Conway

生平

约翰・霍顿・康威（John Horton Conway, 1937-2020）于 1937 年出生于英国的利物浦（Liverpool）。父亲西里尔・霍顿・康威（Cyril Horton Conway）在化学实验室工作，母亲艾格尼丝・博伊斯（Agnes Boyce）很早就注意到他对数字的兴趣：他四岁时已经能背出 2 的幂，稍大一些又喜欢心算日期对应的星期。家里还有两个姐姐，Sylvia 和 Joan。

Conway 的童年并不轻松，因为他成长于战时物资短缺的英国。在小学里，Conway 表现非常突出，几乎门门功课都名列前茅。尽管在小学时期他其实并不真正明白 “数学” 究竟是什么，Conway 却似乎已经坚定地认定自己将来会成为数学家。

十一岁参加中学入学面试时，有人问他长大后想做什么，他回答说，希望将来在 Cambridge 当一名数学家。

在中学阶段，他的成绩非常出色；虽然并非所有科目都同样拔尖，但在数学方面，他无疑比其他学生都强得多。

不过，数学并不是唯一吸引他的学科，他也曾一度深深迷上天文学，而在别的时候又对化石产生浓厚兴趣。他对天文学的兴趣一直保留到了后来，直到今天他仍把它列为自己的兴趣之一。

中学毕业后，Conway 进入 Cambridge 大学冈维尔和凯斯学院（Gonville and Caius College）学习数学。

1959 年他获得学士学位，随后在达文波特（Harold Davenport，1907-1969）指导下开始研究数论。

解决了 Davenport 提出的 “将数表示为五次幂之和” 的公开问题后（陈景润也独立解决），Conway 开始对无限序数（infinite ordinals）产生兴趣。

他对游戏的兴趣也是在 Cambridge 求学期间开始发展起来的 —— 那时他成了一位热衷于双陆棋（backgammon）的玩家，常常在公共休息室里一玩就是好几个小时。

1964 年，他获得博士学位，并被任命为 Cambridge 大学纯数学讲师。至此，他实现了自己十一岁时立下的志向。

同样在 1964 年，Conway 当选为 Cambridge 的悉尼・苏塞克斯学院（Sidney Sussex College）的研究员。

那时他正在从事数理逻辑研究，但进展并不顺利。他写道：“…… 我变得非常沮丧。我觉得自己并没有在做真正的数学；我没有发表论文，因此对此感到十分内疚。”

然而情况很快就突然改变了。大约在 1965 年前后，利奇（John Leech，1926-1992）发现了 24 维空间中的一种稠密球堆积，其对应的格后来被称为 Leech 晶格（Leech lattice）。

Leech 知道这个晶格的对称群会很有意思，于是研究了一段时间，并给出了这个群阶的一个下界（后来证明这恰好就是该群的实际阶）。他知道自己并不具备足够的群论技巧来证明自己的猜想，于是试图引起他人的兴趣。

Thompson 的回忆中所说：“我把这个问题拿到许多人面前试探过，包括 Coxeter、Todd 和 Graham Higman，但 Conway 是第一个真正上钩的人……”

Conway 在这一问题上的工作彻底改变了他的数学事业。他证明，Leech 晶格的对称群 模去一个 2 阶中心子群之后，得到一个此前从未发现过的有限单群，其阶为

但 还有更为非凡的性质：它拥有大量极其有趣的子群，其中包括另外两个此前未知的单群，以及一些以当时几乎所有已知有限散在单群（finite sporadic group）为同态像的群。所谓 finite sporadic group，是指不属于标准无限族中的有限单群。

Conway 于 1968 年宣布了这一发现，并于 1969 年在《Bulletin of the London Mathematical Society》创刊卷中发表了完整细节。

可以说，正是在这一成果为他的发表生涯打开局面之后，Conway 才真正 “开始做真正的数学”；这个发现属于当时数学中最受瞩目的领域之一，也极大增强了他的自信。

有人曾回忆道：“对于 Conway 这种‘信心上的变化’，我无法亲自作证，因为在他发现新单群之前我并未听过 Conway 讲课。不过，在这之后我听过他许多次讲演；那些讲演都极为精彩、令人难忘，而且出自一位极具舞台魅力的讲者之手。”

不久之后，Conway 因发明 生命游戏（game of life） 而在数学界之外也广为人知。

冯・诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）在 20 世纪 40 年代曾寻找一种 “通用构造器（universal constructor）”。他试图找到一种能够复制自身的假想机器，并最终通过在笛卡尔网格上制定复杂规则的数学模型实现了这一目标。

Conway 试图简化 von Neumann 的思想，最终获得成功。正如 Conway 的采访中所说：“…… 他在否定了大量方案之后才成功，包括三角格、六角格以及方格，也否定了许多其他‘生与死’的规则，甚至还试过引入两种乃至三种性别。成片的方格纸都被画满了，他和那群崇拜他的研究生们摆弄着扑克牌筹码、外国硬币、海贝、围棋子，或者手边能找到的任何东西，直到终于找到一种在生与死之间可行的平衡。”

Conway 把这个游戏展示给朋友加德纳（Martin Gardner，1914-2010），后者在 1970 年 10 月《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍了它。

这个游戏立刻获得巨大成功，Conway 也因此家喻户晓。

人们常说，自 1970 年以来，全世界投入在生命游戏上的计算机时间，比投入于任何其他单项活动的都要多。

Gardner 写道：“这个游戏使 Conway 一举成名，但它也开辟了数学研究的一个全新领域，即元胞自动机（cellular automata）领域。”

同样在 1970 年，Conway 当选为 Cambridge 的 Gonville and Caius College 的研究员；三年后，他由讲师升任 Cambridge 大学纯数学与数理统计 reader（相当于副教授）。

Conway 另一个著名成就是 超现实数（surreal numbers） 的发现，这也大致发生在 1970 年前后。许多人听到这里都会感到惊讶：人们往往以为数系的发展到复数就已经结束了，而 Conway 的发现恰恰完美说明，即便是数系本身，也仍然属于持续演进中的数学主题。

更令人惊讶的是，Conway 起初并不是想发展新的数系，而是在分析围棋（Go）。在 Cambridge，他研究两位达到国际水平的围棋选手所下的棋局。他注意到，在一盘棋的后半段，局面常常看起来像许多较小棋局的和。

在分析这一情况时，Conway 发现某些棋局的行为就像数字一样，于是超现实数由此诞生。

不过，“surreal numbers” 这个名字并不是 Conway 取的，而是克努斯（Donald Ervin Knuth，1938-）所起。

Knuth 对 Conway 的发现印象极深，以至于他写了一本小型小说体著作《超现实数：两位前学生如何爱上纯数学并找到完全的幸福》（ Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness , 1974），旨在向学生介绍数学研究中的思想。

除了前面说到的群论创新成果与超现实数之外，他还在结理论、数论、博弈论、二次型、编码理论与铺砌理论等方面做出了第一流的研究。Conway 于 1971 年获得伦敦数学学会的 Berwick Prize。

Berwick Prize 部分获奖者

1981 年 3 月，他当选为英国皇家学会会士。1983 年，他被任命为 Cambridge 大学数学教授。

大约在这一时期，盖因（Richard Kenneth Guy，1916-2020）对 Conway 有过这样一段描写：“Conway 极其邋遢。他在 Cambridge 大学纯数学与数理统计系的房间里，桌子上堆满了纸张、书籍、未回的信件、笔记、模型、图表、表格、示意图、喝剩的咖啡杯，以及各种各样的杂物。几乎占满了整个房间，椅子也都被占满了，以至于进屋都很难走动，更别说坐下了。如果你够得着黑板，会发现上面摆着各种颜色的粉笔，但却没有地方可以写字。他在学院的房间也差不多是这副模样。尽管他记忆力惊人，却常常找不到几天前他发现的重要成果 —— 那张纸，而这个成果却没有被记录在其他任何地方。”

1986 年，Conway 离开 Cambridge，接受美国 Princeton 大学 John von Neumann Chair of Mathematics 的任命；在那里，他的大量工作集中于几何，尤其是晶格对称性的研究。

1987 年，Conway 获得伦敦数学学会 Pólya Prize。

Pólya Prize 部分获奖者

此后，他又获得 Northwestern 大学颁发的 1997-98 年 Frederic Esser Nemmers Prize in Mathematics 。该奖授予那些通过重大新知识贡献、在本学科取得杰出成就的数学家。

他还获得了美国数学学会 2000 年 Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition 、Dickinson College 2001 年 Joseph Priestley Award ，以及 Liverpool 大学 2001 年授予的荣誉理学博士学位。

贡献

一、Leech 晶格（Leech Lattice）与 Conway 群

Conway 在纯研究意义上最早的重大成就，来自 Leech 晶格。

Leech 晶格 是 中一个极特殊的偶自对偶格，与最佳球堆积、Golay 码以及 24 维欧氏几何的极端对称性密切相关。

1968 年，他发表短文《阶为 8,315,553,613,086,720,000 的完美群和散在单群》（A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups）。

次年又发表更完整的《阶为 8,315,553,613,086,720,000 的群》（A group of order 8,315,553,613,086,720,000 ）与《Leech 晶格的刻画》（ A characterisation of Leech's lattice ）。

这些论文的核心贡献，是从 的结构中识别出新的散在单群（sporadic simple groups），后被称为 、 、 等 Conway groups —— 阶分别为

他并不是 “另外找到了几个单群”，而是证明了一个 24 维几何对象的对称性本身就蕴含着新的有限单群。

这项工作的影响远大于单篇论文本身。Leech 晶格后来成为有限群分类、球堆积和编码理论之间的交汇点，而 Conway 本人又与 Curtis、Norton、Parker、Wilson 等人合作，编成《有限群图谱》（ Atlas of finite groups ，1985），把大量有限单群的角色表、局部结构与表示信息整理成标准参考书。

这部书耗时 "the better part of fifteen years”，已成为有限单群分类理论中的一个基本组成部分。

二、魔群月光猜想（monstrous moonshine conjecture）

1978 年，John McKay 发现，归一化的 - 不变量的 Fourier 展开前几项，可表示成魔群（monster group） 的不可约表示维数 的线性组合，并且系数是较小的非负整数。

1979 年，Conway 与 Simon Norton 发表长文《魔群月光》（Monstrous moonshine）。这篇文章提出的，不是一个单一定理，而是一整组看似不可思议的对应：魔群的不可约表示维数，似乎与模函数的 Fourier 系数发生系统联系。

级数展开为（ ）：

考虑 的非平凡不可约表示的维数：

这个 - 不变量为（ ）

而魔群的最小非平凡不可约表示维数是 。于是

更高项也有类似分解，例如

Conway 和 Norton 于是计算了这些分次迹的低阶项，这些级数后来被称为 McKay–Thompson 级数 。基于这些计算，Conway 和 Norton 列出了一张 Hauptmodul 的表，并猜想存在一个无限维分次表示，其上魔群 的分次迹 恰好就是他们表中那些函数的展开。

从后见之明看，这篇文章的重要性在于它把原本几乎互不相干的三个方向 —— 散在群（sporadic groups）、模形式、以及后来发展出来的顶点算子代数 —— 接到了一起。

博赫兹（Richard Ewen Borcherds，1959- ）在 1992 年证明魔群月光猜想时，正是沿着 Conway 与 Norton 开出的路线前进，并因此获得 1998 年的 Fields 奖。

Conway 在这里再次表现出一种少见的判断：他很容易从数字模式里看到真正的大结构，而不是把它们当作偶然巧合。

三、组合博弈论与超现实数

Conway 对数学思想影响最深的工作之一，是把组合博弈当作代数对象来处理。在《论数字与游戏》（On numbers and games，1976）中，他把一个局面记为

其中 是 Left 可以走到的所有局面， 是 Right 可以走到的所有局面。

这样写的意义，不在于形式漂亮，而在于它允许对局面做加法、取负、比较大小，并逐步看出某些局面 “就是数”。

最初的例子很简单：

沿着这一递归继续下去，就得到后来称为超现实数（surreal numbers）的体系。它不仅包含通常实数，也包含序数、无穷大与无穷小，因此在形式上远比传统实数系更大。

多篇悼文都提到，Conway 本人最看重的发现，正是这套数系。

这项工作的意义并不只是 “构造出一种奇特的新数”。更重要的是，它把博弈和数系放进了同一个递归框架里：某些局面之所以是数，不是因为人先规定它们是数，而是因为它们在所有运算关系中都表现得像数。

随后与伯勒坎普（Elwyn Ralph Berlekamp，1940-2019）、盖因（Richard Kenneth Guy，1916-2020）著的《数学博弈的制胜之道》（Winning ways for your mathematical plays）这一观点扩展成了广义的组合博弈论（combinatorial game theory）。
今天所谓组合博弈论的现代面貌，基本就是从 Conway 这里开始的。

四、生命游戏（Game of life）

如果说超现实数（surreal numbers）代表 Conway 最深的一条想法，那么生命游戏（game of life）则代表他最广泛传播的一项创造。

Gardner 在 1970 年 10 月《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍它以后，这个二维元胞自动机迅速流行开来。

它的规则极简单：格点只有生、死两种状态，下一步状态完全由附近少数邻居决定；但正是这种极简单的局部规则，产生了滑翔机、振荡子、稳定图形、复制构型以及极其复杂的长期行为。

Gardner 评价说：“Conway 开辟了一个全新的数学研究领域”。

如果把这句话压低一点来说，那么至少可以确认：Life 使大量人第一次直观看到，复杂行为可以由极其简单的离散规则生成，而这种想法后来在计算理论、复杂系统和大众程序设计文化里都留下了痕迹。

需要补充的是，Conway 自己一直不愿意被 Life 完全代表。

五、纽结理论：Conway notation 与 Conway polynomial

Conway 在纽结理论（knot theory）中的工作，主要集中在 1970 年的论文《纽结和链环的枚举及其一些代数性质》（An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties）。这篇文章最重要的贡献之一，是引入后来称为 Conway notation 的记号体系，并系统使用 tangle 分解来组织纽结与链环（link）。它的优点很实际：复杂图形不再只能靠画图逐一辨认，而可以被较紧凑地编码、比较和枚举。

这一点与 Conway 的整体风格完全一致 —— 先找一个正确的语言，再让对象在这个语言里变得可计算。

与此相关的还有 Conway 多项式（Conway polynomial）。它可以用线团关系（skein relation）定义：

这里 、 、 表示只在一个局部交叉处不同的三条链环，而 表示任意的无扭结（unknot）。

这个关系的重要性在于，它把纽结不变量的计算变成了局部递推，而不是全局图形比较。

Conway polynomial 与 Alexander polynomial 在适当代换下等价；但 Conway 的表述方式更便于计算，也更适合与 skein 理论结合。后来许多纽结多项式理论都沿着这条局部关系的思路展开。

六、二次型与 fifteen theorem

Conway 的数论工作中最著名的是后来所谓 Conway–Schneeberger 15 theorem。设

是一个正定整二次型，其中 是整系数对称矩阵。15 theorem 说：如果 能表示所有不超过 15 的正整数，那么 就能表示所有正整数。

换言之，“普遍表示” 这样一个表面上无限的性质，竟可以通过有限、而且很小的一组测试数来判断。

Conway 和 Will Schneeberger 选择不发表他们的证明，因为巴尔加瓦（Manul Bhargava，1974- ）找到了一个更简单的证明，并于 2000 年发表。

Conway 对整二次型（integral quadratic form）提出了一个类似的猜想，其中常数 15 被 290 取代。

Bhargava 和 Jonathan Hanke 在 2011 年发表了一篇预印本（泛二次型和 290 定理）《Universal quadratic forms and the 290-theorem》，其中包含了这个 “290 猜想” 的证明。

七、几何、格与量子基础

Conway 晚年的另一条主线，是几何与离散结构的结合。与斯隆（James Alexander Sloane，1939- ）合著的《球堆积、格和群》（Sphere Packings, Lattices and Groups）长期是这一领域的标准参考书之一，它把球堆积、Leech 格、 格以及相关群论放进同一部书里处理。

对 Conway 而言，这不是 “把旧工作汇编成书”，而是再次表明他始终把几何、格与有限对称性看成一个连续体。

2006 年，他与科亨（Simon Bernhard Kochen，1934- ）发表《自由意志定理》（The Free Will Theorem）。这篇论文的表述方式很像 Conway 本人：标题半带挑衅，但内容是严肃的。其摘要说得很明确：如果实验者的选择不是可得信息的函数，那么在若干自然物理假设下，粒子的响应同样不能是先前信息的函数。无论人是否接受其哲学命名，