Whitehead

生平

约翰・亨利・康斯坦丁・怀特海德（John Henry Constantine Whitehead，1904 - 1960）出生于印度的马德拉斯（Madras，今 Chennai）。他的父亲是亨利・怀特海德（Henry Whitehead，1853 - 1947）主教，曾任 Madras 主教。母亲伊莎贝尔・邓肯（Isobel Duncan）是威尔特（Wiltshire）郡 Calne 教区牧师的女儿，因此 Whitehead 出身于一个与教会联系极为密切的家庭。

然而，这个家庭同样具有深厚的学术传统，尤其在数学方面颇有渊源。他的母亲曾在 Oxford 大学学习数学，是最早一批女性本科生之一；而著名的数学家兼哲学家阿尔弗雷德・诺思・怀特海德（Alfred North Whitehead，1861-1947）则是他的叔父 —— 他和他的学生罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872-1970）合著三卷本《数学原理》（Principia Mathematica）。

虽然 Whitehead 出生在印度，但从大约 18 个月大开始，他就一直生活在英国。

当时他的父母把他从印度带回英国，并将他交由居住在 Oxford 的外祖母照顾。

父母随后返回印度，因此在成长过程中 Whitehead 与父母见面的机会很少。直到他 16 岁时父亲退休，全家才重新回到英国团聚。

Whitehead 在 Oxford 度过的童年生活十分平静。据纽曼（Maxwell Herman Alexander Newman，1897-1984）和 Whitehead 的妻子描述：“…… 那是一个非常宁静的地方。他后来常回忆起和祖母乘马车外出，以及在城里看到马车拉的公共汽车。”

在小学阶段 Whitehead 表现良好，无论在学业、社交还是体育方面都相当出色。
Newman 回忆道：“…… 他智力高于平均水平，擅长各种运动，但在学习上有时比较粗心，不过他对生活有极强的享受能力。如果他更努力一些，本可能获得伊顿公学（Eton College）的奖学金……”

虽然没有获得 Eton 的奖学金，Whitehead 仍然通过入学考试进入 Eton College。
在 Eton，他度过了一段愉快的时光，并开始专攻数学，不过并没有表现出 “数学天才” 的样子。其中一个原因是他对许多其他活动也充满兴趣。

他充满活力、开朗而聪明，因此结交了许多朋友。他那难以抑制的高昂情绪和对权威的不太在意，有时会让耐心而宽容的宿舍导师颇感头痛。

他个人的受欢迎程度使他当选为 Pop 成员；他的运动能力则让他进入板球队二队，获得 fives（类似壁球的运动）校队资格，并在拳击比赛中赢得银杯。

他在学业上未能特别突出，也可能部分由于与父母长期分离所带来的内心忧伤。无论原因如何，这都使他的学术进展比原本可能的情况更为艰难。Whitehead 希望进入 Oxford 大学贝利奥尔学院（Balliol College）学习数学，但 Eton 的数学老师并不认为他有机会获得奖学金。

老师在评价中写道：“在纯几何方面他并不十分勤奋…… 如果他在板球上少花一些时间，他在数学上可能会更成功。”

然而这位老师的判断是错的。1923 年 3 月，Whitehead 成功获得奖学金进入 Oxford 大学 Balliol College。在 Balliol，他的导师是尼科尔森（John William Nicholson，1881-1955）—— 是 Whitehead 的叔叔 Alfred Whitehead 的学生。

Nicholson 首次创建将角动量（angular momentum）量子化为 的原子模型而闻名，他也是第一个创建核理论和量子理论的人。他在 1917 年被选为英国皇家学会会员（FRS），1919 年获得 Adams Prize。

不过 Nicholson 健康状况不佳，因此 Whitehead 也经常在默顿学院（Merton College）的纽博尔特（Harold Oliver Newboult，1897-1949）指导下学习。Newboult 和 Whitehead 一样，出生在印度。

与 Eton 一样，Oxford 也给 Whitehead 提供了各种各样的 “干扰”。他参加了许多体育活动，包括板球、壁球、网球和拳击。

由于板球，他甚至结识了著名数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947），因此体育兴趣反而带来了一些学术上的好处。

在 Oxford 期间 Whitehead 还培养了另一项爱好 —— 扑克。他说自己小时候因病休养时，母亲教会了他打扑克。在 Oxford 期间他常以相当大的赌注打牌，不过朋友们有时并不会完全偿还欠款。

在 Oxfrod 学习期间，Whitehead 的数学表现明显超过了他在 Eton 时期的 “仅仅不错”。尽管他取得成功并获得一等学位（First Class degree），他仍然觉得自己不足以从事学术研究，因此 1927 年他加入了股票经纪公司 Buckmaster and Moore。

当时他的父母已从印度回到英国，住在 Berkshire 的 Sulham 村，Whitehead 住在那里并每天通勤到伦敦金融城上班。

然而只工作了一年多，Whitehead 就意识到金融城并不是自己想要的生活。1928 年他回到 Oxford 大学。在 Oxford 期间他遇到了维布伦（Oswald Veblen，1880-1960），当时 Veblen 正从 Princeton 休假访问 Oxford。Whitehead 听了 Veblen 关于微分几何的一次研讨课，这次讲座显然十分精彩，因为它说服 Whitehead 将这一领域作为自己的研究方向。Veblen 随后支持 Whitehead 申请 Commonwealth Fellowship，使他能够前往 Princeton 读博。

1929 年夏天，Whitehead 抵达 Princeton 开始研究。他主要研究微分几何，不过在三年期间的后期开始对拓扑学产生兴趣。

1932 年他以论文《射影空间的表示》（The Representation of projective spaces）获得 Princeton 博士学位。他与导师 Veblen 的合作成果《微分几何的基础》（The foundations of differential geometry, 1932）后来被视为经典著作，其中首次给出可微流形的严格定义。

如前所述，在 Princeton 的最后阶段 Whitehead 的兴趣逐渐转向拓扑，他与莱夫谢茨（Solomon Lefschetz，1884-1972）合作证明了所有解析流形都可以三角化。在这一领域，他最为人所铭记的是关于同伦等价（homotopy equivalence）的工作。

Whitehead 在 Princeton 度过的三年十分愉快，据记载：“…… 他终生都对 Princeton 及其居民怀有深厚的感情，从研究生院院长到 “Andy's” 酒吧的酒保。”

获得博士学位后，Whitehead 回到 Oxford，并于 1933 年当选 Balliol College 的 Fellow。第二年他与芭芭拉（Barbara Sheila Carew Smyth）结婚，她是一位音乐会钢琴家。

最初他们住在 Oxford 的 Giles 街，后来在第一个儿子出生后搬到 North Oxford。那里的家 “成为数学家的聚会场所。通常有一杯啤酒或茶，还有热情的欢迎，以及给主人和客人各准备的一支铅笔和一叠纸记录想法。许多思想在这里交流，许多非正式研讨会也在他的书房里举行。”

回到英国后不久，Whitehead 又发表了微分几何的重要论文《关于用过某点的测地线覆盖完备空间》（On the covering of a complete space by the geodesics through a point, 1935）。

同时他还研究 Stiefel 流形，并在 Oxford 建立了一个拓扑学研究学派。然而不久之后，国际局势打断了他的研究工作。

Eduard Stiefel (1909-1978)

纳粹对犹太数学家的迫害令 Whitehead 十分痛心，他积极帮助许多人逃离危险。特别是他帮助了艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）和邓恩（Max Wilhelm Dehn，1878-1952），而薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger，1887-1961）从奥地利逃离后甚至住在他的家中。

1940 年 Whitehead 离开 Oxford 前往伦敦参与战争工作。
据描述：“…… 在伦敦最猛烈的一次空袭之夜，他坐在朋友的酒窖里平静地做数学。后来他还为自己保持了极高的道德标准而自豪，因为酒窖里的一瓶酒都没有被打开。”

战争期间他先后在贸易委员会（Board of Trade）、海军部（Admiralty）和外交部（Foreign Office）工作。

第二次世界大战结束后，他回到 North Oxford 的家。

1947 年他被任命为 Oxford 大学 Waynflete 纯数学教授，并从 Balliol College 转到 Magdalen College。

Waynflete 纯数学教授任职履历表

Whitehead 的父亲于 1947 年去世，母亲则于 1953 年去世。她留下了一小块农场和一些牲畜。Whitehead 与妻子因此在 Oxford 北面的 Noke 购买了 Manor Farm。农场主要由妻子经营，但 Whitehead 也对农场事务很感兴趣。两人一直在那里生活到 Whitehead 去世。

Whitehead 的去世十分突然，当时他正在美国休假访问普林斯顿高等研究院（IAS）。

1960 年 5 月，在没有任何预兆或疾病的情况下，他在 Princeton 因心脏病突发去世 —— 而那里正是他数学事业开始的地方。

他能够跨越年龄、阶层和国籍的界限，与任何热爱数学的人平等交流。1950-1960 年间大量合作论文表明，他始终乐于分享自己的思想，也乐于关注他人的成果。这种热情直到生命最后一刻都没有减弱。

在熟人记忆中，Whitehead 最令人难忘的，是那些长时间的数学谈话：“在散步、在农场、或坐在扶手椅上拿着铅笔和纸张推敲细节的长时间讨论，是他最享受的事情。在这些愉快而随意的谈话中，他总能让每个人都感到平等。”

Whitehead 的研究成果对数学研究方向产生了深远影响。
然而正如 Newman 所说，他的影响远不止于此：“他在数学发展中的影响，可以从代数拓扑和几何拓扑文献中无数的引用看出；但若没有他投入每一项数学事业中的慷慨与热情，这种影响也不可能如此巨大。”

Whitehead 在学术上获得过多项荣誉，但由于 55 岁英年早逝，未能获得许多通常在晚年才授予的奖项。

他 1944 年当选皇家学会会士（FRS），并在 1953-1955 年担任伦敦数学会主席。

为纪念 Whitehead，伦敦数学会设立了两个奖：第一个是每年颁发给多位获奖者的 Whitehead 奖；

第二个是每两年颁发一次的 Senior Whitehead 奖。

他的好友 Newman 在回忆中写道：他充沛的活力与友善的举止固然令人一见难忘，但若没有一种极其敏锐的能力去理解谈话对象的思想与感受，以及对各种人类行为的深刻宽容，他也不会赢得世界各地数学家的长期友谊。他不喜欢形式主义，这在学者中并不少见，但他非正式态度让人感到舒适而不是尴尬。无论是散步时、带着那条并不十分听话的猎犬，还是坐在扶手椅上拿着铅笔和纸推敲细节，那些悠闲而深入的谈话，在三十年后依然像最初那样令人愉快而振奋。

贡献

一、微分几何与同伦论

Whitehead 的数学并不是一开始就完全以同伦论为中心。1932 年与 Veblen 合著的《微分几何的基础》（The foundations of differential geometry）首先确立了他在几何方面的声誉。

而 1935 年的《关于用过某点的测地线覆盖完备空间》（On the covering of a complete space by the geodesics through a point）则被 Britannica 评价为微分几何中的 “转折点” 工作。

Whitehead 从几何问题出发，进入拓扑时，并不是把拓扑理解成一种纯粹形式主义的代数；在他那里，几何直觉与代数一直是并行的。

这一点他 1947 年的论文《把 Hopf 不变量表示为积分》（An expression of Hopf's invariant as an integral）非常具有代表性。

这篇工作在几何分析与同伦论之间搭起了桥：Hopf 不变量本来是同伦论中的核心不变量，而 Whitehead 试图把它写成可直接计算的积分表达式。

二、CW 复形与 Whitehead 定理

Whitehead 对 20 世纪拓扑学作出了重要贡献，首先是 CW 复形（CW complex）。

1949 年的《组合同伦 I、II》（Combinatorial homotopy. I and II）把一种新的空间类别确立为同伦论的标准。

CW 中的 C 指 closure finiteness，W 指 weak topology。它的思想其实很自然：从若干点开始，逐步往上附加线段、圆盘、球等 “胞腔（cells）”，用这些简单块拼出复杂空间，而且其胞腔结构与同伦性质之间有非常紧密的联系。

后来的亚当斯（John Frank Adams，1930-1989）在《代数拓扑：学生指南》（Algebraic Topology: A Student's Guide）里回看 Whitehead 的这篇工作时，称它是关于 CW 复形的 fundamental paper，并说 CW 复形是 “做同伦论最有用的一类空间”。

这一概念的重要性在于：它既足够一般，能覆盖大量自然出现的空间；又足够规则，使同伦论中的许多基本论证可以真正做出来。例如球面、射影空间、Grassmann 流形、Lie 群的许多分类空间，都可以自然赋予 CW 结构。

与 CW 复形紧密连在一起的，是今天称作 Whitehead 定理（1949）的基本事实：若两个空间是 CW 复形，而一个映射在所有维度的同伦群上都诱导同构，那么它其实就是同伦等价。

三、Whitehead 积（Whitehead product）与附加胞腔

Whitehead 在 1941 年的工作《向同伦群添加关系》（On adding relations to homotopy groups）中讨论：当一个空间通过附加胞腔、尤其是附加 2 - 胞腔或更高维胞腔而发生变化时，其同伦群怎样改变。

在 时这种关系必须借助某种 “乘法” 来表达，并由此给出一种计算高阶同伦群的代数方法。

设 为带基点空间， 、 。取代表元（representative）：

并保持基点。考虑楔和（wedge sum） ，则 与 在该空间上给出映射 。

另一方面，由商空间

可得到一条连接映射（connecting homomorphism）

其像中的典则元（canonical element）记为 ，称为泛 Whitehead 元（universal Whitehead element）。

将其经 得到

称为 和 的 Whitehead 积（Whitehead product） 满足：

• 双线性：关于第一个分量和第二个分量都是线性；
• 分次对称性： ， 、
• 分次 Jacobi 恒等式： 、 、

几何上，这一构造利用了 的边界结构等价于一个维数为 的球面 ，从而把两个球面映射组合成一个更高维的同伦类。

这个运算揭示：对于 即使知道每个 各自是什么，也还不够；还必须知道它们之间怎样 “相乘” 和 “相互作用”。而当 时，它恰好退化为通常的交换子。

换言之，Whitehead 积在低维时，与群论中的交换子有密切关系。

特别地，在基本群层面上，它反映的正是 “非交换性” 怎样向更高维传播。后来许多拓扑空间的非平凡结构，尤其是楔和（wedge sum）空间、附加胞腔的空间、以及某些纤维化空间中的复杂现象，都需要借助 Whitehead 积来描述。

顺着这条线，Whitehead 还发展出了交叉模（crossed module, 1941）的概念。它来源于相对同伦群中的边界同态：

并且恰好抓住了空间的全部 2-type。这件事的重要性并不亚于 Whitehead product 本身：它说明 Whitehead 并不是只满足于处理一个个具体同伦群，而是在尝试寻找一种真正适合 “低维非交换同伦信息” 的代数模型。从后来的眼光看，这正是现代非交换代数拓扑与高维代数结构的一条主要源头。

四、单纯同伦（Simple homotopy）与 Whitehead 扭转（Whitehead torsion）

1941 年的另一篇重要论文《关于关联矩阵、nuclei 与同伦类型》（On incidence matrices, nuclei and homotopy types）中，Whitehead 把复杂的拓扑形状压缩为带有群环系数的代数数据，再研究这些数据在什么变换下保持同伦类型。

这篇文章建立了 “某些纯代数过程” 与复形的 nuclei 及同伦类型之间的紧密联系，其中涉及作用在 incidence matrices 上的变换，以及 Reidemeister 型不变量。

简言之，Whitehead 把 “同伦分类” 与 “矩阵、群环和代数操作” 直接拴在了一起。

Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893-1971)

1950 年的《某个正合序列》（A certain exact sequence）

则把这种代数组织推得更深。

这篇论文讨论一个与连通复形 相关的正合序列 ，并通过一个二次函子 来刻画其中的高阶边界同态，尤其把某些二级模边界映射与 Pontryagin square 联系起来。

同样在 1950 年，Whitehead 发表《单纯同伦类型》（Simple homotopy types），这几乎可以看作他最深远的单篇论文之一。

它的核心思想是：并非所有同伦等价都处在同一层次；有些同伦等价可以分解为有限次初等的扩张与塌缩，而有些则不能。

若 是同伦等价，则可定义它的 Whitehead torsion ；当且仅当 时， 才是 simple homotopy equivalence。这样一来，“同伦等价” 内部第一次出现了可计算、可区分的细结构。

在高维流形情形中， -cobordism 的分类正是由 Whitehead group 与相应的 torsion 控制； -cobordism 定理更直接以 Whitehead torsion vanishing 作为判据。Simple homotopy 把同伦论、群环和高维流形理论真正连在一起。

五、Spanier–Whitehead 对偶与晚期几何工作

Whitehead 后期并没有停留在早先的组合框架中。1955 年，他与斯潘尼尔（Edwin Henry Spanier，1921-1996）合作发表《同伦理论中的对偶》（Duality in homotopy theory）。

他们希望建立一种真正的 “对偶原理”，使 cohomotopy 可以被视为 homotopy 的对偶，而这一困难在稳定同伦论（stable homotopy theory）中得以克服。

后来的 “Spanier–Whitehead duality” 成为稳定同伦论（stable homotopy theory）中极其自然的一部分，也说明 Whitehead 并不只满足于处理具体空间之间的映射，而是在尝试理解整个理论中更深层的结构对称性。

Whitehead 去世后发表的《欧氏空间中带横截场的流形》（Manifolds with transverse fields in Euclidean space）讨论的是嵌入在欧氏空间中的拓扑流形、横截场与微分结构之间的关系。

这篇工作证明：若一个组合三角剖分的流形在欧氏空间中的直线嵌入带有一个 transverse field，那么它就获得一个与该三角剖分相容的可微结构；而同伦的 transverse fields 导致微分同胚的可微结构。