Dehn
Dehn
生平
马克斯・威廉・德恩（Max Wilhelm Dehn，1878-1952）于 1878 年出生于德国 Hamburg。他的父亲马克西米利安・摩西・德恩（Maximilian Moses Dehn，1841-1897）是一位医生。他父亲 Maximilian 于 1867 年在德国 Hamburg 与贝尔塔・拉夫・赫希（Berta Raf Hirsch，1845-1926）结婚。他们共有九个孩子。这个家庭是犹太人，但他们并不把自己视为犹太人，而更把自己看作德国人。
Dehn 在汉堡长大，就读于 Wilhelm 高中（Wilhelm Gymnasium）。这所学校创办于 1881 年，以德皇 Wilhelm 一世命名。这是一所为大学预科而设的学校，毕业后，Dehn 进入 Freiburg 大学。
有趣的是，Dehn 的导师希尔伯特（David Hilbert，1862-1943），在 1879 年 - 1880 年就读于柯尼斯堡（Königsberg）的 Wilhelm 高中（Wilhelmsgymnasium）—— 同样以德皇 Wilhelm 一世命名，1874 年创办。
在 Freiburg，Dehn 学习数学；但和当时许多学生一样，他并不是始终只在一所大学就读。
他也曾在 Göttingen 学习，并在 David Hilbert 指导下，于 1900 年以论文《关于三角形内角和的 Legendre 定理》（Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck）获得博士学位。
在这篇论文中，他证明了 Saccheri-Legendre 定理，即在 “绝对几何（absolute geometry）” 中，三角形内角和至多为
这里的绝对几何，指的是满足欧几里得几何全部公理、但不包含平行公设的几何体系。
1900 年 8 月，Hilbert 在巴黎举行的国际数学家大会上发表了著名演讲《数学问题》（Mathematische Probleme）。
在演讲中，他提出了十个他认为对数学发展极为重要的问题；实际上，发表出来的版本一共列出了 23 个问题 —— 即后来著名的 Hilbert 23 问题 。
就在 1900 年，Dehn 解决了其中的第 3 个问题，即：
给定任意两个体积相等的多面体，是否总可以把第一个切分成有限多个多面体小块，再重新拼装成第二个？
Dehn 在论文《关于体积》（Ueber den Rauminhalt, Math. Ann., 1901）中证明，这个问题的答案是否定的。他利用今天所谓的 Dehn 不变量（Dehn invariant） 构造了一个反例。这是 Hilbert 问题中第一个被解决的问题。
1900 年底前，他把解决 Hilbert 第三问题的论文作为 habilitation 论文提交给明斯特（Münster）大学；次年，他被任命为 Münster 的 Privatdozent（无薪讲师），并一直任此职到 1911 年。
1907 年，Dehn 与希加德（Poul Heegaard，1871-1948）一起为《数学科学百科全书》（Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften）撰写了一篇最早的拓扑学系统综述之一。后来对这篇文章的评价是：
“它第一次系统地呈现了一条具有深度与美感的研究路线 —— 这条路线可追溯到 Euler、Gauss、Listing、Riemann、Möbius、Betti 和 Poincaré—— 当时它被称作‘位置分析（analysis situs）’，今天大概会被称为几何拓扑。”
之后，Dehn 试图证明 Poincaré 猜想，当然，他并未成功。不过，正是这些尝试促使他发表了 1910 年的论文《关于三维空间的拓扑》（Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes）。
在这篇论文中，他讨论了由三叶纽结（trefoil knot）及其他若干纽结（knot）的补空间构造出的、具有平凡同调的三维流形。为了研究这些流形，他构造了它们基本群的 Cayley 图（Cayley graph）。
1911 年，Dehn 被任命为 Kiel 的编外教授；1913 年至 1921 年间，他在 Breslau 大学任正教授。
1912 年 8 月 23 日，他与安东尼・兰道（Antonie Landau）结婚；二人共有三个孩子：Helmut（1914-2007）、Maria（1915-2013）和 Eva Agathe（1919-2008），都出生于 Breslau。
1914 年，Dehn 发表论文《两个三叶纽结》（Die beiden Kleeblattschlingen）。琼・西尔维娅・利特尔・伯曼（Joan Sylvia Lyttle Birman，1927- ）评价这篇论文：“这篇写于 1914 年、在拓扑空间基本群概念提出后不久的论文，处理了一个简单而优美的问题：确认最简单的纽结所具有的一种性质，而这种性质只需做五分钟实验便会让人产生怀疑 —— 即右手三叶纽结与左手三叶纽结并不同胚。1914 年时，基本群还是一种很新的工具；Dehn 通过研究其外自同构群，以一种相当高明的方式使用了它。在用它证明三叶纽结不是 amphicheiral（即不能与其镜像重合）之后，论文结尾还简要研究了八字纽结（figure-eight knot）基本群的外自同构群，而这个结恰恰是 amphicheiral 的。他还识别出了其生成元（后来得到了证明）。…… 在 1984 年以前，我们实际上并没有什么简单方法来检测一个结是否非 amphicheiral，因此 Dehn 的工作 —— 乍看之下仿佛是用大炮打麻雀 —— 在将近 70 年里始终是核心的文献。
当然，1914 年也是第一次世界大战开始的年份。Dehn 于 1915 至 1918 年在军队服役，他的学术生涯因此中断。
服完兵役后，他回到 Breslau 的教授职位；但在 1921 年，他接替比伯巴赫（Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach，1886-1982），出任 Frankfurt 大学纯粹与应用数学讲席教授。在那里，他组织了一个著名的数学史研讨班。
韦伊（André Abraham Weil，1906-1998）写道：“作为一位具有人文气质的数学家，Dehn 把数学看作整个人类思想史中的一个章节 —— 当然绝不是最不重要的那一章 —— 因此他不可能不对数学史研究作出原创性贡献，也不可能不把同事和学生卷入这一事业。这个贡献，或者不如说这一创造，就是 Frankfurt 数学研究所的历史研讨班。表面上看，没有什么比这更简单、更不张扬了：
选一篇原始文献来读，尽量不仅把握其表层脉络，也把握其内在思想推进的方向。…… 我是在后来几次去 Frankfurt 时才参加这个研讨班的；我总是尽可能多去那里。我已记不清是否早在 1926 年夏季学期，在一次讨论 Cavalieri（1598-1647）的研讨班上，Dehn 就已经展示出这类文本应当如何从作者自身的立场出发来阅读，既考虑作者时代普遍接受了什么，也考虑 Cavalieri 竭力想要实现的新思想。每个人都参加讨论，尽自己所能为集体努力作出贡献。
1932 年，Dehn 写了论文《人类中的数学》（Das Mathematische im Menschen），发表于恩里克斯（Abramo Giulio Umberto Federigo Enriques，1871-1946）在博洛尼亚编辑的意大利期刊《Scientia》。
在这篇文章中，Dehn 把 “数学能力” 放在了一个基本的人类学层次上。正是因为相信数学深深扎根于人性之中，正如音乐建立在与生俱来的音乐能力之上一样，他才有信心认为，即使不是职业数学家的人，也能够欣赏这门科学。
1933 年初，Hitler 在德国上台。Dehn 勉强仍继续主持 Frankfurt 大学的数学研讨班。然而在 1935 年，Dehn 被迫辞职，但仍留在 Frankfurt。
1936 年，他把子女送出德国：儿子 Helmut 去了美国，女儿 Maria 和 Eva 则被送往英国继续学业。
之后几年里，Dehn 在若干欧洲国家讲学，并于 1938 年 1 月至 4 月间在英国与两个女儿同住。
他仍继续发表论文。
1936 年，他在《Scientia》上发表了《从数学的观点看亚里士多德的空间、时间与数》（Raum, Zeit, Zahl bei Aristoteles vom mathematischen Standpunkt aus）。
1938 年，他发表了《映射类群》（Die Gruppe der Abbildungsklassen），其中包含今天称为 Dehn twist（德恩扭转）的重要思想。
1938 年 11 月 11 日，Dehn 被逮捕；但由于被关押的犹太人太多，监狱已经人满为患，他当日稍晚便被释放。随即，担心再次被捕的 Dehn 与妻子逃往 Frankfurt 以北的朋友家。
几周后，纳粹对犹太人的迫害稍有减弱，于是 Dehn 夫妇冒险逃往 Hamburg，暂时住在 Dehn 的一位姐姐家中；随后于 1939 年 1 月先逃到丹麦，再从那里去往挪威。
Dehn 不久便在特隆赫姆（Trondheim）的技术学院（如今的挪威科技学院）获得一个临时职位，代替正在休假的布朗（Viggo Brun，1885-1978）——1915 年提出著名的 Brun 筛法（Brun Sieve）。
然而，1940 年 3 月 1 日，德国入侵挪威，Trondheim 于 4 月 9 日落入德军之手。Dehn 逃离了这座城市，但冒着巨大危险，到 6 月又回到城中，并开始筹划前往美国。
1940 年 10 月，Dehn 夫妇移民美国，路线是：从挪威到瑞典斯德哥尔摩，再到苏联莫斯科，从那里乘西伯利亚铁路到符拉迪沃斯托克，然后坐船到日本神户，再换船前往旧金山，并于 1941 年 1 月 1 日抵达。
到了美国后，Dehn 曾在几所大学和学院任教，例如 Idaho 大学 Pocatello 分校、Illinois 理工学院，以及 Maryland 州 Annapolis 的 St. John's College。
切辛（Paul L. Chessin）曾回忆 Dehn 在 Wisconsin 州 Madison 时的一些个人轶事：“1945 年，Dehn 接替当时 Wisconsin 大学 Madison 分校数学系主任兰格（Rudolf Ernest Langer，1894-1968），后者休假去了 Texas 大学。Dehn 教授来开了几门研究生课程。我上了他的‘非线性偏微分方程’课。他常常在校园酒吧 Rathskellar（那是当时十大联盟大学中唯一的校园啤酒馆）里高谈阔论。我们在酒馆里学到的东西更多，比如他的个人生活。
他是家里的异类。只要他还留在大学里，就能得到家人的支持。因此，他获得了许多博士学位。他会手持啤酒杯，用希腊语朗诵一些古典文学的段落。公布最终成绩时，他只是点名，然后逐一询问课本章节标题。显然，我们可以提前翻阅，确保答案正确。我记得他给了大约 18 个 A 和 3、4 个 B。上课期间，他会不时打断课堂，表达他对能否通过公民考试的担忧。”
然而，Dehn 始终没能找到一个全职职位。麦克兰恩（Saunders Mac Lane，1909-2005）后来写道：“…… 大多数逃离欧洲的数学家在美国都多少得到了某种职位…… 我记得有两个失败的例子：Max Dehn—— 以拓扑工作著称 —— 只得到一个很弱的职位。”
Mac Lane 所说的这个 “很弱的职位”，就是 Black Mountain College。这所学院并不授予正式认证的学位，教学主要集中在创意艺术方面。
1944 年，Dehn 受邀前往那里作两场讲座时，教员中甚至没有受过专业训练的数学家。他意识到自己无法讲授高等数学，因此讲的是 “数学与装饰艺术的共同根源” 和 “数学思想发展中的若干时刻”。学院随后向他提供了一个每月 25 美元的长期职位。他坚持要求每月 40 美元，最终学院同意了。Dehn 于 1945 年加入该校教师队伍，并一直留在那里直到去世。Black Mountain College 于 1956 年关闭，而 Dehn 是这所学院历史上唯一任教过的数学家。
佩弗（David Peifer）写道：“Dehn 教授数学、哲学、希腊文和意大利文。在数学方面，他的课程包括数学史和射影几何。他因热爱自然和艺术而被人铭记。他的讲课经常岔出去谈哲学、艺术，以及它们与数学的关系。他最出色的时候，是用一种苏格拉底式的方式来讲授。他很喜欢带着学生在树林里徒步时上课。人们记得他是一位关怀学生、极其投入的教师。”
Dehn 出色的研究记录，与他晚年最后那个职位的低层次形成了鲜明对照。他是一位凭直觉工作的几何学家，深受 Hilbert 公理化方法的启发。他在拓扑上的工作把他引向了群论，尤其是那些从拓扑中自然产生的群表示问题。
在 1911 年的论文《关于无限不连续群》（Über unendliche diskontinuierliche Gruppen）中，Dehn 提出了关于群表示的两个重要问题：字问题（word problem）和同构问题（isomorphism problem）。
字问题提出了一个根本性的问题：对由一个表示给出的群，是否存在一种算法，能够判定一个词是否表示单位元。
后来人们已经证明，一般情况下并不存在这样的算法。这类问题的研究直到今天仍是组合群论中的重要主题。
除此之外，Dehn 还写过关于静力学、射影平面以及 —— 如前所述 —— 数学史的论文。
第二次世界大战结束后，德国数学会（DMV）于 1948 年重新建立。卡姆克（Erich Kamke，1890-1961）致信所有曾被开除的人，请他们重新加入。
Dehn 拒绝了。下面是他 1948 年 8 月写的回信，其中相当清楚地说明了理由：我并不怀有任何怨恨。你大概知道，我如今又和德国的几位数学家保持着密切联系，当然首先是和那些我过去特别亲近的人。但我不能重新加入德国数学会。
我已经失去了信心，不相信这样一个协会今后会比 1935 年表现得更好。我担心，它仍会再次对来自外部的不公正措施不加抵抗。德国数学会并没有保管什么极其重要的价值。让我产生这种负面印象的事实是：它 1935 年没有自行解散，而且甚至没有相当数量的数学家退出该协会。我并不担心德国数学会将来会再次驱逐犹太人，但也许下一次被针对的会是所谓的共产党人、无政府主义者，或者 “有色人种”。与德国，尤其是与德国数学家的联系，对我始终非常珍贵。
Dehn 于 1951–1952 学年结束时退休，并被授予名誉教授称号。退休后他仍继续在 Black Mountain College 工作，为教师和学生提供建议。
不久，在监督校园里若干棵山茱萸树的移除工作后，他生病了，并因栓塞去世。他被安葬在 Black Mountain College 校园里那片他所热爱的树林中。
贡献
一、几何基础与 Hilbert 第三问题
Dehn 最早的重要工作属于几何基础。其中一个重要工作是 1900 年的 habilitation 工作《关于体积》（Ueber den Rauminhalt）。
Hilbert 第三问题问：两个体积相等的多面体，是否总能分割成有限多个小多面体，并重新拼装为彼此？
Dehn 在这篇论文中给出了否定的答案。
他的关键构造就是后来所谓 Dehn 不变量（Dehn invariant）。现代写法中，若多面体
这里：
这个量对切割与重组是可加的，因此如果两个多面体能通过有限分割互相拼装，它们不仅体积相同，而且 Dehn 不变量也必须相同。
Dehn 用这一点构造出反例，从而说明 “体积相等” 并不足以推出 “可分割同构”。后来 Sydler 证明，在三维中 “体积 + Dehn 不变量” 正好给出完整判据。
二、早期拓扑
1907 年，Dehn 与希加德（Poul Heegaard，1871-1948）合作撰写《位置分析》（Analysis situs）。
这篇文章的历史地位并不在于它给出某个单一定理，而在于它第一次把当时仍然松散的 “analysis situs” 工作系统地整理为一个方向。
正如前文提及：这是一条可以追溯到 Euler、Gauss、Listing、Riemann、Möbius、Betti、Poincaré 的研究传统，而 Dehn 与 Heegaard 的文章第一次把它连成了一个整体。
这篇综述还保留了很强的几何与组合色彩：Dehn 对拓扑的理解，不是纯粹集合论式的，而是始终与曲面分解、纽结、基本群和具体图形操作相连。
三、三维空间的拓扑
Dehn 在 1910 年发表论文《论三维空间的拓扑》（Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes）。
斯蒂尔韦尔（John Colin Stillwell，1942- ）认为这篇论文 “与 Poincaré 1904 年的论文一起，它构成了后来三维拓扑几乎全部工作的出发点。”
Stillwell 列举这篇论文中首次集中出现的内容：有限表示群的字问题与共轭问题、把这类群实现为曲面复形的基本群、Dehn 引理、三叶纽结群的图示、用手术构造同调球，以及对其中一个同调球 —— 实际上就是 Poincaré 同调球 —— 基本群有限性的证明。
其中最著名的结果后来被称为 Dehn 引理（Dehn lemma） 。若三维流形
Dehn 当年的证明有漏洞，完整证明直到 1957 年才由帕帕（Christos Dimitriou Papakyriakopoulos，1914-1976）给出；但这并不影响该命题在三维流形与纽结理论中的根本地位。
同一篇论文里，Dehn 还首次使用后来称为 Dehn 手术（Dehn surgery） 的操作：若
Dehn 当年尚未拥有后来的手术理论语言，但他的几何直觉已经十分接近这一现代框架。
四、《论无限不连续群》
1911–1912 年的《论无限不连续群》（Über unendliche diskontinuierliche Gruppen）标志着 Dehn 从拓扑进入群论中心。
这篇论文提出了关于群表示的基本问题：字问题（word problem） 和 同构问题（isomorphism problem） 。对一个由生成元和关系式给出的群而言，字问题的是一个词是否代表单位元，同构问题则问两个有限表示是否给出同构群。
20 世纪后半叶的逻辑与群论发展表明，这些问题在一般情况下并没有统一可行的算法。Dehn 的论文的重要性不只在于提问，还在于他立刻给出了一类成功的例子：闭双曲曲面的基本群。
以亏格为 2 的曲面为例，它有表示
Dehn 注意到，这个群的 Cayley 图可看成双曲平面中正八边形铺砌的 1 - 骨架，而 relator 就标记着每个八边形的边界。
于是，如果一个约化词代表单位元，那么它在某处必然含有一个 “超过 relator 一半长度” 的长子词；把这段长子词替换为 relator 中互补的更短部分，就能缩短词长。不断重复，若最终化到空词，则原词代表单位元。这就是后来所谓 Dehn algorithm 的原型。
它不仅解决了特定曲面群的字问题，也给后来小消去理论、双曲群和几何群论中的线性消去思想提供了模板。
五、扭结理论
1914 年，Dehn 发表《两个三叶纽结》（Die beiden Kleeblattschlingen）。这篇论文解决的问题非常具体： 左手三叶纽结和右手三叶纽结是否等价？
Joan Birman 在回顾这篇论文时说，Dehn 用一种在 1914 年看来相当 “重型” 的方式解决了一个直观上只需几分钟实验便会冒出来的问题：他通过研究纽结群的外自同构群，证明左手三叶纽结与右手三叶纽结不环境同痕（not ambient isotopic），也就是三叶纽结（trefoil knot）不是 amphicheiral。
Birman 还指出，在 Jones 多项式出现之前的近七十年里，这篇论文始终是该问题的核心文献之一。
六、曲面、扭转与映射类群
Dehn 在曲面拓扑上的工作同样持久。1912 年的《双侧曲面上曲线的变换》（Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen）以及 1922 年《双边曲面上的曲线系统及其在映射问题上的应用》（On curve systems on two-sided surfaces, with application to the mapping problem）的讲义，构成了后来映射类群理论的早期核心文献；这些工作后来收入到 Stillwell 编的《Papers on group theory and topology》。
Stillwell 为附录《The Dehn–Nielsen theorem》写的摘要还指出，有一个重要定理虽归于 Dehn，却并未出现在他的正式发表作品中：闭可定向曲面
今天这条结果通常被称为 Dehn–Nielsen 定理 ，后来又经 Baer 的工作得到现代形式。
与这一方向联系最紧的，是 Dehn twist （德恩扭转）。在曲面上一条简单闭曲线附近取一个环带，沿该曲线切开，把一侧旋转
后来的文献进一步表明，曲面的映射类群可由有限多个 Dehn twists 生成；因此，Dehn 在 1910 年代到 1930 年代这些关于曲线系统、曲面自同胚和基本群自同构的工作，实际上为后来曲面理论奠定了基础。
