “国立西南联合大学（简称西南联大）”。他受聘为西南联大教授，随学校迁往云南昆明。

在昆明的岁月是异常艰苦的。华罗庚的住所在空袭中被炸，闻一多（1899-1946）见华罗庚无处安身，便邀请他住在自家，腾出稍大的正房给华罗庚一家六口人居住。

后来，闻一多搬走，房子留给华罗庚住。虽然二人见面的机会渐少，但友谊历久弥深。

华罗庚以及联大的很多教授都维持着极低的温饱需求。妻子吴筱元把附近邻居送给的两个鸡蛋做成羹给他补充营养，他则分成 5 份，最后还把自己的一份喂到孩子嘴里。

1945 年，三子出生，因没钱送妻子到医院，只好产在家里。给这个出生在困境中的孩子取名 “华光”。

1942 年底，华罗庚完成了他的名著《堆垒素数论》（Additive theory of prime numbers）的中文稿。然而，这本凝结华罗庚几年心血的 30 万字专著交给当局有关部门之后，竟石沉大海，杳无音信。华罗庚多次去信询问手稿的下落，对方皆未给予回答。

这件事惊动了西南联大校长梅贻琦（Yi-chi Mei，1889-1962），他致函当局希望继续派人查找华罗庚的书稿，然而，联大方面的去函，依旧如石沉大海，杳无音信。

《堆垒素数论》的中文手稿丢失以后，华罗庚没有马上去重写第二稿，因为他发现了《堆垒素数论》初稿中存在的问题和遗憾。不久，华罗庚完成了他另一部著名的学术专著《数论导引》大部分章节。

华罗庚在完成这项工作以后，把《堆垒素数论》英文版手稿，寄给了一直在关注着他学术成长的苏联国家科学院的 Vinogradov 院士。

1947 年，这本书的俄文出版，直到解放后，于 1953 年从俄文本翻译成中文在中国出版。

除了数论，华罗庚在昆明时期还将研究视野扩展到了代数学和几何。华罗庚在极其困难的条件下与普林斯顿高等研究院的外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl，1885-1955）建立了书信联系。

在信中，华罗庚流露出了深厚的爱国情怀，他写道：
“科学是极度被需要的。因此，对年轻科学家的任何帮助都意味着对国家重建的巨大帮助（Science is extremely needed. Thus any help to the young scientists would mean a great help of the reconstruction of the country）。”

1943 年 3 月，Weyl 写信给 IAS 的亚历山大（James Waddell Alexander II，1888-1971）、爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）、莫尔斯（Harold Calvin Marston Morse，1892-1977）和维布伦（Oswald Veblen，1880-1960），推举陈省身和华罗庚前来访问。

信里写道：“据我所知，中国最杰出的两位数学家是陈省身和华罗庚。后者对 Hardy-Littlewood-Vinogradov 一派的解析数论做出了重大贡献，在他最近给我的一篇手稿中，重复了 Siegel 关于辛几何的论文中一部分工作。更近距离地接触 Siegel 对华罗庚来说很重要……”

1946 年春，应苏联科学院邀请，华罗庚访问苏联。同年 9 月，华罗庚与曾昭抡（Chao-Lun Tseng，1899-1967）、唐敖庆（Au-Chin Tang，1915-2008）、朱光亚（Kuang-Ya Chu，1924-2011）、李政道（Tsung-Dao Lee，1926-2024）等人从上海乘船赴美。

到达美国后，华罗庚到普林斯顿高等研究院做研究工作，并在 Princeton 大学数学系教授数论课。同年冬天他住院治疗腿疾，经过手术，治好了 18 年的疾病，改善了行走的姿态。

1948 年，华罗庚接受了伊利诺伊大学厄巴纳 - 香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign, UIUC）的聘请，成为该校的正教授，夫人吴筱元携子女到美国与华罗庚团聚。

在 UIUC 期间，他指导了雷蒙德・阿尤布（Raymond George Dimitri Ayoub，1923-2013）等博士生，并与欧文・雷纳（Irving Reiner，1924-1986）合作发表了多篇关于典型群自同构的论文。

1949 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立，让华罗庚心潮澎湃。1950 年，华罗庚毅然决定举家回国，回到清华大学任教。途经香港时，他发表了那封著名的《写给留美同学的公开信》，信中那句 “梁园虽好，非久居之乡” 感动了无数海外学子，号召他们回国参与新中国的建设。

正当他在清华大学努力工作时，一个新的任务 —— 筹建中国科学院数学研究所的重任落到了他的身上。

1951 年，政务院第 69 次政务会议通过任命华罗庚为中国科学院数学研究所所长。华罗庚将毕生精力投入到中国数学事业的建设中。

从回回国到 1957 年，他的工作受到毛泽东（1893-1976）主席和数学家们广泛的支持。

1952 年，毛泽东主席谈到建设新中国需要大批科学人才时，他满怀无限希望地说：“华罗庚先生，你也是苦出身嘛，希望你能为新中国多培养些好学生。”

1952 年，在全国政协一届二次会议期间，毛泽东主席接见华罗庚。

华罗庚撰写了《指数和的估计及其在数论中的应用》、《多复变函数论中的典型域的调和分析》等 4 本专著，其学术论文《典型域上的多元复变函数论》获中国科学院 1956 年度科学奖金（自然科学部分）一等奖（现已改称 “国家自然科学奖”）。

华罗庚著作列表：

在人才培养方面，他发掘和培养了陈景润（1933-1996）、王元（1930-2021）、潘承洞（1934-1997）、陆启铿（1927-2015）、丁夏畦（1928-2015）、万哲先（1927-2023）、龚昇（1930-2011）等一代杰出的数学家。

从 20 世纪 60 年代开始，出于对国家经济建设需求的响应，华罗庚将研究重心转向了应用数学。他提出了 “优选法（optimum seeking method）” 和 “统筹法（overall planning method）”，合称为 “双法”。

为了推广这些方法，他率领小分队走遍了中国的 26 个省、市、自治区，深入工厂、矿山和油田，亲自向工人和技术人员讲解如何利用数学方法提高生产效率。

他曾说：“人有两个肩膀，我要让双肩都发挥作用。一肩挑起‘送货上门’的担子，把科学知识和科学方法送到工农群众中去。” 毛泽东主席曾给他回信，赞赏他 “不为个人而为人民服务，十分欢迎”。

1964 年，毛泽东主席收到了华罗庚的信，他被这位老知识分子的诚心和决心感动了，他很快给华罗庚回信：

华罗庚先生：

诗和信已经收读。壮志凌云，可喜可贺。

肃此。

敬颂教祺！

毛泽东

一九六四年三月十八日

1965 年，华罗庚再次给毛泽东主席写信，汇报自己的工作成果并把自己写的《统筹方法平话》寄给主席。
1965 年 7 月 21 日，毛泽东主席再次给华罗庚回信：

华罗庚同志：
来信及《平话》，早在外地收到。你现在奋发有为，不为个人，而为人民服务，十分欢迎。听说你到西南视察，并讲学，大有收获，极为庆幸。专此奉复。敬颂教安

十年浩劫期间，华罗庚的许多珍贵的手稿被没收散佚。按照毛泽东主席的意见，周恩来总理亲自出面保护华罗庚，还以人大常委的身份留在北京，继续搞数学统筹法试验。

1975 年 8 月，他率小分队赴黑龙江推广 “双法”，在哈尔滨突发心肌梗塞病住院，经抢救脱险。消息传到北京，重病之中的周恩来总理当即派自己的医生前往哈尔滨抢救。

1976 年，华罗庚被任命为中国科学院副院长，他多年的著作成果相继正式出版。

1977 年 6 月，华罗庚到山东推广 “双法”，心脏病再次发作。病后，他说了这样一句话：“我的哲学不是生命的尽量延长，而是工作的尽量多做。”

1979 年 6 月，华罗庚加入中国共产党。

1982 年秋，他因日夜写作，劳累过度，第二次患心脏病住院。

丘成桐评价：早在培正中学时期，我就接触了华罗庚的书，比如《数论导引》。这本数论的书带我走进了高等数学的世界，使我大开眼界。

1968 年，沙拉夫（Stephen Salaff，1938-2012）打算以华罗庚为题材写一篇文章，丘替他翻译，因此读了不少关于华罗庚的材料。

1979 年，华罗庚先生邀请丘到北京的中国科学院数学研究所做一系列的演讲，从该年的 5 月底开始。

华罗庚 1983 年写给丘成桐的信

成桐我兄惠鉴：

两书拜读多遍，文情并茂，爱国之心跃然纸上，感我极深，人非木石，岂能无悲。

足下喜祖国之所喜，忧祖国之所忧。祖国科学落后，经济落后，但同时一双手、扶植之、抑压之，则有大不同焉。

兄热爱祖国，素所深佩，见义勇为，更为不及。

今兄身体如何？在念中，谨祝早占初药。

专此顺致

研安

弟 罗庚上

一九八三年十月四日

1979 年在中科院数学所

1984 年，华罗庚应美国加州理工学院之邀，赴美讲学一年。1984 年 4 月，华罗庚在华盛顿出席了美国国家科学院授予他外籍院士的仪式，成为第一位获此殊荣的中国人。

1985 年 6 月 12 日，华罗庚在日本东京大学的讲台上，向国际同行做题为《理论数学及其应用》的学术报告。

有人后来回忆道：起初，华老用中文演讲，由翻译译为日语。不久，华老觉得不十分如意，改用英文直接对听众演讲。谈起他自己的研究工作，应用与推广，他感到得心应手，淋漓欢畅。他先将西装外套脱下，又将领带除去。即便如此，据说华老依然汗流不止，以至衬衫有点湿透了。由于内容十分丰富，演讲比规定的一小时超过了 10 分钟。

当演讲完毕，听众报以热烈的掌声，日本友好人士白鸟富美子女士正要送上鲜花时，华老却从台上的椅子突然滑下。东京大学医院的医生立即实施抢救，但迅即宣告不治，我国驻日使馆仍坚持继续尽一切力量抢救，然而回天乏术，华老于当天晚上 10 时逝世。

这位从金坛小店走出的数学家，用他传奇的一生诠释了 “聪明在于勤奋，天才在于积累” 的深刻哲理。

贡献

一、解析数论

数论是华罗庚最早涉足的领域之一。他在 Waring 问题、三角和估计以及素数分布等方面做出贡献。

1、Waring 问题与华氏引理（Waring’s problem and Hua’s lemma）

Waring 问题（Waring’s Problem）是 1770 年由华林（Edward Waring，1736-1798）提出的著名猜想。

猜想是说：对于任意给定的整数 ，是否存在一个正整数 ，使得每个正整数 都能表示为 个非负整数的 次幂之和？即方程

是否有整数解。

虽然希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）于 1909 年证明了 的存在性，但对于 的最小值的估计（记为 和 ）一直是解析数论的核心问题。

其中，

• 定义为使得所有的整数都能表示为 个 次幂之和的最小整数 。
• 定义为使得所有充分大的整数 都能表示为 个 次幂之和的最小整数 。

比如：

• ：Lagrange，1770
• ：Wieferich‑Kempner，1909‑1912
• ：Balasubramanian‑Dress‑Deshouillers，1986
• ：Davenport，1939

华罗庚在这一领域最著名的贡献是提出了华氏引理（Hua’s Lemma），这是一个关于指数和（exponential sums）均值估计的工具，改进了 Hardy‑Littlewood 圆法中对 “小弧（minor arcs）” 上积分的估计。

在圆法中，积分区间被分为 “大弧（major arcs，即有理数附近的区间，贡献主要部分）” 和 “小弧（其余部分，主要为误差项）”。

Hardy‑Littlewood（结合 Weyl 型估计）得到过一类形如

的上界；而华罗庚用 Hua’s lemma 配合 Weyl 的估计处理小弧，从而把一般上界改进到

2、Vinogradov 中值定理的改进（Vinogradov’s mean value theorem）

Hardy‑Littlewood 在 20 世纪初引入了圆法（circle method）用来研究：Waring 问题、Goldbach‑type 问题和素数的加法表示问题等，把整数表示问题转化为指数和的积分估计。并且证明了在广义 Riemann 假设（GRH）下，充分大的奇数是三个素数之和，即 weak Goldbach 猜想成立。

前苏联数学家维诺格拉多夫（I. M. Vinogradov）引入了 Vinogradov 中值定理，解决了圆法中的问题，从而去掉了 Hardy‑Littlewood 的广义 Riemann 假设的前提。华罗庚在昆明期间，深入研究了 Vinogradov 的方法，并对其进行了本质性的简化和改进，从而使其能够应用在其他整数问题上。此外，他还将这些结果推广到了代数数域上，建立了代数数域上的堆垒素数论。他的专著《堆垒素数论》（Additive theory of prime numbers）系统总结了这些成果。

3、Tarry 问题（Tarry’s problem）

华罗庚深入研究了完整三角和的性质，特别是解决了关于完整三角和估计的 Tarry 问题。

Tarry 问题即 Prouhet‑Tarry‑Escott 问题的数论形式，涉及对一个给定正整数 ，确定使不定方程组

有非平凡整数解的最小整数 。

华罗庚在 Tarry / Tarry‑Escott（等幂和）问题中，沿用 Vinogradov 的三角和均值方法并加以发展，给出了当时已知上界的显著改进，也是他后续对同余化方法改进工作的出发点。

二、代数

在 1940 年代，华罗庚的研究兴趣从数论扩展到了代数，特别是在体（skew field，即非交换除环）的几何和典型群的结构方面取得了成果。

1、Cartan‑Brauer‑华定理（Cartan‑Brauer‑Hua theorem）

这一定理涉及除环（division ring）的结构，由埃利・卡当（Élie Joseph Cartan，1869‑1951）、布劳尔（Richard Dagobert Brauer，1901‑1977）和华罗庚共同得到。

一个非平凡的环 ，如果其中每一个非零元素都有乘法逆元，则称 为除环。如果其乘法运算不满足交换律，则称为非交换除环或体（skew field）。

Cartan‑Brauer‑Hua 定理是说，设 是除环 的一个子除环。如果在的所有非零元素的共轭作用下保持不变，即对于任意 ，都有 ，则或者 ，或者 包含在 的中心（center）之中。

华罗庚为此提供了一个极其简洁的证明，该证明依赖于他发现的一个恒等式，即华氏恒等式（Hua's identity）。对于除环中的任意元素、 ，若 ，则：

证明极其简单：

2、典型群的自同构与矩阵几何（Automorphisms of classical groups and geometry of matrices）

在 Princeton 和回国初期，华罗庚致力于研究典型群（classical groups）的几何学。

他开创性地发展了 “矩阵几何（geometry of matrices）” 这一新领域，试图用几何的方法来刻画典型群的代数结构。华罗庚刻画了矩阵空间上的 “邻接（adjacency）” 关系保持映射。

设 是除环 上的 矩阵空间。两个矩阵 被称为是 “邻接” 的，如果它们的差 的秩（rank）为 1。即

华罗庚证明了一系列对于长方矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、厄米矩阵的结果被称为 “华氏矩阵几何基本定理”。

它们建立了矩阵几何与群论之间的深刻联系，为确定典型群的自同构提供了一个统一且直观的几何框架。

法国数学家迪厄多内（Jean Alexandre Eugène Dieudonné，1906‑1992）在《典型群的自同构》（On the automorphisms of the classical groups）中特别收录了华罗庚关于此方法的补充内容。

三、典型域的调和分析（Harmonic analysis on classical domains）

华罗庚系统的研究了 Élie Cartan 关于不可约 Hermitian 对称空间分类中的四类经典有界对称域（bounded symmetric domains）。

在这类域上，存在自然的边界，以及相应的 Poisson 核与 Poisson 积分。

华罗庚发现从边界做 Poisson 积分得到的函数，不是任意的；它们满足一组 “过定（overdetermined）的二阶偏微分方程”。这些二阶算子就是后来大家说的华算子（Hua operators）。华罗庚在这些域上显式地计算出了 Poisson 核（Poisson kernel）。

这部分的工作主要体现在他的专著《多复变函数论中的典型域的调和分析》（Harmonic Analysis of Functions of Several Complex Variables in the Classical Domains）中。

他的论文《典型域上的多元复变函数论》获得 1956 年度国家自然科学奖一等奖。

《多复变函数论中的典型域的调和分析》于 1958 年出版，并被先后翻译成俄语和英语。这部著作不仅包含了丰富具体的分析结果，还展示了群表示论与复分析的结合。相比于西格尔（C. L. Siegel）同一时期类似的工作，华罗庚的方法更加具体、直接，并且给出了更明确的计算公式。

四、应用数学与数值分析（Applied mathematics and numerical integration）

晚年的华罗庚致力于将高深的数学理论转化为直接服务于国民经济的工具，体现了他 “数学为民” 的理念。

On numerical integration of periodic functions of several variables. Sci. Sinica 14(1965), 964‑977. (with Wang Yuan)

On uniform distribution and numerical analysis (Number‑theoretic method). Sci. Sinica (I) 16(1973), 483‑505; (II) 17(1974), 331‑348; (III) 18(1975), 184‑198.

Optimum‑seeking method of several variables. Ke Xue Tong Bao. (I) 18(1973), 165‑166. (III) (IV) 19(1974), 317‑319.

A note on simultaneous diophantine approximations to algebraic integers. Sci. Sinica 20(1977), 563‑567.

1、高维数值积分（High‑dimensional numerical integration）

在数值积分领域，华罗庚与学生王元合作，利用代数数论中的分圆域（cyclotomic field）和 Diophantine 逼近理论，提出了一种确定性的数值积分方法，即华‑王方法（Hua‑Wang method）。

他们构造了一组均匀分布的节点（称为 “华‑王点集”），使得数值积分的误差界达到了 甚至更优，且不依赖于维数。其论著《数论在近似分析中的应用》（Applications of number theory to numerical analysis）成为该领域的经典。

2、优选法与统筹法（Optimum seeking method and overall planning method）

优选法（Optimum seeking method）：针对生产工艺中单参数或多参数选择的问题（如温度、配比、时间等），华罗庚推广了基于 Fibonacci 数列的 “ 法（黄金分割法）”。他用极其通俗易懂的语言 —— 如 “来回调试”、“折纸条”—— 向只有初中甚至小学文化的工人讲解如何用最少的试验次数找到最佳工艺参数。

统筹法（Overall planning method）：基于图论中的关键路径法（critical path method, CPM）和计划评审技术（PERT）。华罗庚将其简化为 “箭头图”，教导项目管理者如何通过合理安排工序的先后顺序和并行关系，找出关键路径，从而缩短工期，提高效率。

这 “双法” 的推广并非简单的科普，而是数学思想在实际管理和工程中的创造性应用，产生了巨大的经济效益。

华罗庚在推广这些方法时展现出的极大热情和耐心，以及他那深入浅出的讲解能力，使数学真正走出了象牙塔，惠及了亿万民众。