Dyson
Dyson
生平
弗里曼・约翰・戴森（Freeman John Dyson，1923-2020）的父母是米尔德里德・露西・阿特基（Mildred Lucy Atkey）和乔治・戴森（George Dyson，1883-1964）。George 既是一位极有才华的英国音乐教师，也是一位音乐写作者。Dyson 出生时，George 正在 Berkshire 的 Wellington College 教授音乐。更早些时候，他曾在 Marlborough College 任教，在那里与 Mildred 的兄长 Freeman Atkey 是同事兼挚友。
Freeman Atkey 在第一次世界大战中阵亡后，George 和 Mildred 都深受打击。这件事使两人关系更为密切，他们于 1916 年结婚。长女 Alice 出生于 1919 年，第二个孩子便是 Freeman Dyson；他被取名为 Freeman，正是为了纪念 Dyson 的舅舅 Freeman Atkey。
Dyson 出生后不久，他的父亲接受了 Winchester College 音乐主任的职位，因此 Dyson 的幼年是在 Winchester 度过的。与父亲相比，他和母亲更亲近，因为母亲性格更为严肃，而且才华出众、读书极多。家境相当宽裕，家里雇有厨师、园丁、女仆和保姆。
Dyson 从五岁起就在 Miss Scott 开办的一所走读学校上学。那时他已表现出在阅读、写作和计算方面的异常天赋。
九岁起，他成为 Twyford College 的寄宿生；这所学校离他家只有三英里。尽管学校离家如此之近，Dyson 也只有在学校假期才回家，而他的父母从不去学校看望他。
1936 年，Dyson 在 Winchester College 的奖学金考试中名列第一；那时他才十二岁。这个第一名显示出极大的潜力，也使他第一次真正意识到自己有多么出色。他在各门课程中都是杰出学生，而在数学方面尤其卓越。
在那以前，他一直显得是个非常不同寻常的学生，与同学们大不一样；但现在，他赢得了同学们的尊重，而他的父母也对儿子的成功惊叹不已。
Winchester College 对 Dyson 非常重要，因为它给了他极其优秀的数学教育。他不仅遇到了全英国最优秀的数学教师之一杜雷尔（Clement Vavasor Durell , 1882-1968），而且还与莱特希尔（Michael James Lighthill , 1924-1998，英国应用数学家）同班，两人一起学习高等数学，例如约当（Marie Ennemond Camille Jordan , 1838-1922）的《分析教程》（Cours d'Analyse）。外语对 Dyson 来说学得很容易。
1938 年，当他开始对数论感兴趣时，他决定去读维诺格拉多夫（Ivan Matveevich Vinogradov , 1891-1983）的《数论导论》（An introduction to the theory of numbers）。这本书当时只有俄文版，但这似乎并没有造成什么困难；他自己学会了俄语，并把这本书译成英文。
第二年，他又读了爱丁顿（Arthur Stanley Eddington , 1882-1944）的《相对论的数学理论》（The mathematical theory of relativity）。
1941 年，Dyson 获得 Cambridge 大学 Trinity College 的奖学金。第一年里，他随狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）学习物理，随哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）和贝西科维奇（Abram Samoilovitch Besicovitch，1891-1970）学习纯数学。在 Cambridge 期间，他写了几篇论文，但都直到 1944 年才发表。
第一篇写于 1941 年、发表于 1944 年，题为《每个方程都有一个根的证明》（A proof that every equation has a root）。Dyson 写道：…… 关于 “每个方程都有一个根” 这一命题，已经有那么多种证明了，以致于再给出一个证明几乎像是一种罪过。不过，我可以为自己辩护两点：第一，我将给出的证明很可能并不是新的；第二，如果它确实是新的，那么它相对于其他证明有一个优点，那就是它只使用最基本的论证。
Dyson 在 1943 年发表了 3 篇论文：
《组合分析里的三个恒等式》（Three identities in combinatory analysis）
《关于连分数部分商的数量级》（On the order of magnitude of the partial quotients of a continued fraction）
《关于峰度的一个注记》（A note on kurtosis）
当然，Dyson 在 Cambridge 的这些年，正值第二次世界大战期间，因此许多学者都已离校从事战争工作。虽然这段时期对 Dyson 来说并不特别愉快，但他也有一两位好友。
为了调剂生活，他和朋友们会在夜里去攀爬 Cambridge 城里各处建筑物。1943 年，尽管 Dyson 先前曾持和平主义信念，他还是开始在英国轰炸机司令部担任科学家，从事提高作战任务效率的工作。他在这项工作上投入了大量时间，但仍设法继续自己的数学研究，并读了一些物理学书籍。
战争结束后，Dyson 在帝国理工学院担任 demonstrator。就在这一时期，他写出了有影响力的论文《论连分数中的同时 Diophantine 逼近》（On simultaneous Diophantine approximations on continued fractions）。
1946 年，他以 Trinity College 研究员身份回到 Cambridge，此前他已写成一篇学位论文（但是并未正式取得博士学位），并由此发表了三篇论文：
《关于整数集密度的一个定理》（A theorem on the densities of sets of integers , 1945）
《代数拓扑中的一个定理》（A theorem in algebraic topology , 1948）
《四个非齐次线性形式之积》（On the product of four non-homogeneous linear forms , 1948）
然而回到 Cambridge 以后，他开始从事理论物理研究，并且此后理论物理成为他的主要研究方向；不过，正如下面会提到的，他仍然继续发表纯数学论文。这一时期，有人建议他考虑去美国发展。在佩尔斯（Rudolf Ernst Peierls，1907-1995）等人的建议下，他决定申请去 Cornell 跟随贝特（Hans Albrecht Eduard Bethe，1906-2005）工作。
泰勒（Geoffrey Ingram Taylor，1886-1975）在给 Bethe 的推荐信中写道：你应当已经收到了 Freeman Dyson 先生申请去你那里做研究生的请求。我希望你会接受他。虽然他只有 23 岁，但在我看来，他是英国最好的数学家。
Dyson 与 Bethe 密切合作，并且像 Bethe 的其他学生一样，对他深为敬佩。
1948 年，Dyson 在《Physical Review》上发表了《能级的电磁位移》（The electromagnetic shift of energy levels），这是他发表的第一篇物理论文。这篇论文既显示出他惊人的计算能力，也显示出深刻的物理理解。
很明显，在这一时期，Dyson 已被视为一位异常有天赋、能力极强的青年学者。
Bethe 说服奥本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）接收 Dyson 到普林斯顿高等研究院（IAS）工作。
他在推荐信中写道：Dyson 先生在能力和成就上都极不寻常。我可以毫无保留地说，他是我所见过、也是我所带过的学生中最优秀的一个。
从那时起，Dyson 的工作集中在量子电动力学上。也正是在这一时期，发生了一件使 Dyson 十分高兴的事：日本的朝永振一郎（Shinichiro Tomonaga，1906-1979）在相对论性量子场论方面发展出了重要工作。
让 Dyson 感到高兴的不只是这项工作本身的重要性，还因为它来自一个出乎意料的地方，并表明在这一领域中产出重要研究的并不只有美国。Tomonaga 的工作与施温格（Julian Seymour Schwinger，1918-1994）的相比，更为清楚、也更为简洁。
大约在 1948 年春天，Dyson 与费恩曼（Richard Phillips Feynman，1918-1988）成为朋友，Dyson 也开始熟悉 Feynman 的方法。两人的共同特点是惊人的计算能力。
在一次前往 Princeton 的长途汽车旅途中，Dyson 想通了一个困扰了他整整一年的重大问题。
他终于看出，如何证明 Schwinger 与 Feynman 的理论实际上是等价的。这些想法最终成为他那篇极为重要的论文《Tomonaga、Schwinger 与 Feynman 的辐射理论》（The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman）的基础，该文发表于 1949 年的《Physical Review》。
Corben 在一篇书评中写道：文中对 Tomonaga—Schwinger 量子电动力学作了讨论，并恰当地强调了其中所涉及的物理思想，同时确立了它与 Feynman 那套当时大多尚未发表的理论之间的等价性。
Dyson 于 1948 年秋到达 Princeton。他始终没能真正对 Oppenheimer 感到自在。他觉得 Oppenheimer 浮于表面，而且与 Bethe 相比，并不善于给学生提供指导和支持。
Bethe 则继续成为 Dyson 的真正支柱；在一次极有影响力的研讨会上，Bethe 帮助 Dyson 说服听众 —— 其中包括 Oppenheimer—— 相信 Feynman 的方法是最有希望继续推进的方向。
Dyson 1949 年关于量子电动力学中 S- 矩阵重整化的著名论文《量子电动力学中的 S- 矩阵》（The S matrix in quantum electrodynamics），很快成为该领域极受重视、影响深远的工作。
Harvard 大学物理系教授弗瑞（Wendell Hinkle Furry，1907-1984）对这篇重要论文的内容和方法作了如下概括：文中讨论了量子电动力学在散射问题中的应用，所用语言是 S- 矩阵的计算；S- 矩阵是一种把初态的入射波转化为末态的出射波的算符。……
S- 矩阵的计算被表示为一组图，其中有向线代表电子，无向虚线代表光子或与某个给定电磁场的相互作用。
图中的内部线代表粒子的虚态：它们要么在可观测粒子之间提供相互作用，要么表示场的涨落，从而产生自能等效应；延伸到图边界的线则代表可观测粒子，或与给定场的相互作用。对于任何给定过程，当然都会有许多图；对每一个图，都有一个对应的 S- 矩阵贡献，而根据 Feynman 在 Dyson 前一篇论文中制定并给出的规则，这些贡献只需从图上便可直接写出。
Dyson 开始在科学界成名。他知道这种名声的风险，也很有意思地说：我想我至少有足够的清醒，能够享受这种成功，而不至于被它迷惑；如果我做不到，费曼就是一个足以让我引以为戒的榜样。
1949 年初，他计划回英国，并向 Oppenheimer 请教应当去哪个机构。Oppenheimer 说：嗯，Birmingham 有最好的理论物理学家 Peierls；Bristol 有最好的实验物理学家 Powell；Cambridge 则有一些极好的建筑……。
在 Bethe 为 Dyson 申请去 Peierls 那里工作的推荐信中，他把 Dyson 描述为：…… 自 Dirac 以来英国最优秀的理论家。1949 年夏天，Dyson 在高等研究院遇见了维雷娜（Verena Esther Haefeli-Huber，1923-2016）。她是一位瑞士数学家，前一年刚刚发表自己的博士论文《抽象群论中作为分类原则的一种对偶性》（Ein Dualismus als Klassifikationsprinzip in der abstrakten Gruppentheorie）；这篇论文推广了 P. Hall 的两篇文章。
Dyson 于 1950 年夏与 Verena 订婚，并于同年 8 月结婚。他们婚后育有两个孩子：Esther Dyson 和 George Dyson。
Esther 16 岁进入 Harvard，主修经济学，后来成为作家兼记者，也是计算机世界中的重要人物。
Dyson 与 Verena 于 1958 年离婚；同年 11 月，他与 Imme Jung 结婚，两人育有四个女儿：Dorothy、Emily、Mia 和 Rebecca。
完成 S- 矩阵论文后，Dyson 转向介子理论（meson theory），在这一领域中他提出了一种把高频相互作用与低频相互作用的计算分离开来的方法。
在发表了更多重要论文并参与国际会议之后，1950 年 5 月，Dyson 接替 Feynman，出任 Cornell 的教授职位。到这时，Bethe 对 Dyson 的赞赏之情已与日俱增。Bethe 曾表示，Dyson 是 “世界上唯一能够在 Cornell 接替 Feynman 的人”。
有趣的是，在 Dyson 令人印象深刻的整个职业生涯中，他并未正式取得博士学位，也从未获得 Nobel 奖。
1979 年 Nobel 物理学奖得主温伯格（Steven Weinberg，1933-2021）曾公开表示，Nobel 委员会亏待了 Dyson；而 Dyson 本人也曾开玩笑说，自己正是因为没有获得 Nobel 奖而变得著名（Dyson prefers the infamy of never having won the Nobel Prize）。
1953 年，Dyson 接受了普林斯顿高等研究院物理学教授的职位。前面提到过，尽管这时他已经是一位物理学家，Dyson 仍继续发表纯数学研究论文。例如，他在
1951 年于《Annals of Mathematics》上发表了巧妙的论文《定义在球面上的连续函数》（Continuous functions defined on spheres）；
1961 年发表《分拆的一种新对称性》（A new symmetry of partitions）；
1989 年发表《分拆的映射与对称性》（Mappings and symmetries of partitions）；
1994 年发表《与整数表示为两个平方和相关的指数和的均方值》（Mean square value of exponential sums related to representation of integers as sum of two squares，和 Pavel Bleher 合作）；
2001 年发表《第 6 个 Fermat 数与回文连分数》（The sixth Fermat number and palindromic continued fractions）等。
还应特别提到 Dyson 于 1988 年发表的论文《漫步 Ramanujan 的花园》（A walk through Ramanujan’s garden）。
拉杜（Christian Radoux）在评论中写道：…… 四十八年来，作者一直在研究 Ramanujan 的工作，最初通过 Hardy 和 Wright 的著作，接着通过《论文集》、“失落的笔记本” 以及其他几位数学家的工作。借此，我们得以追随他自己关于分拆同余性质、特殊级数与无穷乘积、生成函数以及模函数等方面的研究……。
Dyson 还出版过若干关于科学与哲学的书，包括
- 《扰乱宇宙》（Disturbing the Universe, 1979），
- 《武器与希望》（Weapons and Hope, 1984），
- 《生命的起源》（Origins of Life, 1986），
- 《向各个方向无限延伸》（Infinite in all Directions, 1988），
- 《从爱神厄洛斯到盖亚》（From Eros to Gaia, 1992）
- 《想象的世界》（Imagined Worlds, 1997）和
- 《太阳、基因组和互联网》（The Sun, the Genome and the Internet, 1999）。
他也写过不少说明性文章，例如发表于《Scientific American》的《物理科学中的数学》（Mathematics in the physical sciences, 1964），讨论数学 —— 特别是群论 —— 在物理科学中的作用。
发表于《American Mathematical Monthly》的《错失的机会》（Missed opportunities, 1972）则是：……[Dyson] 于 1972 年 1 月发表的 Josiah Willard Gibbs 讲座的文字稿。这次讲座精彩、大胆而且富于争议。它引发了大量讨论，也招来了某些批评，但确实激发了听众…… 其中对数学家与物理学家之间交流破裂，以及对 Maxwell 方程缺乏兴趣的那段历史叙述，构成了对数学共同体的一种控诉。
在《不合时宜的追求》（Unfashionable pursuits, 1983）中，Dyson 写道：…… 强烈呼吁那些掌握科研资助的 “权威委员会”—— 例如高等研究院和 Humboldt 基金会中的相关委员会 —— 更多关注那些希望在 “不时髦” 领域中工作的科学家。他强调，许多最初看来 “不时髦” 的思想，若干年后却被证明极其重要；他举出的例子包括 Grassmann 和 Lie 的工作……。
Dyson 因其卓越贡献获得了许多荣誉，包括 1952 年当选英国皇家学会会士。他还当选为美国国家科学院院士（1964）和巴黎科学院院士（1989）。1994 年，Dyson 从普林斯顿高等研究院教授职位上退休，并被任命为名誉教授。
1996 年，美国数学学会出版了《Freeman Dyson 论文选集附评注》。恩特（Aernout C. D. van Enter）在对这本书的评论中，对 Dyson 的贡献作了很好的概括：
对这样一本书发表意见，几乎让人觉得有些僭越。它的主题范围极广，包含许多深刻的、往往已经成为经典的结果，而且文风无可挑剔。每一类读者都能在这本书中找到贴近自己兴趣的内容，也会碰到超出自己掌握范围的内容。它涵盖了极其丰富的主题与奠基性贡献：著名的量子电动力学论文、物质稳定性、层级 Ising 模型的发明、无序线性链、随机矩阵、自旋波理论等等；Dyson 在这些差异极大的题目上都留下了自己的印记。
这还没有包括纯数学方面的内容，而我对此更没有资格评论。Dyson 的多面性、数学功力与深度是众所周知的，他的评论和有时带挑衅性的观点既发人深省，又令人读来愉快。对这本书，我无法给出比一句老话更好的推荐：去研究大师吧！（study the masters!）
贡献
一、分拆（partition）理论
Dyson 在纯数学中最有持久影响的工作，首先属于整数分拆（partition）。所谓一个正整数
所以
它的母函数是 Euler 的经典乘积公式
Ramanujan 证明过三个著名同余：
Dyson 在 1944 年的文章《分拆理论里的一些猜想》（Some guesses in the theory of partitions）的出发点，就是想为这些同余找到一种 “组合性的解释”，而不是只靠生成函数或模形式计算。
他为此引入分拆的秩（rank）。若
这个定义非常简单，但十分有效。
若记
这正给出了前两个 Ramanujan 同余的直接组合解释。Atkin 和 Swinnerton-Dyer 后来（1954 年）证明了这些猜想；这条线以后发展得很深，直到 21 世纪仍是分拆理论的重要部分。
Dyson 同时还指出，rank 并不能同样自然地解释模 11 的同余，因此他猜想还应存在另一种统计量，后来被他命名为 crank。四十多年以后（1988 年），Andrews 和 Garvan 才真正给出这样一个统计量。其一个标准定义是：令
这个定义后来同时解释模 5、7、11 的三条 Ramanujan 同余。
1969 年，Dyson 在《分拆里的新对称性》（A new symmetry of partitions）中证明一个新的分拆对称性：它给出 “rank 等于某个值” 的分拆数的显式公式，并把 Euler 关于
1989 年的《分拆的映射与对称性》（Mappings and symmetries of partitions）又进一步用组合映射构造新的分拆恒等式，并把普通分拆与 Garvan 引入的向量分拆联系起来。
二、加法数论与 Dyson 变换（Dyson transform）
Dyson 1945 年的《关于整数集密度的一个定理》（A theorem on the densities of sets of integers）属于加法数论。这一方向研究的是：若
有多大？若一个集合足够 “稠密”，反复与自己相加以后，是否能覆盖全部足够大的整数？这类问题在 Schnirelmann、Landau、Mann 等人的工作中已相当重要。
这里最基本的量之一是 Schnirelmann 密度：若
Mann 的经典定理表明：
也就是说，只要两个集合都有正密度，它们的和集密度就至少线性增长到某个程度。
Dyson 的 1945 年论文做的事情，是把这种二元和集的密度方法推广到更一般的
后来的研究文献通常把他的证明中使用的一个关键替换步骤称为 Dyson 变换（Dyson transform）。
三、拓扑：球面上的连续函数
Dyson 在 1951 年发表著名的短文《球面上的连续函数》（Continuous functions defined on spheres）。后来的文献通常把这篇文章的结论概括为 Dyson's theorem：若
后来的论文和相关文献都把这个结果视为球面上的一个 “等值内接图形” 定理，并指出它与 Kakutani 关于外接立方体的问题有关。
这个结果在今天看来很像 Borsuk–Ulam 型现象的一个具体几何实例。
四、随机矩阵
Dyson 最重要的数学工作大概是 1962 年围绕随机矩阵的一组论文，特别是《复杂系统能级的统计理论 I–III》（Statistical theory of the energy levels of complex systems I–III）和《三重道路》（The threefold way）。这组工作把谱统计和对称分类统一起来。
Dyson 证明，在量子体系的对称约束下，真正基本的矩阵系综（ensemble）只有三类：实对称型、复 Hermitian 型和四元数自对偶型；这三类后来被称为 GOE、GUE 和 GSE。
Dyson 在《三重道路》（The threefold way）中把这一分类与三种实系数除代数
在现代统一写法下，这三类 Gaussian 系综的矩阵分布可以写成
把矩阵变量改写成特征值变量之后，联合密度变成
这个公式把特征值之间的排斥效应写得非常清楚：
这一因子意味着特征值彼此不喜欢靠得太近；所谓水平斥力（level repulsion），在这里第一次有了明确的数学形式。
Dyson 也正是在这一点上，看到了随机矩阵与一维 Coulomb 气体之间的对应。
在这组论文里，他还写出了谱相关函数的显式公式。例如在 1962 年系列论文的第三部分，他给出了某些二点相关函数
这类公式后成为随机矩阵理论中 “谱普适性” 讨论的原型。
同样在 1962 年，Dyson 还写了《随机矩阵特征值的 Brownian 运动模型》（A Brownian-motion model for the eigenvalues of a random matrix）。这篇论文把矩阵元素本身看成做 Brownian 运动的随机过程，并证明相应的特征值过程恰好可以解释成一维带对数排斥的粒子系统。这是一个由
六、Dyson conjecture：常数项恒等式
Dyson 在数学中留下名字的另一件重要事情，是后来称为 Dyson conjecture 的常数项恒等式。设
这个式子表面上很像一个纯组合恒等式，但它最初来自他对复杂量子体系能级统计的研究。后来 Wilson 和 Gunson 在同一年独立证明了这个猜想，Good 又给出了著名的简短证明；再往后，Andrews 提出了
Dyson conjecture 后来被看作 Macdonald 常数项猜想等一大批恒等式的前身。
七、数学物理中的严格结果
1976 年，他与 Lieb、Simon 合写的《量子 Heisenberg 模型的相变》（Phase transitions in the quantum Heisenberg model）。若在
Dyson–Lieb–Simon 的结论是：在维数
1976 年，Dyson、Lieb 和 Simon 首先发表了关于三维及更高维中最近邻铁磁量子 Heisenberg 模型存在非零温度相变的证明。随后，他们在更完整的工作中把该方法推广到了更广泛的量子自旋系统，其中也包括了若干反铁磁 Heisenberg 模型。这件事之所以重要，是因为它通过引入严格的数学结构，把 “相变确实存在” 从物理直觉变成了数学上的证明。
