History of mathematics: Poisson法国数学家泊松：生平与科学贡献概览

Poisson

生平

西蒙・丹尼斯・泊松（Siméon-Denis Poisson，1781-1840）于 1781 年出生在法国 Paris 以南约 80 公里的小城皮蒂维耶（Pithiviers）。法国大革命爆发时，Poisson 只有八岁。Poisson 的家庭并不属于传统学术精英阶层；他的父亲是一名退役军人，后来担任基层行政职务。

法国大革命之后，法国教育制度发生变化，像 Poisson 这样出身的学生获得了进入新式高等教育体系的机会。

Poisson 幼年时身体较弱。他的父亲对他的早期教育有很大影响，曾花费不少时间教他读书写字。起初，Poisson 的父亲希望他从事医学，因为医学职业相对稳定。Poisson 的一位叔父是 Fontainebleau（枫丹白露地区）的外科医生，于是 Poisson 曾被送到那里做外科学徒。

但他很快发现自己并不适合外科工作：一方面，他的手部协调能力较差，难以完成外科所需的精细操作；另一方面，他本人也对医学缺乏兴趣。

1796 年，Poisson 再次被送到 Fontainebleau，这一次进入当地的 École Centrale（中央学校）学习。在这里，他很快表现出突出的数学才能。1794 年，École Polytechnique（巴黎综合理工学院）的前身 École centrale des travaux publics（公共工程中央学校）成立，其目标是培养具有扎实科学基础的工程人才。

入学需要通过竞争性考试。在老师的鼓励下，Poisson 参加了 1798 年的入学考试，并取得第一名。

Poisson 进入 École Polytechnique 时，学校的教师和考官包括拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）、蒙日（Gaspard Monge，1746-1818）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827），毕奥（Jean Baptiste Biot，1774-1862）和德・富克鲁瓦（Antoine-François de Fourcroy，1755-1809）等当时法国最重要的科学人物。这样的环境为 Poisson 早期进入数学研究提供了重要条件。

Laplace 和 Lagrange 很快注意到他的数学才能，后来也长期支持他的学术发展。

Poisson 在学生时期已经开始发表论文。他 18 岁时写了一篇关于有限差分（finite differences）的论文，引起了勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）的注意。

他还写过关于代数方程消元（elimination in algebraic equations）和 Bézout 定理（Bézout's theorem）的文章。

Bézout 定理（《Théorie générale des équations algébriques》，1779 年）大致说明，在适当条件下，两条代数曲线交点的数目可以用它们的次数相乘来计算。

Poisson 对这一问题给出了新的证明，这显示出他在代数计算和分析推理方面的能力。

不过，Poisson 也有明显的弱点。他几乎无法熟练画图，因此很难在 descriptive geometry（画法几何）这门课程中取得好成绩。由于 Gaspard Monge 的影响，descriptive geometry 在 École Polytechnique 中占有重要地位。如果 Poisson 准备进入工程或公共服务系统，这本来会成为严重障碍。

但对一个准备从事纯科学研究的人来说，绘图要求可以被豁免（也有说法是因为他的毕业论文太过出色）。因此，这一缺陷并没有阻止他的学术发展。

完成学业后，Poisson 留在 École Polytechnique 任职。1802 年，他开始临时代替傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）承担教学任务。

1806 年，Poisson 年仅 25 岁时被任命为 École Polytechnique 的数学教授，正式接替 Fourier 的职位。

1808 年，他成为经度管理局（Bureau des Longitudes）的天文学家。1809 年，Napoleon 改组 Université Impériale（帝国大学），Poisson 被任命为第一位力学教授。

在 1808 及 1809 年他在科学院发表了三篇重要文章，其中《关于行星平均运动的长期不均等》（Mémoire sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes）是 Laplace 和 Lagrange 想要完成的关于行星扰动的问题。Poisson 的方法是用级数展开得到渐近解。

1809 年，Poisson 用 Lagrange 的任意常数变分法写了两篇文章《关于地球的自转运动》（Sur le mouvement de rotation de la terre）和《论力学问题中任意常数的变分》（Sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique）。

1811 年，Poisson 将他在巴黎综合理工学院的讲义写成两本书《力学专论》（Traité de mécanique）。

1812 年，他进入 Académie des Sciences（法国科学院）的物理组。在 Académie des Sciences，Poisson 不只是研究者，也长期参与论文审查、报告撰写和成员遴选。他在法国科学共同体中有较大影响，但这种影响有时也引发争议。

较有代表性的事件是他与 Fourier 关于热传导理论优先权的争论。Poisson 曾较早读到 Fourier 提交给 Académie des Sciences 的热传导手稿，并在 1808 年发表了对其理论的详细介绍。

此后，Poisson 自己也发表了多篇关于三角级数（trigonometric series）和热理论的文章，而 Fourier 的正式著作《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur）到 1822 年才出版。

两人的争论反映出 19 世纪初学术发表、评审与优先权之间的关系尚未形成今天这样明确的规范。

从 1820 年起直到去世，Poisson 还参与法国公共教育的组织工作。1822 年后，他担任皇家公共教育委员会（Conseil royal de l’instruction publique）的司库。

他主张在中学和大学层面维持数学教育的地位，同时也希望数学与物理能够并行发展。这一立场与他的研究风格一致：他经常从物理问题出发，使用分析方法建立方程和计算公式。

伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）在被巴黎高等师范学校开除后重返数学研究，随后 Poisson 请他提交关于方程论（theory of equations）的研究成果；Galois 于 1831 年 1 月 17 日提交了这份手稿。

同年 7 月初，Poisson 认为 Galois 的工作 “令人费解” 且 “论证既不够清晰，也未得到充分展开，致使我们无法对其严谨性做出评判”，但也鼓励他 “因此，我们建议作者将其全部研究成果公之于众，以便学界形成最终定论”。

尽管 Poisson 的评审报告早在 Galois 于 7 月 14 日被捕之前便已完成，但直到 10 月才辗转送达狱中的 Galois 手中。鉴于 Galois 当时的性格与处境，他当即决定放弃通过科学院发表论文的途径，转而委托友人谢瓦利埃（Auguste Chevalier）以私人名义出版。

然而，Galois 并未对 Poisson 的建议置之不理。身陷囹圄之际，他便着手整理所有的数学手稿，并持续对其中的思想进行打磨与完善，直至 1832 年 4 月 29 日获释。

Poisson 于 1840 年去世，享年 58 岁。他成年后主要在 Paris 活动，几乎不旅行。但他的论文和著作在德国、英国和俄国等地广泛传播，一些著作被翻译，文章也被海外期刊摘录或介绍。

他在国外的名气比他在法国还要大。他喜欢说：“人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学（La vie n'est bonne qu'à deux choses: découvrir les mathématiques et enseigner les mathématiques）。”

Poisson 一生发表了三百多篇文章。整体来看，Poisson 的学术活动集中在数学物理、力学、概率论、势论和分析等方向。

他的一些物理解释后来被修正或否定，但他建立的方程、公式和计算方法在数学中留下了持续影响。

贡献

一、Poisson 方程（Poisson equation）与势论（potential theory）

1811 年，法国科学院物理学部的马吕斯（Étienne Louis Malus，1775-1812）身体很不好，数学教授们希望 Poisson 代替这个职位。于是提出一个关于电的大奖，希望他得到奖金从而坐上这个位置。

他们出的题目是：“通过计算确定并通过实验确认电在孤立或者处于彼此电场的带电体表面上的分布方式 —— 例如在彼此存在的两个带电球体的表面上。为了简化问题，评审委员会只要求检查每个表面上传播的电始终保持相同类型的情况。”

1812 年 2 月 24 日 Malus 去世，Poisson
在 3 月 9 日向法国科学院递交了他的解决方
案的第一部分，论文题目是《关于导电体表
面的电分布》（Mémoire sur la distribution de
l'électricité à la surface des corps conducteurs）
。他因此得到了 Malus 留下的教授职位，科
学院的物理方向从此也从实验走向理论，这
个方向正是 Laplace 所希望的。

Poisson 在 1811-1813 年间研究静电学（electrostatics），尝试用分析方法确定带电体上的电荷分布。

1823 年在《关于运动磁性的理论》（Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement）中，他写出了势函数在带电体内部、外部以及表面附近满足的方程。这里的 “势函数（potential function）” 可以理解为一个标量函数：知道它之后，可以通过求导得到相应的力场或电场。

在三维空间中，若势函数记为，常用的 Laplace 算子定义为

当区域内没有电荷时，势函数通常满足 Laplace 方程

当区域内存在电荷密度时，方程变成 Poisson 方程

其中表示由电荷密度或其他源项决定的函数。在静电学的某些单位制中，常写作

其中是电荷密度。常数和符号会随单位制与势函数定义而变化，但关键思想是：场的分布可以转化为一个偏微分方程（partial differential equation）。

这个工作在当时重要，是因为它把静电和磁性的物理问题转化成可以计算和分析的方程问题。可以把 Poisson 方程理解为 “已知源项，求一个函数，使它的二阶导数组合等于 ”。

这类问题后来成为边值问题（boundary value problem）和位势论（potential theory）的核心内容，也影响了格林（George Green，1793-1841）等人的研究。

二、Poisson 比（Poisson's ratio）与弹性理论

Poisson 在弹性理论中引入了后来被称为 Poisson 比（Poisson's ratio）的无量纲量。考虑一根材料棒沿长度方向被拉伸。若长度从变为，则纵向应变（longitudinal strain）为：

同时，材料的横向宽度通常会改变。

若横向长度从变为，则横向应变（transverse strain）为

Poisson 比定义为

这里的负号是为了使常见材料在拉伸时为正：材料被拉长时，横向通常变窄，所以，而。

Poisson 最初根据分子相互作用模型认为这个比值应当是，并引用了当时若干实验结果。

后来的实验表明，不同材料的 Poisson 比并不相同。在常见的各向同性线弹性模型（isotropic linear elasticity）中，稳定性条件给出大致范围

这个概念的重要性在于，它把 “材料受力后形状怎样改变” 用一个简单的数表达出来，Poisson 比与拉伸、压缩、弯曲和体积变化都有关。

20 世纪后期以后，负 Poisson 比材料的研究使这个概念在复合材料、医学植入物和力学设计中重新受到关注。

三、Poisson 光斑（Poisson’s spot）与光学中的计算预言

Poisson 光斑不是一个成功的 Poisson 理论，而是一个具有历史意义的计算结果。1817 年，法国科学院评审关于光的衍射（diffraction）的大奖论文，当时 Poisson 是评委之一。

工程师菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel，1788-1827）提交的工作基于波动理论（wave theory），而 Poisson 倾向于认为光学现象可以由分子相互作用或粒子式解释说明。

作为评审委员，Poisson 从 Fresnel 的公式推出一个看似反直觉的结论：如果用点光源照射一个圆盘，在圆盘阴影中心应出现亮点。Poisson 原本希望这个结论能显示 Fresnel 理论的不合理性。

评委会主席阿拉戈（Dominique-François-Jean Arago，1786-1853）精心设计了一个实验，确认了阴影中心确实出现了亮点。Arago 后来发现，早在 1720 年左右就有人（Joseph-Nicolas Delisle 和 Giacomo Filippo Maraldi）发现这一现象。

它的重要性在于：数学推导给出了一个具体、可检验的实验预言，而实验结果反过来支持了 Fresnel 的波动理论。人们为了纪念这一极具戏剧性事实，后来就把这一现象称为 Poisson 光斑。

四、Poisson 分布（Poisson distribution）与稀有事件计数

Poisson 的名字在概率论中最常见的出现，是 Poisson 分布（Poisson distribution）。若随机变量（random variable）表示某一固定时间或空间范围内事件发生的次数，并且事件平均发生次数为，则 Poisson 分布写为

这个分布的一个特点是

也就是说，它的期望（mean）和方差（variance）相同。

对本科生来说，一个常见理解方式是把它看作二项分布（binomial distribution）的极限：若有次机会，每次事件发生概率为，当很大而单次概率很小时，固定次数的概率满足

因此，Poisson 分布适合描述 “机会很多、单次概率很小、总体平均次数有限” 的计数问题。例如在固定时间内记录某类事件发生次数，或者在固定区域内统计某类点的数量，都可能出现这种模型。

右侧补充说明：

其中，则称服从泊松分布，简记作。

Poisson 并不是第一个研究概率问题的人；帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）、惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）、棣莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）、德・布丰（Georges-Louis Leclerc de Buffon，1707-1788）和 Laplace 等都曾推动概率论发展。

但 Poisson 分布的现代形式首次出现在 Poisson 1829 年关于新生儿性别比例的论文中，并在他 1837 年《刑事和民事案件判决中的概率研究》（Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile）中再次出现。

这个工作的重要性在于，它把概率论应用到大量事件的统计规律上，推动了概率方法进入社会统计和自然现象建模。

五、Poisson 求和公式（Poisson summation formula）与 Fourier 分析

Poisson 求和公式（Poisson summation formula）影响了数学达二百多年之久，Euler 大概已经知道它的雏形。

Poisson 求和公式，影响到十九世纪中叶 Eisenstein 及 Riemann 对函数所满足的泛函方程（functional equation），也影响到二十世纪的迹公式（trace formula）的发展（著名的 Selberg 迹公式（Selberg trace formula）属于此类）。

它的现代形式是

其中是的 Fourier 变换（Fourier transform），在常用约定下定义为

这个公式需要函数满足一定的光滑性和衰减条件；在非严格表述中，可以理解为：一个函数在所有整数点上的取值总和，与它的 Fourier 变换在所有整数点上的取值总和相等。

Poisson 在 1823 年的工作中出现的是一个与 Gaussian 函数（Gaussian function）和 theta 函数（theta function）有关的特例，而现代一般形式是在后来数学传统中逐渐形成并归到 Poisson 名下的。

这个公式的重要性在于，它连接了离散求和与连续 Fourier 分析。后来它在 theta 函数、格点问题（lattice problems）、调和分析、信号处理和编码理论中都有应用。

2022 年获得 Fields 奖的乌克兰女数学家维亚佐夫斯卡（Maryna Sergiivna Viazovska , 1984- ），在研究球填充（sphere packing）的时候也是要用到这个公式。

六、Poisson 核（Poisson kernel）与 Dirichlet 问题

Poisson 核（Poisson kernel）常出现在调和函数的边值问题中。若在平面区域内满足

则称为调和函数。

Dirichlet 问题（Dirichlet problem）是指：已知区域边界上的函数值，求区域内部满足的函数。

在单位圆盘中，令，Poisson 核定义为

如果边界圆周上的函数为，则圆盘内部的调和函数可以写为 Poisson 积分公式（Poisson integral formula）

这个公式的直观含义是：内部一点的值不是任意决定的，而是边界值的加权平均；权重由 Poisson 核给出，并且离内部点 “方向更近” 的边界值权重更大。

Poisson 引入相关核函数时，主要是在研究三角级数、Fourier 级数的收敛以及若干物理问题，并不是以现代形式系统求解一般 Dirichlet 问题。

后来，狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet , 1805-1859）、纽曼（Carl Gottfried Neumann , 1832-1925）和施瓦兹（Karl Hermann Amandus Schwarz , 1843-1921）等人的工作把这类公式与势论和边值问题更明确地联系起来。